2018年高考数学(文)二轮复习 专题突破讲义：专题二 函数与导数专题二 第1讲

第1讲函数的图象与性质1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下．2．对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题．3．对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．热点一函数的性质及应用1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．2．奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内：①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数；③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(4)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称．3．周期性定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a≠0)，则其一个周期T ＝|a |. 常见结论：(1)f (x ＋a )＝－f (x )⇒函数f (x )的最小正周期为2|a |，a ≠0. (2)f (x ＋a )＝1f (x )⇒函数f (x )的最小正周期为2|a |，a ≠0.(3)f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于x ＝a ＋b2对称．例1 (1)(2017·山东)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.答案 6解析 ∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f ((x ＋2)＋4)＝f ((x ＋2)－2)，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )是周期为6的周期函数， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)． 又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.(2)(2017届安徽省池州市东至县联考)已知函数f (x )＝2 016x ＋log 2 016(x 2＋1＋x )－2 016－x ，则关于x 的不等式f (3x ＋1)＋f (x )>0的解集为( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－∞，－14 D.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 答案 D解析 f (－x )＝2 016－x－2 016x ＋log 2 016((－x )2＋1－x )，其中log 2 016(x 2＋1－x )＝log 2 016⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x ＝－log 2 016(x 2＋1＋x )，则f (－x )＝－f (x )，所以函数是奇函数，并且函数是单调递增函数．那么原不等式等价于f (3x ＋1)>－f (x )⇔f (3x ＋1)>f (－x )， 即3x ＋1>－x ⇒x >－14，故选D.思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f (x 1)<f (x 2)的形式．跟踪演练1 (1)(2017届湖南长沙雅礼中学月考)若偶函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，a ＝f (log 23)，b ＝f (log 45)，32(2)c f =，则a ，b ，c 满足( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <b D ．c <b <a答案 B解析 因为偶函数f (x )在(－∞，0]上单调递减， 所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增． 又324420log 5log 9log 322<<=<<， 所以3242(log 5)(log 3)(2)f f f <<， 即b <a <c ，故选B.(2)(2017届安徽省池州市东至县联考)设偶函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋3)＝－1f (x )，且当x ∈[－3，－2]时，f (x )＝4x ，则f (2 018)＝________. 答案 －8解析 由条件可得f (x ＋6)＝f (x )，函数的周期为6， f (2 018)＝f (6×336＋2)＝f (2)＝f (－2)＝－8. 热点二 函数图象及应用1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．例2 (1)(2017届郑州第一中学质量检测)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x1＋2x cos x 的图象大致为( )答案 C解析 ∵f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2－x1＋2－x cos(－x )＝2x －12x ＋1cos x ＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数，排除选项A ，B.又当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f (x )<0，图象在x 轴下方，故选C. (2)(2017届菏泽期末)若函数y ＝f (x )的图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则称点对[A ，B ]为y ＝f (x )的“友情点对”，点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一个“友情点对”，若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x <0，－x 3＋6x 2－9x ＋a ，x ≥0恰好有两个“友情点对”，则实数a 的值为( ) A ．－2 B ．2C ．1D ．0 答案 B解析 首先注意到(0，a )没有对称点．当x >0时，f (x )＝－x 3＋6x 2－9x ＋a ，则－f (－x )＝－x 3－6x 2－9x －a ，即－x 3－6x 2－9x －a ＝2(x <0)有两个实数根，即a ＝－x 3－6x 2－9x －2(x <0)有两个实数根．画出y ＝－x 3－6x 2－9x －2(x <0)的图象如图所示，由图可知当a ＝2时有两个解．思维升华 (1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图象问题的基本方法．(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．跟踪演练2 (1)(2017·全国Ⅰ)函数y ＝sin 2x 1－cos x的部分图象大致为( )答案 C解析 令f (x )＝sin 2x1－cos x，∵f (1)＝sin 21－cos 1＞0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，∴排除选项A ，D.由1－cos x ≠0，得x ≠2k π(k ∈Z )， 故函数f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin 2x1－cos x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，故选C.(2)已知函数f (x )＝ax 33＋ax －x 2＋32，g (x )＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )．在同一直角坐标系中，函数f ′(x )与g (x )的图象不可能是( )答案 B解析 因为f (x )＝ax 33＋ax －x 2＋32，所以f ′(x )＝ax 2－x ＋a2，若a ＝0，则选项D 是正确的，故排除D.若a <0，选项B 中的二次函数的判别式Δ＝1－4a ·a 2＝1－2a 2<0，所以a 2>12，又a <0，所以a <－22. 二次函数f ′(x )的图象的对称轴为x ＝12a .三次函数g (x )＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a ，所以g ′(x )＝3a 2x 2－4ax ＋1＝3a 2⎝⎛⎫x －1a ⎝⎛⎫x －13a ， 令g ′(x )>0，得x <1a 或x >13a ，令g ′(x )<0，得1a <x <13a，所以函数g (x )＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a 的极大值点为x ＝1a ，极小值点为x ＝13a.由选项B 中的图象知13a <12a ，但a <－22，所以13a >12a，所以选项B 的图象错误，故选B. 热点三 基本初等函数的图象和性质1．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．例3 (1)(2017·深圳调研)设a ＝0.23，b ＝log 0.30.2，c ＝log 30.2，则a ，b ，c 大小关系正确的是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．b >c >a D ．c >b >a 答案 B解析 根据指数函数和对数函数的增减性知，因为0<a ＝0.23<0.20＝1，b ＝log 0.30.2>log 0.30.3＝1，c ＝log 30.2<log 31＝0，所以b >a >c ，故选B.(2)(2017届福建福州外国语学校期中)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x －1，x ≤1，log a x ，x >1在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(2,3] D ．(2，＋∞)答案 C解析 ∵f (x )在R 上单调递增， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a －2>0，(a －2)×1－1≤log a 1，∴2<a ≤3，故选C.思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力． (2)比较代数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性． 跟踪演练3 (1)(2017·全国Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z答案 D解析 令t ＝2x ＝3y ＝5z ， ∵x ，y ，z 为正数，∴t >1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg tlg 5.∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t (2lg 3－3lg 2)lg 2×lg 3＝lg t (lg 9－lg 8)lg 2×lg 3>0，∴2x >3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t (2lg 5－5lg 2)lg 2×lg 5＝lg t (lg 25－lg 32)lg 2×lg 5<0，∴2x <5z ， ∴3y <2x <5z .故选D.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤1，log a x ，x >1 (a >0且a ≠1)．若f (x )在R 上是增函数，则a 的取值范围是________． 答案 [2，＋∞)解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤1，log a x ，x >1(a >0，且a ≠1)．若f (x )在R 上是增函数，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，2－a ≤0，∴a ≥2.真题体验1．(2017·全国Ⅲ改编)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为________．(填序号)答案 ④解析 当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx2→＋∞，故排除②；当0＜x ＜π2时，y ＝1＋x ＋sin xx 2＞0，故排除①③.故填④.2．