高中函数题型总结

【考点预测】知识点一：三角函数基本概念1．角的概念(1)任意角：①高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题17三角函数概念与诱导公式定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{}Z k k S ∈+︒⋅==，αββ360．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．(4)象限角的集合表示方法：2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．(2)角度制和弧度制的互化：rad 180π=︒,rad 1801π=︒,π︒=180rad 1．(3)扇形的弧长公式：r l ⋅=α，扇形的面积公式：22121r lr S ⋅==α．3．任意角的三角函数(1)定义：任意角α的终边与单位圆交于点)(y x P ，时，则y =αsin ，x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα．(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P )(y x P ，是角α终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O 的距离为r ，则r y =αsin ，r x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号αsin R ＋＋－－αcos R＋－－＋αtan }2|{Z k k ∈+≠，ππαα＋－＋－记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦．4．三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T ．三角函数线有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线知识点二：同角三角函数基本关系1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：1cos sin 22=+αα．(2)商数关系：)2(tan cos sin ππααααk +≠=；知识点三：三角函数诱导公式公式一二三四五六角)(2Z k k ∈+απαπ+α-απ-απ-2απ+2正弦αsin αsin -αsin -αsin αcos αcos 余弦αcos αcos -αcos αcos -αsin αsin -正切αtan αtan αtan -αtan -口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作2n πα⋅±；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断2n πα⋅±所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当n 为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n 为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．【方法技巧与总结】1．利用1cos sin 22=+αα可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用αααtan cos sin =可以实现角α的弦切互化．2．“ααααααcos sin cos sin cos sin -+，，”方程思想知一求二．222(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2ααααααα+=++=+222(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2ααααααα-=+-=-22(sin cos )(sin cos )2αααα++-=【题型归纳目录】题型一：终边相同的角的集合的表示与区别题型二：等分角的象限问题题型三：弧长与扇形面积公式的计算题型四：三角函数定义题题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值题型六：同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的题型七：诱导求值与变形【典例例题】题型一：终边相同的角的集合的表示与区别例1．（2022·全国·高三专题练习）与角94π的终边相同的角的表达式中，正确的是（）A ．245k π+ ，k Z ∈B ．93604k π⋅+，k Z ∈C ．360315k ⋅- ，k Z ∈D ．54k ππ+，k Z ∈【答案】C 【解析】【分析】要写出与94π的终边相同的角，只要在该角上加2π的整数倍即可．【详解】首先角度制与弧度制不能混用，所以选项AB 错误；又与94π的终边相同的角可以写成92()4k k Z ππ+∈，所以C 正确．故选：C ．例2．（2022·全国·高三专题练习）若角α的终边在直线y x =-上，则角α的取值集合为（）A ．2,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z B ．32,4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．3,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z D ．,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z 【答案】D 【解析】【分析】根据若,αβ终边相同，则2,k k Z βπα=+∈求解.【详解】解：，由图知，角α的取值集合为:()32,2,4421,2,44,4k k Z k k Z k k Z k k Z k k Z ππααπααπππααπααππααπ⎧⎫⎧⎫=+∈⋃=-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎧⎫==+-∈⋃=-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭故选：D.【点睛】本题主要考查终边相同的角，还考查了集合的运算能力，属于基础题.例3．（2022·上海市嘉定区第二中学高一阶段练习）设集合{}{}|45180,|135180,A k k Z k k Z αααα==︒+⋅︒∈⋃=︒+⋅︒∈，集合{}|4590,B k k Z ββ==︒+⋅︒∈，则（）A ．AB =∅ B ．A BC ．B AD ．A B=【答案】D 【解析】【分析】考虑A 中角的终边的位置，再考虑B 中角的终边的位置，从而可得两个集合的关系.【详解】.45180,k k Z α=︒+⋅︒∈表示终边在直线y x =上的角，135180,k k Z α=︒+⋅︒∈表示终边在直线y x =-上的角，而4590,k k Z β=︒+⋅︒∈表示终边在四条射线上的角，四条射线分别是射线,0;,0;,0;,0y x x y x x y x x y x x =≥=-≤=≤=-≥，它们构成直线y x =、直线y x =-，故A B =.故选：D.【点睛】本题考查终边相同的角，注意180k α⋅︒+的终边与α的终边的关系是重合或互为反向延长线，而90k α⋅︒+的终边与α的终边的关系是重合或互为反向延长线或相互垂直，本题属于中档题.（多选题）例4．（2022·全国·高三专题练习）如果角α与角45γ+︒的终边相同，角β与45γ-︒的终边相同，那么αβ-的可能值为（）A ．90︒B ．360︒C ．450︒D ．2330︒【答案】AC 【解析】根据终边相同可得角与角之间的关系，从而可得αβ-的代数形式，故可得正确的选项.【详解】因为角α与角45γ+︒的终边相同，故45360k γα ，其中k Z ∈，同理145360k βγ=-︒+⋅︒，其中1k Z ∈，故90360n αβ-=︒+⋅︒，其中n Z ∈，当0n =或1n =时，90αβ-=︒或450αβ-=︒，故AC 正确，令36090360n ︒=︒+⋅︒，此方程无整数解n ；令903060233n =︒+⋅︒︒即569n =，此方程无整数解n ；故BD 错误.故选：AC.（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是（）A ．90αβ+=︒B ．180αβ+=︒C ．()36090k k αβ+=⋅︒+︒∈ZD ．()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z 【答案】BD 【解析】【分析】根据α和β的终边关于y 轴对称时()180360k k αβ+=︒+︒∈Z ，逐一判断正误即可.【详解】根据α和β的终边关于y 轴对称时()180360k k αβ+=︒+︒∈Z 可知，选项B 中，180αβ+=︒符合题意；选项D 中，()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z 符合题意；选项AC 中，可取0,90αβ=︒=︒时显然可见α和β的终边不关于y 轴对称.故选：BD.例6．（2022·全国·高三专题练习）写出两个与113π-终边相同的角___________．【答案】3π，53π-(其他正确答案也可)【解析】【分析】利用终边相同的角的定义求解.【详解】设α是与113π-终边相同的角，则112,3k k Z παπ=-∈，令1k =，得53πα=-，令2k =，得3πα=，故答案为：3π，53π-(其他正确答案也可)【方法技巧与总结】（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决．（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．题型二：等分角的象限问题例7．（2022·浙江·高三专题练习）若18045,k k Z α=⋅+∈ ，则α的终边在（）A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限【答案】A 【解析】【分析】分21,k n n Z =+∈和2,k n n =∈Z 讨论可得角的终边所在的象限.【详解】解：因为18045,k k Z α=⋅+∈ ，所以当21,k n n Z =+∈时，218018045360225,n n n Z α=⋅++=⋅+∈ ，其终边在第三象限；当2,k n n =∈Z 时，21804536045,n n n Z α=⋅+=⋅+∈ ，其终边在第一象限.综上，α的终边在第一、三象限.故选：A.例8．（2022·全国·高三专题练习（理））角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】【分析】由题意知，222k k ππαπ<<+，k Z ∈，即可得3α的范围，讨论3k n =、31k n =+、32k n =+()n Z ∈对应3α的终边位置即可.【详解】∵角α的终边在第一象限，∴222k k ππαπ<<+，k Z ∈，则223363k k παππ<<+，k Z ∈，当3()k n n Z =∈时，此时3α的终边落在第一象限，当31()k n n Z =+∈时，此时3α的终边落在第二象限，当32()k n n Z =+∈时，此时3α的终边落在第三象限，综上，角α的终边不可能落在第四象限，故选：D.例9．（2022·全国·高三专题练习）θ是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是（）A ．sin2θB ．cos2θC ．sin 2θD ．cos 2θ【答案】C 【解析】表示出第二象限角的范围，求出2θ和2θ所在象限，确定函数值的符号．【详解】因为θ是第二象限角，所以22,2k k k Z ππθππ+<<+∈，则4242,k k k Z ππθππ+<<+∈，所以2θ为第三或第四象限角或终边在y 轴负半轴上，，所以sin 2θ<0.而,422k k k Z πθπππ+<<+∈，2θ是第一象限或第三象限角，正弦余弦值不一定是负数．故选：C ．例10．（2022·全国·高三专题练习）已知角α第二象限角，且cos cos22αα=-，则角2α是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】C 【解析】【分析】由α是第二象限角，知2α在第一象限或在第三象限，再由coscos22αα=-，知cos02α≤，由此能判断出2α所在象限．【详解】因为角α第二象限角,所以()90360180360Z k k k α+⋅<<+⋅∈，所以()4518090180Z 2k k k α+⋅<<+⋅∈，当k 是偶数时，设()2Z k n n =∈，则()4536090360Z 2n n n α+⋅<<+⋅∈，此时2α为第一象限角；当k 是奇数时，设()21Z k n n =+∈，则()225360270360Z 2n n n α+⋅<<+⋅∈，此时2α为第三象限角.；综上所述：2α为第一象限角或第三象限角，因为coscos22αα=-，所以cos02α≤，所以2α为第三象限角．故选：C ．【方法技巧与总结】先从α的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）nα的象限分布图示．题型三：弧长与扇形面积公式的计算例11．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 及其所对弦AB 围成的图形．若弧田的弦AB 长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧AB 长为_______，弧田的面积为_________．【答案】2sin1;211sin 1tan1-.【解析】【分析】（1）利用弧长公式解决，那么需要算出半径和圆心角；（2）用扇形的面积减去三角形的面积即可.【详解】由题意可知：111,,sin1sin1tan1tan1======AC BC BC AC AO OC ，所以弧AB 长122sin1sin1=⨯=，弧田的面积22111111222sin12tan1sin 1tan1⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭扇形AOB AOB S S ，故答案为：2sin1；211sin 1tan1-.例12．（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出 AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CDs AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（）A B C D 【答案】B 【解析】【分析】连接OC ，分别求出,,AB OC CD ，再根据题中公式即可得出答案.【详解】解：如图，连接OC ，因为C 是AB 的中点，所以OC AB ⊥，又CD AB ⊥，所以,,O C D 三点共线，即2OD OA OB ===，又60AOB ∠=︒，所以2AB OA OB ===，则OC =2CD =所以()22222CD s AB OA =+=+=故选：B.例13．（2022·全国·高三专题练习）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为r 的圆面中剪下扇形OAB ，使剪下扇形OAB，再从扇形OAB 中剪下扇环形ABDC 制作扇面，使扇环形ABDC 的面积与扇形OAB.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（）ABCD2-【答案】D 【解析】【分析】记扇形OAB 的圆心角为α，扇形OAB 的面积为1S ，扇环形ABDC 的面积为2S ，圆的面积为S ，根据扇形面积公式，弧长公式，以及题中条件，即可计算出结果.【详解】记扇形OAB 的圆心角为α，扇形OAB 的面积为1S ，扇环形ABDC 的面积为2S ，圆的面积为S ，由题意可得，2112S r α=，21S S =2S r π=，所以()122124S Srαππ==，因为剪下扇形OAB ，所以22r r r παπ-=(3απ=，所以()()()2113244S S απππ====.故选：D.例14．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为O ，墙壁截面ABCD 为矩形，且1AD =，则扇形OAD 的面积是__________.【答案】6π##16π【解析】【分析】计算AOD ∠，再利用扇形的面积公式求解.【详解】由题意可知，圆O 的半径为1，即1OA OD ==，又1AD =，所以OAD △为正三角形，∴3AOD π∠=，所以扇形OAD 的面积是221112236S r AOD ππ=⨯⨯∠=⨯⨯=.故答案为：6π例15．（2022·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC 的面积S 为22225cm π，若2BD DA =，则当该纸叠扇的周长C 最小时，BD 的长度为___________cm .【答案】10π【解析】【分析】设扇形ABC 的半径为r cm ，弧长为l cm ，根据扇形ABC 的面积S 为22225cm π，由212252rl π=得到rl ，然后由纸叠扇的周长2C r l =+，利用基本不等式求解.【详解】解：设扇形ABC 的半径为r cm ，弧长为l cm ，则扇形面积12S rl =.由题意得212252rl π=，所以2450rl π=.所以纸叠扇的周长260C r l π=+≥==，当且仅当22,450,r l rl π=⎧⎨=⎩即15r π=，30l π=时，等号成立，所以()15BD DA cm π+=.又2BD DA =，所以()1152BD BD cm π+=，所以()3152BD cm π=，故()10BD cm π=.故答案为：10π例16．（2022·全国·高三专题练习）已知扇形的周长为4cm ，当它的半径为________cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________cm 2.【答案】121【解析】【详解】24l r +=，则()21142222S lr r r r r ==-=-+，则1,2r l ==时，面积最大为1，此时圆心角2lrα ，所以答案为1；2；1.【方法技巧与总结】（1）熟记弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2（弧度制(0,2]απ∈）（2）掌握简单三角形，特别是直角三角形的解法题型四：三角函数定义题例17．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知角θ的终边过点()1,1A -，则sin()6πθ-=（）ABCD【答案】D 【解析】【分析】由任意三角形的定义求出sin ,cos θθ，由两角差的正弦公式代入即可求出sin()6πθ-.【详解】因为角θ的终边过点()1,1A -，由任意三角形的定义知：sin θθ==sin()sin cos cos sin 666πππθθθ-=-=故选：D.例18．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知角α的终边经过点(-，则()tan sin 232πααπ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭（）A ．32B ．34-C．D【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数的定义、诱导公式、二倍角公式以及弦化切可求得所求代数式的值.【详解】依题意，由三角函数的定义可知tan α=()22sin cos 2sin cos 2tan sin 23sin 22sin sin cos cos 2παπαααααπαπαααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭++-=-=-- ⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭22212sin cos 2tan tan sin cos tan 1ααααααα=--===++故选：D.例19．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边上一点()sin 3,cos3P ，若02απ≤≤，则α=（）A ．3B ．32π-C ．532π-D ．32π-【答案】C【分析】根据三角函数的定义求出tan α，结合诱导公式即可得解，注意角所在的象限.【详解】解：因为角α的终边上一点()sin 3,cos3P ，所以cos31tan 0sin 3tan 3α==<，又cos 30,sin 30<>，所以α为第四象限角，所以23,Z 2k k παπ=+-∈，又因02απ≤≤，所以532πα=-.故选：C.例20．（2022·北京·二模）已知角α的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】A 【解析】【分析】根据终边上的点确定角的正余弦值，再由二倍角正弦公式求sin 2α.【详解】由题设43sin ,cos 55αα==-，而4324sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯⨯-=-.故选：A【方法技巧与总结】（1）任意角的正弦、余弦、正切的定义；题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值例21．（2022·全国·高三专题练习）如果cos 0θ<，且tan 0θ<，则sin cos cos θθθ-+的化简为_____.【答案】sin θ【解析】【分析】由cos 0θ<，且tan 0θ<，得到θ是第二象限角，由此能化简sin cos cos θθθ-+．解：∵cos 0θ<，且tan 0θ<，∴θ是第二象限角，∴sin cos cos sin cos cos sin θθθθθθθ-+=-+=．故答案为：sin θ．例22．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据sin cos 0αα⋅<可知α是第二或第四象限角；根据第二或第四象限角正余弦的符号可确定结果.【详解】sin cos 0αα⋅< ，α 是第二或第四象限角；当α是第二象限角时，cos 0α<，sin 0α>，满足cos sin 0αα-<；当α是第四象限角时，cos 0α>，sin 0α<，则cos sin 0αα->，不合题意；综上所述：α是第二象限角.故选：B.例23．（2022·浙江·模拟预测）已知R θ∈，则“cos 0θ>”是“角θ为第一或第四象限角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要【答案】B 【解析】【分析】利用定义法进行判断.【详解】充分性：当cos 0θ>时，不妨取cos 1,0θθ==时轴线角不成立.故充分性不满足；必要性：角θ为第一或第四象限角，则cos 0θ>，显然成立.故选：B.例24．（2022·重庆·高三开学考试）若tan 0θ>，则下列三角函数值为正值的是（）A ．sin θB ．cos θC ．sin 2θD ．cos 2θ【答案】C 【解析】【分析】结合诱导公式、二倍角公式判断出正确选项.【详解】sin tan 0sin cos 0sin 22sin cos 0cos θθθθθθθθ=>⇒⋅>⇒=>，所以C 选项正确.当5π4θ=时，5ππtan 0,sin 0,cos 0,cos 2coscos 022θθθθ><<===，所以ABD 选项错误.故选：C例25．（2022·全国·高三专题练习（理））我们知道，在直角坐标系中，角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角．