2019-2020学年上海市黄浦区高一下学期期末数学试卷 (解析版)

上海市黄浦区2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷一、单选题（共4题；共8分）1.“ M>N”是“ lgM>lgN”成立的（）.A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，对数函数的单调性与特殊点2.下列函数中，周期是π的偶函数为（）.A. y=cos x2B. y=sin2xC. y=|sinx|D. y=sin|x|【答案】C【考点】函数奇偶性的判断，三角函数的周期性及其求法3.为了得到函数y=sin2x的图象，可以将函数y=sin(2x−π6)的图象（）A. 向右平移π6个单位 B. 向左平移π6个单位C. 向右平移π12个单位 D. 向左平移π12个单位【答案】 D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换4.已知α≠kπ2(k∈Z)，sin(kπ−α)sin(kπ+α)+cos(kπ−α)cos(kπ+α)+tan(kπ−α)tan(kπ+α)的值为（）A. -3B. -1C. 1D. 3【答案】B【考点】运用诱导公式化简求值二、填空题（共11题；共11分）5.大于−360°且终边与角75°重合的负角是________.【答案】-285°【考点】终边相同的角6.方程21−x=132的解为________.【答案】6【考点】分数指数幂7.平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，若其终边经过点P(3,−4)，则sinα=________.【答案】−45【考点】任意角三角函数的定义8.已知cosα=13，则cos2α=________．【答案】−79【考点】二倍角的余弦公式9.f(x)=x2+2x（x≥0）的反函数f−1(x)=________【答案】√x+1−1（x≥0）【考点】反函数10.在△ABC中，若面积S=14(AC2+AB2−BC2)，则A=________.【答案】π4【考点】余弦定理的应用11.函数y=tan(π6x+π3)的单调递增区间为________.【答案】(−5+6k,1+6k),k∈Z【考点】正切函数的单调性12.若tanx=13，x∈(π,2π)，则x=________（结果用反三角函数值表示）.【答案】π+arctan13【考点】反三角函数的运用13.若tan2α=14，则tan(α+π4)+tan(α−π4)=________.【答案】12【考点】两角和与差的正切公式14.若函数y=log a(x+3)（a>0且a≠1）的反函数的图像都过点P，则点P的坐标是________. 【答案】(0,-2)【考点】反函数15.若将√3sinα−cosα化成Asin(α+φ)（A<0，0≤φ<2π）的形式，则φ=________.【答案】5π6【考点】三角函数中的恒等变换应用三、解答题（共6题；共41分）16.设φ∈R，函数y=sin(3x+φ)的图象与x轴的交点中，任意两个交点之间距离的最小值为________.【答案】π3【考点】正弦函数的图象，正弦函数的周期性17.已知cosφ=−35，φ∈(π,3π2)，求cos(φ−π3)和sin(φ+π6)的值.【答案】解：由题意，sinφ=2φ=−45，∴cos(φ−π3)=cosφcosπ3+sinφsinπ3=−3+4√310，sin(φ+π6)=sinφcosπ6+cosφsinπ6=−3+4√310.或者由诱导公式sin(x+π2)=cosx，可直接得到sin(φ+π6)=cos(φ−π3)=−3+4√310【考点】两角和与差的余弦公式，两角和与差的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，诱导公式18.（1）证明对数换底公式：log b N=log a Nlog a b（其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，N>0）（2）已知log32=m，试用m表示log3218.【答案】（1）解：设log b N=x，写成指数式b x=N.两边取以a为底的对数，得xlog a b=log a N.因为b>0，b≠1，log a b≠0，因此上式两边可除以log a b，得x=log a Nlog a b.所以，log b N=log a Nlog a b（2）解：log3218=log318log332=log332+log32log325=2+log325log32=2+m5m【考点】对数的运算性质，换底公式的应用19.如图，矩形ABCD的四个顶点分别在矩形A′B′C′D′的四条边上，AB=3，BC=5.如果AB与A′B′的夹角为α，那么当α为何值时，矩形A′B′C′D′的周长最大？并求这个最大值.【答案】解：由题意可知∠C′BC=∠A′DA=∠B′AB=α，0≤α≤π2，而B′A=ABcosα=3cosα，AA′=ADsinα=5sinα，所以A′B′=B′A+AA′=3cosα+5sinα.同理可得，B′C′=3sinα+5cosα.于是矩形A′B′C′D′的周长为2(A′B′+B′C′)=2(3cosα+5sinα+3sinα+5cosα)8(sinα+cosα)=8√2sin(α+π4).所以，当α+π4=π2，即α=π4时，矩形A′B′C′D′的周长最大，最大值为8√2【考点】函数解析式的求解及常用方法，函数的最值及其几何意义20.已知函数f(x)=lg x+2a+1x−3a+1，其中a为非零实常数.（1）若a=1，求函数f(x)的定义域；（2）试根据a的不同取值，讨论函数f(x)的奇偶性.【答案】（1）解：当a=1时，f(x)=lg x+3x−2，令x+3x−2>0，即{x−2≠0(x+3)(x−2)>0，解得，x<−3或x>2，即函数的定义域为(−∞,−3)∪(2,+∞)（2）解：令x+2a+1x−3a+1>0，即(x−3a+1)(x+2a+1)>0，当3a−1=2a+1，即a=2时，不等式的解为x<−5或x>5，定义域为(−∞,−5)∪(5,+∞)关于原点对称，则f(x)=lg x+5x−5，则f(−x)=lg−x+5−x−5=lg x−5x+5=−lg x+5x−5=−f(x)，即函数为奇函数；当3a−1=−2a−1时，此时a=0，不符合题意；当a≠0且a≠2时，函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.综上所述，当a≠0且a≠2时，函数为非奇非偶函数；当a=2时，函数为奇函数. 【考点】函数的定义域及其求法，函数奇偶性的判断21.在△ABC中，A、B所对的边长为a、b，A=45°，b=3√2.（1）若a=2√3，求B；（2）讨论使B有一解、两解、无解时a的取值情况.【答案】（1）解：由正弦定理，得asinA =bsinB⇒sinB=√32⇒B=60°或B=120°（2）解：解法一：如图所示：① 0<a<bsinA，即0<a<3时，B无解；② a=bsinA或a≥b，即a=3或a≥3√2时，B有一解；③ bsinA<a<b，即3<a<3√2时，B有两解. 解法二：应用正弦定理asinA =bsinB，得sinB=3a（*），其中B∈(0,3π4)，方程（*）的解B的个数，即函数y=sinx,x∈(0,3π4)与水平直线l:y=3a交点的个数.如图所示：当3a>1，即0<a<3时，B无解；当3a =1或3a∈(0,√22]，即a=3或a≥3√2时B有一解；当3a ∈(√22,1)，即3<a<3√2时B有两解【考点】正弦函数的单调性，正弦定理，余弦函数的周期性。

2019-2020学年高一数学下学期期末考试试卷(含解析)一、选择题（每个小题5分，共12个题）1.已知集合，则的子集个数为（）A. 2B. 4C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】根据集合交集的定义和集合中子集的个数的计算公式，即可求解答案．【详解】由题意集合，∴，∴的子集个数为．故选D．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算及子集个数的判定，其中熟记集合交集的运算和集合中子集个数的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．2.函数的定义域是( )A. (－1，＋∞)B. [－1，＋∞)C. (－1,1)∪(1，＋∞)D. [－1,1)∪(1，＋∞)【答案】C【解析】由题意得，∴，故选C.3.一个直角三角形绕其最长边旋转一周所形成的空间几何体是（）A. 一个棱锥B. 一个圆锥C. 两个圆锥的组合体D. 无法确定【答案】C【解析】一个直角三角形绕其最长边AC旋转一周所形成的空间几何体是以斜边的高BD为半径的底面圆，以斜边被垂足D分得的两段长AD，CD为高的两个倒扣的圆锥的组合体故选C4.已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据几何体的三视图，得到该几何体为一个圆柱去掉一个内接圆锥，利用圆柱和圆锥的体积公式，即可求解．【详解】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体为一个圆柱去掉一个内接圆锥，所以体积为，故选B.【点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．5.为了得到函数的图像，可以将函数的图像（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】先化简函数，再根据三角函数的图象变换，即可求解．【详解】由题意，函数，所以为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度，故选B．【点睛】本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变换，注意先伸缩后平移时的系数是解题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6.若直线过点（1，2），（4，2+）则此直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设直线的倾斜角为，根据直线的斜率和倾斜角的关系，即可求解．【详解】设直线的倾斜角为，则，又∵，所以，故选A.【点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角，属于简单题. 求直线的倾斜角往往先求出直线的斜率，求直线斜率的常见方法有一以下三种，（1）已知直线上两点的坐标求斜率：利用；（2）已知直线方程求斜率：化成点斜式即可；（2）利用导数的几何意义求曲线切点处的切线斜率.7.圆的圆心坐标和半径分别是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把圆的一般方程化简为圆的标准方程，即可求解圆的圆心坐标和半径，得到答案．【详解】依题意可得：∴圆的圆心坐标和半径分别是，，故选：D【点睛】本题主要考查了圆的方程的应用，其中熟记圆的标准方程和圆的一般的形式和互化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8.直线截圆所得的弦长为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，求得圆的圆心坐标和半径，利用圆的弦长公式，即可求解．【详解】由题意圆的方程，可知圆心，半径，则圆心到直线的距离为，所以弦长为，故选D．【点睛】本题主要考查了圆的弦长公式应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系和直线与圆的弦长公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9.中，角的对边分别为，已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在三角形中，利用正弦定理，即可求解．【详解】在△ABC中，，∴则，∴由正弦定理可得：故选C【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．在中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.10.在中，角的对边分别为，若，则( )A. 60°B. 120°C. 45°D. 30°【答案】B【解析】【分析】根据题意，由余弦定理求得，即可求解答案．【详解】因为，由余弦定理得，又∵，所以，故选B．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．在中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.11.已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（）A. B. 1 C. - D. -1【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的通项公式，列出方程组，求得的值，得到答案．【详解】等差数列中，，由等差数列的通项公式，可得解得，即等差数列的公差d=﹣1．故选D．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质与前项和的关系，利用整体代换思想解答.12.数列的前项和为，若，则等于（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：由题意得，数列的通项公式，所以，故选B.考点：数列的求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到数列通项公式的列项、数列的列项相消求和，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及退了与运算能力，试题比较基础，属于基础题，本题解答中吧数列的通项公式化简为是解答的关键，平时注意总结和积累.二、填空题（共20分）13.已知，且是第二象限角，则___________．【答案】【解析】【分析】根据角为第二象限角，得，再由三角函数的基本关系式，即可求解．【详解】因为是第二象限角，∴，又，由三角函数的基本关系式可得．【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系的化简求值问题，其中根据角的象限，判定三角函数的符号是解答的一个易错点，同时熟记三角函数的基本关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．14.已知点与点，则的中点坐标为__________．【答案】【解析】【分析】根据题意与点，根据中点的坐标公式，即可求解．【详解】由题意点与点，根据中点坐标公式可得的中点坐标为，即的中点坐标为.【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标表示及中点中点坐标公式的应用，其中解答中熟记空间向量的坐标表示和中点的坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15.函数，则的值为__________.【答案】1【解析】【分析】根据分段函数的解析式，代入即可求解．【详解】当时，，，当时，，.【点睛】本题主要考查了分段函数的求函数值问题，其中把握分段函数的分段条件，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16.直线与直线互相垂直，则实数等于________．【答案】2【解析】【分析】利用两条直线互相垂直，列出方程，即求解．【详解】直线与直线互相垂直，则，∴，故答案为2【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，其中熟记两条直线的位置关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．三、解答题（共70分，17题10分其各题每题12分，要求写出必要的解题步骤）17.在等差数列{a n}中，a12=23，a42=143，a n=239，求n及公差d．【答案】n=66，d=4【解析】试题分析：由题意结合等差数列的定义可先求公差，再列关于n的方程，解方程可得试题解析：由题意可得，d==4，∴a1=﹣21∵a n=a1+（n﹣1）d=﹣21+4（n﹣1）=239，解得n=66综上，n=66，d=4.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前项和的关系，利用整体代换思想解答.18.已知等比数列{a n}满足记其前n项和为(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若，求n.【答案】(1)；(2)5.【解析】【分析】（1）设出等比数列的公比，由条件得到关于的方程组，求得便可得到数列的通项公式；（2）根据前n项和得到关于n的方程，解方程可得解．【详解】(1)设等比数列{a n}的公比为，由条件得,解得，∴ an=a1q n−1=.即数列{a n}的通项公式为．(2)由题意得，解得：.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及等比数列的前项和公式的应用，其中熟记等比数列的通项公式和前项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19.如图，在中，，是边上一点，且.（1）求的长；（2）若，求的长及的面积.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）在中由正弦定理可求得AD的长；（2）在中，由余弦定理可得，利用可得所求面积．【详解】（1）在中，由正弦定理得，即，∴（2）∵，∴在中，由余弦定理得∴∴.综上，的面积为．【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.20.在中，内角的对边分别为，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用正弦定理可对进行化简，即可得到的值；（Ⅱ）利用正弦定理对进行化简，可得到，再利用的余弦定理，可求出的值.【详解】（Ⅰ）由及正弦定理，得.在中，..（Ⅱ）由及正弦定理，得，①由余弦定理得，，即，②由①②，解得.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．在中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.21.已知直线经过点，且斜率为．（1）求直线的方程．（2）求与直线平行，且过点的直线方程．（3）求与直线垂直，且过点的直线方程．【答案】(1) (2) (3)【解析】【分析】（1）写出直线的点斜式方程，整理成一般方程即可．（2）可设直线的一般方程为，代入点求出的值，即可答案．（3）可设所求直线的方程为，代入点，求得的值，即可求解直线的方程；所求直线的斜率为，写出直线的点斜式方程，整理成一般方程即可．【详解】（1）由题设，根据直线的点斜式方程可得，整理得．（2）由题意，所以求直线与平行，设所求直线方程为，代入点，解得，所以直线方程为．（3）由题意，所以求直线与垂直，设所求直线的方程为，代入点，解得，所以直线方程为．【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，其中熟记直线的点斜式方程、直线的一般式方程等形式，合理应用和准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．22.如图，在五面体中，已知平面，，，，．（1）求证：；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）详见解析，（2）【解析】【分析】（1）由题意，利用线面平行的性质定理与判定定理进行转化，可作出证明；（2）由平面，所以有面平面，则作就可得平面，确定是三棱锥的高，利用三棱锥的体积公式，可求解．【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以．（2）在平面内作于点，因为平面，平面，所以，又，平面，，所以平面，所以是三棱锥的高．在直角三角形中，，，所以，因为平面，平面，所以，又由（1）知，，且，所以，所以，所以三棱锥的体积．【点睛】本题主要考查了线面平行判定定理与性质定理，线面垂直判定定理与性质定理及三棱锥体积，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．欢迎您的下载，资料仅供参考！资料仅供参考!!!。