(2017·天津改编)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215，b ＝f ()log 24.1，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为____________． 答案 c <b <a解析 ∵f (x )在R 上是奇函数， ∴a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215＝f ⎝⎛⎭⎫－log 215＝f (log 25)． 又f (x )在R 上是增函数，且log 25＞log 24.1＞log 24＝2＞20.8， ∴f (log 25)＞f (log 24.1)＞f (20.8)，∴a ＞b ＞c .3．(2017·山东改编)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝________. 答案 6解析 若0＜a ＜1，由f (a )＝f (a ＋1)， 得a ＝2(a ＋1－1)，∴a ＝14，∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 若a ≥1，由f (a )＝f (a ＋1)， 得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.4．(2017·全国Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________. 答案 12解析 方法一 令x ＞0，则－x ＜0. ∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝2x 3－x 2(x ＞0)． ∴f (2)＝2×23－22＝12. 方法二 f (2)＝－f (－2) ＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12. 押题预测1．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )押题依据 指数、对数函数的图象识别问题是高考命题的热点，旨在考查其基本性质的灵活运用，题目难度一般不大，位于试卷比较靠前的位置． 答案 D解析 (1)方法一 分a >1,0<a <1两种情形讨论．当a >1时，y ＝x a 与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a 递增较快，排除C ；当0<a <1时，y ＝x a 为增函数，y ＝log a x 为减函数，排除A.由于y ＝x a 递增较慢，故选D. 方法二 幂函数f (x )＝x a 的图象不过(0,1)点，排除A ；B 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B 错，D 正确；C 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C 错．2．(2017届甘肃肃南裕固族自治县一中月考)设函数y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数，且∀x ∈R ，满足f ⎝⎛⎭⎫x －32＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )等于( ) A ．|x ＋4| B ．|2－x | C ．2＋|x ＋1|D ．3－|x ＋1|押题依据 利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，较好地考查学生思维的灵活性． 答案 D解析 由f ⎝⎛⎭⎫x －32＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12，可得f (x ＋2)＝f (x )，则当x ∈[－2，－1]时，x ＋4∈[2,3]，f (x )＝f (x ＋4)＝x ＋4＝x ＋1＋3；当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]，2－x ∈[2,3]，f (x )＝f (－x )＝f (2－x )＝2－x ＝3－x －1，故选D.3．已知函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4，若h (t )>h (2)，则实数t 的取值范围为________．押题依据 分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要题型，是高考考查的热点．本题恰当地应用了函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性的性质． 答案 (－2,0)∪(0,2)解析 因为当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4.易知函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 因为函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且h (t )>h (2)， 所以h (|t |)>h (2)，所以0<|t |<2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ t ≠0，|t |<2，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，－2<t <2，解得－2<t <0或0<t <2.综上，所求实数t 的取值范围为(－2,0)∪(0,2)．A 组 专题通关1．(2017届陕西黄陵中学月考)下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13答案 A解析 B ，D 是奇函数，C 在(0，＋∞)上单调递增，故选A. 2．(2017·北京)已知函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x，则f (x )( ) A ．是偶函数，且在R 上是增函数 B ．是奇函数，且在R 上是增函数 C ．是偶函数，且在R 上是减函数 D ．是奇函数，且在R 上是减函数 答案 B解析 ∵函数f (x )的定义域为R ， f (－x )＝3－x －⎝⎛⎭⎫13－x ＝⎝⎛⎭⎫13x －3x ＝－f (x )， ∴函数f (x )是奇函数．∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x在R 上是减函数， ∴函数y ＝－⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是增函数． 又∵y ＝3x 在R 上是增函数，∴函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是增函数． 故选B.3．(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．[－1,1] C ．[0,4] D ．[1,3]答案 D解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)． 又f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3，故选D.4．(2017届福建福州外国语学校期中)设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2) D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13 答案 C解析 ∵f (2－x )＝f (x )，∴函数的对称轴为x ＝1.∵当x ≥1时，f (x )＝ln x ，∴函数以x ＝1为对称轴且左减右增，故当x ＝1时函数有最小值，离x ＝1越远，函数值越大，故选C.5．(2017届湖南师大附中月考)函数y ＝2x ln|x |的图象大致为( )答案 B解析 采用排除法，函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，排除A ；当x >1时，ln|x |>0，y ＝2xln|x |>0，排除D ；当x <－1时，ln|x |>0，y ＝2xln|x |<0，排除C ，故选B. 6．(2017届安徽百校论坛联考)已知函数f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝－x 2＋x .若不等式f (x )－x ≤2log a x (a >0且a ≠1)对∀x ∈⎝⎛⎦⎤0，22恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，14 B.⎣⎡⎭⎫14，1 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎦⎤14，12∪(1，＋∞) 答案 B解析 由已知得当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，故x 2≤2log a x 对∀x ∈⎝⎛⎦⎤0，22恒成立，即当x ∈⎝⎛⎦⎤0，22时，函数y ＝x 2的图象不在y ＝2log a x 图象的上方，由图(图略)知0<a <1且2log a 22≥12，解得14≤a <1.故选B.7．(2017届安徽省池州市东至县联考)如图可能是下列哪个函数的图象( )A ．y ＝2x－x 2－1B ．y ＝2x sin x4x ＋1C ．y ＝xln x D ．y ＝(x 2－2x )e x答案 D解析 函数过原点，所以C 排除；当x >0时，函数只有一个零点，而y ＝2x sin x4x ＋1是以x 轴为中心的波浪线，所以B 排除；当x →－∞时，y ＝2x －x 2－1→－∞，所以A 排除；函数y ＝(x 2－2x )e x 的图象在x →－∞时，y →0，在0<x <2时，y <0，在x →＋∞时，y →＋∞，故选D. 8．(2017·北京)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48)A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093 答案 D解析 由题意知，lg M N ≈lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93， 所以与MN 最接近的是1093.故选D.9．(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 解析 由题意知，可对不等式分x ≤0,0＜x ≤12，x ＞12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1，解得x ＞－14，∴－14＜x ≤0.当0＜x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12＞1，显然成立．当x ＞12时，原不等式为2x ＋2x －12＞1，显然成立．综上可知，x ＞－14.10．(2017届江西吉安一中段考)若函数f (x )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2， 则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 答案 14解析 f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫76 ＝－sin7π6＝12， f ⎝⎛⎭⎫12＝12×⎝⎛⎭⎫1－12＝14.11．(2017届云南省师范大学附属中学月考)已知函数f (x )＝e x ＋x 3，若f (x 2)<f (3x －2)，则实数x 的取值范围是________． 答案 (1,2)解析 因为f ′(x )＝e x ＋3x 2>0，所以函数f (x )为增函数，所以不等式f (x 2)<f (3x －2)等价于x 2<3x －2，即x 2－3x ＋2<0⇔1<x <2，故x ∈(1,2)．12．(2017届河北武邑中学调研)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x －a ，x >0， 若f (0)是f (x )的最小值，则实数a的取值范围为__________． 答案 [0,1]解析 若f (0)为f (x )的最小值，则当x ≤0时，函数f (x )＝(x －a )2为减函数，则a ≥0；当x >0时，函数f (x )＝x ＋1x －a 的最小值2－a ≥f (0)，即2－a ≥a 2，解得－2≤a ≤1.综上所述，实数a 的取值范围是[0,1]．B 组 能力提高13．(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)上单调递增 B ．f (x )在(0,2)上单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称 答案 C解析 f (x )的定义域为(0,2)．