中考数学几何模型专题专题十—经典模型

IA2020中考专题10——最值问题之阿氏班级________姓名____________ . 【模型解析】“阿氏圆”樓型——u PA + k PB M型最值♦条件：A、B为定点,P为ΘO±一个动A, —= k (0<i<l). OB♦问題:求PA^k PB的最小血并预出点P的位置・CP ∙k PB•所以PA + k PB∙PAYP≥AC,当P为AC与GlO的交点时■ PA^kPB的最小置为AC・【例題分析】2例 1.⅛ Rt∆ABC 中P ZACB=90β , AC=4, BC=3,点 D 为AABC 内一动点■满足CD=2,求AD÷ jBD 的最小值•例2•问题提出：如图h在RtΔ^5C中.ZACB=90°. CB=A, CA≈69 CDC半径为2, P为SI上一动点，连结肿、BP9求AP丄BP的最小值.2图2图3√2 2尝试解决，为了解决这个问題，下面给出一种耘題思路：如图2,连按CP,在CB 上取点D,使CDCP1PD 1 1CD=I,则有一=—=-,Xv ZPCD=ZBCP, ΛΔPCDS≤ΔJCP, — = -, APD=-BP, CPCB2 BP 2 2：.AP--BP^AP^PD.2请你芫成余下的思考，芥直按写出答案，AP +I BP 的最小值为 ______________ .2自主探索：在“问题提出"的条件不变的情况下，^AP^BP 的最:、值为 ______________ . 拓展延伸：己知扇形CoD 中，ZCOD=90°, OC=6, 0Λ=3f 0B≡5f 点P 是弧CD 上一点,求的最小值.【巩固训练】2•如BB 2,在Rt∆ABC 中∙ ZB=90t ∙ AB=CB=2,以点B 为圆心作HIB 与AC 相切.点P 为OaB 上任3•如图3,己知点P 是边长为6的正方形ABCD 内SC —动点・PA=3■求PC÷- PD 的量小值为.—动点.则PA∙PC 的最小值是 __________1 •如图 1,在 Rt∆ABC 中，ZACB=90∙ , CB=4, CA=6, HIC 半径为 2,点 P 为21上一动点，连按 AP,国45•如图5,己知点A (4, 0), B (4, 4力点P 在半径为2的圆0上运动•试求丄AP+BP 的最小值• 26•如旳6,己知点A (-3^ 0) ,B (03), C C1, 0),若点P 为ElCJz 的一気 试求, CI)1AP ÷BP ^^5 ⑵的最小值.7.如图 7,扼物线y=-χ2+bx-^c 与直线 AB 交于 A(-4,-4), B(0, 4)两点，直线 AC ： V = -^X-6 交y 轴于点C,点E 是直线AB ±的动点，过点E 作EF 丄X 轴交AC 于点F,交拋物线于点G(I) 求牠物线y = -x 2+bx + C 的表达式；4•如EB 4,己知［S O 半径为1, AC. BD 为切线，AC=1, BD=2, P 为弧AB 上一动点试求√2 2PC÷PD留5国6(2) 连按GB, EO,当四边形GEOB 是平行四边形时， 求点G 的坐标：(3) ①在y 轴上存在一点H,连按EH, HF,当点E 运动到什么住置时，以A. E l F, H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点匕H 的坐标： ②在①的前提下，以点E 为El 心，EH 长为半径作Eh 点M 为EIE 上一动点，求ZAM 十CM 的最小值.2图72020中考专题10——最值问題之阿氏圆 参考答案CD 2 例1・分析：由C 为定点D 为动点可知CD 的运动轨迹为以C 为图心半径为2的匮。

中考几何综合压轴题十大模型包括：
1. “12345”模型：适用于和为30度、60度的证明，以及倍长中点的相关证明。

2. “半角”模型：说明上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

3. “角平分线”模型：角平分线定理的应用，以及角平分线+垂线=等腰三角形，角分线+平行线=等腰三角必呈现等的应用。

4. “手拉手”模型：适用于两个等腰三角形，顶角相等，顶点重合的情况，可以证明三角形全等，手的夹角相等，顶点连手的交点得平分。

5. “将军饮马”模型：最短路径问题，适用于解决两点之间距离最短的问题。

6. “中点”模型：中点旋转的模型，可以解决旋转全等问题。

7. “垂直”模型：垂直也可以做为轴进行对称全等。

8. “旋转全等”模型：通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

9. “自旋转”模型：遇60度旋60度，造等边三角形；遇90度旋90度，造等腰直角。

10. “共旋转”模型：通过“8”字模型可以证明。

以上就是中考几何综合压轴题的十大模型，希望对你有所帮助。

专题10.“十字架模型”一．知识点:1.正方形内部，BF⊥CE，则BF＝CE（无论怎么变，只要垂直，十字架就会相等）2.如图：在矩形ABCD中，点F是AD上一点，DE ⊥CF ，则有二．典型例题1.如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM ⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值．2.已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：△ADE∽△DCF；（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC 满足什么关系时，成立？并证明你的结论；（3）如图③，若BA＝BC＝6，DA＝DC＝8，∠BAD ＝90°，DE⊥CF ，请直接写出的值．三．变式练习1.如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，EG⊥FH，连接EF、FG、GH、HE，若EG＝8，求,四边形EFGH的面积．2.如图2，正方形ABCD边长为12，将正方形沿MN 折叠，使点A落在DC边上的点E处，且DE＝5，求折痕MN的长．3.．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC 于点F ，求的值．4.（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．①求证：DQ＝AE；②推断：的值为；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP 的长．5．如图，在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连接BE，取BE的中点M，连接CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连接EG、MG．若CM＝3，则四边形GMCE的面积为．6.如图，正方形ABCD中，AB＝1，连接AC，∠ACD 的平分线交AD于点E，在AB上截取AF＝DE，连接DF，分别交CE，AC于点G，H，点P是线段GC上的动点，PQ⊥AC于点Q，连接PH，以下结论：①CE⊥DF；②DE+DC＝AC；③EA＝AH；④PH+PQ的最小值是，其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4。

中考数学必学几何模型大全（含解析）模型一：截长补短模型如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF=AB+CD，可以考虑截长补短法。

