2016-2017年数学·人教A版选修2-1练习：3.1.2空间向量的数乘运算

导入新课复习上一节课,我们借助“类比思想”把平面向量的有关概念及加减运算扩展到了空间.(1) 加法法则及减法法则平行四边形法则或三角形法则. (2) 运算律加法交换律及结合律.两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.因为：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.我们知道平面向量还有数乘运算及相应的运算律.借助类比思想,同样可以定义空间向量的数乘运算及相应的运算律．教学目标知识目标正确理解共线、方向向量等基本概念；初步掌握数乘运算，理解运算律；熟练掌握共线向量基本定理、推论及应用.能力目标经历知识形成探索过程，体验“类比”思想，并逐步学会“分析、归纳、抽象、概括等思维方法.情感目标1. 通过自主探究与合作交流，不断体验“成功”，激发学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位；2. 通过类比思想和方法的应用，感受和体会数学思想的魅力，培养学“做数学”的习惯和热情.教学重难点重点共线向量概念、基本定理及推论．难点共线概念的正确理解及较复杂的三点共线判定.知识要点1. 空间向量数乘运算的定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘（multiplication of vetor by salar）运算.（1）结果仍然是一个向量;（2）方向:当λ>0时，λa与a方向相同;当λ<0时，λa与a方向相反;当λ=0时，λa是零向量0; （3）大小: λa的长度是a长度的|λ|倍.aλa(λ<0)a λa(λ>0)2.数乘运算的运算律显然，空间向量的数乘运算满足分配律及结合律（）λ(a +b )=λa +λbλ+μa =λa +μaλ(μa )=(λμ)a 即：知识要点（1） λa与a 之间是什么关系？（2） λa 与a 所在直线之间的关系？对于空间向量的数乘运算的运算律的证明，方法与证明平面向量数乘运算的运算律类似.知识要点3.共线向量（或平行向量）的定义表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则称这些向量叫共线向量（colliner vectors）或平行向量（parallel vectors）记作a//b（1）向量平行与直线平行的比较;（2）关注零向量; （3）对空间任意两个向量a 与b ,如果 ,那么a 与b 有什么相等关系?反过来呢?b //a 零向量与任何向量平行（1）当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行线;（2）当我们说a // b时，也具有同样的意义.知识要点4.共线向量基本定理对于空间任意两个向量a ,b(b≠0)，a // b的充要条件是存在实数λ，使a = λb（1）b≠0的理解.若b=0，则a任意，λ不唯一;（2）若a // b，b // c，则a一定平行于c吗？（不一定，考虑中间向量为零向量）5.共线向量基本定理的推论如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对于空间任意一点像O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使 OP = OA + ta. (1) AaOP B其中向量a叫做直线l的方向向量（direction vector）在l上取AB=a，则(1)式可化为OP = (1- t)OA + t OB.(2)说明: (1),(2)都叫做空间直线的向量参数表示式.由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.知识要点6.共面向量定义平行于同一平面的向量，叫做共面向量（coplanar vectors）.空间任意两个向量总是共面的，但空间任意三个向量既可能是共面的，也可能是不共面的.7.共面向量的定理如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x、y），使p = x a + y b8.共面向量的定理的推论空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使MP = xMA + yMB或对空间任一定点O，有OP = OM + xMA + yMB.Ma AbB A' p P对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，试问满足向量关系式（其中x+y+z=1）的四点P 、A 、B 、 C 是否共面？OP =xOA+yOB +zOC解答原式可以变形为OP=(1-y-z)OA+yOB+zOC,OP-OA=y(OB-OA)+z(OC-OA), AP=y AB+z AC,所以，点P与点A，B，C共面.例题如下图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使OE OF OG OH====kOA OB OC OD求证：四点E、F、G、H共面.D'A'B'C'DA B CO分析:欲证E，F，G，H四点共面，只需证明EH，EF，EG共面.下面我们利用AD，AB，AC共面来证明.证明:因为 所以 OE=kOA ，OF=kOB ， OG=kOC ，OH=kOD. 由于四边形ABCD 是平行四边形，所以AC=AB+AD. 解答OE OFOGOH====kOA OB OC OD继续因此EG=OG-OE=kOC-kOA=k AC=k(AB+AD)=k(OB-OA+OD-OA)=OF-OE+OH-OE=EF+EH.由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面.课堂小结1.空间向量的数乘运算.2.空间向量的数乘运算的运算律.满足分配律及结合律.3.共线向量与共面向量共线向量 共面向量 定义 向量所在直线互相平行或重合. 平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 定理 推论 运用 判断三点共线，或两直线平行 判断四点共线，或直线平行于平面)0a (b //a ≠b λa =p b a b y αx p +=ABt OA OP +=AC y AB x OA OP ++=共面1)y (x OBy OA x OP =++=1)z y (x 0OC z OB y OA x OP =++=++=高考链接1.