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中考数学几何模型复习专题01 角平分线的五种模型模型一、角平分线垂两边【例1】如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC＝3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（）A．3：2B．6：4C．2：3D．不能确定【例2】如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为___．【变式训练1】如图所示，在四边形ABCD中，DC//AB，∠DAB =90°，AC BC，AC =BC，∠ABC的平分线交A D，AC于点E、F，则BFEF的值是___________.【变式训练2】如图，BD平分ABC的外角∠ABP，DA=DC，DE∠BP于点E，若AB=5，BC=3，求BE的长．【变式训练3，的平分线相交于点E ，过点E 作交AC 于点F ，则EF 的长为 .模型二、角平分线垂中间【例3】 如图，已知，90,,BAC AB AC BD ∠=︒=是ABC ∠的平分线，且CE BD ⊥交BD 的延长线于点E ． 求证：2BD CE =．【变式训练1】如图，已知∠ABC ，∠BAC ＝45°，在∠ABC 的高BD 上取点E ，使AE ＝BC ． （1）求证：CD ＝DE ；（2）试判断AE 与BC 的位置关系？请说明理由；【变式训练2】如图，D 是△ABC 的BC 边的中点，AE 平分∠BAC ，AE ⊥CE 于点E ，且AB =10，AC =16，则DE 的长度为________【变式训练3】如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，AD CD ⊥于点D ,DE //BC 交AB 于点E ，求证:EA EB =.模型三、角平分线+平行线构造等腰三角形【例4】 如图所示，在△ABC 中，BC =6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ =13CE 时，EP +BP =________.【变式训练1】平分于点C ，，求OC 的长？【变式训练2C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且，则AC=．模型四、利用角平分线作对称例.平分.【变式训练】AD是∠ABC的角平分线，过点D作DE∠AB于点E，且DE＝3，S∠ABC＝20．（1）如图1，若AB＝AC，求AC的长；（2）如图2，若AB＝5，请直接写出AC的长．模型五、内外模型【例5】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠AC E的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°的平分线CP与内角BP交于点P，若，则.课后训练4321DA1．如图，BD 是ABC 的外角∠ABP 的角平分线，DA ＝DC ，DE ∠BP 于点E ，若AB ＝5，BC ＝3，则BE 的长为（ ）A ．2B ．1.5C ．1D ．02．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ，若7ABC S =△，32=DE ，5AB =，则AC 的长为（ ）A ．133B ．4C ．5D ．63．如图，在Rt∠ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，CD ＝2，BD ＝3，Q 为AB 上一动点，则DQ 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2.5 D4．如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，BD 平分∠ABC ，AB ＝6，BC ＝9，CD ＝4，则四边形ABCD的面积是______．5．如图，在∠ABC中，AD为∠ABC的角平分线，DE∠AB，垂足为E，DF∠AC，垂足为F，若AB=5，AC=3，DF=2，则∠ABC的面积为______．6．在∠ABC中，∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，∠ACD是∠ABC的外角∠ACD和∠ABC的平分线交于点E，则∠AEB ＝_____∠7．如图，DE∠AB于E，DF∠AC于F，若BD=CD，BE=CF．（1）求证：AD平分∠BAC：（2）已知AC=18，BE=4，求AB的长．8．如图1，在平面直角坐标系中，∠ABC的顶点A（-4，0），B（0，4），AD∠BC交BC于D点，交y轴正半轴于点E（0，t）（1）当t=1时，点C的坐标为；（2）如图2，求∠ADO的度数；（3）如图3，已知点P（0，3），若PQ∠PC，PQ=PC，求Q的坐标（用含t的式子表示）．9AB为直径，CD D，求证：.中考数学几何模型复习专题01 角平分线的五种模型模型一、角平分线垂两边例1.如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC＝3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（）A．3：2B．6：4C．2：3D．不能确定【答案】A【详解】过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．∵AD为∠BAC的平分线，∴DE=DF，又AB：AC=3：2，∴S△ABD：S△ACD=（12AB•DE）：（12AC•DF）=AB：AC=3：2．故选A．例2.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为___．【答案】2【详解】解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，∵PC//OA，∴∠CPO＝∠POD，又∠AOP＝∠BOP＝15°，∴∠CPO＝∠BOP＝15°，又∠ECP为△OCP的外角，∴∠ECP＝∠COP＋∠CPO ＝30°，在直角三角形CEP 中，∠ECP ＝30°，PC ＝4，∴PE ＝12PC ＝2，则PD ＝PE ＝2．故答案为：2． 【变式训练1】如图所示，在四边形ABCD 中，DC //AB ，∠DAB =90°，AC ⊥BC ，AC =BC ，∠ABC 的平分线交AD ，AC 于点E 、F ，则BFEF的值是___________.11221BCBC BC ==--【详解】解：如图，作FG ⊥AB 于点G ，∠DAB -90°，∴FG /AD ，∴BF EF =BGAGAC ⊥BC ，∴∠ACB =90° 又BF 平分∠ABC ，∴FG =FC 在Rt △BGF 和Rt △BCF 中BF BFCF GF=⎧⎨=⎩ ∴△BGF ≌△BCF （HL ），∴BC =BGAC =BC ，∴∠CBA =45°，∴AB =2BC1BF BG BC EF AG AB BG ∴===- 【变式训练2】如图，BD 平分ABC 的外角∠ABP ，DA =DC ，DE ⊥BP 于点E ，若AB =5，BC =3，求BE 的长．【答案】1【详解】解：过点D 作BA 的垂线交AB 于点H ，∵BD平分△ABC的外角∠ABP，DH⊥AB，∴DE＝DH，在Rt△DEB和Rt△DHB中，DE DHDB DB=⎧⎨=⎩，∴Rt△DEB≌Rt△DHB（HL），∴BE＝BH，在Rt△DEC和Rt△DHA中，DE DHDC DA=⎧⎨=⎩，∴Rt△DEC≌Rt△DHA（HL），∴AH＝CE，由图易知：AH＝AB−BH，CE＝BE＋BC，∴AB−BH＝BE＋BC，∴BE＋BH＝AB−BC＝5−3＝2，而BE＝BH，∴2BE＝2，故BE＝1．【变式训练3，，的平分线相交于点E，过点E作交AC于点F，则EF的长为.【答案】【解析】延长FE交AB于点D G H，如图所示：四边形BDEG是矩形，平分CE平分，四边形BDEG是正，，设，则，，，解得，，即，解得，.模型二、角平分线垂中间例．如图，已知，90,,BAC AB AC BD ∠=︒=是ABC ∠的平分线，且CE BD ⊥交BD 的延长线于点E ．求证：2BD CE =． 【答案】见解析【详解】证明：如图，延长CE 与BA 的延长线相交于点F ，∵90,90EBF F ACF F ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴EBF ACF ∠=∠，在ABD △和ACF 中，EBF ACF AB AC BAC CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ABD ACF ASA △≌△，∴BD CF =，∵BD 是ABC ∠的平分线，∴EBC EBF ∠=∠．在BCE ∆和BFE ∆中，EBC EBF BE BE CEB FEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()BCE BFE ASA ≌△△， ∴CE EF =，∴2CF CE =， ∴2BD CF CE ==．【变式训练1】如图，已知△ABC ，∠BAC ＝45°，在△ABC 的高BD 上取点E ，使AE ＝BC ． （1）求证：CD ＝DE ；（2）试判断AE 与BC 的位置关系？请说明理由；【答案】（1）见解析；（2）AE BC ⊥，理由见解析；（3）【详解】（1）证明：∵BD AC ⊥，45BAC ∠=︒，∴90,45EDA BDC ABD BAD ∠=∠=︒∠=∠=︒，∴AD BD =，在Rt ADE △和Rt BDC 中，∵AD BDAE BC =⎧⎨=⎩∴()Rt ADE Rt BDC HL ≅，∴CD ＝DE ； （2）AE BC ⊥，理由如下：如图，延长AE ，交BC 于点F ， 由（1）得,90EAD EBF EAD AED ∠=∠∠+∠=︒，∵AED AEF ∠=∠，∴90BEF EBF ∠+∠=︒，∴90EFB =︒，即AE BC ⊥；【变式训练2】如图，D 是△ABC 的BC 边的中点，AE 平分∠BAC ，AE ⊥CE 于点E ，且AB =10，AC =16，则DE 的长度为________【答案】3【解答】解：如图，延长CE ，AB 交于点F .AE 平分∠BAC ，AE ⊥EC ，∴∠F AE =∠CAE ，∠AEF =∠AEC =90°在△AFE 和△ACE 中，EAF EAC AE AE AEF AEC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠，∴△AFE ≌ACE （ASA ），∴AF =AC =16，EF =EC ，∴BF =6又D 是BC 的中点，∴BD =CD ，∴DE 是△CBF 的中位线，∴DE =12BF =3，故答案为：3. 