(完整版)一元二次方程知识点总结

一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2(0)xa a =≥解为：x = ②2()(0)x a b b +=≥解为：x a += ③2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240bac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。

注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。

备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c②求出24bac ∆=-，并判断方程解的情况。

③代公式：1,2x =3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+-==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=法2：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a++=⇔-++= 12b x x a ⇒+=-；12cx x a •=法3：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12bx x a+=-（余下略） 常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==等 练习：【练习1】若12,x x 是方程2220070xx +-=的两个根，试求下列各式的值：(1)2212x x +；(2)1211x x +；(3)12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．【练习2】已知关于x 的方程221(1)104xk x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【练习3】已知12,x x 是一元二次方程24410kxkx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在， 请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4、应用题（1）平均增长率的问题：(1)n a x b += 其中：a 为基数，x 为增长率，n 表示连续增长的次数，①②b 表示增长后的数量。

“一元二次方程”知识梳理1一元二次方程(1)概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.(2)一般形式：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.3一元二次方程根的判别式式子b²-4ac 叫做一元二次方程ax²+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ=b²-4ac.(1)概念：如果x²=4，则即x=±2，像这种根据平方根的意义直接开方求一元二次方程解的方法叫做直接开方法.(2)直接开方法解一元二次方程的一般步骤:①将方程转化为x²=p或(mx+n)²=p(p≥0)的形式(即平方项的系数化为1)；②分情况求解：当p=0 时，x₁=x₂=0；mx+n=0(再进一步求出x的值)；当p<0 时，方程无实数根.(1)概念：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法.(2)配方法解一元二次方程的一般步骤：6公式法解一元二次方程(1)概念：解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.(2)求根公式：当Δ≥0时，方程ax²+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax²+bx+c=0的求根公式.(3)公式法解一元二次方程的一般步骤：①将方程化为一般形式，并确定a,b,c 的值；②求出判别式Δ=b²-4ac 的值，判断根的情况；③当Δ≥0时，把a、b、c 的值代入求根公式(4)一元二次方程求根公式的推导过程一元二次方程的求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的过程.具体过程如下:(1)概念：先因式分解，使方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤：用文字表述为：一元二次方程两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.。

一元二次方程知识点总结一、 一元二次方程的定义1. 一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 二、 一元二次方程的解1. 方程解的含义解题方法：将方程的根带入方程求出参数.三、 解一元二次方程（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）1. 直接开平方法：适用于)0()()0(22≥=+≥=b b a x a a x 或形式的方程. 2. 配方法：2222244)2(0)0(0a ac b a b x b c x a b x a c bx ax -=+⇒=++⇒≠=++. 注意：用配方法解方程时必须注意在方程两边同时加上的是一次项系数一半的平方.3. 公式法：a ac b b x ac b c bx ax 24040222-±-=≥-=++时当. 4. 因式分解法：将一元二次方程化简成一般式后，把等号左边的多项式进行因式分解，再根据“如果，0=ab ，那么00==b a 或”进行求解.注意：利用因式分解法解方程时,将方程的一边分解因式而方程的另一边必须化为零;四、 判别式与一元二次方程解的个数的关系1. 一元二次方程解与判别式的关系：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的情况可由根的判别式△=ac b 42-的值来决定,它的值与一元二次方程的根的关系是:①042>-ac b ⇔方程有两个不等的实数根.②042=-ac b ⇔方程有两个相等的实数根.③042<-ac b ⇔方程没有实数根.五、 一元二次方程的应用题（增长率、面积、握手、传染）1. 增长率问题：设a 为原量，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则nx a b )1(+=.2. 面积问题：先通过平移变换，再根据面积公式列出方程.3. 握手问题：n 个人见面，任意两人都要握手一次，一共握手2)1(-n n 次. 4. 传染问题：一人感染，一人传染x 人，第一轮：1＋x ；第二轮：1＋x ＋x （1＋x ）.六、 根与系数的关系1. 根与系数的关系：若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根分别是21,x x 则a cx x a b x x ==+2121-，.注意：使用根与系数的关系时需要先检验△。