（2006年福建卷）已知|OA|=1，|OB|= ，OA·OB=0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC=30°，设OC=mOA+nOB (m 、n ∈R)，则 等于_______. 3nm 3D. 33 C. 3B. 31 A. BOA =1,OB =3,OA.OB =0,解析: 点C 在AB 上，且∠AOC=30°设A 点坐标为(1，0)，B 点的坐标为(0， )C 点的坐标为(x ，y)=( ， ) OC =mOA+nOB(m,n R)∈33434则∴ 3n m ，41，n 43m ===课堂练习1.选择（1）若对任一点O 和不共线的三A,B,C,且有 则x+y+z=1是四点P 、A 、B 、C 共面的（） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 R),z y,(x,OC z OB y OA x OP ∈++= C（2）对于空间任意一点O ，下列命题正确的是（）. A.若 ，则P 、A 、B 共线 B.若 ，则P 是AB 的中点C.若 ，则P 、A 、B 不共线D.若 ，则P 、A 、B 共线 OP =OA+t AB3OP =OA+AB OP=OA -t AB OP=-OA+AB A（3）下列命题正确的是（）CA.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B.向量a，b，c共面就是它们所在的直线共面C.零向量没有确定的方向D.若a // b，则存在唯一的实数λ使得a = λb解答A.中向量b为零向量时要注意，B.中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D.中需保证b不为零向量.答案C.点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处.像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾 .2.解答题已知：且m，n，p不共面.若a∥b,求x，y的值.,p2yn8m1)(xb0,p4n2m3a+++=≠--=空间向量在运算时，注意到如何利用空间向量共线定理.解答 ∵a // b,且a ≠0， ∴b= λ a ，即 又∵m ，n ，p 不共面，∴.p 4λn 2λm 3λp 2y n 8m 1)(x --=+++8.y 13,x ,42y 2831x =-=∴-=-=+习题答案1. （1）AD; （2）AG;（3）MG2. （2）x=1; （2）x=y=1/2; （3） x=y=1/2;3.CA QBRPSO。

3.1.2 空间向量的数乘运算双基达标(限时20分钟)1．给出的下列几个命题：①向量a ，b ，c 共面，则它们所在的直线共面； ②零向量的方向是任意的；③若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb .其中真命题的个数为 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析 ①假命题．三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行； ②真命题．这是关于零向量的方向的规定；③假命题．当b ＝0，则有无数多个λ使之成 立． 答案 B2．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则 ( )． A ．点P 一定在直线AB 上 B ．点P 一定不在直线AB 上C ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上 D.AB →与AP →的方向一定相同解析 已知m ＋n ＝1，则m ＝1－n ，OP →＝(1－n )OA →＋nOB →＝OA →－nOA →＋nOB →⇒OP →－OA →＝ n (OB →－OA →)⇒AP →＝nAB →.因为AB →≠0，所以AP →和AB →共线，即点A ，P ，B 共线，故选A. 答案 A3．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为 ( )． A ．1 B ．0 C ．3 D.13解析 ∵OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，且M ，A ，B ，C 四点共面，∴x ＋13＋13＝1，x ＝13，故选D. 答案 D4．以下命题：①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；②共线的两个向量互相平行；③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量．其中正确命题的序号是________． 解析 根据共面与共线向量的定义判定，易知②④正确． 答案 ②④5．设e 1，e 2是平面内不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k ＝______．解析 BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2， 又A 、B 、D 三点共线，由共线向量定理得AB →＝λBD →， ∴12＝－4k .∴k ＝－8. 答案 －86．如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，请判断向量EF →与AD →＋BC →是否共线？ 解 取AC 中点为G . 连接EG ，FG ，∴GF →＝12AD →，EG →＝12BC →，又∵GF →，EG →，EF →共面，∴EF →＝EG →＋GF →＝12AD →＋12BC → ＝12(AD →＋BC →)， ∴EF →与AD →＋BC →共线．综合提高（限时25分钟）7．