截长法：如图①，在EF上截取EG=AB，再证明GF=CD即可。

补短法：如图①，延长AB至H点，使BH=CD，再证明AH=EF即可。

模型分析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。

截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。

该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程。

例题精讲1、如图，AC平分①BAD，CE①AB于点E，①B+①D=180°，求证：AE=AD+BE.解析：如图，在EA上取点F,使EF=BE,连接CF,①CE①AB，①CF=CB，①CFB=①B①①AFC+①CFB=180°，①D+①B=180°，①①D=①AFC①AC平分①BAD，即①DAC=①F AC在①ACD和①ACF中，①D=①AFC，①DAC=①F AC，AC=AC①ACD①①ACF（AAS），①AD=AF，①AE=AF+EF=AD+BE2、如图，已知在①ABC中，①C=2①B,①1=①2，求证：AB=AC+CD解析：在AB上取一点E,使AE=AC，连接DE,①AE=AC,①1=①2，AD=AD，①①ACD①①AED，①CD=DE,①C=①3①①C=2①B，①①3=2①B=①4+①B，①①4=①B，①DE=BE,CD=BE①AB=AE+BE，①AB=AC+CD3、如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,①B+①E=180°，求证：AD平分①CDE.解析：延长CB至点F,使BF=DE,连接BF=DE,连接AF，AC①①1+①2=180°，①E+①1=180°，①①2=①E①AB=AE,①2=①E,BF=DE，①①ABF①①AED，①F=①4，AF=AD①BC+BF=CD，即FC=CD又①AC=AC，①①ACF①①ACD，①①F=①3①①F=①4，①①3=①4，①AD平分①CDE.4、已知四边形ABCD中，①ABC+①ADC=180°，AB=BC，如图，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足PQ=AP+CQ,①ADC求证：①PBQ=90°-12解析：如图，延长DC，在上面找一点K，使得CK=AP，连接BK,①①ABC+①ADC=180°，①①BAD+①BCD=180°①①BCD+①BCK=180°，①①BAD=①BCK在①BAP和①BKC中AP =CK ，①BAP =①BCK ，AB =BC ，①①BP A ①①BKC （SAS ），①①ABP =①CBK ,BP =BK①PQ =AP +CQ ，①PQ =QK①在①BPQ 和①BKQ 中，BP =BK ，BQ =BQ ，PQ =KQ①①BPQ ①①BKQ (SSS )，①①PBQ =①KBQ ，①①PBQ =12①ABC ①①ABC +①ADC =180°，①①ABC =180°-①ADC①12①ABC =90°-12①ADC ，①①PBQ =90°-12①ADC5、如图，在①ABC 中，①B =60°，①ABC 的角平分线AD 、CE 相交于点O ，求证：AE +CD =AC .解析：由题意可得①AOC =120°①①AOE =①DOC =180°-①AOC =180°-120°=60°在AC 上截取AF =AE ，连接OF ，如图在①AOE 和①AOF 中，AE =AF ，①OAE =①OAF ，OA =OA①①AOE ①①AOF （SAS ），①①AOE =①AOF ，①①AOF =60°，①①COF =①AOC -①AOF =60°又①COD =60°，①①COD =①COF同理可得：①COD ①①COF （ASA ），①CD =CF又①AF =AE ，①AC =AF +CF =AE +CD ，即AE +CD =AC6、如图所示，AB ①CD ,BE ,CE 分别是①ABC ,①BCD 的平分线，点E 在AD 上，求证：BC =AB +CD .解析：在BC 上取点F ，使BF =AB①BE ,CE 分别是①ABC ,①BCD 的平分线，①①ABE =①FBE ,①BCE =①DCE①AB ①CD ，①①A +①D =180°在①ABE和①FBE中，AB=FB，①ABE=①FBE，BE=BE①①ABE①①FBE（SAS），①①A=①BFE，①①BFE+①D=180°①①BFE+①EFC=180°，①①EFC=①D在①EFC和①EDC中，①EFC=①D，①BCE=①DCE，CE=CE ①①EFC①①EDC（AAS），①CF=CD①BC=BF+CF，①BC=AB+CD7、四边形ABCD中，BD＞AB,AD=DC,DE①BC,BD平分①ABC （1）证明：①BAD+①BCD=180°（2）DE=3,BE=6,求四边形ABCD的面积.【解析】（1）过点D作BA的垂线，得①DMA①DEC（HL）①①ABC+①MDE=180°，①ADC=①MDE①①ABC+①ADC=180°，①①BAD+①BCD=180°（2）S四边形ABCD=2S①BED=188、已知：在①ABC中，AB=CD-BD,求证：①B=2①C.【解析】在CD上取一点M使得DM=DB则CD-BD=CM=AB①①AMD=①B=2①C模型二：倍长中线法模型分析：①ABC中AD是BC边中线方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长，作CF①AD于F，作BE①AD的延长线于E，连接BE方式3：延长MD到N，使DN=MD，连接CD例题精讲：1、已知，如图①ABC中，AB＝5，AC＝3，则中线AD的取值范围是．【解答】1＜AD＜4．2、如图，①ABC 中，E ，F 分别在AB ，AC 上，DE ①DF ，D 是中点，试比较BE +CF 与EF 的大小．【解答】解：BE +CF ＞FP ＝EF ．延长ED 至P ，使DP ＝DE ，连接FP ，CP ，①D 是BC 的中点，①BD ＝CD ，在①BDE 和①CDP 中，{DP =DE∠EDB =∠CDP BD =CD①①BDE ①①CDP （SAS ），①BE ＝CP ，①DE ①DF ，DE ＝DP ，①EF ＝FP ，（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）在①CFP 中，CP +CF ＝BE +CF ＞FP ＝EF ．3、已知：在①ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF ．【解答】证明：如图，延长AD 到点G ，使得AD ＝DG ，连接BG ．①AD 是BC 边上的中线（已知），①DC ＝DB ，在①ADC 和①GDB 中，{AD =DG∠ADC =∠GDB(对顶角相等)DC =DB，①①ADC ①①GDB （SAS ），①①CAD ＝①G ，BG ＝AC又①BE ＝AC ，①BE ＝BG ，①①BED ＝①G ，①①BED ＝①AEF ，①①AEF ＝①CAD ，即：①AEF ＝①F AE ，①AF ＝EF ．4、已知：如图，E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且①BAE ＝①CDE ．求证：AB ＝CD ．【解答】证明：延长DE 到F ，使EF ＝DE ，连接BF ，①E 是BC 的中点，①BE ＝CE ，①在①BEF 和①CED 中{BE =CE ∠BEF =∠CED EF =DE，①①BEF ①①CED ．①①F ＝①CDE ，BF ＝CD ．①①BAE ＝①CDE ，①①BAE ＝①F ．①AB ＝BF ，又①BF ＝CD ，①AB ＝CD ．5、如图，①ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF ＝EF ，求证：BD ＝CE ．【解答】证明：如图，过点D 作DG ①AE ，交BC 于点G ；则①DGF ①①ECF ，①DG ：CE ＝DF ：EF ，而DF ＝EF ，①DG ＝CE ；①AB ＝AC ，①①B ＝①ACB ；①DG ①AE ，①①DGB ＝①ACB ，①①DBG ＝①DGB ，①DG ＝BD ，①BD ＝CE ．模型三：角平分线四大模型1、角平分线的性质2、角平分线的对称性3、角平分线+平行线，等腰现4、角平分线+垂线，等腰归例题精讲：1、如图，D是①EAF平分线上的一点，若①ACD+①ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．【解答】解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N，则①CMD＝①BND＝90°，①AD是①EAF的平分线，①DM＝DN，①①ACD+①ABD＝180°，①ACD+①MCD＝180°，①①MCD＝①NBD，在①CDM和①BDN中，①CMD＝①BND＝90°，①MCD＝①NBD，DM＝DN，①①CDM①①BDN，①CD＝DB．2、如图，BD和CD分别平分①ABC的内角①EBA和外角①ECA，BD交AC于点F，连接AD．（1）求证：①BDC=12∠BAC；（2）若AB＝AC，请判断①ABD的形状，并证明你的结论．【解答】（1）证明：①BD和CD分别平分①ABC的内角①EBA和外角①ECA，①①ABC＝2①DBC，①ACE＝2①DCE，①①ACE＝①BAC+①ABC，①DCE＝①BDC+①DBC，①2①DCE＝2①BDC+2①DBC，①①BAC＝2①BDC，即①BDC=12①BAC；（2）①ABD是等腰三角形，证明：①AB＝AC，①①ABC＝①ACB，过D作DQ①AB于Q，DR①BC于R，DW①AC于W，①BD和CD分别平分①ABC的内角①EBA和外角①ECA，①DQ＝DR，DW＝DR，①DQ＝DW，①DQ①AB，DW①AC，①①GAC＝2①GAD＝2①CAD，①①GAC＝①ABC+①ACB，①①GAD＝①ABC，①AD①BC，①①ADB＝①DBC，①①ABD＝①DBC，①①ADB＝①ABD，①AB＝AD，即①ABD是等腰三角形．3、如图，在①ABC中，①ABC＝90°，AB＝7，AC＝25，BC＝24，三条角平分线相交于点P，求点P到AB的距离．【解答】解：过点P作PD①AB于D，PE①BC于E，PF①AC于F，①点P是①ABC三条角平分线的交点，①PD＝PE＝PF①S ①ABC ＝S ①P AB +S ①PBC +S ①P AC =12PD •AB +12PE •BC +12PF •AC =12PD •（AB +BC +AC ）=12PD •（7+25+24）＝28PD 又①①ABC ＝90°，①S ①ABC =12AB •BC =12×7×24＝7×12，①7×12＝28PD ，①PD ＝3 答：点P 到AB 的距离为3．4、如图，AD 是①ABC 中①BAC 的平分线，P 是AD 上的任意一点，且AB ＞AC ，求证：AB −AC ＞PB −PC ．【解答】证明：如图，在AB 上截取AE ，使AE ＝AC ，连接PE ，①AD 是①BAC 的平分线，①①BAD ＝①CAD ，在①AEP 和①ACP 中，{AE =AC ∠BAD =∠CAD AP =AP，①①AEP ①①ACP （SAS ），①PE ＝PC ，在①PBE 中，BE ＞PB −PE 即AB −AC ＞PB −PC ．5、在①ABC 中，AD 是①BAC 的外角平分线，P 是AD 上的任意一点，试比较PB +PC 与AB +AC 的大小， 并说明理由．【解答】解：PB +PC ＞AB +AC如图，在BA 的延长线上取一点E ，使AE ＝AC ，连接EP ．由AD 是①BAC 的外角平分线，可知①CAP ＝①EAP ，又AP 是公共边，AE ＝AC ，故①ACP ①①AEP从而有PC ＝PE ，在①BPE 中，PB +PE ＞BE而BE ＝AB +AE ＝AB +AC ，故PB +PE ＞AB +AC ，所以PB +PC ＞AB +AC6、已知：如图，在①ABC 中，①A ＝2①B ，CD 平分①ACB ，且AC ＝6，AD ＝2．求BC 的长．【解答】解：如图，在BC 上截取CE ＝CA ，连接DE ，①CD平分①ACB，①①1＝①2，在①ACD和①ECD中{CA=CE∠1=∠2CD=CD，①①ACD①①ECD（SAS），①AD＝ED，①A＝①CED，①①A＝2①B，①①CED＝2①B，①①CED＝①B+①BDE，①①BDE＝①B，①BE＝ED，①AC＝6，AD＝2，①AD＝BE＝2，AC＝CE＝6，①BC＝BE+CE＝2+6＝8．7、如图，①AOB=30°，OD平分①AOB，DC①OA于点C，DC=4cm，求OC的长.【解答】过点D作DE//OB，交OA于点E.OC=CE+OE=CE+DE=8+43.8、（1）如图①ABC中，BD、CD分别平分①ABC，①ACB，过点D作EF①BC交AB、AC于点E、F，试说明BE+CF＝EF的理由．（2）如图，①ABC中，BD、CD分别平分①ABC，①ACG，过D作EF①BC交AB、AC于点E、F，则BE、CF、EF有怎样的数量关系？并说明你的理由．【解答】解：（1）①BD平分①ABC，①①ABD＝①CBD，①EF①BC，①①EDB＝①DBC，①①ABD＝①EDB，①BE＝ED，同理DF＝CF，①BE+CF＝EF；（2）BE−CF＝EF，由（1）知BE＝ED，①EF①BC，①①EDC＝①DCG＝①ACD，①CF＝DF，又①ED−DF＝EF，①BE−CF＝EF．9、如图，在①ABC ，AD 平分①BAC ，E 、F 分别在BD 、AD 上，且DE ＝CD ，EF ＝AC ，求证：EF ①AB ．【解答】解：过E 作AC 的平行线于AD 延长线交于G 点， ①EG ①AC在①DEG 和①DCA 中，{∠ADC =∠GDE CD =ED ∠DEG =∠DCA，①①DEG ①①DCA （ASA ）， ①EG ＝EF ，①G ＝①CAD ，又EF ＝AC ，故EG ＝AC ①AD 平分①BAC ，①①BAD ＝①CAD ，①EG ＝EF ，①①G ＝①EFD ，①①EFD ＝①BAD ，①EF ①AB ．10、已知等腰直角三角形ABC ，BC 是斜边．①B 的角平分线交AC 于D ，过C 作CE 与BD 垂直且交BD 延长线于E ，求证：BD ＝2CE ．【解答】证明：如图，分别延长CE ，BA 交于一点F ． ①BE ①EC ，①①FEB ＝①CEB ＝90°， ①BE 平分①ABC ，①①FBE ＝①CBE ， 又①BE ＝BE ，①①BFE ①①BCE （ASA ）． ①FE ＝CE ．①CF ＝2CE ．①AB ＝AC ，①BAC ＝90°，①ABD +①ADB ＝90°，①ADB ＝①EDC ， ①①ABD +①EDC ＝90°．又①①DEC ＝90°，①EDC +①ECD ＝90°，①①FCA ＝①DBC ＝①ABD ． ①①ADB ①①AFC ．①FC ＝DB ，①BD ＝2EC ．11、如图．在①ABC 中，BE 是角平分线，AD ①BE ，垂足为D ，求证：①2＝①1+①C ．【解答】证明：如图，延长AD 交BC 于点F ，①BE 是角平分线，AD ①BE ，①①ABF 是等腰三角形，且①2＝①AFB ， 又①①AFB ＝①1+①C ，①①2＝①1+①C ．12、（1）如图（a ）所示，BD 、CE 分别是①ABC 的外角平分线，过点A 作AD ①BD ，AE ①CE ，垂足分别为D 、E ，连接DE ，求证：DE ①BC ，DE =12（AB +BC +AC ）；（2）①如图（b ）所示，BD 、CE 分别是①ABC 的内角平分线，其他条件不变；①如图（c ）所示，BD 为①ABC 的内角平分线，CE 为①ABC 的外角平分线，其他条件不变；则在图（b ）、图（c ）两种情况下，DE 与BC 还平行吗？它与①ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中一种情况进行证明．【解答】解：（1）如图1，分别延长AE 、AD 交BC 于H 、K ， 在①BAD 和①BKD 中，{∠ABD =∠DBK BD =BD ∠BDA =∠BDK ，①①BAD ①①BKD （ASA ）， ①AD ＝KD ，AB ＝KB ，同理可证，AE ＝HE ，AC ＝HC ，①DE =12HK ，又①HK ＝BK +BC +CH ＝AB +BC +AC ，①DE =12（AB +AC +BC ）； （2）①猜在想结果：图2结论为DE =12（AB +AC −BC ）． 证明：分别延长AE 、AD 交BC 于H 、K ， 在①BAD 和①BKD 中，{∠ABD =∠DBK BD =BD ∠BDA =∠BDK，①①BAD ①①BKD （ASA ），①AD ＝KD ，AB ＝KB ， 同理可证，AE ＝HE ，AC ＝HC ，①DE =12HK ，又①HK ＝BK －BH ＝AB +AC －BC ，①DE =12（AB +AC −BC ）； ①图3的结论为DE =12（BC +AC −AB ）．证明：分别延长AE 、AD 交BC 或延长线于H 、K ， 在①BAD 和①BKD 中，{∠ABD =∠DBK BD =BD ∠BDA =∠BDK，①①BAD ①①BKD （ASA ），①AD ＝KD ，AB ＝KB 同理可证，AE ＝HE ，AC ＝HC ，①DE =12KH又①KH ＝BC －BK +HC ＝BC +AC －AB ．①DE =12（BC +AC −AB ）．模型四：手拉手模型模型：如图，①ABC 是等腰三角形、①ADE 是等腰三角形，AB =AC ，AD =AE ， ①BAC =①DAE = 。

