高一数学教案：《函数模型及其应用》人教A版必修

函数模型的运用实例(第一课时)【教学设计】一、教学内容本课是普通高中课程标准实验教科书（人民教育出版社A版）数学1（必修），3.2.2 函数模型的运用实例的第一课时。

经过对例3，例4的教学让先生学习领会利用已知的函数模型解决成绩和建立确定的函数模型解决理论成绩，进而掌握建立数学模型解决理论成绩的普通步骤。

二、教学目标知识与技能目标：1.能根据图象和表格提供的有关信息和数据，发掘隐含条件，建立函数模型；2.领会分段函数模型的理论运用，规范分段函数的标准方式；3.掌握用待定系数法求解已知函数类型的函数模型；4.学会验证数学模型与理论情况能否吻合的方法及运用数学模型进行预测。

5.会利用建立的函数模型解决理论成绩，掌握求解函数运用题的普通步骤；6.培养先生浏览理解、分析成绩、数形结合、抽象概括、数据处理、数学建模等数学能力.过程与方法目标：1.经过实例分析，巩固练习,结合多媒体教学，培养先生读图的能力；2.经过实例使先生感受函数的广泛运用，领会建立函数模型解决理论成绩的普通过程；3.浸透数形结合、转化与化归等数学思想方法.情感、态度与价值观目标：1.经过切身感受数学建模的过程，让先生体验数学在理论生活中的运用，领会数学来源于生活又服务于生活，体验数学在解决理论成绩中的价值和作用，激发学习数学的兴味与动力，加强学好数学的认识。

2.培养先生的应意图识、创新认识和勇于探求、勤于考虑的精神，优化先生的理性思想和求真务虚的科学态度。

三、教材分析本课时共有2个例题，其中例3是根据图形信息建立确定的函数模型解决理论成绩；例4 是利用已知的确定的函数模型解决理论成绩，并验证求解出的数学模型与理论情况的吻合程度及用数学模型进行预测。

分别在汽车和人口成绩这两种不同运用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决理论成绩.教学重点1.根据图形信息建立函数模型解决理论成绩.2.用待定系数法求解函数模型并运用.3.将理论成绩转化为数学成绩的过程。

<<函数模型的应用举例>>教学设计教学目标 （1）知识目标1. 通过一些实例，来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用；2. 初步了解对统计数据表的分析与处理. （2)情感目标1、引导学生从实际问题中发现问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。

2、让学生体会数学在实际问题中的应用价值。

教学重点建立和拟合函数模型解决实际问题。

教学难点选择拟合度高的函数模型。

教学方法启发式引导，讨论式课堂模式。

教学过程（一）导入新课一辆汽车在水平的公路上匀加速行驶，初速度为v 0,加速度为a,那么经过t 小时它的速度为多少？在这t 小时中经过的位移是多少？试写出它们函数解析式，它们分别属于那种函数模型？v=v 0+at,s=v 0t+21at 2,它们分别属于一次函数模型和二次函数模型. 归纳：不仅在物理现象中用到函数模型，在其他现实生活中也经常用到函数模型，今天我们继续讨论函数模型的应用举例. 前面我们学习了函数模型的应用，今天我们在巩固函数模型应用的基础上进一步讨论函数拟合问题.（二）推进新课 新知探究、提出问题例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如下表所示:销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?解：根据上表,销售单价每增加1元,日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x 元后,日均销售利润为y 元,而在此情况下的日均销售量就为 480－40(x －1)=520－40x(桶).由于x ＞0,且520－40x ＞0,即0＜x ＜13, 于是可得y=(520－40x)x －200=－40x 2+520x －200,0＜x ＜13. 易知,当x=6.5时,y 有最大值.所以,只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的利润. 点评：二次函数模型是现实生活中最常见数学模型.找出实际问题中涉及的函数变量→根据变量间的关系建立函数模型→利用模型解决实际问题。

