2020-2021学年数学人教A版必修4学案：2.1 平面向量的实际背景及基本概念

第2章 平面向量2.1 向量的概念及表示1. 预习目标(1)理解向量、零向量、单位向量、相等向量及共线向量等概念；(2)掌握向量的表示方法；(3)能在图形中辨认共线向量与相等向量，能用有向线段表示已知向量．2. 预习提纲(1)复习物理中位移、速度、力和几何中有向线段等概念，理解平面向量的含义．(2)阅读课本P57-58,思考下列内容：①向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量．②向量的表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．符号AB 表示以A 为起点，B 为终点的向量．向量也可以用小写字母a ，b ，c等表示．③向量的模：向量AB 的大小称为向量的长度或向量的模，记作|AB |．④向量的其他概念及表示方法．3. 典型例题(1) 向量的有关概念例1 给出下列命题： ①若a =b ，则a b =；②若a <b ，则a b <；③若a =b ，则a ∥b ；④若a ∥b ，则a =b ；⑤若a =0，则a =0；⑥若a =b ，则a =b ．其中正确命题的序号是 ．分析：解答本题可借助于相等向量、共线向量的概念等基本知识逐一进行判断．解：由相等向量定义可知，若a =b ，则a ，b 的模相等，方向相同，故①不正确，⑥正确． a <b 知模的大小，而不能确定方向，故②不正确．共线向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共线，共线向量不一定相等，故③正确，④不正确．零向量与数字0是两个不同的概念，零向量不等于数字0，故⑤不正确．所以答案为③⑥．点评：此类题目关键是理解、区分向量的有关概念，从向量的长度与方向两方面认识向量，可举特例选择．(2) 共线向量与相等向量方向相同或相反的的非零向量为平行向量，零向量与任意向量平行．在图形中要能识别共线向量与相等向量．例2 如图：EF 是△ABC 的中位线，AD 是△ABC 的BC 边上的中线，以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段表示的向量中(1)与向量共线的向量有哪几个？请分别写出这些向量；(2)与向量DF 的模一定相等的向量有哪几个？请写出这些向量；(3)写出与向量DE 相等的向量．分析：根据共线向量与相等向量的定义即可解决．解：(1)与共线的向量有7个，它们分别是； (2)与向量的模一定相等的向量有5个，它们分别是，； (3)如图，DE ==FA .(3) 向量的应用例3 若AB AD =且BA CD =，判断四边形ABCD 的形状.分析：先由BA CD =得出四边形为平行四边形，再由AB AD =得出结论．解：由BA CD =知BA ∥CD 且BA =CD ，所以四边形ABCD 为平行四边形， 又因为AB AD =，所以四边形ABCD 为菱形． 点评：BA CD =隐含BA ∥CD 与BA =CD 两方面，一般，判断四边形的形状需要判断对边与邻边的关系．4. 自我检测(1) 判断下列说法是否正确： ①若两个向量相等，则它们的起点和终点重合；②若a 、b 都是单位向量，则a b =；③物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量； ④不相等的向量一定不平行；⑤若a 平行b ，b 平行c ，则a 平行c ；⑥零向量没有方向；⑦零向量与任何向量都平行；⑧零向量的方向是任意的； ⑨向量AB 与向量CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；⑩有向线段就是向量，向量就是有向线段．(2) 思考讨论：①所有的单位向量都相等吗？②AB ∥CD 与AB ∥CD 一样吗？③向量、能不能用不等号将它们连接起来？即能表示为＞或＜吗？三、课后巩固练习A组1．给出下列命题：①向量AB的长度与向量BA的长度相等；②若向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有共同终点的向量，一定是共线向量.其中，正确命题的个数是．2．以下各物理量：速度、位移、力、功，不能称之为向量的是．3．向量OE的长度记作_____；0的模是_____，i是单位向量，则||i的值是____．a )平行的向量中，不相等的单位向量有_____个．4．与非零向量a(15．已知a、b为不共线的非零向量，且存在向量c，使c∥a，c∥b，则c=_______．6．在直角坐标系中，已知OP=2，则点P构成的图形是_______．7．如图在正六边形ABCDEF中，Ｏ为中心，(1)与OF相等的向量有；(2)与DC共线的向量有；(3)与BA的模相等且反向的向量有．8．直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，3)，(5，2)，试画出两个与向量AB不相等且又共线的向量．B组9.在直角坐标系中，画出向量a：a=5，a的方向与x轴正向的夹角是30°，与y轴正方向的夹角是120°．10. 如图，D、E、F分别是△A BC各边上的中点，四边形BCMF是平行四边形．分别写出：(1)与共线的向量；(2)与共线的向量；(3)与相等的向量；(4)与FE相等的向量．11. 一架飞机从A 点向西北飞行200km 到达B 点，再从B 点向东飞行到达C 点，再从C 点向东偏南30°飞行了km 到达D 点．问D 点在A 点的什么方向，距A 点有多远？12．右图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是象棋中马的走法，如图，马可从A 跳到A 1，也可跳到A 2，用向量12,AA AA 表示马走了“一步”，试在图中画出马在B ,C 处走“一步”的所有情况．13．如图，在平面直角坐标系xoy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP 的坐标为 ．。