中考数学常见的11种几何模型一、三角形的不等关系模型：A字型、K字型、X字型1. 三角形两边之和大于第三边；2. 三角形两边之差小于第三边；3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；4. 直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半；5. 三角形三个内角之和等于180度。

二、全等、相似模型模型：A字型全等、A字型相似、8字型全等、8字型相似、蝴蝶型全等、蝴蝶型相似、平行型全等、平行型相似、等积模型等。

三、平行四边形模型模型：平行四边形ABCD中，E为AB中点，则：AC、DE互相平分；模型：平行四边形ABCD中，AC、BD交于O，则：AO=CO，BO=DO；模型：平行四边形ABCD中，AC平分角BAD，则：四边形ABCD为菱形。

四、梯形模型模型：梯形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：BE=FE；模型：梯形ABCD中，A、B在直线EF上，则：延长DC交AB延长线于F，则：梯形ABCD面积等于三角形面积的2倍；模型：梯形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：EF=FC。

五、矩形模型模型：矩形ABCD中，E为BC中点，则：AE平分角BAD；模型：矩形ABCD中，E为AD中点，则：AF平分角ABC；模型：矩形ABCD中，AC平分角BAD，则：四边形ABCD为菱形。

六、多边形模型模型：任意多边形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：BF=FE；模型：任意多边形ABCD中，E为AD中点，延长BE交DC延长线于F，则：EF=FC。

七、燕尾模型模型：在三角形ABC中，BD平分角ABC，CE平分角ACB，则：点D、E在BC同旁，则：三角形ADE的面积等于三角形ABC面积的一半。

八、风筝模型模型：在三角形ABC中，点D、E在BC上，且AD平分角BAE，则：三角形ABC与三角形ADE的面积相等。

九、铅笔模型模型：在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，则：EF平行于AD，则：矩形ABFE与矩形EFCD相似。

初中数学中考常见几何模型一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ；③OE 平分∠AED二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图的位置OC DE图 1OABCD E图 2OABC DE图 1OACDE图 2OABC DEOCD E图 1图 2OB COCDE【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。

第Ol讲8字模型与飞镖模型模型1角的“8”字模型如图所示，AB、CD相交于点O,连接AD、BC O 结论：ZA+ZD=ZB+ZCo模型分析8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到O模型实例观察下列图形，计算角度：(1)如图①，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE= ________________ :(2)如图②，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF= _________________热搜梢练1.(1)如图①，求ZCAD+ZB+ZC+ZD+ZE= _________________ :(2)如图②，求Z C A D+ Z B + Z AC E+ Z D+ Z E= ___2. ________________________________________________ 如图，求ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH= _______________________________图②模型2角的飞镖模型如图所示，有结论：ZD=ZA+ZB+ZCo模型分析飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到a模型实例如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分ZDAB和ZDCB, AM与CM交于W 探究ZAMC与ZB、ZD间的数量关系。

热搜精练1._________________________________________如图，ΛRZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=2.__________________________________ 如图，求ZA+ZB+ZC+ZD=C F模型3边的“8”字模型如图所示，AC、BD相交于点O,连接AD、BC O 结论：AC+BD>AD+BCoD模型实例如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0。

求证：(1) AB+BC+CD+AD>AC+BD:(2) AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.模型4边的飞镖模型如图所示有结论：AB+AC>BD+CD.模型实例如图，点O为三角形内部一点。

2024年中考数学总复习初中数学常考10个几何模
型汇总
模型一：“12345”模型
模型二：“半角”模型
对称半角模型
旋转半角模型
模型三：“角平分线”模型
角平分线定理角平分线+垂线=等腰三角形角分线+平行线=等腰三角必呈现
角平分线+垂线=等腰三角形
模型四：“手拉手”模型
条件：1、两个等腰三角形；2、顶角相等；3、顶点重合。

结论：1、手相等；2、三角形全等；3、手的夹角相等；
4、顶点连手的交点得平分。

模型五：“将军饮马”模型
模型六：“中点”模型
【模型1】倍长
1、倍长中线；
2、倍长类中线；
3、中点遇平行延长相交
【模型2】遇多个中点，构造中位线
1.直接连接中点；
2.连对角线取中点再相连
模型七：“邻边相等的对角互补”模型
【模型1】
【条件】如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=∠ABC+∠ADC=180°
【结论】AC平分∠BCD
【模型2】
【条件】如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°【结论】①∠ACB=∠ACD=45°②BC+CD=V2AC
模型八：“一线三角”模型
【条件】∠EDF=∠B=∠C，且DE=DF
【结论】△BDE=△CFD
模型九：“弦图”模型
【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段【结论】新构成了同心的正方形
模型十：费马点。