对于空间任一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝1是P ，A ，B ，C 四点共面的 ( )． A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析 若x ＋y ＋z ＝1，则OP →＝(1－y －z )OA →＋yOB →＋zOC →，即AP →＝yAB →＋zAC →，由共面定理可知向量AP →，AB →，AC →共面，所以P ，A ，B ，C 四点共面；反之，若P ，A ，B ，C 四点共面，当O 与四个点中的一个(比如A 点)重合时，OA →＝0，x 可取任意值，不一定有x ＋y ＋z ＝1，故选B. 答案 B8．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →等于( )．A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB → 解析 由已知得2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，∴OC →＝2OA →－OB →.答案 A9．如图所示，在四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝______(用a ，b ，c 表示)．解析 OE →＝OA →＋AE →＝a ＋12AD →＝a ＋12(OD →－OA →)＝12a ＋12OD → ＝12a ＋12×12(OB →＋OC →) ＝12a ＋14b ＋14c . 答案 12a ＋14b ＋14c10．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．解析 ∵A ，B ，C 三点共线，∴存在唯一实数k 使AB →＝kAC →，即OB →－OA →＝k (OC →－OA →)， ∴(k －1)OA →＋OB →－kOC →＝0， 又λOA →＋mOB →＋nOC →＝0， 令λ＝k －1，m ＝1，n ＝－k ， 则λ＋m ＋n ＝0. 答案 011．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B →、B 1C →、EF →是共面向量． 证明 法一 EF →＝EB →＋BA 1→＋A 1F →＝12B 1B →－A 1B →＋12A 1D 1→ ＝12(B 1B →＋BC →)－A 1B → ＝12B 1C →－A 1B →. 由向量共面的充要条件知，A 1B →、B 1C →、EF →是共面向量． 法二 连结A 1D 、BD ，取A 1D 中点G ，连结FG 、BG ，则有FG 綉12DD 1，BE 綉12DD 1，∴FG 綉BE .∴四边形BEFG 为平行四边形． ∴EF ∥BG . ∴EF ∥平面A 1BD .同理，B 1C ∥A 1D ，∴B 1C ∥平面A 1BD ，∴A 1B →、B 1C →、EF →都与平面A 1BD 平行．∴A 1B →、B 1C →、EF →共面．12．(创新拓展)已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点． (1)证明E ，F ，G ，H 四点共面； (2)证明BD ∥平面EFGH .证明 如图，连结EG ，BG .(1)∵EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由向量共面的充要条件知：E ，F ，G ，H 四点共面．(2)法一 ∵EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →，∴EH ∥BD .又EH ⊂面EFGH ，BD ⊄面EFGH ， ∴BD ∥面EFGH .法二 ∵BD →＝BA →＋AD →＝2EA →＋2AH →＝2EH →＝2(EG →＋GH →)＝2EG →＋2GH →，又EG →，GH →不共线，∴BD →与EG →，GH →共面． 又BD ⊄面EFGH ，∴BD ∥面EFGH .。

第三章 3.1 3.1.1 3.1.2一、选择题1．空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则DA →＋CD →－CB →等于导学号 33780691( ) A.DB → B ．AC → C.AB → D ．BA →[答案] D[解析] 解法一：DA →＋CD →－CB →＝(CD →＋DA →)－CB →＝CA →－CB →＝BA →.解法二：DA →＋CD →－CB →＝DA →＋(CD →－CB →) ＝DA →＋BD →＝BA →.2．已知空间向量AB →、BC →、CD →、AD →，则下列结论正确的是导学号 33780692( ) A.AB →＝BC →＋CD →B ．AB →－DC →＋BC →＝AD →C.AD →＝AB →＋BC →＋DC → D ．BC →＝BD →－DC →[答案] B[解析] 根据向量加减法运算可得B 正确．3．设M 是△ABC 的重心，记a ＝BC →，b ＝CA →，c ＝AB →，则AM →为导学号 33780693( ) A.b －c 2 B ．c －b 2C.b －c 3D ．c －b 3[答案] D[解析] M 为△ABC 重心，则AM →＝23⎣⎡⎦⎤12 AB →＋AC → ＝13(AB →＋AC →)＝13(c －b)． 4．如图所示，已知A 、B 、C 三点不共线，P 为平面ABC 内一定点，O 为平面ABC 外任一点，则下列能表示向量OP →的为导学号 33780694( )A.OA →＋2AB →＋2AC → B ．OA →－3AB →－2AC → C.OA →＋3AB →－2AC → D ．OA →＋2AB →－3AC → [答案] C[解析] 根据A 、B 、C 、P 四点共面的条件可知AP →＝xAB →＋yAC →.由图知x ＝3，y ＝－2，∴OP →＝OA →＋3AB →－2AC →，故选C.5．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，若AE →＝xAA 1→＋y(AB →＋AD →)，则导学号 33780695( )A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝12，y ＝1C ．x ＝1，y ＝13D ．x ＝1，y ＝14[答案] D[解析] AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)．所以x ＝1，y ＝14.6．如图所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →等于导学号 33780696( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －12c D ．