《计数原理》排列(二)

§2排列(二)[学习目标]1．进一步加深对排列概念的理解．2．掌握几种有限制条件的排列问题的处理方法，能应用排列数公式解决简单的实际问题．[知识链接]有限制条件的排列问题的解题思路有哪些？答所谓有限制条件的排列问题是指某些元素或位置有特殊要求．解决此类问题常从特殊元素或特殊位置入手进行解决，常用的方法有直接法和间接法，直接法又有分步法和分类法两种．(1)直接法①分步法按特殊元素或特殊位置优先安排，再安排一般元素(位置)依次分步解决，特别地：(ⅰ)当某些特殊元素要求必须相邻时可以先将这些元素看作一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，这种分步法称为“捆绑法”，即“相邻元素捆绑法”．(ⅱ)当某些特殊元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空档，这种方法称为“插空法”，即“不相邻元素插空法”．②分类法直接按特殊元素当选情况或特殊位置安排进行分类解决，即直接分类法．特别地当某些元素按一定顺序排列时可用“等机率法”，即n个不同元素参加排列，其中m个元素的顺序是确定的，这类问题的解法采用分类法：n个不同元素的全排列有A n n种排法，m个元素的全排列有A m m种排法，因此A n n种排法中关于m个元素的不同分法有A m m类，而且每一分类的排法数是一样的，当这m个元素顺序确定时，共有A n nA m m种排法．(2)间接法符合条件数等于无限制条件数与不符合条件数的差．故求符合条件的种数时，可先求与其对应的不符合条件的种数，进而求解，即“间接法”．[预习导引]1．排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝n！（n－m）！．A n n＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫作n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1．2．应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤：要点一数字排列的问题例1用0，1，2，3，4，5这六个数字(1)可以组成多少个数字不重复的三位数？(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数？(3)可以组成多少个数字不允许重复的三位奇数？(4)可以组成多少个数字不重复的小于1 000的自然数？(5)可以组成多少个大于3 000，小于5 421的不重复的四位数？解(1)分三步：①先选百位数字，由于0不能作百位数字，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法．由分步乘法计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100(个)．(2)分三步：①百位数字有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6种选法．故所求三位数共有5×6×6＝180(个)．(3)分三步：①先选个位数字，有3种选法；②再选百位数字，有4种选法；③选十位数字也有4种选法，所以所求三位奇数共有3×4×4＝48(个)．(4)分三类：①一位数共有6个；②两位数共有5×5＝25(个)；③三位数共有5×5×4＝100(个)．因此，比1 000小的自然数共有6＋25＋100＝131(个)．(5)分四类：①千位数字为3，4之一时，共有2×5×4×3＝120(个)；②千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3＝48(个)；③千位数字为5，百位数字为4，十位数字为0，1之一时，共有2×3＝6(个)；④还有5 420也是满足条件的1个．故所求四位数共120＋48＋6＋1＝175(个)．规律方法排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子上不排某个元素．解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先考虑特殊位子，若一个位子安排的元素影响另一个位子的元素个数时，应分类讨论．跟踪演练1用0，1，2，…，9十个数字可组成多少个满足以下条件的且没有重复数字的数：(1)五位奇数；(2)大于30 000的五位偶数．解(1)要得到五位奇数，末位应从1，3，5，7，9五个数字中取，有5种取法；取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的8种不同取法；首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位、百位与千位三个数位选取，共有A38种不同的排列方法．因此由分步乘法计数原理共有5×8×A38＝13 440个没有重复数字的五位奇数．(2)要得偶数，末位应从0，2，4，6，8中选取，而要得比30 000大的五位偶数，可分两类：①末位数字从0，2中选取，则首位可取3，4，5，6，7，8，9中任一个，共有7种选取方法，其余三个数位可从除首末两个数位上的数字之外的八个数字中选取，共A38种取法．所以共有2×7×A38种不同情况．②末位数字从4，6，8中选取，则首位应从3，4，5，6，7，8，9中除去末位数字的六个数字中选取，其余三个数位仍有A38种选法，所以共有3×6×A38种不同情况．由分类加法计数原理，比30 000大的无重复数字的五位偶数共有2×7×A38＋3×6×A38＝10 752(个)．要点二排队问题例23名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：(1)选5名同学排成一行；(2)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(3)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(5)全体站成一排，男、女各站在一起；(6)全体站成一排，男生必须排在一起；(7)全体站成一排，男生不能排在一起；(8)全体站成一排，男、女生各不相邻；(9)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；(10)全体站成一排，甲必须在乙的右边；(11)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；(12)排成前后两排，前排3人，后排4人．解(1)无限制条件的排列问题，只要从7名同学中任选5名排列，即可得共有N＝A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．(2)(直接分步法)先考虑甲有A13种方案，再考虑其余6人全排A66，故N＝A13A66＝2 160(种)．