初中数学一元二次方程知识点汇总，基础全面考前必掌握一、一元二次方程的定义及一般形式：只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程。

一元二次方程的一般形式：ax^{2}＋bx+c =0 (a≠0)，其中a 为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

因此，一元二次方程必须满足以下3个条件：① 方程两边都是关于未知数的等式② 只含有一个未知数③ 未知数的最高次数为2如： 2x^{2}-4x+3=0 ， 3x^{2}=5 为一元二次方程，而像就不是一元二次方程。

二、一元二次方程的特殊形式（1）当b=0，c=0时，有： ax^{2} =0，∴ x^{2} =0，∴x=0（2）当b=0，0≠0时，有： ax^{2}+c=0 ，∵a≠0，此方程可转化为：①当a与c异号时， -\frac{c}{a}>0 ，根据平方根的定义可知，x=±\sqrt{-\frac{c}{a}} ，即当b=0，c≠0，且a与c 异号时，一元二次方程有两个不相等的实数根，这两个实数根互为相反数。

②当a与c同号时， -\frac{c}{a}<0 ，∵负数没有平方根，∴方程没有实数根。

（3）当b≠0，c＝0时，有 ax^{2}+bx=0 ，此方程左边可以因式分解，使方程转化为x（ax+b）=0，即x=0或ax+b=0，所以x1=0，x2=-b/a。

由此可见，当b≠0，c＝0时，一元二次方程 ax^{2}+bx=0 有两个不相等的实数根，且两实数根中必有一个为0。

三、一元二次方程解法：1.第一步:解一元二次方程时，如果没有给出一元二次方程的通式，先将其化为一元二次方程的通式，再确定求解的方法。

2. 解一元二次方程的常用方法：（1）直接开方法：把一元二次方程化为一般式后，如果方程中缺少一次项，是一个形如ax2+c=0的方程时，可以用此方法求解。

解法步骤：①把常数项移到等号右边， ax^{2}=-c ；②方程中每项都除以二次项系数， x^{2}=-\frac{c}{a} ；③开平方求出未知数的值：x=±\sqrt{-\frac{c}{a}}(2)因式分解法:将一元二次方程化为通式后，如果方程左边的多项式可以因式分解，就可以用这种方法求解。

一元二次方程1. 一元二次方程的定义及一般形式：（1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

（2） 一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠。

其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。

2. 一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a b +=或者x a b +=-，∴x a b =-±。

注意：若b<0，方程无解 （2）因式分解法： 一般步骤如下：①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。

（3） 配方法:用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为2()(0)x m n n +=≥的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。

注意：当0n <时，方程无解 （4） 公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 根的判别式：24b ac ∆=-0∆>⇔方程有两个不相等的实根:242b b acx a -±-=（240b ac -≥）⇔()f x 的图像与x轴有两个交点0∆=⇔方程有两个相等的实根⇔()f x 的图像与x 轴有一个交点0∆<⇔方程无实根⇔()f x 的图像与x 轴没有交点3. 韦达定理（根与系数关系）我们将一元二次方程化成一般式ax 2+bx+c ＝0之后，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系：1x +2x ＝b a -； 1x ∙2x ＝ca4.一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似 ①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； ②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。

完整版)一元二次方程(知识点考点题型总结)一元二次方程专题复考点一、概念一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。

一般表达式为ax^2+bx+c=0，其中a不等于0.关于“未知数的最高次数是2”，需要注意以下三点：一是该项系数不为0；二是未知数指数为2；三是若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）：A。

2x^2+11x-2=0B。

ax^2+bx+c=DC。

2x=x+1变式：当k时，关于x的方程kx+2x=x+3是一元二次方程。

例2、方程m+2xm+1=0是关于x的一元一次方程，求m 的值，并写出关于x的一元一次方程。

针对练：1.方程8x^2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为多少？2.若方程m-2x=0是关于x的一元一次方程，求m的值，并写出关于x的一元一次方程。