§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
一、三维目标
1、知识与技能
（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；
（2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；
并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系
（3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
2、过程与方法
引导发现法与讨论相结合。

这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。

体现了在老师的引导下，学生的的主体地位和作用。

3、情感目标与价值观
通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。

二、教学重点及难点
1重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示等
2难点：向量的概念和共线向量的概念。

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2.1 平面向量的实际背景及基本概念课堂探究探究一向量的表示1．准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.2.注意事项：书写有向线段时,要注意起点和终点的不同;在书写字母表示时不要忘了字母上的箭头．【典型例题1】在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为１），用直尺和圆规画出下列向量:（1) OA,使|OA|＝4A在点O北偏东45°方向；(2) AB,使｜AB|＝4,点B在点Ａ正东方向;(3) BC,使|BC|=6，点C在点B北偏东3０°方向．解：如图中的OA，AB和BC。

探究二相等向量与共线向量1.寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线.2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再找同向与反向的向量.注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．【典型例题2】给出下列说法:①|AB｜=|BA|;②若a与b方向相反,则a∥b;③若AB，CD是共线向量，则A,B,C，D四点共线；④有向线段是向量,向量就是有向线段.其中所有正确的序号是____＿___．思路分析:利用共线(平行）向量的概念判断．解析：①中AB与BA的起点终点相反，但长度相等,故①正确;②正确；③AB与CD共线时，有AB∥ＣD或A，B，Ｃ，D四点共线，故③错误；④向量是一个量,有向线段是一种几何图形，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段.答案:①②【典型例题3】如图，O是正方形ABＣD对角线的交点,四边形OAED，OＣFB都是正方形，在图中所示的向量中分别写出：(１）与DO，CO相等的向量.（2）与DO共线的向量．解:（1) DO=CF，CO=DE．(2)与DO共线的向量为:CF,BO,AE.规律小结对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况.探究三易错辨析易错点:混淆向量的有关概念而致错【典型例题4】已知下列命题:①若|a｜=０,则a为零向量；②若|a|=｜b|,则a＝b或a=-b；③若a∥b，则｜a|＝｜b|;④所有单位向量都是相等向量；⑤两个有共同起点,而且相等的向量,其终点必相同.其中正确的有（）A．2个ﻩﻩB．3个ﻩ C.４个ﻩﻩD．5个错解:C错因分析:①正确;②正确;③错误;没有正确理解单位向量和相等向量而判断④正确;⑤正确．正解：①正确;②由|a|＝|b｜得a与b的模相等，但不确定方向，故②错误;③错误；④所有单位向量的模都相等,都为1，但方向不确定,故④不正确;⑤正确.答案：A方法技巧明确向量及其相关概念的联系与区别:(1)区分向量与数量：向量既强调大小，又强调方向，而数量只与大小有关.（２)明确向量与有向线段的区别:有向线段有三要素:起点、方向、长度，只要起点不同，另外两个要素相同也不是同一条有向线段,但决定向量的要素只有两个：大小和方向,与表示向量的有向线段的起点无关．(3)零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的.零向量的方向是任意的.(4)平行向量也叫共线向量，当两共线向量的方向相同且模相等时,两向量为相等向量.以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。