(3)(直接分步法)先安排甲、乙有A22种方案，再安排其余5人全排A55，故N＝A22·A55＝240(种)．(4)法一(直接分类法)按甲是否在最右端分两类：第一类：甲在最右端有N1＝A66(种)；第二类：甲不在最右端时，甲有A15个位置可选，而乙也有A15个位置，而其余全排A55，N2＝A15A15A55.故N＝N1＋N2＝A66＋A15A15A55＝3 720(种)．法二(间接法)无限制条件的排列数共有A77，而甲或乙在左端(右端)的排法有A66，且甲在左端且乙在右端的排法有A55，故N＝A77－2A66＋A55＝3 720(种)．法三(直接分步法)按最左端优先安排分步对于左端除甲外有A16种排法，余下六个位置全排有A66，但减去乙在最右端的排法A15A55种，故N＝A16A66－A15A55＝3 720(种)．(5)相邻问题(捆绑法)男生必须站在一起，是男生的全排列，有A33种排法，女生必须站在一起，是女生的全排列，有A44种排法，全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法，由分步乘法计数原理知，共有A33·A44·A22＝288(种)．(6)(捆绑法)即把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排，故N＝A33·A55＝720(种)．(7)即不相邻问题(插空法)：先排女生共A44种排法，男生在4个女生隔成的5个空中安排有A35种排法，故N＝A44·A35＝1 440(种)．(8)对比(7)让女生插空：N＝A33·A44＝144(种)．(9)(捆绑法)任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排，故N＝(A25·A22)·A44＝960(种)．(10)甲与乙之间的左右关系各占一半，故N＝A77A22＝2 520(种)．(11)甲、乙、丙自左向右顺序保持不变，即为所有甲、乙、丙排列的1A33，∴N＝A77A33＝840(种)．(12)直接分步完成共有A37·A44＝5 040(种)．规律方法排队问题的解题策略排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题．(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决．即将相邻的元素视为一个整体进行排列．(2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决．即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中．(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决．即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数．跟踪演练2分别求出符合下列要求的不同排法的种数：(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相邻．解(1)分排与直排一一对应，故排法种数为A66＝720.(2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有A14种选法，然后其他5人排，有A55种排法，故排法种数为A14A55＝480.(3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有A44A25＝480(种)排法．要点三排列的综合应用例3从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？其中有实根的方程有多少个？解先考虑组成一元二次方程的问题．首先确定a，只能从1，3，5，7中选一个，有A14种，然后从余下的4个数中任选两个作b，c，有A24种．由分步乘法计数原理知，共组成一元二次方程A14·A24＝48(个)方程要有实根，必须满足Δ＝b2－4ac≥0.分类讨论如下：当c＝0时，a，b可以从1，3，5，7中任取两个，有A24种；当c≠0时，分析判别式知b只能取5，7中的一个．当b取5时，a，c只能取1，3这两个数，有A22种；当b取7时，a，c可取1，3或1，5这两组数，有2A22种．此时共有(A22＋2A22)个．由分类加法计数原理知，有实根的一元二次方程共有：A24＋A22＋2A22＝18(个)．规律方法该例的限制条件较隐蔽，需仔细分析，一元二次方程中a≠0需要考虑到，而对有实根的一元二次方程需有Δ≥0.这里有两层意思：一是a不能为0；二是要保证b2－4ac≥0，所以需先对c能否取0进行分类讨论．实际问题中，既要能观察出是排列问题，又要能搞清哪些是特殊元素，还要根据问题进行合理分类、分步，选择合适的解法．因此需做一定量的排列应用题，逐渐掌握解决问题的基本思想．跟踪演练3从集合{1，2，3，…，20}中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？解设a，b，c∈N*，且a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c应是偶数．因此从1到20这20个数字中任选出三个数成等差数列，则第一个数与第三个数必同为偶数或同为奇数，而1到20这20个数字中有10个偶数和10个奇数．当第一个和第三个数选定后，中间数被唯一确定．因此，选法只有两类．(1)第一、三个数都是偶数，有A210种；(2)第一、三个数都是奇数，有A210种．于是，选出3个数成等差数列的个数为A210＋A210＝180(个).1．用1，2，3，4，5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有()A．30个B．36个C．40个D．60个答案 B解析分2步完成：个位必为奇数，有A13种选法；从余下的4个数中任选2个排在三位数的百位、十位上，有A24种选法．由分步乘法计数原理，共有A13×A24＝36(个)无重复数字的三位奇数．2．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为() A．720 B．144 C．576 D．684答案 C解析(间接法)甲、乙、丙三人在一起的排法种数为A44×A33；不考虑任何限制，6人的全排列有A66.∴符合题意的排法种数为A66－A44×A33＝576.3．(2013·北京理)将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．答案96解析5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其他号码各为一组，分给4人，共有4×A44＝96种．4．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允许有空袋，且红口袋中不能装入红球，则有________种不同的放法．