高考数学讲义微专题17函数的极值(含详细解析)

《函数的极值》讲义在数学的广袤天地中，函数是一个极其重要的概念，而函数的极值问题则是其中一个关键且富有魅力的部分。

一、函数极值的定义首先，咱们得搞清楚啥是函数的极值。

简单来说，对于一个给定的函数，如果在某个点的附近，函数值比这个点的函数值都大（或者都小），那这个点对应的函数值就是函数的一个极值。

极大值就是在这点附近函数值最大，极小值就是在这点附近函数值最小。

比如说，有个函数 f(x)，在 x ＝ a 这点，它左边的函数值都比 f(a) 小，右边的函数值也都比 f(a) 小，那 f(a) 就是一个极小值。

要是左边右边的函数值都比 f(a) 大，那 f(a) 就是极大值。

二、如何判断函数的极值那怎么知道一个函数在某个点是不是有极值呢？这就得靠导数啦。

如果函数在某点的导数为 0，并且在这点的左侧导数为正，右侧导数为负，那这点就是极大值点；反过来，如果左侧导数为负，右侧导数为正，那这点就是极小值点。

为啥是这样呢？咱们可以这么想，导数为正的时候，函数是上升的；导数为负的时候，函数是下降的。

所以从上升到下降的转折点就是极大值点，从下降到上升的转折点就是极小值点。

举个例子，函数 f(x) ＝ x²，它的导数是 f'（x) ＝ 2x。

当 x ＝ 0 时，导数为 0。

在 x ＜ 0 时，导数为负，函数下降；在 x ＞ 0 时，导数为正，函数上升。

所以 x ＝ 0 就是极小值点，极小值是 f(0) ＝ 0。

但是要注意哦，导数为 0 的点不一定都是极值点。

比如说函数 f(x)＝ x³，它的导数 f'（x) ＝ 3x²，当 x ＝ 0 时，导数为 0，但是在 x ＝ 0的两侧，导数的符号是一样的，都是正的，所以 x ＝ 0 不是极值点。

三、函数极值的求法知道了怎么判断极值，那咱们来看看怎么求函数的极值。

第一步，先求出函数的导数。

第二步，令导数等于 0，解出这些方程的根。

第三步，根据上面说的判断方法，判断这些根是不是极值点。

高考数学中的函数极值问题详解函数极值是高考数学考试中必考的一个知识点，也是数学经典中的基础概念之一。

对于几乎所有的数学应用问题，都可以抽象出一个函数模型，因此函数极值的研究具有很高的实用性和理论意义。

本文将详细解析高考数学中的函数极值问题，包括一元函数和多元函数两种情况。

一、一元函数1. 什么是函数极值在一元函数的定义域内，若存在一点x0，使得它的函数值f(x0)不小于（或不大于）其它点的函数值，那么称f(x0)为函数的一个极大值（或极小值），x0称为极值点。

如下图所示，函数f(x)在x=a处达到极大值，x=b处达到极小值。

（图片来源于B站UP主@水良之家）2. 极值的判定方法（1）导数法对于一元函数f(x)，其导数f'(x)能够反映函数的增减性和变化趋势，因此使用导数来判断函数的极值是一种比较常见的方法。

具体来说，求出函数的导数，并令导数为0，求解其值即可得到原函数的极值点。

若导数为0的点是可导的，则它一定是极值点。

若导数为0的点不可导，则需要用单侧极限来进行讨论。

下面是一个例题：已知函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的驻点和极值点，试求f(x)的极值。

解：首先求导，得到f'(x)=3x²-3，令其为0，则得到x=±1又由于f(x)在-2,1,2处是可导的，因此极值点分别为x=-1,x=1。

在x=-2处不是极值点，它是函数f(x)的最小值点。

（2）二阶导数法在一元函数的定义域内，若f'(x0)=0且f''(x0)>0，说明在x0处函数的单调性发生了变化，由单调减变为单调增，因此x0就是函数的一个极小值点。

反之若f'(x0)=0且f''(x0)<0，则x0为函数的一个极大值点。

在使用这种方法时需要注意，函数的二阶导数f''(x)在某些情况下可能不存在，此时不能使用该方法来判定函数的极值。

高考数学知识点解析函数的极值与拐点高考数学知识点解析：函数的极值与拐点在高考数学中，函数的极值与拐点是一个重要的知识点，也是考试中经常出现的考点。

理解和掌握这两个概念对于解决函数相关的问题至关重要。

接下来，让我们深入探讨一下函数的极值与拐点。

一、函数的极值1、极值的定义函数的极值是指在函数定义域内的某个局部区域内，函数取得的最大值或最小值。

具体来说，如果在函数定义域内的某一点 x₀处，存在一个邻域，使得在这个邻域内，函数值都小于（或大于） f(x₀)，那么f(x₀) 就是函数的一个极大值（或极小值）。

2、极值的判定（1）一阶导数判别法设函数 f(x) 在点 x₀处可导，且 x₀为函数的驻点（即 f'（x₀) ＝0）。

当 x ＜ x₀时，f'（x) ＞ 0；当 x ＞ x₀时，f'（x) ＜ 0，则 f(x₀) 为极大值。

当 x ＜ x₀时，f'（x) ＜ 0；当 x ＞ x₀时，f'（x) ＞ 0，则 f(x₀) 为极小值。

（2）二阶导数判别法设函数 f(x) 在点 x₀处二阶可导，且 f'（x₀) ＝ 0，f'＇（x₀) ≠ 0。

若 f'＇（x₀) ＜ 0，则 f(x₀) 为极大值；若 f'＇（x₀) ＞ 0，则 f(x₀) 为极小值。

3、求极值的步骤（1）求出函数的导数 f'（x)。

（2）令 f'（x) ＝ 0，求出驻点。

（3）根据一阶导数判别法或二阶导数判别法判断驻点是否为极值点，并求出极值。

例如，对于函数 f(x) ＝ x³ 3x²＋ 1，其导数为 f'（x) ＝ 3x² 6x。

令f'（x) ＝ 0，解得 x ＝ 0 或 x ＝ 2。

当 x ＜ 0 时，f'（x) ＞ 0；当 0 ＜ x ＜ 2 时，f'（x) ＜ 0；当 x ＞ 2 时，f'（x) ＞ 0。

《函数的极值》讲义一、函数极值的定义在数学中，函数的极值是一个非常重要的概念。

简单来说，极值就是函数在某个局部范围内的最大值或最小值。

具体而言，如果在函数定义域内的某个点 x₀处，函数值 f(x₀) 大于（或小于）其在 x₀附近的所有点的函数值，那么 f(x₀) 就是函数的一个极大值（或极小值）。