十字模型专题知识解读【专题说明】“十字架模型”是数学平面几何中比较重要的一个模型。

常见的类型有正方形中的十字架和矩形中的十字架。

围绕着这两种模型的条件之下，可以推导出一些比较实用的结论。

这些结论对我们分析一些几何问题会比较大的帮助。

【方法技巧】类型一：【十字架模型】--正方形第一种情况：过顶点在正方形ABCD中，AE⊥BF，可得AE=BF，借助于同角的余角相等，证明△BAF≌△ADE（ASA）所以AE=BF第二种情况：不过顶点在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH也可以如下证明在正方形ABCD中，E，F，G，H分别AB、BC、CD、DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH类型二：【十字架模型】--矩形在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，其中：AE⊥BF，探究AE与BF的关系；可证：△ADE ∽△BAF 所以BF AE AB AD BF AE ⋅=⋅==ab a b在矩形ABCD 中，AB=a ，AD=b ，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 边上的点，其中：EG ⊥FH ，探究EG 与FH 的关系【解答】可证：△ADN ∽△BAM∴∴但是只有垂直的条件，点的位置发生变化，那么可以证明出相似三角形，但是线段之间的关系不在成立 在矩形ABCD 中，AB=a ，AD=b ，其中EG ⊥FH ，探究EG 与FH 的关系可证△EOH∽△GOF【典例分析】【典例1-1】基本模型如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AD，DC边上，且AF⊥BE．结论：①△ABE≌△DAF；②AF＝BE；请证明【基本模型】中的结论．求证：①△ABE≌△DAF；②AF＝BE．自主探究：若将已知条件AF⊥BE改为AF＝BE，是否可以得到AF⊥BE？进而是否可以探究AF与BE交点的轨迹？【解答】基本模型：证明：①∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，∴∠ABE+∠BEA＝90°，∵AF⊥BE，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（ASA），②∵△ABE≌△DAF（ASA），∴AF＝BE；自主探究：解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，在Rt△ABE和Rt△DAF中，，∴Rt△ABE≌Rt△DAF（HL），∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝90°，则BE⊥AF．如图，设AF、BE交于点H，AC、BD交于点O，∵BE⊥AF，∴∠AHB＝90°，点H在以AB为直径的圆上，∵点E、F分别在AD，DC边上，∴AF与BE交点的轨迹为．【典例1-2】模型演变①如图①，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在DC，AD，BC边上，且AE⊥GF．结论：AE＝GF模型演变②如图②，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在AB，DC，BC，AD边上，且EF⊥GH．结论：EF＝GH请证明【模型演变②】的结论，求证：EF＝GH．自主探究：在【模型演变①】和【模型演变②】中，若将已知条件中两线段垂直与结论中两线段相等互换，判断结论是否还成立？请选择其中一个图形进行证明．【解答】证明：过点E作EM⊥DC于点M，过点H作HN⊥BC于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴EM＝AD＝DC＝HN，∵EM⊥HN，EF⊥HG，∴∠MEF＝∠NHG，在△MEF与△NHG中，，∴△MEF≌△NHG（ASA），∴EF＝GH；自主探究：解：不成立，证明：选择[模型演变①]，设AE与FG相交于点O，过点O作DC的平行线l，将FG沿直线l对称得到F'G'，则FG＝F'G'，由（1）可得：AE⊥FG，∴F'G'与AE不垂直，∴若条件与结论互换，结论不成立．【典例2-1】模型演变③如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且CE⊥BD．结论：△DCE∽△ADB请证明【模型演变③】的结论．求证：△DCE∽△ADB．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，∴∠ADB+∠CDO＝90°，∵CE⊥BD，∴∠DOC＝90°，∴∠DCE+∠CDO＝90°，∴∠ADB＝∠DCE，∵∠A＝∠EDC＝90°，∴△DCE∽△ADB．【典例2-2】模型演变④如图，在矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在AD，BC，AB，DC边上，且EF⊥GH．结论：＝请证明【模型演变④】的结论．求证：＝．【解答】证明：如图，过点G作GM⊥CD于M，过点E作EN⊥BC于点N，∴∠GMH＝∠ENF＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵EF⊥GH，∴∠BGH+∠BFE＝180°，∠BGH+∠GHM＝90°，∴∠BFE＝∠GHM，∴△EFN∽△GHM，∴＝＝．【变式1-1】如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD上的点，连接AE，BF 交于点O．若BE＝3，DF＝1，则OB的长为．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，∴∠ABC＝90°＝∠BCD，AB＝BC＝CD＝4，∵BE＝3，DF＝1，∴BE＝CF＝3，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠AEB＝∠BFC，∵∠BFC+∠FBC＝90°，∴∠AEB+∠FBC＝90°，∴∠BOE＝90°，∴BO⊥AE，∴2S△ABE＝AB•BE＝AE•OB，∵AB＝4，BE＝3，∴AE＝＝5，∴OB＝＝，故答案为：．【变式1-2】如图，在矩形ABCD中，点E是边AB上一点，将△BCE沿CE折叠，使点B 落在AD边上的点F处，连接BF交CE于点G．已知AD＝5，AB＝3，则折痕CE的长为．【解答】解：由翻折的性质可知，BE＝EF，BC＝FC＝AD＝5，在Rt△CDF中，CF＝5，CD＝AB＝3，∴DF＝＝4，∴AF＝AD﹣DF＝5﹣4＝1，设BE＝x，则EF＝x，AE＝3﹣x，在Rt△AEF中，由勾股定理得，AF2+AE2＝EF2，即1+（3﹣x）2＝x2，解得x＝，即BE＝，在Rt△BCE中，由勾股定理得，CE＝＝＝，故答案为：．【变式1-3】如图，在面积为16的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，F是CB上一点，CF＝AE，连接EF，过点D作DG⊥EF于点H，若S△BEF＝6，则CF＝，DG ＝．【解答】解：∵正方形ABCD的面积为16，∴正方形ABCD的边长为4，设CF＝x，则BF＝4﹣x，BE＝4+x，∵S△BEF＝6，∴（4﹣x）（4+x）＝6，∴x＝±2（负值舍去），∴CF＝2＝AE，∴BF＝BC﹣CF＝4﹣2＝2，BE＝AB+AE＝4+2＝6，∴EF＝＝＝2，∵DG⊥EF，∴∠AGD＝90°﹣∠E＝∠BFE，又∠B＝90°＝∠DAG，∴△EBF∽△DAG，∴＝，即＝，解得DG＝，故答案为：2．【变式1-4】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，点M，N分别在边BC，AB上，且AM⊥DN，的值．【解答】解：过点D作AB的平行线，交过点A作BC的平行线于G，交BC的延长线于H，过点D作DP⊥AB于P，则四边形ABHG是矩形，∵AB＝AD，CB＝CD，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠ADG+∠CDH＝90°，∵∠ADG+∠DAG＝90°，∴∠DAG＝∠HDC，又∵∠G＝∠H，∴△ADG∽△DCH，∴，∴设CH＝x，则DG＝2x，∴DH＝10﹣2x，AG＝5+x，∴5+x＝2（10﹣2x），解得x＝3，∴BH＝8，∵∠NDP＝∠BAM，∠DPN＝∠ABM，∴△ABM∽△DPN，∴．【变式1-5】如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点E，F分别在边AD，BC上，将该矩形沿直线EF折叠，使点B的对应点B'落在CD边上，点A的对应点为A'，连接BB'．（1）如图②，当点B'与点D重合时，连接BE，试判断四边形BEB'F的形状，并证明；（2）求折痕EF的最大值；（3）如图③，过点E作EM⊥BC于点M，当四边形EMCD为正方形时，求CF的长．【解答】解：（1）四边形BEB'F是菱形，理由如下：由折叠的性质得：∠BFE＝∠B′FE，EF垂直平分BB′，∴BE＝B′E，BF＝B′F，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠B′EF＝∠BFE，∴∠B′EF＝∠B′FE，∴B′E＝B′F，∴BE＝B′E＝B′F＝BF，∴四边形BEB′F是菱形；（2）过点E作EG⊥BC于G，设EF与BB′交于点O，如图①所示：则∠EGF＝90°，四边形ABGE为矩形，∴∠GEF+∠EFG＝90°，EG＝AB＝6，由折叠的性质得：EF⊥BB′，∴∠BOF＝90°，∴∠EFG+∠B′BF＝90°，∴∠GEF＝∠B′BF，∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝6，∠C＝90°，∴∠C＝∠EGF，∴△EGF∽△BCB′，∴＝＝＝，∴EF＝BB′，∴当BB′取最大值，EF取得最大值，此时，点B′与点D重合，连接BD，在Rt△BCD中，BD＝＝＝10，∴EF最大＝BD＝×10＝；（3）连接BE、B′E，如图③所示：由折叠的性质得：EF垂直平分BB′，∴BF＝B′F，BE＝B′E，∵四边形EMCD是正方形，∴EM＝MC＝CD＝ED＝6，∴AE＝BM＝8﹣6＝2，在Rt△EMB和Rt△EDB′中，，∴Rt△EMB≌Rt△EDB′（HL），∴DB′＝BM＝2，∴CB′＝CD﹣DB′＝6﹣2＝4，设CF＝x，则BF＝B′F＝8﹣x，在Rt△CB′F中，由勾股定理得：CF2+CB′2＝B′F2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴CF的长为3．【变式1-6】【教材背景】课本上有这样一道题目；如图①，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE，DF．发现其中CE＝DF．【拓展延伸】如图②，在正方形ABCD中，O为对角线BD上一点，连接AO并延长，交DC于点E，过点B作BF⊥AE于点G，交AD于点F，连接FE，BE．【问题解决】（1）若DO＝DE，求证：△ABG≌△OBG；（2）若BF＝6，求四边形AFEB的面积；（3）如图③，连接CG，若CG＝BC，求证：E是边DC的中点．【解答】【教材背景】证明：如图1中，∵ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠EBC＝∠FCD＝90°，又∵E、F分别是AB、BC的中点，∴BE＝CF，在△CEB和△DFC中，，∴△CEB≌△DFC，∴CE＝DF；【问题解决】（1）证明：如图②中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠BAO＝∠AED，∵DO＝DE，∴∠DOE＝∠DEO，∵∠AOB＝∠DOE，∴∠BAO＝∠AOB，∴BA＝BO，∵BF⊥AE，∴AG＝OG，在△BAG和△BOG中，，∴△ABG≌△OBG（SSS）；（2）解：如图②中，过点E作EH⊥AB于点H．∵AE⊥BF，∴∠AGB＝90°，∵∠ABF+∠BAG＝90°，∠DAE+∠BAG＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，∵BA＝AD，∠BAF＝∠ADE＝90°，∴△BAF≌△ADE（ASA），∴BF＝AE＝6，∵AE⊥BF，∴S四边形AFEB＝•AE•BF＝×6×6＝18；（3）证明：过点C作CT⊥BG交AB于点T，连接GT．∵CG＝CB，BT⊥BG，∴CT垂直平分线段BG，∴TB＝TG，∴∠TBG＝∠TGB，∵∠TBG+∠BAG＝90°，∠AGT+∠TGB＝90°，∴∠TAG＝∠TGA，∴TA＝TG，∴AT＝TB，∵AE⊥BF，CT⊥BF，∴AE∥CT，∵AT∥CE，∴四边形ATCE是平行四边形，∴AT＝CE，∵AB＝CD＝2AT，∴CD＝2CE，∴DE＝EC．【变式1-7】（滕州市校级模拟）已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：＝；（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得＝成立？并证明你的结论；（3）如图③，若BA＝BC＝2，DA＝DC＝，∠BAD＝90°，DE⊥CF，试求的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠FDC＝90°，∵CF⊥DE，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，∵∠A＝∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴＝；（2）当∠B+∠EGC＝180°时，＝成立．当∠B+∠EGC＝180°时：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，∴∠B+∠A＝180°，∵∠B+∠EGC＝180°，∴∠A＝∠EGC＝∠FGD，∵∠FDG＝∠EDA，∴△DFG∽△DEA，∴＝，∵∠B＝∠ADC，∠B+∠EGC＝180°，∠EGC+∠DGC＝180°，∴∠CGD＝∠CDF，∵∠GCD＝∠DCF，∴△CGD∽△CDF，∴＝，∴＝，∴＝，即当∠B+∠EGC＝180°时，＝成立．（3）解：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD，∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，∴四边形AMCN是矩形，∴AM＝CN，AN＝CM，∵在△BAD和△BCD中，∴△BAD≌△BCD（SSS），∴∠BCD＝∠A＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC+∠CBM＝180°，∴∠MBC＝∠ADC，∵∠CND＝∠M＝90°，∴△BCM∽△DCN，∴＝，∴＝，∴CM＝x，在Rt△CMB中，CM＝x，BM＝AM﹣AB＝x﹣2，由勾股定理得：BM2+CM2＝BC2，∴（x﹣2）2+（x）2＝22，x＝0（舍去），x＝，CN＝，∵∠A＝∠FGD＝90°，∴∠AED+∠AFG＝180°，∵∠AFG+∠NFC＝180°，∴∠AED＝∠CFN，∵∠A＝∠CNF＝90°，∴△AED∽△NFC，∴＝＝＝．。