2．4平面向量的数量积内容标准学科素养1.了解平面向量数量积的物理背景.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直. 学会数学建模应用数学抽象提升数学运算[基础认识]知识点一平面向量数量积的物理背景及其定义阅读教材P103～104，思考并完成以下问题一个物体在力F的作用下产生位移s，如图．(1)如何计算这个力所做的功？提示：W＝|F|·|s|cos θ.(2)力做功的大小与哪些量有关？提示：力的大小，位移的大小及两者的夹角．条件非零向量a与b，a与b的夹角为θ结论数量|a||b|cos_θ叫向量a与b的数量积(或内积)记法向量a与b的数量积记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ规定零向量与任一向量的数量积为0①投影的概念b在a的方向上的投影为|b|cos__θ，a在b的方向上的投影为|a|cos__θ．②数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a上的投影的乘积．知识点二平面向量数量积的性质思考并完成以下问题向量的数量积与向量的线性运算结果有什么区别？(1)若|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为0°.a·b＝________，a＋b＝________．提示：a·b＝2×3×cos 0＝6，而a＋b其大小为5，方向与a同向．(2)若|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为180°.a·b＝________，a＋b＝________．提示：a·b＝2×3×cos 180°＝－6，a＋b的大小为1，方向与b同向．(3)非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？提示：数量积可为正数，负数，零，是一个实数，其符号由夹角的余弦值确定．知识梳理设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，(1)a⊥b⇔a·b＝0.(2)当a ∥b 时，a ·b ＝⎩⎨⎧|a ||b |，a 与b 同向，－|a ||b |，a 与b 反向.(3)a ·a ＝a 2或|a |＝a 2．(4)cos θ＝a ·b|a ||b |． (5)|a ·b |≤|a ||b |.知识点三 平面向量数量积的运算律 思考并完成以下问题类比实数乘法的运算律，可得出哪些数量积的运算律？ 判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确？运算律 实数乘法 向量数量积 判断正误交换律 ab ＝ba a ·b ＝b ·a ______ 结合律 (ab )c ＝a (bc ) (a ·b )c ＝a (b ·c ) ______ 分配律 (a ＋b )c ＝ac ＋bc (a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ______ 消去律 ab ＝bc (b ≠0) ⇒a ＝c a ·b ＝b ·c (b ≠0) ⇒a ＝c ______提示：正 误 正 误 知识梳理 (1)a ·b ＝b ·a (交换律)． (2)(λa )·b ＝λa ·b ＝λb ·a (结合律)． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．[自我检测]1．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3，则a ·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：A2．已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上的投影为( ) A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2 答案：D授课提示：对应学生用书第63页探究一 平面向量数量积的计算[教材P 104例1]方法步骤：(1)求模；(2)求向量夹角；(3)求数量积．[例1] (1)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是______ .[解析] 由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP→＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP→＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD→＝22. [答案] 22(2)已知|a |＝3，|b |＝6，当①a ∥b ；②a ⊥b ；③a 与b 的夹角是60°时，分别求a ·b . [解析]①当a ∥b 时，若a 与b 同向，则它们的夹角为0°，∴a ·b ＝|a ||b |cos 0°＝3×6×1＝18. 若a 与b 反向，则它们的夹角为180°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 180°＝3×6×(－1)＝－18. ②当a ⊥b 时，它们的夹角为90°，∴a ·b ＝0. ③当a 与b 的夹角是60°时，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝3×6×12＝9.(3)已知|a |＝10，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°. 求：①a ·b ；②(a －2b )·(a ＋b )；③(a －b )2.[解析] ①a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝10×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－20.②(a －2b )·(a ＋b )＝a 2＋a ·b －2a ·b －2b 2＝a 2－a ·b －2b 2＝|a |2－|a ||b |cos 120°－2|b |2＝100－10×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2×42＝88.③(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝|a |2－2|a ||b |cos 120°＋|b |2＝100－2×10×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋42＝100＋40＋16＝156.方法技巧求平面向量数量积的两个方法(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a ·b ＝|a ||b |cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求a ·b .延伸探究 1.将本例(3)改为：如图所示，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°，求： (1)AD →·BC →； (2)AB →·CD →； (3)AB →·DA→； (4)AB→在CB →方向上的投影． 解析：(1)∵AD→∥BC →，且方向相同，∴AD →与BC →的夹角是0°， ∴AD →·BC →＝|AD →||BC →|cos 0°＝3×3×1＝9.(2)∵AB →∥CD →，且方向相反，∴AB →与CD →的夹角是180°， ∴AB →·CD →＝|AB →||CD →|cos 180°＝4×4×(－1)＝－16. (3)∵AB →与AD →的夹角为60°，∴AB →与DA →的夹角为120°，∴AB →·DA →＝|AB →||DA →|cos 120°＝4×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－6.(4)∵AB →与AD →的夹角为60°，而CB→与AD →方向相反， ∴AB →与CB →的夹角为120°，∴AB →在CB →方向上的投影为|AB →|cos 120°＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2.探究二 平面向量数量积有关的参数问题 [教材P 105例4]方法步骤：利用数量积转化为参数的方程或不等式． [例2] 已知|a |＝3，|b |＝2，向量a ，b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3b ，求当m 为何值时，c 与d 垂直．[解析] 由已知得a ·b ＝3×2×cos 60°＝3. 若c ⊥d ，则c ·d ＝0，∴c ·d ＝(3a ＋5b )·(m a －3b )＝3m a 2＋(5m －9)a ·b －15b 2＝27m ＋3(5m －9)－60＝42m －87＝0，∴m ＝2914，即当m ＝2914时，c 与d 垂直．方法技巧 利用题意，构造数量积，若垂直，有数量积为0，建立参数的等式或方程．跟踪探究 1.已知菱形ABCD 的边长为6，∠ABD ＝30°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝2BE ，CD ＝λCF .