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平面与平面垂直的性质定理
在高中理科的学习中是非常重要的，常言道“数理化不分家”，学好数学对学习其他理科学科有非常大的帮助。
数学公式是学习数学需要掌握的基础知识，下面大家整理了平面与平面垂直的性质定理，供大家参考。
如果两个平面相交，所成的二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形是直二面角平面角是直角，就说这两个平面垂直。
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
线面垂直面面垂直
证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，在关于垂直问题的论证中要注意三者之间的相互转化，必要时可添加辅助线，如：已知面面垂直时，一般用性质定理，在一个平面内作出交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后转化为线线垂直，故要熟练掌握三者之间的转化条件及常用方法线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直，证共面的两直线垂直常用勾股定理的逆定理、等腰的性质;证不共面的两直线垂直通常利用线面垂直或利用
1如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，此结论可以作为性质定理用，
2从该性质定理的条件看出：只要在其中一个平面内通过一点作另一个平面的垂线，那么这条垂线必在这个平面内，点的位置既可以在交线上，也可以不在交线上。
以上平面与平面垂直的性质定理的内容到这里就结束了，希望帮助同学们复习。
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【高中数学】高中数学知识点：平面与平面垂直的判定与性质
平面和平面垂直的定义：
如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是
直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。
如图，
面面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
（线面垂直
面面垂直）
面面垂直的性质定理：
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
（面面垂直
线面垂直）
性质定理符号表示：
线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化关系：
证明面面垂直的方法：
证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，在关于垂直问题
的论证中要注意三者之间的相互转化，必要时可添加辅助线，如：已知面面垂直时，一般
用性质定理，在一个平面内作出交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后转化为线线垂直，故要熟练掌握三者之间的转化条件及常用方法．线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直，证共面的两直线垂直常用勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质；证不共面的两直线垂直
通常利用线面垂直或利用空间向量．
常用结论：
（1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直
线在第一个平面内，此结论可以作为性质定理用，
（2）从该性质定理的条件看出：只要在其中一个平面内通过一点作另一个平面的垂线，那么这条垂线必在这个平面内，点的位置既可以在交线上，也可以不在交线上，如图．
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
两个平面垂直判定定理
两个平面垂直判定定理是解析几何中的基本原理，它可以用来判断两个平面是否垂直。
下面我将以人类的视角，用简练的语言来描述这个定理。
我们先来了解一下什么是平面。
平面是一个无限扩展的二维空间，可以用一个平面上的点和法向量来唯一确定。
垂直是指两个物体或者事物之间的夹角为90度，即呈直角。
而两个平面的垂直判定定理告诉我们，如果两个平面的法向量相互垂直，那么这两个平面就是垂直的。
具体来说，设有两个平面A和B，它们的法向量分别为n1和n2。
如果向量n1和向量n2的点积为0，即n1·n2=0，那么平面A和平面B就是垂直的。
这是因为两个向量的点积等于它们的模长乘积再乘以它们的夹角的余弦值，而当夹角为90度时，余弦值为0。
这个定理在解析几何中有着广泛的应用。
例如，在空间几何中，我们可以通过两个平面的法向量来判断它们是否垂直。
在物理学中，我们可以利用这个定理来解决力的合成和分解问题。
在工程学中，我们可以利用这个定理来设计建筑物的结构。
总结起来，两个平面垂直判定定理告诉我们，如果两个平面的法向量相互垂直，那么这两个平面就是垂直的。
这个定理在解析几何中有着重要的应用，可以帮助我们解决各种问题。
希望通过这篇文章
的描述，读者能够更好地理解和应用这个定理。
2013年高考数学（理）一轮经典例题——两平面垂直的判定和性质典型例题一例1．根据叙述作图，指出二面角的平面角并证明．（１）如图1，已知l A l ∈=⋂,βα．在α内作l PA ⊥于A ，在β内作l QA ⊥于A ．（２）如图２，已知l A A l ∉∈=⋂,,αβα．作β⊥AP 于P ，在α内作l AQ ⊥于Q ，连结PQ ．（３）已知βαβα∉∉=⋂A A l ,,．作α⊥AP 于P ，β⊥AQ 于Q ，⋂l 平面H PAQ =，连结PH 、QH ．作图与证明在此省略．说明：本题介绍了作二面角的平面角的三种常用方法，其中用三垂线定理及逆定理的方法最常用，还需补充这种方法的其他典型图形．典型例题二例2. 如图，在立体图形ABC D -中，若E CD AD CB AB ,,==是AC 的中点，则下列命题中正确的是（ ）.（A ）平面ABC ⊥平面ABD（B ）平面ABD ⊥平面BDC（C ）平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDE（D ）平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE分析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直.解：因为,CB AB =且E 是AC 的中点，所以,AC BE ⊥同理有AC DE ⊥，于是⊥AC 平面BDE .