答案96解析∵红口袋不能装入红球，∴红球只能放在黄、蓝、白、黑4种颜色的口袋中，∴红球有A14种放法，其余的四个球在四个位置全排列有A44种放法，由分步计数原理得到共有A14·A44＝96(种)．1．对有特殊限制的排列问题，优先安排特殊元素或特殊位置．2．对从正面分类繁杂的排列问题，可考虑使用间接法．3．对要求某些元素相邻或不相邻的排列问题，可使用“捆绑法”或“插空法”.一、基础达标1．把4个不同的黑球，4个不同的红球排成一排，要求黑球、红球分别在一起，不同的排法种数是() A．A88B．A44A44C．A44A44A22D．以上都不对答案 C2．6个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使3个空位连在一起，则停放的方法总数为() A．A33B．A36C．A46D．A44答案 D解析3个空位连在一起作为1个元素与3辆汽车看成4个不同元素的全排列，故有A44种停放方法．3．某省有关部门从6人中选4人分别到A，B，C，D四个地区调研十二五规划的开局形势，要求每个地区只有1人，每人只去一个地区，且这6人中甲、乙两人不去A地区，则不同的安排方案有() A．300种B．240种C．144种D．96种答案 B解析A地区有A14种方法，其余地区有A35种方法，共有A14A35＝240(种)．4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为() A．A88A29B．A88A210C．A88A27D．A88A26答案 A解析运用插空法，8名学生间共有9个空隙(包括边上空隙)，先把老师排在9个空隙中，有A29种排法，再把8名学生排列，有A88种排法，共有A88A29种排法．5．从0，1，2，3这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c中的参数a，b，c，可组成不同的二次函数共有________个．答案18解析若得到二次函数，则a≠0，a有A13种选择，故二次函数有A13A23＝3×3×2＝18(个)．6．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．答案186解析没有女生的选法有A34种，一共有A37种选法，则至少有1名女生的选派方案共有A37－A34＝186(种)．7．(1)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？(2)将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？解(1)分3类：第一类用1面旗表示的信号有A13种；第二类用2面旗表示的信号有A23种；第三类用3面旗表示的信号有A33种．由分类加法计数原理，所求的信号种数是A13＋A23＋A33＝3＋3×2＋3×2×1＝15，即一共可以表示15种不同的信号．(2)由分步乘法计数原理，分配方案种数共有N＝A44·A44＝576.即共有576种不同的分配方案．二、能力提升8．五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，符合条件的排法共有() A．48种B．192种C．240种D．288种答案 B解析(间接法)将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有A55种排法，而女生可互换位置，所以共有A55×A22种排法，男生甲插入中间位置，只有一种插法；而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有A22×A44(种)，这时男生甲若插入中间位置不符合题意，故符合题意的排列总数为A55×A22－A44×A22＝192.9．5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有________种排法(用数字作答)．答案 1 440解析先让5名大人全排列有A55种排法，两个小孩再依条件插空有A24种方法，故共有A55A24＝1 440(种)排法．10．(2013·浙江卷)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C 的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．答案480解析按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．当C在左边第1个位置时，有A55，当C在左边第2个位置时A24·A34，当C在左边第3个位置时，有A23·A33＋A22·A33.这三种情况的和为240种，乘以2得480.则不同的排法共有480种．11．某天课程表要排入政治、语文、数学、物理、化学、体育共6门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？解不考虑任何条件限制共有A66种排法，其中包括不符合条件的有：(1)数学排在最后一节，有A55种；(2)体育排在第一节，有A55种．但这两种情况都包含着数学排在最后一节，且体育排在第一节的情况有A44种(即重复)，故共有A66－2A55＋A44＝504种．12．7名班委中有A，B，C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职务只能从A，B，C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职务至少要选A，B，C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步乘法计数原理，知共有A23A55＝720(种)分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24A55种，因此A，B，C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3 600(种)．三、探究与创新13．三个女生和五个男生排成一排．(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？解(1)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有六个元素，排成一排有A66种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A33种排法，因此共有A66·A33＝4 320(种)不同排法．(2)先排5个男生，有A55种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A36种排法，因此共有A55·A36＝14 400(种)不同排法．(3)因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A66种排法，因此共有A25·A66＝14 400(种)不同排法．。