若AE →·BF →＝－9，则λ的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：依题意得AE →＝AB →＋BE →＝12BC →－BA →，BF →＝BC →＋1λBA →，因此AE →·BF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC →－BA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋1λBA →＝12BC →2－1λBA →2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－1BC →·BA →，于是有⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1λ×62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－1×62×cos 60°＝－9，由此解得λ＝3.故选B.答案：B探究三 利用数量积求向量的模、夹角 [教材P 108习题第6题]设|a |＝12，|b |＝9，a ·b ＝－542，求a 与b 的夹角θ. 解析：cos θ＝a ·b |a ||b |＝－54212×9＝－22，∵0∈[0，π]，∴θ＝－34π. 角度1 向量的夹角问题[例3] 若非零向量a ，b 满足|a |＝223·|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4B.π2 C.3π4 D ．π[解析] 由(a －b )⊥(3a ＋2b )得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a ·b －2b 2＝0. 又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ， 即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0， ∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0. ∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. [答案] A方法技巧 (1)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝a ·b|a ||b |求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出a ·b 的值及|a |，|b |的值，然后代入求解，也可以寻找|a |，|b |，a ·b 三者之间的关系，然后代入求解．(2)求向量的夹角，还可结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解．(3)求向量的夹角时，注意向量夹角的范围是[0，π]．延伸探究 2.将本例改为：a ⊥(a －b )，其他已知条件不变，求a 与b 的夹角的余弦值．解析：∵a ⊥(a －b )， ∴a ·(a －b )＝0， ∴|a |2－a ·b ＝0，∴89|b |2－223|b |2cos θ＝0， ∴cos θ＝223.角度2 求向量的模[例4] (1)已知|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，求|3a ＋b |的值；(2)如图，已知在▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，∠DAB ＝π3，求对角线AC 和BD 的长．[解析] (1)∵|3a －2b |2＝9|a |2－12a ·b ＋4|b |2＝9×25－12a ·b ＋4×25＝325－12a ·b ， 又|3a －2b |＝5，∴325－12a ·b ＝25，则a ·b ＝25.∴|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9×25＋6×25＋25＝400. 故|3a ＋b |＝20.(2)设AB→＝a ，AD →＝b ，则|a |＝3，|b |＝1，a 与b 的夹角θ＝π3. ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝32.又∵AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ， ∴|AC →|＝AC →2＝（a ＋b ）2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝13， |DB→|＝DB→2＝（a －b ）2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝7.∴AC ＝13，BD ＝7.方法技巧求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量的数量积联系，并灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．(3)一些常见的等式应熟记，如(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2等．跟踪探究 2.已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角θ为π3.求|a ＋b |，|a －b |.解析：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252. |a ＋b |＝（a ＋b ）2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3.|a －b |＝（a －b ）2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5.授课提示：对应学生用书第64页[课后小结]1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0，0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0，90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．2．数量积对结合律一般不成立，因为(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉c 是一个与c 共线的向量，而a ·(b ·c )＝a |b |·|c |cos 〈b ，c 〉是一个与a 共线的向量，两者一般不同． 3．求投影有两种方法(1)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)，a 在b 方向上的投影为|a |cos θ.(2)b 在a 方向上的投影为a ·b |a |，a 在b 方向上的投影为a ·b|b |. 4．两非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0，求向量模时要灵活运用公式|a |＝a 2.[素养培优]1．忽视向量夹角范围致错[典例] 若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．易错分析 两个向量所成角的范围是[0，π]，两个向量所成的角为钝角，误认为所成角π为钝角，导致所求的结果范围扩大． 自我纠正[解析] ∵2a －3b ＝(2k －3，－6)，c ＝(2，1)， 又2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c <0， 即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k <3. 若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92. 当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c . 即2a －3b 与c 反向．综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，32．求错两向量夹角位置[典例] 如图，设正三角形ABC 的边长为2，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________． 易错分析 〈a ，b 〉＝120°，错写为60°，〈b ，c 〉＝120°，错写为60°，〈c ，a 〉＝120°，错写为60°. 自我纠正[解析] ∵|a |＝|b |＝|c |＝2，且a 与b 、b 与c 、c 与a 的夹角均为120°，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝2×2×cos 120°×3＝－3. [答案] －33．向量在另一向量的投影的概念理解错[典例] 已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为23π，则b 在a 上的投影为________． 易错分析 将投影理解为线段长度． 自我纠正[解析] b cos 23π＝2×cos 23π＝－1. [答案] －1。