需要注意的是，极值是局部概念，也就是说一个函数在某一点取得极值，并不意味着它在整个定义域内都是最大或最小的。

二、函数极值的必要条件为了找到函数的极值，我们首先要了解一个重要的定理——费马定理。

费马定理指出：如果函数 f(x) 在点 x₀处可导，且 x₀为 f(x) 的极值点，那么 f'（x₀) ＝ 0。

这意味着，可导函数的极值点处的导数为 0。

但要注意，导数为 0 的点不一定是极值点，比如函数 f(x) ＝ x³，在 x ＝ 0 处导数为 0，但不是极值点。

三、函数极值的充分条件仅仅知道导数为 0 还不够，我们还需要一些充分条件来确定这个点到底是不是极值点。

第一种情况：如果在 x₀的左侧导数为正，右侧导数为负，那么 x₀是极大值点。

第二种情况：如果在 x₀的左侧导数为负，右侧导数为正，那么 x₀是极小值点。

第三种情况：如果在 x₀的两侧导数同号，那么 x₀不是极值点。

四、求函数极值的步骤接下来，我们来总结一下求函数极值的一般步骤：第一步，求出函数的定义域。

第二步，对函数求导。

第三步，令导数等于 0，求出导数为 0 的点（即驻点）以及导数不存在的点。

第四步，根据上述充分条件，判断这些点是否为极值点。

第五步，将极值点代入函数，求出相应的极值。

五、实例分析为了更好地理解函数极值，我们通过一些具体的例子来进行分析。

例 1：求函数 f(x) ＝ x² 4x ＋ 3 的极值。

首先，对函数求导得到 f'（x) ＝ 2x 4。

令 f'（x) ＝ 0，解得 x ＝ 2。

当 x ＜ 2 时，f'（x) ＜ 0；当 x ＞ 2 时，f'（x) ＞ 0。

专题17 利用导数求函数的极值一、多选题1．下列命题正确的有（ ） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<<B ．34a b ==a bab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD 【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a bab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<；B 选项，34a b ==3log a =4log b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞故选：ACD 【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题. 2．对于函数2ln ()xf x x =，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．fff<<D ．若()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立，则2e k > 【答案】ACD 【分析】求得函数的导数312ln ()-'=xf x x，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A 正确；根据函数的单调性和()10f =，且x >()0f x >，可判定B 不正确；由函数的单调性，得到f f >，再结合作差比较，得到f f >，可判定C 正确；分离参数得到()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立，令()2ln 1x g x x +=，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数2ln ()x f x x=，可得312ln ()(0)xf x x x -'=>，令()0f x '=，即312ln 0xx -=，解得x =当0x <<()0f x '>，函数()f x 在上单调递增；当x >()0f x '<，函数()f x 在)+∞上单调递减，所以当x =()f x 取得极大值，极大值为12f e=，所以A 正确； 由当1x =时，()10f =，因为()f x 在上单调递增，所以函数()f x 在上只有一个零点，当x >()0f x >，所以函数在)+∞上没有零点，综上可得函数在(0,)+∞只有一个零点，所以B 不正确；由函数()f x 在)+∞上单调递减，可得f f >，由于ln 2ln ,42f f ππ====，则2ln ln 2ln ln 22444f f ππππππ-=-=-，因为22ππ>，所以0f f ->，即f f >，所以ff f <<，所以C 正确；由()21f x k x <-在()0,∞+上恒成立，即()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立， 设()2ln 1x g x x +=，则()32ln 1x g x x--'=， 令()0g x '=，即32ln 10x x --=，解得x =所以当0x<<时，()0g x '>，函数()g x 在上单调递增；当x>时，()0g x '<，函数()g x 在)+∞上单调递减， 所以当x=()g x 取得最大值，最大值为22e eg e =-=， 所以2ek >，所以D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3．已知函数32()26f x x x x =-+-，其导函数为()'f x ，下列命题中为真命题的是（ ）A ．()f x 的单调减区间是2(,2)3B ．()f x 的极小值是﹣6C ．过点()0,0只能作一条直线与()y f x =的图象相切D ．()f x 有且只有一个零点 【答案】BCD 【分析】求出函数()f x 的导数，即可得出其单调性和极值，从而判断ABD 的真假，再根据导数的几何意义求切线方程即可判断C 的真假． 【详解】因为2()341'=-+f x x x ，令()0f x '>，得13x <或1x >，则()f x 在1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增；令()0f x '<，得113x <<，则()f x 在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．所以极小值为()160f =-<，极大值为11580327f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，而()36f =， 故()f x 存在唯一一个零点01,63x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，A 错误，B 、D 正确；设过点()0,0的直线与()y f x =的图象相切，切点为()()00,x f x ，因为()2000341f x x x '=-+，()32000026f x x x x =-+-，所以切线方程为()()()32000300042631y x x x x x x x --+-=-+-．将()0,0代入，得320030x x -+=．令32()3g x x x =-+，则2()32(32)g x x x x x '=-=-，所以()g x 在(,0)-∞，2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减． 因为()290g -=-<，(0)30g =>，2770327g ⎛⎫=>⎪⎝⎭， 所以方程()0g x =只有一解，即过点()0,0只能作一条直线与()y f x =的图象相切，故C 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，导数的几何意义的应用，以及零点存在性定理的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．4．材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数()()0xf x xx =>，我们可以作变形：()ln ln xx xx x tf x x e e e ====()ln t x x =，所以()f x 可看作是由函数()t f t e =和()lng x x x =复合而成的，即()()0x f x x x =>为初等函数.根据以上材料，对于初等函数()()10xh x x x =>的说法正确的是（ ）A ．无极小值B ．有极小值1C ．无极大值D ．有极大值1ee【答案】AD 【分析】将函数()h x 的解析式变形为()1ln xx h x e =，利用复合函数的求导法则可求得()h x '，利用导数可求得函数()h x 的极值，由此可得出结论.【详解】根据材料知：()111ln ln xx x xxh x x ee===，所以()()111ln ln ln 2221111ln ln 1ln x x x xx x h x ex e x e x x xx x '⎛⎫⎛⎫'=⋅=-⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()0h x '=得x e =，当0x e <<时，()0h x '>，此时函数()h x 单调递增； 当x e >时，()0h x '<，此时函数()h x 单调递减. 