教学内容全等三角形的判定教学目标掌握全等三角形的判定方法重点全等三角形的判定探索三角形全等的条件（5种）1 边角边（重点）两边及其夹角分别分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边角边”或“SAS”. 注：必须是两边及其夹角,不能是两边和其中一边的对角.原因：如图：在∆ABC和∆ABD中，∠A=∠A,AB=AB,BC=BD,显然这两个三角形不全等. 例1 如图，AC=AD,∠CAB=∠DAB,求证:∆ACB≌∆ADB.例2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF求证：BF=CE.例3．(1)如图①，根据“SAS”,如果BD=CE， = ，那么即可判定△BDC≌△CEB；(2) 如图②，已知BC=EC，∠BCE=ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为例4.如图，已知AD=AE，∠1=∠2，BD=CE，则有△ABD≌，理由是；△ABE≌，理由是．例5．如图，在△ABC和△DEF中，如果AB=DE，BC=EF，只要找出∠ =∠或∥，就可得到△ABC≌△DEF．例6．如图，已知AB∥DE，AB=DE，BF=CE，求证：△ABC≌△DEF．例7．如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E例8．如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．2.角边角两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）例1．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，线段AD及其延长线上分别取点E，F，连接CE，BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，你添加的条件是：．(不添加辅助线)例2.如图，已知AD平分∠BAC，且∠ABD=∠ACD，则由“AAS”可直接判定△≌△．例3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，那么AE= cm．例4.如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为．例5．如图，已知EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E．求证：BC=DC．例6．如图，在△ABC中，D是BC边上的点 (不与B，C重合)，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF (不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．(1) 你添加的条件是：；(2) 证明：例7．如图，A在DE上，F在AB上，且BC=DC，∠1=∠2=∠3，则DE的长等于 ( ) A．DC B．BCC．AB D．AE+AC【基础训练】1．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，则有△ABC≌_______，理由是_______；且有∠ACB＝_______，AC＝_______．2．如图，已知AD＝AE，∠1＝∠2，BD＝CE，则有△ABD≌_______，理由是_______；△ABF≌_______，理由是_______．3．如图，在△ABC和△BAD中，因为AB＝BA，∠ABC＝∠BAD，_______＝_______，根据“SAS”可以得到△ABC≌△BAD．4．如图，要用“SAS”证△ABC≌△ADE，若AB＝AD，AC＝AE，则还需条件( )．A．∠B＝∠D B∠C＝∠EC．∠1＝∠2 D．∠3＝∠45．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC等于( )．A．60°B．50°C．45°D．30°6．如图，如果AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，那么△ADF和ACBE全等吗？请说明理由．7．如图，已知AD与BC相交于点O，∠CAB＝∠DBA，AC＝BD．求证：(1)∠C＝∠D；(2)△AOC≌△BOD．8．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC＝∠DCB．10．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE．求证：AE∥BC．A BC DEF角角边两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，可以简写成“角角边”或“AAS ”. 例1、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，H 是高AD 和高BE 的交点，试说明BH ＝AC ．例2、如图，∠ACB=90°，AC=BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD=2.5cm ，DE=1.7cm ． 求BE 的长．例3、如图, 在△ABC 中, AC ⊥BC, CE ⊥AB 于E, AF 平分∠CAB 交CE 于点F, 过F 作FD ∥BC 交AB 于点D. 求证：AC ＝AD.例4、如图, 在ABC中, ∠A＝90°, BD平分B, DE⊥BC于E, 且BE＝EC,(1)求∠ABC与∠C的度数；(2)求证：BC＝2AB.边边边三边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边边边”或“SSS”.例1、如图，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD．你能说明∠C=∠A吗? 试一试．例2、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E为AC上的一动点(不与A重合)，在E移动过程中．BE和DE是否相等? 若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．例3．如图，AB=CD ，AE=CF ，BO=DO ，EO=FO ．求证：OC=OA ．斜边、直角边斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”。