第二章平面向量本章教材分析1．丰富多彩的背景,引人入胜的内容.教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性,接着介绍了平面向量的有关知识.学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力.平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础,从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示.向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来,这样为解决有关的几何问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题.最后介绍了平面向量的应用.2．教学的最佳契机,全新的思维视角.向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的.反过来,向量的理论和方法,又成为解决物理学和工程技术的重要工具,向量之所以有用,关键是它具有一套良好的运算性质,通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算,这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题.这一章的内容虽然概念多,但大都有其物理上的来源,虽然抽象,却与图形有着密切的联系,向量应用的优越性也是非常明显的.全新的思维视角,恰当的教与学,使得向量不仅生动有趣,而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机.3．本章充分体现出新教材特点.以学生已有的物理知识和几何内容为背景,直观介绍向量的内容,注重向量运算与数的运算的对比,特别注意知识的发生过程.对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论.这一章中的一些例题,教科书不是先给出解法,而是先进行分析,探索出解题思路,再给出解法.解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法,有的还让学生进一步考虑相关的问题.对知识的处理,都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式,从而培养学生的思维能力.向量的坐标实际上是把点与数联系起来,进而可把曲线与方程联系起来,这样就可用代数方程研究几何问题,同时也可以用几何的观点处理某些代数问题.§2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、教学分析本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础.二、教学目标1、知识与技能：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量。