2-3第一章：计数原理（上）【本章知识脉络】一、两大计数原理（1）分类加法原理：完成一件事，有两类不同的方案，在第1类方案中有m 种不同的办法；在第2类方案中有n 种不同的方法；那么，完成这件事共有N m n =+种不同的方法.（2）分步乘法原理完成一件事，需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法；做第2步有n 种不同的方法；那么，完成这件事共有N m n =⨯种不同的方法.二、排列、组合1、排列 （1）排列定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

（2）排列数：从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。

用符号m n A 表示.（3）排列数公式：其中*,N m n ∈，并且n m ≤特殊的，当n m =时，即有n n A 称为n 的阶乘，通常用!n 表示，即 !n A n n =2、 组合：（1）组合定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

（2）组合数：从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有不同组合的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。

用符号m n C 表示。

（3）组合数公式：其中*,N m n ∈，并且n m ≤，规定10=n C注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.（4）*组合数的性质：()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---= ()()12321⋅⋅⋅⋅--= n n n A n n ()()()()!!!!121m n m n m m n n n n C m n -=+---= m n n m n C C -=mn m n m n C C C 11+-=+【变式1】：四棱锥改成三棱锥其他条件不变，共有多少种不同的染色方法？.【变式2】原题颜色改为6种呢？例题2、4明男生和5明女生站成一排：（1）甲不在中间也不在两端的站法有多少种？（2）甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？（3）男、女分别排在一起的站法有多少种？（4）男、女相间的站法有多少种？（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？一、 相邻问题—捆绑法例1、7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.（）注意：要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.1、晚会上有8个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求3个舞蹈在节目不能隔开，则不同节目单的种数为 .【变式1-1】8人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录员1人（1）若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？（2）若记录员坐于正、副组长之间，有多少种坐法？【变式1-2】用1，2，3，4，5五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数是多少？【变式1-3】将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（）A ． 18种B ．24种C ．36种D ．72种二、不相邻问题—插空法例2、（1）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为？（2）一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？注意：元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排列再把不相邻元素插入中间和两端 55A 22A 22A2、晚会上有8个唱歌节目和3个舞蹈节目，若3个舞蹈在节目单中要隔开，则不同节目单的种数为（ ）A 、88AB 、811A C 、3988A A ⋅ D 、3888A A ⋅ 【变式2-1】4个女孩和6个男孩围成一圈，让任两个女孩都不相邻，则有多少种不同的方法？【变式2-2】停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停位，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有（ ）A 、812A B 、44882A A ⋅ C 、888A D 、889A 【变式2-3】6个同学站成一排，甲、乙不能站在一起，不同的排法有（ ）A 、2246A A ⋅B 、5566A A -C 、2544A A ⋅D 、2344A A ⋅三、定序问题—除法例3、7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？注意：定序问题可先不排序，后作除法3、今有2个红球、3个黄球和4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成三列，有________种不同的方法（用数字作答）【变式3-1】7人站成一排，其中甲在乙前（不一定相邻），乙在丙前，则共有多少种不同的站法？【变式3-2】将字母A 、B 、C 、D 、E 排成一排，要求字母A 排在字母B 的左边（可相邻也可以不相邻），不同的排法有（ ）A 、44AB 、4421AC 、5521A D 、33A【变式3-3】由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A 、210个B 、150个C 、464个D 、600个【变式3-4】书架上原来摆放着6本书，现要插入3本书，则不同的插法种数为_______个四、特殊元素和特殊位置优先安排例4、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数_________ .注意：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。

