第01-02讲 三角形的五心

什么是三角形的五心（一）引言概述：三角形是初等数学中的基本图形之一，它有许多特殊的性质和定理。

而其中一个重要的概念就是三角形的五心。

什么是三角形的五心呢？在本文中，我们将详细介绍三角形的五心以及它们的性质和作用。

正文内容：一、外心（circumcenter）外心是指可以同时与三角形的三条边相切的圆心。

外心具有以下特点：1. 外心与三角形的顶点所在直线的交点是圆心。

2. 外心到三角形的三个顶点的连线距离相等。

二、内心（incenter）内心是指可以同时与三角形的三条边相切的内切圆的圆心。

内心具有以下特点：1. 内心到三角形的三条边的距离相等。

2. 连接内心和三角形三个顶点的线段互相垂直。

三、重心（centroid）重心是指三角形三条中线的交点，也就是三边中点连线的交点。

重心具有以下特点：1. 重心到三角形的三个顶点的距离成比例为2:1。

2. 连接重心和三角形三个顶点的线段互相垂直且相等。

四、垂心（orthocenter）垂心是指三角形三条高线的交点，也就是三边高线的交点。

垂心具有以下特点：1. 垂心与三角形的顶点连线的垂直距离相等。

2. 连接垂心和三角形三个顶点的线段互相垂直。

五、外心（excenter）外心是指可以同时与三角形的三条边相切的切圆圆心。

外心具有以下特点：1. 外心到三角形的三个外切圆切点的连线相互垂直。

2. 连接外心和三角形三个顶点的线段互相垂直。

总结：三角形的五心包括外心、内心、重心、垂心和外心，它们分别与三角形的特定元素（例如边、内切圆、高线、外切圆等）相关联，并具有独特的性质和定理。

研究三角形的五心可以帮助我们深入理解三角形的组成和性质，进而应用到解决各种几何问题中。

．O A BDC2016届高三数学讲义————三角形的“五心”————（Ⅰ）“五心”的概念及性质一、外心（1）定义：三角形三边垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)． （2）外心的位置锐角三角形的外心在三角形内；锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点；直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． （3）性质垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等．垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等．外心的性质：到三角形三个顶点距离相等．外心的性质：到三角形三个顶点距离相等． 内心到三顶点距离R(三角形外接圆半径)R= 2sin c C(某边除以它对角正弦的2倍) 证明过程如下:连接AO 并延长交圆O 于D,则AD 为圆直径,AD=2R ．又90ABD Ð=°(直径所对的圆周角是90°),AB=c, ADB CÐ=Ð(同弧AB 所对的圆周角相等),∴AD= sin AB ADB Ð,即2R sin c C =, R=2sin cC ． 延伸①:正弦定理由于R=2sin cC ,同理易证2sin 2sin 2sin cbaR C B A===,变形得到变形得到正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C===(每边除以它所对角的正弦为2R) 延伸②:余弦定理2222cos a b c bc A =+- （222cos 2b c a A bc+-=）ABC OA BCD证明过程如下：作CD ^AB 交其于D ，∴cos cos AD AC A b A ==，BD= cos c b A -，sin CD b A =，又222BC BD CD =+，即222(cos )(sin )a c b A b A =-+=22222222cos cos sin 2cos c bc A b A b A b c bc A -++=+-，其他边角也同求．二、内心（1）定义：三角形三条内角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心．也是三角形内切圆的圆心． （2）性质角平分线的性质：到角两边距离相等．角平分线的性质：到角两边距离相等．内心的性质：到三角形三边距离相等．内心的性质：到三角形三边距离相等．延伸①：内角平分线定理如图，AD 为△ABC 中BAC Ð的平分线，则有的平分线，则有(=)A B B D A C D C =上左下左上右下右证明过程如下：作BE//AC 交其延长线于E,则E DAC Ð=Ð． ∵BAD DAC Ð=Ð,∴E BAD Ð=Ð,AB BE ==c ． 