2024年七年级数学下册培优——平行线中的拐角问题
在七年级的平行线的学习中，经常会遇到一些拐角的问题，会出
现一个拐点甚至多个拐点的问题，人们往往会根据拐角的形状分为4
到5个基本模型，针对各种模型会得出不同的结论，但在实际应用中，
往往一部分同学只会记住结论而忽视了学习数学的方法，应该更重要
的是找出其中所蕴含的方法，淡化模型与结论。在本文中将与大家一
起探讨一下这一类问题。在拐角问题中，往往有以下几种基本图形：
这一类图形的主要特点是在一组平行中存在一个点E，而形成了一个“拐角”。我们将利用
的是平行线的性质探讨图形中几个角之间存在怎样的数量关系，一般的处理方法是在拐点处
作平行线，再利用平行线的性质来解决：（1）如图，过E作AB的平行线MN，
（平行线的传递性）MNCD
MNABCDAB
//
////
21
212//1//
BED
BEDDMNCDBMNAB
（2）过点E作EF//AB
（平行线的传递性）EFCD
EFABCDAB
//
////
360
211802//1801//
DBBED
BEDDEFCDBEFAB
（3）过点E作EF//AB
（平行线的传递性）EFCD
EFABCDAB
//
////
BCDEBED
DEFBEDDEFCDEEFCDBEFAB
1//1//
（4）过点E作EF//AB
（平行线的传递性）EFCD
EFABCDAB
//
////
DBBED
BEFBEDDEFCDBBEFEFAB
11////综合应用：
例1：如图，已知直线
21//ll，直线
3l交
1l于点C，交
2l于点D，P是直线CD上的一个动点，
当P在直线CD上运动时，请你探究321，，之间的关系。
分析：在本题中要注意两个关键点：（1）点P在直线CD上运动，这里说的是直线上运动，
专题01平行线间的拐点问题
类型一：“猪蹄”模型类型二：“铅笔”模型类型三：“鹰嘴”模型平行线间的拐点问题均过拐点作平行线的平行线，有多少个拐点就作多少条平行线。一．选择题1．（2023•新城区校级一模）如图，直线m∥n，含有45°角的三角板的直角顶点O在直线m上，点A在直
线n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）
A．15°B．25°C．35°D．45°
【分析】过B作BK∥m，推出BK∥n，由平行线的性质得到∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，求出∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝25°，即可得到∠2＝25°．
【解答】解：过B作BK∥m，
∵m∥n，
∴BK∥n，
∴∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，
∵∠ABO＝45°，
∴∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝45°﹣20°＝25°，
∴∠2＝∠ABK＝25°．
故选：B．
2．（2023•海南）如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，点C在直线n上．若∠1＝50°，
则∠2的度数是（）
A．60°B．50°C．45°D．40°
【分析】根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BDC，然后直角三角形的性质，即可求得∠2的度数．
【解答】解：延长AB交直线n于点D，
∵m∥n，∠1＝50°，
∴∠1＝∠BDC＝50°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠BDC＝90°﹣50°＝40°，
故选：D．
3．（2023秋•渝中区校级期中）如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠EFD＝32°，则∠BGE的度数是（）
A．62°B．58°C．52°D．48°
【分析】过点E作AB的平行线HI，利用平行线的性质即可求解．
【解答】解：过点E作直线HI∥AB．
∵AB∥CD，AB∥HI，∠EFD＝32°，
∴CD∥HI，
∴∠HEF＝∠EFD＝32°，
∵GE⊥EF于点E，
∴∠GEF＝90°，
∴∠GEH＝∠GEF﹣∠HEF＝90°﹣32°＝58°，
∵AB∥HI，
∴∠BGE＝∠GEH＝58°．
如图1，直线AC∥BD，直线AC、BD及直线AB把平面分成（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）六个部分．点P是其中的一个动点，连接PA、PB，观察∠APB、∠PAC、∠PBD三个角．规定：直线AC、BD、AB上的各点不属于（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）六个部分中的任何一个部分．
当动点P落在第（1）部分时，可得：∠APB=∠PAC+∠PBD，请阅读下面的解答过程，并在相应的括号内填注理由
过点P作EF∥AC，如图2
因为AC∥BD（已知），EF∥AC（所作），
所以EF∥BD______．
所以∠BPE=∠PBD______．
同理∠APE=∠PAC．
因此∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD______，
即∠APB=∠PAC+∠PBD．
（1）当动点P落在第（2）部分时，∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系是怎样的？请直接写出∠APB、∠PAC、∠PBD之间满足的关系式，不必说明理由．
（2）当动点P在第（3）部分时，∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论．
（3）当动点P在第（4）部分时，∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论．
2、如图，已知直线a∥c,且c和a,、b分别交于M、N两点,点P在AB上.
①试找出∠1,∠2,∠3之间的关系,并说出理由.
②如果点P在A,B两点之间运动,问∠1,∠2,∠3的关系是否变化.
③如果点p在线段AB外侧运动时,试探究∠1,∠2,∠3之间的关系,不用说理由（点P和A,B不重合）
b a A
B N M d c
b a A
B N M d c P
b a A
B N M d c
平行线中的拐点问题
学习目标：
1.能正确解决常见的拐点问题。
2.灵活应用平行线的性质与判定解决相关问题。
复习回顾：
1.如图（1），ABA、1800 B、 2700 C、 3600 D、5400
2.如图（2），AB∥CD，则x，y，z之间的关系是（ ）
A、x+y+z=360°
B、x-y+z=180°
C、x+y-z=180°
D、y+z-x=180°
A
E
C D
方法指导：解决平行线中的拐点问题，常用方法为：根据题目中已知的平行线和“拐点“的情况，在“拐点”处作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质得到相应的结论。
合作探究一：
（1）已知：如图1，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED；
（2）已知：如图2，AB∥CD，试探求∠B、∠D与∠E之间的数量关系，并说明理由．
（3）已知：如图3，AB∥CD，试探求∠B、∠D与∠E之间的数量关系，并说明理由． B
合作探究二：
已知：如图，AB
图，已知AC∥BD，∠CAE=30°，∠DBE=35°，则∠AEB等于（ ）
A．30° B．45° C．65° D．75°
拓展提升：如图，已知AB∥DE，BF，EF分别平分∠ABC与∠CED，若∠BCE=140°，求∠BFE的度数．