【变式训练3】如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，AD CD ⊥于点D ,DE //BC 交AB 于点E ，求证:EA EB =.【答案】见解析【解答】证明：延长AD 交BC 于点F .CD 平分ACF ∠, ACD FCD ∴∠=∠.又,,AD CD CD CD ⊥=ADC ∴∆≌FDC ∆,AD FD ∴=. 又DE ∥BC ,EA EB ∴=.模型三、角平分线+平行线构造等腰三角形例.如图所示，在△ABC 中，BC =6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ =13CE 时，EP +BP =________.【答案】12【解答】解：如图，延长BQ 交射线EF 于点M .E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF //BC ，∴∠CBM =∠EMBBM 平分∠ABC ，∴∠ABM =∠CBM ，∴∠EMB =∠EBM ，∴EB =EM ，∴EP +BP =EP +PM =EM CQ =13CE ，∴EQ =2CQ由EF //BC 得，△EMQ ∽△CBQ∴2 212 12EM EQEM BC EP BP BC CQ==∴==∴+=【变式训练1】如图，平分于点C ，，求OC 的长？【解析】如图所示：过点D 作交OA 于点E ，平分，，，.【变式训练2C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AC=．【解析】过点E于G，连接CF，如图所示：分别是的平分线，，CF是的平分线，，，由勾股定理可得.模型四、利用角平分线作对称例.平分.【答案】见解析【解析】证明：在AB上截取，连接DE，如图所示：.【变式训练】AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，且DE＝3，S△ABC＝20．（1）如图1，若AB＝AC，求AC的长；（2）如图2，若AB＝5，请直接写出AC的长．【答案】（1）203；（2）253【详解】解：（1）如图1，作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DF ＝DE ＝3， 由题意得，12×AB ×3＋12×AC ×3＝20，解得，AC ＝AB ＝203； （2）如图2，作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DF ＝DE ＝3， 由题意得，12×5×3＋12×AC ×3＝20，解得，AC ＝253． 模型五、内外模型例.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=30°，E 为BC 延长线上一点，∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点D ，则∠D 的度数为（ ）A ．15°B ．17.5°C ．20°D ．22.5°4321DA【答案】A【解析】∵∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∴∠DCE=∠DCA，∠CBD=∠ABD，即.的外角的平分线CP与内角BP交于点P，若，则.【解析】平分平分，又，过点P的延长线，垂足分别为点E、F、G，如图所示：由角平分线的性质可得，AP是.课后训练1．如图，BD 是ABC 的外角∠ABP 的角平分线，DA ＝DC ，DE ⊥BP 于点E ，若AB ＝5，BC ＝3，则BE 的长为（ ）A ．2B ．1.5C ．1D ．0【答案】C【详解】解：如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，BD 是ABP ∠的角平分线，DF AB ⊥，DE ⊥BP ，DE DF ∴=，在Rt BDE 和Rt BDF 中，BD BDDE DF =⎧⎨=⎩，()Rt BDE Rt BDF HL ∴△≌△，BE BF ∴=，在Rt ADF 和Rt CDE △中，DA DCDE DF =⎧⎨=⎩，()Rt ADF Rt CDE HL ∴△≌△，AF CE ∴=，AF AB BF =-，CE BC BE =+，AB BF BC BE ∴-=+，2BE AB BC ∴=-，5AB =，3BC =，2532BE ∴=-=，解得：1BE =．故选：C ．2．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ，若7ABC S =△，32=DE ，5AB =，则AC 的长为（ ）A ．133B ．4C ．5D ．6【详解】∵AD 是ABC ∆中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ，∴32DF DE ==． 又∵ABC ABD ACD S S S =+，5AB =，∴1313752222AC =⨯⨯+⨯⨯，∴133AC =．故选：A ． 3．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，CD ＝2，BD ＝3，Q 为AB 上一动点，则DQ 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2.5D 【答案】B 【详解】解：作DH ⊥AB 于H ，如图，∵AD 平分∠BAC ，DH ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DH =DC =2，∵Q 为AB 上一动点，∴DQ 的最小值为DH 的长，即DQ 的最小值为2．故选：B ．4．如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，BD 平分∠ABC ，AB ＝6，BC ＝9，CD ＝4，则四边形ABCD 的面积是______．【详解】过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，则∠E＝∠C＝90°，∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝DC=4，∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△BAD＝12×BC×CD＋12×AB×DE＝12×9×4＋12×6×4＝30，故答案为：30．5．如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，若AB=5，AC=3，DF=2，则△ABC的面积为______．【答案】8【详解】解：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=2，∴△ABC的面积=12×5×2+12×3×2=8，故答案侍：8．6．在△ABC中，∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，∠ACD是△ABC的外角∠ACD和∠ABC的平分线交于点E，则∠AEB＝_____︒【答案】25【详解】解：如图示：过点E ，分别作EF BD ⊥交BD 于点E ，EG AC ⊥交AC 于点G ，EH AB ⊥，交AB 延长线于点H ， ∵BE 平分ABC ∠，CE 平分ACD ∠，∴EH EF =，EG EF =，∴EH EG =，∴AE 平分HAC ∠， ∵62ABC ∠=︒，50∠=°ACB ，∴6250112HAC ABC ACB ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴111125622EAO HAC ∠=∠=⨯︒=︒， ∵BE 平分ABC ∠，62ABC ∠=︒∴11623122EBC ABC ∠=∠=⨯︒=︒在AOE △和BOC 中，OBC OCB OAE AEB ∠+∠=∠+∠∴31505625AEB OBC OCB OAE ∠=∠+∠-∠=︒+︒-︒=︒，故答案是：25．7．如图，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若BD =CD ，BE =CF ．（1）求证：AD 平分∠BAC ：（2）已知AC =18，BE =4，求AB 的长．【答案】（1）见解析；（2）10AB =．【详解】（1）证明：DE AB ∵⊥，DF AC ⊥，90E DFC ∴∠=∠=︒，在Rt BED 和Rt CFD △中，BD CD BE CF =⎧⎨=⎩，∴Rt BED Rt CFD ≅()HL ，DE DF ∴=， DE AB ∵⊥，DF AC ⊥，AD ∴平分BAC ∠；（2）解：DE DF =，AD AD =，Rt ADE Rt ADF ∴≅()HL ，AE AF ∴=，AB AE BE AF BE AC CF BE =-=-=--，184410AB ∴=--=．8．如图1，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A （-4，0），B （0，4），AD ⊥BC 交BC 于D 点，交y 轴正半轴于点E （0，t ）（1）当t=1时，点C 的坐标为 ；（2）如图2，求∠ADO 的度数；（3）如图3，已知点P （0，3），若PQ ⊥PC ，PQ=PC ，求Q 的坐标（用含t 的式子表示）．【答案】（1）点C 坐标（1，0）；（2）∠ADO =45°；（3）Q （-3，3-t ）．【详解】（1）如图1，当t =1时，点E （0，1），∵AD ⊥BC ， ∴∠EAO +∠BCO =90°，∵∠CBO +∠BCO =90°，∴∠EAO =∠CBO ，在△AOE 和△BOC 中，∵90EAO CBO AO BO AOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠︒⎩＝，∴△AOE ≌△BOC （ASA ），∴OE =OC =1，∴点C 坐标（1，0）．故答案为：（1，0）；（2）如图2，过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，∵△AOE ≌△BOC ，∴S △AOE =S △BOC ，且AE =BC ，∵OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，∴OM =ON ，∴OD 平分∠ADC ；AD ⊥BC ，90ADC ∴∠=︒∴∠ADO =1452ADC ∠=︒； （3）如图3，过P 作GH ∥x 轴，过C 作CG ⊥GH 于G ，过Q 作QH ⊥GH 于H ，交x 轴于F ，∵P（0，3），C（t，0），∴CG=FH=3，PG=OC=t，∵∠QPC=90°，∴∠CPG+∠QPH=90°，∵∠QPH+∠HQP=90°，∴∠CPG=∠HQP，∵∠QHP=∠G=90°，PQ=PC，∴△PCG≌△QPH，∴CG=PH=3，PG=QH=t，∴Q（-3，3-t）．9AB为直径，CD平分D.【解答】见解析【解析】连接AD、BD，过点A，过点B M、N，如图所示：CD于点D，，，，又，.。