所以()h x 有极大值且为()1e h e e =，无极小值. 故选：AD. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值，同时也考查了复合函数的求导法则的应用，考查计算能力，属于中等题.5．设()'f x 为函数()f x 的导函数，已知2()()ln x f x xf x x '+=，1(1)2f =，则下列结论不正确的是（ ） A ．()xf x 在(0,)+∞单调递增 B ．()xf x 在(1,)+∞单调递增C ．()xf x 在(0,)+∞上有极大值12D ．()xf x 在(0,)+∞上有极小值12【答案】AC 【分析】首先根据题意设()()g x xf x =，得到ln ()'=xg x x，再求出()g x 的单调性和极值即可得到答案. 【详解】由2()()ln x f x xf x x '+=得0x >，则ln ()()xxf x f x x'+=即ln [()]'=xxf x x，设()()g x xf x = ln ()01xg x x x'=>⇒>，()001g x x '<⇒<< 即()xf x 在(1,)+∞单调递增，在(0,1)单调递减即当1x =时，函数()()g x xf x =取得极小值()()1112==g f . 故选：AC 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，同时考查了构造函数，属于中档题. 6．已知函数32()247f x x x x =---，其导函数为()f x '，下列命题中真命题的为（ ）A ．()f x 的单调减区间是2(,2)3B ．()f x 的极小值是15-C ．当2a >时，对任意的2x >且x a ≠，恒有()f x f >（a ）f +'（a ）()x a -D ．函数()f x 有且只有一个零点 【答案】BCD 【分析】由32()247f x x x x =---，知2()344f x x x '=--，令2()3440f x x x '=--=，得23x =-，22x =，分别求出函数的极大值和极小值，知A 错误，BD 正确；由2a >，2x >且x a ≠，令2()344g x x x =--利用导数说明其单调性，再根据切割线的定义即可判断，故C 正确； 【详解】解：32()247f x x x x =---，其导函数为2()344f x x x '=--．令()0f x '=，解得23x =-，2x =， 当()0f x '>时，即23x <-，或2x >时，函数单调递增， 当()0f x '<时，即223x -<<时，函数单调递减； 故当2x =时，函数有极小值，极小值为()215f =-，当23x =-时，函数有极大值，极大值为2()03f -<， 故函数只有一个零点，A 错误，BD 正确；令2()344g x x x =--，则()64g x x '=-故在()2,+∞上()640g x x '=->，即2()344f x x x '=--在()2,+∞上单调递增，根据切割线的定义可知，当2a >时，对任意的x a >，恒有()()()f x f a f a x a-'<-，即()()()()f x f a f a x a '>+-对任意的2x a <<，恒有()()()f x f a f a x a-'>-，即()()()()f x f a f a x a '>+-，故C 正确； 故选：BCD ． 【点睛】本题考查函数的单调区间、极值的求法，以及不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和导数性质的灵活运用．二、单选题7．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()1y x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．()f x 有极大值()2f -B ．()f x 有极小值()2f -C ．()f x 有极大值()1fD ．()f x 有极小值()1f【答案】A 【分析】由函数()()1y x f x '=-的图象，可得1x >时，()0f x '<；21x -<<时，()0f x '<；2x <-时，()0f x '>.由此可得函数()f x 的单调性，则答案可求. 【详解】解：函数()()1y x f x '=-的图象如图所示，∴1x >时，()0f x '<；21x -<<时，()0f x '<；2x <-时，()0f x '>. ∴函数()f x 在(),2-∞-上单调递增，在()2,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递减. ∴()f x 有极大值()2f -.故选：A . 【点睛】本题考查根据导函数的相关图象求函数的单调区间，考查数形结合思想，是中档题. 8．下列关于函数2()(3)x f x x e =-的结论中，正确结论的个数是（ ）∴()0f x >的解集是{|x x <<；∴(3)f -是极大值，(1)f 是极小值； ∴()f x 没有最大值，也没有最小值； ∴()f x 有最大值，没有最小值； ∴()f x 有最小值，没有最大值. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】直接不等式()0f x >可判断∴∴对函数求导，求函数的极值，可判断∴∴利用导数求函数的最值可判断∴∴∴【详解】解：由()0f x >，得230x ->，即230x -<，解得x ()0f x >的解集是{|x x <<，所以∴正确；由2()(3)x f x x e =-，得'2()(23)x f x x x e =--+，令'()0f x =，则2x 2x 30--+=，解得3x =-或1x =，当3x <-或1x >时，'()0f x <，当31x -<<时，'()0f x >，所以(3)f -是极小值，(1)f 是极大值，所以∴错误；因为(3)f -是极小值，且当3x <-时，()0f x <恒成立，而(1)f 是极大值，所以()f x 有最大值，没有最小值，所以∴正确，∴∴错误， 故选：B 【点睛】此题考查导数的应用，考查函数极值和最值的求法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题 9．函数y =f (x )的导函数y =f ′(x )的图象如图所示，给出下列命题：∴-3是函数y =f (x )的极值点； ∴y =f (x )在区间(-3，1)上单调递增； ∴-1是函数y =f (x )的最小值点； ∴y =f (x )在x =0处切线的斜率小于零. 以上正确命题的序号是（ ）A ．∴∴B ．∴∴C ．∴∴D ．∴∴【答案】A 【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率． 【详解】根据导函数图象可知：当(),3x ∈-∞-时，()0f x '<，在()3,1x ∈-时，()0f x '≥∴函数()y f x =在(),3-∞-上单调递减，在()3,1-上单调递增，故∴正确；则3-是函数()y f x =的极小值点，故∴正确；∴在()3,1-上单调递增，1∴-不是函数()y f x =的最小值点，故∴不正确； ∴函数()y f x =在0x =处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故∴不正确. 故选：A 【点睛】方法点睛：本题考查导函数图象在函数单调性和极值中的应用，考查导数的几何意义，其中利用导函数判断单调性的步骤为： 1. 先求出原函数的定义域； 2. 对原函数求导；3. 令导数大于零；解出自变量的范围；该范围即为该函数的增区间；同理令导数小于零，得到减区间；4. 若定义域在增区间内，则函数单增；若定义域在减区间内则函数单减，若以上都不满足，则函数不单调．10．已知函数()()1ln ,1,1,1,x x x f x x e x -≥⎧=⎨--⋅<⎩，函数()()()1g x f f x e =-零点的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】令()f x t =，讨论t 的取值范围：当1t ≥时或当1t <时，可得()1ee f x =或()0f x =，讨论x 的取值范围，再利用导数研究函数的单调性，求出最值即可求解. 【详解】令()f x t =，则()()1ln ,11e ,1t t t f t t t -≥⎧=⎨--⋅<⎩， （1）当1t ≥时，()1e f t =，即1e 1ln e et t =⇒=，即()1e e f x =. 当1≥x 时，1e ln e x =有一个解. 当1x <时，()1ex f x x -'=-，(),0x ∈-∞，0fx ；()0,1x ∈，0fx，且()10ef =.当1x <时，()111ee x x ---⋅≤，而1e 1e e>，所以方程()11e 1e x x e ---⋅=无解.（2）当1t <时，()1ef t =，由（1）知0t =，即()0f x =. 当1≥x 时，ln 0x =有一个解. 当1x <时，()10ef x <≤，所以()0f x =无解.综上，函数()g x 有两个零点. 故选：B. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了计算求解能力，属于中档题. 