上海市黄浦区2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是________. 【答案】285-︒ 【解析】 【分析】根据终边相同的角的概念进行判断.【详解】大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是285-︒. 故答案：285-︒【点睛】本题考查终边相同的角，属于基础题. 2.方程11232x-=的解为________. 【答案】6 【解析】 【分析】分数化为以2为底的指数，指数相等即可解出x . 【详解】1512=232x --=，15x ∴-=-，解得6x =. 故答案为：6【点睛】本题考查指数方程的解法，属于基础题.3.平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，若其终边经过点(3,4)P -，则sin α=________. 【答案】45- 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义计算.【详解】因为角α的终边经过点(3,4)P -，所以4sin 5α==-.故答案为：45-【点睛】本题考查任意角的三角函数，属于基础题. 4.已知1cos 3α=，则cos2=α__________． 【答案】79- 【解析】1cos 3α=()217cos 22cos 12199αα∴=-=⨯-=-5.2()2f x x x =+（0x ≥）的反函数1()f x -=________1（0x ≥） 【解析】 【分析】设()22f x y x x ==+（0x ≥）,求出x =()1f x -.【详解】设()22f x y x x==+（x ≥）,所以2+20,x x y x -=∴=±因为x≥0，所以x =()11f x -=.因为x≥0，所以y≥0，所以反函数()11f x -=，0x （）≥. 1，0x （）≥ 【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.6.在ABC 中，若面积2221()4S A C A B BC =+-，则A =________.【答案】4π 【解析】 【分析】结合余弦定理和三角形的面积公式可知11sin 2cos 24AB AC A AB AC A ⋅=⋅⋅，整理后即可知tan 1A =，进而可求出A .【详解】解：在ABC 中，由余弦定理可知2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅， 所以2222cos AB AC A AB AC BC ⋅=+-，由1sin 2S AB AC A =⋅，可得 11sin 2cos 24AB AC A AB AC A ⋅=⋅⋅，即sin cos A A =，因为()0,A π∈， 所以cos 0A ≠，即tan 1A =，所以4A π=.故答案为:4π. 【点睛】本题考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，属于基础题.7.函数tan 63y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为________.【答案】()56,16,k k k Z -++∈ 【解析】 【分析】由正切函数的单调性可得,2632k x k k Z ππππππ-+<+<+∈，解不等式即可求出函数的递增区间.【详解】解：令,2632k x k k Z ππππππ-+<+<+∈，解得5616,k x k k Z -+<<+∈，则函数的单调递增区间为()56,16,k k k Z -++∈， 故答案为: ()56,16,k k k Z -++∈.【点睛】本题考查了正切函数单调区间的求解，属于基础题.本题的易错点是解不等式时，忘记每一项都需要乘6. 8.若1tan 3x =，(,2)x ππ∈，则x =________（结果用反三角函数值表示）. 【答案】1arctan 3π+【解析】【分析】 先求出02x ππ<-<，根据1tan()3x π-=得1arctan 3x π-=，即得解. 【详解】因为1tan 03x =>，(,2)x ππ∈， 所以32x ππ<<， 所以02x ππ<-<，所以1tan()tan()tan 3x x x ππ-=--==， 所以1arctan3x π-=， 所以1arctan 3x π=+.故答案为：1arctan 3π+.【点睛】本题主要考查反三角函数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 9.若1tan 24α=，则tan tan 44ππαα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________.【答案】12【解析】 【分析】本题首先可以根据tan tan 4tan 41tan tan 4παπαπα+⎛⎫+= ⎪⎝⎭-⋅以及tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα-⎛⎫-=⎪⎝⎭+⋅对原式进行化简，然后根据1tan 24α=即可得出结果. 详解】tan tantan tan44tan tan 441tan tan 1tan tan 44ππααππααππαα+-⎛⎫⎛⎫++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⋅+⋅()()()()22tan 1tan 1tan 1tan 11tan 1tan 1tan 1tan αααααααα+--+-=+=-+-+224tan 2tan 22tan 21tan 1tan ααααα==⨯=--因为1tan 24α=，所以1tan tan 442ππαα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：12.【点睛】本题考查三角恒等变换，主要考查两角和的正切公式、两角差的正切公式以及二倍角公式，考查化归与转化思想，是中档题.10.设ϕ∈R ，函数sin(3)y x ϕ=+的图象与x 轴的交点中，任意两个交点之间距离的最小值为________. 【答案】3π 【解析】 【分析】通过分析可知图象与x 轴的交点中距离最小为周期的一半，求出函数的周期即可求出本题的答案.【详解】解：由函数的解析式可知，由正弦函数的图象进行了左右平移及伸缩变换，得到该函数，未作上下方向的平移变换，所以图象与x 轴的交点中距离最小为周期的一半， 函数的周期为23π，所以最小距离为12233ππ⨯=. 故答案为:3π. 【点睛】本题考查了正弦型函数图象与性质，属于基础题.11.若函数log (3)a y x =+（0a >且1a ≠）的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是________. 【答案】(0,2)- 【解析】 【分析】首先求出函数log (3)a y x =+过的定点，再根据原函数与反函数图象关于y x =对称即可求出点P 的坐标.【详解】令31+=x 得2x =-，此时log 10a y ==，所以函数log (3)a y x =+过定点()2,0-， 所以函数log (3)a y x =+（0a >且1a ≠）的反函数的图像都过点(0,2)-.故答案为：(0,2)-【点睛】本题考查对数函数、对数函数的反函数，属于基础题.12.cos αα-化成sin()A αϕ+（0A <，02ϕπ<≤）的形式，则ϕ=________. 【答案】56π 【解析】 【分析】利用辅助角公式及诱导公式化简即可得解.cos 2sin()2sin cos 2cos sin αααϕαϕαϕ-=-+=--，由待定系数法，得cos 2cos 22sin 11sin 2ϕϕϕϕ⎧=-⎪⎧-=⎪⎪⇒⎨⎨-=-⎪⎩⎪=⎪⎩，又02ϕπ<≤，∴56πϕ=.5cos 2sin()2sin()66ππαααα-=-=-+，即56πϕ=. 故答案为：56π 【点睛】本题考查辅助角公式及三角函数诱导公式，属于基础题. 二、选择题13.“M N >”是“lg lg M N >”成立的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的性质将对数不等式进行等价转化，注意使对数有意义的条件，然后根据充分、必要条件的定义作出判定即可.【详解】当lg lg M N >等价于0M N >>，M N >是0M N >>的必要不充分条件，∴“M N >”是“lg lg M N >”成立的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，涉及对数不等式，考查等价转化思想，属基础题. 14.下列函数中，周期是π的偶函数为（ ）. A. cos 2x y =B. sin 2y x =C. |sin |y x =D.sin ||y x =【答案】C 【解析】 【分析】分别根据定义判断各选项中函数的奇偶性与周期性，即可选出正确答案.【详解】A 选项，函数()cos 2xy f x ==的定义域为R ，且()()cos cos 22x x f x f x ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭，所以函数cos 2xy =为偶函数，周期为2412ππ=；B 选项，函数()sin 2y f x x ==的定义域为R ，且()()()sin 2sin 2f x x x f x -=-=-=-，所以函数sin 2y x =为奇函数，周期为22ππ=； C 选项，函数()|sin |y f x x ==的定义与为R ，且()()()sin sin f x x x f x -=-==，所以函数|sin |y x =为偶函数，周期为π；D 选项，函数()sin ||y f x x ==的定义域为R ，且()()sin sin f x x x f x -=-==，所以函数sin ||y x =为偶函数，不具有周期性. 故选：C【点睛】本题考查三角函数的奇偶性与周期性，属于基础题. 15.为了得到函数sin 2y x =的图象，可以将函数sin(2)6y x π=-的图象 （ ）A. 向右平移6π个单位 B. 向左平移6π个单位 C. 向右平移12π个单位D. 向左平移12π个单位【答案】D 【解析】【详解】本题考查函数图像平移变换:函数()y f x =的图像平移k 单位(0k >,向左；k 0<,向右)所得图像对应函数为().y f x k =+ 将函数sin(2)6y x π=-的图象平移k 个单位后，所得图像对应函数为sin[2()]sin(22)66y x k x k ππ=+-=+-；令2226x k x π+-=得012k π=>.故选：D 16.已知()2k k Z πα≠∈，()()()()()()sin cos tan sin cos tan k k k k k k παπαπαπαπαπα---+++++的值为（ ） A. 3- B. 1-C. 1D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式将分子、分母化为同角，即可求解.【详解】()()()()()()sin cos tan sin cos tan k k k k k k παπαπαπαπαπα---+++++()()()()sin[2]cos[2]tan sin cos tan k k k k k k ππαππααπαπαα-+-+-=++++()()()()sin cos tan 1sin cos tan k k k k παπααπαπαα-++-=++=-++故选：B.【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值，解答的关键就是确定角之间的关系，合理应用诱导公式，属于基础题. 三、解答题17.已知3cos 5ϕ=-，3,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos 3πϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭和sin 6πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】cos 3πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；sin 6πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】根据3cos 5ϕ=-及角的范围求出sin ϕ，结合两角和与差的正弦余弦公式可求，或者利用诱导公式通过cos 3πϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭求解sin 6πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】由题意，4sin 5ϕ==-，∴cos cos cos sin sin 333πππϕϕϕ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，sin sin cos cos sin 666πππϕϕϕ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.或者由诱导公式sin cos 2x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可直接得到sin cos 63ππϕϕ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考查三角函数给值求值问题，根据平方关系求出另一个弦函数是解题关键，侧重考查数学运算的核心素养. 18.（1）证明对数换底公式：log log log a b a NN b=（其中0a >且1a ≠，0b >且1b ≠，0N >） （2）已知3log 2m =，试用m 表示32log 18. 【答案】（1）证明见解析；（2）322log 185mm+=. 【解析】 【分析】（1）将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明. （2）利用换底公式将等号左边化为以3为底的对数，然后根据对数运算法则化简即得. 【详解】（1）设log b N x =，写成指数式x b N =. 两边取以a 为底的对数，得log log a a x b N =.因为0b >，1b ≠，log 0a b ≠，因此上式两边可除以log a b ，得log log a a Nx b=. 所以，log log log a b a NN b=. （2）23333325333log 18log 3log 22log 22log 18log 32log 25log 25mm+++====. 【点睛】本题考查换底公式的证明和应用，属基础题，关键是将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明.19.如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在矩形A B C D ''''的四条边上，3AB =，5BC =.如果AB 与A B ''的夹角为α，那么当α为何值时，矩形A B C D ''''的周长最大？并求这个最大值.【答案】4πα=时，矩形A B C D ''''的周长最大，最大值为82【解析】 【分析】由题意可知α的取值范围，分别求得矩形A B C D ''''的边长关于α的三角函数表达式，得到 周长关于α的三角函数表达式，利用辅助角公式化简后，利用三角函数的图象和性质研究最大值.【详解】由题意可知C BC A DA B AB α'''∠=∠=∠=，02πα≤≤，而cos 3cos B A AB αα'==，sin 5sin AA AD αα'==， 所以3cos 5sin A B B A AA αα''''=+=+. 同理可得，3sin 5cos B C αα''=+.于是矩形A B C D ''''的周长为2()2(3cos 5sin 3sin 5cos )A B B C αααα''''+=+++8(sin cos )824πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.所以，当42ππα+=，即4πα=时，矩形A B C D ''''的周长最大，最大值为82【点睛】本题考查利用三角函数的图象和性质求解实际应用中的最值问题，涉及辅助角公式，属基础题.20.已知函数()21lg31x a f x x a ++=-+，其中a 为非零实常数.（1）若1a =，求函数()f x 的定义域；（2）试根据a 的不同取值，讨论函数()f x 的奇偶性. 【答案】（1）(,3)(2,)-∞-⋃+∞；（2）答案见解析. 【解析】【分析】(1)代入1a =，由真数大于零可得302x x +>-，解不等式即可求出函数的定义域. (2)对a 的取值进行分类讨论，结合奇偶性的定义即可判断出函数的奇偶性.【详解】(1)解：当1a =时，()3lg 2x f x x +=-，令302x x +>-，即()()20320x x x -≠⎧⎨+->⎩， 解得，3x <-或2x >，即函数的定义域为(,3)(2,)-∞-⋃+∞.(2)令21031x a x a ++>-+，即()()31210x a x a -+++>，当3121a a -=+，即2a =时， 不等式的解为5x <-或5x >，定义域为(,5)(5,)-∞-+∞关于原点对称， 则()5lg 5x f x x +=-，则()()555lg lg lg 555x x x f x f x x x x -+-+-===-=---+-，即函数为奇函数； 当3121a a -=--时，此时0a =，不符合题意；当0a ≠且2a ≠时，函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.综上所述，当0a ≠且2a ≠时，函数为非奇非偶函数；当2a =时，函数为奇函数.【点睛】本题考查了对数函数定义域的求解，考查了分式不等式的求解，考查了函数奇偶性的判断，考查了分类讨论的思想.本题的易错点是忽略讨论函数的定义域是否关于原点对称.21.在ABC 中，A 、B 所对的边长为a 、b ，45A =︒，b =（1）若a =B ；（2）讨论使B 有一解、两解、无解时a 的取值情况.【答案】（1）60B =︒或120B =︒；（2）答案不唯一，具体见解析.【解析】【分析】（1）由正弦定理求得B 的正弦值，进而求解；（2）解法一：固定边b （即AC ）和角A ，以C 为圆心，边a （即BC ）为半径作圆弧，该圆弧与角A 除AC 外的另一边所在射线的交点即为点B .利用几何方法判定解的个数的不同情况的条件；解法二：利用正弦定理求得3sin B a =，其中30,4B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，转化为函数3sin ,0,4y x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭与水平直线3:l y a =交点的个数，然后利用正弦函数的图象的性质求解.【详解】（1）由正弦定理，得3sin 60sin sin 2a b B B A B =⇒=⇒=︒或120B =︒；（2）解法一：如图所示：①0sin a b A <<，即0<<3a 时，B 无解；②sin a b A =或a b ≥，即3a =或32a ≥时，B 有一解；③sin b A a b <<，即332a <<时，B 有两解.解法二：应用正弦定理sin sin a b A B =，得3sin B a =（*），其中30,4B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，方程（*）的解B 的个数，即函数3sin ,0,4y x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭与水平直线3:l y a =交点的个数.如图所示：当31a >，即0<<3a 时，B 无解；当31a =或30,2a ⎛∈ ⎝⎦，即3a =或a ≥B 有一解；当32a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，即3a <<B 有两解； 【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，讨论三角形的解的个数，涉及几何作图方法和三角函数的图象的应用，属中档题.。

