专题一集合与常用逻辑用语01 集合的概念题型一判断元素与集合的关系题型二根据元素与集合的关系求参数题型三利用集合互异性求参数题型四集合的描述方法题型五元素个数的求解及参数问题02 集合间的基本关系题型一判断集合的子集（真子集）个数题型二判断两个集合的包含关系及参数问题题型三两个集合相等求参数题型四空集性质及应用题型五根据集合相等关系进行计算03 集合的基本运算题型一根据交集结果求集合或参数题型一根据交集结果求集合或参数题型三根据补集结果求集合或参数题型四交并补混合运算确定集合或参数题型五容斥原理的应用题型六集合新定义04 充分条件与必要条件题型一根据充分不必要条件求参数题型二根据必要不充分条件求参数题型三根据充要条件求参数题型四充要条件的证明05 全称量词与存在量词题型一根据全称命题的真假求参数题型二根据特称（存在性）命题的真假求参数题型三含有一个量词的命题的否定的应用专题1 集合的概念题型一 判断元素与集合的关系 1．下面有四个语句: ①集合N *中最小的数是0; ②-a ∉N ，则a ∈N ;③a ∈N ，b ∈N ，则a +b 的最小值是2; ④x 2+1=2x 的解集中含有两个元素. 其中说法正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】A【解析】因为N *是不含0的自然数，所以①错误; 取a =2，则-2∉N ，2 ∉N ，所以②错误;对于③，当a =b =0时，a +b 取得最小值是0，而不是2，所以③错误; 对于④，解集中只含有元素1，故④错误. 故选：A2．下列四个命题：①{0}是空集；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③集合{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}含有两个元素；④集合6|x Q N x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集．其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】D【解析】①{0}是含有一个元素0的集合，不是空集，所以①不正确； ②当a ＝0时，0∈N ，所以②不正确；③因为由x 2－2x ＋1＝0，得x 1＝x 2＝1，所以{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}，所以③不正确； ④当x 为正整数的倒数时，6x ∈N ，所以6|x Q N x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是无限集，所以④不正确．故选：D3．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5k n k n Z =+∈，0,1,2,3,4k =，给出如下四个结论：①[]20111∈；②[]33-∈；③若整数,a b 属于同一“类”，则[]0a b -∈；④若[]0a b -∈，则整数,a b 属于同一“类”.其中，正确结论的个数是（ ）. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对于①，201154021÷=⋅⋅⋅，[]20111∴∈，①正确；对于②，352-=-+，即3-被5除余2，[]33∴-∉，②错误； 对于③，设15a n k =+，25b n k =+，()125a b n n ∴-=-，能被5整除，[]0a b ∴-∈，③正确；对于④，设5a b n -=，n Z ∈，即5a n b =+，n Z ∈， 不妨令5b m k =+，m Z ∈，0,1,2,3,4k =，则()555a n m k m n k =++=++，m Z ∈，n Z ∈，0,1,2,3,4k =，,a b ∴属于同一“类”， ④正确； 综上所述：正确结论的个数为3个. 故选：C .4．已知集合{10}A x x =，23a =+，则a 与集合A 的关系是（ ） A ．a A ∈ B ．a A ∉ C ．a A = D ．{}a A ∈【答案】A【解析】解：{|10}A x x =，23224a =+<+=，10a <，a A ∴∈，故选：A ．5．下列三个命题：①集合N 中最小的数是1；②a N -∉，则a N ∈；③a N ∈，N b ∈，则+a b 的最小值是2.其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】A【解析】①N 表示自然数集，最小的数为0，①错误； ②若32a N -=-∉，则32a N =∉，②错误；③若0a =，1b =，则1a b +=，③错误. ∴正确命题的个数为0个故选：A6．用符号“∈”或“∉”填空：（1）0________N *，5________Z ；（2）23________{x |x ＜11}，32________{x |x ＞4}；（3）(－1，1)________{y |y ＝x 2}，(－1，1)________{(x ，y )|y ＝x 2}．【答案】∉ ∉ ∉ ∈ ∉ ∈ 【解析】（1）*0N ∉ 5∉Z ；（2）22(23)(11)>，2311∴>，∴23{|11}∉<x x ； 22(32)4>，即324>，∴32{|4}∈>x x ；（3）(－1，1)为点，{y |y ＝x 2}中元素为数，故(－1，1) ∉{y |y ＝x 2}． 