11．设函数()()23xf x x e =-，则（ ）A ．()f x 有极大值且为最大值B ．()f x 有极小值，但无最小值C ．若方程()f x b =恰有3个实根，则360b e <<D ．若方程()f x b =恰有一个实根，则36b e> 【答案】C 【分析】求导后求出函数的单调区间，再根据当(),3x ∈-∞-时，()0f x >；()()336336f f e e -=<=、()120f e =-<，画出函数图象草图后数形结合逐项判断即可得解.【详解】()()23x f x x e =-，∴()()()()22331x x x f x xe x e x x e =+'=--+，∴当()(),31,x ∈-∞-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当()3,1x ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(),3x ∈-∞-时，230x ->，0x e >，∴()0f x >， 再由()()336336f f e e-=<=，()120f e =-<，可画出函数图象草图， 如图，由图象可知，()3f -为函数的极大值但不是最大值，故A 错误；()1f 为函数的极小值，且为最小值，故B 错误；若要使()f x b =有3个实根，则要使函数y b =的图象与函数()f x 的图象有3个交点，则360b e <<，故C 正确；若要使()f x b =恰有一个实根，则要使函数y b =的图象与函数()f x 的图象仅有1个交点，则36b e >或2b e =-，故D 错误.故选：C. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了数形结合思想和推理能力，属于中档题. 三、解答题12．已知函数()()1ln f x ax x a R =--∈.（1）若1a =，求()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极值；（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】（1）极小值为0，无极大值；（2）答案见解析.【分析】（1）当1a =时，求得()1x f x x -=，利用导数分析函数()f x 的单调性，由此可求得函数()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极值； （2）求得()()10ax f x x x-'=>，分0a ≤和0a >两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的单调递增区间和递减区间.【详解】（1）当1a =时，()1ln f x x x =--，所以，1110x fx x x x，列表；所以，()f x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的有极小值()10f =，无极大值； （2）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x-'=-=. 当0a ≤时，10ax ，从而()0f x '<，故函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，若10x a<<，则10ax ，从而()0f x '<；若1x a>，则10ax ->，从而()0f x '>. 故函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；当0a >时，函数()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：讨论含参数函数的单调性，通常以下几个方面： （1）求导后看函数的最高次项系数是否为0，需分类讨论；（2）若最高次项系数不为0，且最高次项为一次，一般为一次函数，求出导数方程的根； （3）对导数方程的根是否在定义域内进行分类讨论，结合导数的符号变化可得出函数的单调性. 13．设函数()()2()ln 10f x x a x a =-+>.（1）当2a =时，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 有2个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）极小值为1-；（2）2a e>. 【分析】（1）当2a =时，()()2()ln 10f x x a x a =-+>，对()f x 求导判断单调性、即可求得极值；（2）对()f x 求导，利用导函数得符号判断出()f x 的单调递增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调递减区间是0,2⎛ ⎝⎭，然后对参数a 进行分类讨论，考虑函数得最小值，从而判断函数零点的个数，找到函数()f x 有2个零点时实数a 的取值范围. 【详解】（1）()f x 的定义域是()0,∞+，当2a =时，()2()2ln 1f x x x =-+，2222()2x f x x xx -'=-=. 令'()0f x =，得1x =或1x =-（舍）.所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 即()f x 在1x =处取得极小值，极小值为()11f =-.无极大值 （2）函数的定义域为()0,∞+，令22'()20a x a f x x x x -=-==，则x =所以当x ⎛∈ ⎝⎭时，'()0f x <；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，'()0f x >，所以()f x 的单调递增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调递减区间是⎛ ⎝⎭.∴令0f =⎝⎭，得2a e =， 当2ae =，22()(ln 1)ef x x x =-+的最小值为0f =， 即22()(ln 1)e f x x x =-+有唯一的零点x =∴当20a e<<时，()2()ln 1f x x a x =-+的最小值为ln 122a a f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎝⎭，且ln 10222a a f ⎛⎛⎫=-+> ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即()2()ln 1f x x a x =-+不存在零点；∴当2a e>时，()f x 的最小值ln 1022a a f ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭⎝⎭，又1e <2110e e f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在⎛ ⎝⎭上有唯一的零点，又当2a e >时，2a >，2()(ln 1)(ln 1)f a a a a a a a =-+=--， 令()ln 1g x x x =--，则11()10x g x x x-'=-==，解得1x =， 可知()g x 在2,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在()1,+∞上递增， 所以()()10g a g ≥=，所以()0f a ≥，所以函数()f x 在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上有唯一的零点∴ 所以当2a e>时，()f x 有2个不同的零点∴ 综上所述：实数a 的取值范围是2a e>. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法 （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.14．（1）已知32()f x x ax bx c =+++，()124g x x =-，若(1)0f -=，且()f x 图象在点(1,(1))f 处的切线方程为()y g x =，求,,a b c 的值.（2）求函数()2cos f x x x =+在[]0,π上的极值.【答案】（1）3a =，3b =，1c =；（2）极大值为66f ππ⎛⎫=⎪⎝⎭，极小值为5566f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 【分析】（1）由导数的几何意义结合切点在切线上，列方程即可得解； （2）对函数求导，求得函数的单调区间后，结合极值的概念即可得解. 