f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝ln [x (2－x )]＝ln(－x 2＋2x )．设u ＝－x 2＋2x ，x ∈(0,2)，则u ＝－x 2＋2x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． 又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，∴f (x )＝ln(－x 2＋2x )在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． ∴选项A ，B 错误；∵f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴选项C 正确；∵f (2－x )＋f (x )＝[ln(2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln(2－x )]＝2[ln x ＋ln(2－x )]，不恒为0， ∴f (x )的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D 错误． 故选C.14．(2017届河北武邑中学调研)已知函数f (x )＝x x －1＋sin πx 在[0,1)上的最大值为m ，在(1,2]上的最小值为n ，则m ＋n 等于( ) A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 D解析 f (x )＝x x －1＋sin πx ＝1＋1x －1＋sin πx ，记g (x )＝1x －1＋sin πx ，则当x ∈[0,1)时，g (2－x )＝12－x －1＋sin π(2－x )＝11－x－sin πx ，即在区间[0,1)∪(1,2]上，函数f (x )关于点(1,1)成中心对称，∴m ＋n ＝2，故选D.15．(2017届湖北省部分重点中学联考)已知函数f (x )＝2x －12x ＋1＋x ＋sin x ，若正实数a ，b 满足f (4a )＋f (b －9)＝0，则1a ＋1b 的最小值为________．答案 1解析 因为f (－x )＝－f (x )，故由题设可得当4a ＋b ＝9，即4a 9＋b 9＝1时，则1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫4a 9＋b 9⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝19⎝⎛⎭⎫4＋1＋4a b ＋b a ≥19(5＋4)＝1，当且仅当b ＝2a 时取等号． 16．(2017届福建连城县二中期中)对于函数：①f (x )＝lg(|x －2|＋1)；②f (x )＝(x －2)2；③f (x )＝cos(x ＋2)．判断如下三个命题的真假：命题甲：f (x ＋2)是偶函数；命题乙：f (x )在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；命题丙：f (x ＋2)－f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是________． 答案 ②解析 ①若f (x )＝lg(|x －2|＋1)，则f (x ＋2)是偶函数，此时命题甲为真；f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，此时命题乙为真；但f (x ＋2)－f (x )在(－∞，＋∞)上不是单调增函数，此时命题丙为假．②f (x )＝(x －2)2，则f (x ＋2)是偶函数，此时命题甲为真；f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，此时命题乙为真；f (x ＋2)－f (x )＝4x －4在(－∞，＋∞)上是增函数，此时命题丙为真．③若f (x )＝cos(x ＋2)，则f (x ＋2)不是偶函数，此时命题甲为假；f (x )在(－∞，2)上不是减函数，在(2，＋∞)上不是增函数，此时命题乙为假；f (x ＋2)－f (x )在(－∞，＋∞)上不是单调增函数，此时命题丙为假，故答案为②.。

第3讲 导数及其应用1．导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点． 2．利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型． 3．导数与函数零点，不等式的结合常作为高考压轴题出现．热点一 导数的几何意义1．函数f (x )在x 0处的导数是曲线f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，曲线f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的不同．例1 (1)(2017届山西临汾一中等五校联考)已知曲线f (x )＝ax 2x ＋1在点(1，f (1))处切线的斜率为1，则实数a 的值为( ) A.32B ．－32C ．－34D.43答案 D解析 对函数求导，可得f ′(x )＝2ax (x ＋1)－ax 2(x ＋1)2，∵曲线f (x )＝ax 2x ＋1在点(1，f (1))处切线的斜率为1，∴f ′(1)＝3a 4＝1，得a ＝43，故选D.(2)(2017届成都一诊)已知曲线C 1：y 2＝tx (y >0，t >0)在点M ⎝⎛⎭⎫4t ，2处的切线与曲线C 2：y ＝e x ＋1＋1也相切，则t 的值为( ) A ．4e 2 B ．4e C.e 24 D.e4答案 A解析 曲线C 1：y ＝tx ，y ′＝t2tx.当x ＝4t 时，y ′＝t 4，切线方程为y －2＝t4⎝⎛⎭⎫x －4t ，化简为y ＝t4x ＋1，①与曲线C 2相切，设切点为(x 0，y 0)，001e4x x x t y +='==，x 0＝ln t 4－1，那么010e 114x t y +=+=+，切线方程为y －⎝⎛⎭⎫t 4＋1＝t4⎝⎛⎭⎫x －ln t 4＋1， 化简为y ＝t 4x －t 4ln t 4＋t2＋1，②①②是同一方程，所以－t 4ln t 4＋t 2＋1＝1⇔ln t4＝2，即t ＝4e 2，故选A.思维升华 (1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．跟踪演练1 (1)(2017·天津)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________． 答案 1解析 ∵f ′(x )＝a －1x，∴f ′(1)＝a －1.又∵f (1)＝a ，∴切线l 的斜率为a －1，且过点(1，a )， ∴切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)． 令x ＝0，得y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1. (2)若y ＝ax ＋b 为函数f (x )＝x ln x －1x图象的一条切线，则a ＋b 的最小值为( ) A ．－4B ．－1C ．1D ．2 答案 B解析 f ′(x )＝1＋x x 2(x >0)．设切点为⎝⎛⎭⎫x 0，ln x 0－1x 0， 则切线方程为y －⎝⎛⎭⎫ln x 0－1x 0＝⎝⎛⎭⎫1x 0＋1x 20(x －x 0)， 即y ＝⎝⎛⎭⎫1x 0＋1x 20x －⎝⎛⎭⎫1x 0＋1x 20x 0＋⎝⎛⎭⎫ln x 0－1x 0， 亦即y ＝⎝⎛⎭⎫1x 0＋1x 20x ＋⎝⎛⎭⎫ln x 0－2x 0－1.令1x 0＝t ，则t >0，由题意得a ＝1x 0＋1x 20＝t ＋t 2，b ＝ln x 0－2x 0－1＝－ln t －2t －1.令a ＋b ＝φ(t )＝－ln t ＋t 2－t －1，则φ′(t )＝－1t ＋2t －1＝(2t ＋1)(t －1)t ，当t ∈(0,1)时，φ′(t )<0，则φ(t )在(0,1)上单调递减；当t ∈(1，＋∞)时，φ′(t )>0，则φ(t )在(1，＋∞)上单调递增， ∴a ＋b ＝φ(t )≥φ(1)＝－1，故a ＋b 的最小值为－1. 热点二 利用导数研究函数的单调性1．f ′(x )>0是f (x )为增函数的充分不必要条件，如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0.2．f ′(x )≥0是f (x )为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0时，则f (x )为常函数，函数不具有单调性．例2 (2017·全国Ⅱ)设函数f (x )＝(1－x 2)e x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥0时，f (x )≤ax ＋1，求a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝(1－2x －x 2)e x .令f ′(x )＝0，得x ＝－1－2或x ＝－1＋ 2. 当x ∈(－∞，－1－2)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(－1－2，－1＋2)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(－1＋2，＋∞)时，f ′(x )＜0.所以f (x )在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)上单调递减，在(－1－2，－1＋2)上单调递增．(2)f (x )＝(1＋x )(1－x )e x .当a ≥1时，设函数h (x )＝(1－x )e x ，则h ′(x )＝－x e x <0(x >0)，因此h (x )在[0，＋∞)上单调递减．而h (0)＝1，故h (x )≤1，所以f (x )＝(x ＋1)h (x )≤x ＋1≤ax ＋1.当0<a <1时，设函数g (x )＝e x －x －1，则g ′(x )＝e x －1>0(x >0)，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增．而g (0)＝0，故e x ≥x ＋1. 当0<x <1时，f (x )>(1－x )(1＋x )2， (1－x )(1＋x )2－ax －1＝x (1－a －x －x 2)， 取x 0＝5－4a －12， 则x 0∈(0,1)，(1－x 0)(1＋x 0)2－ax 0－1＝0， 故f (x 0)>ax 0＋1.当a ≤0时，取x 0＝5－12， 则x 0∈(0,1)，f (x 0)>(1－x 0)(1＋x 0)2＝1≥ax 0＋1.综上，a 的取值范围是[1，＋∞)．思维升华 利用导数研究函数单调性的一般步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求导函数f ′(x )．(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0；②若已知函数的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题来求解．跟踪演练2 (1)(2017届昆明市第一中学月考)若函数f (x )＝ln x ＋ax 2－2在区间⎝⎛⎭⎫12，2内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B.⎝⎛⎭⎫－18，＋∞ C. ⎝⎛⎭⎫－2，－18 D. (－2，＋∞) 答案 D解析 由题意得f ′(x )＝1x ＋2ax ，若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，2内存在单调递增区间， 则f ′(x )≥0在⎝⎛⎭⎫12，2上有解， 即a ≥⎝⎛⎭⎫－12x 2的最小值． 又g (x )＝－12x 2在⎝⎛⎭⎫12，2上是单调递增函数， 所以g (x )>g ⎝⎛⎭⎫12＝－2，所以a ≥－2，经检验，当a ＝－2时不成立，所以a >－2. 故选D.(2)设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( ) A ．(－3,0)∪(3，＋∞) B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3) 答案 D解析 当x <0时，∵f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0， ∴[f (x )g (x )]′>0，∴y ＝f (x )g (x )为增函数． ∵g (－3)＝0，∴f (－3)g (－3)＝0，∴f (x )g (x )<0的解集为(－∞，－3)．∵f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，∴y ＝f (x )g (x )在R 上为奇函数，当x >0时，f (x )g (x )<0的解集为(0,3)．综上，不等式的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．