2019-2020学年上海市黄浦区高一第二学期期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．大于﹣360°且终边与角75°重合的负角是．2．方程的解为．3．平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，若其终边经过点P（3，﹣4），则sinα＝．4．已知cosα＝，则cos2α＝．5．f（x）＝x2+2x（x≥0）的反函数f﹣1（x）＝6．在△ABC中，若面积S＝（AC2+AB2﹣BC2），则A＝．7．函数y＝tan（x+）的单调递增区间为．8．若，x∈（π，2π），则x＝（结果用反三角函数值表示）．9．若tan2α＝，则tan（α+）+tan（α﹣）＝．10．设φ∈R，函数y＝sin（3x+φ）的图象与x轴的交点中，任意两个交点之间距离的最小值为．11．若函数y＝log a（x+3）（a＞0且a≠1）的反函数的图象都过点P，则点P的坐标是．12．若将sinα﹣cosα化成A sin（α+φ）（A＜0，0≤φ＜2π）的形式，则φ＝．二、选择题13．“M＞N”是“lgM＞lgN”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．下列函数中，最小正周期是π的偶函数为（）A．B．y＝sin2x C．y＝|sin x|D．y＝sin|x|15．为了得到函数y＝sin2x的图象，只需把函数y＝sin（2x﹣）图象上所有的点（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位16．已知，的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3三、解答题17．已知cosφ＝﹣，φ∈（π，），求cos（φ﹣）和sin（φ+）的值．18．（1）证明对数换底公式：（其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，N＞0）（2）已知log32＝m，试用m表示log3218．19．如图，矩形ABCD的四个顶点分别在矩形A'B'C'D'的四条边上，AB＝3，BC＝5．如果AB与A'B'的夹角为α，那么当α为何值时，矩形A'B'C'D'的周长最大？并求这个最大值．20．已知函数，其中a为非零实常数．（1）若a＝1，求函数f（x）的定义域；（2）试根据a的不同取值，讨论函数f（x）的奇偶性．21．在△ABC中，A、B所对的边长为a、b，A＝45°，．（1）若，求B；（2）讨论使B有一解、两解、无解时a的取值情况．参考答案一、填空题1．大于﹣360°且终边与角75°重合的负角是﹣285°．【分析】由角终边相等的性质进行求解解：﹣360°+75°＝﹣285°，故答案为：﹣285°．2．方程的解为x＝6．【分析】利用指数的运算法则，对方程化简求解即可．解：方程，即21﹣x＝2﹣5，可得1﹣x＝﹣5，所以x＝6．故答案为：x＝6．3．平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，若其终边经过点P（3，﹣4），则sinα＝．【分析】直接利用任意角的三角函数，求解即可．解：角α的终边为点P（3，﹣4），所以x＝3，y＝﹣4，r＝5，sinα＝＝﹣，故答案为：．4．已知cosα＝，则cos2α＝﹣．【分析】直接利用二倍角的余弦公式可得cos2α＝2cos2α﹣1，运算求得结果．解：由二倍角的余弦公式可得cos2α＝2cos2α﹣1＝2×﹣1＝﹣，故答案为﹣．5．f（x）＝x2+2x（x≥0）的反函数f﹣1（x）＝【分析】由题意知，设P（x，y）是反函数f﹣1（x）上任意一点，则P关于y＝x对称的点P1（y，x）在f（x）上，代入即可．解：由题意知，f（x）的值域为[0，+∞），设P（x，y）是反函数f﹣1（x）上任意一点，则P关于y＝x对称的点P1（y，x）在f（x）上，代入得：x＝y2+2y，则x+1＝（y+1）2，即y+1＝，所以y＝（x≥0）．故答案为f﹣1（x）＝（x≥0）．6．在△ABC中，若面积S＝（AC2+AB2﹣BC2），则A＝．【分析】根据三角形面积公式得到AC•AB sin A＝（AC2+AB2﹣BC2），整理可得tan A ＝1，进而得到A的值．解：三角形面积S＝AC•AB sin A＝（AC2+AB2﹣BC2），即有sin A＝＝cos A，所以tan A＝1，因为A∈（0，π），所以A＝，故答案为：．7．函数y＝tan（x+）的单调递增区间为（6k﹣5，6k+1），k∈Z．【分析】根据正切函数的单调性，解不等式﹣+kπ＜x+＜+kπ，k∈Z，将所得的解集化为等价的开区间，即为所求函数的单调增区间．解：令x+∈（﹣+kπ，+kπ），k∈Z，即﹣+kπ＜x+＜+kπ，k∈Z，可解得：6k﹣5＜x＜6k+1，k∈Z，∴函数y＝tan（x+）的单调递增区间是（6k﹣5，6k+1），k∈Z．故答案为：（6k﹣5，6k+1），k∈Z．8．若，x∈（π，2π），则x＝（结果用反三角函数值表示）．【分析】直接利用反三角函数的性质以正切函数的性质即可求解．解：因为tan x＝，当x∈（﹣，）时，x＝arctan；因为x∈（π，2π），则x＝π+arctan；故答案为：π+arctan．9．若tan2α＝，则tan（α+）+tan（α﹣）＝．【分析】展开两角和与差的正切，整理后再由二倍角的正切得答案．解：∵tan2α＝，∴tan（）+tan（）＝＝＝＝．故答案为：．10．设φ∈R，函数y＝sin（3x+φ）的图象与x轴的交点中，任意两个交点之间距离的最小值为．【分析】求函数y＝sin（3x+φ）的图象与x轴的交点的横坐标3x+φ＝kπ，k∈Z，即x＝﹣，k∈Z，由纵坐标均为0，根据x＝﹣，k∈Z，可得答案，解：设φ∈R，函数y＝sin（3x+φ）的图象与x轴的交点时，有3x+φ＝kπ，k∈Z，φ∈R，x＝﹣，k∈Z，由所有与x轴交点的纵坐标均为0，则任意两相邻点间的距离最小，即（﹣）﹣（﹣）＝，φ∈R，故任意两个交点之间距离的最小值为，故答案为：，11．若函数y＝log a（x+3）（a＞0且a≠1）的反函数的图象都过点P，则点P的坐标是（0，﹣2）．【分析】计算函数y＝log a（x+3）（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（﹣2，0），再根据原函数和反函数对应的自变量x的取值和应变量y的值相反可得答案，解：函数y＝log a（x+3）（a＞0且a≠1）的图象恒过定点为当x+3＝1时，即x＝﹣2时，y＝0，即恒过定点（﹣2，0），由原函数和反函数对应的自变量x的取值和应变量y的值相反，函数y＝log a（x+3）（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（﹣2，0），则函数的反函数的图象都过点P，则点P的坐标是（0，﹣2），故答案为：（0，﹣2），12．若将sinα﹣cosα化成A sin（α+φ）（A＜0，0≤φ＜2π）的形式，则φ＝．【分析】利用辅助角公式化积，再由诱导公式变形即可求得满足条件的φ值．解：sinα﹣cosα＝2（）＝2sin（）＝﹣2sin（），∴．故答案为：．二、选择题13．“M＞N”是“lgM＞lgN”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据充分必要条件的定义结合对数函数的性质进行判断即可．解：由lgM＞lgN得：M＞N＞0，故由M＞N推不出M＞N＞0，不是充分条件，由M＞N＞0能推出M＞N，是必要条件，故选：B．14．下列函数中，最小正周期是π的偶函数为（）A．B．y＝sin2x C．y＝|sin x|D．y＝sin|x|【分析】根据函数的奇偶性和三角函数的周期公式即可得到结论．解：由正余弦三角函数的周期T＝，函数的奇偶性f（﹣x）＝±f（x）可判断，A、为偶函数，周期为4π，B、y＝sin2x为奇函数，周期为π，C、由y＝|sin x|是偶函数，根据函数图象的对称性结合此函数y＝|sin x|的曲线图象，可知此函数周期为π，D、y＝sin|x|是偶函数，根据函数图象的对称性结合此函数y＝sin|x|的曲线图象，可知函数不是周期函数．故选：C．15．为了得到函数y＝sin2x的图象，只需把函数y＝sin（2x﹣）图象上所有的点（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【分析】利用逆推方法求出函数y＝sin2x的图象，变换为函数的图象的方法，即可得到正确选项．解：函数y＝sin2x的图象，变换为函数＝的图象，只需向右平移个单位，所以为了得到函数y＝sin2x的图象，可以将函数的图象，向左平移个单位．故选：D．16．已知，的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【分析】分类讨论，利用诱导公式即可化简求解．解：①k为奇数，即k＝2m+1（m∈Z）时，原式＝＝；②k为偶数，即k＝2m（m∈Z）时，原式＝＝；综上，原式的值为﹣1．故选：B．三、解答题17．已知cosφ＝﹣，φ∈（π，），求cos（φ﹣）和sin（φ+）的值．【分析】由同角三角函数的基本关系，求得sinφ，再由两角和与差的三角函数公式展开代入即可．解：由题意，，∴，．18．（1）证明对数换底公式：（其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，N＞0）（2）已知log32＝m，试用m表示log3218．【分析】（1）设log b N＝x，写成指数式b x＝N．两边取以a为底的对数，得x log a b＝log a N，两边可除以log a b，即可证明；（2）利用对数换底公式即可得解．解：（1）证明：设log b N＝x，写成指数式b x＝N．两边取以a为底的对数，得x log a b＝log a N．因为b＞0，b≠1，log a b≠0，因此上式两边可除以log a b，得．所以，．（2）．19．如图，矩形ABCD的四个顶点分别在矩形A'B'C'D'的四条边上，AB＝3，BC＝5．如果AB与A'B'的夹角为α，那么当α为何值时，矩形A'B'C'D'的周长最大？并求这个最大值．【分析】由题意可知∠C'BC＝∠A'DA＝∠B'AB＝α，0≤α≤，可求A'B'＝B'A+AA'＝3cosα+5sinα，B'C'＝3sinα+5cosα，利用两角和的正弦函数公式化简可求矩形A'B'C'D'的周长为2（A'B'+B'C'）＝16sin（α+），利用正弦函数的性质即可求解其最大值．解：由题意可知∠C'BC＝∠A'DA＝∠B'AB＝α，0≤α≤，而B'A＝AB cosα＝3cosα，AA'＝AD sinα＝5sinα，所以A'B'＝B'A+AA'＝3cosα+5sinα．同理可得，B'C'＝3sinα+5cosα．于是矩形A'B'C'D'的周长为2（A'B'+B'C'）＝2（3cosα+5sinα+3sinα+5cosα）＝16（sinα+cosα）＝16sin（α+）．所以，当，即时，矩形A'B'C'D'的周长最大，最大值为16．20．已知函数，其中a为非零实常数．（1）若a＝1，求函数f（x）的定义域；（2）试根据a的不同取值，讨论函数f（x）的奇偶性．【分析】（1）结合对数函数的定义域即可求解；（2）结合已知函数解析式对a进行分类讨论，然后结合奇偶性的定义即可判断．解：（1）a＝1时，f（x）＝lg，由题意可得，＞0，解可得x＞2或x＜﹣3，故函数的定义域（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）；（2）①a＝2时，，定义域为（﹣∞，﹣5）∪（5，+∞），关于原点对称，，此时f（x）为奇函数，②a≠0且a≠2时，f（x）的定义域一定关于原点不对称，∴此时f（x）为非奇非偶函数．21．在△ABC中，A、B所对的边长为a、b，A＝45°，．（1）若，求B；（2）讨论使B有一解、两解、无解时a的取值情况．【分析】（1）根据正弦定理代入即可求得sin B，注意不要漏解；（2）根据正弦定理可得sin B＝，则B的个数等价于函数与水平直线y＝交点的个数．数形结合即可【解答】（1）由正弦定理，得sin B＝＝＝，即有B＝60°或B＝120°；（2）根据正弦定理，得sin B＝（*），其中，方程（*）的解B的个数，即函数与水平直线y＝交点的个数．如图：则当＞1即0＜a＜3时，交点个数为0个，此时B无解；当＝1即a＝3时，交点个数为1个，此时B只有一解；当∈（，1），即3＜a＜3时，交点个数为2个，此时B有2解；当∈（0，]，即a≥3时，交点个数为1个，此时B有1解；综上：①0＜a＜b sin A，即0＜a＜3时，B无解；②a＝b sin A或a≥b，即a＝3或a≥3时，B有一解；③b sin A＜a＜b，即3＜a＜3时，B有两解．。

黄浦区高一期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 8-和2的等差中项的值是2. 已知等差数列{}n a （*n ∈N ）中，21a =-，5112a =-，则该等差数列的公差的值是 3. 已知等比数列{}nb （*n ∈N ）中，38b =-，664b =，则该等比数列的公比的值是4. 方程2sin 10x +=的解集是5. 已知1tan 2α=，则tan()4πα-的值是 6. 化简：3cos()cos(2)sin()sin()22ππαπβαπβ----+=（要求将结果写出某个角的三角比） 7. 已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是8. 某海岛中有一个小岛B （如图所示），其周围3.8海里内布满暗礁（3.8海里及以外无暗礁），一大型渔船从该海域的A 处出发由西向东直线航行，在A 处望见小岛B 位于北偏东 75°，渔船继续航行8海里到达C 处，此时望见小 岛B 位于北偏东60°，若渔船不改变航向继续前进， 试问渔船有没有触礁的危险？答： （填写“有“、“无”、“无法判断”三者之一）9. 已知函数2()cos 2sin f x x a x b =-++，x ∈R （常数,a b ∈R ），若当且仅当sin x a =时， 函数()f x 取得最大值1，则实数b 的数值为 10. 数列{}n a （*n ∈N ）满足：135a =，1111200.510.5n n n n n a a a a a ----<<⎧=⎨-≥⎩（2n ≥），则59a =11. 观察下列等式： （1）cos3cos87sin 48sin132︒︒+=︒︒2）cos(13)cos103sin32sin148-︒︒+=︒︒（3）cos13cos77sin58sin122︒︒+=︒︒4）cos121cos(31)sin166sin14︒-︒+=︒︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅请你根据给定等式的共同特征，并接着写出一个具有这个共同特征的等式（要求与已知等式不重复），这个等式可以是 （答案不唯一）12. 已知公式3cos34cos 3cos θθθ=-，θ∈R ，借助这个公式，我们可以求函数3()432f x x x =--（2x ∈）的值域，则该函数的值域是二. 选择题13. 已知角A 、B 是△ABC 的内角，则“A B <”是“sin sin A B <”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件14. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果22tan tan a Ab B=，则△ABC的形状是（ ）A. 等腰三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 直角三角形 15. 要得到函数2sin(2)5y x π=+的图像，只需要将函数2sin(2)5y x π=-的图像（ ）A. 向右平移25π个长度单位B. 向左平移25π个长度单位C. 向右平移5π个长度单位D. 向左平移5π个长度单位16. 已知函数sin()y A x ωϕ=+，x ∈R （0A >，0ω>，0ϕπ<<） 的部分图像如图所示，则A 、ω、ϕ的一个数值可以是（ ）A. 44A πωπϕ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩B.123A ωπϕ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩C. 144A ωπϕ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩D. 43A πωπϕ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩三. 解答题17. 已知n S 是等差数列{}n a （*n ∈N ）的前n 项和，且35a =，1631a =. （1）求通项公式n a ；（2）若841k S a =，求正整数k 的值.18. 已知集合{2,3,4,6,8,15,17}X =，数列{}n a （*n ∈N ）是公比为q （1q >）的等比数列，且等比数列的前三项满足123,,a a a X ∈. （1）求通项公式n a ；（2）若n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，记123n A S S S S =+++⋅⋅⋅+，试用等比数列求和公式化简A （用含n 的式子表示）.19. 已知A 、B 、C 是△ABC 的内角，且5AC =，6AB =.（1）若9cos 16B =，求△ABC 的外接圆的面积； （2）若BC x =，且△ABC 为钝角三角形，求正实数x 的取值范围.20. 已知角α、2αβ-的顶点在平面直角坐标系的原点，始边与x 轴正半轴重合，且角α的 终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）的交点A 位于第二象限，角2αβ-的终边和 单位圆的交点B 位于第三象限，若点A 的横坐标为35A x =-，点B 的纵坐标为513B y =-. （1）求sin2α、cos2α的值；（2）若0βπ<<，求β的值.（结果用反三角函数值表示）21. 已知函数()cos 2cos 1f x x x x =++，x ∈R .（1）把()f x 表示为sin()A x B ωϕ++（0A >，0ω>，0ϕπ<<）的形式，并写出函数()f x 的最小正周期、值域；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）定义：对于任意实数1x 、2x ，11212221max{,}x x x x x x x x ≥⎧=⎨>⎩，设()sin ,cos }g x x a x =，x ∈R （常数0a >），若对于任意1x ∈R ，总存在2x ∈R ，使得12()()g x f x =恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案一. 填空题 1. 3- 2. 32- 3. 2- 4. 7{|2,2,}66x x k x k k ππππ=-+=+∈Z5.13 6. sin()αβ- 7. 3π8. 没有9. 1- 10. 2511. cos cos(90)sin(45)sin(135)θθθθ︒︒︒-+=+- 12. [3,2]--二. 选择题13. C 14. C 15. D 16. A三. 解答题17.（1）21n a n =-；（2）41.18.（1）2n n a =；（2）2224n A n +=--.19.（1）647π；（2）(61,11). 20.（1）2425-，725-；（2）204arccos 325.21.（1）()2sin(2)16f x x π=++，T π=，[1,3]-；（2）[,],36k k k ππππ-++∈Z ；（3）(0,3.。

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()()122f x f x ⋅=-，则12x x -的最小值为（ ） A ．2πB ．3π C ．πD ．4π 2．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.33．如图，在等腰梯形ABCD 中，1,2DC AB BC CD DA ===，DE AC ⊥于点E ，则DE =（ ）A ．1122AB AC - B ．1122AB AC + C ．1124AB AC -D ．1124AB AC +4．一条光线从点(2,3)-射出，经x 轴反射后与圆22(3)(2)1x y -+-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．65或56B ．54或45C ．43或34D ．32或235．已知l ，m 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥ B ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ C ．若//l m ，m α⊂，则//l αD ．若//l α，m α⊂，则//l m6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步并不难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，欲问每朝行里数，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第1天健步行走，从第2天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，可求出此人每天走多少里路.”那么此人第5天走的路程为（ ） A ．48里B ．24里C ．12里D ．6里7．sin(210)-的值为 A ．12-B ．12C ．3D 38．ABC 中，30A =︒，105B =︒，2a =，则c =（）9．角α的终边在直线2y x =上，则()()()()sin cos sin cos αππαπαπα-+-=+--（ ）A ．13B ．1C ．3D ．1-10．已知1e ，2e 是两个单位向量，且夹角为23π，则12e te -与12te e -数量积的最小值为（ ） A ．32B ．32-C ．12D ．12-11．对某班学生一次英语测试的成绩分析，各分数段的分布如下图（分数取整数），由此，估计这次测验的优秀率（不小于80分）为（ ）A ．92%B ．24%C ．56%D ．76%12．已知等比数列{}n a 中，141,8a a =-=，该数列的公比为 A ．2B ．-2C ．2±D ．3二、填空题：本题共4小题13．平面四边形ABCD 如图所示，其中ABD △为锐角三角形，4132AB BC CD C A ===∠=∠，，，，3cos 3A =，则AD =_______.14．实数2和8的等比中项是__________．15．已知向量,,1,2a b a b ==，且210a b +=，则a b ⋅=___________．16．有五条线段,长度分别为2,3,5,7,9,从这五条线段中任取三条,则所取三条线段能构成一个三角形的概率为___________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019学年上海市高一下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】姓名____________ 班级_______________ 分数____________一、填空题1. 计算： ------- :—"~*亚4对+ 12. 