又∵BE//AC,易证△ADC ∽ △EDB, ∴BD=DCAB EB AC AC =,得证． 延伸②：外角平分线定理如图，AD 为△ABC 的外角平分线，交BC 延长线于D ，则有()AB BDAC DC=同上IK H EF D ABCMABDCEcb cAB CDEFcb cA FBDCE证明过程如下：作CE//AB 交AD 于E,则AEC EAF Ð=Ð．∵EAF EAC Ð=Ð,∴AEC EAC Ð=Ð,AC AE =． 又∵CE//AB,易证△ADB ∽ △EDC, ∴BD =DCAB AB ACCE=,得证．得证．延伸③：三角形内角平分线长公式如图，AD 为△ABC 中BAC Ð的平分线，则有的平分线，则有2bccos 2cos2211b+c +b c A AAD =（或）证明过程如下：作BE//AC 交其延长线于E,BF ^AE 交其于F ．由前文的内角平分线定理可知，△ADC ∽ △EDB,∴bcAD AC DE BE ==． 又+DE=AE AD ,即bb+cAD AE =．而△ABE 为等腰三角形, BF ^AE, ∴22sin =2csin 2AAE AF AB BAF ==Ð,∴2bccos 2cos 2211b+c +b cA AAD =（或）．延伸④：内心到三边距离r(三角形内切圆半径)设三角形面积为S ，则有，则有2r=a+b+cS（即面积的（即面积的22倍除以周长） 证明过程如下：连接OA,OB,OC ． ∵相切，∴OF AB ^，即S △AOB = 11cr 22AB OF ·=，同理，同理S △AOC = 1br 2，S △BOC = 1ar 2．又∵S=S △AOB + S △AOC + S △BOC ,即S= 1(a+b+c)r 2,∴2r=a+b+cS．．O A F BDCE（1）定义：三角形三条中线的交点．三角形三条中线的交点． （2）性质中线性质:将三角形面积等分成两部分．将三角形面积等分成两部分． 重心性质:分三角形的中线两段长比例为2:1(长:短) 如图:AD,BE,CF 为△ABC 三条中线，G 为其重心，则有:::2:1A G G CB G G EC G G F === 证明过程如下：作BH//FC 交AD 延长线于H,易证△GDC ≌ △HDB ，∴,2GD DH GH GD == 又∵BH//FG ，F 为AB 中点，∴G 也为AH 中点，即2AG GH GD ==， ∴:2:1AG GC =，其他同证．，其他同证． 延伸:三角形中线长公式如图,AD 为△ABC 的中线,则有则有221b +c +2bccos 2AD A =证明过程如下:作BE//AC 交AD 延长线于E,易证△ADC ≌ △EDB ， ∴1,=2AD DE AD AE=即，∵BE//AC ，∴ABF A Ð=Ð．作AF ^EB 交其交其 延长线于F ．又AB=c ，∴BF=AB cos ABF Ð=cos c A ，AF=sin c A ， 故EF=cos c A b +．∴12AD AE ==222211(cos )(sin )b +c +2bccos 22c A b c A A ++=四、垂心（1）定义：三角形三条高的交点．：三角形三条高的交点． （2）性质斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂任何三个为顶点的三角形的垂 心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．AFBEDCBCD EFGAG FE CBD H（1）定义：三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线的交点(旁切圆的圆心)．（2）性质每个三角形都有三个旁切圆．每个三角形都有三个旁切圆．三角形的四心（内心、重心、垂心、外心）只有 一个，但旁心有三个，旁心到三角形三边所在直线距离相等． （Ⅱ）三角形“四心”与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小．在高中数学“平面向量”（必修4第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题．我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题．在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质．既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感．的数学美感．一、“重心”的向量风采【命题1】 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC△的重心．