已知点()cos ,tan P αα在第三象限，则角α的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】【分析】本题首先可以根据题意得出cos 0α<、tan 0α<，然后得出sin 0α>，即可得出结果.【详解】因为点()cos ,tan P αα在第三象限，所以cos 0α<，tan 0α<，则sin 0α>，角α的终边在第二象限，故选：B.例26．（2022·全国·高三专题练习（理））已知sin 0,cos 0αα><，则（）A ．sin 20α>B ．cos20α<C ．tan02α>D ．sin2α<【答案】C 【解析】【分析】由条件得到角α所在的象限，从而得到2α所在的象限，这样就可以得到答案.【详解】由sin 0,cos 0αα><知，α为第二象限角，所以2α为第一或第三象限角，所以tan02α>．故选：C.例27．（2022·江西南昌·三模（文））若角α的终边不在坐标轴上，且sin 2cos 2αα+=，则tan α=()A ．43B ．34C ．23D ．32【答案】A 【解析】【分析】结合易知条件和同角三角函数的平方关系即可求出cos α，从而求出sin α，根据sin tan cos ααα=即可求得结果．【详解】22sin cos 13cos 5sin 2cos 2ααααα⎧+=⇒=⎨+=⎩或cos 1α=，∵α的终边不在坐标轴上，∴3cos 5α=，∴34sin 2255α=-⨯=，∴sin 4tan cos 3ααα==．故选：A ．例28．（2022·全国·高三专题练习（理））若α是第二象限角，则下列不等式正确的是（）A ．()cos 0α->B ．tan02α>C ．sin 20α>D ．()sin 0α->【答案】B 【解析】【分析】根据α是第二象限角，分别求出四个选项中角所在的象限，再判断三角函数的符号，即可求解.【详解】对于A ：因为()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()ππ2π2πZ 2k k k α--<-<--∈，所以α-是第三象限角，所以()cos 0α-<，故选项A 不正确；对于B ：因为()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()ππππZ 422k k k α+<<+∈，当()2Z k n n =∈时，()ππ2π2πZ 422n n n α+<<+∈，此时2α是第一象限角，当()21Z k n n =+∈时，()5π3π2π2πZ 422n n n α+<<+∈，此时2α是第三象限角，所以2α是第一或第三象限角，所以tan02α>，故选项B 正确；对于C ：因为()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()π4π22π4πZ k k k α+<<+∈，所以2α是第三或第四象限角或终边落在y 轴非正半轴，所以sin 20α<，故选项C 不正确；对于D ：因为()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()ππ2π2πZ 2k k k α--<-<--∈，所以α-是第三象限角，所以()sin 0α-<，故选项D 不正确；故选：B.【方法技巧与总结】正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；．余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；．正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负．题型六：同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的例29．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））若tan 2θ=-，则2sin 2cos 1θθ+的值为___________.【答案】23-【解析】【分析】利用二倍角公式和同角三角函数平方关系可构造正余弦齐次式，分子分母同除2cos θ，代入tan θ即可得到结果.【详解】2222sin 22sin cos 2tan 42cos 12cos sin 2tan 243θθθθθθθθ===-=-++++.故答案为：23-.例30．（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知tan 3α=，则22sin 22sin cos2cos -=-αααα___________．【答案】43【解析】【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数齐次式关系求解即可.【详解】解：22222222sin 22sin 2sin cos 2sin 2tan 2tan 23234cos2cos sin tan 33---⨯-⨯====----ααααααααααα．故答案为：43例31．（2022·广东惠州·一模）已知tan 2α=，32παπ<<，则cos sin αα-=（）A B ．C D ．【答案】A 【解析】【分析】由sin tan 2cos ααα==及22sin cos 1αα+=解出sin α与cos α即可求解.【详解】因为sin tan 2cos ααα==，且22sin cos 1αα+=，32παπ<<，所以sin α=cos α=，所以cos sin αα⎛-== ⎝⎭.故选：A.例32．（2022·全国·模拟预测）已知0πA <<，1sin cos 5A A +=，则1sin 21cos 2AA-=+（）A ．132B ．118C ．4918D ．4932【答案】C 【解析】【分析】结合同角的平方关系以及二倍角公式即可求出结果.【详解】由1sin cos 5A A +=及22sin cos 1A A +=，解得4sin 5A =，3cos 5A =-或4cos 5A =，3sin 5A =-.因为sin 0A >，所以4sin 5A =，3cos 5A =-，所以24sin 22sin cos 25A A A ==-，227cos 2cos sin 25A A A =-=-，所以2411sin 2492571cos 218125A A +-==+-，故选：C.例33．（2022·海南·模拟预测）已知角α为第二象限角，tan 3α=-，则cos α=（）A．BC．D【答案】A 【解析】【分析】由角所在的象限及同角三角函数的平方关系、商数关系求cos α即可.【详解】因为α是第二象限角，所以sin 0α>，cos 0α<，由sin tan 3cos ααα==-，22sin cos 1αα+=，可得：cos α=故选：A.例34．（2022·全国·高三专题练习）已知(,22ππα∈-，且212sin 5cos 9αα-=，则cos 2=α（）A ．13B ．79-C ．34-D ．18【答案】B 【解析】【分析】利用同角公式化正弦为余弦，求出cos α的值，再利用二倍角的余弦公式求解即得.【详解】依题意，原等式化为：212(1cos )5cos 9αα--=，整理得：(4cos 3)(3cos 1)0αα+-=，因(,)22ππα∈-，则cos 0α>，解得：1cos 3α=，所以2217cos 22cos 12139αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭.故选：B例35．（2022·全国·高三阶段练习（理））若sin cos 2sin cos θθθθ+=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．65D ．25【答案】C 【解析】【分析】由已知得sin 3cos θθ=，从而sin ,cos θθ同号，即sin cos 0>θθ，然后由平方关系求得22cos ,sin θθ，进而求得sin cos θθ，求值式应用二倍角公式和平方关系变形后可得结论．【详解】因为sin cos 2sin cos θθθθ+=-，所以sin 3cos θθ=，所以sin ,cos θθ同号，即sin cos 0>θθ，22222sin cos 9cos cos 10cos 1θθθθθ+=+==，21cos 10θ=，从而29sin 10θ=，229sin cos 100θθ=，所以3sin cos 10θθ=，22sin (1sin 2)sin (sin cos 2sin cos )sin (sin cos )sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++2936sin sin cos 10105θθθ=+=+=．故选：C ．例36．（2022·广东广州·三模）已知sin cos x x +=()0,πx ∈，则cos2x 的值为（）A ．12B C ．12-D ．【答案】D 【解析】【分析】将sin cos x x +=2sin x cos x =-12<0,结合sin cos x x +=求出x 的范围，再利用22cos 2sin 21x x +=求解即可.【详解】解：将sin cos x x +=2sin x cos x =-12<0,所以π(,π)2x ∈，又因为sin cos x x +=０，所以π3π(,24x ∈，2x 3π(π,)2∈,又因为sin2x =-12,所以cos2x 故选：D.例37．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知1sin cos 5θθ+=-，(0,)θπ∈，则sin cos θθ-=（）A ．15B ．15-C ．75D ．75-【答案】C 【解析】【分析】利用平方关系，结合同角三角函数关系式，即可求解.【详解】()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=，242sin cos 025θθ=-<，()0,θπ∈ ，,2πθπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，sin cos θθ>，()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=，所以7sin cos 5θθ-=.故选：C例38．（2022·山西晋中·模拟预测（理））若tan 1θ=-，则()cos 1sin 2sin cos θθθθ--等于（）A ．12B ．2C ．1-D ．13-【答案】C 【解析】【分析】化简原式为2tan 1tan 1θθ-+即得解.【详解】解：原式()222cos sin 2sin cos cos cos (sin cos )=sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ-⋅+-=--22cos (sin cos )sin cos θθθθθ-=+2tan 12=1tan 12θθ--==-+.故选：C例39．（2022·湖北·模拟预测）已知()cos 3cos 02πααπ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，则3sin sin sin 2ααπα-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．35B ．35C ．310D ．310-【答案】D 【解析】【分析】根据题意求出tan α，再将原式化简为：32sin sin tan tan 1sin 2αααπαα-=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，求解即可.【详解】因为()cos 3cos 02πααπ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，所以sin 3cos 0αα--=，所以tan 3α=-()232sin 1sin sin sin tan 3sin cos cos tan 110sin 2αααααααπααα--====-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故选：D.【方法技巧与总结】（1）若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值．（2）若无象限条件，一般“弦化切”．题型七：诱导求值与变形例40．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．13-C ．79D ．79-【答案】D 【解析】【分析】由三角函数的二倍角的余弦公式，结合诱导公式，即可求得答案.【详解】由题意得：2222πππππ27cos 22cos 12cos 12sin 113326699αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=---=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：D ．例41．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））若1sin ,63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭则2cos 3a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．13-C ．79D ．79-【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式计算可得；【详解】解：因为1sin 63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以21cos cos sin 32663ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B.例42．（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））()tan 165-︒=（）A ．2-B ．2-+C ．2D ．2【答案】C 【解析】【分析】先利用诱导公式可得()tan 165tan15-︒=︒，在运用正切两角差公式()tan15tan 4530︒=︒-︒计算．【详解】()()()tan 165tan 18015tan15tan 4530-︒=-︒+︒=︒=︒-︒1tan 45tan 3021tan 45tan 30︒-︒===+︒︒故选：C ．例43．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知2cos sin 022a ππα⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()tan -=πα（）A ．2B ．—2C ．12D ．12-【答案】C 【解析】【分析】根据诱导公式五、六可得2sin cos 0αα+=，由同角三角函数的关系可得1tan 2α=-，结合诱导公式二计算即可.【详解】由已知得2sin cos 0αα+=，12sin cos tan 2ααα∴=-∴=-，，∴1tan()tan 2παα-=-=.故选：C【方法技巧与总结】（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与2π整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数．（2）通过2,,2πππ±±±等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．（3）2,,2παβππ±=±±±等可利用诱导公式把,αβ的三角函数化【过关测试】一、单选题1．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（理））中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上､下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲池，1AA 垂直于底面，13AA =，底面扇环所对的圆心角为2π，弧AD 长度是弧BC 长度的3倍，2CD =，则该曲池的体积为（）A ．92πB ．5πC ．112πD ．6π【答案】D 【解析】【分析】利用柱体体积公式求体积.【详解】不妨设弧AD 所在圆的半径为R ，弧BC 所在圆的半径为r ，由弧AD 长度为弧BC 长度的3倍可知3R r =，22CD R r r =-==，所以1r =，3R =.故该曲池的体积22()364V R r ππ=⨯-⨯=.故选：D.2．（2022·海南中学高三阶段练习）二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示李节变迁的24个特定节令．如图，每个节气对应地球在黄道上运动15︒所到达的一个位置．根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（）A ．π3-B ．π2C ．5π12D ．π3【答案】B【解析】【分析】根据条件得到运行度数为6×15°，化为弧度即可得解.【详解】根据题意，立春是立冬后的第六个节气，故从立冬到立春相应于地球在黄道上逆时针运行了61590︒⨯=︒，所以从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为π2.故选：B3．（2022·河北·模拟预测）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角等于23π的扇形，则该圆锥的体积为（）A B ．1627πC D ．1681π【答案】C 【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则由题意可得2223r ππ=⨯，从而可求出半径r ，再求出h ，进而可求出其体积【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则由题意可得2223r ππ=⨯，解得23r =，所以h ===所以圆锥的体积为22112333V r h ππ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭故选：C4．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知角θ的大小如图所示，则1sin 2cos 2θθ+=（）A ．5-B ．5C ．15-D ．15【答案】A 【解析】【分析】由图中的信息可知tan 54πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，化简1sin 2cos 2θθ+即可.【详解】由图可知，tan 54πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()()()22222cos sin 1sin 2sin cos 2sin cos cos sin cos 2cos sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθθθθθθθ+++++===--+-tantan 1tan 4tan 51tan 41tan tan 4πθθπθπθθ++⎛⎫===+=- ⎪-⎝⎭-；故选：A.5．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））tan195︒=（）A．2-B．2-+C ．2D ．2【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式及两角差的正切公式计算可得；【详解】解：()()tan195tan 18015tan15tan 4530︒=︒+︒=︒=︒-︒tan 45tan 301tan 45tan 30︒-︒=+︒︒12==故选：C6．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）若21sin2512sin αα+=-，则tan α=（）A ．23-B ．32-C ．23D ．32【答案】C 【解析】【分析】通过“1”的替换，齐次化，然后得到关于tan α的方程，解方程即可【详解】22221sin 2(cos sin )cos sin 1tan 512sin cos sin cos sin 1tan αααααααααααα++++====----,解得2tan 3α=故选：C7．（2022·四川成都·模拟预测（文））已知向量(3cos 2,sin )a αα= ，(2,cos 5sin )b αα=+ ，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若a b ⊥ ，则tan α=（）A ．2B ．-2C ．3D ．34【答案】C 【解析】【分析】由a b ⊥可得向量的数量积等于0，化简可得6cos 2sin (cos 5sin )0αααα++=，结合二倍角公式以及同角的三角函数关系式化为226tan tan n 10ta ααα-++=，可求得答案.【详解】由题意a b ⊥可得0a b ⋅= ，即6cos 2sin (cos 5sin )0αααα++=，即2226(cos sin )sin cos 5sin 0ααααα-++=，故22226cos sin sin c sin os 0cos αααααα-++=，即226tan tan n 10ta ααα-++=，由于π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 3,tan 2αα==-（舍去），故选：C8．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m =2sin18︒）．A ．4B 1+C ．2D 1【答案】A 【解析】【分析】根据2sin18m ︒=，结合三角函数的基本关系式，诱导公式和倍角公式，即可求解.【详解】根据题意，可得2sin182cos72m =︒=︒，4sin144cos54︒==︒()4sin 90544cos544cos54cos54︒+︒︒===︒︒.故选：A ．二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的有（）A ．经过30分钟，钟表的分针转过π弧度B ．1801radπ︒=C ．若sin 0θ>，cos 0θ<，则θ为第二象限角D ．若θ为第二象限角，则2θ为第一或第三象限角【答案】CD 【解析】【分析】对于A ，利用正负角的定义判断；对于B ，利用角度与弧度的互化公式判断；对于C ，由sin 0θ>求出θ的范围，由cos 0θ<求出θ的范围，然后求交集即可；对于D ，由θ是第二象限角，可得222k k ππθππ+<<+，k Z ∈，然后求2θ的范围可得答案【详解】对于A ，经过30分钟，钟表的分针转过π-弧度，不是π弧度，所以A 错；对于B ，1︒化成弧度是rad 180π，所以B 错误；对于C ，由sin 0θ>，可得θ为第一、第二及y 轴正半轴上的角；由cos 0θ<，可得θ为第二、第三及x 轴负半轴上的角.取交集可得θ是第二象限角，故C 正确；对于D ：若θ是第二象限角，所以222k k ππθππ+<<+，则()422k k k Z πθπππ+<<+∈，当2()k n n Z 时，则22()422n n n Z πθπππ+<<+∈，所以2θ为第一象限的角，当21()k n n Z =+∈时，5322()422n n n Z πθπππ+<<+∈，所以2θ为第三象限的角，综上，2θ为第一或第三象限角，故选项D 正确.故选：CD.10．（2022·全国·高三专题练习）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形（如图）的面积为1S ，圆心角为1α，圆面中剩余部分的面积为2S ，圆心角为2α，当1S 与2S0.618≈（黄金分割比）时，折扇看上去较为美观，那么（）A ．1127.5α=︒B ．1137.5α=︒C．21)απ=D．12αα=【答案】BCD 【解析】【分析】利用扇形的面积公式以及角度制与弧度制的互化即可求解.【详解】设扇形的半径为R，由211122221212R S S R αααα===，故D 正确；由122ααπ+=，。