因为⊂A C 平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于⊂AC 平面ACD ,所以平面ACD ⊥平面BDE .所以选C.说明：本题意图是训练学生观察图形，发现低级位置关系以便得到高级位置关系.在某一个平面内,得到线线垂直的重要途径是出现等腰三角形底边的中线,由线线垂直得到线面垂直,由线面垂直可得到面面垂直.典型例题三例３．如图，P 是ABC ∆所在平面外的一点，且⊥PA 平面ABC ，平面⊥PAC 平面PBC ．求证AC BC ⊥．分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．．证明：在平面PAC 内作PC AD ⊥，交PC 于D ．因为平面⊥PAC 平面PBC 于PC ，⊂AD 平面PAC ，且PC AD ⊥，所以PBC AD 平面⊥．又因为⊂BC 平面PBC ，于是有BC AD ⊥①．另外⊥PA 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，所以BC PA ⊥．由①②及A PA AD = ，可知⊥BC 平面PAC ．因为⊂AC 平面PAC ，所以AC BC ⊥．说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．典型例题四例４．如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上异于A 、B 的任意一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC ．分析：证明面面垂直的有两个依据，一是证明二面角的平面角为直角，二是利用两个平面垂直的判定定理．由于C 点的任意性，用方法一的可能性不大，所以要寻求线面垂直． 证明：因为AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上的点，所以有AC BC ⊥①．因为⊥PA 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，则BC PA ⊥②．由①②及A PA AC = ，得⊥BC 平面PAC ．因为⊂BC 平面PBC ，有平面PAC ⊥平面PBC ．说明：低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系．典型例题五例５．如图，点A 在锐二面角βα--MN 的棱MN 上，在面α内引射线AP ，使AP 与MN所成的角PAM ∠为 45，与面β所成的角大小为 30，求二面角βα--MN 的大小．分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问题得解．解：在射线AP 上取一点B ，作β⊥BH 于H ，连结AH ，则BAH ∠为射线AP 与平面β所成的角，30=∠∴BAH ．再作MN BQ ⊥，交MN 于Q ，连结HQ ，则HQ 为BQ 在平面β内的射影．由三垂线定理的逆定理，MN HQ ⊥，BQH ∠∴为二面角βα--MN 的平面角．设a BQ =，在BAQ Rt ∆中，a AB BAM BQA 2,45,90=∴=∠=∠ ,在Rt △BHQ 中， ,22,,90a BH a BQ BHQ ===∠ 2222sin ===∠a a BQ BH BQH , BQH ∠ 是锐角， 45=∠∴BQH ,即二面角βα--MN 等于 45．说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线．典型例题六例６．如图，将边长为a 的正三角形ABC 以它的高AD 为折痕折成一个二面角C AD C --'．（１）指出这个二面角的面、棱、平面角；（２）若二面角C AD C --'是直二面角，求C C '的长；（３）求C A '与平面CD C '所成的角；（４）若二面角C AD C --'的平面角为 120，求二面角D C C A -'-的平面角的正切值．分析：根据问题及图形依次解决．解：（１）∴'⊥⊥∴⊥,,,C D AD DC AD BC AD 二面角C AD C --'的面为ADC 和面C AD '，棱为AD ，二面角的平面角为C CD '∠．（２）若 90='∠C CD ，a C C a C D DC a AC 22,21,='∴='=∴= ．（３）⊥∴⊥'⊥AD DC AD C D AD ,, 平面C C D '，D C A '∠∴为C A '与平面CD C '所成的角．在直角三角形C AD '中， 30,21='∠∴='=C DA AC C D DC ，于是 60='∠D C A ． （４）取C C '的中点E ，连结AE 、DE ，C C DE C C AE AC C A DC CD '⊥'⊥∴='=',,, ，AED ∠∴为二面角D C C A -'-的平面角．,41,21,120a DE a CD D C DC C =∴=='='∠在直角三角形AED 中，,23a AD =DE AD AED =∠∴tan 324123==a a ．说明：这是一个折叠问题，要不断地将折叠前后的图形加以比较，抓住折叠前后的变与不变量．典型例题七例7 正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，P 是AD 的中点．求二面角P BD A --1的大小．分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用．在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考虑到AB垂直于平面1AD ，1BD 在平面1AD 上的射影就是1AD ．再过P 作1AD 的垂线PF ，则PF ⊥面1ABD，过F 作B D 1的垂线FE ，PEF ∠即为所求二面角的平面角了．解：过P 作1BD及1AD 的垂线，垂足分别是E 、F ，连结EF ． ∵AB ⊥面1AD ，PF ⊂面1AD ，∴PF AB ⊥，又1AD PF ⊥，∴PF ⊥面1ABD． 又∵1BD PE ⊥，∴1BD EF ⊥，∴PEF ∠为所求二面角的平面角．∵D AD Rt 1∆∽PFA ∆，∴11AD AP DD PF =． 而21=AP ，11=DD ，21=AD ，∴42=PF ．在1PBD ∆中，251==PB PD ．∵1BD PE ⊥，∴2321==BD BE ．在PEB Rt ∆中，2222=-=BE PB PE ，在PEF Rt ∆中，21sin ==∠PE PF PEF ，∴︒=∠30PEF ．典型例题八例8 在ABC ∆所在平面外有一点S ，已知AB SC ⊥，SC 与底面ABC 所成角为θ，二面角C AB S --的大小为ϕ，且︒=+90ϕθ．求二面角A SB C --的大小．分析：由题设易证SD SC ⊥，由已知得SC ⊥平面SAB ，显然所求的二面角是直二面角，此时只需证明二面有的两个面垂直即可．