上海中学2016-2017学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析

2016-2017学年上海中学高一（下）期中数学试卷

一.填空题

1．已知角θ的终边在射线y=2x（x≤0）上，则sinθ+cosθ= ．

2．若，则= ．

3．函数的最小正周期为

．

4．在△ABC中，若，则△ABC为

三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）

5．若，，则tanαtanβ=

．

6．已知，则x= （用反正弦表示）

7．函数y=2sin2x﹣3sinx+1，的值域为 ．

8．将函数y=cos2x﹣sin2x的图象向左平移m个单位后，所得图象关于原点对称，则实数m的最小值为 ．

9．若函数y=sin3x+acos3x的图象关于对称，则a= ．

10．若函数f（x）=sinx和定义域均是，则它们的图象上存在 个点关于y轴对称．

11．已知k是正整数，且1≤k≤2017，则满足方程sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°•sin2°…sink°的k有 个．

12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B，其中A、B、ω、φ均为实数，且A＞0，ω＞0，|φ|＜，写出满足f（1）=2，，f（3）=﹣1，f（4）=2的一个函数f（x）= （写出一个即可）

二.选择题

13．若﹣＜α＜0，则点（cotα，cosα）必在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

14．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（ ） A．y=tan|x| B．y=cos（﹣x） C． D．y=|cot|

15．将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（ ）

A．t=，s的最小值为 B．t=，s的最小值为

C．t=，s的最小值为 D．t=，s的最小值为

16．若α、β∈，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下面结论正确的是（ ）

A．α＞β B．α+β＞0 C．α＜β D．α2＞β2

三.简答题

17．求证：﹣2cos（α+β）=．

18．已知，．

（1）求tanθ的值；

（2）求的值．

19．写出函数的值域、单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标（只需写出答案即可），并用五点法作出该函数在一个周期内的图象．

20．已知集合A={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1）}，．

（1）求证：g（x）∈A；

（2）g（x）是周期函数，据此猜想A中的元素一定是周期函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论；

（3）g（x）是奇函数，据此猜想A中的元素一定是奇函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论．

21．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，其图象的一个对称中心为，将函数f（x）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．

（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；

（2）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2017个零点．

2016-2017学年上海中学高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.填空题

1．已知角θ的终边在射线y=2x（x≤0）上，则sinθ+cosθ= ﹣ ．

【考点】G9：任意角的三角函数的定义．

【分析】根据三角函数的定义，直接求出sinθ和cosθ

【解答】解：在射线y=2x（x≤0）上任取一点（﹣1，﹣2），

∴r==，

∴sinθ==，cosθ==，

∴sinθ+cosθ=﹣，

故答案为：．

2．若，则=

sin ．

【考点】GI：三角函数的化简求值．

【分析】利用二倍角的余弦公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，化简所给的式子，可得结果．

【解答】解：若，则==

=|sin|=，

故答案为：sin．

3．函数的最小正周期为

．

【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．

【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的周期等于 T=，得出结论．

【解答】解：函数的最小正周期为，

故答案为：．

4．在△ABC中，若，则△ABC为 直角 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）

【考点】GI：三角函数的化简求值．

【分析】诱导公式、两角和的正弦公式求得sin（A+B）=sinC=1，C为直角，从而得出结论．

【解答】解：△ABC中，∵，即sinAcosB=1﹣sinBcosA，

∴sin（A+B）=sinC=1，∴C=，

故△ABC为直角三角形，

故答案为：直角．

5．若，，则tanαtanβ=

．

【考点】GP：两角和与差的余弦函数．

【分析】由已知利用两角和与差的余弦函数公式可得cosαcosβ﹣sinαsinβ=，cosαcosβ+sinαsinβ=，联立解得cosαcosβ，sinαsinβ，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．