三角函数高考题型分类总结根据出现频率和难度程度，三角函数的高考题型可以分为以下几类：1.求解三角函数值：给定某个角度，求其正弦、余弦、正切等函数值。

这是三角函数的基本应用，通常难度较低。

2.证明恒等式：要求学生运用三角函数的基本公式和性质，证明某些三角函数的恒等式。

难度较高。

3.解三角形：给定某些三角形的一些角度或边长，要求学生利用三角函数的基础知识求解其余角度或边长。

难度较高。

4.求解三角方程：给定某些三角函数的式子，要求学生解出该式的解集。

这种题型通常需要学生掌握一定的三角函数公式，难度较高。

5.综合应用：要求学生将三角函数运用到实际问题中，如求解高度、距离等。

考察学生对三角函数的理解和应用能力。

难度较高。

除了以上几种常见的题型，还可能出现一些变形题，需要学生根据题目情况灵活运用三角函数的知识。

总的来说，三角函数在高考中的重要性不言而喻，学生需要扎实掌握相关知识和技能。

6.三角函数的图像与性质：考察三角函数的图像、周期、奇偶性、单调性等性质，需要学生掌握函数图像的绘制和相关概念的理解。

7.复合三角函数：考察学生对三角函数复合的概念和公式的掌握，需要注意不同变换下函数值的变化。

8.三角函数的导数：考察学生对三角函数的导数概念和计算方法的掌握，包括链式法则、求导公式等内容。

9.反三角函数：考察学生对反三角函数的定义、性质和公式的掌握，需要注意定义域、值域和解的判断。

10.三角函数的应用：考察学生将三角函数用于实际问题的解决，如解决三角形、距离等问题。

总的来说，三角函数是高中数学中重要的一部分，掌握好三角函数的知识对于高考的成绩至关重要。

在复习中，学生需要注重基础知识的巩固，深入理解概念和定理，做好练习题和真题的训练，同时灵活应用所学知识解决实际问题。

高一函数零点题型归纳函数零点是高中数学中的一个重要概念，它涉及到函数的值、图像、单调性等多个方面。

以下是高一函数零点的一些常见题型及其解题方法：一、判断零点个数例题：函数f(x) = x^{2} - 2xf(x)=x2−2x在区间( - 3,3)(−3,3)内的零点个数为( )A.0 B.11 C.22 D.33解析：首先确定函数的对称轴为x = 1x=1，然后判断函数的开口方向为向上。

接下来，根据对称轴和区间端点的距离，可以确定函数在区间内的零点个数。

二、求函数的零点例题：函数f(x) = \log_{2}(x - 3)f(x)=log2(x−3)的零点是( )A.22 B.33 C.44 D.55解析：对数函数的零点即为使对数内部表达式等于1的x值。