中考常考基本几何模型16类模型是对基础知识的深刻认识与提炼出的基本类型，注重基本知识的教学是强化模型思想意识的前提，注重模型在知识与知识中的应用，在具有实际背景中的应用等，可有效提高学生数学建模与解题能力．(数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题．)模型1:将军饮马模型 如图1，已知直线l 和直线l 外同侧两定点A 、B ，在直线l 上求一点P ，使PA PB +的值最小． 作法：作A （B ）点关于直线对称点D ，连接BD 与直线l 点，则此点为所求作的P 点，PA +的值也最小．说明：为一定直线异侧两定点问题来达到求解的目的．细细分析这个基本几何模型，会发现隐含有如下两个基本结论：其一：同侧两三角形相似的问题 如图1，若连接AD ，交直线l 于点E，并过点B 作BF ⊥l 于点F ，则有AEP DEP BFP ∆∆∆≌∽，如图2所示．例 如图2-1，点E 为长方形ABCD 边CD 上一点，在线段AD 上作一点P，使ABP DEP ∆∆∽（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）．解：由于点B 、点E 均为定点且在定直线AD 的同侧，要在AD 上求一点P ，使ABP DEP∆∆∽，所以本题符合基本模型中隐含的第一类问题，于是作B 点（或E 点）关于AD 的对称点B '点（或E '点），连接B E '（或E B '），B E '（或E B '）与AD 的交点即为所求作的P 点，如图2-2所示．其二：同侧两线段差值最大的问题 如图3所示 ，连接AB (不妨假设点A 到直线l 的距离大于点B 到直线l 的距离)，设直线AB 交于点P ，边关系，可证PA PB AB -≤． 即：图2-2图2-1E D C值是两定点的距离． 同侧两线段差值最大问题的变式：如图4所示，作点A 关于直线l 的对称点D ，连接BD (不妨假设点A 到直线l 的距离大于点B 到直线l 的距离)，设直线BD 与直线l 相交于P 点，借助三角形的三边关系，可证明：PA PB BD -≤．即：一定直线异侧两定点到这条直线上一动点的距离之差有最大值，其最大值等于其中一定点关于这条直线对称后的点与另一定点之间的距离．例 如图4-1，在正方形ABCD 中，8AB =，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且6BM =，P 为对角线BD 上一点，则PM PN -的最大值为 ．解：由于点M 、点N 是两个定点，并在定直线BD 的异侧，要在BD 上求一点P ，使PM PN -的值最大，这显然属于基本模型中隐含的第二类问题中的变式形式，于是不妨作N 点关于BD 的对称点N '点，则PM PN -的最大值就是线段MN '的长，如图4-2所示．∵四边形ABCD 是正方形，8AB =，点O 是对角线AC 与BD 的交点，N 是AO的中点，6BM =，∴OA OC =， BD AC ⊥，2CM =，则点N '在OC 上，且是OC 的中点，∴14CM CN CB CA '==，则CBA CMN '∆∆∽，∴14MN BA '=即2MN '=． 练习：2015年陕西中考副题第14题；2018年陕西中考副题第25题(三线段共线问题)模型2：三垂直模型如图5，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，B 点在直线l 上，若过A 、C 点分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E ，则ADB BEC ∆∆∽；若AB BC =时，则有ADB BEC ∆∆≌．练习：2014年陕西中考副题第14题模型3:边定角等模型如图6，已知A ∠及其所对边BC 的长均为定值时，求所有符合条件的A 点或符合条件的三角形的最大面积．作法：先作一个符合条件的特殊ABC ∆，再作它的外接圆⊙O ，那么在¼BAC 上任取一点D （不与B 、C 重合），它与BC 所构成的三角形都满足BC 的长及BC 所对的角是定值的要求．由圆的知识可知：所有符合题意的三角形就是上面点D 与BC 所构成的三角形．要它的面积最大，只要三角形BC 边上的高最长即可．作BC 的垂直平分线，设它与¼BAC 交于E 点，与BC 交于F 点，于是ABC S ∆的最大值就是12EF BC ⋅．图5图6图4-2图4-1D C例如图6-1，以正方形ABCD 的一边BC 为边向四边形内作等腰BCE ∆，BE BC =，过E 作EH BC ⊥于H ，点P 是Rt BEH ∆的内心，连接AP ，若2AB =，则AP 的最小值为 （请在图中画出点P 的运动路径）.解：∵点P 是Rt BEH ∆的内心，∴连接PE 、PB ，如图6-2所示，∵90EHB ∠=︒，∴135BPE ∠=︒，又∵等腰BCE ∆是以BC 为边向正方形ABCD 内作的，且2BE BC ==，∴BE 的长是确定的，位置是不确定的.若连接PC ，由等腰三角形的性质可知：BPE ∆与BPC ∆关于BP 所在的直线ι成轴对称，且P 点在直线ι上，于是在BPE ∆中研究P 点与A 点的关系，就可转化在BPC ∆中来研究P 点与A 点的关系，在BPC ∆中，∵BC 为定边，135BPC ∠=︒，∴P 点应在以B 、P 、C 三点确定的圆上，设圆心为O ，则P 点的运动路径为»BC （不含B 、C 两点），如图6-3所示.∴求AP 的最小值就转化为求圆外一点到圆上一点的最短距离了，于是连接OA 、OB 、OC ，过O 作OF AB ⊥于F ，∵135BPC ∠=︒，则»BC为90︒的弧，∴90BOC ∠=︒，则BOC ∆为等腰直角三角形，∴BOF ∆也是等腰直角三角形，又∵2AB =，∴OB =即圆半径为，则1OF BF ==，∴由勾股定理得：OA ==AP 的练习：2014年陕西中考第25题、中考副题第25题；2016年陕西中考第25题第⑶问（存在性作图）；2017年陕西中考副题第25题.模型4:点、线平移模型如图7所示，在直角坐标系中，当线段AB 平移至CD若已知A 点坐标为11（x ,y ），B 点坐标为22（x ,y ），C 11（x +k,y +h ），则D 点坐标就是22（x +k,y +h ）．练习：2014年陕西中考副题第14题；第24题常用．模型5:平行四边形中，过中心的线平分平行四边形的面积模型 如图8，ABCD Y 中，AC 与BD 相交于O 点．若过O 点任作一条直线l ，则l 将ABCD Y 平分成两部分，且这两部分全等（面积相等）．练习：2013年陕西中考第25题；2017年陕西中考第25题第⑵问．D图6-2图6-1模型6：角的顶点在一圆中相切线上，则这些角中必有最大值的问题模型如图9，直线l 与O e 相切于P 点，1P 是直线l 上任意一点，则有1APB APB ∠∠≥. 练习： 2015年陕西中考第25题2015年陕西中考副题第25题模型7：共斜边的直角三角形的所有顶点在同一圆上的问题模型如图10，在ACB ∆与ADB ∆中，90ACB ADB ∠=∠=︒，则A 、 D 、B 、C 四点在同一个圆上，且圆心在AB 的中点上，AB 就是圆的直径．例（2017陕西中考第14题）：如图11，在四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD BCD ∠=∠=︒，连接AC ，若6AC =，则四边形ABCD 的面积为 ．∵90BAD BCD ∠=∠=︒，∴A 、B 、C 、D 四点共圆，过B 作BE AC ⊥于E ，过D 作DF AC ⊥于F ，如图12所示，则90AEB DFA ∠=∠=︒，又∵BAD ∠90=︒=BAE DAF ∠+∠，∴ABE DAF ∠=∠，又∵AB AD =，则ABE DAF ∆∆≌，45DCA BCA ∠=∠=︒，∴E=B AF ，45CDF DCF ∠=∠=︒，则DF CF =，∴6BE DF AF CF +=+=． 则ABCD S 四边形=BCA DCA S S ∆∆+1122AC BE AC DF =⋅+⋅1+2AC BE DF =⋅（）=18．模型8：点到直线上的所有连线中，垂线段最短的问题模型如图13，定点A 与定直线m 上各点的连线中，垂线段AP 最短．例 如图14-1，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点P 是BC 上任意一点，连接PA ，以PA 、PC邻边作PAQC Y ，连接PQ PQ 的最小值为 ．解：∵PAQC Y 是以PA 、PC 为邻边作的平行四边形，∴对角线PQ 与AC 的交点O 点应平分PQ 与AC ，而AC的图11C 图12图102！图13图14-2图14-1A长与位置是固定的，则O 点就是一个定点，又∵点P 是BC 上任意一点，因此要PQ 最小，只要OP BC ⊥即可，如图14-2所示．∵90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，∴2OC =，由勾股定理可得：5BC =，∴sin AB OP BCA BC OC ∠==，则65OP =，∴PQ 的最小值为125． 练习： 2016年陕西中考副题第14题模型9:过圆内一点，有最长（短）弦的问题模型如图15，在O e 中，点A 是O e 内部异于圆心O 的一点，则过点A 所作的弦中，有最长弦直径EF 即过点A 、过圆心O 的弦；有最短弦CD 即过点A 、且与EF 垂直的弦．例 如图16，AB 是O e 的弦，6AB =，点C 是O e 上的一个动点，且45ACB ∠=o .若点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，则MN 长的最大值是 .解：由于点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，则12MN AC =.要MN 最大，则只要AC 最大.由于AC 是O e 的弦，点C 是O e 上的一个动点，当C 点运动时，AC就有可能过圆心O ，于是AC 就变为圆中最长的弦直径了，如图17所示. ∵45ACB ∠=o ，AB =6，∴AC最大为MN =.练习：2014年陕西中考副题第16题2016年陕西中考副题第25题模型10：借三边关系可求最值的问题模型如图18，点A 为线段BC 外一动点，且BC a =，AB b =（a b ＞）.则AC 的最大值为a b +；AC 的最小值为a b -.例 如图19，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =，3BC =，P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将BCP ∆沿CP 所在的直线翻折，得到B CP '∆，连接B A '，则B A '长度的最小值为 ．解：在图19中，∵90ACB ∠=︒，5AB =，3BC =，∴由勾股定理得：4AC =；由折叠性质知：3CB CB '==．在ACB '∆中，由三角形的三边关系有：CA CB '-＜B A '，∵CA 、CB '的长均为定值，要B A '的长有最小值，只要有CA CB '-＝B A '即B '点能落在AC 上时，B A '的长有最小值（这解决了求B A '长度有最小值的可能性问题）．另一方面：当CP 所在的直线是ACB ∠的平分线时，将BCP ∆沿CP 所在的直图17图16C ＇CBA图19图20C B A B ＇图15线翻折，得到B CP '∆，此时B '点恰好落在AC 上即有CA CB '-＝B A '（这解决了求B A '长度有最小值的存在性问题），如图20所示，∴B A '长度的最小值是1．练习：2014年陕西中考副题第23题2016年陕西中考副题第25题模型11:圆（内）外一点到圆上一点的最值问题模型如图21所示，M 点是O e 的圆内或圆外的任意一点，则过圆心O 点、M 点的直线与圆交于F 点，H 点，则线段MF 的长就是M 点与圆上任意一点连线的最大值；线段MH 的长就是M 点与圆上任意一点连线的最小值.用几何直观性来分析：当过M 点的直线与过M 点直径所在的直线所构成的夹角越小，则相对来说MF 的长也就越大了.例 如图22，在矩形ABCD 中，2AD =，3AB =，点E 是AD 边的中点，点F 是射线AB 上的一动点，将AEF ∆沿EF 所在直线翻折得到A EF '∆，连接A C '，则A C '的最小值为 ．解：∵点E 是AD 边的中点，2AD =，A EF '∆是AEF ∆沿EF 所在直线翻折得到的，∴1EA EA '==，又∵点F 是射线AB 上的一动点，∴点A '也随着点F 的运动而变化，但点A '到定点E 的长是定值1，则点A '在以E 点为圆心，1为半径的圆弧（在矩形ABCD 内）上，如图23所示,从而把求A C '的长转化成求圆外一点到圆上一点的最短距离问题，如图24所示，连接CE，则CE =A C '1．练习： 2017年陕西中考第25题第⑶问模型12:直角三角形中，三边的函数关系问题模型如图25，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，当a 为定值时，对222c a b =+来说：当b 有最大（小）值时，则c 也有最大（小）值；反之，当c 有最大（小）值时，则b 也有最大（小）值；当c 为定值时，对222b c a =-来说：当a 有最大（小）值时，则b 也有最小（大）值．例 如图26，在边长为3的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且AF EF ⊥，则AE 的最小值为 .解：设CF x =（0x ＜＜3），则3DF x =-.∵四边形ABCD 是正方形，且AF EF ⊥，∴ADF FCE ∆∆∽，则=AD DF CF CE ，∴(3)3x xCE -⋅=.由于AB 为定值，在直角三角形图21FB A F B图24图23图22 图25BCABE 中，要AE 最小，则要BE 最小即要CE 最大即可.∵2133()324CE x =--+，又∵103-＜且0x ＜＜3，∴当32x =时，CE 有最大值34，则BE 最小为94，∴由勾股定理可得：AE 的最小值为154.模型13:已知四边形两条对角线的长，求四边形面积最大值的问题模型如图27，四边形ABCD 中，已知AC 、BD 的长是确定的，要求四边形ABCD 面积的最大值，则1=2ABCD S AC BD ⋅四边形.练习：如图27-1，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D ，E 在ABC ∆所在的平面内，且1CE =，点D 在AC 的上方，连接AE ，BD .若AE BD =，则四边形ABED 面积的最大值为 .模型14:已知三角形两边之和为定值，且夹角确定，求三角形面积最大值的问题模型 如图28，已知中ABC ∆，ABC θ∠=︒，点D 、E 分别是AB 、BC 上的两动点，且BD BE m +=.则有BDES ∆1sin 2BD BE θ=g 221sin ()sin 228m m BD θθ=--+，当2mBD =时，BDE S ∆有最大面积为2sin 8m θ︒[当90θ＞时，最大面积为2sin 180-8m θ︒（）]. 练习：如图28-1，在边长为1的菱形ABCD 中，60A ∠=︒，点E 、F 分别为AD 、CD 上的动点，连接BE 、BF 、EF .若60EBF ∠=︒，则DEF ∆面积的最大值为 .FD C 图26C图27-1图28-1A模型15:圆上一点到与圆相离直线的距离，有最值的问题模型 如图29，O e 与直线ι相离，点P 是O e 上的一个动点，设圆心O 到直线ι的距离为d ，O e 的半径为r .则点P 到直线ι的最小距离为d r -d r +.例如图29-1，在矩形Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =3BC =，点D 是AC 的中点，将CD 绕着点C 过程中点D 的对应点为点E ，连接AE 、BE ，则AEB ∆为 .解：∵90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，点D 是AC 的中点，CD 是绕着点C 逆时针旋转的，∴由勾股定理可得：5AB =，E 点在以C 为圆心，2为半径的圆上动，如图29-2所示，求AEB ∆面积的最小值，就转化为求圆上一点到直线的最短距离了.于是过C 作CF AB ⊥于F ，则有125AC BC CF AB ⋅==，∴E 点到AB 的最短距离为25，∴AEB ∆面积的最小值为125=125⨯⨯.模型16:四点共圆的四边形有一条对角线的长是定值，则圆有最小直径的问题模型如图30，已知直线ι垂直平分AC ，交AC 于E 点，四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆O e 上，且AC 的长是定值.由图易知：O e 有最小直径，其最小值为AC .图29-2图29-1图29。