－23a ＋23b －12c[答案] B[解析] MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝－23a ＋12b ＋12c.二、填空题7．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________.导学号 33780697[答案] 0[解析] 解法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0. 解法二：(利用向量的减法运算法则求解) (AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝(AB →－AC →)＋BD →－CD → ＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0.8．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝x·AB →＋2y·BC →＋3z·C 1C →，则x ＋y ＋z ＝________.导学号 33780698[答案] 76[解析] 如图所示，有AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋BC →＋(－1)·C 1C →.又∵AC 1→＝x·AB →＋2y·BC →＋3z·C 1C →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝13z ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝12z ＝－13.∴x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76.三、解答题9.在四棱柱ABCD —A′B′C′D′中，底面ABCD 为矩形，化简下列各式.导学号 33780699(1)AB →＋BB′→－D′A′→＋D′D →－BC →；(2)AC′→－AC →＋AD →－AA′→.[解析] (1)原式＝AB →＋AA′→＋AD →－AA′→－AD →＝AB →. (2)原式＝CC′→＋AD →－AA′→＝AD →.10．已知平行六面体ABCD －A′B′C′D′，点E 在AC′上，且AE ︰EC′＝1︰2，点F 、G 分别是B′D′和BD′的中点，求下列各式中的x 、y 、z 的值.导学号 33780700(1)AE →＝x AA′→＋yAB →＋zAD →； (2)BF →＝x BB′→＋yBA →＋zBC →； (3)GF →＝x BB′→＋yBA →＋zBC →. [解析] (1)∵AE ︰EC′＝1︰2， ∴AE →＝13AC′→＝13(AB →＋BC →＋CC′→)＝13(AB →＋AD →＋AA′→) ＝13AA′→＋13AB →＋13AD →， ∴x ＝13，y ＝13，z ＝13.(2)∵F 为B′D′的中点，∴BF →＝12(BB′→＋BD′→)＝12(BB′→＋BA →＋AA′→＋A′D′→)＝12(2BB′→＋BA →＋BC →)＝BB′→＋12BA →＋12BC →， ∴x ＝1，y ＝12，z ＝12.(3)∵G 、F 分别为BD′、B′D′的中点， ∴GF →＝12BB′→，∴x ＝12，y ＝0，z ＝0.一、选择题1．已知正方形ABCD 的边长为1，设AB →＝a 、BC →＝b 、AC →＝c ，则|a ＋b ＋c|等于导学号 33780701( )A ．0B ．3C ．2＋ 2D ．2 2[答案] D[解析] 利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，|a ＋b ＋c|＝2|AC →|＝2 2. 2．给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量a 、b 满足|a|＝|b|，则a ＝b ；③若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤零向量没有方向．其中假命题的个数是导学号 33780702( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] D[解析] ①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆．②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a 与b 的方向不一定相同．③真命题．向量的相等满足递推规律．④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故④错．⑤假命题．零向量的方向是任意的．3．已知正方体ABCD －A′B′C′D′ ，点E 是A′C′的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →等于导学号 33780703( )A.AA′→＋12AB →＋12AD →B ．12AA′→＋12AB →＋12AD →C.12AA′→＋16AB →＋16AD → D ．13AA′→＋16AB →＋16AD →[答案] D[解析] 由条件AF ＝12EF 知，EF ＝2AF ，∴AE ＝AF ＋EF ＝3AF ，∴AF →＝13AE →＝13(AA′→＋A′E →)＝13(AA′→＋12A′C′→)＝13AA′＋16(A′D′→＋A′B′→)＝13AA′→＋16AD →＋16AB →. 4．对于空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，且有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x 、y 、z ∈R)，则x ＋y ＋z ＝1是四点P 、A 、B 、C 共面的导学号 33780704( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] ∵OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →＝xOA →＋yOB →＋(1－x －y)OC →， ∴OP →－OC →＝x(OA →－OC →)＋y(OB →－OC →)，∴CP →＝xCA →＋yCB →，即CP →、CA →、CB →共面，又有公共点C ， ∴P 、A 、B 、C 共面，反之也成立． 