因此，令x - 3 = 1x−3=1，解得x = 4x=4。

三、判断零点所在区间例题：函数f(x) = x^{3} - x^{2} - xf(x)=x3−x2−x在区间( - 1,2)(−1,2)内的一个零点所在的区间是( )A.(0,1)(0,1) B.(1,2)(1,2) C.( - 1,0)(−1,0) D.(0,2)(0,2)解析：先确定函数在给定区间端点的函数值，然后判断其正负性。

如果端点函数值异号，则该区间内必存在零点。

四、应用题中的零点问题例题：某商品的成本价为每件30元，售价不超过50元时，售价y(元)与售价的整数部分x 满足关系式：y = x + 20y=x+20，当成本价与售价相等时，每月最多可售出该商品____件。

解析：根据题意，当成本价与售价相等时，即30 = x + 2030=x+20，解得x = 10x=10。

由于售价的整数部分为10，则售价为30元。

再根据一次函数的性质，当斜率大于0时，函数单调递增，因此每月最多可售出该商品33件。

五、判断函数是否为同一函数（根据零点个数）例题：下列四个函数中与函数f(x) = \frac{1}{x}f(x)=x1表示同一函数的是( )A.y = \frac{x^{2}}{x}y=xx2B.y = \frac{1}{\sqrt{x}}y=x1C.y = \frac{1}{\log_{a}x}y=logax1D.y = \frac{e^{x}}{x}y=xex解析：根据函数的三要素（定义域、值域、对应关系），分别判断各选项是否与给定函数定义域相同、值域相同以及对应关系相同。

高中函数题型及解题方法高中数学中，函数是一个非常重要的概念，也是学生们比较头疼的一个知识点。

函数题型在高考中占据了相当大的比重，因此掌握函数的相关知识和解题方法对于学生来说是非常重要的。

本文将针对高中函数题型及解题方法进行详细介绍，希望能够帮助学生们更好地理解和掌握函数的相关知识。

一、基本概念。

在学习函数的题型和解题方法之前，首先需要对函数的基本概念有一个清晰的认识。

函数是一个特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素上。

函数通常用f(x)来表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。

函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等概念也是学习函数题型的重点内容。

二、常见题型及解题方法。

1. 函数的性质题。

这类题型主要考察对函数的性质的理解和掌握程度，包括奇偶性、单调性、最值等。

解题方法主要是通过对函数图像的分析和导数的运算来确定函数的性质。

2. 函数的运算题。

函数的运算题主要考察对函数的基本运算和复合函数的理解，包括函数的加减乘除、复合函数等。

解题方法主要是根据函数的定义进行运算，注意化简和合并同类项。

3. 函数方程题。

函数方程题主要考察对函数方程的解法和函数图像的性质分析。

解题方法主要是根据方程的特点进行分类讨论，通过代数和图像的方法解题。

4. 函数的应用题。

函数的应用题是高中数学中比较常见的题型，主要考察对函数的应用和解决实际问题的能力。

解题方法主要是通过建立函数模型，利用函数的性质解决实际问题。

三、解题技巧。

1. 熟练掌握函数的基本性质和运算法则，对于函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等要有清晰的认识。

2. 多画函数的图像，通过观察函数的图像来理解函数的性质和解题方法。

3. 多做函数题的练习，掌握不同类型函数题的解题技巧和方法。

4. 注意函数题与实际问题的结合，理解函数在实际问题中的应用。

总结。

通过对高中函数题型及解题方法的介绍，希望能够帮助学生们更好地掌握函数的相关知识和解题方法。

二次函数题型分类总结二次函数是高中数学中一个重要的内容，也是学生们经常接触到的数学题型之一。

在学习二次函数的过程中，我们会遇到各种不同类型的题目，这些题目涵盖了二次函数的基本概念、性质、图像、方程、不等式等多个方面。

为了帮助大家更好地理解和掌握二次函数的相关知识，本文将对二次函数题型进行分类总结，以便学生们能够更系统地学习和应用这一知识点。

一、基本概念题型。

1. 求二次函数的顶点、对称轴、开口方向等基本性质；2. 确定二次函数的增减性、最值等相关问题；3. 根据二次函数的图像特点进行分析和判断。

二、方程与不等式题型。

1. 解二次函数的方程，包括一元二次方程和二元二次方程；2. 求二次函数不等式的解集，包括一元二次不等式和二元二次不等式。

三、图像与性质题型。

1. 根据给定的二次函数，绘制其图像；2. 根据图像，确定二次函数的各种性质，如开口方向、顶点坐标、对称轴等；3. 利用二次函数的图像进行相关问题的分析和解决。

四、应用题型。

1. 利用二次函数解决实际问题，如抛物线运动、优化问题等；2. 利用二次函数的性质解决相关的数学问题，如几何问题、物理问题等。

五、综合题型。

1. 将多个知识点进行综合运用，解决复杂的二次函数问题；2. 考察学生对二次函数整体理解和运用能力的题目。

通过以上分类总结，我们可以清晰地了解到二次函数题型的多样性和复杂性。

在学习和解答二次函数题目时，我们需要全面掌握二次函数的基本概念和性质，灵活运用相关的解题方法，善于将不同的知识点进行整合和应用。

同时，我们也要注重实际问题的应用，将抽象的数学知识与实际生活相结合，更好地理解和掌握二次函数的相关内容。

希望通过本文的总结，能够帮助大家更好地理解和掌握二次函数的相关知识，提高解答二次函数题目的能力和水平。

同时，也希望大家能够在学习数学的过程中保持耐心和积极性，不断提升自己的数学素养，为将来的学习和发展打下坚实的数学基础。

重难点第10讲函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型【命题趋势】函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。

第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、单调性定义的等价形式:1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<-x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>--x f x f x x ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>-x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<--x f x f x x ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.2、验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()1()f x f x -=±是否成立.3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a -=+（00a a >≠且）为偶函数；2、()x x f x a a -=-（00a a >≠且）为奇函数；3、()2211x x x x xx a a a f x a a a ----==++（00a a >≠且）为奇函数；4、()log a b xf x b x-=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；5、())log af x x =（00a a >≠且）为奇函数；6、()f x ax b ax b =++-为偶函数；7、()f x ax b ax b =+--为奇函数；四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ；（2）若()()+=-f x a f x a ，则2=T a ；（3）若()()+=-f x a f x ，则2=T a ；（4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ；（5）若()()1+=-f x a f x ，则2=T a ；（6）若()()+=+f x a f x b ，则=-T a b （≠a b ）；2、函数对称性的常用结论（1）若()()+=-f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（2）若()()2=-f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（3）若()()+=-f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称；（4）若()()22-=-f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称；3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=-f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=-f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数；（2）若函数()f x 满足()()22-=-f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ,0=b 时可以得出()()-=-f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数；4、函数对称性与周期性的关系（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2-b a ；（2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2-b a ；（3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4-b a .5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a .（2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a .（3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a .（4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。

微专题27 常见复合函数及其性质7种常考题型总结题型1 判断复合函数的单调性题型2 已知复合函数的单调性求参数题型3 求复合函数的值域或最值题型4 根据复合函数的值域或最值求参题型5 复合函数的奇偶性及应用题型6 与复合函数有关的不等式问题题型7 复合函数性质的综合应用1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。

复合函数形式：()[]x g f y =，令：()x g t =，则()()x g f y =转化为()()x g t t f y ==,其中t 叫作中间变量.()x g 叫作内层函数，()t f y =叫作外层函数.2.求复合函数单调性的步骤：①确定函数的定义域②将复合函数分解成两个基本函数 ()[]x g f y = 分解成()()x g t t f y ==,③分别确定这两个函数在定义域的单调性④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。