又∵(－1)2＝1，∴(－1，1)∈{(x ，y )|y ＝x 2}． 故答案为：∉；∉；∉；∈；∉；∈ 题型二 根据元素与集合的关系求参数1．若由a 2，2019a 组成的集合M 中有两个元素，则a 的取值可以是（ ） A ．0 B ．2019 C ．1 D ．0或2019【答案】C【解析】若集合M 中有两个元素，则a 2≠2 019a .即a ≠0且a ≠2 019. 故选：C.2．若集合2{|320}A x R ax x =∈-+=中只有一个元素，则(a = )A ．92B ．98C ．0D ．0或98【答案】D【解析】解：集合2{|320}A x R ax x =∈-+=中只有一个元素， 当0a =时，可得23x =，集合A 只有一个元素为：23．当0a ≠时：方程2320ax x -+=只有一个解：即980a ∆=-=， 可得：98a =． 故选：D ．3．已知集合A 是由a ﹣2，2a 2+5a ，12三个元素组成的，且﹣3∈A ，求a =________. 【答案】32-【解析】解：由﹣3∈A ，可得﹣3=a ﹣2，或﹣3=2a 2+5a ， 由﹣3=a ﹣2，解得a =﹣1，经过验证a =﹣1不满足条件，舍去.由﹣3=2a 2+5a ，解得a =﹣1或32-，经过验证：a =﹣1不满足条件，舍去.∴a =32-.故答案为：﹣32.4．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 的值为________. 【答案】3 【解析】∵2{0,,32}A m m m =-+，且2A ∈，∴2m =或2322m m -+=，即2m =或0m =或3m =，当2m =时，与元素的互异性相矛盾，舍去；当0m =时，与元素的互异性相矛盾，舍去；当3m =时，{}032A =，，满足题意，∴3m =，故答案是3. 5．已知集合2{|320}A x ax x =-+=，其中a 为常数，且a R ∈． （1）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围； （2）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围． 【答案】（1）89≤a ；（2）89≤a 或0=a 【解析】解：（1）0a =，由320x -+=，解得23x =，满足题意，因此0a =． 0a ≠时，A 中至少有一个元素，∴980a ∆=-，解得89≤a ，0a ≠． 综上可得：a 的取值范围是89≤a ． （2）0a =，由320x -+=，解得23x =，满足题意，因此0a =． 0a ≠时，A 中至多有一个元素，∴980a ∆=-，解得89≤a ． 综上可得：a 的取值范围是89≤a 或0=a ． 题型三 利用集合互异性求参数1．含有三个实数的集合既可表示为{,,0}bb a，也可表示为{,,1}a a b +，则+a b 的值为____． 【答案】0【解析】由题意{,,0}{,,1}b b a a b a=+，可得0a ≠，根据集合相等和元素的互异性，可得0a b +=且1b =，解得1,1a b =-=， 此时集合{,,0}{1,1,0},{,,1}{1,1,0}b b a a b a=-+=- 所以0a b +=. 故答案为0.2．已知集合22{2,(1),33}A a a a =+++，且1A ∈，则实数a 的值为________． 【答案】1-或0【解析】若()211,a +=则0a =或2,a =- 当0a =时，{}2,1,3A =，符合元素的互异性； 当2a =-时，{}2,1,1A =，不符合元素的互异性，舍去 若2a 3a 31,++=则1a =-或2,a =-当1a =-时，{}2,0,1A =，符合元素的互异性； 当2a =-时，{}2,1,1A =，不符合元素的互异性，舍去； 故答案为：1-或0.3．已知集合{}2411A a a a =+++，，{}2|0B x x px q =++=，若1A ∈.（1）求实数a 的值；（2）如果集合A 是集合B 的列举表示法，求实数p q ，的值. 【答案】（1）4a =-；（2）23p q ==-，.【解析】解：（1）∵1A ∈，∴2411a a ++=或者11a += 得4a =-或0a =，验证当0a = 时，集合{}11A =，，集合内两个元素相同，故舍去0a = ∴4a =-（2）由上4a =-得{}13A =-，，故集合B 中，方程20x px q ++=的两根为1、-3. 由一元二次方程根与系数的关系，得[1(3)]21(3)3p q =-+-==⨯-=-，.4．已知{}20,1,1a a a ∈--，求a 的值．【答案】1a =-【解析】由已知条件得：若a ＝0，则集合为{0，﹣1，﹣1}，不满足集合元素的互异性，∴a ≠0； 若a ﹣1＝0，a ＝1，则集合为{1，0，0}，显然a ≠1；若a 2﹣1＝0则a ＝±1，由上面知a ＝1不符合条件；a ＝﹣1时，集合为{﹣1，﹣2，0}； ∴a ＝﹣1．5．含有三个实数元素的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成2{,,0}a a b +，求20172018a b +的值． 