专题1.5 角边角判定三角形全等-重难点题型【苏科版】【题型1 角边角判定三角形全等的条件】【例1】（2020秋•宜兴市期中）如图，已知AB＝AD，∠1＝∠2，要根据“ASA”使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是．【分析】利用ASA定理添加条件即可．【解答】解：还需添加的条件是∠B＝∠D，∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中{∠BAC=∠DAE AB=AD∠B=∠D，∴△ABC≌△ADE（ASA），故答案为：∠B＝∠D．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．【变式1-1】（2020秋•覃塘区期中）如图，点B ，F ，C ，E 在同一直线上，AC ＝DF ，∠1＝∠2，如果根据“ASA ”判断△ABC ≌△DEF ，那么需要补充的条件是（ ）A ．AB ＝DE B ．∠A ＝∠DC ．BF ＝CED ．∠B ＝∠D【分析】利用全等三角形的判定方法，“ASA ”即角边角对应相等，只需找出一对对应角相等即可，进而得出答案．【解答】解：需要补充的条件是∠A ＝∠D ，在△ABC 和△DEF 中，{∠A =∠D AC =DF ∠2=∠1，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．故选：B ．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．【变式1-2】（2020秋•浦东新区期末）根据下列已知条件，能作出唯一△ABC 的是（ ）A ．AB ＝3，BC ＝4，CA ＝8B ．AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝60° C ．∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4D ．∠C ＝90°，∠B ＝30°，∠A ＝60°【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【解答】解：A ．∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝8，AB +BC ＜CA ，∴不能画出三角形，故本选项不合题意；B ．AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝60°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；C ．当∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4时，根据“ASA ”可判断△ABC 的唯一性；D ．已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；故选：C ．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．【变式1-3】（2020•路南区校级月考）如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（）A．B．C．D．【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断．【解答】解：A、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，故本选项不符合题意；B、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，故本选项不符合题意；C、如图1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3，所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意；D、如图2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C，∴△BDE≌△CEF，所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意；由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定，注意三角形边和角的对应关系是关键．【题型2 角边角判定三角形全等（求角的度数）】【例2】（2020秋•简阳市期中）如图，∠A＝∠D，OA＝OD，∠DOC＝50°，∠DBC的度数为（）A．50°B．30°C．45°D．25°【分析】由题中条件易证得△AOB≌△DOC，可得∠ACB＝∠DBC，由三角形外角的性质可得∠DOC＝∠ACB+∠DBC，即可得∠DBC的度数．【解答】解：∵∠A＝∠D，OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，∴△AOB≌△DOC（ASA），∴∠ACB＝∠DBC，∵∠DOC＝∠ACB+∠DBC，∴∠DBC=12∠DOC＝25°．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质等知识点，找到相应等量关系的角是解题的关键．【变式2-1】（2019秋•天心区校级月考）AD，BE是△ABC的高，这两条高所在的直线相交于点O，若BO＝AC，则∠ABC＝．