角平分线四大模型模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。
结论：PB=PA 。
模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型实例（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。
求证：AP 平分∠BAC 。
热搜精练1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。
2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。
N M OAB P 2图4321A CP B D AB C图1A B DC模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。
结论：△OPB ≌△OPA 。
模型分析利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型实例（1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由；（2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。
热搜精练1．已知，在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线，AC=16，AD=8。
求线段BC 的长。
A B DCPP O N M B A 图2DP AB C D C 1图P B A ABCD2．已知，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=108°，BD 平分∠ABC 。
三角形角平分线模型（一）引言概述：三角形角平分线模型是数学中的一种重要几何模型。
角平分线是指从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的线段。
三角形中的角平分线起到了连接角的重要作用，本文将围绕三角形角平分线模型展开讨论，并阐述相关的基本概念、性质和定理。
正文：一、角平分线的定义1. 三角形的角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
2. 角平分线可以分为内角平分线和外角平分线两种。
二、内角平分线的性质1. 内角平分线的平行性：三角形内的两条内角平分线互相平行。
2. 内角平分线的长度比例：内角平分线将与其平行的边分成的线段长度比相等。
3. 内角平分线的交点：三角形内的三条内角平分线交于一个点，即内心。
三、外角平分线的性质1. 外角平分线的性质与内角平分线类似，但需要考虑到外角的特殊性。
2. 外角平分线与三角形的其他边的关系：外角平分线与三角形的其他两边相交于一个点。
四、角平分线的定理1. 角平分线定理：如果一条线段从一个角的顶点分别与另外两个角的平分线相交，那么这条线段将该角分成两个相等的角。
2. 角平分线定理的逆定理：如果一条线段从一个角的顶点分别与另外两个角的平分线相交并且将该角分成两个相等的角，那么这条线段将直线包含在内。
五、角平分线模型的应用1. 角平分线模型在三角形的性质推导和证明中起到关键作用。
2. 角平分线模型可以应用于解决的实际问题，例如三角形的角度测量和三角形内部点的位置确定等。
总结：本文围绕三角形角平分线模型展开讨论，介绍了角平分线的定义、性质和定理，并探讨了角平分线模型的应用。
通过对角平分线模型的深入研究，我们可以更好地理解和应用三角形的性质，从而提升解决问题的能力。
在后续的文章中，我们将进一步探讨三角形角平分线模型的相关内容。
2022年中考几何模型一、角平分线模型知识精讲1. 过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质来解决问题2. 若题目中已经有了角平分线和角平分线上一点到一边的垂线段（距离），则作另一边的垂线段，例：已知：AD是的平分线，，过点D于点E，则.3. 在角的两边上取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形（角边等，造全等），已知：点D是平分线上的一点，在OA、OB上分别取点E、F，且，连接DE、DF4. 过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，例：已知：点D是平分线上的一点，过点D作三角形，即.5. 有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边所在直线于一点，也可构造等腰三角形，例：已知：OC平分，点D是OA上一点，过点D作交OB的反向延长线于点E，则.6. 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的另一边相交，则可得到一个等腰三角形，例：已知：OE平分∠AOB，点D在OA上，DE⊥OE，则可延长DE交OB于点F，则DE＝EF，OD＝OF，∠ODF＝∠OFD.7. 有角平分线时，可将等角放到直角三角形中，构造相似三角形，也可以另加一对相等的角构造相似三角形，例：4321DA4231EFCB（1）已知：OC 平分，点E 、F 分别在OA 、OB 上，过点E M ，过点F N（2）已知：OC 平分，点E 、F 在OC 上，于点M ，于点N ，则（3）已知：OC 平分，点E 、F 在OC ，8. 利用“在同圆或等圆中，相等的圆周角（圆心角）所对的弦相等”可得相等线段，例：已知：∠BAC 是圆O 的圆周角，∠DOE 是圆O 的圆心角，AF 平分∠BAC ，OG 平分∠DOE ，连接BF 、CF 、DG 、EG ，则BF ＝CF ，DG ＝EG .9. 【内内模型】如图，两个内角平分线交于点D ，则.10. 【内外模型】如图，的一个内角平分线和一个外角平分线交于点D ，则.11. 【外外模型】如图，交于点D ，则.二、中点模型知识精讲1. 在等腰三角形中有底边中点或证明底边中点时，可以作底边的中线，利用等腰三角形的“三线合一”性质来解决问题.例：已知：在△ABC中，AB＝AC，取BC的中点D，连接AD，则AD平分∠BAC，AD是边BC上的高，AD是BC边上的中线.【说明】应用等腰三角形“三线合一”的性质是证明两条直线垂直的重要方法.2. 在直角三角形中，有斜边中点或有斜边的倍分关系线段时，可以作斜边的中线解决问题，例：（1）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，连接CD，则CD＝AD＝BD.（2）如图，在Rt△ABC中，AB＝2BC，作斜边AB上的中线CD，则AD＝BD＝CD＝BC，△BCD是等边三角形.【总结】在直角三角形中，若遇到斜边的中点，则连接直角顶点与斜边的中点是解决问题的基本方法，作这条辅助线的目的是得到三条相等的线段及两对相等的角. 3. 将三角形的中线延长一倍，构造全等三角形或平行四边形（倍长中线），例：（1）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则△ADC≌△EDB.（2）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则四边形ABEC是平行四边形.4. 将三角形中线上的一部分延长一倍，构造全等三角形或平行四边形，例：如图，已知点E是△AD上的一点，延长AD至点F，使得DE＝DF，连接BF、CF，则四边形BFCE为平行四边形或△BDF≌△CDE或△BED≌△CFD.【总结】证明两条线段相等常用的方法：①当要证明的两条线段是两个三角形的边时，一般通过证明这两条线段所在的两个三角形全等，通过三角形全等的对应边相等来证明两条线段相等；②当两条线段是同一个三角形的两条边时，一般证明这两条边所对的角相等，利用等角对等边证明两条线段相等.5. 有以线段中点为端点的线段时，可以倍长此线段，构造全等三角形或平行四边形，例：如图，已知点C边AE上一点，O为AB的中点，延长CO至点D，使得，连接AD、BD，四边形ADBC为平行四边形.6. 有三角形中线时，可过中点所在的边的两端点向中线作垂线，构造全等三角形，例：如图，AF为△ABC的中线，作BD⊥AF交AF延长线于点D，作CE⊥AF于点E，则△BDN≌△CEN.7. 在三角形中，有一边的中点时，过中点作三角形一边的平行线或把某条线段构造成中位线，利用已知的条件可求线段长，例：如图，D为AB的中点，过点D作DE∥BC，则DE为△ABC的中位线；过点B作BF∥DC 交AC的延长线于点F，则DC为△ABF的中位线.8. 有两个（或两个以上）中点时，连接任意两个中点可得三角形的中位线，例：如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则.9. 有一边中点，并且在已知或求证中涉及线段的倍分关系时，可以取另一边的中点，构造三角形的中位线，例：如图，点E是△ABC边BC的中点，取AC的中点F，连接EF，则EF∥AB，10. 当圆心与弧（或弦）的中点，可以利用垂径定理解决问题，例：（1）如图，，连接AC、OB，则OB⊥AC，OB平分AC.（2）如图，点C为弦AB的中点，连接OC，则OC⊥AB.三、平行模型知识精讲在一些有平行线却没有截线的问题中，通常需要添加辅助线构造“三线八角”，再运用平行线的有关知识解题，常见的辅助线添加方式如下：如果遇到两条平行线之间夹折线，一般应过折点作出与已知平行线平行的直线.1. 如图，已知AB∥CD，点E为AB、CD间的一点，过点E作EF∥AB，则∠A＋∠C＝∠AEC.2. 如图，已知AB∥CD，则∠A＋∠AEC＋∠C＝360°.3. 如图，AB∥CD，则∠B＝∠D＋∠E.4. 如图，AB∥CD，则∠BEG＋∠D＋∠F＝180°.5. 如图，AB∥CD，则∠ABE＝∠D＋∠E.四、垂直模型1. 在三角形中，若题目中已经有一边的高了，常作另一边上的高，然后用同角的余角相等证明角相等.例：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC交AC于点E，交AD于点F，则∠CBE＝∠CAD，∠AFE＝∠C＝∠BFD.除了能得到角度间的关系外，还可以通过构造相似三角形来证明线段成比例或者用于求线段的长度.2. 