【答案】-1【解析】由题意得,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭与2{,,0}a a b +表示同一个集合,所以0ba=且0a ≠,1a ≠,即0b =,则有{,0,1}a 与2{,,0}a a 表示同一个集合,所以21a =,解得1a =-,所以()2017201720182018101a b +=-+=-，故答案为：1-题型四 集合的描述方法 1．给出下列说法：①集合{}3x x x ∈=N 用列举法表示为{}1,0,1-；②实数集可以表示为{|x x 为实数}或{}R ；③方程组3,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解组成的集合为{}1,2x y ==.其中不正确的有______.（把所有不正确说法的序号都填上） 【答案】①②③【解析】①由3x x =，即()210x x -=，得0x =或1x =或1x =-.因为1-∉N ，所以集合{}3x xx ∈=N 用列举法表示为{}0,1.②实数集正确的表示为{|x x 为实数}或R .③方程组3,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解组成的集合正确的表示应为(){}1,2或()1,,2x x y y ⎧⎫=⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎩⎪⎪⎩⎭.故①②③均不正确. 2．定义集合运算(){}|,,AB z z xy x y x A y B ==+∈∈，集合{}{}0,1,2,3A B ==，则集合A B 所有元素之和为________【答案】18【解析】当0,2,0==∴=x y z 当1,2,6==∴=x y z 当0,3,0==∴=x y z 当1,3,12==∴=x y z 和为0+6+12=18 故答案为：183．设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x∈- ． （1）若2A ∈，试证明集合A 中有元素1-，12； （2）判断集合A 中至少有几个元素，并说明理由； （3）若集合A 中的元素个数不超过8，所有元素的和为143，且集合A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A ．【答案】（1）证明见解析；（2）至少有3个元素．理由见解析（3）112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭【解析】（1）由题意，因为2A ∈，可得1112A =-∈-． 因为1A -∈，则()11112A =-∈-．所以集合A 中有元素1-，12． （2）由题意，可知若x A ∈（1x ≠且0x ≠）， 则11A x ∈-，1x A x -∈，且11x x ≠-，111x x x -≠-，1x x x-≠， 故集合A 中至少有3个元素．（3）由集合A 中的元素个数不超过8，所以由（2）知A 中有6个元素． 设1111,,,,,11x m A x m x x m m --⎧⎫=⎨⎬--⎩⎭，m x ≠，1x ≠且0x ≠，1m ≠且0m ≠， 因为集合A 中所有元素的积为1，不妨设21x =，或2111x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，或211x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭．当21x =时，1x =（舍去）或1x =-；若1x =-，则1,22A ∈．∵集合A 中所有元素的和为143，∴1111421213m m m m -+-+++=-， ∴3261960m m m -++=，即()32261860m m m m ----=， 即()()23620m m m ---=，即()()()321320m m m -+-=，∴12m =-或3或23，∴112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭．当2111x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭或211x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭时，同理可得112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭． 综上，112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭．题型五 元素个数的求解及参数问题1．用()d A 表示集合A 中的元素个数，若集合()(){}2210A x x ax x ax =--+=，{}0,1B =，且()()1d A d B -=.设实数a 的所有可能取值构成集合M ，则()d M =（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．