二、填空题5．已知平行六面体ABCD —A′B′C′D′，则下列四式中：导学号 33780705①AB →－CB →＝AC →；②AC′→＝AB →＋B′C′→＋CC′→；③AA′→＝CC′→；④AB →＋BB′→＋BC →＋C′C →＝AC →. 正确的是________． [答案] ①②③[解析] AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确；AB →＋B′C′→＋CC′→＝AB →＋BC →＋CC′→＝AC′→，②正确；③显然正确；∵AB →＋BB′→＋BC →＝AC′→，∴④不正确．6．如图所示，已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且PM ︰MC ＝2︰1，N 为PD 中点，则满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ＝________，y ＝________，z ＝________.导学号 33780706[答案] －23 －16 16[解析] 在PD 上取一点F ，使PF ︰FD ＝2︰1，连接MF ，则MN →＝MF →＋FN →， ∵FN →＝DN →－DF →＝12DP →－13DP →＝16DP →＝16(AP →－AD →)， MF →＝23CD →＝23BA →＝－23AB →，∴MN →＝－23AB →－16AD →＋16AP →，∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.三、解答题7．已知三个向量a 、b 、c 不共面，并且p ＝a ＋b －c ，q ＝2a －3b －5c ，r ＝－7a ＋18b ＋22c ，向量p 、q 、r 是否共面？导学号 33780707[解析] 假设存在实数λ、μ，使p ＝λq ＋μr ，则a ＋b －c ＝(2λ－7μ)a ＋(－3λ＋18μ)b ＋(－5λ＋22μ)c ，∵a ，b ，c 不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ－7μ＝1－3λ＋18μ＝1－5λ＋22μ＝－1，∴⎩⎨⎧λ＝53μ＝13.即存在实数λ＝53，μ＝13，使p ＝λq ＋μr ，故p 、q 、r 共面．8．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E 、F 、B 三点共线.导学号 33780708[解析] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c. ∵A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，∴A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →，∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c. ∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c＝25(a －23b －c)． 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，∴EF →＝25EB →.所以E 、F 、B 三点共线．。

§3.1.2 空间向量的数乘运算(一)一、选择题1. 下列说法正确的是（ ）A. a 与非零向量b 共线,b 与c 共线，则a 与c 共线B. 任意两个相等向量不一定共线C. 任意两个共线向量相等D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=2．设M 是△ABC 的重心，记a ＝BC →，b ＝CA →，c ＝AB →，a ＋b ＋c ＝0，则AM →为( )A.b －c 2B.c －b 2C.b －c 3D.c －b 33．当|a |＝|b |≠0，且a 、b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( )A ．共面B ．不共面C ．共线D ．无法确定4．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′ ，点E 是A ′C ′的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →等于( ) A.AA ′→＋12AB →＋12AD → B.12AA ′→＋12AB →＋12AD → C.12AA ′→＋16AB →＋16AD → D.13AA ′→＋16AB →＋16AD → 5．以下命题：①若a ，b 共线，则a 与b 所在直线平行；②若a ，b 所在直线是异面直线，则a 与b 一定不共面；③若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量一定也共面；④若a ，b ，c 三向量共面，则由a ，b 所在直线确定的平面与由b ，c 所在直线确定的平面一定平行或重合． 其中正确命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．在三棱锥S —ABC 中，G 为△ABC 的重心，则有( )A.SG →＝12(SA →＋SB →＋SC →)B.SG →＝13(SA →＋SB →＋SC →) C.SG →＝14(SA →＋SB →＋SC →) D.SG →＝SA →＋SB →＋SC →二、填空题7．已知i ，j ，k 是三个不共面向量，已知向量a ＝12i －j ＋k ，b ＝5i －2j －k ，则4a －3b ＝_______________.8．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1A ，B 1B 的中点，O 为BD 1的中点．设AB →＝a ，AA 1→＝b ，AD →＝c ，用a ，b ，c 表示下列向量：(1)D 1N →＝_______________；(2)OM →＝_______________.三、解答题9．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →、A 1M →共面．