3.若方程(m-1)x+m·x=1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是多少？4.若方程nx+x-2x=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）：A。

m=n=2B。

m=2.n=1C。

n=2.m=1D。

m=n=1考点二、方程的解方程的解是指使方程两边相等的未知数的值。

根的概念可用于求代数式的值。

典型例题：例1、已知2y+y^2-3的值为2，则4y+2y^2+1的值为多少？例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+a-4=0的一个根为2，求a的值。

例3、已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为多少？例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y^2-8y+5m=0的两个根，则m的值为多少？针对练：1.已知方程x+kx-10=0的一根是2，则k为多少？另一根是多少？2.已知关于x的方程x^2+kx-2=0的一个解与方程(x+1)/(x-1)=3的解相同，求k的值，并求方程的另一个解。

一元二次方程知识点总结定义：两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.基本解法①直接开平方法:对于形如的方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解。

②配方法：(1)现将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．③公式法:(1)把一元二次方程化为一般式。

(2)确定a,b,c的值。

(3)代入中计算其值，判断方程是否有实数根。

(4)若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。

【小试牛刀】方程ax2+bx+c=0的根为④因式分解法·因式分解法解一元二次方程的依据:如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个0，即:若ab=0，则a=0或b=0。

·步骤：(1)将方程化为一元二次方程的一般形式。

(2)把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0。

(3)令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程。

(4)解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方程的两个根。

根的判别情况判别式：b2-4ac的值x1、x2的关系根的具体值一元二次方程两根与系数的关系：。

《一元二次方程》知识梳理及经典例题【知识梳理】考点一、概念(1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：ax2+bx+c=0(a≠0)⑶难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；考点三、解法⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降次类型一、直接开方法：x2=m(m≥0),⇒x=±√m对于(x+a)2=m，(ax+m)2=(bx+n)2等形式均适用直接开方法类型二、因式分解法:(x−x1)(x−x2)=0⇒x=x1,或x=x2方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程形式：如(ax+m)2=(bx+n)2，(x+a)(x+b)=(x+a)(x+c)，x2+2ax+a2=0类型三、配方法ax2+bx+c=0(a≠0)⇒(x+b2a )2=b2−4ac4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

类型四、公式法⑴条件：(a≠0,且b2−4ac≥0)⑵公式：x=−b±√b2−4ac2a,(a≠0,且b2−4ac≥0)类型五、“降次思想”的应用⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。

.考点四、根的判别式b2−4ac根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。

考点五、应用解答题⑴“握手”问题；⑵“利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题考点六、根与系数的关系⑴前提：对于ax2+bx+c=0而言，当满足①a≠0、②Δ≥0时，才能用韦达定理。

⑵主要内容：x1+x2=−ba ,x1x2=ca⑶应用：整体代入求值。

一元二次方程知识点总结定义：两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.基本解法①直接开平方法:对于形如的方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解。

②配方法：(1)现将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．③公式法:(1)把一元二次方程化为一般式。

(2)确定a,b,c的值。

(3)代入中计算其值，判断方程是否有实数根。

(4)若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。

【小试牛刀】方程ax2+bx+c=0的根为④因式分解法·因式分解法解一元二次方程的依据:如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个0，即:若ab=0，则a=0或b=0。

·步骤：(1)将方程化为一元二次方程的一般形式。

(2)把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0。

(3)令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程。

(4)解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方程的两个根。

根的判别情况判别式：世上没有一件工作不辛苦，没有一处人事不复杂。

不要随意发脾气，谁都不欠你的。

一元二次方程知识点总结知识结构梳理（1）含有 个未知数。

（2）未知数的最高次数是 1、概念 （3）是 方程。

（4）一元二次方程的一般形式是 。

（1） 法，适用于能化为)((0)2≥=+n n m x 的一元二次方程 （2） 法，即把方程变形为ab=0的形式，2、解法 （a ，b 为两个因式）, 则a=0或（3） 法（4） 法，其中求根公式是 根的判别式当 时，方程有两个不相等的实数根。