在四边形中，如果有高线，可以再作垂线，构造特殊的四边形或者直角三角形.例：如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，则四边形BCDE为矩形，△ADE为直角三角形.3. 在直角三角形中，常作斜边上的高，利用同角（等角）的余角相等，可得到相似三角形.例：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，则∠A＝∠DCB，∠B＝∠ACD，△ABC∽△CBD∽△ACD.4. 若题中已有直线的垂线时，可再作已知直线的垂线，得到两条平行线.例：如图，在△ABC中，AF⊥BC于点F，过AB上一点D作DE⊥BC于点E，则DE∥AF，∠BDE＝∠BAF，∠ADE＋∠BAF＝180°，△BDE∽△BAF.5. 若存在过一条直线上两点同时向另一条直线作垂线，可以再作一条垂线，构造一组平行线，利用平行线等分线段定理解决问题.6. 当两条互相垂直的弦的交点恰好在圆上，构成90°的圆周角，可构造直径.例：如图，点A在圆O上，∠BAC＝90°，连接BC，则BC就是圆O的直径.7. 当圆中有互相垂直的弦时，经常作直径所对的圆周角，可以得到垂直于同一条直线的两条直线，利用平行弦所夹的弧相等来解决问题.例：在圆O中，弦AB⊥CD于点E，连接CO并延长交圆O于点F，连接DF，则FD⊥CD，FD∥AB，.8. 当圆中有和弦垂直的线段时，作直径所对的圆周角，可以得到直角三角形，通过相似三角形来解决问题.例：如图，△ABC内接于圆O，CD⊥AB于点D，连接CO并延长交圆O于点E，连接AE，则△ACE∽△DCB.五、对角互补模型知识精讲1. 全等型—90º如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.则可以得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③2. 如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC 平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.3. 全等型—60º和120º如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.4. 全等型—和如图，已知∠AOB＝，∠DCE＝，OC平分∠AOB.则可以得到以下结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC·cos，③.5. 相似型—90º如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，∠BOC＝.结论：CE＝CD·.六、半角模型知识精讲1. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则BE＋DF＝EF.2. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则AE平分∠BEF，AF平分∠DFE.3. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则4. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，过点A作AH⊥EF交EF于点H，则AH＝AB.简证：由上述结论可知AE平分∠BEF，又∵AB⊥BC，∴AH＝AB.5. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，. 简证：由结论1可得EF＝BE＋DF，CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝2AB.6. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：如图，将△AND绕点A顺时针旋90º得到△AGB，连接GM.通过证明△AMG≌△AMN得MN＝MG，DN＝BG，∠GBE＝90º，即可证.7. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则△BME△DFN△AMN△BAN△DMA△AFE.简证：通过证明角相等得到三角形相似，要善于使用上述结论.8. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则简证：连接AC，∵∠DAF＝∠EAC，∠ADB＝∠ACB，∴△ECA△NDA，又∵△AMN△AFE，∴.【补充】通过面积比是相似比的平方比亦可得到9. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：由结论7可得△DAM△BNA，∴，即.10. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：设，在Rt△CEF中，，化简得，.11. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则当BE＝DF时，EF.证明：如图，作△AEF的外接圆，点P为EF的中点，连接OA、OE、OF、PC，过点A作AH⊥EF.∵∠EAF＝45º，∴∠EOF＝90º，设，则，∴当点A、O、P、C四点共线时，即BE＝DF，、EF大值.12. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N简证：由结论8可得△△ECA△NDA，同理可得补充：等腰直角三角形与“半角模型”如图所示，在等腰直角三角形ABC中，若∠DCE＝45º，则.证明：如图，将△ACD绕着点C顺时针旋转90º得到△，连接.∵旋转，∴△ACD≌△，∴AD＝，在△DCE与△中，ED＝，∵∠BE＝∠BC＋∠EBC＝∠DAC＋∠EBC＝90º，∴，.七、倍半角模型知识精讲一、二倍角模型处理方法1. 作二倍角的平分线，构成等腰三角形.例：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，作∠ABC的平分线交AC于点D，则∠DBC＝∠C，DB＝DC，即△DBC是等腰三角形.2. 延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形.例：如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，延长CB到点D，使得BD＝AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形.二、倍半角综合1. 由“倍”造“半”已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可.如图，若，则（）2. 由“半”造“倍”已知半角求倍角，将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可.如图，在Rt△ABC（∠A＜45º）的直角边AC上取点D，当BD＝AD时，则∠BDC＝2∠A，设，则，在Rt△BCD中，由勾股定理可得，解得，故有.三、一些特殊的角度1. 由特殊角30º求tan15º的值如图，先构造一个含有30º角的直角三角形，设BC＝1，，AB＝2，再延长CA至D，使得AD＝AB＝2，连接BD，构造等腰△ABD，则∠D＝∠BAC＝15º，.2. 由特殊角45º求tan22.5º的值由图可得，.3. “345”三角形（1）如图1，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，；（2）如图2，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，；（3）如图3，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，.八、全等模型知识精讲一、几何变换中的全等模型1. 平移全等模型，如下图：2. 对称（翻折）全等模型，如下图：3. 旋转全等模型，如下图：二、一线三等角全等模型4. 三垂直全等模型，如图：5. 一线三直角全等模型，如图：6. 一线三等角与一组对应边相等全等模型，如图：三、手拉手全等模型7. 等腰三角形中的手拉手全等模型如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE，则△ABD ≌△ACE.8. 等边三角形中的手拉手全等模型如图，△ABC与△CDE均为等边三角形，点B、C、E三点共线，连接AE、BD，则△BCD≌△ACE.9. 一般三角形中的手拉手全等模型如图，在任意△ABC中，以AB为边作等边△ADB，以AC为边作等边△ACE，连接DC、BE，则△ADC≌△ACE.10. 正方形中的手拉手全等模型如图，在任意△ABC中，以AB为边作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，连接EC、BG，则△AEC≌△ABG.九、相似模型知识精讲1. A字型与反A字型相似2. 8字型与反8字型相似3. 蝴蝶型相似4. 共角共边相似模型5. 一线三等角6. 旋转相似模型拓展讲解：1. 射影定理（1）双垂直，如图：结论①△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC；②△ADC∽△ACB，AC2＝AD·AB；③△CDB∽△ACB，CB2＝BD·BA.（2）斜射影相似结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2. 对角互补相似如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，点O是AB的中点，若∠EOF＝90º，则.证明：过点O作OD⊥AC于点D，OH⊥BC于点H，如图所示：通过△ODE∽△OHF即可得到3. 三平行相似如图，AB∥EF∥CD，若，则.证明：∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB，∴，即①同理△BEF∽△BCD，∴，即②①＋②，得，.4. 内接矩形相似如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，则△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，.十、倍长中线模型知识精讲1. 如图，在矩形ABCD中，若BD＝BE，DF＝EF，则AF⊥CF.2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB，M为AD的中点，CE⊥AB于点E，则∠DME＝3∠AEM.3. 如图，△ADE与△ABC均为等腰直角三角形，且EF＝CF，求证（1）DF＝BF；（2）DF⊥BF.4. 如图，△OAB∽△ODC，∠OAB＝∠ODC＝90º，BE＝EC，求证：（1）AE＝DE；（2）∠AED＝2∠ABO.十一、弦图模型知识精讲1. 证法一以a、b为直角边（b＞a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2. 证法二以a、b为直角边（b＞a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于3. 证法三以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于4. 证法四如图所示，分别以a、b为直角边，以c为斜边的四个直角三角形全等，图中3个正方形的边长分别为a、b、c，整个图形的面积为S5. 证法五分别以a、b为直角边，以c为斜边的四个直角三角形全等，将它们按如图所示拼成一个多边形，并延长AC交DF于点P.。