在解这种类型题时，如果去作二面角A SB C --的平面角，那么可能会走弯路．解：如图所示，作SO ⊥平面ABC 于O ，连结CO 并延长交AB 于D ，连结SD ． ∵SO ⊥平面ABC ，∴SCO ∠是SC 与平面ABC 所成角，θ=∠SCO ．∵SO ⊥平面ABC ，AB SC ⊥，∴CD AB ⊥，SD AB ⊥．∴SDO ∠是二面角C AB S --的平面角，ϕ=∠SDO ．∵︒=+90ϕθ，∴SD SC ⊥．又∵AB SC ⊥，∴SC ⊥平面SAB ，∴平面SBC ⊥平面SAB ，∴二面角A SB C --的大小为︒90．说明：二面角的平面角满足三个条件：(1)顶点在棱上，(2)两边在面内，(3)两边与棱垂直．应注意CSB ∠不满足第(3)条，不是二面角A SB C --的平面角．在求二面角大小时，若其平面角不易作出时，则可考虑判定两平面是否垂直，如果两平面垂直，则其二面角为︒90，反之亦然．典型例题九例9 如果αβ⊥，αγ⊥，a =γβ ，那么α⊥a ．分析：(1)本题是一道高考题，考查线面垂直和面面垂直的性质和逻辑推理能力．要证α⊥a ，只要证明直线a 与平面α内的两条相交直线垂直就可以了，从而借助平面与平面垂直的性质达到证明α⊥a 的目的；(2)要证α⊥a ，只要证明a 平行于平面α的一条垂线就可以了，这也可以借助面面垂直的性质加以考虑；(3)可以用“同一法”来证明．证法一：如图所示，设b =βα ，c =γα ，过平面α内一点P 作b PA ⊥于A ，作c PB ⊥于B ．∵αβ⊥，∴β⊥PA ．又a =γβ ，∴a PA ⊥，同理可证a PB ⊥．∵P PB PA = 且α⊂PB PA 、，∴α⊥a ．证法二：如图所示，设b =βα ，在平面β内作直线b l ⊥1．∵βα⊥，∴α⊥1l ．设c =γα ，在平面γ内作直线c l ⊥2．同理可证a l ⊥2，因此21//l l ．由于β⊂1l ，β⊄2l ，∴β//2l ．而γ⊂2l ，γβ =a ，∴a l //2．故由a l //2知，α⊥a ．证法三：如图所示过直线a 上一点P 作直线α⊥'a ．∵γβ =a ，a P ∈，∴β∈P ，根据课本第37页例2（如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内），∴β⊂'a ．同理可证γ⊂'a ，故γβ ='a ． 椐公理2可知，直线'a 与直线a 重合．∴α⊥a说明：(1)本例实际上可作为两个平面垂直的性质定理，主要用于判断直线和平面的垂直，在很多习题中都可以用到本例的结论．(2)本例的三种证明方法其思维角度不同，但都是围绕“面面垂直”、“线面面垂直”的判定与性质定理来进行思考的，希望同学们今后在解题中多进行这方面的训练，这对提高数学思维能力是大有裨益的．典型例题十例10 设由一点S 发出三条射线SA 、SB 、SC ，α=∠ASB ，β=∠BSC ，θ=∠ASC ，α、β、θ均为锐角，且θβαcos cos cos =⋅．求证：平面ASB ⊥平面BSC ．分析：欲证两平面垂直，只需证明其中一平面内有一直线垂直于另一平面即可，此题设法通过线段关系过渡．证明：如图，任取点A ，作SB AB ⊥于B ，过B 作SC BC ⊥于C ，连结AC ．∵αcos ⋅=AS SB ，βcos ⋅=SB SC ，故βαcos cos ⋅⋅=AS SC ．又由θβαcos cos cos =⋅，则θcos ⋅=AS SC ，从而可得︒=∠90ACS ，即SC AC ⊥，已作SC BC ⊥，故SC ⊥平面ACB ，即有SC AB ⊥，已作SB AB ⊥，从而AB ⊥平面BSC ，故平面ASB ⊥平面BSC ．说明：本题易犯错误是：作SB AB ⊥于B ，作SC BC ⊥于C ，连结AC ，由三垂线定理得AC SC ⊥，∴SC ⊥平面ACB ，∴SC AB ⊥，∴AB ⊥平面SBC ．其错误原因是作SB AB ⊥后，将AB 误认为是平面SBC 的垂线．此题的证明也可以作SB AB ⊥于B ，SC AC ⊥于C ，连结BC ．在SBC ∆中，由余弦定理及条件θβαcos cos cos =⋅，证明222SC BC SB +=，从而BC SC ⊥，∴SC ⊥面ABC ，∴SC AB ⊥．由此进一步证明，平面ASB ⊥平面BSC ．典型例题十一例11 如果二面角βα--l 的平面角是锐角，点P 到α、β和棱l 的距离分别为22、4、24，求二面角的大小．分析：如果二面角βα--l 内部，也可能在外部，应区别处理．解：如图甲是点P 在二面角βα--l 的内部时，乙是点P 在二面角βα--l 的外部时．∵α⊥PA ，∴l PA ⊥．∵l AC ⊥，∴面l PAC ⊥．同理，面l PBC ⊥，而面PAC 面PBC PC =∴面PAC 与面PBC 应重合，即A 、C 、B 、P 在同一平面内，ACB ∠是二面角的平面角．在APC Rt ∆中，212422sin ===∠PB PA ACP ，∴︒=∠30ACP ．在BPC Rt ∆中，22244sin ===∠PC PB BCP ，∴︒=∠45BCP ，故︒=︒+︒=∠754530ACB （图甲）或︒=︒-︒=∠153045ACB （图乙）．说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角．这是本题得到二面平面角的方法，即所谓垂面法．典型例题十二例12 P 为︒120的二面角βα--a 内一点，P 到α和β的距离均为10，求点P 到棱a 的距离．分析：本题已知二面角的大小而求点到直线的距离，须做出二面角的平面角，然后将条件揉和在一起，便可解决问题．解：如图，过点P 作α⊥PA 于A ，β⊥PB 于B ，设相交直线PA 、PB 确定的平面为γ，O a =γ ，则OA =αγ ，OB =βγ 连结PO ，则10==BP AP∵α⊥PA ，β⊥PB ，∴γ⊥a ，而⊂PO 平面γ，∴PO a ⊥，∴PO 的长即为点P 到直线a 的距离．又∵γ⊥a ，γ⊂OA ，γ⊂OB∴AOB ∠是二面角βα--a 的平面角，即︒=∠120AOB ．而四边形AOBP 为一圆内接四边形，且PO 为该四边形的外接圆直径．∵四边形AOBP 的外接圆半径等于由A 、B 、O 、P 中任意三点确定的三角形的外接圆半径，因此求PO 的长可利用APB ∆．在APB ∆中，10==BP AP ，︒=∠60APB ，∴10=AB ． 由正弦定理：332060sin 2=︒==AB R PO ．说明：(1)该题寻找︒120的二面角的平面角，所采取的方法即为垂面法，由此可见，若题目可找到与棱垂直的平面，用“垂面法”确定二面角的平面角也是一种可取的方法．(2)充分借助于四边形PAOB 为一圆内接四边形，∵OA PA ⊥，OB PB ⊥，∵PO 即为其外接圆直径，然后借助于四边有的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进行转移，由正弦定理帮助解决了问题．