已知数列；一「为等差数列，•―- ■-，贝V二3. 在等比数列，中，二y - m ,则—的值为4. 已知；；是等差数列，是其前*项和，•，则45. 函数 -■- 在上「一1」.的值域是6. 数列■:中，込一；，,一二，“；一，.一心“ ■-監,贝V ：的前2015项和= ----------------------- ----7. 在数列.「中，已知广二」..二1* ,且数列•化+菇是等比数列，则9.函数v = sin —+ cos —在f —hT-"\内的单调递增区间为J7争rr10. 在厶'、、、；、中，已知，贝「1, 的取值范围是11. 在等腰直角 中， ，-一 i ,形，如图所示，若正方形的面积依次为 -.八，则•’•‘12.已知数列｛nJ 满足q ・-1勺 ＞斫.匕灼-他卜严⑷「V*）,若数列 ；单调递减，数列；’ 单调递增，则数列罠「；■的通项公式为-=8. 执行右边的程序框图，若 「二、 ，则输出的X1BC 中排列着内接正方（从大到小），其中、选择题) 本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题4分.A B.C 的对边分别为 门、氏匸.已知c =C,-EU11 A •C . 钝角三角形D .不能确定14.利用数学归纳法证明“ 1 +灯一小 4-L + /' =■|芒 1、 n e A ) ”,在验1 一证 -,成立时，等号左边是()A .B .C .D .1十亓+打】15.在等差数列打 中， 若且的前•项和有最小值， 则使得 |的最小 值 n 为(A .11B .19C .D16. 有穷数列, CT, ， …，- 中的每一项都是一 II , 0 ,1这三个数中的某一个数，若 灯1+ +…+ =425,且 i 一 1 r+・+'+…+■ = 3870 ,则有穷数列■- , ■ ■ ■ ■ ，：： ,中值为0的项数是()A ..■. C B .；门$.1010D . 1030三、 解答题)在 ^中，右，则一宀的形状是()锐角三角形________________ B .直角三角形13. A .(本题满分8分ZU2?C 中，内角 17.在 (1 )求.；，的大小；(2 )若-7.7 ，求 _；；的面积.18. (本题满分8分) 本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题4分.已知；[、：：|| . ^ ^ 一■； .■'|| — ，■，且函数’图象上的任意两条对称轴之间距离的最小值是—•(1 )求的值；(2)将函数= _■/-,,>>的图像向右平移— 个单位后，得到函数■ = 的图像,6 求函数•的解析式，并求 • 在——-上的最值.19. (本题满分10分) 本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题6分已知数列；.：的首项.■ .「 「.(1 )求证：数列；—-J.为等比数列；•%」(2) 记「；-」--[* ，若| ,求最大正整数坏 %6本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分-公司开拓国际市场，基本形成了市场规模个月(20 14年1月为第一个月)产品的 内销量、出口量和销售总量(销售总量=内销量斗出口量)分别为人 、 和•. (单位：万件)，依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：.-,■1 T 1Ifl匚-匚广；广叮(其中为常数，卄二严)，已知 一万件，• 一 万件，. -万件• (1 )求的值，并写出•-与满足的关系式；(2)证明：逐月递增且控制在2万件内•21. (本题满分14分) 本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分•设等比数列..’的前.项的和为 ，公比为，亩戏口 (1 )若 成等差数列，求证：.成等差数列；(2 )若 ..(-为互不相等的正整数)成等差数列，试问数列I 〕中是20. (本题满分12分)在上海自贸区的利好刺激下 自20 14年1月以来的第否存在不同的三项成等差数列？若存在，写出两组这三项；若不存在，请说明理由； (3)若：.为大于的正整数•试问.:中是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续两项的和？请说明理由.参考答案及解析第1题【答案】【解析】第2题【答案】【解析】试题分析;由等差数列求和公式£ =即吗十— d 0 = 3 5 ??+戈匕_ x (-2 )/_n = 362 2第3题【答案】 4【解析】--- —Z -- — 一 2 4阳一 1 2试题分析:试题分析：= 102+flj = 1024 =4第4题【答案】-1【解析】第5题【答案】［討］【解析】第6题【答案】1【解析】试题分析：由递推公式应-可得各项依次为12X-1-Z-1J.2,所決周期为d,前6项和 为°,所以电町二珂_込+气+丐+%二“第7题【答案】2 3^-re【解析】试题分折：数列⑺号对第二项込十2-6 ,第三项◎十3二1& ,等比数列公比対3/.心 十 M 二& 3,1~-二心 二 2 3：'-1- n第8题【答案】试题分析;- 1T-CCOE ； A试题分析;s n A【解析】H5：程序执行中的费据变怙尸〃士46 = 2”击.27®二丄十丄L 6<7J 7 = 7,J -—+ —+L +—7<7不成立,输岀 2x3 3><4 2«3 3 如 7«81 】q 丄1 1 1 3二； -- 十 ---- -T [ 十 ---- 二一一一二一 2凉 A4 7^8 2 8 S第9题【答案】【解析】Q r e （~2^r,2^） : 乂亡乂+ 乞214第10题【答案】试题分析：过A 作血）丄EC 于D 」B = 60". C = 2, B[1<1 = 1 0寸、mC 二1』当取=4时 试题分析：严 响吟+遇于三』5血-+ - 匕4丿（35e — /T, —/r I 4 4令三畀 2托714€72'2、增区间为卜寻&・所a sin c 的取值范围是[£i]At【解析】此A 寸=第11题【答案】92【解析】x3 —迸试题分析；设第一个正方形的边长为知贝恼相佩三角册可得= S产4再宙ffilU三角形可得卅丄比L构成4为首项，扌为公比的等比数列，S 4 9■■魚⑶+ S/L ^^)=^-=—=-9第12题【答案】E-L【解析】试题分析；采用列举法得刊=-g =1*理=-3心=5•码=—1血二21L 、然后从数字的变化上找规律，得％广碣二(T厂2” •「①=(外亠％JH為叫卄叽)+L卡@十的)=(—1丫05(Typr+L ±2U2T-1 (-2)^-1 | (-2?-1■■«■-J ■■ 电第13题【答案】【解析】试题分析:由正弦翹里可将迪Ur in诂“血C诗化为R > 丁/nf—十h】一F，7F _LcosC=——； ----- >OAC<-,由已知A，B角的范围不确定，因此形状不能确定2ab2第14题【答案】C【解析】试题分析：n = l时等号左恻卫的最高次数为為所以所边为"卄亍第15题【答案】C【解析】试题分析：M的前斤项和必有最小倩，所以豹列单调递增，且首项巧<o•:加—1二％<0^n>0 且％+知>0.兀二WSjqJ二旧％丸虽二沙匹）二10（佝旳,所以使得\>0的最小1削—--第16题【答案】【解析】试题分析！（巧十1）' +0 +1）]丰他寸1尸+'" + （%手+1）J=3E7OR开得佃+L +d■审”）+2&十碣*L +«；0]j ）+2015 = 3870 ”-&+卅4|_ +咗严E0S ・所以7 ,1共W1E硕，刪,值为0啊I页骚是血0天第17题【答案】（1）R = —（2）M 或需【解析】试题分析；⑴ 由关系式刘1^4$)*诚/_£) =wA・结合两角和差的正弦展开式化简可求得8汕的值，得到B角大小£⑵ 由B甬和方疋边利坪余弦定理可求得静边长，结合三角形面积公式S = —^c s-iii *求得面积2试题解析：（1）2&111.4^0£5= SAH A => eos5 -—或虹n 勺兰0（雋）f/. B28 = a2?良卩口' -6^ + S = 0 、二&二2站二4当（? = 2 时，S ——CC sin R 二3 迟；当/T= 4 B寸：S ——crc&in R — 6爲第18题【答案】⑴1⑵sM^ = n ,厭工)碍二运【解析】试题分析；⑴由对称轴的距蛊求得函数周期，进而得到血IB,代入7(0)-0可戒得倂角：从而确JT 7T 定函数解析式，将自变量“亍代入求解的值,⑵由平移规律得到函数y=^W的解析式h 4咖二岳inp■勻,由工的范围得到"■彳的范围，进而结合单调性求得函数最值试题解析：(1) /M=^2sin(^4^+-)_7 = ^ A，■*'- VFsmpx)…'/(彳)-JJsdil 二-14第19题【答案】详见解析(2)99【解析】试西并析：CD证明数列是等比数列需证明数列相邻两项的比值为常数，井且首项不为①本题中通过数列& ｝的递推公式入手将其变形1冋j⑵借助于(1)的结论求得数列S ｝的的通项公比进而得到数列］三］的通项公式」结合特点采用分组拥闻W比数列求和公式可得到爲的表达式，解不孝武可求得：值’T ⑴Q土中护亡-1说乜,且Q「“.右I"”⑵由⑴可求得于第20题【答案】（1）应二Lb二"g, g] =2屯档士/ C3详见解析A£【解析】试题分析；（1）依蛊意：口―】=■巾+】=吗+內+占如'；将諏1，2；构建方程组丿冃卩可求得S b的値，从而可得為巧芍町满足的关系式』⑵先证明3“為-如/"*6_2卄少2 , 于是供＜2 .再用作差法证明久亡弘,从而可得结论；试题解析：Ci）依ffiiS：口“二矗齐十£卄]二“％十口,，、 3 *.\ 0\ —皿】丄诃十5CT*,「*阿+1十H寸一“ ........ ① 又立* —+ t7r卄by jI r j ■■■■u Ji IA -£7+- + ^! -V=- .................. ②解①②得＜7=1,6 = -2 2 （2 丿8 2从而口m二2口厂十「（2）由于码T = 2珂厂+口；=一片（臥一2）】十2$2・但碍・1工2・否贝」可推得% =匹=2矛盾・故孝&偽・严2 ,于ftn, ＜ 2 .又旳〒1_码=_*V・2码-q =-斗码（码・2）:＞0 ,所決為勺卜仇，从而＜2 .第21题【答案】（1）详见解析（2）心+].dg.q.] （3）不存在【解析】试题分析：⑴ 根据％%爲成等差数列，q^l,可得2几=2 +耳,化简可得,进而可以证明如.％你成等差数列,（2）根据凡・片$ 51为互不相等的正整数）成等差数列、可得2S#二几4Sr ；化简可得2叩「4珂7‘ ；从而可得％“叶知成尊差数列，即可得出结论,<3）设存在一项①,使得丑・恰好可以表示/该数列中连续两项的和，设冷=6斗％] ）可得斤>"} q s'n =1+（?，从而可得结论试题解析：（1）若Z，咼成等差数列,则2S宀览,即2円（1一/；） _ 竹（1-/> | 呵（1-扌）\・q '■ q \-q+ ” …：靳二1 + / ,又2弧- （% +a u） = 2如7 -（a}q9 + qg"） = qg°（2/ T -『）=0|.・2<7|g = CT]。

2019-2020学年上海市黄浦区高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.8.下列命题为真命题的是A. 已知，则“”是“”的充分不必要条件B. 已知数列为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件C. 已知两个平面，，若两条异面直线满足且//，//，则//D. ，使成立√2，c=2，则△ABC外接圆面积为()2.△ABC中，若cosC=23A. 4πB. 8πC. 9πD. 36π3.若是偶函数，则p是q的A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.函数的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将的图象()A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5.等比数列中，若，则6.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a6=12，S4=8，则a9的值是___．7.在等比数列{a n}中，a1=2，若a1，2a2，a3+6成等差数列，则a n=______ ．8.若存在区间M=[a,b](a<b)使得{y|y=f(x),x∈M}=M，则称区间M为函数f(x)的一个“稳定区间”.给出下列4个函数：①f(x)=e x②f(x)=x3③f(x)=cosπx2④f(x)=lnx+1其中存在稳定区间的函数有______ (写出所有正确命题的序号)．=．9.sinπ1210.△ABC中，若tan B·tan C=5，则的值为．11.已知扇形的半径为6cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为______ ．12.甲船在岛B的正南A处，AB=6km，甲船以每小时4km的速度向正北方向航行，同时乙船自B出发以每小时3km的速度向北偏东60°的方向驶去，甲、乙两船相距最近的距离是______km．13.抛物线y=ax2上一点P(1,2)到它的准线的距离为______．14.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且对于任意正整数m，n都有a n+m=a n⋅a m.若S n<a对5任意n∈N∗恒成立，则实数a的最小值是______．15.如图中的数阵，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为a ij，则数字41在表中出现的次数为______ ．16.记函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值之差为“悬差”，已知函数f(x)=2x3−6x−1，则其在区间[−4,4]上的“悬差”为______．三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）17.在等差数列{a n}中，a16+a17+a18=a9=−36，其前n项为S n．(1)求S n的最小值，并求出S n<0时n的最大值；(2)求T n=|a1|+|a2|+⋯+|a n|.18.已知向量，且与共线，则的值为；14已知变量满足则的最大值为；15 的展开式中的系数，为，则；(用数字填写答案)16已知数列的前项和为，若()，则数列的通项公式．19. 在△ABC中，D是边AC上的点，且BC=2AB=2AD=4CD．(Ⅰ)求cos A；(Ⅱ)若△ABC的面积为3√15，求BD的长．20. 已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x−2(1)把函数化为f(x)=Asin(ωx+φ)+B,(A>0,ω>0)的形式，并求f(x)的最小正周期(2)求函数f(x)的最大值及f(x)取得最大值时x的集合；)，b⃗ =(√3sinx,cos2x)，x∈R，设函数f(x)=a⃗⋅b⃗21. 已知向量a⃗=(cosx,−12(1)求f(x)的对称轴方程；]上的最大值及取得最大值时自变量x的集合．(2)求f(x)在[0,π2【答案与解析】1.答案：C解析：故答案为C．2.答案：C√2，c=2，解析：解：∵cosC=23∴sinC=√1−cos2C=1，3=6，可得R=3，∴设△ABC外接圆的半径为R，可得2R═c sinC=213可得△ABC外接圆面积为S=π×32=9π．故选：C．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin C的值，利用正弦定理可求三角形外接圆的半径，进而利用圆的面积公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，圆的面积公式的应用，考查了转化思想，属于基础题．3.答案：A解析：解：若f(x)=sin(ωx+φ)(ω≠0)是偶函数，f(x)=sin(ωx+φ)=±cos(ωx+φ)是偶函数，∴p 是q 的充要条件， 故选：A ．4.答案：D解析：试题分析：T =2×()=，=2，由得，所以，而，故选D ．考点：1.正弦型函数图像与性质.2.图象的平移．5.答案：180解析：试题分析：由等比数列的性质知，成等比数列，所以180．考点：本题考查等比数列的性质。

上海市2019-2020学年高一下期末检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//αβ，则下列三个结论：①//a b 、②a b ⊥、③a β⊥．其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】【分析】根据题意，a α⊥，b β⊥，//αβ，则有b α⊥，因此//a b ，a β⊥，不难判断.【详解】因为a α⊥，b β⊥，//αβ，则有b α⊥，所以//a b ，a β⊥，所以①正确，②不正确，③正确，则其中正确命题的个数为2.故选C【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间推理能力，属于简单题.2．问题：①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会. 方法：Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法.其中问题与方法能配对的是( )A ．①Ⅰ，②ⅡB ．①Ⅲ，②ⅠC ．①Ⅱ，②ⅢD ．①Ⅲ，②Ⅱ 【答案】B【解析】解：（1）中由于小区中各个家庭收入水平之间存在明显差别故（1）要采用分层抽样的方法（2）中由于总体数目不多，而样本容量不大故（2）要采用简单随机抽样故问题和方法配对正确的是：（1）Ⅲ（2）Ⅰ．故选B ．3．已知a b <，则下列不等式成立的是（ ）A ．11a b >B ．a b <C ．22a b <D ．33a b <【答案】D【解析】【分析】利用排除法，取3a =-，2b =，可排除错误选项，再结合函数3y x =的单调性，可证明D 正确.【详解】取3a =-，2b =，可排除A ，B ，C ，由函数3y x =是R 上的增函数，又a b <，所以33a b <，即选项D 正确.故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生的推理论证能力，属于基础题.4．已知数列{}{},n n a b 满足11a =，且1,n n a a +是函数2()2n n f x x b x =-+的两个零点，则10b 等于（ ） A ．24B ．32C ．48D ．64【答案】D【解析】 试题分析：依题意可知，1n n n a a b ++=，12n n n a a +⋅=，1122n n n a a +++⋅=，所以12212n n n n n na a a a a a ++++⋅==⋅.即22n n a a +=，故312a a =，53124a a a ==，75128a a a ==，971216a a a ==.11a =，所以916a =，又可知9910102512,32a a a ⋅==∴=.1010111121024,32a a a ⋅==∴=,故10101164b a a =+=.考点：函数的零点、数列的递推公式5．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】 试题分析：根据题意，甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20min ，在乙地休息10min 后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30min ，那么可知先是匀速运动，图像为直线，然后再休息，路程不变，那么可知时间持续10min ，那么最后还是同样的匀速运动，直线的斜率不变可知选D. 考点：函数图像点评：主要是考查了路程与时间的函数图像的运用，属于基础题．6．若a b ，是函数()()200f x x px q p q =-+>>，的两个不同的零点，且2a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ）A ．1B ．5C ．9D ．4【答案】C【解析】试题分析：由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4=b a ．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=． 考点：等差中项和等比中项．7．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】先求出基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，由此能求出在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率．【详解】∵一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，∴基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，则在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率P = 故选：C【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体性质等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，686a a +=，963S S -=，则使n S 取得最大值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】【分析】 由题意求得数列的通项公式为172n a n =-，令0n a ≥，解得182n ≤+，即可得到答案. 