3.2函数模型及其应用新人教A版必修1优秀教案3.2.1几类不同增长的函数模型整体设计教学分析函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幕函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题•课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的•三维目标1•借助信息技术，禾U用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幕函数的增长差异•2•恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题•3•让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣重点难点教学重点：认识指数函数、对数函数、幕函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同•教学难点：应用函数模型解决简单问题•课时安排2课时教学过程第1课时几类不同增长的函数模型导入新课思路1.(事例导入)一张纸的厚度大约为0.01 cm, 一块砖的厚度大约为10 cm ,请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n=20时它们的厚度•你的直觉与结果一致吗？解：纸对折n 次的厚度：f(n)=0.01 2n(cm),n 块砖的厚度:g(n)=10n(cm),f(20) ~ 105 m,g(20)=2 m. 也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解思路2.(直接导入)请同学们回忆指数函数、对数函数以及幕函数的图象性质，本节我们通过实例比较它们的增推进新课新知探究提出问题①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.②正方形的边长为x,面积为y,把y表示为x的函数.③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力湿地每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y,把y表示为x的函数.④分别用表格、图象表示上述函数.⑤指出它们属于哪种函数模型•⑥讨论它们的单调性.⑦比较它们的增长差异.⑧另外还有哪种函数模型•活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路•①总价等于单价与数量的积•②面积等于边长的平方•③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、….④列表画出函数图象•⑤引导学生回忆学过的函数模型•⑥结合函数表格与图象讨论它们的单调性•⑦让学生自己比较并体会•⑧另外还有与对数函数有关的函数模型•讨论结果：①y=x.②y=x2.③y=(1+5%)x,④如下表x123456y=x1234562y=x149162536xy=(1+5%) 1.05 1.01 1.16 1.22 1.28 1.34⑤它们分别属于：y=kx+b(直线型),y=ax2+bx+c(a工抛物线型)，y=ka x+b(指数型)•⑥从表格和图象得出它们都为增函数•⑦在不同区间增长速度不同，随着x的增大y=(1+5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数•⑧另外还有与对数函数有关的函数模型形如y=log a x+b,我们把它叫做对数型函数•应用示例思路1例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番•请问，你会选择哪种投资方案？活动：学生先思考或讨论，再回答•教师根据实际，可以提示引导：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y=40(x € N*)进行描述；方案二可以用函数y=10x(x € N*)进行描述；方案三可以用函数y=0.4 *-1(x € N*)进行描述•三个模型中，第一个是常函数，后两个都是递增函数模型•要对三个方案作出选择，就要对它的增长情况图 3-2-1-4由表和图（3214）可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方 案二与方案三的函数的增长情况很不相同•可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变， 而方案三是 指数增长”其增长量”是成倍增加的，从第 7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的•从每天所得回报看，在第 1〜3天，方案一最多；在第 4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第 5〜8天方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过 2亿元.天数 回捲/元12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -一- 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 -——二10 30 60 100 150 210180 360450550660_ -0.41.22.8612.425.250.8102 204.4 409.2 818.8因此，投资1〜6天，应选择方案一；投资 7天，应选择方案一或方案二；投资 8〜10天,应选择方案二；投资 11天（含11天）以上，则应选择方案三• 针对上例可以思考下面问题：① 选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数 ② 课本把两种回报数都列表给出的意义何在？ ③ 由此得出怎样结论•答案:①选择哪种方案依据的是累积回报数•X 天 万案一万案二 万案三 y/元 增加量/元 y/元增加量/元 y/元 增加量/元1 40100.42 40 0 20 10 0.8 0.43 40 0 30 10 1.6 0.84 40 0 40 10 3.2 1.65 40 0 50 10 6.4 3.26 40 0 60 10 12.8 6.47 40 0 70 10 25.6 12.8 8 40 0 80 10 51.2 25.69 40 0 90 10 102.4 51.2 104010010204.8102.430 40 0300 10 214748364.8107374182.4再作出三个函数的图象（3-2-1-4）.t ^=0.4^2*-1 J 进行分析•我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况y4(>20mSD604020I』------- 芒 --------- 尸40②让我们体会每天回报数增长变化•③上述例子只是一种假想情况，但从中我们可以体会到，不同的函数增长模型，其增长变化存在很大差异.变式训练某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：全球通使用者先缴50元基础费，然后每通话1分钟付话费0.4元；神州行不交月基础费，每通话1分钟付话费0.6元，若设一个月内通话x 分钟，两种通讯业务的费用分别为y i元和y2元，那么(1) 写出y i、y2与X之间的函数关系式；(2) 在同一直角坐标系中画出两函数的图象；(3) 求出或寻求出一个月内通话多少分钟，两种通讯业务费用相同；(4) 若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯业务较合算.思路分析：我们可以先建立两种通讯业务所对应的函数模型，再通过比较它们的变化情况，为选择哪种通讯提供依据.(1)全球通的费用应为两种费用的和，即月基础费和通话费，神州行的费用应为通话费用；⑵运用描点法画图，但应注意自变量的取值范围；(3)可利用方程组求解，也可以根据图象回答；(4)寻求出当函数值为200元时，哪个函数所对应的自变量的值较大.解：(1)y1=50 + 0.4x(x >,0)y2=0.6x(x > 0).(2) 图象如图(3-2-1-5)所示.」M元200图3-2-1-5(3) 根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250,所以在一个月内通话250分钟时，两种通讯业务的收费相同.(4) 当通话费为200元时，由图象可知，y1所对应的自变量的值大于y2所对应的自变量的值，即选取全球通更合算.另解：当y1=200 时有0.4x + 50=200, A X1=375 ；七1000 1000当『2=200 时有0.6X=200,X2= .显然375> ,3 3A选用全球通更合算.点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型例2某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着利润X(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log 7X+1,y=1.002 x,其中哪个模型能符合公司的要求？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%,由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是只需在区间］10,1000 ］上，检验三个模型是否符合公司要求即可.不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果图3-2-1-6观察函数的图象，在区间］10,1 000］上，模型y=0.25x,y=1.002X的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log 7X+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7X+1进行奖励时才符合公司的要求.下面通过计算确认上述判断.首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y=0.25x，它在区间］10,1 000］上递增，而且当x=20时，y=5,因此，当x>20时，y>5,所以该模型不符合要求；对于模型y=1.002x,由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805, 806)内有一个点X。