故选D.热点三 利用导数求函数的极值、最值1．若在x 0附近左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则f (x 0)为函数f (x )的极大值；若在x 0附近左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则f (x 0)为函数f (x )的极小值．2．设函数y ＝f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，则f (x )在[a ，b ]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．例3 (2017届河南息县第一高级中学检测)已知函数f (x )＝mx ＋ln x ，g (x )＝x 3＋x 2－x .(1)若m ＝3，求f (x )的极值；(2)若对于任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (s )≥110g (t )，求m 的取值范围． 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当m ＝3时，f (x )＝3x＋ln x ，∴f ′(x )＝－3x 2＋1x ＝x －3x 2，f ′(3)＝0，∴当x >3时，f ′(x )>0，f (x )是增函数， 当0<x <3时，f ′(x )<0，f (x )是减函数． ∴f (x )有极小值f (3)＝1＋ln 3，没有极大值． (2)g (x )＝x 3＋x 2－x ，g ′(x )＝3x 2＋2x －1. 当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，g ′(x )>0，∴g (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是单调递增函数，g (2)＝10最大，对于任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，f (s )≥110g (t )恒成立，即对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，2， f (x )＝mx ＋ln x ≥1恒成立，∴m ≥x －x ln x ，令h (x )＝x －x ln x ，则h ′(x )＝1－ln x －1＝－ln x . ∴当x ≥1时，h ′(x )<0，当0<x <1时，h ′(x )>0， ∴h (x )在(0,1)上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数， 当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，h (x )最大值为h (1)＝1， ∴m ≥1，即m ∈[1，＋∞)．思维升华 (1)求函数f (x )的极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号．(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解． (3)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．跟踪演练3 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2，在x ＝1处取得极值16.(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)，都有f ′(x )≤k ln(x ＋1)成立(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，求实数k 的最小值．解 (1)由题设可得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ， ∵f (x )在x ＝1处取得极值16，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝16，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝0，a ＋b ＝16，解得a ＝－13，b ＝12，经检验知，a ＝－13，b ＝12满足题设条件．(2)由(1)得f (x )＝－13x 3＋12x 2，∴f ′(x )＝－x 2＋x ，∴－x 2＋x ≤k ln(x ＋1)在[0，＋∞)上恒成立， 即x 2－x ＋k ln(x ＋1)≥0在x ∈[0，＋∞)上恒成立， 设g (x )＝x 2－x ＋k ln(x ＋1)，则g (0)＝0，g ′(x )＝2x －1＋kx ＋1＝2x 2＋x ＋k －1x ＋1，x ∈[0，＋∞)，设h (x )＝2x 2＋x ＋k －1，①当Δ＝1－8(k －1)≤0，即k ≥98时，h (x )≥0，∴g ′(x )≥0，g (x )在[0，＋∞)上单调递增， ∴g (x )≥g (0)＝0，即当k ≥98时，满足题设条件．②当Δ＝1－8(k －1)>0，即k <98时，设x 1，x 2是方程2x 2＋x ＋k －1＝0的两个实根，且x 1<x 2，由x 1＋x 2＝－12可知，x 1<0，由题设可知，当且仅当x 2≤0，即x 1·x 2≥0，即k －1≥0，即k ≥1时，对任意的x ∈[0，＋∞)有h (x )≥0，即g ′(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴g (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴g (x )≥g (0)＝0，∴当1≤k <98时，也满足条件，综上，k 的取值范围为[1，＋∞)， ∴实数k 的最小值为1.真题体验1．(2017·浙江改编)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是________．(填序号)答案 ④解析 观察导函数f ′(x )的图象可知，f ′(x )的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增． 观察图象可知，排除①，③.如图所示，f ′(x )有3个零点，从左到右依次设为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 3是极小值点，x 2是极大值点，且x 2＞0，故④正确．2．(2017·全国Ⅱ改编)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)·e x －1的极值点，则f (x )的极小值为________． 答案 －1解析 函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，则f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝e x －1[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]．由x ＝－2是函数f (x )的极值点，得f ′(－2)＝e －3(4－2a －4＋a －1)＝(－a －1)e －3＝0，所以a ＝－1，所以f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝e x －1(x 2＋x －2)．由e x －1＞0恒成立，得当x ＝－2或x ＝1时，f ′(x )＝0，且x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0； 当x ＞1时，f ′(x )＞0.所以x ＝1是函数f (x )的极小值点． 所以函数f (x )的极小值为f (1)＝－1.3．(2017·山东改编)若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是______．(填序号) ①f (x )＝2－x ；②f (x )＝x 2； ③f (x )＝3－x ；④f (x )＝cos x .答案 ①解析 若f (x )具有性质M ，则[e x f (x )]′＝e x [f (x )＋f ′(x )]＞0在f (x )的定义域上恒成立，即f (x )＋f ′(x )＞0在f (x )的定义域上恒成立．对于①式，f (x )＋f ′(x )＝2－x －2－x ln 2＝2－x (1－ln 2)＞0，符合题意．经验证，②③④均不符合题意． 故填①.4．(2017·全国Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x 在点(1,2)处的切线方程为________．答案 y ＝x ＋1解析 ∵y ′＝2x －1x 2，∴y ′|x ＝1＝1，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k ＝1， ∴切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0. 押题预测1．设函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，若y ＝f (x )的图象在点P (1，f (1))处的切线方程为x －y ＋2＝0，则f (1)＋f ′(1)等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1押题依据 曲线的切线问题是导数几何意义的应用，是高考考查的热点，对于“过某一点的切线”问题，也是易错易混点． 答案 A解析 依题意有f ′(1)＝1,1－f (1)＋2＝0，即f (1)＝3， 所以f (1)＋f ′(1)＝4.2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab 的值为( )A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．2或－23押题依据 函数的极值是单调性与最值的“桥梁”，理解极值概念是学好导数的关键．极值点、极值的求法是高考的热点． 答案 A解析 由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9满足题意，故a b ＝－23.3．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于________．押题依据 函数单调性问题是导数最重要的应用，体现了“以直代曲”思想，要在审题中搞清“在(0,1)上为减函数”与“函数的减区间为(0,1)”的区别． 答案 2解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数， ∴a2≥1，得a ≥2. 又∵g ′(x )＝2x －ax ，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2≥a 在x ∈(1,2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2.4．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________．押题依据 不等式恒成立或有解问题可以转化为函数的值域解决．考查了转化与化归思想，是高考的一个热点． 答案 ⎣⎡⎭⎫94，＋∞解析 由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以当x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1. 根据题意可知存在x ∈[1,2]， 使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1， 即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x成立，令h (x )＝x 2＋52x，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min ， 又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.A 组 专题通关1．(2017届辽宁葫芦岛普通高中月考)已知函数f (x )与f ′(x )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (x )e x的递减区间为( )A ．(0,4)B ．(0,1)，(4，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫0，43 D ．(－∞，1)，⎝⎛⎭⎫43，4 答案 B解析 由图可知，先减后增的那条曲线为f ′(x )的图象，先增再减最后增的曲线为f (x )的图象，当x ∈(0,1)∪(4，＋∞)时，f ′(x )<f (x )，令g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x<0，得f ′(x )－f (x )<0，则x ∈(0,1)∪(4，＋∞)，故g (x )的递减区间为(0,1)，(4，＋∞)，故选B.2．