【分析】由AD、BE是锐角△ABC的高，可得∠DBA＝∠DAC，又BO＝AC，∠BDO＝∠ADC＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：如图1，∵AD、BE是锐角△ABC的高，∴∠AEO＝∠BDO＝90°，∵∠AOE＝∠BOD，∴∠DBO＝∠DAC，∵BO＝AC，∠BDO＝∠ADC＝90°∴△BDO≌△ADC（ASA），∴BD＝AD，∴∠ABC＝∠BAD＝45°，如图2，同理证得△BDO≌△ADC（ASA），∴BD＝AD，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴∠ABC＝135°，故答案为：45°或135°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；结合已知条件发现并利用△BDO≌△ADC是正确解答本题的关键．【变式2-2】（2021•苍南县一模）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 为对角线BD 上一点，∠A ＝∠BEC ，且AD ＝BE ．（1）求证：△ABD ≌△ECB ．（2）若∠BDC ＝70°．求∠ADB 的度数．【分析】（1）由“ASA ”可证△ABD ≌△ECB ；（2）由全等三角形的性质可得BD ＝BC ，由等腰三角形的性质可求解．【解答】证明：（1）∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠CBE ，在△ABD 和△ECB 中，{∠A =∠BEC AD =BE ∠ADB =∠CBE，∴△ABD ≌△ECB （ASA ）；（2）∵△ABD ≌△ECB ，∴BD ＝BC ，∴∠BDC ＝∠BCD ＝70°，∴∠DBC ＝40°，∴∠ADB ＝∠CBD ＝40°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，还考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．【变式2-3】（2020秋•丛台区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E ，F 在边BC 上，连接AE ，AF ，∠BAF ＝∠CAE ，延长AF 至点D ，使AD ＝AC ，连接CD ．（1）求证：△ABE ≌△ACF ；（2）若∠ACF ＝30°，∠AEB ＝130°，求∠ADC 的度数．【分析】（1）要证明△ABE≌△ACF，由题意可得AB＝AC，∠B＝∠ACF，∠AEF＝∠AFE，从而可以证明结论成立；（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质可以求得∠ADC的度数．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF，∵∠BAF＝∠CAE，∴∠BAF﹣∠EAF＝∠CAE﹣∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中，{∠B=∠ACFAB=AC∠BAE=∠CAF，∴△ABE≌△ACF（ASA）；（2）解：∵∠B＝∠ACF＝30°，∠AEB＝130°，∴∠BAE＝180°﹣130°﹣30°＝20°，∵△ABE≌△ACF，∴∠CAF＝∠BAE＝20°，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠ADC=180°−20°2=80°．答：∠ADC的度数为80°．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【题型3 角边角判定三角形全等（求线段的长度）】【例3】（2021春•德城区校级月考）如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】证明△MQP ≌△NQH ，由全等三角形的性质可得PQ ＝QH ＝5，根据MQ ＝NQ ＝9，即可解决问题．【解答】解：∵MQ ⊥PN ，NR ⊥PM ，∴∠NQH ＝∠NRP ＝∠HRM ＝90°，∵∠RHM ＝∠QHN ，∴∠PMH ＝∠HNQ ，在△MQP 和△NQH 中，{∠PMQ =∠QNHMQ =NQ ∠MQP =∠NQH =90°，∴△MQP ≌△NQH （ASA ），∴PQ ＝QH ＝5，∵NQ ＝MQ ＝9，∴MH ＝MQ ﹣HQ ＝9﹣5＝4，故选：B ．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．【变式3-1】（2020春•万州区期末）如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上一点，延长ED 至F ，使得DF ＝DE ，若BF ∥AC ，AC ＝4，BF ＝3，则CE 的长为（ ）A ．0.5B ．1C ．1.5D ．2【分析】证明△BDF ≌△ADE （ASA ），由全等三角形的性质得出BF ＝AE ＝3，则可得出答案．【解答】解：∵BF ∥AC ，∴∠F ＝∠AED ，在△BDF 和△ADE 中，{∠F =∠AED DF =DE ∠BDF =∠ADE，∴△BDF ≌△ADE （ASA ），∴BF ＝AE ＝3，∵AC ＝4，∴CE ＝AC ﹣AE ＝4﹣3＝1．故选：B ．【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【变式3-2】（2020春•铁西区期末）如图，点D 是△ABC 的边AB 上一点，FC ∥AB ，连接DF 交AC 于点E ，若CE ＝AE ，AB ＝7，CF ＝4，则BD 的长是 ．【分析】先由全等三角形的判定定理ASA 证明△AED ≌△CEF ，然后根据全等三角形的对应边相等知AD ＝CF ，从而求得BD 的长度．【解答】解：∵FC ∥AB ，∴∠A ＝∠ECF ，在△AED 和△CEF 中，{∠A =∠ECF AE =CE ∠AED =∠CEF，∴△AED ≌△CEF （ASA ），∴AD ＝CF （全等三角形的对应边相等），又∵AB ＝7，CF ＝4，AB ＝AD +BD ，∴BD ＝3．故答案为：3． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【变式3-3】（2020秋•香洲区校级期中）如图，△ABC 中，∠ABC ＝60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，AD 、CE 相交于点P ．