教学准备
1. 教学目标
向量及向量的基本运算
2. 教学重点/难点
向量及向量的基本运算
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
③单位向量：模为1个单位长度的向量。

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上。

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。

相等向量经过平移后总可以重合，记为
注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

4)实数与向量的积
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。

5)两个向量共线定理
6)平面向量的基本定理
7)特别注意:
（1）向量的加法与减法是互逆运算。

（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件。

（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。

（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。

【例题选讲】
例1、判断下列各命题是否正确。

随堂手记自我评价：我对本节课内容掌握情况：（ ）随堂手记 §2.1平面向量的实际背景及基本概念✂ 学习目标1、 了解向量的实际背景；理解响亮的几何表示；2、了解零向量、单位向量、向量的模、向量相等、共线向量等概念。

✂ 新课预习：1、 我们把________________________的量叫做向量；2、 我们把____________________的线段叫做有向线段，以A 为起点，B 为终点的有向线段 记作____，线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长度，记作_____，有向线段包括三要素 _______、________、_______；3、 向量可以用有向线段表示，向量AB 的长度（或称____）记作_____，长度为零的向量叫 做_________，记作0，长度等于1个单位的向量，叫做_______；4、 _______________________的非零向量叫做平行向量，向量a 与b 平行，记作______，规 定0与任一非零平行，即对任意向量a 都有_________；5、 _______________________的向量叫做相等向量；若a 与b 相等，记作_______；✂ 新课导学：例1、（向量的有关概念）给出下列命题：○1向量AB 和向量BA 的长度相等；○2方向不相同的两个向量一定不平行；○3向量就是有 向线段；○4向量0=0；○5向量AB 大于向量CD 。

其中正确的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3变式练习1、下列命题：○1向量可以比较大小；○2向量的模可以比较大小；○3若a b =， 则一定有|a |=|b |，且a a 与b 方向相同；○4对于一个向量，只要不改变它的大小和方向， 是可以任意平行移动的。

其中正确的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 例2、（平行向量的概念）判断下列命题是否正确： （1） 若a //b ，则a 与b 的方向相同或相反；（2） 四边形ABCD 是平行四边形，则向量AB =DC ，反之也成立；（3） |a |=|b |，a ，b 不一定平行，//a b ，|a |不一定等于|b |； （4） 共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。

第二章§2.1.1平面向量的实际背景及基本概念学习目标：1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别．2.会用有向线段作向量的几何表示，会用字母表示向量．3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，预习导航：1．向量：既有，又有的量叫做向量．2．向量的几何表示：以A为起点、B为终点的有向线段记作____.3．向量的有关概念：(1)零向量：长度为的向量叫做零向量，记作 .(2)单位向量：长度等于个单位的向量，叫做单位向量．(3)相等向量：且的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共线向量)：方向的向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量a平行于b，记作 . ②规定：零向量与平行.探究问题（一）向量的物理背景概念与概念1.向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量。

例如，已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度．其中是数量的有，是向量的有 .探究问题（二）向量的几何表示1.有向线段表示，画法，三要素(1) 几何表示法：常用一条有向线段表示向量.符号表示：以A为起点、B为终点的有向线段，记作.(注意起终点顺序).向量的图示，要标上箭头及起、终点，以体现它的直观性.(2) 字母表示法：可表示AB为a.向量的模：向量AB的长度称为向量的模. 记作：|AB|.强调：数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有大小，方向，不能比较大小，模是实数，可以比较大小的.2.几个向量概念的理解两个特殊向量：(1) 零向量——长度为零的向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.(2) 单位向量——长度等于1个单位长度的向量探究问题思考：如果我们把一组平行向量的起点全部移到同一点O，这时各向量的终点之间有什么关系？这时它们是不是平行向量？（三）相等向量与共线向量1.相等向量：长度相等且方向相同的向量。