如图⑴．的重心．如图⑴．A'GCAB【命题2】 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC l =++，(0)l Î+¥，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心．的重心． 【解析】【解析】 由题意()AP AB AC l =+ ，当(0)l Î+¥，时，由于()AB AC l +表示BC 边ABCDEFI a图⑴图⑴图⑵图⑵MPCBAO二、“垂心”的向量风采【命题3】 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ×=×=×，则P 是ABC △的垂心．的垂心．【解析】【解析】由PA PB PB PC ×=× ，得()0PB PA PC ×-= ，即0PB CA ×=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶．的垂心．如图⑶．PABC【命题4】 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C l æöç÷=++ç÷èø ，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．的垂心．【解析】【解析】 由题意cos cos AB AC AP AB B AC C l æöç÷=+ç÷èø，由于0cos cos AB AC BC AB B AC C æöç÷+×=ç÷èø， 即0cos cos AB BC AC BC BC CB AB B AC C××+=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷．的垂心，如图⑷．图⑶图⑶ 图⑷图⑷ H FEM ABCO P三、“内心”的向量风采 【命题5】 已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC++=，则I 是ABC △的内心．的内心．【解析】 ∵IB IA AB =+ ，IC IA AC =+ ，则由题意得()0a b c IA bAB cAC++++=，∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB ACæöç÷+=×+×=××+ç÷èø， ∴bc AB AC AI a b c AB ACæöç÷=+ç÷++èø．∵AB AB与ACAC分别为AB 和AC 方向上的单位向量，量，∴AI与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC Ð． 同理可证：BI 平分ABC Ð，CI 平分ACB Ð．从而I 是ABC △的内心，如图⑸．的内心，如图⑸．【命题6】 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB ACOP OA AB ACl æö=++ç÷èø，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心．的内心． 【解析】【解析】 由题意得AB AC AP AB AC l æöç÷=+ç÷èø，∴当(0)l Î+¥，时，AP 表示BAC Ð的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图⑹．的内心，如图⑹．图⑸图⑸图⑹图⑹ABCOPbacIA CBOCAB四、“外心”的向量风采【命题7】 已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC == ，则O 是ABC △的外心．外心．【解析】 若222OA OB OC == ，则222O A O B O C == ，∴OA OB OC == ，则O是ABC △的外心，如图⑺．的外心，如图⑺．【命题7】 已知O 是平面上的一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC Cl æö+ç÷=++ç÷èø，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心．的外心．【解析】 由于2OB OC + 过BC 的中点，当(0)l Î+¥，时，cos cos AB AC AB B AC Cl æöç÷+ç÷èø表示垂直于BC的向量（注意：理由见二、命题4解释．），所以P 在BC 垂直平分线上，动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心，如图⑻．的外心，如图⑻．图⑺图⑺M OB CAP图⑻图⑻。