【详解】由题意，根据等差数列的性质，可得68726a a a +==，即73a =又由96789833S S a a a a -=++==，即81a =，所以等差数列的公差为872d a a =-=-，又由7116123a a d a =+=-=，解得115a =， 所以数列的通项公式为1(1)15(1)(2)172n a a n d n n =+-=+-⨯-=-，令1720n a n =-≥，解得182n ≤+， 所以使得n S 取得最大值时n 的值为8，故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及前n 项和最值问题，其中解答中熟记等差数列的性质和通项公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．圆()()22215x y -++=关于原点对称的圆的方程为( )A ．()()22215x y -+-=B ．()()22125x y ++-=C ．()()22125x y -++=D ．()()22215x y ++-= 【答案】D【解析】【分析】根据已知圆的方程可得其圆心()2,1-，进而可求得其关于原点对称点，利用圆的标准方程即可求解.【详解】由圆()()22215x y -++=，则圆心为()2,1-，半径r =圆心为()2,1-关于原点对称点为()2,1-，所以圆()()22215x y -++=关于原点对称的圆的方程为()()22215x y ++-=.故选：D【点睛】本题考查了根据圆心与半径求圆的标准方程，属于基础题.10．直线210x ay +-=与平行，则a 的值为( ) A ．12 B ．12或0 C ．0 D ．－2或0 【答案】A【解析】【分析】若直线210x ay +-=与(1)10a x ay --+=平行,则1()2(1)0a a a ⨯---=,解出a 值后,验证两条直线是否重合,可得答案.【详解】若直线210x ay +-=与(1)10a x ay --+=平行,则1()2(1)0a a a ⨯---=,解得0a =或12a =, 又0a =时,直线10x -=与10x -+=表示同一条直线, 故12a =, 故选A.本题考查的知识点是直线的一般式方程,直线的平行关系,正确理解直线平行的几何意义是解答的关键. 11．设R a ∈，若关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[]1,2上有解，则（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤ 【答案】D【解析】【分析】根据题意得不等式对应的二次函数()21f x x ax =-+开口向上，分别讨论0,0,0∆=∆>∆<三种情况即可．【详解】由题意得：当02a ∆=⇒=±当()()22052251020222a a a a f f a a ⎧->⎧⎪⇒⇒<-<≤⎨⎨≥≥≤≤⎩⎪⎩或或或或 当022a ∆<⇒-<<综上所述：52a ≤,选D. 【点睛】 本题主要考查了含参一元二次不等式中参数的取值范围．解这类题通常分三种情况：0,0,0∆=∆>∆<．有时还需要结合韦达定理进行解决．12．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，下列命题正确是（ ）A ．m ∥n ，m ∥α⇒n ∥αB ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥nC ．α⊥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ⊥nD ．α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β 【答案】D【解析】【分析】在A 中，n ∥α或n ⊂α；在B 中，m 与n 平行或异面；在C 中，m 与n 相交、平行或异面；在D 中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β． 【详解】由两条直线m ，n ，两个平面α，β，知：在A 中，m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α或n ⊂α，故A 错误； 在B 中，α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m 与n 平行或异面，故B 错误； 在C 中，α⊥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m 与n 相交、平行或异面，故C 错误； 在D 中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β，故D 正确． 故选：D ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若53a =,392S =,则5S =______. 【答案】10【解析】【分析】将5a 和3S 用首项和公差表示，解方程组，求出首项和公式，利用公式求解5S .【详解】设该数列的公差为d ，由题可知： ()1143932a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故5151010S a d =+=.故答案为：10.【点睛】本题考查由基本量计算等差数列的通项公式以及前n 项和，属基础题.14．已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n =-，则其通项公式n a =__________．【答案】0,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩【解析】分析：先根据和项与通项关系得当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，再检验，1n =时，1a 不满足上述式子，所以结果用分段函数表示.详解： ∵已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =-，∴当1n =时，110a S ==，当2n ≥时，222211[(1)1](1)21n n n a S S n n n n n -=-=----=--=-，经检验，1n =时，1a 不满足上述式子，故数列{}n a 的通项公式0,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩． 点睛：给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用关系式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.15．已知直线20ax y +-=平分圆22(1)()4x y a -+-=的周长，则实数a =________．【答案】1【解析】【分析】由题得圆心在直线上，解方程即得解.【详解】由题得圆心（1，a ）在直线20ax y +-=上，所以20,1a a a +-=∴=.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.16．已知3sin()45πθ-=，则sin 2θ的值为______ 【答案】725 【解析】【分析】根据两角差的正弦公式，化简3sin()cos 4225πθθθ-=-=，解出sin cos θθ-的值，再平方，即可求解.【详解】由题意，可知3sin()45πθθθ-=-=，sin cos θθ∴-=1812sin cos 25θθ-= 72sin cos 25θθ∴=则7sin 225θ=故答案为：725【点睛】本题考查三角函数常用公式()2sin cos 12sin cos θθθθ-=-关系转换，属于基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019-2020学年上海中学高一第二学期期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．在数列{a n}中，若a1＝1，，则a n＝．2．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第项．3．在等差数列{a n}中，前15项的和S15＝90，则a8＝．4．等比数列{a n}满足a7a8a9＝27．则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝．5．在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最大值时，n＝．6．数列{a n}由a n＝（n∈N*）确定，则{a n}中第10个3是该数列的第项．7．已知方程在区间内有两个相异的解α，β，则k的取值范围是．8．已知数列{a n}中a1＝1且（n∈N），a n＝．9．计算＝．10．数列{a n}中，当n为奇数时，a n＝5n+1，当n为偶数时，a n＝，则这个数列的前2n 项的和S2n＝11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a n，则数列{a n}的前n项和S n＝；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T n＝．12．若数列{a n}，{b n}满足a1＝1，b1＝1，若对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+b n+，b n+1＝a n+b n﹣，设c n＝，则无穷数列{c n}的所有项的和为．二、选择题13．用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n+1）”．从“n＝k到n＝k+1”左端需增乘的代数式为（）A．（2k+1）（2k+2）B．2（2k+1）C．D．14．“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．既不充分也不必要D．充分必要15．已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．16．S n为实数构成的等比数列{a n}的前n项和，则{S n}中（）A．任一项均不为0B．必有一项为0C．至多有一项为0D．或无一项为0，或无穷多项为0三、解答题17．有三个数a，b，c依次成等比数列，其和为21，且a，b，c﹣9依次成等差效列，求a，b，c．18．解下列三角方程：（1）4cos2x﹣4cos x+1＝0；（2）sin2x+3sin x cos x+1＝0；（3）sin2x﹣12（sin x﹣cos x）+12＝0．19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（2）若对任意的n∈N*，都有S n∈[s，t]，求t﹣s的最小值．21．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1＝|a，a n+1＝其中n＝1，2，3，…（1）若a＝，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n＝a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a＝（p是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n＝0成立，并证明你的结论．参考答案一、填空题1．在数列{a n}中，若a1＝1，，则a n＝3n﹣2．【分析】利用等差数列定义和通项公式即可得出．解：a1＝1，，则a n+1＝a n+3，∴数列{a n}为首项为1，公差为3的等差数列，∴a n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，故答案为：3n﹣2．2．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第12项．【分析】由已知可先求出数列的通项公式，进而可求．解：a n＝a1q n﹣1＝2020×（）n﹣1，则数列单调递减，a11﹣1＝2020×（）10﹣1＝，a12﹣1＝2020×（）11﹣1＝﹣故当n＝12时，数列的项与1最接近．故答案为：12．3．在等差数列{a n}中，前15项的和S15＝90，则a8＝6．【分析】由等差数列的前n和可得，由等差数列的性质可得a1+a15＝2a8，代入可求a8解：由等差数列的前n和可得∴a8＝6故答案为：64．等比数列{a n}满足a7a8a9＝27．则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝15．【分析】利用等比数列的通项公式推导出a8＝3，由此利用等比数列性质和对数函数运算法则能求出log3（a1a2…a15）的值．解：∵a7a8a9＝27，∴a83＝27，∴a8＝3，∴a1a15＝a2a14＝a3a13＝a4a12＝a5a11＝a6a10＝a7a9＝a82＝9，∴log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝log3（a1•a2…a15）＝log3315＝15，故答案为：15．5．在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最大值时，n＝6或7．【分析】先由题设条件求出a1＝﹣6d，，然后用配方法进行求解．解：，解得a1＝﹣6d．∴＝＝，∵a1＞0，d＜0，∴当n＝6或7时，S n取最大值﹣．故答案：6或7．6．数列{a n}由a n＝（n∈N*）确定，则{a n}中第10个3是该数列的第1536项．【分析】借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定．又通过前面的项发现项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列．即可求出第8个3在该数列中所占的位置．解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…∴a12+a15＝3+15＝18．又因为a3＝3，a6＝3，a12＝3，a24＝3…即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列．所以第10个3是该数列的第3×210﹣1＝1536项．故答案为：1536．7．已知方程在区间内有两个相异的解α，β，则k的取值范围是[0，1）．【分析】由已知结合辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的图象可求．解：因为在区间内有两个相异解，故y＝cos2x+sin2x＝2sin（2x+），由x∈[0，]可得2x+∈[]，其大致图象如图所示，结合图象可知，1≤k+1＜2，解可得0≤k＜1，故答案为：[0，1）．8．已知数列{a n}中a1＝1且（n∈N），a n＝．【分析】本题考查数列的概念，由递推数列求数列的通项公式，适当的变形是完整解答本题的关键．解：根据题意，a n+1a n＝a n﹣a n+1，两边同除以a n a n+1，得，于是有：，，…，，上述n﹣1个等式累加，可得，又a1＝1，得，所以；故答案为．9．计算＝．【分析】先利用裂项求和可得，＝，代入可求极限＝解：∵2[]＝＝＝∴＝∴＝＝故答案为：10．数列{a n}中，当n为奇数时，a n＝5n+1，当n为偶数时，a n＝，则这个数列的前2n 项的和S2n＝5n2+n+2n+1﹣2【分析】对数列{a n}使用分组求和的办法即可求得其前2n项的和．解：由题意知：数列{a n}的奇数项构成首项为6，公差为10的等差数列；数列{a n}的偶数项构成首项为2，公比为2的等比数列，故S2n＝（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）+（a2+a4+a6+…+a2n）＝6n++＝5n2+n+2n+1﹣2．故答案为：5n2+n+2n+1﹣2．11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a n，则数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T n＝．【分析】（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推知该数列是等比数列，利用等比数列求和公式即可求出数列{a n}的前n项和S n（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3，类推可求出数列的和．解：（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推，第n次生成的数的个数为a n＝2n﹣1，显然，此数列为首项为1，公比为2的等比数列．再根据等比数列求和公式，则数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1．（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．第一次生成的数为“1”，第二次生成的数为“﹣1、4”，第三次生成的数为“1、2、﹣4、7”，第四次生成的数为“﹣1、4、﹣2、5、4、﹣1、﹣7、10”…可观察出：第一次生成后前1次所有数中不同的个数为“1”，第2次生成后前2次所有数中不同的个数为“3”，第三次生成后前3次所有数中不同的个数为“6”，第四次生成后前4次所有数中不同的个数为“10”，…以此类推以后为公差为4的等差数列．则易得数中不同的数的个数为T n，则T n＝所以，应填上12．若数列{a n}，{b n}满足a1＝1，b1＝1，若对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+b n+，b n+1＝a n+b n﹣，设c n＝，则无穷数列{c n}的所有项的和为1．【分析】由题意可得a n+1+b n+1＝2（a n+b n），则数列{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，为本题解题的关键．解：由题意，a n+1+b n+1＝2（a n+b n），∴{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴，而，可得，从而，其各项和为．故答案为：1．二、选择题13．用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n+1）”．从“n＝k到n＝k+1”左端需增乘的代数式为（）A．（2k+1）（2k+2）B．2（2k+1）C．D．【分析】写出从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式，化简即可．解：当n＝k时，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），当n＝k+1时，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是：＝2（2k+1）．故选：B．14．“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．既不充分也不必要D．充分必要【分析】根据等比数列的性质和必要条件和充分条件即可判断．解：“b2＝ac”，当a＝b＝c＝0时，“a，b，c不成等比数列”，但“a，b，c依次成等比数列”则一定有“b2＝ac”，故“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的必要非充分条件，故选：B．15．已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．【分析】运用等差数列和等比数列的通项公式，确定的表达式，利用是正整数，q是小于1的正有理数，即可求得结论．解：根据题意：a2＝a1+d＝2d，a3＝a1+2d＝3d，b2＝b1q＝d2q，b3＝b1q2＝d2q2，∴＝＝，∵是正整数，q是小于1的正有理数．令＝t，t是正整数，则有q2+q+1＝，∴q＝，对t赋值，验证知，当t＝8时，有q＝符合题意．故选：D．16．S n为实数构成的等比数列{a n}的前n项和，则{S n}中（）A．任一项均不为0B．必有一项为0C．至多有一项为0D．或无一项为0，或无穷多项为0【分析】举特例验证即可．解：若a n＝1，则S n＝n，显然{S n}中无一项为0，排除A，B；若a n＝（﹣1）n，显然当n为偶数时，S n＝0，即{S n}中有无穷多项为0，排除C，故选：D．三、解答题17．有三个数a，b，c依次成等比数列，其和为21，且a，b，c﹣9依次成等差效列，求a，b，c．【分析】由题意可设a＝b﹣d，c﹣9＝b+d，再由已知列关于b与d的方程组求解b与d 的值，则答案可求．解：由题意，可设a＝b﹣d，c﹣9＝b+d，于是，解得或，当b＝4，d＝3时，可得a＝1，b＝4，c＝16当b＝4，d＝﹣12时，可得a＝16，b＝4，c＝1．18．解下列三角方程：（1）4cos2x﹣4cos x+1＝0；（2）sin2x+3sin x cos x+1＝0；（3）sin2x﹣12（sin x﹣cos x）+12＝0．