中考几何综合压轴题十大模型
中考几何综合压轴题十大模型可能包括以下几种类型的题目：
1. 三角形的性质和定理：如判断三角形的形状（等腰、等边、直角等），判断三角形相似与否，根据三角形的边长和角度求解未知边长和角度等。

2. 直线与平面的关系：如使用相交线测量角度和长度，判断两条直线相交的情况（平行、垂直等），解决平面上的图形间的位置问题等。

3. 圆的性质和定理：如判断两条弦、弧或切线之间的关系，根据已知条件求解圆的半径、直径和弧长等。

4. 四边形的性质和定理：如判断四边形的形状（矩形、正方形、菱形等），求解未知边长和角度，以及确定未知点的坐标等。

5. 长方体与正方体的计算：如计算长方体或正方体的表面积和体积，根据已知条件求解未知边长等。

6. 空间图形的计算：如计算正方体、长方体、圆柱体和锥体等的表面积和体积，根据已知条件求解未知边长和高度等。

7. 平移、旋转和翻转等变换：如根据平移、旋转和翻转等变换的规律解决给定图形的位置问题，计算变换后的坐标等。

8. 三角函数的应用：如根据已知角度和边长求解三角函数的值，
根据三角函数的关系求解未知边长和角度等。

9. 直角三角形的应用：如根据勾股定理求解直角三角形的边长，判断直角三角形的性质和类型等。

10. 平行线和等角定理的应用：如利用平行线和等角定理解决
线段之间的关系和角度问题，根据已知条件求解未知角度和边长等。

几何模型10——正方形中的十字架模型正方形中的两条垂直线段我们可以理解为十字架模型，十字架模型中若两条线段垂直那么这两条线段相等，解决十字架模型一般要用到三角形全等，由正方形中的十字架模型可以推广到其他特殊的四边形中的十字架模型，其中研究的方法和正方形类似！以下是正方形十字架中的一些模型及结论！一、正方形中十字架分类例1.如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE 相交于点G．（1）求证：BE＝AF；（2）若AB＝4，DE＝1，求AF和AG的长．（求AG用等面积法）变式2.如图，正方形ABCD的边长是5。

E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF．BE＝2，求AF的长．例2.如图：正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，BE＝CF，连接AE，BF交于点O，点M为AB中点，连接OM，求证：OM＝AB．先证明：AE⊥BF再利用斜中模型证明变式1.如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE ＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．例3.如图，已知四边形ABCD是正方形，点E、F分别是BC、CD边的中点，连接AE、BF交于点P，连接DP．（1）求证AE⊥BF．（2）求证PD＝AB（倍长BF最简单）或（用四点共圆导角）或（过点D作AP的垂线）．变式1.如图：正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan⊥APD＝．（四点共圆最简单）变式2.如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BC ＝3BE且BE＝CF，AE⊥BF，垂足为G，O是对角线BD的中点，连接OG，求OG的长（建系可以）或（连接AC用A、B、G、O四点共圆可行）例4.取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．（1）求证：BE＝FG．（2）连结CM．若CM＝1，求FG的长．变式1.如果点E、F、G、H分别在BC、CD、DA、AB上，且GE⊥HF，垂足M，求证：GE＝HF．变式2.如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF⊥AD．（1）求证：⊥ABE⊥⊥FMN；（2）若AB＝8，AE＝6，求ON的长．变式3.在菱形ABCD中，E、F、G、H分别为AB，BC，CD，DA边上的动点，连接EG，HF相交于点O，且∠HOE＝∠ADC，求证：EG＝FH变式4.平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB，BC，CD，DA边上的动点，连接EG，HF相交于点O，且∠HOE＝∠ADC，AB＝a，AD＝b，求证：＝结论可以推广到任意特殊平行四边形中变式5.矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为．变式6.四边形ABCD中，⊥ABC＝90°，AB＝AD＝12，BC＝CD＝4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．变式7.取BE的中点M，连接CM，过点C作CG⊥BE交AD于点G，连接EG、MG．若CM＝3，求四边形GMCE的面积．（对角线乘积的一半）变式8.如图2，在Rt⊥ABC中，BA＝BC，⊥ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD 于点E，交AC于F，求AF：FC的值；变式9.如图，在Rt⊥ABC中，⊥ABC＝90°，BA＝BC＝3，D为BC边上的中点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F，求BF的长．变式10.在Rt⊥ACB中，⊥ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB＝3，BC＝4，求CF．二、正方形中的折叠弦图与对称考虑对称点连线被对称轴垂直且平分．如图：结论数量关系：_________位置关系：_________例1.如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AD、BC上，则折痕FG的长度为．变式1.如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于．变式2.如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得A点落在边CD上的E 点，然后压平得折痕FG，若GF的长为13cm，则线段CE的长为．变式3.如图⊥把边长为AB＝6、BC＝8的矩形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长；（2）如图⊥把边长为AB＝2、BC＝4且⊥B＝45°的平行四边形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长．变式4.现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：⊥APB＝⊥BPH；（2）当点P在边AD上移动时，求证：⊥PDH的周长是定值；（3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长．变式5.如图，已知直线y＝﹣x+2分别与x轴、y轴交于点B，A，将⊥AOB沿着AB折叠，使点O与点D重合．当反比例函数y＝的图象经过点D时，求k的值．三、弦图与辅助圆如图（1）A、H、O、D四点共圆（2）C、F、H、D四点共圆（3）B、E、H、F】四点共圆（4）垂足H轨迹是个圆弧（定弦定角）．例1.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最小值为．变式1.如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的动点，满足AE＝BF，连接CE、DF，相交于点G，连接AG，若正方形的边长为2．则线段AG的最小值为．变式2.如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是．。

沪科版2020中考数学十大专题模型突破（学生版）2020 中考数学十大专题模型突破【专题 1】关于圆心角与圆周角的关系问题研究【回归课本】定理内容：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.【解析】∵∠AOC是△ABO 的外角,∴∠AOC=∠ABO+∠BAO.又∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.∴∠AOC=2∠ABO,即∠ABC=∠AOC.如果∠ABC 的两边都不经过圆心，如图 24-1-4-14(2)(3),那么结论会怎样?请你说明理由.【思路导引】本题设计很巧妙，实际上是圆周角定理的证明，可分三种情况讨论:（1）圆心在圆周角的一边上（是已给的情况）；（2）圆心在圆周角内部；（3）圆心在圆周角外部.解：如果∠ABC的两边都不经过圆心,结论∠ABC=∠AOC仍然成立.(1)对图(2)的情况,连结BO 并延长交圆O 于点D,由题图(1)知:∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD.∴∠ABD+∠CBD=∠AOD+∠COD,即∠ABC=∠AOC.(2)对图(3)的情况仿图(2)的情况可证.【规律归纳】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理，了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法。

【典例解析】【例题 1】如图 1，在△ABC中，点D 在边BC 上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O是△ABD 的外接圆．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）当BD是⊙O的直径时（如图2），求∠CAD的度数．【提高检测】：1.（2019•甘肃庆阳•3分）如图，点A，B，S 在圆上，若弦AB 的长度等于圆半径的倍，则∠ASB 的度数是.2.（2019•山东潍坊•3分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AB 为直径，AD＝CD，过点D 作DE⊥AB于点E，连接AC 交DE 于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则BC 的长为（）A．8 B．10 C．12 D．163.四边形 ABCD 中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图 24-1-4-11，求 BD 的长.4.如图所示，在小岛周围的 APB 内有暗礁，在 A、B 两点建两座航标灯塔，且∠APB=θ，船要在两航标灯北侧绕过暗礁区，应怎样航行？为什么？5.（2019•湖北省荆门市•10 分）已知锐角△ABC 的外接圆圆心为 O，半径为 R．（1）求证：＝2R；（2）若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝，求BC 的长及sinC 的值．【专题 2】垂径定理的性质与运用【回归概念】垂径定理：垂径定理是数学几何(圆）中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。

初中数学最实用的模型归纳模型：心连心模型模型：折叠中的“小红旗”模型模型：角平分线+平行线=等腰三角形模型：一线三等角模型模型：探照灯模型模型：双角平分线碰撞模型模型：高与角平分线摩擦模型模型：等面积模型模型：小李飞镖模型模型：半角旋转模型模型：搬新家模型模型：角平分线模型模型：双勾股模型模型：0+0+0=0模型模型：将军饮马模型模型：过桥模型模型：三角形周长最小模型模型：四边形周长最小模型模型：蚂蚁爬行模型模型：两条线段差值最大模型模型：直角三角形斜中模型模型：费马点模型模型：车轮模型模型：单中点变双中点模型模型：对角互补模型模型：大铅锤模型模型：铅笔头模型模型：8字模型模型：相似中的模型模型：十字架模型模型：弦图模型模型：四点共圆模型模型：射影定理模型模型：截长补短模型模型：胡不归模型模型：反比例+三角形任意面积模型模型：12345模型模型：交点个数模型模型：三角函数经典模型模型：燕尾模型模型：对角互补模型模型；2、3倍线的模型模型；数形结合解不等式模型模型：心连心模型模型：折叠中的“小红旗”模型总长xx 有模型：角平分线+平行线=等腰三角形有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

模型：一线三等角模型图3BCAED图2BCAED1图ABDCE模型：探照灯模型图1E DH OBAC【总结】：1.定角定高三角形面积最小值时，该三角形为等腰三角形，其定高是所对底边的垂直平分线，或者说定高过该三角形外接圆圆心。