【解答】解：∵，， ∴cosαcosβ﹣sinαsinβ=，cosαcosβ+sinαsinβ=，

∴联立，解得：cosαcosβ=，sinαsinβ=，

∴tanαtanβ==．

故答案为：．

6．已知，则x=

（用反正弦表示）

【考点】H2：正弦函数的图象．

【分析】本题是一个知道三角函数值及角的取值范围，求角的问题，由于本题中所涉及的角不是一个特殊角，故需要用反三角函数表示出答案

【解答】解：由于arcsin 表示上正弦值等于的一个锐角，

由，则x=，

故答案为：．

7．函数y=2sin2x﹣3sinx+1，的值域为 ．

【考点】HW：三角函数的最值．

【分析】令sinx=t，求出t的范围，得出关于t的二次函数，利用二次函数的性质求出最值即可．

【解答】解：令sinx=t，则y=2t2﹣3t+1=2（t﹣）2﹣，

∵x∈[，]，∴t∈[，1]，

∴当t=时，y取得最小值﹣，

当t=或1时，y取得最大值0．

故答案为：．

8．将函数y=cos2x﹣sin2x的图象向左平移m个单位后，所得图象关于原点对称，则实数m的最小值为

．

【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m的最小值．

【解答】解：把函数f（x）=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）象向左平移m（m＞0）个单位，

可得y=cos（2x+2m+）的图象，

根据所得函数图象关于原点对称，可得2m+=kπ+，k∈Z，

即m=+，则m的最小值为，

故答案为：

9．若函数y=sin3x+acos3x的图象关于对称，则a= ﹣ ．

【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．

【分析】利用三角恒等变换得出y=sin（3x+φ），根据对称轴得出φ的值，再利用sinφ=﹣得出a的值．

【解答】解：y=sin（3x+φ），其中，sinφ=，cosφ=，

∵函数图象关于x=﹣对称，

∴﹣+φ=+kπ，即φ=+kπ，k∈Z．

∵cosφ=＞0，

∴φ=﹣+2kπ，∴sinφ=﹣，

∴=﹣，解得a=﹣． 故答案为：．

10．若函数f（x）=sinx和定义域均是，则它们的图象上存在

2 个点关于y轴对称．

【考点】H2：正弦函数的图象．

【分析】根据题意，在同一坐标系中画出函数f（x）=sinx和的图象，

其中x∈，根据函数图象即可得出结论．

【解答】解：在同一坐标系中画出函数f（x）=sinx和的图象，

其中x∈，如图所示；

则f（x）的图象上存在2个点关于y轴对称，分别是（﹣π，0）和（π，0）与（0，0）；

g（x）的图象上存在2个点关于y轴对称，分别是（﹣π，﹣）和（π，﹣）与（，0）．

故答案为：2．

11．已知k是正整数，且1≤k≤2017，则满足方程sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°•sin2°…sink°的k有 11 个．

【考点】GI：三角函数的化简求值．

【分析】由三角函数的值域可知，除k=1外当等式sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°•sin2°…sink°的左右两边均为0时等式成立，由此可得正整数k的个数． 【解答】解：由三角函数的单调性及值域，可知sin1°•sin2°…sink°＜1．

∴除k=1外只有当等式sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°•sin2°…sink°的左右两边均为0时等式成立，

则k=1、359、360、719、720、1079、1080、1439、1440、1799、1800时等式成立，

满足条件的正整数k有11个．

故答案为：11．

12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B，其中A、B、ω、φ均为实数，且A＞0，ω＞0，|φ|＜，写出满足f（1）=2，，f（3）=﹣1，f（4）=2的一个函数f（x）= sin（x﹣）+ （写出一个即可）

【考点】H2：正弦函数的图象．

【分析】根据题意得出f（x）满足的条件，求出A、ω、φ对应的值即可写出f（x）的解析式．

【解答】解：根据题意，函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B是周期函数，

且满足，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜，

∴sin（4ω+φ）=sin（ω+φ），

∴4ω+φ=ω+φ+2kπ，k∈Z，

∴ω=，k∈Z，取ω=；

∴Asin（+φ）+B=2①且Asin（2π+φ）+B=﹣1②；

∴①﹣②得A=3

∴A（cosφ﹣sinφ）=3

∴A（coscosφ﹣sinsinφ）=

∴Acos（φ+）=

令A=，则φ=﹣；

∴写出满足条件的一个函数为