角平分线模型概览
什么是角平分线模型？
角平分线模型是一个在几何学中常用的概念，用于描述平面上
的角度结构。
它是由角平分线所构成的几何图形。
角平分线的定义
角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角
的直线。
在平面几何中，任意角都存在唯一的平分线。
角平分线的性质
角平分线具有以下性质：
- 角平分线将原角分成两个相等的角。
- 角平分线与角的两边相交，且相交点在角的顶点所在的直线上。
角平分线模型的应用
角平分线模型在几何学中有广泛的应用，它可以用于解决角度
相关的计算问题。
通过使用角平分线模型，我们可以求解角的大小、角的平分线的长度等。
如何找到角平分线？
要找到一个角的平分线，可以按照以下步骤进行操作：
1. 连接角的两边的端点，画出角的两边。
2. 以角的顶点为圆心，任意取一个半径，画一个圆。
3. 从圆上任意点画一条必须经过圆心的弧，此弧与两边相交于两个点。
4. 连接这两个点和角的顶点，即得到角的平分线。
总结
角平分线模型是几何学中的一个重要概念，用于描述角的平分线。
它具有很多重要性质，并在解决角度计算问题时发挥着重要作用。
找到角平分线的方法可以通过连接角的两边和画圆来实现。
专题07 角平分线的重要模型（一）全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段等）【模型解读与图示】已知如图1，OP 为AOB ∠的角平分线、PM 不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在OB 上截取ON OM =，连结PN 即可.即有OMP ∆≌ONP ∆，利用相关结论解决问题.图121．（2022·湖北十堰·九年级期末）在△ABC 中，∠ACB ＝2∠B ，如图①，当∠C ＝90°，AD 为∠BAC 的角平分线时，在AB 上截取AE ＝AC ，连结DE ，易证AB ＝AC ＋CD ．（1）如图②，当∠C≠90°，AD 为∠BAC 的角平分线时，线段AB ，AC ，CD 又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD 为△ABC 的外角平分线时，线段AB ，AC ，CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【答案】（1）AB AC CD =+；证明见解析；（2）AB AC CD +=；证明见解析．【分析】（1）首先在AB 上截取AE ＝AC ，连接DE ，易证△ADE ≌△ADC （SAS ），则可得∠AED ＝∠C ，ED ＝CD ，又由∠AED ＝∠ACB ，∠ACB ＝2∠B ，所以∠AED ＝2∠B ，即∠B ＝∠BDE ，易证DE ＝CD ，则可求得AB ＝AC ＋CD ；（2）首先在BA 的延长线上截取AE ＝AC ，连接ED ，易证△EAD ≌△CAD ，可得ED ＝CD ，∠AED ＝∠ACD ，又由∠ACB ＝2∠B ，易证DE ＝EB ，则可求得AC ＋AB ＝CD ．【详解】（1）猜想：AB AC CD =+．证明：如图②，在AB 上截取AE AC =，连结DE ，∵AD 为ABC V 的角平分线时，∴BAD CAD ∠=∠，∵AD AD =，∴()SAS ADE ADC ≌△△，∴AED C ∠=∠，ED CD =，∵2ACB B ∠=∠，∴2AED B ∠=∠．∵B EDB ∠=∠，∴EB ED =，∴EB CD =，∴AB AE DE AC CD =+=+．（2）猜想：AB AC CD +=．证明：在BA 的延长线上截取AE AC =，连结ED ．∵AD 平分FAC ∠，∴EAD CAD ∠=∠．在EAD V 与CAD V 中，AE AC =，EAD CAD ∠=∠，AD AD =，∴EAD CAD ≌△△．∴ED CD =，AED ACD ∠=∠．∴FED ACB ∠=∠．又2ACB B ∠=∠，FED B EDB ∠=∠+∠，EDB B ∠=∠．∴EB ED =．∴EA AB EB ED CD +===．∴AC AB CD +=．【点睛】此题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2022·山东烟台·九年级期末）已知在ABC V 中，满足2ACB B ∠=∠，(1)【问题解决】如图1，当90C ∠=︒，AD 为BAC ∠的角平分线时，在AB 上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，求证：AB AC CD =+．(2)【问题拓展】如图2，当90C ∠≠︒，AD 为BAC ∠的角平分线时，在AB 上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由．(3)【猜想证明】如图3，当AD 为ABC V 的外角平分线时，在BA 的延长线上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，线段AB 、AC 、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 【答案】(1)证明见解析(2)成立，证明见解析(3)猜想AB AC CD +=，证明见解析【分析】（1）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅V V ，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED ACD ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得45B BDE ∠=∠=︒，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证； （2）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅V V ，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED C ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得B BDE ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证；（3）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅V V ，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED ACD ∠=∠，从而可得FED ACB ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得B BDE ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证．（1）证明：∵AD 为BAC ∠的角平分线，∴EAD CAD ∠=∠，在AED V 与ACD △中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AED ACD SAS ≅V V ，∴ED CD =，AED ACD ∠=∠，又∵90ACB ∠=︒，2ACB B ∠=∠，∴45B ∠=︒，90AED ∠=︒，∴45AED BDE B ∠=∠=∠−︒，∴B BDE ∠=∠，∴EB ED =，∴EB CD =，∴AB AE EB AC CD =+=+．（2）解：（1）中的结论还成立，证明如下：∵AD 为BAC ∠的角平分线时，∴EAD CAD ∠=∠，在AED V 与ACD △中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AED ACD SAS ≅V V ，∴AED C ∠=∠，ED CD =，∵2ACB B ∠=∠，∴2AED B ∠=∠，又∵AED B EDB ∠=∠+∠，∴B EDB ∠=∠，∴EB ED =，∴EB CD=，∴AB AE EB AC CD =+=+．（3）解：猜想AB AC CD +=，证明如下：∵AD 平分EAC ∠，∴EAD CAD ∠=∠，在AED V 与ACD △中,AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AED ACD SAS ≅V V ，∴ED CD =，AED ACD ∠=∠，如图，∴180180AED ACD ︒−∠=︒−∠，即FED ACB ∠=∠，∵2ACB B ∠=∠，∴2FED B ∠=∠，又∵FED B EDB ∠=∠+∠，∴EDB B ∠=∠，∴EB ED =，∴AB AE EB ED CD +===，∴AB AC CD +=．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．3．（2022·浙江·九年级期中）（1）如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝2∠B ，∠C ＝90°，AD 为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）（2）如图2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．（3）如图3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B ，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．