))((x g f y =在),(b a 上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”)(x g t =)(t f y =))((x g f y =增增增增减减减增减3.指数型复合函数值域的求法（1）形如()=xy f a （0>a ，且1¹a ）的函数求值域：令=xa t ，将求原函数的值域转化为求()f t 的值域，但要注意“新元t ”的范围．（2）形如()=f x y a（0>a ，且1¹a ）的函数求值域：令()=f x m ，先求出()=f x m 的值域，再利用=y am的单调性求出()=f x y a的值域．4.对数型复合函数值域的求法（1）形如(log )=a y f x （0>a ，且1¹a ）的函数求值域：令log =a x t ，先求出log =a x t 的值域M ，再利用()=y f t 在M 上的单调性，再求出()=y f t 的值域．（2）形如()log =a y f x （0>a ，且1¹a ）的函数的值域：令()=f x m ，先求出()=f x m 的值域，再利用log =ay m 的单调性求出()log =a y f x 的值域．题型1 判断复合函数的单调性【例1】函数()122(23)f x x x -=-++的单调递减区间为（ ）A ．[]1,1-B ．(],1-¥C ．(]1,1-D ．()1,3【答案】C【分析】令223t x x =-++，12u t -=，利用复合函数的单调性求解.【详解】解：由2230x x -++>，得2230x x --<，即()()130x x +-<，解得13x -<<，所以()f x 的定义域为{}|13x x -<<，令223t x x =-++，在(]1,1-上递增，在[1,3）上递减，又12u t -=，在()0,¥+上递减，所以()f x 在(]1,1-上递减，所以函数()f x 的单调递减区间为(]1,1-，故选：C【变式1】函数y =的单调递增区间是 .【答案】(),5-¥-【分析】先求出函数的定义域，在定义域内，根据二次函数、幂函数及复合函数的单调性即可求出该函数的增区间．【详解】由2450x x +->得5x <-或1x >，∴函数y =的定义域为()(),51,¥¥--È+．∵函数245y x x =+-在(),5-¥-上单调递减，在()1,+¥上单调递增，又∵函数y =在其定义域()0,¥+上单调递减，∴函数y =在(),5-¥-上单调递增，在()1,+¥上单调递减．故答案为：(),5-¥-．【变式2】已知函数24()2x x f x -=，则函数()f x 的递增区间为（ ）A ．(4,)+¥B ．(,0)-¥C ．(,2)-¥D ．(2,)+¥【答案】D【解析】令24u x x =-，则函数()u x 在(),2-¥上单调递减，在()2,+¥单调递增，而函数2u y =在R 上单调递增，所以函数()f x 在(),2-¥上单调递减，在()2,+¥单调递增.故选：D【变式3】函数21181722x xy æöæö=-×+ç÷ç÷èøèø的单调递增区间为.【答案】[)2,-+¥【解析】设12xt æö=ç÷èø，则()2281741y t t t =-+=-+，对称轴为4t =，当4t ≥，即142xæö≥ç÷èø，即2x -≥，即2x £-时，12xt æö=ç÷èø为减函数，函数()241y t =-+为增函数，则21181722x xy æöæö=-×+ç÷ç÷èøèø为减函数，即函数单调减区间为(],2-¥-；当4t £，即142xæö£ç÷èø，即2x -£，即2x ≥-时，12xt æö=ç÷èø为减函数，函数()241y t =-+为减函数，则21181722xxy æöæö=-×+ç÷ç÷èøèø为增函数，即函数单调增区间为[)2,-+¥.故答案为：[)2,-+¥【变式4】函数()()2lg 4f x x =-的单调递增区间为（ ）A ．()0,¥+B ．(),0¥-C ．()2,+¥D ．(),2-¥-【答案】C【分析】求出函数的定义域，由复合函数单调性求出答案.【详解】函数()f x 的定义域为()(),22,¥¥--È+．令24t x =-，其中t 在(),2-¥-上单调递减，在()2,+¥上单调递增．()lg f t t =Q 为单调递增函数，()f x \的单调递增区间为()2,+¥．故选：C【变式5】函数()2ln 56y x x =+-的单调递增区间为（ ）A ．(,6)-¥-B ．52æö-¥-ç÷èø,C ．5,2æö-+¥ç÷èøD ．(1,)+¥【答案】D【解析】由不等式2560x x +->，即(1)(6)0x x -+>，解得6x <-或1x >，又由函数256y x x =+-在(,6)-¥-单调递减，在(1,)+¥单调递增，因为ln y x =在定义域上为单调递增函数，结合复合函数单调性的判定方法，可得函数()2ln 56y x x =+-的单调递增区间为(1,)+¥.故选：D.【变式6】若()()2log 1f x x =-在区间M 上单调递增，则M 可以是（ ）A ．(),2-¥-B ．()2,1--C ．()1,0-D ．()0,1【答案】D【分析】根据复合函数的单调性可知函数2log (1)y x =-在(,1)-¥上单调递减，且过原点(0,0)，进而得2()log (1)f x x =-在(0,1)上单调递增，即可求解.【详解】函数1y x =-在R 上单调递减，函数2log y x =在(0,)+¥上单调递增，又函数()f x 的定义域为(,1)-¥，所以函数2log (1)y x =-在(,1)-¥上单调递减，且过原点(0,0)，所以函数2()log (1)f x x =-在(,0)-¥上单调递减，在(0,1)上单调递增.故选：D.【变式7】已知函数()112æ=ç÷èøf x ，则()f x 的单调递增区间为，值域为 ．【答案】(,0]-¥(0,2]【分析】根据同增异减法则求出函数的单调区间；通过指数函数的单调性求出函数值域.【详解】令220x x ≥－，解得2x ≥或0x £，∴()f x 的定义域为(][),02,¥+¥U -，令1t =，则其在(,0]-¥上递减，在[2,)+¥上递增，又12ty æö=ç÷èø为减函数，故()f x 的增区间为(,0]-¥．∵11t ≥-，∴(]10,22tæöÎç÷èø，故()f x 的值域为(0,2]．故答案为：(,0]-¥，(0,2].题型2 已知复合函数的单调性求参数【例2】函数()2232x ax f x --=在[)1,+¥上单调递增，则实数a 的取值范围是．【答案】(],1-¥【解析】设223u x ax =--，函数()2232xax f x --=在[)1,+¥上单调递增，函数2u y =在R 单调递增，故223u x ax =--在[)1,+¥上单调递增，故1a £.故答案为：(],1-¥.【变式1】已知函数()22321x x y a -+=-在区间[)1,+¥上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．()(),11,-¥-È+¥B ．()1,1-C ．()1,+¥D．(),-¥+¥U【答案】D【解析】由题意知函数()22321x x y a -+=-由22(1),23t y a t x x =-=-+复合而成，223t x x =-+在[)1,+¥上为增函数，由复合函数的同增异减性，可知2(1)t y a =-需为R 上的增函数，故211a ->，∴22a >，∴a >或a < D.【变式2】设0a >，函数()22()log f x ax x =-在区间(1,)+¥上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．01a <£B ．102a <£C ．1a ≥D ．12a ≥【答案】C【分析】根据复合函数的单调性，列出关于a 的不等式，求解即可.【详解】因为函数()22()log f x ax x =-在区间(1,)+¥上单调递增，所以2y ax x =-在区间(1,)+¥上单调递增，且20ax x ->在(1,)x Î+¥上恒成立，所以011210a a a >ìïï£íï-≥ïî，解得1a ≥.故选：C【变式3】已知函数()2()lg 1f x x ax =-+-在[2,3)上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,4]-¥B ．[6,)+¥C ．10,43éùêúëûD ．10,43æùçúèû【答案】C【解析】令2()1t x x ax =-+-，因为lg y t =为增函数，函数()2()lg 1f x x ax =-+-在[2,3)上单调递减，所以2()1t x x ax =-+-在[2,3)上单调递减，且(3)0t ≥，所以229310aa ì£ïíï-+-≥î，解得1043a ££，故选：C【变式4】若函数()()212log 65f x x x =-+-在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A ．5,3éö+¥÷êëøB ．5,33éùêúëûC ．5,23éùêúëûD ．5,23éö÷êëø【答案】D【解析】由已知得2650x x -+->，解之得()1,5x Î，即()f x 的定义域为()1,5，又()f x 在区间()32,2m m -+内单调递增，根据复合函数的单调性，可得：3233225m m m -≥ìí-<+£î，解得523m £<．故选：D【变式5】已知()21log 3af x x ax a=--（0a >且1a ¹）在区间(),1-¥-上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．10,2æùçúèûC ．1,12éö÷êëøD ．[)2,+¥【答案】B【分析】依题意可得()()2log 3a f x x ax a =---，即可得到()2log 3a y x ax a =--在区间(),1-¥-上为增函数，结合二次函数及对数函数的性质计算可得.【详解】函数()()221log log 33a a f x x ax a x ax a==-----，因为()21log 3af x x ax a=--（0a >且1a ¹）在区间(),1-¥-上为减函数，则()2log 3a y x ax a =--在区间(),1-¥-上为增函数，所以23y x ax a =--在区间(),1-¥-上单调递减，且大于(等于)0恒成立，log a y x =为减函数，所以()20112130a aa a ì<<ïï≥-íïï-+-≥î，解得102a <£，即实数a 的取值范围是10,2æùçúèû.故选：B【变式6】已知函数21,01()2,12x ax ax a x f x x -+-££ìï=í<£ïî，若12,[0,2]x x "Î，12x x ¹，都有()()21210f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围为（ ）A ．(0,2]B ．(,1]-¥C ．(0,1]D ．(0,)+¥【答案】C【分析】由题意，函数()f x 是增函数，利用分段函数单调递增的条件，列不等式求a 的取值范围.【详解】因为对于12,[0,2]x x "Î，12x x ¹，都有()()21210f x f x x x ->-成立，所以函数()f x 是增函数，则函数()101y ax a x =+-££和()2212x axy x -=<£均为增函数，且有112a -£，即10,1,221,a a a ->ìïï£íï≥ïî解得01a <£.故选：C ．题型3 求复合函数的值域或最值【例3】函数2222x x y -+=，[]1,2x Î-的值域是（ ）A ．RB ．[]4,32C ．[]2,32D ．[)2,+¥【答案】C【分析】根据二次函数的性质求出指数的范围，再根据指数函数的性质即可得解.【详解】函数2222xx y -+=，是由2t y =和222t x x =-+，[]1,2x Î-复合而成，因为()222211t x x x -+==-+对称轴为1x =，开口向上，所以222t x x =-+在[)1,1-单调递减，在[]1,2单调递增，所以=1x -时，()()2max 12125t =--´-+=，1x =时，min 12121t =-´+=，所以15t ££，因为2t y =在R 上单调递增，所以15222232t y =£=£=，所以函数2222x x y -+=，[]1,2x Î-的值域是[]2,32.故选：C.【变式1】函数()()22log 22f x x x =++的值域为（ ）A ．(),1-¥B ．[)0,¥+C ．[)0,1D ．(],0-¥【答案】B【解析】函数()()22log 22f x x x =++的定义域为R ，令222t x x =++，则()2111t x =++≥，又2log y x =在[)1,+¥上单调递增，则22log log 10t ≥=，则函数()()22log 22f x x x =++的值域为[)0,¥+故选：B【变式2】函数()1422x x f x +=-+ 在11x -££时的值域是．【答案】[]1,2【解析】当11x -££时，1222x ££，函数22()(2)222(21)1x x x f x =-×+=-+，显然当21x =，即0x =时，min ()1f x =，当22x =，即1x =时，max ()2f x =，所以所求值域是[]1,2.故答案为：[]1,2【变式3】函数()()()22log 2log 4f x x x =×的值域为（ ）A ．RB ．1,24éö-+¥÷êëøC ．1,4éö-+¥÷êëøD ．3,2éö-+¥÷êëø【答案】C【分析】()()()221log 2log x x f x =++，设2log x t =，23124y t æö=+-ç÷èø，计算得到答案.【详解】()()()()()2222log 2log 41log 2log f x x x x x =×=++，设2log x t =，则()()223111232244y t t t t t æö=++=++=+-≥-ç÷èø，故函数的值域为1,4éö-+¥÷êëø.【变式4】已知函数()2m f x x-=，且()()415216f f -=．(1)求()f x 的解析式；(2)求函数()()2243g x f x x =-+在[]1,2-上的值域．【答案】(1)()4f x x=(2)11,2434éùêúëû【分析】（1）由题目条件代入即可求得2216m -=，从而求出24m -=，即可求出()f x 的解析式.（2）由（1）可知，()221111684g x x æö=-+ç÷èø，由二次函数求值域即可求出函数()g x 在[]1,2-上的值域.【详解】（1）因为()()415216f f -=，所以224152160m m ---´-=，整理得()()22216210m m ---+=，即2216m -=或221m -=-（舍去），则24m -=，故()4f x x =．（2）由（1）可知，()()2242222111164316431684g x x x xx x æö=-+=-+=-+ç÷èø．因为[]1,2x Î-，所以，[]20,4x Î，所以221111116,243844x æöéù-+Îç÷êúèøëû．故()g x 在[]1,2-上的值域为11,2434éùêúëû．题型4 根据复合函数的值域或最值求参【例4】已知4323x x y =-×+的值域为[]1,7，则x 的取值范围可以为（ ）A ．[]2,4B ．(),0¥-C ．()[]0,12,4U D ．(][],01,2¥-È【答案】D【分析】令2x t =，根据值域解不等式组可得t 的范围，然后解指数不等式可得.【详解】令2x t =，则233y t t =-+，由题知，22331337t t t t ì-+≥í-+£î，解得11t -££或24t ££，即121x -££或224x ££，解得0x £或12x ££.故选：D【变式1】已知函数()121x f x -=-在区间[]0,m 上的值域为[]0,3，则实数m 的值为.【答案】3【分析】根据图象的变换得到函数()121x f x -=-，然后根据函数图象求m 即可.【详解】作出函数()121x f x -=-的图象如图，函数()121x f x -=-在[]0,1上单减，在[)1,+¥上为增函数，又()01f =，()10f =，()33f =，\若函数()121x f x -=-在区间[]0,m 上的值域为[]0,3，则实数3m =.故答案为：3.【变式2】已知函数()log 4a af x x xæö=+-ç÷èø在(0,)+¥上的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()4,+¥B ．(],4¥-C ．(]0,4D ．()(]0,11,4È【答案】D【解析】设()4ag x x x=+-，因为()log 4a a f x x x æö=+-ç÷èø的值域为R ，所以()min 0g x £，又0,1a a >¹，,()0x Î+¥，所以444a x x +-≥=-，即()min 40g x =£，解得：04a <£且1a ¹，所以实数a 的取值范围是()(]0,11,4È.故选：D.【变式3】若函数()()2log 23a f x x x =--+（0a >且1a ¹）的最小值为－4，则实数a 的值为 .【分析】结合复合函数的单调性、最值以及二次函数的性质即可求出.【详解】由题意知，2230x x --+>，解得31x -<<，因为()()()22log 23log 14a a f x x x x éù=--+=-++ëû，因为()3,1x Î-，则()20144x <-++£，又因为()f x 的最小值为－4，则01a <<，所以()2log 14log 4a a x éù-++≥ëû，即()min log 44a f x ==-，得44a -=，因为01a <<，所以a =.