（1）求∠APC 的度数；（2）若AE ＝4，CD ＝4，求线段AC 的长．【分析】（1）利用∠ABC ＝60°，AD 、CE 分别平分∠BAC ，∠ACB ，即可得出答案；（2）由题中条件可得△APE ≌△APF ，进而得出∠APE ＝∠APF ，通过角之间的转化可得出△CPF ≌△CPD ，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠ABC ＝60°，AD 、CE 分别平分∠BAC ，∠ACB ，∴∠BAC +∠BCA ＝120°，∠P AC +∠PCA =12（∠BAC +∠BCA ）＝60°，∴∠APC ＝120°．（2）如图，在AC 上截取AF ＝AE ，连接PF ．∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ，在△APE 和△APF 中，{AE =AF ∠EAP =∠FAP AP =AP，∴△APE ≌△APF （SAS ），∴∠APE ＝∠APF ，∵∠APC ＝120°，∴∠APE ＝60°，∴∠APF ＝∠CPD ＝60°＝∠CPF ，在△CPF 和△CPD 中，{∠FPC =∠DPC CP =CP ∠FCP =∠DCP，∴△CPF ≌△CPD （ASA ）∴CF ＝CD ，∴AC ＝AF +CF ＝AE +CD ＝4+4＝8．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，根据在AC 上截取AF ＝AE 得出△APE ≌△APF 是解题关键．【题型4 角边角判定三角形全等（实际应用）】【例4】（2020秋•伊通县期末）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么，最省事的方法是（ ）A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．带①去和带②去【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【解答】解：第①块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA 来配一块一样的玻璃．故选：A ．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．【变式4-1】（2020秋•丰南区期中）如图，小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他的依据是 ．【分析】根据图形，未污染的部分两角与这两角的夹边可以测量，然后根据全等三角形的判定方法解答即可．【解答】解：小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他根据的定理是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）．故答案为：ASA．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式4-2】（2020秋•齐河县期末）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语．具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度．【分析】由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABP＝∠CDP，利用ASA定理可得，△ABP≌△CDP，由全等三角形的性质可得结果．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABP＝∠CDP，∵PD⊥CD，∴∠CDP＝90°，∴∠ABP＝90°，即PB⊥AB，∵相邻两平行线间的距离相等，∴PD ＝PB ，在△ABP 与△CDP 中，{∠ABP =∠CDP PB =PD ∠APB =∠CPD，∴△ABP ≌△CDP （ASA ），∴CD ＝AB ＝16米．【点评】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键．【变式4-3】（2020秋•孝义市期中）一位经历过战争的老战士讲述了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样的办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上，接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离． 将这位战士看成一条线段，碉堡看成一点，示意图如下，你能根据示意图解释其中的道理吗下面是彤彤同学写出的不完整的已知和求证，请你补全已知和求证，并完成证明．已知：如图，AB ⊥CD ， ．求证： ．证明：【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：已知：如图，AB ⊥CD ，∠ABC ＝∠ABD ．求证：AD ＝AC ．证明：∵AB ⊥CD ，∴∠BAD ＝∠BAC ，在△ABD 与△ABC 中，{∠ABD =∠ABC AB =AB ∠BAC =∠BAD，∴△ABD ≌△ABC （ASA ），∴AD ＝AC ，故答案为：∠ABC ＝∠ABD ，AD ＝AC ．【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．【题型5 角边角判定三角形全等（证明题）】【例5】（2020秋•涟源市期末）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，E 为边BC 上的任意点，D 为线段BE 的中点，AB ＝AE ，EF ⊥AE ，AF ∥BC ．（1）求证：∠DAE ＝∠C ；（2）求证：AF ＝BC ．