典型例题十三例13 如图，正方体的棱长为1，O BC C B =11 ，求：(1)AO 与11C A 所成的角；(2)AO 与平面AC 所成角的正切值；(3)平面AOB 与平面AOC 所成的角．解：(1)∵AC C A //11，∴AO 与11C A 所成的角就是OAC ∠．∵OB OC ⊥，⊥AB 平面1BC ，∴OA OC ⊥（三垂线定理）．在AOC Rt ∆中，22=OC ，2=AC ，∴︒=∠30OAC ．(2)作BC OE ⊥，平面1BC ⊥平面AC ．∴OE ⊥平面AC ，OAE ∠为OA 与平面AC 所成的角．在OAE Rt ∆中，21=OE ，25)21(122=+=AE ． ∴55tan ==∠AE OE OAE ．(3)∵OA OC ⊥，OB OC ⊥，∴⊥OC 平面AOB ．又∵⊂OC 平面AOC ，∴平面AOB ⊥平面AOC ．说明：本题包含了线线角、线面角和面面角三类问题．求角度问题主要是求两条异面直线所成角⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π，直线和平面所成角⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，二面角(]π,0三种． 典型例题十四例14 如图，矩形ABCD ，PD ⊥平面ABCD ，若2=PB ，PB 与平面PCD 所成的角为︒45，PB 与平面ABD 成︒30角，求：(1)CD 的长；(2)求PB 与CD 所在的角；(3)求二面角D PB C --的余弦值．分析：从图中可以看出，四面体BCD P -是一个基础四面体，前面已推导出平面PBC 与平面BCD 所成的二面角的余弦值为333221=⨯⨯=⋅⋅BD PC BC PD ，可见，基础四面体作为一部分，经常出现在某些几何体中．解：(1)∵⊥PD 平面ABCD ，∴BC PD ⊥．又⊥BC 平面PDC ，∴BPC ∠为PB 与平面PCD 所在的角，即︒=∠45BPC ．同理：PBD ∠即为PB 与平面ABD 所成的角，∴︒=∠30PBD ，在PBC Rt ∆中，∵2=PB ，∴2==PC BC ．在PBD Rt ∆中，︒=∠30PBD ，∴1=PD ，3=BD ．在BCD Rt ∆中，2=BC ，3=BD ，∴1=CD ．(2)∵CD AB //，∴PB 与CD 所成的角，即为PB 与AB 所成的角，PBA ∠即为PB 与AB 所成的角∵⊥PD 平面ABCD ，AB AD ⊥，∴AB PA ⊥（三垂线定理）．在PAB Rt ∆中，1==CD AB ，2=PB ，∴︒=∠60PBA ．(3)由点C 向BD 作垂线，垂足为E ，由点E 向PB 作垂线，垂足为F ，连结CF ． ∵⊥PD 平面ABCD ，∴CE PD ⊥．又BD CE ⊥，∴⊥CE 平面PBD ，CF 为平面PBD 的斜线，由于PB EF ⊥，∴由三垂线定理：CF PB ⊥．∴CEF ∠为二面角D PB C --的平面角在BCD Rt ∆中，2=BC ，1=DC ，3=BD ， ∴36=⋅=BD CD BC CE ．在PCB Rt ∆中，2=BC ，2=PC ，2=PB ， ∴1=⋅=PB CP BC CF ， ∴36sin ==∠CF CB CFE ． ∴33cos =∠CFE ， ∴二面角D PB C --的余弦值为33．说明：解空间几何计算问题，一般要做两件事：一件是根据问题的需要作必要证明，如本题中的线线所成的角、面面所成的角从理认上都必须说清楚究竟是谁；另一件事才是计算，这两件事是根据问题解答逻辑上的需要有机的结合在一起的． 典型例题十五例15 过点S 引三条不共面的直线SA 、SB 、SC ，如图，︒=∠90BSC ，︒=∠=∠60ASB ASC ，若截取a SC SB SA ===(1)求证：平面ABC ⊥平面BSC ；(2)求S 到平面ABC 的距离．分析：要证明平面ABC ⊥平面BSC ，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC 或平面BSC 内找到一条与另一个平面垂直的直线．(1)证明：∵a SC SB SA ===，又︒=∠=∠60ASB ASC ，∴ASB ∆和ASC ∆都是等边三角形，∴a AC AB ==，取BC 的中点H ，连结AH ，∴BC AH ⊥．在BSC Rt ∆中，a CS BS ==，∴BC SH ⊥，a BC 2=， ∴2)22(222222a a a CH AC AH =-=-=，∴222a SH =． 在SHA ∆中，∴222a AH =，222a SH =，22a SA =， ∴222HA SH SA +=，∴SH AH ⊥，∴⊥AH 平面SBC ．∵⊂AH 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．或：∵AB AC SA ==，∴顶点A 在平面BSC 内的射影H 为BSC ∆的外心，又BSC ∆为∆Rt ，∴H 在斜边BC 上，又BSC ∆为等腰直角三角形，∴H 为BC 的中点，∴⊥AH 平面BSC ．∵⊂AH 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．(2)解：由前所证：AH SH ⊥，BC SH ⊥，∴⊥SH 平面ABC ，∴SH 的长即为点S 到平面ABC 的距离，a BC SH 222==，∴点S 到平面ABC 的距离为a22．典型例题十六例16 判断下列命题的真假(1)两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面．(2)两个平面垂直，分别在两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直；(3)两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直．分析：(1)若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，如图，正方体C A 1中，平面AC ⊥平面1AD ，平面 AC 平面1AD AD =，在AD 上取点A ，连结1AB，则AD AB ⊥1，即过棱上一点A 的直线1AB 与棱垂直，但1AB 与平面ABCD 不垂直，其错误的原因是1AB没有保证在平面11A ADD内．可以看出：线在面内这一条件的重要性；(2)该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图，在正方体C A 1中，平面1AD ⊥平面AC ，1AD ⊂平面11A ADD，AB ⊂平面ABCD ，且1AD AB ⊥，即AB 与1AD 相互垂直，但1AD 与平面ABCD 不垂直；(3)如上图，正方体C A 1中，平面11A ADD⊥平面ABCD ，1AD ⊂平面11A ADD ，⊂AC 平面ABCD ，1AD 与AC 所成的角为︒60，即1AD 与AC 不垂直．说明：必须注意两个平面垂直的性质定理成立的条件：(1)线在面内，(2)线垂直于交线，从而可得出线面垂直．