初中数学知识点：三角形五心定理三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

三角形的五心定理三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

5. 以重心为起点，以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

三角形的外心、内心、重心、垂心、旁心(五心定理)
4
三
角
形的
垂心
三角形的三条高交于一点,这点称
为三角形的垂心 1，三角形任一顶点到垂心的距离，等于外
心到对边的距离的2倍；锐角三角形的垂
心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍；
2，锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的
垂心在三角形外 ；
5
三角形的旁心
三角形的一条内角平分线与另两
个外角平分线交
于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)
1， 每个三角形都有三个旁心；
2， 旁心到三边的距离相等
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。

A
B
C
D
E F
I a
A B
C D
E
F O。

三角形的五心口诀（二）引言概述：三角形是几何学中一个重要的图形，其五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心和旁心。

在本文中，我们将继续探讨三角形的五心及其相关性质。

通过深入研究五心的特点和相互关系，我们能够更好地理解三角形的性质和几何关系。

正文内容：一、重心1. 重心是三角形三条中线的交点，称为三角形的质心。

2. 重心将三角形的每条中线与其余两条中线的中点连线分成2：1的比例。

3. 重心是三角形的平衡点，如果在重心处施加一个力，三角形将保持平衡。

4. 重心是三角形的垂心和外心连线的中点。

二、外心1. 外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。

2. 外心是三角形内接圆的圆心，其到三角形三个顶点的距离相等。

3. 外心是三角形两条边的延长线的交点。

4. 外心到三角形三个顶点的距离小于到三角形内心的距离。

三、内心1. 内心是三角形三条边的角平分线的交点。

2. 内心是三角形三个内切圆的圆心。

3. 内心到三角形三条边的距离相等，且到三角形三个顶点的距离之和最小。

4. 内心到三角形的每条边的距离即为三角形的内角平分线的长度。

四、垂心1. 垂心是三角形三条边的高的交点。

2. 垂心是三角形三个垂直平分线的交点，也是三角形三段高线的交点。

3. 垂心到三角形三个顶点的距离相等。

4. 垂心是三角形的外心和重心连线的中点。

五、旁心1. 旁心是三角形外角平分线的交点，一个三角形有三个旁心。

2. 旁心是三角形的角的外接圆的圆心。

3. 旁心到三角形的两个顶点的测地距离相等。

4. 旁心是三角形的重心和垂心连线的中点。

总结：三角形的五心（重心、外心、内心、垂心和旁心）是三角形的重要特点和几何性质。

通过研究五心的位置、性质和相互关系，我们可以更好地理解和分析三角形的结构和性质。

五心可以帮助我们解决三角形相关的问题，并为进一步的几何研究奠定基础。

三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

之二胡藕藤创作一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

什么是三角形的五心（二）引言概述：三角形是几何学中最基本、最常见的图形之一，它具有许多独特的性质和特征。

其中，三角形的五心是一个重要的概念，它们分别是内心、外心、垂心、重心和旁心。

在上一篇文章中，我们已经介绍了其中三个三角形五心的定义和性质。

在本文中，我们将继续探讨剩下的两个三角形五心，即重心和旁心，并分别从他们的定义、性质和应用进行阐述。

正文：一、重心1. 定义：重心是一个三角形五心的特殊点，它是三角形三条中线的交点。

2. 性质：a. 重心与各个顶点的连线长度相等。

b. 重心到三角形三边的距离满足一定的比例关系。

c. 重心是三角形平衡的中心，质点在三角形上的重心处，经过的路径最短。

d. 重心是三角形内切圆和外接圆的共同中心。

二、旁心1. 定义：旁心是一个三角形五心的特殊点，它是三角形的外接圆和三个外切圆的圆心。

2. 性质：a. 旁心到相邻两边的距离相等。

b. 旁心到第三边的距离满足一定的比例关系。

c. 旁心是三角形内角平分线的交点。

d. 旁心是三角形的垂心、内心和外心连线的垂直平分线。

三、应用1. 重心在建筑设计中的应用：重心在建筑结构设计中起到重要的平衡作用，设计师需要合理考虑重心的位置。

2. 旁心在三角测量中的应用：旁心可以通过测量三角形两边与倾斜角来确定旁心的位置，从而实现精确测量。

结论：综上所述，重心和旁心作为三角形的两个重要五心，在几何学中具有特殊的定义和性质。

它们的研究对于我们深入理解和应用三角形的性质和特征具有重要意义。

在实际应用中，重心和旁心也有着广泛的应用领域，如建筑设计和三角测量等。

通过深入研究和了解重心和旁心的性质，我们可以更好地应用它们，解决实际问题。

三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

三角形五心及其性质（一）引言概述：三角形是几何学中研究最为广泛的基本图形之一，而三角形的五心则是三角形内外有关角点的特殊点。

在本文中，我们将重点介绍三角形的五心及其性质。

通过深入研究五心的定义、位置以及与三角形关键元素的关系，我们可以进一步了解三角形的几何特性和运算规律。

正文：Ⅰ. 内心及其性质1. 定义：内心是指三角形内部到三边距离之和最短的点，通常用I表示。

2. 位置：内心位于角平分线的交点，即三角形三条角的平分线的交点。

3. 性质：a. 内心到三角形各顶点的距离相等。

b. 内心到三角形三边的距离之和等于内心到三角形周长的距离。

Ⅱ. 重心及其性质1. 定义：重心是指三角形三个顶点和重心的连线交于一点的点，通常用G表示。

2. 位置：重心位于三角形三条中线的交点，即三角形边中点的连线交点。

3. 性质：a. 重心到三角形各顶点的距离相等。

b. 重心离每条边的距离比例为2:1。

c. 重心将三角形的每条中线按照比例2:1的分点。

Ⅲ. 外心及其性质1. 定义：外心是指三角形三个顶点围成的圆的圆心，通常用O表示。

2. 位置：外心位于三角形外接圆的圆心。

3. 性质：a. 外心到三个顶点的距离相等。

b. 外心到三边的距离相等。

Ⅳ. 垂心及其性质1. 定义：垂心是指三角形三条高线的交点，通常用H表示。

2. 位置：垂心位于三角形各顶点到对边垂线的交点。

3. 性质：a. 垂心到三个顶点的距离相等。

b. 垂心到三边的距离之和最短。

Ⅴ. 内心及其性质1. 定义：外心是指三角形三个顶点相应的三个三角形外切圆的圆心，通常用Ia, Ib, Ic表示。

2. 位置：内切圆位于角均分线与三角形内边的交点。

3. 性质：a. 内切圆与三条角平分线有公共点。

b. 三角形的内切圆切三边于三个不同点，凸多边形内一定有且不超过三个内切圆。

总结：通过对三角形五心的概念、位置和性质的介绍，我们可以进一步了解三角形的几何特性和运算规律。

内心、重心、外心、垂心和垂心是三角形内外有关角点的特殊点，它们在三角形的定位、对称性质以及角平分线等方面起到了重要的作用。

三角形五心及定律三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，内心定理，垂心定理，旁心定理的总称一、重心定理1.定义：三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

2.重心的性质：（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。

EC、FB交于G。

求证：EG=1/2CG。

证明：过E作EH∥BF交AC于H。