【答案】（1）见解析；（2）AB＝AC＋CD；（3）AB＝CD﹣AC【分析】（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，根据角平分线的定义得到∠1=∠2．推出△ACD≌△AED（SAS）．根据全等三角形的性质得到∠AED=∠C=90，CD=ED，根据已知条件得到∠B=45°．求得∠EDB=∠B=45°．得到DE=BE，等量代换得到CD=BE．即可得到结论；（2）在AC取一点E使AB=AE，连接DE，易证△ABD≌△AED，所以∠B=∠AED，BD=DE，又因为∠B=2∠C，所以∠AED=2∠C，因为∠AED是△EDC的外角，所以∠EDC=∠C，所以ED=EC，BD=EC，进而可证明AB+BD=AE+EC=AC；（3）在AB的延长线AF上取一点E，使得AE=AC，连接DE．证明△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得到DE=BE，BE=CD，即可得出结论．【详解】（1）证明：在AB上取一点E，使AE=AC∵AD为∠BAC的平分线∴∠BAD =∠CAD ．在△ACD 和△AED 中，AE AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△AED （SAS ）．∴∠AED =∠C =90°，CD =ED ，又∵∠ACB =2∠B ，∠C =90°，∴∠B =45°． ∴∠EDB =∠B =45°．∴DE =BE ， ∴CD =BE ．∵AB =AE ＋BE ， ∴AB =AC ＋CD ．（2）证明：在AB 取一点E 使AC=AE ，在△ACD 和△AED 中，AC AE BAD EAD AD AD ＝＝＝⎧⎪∠∠⎨⎪⎩, ∴△ACD ≌△AED ，∴∠C=∠AED ，CD=DE ，又∵∠C=2∠B ，∴∠AED=2∠B ，∵∠AED 是△EDC 的外角，∴∠EDB=∠B ，∴ED=EB ，∴CD=EB ，∴AB=AC+CD ；（3）猜想：AB =CD ﹣AC证明：在BA 的延长线上取一点E ，使得AE =AC ，连接DE ，在△ACD 和△AED 中，AC AE CAD EAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△AED （SAS ），∴∠ACD =∠AED ，CD =DE ，∴∠ACB =∠FED ，又∵∠ACB =2∠B∴∠FED =2∠B ，又∵∠FED =∠B ＋∠EDB ，∴∠EDB =∠B ，∴DE =BE ，∴BE =CD ，∵AB =BE -AE∴AB =CD ﹣AC ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关于线段和差关系的证明，通常采用截长补短法.4．（2022·北京九年级专题练习）在四边形ABDE 中，C 是BD 边的中点．（1）如图（1），若AC 平分BAE ∠，90ACE ∠=︒，则线段AE 、AB 、DE 的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）（2）如图（2），AC 平分BAE ∠，EC 平分AED ∠，若120ACE ∠=︒，则线段AB 、BD 、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．【答案】（1）AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋12BD，证明见解析．【分析】（1）在AE上取一点F，使AF＝AB，由三角形全等的判定可证得△ACB≌△ACF，根据全等三角形的性质可得BC＝FC，∠ACB＝∠ACF，根据三角形全等的判定证得△CEF≌△CED，得到EF＝ED，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG，根据全等三角形的判定证得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性质证得CF＝CG，进而证得△CFG是等边三角形，就有FG＝CG＝12BD，从而可证得结论．【详解】解：（1）如图（1），在AE上取一点F，使AF＝AB．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．在△ACB和△ACF中，AB AFBAC FACAC AC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF．∵C是BD边的中点，∴BC＝CD．∴CF＝CD．∵∠ACE＝90°，∴∠ACB＋∠DCE＝90°，∠ACF＋∠ECF＝90°．∴∠ECF＝∠ECD．在△CEF和△CED中，CF CDECF ECDCE CE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△CEF≌△CED（SAS）．∴EF＝ED．∵AE＝AF＋EF，∴AE＝AB＋DE．故答案为：AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋12BD．证明：如图（2），在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG．∵C 是BD 边的中点，∴CB ＝CD ＝12BD ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ． 在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴CF ＝CB ，∠BCA ＝∠FCA ．同理可证：△ECD ≌△ECG ∴CD ＝CG ，∠DCE ＝∠GCE ．∵CB ＝CD ，∴CG ＝CF ．∵∠ACE ＝120°，∴∠BCA ＋∠DCE ＝180°−120°＝60°．∴∠FCA ＋∠GCE ＝60°．∴∠FCG ＝60°．∴△FGC 是等边三角形．∴FG ＝FC ＝12BD ．∵AE ＝AF ＋EG ＋FG ，∴AE ＝AB ＋DE ＋12BD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．模型2.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】已知如图1，OP 为OAB ∠的角平分线、PM OA ⊥于点M 时，辅助线的作法大都为过点P 作PN OB ⊥即可.即有PM PN =、OMP ∆≌ONP ∆等，利用相关结论解决问题. 图1 图2图3邻等对补模型：已知如图2，AP 是∠CAB 的角平分线，EP =DP辅助线：过点P 作PG ⊥AC 、PF ⊥AB结论：①︒=∠+∠180EPD BAC （D P E A 、、、四点共圆）；②EG DF =；③DF AE AD 2+=1．（2022·北京·中考真题）如图，在ABC ∆中，AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____．【答案】1【分析】作DF AC ⊥于点F ，由角平分线的性质推出1DF DE ==，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于点F ，∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴1DF DE ==， ∴1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=．故答案为：1． 【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边的高是解题的关键．B2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】C 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP ＝∠FAP ，即可得出答案.【详解】解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD ＝x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP ＝∠PCD ＝x °，PM ＝PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ，∴PF ＝PM ，∵∠BPC ＝40°，∴∠ABP ＝∠PBC ＝∠PCD ﹣∠BPC ＝（x ﹣40）°，∴∠BAC ＝∠ACD ﹣∠ABC ＝2x °﹣（x °﹣40°）﹣（x °﹣40°）＝80°，∴∠CAF ＝100°，在Rt △PFA 和Rt △PMA 中，{PA PA PM PF==， ∴Rt △PFA ≌Rt △PMA （HL ），∴∠FAP ＝∠PAC ＝50°．故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM ＝PN ＝PF 是解题的关键．3．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在ABCD Y 中，BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，交AC 于点E G 、．(1)求证：,BE DG BE DG =∥；(2)过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ．若ABCD Y 的周长为56，6EF =，求ABC ∆的面积． 【答案】(1)见详解(2)84【分析】（1）由平行四边形的性质证()ABE CDG ASA ∆≅∆即可求证；（2）作EQ BC ⊥，由ΔΔΔABC ABE EBC S S S =+即可求解；（1）证明：在ABCD Y 中，∵//AB CD ，∴BAE DCG ∠=∠，∵BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，ABC ADC ∠=∠，∴ABE CDG ∠=∠，在ABE ∆和CDG ∆中，∵BAE DCG AB CDABE CDG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ABE CDG ASA ∆≅∆，∴BE DG AEB CGD =∠=∠，，∴BE DG ∥．（2）如图，作EQ BC ⊥，∵ABCD Y 的周长为56，∴28AB BC +=，4．（2022·河北·九年级专题练习）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析【分析】（1）结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．