典型例题十七例17 如图，在︒60二面角βα--a 内有一点P ，P 到α、β的距离分别为3和5，求P 到交线a 的距离．解：作α⊥PA 于A ，β⊥PB 于B ，设PA ，PB 所确定的平面为γ，Q a = γ，连AQ ，BQ ，∵α⊥PA ，∴a PA ⊥．同理a PB ⊥，∴⊥a 平面γ，∴PQ a ⊥，则PQ 是P 到a 的距离．在四边形PAQB 中，︒=∠=∠90B A ，∴PAQB 是圆的内接四边形，且R PQ 2=．又∵︒=∠60BQA ，︒=∠120BPA ， ∴7120cos 53253=︒⋅⋅-+=AB ，331432760sin 2=⨯=︒==AB R PQ ．说明：本例作二面角的平面角用作垂面法，避免了再证明P 、B 、A 、Q 四点共面，同时用到正弦定理和余弦定理．典型例题十八例18 如图，四面体SABC 中，ABC ∆是等腰三角形，a BC AB 2==，︒=∠120ABC ，且⊥SA 平面ABC ，a SA 3=．求点A 到平面SBC 的距离．分析：考虑利用两个平面垂直的性质定理作出点A 到SBC 的垂线，先确定一个过点A 和平面SBC 垂直的平面，∵⊥SA 平面ABC ，故作BC AD ⊥于D ，连结SD ，则平面SAD ⊥平面SBC ，平面SAD 实际上就是二面角A BC S --的平面角SDA 所在的平面，因此，它的作图过程和用三垂线法作二面角A BC S --的平面角的作图过程完全相同．解：作BC AD ⊥交BC 于D ，连结SD ，∵⊥SA 平面ABC ，根据三垂线定理有BC SD ⊥，又D AD SD = ，∴BC ⊥平面SAD ，又BC ⊂平面SBC ，∴平面SBC ⊥平面ADS ，且平面SBC 平面ADS SD =，∴过点A 作SD AH ⊥于H ，由平面与平面垂直的性质定理可知：⊥AH 平面SBC ． 在SAD Rt ∆中，a SA 3=，a AB AD 360sin =︒⋅=， ∴23)3()3(332222a a a a a AD SA AD SA AH =+⋅=+⋅=，即点A 到平面SBC 的距离为23a．说明：二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱，同时垂直于二面角的两个两．从本例可以看出：要求点到平面的距离，只要过该点找到与已知平面垂直的平面，则点面距即可根据面面垂直的性质作出．。
9.5 两个平面垂直●知识梳理1.两个平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直.2.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.3.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直.●点击双基1.在三棱锥A —BCD 中，若AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，△BCD 是锐角三角形，那么必有 A.平面ABD ⊥平面ADC B.平面ABD ⊥平面ABC C.平面ADC ⊥平面BCD D.平面ABC ⊥平面BCD 解析：由AD ⊥BC ，BD ⊥AD ⇒AD ⊥平面BCD ，面AD ⊂平面ADC ， ∴平面ADC ⊥平面BCD . 答案：C2.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，AC =AA 1=a ，则点A 到平面A 1BC 的距离是A.aB.2a C.22a D. 3a解析：取A 1C 的中点O ，连结AO . ∵AC =AA 1，∴AO ⊥A 1C . 又该三棱柱是直三棱柱， ∴平面A 1C ⊥平面ABC . 又∵BC ⊥AC ，∴BC ⊥AO .因此AO ⊥平面A 1BC ，即A 1O 等于A 到平面ABC 的距离.解得A 1O =22a . 答案：C3.设两个平面α、β，直线l ，下列三个条件：①l ⊥α；②l ∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的个数为A.3B.2C.1D.0解析：答案：C4.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成的二面角A 1—BD —A 的正切值为_____________.答案：25.夹在互相垂直的两个平面之间长为2a 的线段和这两个平面所成的角分别为45°和30°，过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线，则两垂足间的距离为_____________.解析：如下图，平面α⊥β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，AB =2a . AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ， 则CD 即为所求.∵α⊥β，AC ⊥l ，∴AC ⊥β，∠ABC 就是AB 与平面β所成的角. 故∠ABC =30°，故AC =a .同理，在Rt △ADB 中求得AD =2a . 在Rt △ACD ，CD =222a a -=a .AB CD lαβ答案：a ●典例剖析 【例1】 如下图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB =∠ASC =60°，∠BSC =90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC .BCAO剖析：本题是面面垂直的证明问题.一条是从定义出发的思路，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线.但图中似乎没有现成的这样的直线，故作辅助线.根据已知条件的特点，取BC 的中点O ，连结AO 、SO ，既可证明AO ⊥平面BSC ，又可证明SO ⊥平面ABC .另一条是从定义出发的思路，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，注意到∠AOS 是二面角A —BC —S 的平面角，转化为证明∠AOS 是直角.证法一：取BC 的中点O ，连结AO 、SO . ∵AS =BS =CS ，SO ⊥BC ，又∵∠ASB =∠ASC =60°，∴AB =AC ， 从而AO ⊥BC .设AS =a ，又∠BSC =90°，则SO =22a . 又AO =22BO AB -=2221a a -= 22a ，∴AS 2=AO 2+SO 2，故AO ⊥OS .从而AO ⊥平面BSC ，又AO ⊂平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面BSC .证法二：同证法一证得AO ⊥BC ，SO ⊥BC ，∴∠AOS 就是二面角A —BC —S 的平面角.再同证法一证得AO ⊥OS ，即∠AOS =90°. ∴平面ABC ⊥平面BSC . 