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD ⊥BC ，由余角的性质可得∠C ＝∠BAD ，再证明∠BAD ＝∠DAE 即可解决问题．（2）由“ASA ”可证△ABC ≌△EAF ，可得AC ＝EF ．【解答】证明：（1）∵AB ＝AE ，D 为线段BE 的中点，∴AD ⊥BC ，（三线合一没有学习到，可以用全等证明）∴∠C +∠DAC ＝90°，∵∠BAC ＝90°∴∠BAD +∠DAC ＝90°∴∠C ＝∠BAD ，∵AB ＝AE ，AD ⊥BE ，∴∠BAD ＝∠DAE ，∴∠DAE ＝∠C（2）∵AF∥BC∴∠F AE＝∠AEB∵AB＝AE∴∠B＝∠AEB∴∠B＝∠F AE，且∠AEF＝∠BAC＝90°，AB＝AE∴△ABC≌△EAF（ASA）∴AC＝EF【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．【变式5-1】（2020秋•汝南县期末）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于H，且AD＝BD．试说明下列结论成立的理由．（1）∠DBH＝∠DAC；（2）△BDH≌△ADC．【分析】（1）因为∠BHD＝∠AHE，∠BDH＝∠AEH＝90°，所以∠DBH+∠BHD＝∠HAE+∠AHE＝90°，故∠DBH＝∠DAC；（2）因为AD⊥BC，所以∠ADB＝∠ADC，又因为AD＝BD，∠DBH＝∠DAC，故可根据ASA判定两三角形全等．【解答】解：（1）∵∠BHD＝∠AHE，∠BDH＝∠AEH＝90°∴∠DBH+∠BHD＝∠HAE+∠AHE＝90°∴∠DBH＝∠HAE∵∠HAE＝∠DAC∴∠DBH＝∠DAC；（2）∵AD⊥BC∴∠ADB＝∠ADC在△BDH 与△ADC 中，{∠ADB =∠ADC AD =BD ∠DBH =∠DAC∴△BDH ≌△ADC ．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式5-2】（2020秋•郯城县期中）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线EG 交AB 于点E ，交AB 的平行线CG 于点G ，DF ⊥EG ，交AC 于点F ．（1）求证：BE ＝CG ；（2）判断BE +CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论．【分析】（1）先利用ASA 判定△BED ≌△CGD ，从而得出BE ＝CG ；（2）先连接FG ，再利用全等的性质可得DE ＝DG ，再根据DF ⊥GE ，从而得出FG ＝EF ，依据三角形两边之和大于第三边得出BE +CF ＞EF ．【解答】解：（1）∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ，∵AB ∥CG ，∴∠B ＝∠DCG ，在△BDE 和△CDG 中，∵∠BDE ＝∠CDG ，BD ＝CD ，∠DBE ＝∠DCG ，∴△BDE ≌△CDG （ASA ），∴BE ＝CG ；（2）BE+CF＞EF．理由：如图，连接FG，∵△BDE≌△CDG，∴DE＝DG，又∵FD⊥EG，∴FD垂直平分EG，∴EF＝GF，又∵△CFG中，CG+CF＞GF，∴BE+CF＞EF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及三角形三边关系的运用，本题中求证△BDE≌△CDG，得出BE＝CG是解题的关键．【变式5-3】（2020秋•岫岩县月考）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD、CE相交于点G，BD＝DC，DF∥BC交AB于点F，连接FG．求证：（1）△DAB≌△DGC；（2）CG＝FB+FG．【分析】（1）由“ASA”可证△DAB≌△DGC；（2）由全等三角形的性质可得AB＝CG，DA＝DG，由“SAS”可证△DF A≌△DFG，可得F A＝FG，可得结论．【解答】证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ABD +∠A ＝90°，∠ACE +∠A ＝90°，∴∠ABD ＝∠ACE ，在△DAB 和△DGC 中，{∠ABD =∠ACE BD =CD ∠ADB =∠BDC =90°，∴△DAB ≌△DGC （ASA ）；（2）∵△DAB ≌△DGC ，∴AB ＝CG ，DA ＝DG ，∵BD ＝CD ．∠BDC ＝90°，∴∠DBC ＝∠DCB ＝45°，∵DF ∥BC ，∴∠FDA ＝∠FDG ＝45°，在△DF A 和△DFG 中，{AD =DG ∠FDA =∠FDG DF =DF，∴△DF A ≌△DFG （SAS ），∴F A ＝FG ．∴CG ＝AB ＝FB +F A ＝FB +FG ．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，找到正确的全等三角形是本题的关键．【题型6 角边角判定三角形全等（探究题）】【例6】（2020春•崂山区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°点D 在BC 的延长线上，且BD ＝AB ．过点B 作BE ⊥AC ，与BD 的垂线DE 交于点E ．（1）求证：△ABC ≌△BDE ；（2）请找出线段AB 、DE 、CD 之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）利用已知得出∠A＝∠DBE，进而利用ASA得出△ABC≌△BDE即可；（2）根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，∴∠A+∠ABE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠DBE+∠ABE＝90°，∴∠A＝∠DBE，在△ABC和△BDE中，{∠A=∠DBEBD=AB∠ABC=∠BDE=90°，∴△ABC≌△BDE（ASA）；（2）解：AB＝DE+CD，理由：由（1）证得，△ABC≌△BDE，∴AB＝BD，BC＝DE，∵BD＝CD+BC，∴AB＝CD+DE．