2.定角可以看做是圆周角，因此它所对圆心角不变，往往要通过圆心角所在等腰三角形中解三角形。

3.定角定高作用，求这类三角形高所对底的最小值，以及这类三角形最小面积例2：已知等边△ABC ，点P 是其内部一个动点，且AP =10，M 、N 分别是AB 、AC 边上的两个动点，求△PMN 周长最小时，四边形AMPN 面积的最大值.【分析】将军饮马+定角夹定高【证明】Ⅰ.分别作P 关于AB 、AC 的对称点1P 、2P ，连12PP 与AB 、AC 分别交于M 、N （如图例2-1）12121PMNCM MN P N PP P PM MN P PN P ++=++≥====∴△PMN 周长最小即12P M N P 、、、共线时。

初中数学几何经典模型精编版几何经典模型在初中数学中占有重要的地位，通过这些模型的学习，可以帮助学生更好地理解几何图形的性质及其变化规律，提高几何思维能力。

下面是初中数学几何经典模型精编版。

一、相似三角形模型1、比例模型：在一个园中，如何取一个点，使得从这个点出发，分别向圆上和圆外伸出两条射线，使得这两条射线的长度之比最大？求出这个比例。

说明：这是相似三角形模型中比例模型的典型问题。

解答：设这个点为P，圆心为O，射线与圆相交于A、B两点，如图所示。

设OP=r，则PA=x，PB=y，由于PA、OP、OB与PB、OP、OA相似，因此有：PA：OP=OP：OB即：x：r=r：y化简得：x:y=r²:（OE²-r²）当x+y最大时，OE=√(r²+xy)，代入得x∶y=r²∶（r²+xy），即：x+y=√(r²+xy)=r√(1+(x∶r)·(y∶r))，因此，此时x∶y=r²∶2r²=1∶2。

(注：该问题也可通过悬臂悬链线模型求解)2、面积模型1：已知ABC内接于⊙O，求AO∶OC。

解答：利用相似性质得：AB∶BC=AO∶CO，AB∶AC=AO∶OA即：AB²=AO·OC，AB²=AO²+OC²-2AO·OCcos∠AOC化简得：AO(OC-2r)=(r+AO)(r-AO)因为r>AO，所以有AO∶CO=r-AO∶r+AO3、面积模型2：已知三角形ABC中∠A=60°, AC=2，AB=a，BC=b，则COSB=log⁡[（a²+b²-4）/6]，计算 COSB。

解答：应用余弦定理和海龙公式，得：①cosB=(4-b²-a²)/(4a)②S(ABC)=[a²√3]/4③S(ABC)=bhA/2|hA=√(a²-1)∵S(ABC)=S(A′B′C′)∴a′b′/A′B′=(√3a/4)/(a/2)=√3/2设h′是A′B′上的高，由相似关系得：=[S(ABC)/2+√3S(ABC)/2]/2=3S(ABC)/4∵A′B′=a/2，设A′O=x∴B′O^2+AO^2=(a/2)^2；AO+x=b；Hence，x=(b²-a²+1)/2b∴cosB′=2x/a=(b²-a²-1)/ab，∴cosB=log⁡[（a²+b²-4）/6]二、圆1、切线定理：如图，⊙O的两条切线AP、BP（AP>BP），AB的中点为C,OC与BP交于K，求证：AK=KC。