计数原理与排列组合计数原理是组合数学中的一个重要概念，它是指在一定条件下，通过计算得出某种情况的可能性数量。

在实际生活中，计数原理被广泛运用于各个领域，比如概率统计、密码学、组合优化等。

而排列组合则是计数原理的一个重要应用，它涉及到有限集合中元素的排列和组合方式，是数学中的一个重要分支。

首先，我们来了解一下计数原理的基本概念。

计数原理包括加法原理和乘法原理两种基本原理。

加法原理是指如果一个事件可以分解为几个相互独立的子事件，那么这个事件的总数就是这几个子事件的数量之和。

而乘法原理是指如果一个事件可以分解为几个步骤，每个步骤的选择数目与其他步骤无关，那么这个事件的总数就是各个步骤选择数目的乘积。

接下来，我们来讨论排列和组合的概念。

排列是指从给定的元素中取出一部分进行排成一个有序的序列，而组合则是指从给定的元素中取出一部分进行组成一个无序的集合。

排列和组合的计算公式分别为P(n, m) = n!/(n-m)!和C(n, m) =n!/(m!(n-m)!)，其中n代表元素的总数，m代表取出的元素的个数，!表示阶乘运算。

在实际应用中，排列和组合有着广泛的用途。

比如在密码学中，排列和组合可以用来生成密码，计算密码的可能性数量；在概率统计中，排列和组合可以用来计算事件的发生概率；在组合优化中，排列和组合可以用来解决最优化问题。

总之，计数原理与排列组合是数学中的重要概念，它们在各个领域都有着广泛的应用。

通过对计数原理和排列组合的深入理解，我们可以更好地解决实际生活中的问题，提高问题的解决效率，为各个领域的发展提供有力支持。

希望本文能够帮助读者更好地理解计数原理与排列组合的概念，为他们在实际应用中发挥作用提供帮助。

课 题 计数原理、排列教学目的1、 能理解乘法原理、加法原理，理解来年各个计数原理的应用前提及计数的思想方法；2、 能理解排列的概念，会将实际问题按照排列定义抽象为排列模型；掌握排列数公式的特点。

教学内容 【知识梳理】1、乘法原理：如果完成一件事情需要n 个步骤，做第一步有1m 种方法，做第二步有2m 种方法，......做第n 步有n m 种方法，那么完成这件事共有12n N m m m =⋅⋅⋅⋅⋅⋅种方法2、加法原理：如果某件事可以有k 类不同的方法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，......在第k 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有k m m m N +++=...21种方法.3、排列的概念：从n 个不同元素中任取m 个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用A mn 表示.4、排列数公式：从n 个不同元素中任取m 个元素的排列的个数A m n =n （n －1）（n －2）…（n －m +1）. 5、附有限制条件的排列（1）对附有限制条件的排列，思考问题的原则是优先考虑受限制的元素或受限制的位置.（2）对下列附有限制条件的排列，要掌握基本的思考方法：元素在某一位置或元素不在某一位置；元素相邻——捆绑法，即把相邻元素看成一个元素；元素不相邻——插空法；比某一数大或比某一数小的问题主要考虑首位或前几位.（3）对附有限制条件的排列要掌握正向思考问题的方法——直接法；同时要掌握一些问题的逆向思考问题的方向——间接法.小试身手：1、把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同排法的种数为（ ）A.P 88 B.P 55P 44 C.P 44P 44 D.P 582、若2n 个学生排成一排的排法数为x ，这2n 个学生排成前后两排，每排各n 个学生的排法数为y ，则x 、y 的关系为（ ）A.x >yB.x <yC.x =yD.x =2y3、若S =P 11+P 22+P 33+P 44+…+P 100100，则S 的个位数字是A.8B.5C.3D.04、P 从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有_____________个.（用数字作答）5、若直线Ax+By=0的系数A、B可以从{0，2，3，4，5，6}中取不同的值.这些方程表示不同直线的条数是_____________.【典型例题分析】例1、一条铁路原有m个车站，为适应客运需要，新增加n（n≥1，n∈N*）个车站，因而增加了58种车票（起迄站相同的车票视为相同的车票），问原来这条铁路有几个车站?现在又有几个车站?例2、从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有实数根的有几个？例3、从0，1，2，3，4中取出不同的3个数字组成一个三位数，所有这些三位数的个位数字的和是多少？例4、甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行某种劳动技术比赛，决出了第1到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这个回答分析，5人的名次排列共可能有多少种不同的情况?（用数字作答）例5、8个人站成一排，其中A、B、C互不相邻且D、E也互不相邻的排法有多少种?变式练习：从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中取出不同的5个数字组成一个五位偶数。