【变式4】已知函数()()()()log 3log 301a a f x x x a =-++<<.(1)求函数()f x 的定义域；(2)若函数()f x 的最小值为2-，求a 的值.【答案】(1)()3,3-(2)13【分析】（1）利用对数的真数大于零可得出关于实数x 的不等式组，即可解得函数()f x 的定义域；（2）求得()()2log 9a f x x =-，求出29x -的取值范围，利用对数函数的最值可得出关于实数a 的等式，结合01a <<可求得实数a 的值.【详解】（1）解：对于函数()()()()log 3log 301a a f x x x a =-++<<，有3030x x ->ìí+>î，解得33x -<<，因此，函数()f x 的定义域为()3,3-.（2）解：因为()()2log 9a f x x =-，且33x -<<，则2099x <-£，因为01a <<，则函数log a y u =为()0,¥+上的减函数，故()min log 92a f x ==-，可得29a -=，01a <<Q ，解得13a =.【变式5】已知函数()()()log 21log 82(0x xa a f x a =-+->且1)a ¹．(1)求函数()f x 的定义域；(2)是否存在实数a ，使得函数()f x 在区间[]1,2上的最大值为2？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()0,3；(2)存在实数a =时，使得函数()f x 在区间[]1,2上的最大值为2．【分析】（1）由题意210820x xì->í->î解出x 即可；（2）利用换元法以及对数函数性质分析即可.【详解】（1）依题意210820x xì->í->î，即128x <<，所以03222,x <<即03x <<，所以函数()f x 的定义域为()0,3．（2）()()()()()log 21log 82log 2182x x x xa a a f x éù=-+-=--ëû，令()()()2,18xt g t t t ==--，则()()log a f x g t =，][1,22,4x t éùÎ\ÎëûQ ．易知二次函数()g t 的图像开口向下，对称轴为直线18922t +==，所以函数()g t 在[]2,4上单调递增，所以()()min max ()26,()412g t g g t g ====．假设存在满足题意的实数a ，当1a >时，函数log a y x =单调递增，max ()log 122a f x \==，解得a =或a =-（舍去），当01a <<时，函数log a y x =单调递减，max ()log 62a f x \==，解得a =综上，存在实数a =时，使得函数()f x 在区间[]1,2上的最大值为2．【变式6】已知函数()()()25112a x a x f x --+-=的值域为()0,¥+，()()23log 85g x x x b =-+的值域为[)2,+¥，则a b -=（ ）A ．0B ．1C ．3D ．5【答案】A【解析】因为函数2(5)(1)1()2a xa x f x --+-=的值域为(0,)+¥，所以函数2(5)(1)1y a x a x =--+-的值域为R ，所以50a -=，解得5a =，因为23()log (85)g x x x b =-+的值域为[2,)¥+，所以()22854516y x x b x b =-+=-+-的最小值为9，所以5169b -=，解得5b =，所以0a b -=．故选：A ．题型5 复合函数的奇偶性及应用【例5】已知3()31xx f x a =+-是奇函数，则=a （ ）A ．12-B ．12C ．1-D ．1【答案】A【解析】由函数3()31x x f x a =+-，可得31()3131x x x f x a a ---=+=-+--，因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x +-=，即3103131x x x a a +-+=--，解得12a =-.故选：A.【变式1】函数lnx ay x a-=+（a 为常数）的奇偶性为（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．都不是【答案】A【解析】根据题意，设()lnx af x x a-=+，其定义域为{}x x a ¹±，()()lnln x a x af x f x x a x a--+-===--+-所以函数f （x ）为奇函数，故选：A ．【变式2】已知函数()222e ex x f x -+=+，则（ ）A ．()1f x +为奇函数B ．12f x æö+ç÷èø为偶函数C ．()1f x -为奇函数D ．12f x æö-ç÷èø为偶函数【答案】B【分析】方法一：可得()()1f x f x -=，即可得到函数()f x 关于12x =对称，从而得到12f x æö+ç÷èø为偶函数；方法二：求出12f x æö+ç÷èø的解析式，即可判断.【详解】方法一：因为()222e e x x f x -+=+，所以()()2221ee xx f x f x --=+=，所以函数()f x 关于12x =对称，将()f x 的函数图象向左平移12个单位，关于y 轴对称，即12f x æö+ç÷èø为偶函数.方法二：因为()2121221ee e e e 2x x x xf x +-+-æö+=+=+ç÷èø，x ÎR ，则()2211e e e22x xf x f x -æöæö-+=+=+ç÷ç÷èøèø，所以12f x æö+ç÷èø为偶函数；又()2221ee x xf x +-+=+，故()022111e e e f ==++-+，()422411e e e 1e f -=+++=，所以()()1111f f -+¹+，()()1111f f -+¹-+，故()1f x +为非奇非偶函数；又()22241ee x xf x --+-=+，故()466411e ee 1e f -=-=+-+，()022111e e e f ==+-+，所以()()1111f f --¹-，()()1111f f --¹--，故()1f x -为非奇非偶函数；又21231e e 2x x f x --+æö-=+ç÷èø，故533511e 1e e 2e f -æö--=+=+ç÷èø，11e e 2e 2f æö-=+÷è=çø，所以111122f f æöæö--¹-ç÷ç÷èøèø，111122f f æöæö--¹--ç÷ç÷èøèø，故12f x æö-ç÷èø为非奇非偶函数.故选：B题型6 与复合函数有关的不等式问题A ．1,1010æöç÷èøB ．()1,10C ．()1,11,1010æöç÷èøU D ．()10,10,10¥æöÈ+ç÷èø【答案】D【分析】先得到函数定义域和奇偶性，由复合函数单调性得到()21log 1f x x æö=++ç÷èø(0)+¥，上单调递减，结合(1)3f =，从而得到|lg |1x >，求出解集.【详解】()f x 的定义域为(0)(0)-¥+¥U ，，，又()()2211log 1log 1f x f x x x æöæö-=+=++=ç÷ç÷ç÷ç÷-èøèø，故()f x 为偶函数，当0x >时，()21log 1f x x æö=++ç÷èø因为11t x =+，213u x=+在()0,¥+上单调递减，又()()2,log t h u g t ==在()0,¥+上单调递增，根据复合函数单调性可知，()21log 1f x x æö=++ç÷èø(0)+¥，上单调递减；又2(1)log 223f =+=，(lg )3f x <可化为(lg )(1)f x f <，即(|lg |)(1)f x f <，得|lg |1x >，即lg 1x >或lg 1x <-，解得10(10)10æö+¥ç÷èøU ，，.故选：D.【变式1】已知定义域为R 的函数()22x x f x -=-，则满足条件()()22100f t t f t ++->的实数t 的取值范围是 .【答案】2t >或5t <-.【分析】首先判断函数的奇偶性和单调性，再变形不等式，即可求解.【详解】()()22x xf x f x --=-=-，所以函数为奇函数，且()22x xf x -=-为单调递增函数，所以不等式()()()()222100102f t t f t f t t f t ++->Û+>-，则2102t t t +>-，即23100t t +->，解得：2t >或5t <-.故答案为：2t >或5t <-【变式2】若函数()32e 1xf x x =-+，则()()()()()21012f f f f f -+-+++的值为 .；不等式()()212f x f x +->-的解集为 .【答案】5-1,3æö+¥ç÷èø【分析】根据函数的解析式，由()()2f x f x +-=-求得()()()()()21012f f f f f -+-+++的值，根据函数的单调性化简不等式()()212f x f x +->-，从而求得不等式的解集.【详解】∵()()()33222e 1e 1x x f x f x x x -+-=-+--=-++且()01f =-，∴()()()()()210125f f f f f -+-+++=-；又不等式()()212f x f x +->-可化为：()()()()21f x f x f x f x +->+-，即()()21f x f x ->-，且由基本初等函数知()f x 在R 上单调递增，∴()()21f x f x ->-，即21x x ->-，∴13x >.故答案为：5-；1,3æö+¥ç÷èø【变式3】函数()lg(931)x x f x a =×+-.(1)如果()0,1x Î时，()f x 有意义，求实数a 的取值范围；(2)当0a £时，()f x 值域为R ，求实数a 的值；(3)在（2）条件下，()()101f x g x =+.解关于x 的不等式()22(2)g x tx t g x +-≥.【答案】(1)[)0,¥+(2)0(3)答案见解析【分析】（1）变换1193x x a æöæö>-ç÷ç÷èøèø，令13xu æö=ç÷èø，计算最值得到答案.（2）令()931x xh x a =×+-，()h x 的值域包含()0,¥+，考虑0a =和a<0两种情况，计算得到答案.（3）确定()3x g x =，函数单调递增，得到2220x tx t x +-≥>，考虑2t <-，2t =-，02t >>-，0t ≥几种情况，解得答案.【详解】（1）()0,1x Î，9310xxa ×+->，即1193x xa æöæö>-ç÷ç÷èøèø，令13xu æö=ç÷èø，113u <<，则2a u u >-恒成立，221124u u u æö-=--ç÷èø，()2max110u u-<-=，故0a ≥，a 的取值范围为[)0,¥+.（2）令()931x xh x a =×+-，()h x 的值域包含()0,¥+，①0a =时，()31xh x =-，其值域为()1,-+¥，满足条件；②a<0时，()931xxh x a =×+-，令3x t =，0t >，22111124y at t a t a a æö=+-=+--ç÷èø，函数为开口向下的抛物线，()h x 的值域为1,14a æö-¥--ç÷èø，不满足条件；综上所述：0a =.（3）()lg(31)x f x =-，定义域为()0,¥+，()()1013f x x g x =+=，函数单调递增，2(2)(2)g x tx t g x +-≥，即2220x tx t x +-≥>，即()()()22220x t x t x x t +--=-+≥，且0x >，①当2t <-时，解集为{02x x <£或}x t >-；②当2t =-时，解集为{}0x x >；③当02t >>-时，解集为{0x x t <£-或}2x ≥；④当0t ≥时，解集为{}2x x ≥；【变式4】已知函数 ()221x xaf x -+=+是定义域为R 的奇函数.(1)求()f x 并判断 ()f x 的单调性；(2)解关于 x 的不等式()()()()22log 2log 20f x f x ++->.【答案】(1)21()21x x f x -+=+，()f x 在R 上单调递减；(2)．【解析】（1）由题意1(0)011af -+==+，1a =，此时21()21x x f x -+=+，2112()()2112x xx xf x f x ---+-+-===-++，()f x 是奇函数，设任意两个实数12,x x 满足12x x <，则122112*********(22)()()1212(12)(12)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++，因为12x x <，所以2122x x >，所以21220x x ->，又12120,120x x +>+>，所以12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >，所以()f x 在R 上单调递减；（2）因为()f x 是奇函数，因此原不等式化为()()()()22log 2log 2f x f x +>--，又()f x 在R 上单调递减，所以不等式化为22log (2)log (2)x x +<--，即22log (4)0x -<，所以2041x <-<，又20,20x x ->+>，故解得2x <<所以原不等式的解集为．题型7 复合函数性质的综合应用数()f x 图像有5个交点，其横坐标从左到右依次为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则51i i x ==å（ ）．A ．0B ．5C ．6D ．10【答案】B 【分析】由题意可得，函数()g x 与函数()f x 的图像都关于点()1,0对称，有152x x +=，242x x +=，31x =，可求和.【详解】∵()1f x +为奇函数，函数图像关于原点对称，且()1f x +是由()f x 向左平移1个单位长度得到，∴()f x 的图像关于点()1,0对称，对于函数())ln =h x x ，定义域为R ，有()()))ln ln ln10h x h x x x -+=+==，∴函数()h x 为奇函数，其图像关于原点对称，∴函数()()()1ln 1g x h x x ù=-=-úû的图像关于点()1,0对称，∴152x x +=，242x x +=，31x =，∴515i i x ==å．故选：B ．【变式1】【多选】已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()1f x +为奇函数，则下列结论一定成立的是（ ）A ．()10f =B ．()30f =C ．()20f =D ．()00f =【答案】AB【分析】由条件判断函数的对称性，即可判断选项.【详解】由条件可知，()()22f x f x -=+，函数关于2x =对称，()()11f x f x -+=-+，所以函数关于点()10，对称，因为函数的定义域为R ，所以()10f =，因为函数关于直线2x =对称，所以()30f =，所以AB 正确.故选：AB【变式2】【多选】已知函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()f x 为偶函数，当[]0,1x Î时，()21f x x =-+，则以下结论正确的有（ ）A ．点()1,0-不是()f x 的图象的对称中心B ．x "ÎR ，()()4f x f x +=C ．当[]5,7x Î时，()21235f x x x =-+D ．91053f æö=ç÷èø【答案】BCD【分析】利用函数对称性和奇偶性可得出()()20f x f x ++-=，进一步推导可判断B 选项；利用()()()2f x f x f x -=-=--结合函数对称性的定义可判断A 选项；利用函数对称性和周期性求出函数()f x 在[]5,7上的解析式，可判断C 选项；利用周期性计算可得出103f æöç÷èø的值，可判断D 选项.【详解】对于B 选项，因为()1f x +为奇函数，则()()11f x f x -=-+，即()()110f x f x -++=，()()20f x f x ++-=，又因为()f x 为偶函数，则()()20f x f x ++=，即()()2f x f x +=-，所以，()()()42f x f x f x +=-+=，B 对；对于A 选项，()()()2f x f x f x -=-=--，即()()20f x f x -+-=，所以，点()1,0-是()f x 的图象的对称中心，A 错；对于C 选项，当10x -£<时，01x <-£，则()()()2211f x f x x x =-=--+=-+，所以，对任意的[]1,1x Î-，()21f x x =-+，所以，当[]1,3x Î时，121x -£-£，则()()()()2222121f x f x x x =--=--=--，故当[]5,7x Î时，[]41,3x -Î，所以，()()()224611235f x f x x x x =-=--=-+，C 对；对于D 选项，210102254133339f f f æöæöæöæö=-=-=--=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø，D 对.故选：BCD.。