【分析】（1）由条件可得，然后求出x即可；（2）利用同角三角函数基本关系式化简，然后两边同除cos2x，可得2tan2x+3tan x+1＝0，再求出x；（3）通过换元，转化为二次函数，进而得出．解：（1）即；（2）即sin2x+3sin x cos x+sin2x+cos2x＝0，两边同除cos2x，可得2tan2x+3tan x+1＝0，∴或tan x＝﹣1，∴或；（3）令，，则sin2x＝1﹣t2，从而1﹣t2﹣12t+12＝0，即t2+12t﹣13＝0，解得t＝1或t＝﹣13（舍），再由，∴或，∴或x＝2kπ+π（k∈Z）．19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．【分析】（1）等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得＝（2﹣n）•（）n﹣1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，a2＝0，a6+a8＝﹣10，可得a1+d＝0，a1+5d+a1+7d＝﹣10，解得a1＝1，d＝﹣1，则a n＝a1+（n﹣1）d＝1﹣n+1＝2﹣n，n∈N*；（2）＝（2﹣n）•（）n﹣1，数列{}的前n项和设为S n，S n＝1•（）0+0•（）+（﹣1）•（）2+…+（3﹣n）•（）n﹣2+（2﹣n）•（）n﹣1，S n＝1•（）+0•（）2+（﹣1）•（）3+…+（3﹣n）•（）n﹣1+（2﹣n）•（）n，上面两式相减可得，S n＝1+（﹣1）[（）+（）2+…+（）n﹣2+（）n﹣1]﹣（2﹣n）•（）n＝1+（﹣1）•﹣（2﹣n）•（）n，可得S n＝n•（）n﹣1．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（2）若对任意的n∈N*，都有S n∈[s，t]，求t﹣s的最小值．【分析】（1）利用数列递推式可以得到数列，∴{a n}是首项为2，公比为的等比数列；（2）分为两种情况，n为奇数以及n为偶数，再利用函数性质可以判定S n增减性，从而得到s与t的值．解：（1）由题意，4S n＝6+a n①，令n＝1，可得a1＝2，4S n+1＝6+a n+1②，②﹣①，得4a n+1＝a n+1﹣a n，即，∴{a n}是首项为2，公比为的等比数列，∴，；（2）①n为奇数时，，S n关于n单调递减且恒成立，此时，；②n为偶数时，，S n关于n单调递增且恒成立，此时，；∴（s n）min＝≥s，（s n）max＝2≤t，于是．21．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1＝|a，a n+1＝其中n＝1，2，3，…（1）若a＝，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n＝a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a＝（p是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n＝0成立，并证明你的结论．【分析】（1）由题设知＝，a2＝＝＝＝，由此能求出．（2）由a1＝||a||＝a，知，1＜＜4，由此进行分类讨论，能求出符合要求的实数a构成的集合A．（3）成立．证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设，由此利用分类讨论思想能够推导出数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q 的自然数n，都有a n＝0．解：（1）∵满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，a1＝，a n+1＝其中n＝1，2，3，…∴＝，a2＝＝＝＝，…a k＝，则a k+1＝＝＝，所以．…（2）∵a1＝||a||＝a，∴，∴1＜＜4，①当，即1＜＜2时，＝＝﹣1＝a，所以a2+a﹣1＝0，解得a＝，（a＝∉（，1），舍去）．…②当，即2≤＜3时，a2＝＝，所以a2+2a﹣1＝0，解得a＝＝，（a＝﹣∉（，]，舍去）．…③当，即3＜4时，，所以a2+3a﹣1＝0，解得a＝（a＝，舍去）．…综上，{a＝，a＝，a＝}．…（3）成立．…证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设（p n是非负整数，q n是正整数，且既约）．…①由，得0≤p1≤q；…②若p n≠0，设q n＝ap n+β（0≤βP n，α，β是非负整数）则＝a+，而由，得＝，＝＝，故P n+1＝β，q n+1＝P n，得0≤P n+1＜P n．…若P n＝0，则p n+1＝0，…若a1，a2，a3，…，a q均不为0，则这q正整数互不相同且都小于q，但小于q的正整数共有q﹣1个，矛盾．…（17分）故a1，a2，a3，…，a q中至少有一个为0，即存在m（1≤m≤q），使得a m＝0．从而数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q的自然数n，都有a n＝0．…（18分）（其它解法可参考给分）。

2019-2020学年上海市上海中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．用数学归纳法证明：“12213521n n n n nn n N”时，从n k =到1n k =+，等式的左边需要增乘的代数式是（）A ．21k +B ．211k k ++ C ．231k k ++ D ．()221k +【答案】D【解析】根据条件分别求出n k =和1n k =+时左边的式子，从而可求得由n k =到1n k =+时需要增乘的代数式.【详解】当n k =时，左边()()()12k k k k =++⋅⋅⋅+，当1n k =+时，左边()()()()()111211111k k k k k k k k =++++⋅⋅⋅++-+++++， 所以由n k =到1n k =+时，等式左边应该增乘的代数式是()()()1112211k k k k k k +++++=++.故选：D 【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题.2．“2b ac =”是“,,a b c 依次成等比数列”的（ ）条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．既不充分也不必要 D ．充分必要【答案】B【解析】举例说明充分性不成立，根据等比数列定义证必要性成立. 【详解】0a b c ===时满足2b ac =，但,,a b c 不成等比数列，所以充分性不成立，若,,a b c 依次成等比数列，则2c bb ac b a=∴=，即必要性成立. 故选：B 【点睛】本题考查充要关系的判断、等比数列定义，考查基本分析判断能力，属基础题. 3．等差数列{}n a 的公差d 不为零，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数，若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 的值可以为（ ）A ．17B ．17-C ．12D ．12-【答案】C【解析】根据等差数列与等比数列通项化简222123123a a ab b b ++++，再根据正整数性质逐一验证选项即可. 【详解】因为1a d =，21b d =，公差d ，公比q所以222222123222123(2)(3)14(1)1a a a d d d b b b d q q q q ++++==++++++，因为q 是小于1的正有理数，所以舍去B,D, 当17q =时，2141449157Z q q ⨯=∉++，舍去A ， 当12q =时，21481q q =++，符合， 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项、正整数概念，考查基本分析判断能力，属基础题. 4．n S 为实数构成的等比数列{}n a 的前n 项和，则{}n S 中（ ） A ．任一项均不为0 B ．必有一项为0C ．至多有有限项为0D ．或无一项为0，或无穷多项为0【答案】D【解析】根据等比数列求和公式特征直接判断选择. 【详解】因为11,1(1)0,11n n na q S a q q q q =⎧⎪=-⎨≠≠⎪-⎩，，所以当1q =-时，{}n S 有无穷多项为0；当1,0q q ≠-≠时，{}n S 无一项为0， 故选：D本题考查等比数列求和公式，考查基本分析判断能力，属基础题.二、填空题5．在数列{}n a 中，若11a =，1133n na a +=+，则n a =________． 【答案】32n -【解析】根据题意，先得数列{}n a 是公差为3的等差数列，进而可求出结果. 【详解】 因为1133n na a +=+，即13n n a a +-=，所以数列{}n a 是公差为3的等差数列， 又11a =，所以()13132n a n n =+-=-. 故答案为：32n -. 【点睛】本题主要考查求等差数列的通项公式，熟记公式即可，属于基础题型. 6．在首项为2020，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第________项． 【答案】12【解析】先计算等比数列的通项公式，根据该数列是递减的数列，分别计算111213,,a a a ，简单判断可得结果. 【详解】由题可知：等比数列的通项为11=2020()2-⨯n n a所以1112131.97,0.99,0.49≈≈≈a a a所以120.99≈a 与1最接近，所以最接近于1的项是第12项. 故答案为：12 【点睛】本题主要考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 7．等差数列{}n a 的前15项和为90，则8a =________． 【答案】6【解析】根据等差数列求和公式得1151515()2a a S +=,再结合等差数列性质即可求结果.因为等差数列{}n a 的前15项和为90，所以115158815()159062a a S a a +===∴= 故答案为：6 【点睛】本题考查等差数列求和公式、等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．等比数列{}n a 满足78927a a a =．则313233315log log log log a a a a ++++=________．【答案】15【解析】根据等比数列性质求得8a ，再根据对数运算法则以及等比数列性质化简所求式子为1538log a ，最后代入8a 得结果. 【详解】78398827273a a a a a =∴=∴=731323331531231531158log log log log log ()log [()]a a a a a a a a a a a ∴++++=⋅⋅=2715388383log [()]log 15log 315a a a ==== 故答案为：15 【点睛】本题考查等比数列性质、对数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，49S S =，则n S 取最大值时n =________． 【答案】6或7【解析】根据等差数列{}n a 的前n 项和二次函数性质确定最大值取法，即得结果. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为10a >，49S S =，所以0d <2111(1)()222n d dna n n d n S a n =+-=+-为开口向下的二次函数，又49S S =所以对称轴为4913,22n n +== 因为*n N ∈，所以当n =6或7时，n S 取最大值， 故答案为：6或7 【点睛】本题考查等差数列前n 项和、二次函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.10．数列{}n a 由2,(),n n n n a n N a n *⎧⎪=∈⎨⎪⎩为奇数为偶数确定，则{}n a 中第10个3是该数列的第____项． 【答案】1536【解析】根据递推关系式可得奇数项的项为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定，通过前面的项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列，即可求出第10个3在该数列中所占的位置. 【详解】 由题意可得：这个数列各项的值分别为1,1,,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3,，即33a =，63a =，123a =，243a =，，即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列， 所以第10个3是该数列的第101321536-⨯=. 故答案为：1536 【点睛】本题主要考查了递推数列、等比数列的通项公式，属于中档题. 11．已知方程cos 221x x k +=+在区间[0,]2π内有两个相异的解,αβ，则k 的取值范围是________． 【答案】[0,1)【解析】采用数形结合的方法，转化为函数()cos22,1==+f x x x y k 的图象在区间[0,]2π内有两个交点，可得结果.【详解】 由题意可知：方程cos 221x x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，令()cos22=f x x x ，1y k =+ 等价于两函数的图象在区间[0,]2π内有两个交点.由()cos 23sin 22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭如图所以11201≤+<⇒≤<k k 故答案为：[0,1) 【点睛】本题重点考查了数形结合的思想及函数与方程的思想，此外还考查了利用辅助角公式化成同一个角的三角函数的形式，是中档题. 12．在数列{}n a 中，11a =，1()1nn n a a n a *+=∈+N ，则n a =________． 【答案】1n【解析】先由11n n n a a a +=+，得到1111n na a ，求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而可求出结果. 【详解】 因为11n n n a a a +=+，所以11n n n n a a a a +++=，则1111n na a ，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为公差的等差数列， 又11a =，所以11(1)n n n a =+-=，解得1n a n=. 故答案为：1n. 【点睛】本题主要考查由数列的递推公式求数列的通项公式，关键在于对递推公式进行合适的变形，构造成等差数列或等比数列，属于常考题型.13．111lim[]38(2)n n n →∞+++=+________．【答案】34【解析】利用裂项求和，再求极限，可得结论． 【详解】 解：11111111111111138(2)2322423522n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111112324352n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()()3234212n n n +=-++ ()()1113233lim[]lim 38(2)42124n n n n n n n →∞→∞∴⎡⎤++++=-=⎢⎥+++⎣⎦ 故答案为:34． 【点睛】本题考查裂项求和，考查极限知识，正确求和是关键．14．数列{}n a 中，当n 为奇数时，51n a n =+，当n 为偶数时，22nn a =， 则这个数列的前2n 项的和2n S =________ 【答案】21522n n n +++-【解析】当n 为奇数时，51n a n =+，奇数项为等差数列，当n 为偶数时，22nn a =，偶数项为等比数列，利用分组求和的方法可求这个数列的前2n 项的和. 【详解】122122n n n a a a a S -=++⋅⋅⋅++1321242n n a a a a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()2616104222n n =++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+所以数列{}n a 的奇数项是首项为6公差为10的等差数列，数列{}n a 的偶数项首项为2公比为2的等比数列， ∴()()1222121610522212nn nn n n Snn +⨯--=+⨯+=++--.故答案为：21522n n n +++-. 【点睛】本题考查利用分组求和法求数列的前2n 项的和，一定要正确找出等差数列的首项与公差、等比数列的首项与公比，考查运算求解能力，是基础题.15．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是x -，另一个是3x +．若1x =，前n 次生成的所有数．．．中不同的数的个数为n T ，则n T =________． 【答案】1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩【解析】根据计算第一次，第二次，第三次的生成的数，依此类推，利用不完全归纳法，当3n ≥时，{}n T 是公差为4的等差数列，简单计算，可得结果. 【详解】第1次生成的数为“1”；第2次生成的数为“1-、4”； 第3次生成的数为“1、2、4-、7”；第4次生成的数为“1-、4、2-、5、4、1-、7-、10”；… 可观察出：11T =，23T =，36T =，410T =，514T =，…， 当3n ≥时，{}n T 是公差为4的等差数列，∴1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩．故答案为：1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩【点睛】本题考查不完全归纳法以及等差数列的通项公式，关键在于对数据的分析，属基础题. 16．若数列{}n a ，{}n b 满足11a =，11b =，若对任意的n *∈N，都有1n n n a a b +=+，1n n n b a b +=+，设111()3n n n nc a b =+，则无穷数列{}n c 的所有项的和为________． 【答案】1【解析】由已知得：()112+n n n n a b a b +++=，2,n n n a b n N *∴+=∈,11n n a b ++=2n n a b ，12n n n a b -∴=，由此可得：23n nc =，再由等比数列求和公式可得解. 【详解】由题意，11)2(n n n n a b b a +++=+，∴{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，∴2nn n a b +=，而22211()()2n n n n nn n n a b a b a b a b ++⋅=+-+=⋅， 可得12n n n a b -⋅=， 从而11112()333n n n nn n n n n n a b c a b a b +=+=⋅=⋅， 121,33c q ==，其所有项和为12311113c q ==--．故答案为：1. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了转化能力和计算能力.属于中档题.三、解答题17．有三个数,,a b c 依次成等比数列，其和为21，且,,9a b c -依次成等差数列，求,,a b c ． 【答案】1,4,16a b c ===或16,4,1a b c ===【解析】本题由,,9a b c -成等差数列，可设公差为d ，所以,9a b d c b d =--=+，再利用等差中项与等比中项公式联立方程求解即可. 【详解】由题意，可设,,9a b c -公差为d ， 则,9a b d c b d =--=+，于是()()()()29219b d b b d b d b d b ⎧-++++=⎪⎨-++=⎪⎩，解得：43b d =⎧⎨=⎩或412b d =⎧⎨=-⎩ 所以1,4,16a b c ===或16,4,1a b c ===． 【点睛】此题考查等差数列与等比数列的概念问题，可直接利用等差中项与等比中项的公式列式计算，属基础题. 18．解下列三角方程： （1）24cos 4cos 10x x -+=； （2）2sin 3sin cos 10x x x ++=； （3）sin 212(sin cos )120x x x --+=． 【答案】（1）2()3x k k Z ππ=±∈；（2）1arctan 2x k π=-或()4x k k Z ππ=-∈；（3）22x k ππ=+或2()x k k Z ππ=+∈．【解析】（1）先解一元二次方程，再根据余弦函数性质解三角方程；（2）先利用1的代换转化为齐次方程，再根据弦化切转化解一元二次方程，最后根据正切函数性质解三角方程；（3）令sin cos t x x =-，将原方程转化为关于t 的一元二次方程，根据t 的范围解得t 的值，再利用辅助角公式以及正弦函数性质解三角方程. 