特别提示本题揭示的是证面面垂直常用的两种方法.此外，本题中证明∠AOS =90°的方法较为特殊，即通过“算”，定量地证得直角，而不是通过位置关系定性地推理出直角，这也是立体 何中证明垂直的一种重要方法.【例2】 如下图，在三棱锥S —ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC .ACSE H（1）求证：AB ⊥BC ；（2）若设二面角S —BC —A 为45°，SA =BC ，求二面角A —SC —B 的大小. （1）证明：作AH ⊥SB 于H ， ∵平面SAB ⊥平面SBC ， ∴AH ⊥平面SBC .又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC . SA 在平面SBC 上的射影为SH ， ∴BC ⊥SB .又SA ∩SB =S ， ∴BC ⊥平面SAB . ∴BC ⊥AB .（2）解：∵SA ⊥平面ABC ，∴平面SAB ⊥平面ABC .又平面SAB ⊥平面SBC ， ∴∠SBA 为二面角S —BC —A 的平面角. ∴∠SBA =45°.设SA =AB =BC =a .作AE ⊥SC 于E ，连结EH ，则EH ⊥SC ，∠AEH 为二面角A —SC —B 的平面角，AH =22a ，AC =2a ，SC =3a ，AE =36a ， ∴sin ∠AEH =23，二面角A —SC —B 为60°.思考讨论证明两个平面垂直的常见方法：（1）根据定义，证其二面角的平面角是直角；（2）根据判定定理，证明一个平面经过另一个平面的垂线.【例3】 已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，若过面对角线AB 1与另一面对角线BC 1平行的平面交上底面A 1B 1C 1的一边A 1C 1于点D .A BC111（1）确定D 的位置，并证明你的结论； （2）证明：平面AB 1D ⊥平面AA 1D ；（3）若AB ∶AA 1=2，求平面AB 1D 与平面AB 1A 1所成角的大小.剖析：本题的结论是“开放性”的，点D 位置的确定如果仅凭已知条件推理难以得出.由于AB 1与BC 1这两条面对角线是相邻二侧面上的异面直线，于是可考虑将BC 1沿BA 平行移动，BC 1取AE 1位置，则平面AB 1E 1一定平行BC 1，问题可以解决.（1）解：如下图，将正三棱柱ABC —A 1B 1C 1补成一直平行六面体ABCE —A 1B 1C 1E 1，由AE 1∥BC 1，AE 1⊂平面AB 1E 1，知BC 1∥平面AB 1E 1，故平面AB 1E 1应为所求平面，此时平面AB 1E 1交A 1C 1于点D ，由平行四边形对角线互相平行性质知，D 为A 1C 1的中点.AA B C BCE1111D（2）证明：连结AD ，从直平行六面体定义知AA 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，且从A 1B 1C 1E 1是菱形知，B 1E 1⊥A 1C 1，据三垂线定理知，B 1E 1⊥AD .又AD ∩A 1C 1=D ，所以B 1E 1⊥平面AA 1D ，又B 1E 1⊂平面AB 1D ，所以平面AB 1D ⊥平面AA 1D . （3）解：因为平面AB 1D ∩平面AA 1D =AD ， 所以过A 1作A 1H ⊥AD 于点H .作HF ⊥AB 1于点F ，连结A 1F ，从三垂线定理知A 1F ⊥AB 1. 故∠A 1FH 是二面角A 1—AB 1—D 的平面角.设侧棱AA 1=1，侧棱AB =2. 于是AB 1=22)2(1+= 3.在Rt △AB 1A 1中，A 1F =1111AB B A AA ⨯=321⋅=36，在Rt △AA 1D 中，AA 1=1，A 1D =21A 1C 1=22，AD =2121D A AA += 26.则A 1H =ADD A AA 11⨯=33. 在Rt △A 1FH 中，sin ∠A 1FH =FA H A 11=22， 所以∠A 1FH =45°.因此可知平面AB 1D 与平面AB 1A 1所成角为45°或135°.评述：本题主要考查棱柱的性质，以及面面关系、二面角的计算，同时考查空间想象能力和综合运用知识解决问题的能力.特别提示 1.开放性问题已进入高考试卷中，近年来，全国及上海市多次考查开放题，解开放题并将经验与解题技巧相结合，并要有较熟练的基础知识和“图形意识”，并能将典型图形灵活应用到解题中去.2.立体几何的计算并非单纯的数字计算，而是与作图和证明相结合的.立体几何计算题的主要步骤可以归纳为画—证—算三步.“画”是画图，添加必要的辅助线，或画出所要求的几何量，或进行必要的转化；“证”是证明，用三段论的方法证明你所画的几何量即为所求，然后进行最后一步计算.这三步之间紧密相连，环环相扣，互相制约，形成了解决立体几何计算题的思维程序，是综合考查学科能力的集中体现.●闯关训练 夯实基础1.P 为△ABC 所在平面外的一点，则点P 在此三角形所在平面上的射影是△ABC 垂心的充分必要条件是A.P A =PB =PCB.P A ⊥BC ，PB ⊥ACC.点P 到△ABC 三边所在直线距离相等D.平面P AB 、平面PBC 、平面P AC 与△ABC 所在的平面所成的角相等解析：条件A 为外心的充分必要条件，条件C 、D 为内心或旁心的必要条件（当射影在△ABC 的形内时为内心，在形外时为旁心）.答案：B2.m 、n 表示直线，α、β、γ表示平面，给出下列四个命题，其中正确命题为①α∩β=m ，n ⊂α，n ⊥m ，则α⊥β ②α⊥β，α∩γ=m ，β∩γ=n ，则m ⊥n ③α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m ，则m ⊥α ④m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥βA.①②B.②③C.③④D.②④ 答案：C 3.设a 、b 是异面直线，α、β是两个平面，且a ⊥α，b ⊥β，a ⊄β，b ⊄α，则当__________（填上一种条件即可）时，有α⊥β.解析：本题为开放性问题.可以填上a ⊥b ，也可以填a ∥β，或b ∥α. 答案：a ⊥b4.三个平面两两互相垂直，它们的三条交线交于一点O ，P 到三个平面的距离分别是3、4、5，则OP 的长为__________.解析：构造棱长分别为3、4、5的长方体，使OP 为长方体的对角线.故OP =222543++=52. 答案：525.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱长为3，E 、F 分别是AB 1、CB 1的中点，求证：平面D 1EF ⊥平面AB 1C . 证明：如下图，∵E 、F 分别是AB 1、CB 1的中点，A D DB B 11111E FO O∴EF ∥AC . ∵AB 1=CB 1，O 为AC 的中点， ∴B 1O ⊥AC . 