(2017届山西临汾一中等五校联考)已知函数f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x ln(－x )＋x ＋2，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋3B ．y ＝2x －3C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝－2x －3 答案 B解析 设x >0，则－x <0，∵f (x )为奇函数， 当x <0时，f (x )＝x ln(－x )＋x ＋2，∴f (x )＝－f (－x )＝－[－x ln x －x ＋2]＝x ln x ＋x －2， ∴当x >0时，f ′(x )＝ln x ＋2，∴f ′(1)＝2且f (1)＝－1， ∴曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程是y ＝2x －3. 故选B.3．(2017届内蒙古包头市十校联考)已知函数F (x )＝xf (x )，f (x )满足f (x )＝f (－x )，且当x ∈(－∞，0]时，f ′(x )<0成立，若a ＝20.1·f (20.1)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝log 218·f ⎝⎛⎭⎫log 218，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．a >c >b 答案 C解析 F (－x )＝(－x )f (－x )＝－xf (x )＝－F (x )，即函数F (x )是奇函数，并且当x ∈(－∞，0]时，f ′(x )<0，即当x ∈(－∞，0]时，F (x )是单调递减函数，所以在R 上函数F (x )是单调递减函数，a ＝F (20.1)，b ＝F (ln 2)，c ＝F ⎝⎛⎭⎫log 218，20.1>1,0<ln 2<1，log 218＝－3，所以20.1>ln 2>log 218，所以a <b <c ，故选C.4．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a >－3 B ．a <－3 C ．a >－13 D ．a <－13答案 B解析 y ′＝a e ax ＋3＝0在(0，＋∞)上有解，即a e ax ＝－3，∵e ax >0，∴a <0.又当a <0时，0<e ax <1，要使a e ax ＝－3，则a <－3，故选B.5．(2017届河南息县第一高级中学检测)函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( ) A ．20 B ．18 C ．3 D ．0 答案 A解析 对于区间(－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，等价于对区间(－3,2]上的任意x 1，x 2，都有f (x )max －f (x )min ≤t ，∵f (x )＝x 3－3x －1，∴f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)．∵x ∈[－3,2]，∴函数在[－3，－1]，[1,2]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，∴f (x )max ＝f (2)＝f (－1)＝1，f (x )min ＝f (－3)＝－19，∴f (x )max －f (x )min ＝20， ∴t ≥20，实数t 的最小值是20.6．(2017届重庆市第一中学月考)已知直线x －y ＋1＝0与曲线y ＝ln x ＋a 相切，则a 的值为______． 答案 2解析 y ＝ln x ＋a 的导数为y ′＝1x，设切点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，y 0＝ln x 0＋a .又切线方程x －y ＋1＝0的斜率为1，即1x 0＝1，解得x 0＝1，则y 0＝2，a ＝y 0－ln x 0＝2.7．(2017届辽宁省沈阳市郊联体期末)f (x )＝23x 3－x 2＋ax －1，已知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫3，72 解析 原题等价于方程f ′(x )－3＝0有两个大于零的实数根． 因为f (x )＝23x 3－x 2＋ax －1，所以f ′(x )＝2x 2－2x ＋a ，所以f ′(x )－3＝0，即2x 2－2x ＋a －3＝0， 设g (x )＝2x 2－2x ＋a －3，要使方程g (x )＝0有两个大于零的实数根需要满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，g (0)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧22－4×2×(a －3)>0，a －3>0，解得3<a <72.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫3，72. 8．(2017届重庆模拟)已知x ＝0是函数f (x )＝(x －2a )·(x 2＋a 2x ＋2a 3)的极小值点，则实数a 的取值范围是__________． 答案 a >2或a <0解析 因为f (x )＝x 3＋(a 2－2a )x 2－4a 4，所以令f ′(x )＝3x 2＋2(a 2－2a )x ＝3x ⎣⎡⎦⎤x ＋2(a 2－2a )3＝0，可得函数f (x )＝x 3＋(a 2－2a )x 2－4a 4的两个极值点分别为x ＝0，x ＝－2(a 2－2a )3，由题意得2(a 2－2a )3>0，即a 2－2a >0，解得a <0或a >2. 9．(2017届西安模拟)定义1：若函数f (x )在区间D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在区间D 上也可导，则称函数f (x )在区间D 上存在二阶导数，记作f ″(x )，即f ″(x )＝[f ′(x )]′. 定义2：若函数f (x )在区间D 上的二阶导数为正，即f ″(x )>0恒成立，则称函数f (x )在区间D 上是凹函数．已知函数f (x )＝x 3－32x 2＋1在区间D 上为凹函数，则x 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析 f ′(x )＝3x 2－3x ，f ″(x )＝6x －3， 令f ″(x )>0，得x >12.10．(2017·北京)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解 (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0.又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )＜0， 所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减， 所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2有h (x )＜h (0)＝0， 即f ′(x )＜0，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减， 因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2. B 组 能力提高11．(2017届重庆市调研)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f ′(x )<f (x )对任意的x ∈R 恒成立，则下列不等式均成立的是( ) A ．f (ln 2)<2f (0)，f (2)<e 2f (0) B ．f (ln 2)>2f (0)，f (2)>e 2f (0) C ．f (ln 2)<2f (0)，f (2)>e 2f (0) D ．f (ln 2)>2f (0)，f (2)<e 2f (0) 答案 A解析 设y ＝f (x )e x ，∴y ′＝f ′(x )－f (x )e x.∵f ′(x )<f (x )，∴y ′<0，∴y ＝f (x )e x 在R 上为减函数．∵ln 2>0，∴f (ln 2)e ln 2<f (0)e 0，∴f (ln 2)<2f (0)．∵2>0，∴f (2)e 2<f (0)e 0，∴f (2)<e 2f (0)．故选A.12. (2017届湖北省部分重点中学联考)已知S＝(x－a)2＋(ln x－a)2(a∈R)，则S的最小值为()A.22 B.12C. 2 D．2答案 B解析设A(x，ln x)，B(a，a)，则问题化为求平面上两动点A(x，ln x)，B(a，a)之间距离的平方的最小值的问题，即求曲线f(x)＝ln x上的点到直线y＝x上的点的距离最小值问题．因为f′(x)＝1x，设切点P(t，ln t)，则切线的斜率k＝1t，由题设知，当1t＝1，即t＝1时，点P(1,0)到直线y＝x的距离最近，其最小值为d min＝12，所以所求S的最小值为S min＝12，故选B.13．(2017·山东)已知函数f(x)＝13x3－12ax2，a∈R.(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．解(1)由题意f′(x)＝x2－ax，所以当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，所以f′(3)＝3，因此曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.(2)因为g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，所以g′(x)＝f′(x)＋cos x－(x－a)sin x－cos x＝x(x－a)－(x－a)sin x＝(x－a)(x－sin x)．令h(x)＝x－sin x，则h′(x)＝1－cos x≥0，所以h(x)在R上单调递增．因为h(0)＝0，所以当x>0时，h(x)>0；当x<0时，h(x)<0.①当a<0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，当x∈(－∞，a)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(a,0)时，x－a>0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．所以当x＝a时，g(x)取到极大值，极大值是g (a )＝－16a 3－sin a ；当x ＝0时，g (x )取到极小值，极小值是g (0)＝－a . ②当a ＝0时，g ′(x )＝x (x －sin x )，当x ∈(－∞，＋∞)时，g ′(x )≥0，g (x )单调递增；所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，g (x )无极大值也无极小值． ③当a >0时，g ′(x )＝(x －a )(x －sin x )，当x ∈(－∞，0)时，x －a <0，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x ∈(0，a )时，x －a <0，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，x －a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增． 所以当x ＝0时，g (x )取到极大值， 极大值是g (0)＝－a ； 当x ＝a 时，g (x )取到极小值， 极小值是g (a )＝－16a 3－sin a .综上所述，当a <0时，函数g (x )在(－∞，a )和(0，＋∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g (a )＝－16a 3－sin a ，极小值是g (0)＝－a ；当a ＝0时，函数g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；当a >0时，函数g (x )在(－∞，0)和(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g (0)＝－a ，极小值是g (a )＝－16a 3－sin a .。