1.2 排列(二)五分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.将5辆车停在5个车位上,其中A 车不停在一号车位上,B 车要停在二号车位上.不同的停车方案有 ( )A.6种B.18种C.24种D.78种 答案：B解析：N=3313A A =18(种).2.用1,2,3三个数字,可组成无重复数字的正整数共( )A.6个B.27个C.15个D.9个 答案：C解析：利用1,2,3可组成数字不重复的一位,二位,三位正整数,于是有N=332313A A A ++=15(个).3.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目,如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同的插法的种数为( )A.42B.30C.20D.12 答案：A解析：分两类:①两个新节目相邻的插法有622A 种;②两个新节目不相邻的插法有26A 种,故N=6×2+6×5=42.或者直接采用插空法:N=1716A A •=42.4.3个男生和2个女生排成一排,若两端不能排女生,则共有____________种不同的排法. 答案：36解析：男生排在两端有23A 种排法,其余位置有33A 种排法.故共有23A ·33A =36种排法. 十分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.一个人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为( )A.2544A A B.25A C.44A D.4488A A -答案：B解析：命中4枪,恰好有3枪连在一起的“三枪”看作一个整体(一个元素)，第4枪看作一个元素,共两个元素.打不中的四枪间,连同前后共5个空,任选两个空插入,有25A 种. 2.将1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有( )A.6种B.9种C.11种D.23种 答案：B有3种情况,总共3×3=9种.3.某工程队有6项工程需要先后单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是______________.(用数字作答) 答案：12解析：工程甲、工程乙、工程丙、工程丁的顺序已确定且丙丁相邻，则只需将剩下的2个工程安排好，即24A =12.4.由数字0,1,2,3,4,5可以组成____________个没有重复数字且能被5整除的六位数. 答案：216解析：分两类：末位数字是0的有55A =120（个），末位数字是5的有4414A A =96（个）. 总共120+96=216(个).5.一天课表中,6节课要安排3门理科,3门文科,要使文,理科间排,不同的排课方法有_________种;要使数学与物理连排,化学不得与数学,物理连排,不同的排课方法有___________种. 答案：72 144解析：要使文理科间排,有两种情况:文科排1,3,5,理科排2,4,6或理科排1,3,5,文科排2,4,6,共有33333333A A A A •+•=72.数学与物理连排，则把数学、物理当作一个元素，化学不得与数学、物理连排，用插空法得：2433A A •·2=144.6.在3 000至8 000中有多少个无重复数字的奇数?解法一:分两类:首位数字是3,5,7的四位奇数有281413A A A ••=672（个）；首位数字是4，6的四位奇数有281512A A A ••=560（个）.故满足条件的数共有672+560=1 232(个).解法二:若允许首末位数字相同,则末位可取1,3,5,7,9五个数字,首位可取3~7五个数,于是3 000~8 000中的奇数有281515A A A 个;其中首末位数字相同的情况是3**3,5**5,7**7,共有13A 28A 个.于是共有:28A ×5×5-13A ·28A =1 400-168=1 232（个）满足题设条件的数.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.从5位同学中选派4位同学在星期五,星期六,星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六,星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有( )A.40种B.60种C.100种D.120种 答案：B解析：先从5人中选2人安排在星期五,再从剩下的3人中选1人安排在星期六,从最后02人中选1人安排在星期日.121325C C C =60.2.