4【答案】A【解析】由题意，()()1d A d B -=，()2d B =，可得()d A 的值为1或3，若()1d A =，则20x ax -=仅有一根，必为0，此时a =0，则22110x ax x -+=+=无根，符合题意若()3d A =，若20x ax -=仅有一根，必为0，此时a =0，则22110x ax x -+=+=无根，不合题意，故20x ax -=有二根，一根是0，另一根是a ，所以210x ax -+=必仅有一根，所以2Δ40a =-=，解得2a =±，此时210x ax -+=的根为1或1-，符合题意，综上，实数a 的所有可能取值构成集合{0,2,2}M =-，故()3d M =． 故选：A ．2．已知集合{}2,,M m m a b a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（ ）①12π+;②1162+;③122+;④2323-++A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】①当212a b π+=+时，可得1,a b π==，这与,a b Q ∈矛盾， ②()211623232+=+=+232a b ∴+=+ ，可得3,1a b == ，都是有理数，所以正确，③122212222-==-+，2212a b ∴+=-，可得11,2a b ==-，都是有理数，所以正确，④()22323426-++=+=而()2222222a b a b ab +=++ ，,a b Q ∈，()22a b ∴+是无理数，2323∴-++不是集合M 中的元素，只有②③是集合M 的元素. 故选：C3．已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．30【答案】C 【解析】因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．4．选择适当的方法表示下列集合: （1）被5除余1的正整数组成的集合；（2）由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合； （3）方程(x 2－9)x ＝0的实数解组成的集合； （4）三角形的全体组成的集合.【答案】（1）{x|x=5k+1，k ∈N }；（2）{(x ，y )|y ＝－x ＋4，x ∈N ，y ∈N }；（3）{－3，0，3}；（4）{x|x 是三角形}或{三角形}. 【解析】（1）{|51,}x x k k N =+∈； （2）{(,)|4,,}x y y x x N y N =-+∈∈；（3）2(9)00x x x -=⇒=或3x =±，解集为{3,0,3}-， （4）{|x x 是三角形}或写成{三角形}． 5．设A 是由一些实数构成的集合，若a ∈A，则11a- ∈A ，且1∉A ， （1）若3∈A ，求A .（2）证明:若a ∈A ，则11A a-∈.【答案】（1）123,,23A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭;（2）证明见解析.【解析】(1)因为3∈A ， 所以11132A =-∈-， 所以12131()2A =∈--， 所以13213A=∈-，所以123,,23A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭.(2)因为a ∈A ， 所以11A a∈-， 所以1111111a Aa aa-==-∈---.专题2 集合间的基本关系题型一 判断集合的子集（真子集）个数1．设全集{}2250,Q x x x x N =-≤∈，且P Q ⊆，则满足条件的集合P 的个数是（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】D【解析】由不等式2250x x -≤，解得502x ≤≤，即{}{}2250,0,1,2Q x x x x N =-≤∈= 又由P Q ⊆，可得满足条件的集合P 的个数为328=． 故选：D2．已知集合{}220|A x mx x m =-+=仅有两个子集，则实数m 的取值构成的集合为（ ）A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}0,1D ．∅【答案】B【解析】由集合A 仅有两个子集 可知集合A 仅有一个元素.当0m =时,可得方程的解为0x =,此时集合{}0A =,满足集合A 仅有两个子集当0m ≠时,方程220mx x m -+=有两个相等的实数根,则()22240m ∆=--=,解得1m =或1m =-,代入可解得集合{}1A =或{}1A =-.满足集合A 仅有两个子集综上可知, m 的取值构成的集合为{}1,0,1- 故选:B3．非空集合P 满足下列两个条件：（1）P ⊊{1，2，3，4，5}，（2）若元素a ∈P ，则6﹣a ∈P ，则集合P 个数是__． 【答案】6【解析】根据条件：若元素a ∈P ，则6﹣a ∈P ，将集合{1，2，3，4，5}的元素分成三组：3、1和5、2和4． 因为P ⊊{1，2，3，4，5}， 当P 中元素只有一个时，P ＝{3}；当P 中元素只有二个时，P ＝{1，5}或{2，4}； 当P 中元素只有三个时，P ＝{3，1，5}或{3，2，4}； 当P 中元素只有四个时，P ＝{2，4，1，5}；当P 中元素有五个时，P ＝{3，2，4，1，5}不满足题意；综上所述得：则集合P 个数是：6． 故答案为：6．4．定义集合运算：{}|,,⊗==-∈∈A B z z x y x A y B ，若集合{}0,1A =，{}2,3B =，则集合A B ⊗的真子集的个数为_____．