高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 教案 文专题二 函数与导数【重点知识回顾】1．函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，选择、填空、解答三种题型每年都有，函数题的身影频现，而且常考常新．以基本函数为背景的综合题和应用题是近几年的高考命题的新趋势．函数的图象也是高考命题的热点之一．近几年来考查导数的综合题基本已经定位到压轴题的位置了．2．对于函数部分考查的重点为：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性对称性和函数的图象；指数函数、对数函数的概念、图象和性质；应用函数知识解决一些实际问题；导数的基本公式，复合函数的求导法则；可导函数的单调性与其导数的关系，求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【典型例题】 1．函数的性质与图象函数的性质是高考考查的重点内容．根据函数单调性和奇偶性的定义，能判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，掌握求函数最大值和最小值的常用方法．函数的图象是函数性质的直观载体，能够利用函数的图象归纳函数的性质．对于抽象函数一类，也要尽量画出函数的大致图象，利用数形结合讨论函数的性质．例1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是（ ）答案：BA B C D解析：在选项B 中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短．点评：函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视．例2．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234_________.x x x x +++=答案：-8解析：因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，所以, 由)(x f 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨设1234x x x x <<<，由对称性知1212x x +=-，344x x +=．所以12341248x x x x +++=-+=-．点评：本题综合考查了函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．2．函数与解方程、不等式的综合问题函数与方程、不等式、数列是密切相关的几个部分，通过建立函数模型来解决有关他们的综合问题是高考的考查方向之一，解决该类问题要善于运用转化的思想方法，将问题进行不断转化，构建模型来解决问题．例2．x 为何值时，不等式()23log log 2-<x x m m 成立．解析：当1>m 时，212132023023022<<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<>≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x x x x x ． 当10<<m 时，21322132023023022><<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><>≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x x x x x x x 或或． 故1>m 时，21<<x ．10<<m 时，2132><<x x 或为所求．点评：该题考查了对数不等式的解法，其基本的解题思路为将对数不等式转化为普通不等式，需要注意转化之后x 的范围发生了变化，因此最后要检验，或者转化时将限制条件联立．3．函数的实际应用函数的实际运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，考生应具备用初等数学思想方法研究函数的能力，运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．例3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x （单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=建筑总面积购地总费用）解析：设楼房每平方米的平均综合费为y 元，依题意得：*21601000010800(56048)56048(10,)2000y x x x x N x x⨯=++=++≥∈．则21080048y x '=-，令0y '=，即210800480x -=，解得15x =． 当15x >时，0y '>；当015x <<时，0y '<， 因此，当15x =时，y 取得最小值，min 2000y =元．答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．点评：这是一题应用题，利用函数与导数的知识来解决问题．利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法．4．导数与单调性、极（最）值问题．导数作为工具来研究三次函数、指数函数、对数函数的单调性，极值、最值时，具有其独特的优越性，要理解导数的几何意义，熟练导数的运算公式，善于借助导数解决有关的问题．例4．已知函数321()33f x ax bx x =+++，其中0a ≠． （1）当b a ,满足什么条件时，)(x f 取得极值?（2）已知0>a ，且)(x f 在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围． 解析： （1）由已知得2'()21f x ax bx =++，令0)('=x f ，得2210ax bx ++=，)(x f 要取得极值，方程2210ax bx ++=必须有解，所以△2440b a =->，即2b a >， 此时方程2210ax bx ++=的根为：122b b x a a ---==，222b b x a a--+==，所以12'()()()f x a x x x x =-- 当0>a 时，所以)(x f 在x 1， x 2处分别取得极大值和极小值． 当0<a 时，所以)(x f 在x 1， x 2处分别取得极大值和极小值． 综上，当b a ,满足2b a >时，)(x f 取得极值．（2）要使)(x f 在区间(0,1]上单调递增，需使2'()210f x ax bx =++≥在(0,1]上恒成立．即1,(0,1]22ax b x x ≥--∈恒成立，所以max 1()22ax b x≥--， 设1()22ax g x x =--，2221()1'()222a x a a g x x x -=-+=， 令'()0g x =得x =或x =舍去)，当1>a 时，101a <<，当x ∈时'()0g x >，1()22ax g x x =--单调增函数；当x ∈时'()0g x<，1()22ax g x x =--单调减函数，所以当x =()g x取得最大，最大值为g = 所以b ≥ 当01a <≤1≥，此时'()0g x ≥在区间(0,1]恒成立， 所以1()22ax g x x=--在区间(0,1]上单调递增，当1x =时()g x 最大，最大值为1(1)2a g +=-，所以12a b +≥-．综上，当1>a 时， b ≥01a <≤时， 12a b +≥-．点评：本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值．运用函数与方程的思想，化归思想和分类讨论的思想解答问题．【模拟演练】1．函数22log 2xy x-=+的图象（ ） A ． 关于原点对称 B ．关于主线y x =-对称 C ． 关于y 轴对称 D ．关于直线y x =对称 2． 定义在R 上的偶函数()f x 的部分图象如右图所示，则在()2,0-上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是（ ）A ．21y x =+ B ． ||1y x =+C ． 321,01,0x x y x x +≥⎧=⎨+<⎩D ．,,0x x e x oy e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩3．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ． (80)(11)(25)f f f <<-C ． (11)(80)(25)f f f <<-D ． (25)(80)(11)f f f -<<4． 定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为 ．5． 已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ．6．已知函数321(),3f x x ax bx =++且'(1)0f -= （I ）试用含a 的代数式表示b ； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点1122(,()),(,())M x f x N x f x ，证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点．7．已知函数32()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-． （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）设函数1()()3g x f x mx =+，若()g x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值．【参考答案】 1．答案：A解析：由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称，选A ． 2．答案：C解析：根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在()2,0-上单调递减，注意到要与()f x 的单调性不同，故所求的函数在()2,0-上应单调递增．而函数21y x =+在(],1-∞上递减；函数1y x =+在(],0-∞时单调递减；函数321,01,0x x y x x +>⎧=⎨+<⎩在（,0]-∞上单调递减，理由如下y ＇=3x 2>0(x<0)，故函数单调递增，显然符合题意；而函数,0,0x x e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，有y ＇=-x e -<0(x<0)，故其在（,0]-∞上单调递减，不符合题意，综上选C ． 3． 答案：D解析：因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-，所以(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，则)1()25(-=-f f ，)0()80(f f =，)3()11(f f =，又因为)(x f 在R 上是奇函数， (0)0f =，得0)0()80(==f f ，)1()1()25(f f f -=-=-，而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以0)0()1(=>f f ，所以0)1(<-f ，即(25)(80)(11)f f f -<<，故选D ． 4．答案：1解析：由已知得2(1)log 21f -==，(0)0f =，(1)(0)(1)1f f f =--=-，(2)(1)(0)1f f f =-=-，(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=，(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=，(5)(4)(3)1f f f =-=，(6)(5)(4)0f f f =-=， 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现．，所以f （2009）= f （5）=1． 5．答案：21y x =-解析：由2()2(2)88f x f x x x =--+-得：2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =， ∴切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=． 6．解析：（I ）依题意，得2'()2f x x ax b =++， 由'(1)120f a b -=-+=得21b a =-． （Ⅱ）由（I ）得321()(21)3f x x ax a x =++-， 故2'()221(1)(21)f x x ax a x x a =++-=++-， 令'()0f x =，则1x =-或12x a =-， ①当1a >时，121a -<-，当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --． ②由1a =时，121a -=-，此时，'()0f x ≥恒成立，且仅在1x =-处'()0f x =，故函数()f x 的单调区间为R ；③当1a <时，121a ->-，同理可得函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --．综上：当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --；当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --（Ⅲ）当1a =-时，得321()33f x x x x x=--，由2'()230f x x x =--=，得121,3x x =-=．由（Ⅱ）得()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数()f x 在121,3x x =-=处取得极值，故5(1,),(3,9)3M N --，所以直线MN 的方程为813y x =--，由32133813y x x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得32330x x x --+= 解得1231, 1.3x x x =-==，1233121135119,,33x x x y y y =-=⎧⎧=⎧⎪⎪∴⎨⎨⎨=-==-⎩⎪⎪⎩⎩， 所以线段MN 与曲线()f x 有异于,M N 的公共点11(1,)3-． 7．解析：（I ）由已知,切点为(2,0),故有(2)0f =,即430b c ++=……① 又2()34f x x bx c '=++，由已知(2)1285f b c '=++=得870b c ++=……② 联立①②，解得1,1b c =-=．所以函数的解析式为32()22f x x x x =-+-．（II ）因为321()223g x x x x mx =-+-+．令21()34103g x x x m '=-++=．当函数有极值时，则0∆≥，方程2134103x x m -++=有实数解， 由4(1)0m ∆=-≥，得1m ≤． ①当1m =时，()0g x '=有实数23x =，在23x =左右两侧均有()0g x '>，故函数()g x 无极值； ②当1m <时，()0g x '=有两个实数根1211(2(2x x =-=+(),()g x g x '情况如下表：所以在(,1)∈-∞m 时，函数()g x 有极值；当1(23=-x 时，()g x 有极大值；当1(23=x 时，()g x 有极小值．.精品资料。

限时规范训练六 导数的简单应用 限时45分钟，实际用时________ 分值81分，实际得分________一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1．设函数f (x )＝x 24－a ln x ，若f ′(2)＝3，则实数a 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2解析：选B.f ′(x )＝x 2－a x ，故f ′(2)＝22－a2＝3，因此a ＝－4.2．曲线y ＝e x在点A 处的切线与直线x －y ＋3＝0平行，则点A 的坐标为( ) A ．(－1，e －1) B ．(0,1) C ．(1，e)D ．(0,2)解析：选B.设A (x 0，e x 0)，y ′＝e x，∴y ′|x ＝x 0＝e x 0.由导数的几何意义可知切线的斜率k ＝e x 0.由切线与直线x －y ＋3＝0平行可得切线的斜率k ＝1. ∴e x 0＝1，∴x 0＝0，∴A (0,1)．故选B.3．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为 ( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选D.若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有两根，故Δ＝(－4c )2－12＞0，从而c ＞32或c ＜－32. 4．已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a ＞0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有f x 1－f x 2x 1－x 2≥2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1]解析：选A.由条件可知在定义域上函数图象的切线斜率大于等于2，所以函数的导数f ′(x )＝a x＋x ≥2.可得x ＝a 时，f ′(x )有最小值2.∴a ≥1.5．若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )＞k ＞1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k＜1kB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＞1k －1C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＜1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＞1k －1解析：选C.构造函数g (x )＝f (x )－kx ＋1，则g ′(x )＝f ′(x )－k ＞0，∴g (x )在R 上为增函数． ∵k ＞1，∴1k －1＞0，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＞g (0)． 而g (0)＝f (0)＋1＝0， ∴g ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－k k －1＋1＞0，即f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＞k k －1－1＝1k －1，所以选项C 错误，故选C.6．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解析：选C.因为当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0，所以f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a ＝f (0)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝b ，又f (x )＝f (2－x )，所以c ＝f (3)＝f (－1)，所以c ＝f (－1)＜f (0)＝a ，所以c ＜a ＜b ，故选C.二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2017·高考全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．解析：∵y ′＝2x －1x2，∴y ′|x ＝1＝1，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k ＝1， ∴切线方程为y －2＝x －1， 即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝08．已知函数f (x )＝－12x 2－3x ＋4ln x 在(t ，t ＋1)上不单调，则实数t 的取值范围是________．解析：由题意得，f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴t ＞0， ∴f ′(x )＝－x －3＋4x＝0在(t ，t ＋1)上有解，∴x 2＋3x －4x＝0在(t ，t ＋1)上有解，∴x 2＋3x －4＝0在(t ，t ＋1)上有解，由x 2＋3x －4＝0得x ＝1或x ＝－4(舍去)，∴1∈(t ，t ＋1)，∴t ∈(0,1)，故实数t 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)9．已知函数f (x )＝1－xax＋ln x ，若函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a 的取值范围为________．解析：∵f (x )＝1－x ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝ax －1ax2(a ＞0)．∵函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，∴f ′(x )＝ax －1ax 2≥0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，∴ax －1≥0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即a ≥1x在x ∈[1，＋∞)上恒成立，∴a ≥1.答案：[1，＋∞)三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分) 10．(2017·高考全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝(1－x 2)e x. (1)讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥0时，f (x )≤ax ＋1，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝(1－2x －x 2)e x.令f ′(x )＝0得x ＝－1－2或x ＝－1＋ 2. 当x ∈(－∞，－1－2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－1－2，－1＋2)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－1＋2，＋∞)时，f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)单调递减，在(－1－2，－1＋2)单调递增．(2)f (x )＝(1＋x )(1－x )e x.当a ≥1时，设函数h (x )＝(1－x )e x，则h ′(x )＝－x e x<0(x >0)，因此h (x )在[0，＋∞)单调递减．而h (0)＝1，故h (x )≤1，所以f (x )＝(x ＋1)h (x )≤x ＋1≤ax ＋1.当0<a <1时，设函数g (x )＝e x－x －1，则g ′(x )＝e x－1>0(x >0)，所以g (x )在[0，＋∞)单调递增．而g (0)＝0，故e x≥x ＋1.当0<x <1时，f (x )>(1－x )(1＋x )2，(1－x )(1＋x )2－ax －1＝x (1－a －x －x 2)，取x 0＝5－4a －12，则x 0∈(0,1)，(1－x 0)(1＋x 0)2－ax 0－1＝0，故f (x 0)>ax 0＋1. 当a ≤0时，取x 0＝5－12，则x 0∈(0,1)，f (x 0)>(1－x 0)(1＋x 0)2＝1≥ax 0＋1. 综上，a 的取值范围是[1，＋∞)．11．(2017·河南郑州质量检测)设函数f (x )＝12x 2－m ln x ，g (x )＝x 2－(m ＋1)x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当m ≥0时，讨论函数f (x )与g (x )图象的交点个数．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x 2－mx，当m ≤0时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间． 当m ＞0时，f ′(x )＝x ＋mx －mx，当0＜x ＜m 时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；当x ＞m 时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．综上，当m ≤0时，函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间；当m ＞0时，函数f (x )的单调递增区间是(m ，＋∞)，单调递减区间是(0，m )．(2)令F (x )＝f (x )－g (x )＝－12x 2＋(m ＋1)x －m ln x ，x ＞0，问题等价于求函数F (x )的零点个数，当m ＝0时，F (x )＝－12x 2＋x ，x ＞0，有唯一零点；当m ≠0时，F ′(x )＝－x －x －m x，当m ＝1时，F ′(x )≤0，函数F (x )为减函数，注意到F (1)＝32＞0，F (4)＝－ln 4＜0，所以F (x )有唯一零点．当m ＞1时，0＜x ＜1或x ＞m 时，F ′(x )＜0；1＜x ＜m 时，F ′(x )＞0，所以函数F (x )在(0,1)和(m ，＋∞)上单调递减，在(1，m )上单调递增，注意到F (1)＝m ＋12＞0，F (2m ＋2)＝－m ln(2m ＋2)＜0，所以F (x )有唯一零点．当0＜m ＜1时，0＜x ＜m 或x ＞1时，F ′(x )＜0；m ＜x ＜1时，F ′(x )＞0，所以函数F (x )在(0，m )和(1，＋∞)上单调递减，在(m,1)上单调递增，易得ln m ＜0， 所以F (m )＝m2(m ＋2－2ln m )＞0，而F (2m ＋2)＝－m ln(2m ＋2)＜0，所以F (x )有唯一零点．