（5） 当 时，方程有两个相等的实数根。

当 时，方程有没有的实数根。

可用于解某些求值 （1） 一元二次方程的应用 （2）（3）可用于解决实际问题的步骤 （4） （5）（6）知识点归类知识点一 一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

注意：1、一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。

②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是一元二次方程2、同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

例 下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？⑴3522=+x ；⑵062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ；（5）12)3(22+=-x x x知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。

其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。

例1 已知关于x 的方程()()021122=-+--+x m x m m 是一元二次方程时，则=m知识点三 一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。

第二十章 一元二次方程一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

二、一元二次方程的解法1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a ，二根之积=c/a 也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a 。

一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左边十一个关)0(02≠=++a c bx ax 于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二2ax 次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

3.一元二次方程的解法(1)直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。

根据b a x =+2)(平方根的定义可知，是b 的平方根，当时，，a x +0≥b b a x ±=+，当b<0时，方程没有实数根。

b a x ±-=(2)配方法:配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a 看222)(2b a b ab a +=+±做未知数x ，并用x 代替，则有。

222)(2b x b bx x ±=+±配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(3)公式法:公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程的求根公式：)0(02≠=++a c bx ax )04(2422≥--±-=ac b aac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c(4)因式分解法:因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式4.一元二次方程根的判别式:一元二次方程中，叫做一)0(02≠=++a c bx ax ac b 42-元二次方程的根的判别式，通常用“)0(02≠=++a c bx ax ”来表示，即∆acb 42-=∆I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；II 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；III 当△<0时，一元二次方程没有实数根5.一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，ab x x -=+21。

一元二次方程知识点总结一、一元二次方程的概念。

1. 定义。

- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

2. 判断方程是否为一元二次方程。

- 首先看方程是否为整式方程。

- 然后看是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，同时二次项系数不为0。

例如x^2+2x - 1 = 0是一元二次方程；而x^2+(1)/(x)=1不是一元二次方程，因为它是分式方程。

二、一元二次方程的解法。

1. 直接开平方法。

- 对于方程x^2=p(p≥0)，解为x=±√(p)。

- 例如方程(x - 3)^2=4，则x - 3=±2，解得x = 1或x = 5。

2. 配方法。

- 步骤：- 把方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的常数项移到等号右边，得到ax^2+bx=-c。

- 二次项系数化为1，即x^2+(b)/(a)x =-(c)/(a)。

- 在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=((b)/(2a))^2-(c)/(a)。

- 左边写成完全平方式(x +(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}，然后用直接开平方法求解。

- 例如解方程x^2+6x - 7 = 0，移项得x^2+6x = 7，配方得x^2+6x + 9 = 7+9，即(x + 3)^2=16，解得x = 1或x=-7。

3. 公式法。

- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}(b^2-4ac≥0)。

- 步骤：- 确定a、b、c的值。

- 计算b^2-4ac的值，判断方程是否有实数根。

- 当b^2-4ac≥0时，代入求根公式求解。

《一元二次方程》知识清单一元二次方程是初中数学中的重要内容，它在解决实际问题和进一步学习数学知识方面都有着广泛的应用。

接下来，让我们一起详细了解一元二次方程的相关知识。

一、一元二次方程的定义只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。

一般形式为：＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝0$（＄a ≠ 0$），其中$a$、＄b$、＄c$分别是二次项系数、一次项系数和常数项。

需要注意的是，方程必须是整式方程，也就是说分母中不能含有未知数。

同时，二次项系数$a$不能为 0，如果$a ＝ 0$，就变成了一元一次方程。

例如，＄x^2 3x ＋ 2 ＝ 0$是一元二次方程，而$＼frac{1}｛x^2} ＋2x ＝ 3$就不是一元二次方程，因为它的分母中含有未知数$x$。

二、一元二次方程的解法1、直接开平方法适用于形如$（x ＋ m)＾2 ＝ n$（＄n ≥ 0$）的方程。

例如，方程$（x 2)＾2 ＝ 9$，则$x 2 ＝ ±3$，解得$x_1 ＝ 5$，＄x_2 ＝－1$。

2、配方法将一元二次方程通过配方转化为$（x ＋ m)＾2 ＝ n$的形式，然后再用直接开平方法求解。

例如，对于方程$x^2 ＋ 6x 7 ＝ 0$，配方可得$（x ＋ 3)＾2 ＝ 16$，然后解得$x_1 ＝ 1$，＄x_2 ＝－7$。

3、公式法对于一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a ≠ 0$），其求根公式为$x ＝＼frac{b ±＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄。