【答案】7【解析】由题知：{}3,2,1⊗=---A B 所以集合A B ⊗的真子集个数为3217-=. 故答案为：7题型二 判断两个集合的包含关系及参数问题 1．已知集合2|10Ax x ，则下列式子表示正确的有（ ）①1A ∈；②{}1A -∈；③A ∅⊆；④{}1,1A -⊆. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】因为2{|10}A x x =-=，{1A ∴=-，1}， 对于①，1A ∈显然正确；对于②，{1}A -∈，是集合与集合之间的关系，显然用∈不对； 对于③，A ∅⊆，根据空集是任何集合的子集知正确； 对于④，{1，1}A -⊆．根据子集的定义知正确． 故选：C ．2．已知集合{2,3,1}A =-，集合2{3,}B m =．若B A ⊆，则实数m 的取值集合为（ ） A ．{1} B ．{}3C ．{1,1}-D ．{3,3}【答案】C【解析】因为B A ⊆，所以21m =，得1m =±， 所以实数m 的取值集合为{1,1}-. 故选：C3．若集合A ＝{x |2＜x ＜3}，B ＝{x |（x ﹣3a ）（x ﹣a ）＜0}，且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1＜a ＜2 B ．1≤a ≤2C ．1＜a ＜3D ．1≤a ≤3【答案】B【解析】∵A ＝{x |2＜x ＜3}，B ＝{x |（x ﹣3a ）（x ﹣a ）＜0}，且A ⊆B ， ∴a ＞0，则B ＝{x |a ＜x ＜3a }，∴233a a ≤⎧⎨≥⎩，解得1≤a ≤2，故选：B.4．已知集合{}25A x x =-≤≤，{121}B x m xm =+<<-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围是____. 【答案】3m ≤【解析】依题意得：当B =∅时，121m m +≥-，即2m ≤.当B ≠∅时，12112215m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23m <≤.综上，3m ≤.5．写出下列每组中集合之间的关系： （1）A ={x |-3≤x <5}，B ={x |-1<x <2}．（2）A ={x |x =2n -1，n ∈N *}，B ={x |x =2n +1，n ∈N *}．（3）A ={x |x 是平行四边形}，B ={x |x 是菱形}，C ={x |x 是四边形}，D ={x |x 是正方形}． （4）A ={x |-1≤x <3，x ∈Z }，B ={x |x =y ，y ∈A }． 【答案】（1）BA ；（2）BA ；（3）DB AC ；（4）B A ． 【解析】（1）将两个集合在数轴上表示出来，如图所示，显然有BA ；（2）当n ∈N *时，由x =2n -1知x =1，3，5，7，9，…． 由x =2n +1知x =3，5，7，9，…．故A ={1，3，5，7，9，…}，B ={3，5，7，9，…}，因此B A ；（3）由图形的特点可画出Venn 图，如图所示，从而可得DB AC ；（4）依题意可得：A ={-1，0，1，2}，B ={0，1，2}，所以B A ．6．已知集合{}13A x x =<<，集合{}21B x m x m =<<-． （1）当1m =-时，求A B ； （2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围； （3）若A B =∅，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}23A B x x ⋃=-<<；（2）2m ≤-；（3）0m ≥． 【解析】（1）当1m =-时，{}22B x x =-<<，则{}23A B x x ⋃=-<<；（2）由A B ⊆知122113m m m m ->⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩，解得2m ≤-，即m 的取值范围是(],2-∞-；（3）由A B =∅得①若21m m ，即13m ≥时，B =∅符合题意；②若21m m ，即13m <时，需1311m m ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩或1323m m ⎧<⎪⎨⎪≥⎩． 得103m ≤<或m ∈∅，即103m ≤<．综上知0m ≥题型三 两个集合相等求参数1．已知a R ∈，b R ∈，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20192019a b +的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B【解析】因为{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，所以201b a a a b a ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩，解得01b a =⎧⎨=⎩或01b a =⎧⎨=-⎩，当1a =时，不满足集合元素的互异性， 故1a =-，0b =，()2019201920192019101a b +=-+=-，故选：B.2．