高中数学函数知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”女口：集合A x|y lg x， B y | y Ig x，C (x, y) | y Ig x，A、B、C 中元素各表示什么？A 表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹2进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

女口：集合A x|x2 2x 3 0 ，B x|ax 1若B A，则实数a的值构成的集合为____________(答：1, 0，-)3显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一个元素。

故B只能是-1 或者3。

根据条件，可以得到a=-1,a=1/3.但是，这里千万小心，还有一个B为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。

3.注意下列性质：(1)集合a1，a2，，a n的所有子集的个数是2n;要知道它的来历：若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择(在或者不在)。

同样，对于元素a2, a3,……a n,都有2种选择，所以，总共有2n种选择，即集合A有2n 个子集。

当然，我们也要注意到，这2n种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为2n1,非空真子集个数为2n2(2)若A B ABA，A B B;(3)德摩根定律：C u A B C U A C u B ，C U A B C U A C u B有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂4•你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）的取值范围注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过；如告 诉你函数f （x ）=ax 2+bx+c （a>0）在（,1）上单调递减，在（1,）上单调递增, 就应该马上知道函数对称轴是 x=1.或者，我说在上，也应该马上可以想 到m n 实际上就是方程 的2个根5、 熟悉命题的几种形式、可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有 “或”（）,“且”（）和“非”）.若p q 为真，当且仅当p 、q 均为真若p q 为真，当且仅当p 、q 至少有一个为真 若p 为真，当且仅当p 为假命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。

二次函数实际问题题型总结二次函数是高中数学中比较重要的一个章节，它表示的是一种形式为$y=ax^2+bx+c$ 的函数关系。

我们可以通过这个函数来解决很多实际问题，例如运动问题、经济学问题、物理学问题等等。

下面来总结一下二次函数实际问题的题型：1.飞行时间问题。

如果一架飞机从地面起飞并上升至高度 $H$，则它的飞行时间可以表示为 $t=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

其中 $a$ 表示重力加速度，$b$ 表示初速度， $c$ 表示起飞高度。

2.弹射高度问题。

如果一个弹球从地面弹射，并上升至高度 $H$ 后又落回地面，它的弹射高度可以表示为 $H=\frac{V_i^2\sin^2\theta}{2g}$。

其中$V_i$ 表示初速度， $\theta$ 表示仰角， $g$ 表示重力加速度。

3.投射距离问题。

如果一个物体以速度 $V$ 投出，发射角度为 $\theta$，则它的投射距离可以表示为 $R=\frac{V^2\sin2\theta}{g}$。

4.向上抛球的时间问题。

如果一个物体在 $t$ 秒时从地面抛出，当它达到最高点的时候它的高度为 $H$，则它的上升时间可以表示为$t=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{H}{g}}$。

其中 $g$ 表示重力加速度。

5.落地时间问题。

如果一个物体从高度为 $H$ 的地方落下，则它的落地时间可以表示为 $t=\sqrt{\frac{2H}{g}}$。

6.成本问题。

如果生产一个产品的成本可以表示为 $C(x)=ax^2+bx+c$，其中$x$ 表示生产的数量， $a$ 表示固定成本， $b$ 表示每个产品的变动成本， $c$ 表示额外的成本，则我们可以通过求导数来确定生产的最优数量。

7.利润问题。

如果销售一个产品的收入可以表示为 $R(x)=mx$，其中 $m$ 表示每个产品的销售额，则利润可以表示为 $P(x)=R(x)-C(x)$。

函数及其表示考点一求定义域的几种情况①若 f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；②若 f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0 的实数集；③若 f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0 的实数集合；④若 f(x)是对数函数，真数应大于零。

⑤.因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。

⑥若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑦若 f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题考点二映射个数公式mCard(A)=m,card(B)=n, m,n N ,则从 A 到 B 的映射个数为n。

简单说成“前指后底” 。

方法技巧清单方法一函数定义域的求法1．（2009江西卷文）函数y x23x4 的定义域为（）xA．[4,1]B．[4, 0)C．(0,1] D ．[ 4, 0) (0,1]解析由x00 或 0 x 1,故选D. x2 3x得 4 x4 02．（2009江西卷理）函数y ln( x1)的定义域为()x23x4A．( 4,1)B．(4,1)C．( 1,1) D ．(1,1]解析x10x11 x1.故选C 由23x 404xx13.（ 2009福建卷文）下列函数中，与函数y 1()有相同定义域的是xA . f ( x)ln x B. f ( x)1 C. f (x) | x | D. f ( x) e xx解析由 y1可得定义域是 x0. f (x)ln x 的定义域 x0 ； f ( x)1的定义域是 x ≠0；f ( x) | x | x x的定义域是 x R; f ( x)e x 定义域是 xR 。

故选 A.4.（ 2007年上海） 函数 y lg( 4x )的定义域是．答案x x4 且 x3x325.求下列函数的定义域。

① y= x2x 2 .②y=x 1.③y= x 1 1xx x6.已知函数 f(x)的定义域为 1,5 ，求函数 F(x)=f(3x-1)-f(3x+1)的定义域。

中学数学常考题型---三角函数题型1、推断角的终边所在的象限【1】若α是其次象限角，试分别确定2α，α2，α3的终边所在位置 ．【2】若sin θcos θ<0，则角θ是( )A ．第一或其次象限角B ．其次或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．其次或第四象限角题型2、扇形的弧长、周长、面积【3】如图所示，已知扇形AOB 的圆心角∠AOB ＝120°，半径R ＝6，求： (1) AB ︵的长；(2)弓形ACB 的面积．【4】若一扇形的周长为60cm ，那么当它的半径和圆心角各为________cm 和________rad 时，扇形的面积最大．题型3、利用三角函数线解不等式【5】求证：当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin α<α<tan α.题型4、三角函数的定义求三角函数值【6】已知角α的终边经过点P (a ，2a )(a ＞0)，求sin α，cos α，tan α的值． 【7】已知角α的终边经过点(－4，3)，求cos α题型5、利用同角三角函数的关系求三角函数值【8】已知α∈(0，π)，且 cos α＝－35，则tan α＝【9】已知sin α＝13，且α为其次象限角，求tan α；【10】已知sin α＝13，求tan α；题型6、利用诱导公式求三角函数值【11】化简sin （2π－α）cos （π＋α）cos()π2＋αcos()11π2－αcos （π－α）sin （3π－α）sin （－π－α）sin()9π2＋α.题型7、配角法求三角函数值【12】已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，求tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4.【13】已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α.【14】已知tan α＝－2，tan (α＋β)＝17，求tan β的值．【15】设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，求sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值．【16】已知tan (α＋β)＝－1，tan (α－β)＝12，求sin 2αsin 2β的值【17】已知cos α＝13，cos (α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos (α－β)的值题型8、关于sin α，cos α的齐次式问题【18】已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值．(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.题型9、求三角函数的值域【19】求函数y ＝－3sin 2x －4cos x ＋4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的值域．【20】已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，0上的最大值和最小值．【21】求函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域．题型10、三角函数的定义域【22】函数y ＝lg (sin x －cos x )的定义域是__________________________．题型11、三角函数的周期【23】在函数①y ＝cos |2x|，②y ＝|cos x|，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的全部函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③【24】求函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期.【25】已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π3 ⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2 是偶函数，则θ的值为( )A ．0B .π6C .π4D .π3题型13、三角函数的单调性【26】求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间；【27】求y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x4的最小正周期及单调区间．题型14、三角函数的对称性【28】函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1的图象的一个对称中心的坐标是( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0B .⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，1 C .⎝⎛⎭⎫π8，1D .⎝⎛⎭⎫－π8，－1题型15、求三角函数的解析式【29】函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3【30】说明由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换就能得到下列函数的图象． (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3； (2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π； (3)y ＝||sin x ；(4)y ＝sin ||x .题型17、三角函数的图像【31】函数f (x )＝sin (2x ＋φ)＋a cos (2x ＋φ)，其中a 为正常数且0<φ<π，若f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，f (x )的最大值为2.(1)求a 和φ的值；(2)求f (x )的振幅、周期和初相；题型18、协助角公式【32】已知函数y ＝3sin x 2＋cos x2(x ∈R )．求它的振幅、周期及初相；题型19、三角恒等变换求三角函数值【33】求值：(1)sin 18°cos 36°；(2)2cos 10°－sin 20°cos 20°.（3）sin 20°cos 10°－ cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B .32 C ．－12 D .12题型20、正弦定理【34】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，求2sin 2B －sin 2Asin 2A 的值题型21、余弦定理【35】(1)在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin A ＝________.(2)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A .31010B .1010C ．－1010D ．－31010题型22、解三角形中的面积问题【36】在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1) 求B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．【37】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．题型23、推断三角形的形态【38】在三角形ABC 中，若tan A ∶tan B ＝a 2∶b 2，试推断三角形ABC 的形态．【39】在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别为a ，b ，c ，A 为锐角，lg b ＋lg 1c ＝lgsin A ＝－lg 2，则△ABC为( )A ．锐角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形题型24、三角形外接圆的半径【40】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝23sin A sin B sin C ，且a ＝2，则△ABC 的外接圆半径R ＝________.题型25、三角函数与向量的综合【41】已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin x 3，cos x 3，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 3，3cos x3，函数f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b 2＝ac ，且角B 的大小为x ，试求x 的范围及此时函数f (x )的值域．反思小结：。