（2）结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF=CG；证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF=CG．理由如下：如图，过点C 作CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，∵OP 平分∠AOB ，CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，∠AOB =120°，∴CM =CN （角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠AOC =∠BOC =60°（角平分线的性质），∵∠DCE =∠AOC ，∴∠AOC =∠BOC =∠DCE =60°，∴∠MCO =90°-60° =30°，∠NCO =90°-60° =30°，∴∠MCN =30°+30°=60°，∴∠MCN =∠DCE ，∵∠MCF =∠MCN -∠DCN ，∠NCG =∠DCE -∠DCN ，∴∠MCF =∠NCG ，在△MCF 和△NCG 中，CMF CNG CM CNMCF NCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MCF ≌△NCG （ASA ），∴CF =CG （全等三角形对应边相等）．【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．模型3.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】已知如图1，OP 为AOB ∠的角平分线，PM OP ⊥于点P 时，辅助线的作法大都为延长MP 交OB 于点N 即可。
角平分线四大模型模型1 角平分线的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，则PB＝PA模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口模型实例（1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6,BD＝4,那么点D到直线AB的距离是解答：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠CAB,∴CD＝DE.∵CB＝6,BD＝4,∴DE＝CD＝2，即点D到直线AB的距离是2.（2）如图②，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC证明：如图，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，∵∠1＝∠2，∴PD＝PE,∵∠3＝∠4, ∴PE＝PF，∴PD＝PF又∵PD⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC（角平分线的判定）练习1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC,BD平分∠ABC ，求证：∠BAD＋∠BCD＝180°证明：作DE⊥BC于E，作DF⊥BA的延长线于F，∴∠F＝∠DEC＝90°,∵BD平分∠ABC,∴DF＝DE，又∵AD＝DC，∴△DFA≌DEC,∴∠FAD＝∠C∵∠FAD＋∠BAD＝180°，∴∠BAD＋∠BCD＝180°2.如图，△ABC的外角∠ACD∠的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝.解答：如图所示，作PN⊥BD于N，作PF⊥BA，交BA延长线于F，作PM⊥AC于M ∵BP、CP分别是∠CBA和∠DCA的角平分线，∴∠ABP＝∠CBP,∠DCP＝∠ACP，PF＝PN＝PM，∵∠BAC＝∠ACD－∠ABC，∠BPC＝∠PCD－∠PBC(外角性质)∴∠BAC＝2∠PCD－2∠PBC＝2(∠PCD－∠PBC)＝2∠BPC＝80°∴∠CAF＝180°－∠BAC＝100°，∵PF＝PM∴AP是∠FAC的角平分线，∴∠CAP＝∠PAF＝50°模型2 截取构造对称全等如图，P是∠MON的平分线上的一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA,连接PB，则△OPB≌△OPA模型分析利用角平分线图形的对称性，在铁的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边，对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧模型实例（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由解题：PB+PC＞AB+AC证明：在BA的延长线上取点E,使AE＝AB,连接PE，∵AD平分∠CAE∴∠CAD＝∠EAD，在△AEP与△ACP中，∵AE＝AB，∠CAD＝∠EAD,AP＝AP，∴△AEP≌△ACP （SAS），∴PE＝PC∵在△PBE中：PB+PE＞BE,BE＝AB+AE＝AB+AC，∴PB+PC＞AB+AC（2）如图②所示，AD是△ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PC－PB与AC－AB的大小，并说明理由解答：AC-AB>PC-PB证明:在△ABC中, 在AC上取一点E,使AE=AB ，∴AC-AE=AB-AC=BE∵AD平分∠BAC ，∴∠EAP=∠BAP ，在△AEP和△ACP中∴△AEP≌△ABP (SAS) ，∴PE=PB ，∵在△CPE中CE>CP-PE ，∴AC-AB>PC-PB练习1.已知，在△ABC中，∠A＝2∠B,CD是∠ACB的平分线，AC＝16,AD＝8,求线段BC的长解：如图在BC边上截取CE＝AC，连结DE，在△ACD和△ECD中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CD CD ECD ACD EC AC∴△ACD ≌△ECD(SAS)∴AD ＝DE ， ∠A ＝∠1 ，∵∠A ＝2∠B ，∴∠1＝2∠B ，∵∠1＝∠B ＋∠EDB ， ∴∠B ＝∠EDB ，∴EBB ＝ED ， ∴EB ＝DA ＝8，BC ＝EC ＋BE ＝AC ＋DA ＝16＋8＝242. 在△ABC 中，AB ＝AC,∠A ＝108°,BD 平分∠ABC ，求证：BC ＝AB ＋CD证明：在BC 上截取BE ＝BA ，连结DE ，∵BD 平分∠ABC,BE ＝AB,BD ＝BD∴△ABD ≌△EBD(SAS)，∴∠DEB ＝∠A ＝108°，∴∠DEC ＝180°－108°＝72°∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠ABC＝12(180°－108°)＝36°，∴∠EDC ＝72° ， ∴∠DEC ＝∠EDC ，∴CE ＝CD ，∴BE ＋CE ＝AB ＋CD ，∴BC ＝AB ＋CD3.如图所示，在△ABC 中，∠A ＝100°,∠ABC ＝40°,BD 是∠ABC 的平分线，延长BD 至E ，使DE ＝AD ，求证：BC ＝AB ＋CE证明：在CB 上取点F ，使得BF ＝AB,连结DF ，∵BD 平分∠ABC ，BD ＝BD∴△ABD ≌△FBD ，∴DF ＝AD ＝DE,∠ADB ＝∠FDB ，∴BD 平分∠ABC∴∠ABD ＝20°,则∠ADB ＝180°－20°－100°＝60°＝∠CDE∠CDF ＝180°－∠ADB －∠FDB ＝60°，∴∠CDF ＝∠CDE ，在△CDE 和△CDF 中 ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CD CD CDE CDF DF DE∴△CDE ≌CDF ，∴CE ＝CF ，∴BC ＝BF ＋FC ＝AB ＋CE模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是∠MON 的平分线上一点，AP 丄OP 于P 点，延长AP 交ON 于点.B,则△AOB 是等腰三角形.模型分析构造此模型可以利用等腰三角形的"三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形.进而得到对应边.对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来.模型实例如图.己知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°, AB=AC, BD平分∠ABC, C£丄BD.垂足为E.求证：BD=2C£.解答：如图，延长CE、BA交于点F,∵CE丄BD于E, ∠BAC=90°，∴∠BAD=∠CED. ∴∠ABD=∠ACF.又∵AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°, ∴△ABD≌△ACF.∴ BD=CF.∵BD平分∠ABC, ∴∠CBE=∠FBE. 又BE=BE,∴△BCE≌△BFE.∴CE=EF. ∴BD=2CE.练习1.如图.在△ABC中.BE是角平分线.AD丄BE.垂足为D.求证：∠2=∠1+∠C.证明：延长AD交BC于F,∵AD⊥BE, ∴∠ADB=∠BDF=90°, ∵∠ABD=∠FBD,∴∠2=∠BFD. ∵∠BFD=∠1+∠C,∴∠2=∠1+∠C.2.如图.在△ABC中. ∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分线, BE丄AD于点E.求证:1()2BE AC AB=-.(2)证明:延长BE 交AC 于点F.∵AD 为∠BAC 的角平分线,∴∠BAD=∠CAD.∵AE=AE, ∴∠BAE=∠FAE,则△AEB ≌△AEF ，∴AB=AF, BE=EF, ∠ 2=∠3.∴AC-AB=AC-AF=FC. ∵∠ABC=3∠C,∴∠2+∠1=∠3+∠1=∠1+∠C+∠1=3∠C.∴2∠1=2∠C即∠1=∠C ∴BF=FO=2BE.∴()1122BE FC AC AB ==-模型4 角平分线+平行线模型分析有角平分线时.常过角平分线上一点作角的一边的平行线. 构造等腰三角形.为证明结论提供更多的条件.体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系.模型实例解答下列问题：(1)如图①.△ABC 中，EF ∥BC,点D 在EF 上,BD 、CD 分别平分∠ABC 、∠ACB.写出线段EF 与BE 、CF 有什么数量关系？