∵AE=BE，EH//BF；∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)又∵AF=CF，∴HF=1/2CF，∴HF:CF=1/2；∵EH∥BF∴EG:CG=HF:CF=1/2，∴EG=1/2CG（2）重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

证明方法：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。

根据重心性质知：OA'=1/3AA'OB'=1/3BB'OC'=1/3CC'过O，A分别作a边上高OH'，AH可知OH'=1/3AH则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC同理可证S△AOC=1/3S△ABCS△AOB=1/3S△ABC所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB（3）重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

（4）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。

（5.）以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。

二、外心定理1.定义：三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

（三角形有且只有一个外接圆。

）2.外心的性质：（1）三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。

三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，心坎和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，心坎定理，旁心定理的总称.之袁州冬雪创作一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点.该点叫做三角形的重心.三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单.（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量平均的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的间隔与重心到对边中点的间隔之比为2∶1.2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的间隔与三条边的长成反比.3、重心到三角形3个顶点间隔的平方和最小.4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3.二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心.外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心.2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）.3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合.4、计算外心的坐标应先计算下列姑且变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向别的两个顶点向量的点乘.c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3.重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c ).5、外心到三顶点的间隔相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心.垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆.2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2.（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点间隔为此三角形外心到此顶点对边间隔的2倍.4、垂心分每条高线的两部分乘积相等.定理证明已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，毗连CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB证明：毗连DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB 因此，垂心定理成立！四、三角形心坎定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的心坎.心坎的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点.该点即为三角形的心坎.2、直角三角形的心坎到边的间隔等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.3、P为ΔABC所在平面上任意一点，点I是ΔABC心坎的充要条件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).4、O为三角形的心坎，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC五、三角形旁心定理三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他双方的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心.旁心的性质：1、三角形一内角平分线和别的两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心.2、每一个三角形都有三个旁心.3、旁心到三边的间隔相等.如图，点M就是△ABC的一个旁心.三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点.一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外.附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，心坎，外心，垂心，四心合一.有关三角形五心的诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点定名为“重心”，重心性质要了然，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，矫捷运用掌握好．外心三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为外心，用它可作外接圆．心坎外心莫记混，内切外接是关键．垂心三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“心坎”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“心坎”，如此定义理应然．。

三角形的五心1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)． 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =Sp ． 特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )． 3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2．ABCD EFGIK HEFABCMA类例题例1 证明重心、内心、外心定理。