在使用公式法时，需要先计算判别式$＼Delta ＝ b^2 4ac$。

当$＼Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；当$＼Delta ＝ 0$时，方程有两个相等的实数根；当$＼Delta ＜ 0$时，方程没有实数根。

例如，对于方程$2x^2 5x ＋ 1 ＝ 0$，其中$a ＝ 2$，＄b ＝－5$，＄c ＝ 1$，＄＼Delta ＝（－5)＾2 4×2×1 ＝ 17 ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根，＄x_1 ＝＼frac{5 ＋＼sqrt{17}｝｛4}＄，＄x_2＝＼frac{5 ＼sqrt{17}｝｛4}＄。

一元二次方程(知识点+考点+题型总结)类型三、配方法()002≠=++a c bx ax 222442a acb a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

典型例题：例1、 试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。

例2、 已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。

例3、 已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。

例4、 分解因式：31242++x x针对练习：★★1、试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0。

★★2、已知041122=---+x x x x ，则=+x x 1.★★★3、若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为 。

★★★4、如果4122411-++-=--++b a c b a ,那么c b a 32-+的值为 。

类型四、公式法⑴条件：()04,02≥-≠ac b a 且⑵公式： a acb b x 242-±-=,()04,02≥-≠ac b a 且典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：⑴().6132=+x ⑵()().863-=++x x ⑶0142=+-x x⑷01432=--x x ⑸()()()()5211313+-=+-x x x x例2、在实数范围内分解因式：（1）3222--x x ； （2）1842-+-x x . ⑶22542y xy x --说明：①对于二次三项式c bx ax ++2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令c bx ax ++2=0，求出两根，再写成c bx ax ++2=))((21x x x x a --.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、 “降次思想”的应用⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。

一元二次方程1. 一元二次方程的定义及一般形式：（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。

（2）一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0（a 0）。

其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2;③是整式方程。

2. 一元二次方程的解法（1 ）直接开平方法：形如（x a）2 b（b 0）的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a b或者x a 、、b，x a , b。

注意：若b<0,方程无解（2）因式分解法：一般步骤如下：①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0 ；②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。

（3）配方法:用配方法解一元二次方程ax2 bx c 0（a 0）的一般步骤①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为(x m)2 n(n 0)的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。

注意：当n 0时，方程无解(4)公式法：一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)根的判别式：b24ac0方程有两个不相等的实根:x b甘4/( b2 4ac 0)2af(x)的图像与x轴有两个交点0方程有两个相等的实根f(x)的图像与x轴有一个交点0方程无实根f(x)的图像与x轴没有交点3. 韦达定理(根与系数关系)我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c = 0之后，设它的两个根是x i 和X2，则&和X2与方程的系数a, b, c之间有如下关系：X i+X2 = b；X i?X2 = 2a a4. 一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。

一元二次方程专题复习考点一、概念(1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0〞；②未知数指数为“2〞；③假设存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，那么需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：例1、以下方程中是关于x 的一元二次方程的是〔 〕A ()()12132+=+x x B 02112=-+xx C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程，那么m 的值为 。

针对练习： ★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。

★2、假设方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。

★★3、假设方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，那么m 的取值范围是 。

★★★4、假设方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，那么以下不可能的是〔 〕 A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、322-+y y的值为2，那么1242++y y 的值为 。

例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，那么a 的值为 。

例3、关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，那么此方程必有一根为 。

例4、b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根， 那么m 的值为 。