10．已知i 、j 、k 是不共面向量，a ＝i －2j ＋k ，b ＝－i ＋3j ＋2k ，c ＝－3i ＋7j.证明这三个向量共面．参考答案一、选择题1. [答案]A2．[答案] D[解析] M 为△ABC 重心，则AM →＝23⎣⎡⎦⎤12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)＝13(c －b )． 3．[答案] A[解析] 本题考查空间两向量的关系．由空间任何两个向量一定为共面向量可知选A.4．[答案] D[解析] 由条件AF ＝12EF 知，EF ＝2AF ， ∴AE ＝AF ＋EF ＝3AF ，∴AF →＝13AE →＝13(AA ′→＋A ′E →)＝13(AA ′→＋12A ′C ′→) ＝13AA ′＋16(A ′D ′→＋A ′B ′→)＝13AA ′→＋16AD →＋16AB →. 5．[答案] A[解析] a ，b 共线是指a ，b 的方向相同或相反，因此a ，b 所在直线可能重合，故①错；由于向量是可以自由平移的，所以空间任意两个向量一定共面，故②错；从正方体一顶点引出的三条棱作为三个向量，虽然是两两共面，但这三个向量不共面，故③错；在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB →，A 1B 1→，DC →三向量共面，然而平面ABCD与平面ABB 1A 1相交，故④错，故选A.6．[答案] B[解析] SG →＝SA →＋AG →＝SA →＋13(AB →＋AC →)＝SA →＋ 13(SB →－SA →)＋13(SC →－SA →)＝13(SA →＋SB →＋SC →)．二、填空题7．[答案] －13i ＋2j ＋7k8．[答案] a －12b －c －12a －12c [解析] (1)D 1N →＝a －12b －c (2)OM →＝－12a －12c 三、解答题9．[解析] A 1B →＝AB →－AA 1→，A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→，AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)． ∴A 1N →＝AN →－AA 1→＝23(AB →＋AD →)－AA 1→ ＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →. ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．10．[解析] 设a ＝λb ＋μc ，则i －2j ＋k ＝(－λ－3μ)i ＋(3λ＋7μ)j ＋2λk ，∵i ，j ，k 不共面，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ－3μ＝13λ＋7μ＝－22λ＝1，∴⎩⎨⎧ λ＝12μ＝－12，故存在实数λ＝12，μ＝－12，使a ＝λb ＋μc ， 故a ，b ，c 共面．。

课后课时精练一、选择题. 下列命题正确的有( )①空间向量就是空间中一条有向线段；②若，，，是不共线的四点，则＝是四边形是平行四边形的充要条件；③＝是向量＝的必要不充分条件；④＝的充要条件是与重合，与重合．. 个. 个. 个 . 个解析：①不正确．有向线段可以表示向量，但不是向量．②正确，∵＝，∴＝且∥.又，，，不共线，∴四边形是平行四边形．反之，在▱中，＝.③正确．＝⇒＝，＝⇒＝.④不正确＝⇒＝，与同向．但是向量可以平移，起点位置不确定．答案：. ，，不共线，对空间任意一点，若＝＋＋，则，，，四点( ). 不共面 . 共面. 不一定共面 . 无法判断是否共面解析：＝＋＋＝＋(＋)＋(＋)＝＋＋，∴－＝＋，∴＝＋.由共面的充要条件知，，，四点共面．答案：．在四面体—中，＝，＝，＝，为的中点，为的中点，则＝( ). －＋. －＋. ＋＋. ＋＋解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋×(＋)＝＋＋.答案：．已知两非零向量，，且与不共线，设＝λ＋μ(λ，μ∈，且λ＋μ≠)，则( )．∥．∥．与、共面．以上三种情况均有可能解析：假设与共线，则＝，所以＝λ＋μ可变为(－λ)＝μ，所以与共线，这与与不共线相矛盾，故假设不成立，即不正确，同理不正确，则也错误．答案：．下列条件能使与、、一定共面的是( ). ＝－－. ＝＋＋. ＋＋＝. ＋＋＋＝解析：在中，＝－－，∴、、共面．∴、、、一定共面，故正确．在、、三个选项中，＝＋＋的式子中，＋＋≠，故全错．。

第三章课时作业一、选择题．若、是平面α内的两个向量，则( ). α内任一向量＝λ＋μ(λ，μ∈). 若存在λ，μ∈使λ＋μ＝，则λ＝μ＝. 若、不共线，则空间任一向量＝λ＋μ(λ，μ∈). 若、不共线，则α内任一向量＝λ＋μ(λ，μ∈)解析：当与共线时，项不正确；当与是相反向量，λ＝μ≠时，λ＋μ＝，故项不正确；若与不共线，则平面α内任意向量可以用，表示，对空间向量则不一定，故项不正确，项正确．答案：．已知向量、不共线，设向量＝＋，＝－.若与共线，则实数的值为( ). .. －.解析：∵、不共线，∴≠，且≠.∵与共线，∴存在实数λ，使得＝λ成立，即＋＝λ(－)，整理得(－λ)＋(＋λ)＝.∴(\\(－λ＝＋λ＝))，解得＝λ＝－.故选.答案：．对于空间任意一点和不共线的三点，，有＝＋＋，则( ). 四点，，，必共面. 四点，，，必共面. 四点，，，必共面. 五点，，，，必共面解析：－＝(－)＋(－)∴＝＋∴向量，，共线．又因它们有公共点，且、、三点不共线，∴必有、、、共面．答案：．在下列条件中，使与、、一定共面的是( )＝－－＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝解析：∵＋＋＝，∴＝－－.∴与、、必共面．只有选项符合．答案：二、填空题．在空间四边形中，连接、，若△是正三角形，且为其中心，则＋－－的化简结果为．解析：如图，取的中点，连接，则＝，∴＋－－＝＋－＋＝＋＋＝.答案：．已知和不共线三点，，四点共面且对于空间任一点，都有＝＋＋λ，则λ＝.解析：与不共线三点，，共面，且＝＋＋(，，∈)，则＋＋＝是四点共面的充要条件．答案：－．已知，，三点共线，则对空间任一点，存在三个不为的实数λ，，，使λ＋＋＝，那么λ＋＋的值为．解析：∵，，三点共线，∴存在唯一实数，使＝，即－＝(－)．∴(－)＋－＝.又λ＋＋＝，令λ＝－，＝，＝－，则λ＋＋＝.答案：三、解答题．如右图，在空间四边形中，的中点为，的中点为，请判断与＋是否共线．解：设的中点为，连接、.∵、分别为、的中点，∴＝，＝.∴＝＋＝(＋)，即与＋共线．．如图，正方体－中，、分别为和的中点．证明：向量、、是共面向量．。