例2证明垂心定理情景再现1．设G为△ABC的重心，M、N分别为AB、CA的中点，求证：四边形GMAN 和△GBC的面积相等．2．三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍．CB类例题例3 过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N.作点P关于MN的对称点P'.试证：P'点在△ABC外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)例4 AD，BE，CF是△ABC的三条中线，P是任意一点.证明：在△PAD，△PBE，△PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克)C类例题例6 H为△ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心.一个以H为圆心的⊙H交直线EF，FD，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2.求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. (1989，加拿大数学奥林匹克训练题)例7 已知⊙O内接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F且与⊙O内切.试证：EF中点P是△ABC之内心.(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)情景再现6．△ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是△ACD的重心.证明OE丄CD.(加拿大数学奥林匹克训练题)7．△ABC中∠C=30°，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.求证：OI丄DE，OI=DE. (1988，中国数学奥林匹克集训题)习题1．在△ABC 中，∠A 是钝角，H 是垂心，且AH =BC ，则cos ∠BHC =( )A ．－12 2B ．12 2C ．33D ．122．如果一个三角形的面积与周长都被一条直线平分，则此直线一定通过三角形的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心(全国初中联赛)3．(安徽省初中数学竞赛)若0°<α<90°，那么，以sin α，cos α，tan αcot α为三边的三角形有内切圆、外接圆的半径之和是( )A ．sin α+cos α2B ．tan α+cot α2C ．2sin αcos αD ．1sin αcos α 4．ΔABC 中，∠A =45︒，BC =a ，高BE 、CF 交于点H ，则AH =( )A ．12aB ．122a C ．a D ．2a 5．下面三个命题中：⑴ 设H 为ΔABC 的高AD 上一点，∠BHC +∠BAC =180︒，则点H 是ΔABC 的垂心； ⑵ 设G 为ΔABC 的中线AD 上一点，且S ΔAGB =S ΔBGC ，则点G 是ΔABC 的重心； ⑶ 设E 是ΔABC 的外角∠BAK 的角平分线与ΔABC 的外接圆⊙O 的交点，ED 是⊙O 的直径，I 在线段AD 上，且DI =DB ，则I 是ΔABC 的内心．正确命题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．设ΔABC 的∠A =60︒，求证：ΔABC 的外心O 、内心I 、垂心H 及点B 、C 五点在同一个圆上．7．已知P 是□ABCD 内的一点，O 为AC 与BD 的交点，M 、N 分别为PB 、PC 中点，Q 为AN 与DM 的交点．求证： ⑴ P 、Q 、O 三点在一条直线上； ⑵ PQ =2OQ ．8.I 为△ABC 之内心，射线AI ，BI ，CI 交△ABC 外接圆于A ′，B ′，C ′.则AA ′+BB ′+CC ′＞△ABC 周长.(澳大利亚数学奥林匹克)9.△T ′的三边分别等于△T 的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(捷克数学奥林匹克)10.I 为△ABC 的内心.取△IBC ，△ICA ，△IAB 的外心O 1，O 2，O 3.求证：△O 1O 2O 3与△ABC 有公共的外心.(美国数学奥林匹克)11.AD 为△ABC 内角平分线.取△ABC ，△ABD ，△ADC 的外心O ，O 1，O 2.则△OO 1O 2是等腰三角形.12.△ABC 中∠C ＜90°，从AB 上M 点作CA ，CB 的垂线MP ，MQ .H 是△CPQ 的垂心.当M 是AB 上动点时，求H 的轨迹.(IMO -7)rRI O C BA A BCEFHABCDOPNM Q。

三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

三角形五心三角形五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心。

三条中线的交点是重心，三边垂直平分线的交点是外心，三条内角平分线的交点为内心，三角形三条高线的交点为垂心。

重心、外心、内心、垂心只有一个，但旁心有三个。

与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心。

重心定理：设三角形重心为O，BC边中点为D，则有AO = 2 OD。

重心坐标为三顶点坐标平均值（在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]）。

三条中线相交的点叫做重心。

外心三角形三边的垂直平分线的交点，称为三角形外心。

外心到三顶点距离相等。

过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心即三角形外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

三角形有且只有一个外接圆。

内心三角形内心为三角形三条内角平分线的交点。

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即是三角形内心，内心到三角形三边距离相等。

这个三角形叫做圆的外切三角形。

三角形有且只有一个内切圆。

垂心三角形三边上的三条高或其延长线交于一点，称为三角形垂心。

锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外。

旁心与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心。

三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，即三角形的旁心。

旁心到三角形一边及其他两边延长线的距离相等。

三角形有三个旁切圆，三个旁心。

这三个旁心到三角形三条边的延长线的距离相等。

五心的性质三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．（9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.下面是更为详细的性质：垂心性质三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。