【详解】（1）因为(1)0f -=，所以10a b c -+-+=即1a b c -+=， 由32()f x x ax bx c =+++可得2()32f x x ax b '=++， 因为()f x 图象在点(1,(1))f 处的切线方程为14()2y g x x =-=，所以()()118f g ==，(1)12f '=，即18a b c +++=，3212a b ++=， 所以3a =，3b =，1c =；（2）由()2cos f x x x =+可得()12sin f x x '=-，所以当50,,66x πππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>；当5,66x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<； 所以函数()f x 的单调递增区间为50,,,66πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间为5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以函数()2cos f x x x =+在[]0,π上的极大值为66f ππ⎛⎫=⎪⎝⎭，极小值为5566f ππ⎛⎫=⎪⎝⎭. 15．已知函数()()2,ln f x x m g x x x =-=+.(1)若函数()()()F x f x g x =-，求函数()F x 的极值；(2)若()()222xxf xg x xe x x e ++<++在()0,4x ∈时恒成立，求实数m 的最小值.【答案】（1）()F x 的极大值是m -，无极大值；（2）42ln 44e +-. 【分析】（1）先写函数()()()F x f x g x =-并求导，再利用导数正负判断单调性和极值即可；（2）先分离参数(2)ln x m x e x x >-+-，再研究函数最大值得到m 的取值范围，即得结果. 【详解】解：（1）2()ln F x x x m x =---，定义域为(0,)+∞，1(21)(1)()21x x F x x x x'+-=--=. ()001F x x '<⇔<<；()01F x x '>⇔>；当x 变化时，(),()F x F x '的变化情况如下表:由上表可得()F x 的极大值是(1)F m =-，无极大值；（2）由2()()22x x f x g x xe x x e ++<++在(0,4)x ∈时恒成立， 即22ln 22x x x m x x xe x x e -+++<++，整理为(2)ln x m x e x x >-+-在(0,4)x ∈时恒成立.设()(2)ln xh x x e x x =-+-，则1()(1)x h x x e x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，当1x >时，10x ->，且1,1xe e x ><，10,()0x e h x x'∴->∴>. 当01x <<时，10x -<，设211,0,xx u e u e u x x'=-=+>∴在(0,1)上单调递增， 当0x →时，11,0x u e x x→+∞∴=-<；当1x =时，10u e =->， 0(0,1)x ∴∃∈，使得00010xu e x =-= ∴当()00,x x ∈时，0u <；当()0,1x x ∈时，0>u .∴当()00,x x ∈时，()0h x '>；当()0,1x x ∈时，()0h x '<，故函数()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在(1,4)上单调递增.()()()0000000000122ln 2212x h x x e x x x x x x x =-+-=-⋅-=--. ()0000022(0,1),2,121x h x x x x ∈∴-<-=--<-，4(4)2ln 440h e =+->， ∴当(0,4)x ∈时，()(4)h x h <，(4),m h m ∴≥∴的最小值是42ln 44e +-.【点睛】利用导数研究函数()f x 的单调性和极值的步骤：∴写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；∴在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<∴写出单调区间，并判断极值点.解决恒成立问题的常用方法：∴数形结合法；∴分离参数法；∴构造函数法. 16．已知函数()2112f x x =，()2ln f x a x =（其中0a >）. （1）求函数()()()12f x f x f x =的极值；（2）若函数()()()()121g x f x f x a x =-+-在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,内有两个零点，求正实数a 的取值范围；（3）求证：当0x >时，231ln 04x x x e+->.（说明：e 是自然对数的底数， 2.71828e =⋅⋅⋅） 【答案】（1）极小值为4a e -，无极大值；（2）2211,222e e e -⎛⎫⎪+⎝⎭；（3）证明见解析.【分析】（1）2121()()()ln 2f x f x f x ax x =⋅=⋅，利用导数求出其单调性，然后可得极值； （2）21()ln (1)2g x x a x a x =-+-，利用导数求出其单调性，然后可建立不等式组求解； （3）问题等价于求证223ln 4x x x x e >-；设23()4x x h x e =+，利用导数求出其最大值，然后证明()()min max f x h x >即可. 【详解】（1）∴2121()()()ln 2f x f x f x ax x =⋅=⋅， ∴11()ln (2ln 1)(0,0)22f x ax x ax ax x x a '=+=+>>， 由()0f x '>，得12x e ->，由()0f x '<，得120x e -<<，故函数()f x 在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以函数()f x 的极小值为124af e e -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值.（2）函数21()ln (1)2g x x a x a x =-+-， 则2(1)()(1)()(1)a x a x a x a x g x x a x x x+--+-'=-+-==， 令()0g x '=，∴0a >，解得1x =，或x a =-（舍去）， 当01x <<时，()0g x '<，()g x 在()0,1上单调递减； 当1x >时，()0g x '>，()g x 在()1,+∞上单调递增.函数()g x 在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,内有两个零点，只需10(1)0()0g e g g e ⎧⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪<⎨⎪>⎪⎪⎩，即2211021102(1)02a a e e a e a e a -⎧++>⎪⎪⎪+-<⎨⎪⎪+-->⎪⎩，∴22212212222e a e e a e e a e -⎧>⎪+⎪⎪<⎨⎪⎪->⎪-⎩，故实数a 的取值范围是2211,222e e e -⎛⎫⎪+⎝⎭.（3）问题等价于223ln 4x x x x e >-∴由（1）知()2ln f x x x =的最小值为12e -. 设23()4x x h x e =+，(2)()xx x h x e '-=-，易知()h x 在()0,2上单调递增， 在()2,+∞上单调递减. ∴()()2max 4324h x h e ==-， ∴221433142442e e e e ⎛⎫---=-- ⎪⎝⎭2223216(38)(2)044e e e e e e---+==>， ∴()()minmax f x h x >，∴223ln 4xx x x e >-，故当0x >时，231ln 04x x x e +-> 【点睛】方法点睛∴已知函数零点个数求参数范围时，需要结合函数的单调性和极值分析，然后建立不等式组求解. 17．已知函数()()ln f x x a x x a =+-+，a R ∈． （1）设()()g x f x ='，求函数()g x 的极值；（2）若1a e≥，试研究函数()f x 的零点个数． 【答案】（1）极小值为()ln 1g a a =+，无极大值；（2）1个． 【分析】（1）先求得()g x ，然后求()g x '，对a 分成0a ≤和0a >两种情况进行分类讨论，结合单调性求得()g x 的极值.（2）首先判断()f x 在()0,∞+上递增，结合零点存在性定理判断出()f x 的零点个数.【详解】 （1）()()ln f x x a x x a =+-+，a R ∈，()()ln a g x f x x x ∴='=+，0x >．∴221()a x a g x x x x-'=-=， ∴当0a ≤时，()0g x '>恒成立，()g x 在(0,)+∞上是增函数，无极值． ∴当0a >时，x a =，当(0,)x a ∈时，()g x 单调递减；当(,)x a ∈+∞时，()g x 单调递增，()g x ∴的极小值()ln 1g a a =+，无极大值．（2）由（1）知，当1a e ≥时，()g x 的极小值()1ln 1ln 10eg a a =+≥+=，结合()g x 的单调性可知min ()0g x ≥，即()0f x '≥恒成立．