设a 、b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=__________．【答案】2 【解析】{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，由于b a -有意义，则0a ≠，则有0a b +=，所以，1ba -=-.根据题意有10b a b ba a ⎧⎪=⎪+=⎨⎪⎪=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，因此，()112b a -=--=.故答案为2.3．已知{}2,,2,4,59∈=-+a x R A x x ，{}23,B x ax a =++，{}2(1)3,1C x a x =++-.求：（1）使2B ∈，BA 的 ,a x 的值；（2）使B C =的 ,a x 的值.【答案】（1）2x =，23a =-或=3x ，74=-a ；（2）1x =-，6=-a 或=3x ，2a =-【解析】（1）因为2B ∈，所以22++=x ax a 又因为BA ，所以259=3-+x x ，解得2x =或=3x当2x =时，422++=a a ，解得23a =-当=3x 时，932++=a a ，解得74=-a所以，2x =，23a =-或=3x ，74=-a ；（2）B C =，221(1)33x ax a x a x ⎧++=∴⎨++-=⎩，解得16x a =-⎧⎨=-⎩或32x a =⎧⎨=-⎩ 所以，1x =-，6=-a 或=3x ，2a =-. 4．由a ，ba，1组成的集合中有3个元素，该集合与由2a ，a+b ，0组成的集合是同一个集合，求20202020a b +的值. 【答案】1【解析】由题意可得集合,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭和集合{}2,,0a a b +为相等集合，则由集合中元素的特点和相等集合的概念可得20110b a a a ba a a ⎧=⎪⎪=+⎪⎨=⎪⎪≠⎪≠⎩联立解得：10a b =-⎧⎨=⎩，所以202020202020(1)01a b +=-+=.5．已知集合,,1b A a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}2,,0B a a b =+，若A B =，求20182019a b +的值．【答案】1【解析】解：因为集合,,1b A a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}2,,0B a a b =+，要使ba有意义，则0a ≠又A B =，由集合相等的充要条件及集合中元素的互异性可得2110a a b a ⎧⎪=⎪≠⎨⎪⎪=⎩，即10a b =-⎧⎨=⎩，即 20182019a b +=20182019(1)01-+=， 故20182019a b +=1.题型四 空集性质及应用1．已知集合{}2|320,A x ax x a =∈-+=∈R R .（1）若集合A 是空集，求a 的取值范围；（2）若集合A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个集合A 写出来. 【答案】（1）9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）0a =，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭或98a =，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭【解析】解析（1）要使集合A 为空集，则方程2320ax x -+=无实数根， 当0a =时，得23x =不满足题意；则有0980a a ≠⎧⎨∆=-<⎩解得98a >.故a 的取值范围是9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）当0a =时，方程为320x -+=，解得23x =为一个解满足题意，此时23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭； 当0a ≠时，方程为一元二次方程，此时集合A 中只有一个元素的条件是980a ∆=-=，解得98a =，此时43x =，则得43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. 综上可得：0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.2．已知集合A ={x |ax 2+2x +1=0，a ∈R }，（1）若A 只有一个元素，试求a 的值，并求出这个元素； （2）若A 是空集，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围． 