(2)如图②，BD 平分∠ABC,CD 平分外角∠ACG. DE//BC 交AB 于点E,交AC 于点F ，线段EF 与BE 、CF 有什么数量关系？并说明理由.(3)如图③，BD 、CD 为外角∠CBM 、∠BCN 的平分线，DE//BC 交AB 延长线于点E.交AC 延长线于点F,直接写出线段EF 与BE 、CF 有什么数关系？解答：(1) ∵EF//BC,∴∠EDB=∠DBC.∴BD平分∠EBC，∴∠EBD=∠DBC=EDB. ∴EB=ED. 同理：DF=FC. ∴EF=ED+DF=BE+CF.(2)图②中有EF=BE=CF，BD平分∠BAC,∴∠ABD=∠DBC.又DE//BC、∴∠EDB=∠DBC. ∴DE=EB.同理可证：CF=DF ∴EF=DE-DF=BE-CF.(3) EF=BE+CF.练习1.如图. 在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E.过点E作MN∥BC交AB于M点. 交AC于N点.若BM+CN=9，则线段MN的长为.解答：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E,∴MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB.∵MN//BC, ∴∠EBC=∠MEB, ∠NEC=∠ECB. ∴∠MBE-∠MEB, ∠NEO=∠ECN.∴BM=ME, EN=CN. ∴MN=ME+EN,即MN=BM+CN.∵BM+CN=9,∴MN=9.2. 如图. 在△ABC中,AD平分∠BAC.点E、F分別在BD，AD上,EF∥AB.且DE=CD,求证：EF=AC.证明：如图，过点C作CM∥AB交AD的延长线于点M,∵AB∥EF,∴CM∥EF.∴∠3=∠4. ∵DE=CD, ∠5=∠6, ∴△DEF≌△DCM.∴EF=CM. ∵AB//CM,∴∠2=∠4. ∵∠1=∠2,∴∠1=∠4.∴CM=AC.∴EF=AC3.如图.梯形ABCD中,AD∥BC,点E在CD上,且AE平分∠BAD.BE平分∠ABC.求证：AD=AB-BC.证明：延长AD 、BE 交于点F.∵AD ∥BC,∴∠2=∠F. ∵∠1=∠2,∴∠1=∠F.∴AB=AF. ∵AE 平分∠BAD ∴BE=EF. ∵∠DEF=∠CEB,∴△DEF ≌△CEB.∴DF=BC.∴AD=AF-DF=AB-BC.。
z全等模型-角平分线模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型解读与图示】条件：如图1，为的角平分线、于点A 时，过点C 作. 结论：、≌.图1 图2常见模型1（直角三角形型）条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D 作.结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.）图3 常见模型2（邻等对补型）条件：如图3，OC 是∠COB 的角平分线，AC =BC ，过点C 作CD ⊥O A 、CE ⊥OB 。
结论：①；②；③.OC AOB ÐCA OA ^CA OB ^CA CB =OAC D OBCD ABC D 90C Ð=°AD CAB ÐDE AB ^DC DE =DAC D DAE D ABC D AB AC CD =+180BOA ACB Ð+Ð=°AD BE =2OA OB AD =+z例1．（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，在中，，是的平分线，若，，则的长是（ ）A ．4B ．3C ．2 D ．1【答案】A【分析】如图，过D 作于E ，利用三角形的面积公式求出，再据角平分线的性质得出答案． 【详解】解：如图，过D 作于E ，∵，，∴，∴，∵，即，是的角平分线，∴，故选：A ．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．例2．（2023·河北保定·八年级校考阶段练习）如图，已知、的角平分线、相交于点，Rt ABC △90C Ð=°BD ABC Ð10AB =20ABD S =!CD DE AB ^4DE =DE AB ^10AB =20ABD S =!11102022ABD S AB DE DE =×=´×=!4DE =90C Ð=°DC BC ^BD ABC Ð4CD DE ==ABC ÐEAC ÐBP AP Pz【答案】A【分析】作于点，根据角平分线的判定定理和性质定理，即可判断①结论；根据角平分线的定义和三角形外角的性质，即可判断②结论；先根据四边形内角和，得出，再证明，，得到，，即可判断③结论；根据全等三角形面积相等，即可判断④结论． 【详解】解：①作于点，平分，，，平分，，，， 点在的角平分线上，平分，①结论正确；②平分，平分，，，，，，，，，②结论正确；③，，，， ，，在和中，，，同理可证，，，， ，故③结论正确；④，，，，故④结论不正确；综上所述，正确的结论是①②③，故选：A ．PD AC ^D 180MPN ABC Ð=°-Ð()Rt Rt HL AMP ADP !!≌()Rt Rt HL CDP CNP !!≌12APD MPD Ð=Ð12CPD NPDÐ=ÐPD AC ^D BP !ABC ÐPM BE ^PN BF ^PM PN \=AP !EAC ÐPM BE ^PD AC ^PM PD \=PN PD \=\P ACF ÐCP \ACF ÐBP !ABC ÐCP ACF Ð2ABC PBC \Ð=Ð2ACF PCF Ð=ÐACF ABC BAC Ð=Ð+Ð!PCF PBC BPC Ð=Ð+Ð()2ABC BAC PBC BPC \Ð+Ð=Ð+Ð222PBC BAC PBC BPC \Ð+Ð=Ð+Ð2BAC BPC \Ð=Ð12BPC BAC\Ð=ÐPM AB ^!PN BC ^90AMP CNP \Ð=Ð=°360ABC CNP MPN AMP Ð+Ð+Ð+Ð=°!3609090180MPN ABC ABC \Ð=°-°-°-Ð=°-ÐPM PN PD ==!Rt AMP !Rt ADP !AP APPM PD =ìí=î()Rt Rt HL AMP ADP \!!≌()Rt Rt HL CDP CNP !!≌12APD APM MPD \Ð=Ð=Ð12CPD CPN NPDÐ=Ð=Ð()()1111180902222APC APD CPD MPD NPD MPN ABC ABC \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°-Ð=°-ÐRt Rt AMP ADP !""≌Rt Rt CDP CNP !!≌AMP ADP S S \=!!CDP CNP S S =!!AMP CNP ADP CDP APC S S S S S \+=+=!!!!!z【点睛】本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，三角形外角的定义，四边形内角和，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．例3．（2023·福建南平·八年级统考期中）如图所示，，是的中点，平分． （1）求证：是的平分线；（2）若，求的长．【答案】（1）详见解析；（2）8cm.【分析】（1）过点E 分别作于F ，由角平分线的性质就可以得出EF=EC ，根据HL 得，即可得出结论；（2）根据角平分线和平行线的性质求出 ，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解.【详解】（1）证明：过点E 分别作于F ，∴∠DFE=∠AFE=90°．∵∠B=∠C=90°，∴∠B=∠AFE=∠DFE=∠C=90°．∴CB ⊥AB ，CB ⊥CD ． ∵DE 平分∠ADC ．∴∠EDC=∠EDF ，CE=EF ． ∵E 是BC 的中点，∴CE=BE ，∴BE=EF ．在Rt △AEB 和Rt △AEF 中， ，∴Rt △AEB ≌Rt △AEF （HL ），∴∠EAB=∠EAF ，∴AE 是∠DAB 的平分线；（2）解：∵∠B=∠C=90°，∴AB ∥CD ，∴∠BAD+∠ADC=180°， ∵∠BAD=60°，平分，AE 是∠DAB 的平分线， ， ，，∵∠C=90° ∴ ， ，90B C Ð=Ð=!E BC DE ADC ÐAE DAB Ð2cm,BAD=60CD =Ð!AD EF AD ^AEB AEF D D ≌30CED DAE Ð=Ð=°EF AD ^EB=EFAE=AE ìíîDE ADC Ð60ADE CDE Ð=Ð=°∴30DAE Ð=°A 90DE =°∠A 30D E =°∠C 30DE =°∠z.故答案为（1）详见解析；（2）8cm.【点睛】本题考查角平分线的性质，线段中点的定义，全等三角形的判定与性质的运用，含30°角的直角三角形，证明三角形全等是解（1）题的关键，掌握含30°角的直角三角形的性质是解（2）题的关键． 例4．（2022秋·辽宁葫芦岛·八年级校联考期中）已知，平分，点在射线上，点在射线上，点在直线上，连接，，且．(1)如图1，当时，与的数量关系是______．(2)如图2，当是钝角时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； (3)当时，若，，请直接写出与的面积的比值． 【答案】(1)(2)成立；证明见解析(3)2或4（或也行）【分析】（1）过点作于，于，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得出结论；（2）过点作于，于，证明，得到；（3）分点在射线上，点在射线的反向延长线上两种情况，仿照（2）的方法解答即可．【详解】（1）如图1，过点作于，于，四边形为矩形，，， ，248AD DE CD cm \===OA MON ÐP OA B OM C ON PB PC 180MON BPC Ð+Ð=°90MON Ð=°PB PC MON Ð120MON Ð=°6OP =2OC =OBP !OCP △PB PC =2:14:1P PE OM ^E PF ON ^F PE PF =EPB FPC @!!P PE OM ^E PF ON ^F EPB FPC @!!PB PC =C ON C ON P PE OM ^E PF ON ^F 90MON \Ð=°\PEOF 90EPF \Ð=°90EPB BPF \Ð+Ð=°180MON BPC Ð+Ð=°!90MON Ð=°z，，， 平分，，，，在和中，，，，故答案为．（2）解：成立，理由如下：如图2，证明：过点分别作于点，作于点．∴ ∵平分，∴∵在四边形中， ∴ 又∵∴在和中，∴∴．（3）解：如图3，过点分别作于点，作于点．平分，，与的面积的比值为2。