()f x ∴在(0,)+∞上是增函数，1111112ln 0f a a a a e e e ee e e ⎛⎫⎛⎫=+-+=---+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2()ln 20e a e e f a e e a a e a e=+-+=+-+=≥>， ()f x ∴在1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,中有一个零点，∴函数()()ln f x x a x x a =+-+的零点个数为1个．【点睛】 方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：1.先求出函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图像，然后将问题转化为函数图像与x 轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合的思想和分类讨论的思想； 2.构造新函数，将问题转化为研究两函数的图像的交点问题；3.分离参变量，即由()0f x =分离参变量，得()a x ϕ=，研究直线y a =与()y x ϕ=的图像的交点问题. 18．已知函数2()(1),x f x ax e a R =-∈，在1x =时取得极值. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间.【答案】（1）13；（2）函数()f x 的单调增区间是()()31-∞-+∞，，，，单调减区间是()3,1-.【分析】（1）利用极值定义，列式()01f '=，求出a 值并验证即可； （2）利用导数正负确定函数()f x 的单调区间即可. 【详解】解：（1）函数2()(1),x f x ax e a R =-∈，则2()(21)x f x ax ax e '=+-，函数在1x =时取得极值，故1(1)(21)=0f a a e '=+-，解得13a =，此时21()(1)3xf x x e =-，()()2121()(1)=31333x x f x x x e x x e '=+-+-，函数()f x 确实在1x =时取得极小值.故a 的值是13； （2）因为()()1()313x f x x x e '=+-，当()()31x ∈-∞-+∞，，时()0f x '>，当()3,1x ∈-时()0f x '<，故函数()f x 的单调增区间是()()31-∞-+∞，，，，单调减区间是()3,1-.19．已知函数32()(,)f x ax x bx a b =++∈R ，()()()g x f x f x '=+是奇函数. （1）求()f x 的表达式；（2）求函数()g x 的极值.【答案】（1）321()3f x x x =-+；（2）极大值3，极小值3-. 【分析】（1）求导2()32f x ax x b '=++，由()()()g x f x f x '=+得到()g x 的表达式，然后利用()g x 是奇函数求解.（2）由（1）知31()23g x x x =-+，求导2()2g x x '=-+，再利用极值的定义求解. 【详解】（1）函数32()(,)f x ax x bx a b =++∈R ，所以2()32f x ax x b '=++，所以()()32()312g x ax a x b x b =+++++，因为()g x 是奇函数∴ 所以()()g x g x -=-，所以3100a b +=⎧⎨=⎩，解得130a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以()f x 的表达式为321()3f x x x =-+. （2）由（1）知31()23g x x x =-+， 则2()2g x x '=-+，当x <x >()0g x '<，()g x 递减；当x <<()0g x '>，()g x 递增；所以当x =()g x当x =()g x 取得极小值3-. 【点睛】本题主要考查函数导数的求法，利用奇偶性求函数解析式以及函数极值的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．已知函数()()ln f x ax b x =+.（1）当1,0a b ==时，求函数()y f x =的极值； （2）当1,1a b ==时，求不等式()22f x x ≥-的解集；（3）当1,1a b ==时，若当()1,x ∈+∞，恒有()()1f x x λ>-成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）()f x 有极小值1e-，无极大值；（2）[1,)+∞；（3）2λ≤. 【分析】（1）先代入参数对函数求导，令()0f x '=，列表判断单调性，即得极值情况；（2）先代入参数，将不等式移项整理，构造函数求导，研究其单调性，再利用单调性解不等式()(1)F x F ≥，即得结果；（3）先代入参数，将恒成立式移项整理，构造函数求导，讨论其单调性，再利用单调性判断其最值满足题意，即得结果；【详解】（1）当1,0,()ln ,()1ln a b f x x x f x x '====+，定义域()0,∞+令()1ln 0f x x '=+=，得1=x e列表如下：∴当1=x e时，()f x 有极小值1111ln f e ee e ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，无极大值；（2）当1,1,()(1)ln a b f x x x ===+⋅令()()(22)(1)ln (22)F x f x x x x x =--=+⋅--1()ln 1F x x x'=+- 令221111()ln 1,()x u x x u x x x x x'-=+-=-= 列表如下：当1x =时，()u x 有极小值(1)ln1110u =+-=()0u x ∴≥，即()0F x '≥()F x ∴在(0,)+∞单调递增，(1)0F =，故不等式()22f x x ≥-即()0(1)F x F ≥=，故解集为[1,)+∞；（3）当1,1,()(1)ln a b f x x x ===+⋅，当(1,)x ∈+∞，恒有()(1)f x x λ>-成立，即(1,)x ∈+∞，恒有()(1)0f x x λ-->成立.令()()(1)(1)ln (1)G x f x x x x x λλ=--=+--1()ln 1G x x xλ'=++- 令1()ln 1v x x x λ=++-，21()x v x x'-= (1,),()0,()x v x v x '∈+∞∴>∴在(1,)+∞单调递增，()(1)2v x v λ∴>=-∴若20λ-≥，即2λ≤，()0v x >，即()0G x '>，即()G x 在(1,)+∞单调递增.(1,)x ∈+∞()(1)0G x G ∴>=成立.即2λ≤时，当(1,)x ∈+∞，恒有()(1)f x x λ>-成立.∴若20λ-<，即2λ>，取1x e λ=>()11ln 110v e e e eλλλλλ=++-=+> ()v x 在(1,)+∞单调递增，()01,x e λ∴∃∈，使得()00v x =，∴当()01,,()0x x v x ∈<，即()0'<G x ，()G x ∴在()01,x 上单调递减()0(1)0G x G ∴<=，∴当(1,)x ∈+∞时，()0G x >不恒成立，即()(1)f x x λ>-不恒成立. 综上：2λ≤. 【点睛】利用导数研究函数()f x 极值的步骤：∴写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；∴在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<∴根据单调性判断函数极值点.解决恒成立问题的常用方法：∴数形结合法；∴分离参数法；∴构造函数法. 21．已知函数()ln 2f x ax x x =+(a ∈R ). （1）讨论()f x 的极值；（2）若a ＝2，且当2e x -≥时，不等式2()(ln )4ln 2mf x x x ≥++恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）21e ⎡⎤⎣⎦，.【分析】(1)先写定义域求导，对a 分类讨论研究函数导数的正负，即确定函数的单调性和极值情况；(2) a ＝2时令ln x t =化简不等式得()22242t t m t e e t t ⋅+≥++，讨论t 进行参数分离，将不等式恒成立问题转化成函数最值问题，即得结果. 【详解】解：（1）由题意，函数()f x 的定义域为()0+∞，，且()ln 2f x a x a '=++ ∴（i ）当a =0时，()20f x '=>恒成立，则()f x 在定义域上单调递增，此时无极值；（ii ）当a ≠0时，()2ln 1f x a x a ⎛⎫=++⎪⎝⎭'，可令()0f x '=，解得21a x e --=， 所以∴当0a >时，且当210a x e --<<时，此时()0f x '<，即()f x 单调递减；当21ax e-->时，此时()0f x '>，即()f x 单调递增，则()f x 的极小值为21a f e --⎛⎫⎪⎝⎭=21aae---，无极大值；∴当0a <时，且当210a x e --<<时，此时()0f x '>，即()f x 单调递增；当21ax e-->时，此时()0f x '<，即()f x 单调递减，则()f x 的极大值为21a f e --⎛⎫⎪⎝⎭=21aae---，无极小值；综上所述，当a =0时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极小值21a ae ---，无极大值；当0a <时，()f x 有极大值21a ae ---，无极小值.