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【变式6-1】（2021春•黄浦区期末）如图在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠1＝∠2．（1）说明△ADE≌△BFE的理由；（2）联结EG，那么EG与DF的位置关系是，请说明理由．【分析】（1）由AD ∥BC ，得出∠1＝∠F ，因为E 是AB 的中点，得AE ＝BE ，即可证明△ADE ≌△BFE ；【解答】解：（1）∵AD ∥BC ，∴∠1＝∠F ，∵E 是AB 的中点，∴AE ＝BE ，在△ADE 和△BFE 中，{∠1=∠F ∠AED =∠BEF AE =BE，∴△ADE ≌△BFE （ASA ），（2）如图，EG ⊥DF ，∵∠1＝∠F ，∠1＝∠2，∴∠2＝∠F ，∴DG ＝FG ，由（1）知：△ADE ≌△BFE ，∴DE ＝EF ，∴EG ⊥DF ．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的三线合一等知识，找出全等所需的条件是解题的关键．【变式6-2】（2020春•文圣区期末）已知：如图，BD 、CE 是△ABC 的高，BD 、CE 交于点F ，BD ＝CD ，CE 平分∠ACB ．（1）如图1，试说明BE =12CF ．（2）如图2，若点M 在边BC 上（不与点B 重合），MN ⊥AB 于点N ，交BD 于点G ，请直接写出BN 与MG 的数量关系，并画出能够说明该结论成立的辅助线，不必书写过程．【分析】（1）由“ASA ”可证△ABD ≌△FCD ，可得AB ＝CF ，由“ASA ”可证△ACE ≌△BCE ，可得AE ＝BE ，可得结论；（2）如图，过点M 作MH ∥AC ，交AB 于H ，交BD 于P ，由“ASA ”可证BPH ≌△MPG ，可得GM ＝BH ，由“ASA ”可证△BMN ≌△HMN ，可得BN ＝NH ，可得结论．【解答】解：（1）∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠BDC ＝∠AEC ＝90°，∴∠A +∠ABD ＝90°，∠A +∠ACE ＝90°，∴∠ABD ＝∠ACE ，在△ABD 和△FCD 中，{∠ADB =∠FDC BD =CD ∠ABD =∠FCD，∴△ABD ≌△FCD （ASA ），∴AB ＝CF ，∵CE 平分∠ACB ，∴∠ACE ＝∠BCE ＝22.5°，在△ACE 和△BCE 中，{∠ACE =∠BCE CE =CE ∠AEC =∠BEC，∴△ACE ≌△BCE （ASA ），∴AE ＝BE ，∴BE =12AB =12CF ；理由如下：如图，过点M 作MH ∥AC ，交AB 于H ，交BD 于P ，∵BD ＝CD ，BD ⊥CD ，∴∠DBC ＝∠DCB ＝45°，∵MH ∥AC ，∴∠PMB ＝∠DCB ＝∠PBM ＝45°，∠BPM ＝∠BDC ＝90°，∴BP ＝PM ，∵∠BHP +∠HBP ＝90°，∠BHP +∠HMN ＝90°，∴∠HBP ＝∠HMN ，在△BHP 和△MGP 中，{∠HBP =∠GMP BP =PM ∠BPH =∠GPM =90°，∴△BPH ≌△MPG （ASA ），∴GM ＝BH ，∵MN ⊥AB ，CE ⊥AB ，∴MN ∥CE ，∴∠BMN ＝∠BCE =12∠ACB ＝22.5°，∴∠BMN ＝∠HMN ＝22.5°，在△BMN 和△HMN 中，{∠BMN =∠HMN MN =MN ∠BNM =∠HNM，∴△BMN ≌△HMN （ASA ）∴BN ＝NH ，【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．【变式6-3】（2020春•揭阳期末）已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E．（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，试说明∠BAC+∠BEC＝180°；（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系；（3）在（2）的条件下，若∠BAC＝60°，试说明：EF＝ED．【分析】（1）根据余角的性质得到∠DEC＝∠BAC，由于∠DEC+∠BEC＝180°，即可得到结论；（2）根据角平分线的定义得到∠EBC=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB，于是得到结论；（3）作∠BEC的平分线EM交BC于M，由∠BAC＝60°，得到∠BEC＝90°+12∠BAC＝120°，求得∠FEB＝∠DEC＝60°，根据角平分线的性质得到∠BEM＝60°，推出△FBE≌△EBM，根据全等三角形的性质得到EF＝EM，同理DE＝EM，即可得到结论．【解答】解：（1）∵BD⊥AC，CF⊥AB，∴∠DCE+∠DEC＝∠DCE+∠F AC＝90°，∴∠DEC＝∠BAC，∠DEC+∠BEC＝180°，∴∠BAC+∠BEC＝180°；（2）∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠EBC=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB，∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠BAC）＝90°+12∠BAC；（3）作∠BEC的平分线EM交BC于M，∵∠BAC ＝60°，∴∠BEC ＝90°+12∠BAC ＝120°，∴∠FEB ＝∠DEC ＝60°，∵EM 平分∠BEC ，∴∠BEM ＝60°，在△FBE 与△EBM 中，{∠FBE =∠EBM BE =BE ∠FEB =∠MEB，∴△FBE ≌△EBM （ASA ），∴EF ＝EM ，同理DE ＝EM ，∴EF ＝DE ．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，垂直的定义，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。