3.1.2 空间向量的数乘运算课时目标 1.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.能理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题．1．空间向量的数乘运算(1)向量的数乘：实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作________，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向________；当λ<0时，λa与向量a方向________；λa的长度是a的长度的________倍．(2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律．分配律：______________；结合律：______________.2．共线向量(1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相________或________，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是________________．(3)方向向量：如图l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使____________，其中向量a叫做直线l的方向向量．3．共面向量(1)共面向量：平行于________________的向量，叫做共面向量．(2)如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使__________．空间内一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使______________．对空间任意一点O，点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使________________．一、选择题1．下列命题中正确的是( )A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．零向量没有确定的方向D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb2．满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是( )A. AB →＋BC →＝AC →B. AB →－BC →＝AC →C.AB →＝BC →D.|AB →|＝|BC →|3.如图，空间四边形OABC 中，M 、N 分别是OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG=2GN ，则OG =xOA →＋y OB ＋zOC →，则( )A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13B ．x ＝13，y ＝13，z ＝16C ．x ＝16，y ＝16，z ＝13D ．x ＝16，y ＝13，z ＝134．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是( )A. OM ＝2OA →－OB －OC →B. OM ＝15OA →＋13OB ＋12OC → C. MA ＋MB →＋MC →＝0D. OM ＋OA →＋OB ＋OC →＝05.在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A ，D 1C →，A 1C 1→是( )A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量6．下列命题中是真命题的是( )A ．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B ．若|a|＝|b|，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反C.若向量AB →,CD →，满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →D.若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →∥CD →二、填空题7.在空间四边形ABCD 中，连结AC 、BD,若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则AB→＋12BC →－32DE →－AD →的化简结果为________． 8.在正四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB ＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝______________(用a ，b ，c 表示)．9.已知P 和不共线三点A,B,C,四点共面且对于空间任意一点O ，都有OP ＝2OA →＝2OA→＋OB ＋λOC →，则λ＝________.三、解答题10．已知ABCD —A′B′C′D′是平行六面体．(1)化简12AA′→＋BC →＋23AB →； (2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BC C′ B′对角线B C′上的34分点，设MN ＝αAB →＋βAD →＋γAA′→，试求α，β，γ的值．11．设A ，B ，C 及A 1，B 1，C 1分别是异面直线l 1，l 2上的三点，而M ，N ，P ，Q 分别是线段AA 1，BA 1，BB 1，CC 1的中点．求证：M ，N ，P ，Q 四点共面．能力提升12.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B ＝a ， A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c 13.