（2）若a ＝2，()2ln 2f x x x x =+，不等式化为()()22ln 2ln 4ln 2m x x x x x +≥++则令[)ln 2x t t =∈-+∞，，，则不等式化为()22242t t m t e e t t ⋅+≥++， 所以∴当21t -≤≤-时，参变分离得()2242422222t t t t t t t m t e e e t ++++≤=⋅++，设()()24222t t t g t e t ++=+，()()()()()()22222242202221t t t e t t t t t g t e t e t +--'-+==>++， 则()g t 在[]21--，上单调递增，∴()()2min 2m g t g e ≤=-=. ∴当1t =-时，不等式化为0>-1，显然成立.∴当1t >-时，()24222t t t m e t ++≥+，则()()()22221t t t g t e t -+=+'，可令()0g t '=，解得0t =， 且当10t -<<时，()0g t '>，即()g t 单调递增；当0t >时，()0g t '<，即()g t 单调递减，所以()()max 01g t g ==，所以()max 1m g t ≥=.综上所述，要使不等式恒成立，需实数m 的取值范围为21e ⎡⎤⎣⎦，.【点睛】利用导数研究函数()f x 的单调性和极值的步骤：∴写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；∴在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<∴写出单调区间，并判断极值点.解决恒成立问题的常用方法：∴数形结合法；∴分离参数法；∴构造函数法. 22．已知函数()2xf x x e =⋅.（1）求()f x 的极值；（2）若函数()y f x ax =-在定义域内有三个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）极大值为24e ，极小值为0；（2）10a e-<<. 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数可分析函数的单调性，进而可求函数的极值；（2）“函数2x y x e ax ⋅=-，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程x a xe =有两个非零实根”.构造函数，对其求导，然后结合导数及函数的性质可求. 【详解】解：由题意可知函数()f x 的定义域为R . （1）因为()2xf x x e =⋅.所以()()22x f x e x x '=+，由()0f x '=，得12x =-，20x =， 当2x <-时，()0f x '>，函数单调递增， 当20x -<<时，()0f x '<，函数单调递减， 当0x >时，()0f x '>，函数单调递增，因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为()242f e -=； 当0x =时，()f x 有极小值，并且极小值为()00f =. （2）因为()2xy f x ax x e ax =-=⋅-，所以0x =为一个零点.所以“函数2x y x e ax ⋅=-，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程x a xe =有两个非零实根”. 令()xh x xe =，则()()1xh x x e '=+，所以，当1x <-时，()0h x '<，()h x 在(),1-∞-上单调递减； 当1x >-时，()0h x '>，()h x 在()1,-+∞上单调递增； 当1x =-时，()h x 有最小值()11h e-=-，0x <时，()0h x <，0x >时，()0h x >. 若方程x a xe =有两个非零实根，则()11h a e -=-<，即1a e>-.若0a ≥，方程x a xe =只有一个非零实根， 所以0a <. 综上，10a e-<<. 【点睛】本题考查函数极值的求解，利用导数研究函数零点的个数，考查化归转化思想和数学运算能力，是中档题. 23．函数()32392f x x x x =-++-.（1）求()f x 的极大值和极小值；（2）已知()f x 在区间D 上的最大值为20，以下3个区间D 的备选区间中，哪些是符合已知条件的？哪些不符合？请说明理由.∴3,2；∴[]22-,；∴[]3,1- 【答案】（1）极大值25，极小值-7；（2）区间∴∴不符，区间∴符合，理由见解析. 【分析】（1）先求解出()f x '，根据()0f x '=分析得到()f x 的单调性，从而()f x 的极值可求；（2）根据()f x 在所给区间上的单调性以及极值，分析得到()f x 的最大值，由此判断所给区间是否符合条件. 【详解】(1) ()()()2369313f x x x x x '=-++=-+-，令()0f x '=，1x ∴=-或3x =，当(),1x ∈-∞-时()0f x '<，当()1,3x ∈-时()0f x '>，当()3,x ∈+∞时()0f x '<，()f x ∴在(),1-∞-和()3,+∞上单调递减，在()1,3-上单调递增，()f x ∴的极大值为()32333393225f =-+⨯+⨯-=，()f x 极小值为()113927f -=+--=-(2)当区间D 为∴时，()f x ∴[)3,1--上递减，在(]1,2-上递增，()323=3333922520f --+⋅+⨯-=>，()283492220f =-+⨯+⨯-=， 所以()max 25f x =，不符合；当区间D 为∴时，()f x 在[)2,1--上递减，在(]1,2-上递增，()2834292020f -=+⨯-⨯-=<，()283492220f =-+⨯+⨯-=，所以()max 20f x =，符合；当区间为∴时，()f x ∴[)3,1--上递减，在(]1,1-上递增，()323=3333922520f --+⋅+⨯-=>，()113929f =-++-=， 所以()max 25f x =，不符合， 综上可知：区间∴∴不符，区间∴符合. 【点睛】思路点睛：利用导数求解函数最值的思路：（1）若所给的闭区间[],a b 不含参数，则只需对()f x 求导，并求()0f x '=在区间[],a b 内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与()(),f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；（2）若所给的区间[],a b 含有参数，则需对()f x 求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数()f x 的最值.24．已知函数()xxf x xe e m =-+.（1）求函数()f x 的极小值；（2）关于x 的不等式()30f x x -<在1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上存在解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1m -；（2）(),1-∞. 【分析】（1）利用导数分析函数()f x 的单调性，由此可求得函数()f x 的极小值；（2）由参变量分离法得出3x x m x e xe <+-在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，令()3x xg x x e xe =+-，可得出()max m g x <，利用导数求出函数()g x 在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，进而可得出实数m 的取值范围.【详解】（1）因为()xxf x xe e m =-+，所以，()()1xxxf x x e e xe '=+-=.当0x >时，()0f x '>；当0x <时，()0f x '<. 故()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 所以函数()f x 的极小值为()01f m =-； （2）由()30f x x -<得3x x m x e xe <+-，令()3x x g x x e xe =+-，由()30f x x -<在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解知，()max m g x <，()()23e 3x x g x x x x x e '=-=-，令()3xh x x e =-，则()3xh x e '=-.。