若n∈N *,n<20,则(20-n)·(21-n)…(29-n)·(30-n)等于( )A.1020A B.1120n A - C.1030n A - D.1130n A -答案：D解析：mn A =n(n-1)…(n -m+1), 故原式=1130n A -.3.不等式21-n A -n≤0的解是( )A.n=3B.n=2C.n=2或n=3D.n=1或n=2或n=3 答案：A解析：∵n -1≥2,又(n-1)(n-2)≤n, ∴n=3.4.200件产品中有197件合格品，3件次品，现从中任意抽出5件，其中至少有2件次品的抽法有（ ）A.219733319723C C C C +种B.319723C C -种 C.51975200C A -种 D.4197135200C C C -种答案：A解析：有两件次品的抽法为233197C C ,有三件次品的抽法为332197C C ,共有232197233197C C C C +种.5.由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数中,若百位数字最大,万位数字比千位数字小,个位数字比十位数字小,这样的五位数的个数为（ ）A.12B.8C.6D.4 答案：C解析：百位数字量大,所以安排5,剩余的4个空位,安排1,2,3,4,全排列有44A 个,但要求万位数字比千位数字小,即这两个位置大小次序一定,属于定序问题,所以应去掉对顺序的安排22A ;同理个位、十位也要去掉对顺序的安排22A ，所以这样的五位数的个数共有222244A A A =6个.6.有8本互不相同的书,其中数学书3本,外文书2本,其他书3本.将这些书排成一排放在书架上,那么数学书恰好排在一起,外文书也恰好排在一起的排法共有___________种. 答案：1 440解析：先排数学有33A 种排法; 再排外语有22A 种排法;将数学,外语看成整体与其他书全排有55A 种排法. ∴N=33A ·22A ·55A 1 440(种).7.由四个不同数字1,4,5,x(x≠0)组成没有重复数字的四位数,所有这些四位数的各位数字之和为288,求x 的值.解：因为1,4,5,x 四个数字互不相同,故在排成的四位数中,1在千位上,百位上,十位上,个位数字上分别出现33A 次,故所有的1的和为1×4×33A =24.同理可知，所有4的和共有4×4×33A =96,所有5的和共有5×4×33A 120,所有x 的和共有x·433A =24x.由题设得24+96+120+24x=288,解得x=2.8.用1,2,3,4,5五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数是多少?解:满足要求的五位数分为三类:偶奇偶奇奇:221312A A A ••； 奇偶奇偶奇:221213A A A ••；奇奇偶奇偶:221312A A A ••；共有3221312A A A ••=36（个）.9.从-1、0、1、2、3中选三个（不重复）数字组成二次函数y=ax 2+bx+c 的系数. (1)开口向上且不过原点的不同抛物线有几条?(2)与x 轴正、负半轴均有交点的不同抛物线有几条？ (3)与x 轴负半轴至少有一个交点的不同抛物线有几条?解:(1)a>0且c≠0,共有131313A A A ••=27种.(2)只需ac<0,故-1必须排除,有221313A A A ••=18种.(3)可分为三类:第一类与x 轴正、负半轴均有交点的直线共有18条,第二类过原点且与x 轴负半轴有一个交点,此时,c=0,ab>0,共有23A =6条.第三类,与x 轴负半轴有两个交点,则必须满足⎩⎨⎧≥-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><-≥∆同号a 、、b、ac b ac a b040002 即b=3,a 、c 在1、2中取，有2条，由分类计数原理可得有26条. 10.4名男生和3名女生并坐一排,分别回答下列问题. (1)男生必须排在一起的坐法有多少种? (2)女生互不相邻的坐法有多少种?(3)男生相邻,女生也相邻的坐法有多少种? (4)女生顺序已定的坐法有多少种?解:(1)从整体出发,将4名男生看成一个“大元素”与3名女生进行全排列，有44A 种排法，而“大元素”内部又有44A 种排法，故共有44A ·44A =576种坐法.(2)先将4名男生排好,有44A 种排法,然后在男生之间隔出的五个空档中插入3名女生,故有44A ·33A =1 440种坐法.(3)N=44A ·33A ·22A =288种坐法.(4)N=473377A A A =840种坐法.。