如图所示，已知点O 是平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1 对交线的交点，点P 是空间任意一点.试探求PA ＋PB →＋PC →＋PD →＋PA 1→＋PB 1→＋PC 1→＋PD 1→与PO →的关系．1．向量共线的充要条件及其应用(1)利用向量共线判定a，b所在的直线平行．(2)利用向量共线可以证明三点共线．2．利用共面向量的充要条件可以证明空间四点共面．3．1.2 空间向量的数乘运算知识梳理1．(1)λa 相同 相反 |λ| (2)λ(a ＋b)＝λa ＋λb λ(μa)＝(λμ)a2．(1)平行 重合 (2)存在实数λ，使a ＝λb(3) OP →＝OA →＋ta3．(1)同一个平面(2)p ＝xa ＋yb AP →＝xAB →＋yAC →OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →作业设计1．C [A 中，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；D 中，若b ＝0，a≠0，则不存在λ.]2．C [由AB →＝BC 知AB →与BC →共线，又因有一共同的点B ，故A 、B 、C 三点共线．] 3．D [∵OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋MG →，① OG →＝OC →＋CN →＋NG →，②OG →＝OB →＋BN →＋NG →，③又BN →＝－CN →，MG →＝－2NG →，∴①＋②＋③，得3OG →＝12OA →＋OB →＋OC →， 即x ＝16，y ＝13，z ＝13.] 4．C [∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴MA →＝－MB →－MC →.∴M 与A 、B 、C 必共面．只有选项C 符合．]5．C [如图所示，因为D 1C →－D 1A →＝AC →，而AC →＝A 1C 1→，∴D 1C →－D 1A →＝A 1C 1→，即D 1C →＝D 1A →＋A 1C 1→，而D 1A →与A 1C 1→不共线，所以D 1C →，D 1A →，A 1C 1→三向量共面．]6．D [A 错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面． B 错．因为|a|＝|b|仅表示a 与b 的模相等，与方向无关．C 错．因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有AB →>CD →这种写法．D 对．∵AB →＋CD →＝0，∴AB →＝－CD →，∴AB →与CD →共线，故AB →∥CD →正确．]7．0解析如图，取BC 的中点F ，连结DF ，则DF →＝32DE →， ∴AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝AB →＋BF →－DF →＋DA →＝AF →＋FD →＋DA →＝0. 8.12a ＋14b ＋14c 解析如图，OE →＝12(OA →＋OD →) ＝12OA →＋12×12(OB →＋OC →) ＝12a ＋14b ＋14c. 9．－2解析 P 与不共线三点A ，B ，C 共面，且OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC → (x ，y ，z ∈R)，则x ＋y ＋z ＝1是四点共面的充要条件．10．解 (1)方法一 取AA′的中点为E ，则12AA'→＝EA'→.又BC →＝A'D'→，AB →＝D'C'→，取F 为D′C′的一个三等分点(D′F ＝23D′C′)， 则D'F →＝23AB →. ∴12AA'→＋BC →＋23AB → ＝EA'→＋A'D'→＋D'F →＝EF →.方法二 取AB 的三等分点P 使得PB →＝23AB →， 取CC′的中点Q ，则12AA'→＋BC →＋23AB → ＝12CC'→＋BC →＋23AB →＝CQ →＋BC →＋PB → ＝PB →＋BC →＋CQ →＝PQ →.(2)连结BD ，则M 为BD 的中点，MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC'→ ＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC'→) ＝12(－AD →＋AB →)＋34(AD →＋AA'→) ＝12AB →＋14AD →＋34AA'→. ∴α＝12，β＝14，γ＝34. 11．证明 ∵NM →＝12BA →，NP →＝12A 1B 1→， ∴BA →＝2NM →，A 1B 1→＝2NP →.又∵PQ →＝PB →＋BC →＋CQ →＝12BB 1→＋BC →＋12(CB 1→＋B 1C 1→) ＝12(B 1C 1→＋CB →)＋BC →＋12(CB 1→＋B 1C 1→)＝12(BC →＋B 1C 1→)，① 又A ，B ，C 及A 1，B 1，C 1分别共线，∴BC →＝λBA →＝2λNM →，B 1C 1→＝ωA 1B 1→＝2ωNP →.代入①式，得PQ →＝12(2λNM →＋2ωNP →) ＝λNM →＋ωNP →.∴PQ →，NM →，NP →共面．∴M ，N ，P ，Q 四点共面．12．A [B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12BD → ＝c ＋12(BA →＋BC →)＝－12A 1B 1→＋12A 1D 1→＋c ＝－12a ＋12b ＋c.] 13．解设E 、E 1分别是平行六面体的面ABCD 与A 1B 1C 1D 1的中心，于是有PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝(PA →＋PC →)＋(PB →＋PD →)＝2PE →＋2PE →＝4PE →，同理可证：PA 1→＋PB 1→＋PC 1→＋PD 1→＝4PE 1→，又因为平行六面体对角线的交点O 是EE 1的中点，所以PE →＋PE 1＝2PO →，所以PA →＋PB →＋PC →＋PD →＋PA 1→＋PB 1→＋PC 1→＋PD 1→＝4PE →＋4PE 1→＝4(PE →＋PE 1→)＝8PO →.。