专题05正方形的几何模型（十字架模型）1．A【分析】过点P 作PM ⊥BC 于点M ，由折叠得到PQ ⊥AE ，从而得到∠AED =∠APQ ，可得△PQM ≌△ADE ，从而得到PQ =AE ，再由勾股定理，即可求解．解：过点P 作PM ⊥BC 于点M ，由折叠得到PQ ⊥AE ，∴∠DAE +∠APQ =90°，在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D =90°，CD ⊥BC ，∴∠DAE +∠AED =90°，∴∠AED =∠APQ ，∴∠APQ =∠PQM ，∴∠PQM =∠APQ =∠AED ，∵PM ⊥BC ，∴PM =AD ，∵∠D =∠PMQ =90°，∴△PQM ≌△ADE ，∴PQ =AE ，在Rt ADE △中，5DE =，AD =12，由勾股定理得：13AE =，∴PQ =13．故选：A ．【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，得到△PQM ≌△ADE 是解题的关键．2．D【分析】作FH ⊥AB 于H ，交AE 于P ，设AG =GE =x ，在Rt △BGE 中求出x ，在Rt △ABE 中求出AE ，再证明△ABE ≌△FHG ，得到FG =AE ，然后根据S 四边形AGEF =S △AGF +S △EGF 求解即可解：作FH ⊥AB 于H ，交AE 于P ，则四边形ADFH 是矩形，由折叠的性质可知，AG =GE ，AE ⊥GF ，AO =EO ．设AG =GE =x ，则BG =3-x ，在Rt △BGE 中，∵BE 2+BG 2=GE 2，∴12+(3-x )2=x 2，∴x =53．在Rt △ABE 中，∵AB 2+BE 2=AE 2，∴32+12=AE 2，∴AE．∵∠HAP +∠APH =90°，∠OFP +∠OPF =90°，∠APH =∠OPF ，∴∠HAP =∠OFP ，∵四边形ADFH 是矩形，∴AB =AD =HF ．在△ABE 和△FHG 中，HAP OFP ABE GHF AB HF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△FHG ，∴FG =AE，∴S 四边形AGEF =S △AGF +S △EGF =1122GF OA GF OE ⋅+⋅=()12GF OA OE ⋅+=12GF AE ⋅=12=5．故选D．【点拨】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，三角形的面积，以及勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．3．C【分析】设EF=FD=x ，在RT △AEF 中利用勾股定理即可解决问题．解：∵将边长为6cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处，∴EF ＝DE ，AB ＝AD ＝6cm ，∠A ＝90°∵点E 是AB 的中点，∴AE ＝BE ＝3cm ，在Rt △AEF 中，EF 2＝AF 2+AE 2，∴（6﹣AF ）2＝AF 2+9∴AF ＝94故选C ．【点拨】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设未知数利用勾股定理列出方程解决问题，属于中考常考题型．4．B解：过点P 作PM ⊥BC 于点M ，由折叠得到PQ ⊥AE ，∴∠DAE+∠APQ=90°，又∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ ，∵AD ∥BC ，∴∠APQ=∠PQM ，则∠PQM=∠APQ=∠AED ，∠D=∠PMQ ，PM=AD∴△PQM ≌△ADE∴13=.【点拨】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．5．D【分析】由已知可求QF =QB ，在Rt △BPQ 中，由勾股定理求得QB ，可求出S △BQF =25，再证明△ABE ≌△BCF （SAS ），△BGE ∽△BCF ，由此得BF ，GE ，BG ，过点G 作GN ⊥AB 交AB 于N ，可证明△ANG ∽△ABE ，再由GA =AE -GE ，可求得GN ，根据S △QGF =S △BQF -S △BQG 即可求解．解：将BCF △沿BF 翻折得到BPF △，∴PF =FC ，∠PFB =∠CFB ，四边形ABCD 是正方形∴∠FPB =90°，CD ∥AB ，,90AB BC ABE BCF =∠=∠=︒∴∠CFB =∠ABF ，∴∠ABF =∠PFB ，∴QF =QB ，∵PF =FC =12CD 12AB ==PB =AB ，在Rt △BPQ 中，222QB BP PQ =+，∴222(QB QB =-+，∴QB∴S △BQF =1252，∵AB =BC ，BE =CF ，∠ABE =∠BCF =90°，∴△ABE ≌△BCF （SAS ），∴∠AEB =∠BFC ，又∵∠EBG =∠CBF ，∴△BGE ∽△BCF ，GEBGBECF BC BF ∴==，∵CF ，BC∴BF∴GE BG ，过点G 作GN ⊥AB 交AB 于N ，∵∠GAN =∠EAB ，∠ANG =∠ABE =90°，∴△ANG ∽△ABE ，∴GN GABE EA=∵GA =AE -GE =∴GN∴S △BQG =12×QB ×GN =12，∴S故选：D．【点拨】本题考查折叠的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质是解题的关键．6．B【分析】连接BP，取CD的中点M，连接PM，根据折叠的性质，PM＝PQ，GH＝DC，PC＝PG，要求△GPQ 的周长的最小值，只需求PM+PB的最小值，当M、P、B三点共线时，PM+BP＝BM最小，在Rt△BCM中，勾股定理求出BM，即可求解．解：连接BP，取CD的中点M，连接PM，由折叠可知，PM＝PQ，GH＝DC，PC＝PG，在Rt△BCG中，P是CG的中点，∴BP＝PG＝12 GC，∵Q是GH的中点，∴QG＝12 GH，∴△GPQ的周长＝PQ+QG+PG＝PM+12GH+PB＝PM+PB+12CD，∵CD＝3，∴△GPQ的周长＝PM+PB+3 2，当M、P、B三点共线时，PM+BP＝BM最小，在Rt△BCM中，BM，∴△GPQ故选B．【点评】本题考查图形的翻折变换，熟练掌握正方形的性质、直角三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键．7．13【分析】先过点P作PM⊥BC于点M，利用三角形全等的判定得到△PQM≌△AED，从而求出PQ=AE．解：过点P作PM⊥BC于点M，由折叠得到PQ ⊥AE ，∴∠DAE+∠APQ=90°，又∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ ，∵AD ∥BC ，∴∠APQ=∠PQM ，则∠PQM=∠APQ=∠AED ，∠D=∠PMQ ，PM=AD∴△PQM ≌△AED∴22512+=13．故答案是：13．【点拨】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．834【分析】根据正方形的性质得到AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ＝90°，推出∠BAE ＝∠EBH ，根据全等三角形的性质得到CF ＝BE ＝2，求得DF ＝5﹣2＝3，根据勾股定理即可得到结论．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ＝90°，∴∠BAE +∠AEB ＝90°，∵BH ⊥AE ，∴∠BHE ＝90°，∴∠AEB +∠EBH ＝90°，∴∠BAE ＝∠EBH ，在△ABE 和△BCF 中，BAE CBF AB BC ABE BCF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝，＝∴△ABE ≌△BCF （ASA ），∴CF ＝BE ＝2，∴DF ＝5﹣2＝3，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝5，∠ADF ＝90°，由勾股定理得：AF【点拨】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题证明△ABE ≌△BCF 是解本题的关键．9．3【分析】过点M 作MH ⊥CD 于点H ．连接DE ，结合题意可知MN 垂直平分DE ，先通过证明△MHN ≅△DCE得出DE ＝MN ＝CE 的长，最后在Rt △ENC 中利用勾股定理求出DN ，最后进一步求出CN 即可.解：如图所示，过点M 作MH ⊥CD 于点H ．连接DE ．根据题意可知MN 垂直平分DE ，易证得：∠EDC ＝∠NMH ，MH ＝AD ，∵四边形ABCD 是正方形，∴MH ＝AD ＝CD ，∵∠MHN ＝∠C ＝90°，∴△MHN ≅△DCE （ASA ），∴DE ＝MN ＝在Rt △DEC 中，4CE =，设DN ＝EN ＝x ，则CN ＝8x -，在Rt △ENC 中，222NE NC EC =+，∴()22284x x =-+，解得：5x =，∴CN ＝83x -=，故答案为：3．【点拨】本题主要考查了正方形性质和全等三角形性质与判定及勾股定理的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.10．16.【分析】解过点A 作AM ⊥GH 于M ，由正方形纸片折叠的性质得出∠EGH=∠EAB=∠ADC=90°，AE=EG ，则EG ⊥GH ，∠EAG=∠EGA ，由垂直于同一条直线的两直线平行得出AM ∥EG ，得出∠EGA=∠GAM ，则∠EAG=∠GAM ，得出AG 平分∠DAM ，则DG=GM ，由AAS 证得△ADG ≌△AMG 得出AD=AM=AB ，由HL 证得Rt △ABP ≌Rt △AMP 得出BP=MP ，则△PGC 的周长=CG+PG+PC=CG+MG+PM+PC=CG+DG+BP+PC=CD+CB=16．解：过点A 作AM ⊥GH 于M，如图所示：∵将正方形纸片折叠，使点A 落在CD 边上的G 处，∴∠EGH=∠EAB=∠ADC=90°，AE=EG ，∴EG ⊥GH ，∠EAG=∠EGA ，∴AM ∥EG ，∴∠EGA=∠GAM ，∴∠EAG=∠GAM ，∴AG 平分∠DAM ，∴DG=GM ，在△ADG 和△AMG 中90DAG GAM ADG AMG DG GM ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△AMG （AAS ），∴AD=AM=AB ，在Rt △ABP 和Rt △AMP 中AB AM AP AP =⎧⎨=⎩，∴Rt △ABP ≌Rt △AMP （HL ），∴BP=MP ，∴△PGC 的周长=CG+PG+PC=CG+MG+PM+PC=CG+DG+BP+PC=CD+CB=8+8=16，故答案为16．【点拨】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．11．（1）见分析；（2）见分析；【分析】（1）根据正方形的性质得AB =BC ，90ABC BCD ∠=∠=︒，用SAS 证明ABE BCF △△≌，得BAE CBF ∠=∠，根据三角形内角和定理和等量代换即可得；（2）过点B 作BH BN ⊥，交AN 于点H ，根据正方形的性质和平行线的性质，用SAS 证明AGB AGM ≌，得BAG MAG ∠=∠，根据角平分线性质得45BHA GAN ∠=∠=︒，则HBN 是等腰直角三角形，用SAS 证明ABH CBN ≌，得AH =CN ，在Rt HBN 中，根据勾股定理即可得；解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC ，90ABC BCD ∠=∠=︒，在ABE 和BCF △中，AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE BCF △△≌（SAS ），∴BAE CBF ∠=∠，∵1801809090AEB BAE ABC ∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴90AEB CBF ∠+∠=︒，∴180()1809090EGB AEB CBF ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，∴AE BF ⊥；（2）如图所示，过点B 作BH BN ⊥，交AN 于点H，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AC ，90ABC HBN ∠=∠=︒，∵90HBN HBA ABN ∠=∠+∠=︒，90ABC CBN ABN ∠=∠+∠=︒，∴HBA CBN ∠=∠，由（1）得，AE BF ⊥，∴90AGB AGM ∠=∠=︒，∴90HBG AGM ∠=∠=︒,∴//HB AE ，∴BHA EAN ∠=∠，在AGB 和AGM 中，AG AG AGB AGM GB GM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AGB AGM ≌（SAS ），∴BAG MAG ∠=∠，∵AN 平分DAM ∠，∴DAN MAN ∠=∠，∴90BAG MAG MAN DAN ∠+∠+∠+∠=︒，2290MAG MAN ∠+∠=︒，45MAG MAN ∠+∠=︒，45GAN ∠=︒，∴45BHA GAN ∠=∠=︒，∴180180904545BNH HBN BHA ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴HBN 是等腰直角三角形，∴BH =BN ，在ABH 和CBN △中，BH BN HBA CBN AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABH CBN ≌（SAS ），∴AH =CN ，在Rt HBN中，根据勾股定理HN ==，∴AN CN AN AH HN +=+==；【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理和锐角三角函数，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．12．（1）见分析；（2）四边形MNPQ 为正方形，理由见分析；（3）106【分析】（1）由四边形ABCD 为正方形，可得90ABC BCD ∠=∠=︒，推得90ABG CBG ∠+∠=︒，由BG AE ⊥，可得90BAE ABG ∠+∠=︒，可证()ABE BCG ASA ≅△△即可；（2）M 、N 为AB 、AG 中点，可得MN 为ABG 的中位线，可证//MN BG ，12MN BG =，由点M 、N 、P 、Q 分别是AB 、AG 、GE 、EB 的中点，可得PQ 是BEG 的中位线，MQ 为ABE 的中位线，NP 为AEG △的中位线，可证//PQ BG ，12PQ BG =，//MQ AE ，12MQ AE =，//NP AE ，12NP AE =，可证四边形MNPQ 为平行四边形．再证四边形MNPQ 为菱形，最后证MN MQ ⊥即可；（3）延长AO 交BC 于点S ，由对称性可得'BF B F =，'1AB BS ==，AO SO =，由勾股定理可求AS ，可得12AO AS ==设AF x =，在'Rt AB F △中，2221(3)x x +-=，解得53x =，在Rt AOF 中，可求OF =解：（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴90ABC BCD ∠=∠=︒，∴90ABG CBG ∠+∠=︒，∵BG AE ⊥，∴∠AHB =90°，∴90BAE ABG ∠+∠=︒，∴BAE CBG ∠=∠，在ABE 与BCG 中，BAE CBG AB BC ABC BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ABE BCG ASA ≅△△，∴AE BG =．（2）解：四边形MNPQ 为正方形，理由如下：∵M 、N 为AB 、AG 中点，∴MN 为ABG 的中位线，∴//MN BG ，12MN BG =，∵点M 、N 、P 、Q 分别是AB 、AG 、GE 、EB 的中点，∴PQ 是BEG 的中位线，MQ 为ABE 的中位线，NP 为AEG △的中位线，，∴//PQ BG ，12PQ BG =，//MQ AE ，12MQ AE =，//NP AE ，12NP AE =，∴MN PQ =，MQ NP =，∴四边形MNPQ 为平行四边形．∵AE BG =，∴MN MQ =，∴四边形MNPQ 为菱形，∵BG AE ⊥，//MQ AE ，∴MQ BG ⊥，∵//MN BG ，∴MN MQ ⊥，∴四边形MNPQ 为正方形．（3）解：延长AO 交BC 于点S ，由对称性可知'BF B F =，'1AB BS ==，AO SO =，在Rt ABS 中，AS =∴122AO AS ==，设AF x =，则'3BF B F x ==-，在'Rt AB F △中，2221(3)x x +-=，53x =，∴53AF =，在Rt AOF 中，6OF ===．【点拨】本题考查正方形性质与判定，等角的余角性质三角形全等判定与性质，三角形中位线判定与性质，勾股定理，根据勾股定理建构方程，解拓展一元一次方程等知识，掌握以上知识是解题关键．13．（1）178；（2）8-3）①见分析；②164410xy x y ---=，理由见分析【分析】（1）根据EF 是线段BG 的垂直平分线，BE =EG ，设EG =EB =x ，则AE =AB -BE =4-x ，再由勾股定理求解即可；（2）过点F 作FH ⊥AB 于H ，连接FB ，FG ，由BE =8-2DF ，CF =CD -DF =4-DF ，得到BE =2CF ，先证明四边形BCFH 是矩形，得到CF =HB ，则BH =EH =FC ，设AG =x ，BE =y ，则AE =4-y ，GD =4-x ，CF =12y ，142DF y =-由222AE AG EG +=，222GD DF GF +=，222BC FC BF +=，可以得到()2224y x y -+=①，()22221144422x y y ⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②，联立①②求解即可得到答案；（3）①先证明∠EBG =∠EGB ，然后根据ABG +∠AGB =90°，∠EGB +∠BGM =90°，即可得到∠AGB =∠BGM ；②连接BM ，过点B 作BH ⊥GM ，由角平分线的性质得到BH =AB =4，由=44=16ABG MBG BCM CDM ABCD S S S S S +++=⨯△△△△正方形，可以得到()()122244=162x GM y x y +++--，由勾股定理可以得到222DM GD GM +=即()()2224444xy x y ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，最后解方程即可得到答案．解：（1）∵EF 是线段BG 的垂直平分线，∴BE =EG ，∵四边形ABCD 是正方形，且边长为4，∴AB =4，∠A =90°，设EG =EB =x ，则AE =AB -BE =4-x ，∵222AE AG EG +=，∴()22241x x -+=，解得178=x ，∴178EG =；（2）如图所示，过点F 作FH ⊥AB 于H ，连接FB ，FG∵EF 是线段BG 的垂直平分线，∴BF =FG ，∵BE =8-2DF ，CF =CD -DF =4-DF ，∴BE =2CF ，∵四边形ABCD 是正方形，FH ⊥AB ，∴∠HBC =∠C =∠BHF =90°，∴四边形BCFH 是矩形，∴CF =HB ，∴BH =EH =FC ，设AG =x ，BE =y ，则AE =4-y ，GD =4-x ，CF =12y ，142DF y =-∵222AE AG EG +=，222GD DF GF +=，222BC FC BF +=，∴()2224y x y -+=①，()22221144422x y y ⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②，联立①②解得8x =-8x =+，∴当8AG =-BE =8-2DF ，故答案为：8-（3）①∵EF 是线段BG 的垂直平分线，∴EG =BE ，∴∠EBG =∠EGB ，∵四边形ABCD 是正方形，EG ⊥GM ，∴∠A =∠EGM =90°，∴∠ABG +∠AGB =90°，∠EGB +∠BGM =90°，∴∠AGB =∠BGM ，∴BG 平分∠AGM ；②如图，连接BM ，过点B 作BH ⊥GM ，由（3）①得BG 平分∠AGM ，∴BH =AB =4，∵AG =x ，CM =y ，∴DG =4-x ，DM =4-y ，∵=44=16ABGMBG BCM CDM ABCD S S S S S +++=⨯△△△△正方形，∴1111=162222AG AB GM BH CM BC DM GD +++g g g g ，∴()()122244=162x GM y x y +++--，∴44xy GM =-，∵222DM GD GM +=，∴()()2224444xy x y ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭∴222216816816216x y x x y y xy -++-+=-+∴()()22281616x y x y x y +-++=，∴()222416x y x y +-=，∴44xy x y +-=±，当44xy x y +-=时，则4416x y xy +-=，∴16444x y x-==-（不符合题意），∴4416x y xy+-=-∴164410xy x y---=．【点拨】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的面积等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．。