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思考探究 1.怎样认识三角函数线与三角函数值之间的关系？ 提示 正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切 函数的几何表示，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对 值．方向表示三角函数值的正负，凡与x轴或y轴同向的为正 值，反向的为负值．
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2．第二象限或第三象限内的角的正切线怎样作？ 提示 在单位圆中，过(1,0)点作x轴的垂线x＝1与角的终 边的反向延长线交于T，则AT即为角的正切线.
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自测自评 1.不论角α的终边的位置如何，在单位圆中作三角函数线 时，下列说法正确的是( ) A．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线 B．正弦线、余弦线总可以作出 C．正弦线、余弦线、正切线都有可能不存在 D．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但有可能不 止一条
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课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
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典例剖析 例1 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．
(1)sinα＝23； (2)cosα＝－35； (3)tanα＝2.
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剖析 对于(1)，设角α的终边与单位圆交于P(x，y)，则
sinα＝y，cosα＝x.所以，要作出满足sinα＝
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4．若π4<α<π2，则下列正确的是( ) A．cosα<tanα<sinα B．sinα<cosα<tanα C．tanα<sinα<cosα D．cosα<sinα<tanα
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解析 可在单位圆中作出α的三角函数线，根据图形可知 MP是正弦线，OM是余弦线，AT是正切线．∵π4<α<π2， ∴OM<MP<AT，∴cosα<sinα<tanα.
2 3
的角的终边，只要
在单位圆上找出纵坐标为
2 3
的点P，则OP即为α的终边，对于
(2)、(3)可采用同样的方法予以处理．
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解析
(1)作直线y＝
2 3
交单位圆于P、Q两点，则OP或OQ
为角α的终边，如图1.
(2)作直线x＝－35交单位圆于M、N两点，则OM或ON为角α
的终边，如图2.
答案 D
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名师点拨 三角函数线的向量表示 (1)三角函数线都是轴上的向量，都用带有箭头的有向线 段表示，书写时起点在前，终点在后． (2)角α的余弦线、正弦线、正切线的数量分别是角α的余 弦、正弦和正切，即OM＝cosα，ON＝sinα，AT(或AT′)＝ tanα.
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自学导航 1.单位圆 一般地，我们把 半径为1的圆 叫做单位圆．
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2．三角函数线 如图，已知角α的终边位置．
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则由三角函数的定义可知点P的坐标为(cosα，sinα)．点T 的坐标为(1，tanα)．
其中cosα＝ OM ，sinα＝ ON ，tanα＝ AT(或AT′)． 把轴上向量O→M，O→N，A→T(或A→T′)分别叫做α的 余弦线 、 . 正弦线和正切线
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例2 解关于x的不等式(x∈[0,2π))． (1)sinx≥ 23； (2)tanx＞－1.
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解析 本题可利用单位圆中的三角函数线来求解．
(1)如图所示，在单位圆中正弦值
3 2
＝MN＝PQ，在[0,2π)
内正弦值为 23的角有两个，即3π和23π.sinx≥ 23对应的角的终边 落在阴影部分内，所以不等式的解集在[0,2π)内所对应的角的
(3)在直线x＝1上截取AT＝2，其中A的坐标为(1,0)．设直
线OT与单位圆交于C、D两点，则OC或OD为角α的终边，如图
3.
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规律技巧 三角函数线可以用来求出满足形如fα＝m的 三角函数的角α的终边.
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变式训练1
利用三角函数线确定满足sinx＝
范围是π3，23π.
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(2)如图所示，在单位圆中正切值－1＝AT，在[0，2π)内正
切值等于－1的角有两个，即
3 4
π和
7π 4
.满足不等式的角的终边落
在阴影区域内不包括边界，由图可得所求角的范围是
(3)角α的三个三角函数值的正负是由角α对应的三角函数 线的方向(箭头所指方向)与轴的正方向的相同或相反决定的， 同向取正，反向取负．
(4)若某三角函数线缩为一个点，则其数量为0；当α的终 边在y轴上时，正切线不存在．
(5)因为M→P与O→N同向且等长，所以M→P也是α的正弦线.
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第一章 基本初等函数(Ⅱ)
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1.2 任意角的三角函数
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1.2.2 单位圆与三角函数线
课前预习目标
课堂互动探究
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课前预习目标
梳理知识 夯实基础
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学习目标 1.了解三角函数线的意义． 2．会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.
解析 当角α的终边落在y轴上时，tanα不存在，∴α的正 切线不存在．∵正弦、余弦的定义域是R，∴无论α取何值， sinα、cosα都存在，∴α的正弦线和余弦线都存在．
答案 B
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2．如图所示是60°角的三角函数线，其中余弦线为( )
A．MP
B．OM
C．AT
D．OA
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2 2
的角x的集
合．
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解析
利用正弦线作出角x的终边如图所示． ∵在第一象限内与π4终边相同， ∴x＝2kπ＋4π(k∈Z)；
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而在第二象限内与34π终边相同， ∴x＝2kπ＋34π(k∈Z)． ∴满足条件的角x的集合为： x|x＝2kπ＋π4或x＝2kπ＋34π，k∈Z.
B
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3．已知角α的终边和单位圆的交点为P，则点P的坐标为 ()
A．(sinα，cosα) B．(sinα，tanα) C．(cosα，sinα) D．(tanα，sinα)
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解析 由三角函数的定义可知，点P的坐标(cosα，sinα)． 答案 C