【详解】 （1）2214cos 4cos 10(2cos 1)0cos 2()23x x x x x k k ππ-+=∴-=∴=∴=±∈Z ；（2）2sin 3sin cos 10x x x ++= 222sin 3sin cos sin cos 0x x x x x ∴+++=，显然cos 0x =不是方程的解，所以两边同除2cos x ，得22tan 3tan 10x x ++=， ∴1tan 2x =-或tan 1x =-， ∴1arctan ()24x k x k k πππ=-=-∈Z 或；（3）令sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，[t ∈，则2sin 21x t =-，从而2112120t t --+=，即212130t t +-=，解得1t =或13t =-（舍），1sin44x xππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴244x kπππ-=+或32()44x k kπππ-=+∈Z，∴22x kππ=+或2()x k k Zππ=+∈．【点睛】本题考查解简单三角方程、解一元二次方程、辅助角公式、弦化切，考查综合分析求解能力，属中档题.19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列12nna-⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和．【答案】（1）2na n=-；（2）12nn-.【解析】【详解】(1)设等差数列{a n}的公差为d，由已知条件可得1121210a da d⎧⎨⎩＋＝＋＝－，解得111ad⎧⎨-⎩＝＝，故数列{a n}的通项公式为a n＝2－n.(2)设数列12nna-⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为S n，∵1121212222nn n n na n n－－－－－＝＝－，∴S n＝2211121222n⎛⎫⋯⎪⎝⎭－＋＋＋＋＋－21231222nn⎛⎫⋯⎪⎝⎭－＋＋＋＋记T n＝21231222nn⋯－＋＋＋＋，①则12T n＝231232222nn⋯＋＋＋＋，②①－②得：12T n＝1＋211112222n nn-⋯＋＋＋，∴12T n ＝112112n-－－2n n ，即T n ＝4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－－12n n -. ∴S n ＝1212112n ⎡⎤⎛⎫⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-－－4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋12n n - ＝4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－－4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋12n n -＝12n n -.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；（2）若对任意的n *∈N ，都有[,]n S s t ∈，求t s -的最小值．【答案】（1）1123n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，1311223n n S -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭；（2）23． 【解析】（1）先根据等差中项得46n n S a =+，再根据和项与通项关系求数列{}n a 的通项公式，最后代入46n n S a =+求n S ；（2）根据n 奇偶性分类讨论n S 取值范围，进而确定t s ，范围，即得t s -的最小值．【详解】（1）由题意，46n n S a =+①，令1n =，可得12a =，又1146n n S a ++=+②，②-①，得114n n n a a a ++=-，即113n n a a +=-，又12a =∴{}n a 是首项为2，公比为13-的等比数列， ∴1123n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，163114223n n n a S -+⎛⎫==+⋅- ⎪⎝⎭； （2）①n 为奇数时，1311223n n S -⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，n S 关于n 单调递减且32n S >恒成立， 此时，1322n S S <=≤；②n 为偶数时，1311223n n S -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，n S 关于n 单调递增且32n S <恒成立， 此时，24332n S S =<≤； ∴min 4()3n S s =≥，max ()2n S t =≤，于是min 42()233t s -=-=． 【点睛】本题考查等差中项、利用和项与通项关系求通项、数列单调性，考查综合分析求解能力，属中档题.21．对于实数x ，将满足“01y ≤<且x y -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号||||x 表示．对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：1||||a a =，11||||,0,0,0.n n n na a a a +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩其中1,2,3n =． （1）若a ={}n a ； （2）当14a >时，对任意的*n N ∈，都有n a a =，求符合要求的实数a 构成的集合A ； （3）若a 是有理数，设p a q=（p 是整数，q 是正整数，p q 、互质），问对于大于q 的任意正整数n ，是否都有0n a =成立，并证明你的结论．【答案】（1）1n a =；（2）13{1,}22--；（3）成立，证明见解析. 【解析】试题分析：（1）利用新定义，可求数列{}n a 的通项公式；（2）分类讨论，利用n a a =，即可求符合要求的实数a 构成的集合A ；（3）由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数，可设n n np a q =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且n p ，n q 互质），利用反证法可得结论．试题解析：（1）1||1a =，211||||||||||1||1a a ====，若1k a =，则11||||||1||1k ka a +===，所以1n a .（2）1||||a a a ==，所以114a <<，所以114a <<， ①当112a <<，即112a<<时，21111||||||||1a a a a a ===-=，所以210a a +-=，解a =得（1(,1)2a =，舍去）. ②当1132a <≤，即123a≤<时，21111||||||||2a a a a a ===-=，所以2210a a +-=，解1a ==（111(,]32a =∉，舍去）. ③当1143a <≤，即134a≤<时，21111||||||||3a a a a a ===-=，所以2310a a +-=，解得32a -+=（311(,]243a --=∉舍去）.综上. （2）成立.由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数， 可设n n n p a q =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且n np q 既约）. ①由111||||p p a q q ==，可得10p q ≤<； ②若0n p ≠，设n n q p αβ=+（0n p β≤<，α，β是非负整数）， 则n n n q p p βα=+，而由n n n p a q =得1n n nq a p =， 11||||||||n n n n n q a a p p β+===，故1n p β+=，1n n q p +=,可得10n n p p +≤<. 若0n p =则10n p +=，若123,,,,q a a a a 均不为0，则这q 正整数互不相同且都小于q ， 但小于q 的正整数共有1q -个，矛盾.故123,,,,q a a a a 中至少有一个为0，即存在(1)m m q ≤≤，使得0m a =.从而数列{}n a 中m a 以及它之后的项均为0，所以对不大于q 的自然数n ，都有0n a .【考点】（1）新定义；（2）数列递推式.。

上海市黄浦区重点名校2019-2020学年高一下学期期末质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若关于x 的不等式()22log 230ax x -+>的解集为R ，则a 的取值范围是（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的性质列不等式，根据一元二次不等式恒成立时，判别式和开口方向的要求列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 【详解】由()222log 23log 1ax x -+>得2231ax x -+>，即2220ax x -+>恒成立，由于0a =时，220x -+>在R 上不恒成立，故0480a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得12a >.故选：C. 【点睛】本小题主要考查对数函数的性质，考查一元二次不等式恒成立的条件，属于基础题.2．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( )A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(1,4)D ．(0,4)【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，把()24(3)f a f a ->转化为自变量的不等式求解.【详解】可知函数()f x 为减函数，由2(4)(3)f a f a ->，可得243a a -<，整理得2340a a --<，解得14a -<<，所以不等式的解集为(1,4)-． 故选B. 【点睛】本题考查函数不等式，通常根据函数的单调性转化求解，一般不代入解析式.3．若函数cos (0)12yx πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为2，则ω=（ ） A ．1 B ．2C ．πD ．2π【答案】C 【解析】 【分析】 根据2T πω=可求得结果.【详解】 由题意知：22T πω==，解得：ωπ=本题正确选项：C【点睛】本题考查余弦型函数最小正周期的求解问题，属于基础题.4．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，侧面对角线1AB ，1BC 上分别有一点E ，F ，且11B E C F =，则直线EF 与平面ABCD 所成的角的大小为（ ）A ．0°B ．60°C ．45°D ．30°【答案】A 【解析】 【分析】证明一条直线与一个平面平行，除了可以根据直线与平面平行的判定定理以外，通常还可以通过平面与平面平行进行转化，比如过E 作EG ∥AB 交BB 1于点G ，连接GF ，根据三角形相似比可知：平面EFG ∥平面ABCD ．而EF 在平面EFG 中，故可以证得：EF ∥平面ABCD ． 【详解】解：过E 作EG ∥AB 交BB 1于点G ，连接GF ，则1111B E B GB A B B=，∵B 1E ＝C 1F ，B 1A ＝C 1B ，∴1111C F B GC B B B=． ∴FG ∥B 1C 1∥BC ．又∵EG∩FG ＝G ，AB∩BC ＝B ，∴平面EFG ∥平面ABCD ．而EF 在平面EFG 中， ∴EF ∥平面ABCD ． 故答案为A【点睛】本题主要考查空间直线和平面平行的判定，根据面面平行的性质是解决本题的关键． 5．已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比2q ，则2019a =（ ）A ．20172B ．20182C ．20192D ．20202【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式11n n a a q -=可得出.【详解】解：由已知得201912018201820191122a a q -==⨯=，故选：B. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式的应用，是基础题.6．已知向量a ，b 满足(,1)a m m =+，(3,4)b =-，且a 在b 方向上的投影是－1，则实数m =（ ） A ．1 B ．－1C ．2D ．－2【答案】A 【解析】 【分析】由投影的定义计算． 【详解】由题意213a b b⋅==-+，解得1m =．故选：A ． 【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，掌握向量投影的定义是解题关键． 7．对于不同的直线l 、m 、n 及平面α，下列命题中错误的是（） A ．若l m ，m n ，则l n B ．若l α⊥，n α，则l n ⊥ C ．若l α，n α，则l nD ．若l m ⊥，m n ，则l n ⊥【答案】C 【解析】 【分析】由平面的基本性质及其推论得：对于选项C ，可能l ∥n 或l 与n 相交或l 与n 异面，即选项C 错误，得解． 【详解】由平行公理4可得选项A 正确，由线面垂直的性质可得选项B 正确， 由异面直线所成角的定义可得选项D 正确，对于选项C ，若l ∥α，n ∥α，则l ∥n 或l 与n 相交或l 与n 异面， 即选项C 错误， 故选C ． 【点睛】本题考查了平面中线线、线面的关系及性质定理与推论的应用，属简单题． 8．已知等差数列{}n a 的公差d ＞0，则下列四个命题： ①数列{}n a 是递增数列； ②数列{}n na 是递增数列； ③数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列； ④数列{}3n a nd +是递增数列； 其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n 项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论． 【详解】设等差数列()11n a a n d +-=，d ＞0∵对于①，a n+1﹣a n ＝d ＞0，∴数列{}n a 是递增数列成立，是真命题．对于②，数列{}n na ，得()()()()1111111112n n n a na n a n d n a n d a nd +⎡⎤⎡⎤++++--+-=+⎣⎦⎣-=⎦，1a R ∈，所以12a nd +不一定是正实数，即数列{}n na 不一定是递增数列，是假命题．对于③，数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，得()1111111(1)n n a n d a a a nd d a n n n n n n ++-+--=-=+++，1a R ∈，1(1)d a n n -+不一定是正实数，故是假命题．对于④，数列()()11313340n n n n n d nd a a a d a d ++++-+=-+=>，故数列{}3n a nd +是递增数列成立，是真命题． 故选：B ． 【点睛】本题考查用定义判断数列的单调性，考查学生的计算能力，正确运用递增数列的定义是关键，属于基础题．9．已知实数1212,,,x x y y 满足2222112212121,1,0x y x y x x y y +=+=+=，则112222x y x y +-++-的最大值为（ ）A ．8B ．C ．4D ．6【答案】D 【解析】 【分析】设点1122(,),(,)A x y B x y ，根据条件知点,A B 均在单位圆上，12120x x y y +=由向量数量积或斜率知识，可发现OA OB ⊥，对目标式子进行变形，发现其几何意义为两点到直线的距离之和有关. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，2222112212121,1,0x y x y x x y y +=+=+=，,A B ∴均在圆221x y +=上，且OA OB ⊥，设AB 的中点为C ，则点C 到原点的距离为2，∴点C 在圆2212x y +=上，设,,A B C 到直线20x y +-=的距离分别为12,,d d d ，112222x y x y +-++-12)d d ==+=，∴max 232222d =+=，∴112232222262x y x y +-++-≤⋅=.【点睛】利用数形结合思想，发现代数式的几何意义，即构造系数2，才能看出目标式子的几何意义为两点到直线距离之和的2倍. 10．已知等差数列的前项和为18，若，，则等于（ ）A ．9B ．21C ．27D ．36【答案】C 【解析】 【分析】 利用前项和的性质可求.【详解】 因为，而，所以，故，选C.【点睛】 一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则； （2）且；（3）且为等差数列；（4） 为等差数列.11．某校高一年级有男生540人，女生360人，用分层抽样的方法从高一年级的学生中随机抽取25名学生进行问卷调查，则应抽取的女生人数为 A ．5 B ．10 C ．4 D ．20【答案】B 【解析】 【分析】直接利用分层抽样按照比例抽取得到答案. 【详解】设应抽取的女生人数为x ，则25360540360x =+，解得10x =. 故答案选B 【点睛】本题考查了分层抽样，属于简单题.12．已知向量(3,4),(sin ,cos )a b αα==，且//a b ，则tan α=（ ） A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】A 【解析】 【分析】直接利用向量平行的充要条件列方程求解即可. 【详解】由//a b 可得到sin 34sin 3cos 0tan cos 4ααααα-=⇒==. 故选A 【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答. 二、填空题：本题共4小题13．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为_____． 【答案】1830 【解析】 【分析】由题意可得211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，…，504997a a -=，变形可得312a a +=，428a a +=，752a a +=，8624a a +=，972a a +=，121040a a +=，13152a a +=，161456a a +=，…，利用数列的结构特征，求出{}n a 的前60项和．【详解】解：1(1)n n a ++- 21n a n =-，∴211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，…，504997a a -=， ∴312a a +=，428a a +=，752a a +=，8624a a +=，9112a a +=，121040a a +=，13112a a +=，161456a a +=，…，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，{}n a 的前60项和为1514152(15816)18302⨯⨯+⨯+⨯=， 故答案为：1830． 【点睛】本题主要考查递推公式的应用，考查利用构造等差数列求数列的前n 项和，属于中档题． 14．若函数()()3xf x a x R =+∈的图象过点()2,3，则()0f =___________.【答案】5- 【解析】 【分析】由()()3xf x a x R =+∈过点()2,3，求得a ，代入()f x ，令0x =，即可得到本题答案【详解】因为()3x f x a =+的图象过点()2,3，所以233,6a a +==-，所以()36xf x =-，故()05f =-.故答案为：-5 【点睛】本题主要考查函数的解析式及利用解析式求值. 15．已知5sin cos 4αα-=-，则cos2=α___________.【答案】； 【解析】 【分析】把已知式平方可求得sin cos αα，从而得sin 2α，再由平方关系可求得cos2α． 【详解】∵5sin cos 4αα-=-， ∴225(sin cos )16αα-=，即2512sin cos 16αα-=， ∴92sin cos 16αα=-，即9sin 216α=-,∴cos 216α===±.故答案为16±． 【点睛】本题考查同角三角函数关系，考查正弦的二倍角公式，在用平方关系求值时要注意结果可能有正负，因此要判断是否只取一个值．16．过点(0,0)O 作直线与圆22((8)169x y -+-=相交，则在弦长为整数的所有直线中，等可能的任取一条直线，则弦长长度不超过14的概率为______________. 【答案】932【解析】 【分析】根据圆的性质可求得最长弦和最短弦的长度，从而得到所有弦长为整数的直线条数，从中找到长度不超过14的直线条数，根据古典概型求得结果.【详解】由题意可知，最长弦为圆的直径：221326r =⨯=()0,0O在圆内部且圆心到O 12=∴最短弦长为：210=∴弦长为整数的直线的条数有：()22510232⨯-+=条其中长度不超过14的条数有：()2141019⨯-+=条∴所求概率：932p =本题正确结果：932【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到过圆内一点的最长弦和最短弦的长度的求解；易错点是忽略圆的对称性，造成在求解弦长为整数的直线的条数时出现丢根的情况. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