第17讲导数在函数中的应用——极值与最值在数学中，导数是函数在其中一点的变化率。

它对于研究函数的各种特性非常重要。

其中之一就是函数的极值与最值。

通过求解导数，我们可以找到函数的极值点和最值，这对于优化问题和在实际应用中的最优解是非常有用的。

首先，我们来定义什么是极值和最值。

在一个给定的区间内，如果函数在其中一点的导数存在，并且导数的值为0或者不存在，那么这个点就是函数的极值点。

如果在整个区间内，函数的值在该点的左边都小于这个点的函数值，而在该点的右边都大于这个点的函数值，那么该点是函数的极小值点；反之，如果在整个区间内，函数的值在该点的左边都大于这个点的函数值，而在该点的右边都小于这个点的函数值，那么该点是函数的极大值点。

而最大值和最小值则是函数在一个给定的区间上的最大值和最小值。

注意，极值点不一定是最大值或最小值，因为函数可能在其它点上也可以取到相同的函数值。

下面，我们来看一些具体的例子。

例子1：求函数$f(x)=x^3-3x^2+2$在区间$[-1,2]$上的极值和最值。

首先，我们求出函数$f(x)$的导数：$f'(x)=3x^2-6x$。

然后令导数等于0，解方程$3x^2-6x=0$，得到$x=0$和$x=2$。

将这两个解代入到原函数$f(x)$中，我们得到$f(0)=2$和$f(2)=2$。

接下来我们要找到$x=-1,0,2$三个点之间的最大值和最小值。

我们可以通过描绘函数的图像来直观地找到答案。

根据图像，我们可以看出当$x=-1$时，$f(x)$取到最大值2；当$x=2$时，$f(x)$取到最小值-2所以在区间$[-1,2]$上，函数$f(x)$的极大值为2，极小值为-2，最大值为2，最小值为-2例子2：求函数$f(x)=x^4-2x^3-6x^2+12x$在区间$[-2,3]$上的极值和最值。

首先，我们求出函数$f(x)$的导数：$f'(x)=4x^3-6x^2-12x+12$。