故B 1O ⊥EF .在Rt △B 1BO 中，∵BB 1=3，BO =1，∴∠BB 1O =30°.从而∠OB 1D 1=60°，又B 1D 1=2，B 1O 1=21OB 1=1（O 1为BO 与EF 的交点）. ∴△D 1B 1O 1是直角三角形，即B 1O ⊥D 1O 1. ∴B 1O ⊥平面D 1EF .又B 1O ⊂平面ACB 1， ∴平面D 1EF ⊥平面AB 1C .6.（文）如下图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点，EF ∩BD =G .A A1（1）求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B ； （2）求点D 1到平面B 1EF 的距离d ； （3）求三棱锥B 1—EFD 1的体积V . （1）证法一：如下图，连结AC .A A1∵正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是正方形， ∴AC ⊥BD .又AC ⊥D 1D ，故AC ⊥平面BDD 1B 1. ∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点，故EF ∥AC . ∴EF ⊥平面BDD 1B 1.∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.证法二：∵BE =BF ，∠EBD =∠FBD =45°，∴EF ⊥BD . 又EF ⊥D 1D ，∴EF ⊥平面BDD 1B 1. ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.（2）解：在对角面BDD 1B 1中，作D 1H ⊥B 1G ，垂足为H . ∵平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1，且平面B 1EF ∩平面BDD 1B 1=B 1G ， ∴D 1H ⊥平面B 1EF ，且垂足为H . ∴点D 1到平面B 1EF 的距离d =D 1H .在Rt △D 1HB 1中，D 1H =D 1B 1·sin ∠D 1B 1H .∵D 1B 1=2A 1B 1=2·22=4，sin ∠D 1B 1H =sin ∠B 1GB =11GB B B =22144+=174，∴d =D 1H =4·174=171716. （3）解：V =V 11EFD B -=V EF B D 11-=31·d ·S EF B 1∆=31·1716·21·2·17=316. 评注：近几年立体几何的解答题一般都是一题多问，环环相扣.如本题的三小问便是如此.本题主要考查正四棱柱等基本知识，考查逻辑推理能力及空间思维能力.（理）如下图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a .求：A C 1（1）AB 与B 1C 所成的角； （2）AB 与B 1C 间的距离； （3）AB 与B 1D 间的距离. 解：（1）∵AB ∥CD ，∴∠B 1CD 是AB 与B 1C 所成角. ∵DC ⊥平面BB 1C 1C ，∴DC ⊥B 1C .于是∠DCB 1=90°. ∴AB 与B 1C 所成角为90°.（2）连结BC 1交B 1C 于O ，则BO ⊥B 1C . 又AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴AB ⊥BO .∴BO 是异面直线AB 和B 1C 的公垂线段， 易得BO =22a ， 即AB 与B 1C 间的距离为22a . （3）∵AB ∥DC ，AB ⊄平面B 1DC ，DC ⊂平面B 1DC ，∴AB ∥平面B 1DC ，从而AB 与平面B 1DC 间的距离即为AB 与B 1D 间的距离.∵BO ⊥B 1C ，BO ⊥CD ，B 1C ∩DC =C ，∴BO ⊥平面DB 1C .∴BO 的长为B 到平面B 1DC 间的距离.∵BO =22a ，∴AB 与B 1D 间的距离为22a . 培养能力7.如下图，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，P A ⊥底面ABCD ，E 为AB 的中点，且P A =AB .（1）求证：平面PCE ⊥平面PCD ； （2）求点D 到平面PCE 的距离.（1）证明：取PD 的中点F ，则AF ⊥PD . ∵CD ⊥平面P AD ，∴AF ⊥CD . ∴AF ⊥平面PCD .取PC 的中点G ，连结EG 、FG ，可证AFGE 为平行四边形. ∴AF ∥EG .∴EG ⊥平面PCD . ∵EG 在平面PCE 内， ∴平面PCE ⊥平面PCD .（2）解：在平面PCD 内，过点D 作DH ⊥PC 于点H .∵平面PCE ⊥平面PCD ，∴DH ⊥平面PCE ，即DH 为点D 到平面PCE 的距离. 在Rt △P AD 中，P A =AD =a ，PD =2a .在Rt △PCD 中，PD =2a ，CD =a ，PC =3a ， ∴DH =PCDC PD ⋅=36a . 8.（2003年杭州高考质量检测题）如下图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB =AA 1，E是棱BB 1的中点.A11（1）求证：平面A 1EC ⊥平面AA 1C 1C ；（2）若我们把平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成的锐二面角为60°时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由；（3）设AB =a ，求体积V EC A A 1-.（1）证明：连结A 1C 与AC 1交于点F ，连结EF ，则由条件可得EC =EA 1，则EF ⊥A 1C .同理EC 1=EA ，则EF ⊥AC 1，∴EF ⊥面AA 1C 1C .A 1而EF ⊂面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面AA 1C 1C .〔也可通过如下（2）的辅助线先证明EF ∥A 1H ，而A 1H ⊥面AA 1C 1C 得到〕（2）解：延长CE 交C 1B 1的延长线于点H ，则有C 1B 1=B 1H =A 1B 1，则∠HA 1C 1=90°，且∠CA 1H =90°，所以∠CA 1C 1为平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成二面角的平面角.若此正三棱柱为“黄金棱柱”，则∠CA 1C 1=60°，应有CC 1=3A 1C 1，与条件AB =AA 1矛盾.所以此三棱柱不能成为“黄金棱柱”.