【答案】（1）详见解析；（2）1a >；（3）0a =或1a ≥【解析】（1）若A 中只有一个元素，则方程ax 2+2x +1=0有且只有一个实根， 当a =0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x =-12， 当a ≠0，此时△=4-4a =0，解得：a =1，此时x =-1， （2）若A 是空集， 则方程ax 2+2x +1=0无解，此时△=4-4a ＜0，解得：a ＞1. （3）若A 中至多只有一个元素， 则A 为空集，或有且只有一个元素，由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是：a =0或a ≥1. 题型五 根据集合相等关系进行计算1．设,R a b ∈，集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -等于（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】D【解析】两个集合相等，则集合中的元素相同，0a ≠ ，所以0a b +=，则1ba=-，那么1b =，和1a =-， 所以2b a -=. 故选：D2．已知集合{}13A x =,,，{}21B x =-,. （1）若集合{}14M y =,,，A M =，求x y +的值； （2）是否存在实数x ，使得B A ⊆?若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）19x y +=；（2）不存在实数x ，见解析 【解析】（1）由题可知4,3,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以16,3,x y =⎧⎨=⎩所以19x y +=.（2）假设存在实数x 使得B A ⊆， 则23x -=或2x x -=.若23x -=，则1x =-，此时x 没有意义，舍去. 若2x x -=，则()()222x x-=，化简得2540x x -+=，解得1x =或4x =（舍），当1x =时，不符合集合中元素的互异性，舍去. 故不存在实数x ，使得B A ⊆. 3．已知关于x 的方程322126x x a x -+-=-与2136x a x a+--=有相同的解集，求a 的值及方程的解集.【答案】1a =，方程的解集为{1} 【解析】解：方程322126x x a x -+-=-化为63(32)62x x x a --=--， 整理，得13152x a =-，解得15213ax -=.方程2136x a x a+--=化为2(2)()6x a x a +--=, 整理，得336x a =-+，解得2x a =-+. 由题意，得152213aa -=-+，解得1a =，所以1x =. 综上，1a =，方程的解集为{1}. 4．已知关于x 的方程442313a x x ++=-的解集为A ，关于x 的方程340x a --=的解集为B ，若A B =，求a 的值. 【答案】1a =-【解析】解：由方程442313a x x ++=-，解得4413a x +=+，即4413a A +⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭， 由方程340x a --=，解得43a x +=，即43a B +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.又A B =，所以444133a a +++=，解得1a =-. 5．若{0,1,2}{1,||,1}a a a a -=--+，求a 的值. 【答案】1a =或1a =-.【解析】由题意知，()1当10a -=时，1a =，此时{0,1,2}{0,1,2}-=-符合题意；()2当11a -=-时，0a =，此时{0,1,0}-不符合集合中元素的互异性，（舍去）； ()3当12a a -=时，1a =-，此时{0,1,2}{2,1,0}--=--，符合题意；综上可知，1a =或1a =-.专题3 集合的基本运算题型一 根据交集结果求集合或参数1．设全集U =R ，已知集合{|3A x x =<或9}x ，集合{|}B x x a =，若()U A B ⋂≠∅，则a 的取值范围为（ ） A ．3a > B ．3a C ．9a < D ．9a【答案】C【解析】因为全集U =R ，集合{|3A x x =<或9}x ， 所以{|39}UA x x =<，又因为()U A B ⋂≠∅，{|}B x x a =9a ∴<.故选：C2．已知集合A ={x |2<x <4}，B ={x |a <x <3a }．若A ∩B ={x |3<x <4}，则a 的值为_______．【答案】3【解析】由A ={x |2<x <4}，A ∩B ={x |3<x <4}， 如图，可知a =3，此时B ={x |3<x <9}，即a =3为所求． 答案：33．已知全集U ＝R ，A ＝{x |2≤x ＜7}，B ＝{x |x 2﹣10x +9＜0}，C ＝{x |a ＜x ＜a +1}． （1）求A B ，()U A B ；（2）如果A C ⋂=∅，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}|19A B x x =<<，(){|12U A B x x =<<或}79x ≤<；（2）{|1a a ≤或}7a ≥．【解析】（1）{}|27A x x =≤<，{}|19B x x =<<， 所以{}|19A B x x =<<，{|2UA x x =<或}7x ≥，(){|12UA B x x =<<或}79x ≤<。