课题：§3.2.2函数模型的应用实例〔一〕教材分析本节课选自?普通高中课程标准实验教科书数学1必修本〔A版〕?的第三章的3.2.2函数模型的应用实例函数模型及其应用是中学重要内容之一，又是数学与生活理论互相衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数模型的应用本质是提醒了客观世界中量的互相依存有互有制约的关系，因此函数模型的应用举例有着不可替代的重要位置，又有重要的现实意义。

本节课要求学生利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进展简单的分析评价学情分析学生在学习本节内容之前已经学习了几类不同增长的函数模型，学会了任何选择适当的函数模型分析和解决实际问题，对函数模型增长变化有了较深入的认识。

这为建立函数模型解决实际问题提供了支持。

但学生对于从实际应用问题获取信息转化为数学问题的才能较薄弱，给建立函数模型带来了一定的难度。

因此在教学中应该给学生多阅读，多考虑，由易到难逐层引导提问，理解问题的本质从而得出结论。

教学目的：知识与技能可以利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题．过程与方法感受运用函数概念建立模型的过程和方法，对给定的函数模型进展简单的分析评价．情感、态度、价值观体会数学在实际问题中的应用价值．教学重点、难点：重点利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题．难点利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进展简单的分析评价．设计思想一、创设情境现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需要我们利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进展分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度，并对给定的数学模型进展适当的分析和评价．设计意图老师介绍现实生活中函数应用的典型题型，提出研究内容与研究方法引出问题．二、组织探究例1．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如下图．1）求图中阴影局部的面积，关说明所求面积的实际含义；2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2021km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s与时间t的函数解析式，并作出相应的图象．012345让学生主动参与，认真观察分析所给图象，独立考虑后，讨论，老师可以作以下引导 首先引导学生写出速度v 关于时间t 的函数解析式其次引导学生写出汽车行驶路程y 关于时间t 的函数关系式，并作图象再次探究：1〕将图中的阴影局部隐去，得到的图象什么意义？2〕图中每一个矩形的面积的意义是什么？3〕汽车的行驶里程与里程表读数之间有什么关系？它们关于时间的函数图象又有何关系？ 设计意图学会将实际问题转化为数学问题．学会用函数模型〔分段函数〕刻画实际问题．培养学生的读图才能，让学生理解图象是函数对应关系的一种重要表现形式例2．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供根据．早在1798，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：其中t 表示经过的时间，0y 表示t =0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率．下表是1950~1959年我国的人口数据资料：〔单位：万人〕年份1950 1951 1952 1953 1954 人数 55196 56300 57482 58796 60266年份 1955 1956 1957 1958 1959 人数 61456 62828 64563 65994 672071〕假如以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率〔准确到0.0001〕，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的详细人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；2〕假如按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将到达13亿？认真阅读题目，老师指出本例的题型是利用给定的数学模型〔指数函数模型rt e y y 0 〕解决实际问题的一类问题，引导学生认识到确定详细函数模型的关键是确定两个参数0y 与r ．学生独立考虑后，老师作以下提问1） 本例中所涉及的数量有哪些？2） 描绘所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？3） 根据表中数据如何确定函数模型？v 〔km/h 〕t 〔h 〕4） 对于所确定的函数模型怎样进展检验，根据检验结果对函数模型又应作出如何评价？ ５〕如何根据所确定函数模型详细预测我国某个时期的人口数，本质是何种计算方法？ 学生根据老师引导，完成数学模型确实定，借助计算器，利用所确定的函数模型对我国的人口增长情况进展适当的预测老师在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图象，并由表中数据作出散点图，通过比拟来确定函数模型与人口数据的吻合程度．设计意图通过本例让学生认识到表格也是函数对应关系的一种表现形式．培养学生得阅读才能，分析才能三、探究研究引导学生分析例题，进展总结归纳利用给定函数模型或建立确定函数解决实际问题的方法：1〕根据题意选用恰当的函数模型来描绘所涉及的数量之间的关系；2〕利用待定系数法，确定详细函数模型；3〕对所确定的函数模型进展适当的评价；4〕根据实际问题对模型进展适当的修正．设计意图浸透数学思想方法，培养学生读图、分析数据、概括、总结等诸多方面的才能。