【知识要点】分段函数问题是高中数学中常见的题型之一，也是高考经常考查的问题.主要考查分段函数的解析式、求值、解不等式、奇偶性、值域（最值）、单调性和零点等问题.1、求分段函数的解析式，一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.注意分段函数的书写格式为：，不要写成.注意分段函数的每一段的自变量的取值1122()()()()nn n f x x D f x x D f x x D f x x D ∈⎧⎪∈⎪=⎨∈⎪⎪∈⎩ 1122()()()()n n n y f x x D y f x x D f x x D y f x x D =∈⎧⎪=∈⎪=⎨∈⎪⎪=∈⎩ 范围的交集为空集，并集为函数的定义域.一般左边的区域写在上面,右边的区域写在下面.D 2、分段函数求值，先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并.3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似，注意小分类要求交，大综合要求并.4、分段函数的奇偶性的判断，方法一：定义法.方法二：数形结合.5、分段函数的值域（最值）,方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合.6、分段函数的单调性的判断，方法一：数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性.7、分段函数的零点问题，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的.虽然分段函数是一种特殊的函数，在处理这些问题时，方法其实和一般的函数大体是一致的. 【方法讲评】题型一分段函数的解析式问题解题方法一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.【例1】已知函数对实数满足，若当时，)(x f R x ∈)1()1(,0)()(+=-=-+x f x f x f x f [)1,0∈x .21)23(),1,0()(-=≠>+=f a a b a x f x （1）求时，的解析式；（2）求方程的实数解的个数.[]1,1-∈x )(x f 0log )(4=-x x f（2） 是奇函数，且以2为周期.方)()2()1()1(,0)()(x f x f x f x f x f x f =+∴+=-=-+ )(x f ∴程的实数解的个数也就是函数的交点的个数.在同一直角坐标系0log )(4=-x x f x y x f y 4log )(==和中作出这俩个函数的图像，由图像得交点个数为2，所以方程的实数解的个数为2.0log )(4=-x x f 【点评】（1）本题的第一问，根据题意要把分成三个部分，即,再[1,1]-(1,0),1,(0,1)x x x ∈-=±∈一段一段地求. 在求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性、对称性等. (2)本题第2问解的个数，一般利用数形结合解答.【检测1】已知定义在上的函数.R ()()22f x x =-（Ⅰ）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；()()223f x t f x +-<+[]0,2x ∈t（Ⅱ）设，求函数在上的最大值的表达式．()g x =()g x []0,(0)m m >()m ϕ题型二分段函数的求值解题方法先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并. 学.科.网【例2】已知函数 ，若 ，则 （ ）()()22log 3,2{21,2x x x f x x ---<=-≥()21f a -=()f a =A.B. C.D. 2-029【解析】当 即时， （舍）；22a -<0a >()()211log 3211,22a a a ---=⇒+==-当 即时， ，故选A.22a -≥0a ≤()2222111log 42a a f a ---=⇒=-⇒=-=-【点评】（1）要计算的值，就要看自变量在分段函数的哪一段，但是由于无法确定，(2)f a -2a -所以要就分类讨论. （2）分类讨论时，注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求2222a a -<-≥和并.当时 ，解得，要舍去.0a >12a =-【例3】【2017山东，文9】设,若,则（ ）()(),0121,1x x f x x x <<=-≥⎪⎩()()1f a f a=+1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭A. 2B. 4C. 6D. 8【点评】（1）要化简，必须要讨论的范围，要分和讨论.当时，()()1f a f a =+a 1a ≥01a <<1a ≥可以解方程，得方程没有解.也可以直接由单调性得到.2(1)2(11)a a -=+-2(1)y x =-()()1f a f a ≠+【检测2】已知函数,若，则 ．210()0xx f x x -⎧-≤⎪=>0[()]1f f x =0x =题型三分段函数解不等式解题方法先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并.【例3】已知函数则的解集为（ ）A.B.C.D.【点评】（1）本题中的自变量不确定它在函数的哪一段，所以要分类讨论. (2)当时，()f x x 20x -<<计算要注意确定的范围，，所以求要代入第一段的解析式.数学思维一定要注()f x -x -02x <-<()f x -意逻辑和严谨. (3)分类讨论时，一定要注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.【检测3】已知函数则的解集为__________．()()()22log 2,02,{2,20,x x f x f x x --+≤<=---<<()2f x ≤ 【检测4】【2017课标3，理15】设函数则满足的x 的取值范围10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，1()(12f x f x +->是_________.题型四分段函数奇偶性解题方法方法一：定义法.方法二：数形结合.【例4】判断函数的奇偶性⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f 【解析】由题得函数的定义域关于原点对称.设,则，0,x <2()f x x x =+0x ->222()()()()f x x x x x x x f x -=---=--=-+=-设则，0,x >2()f x x x =-+0x -<222()()()()f x x x x x x x f x -=--=-=--+=-所以函数是奇函数.()f x 【点评】（1）对于分段函数奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，再考虑定义，由于它是分段函数，所以要分类讨论. （2）注意，当求要代入下面的解析式，因为,不是还代入0x <时，()f x -0x ->上面一段的解析式.【检测5】已知函数是定义在上的奇函数，且当时.()f x R 0x ≥22)(+=x xx f （1）求的解析式；（2）判断的单调性（不必证明）；()f x ()f x （3） 若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.t R ∈0)2()3(22≤++-t t f t k f k 题型五分段函数最值（值域）解题方法方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合.【例5】若函数的值域是，则实数的取值范围是 .62()3log 2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩(01)a a >≠且[4,)+∞a【点评】（1）分段函数求最值（值域），方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合.（2）本题既可以用方法一，也可以利用数形结合分析解答. （3）对于对数函数，如果没有说明与的大小关系，一般要分类讨论.log a y x =a 1【检测6】设若是的最小值，则的取值范围为( )()()2,014,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨+++⎪⎩，＞()0f ()f x a A.B.C. D. []2,3-[]2,0-[]1,3[]0,3【检测7】已知函数的值域为R ，则常数的取值范围是（ )()()222log 23,1{1,1x ax a x f x x x -+≥=-<a A.B.C. D. ][()1123- ，，][()12-∞+∞ ，，()[)1123- ，，(,0]-∞ {}[)123 ，题型六分段函数单调性解题方法方法一：数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性.【例6】若 是上的增函数，那么的取值范围是（ ）.()()3,1{log ,1a a x a x f x x x --<=>(),-∞+∞a A.B.C.D.()1,+∞3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭(),3-∞()1,3【点评】（1）函数是一个分段函数是增函数必须满足两个条件，条件一：分段函数的每一段必须是增函数；条件二：左边一段的最大值必须小于等于右边一段的最小值. 函数是一个分段函数是减函数必须满足两个条件，条件一：分段函数的每一段必须是减函数；条件二：左边一段的最小值必须大于等于右边一段的最大值. （3）一个分段函数是增函数，不能理解为只需每一段是增函数. 这是一个必要不充分条件.【检测8】已知函数在区间上是增函数,则常数的取()[)()232,0,32,,0x x f x x a a x ⎧∈+∞⎪=⎨+-+∈-∞⎪⎩(),-∞+∞a 值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．()1,2(][),12,-∞+∞ []1,2()(),12,-∞+∞题型七分段函数零点问题解题方法方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的.【例7】已知函数则函数的所有零点构成的集合为__________．()21,0,{log ,0,x x f xx x +≤=>()()1y f f x =+【点评】（1）分段函数的零点问题，一般有三种方法，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的. （2）本题由于函数的图像()()1y f f x =+不方便作出，所以选择解方程的方法解答. （3）在函数中，由于没有确定的取值范围，()()1y f f x =+x 所以要分类讨论.【例8】已知函数，若函数仅有一个零点，则的取值()()22,191,1x x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩()()g x f x k =-k 范围是________.【解析】函数 ，若函数 仅有一个零点，即 ，只有一个解，()()22,1{91,1x xf x x x x >=-≤()()g x f x k =-()f x k =在平面直角坐标系中画出， 的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，()y f x =【点评】（1）直接画的图像比较困难，所以可以利用方程+图像的方法. 分离参数()()g x f x k=-得到，再画图数形结合分析. 学.科.网()f x k =【例9】已知函数关于的方程，有不同的实数解，则的取值范围是（ ）A.B.C. D.【解析】【点评】本题考查了类二次方程实数根的相关问题，以及数形结合思想方法的体现，这种嵌入式的方程形式也是高考考查的热点，这种嵌入式的方程首先从二次方程的实数根入手，一般因式分解后都能求实根，得到和，然后再根据导数判断函数的单调性和极值等性质，画出函数的图象，若直线和函数的交点个数得到参数的取值范围.【检测9】已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的()()1114{(1)x x f x lnx x +≤=>()f x ax =a 取值范围是（ ）（注： 为自然对数的底数）e A.B. C.D. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭10,4⎛⎫⎪⎝⎭11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第15讲：分段函数中常见题型解法参考答案【反馈检测1答案】（Ⅰ）（Ⅱ）11t -<<()222,011,112,1m m m m m m m m ϕ⎧-+<≤⎪⎪=<≤+⎨⎪->+⎪⎩方法二：不等式恒成立等价于恒成立 .即等价于对一切恒成立，即恒成立，得恒成立， 当时，，，因此，实数的取值范围是．t 11t -<<【反馈检测2答案】或1【反馈检测2详细解析】当时，，则，即；当时，，则，即。

二次函数九大题型
二次函数是高中数学中的重要内容，它在各种应用问题中都有广泛的应用。

下面是九大常见的二次函数题型及解题思路：1. 求二次函数的图像：首先确定二次函数的开口方向，然后找到顶点坐标，再根据对称性画出图像。

2. 求二次函数的零点：将二次函数转化为一元二次方程，然后利用求根公式或配方法求解。

3. 求二次函数的最值：通过求导或利用顶点公式求得最值。

4. 求二次函数与坐标轴交点：将二次函数转化为一元二次方程，然后解方程得到交点坐标。

5. 求解满足条件的参数：根据给定条件列方程，然后解方程得到参数值。

6. 求解满足条件的范围：根据给定条件列不等式，然后解不等式得到范围。

7. 判断两个二次函数图像位置关系：比较两个二次函数的开口方向、顶点位置和系数大小来判断位置关系。

8. 判断一个点是否在给定的二次函数图像上：将该点代入二次函数方程中，判断是否成立。

9. 利用已知信息确定未知参数：根据已知条件列方程，然后解方程得到未知参数的值。

以上是常见的二次函数题型，通过掌握这些题型的解题思路和方法，可以更好地应对二次函数相关的问题。

高中函数题型及解题方法高中数学中，函数是一个非常重要的概念，也是学生们比较头疼的一个知识点。

函数题型在高中数学考试中占据着相当大的比重，因此掌握函数的相关知识和解题方法对于学生们来说至关重要。

接下来，我们将针对高中函数题型及解题方法进行详细介绍。

一、函数的基本概念。

函数是指一个自变量和一个因变量之间的对应关系。

在数学中，通常用f(x)来表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。

函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等都是我们在解题时需要考虑的因素。

二、常见函数题型及解题方法。

1. 判断函数的奇偶性。

当题目给出一个函数，要求判断该函数的奇偶性时，我们只需要分别代入f(-x)和f(x)，然后比较f(-x)和f(x)的关系即可得出结论。

2. 求函数的定义域和值域。

对于给定的函数，我们需要根据函数的性质来求其定义域和值域。

对于有理函数、根式函数等特殊函数，我们需要注意其分母不能为0，根式内不能为负等条件，来确定函数的定义域和值域。

3. 求函数的单调性。

对于给定的函数，我们需要求其单调区间。

这时，我们需要求出函数的导数，然后根据导数的正负来判断函数的单调性。

4. 求函数的极值。

对于给定的函数，我们需要求其极值点。

这时，我们需要求出函数的导数，然后令导数等于0，解出x的值，再代入原函数中求出对应的y值，即可得到极值点。

5. 求函数的图像。

对于给定的函数，我们需要根据函数的性质来画出其图像。

根据函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质，我们可以画出函数的大致图像。

6. 函数的复合。

对于两个给定的函数，我们需要求它们的复合函数。

这时，我们只需要将一个函数的输出作为另一个函数的输入，然后进行代入运算即可得到复合函数。

7. 函数的应用。

在实际问题中，函数也经常被用来描述某种规律或关系。

这时，我们需要根据问题的描述，建立相应的函数模型，然后利用函数的性质来解决实际问题。

以上就是高中函数题型及解题方法的相关内容。

希望通过本文的介绍，能够帮助大家更好地掌握函数的相关知识和解题方法，从而在高中数学考试中取得更好的成绩。