（也可利用公式cos θ=ABCC B A S S ∆∆111得到二面角的平面角来解决）（3）解：V EC A A 1-=V C AA E 1-=31·EF ·21AA 1·AC =61×23a ×a ×a =123 a 3.（或通过V EC A A 1-=V AE A C 1-来计算）探究创新9.如下图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB =60°，且边长为a 的菱形，侧面P AD 为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.（1）若G 为AD 边的中点，求证：BG ⊥平面P AD ； （2）求证：AD ⊥PB ；（3）求二面角A —BC —P 的大小；（4）若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找一点F ，使得平面DEF ⊥平面ABCD ，并证明你的结论.（1）证明：∵在菱形ABCD 中，∠DAB =60°，G 为AD 边的中点，∴BG ⊥AD .又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD =AD ，∴BG ⊥平面P AD .（2）证明：连结PG ，则PG ⊥AD ，由（1）得BG ⊥AD ，又PG ∩BG =G ，BG ⊂平面PBG ，PG ⊂平面PBG ，∴AD ⊥平面PBG ，PB ⊂平面PBG .∴AD ⊥PB .（3）解：由（2）AD ⊥平面PBG ，而BC ∥AD ，∴BC ⊥平面PBG .而PB ⊂平面PBG ，BG ⊂平面PBG ，∴BC ⊥PB ，BC ⊥BG .∴∠PBG 就是二面角A —BC —P 的平面角.在△P AD 中，PG =23a ，∴在△PGB 中，∠PBG =45°，即二面角A —BC —P 为45°. （4）解：当F 为PC 的中点时，满足平面DEF ⊥平面ABCD .证明如下：取PC 的中点F ，连结DE 、EF 、DF ，则由平面几何知识，在△PBC 中，EF ∥PB ，在菱形ABCD 中，GB ∥DE ，而EF ⊂平面DEF ，ED ⊂平面DEF ，EF ∩DE =E ，∴平面DEF ∥平面PGB .又PG ⊥平面ABCD ，而PG ⊂平面PGB ，∴平面PGB ⊥平面ABCD .故平面DEF ⊥平面ABCD .评述：本题第（1）问的论证中主要运用了面面垂直的性质定理，第（2）问通过线线垂直与线面垂直的转化得以证明，第（3）问是通过寻找与二面角的棱垂直的平面，进而得出二面角的平面角，再归结为论证与计算，第（4）问是探索性问题，这里通过直觉捕捉结果，再进行逻辑论证.●思悟小结在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线，若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加.在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直.解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件和转化应用.●教师下载中心教学点睛1.结合图形向学生讲明两个平面垂直的判定定理及性质定理.2.在作二面角的平面角时，往往利用两个平面垂直的性质定理，即从某个平面内一点作它们交线的垂线，从而与另一个平面垂直，再作二面角、棱的垂线，由三垂线定理的逆定理得两垂足的连线也垂直于棱.3.对“线线垂直”“线面垂直”及“面面垂直”之间的关系作系统小结.拓展题例【例1】已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若mα，lβ且l ⊥m，则α⊥β；④若lβ且l⊥α，则α⊥β；⑤若mα，lβ且α∥β，则l∥m.其中正确命题的序号是_____________.答案：①④【例2】如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，P A⊥平面ABC.P（1）求证：平面P AC⊥平面PBC；（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.（1）证明：∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，∴BC⊥AC.又P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥P A，从而BC⊥平面P AC.∵BC⊂平面PBC，∴平面P AC⊥平面PBC.（2）解：平面P AC⊥平面ABCD；平面P AC⊥平面PBC；平面P AD⊥平面PBD；平面P AB⊥平面ABCD；平面P AD⊥平面ABCD.【例3】如下图，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，P A⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角P—CD—B为45°.（1）求证：AF∥平面PEC；（2）求证：平面PEC⊥平面PCD；（3）设AD=2，CD=22，求点A到平面PEC的距离.2012年高考第一轮复习数学分析：对问题（1），关键是证明AF 与平面PEC 内的一条直线平行，为此可取PC 的中点G ，论证AF ∥EG ；对问题（2），可转化为证明线面垂直；对问题（3），可转化为求点F 到平面PEC 的距离，进而可以充分运用（2）的结论.（1）证明：取PC 的中点G ，连结EG 、FG .∵F 是PD 的中点，∴FG ∥CD 且FG =21CD .而AE ∥CD 且AE =21CD ，∴EA ∥GF 且EA =GF ，故四边形EGF A 是平行四边形，从而EG ∥AF .又AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ，∴AF ∥平面PEC .（2）证明：∵P A ⊥平面ABCD ，∴AD 是PD 在平面ABCD 上的射影.又CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD ，∠PDA 就是二面角P —CD —B 的平面角.∴∠ADP =45°，则AF ⊥PD .又AF ⊥CD ，PD ∩CD =D ，∴AF ⊥平面PCD .由（1），EG ∥AF ，∴EG ⊥平面PCD ，而EG ⊂平面PEC ，∴平面PEC ⊥平面PCD .（3）解：过F 作FH ⊥PC 交PC 于点H ，又平面PEC ⊥平面PCD ，则FH ⊥平面PEC ，∴FH 为点F 到平面PEC 的距离，而AF ∥平面PEC ，故FH 等于点A 到平面PEC 的距离.在△PFH 与△PCD 中，∵∠FHP =∠CDP =90°，∠FPC 为公共角，∴△PFH ∽△PCD ，CD FH =PCPF . ∵AD =2，CD =22，PF =2，PC =22PD CD +=4，∴FH =42·22=1. ∴点A 到平面PEC 的距离为1.。