一、填空题1．已知、，且，（其中为虚数单位），则____________． 1z 2C z ∈12i z =+234z i =-i 12z z -=【答案】##15i -+5i 1-【分析】利用复数的减法化简可得结果. 【详解】. 122i 34i 15i z z -=+-+=-+故答案为：.15i -+2．已知，,且、的夹角为，则______． 2= a 3b = a bπ3a b -=【分析】根据求出，根据即可求出.cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅ a b ⋅a ab - 【详解】因为，，且、的夹角为，2= a 3b = a bπ3∴，1cos ,2332a b a b a b ⋅=⋅⋅=⨯⨯=∴. a ==. 3．已知复数满足（其中为虚数单位），则=___________． z 13i2i z+=i z【分析】根据复数的除法法则及复数的摸公式即可求解.【详解】由，得， 13i2i z+=()()()i i 2i 213i 13i 3i 1222i 3i z ⨯-⨯-++-====-=4．在中，，则_______ABC 60,6,5B AB BC ∠=== AB BC ⋅=【答案】15-【分析】利用平面向量的数量积的运算即可得到答案. 【详解】因为，60,6,5B AB BC ∠=== 所以.()1cos 1806065152AB BC AB BC ⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故答案为：.15-5．正方体中，M 、N 分别是棱BC ，CC 1的中点，则直线MN 与D 1C 的位置关系1111ABCD A B C D -是______. 【答案】异面【分析】由异面直线的定义即可判断.【详解】正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱BC ，CC 1的中点， ∵平面，平面DCC 1D 1，， MN 11DCC D N =1D C ⊂1N D C ∉∴直线MN 与D 1C 的位置关系是异面．故答案为：异面．6．已知关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，则实数的取值为x 2220x kx k k ++-=k ______.【分析】根据实系数一元二次方程有虚根的性质，结合根与系数关系、复数与其共轭复数乘积的关系，可以求出实数的取值为k 【详解】因为关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，所以方程x 2220x kx k k ++-=的判别式小于零，即，2220x kx k k ++-=22(2)4()00k k k k --<⇒<关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，所以两根是互为共轭的虚x 2220x kx k k ++-=根，设为，而由题意可知：，由根与系数的关系可得：，而，,z z 1z z ==2z z k k ⋅=-1z z z ⋅==因此有210z z k k k k k ⋅=-=⇒=<∴=【点睛】本题考查了实系数一元二次方程有虚根的条件，考查了实系数一元二次方程有虚根的性质，考查了互为共轭的两个复数乘积的性质，考查了数学运算能力.7．如图，在长方体中，，，则直线与平面所成角1111ABCD A B C D -4AB BC ==12AA =1BC 11BB D D 的正弦值为__________.【分析】过作，垂足为，则平面，则即为所求角，从而可得1C 111C H B D ⊥H 1C H⊥11BB D D 1C BH ∠结果.【详解】依题意，画出图形，如图，过作，垂足为， 1C 111C H B D ⊥H 可知点H 为中点，4,AB BC ==由平面，1BB ⊥11A C 可得，又 11C H BB ⊥1111D B BB B ⋂=所以平面， 1C H ⊥11BB D D 则即为所求角， 1C BH ∠因为，， 4AB BC ==12AA=所以，111sin CH C BH BC ∠===8．如图，在直角三角形ABC 中，斜边AB ＝4，，以斜边AB 为一边向外作矩形,63ABC ππ∠⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ABMN ，且BM ＝2（其中点M 、N 与C 在直线AB 两侧），则的取值范围是________．CM CN ⋅【答案】4,12]【分析】设，以为原点直线、分别为轴、轴，建立平面直角坐标,63ABC ππθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭C CB CA x y 系，把表示为关于的三角函数可解决此题．CM CN ⋅θ【详解】解：设，，以为原点直线、分别为轴、轴，建立平面直角(6ABC πθ∠=∈3πC CB CA x y 坐标系，如图所示：则，，，(4cos 2sin ,2cos )M θθθ+(2sin ,4sin 2cos )N θθθ+(0,0)C∴()()4cos 2sin 2sin 2cos 4sin 2cos CM CN θθθθθθ⋅=+⋅++． 228sin cos 4sin 8sin cos 4cos 8sin 24θθθθθθθ=+++=+，，，，， (6πθ∈ )3π2(3πθ∴∈2)3πsin 2θ∴∈⎤⎥⎦． 8sin 24θ∴+∈(4,12⎤⎦故答案为：．(4,12⎤+⎦【点睛】本题考查平面向量的数量积的取值范围问题，对于较为复杂的一些问题，建立坐标系，利用坐标法求平面向量的数量积的取值范围是行之有效的方法．二、单选题9．已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，ABCD E F AB BC AB a =AD b =则等于（ ）EFA ．B ．C ．D ．()12a b + ()12a b - ()12b a - 12a b + 【答案】A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案； 【详解】连结，则为的中位线，AC AC ABC ，∴111222EF AC a b ==+故选：A10．设复数z =a +b i(a ，b ∈R )，若与互为共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点位于i a -2i b +（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】根据共轭复数的概念求出即可判断.,a b 【详解】因为与互为共轭复数，所以， i a -2i b +2,1a b ==则复数z 在复平面内对应的点位于第一象限. ()2,1故选：A.11．以下数都在复数范围内（1）如果，则，； i 12i a b +=-1a =2b =-（2）1z +（3）；()()221212z z zz ⋅=⋅（4）若，则. ()()22120z z z z -+-=12z z z ==其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】利用复数的运算性质逐项分析即可 【详解】（1）错误,因为可以是复数,a b （2）错误,设,其中.111222i,i z x y z x y =+=+1212,,,R x x y y ∈()()()()22221212121212i .z z x x y y x x y y +=+++=+++()()()()()()()222212121212121212i 2i z z x x y y x x y y x x y y ⎡⎤+=+++=+-++++⎣⎦显然,从而()221212z z z z +≠+12z z +≠（3）正确,()()()2222221212121212z z z z z z z z z z ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅（4）错误,,则与互为相反数,复数范围内允许为负数,如()()22120z z z z -+-=()21z z -()22z z - 12i,0,1i z z z ===+故选：B12．如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂 足为点H ．则以下命题中，错误的命题是A ．点H 是△A 1BD 的垂心B ．AH 垂直平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成角为45° 【答案】D【详解】因为三棱锥A －A 1BD 是正三棱锥，故顶点A 在底面的射影是底面的中心，A 正确；平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，而AH 垂直于平面A 1BD ，所以AH 垂直于平面CB 1D 1，B 正确；根据对称性知C 正确，故选D.三、解答题13．已知.(1,0),(2,1)a b ==(1)若,且、、三点共线,求的值. 2,AB a b BC a mb =-=+A B C m (2)当实数为何值时,与垂直? k ka b - 2a b +【答案】(1)12-(2) 125【分析】（1）根据题意，由、、三点共线，可得与共线，列出方程即可得到的值；A B C ABBC m （2）根据题意，由平面向量垂直的坐标运算，代入公式，即可得到结果.【详解】（1）由题意可得，， ()()0,1,12,AB BC m m =-=+且、、三点共线，则可得，A B C AB BC λ=即，解得()0121m mλλ⎧=+⎨-=⎩12m =-（2）由题意可得，， ()()2,1,25,2ka b k a b -=--+=因为与垂直，则可得ka b - 2a b +()()52210k -+⨯-=解得 125k =14．已知复数． ()121i,z m m m R =-++∈(1)求||的最小值；1z (2)若复数为纯虚数，复数满足，，求． 1z 2z 24=z12||5z z +=12z z 【答案】(2)3i 4±【分析】（1）由复数模的公式，求得1z ==质，即可求解；（2）根据复数的分类，列出方程组求得，设，结合题意，得到13i z =2z a bi =+()123iz z a b +=++，列出方程组，求得的值，即可求解.,a b 【详解】（1）解：由复数，()121i,z m m m R =-++∈可得1z==≥=故当时，的最小值为 12m =1z （2）解：因复数是纯虚数，所以，解得，故()121i z m m =-++2010m m -=⎧⎨+≠⎩2m =13i z =设，则，2i,,)(z a b a b R =+∈()123i z z a b +=++由题意得，解之得或，所以或， ()222216325a b a b ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩40a b =⎧⎨=⎩40a b =-⎧⎨=⎩24z =24z =-所以. 123i 4z z =±15．如图，已知在长方体中，，，点是的中点．1111ABCD A B C D -3DA DC ==15DD =E 1D C(1)求证：平面；1AD ∥EBD (2)求异面直线与所成角的余弦值． 1AD DE 【答案】(1)证明见解析； (2). 2534【分析】(1)如图，根据中位线的性质可得，由线面平行的判定定理即可证明； 1//OE AD (2)由(1)可知为异面直线与所成角的平面角，利用勾股定理分别求出DEO ∠1AD DE DO OE DE 、、的值，结合余弦定理计算即可.【详解】（1）连接AC ，交BD 于点O ，则O 为AC 的中点，又因为E 为的中点，连接，则， 1CD OE 1//OE AD ∵平面EBD ，平面EBD ，1AD ⊄OE ⊂平面EBD ；∴1AD ∥（2）由(1)知，，1//OE AD 所以为异面直线与所成角的平面角， DEO ∠1AD DE 在中，DEO 11122DO DB OE AD ====， DE ==由余弦定理，得，22225cos 234DE OE OD DEO DE OE +-∠===⋅故异面直线与所成角的余弦值为. 1AD DE 2534。

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设x ，y 满足约束条件22010240x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =-的最大值是（ ）A ．3B ．23C ．1D ．122．已知直线1:210l ax y +-=，直线2:820l x ay a ++-=，若12l l //，则直线1l 与2l 的距离为（ ） A ．5 B ．25C ．455D ．53．已知l 为直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．若l α，l β∥，则αβ∥ B ．若l α⊥，l β⊥，则αβ⊥ C ．若l α⊥，l β∥，则αβ⊥D ．若l α⊥，βα⊥，则l β∥4．一支由学生组成的校乐团有男同学48人，女同学36人，若用分层抽样的方法从该乐团的全体同学中抽取21人参加某项活动，则抽取到的男同学人数为（ ） A ．10 B ．11C ．12D ．135．两条直线1:1x y l a b -=和2:1x yl b a-=，22a b ≠，在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．6．圆()2224x y -+=的圆心坐标和半径分别为（ ） A ．()0,2,2B ．()2,0,2C ．(2,04),-D ．()2,0,47．同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为( ) A ．14B ．16C ．19D ．1128．为了得到函数3sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需把函数3sin y x =的图象上所有点的（ ） A ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移6π.B ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移12π.C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移6π. D ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向右平移12π.9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，若472a a +=，32q =-，则110a a +=（ ） A ．-7B ．-5C ．7D ．510．某小吃店的日盈利y （单位：百元）与当天平均气温x （单位：℃）之间有如下数据：x /℃2- 1-1 2 y /百元5 4 2 21对上述数据进行分析发现，y 与x 之间具有线性相关关系，则线性回归方程为（ ）参考公式：121,()ni ii nii x y nxyb a y bx x x ==-==--∑∑A ． 2.6y x =-+B ． 2.8y x =-+C ．2 2.6y x =-+D ．2 2.8y x =-+11．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ．B ．C ．D ．12．为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩进行统计，作出的茎叶图如图所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是( )A ．中位数为83B ．众数为85C ．平均数为85D ．方差为19二、填空题：本题共4小题13．在ABC ∆中，若5,,tan 24b B A π=∠==，则a =____；14．已知向量(,2)a m =，(1,)b n =-，(0)n >且•0a b =，点(,)P m n 在圆225x y +=上，则2a b +等于 ．15．已知0a >，0b >，111a b+=，则4a b +的最小值为________． 16．已知数列{}n a 是等比数列，若24a =，512a =-，则公比q =________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．计算：arccos 21＝_______． 2．若把−570°写成2k π＋α（k ∈Z ，0≤α＜2π）的形式，则α＝_____．3．如图，已知扇形OAB 和OA 1B 1，A 1为OA 的中点，若扇形OA 1B 1的面积为1，则扇形OAB 的面积为____________．4．已知−2π＜α＜2π，若tan α＝−1，则α＝__________． 5．若cos （4π−θ）＝m ，则cos （43π＋θ）＝_______（用m 表示）． 6．若函数f （x ）＝a x （a ＞0，且a ≠1）的反函数的图象过点（2，−1），则a ＝______．7．方程2＝4的解为_________． 8．函数f （x ）＝tanx ＋cotx 的最小正周期为_______．9．某货船在O 处看灯塔M 在北偏东30°方向，它以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分钟到达B 处，看到灯塔M 在北偏东75°方向，此时货船到灯塔M 的距离为________海里．10．函数f （x ）＝x ＋21x -的最大值为_____，最小值为________．11．若三边长分别为3，5，a 的三角形是锐角三角形，则a 的取值范围为_________．12．已知数列{a n }（n ∈N*），其前n 项和为S n ，若a n ＝cos 52πn ，则在S 1，S 2，…，S 100中，满足S m ＝0（1≤m ≤100，m ∈N*）的m 的个数为___________．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．已知函数f （x ）＝x k（k 为常数，k ∈Q ），在下列函数图象中，不是函数y ＝f （x ）的图象是（ ） A 、B 、C 、D 、 14．“b ＜1”是“函数f （x ）＝x 2−2bx ，x ∈[1，＋∞）有反函数”的（ ）A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、既非充分又非必要条件15．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 为单位圆上一点，以x 轴为始边，OA 为终边的角为θ（θ≠k π＋2π，k ∈Z ），若将OA 绕O 点顺时针旋转23π至OB ，则点B 的坐标为（ ）A 、（−cos θ，sin θ）B 、（cos θ，−sin θ）C 、（−sin θ，cos θ）D 、（sin θ，−cos θ）16．若关于x 的方程|f （|x|）|＝a ，当a ＞0时总有4个解，则f （x ）可以是（ ）A 、x 2−1B 、11-x C 、2x −2D 、log 2x −2三、解答题（共5小题，满分48分）17．（1）求函数y ＝cos （x −12π）的单调递增区间； （2）求函数y ＝2sin （2x ＋6π）．x ∈（−π，0]的单调递减区间．18．已知函数f （x ）＝sin （6π−2x ）−2sin2x ＋1，若f （x ）＝Asin （2x ＋φ），且A ≥0，0≤φ＜2π，求满足条件的A ，φ．19．已知数列{a n }（n ∈N*），a 2＝−9．（1）若数列{a n }是等比数列，且a 5＝−31，求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{a n }是等差数列，且a 6＝−1，数列{b n }满足b n ＝2，当b 1b 2…b m ＝1（m ∈N*）时，求m 的值．20．已知函数f （x ）＝log 2（x −m ），其中m ∈R ．（1）若函数f （x ）在区间（2，3）内有一个零点，求m 的取值范围；（2）若函数f （x ）在区间[1，t]（t ＞1）上的最大值与最小值之差为2，且f （t ）＞0，求m 的取值范围．21．定理：若函数y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝a 对称，且方程f （x ）＝0有n 个根，则这n 个根之和为na （n ∈N*）．利用上述定理，求解下列问题：（1）已知函数g （x ）＝sin2x ＋1，x ∈[−25π，4π]，设函数y ＝g （x ）的图象关于直线x ＝a 对称，求a 的值及方程g （x ）＝0的所有根之和；（2）若关于x 的方程2x 4＋2x ＋2x -−cosx −m 2＝0在实数集上有唯一的解，求m 的值．。