综上，函数F (x )有唯一零点，即两函数图象有一个交点． 12．(2017·河南洛阳模拟)已知函数f (x )＝ln x －a x ＋x －1，曲线y ＝f (x )在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设直线l 为函数g (x )＝ln x 的图象上任意一点A (x 0，y 0)处的切线，在区间(1，＋∞)上是否存在x 0，使得直线l 与曲线h (x )＝e x也相切？若存在，满足条件的x 0有几个？解：(1)∵函数f (x )＝ln x －a x ＋x －1，∴f ′(x )＝1x＋2a x －2，∵曲线y ＝f (x )在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋8a ＝10，∴a ＝1，∴f ′(x )＝x 2＋1x x －2.∵x ＞0且x ≠1，∴f ′(x )＞0，∴函数f (x )的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)． (2)存在且唯一，证明如下：∵g (x )＝ln x ，∴切线l 的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1 ①，设直线l 与曲线h (x )＝e x相切于点(x 1，e x 1)， ∵h ′(x )＝e x，∴e x 1＝1x 0，∴x 1＝－ln x 0，∴直线l 的方程也可以写成y －1x 0＝1x 0(x ＋ln x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0x 0＋1x 0②，由①②得ln x 0－1＝ln x 0x 0＋1x 0，∴ln x 0＝x 0＋1x 0－1.证明：在区间(1，＋∞)上x 0存在且唯一． 由(1)可知，f (x )＝ln x －x ＋1x －1在区间(1，＋∞)上单调递增， 又f (e)＝－2e －1＜0，f (e 2)＝e 2－3e 2－1＞0，结合零点存在性定理，说明方程f (x )＝0必在区间(e ，e 2)上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x 0.。

专题二 函数与导数考向一 函数的图象和性质【高考改编☆回顾基础】1．【函数的定义域与值域】【2016·全国卷Ⅱ改编】给出四个函数：①y ＝x ；②y ＝lg x ；③y ＝2x；④y ＝1x.其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是________．【答案】④[－2,2] 【解析】y ＝10lg x＝x ，定义域与值域均为(0，＋∞)，只有④中的函数满足题意．2. 【分段函数】【2017·山东卷改编】 设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2（x －1），x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝________．【答案】6【解析】当0<a<1时，a ＋1>1，由f(a)＝f(a ＋1)得a ＝2(a ＋1－1)＝2a ，解得a ＝14，此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f(4)＝2×(4－1)＝6; 当a≥1时，a ＋1≥2，由f(a)＝f(a ＋1)得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，此时方程无解．综上可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝6.3. 【指数函数、对数函数的图象和性质】【2017·全国卷Ⅰ改编】设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则2x ，3y ，5z 的大小关系是________． 【答案】3y<2x<5z4.【函数的奇偶性、单调性、指数函数对数函数的性质】【2017·天津卷改编】已知奇函数f (x )在R 上是增函数，若a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为________．【答案】c<b<a【解析】函数f(x)为奇函数，∴a＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215＝f(log 25)．∵log 25>log 24.1>2> 20.8，且函数f(x)在R 上是增函数，∴f (20.8)<f (log 24.1)<f (log 25)，∴c <b <a .5．【函数的奇偶性、周期性的简单应用】【2017·山东卷】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3，0] 时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.【答案】6【解析】由f (x ＋4)＝f (x －2)可知周期T ＝6，所以f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)，又因为f (x )为偶函数，所以f (1)＝f (－1)＝6－(－1)＝6.6. 【函数的图象、导数的简单应用】【2016高考新课标1卷】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D【命题预测☆看准方向】函数的图象与性质历来是高考的重点，也是热点，对于函数图象的考查体现在两个方面：一是识图；二是用图，即通过函数的图象，利用数形结合的思想方法解决问题；对于函数的性质，主要考查函数单调性、奇偶性、周期性；函数的奇偶性、周期性往往与分段函数、函数与方程结合，考查函数的求值与计算；以指数函数、对数函数、二次函数的图象与性质为主，结合基本初等函数的性质综合考查分析与解决问题的能力；考查数形结合解决问题的能力等．在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型,每年都有函数试题，而且常考常新．以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势．在大题中以导数为工具研究讨论函数的性质、不等式求解等综合问题.纵观近几年的高考题，函数问题的考查，往往是小题注重基础知识基本方法，突出重点知识重点考查，大题则注重在知识的交汇点命题，与不等式、导数、解析几何等相结合，综合考查函数方程思想及数学应用意识，考查转化与化归思想、分类讨论思想及数形结合思想的理解运用；考查分析与解决问题的能力、应用意识及创新能力.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018届北京市昌平临川育人学校12月月考】已知函数()1,2,{ 2log ,2a x x f x x x -≤=+> (0a >且1)a ≠的最大值为1,则a 的取值范围是（ ）A. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. ()0,1C. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D. ()1,+∞【答案】A【解析】∵当2x ≤时， ()1f x x =-，∴()()21max f x f ==，∵函数()1,2,{2log ,2a x x f x x x -≤=+>（0a >且1a ≠）的最大值为1，∴当2x >时， 2log 1a x +≤，∴01{log 21a a <<≤-，解得1[,12a ∈），故选A. 【趁热打铁】已知函数241y x x =-+的定义域为[]1,t ，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为-5，则实数t 的取值范围是（ ）A. (]1,3B. []2,3C. (]1,2D. ()2,3 【答案】B【解析】∵ 函数241y x x =-+∴函数241y x x =-+是开口向上，对称轴为2x =的抛物线 ∵函数241y x x =-+的定义域为[]1,t∴当1x =时， 2y =-，当2x =时， 3y =- ∵函数在定义域内函数的最大值与最小值之和为-5 ∴当2y =-时， 1x =或3x = ∴23t ≤≤ 故选B【例2】【2018届北京师范大学附属中学上期中】已知函数()()221,1{log 1,1x x f x x x +≤=+>，()2221g x x x m =-+-.若函数()y f g x m ⎡⎤=-⎣⎦ 恰有6个不同的零点，则m 的取值范围是( )A. (]0,3B. (),1-∞C. ()0,1D. 30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】∵函数()()2211{log 11x x f x x x +≤=->，，， ()2221g x x x m =-+-．∴当()()21221g x x m =-+-≤时，即()2132x m -≤-时，则()()()()2212143y f g x g x x m ==+=-+-，当()()21221g x x m =-+->时，即()2132x m->-时，则()()()22log 123y f g x x m ⎡⎤==-+-⎣⎦，①当320m -≤，即32m ≥时， y m =只与()()()22log 123y f g x x m ⎡⎤==-+-⎣⎦的图象有两个交点，不满足题意，应该舍去；②当32m <时， y m=与()()()22log 123y f g x x m ⎡⎤==-+-⎣⎦的图象有两个交点，需要直线y m =与函数()()()()2212143y f g x g x x m ==+=-+-的图象有四个交点时才满足题意，∴034m m <<-，又32m <，解得305m <<，综上可得： m 的取值范围是305m <<，故选D ． 【趁热打铁】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)ax a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34} 【答案】C【解析】由()f x 在R 上递减可知3401331,0134a a a a -≥⎧⇒≤≤⎨≥<<⎩，由方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，可知132,12a a ≤-≤，1233a ≤≤，又∵34a =时，抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数a 的去范围是123[,]{}334，故选C.【例3】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足:当0x ≥时，()3f x x =，若不等式()()242f t f m mt ->+对任意实数t 恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A ．(,-∞ B ．()C. ()(),02,-∞⋃+∞ D ．()(),22,-∞-⋃+∞【答案】A【趁热打铁】已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x 2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)( ) A ．有最小值－1，最大值1 B ．有最大值1，无最小值 C ．有最小值－1，无最大值 D ．有最大值－1，无最小值 【答案】C【解析】由题意得，利用平移变换的知识画出函数|f(x)|，g(x)的图象如图，而h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|f x |，|fx |≥g x ，－g x ，|f x|<g x ，故h(x)有最小值－1，无最大值．【方法总结☆全面提升】1.函数三个性质的应用(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)． (2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性．(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．2.函数方程问题求解策略(1)判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．(2)已知函数的零点个数求解参数范围，可以利用数形结合思想转化为函数图象交点个数；也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解．(3)对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【规范示例☆避免陷阱】【典例】函数()()1()1f x lg x lg x ＝＋＋－的奇偶性是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 【规范解答】为使函数有意义，须10,110x x x +>⎧∴>⎨->⎩，即函数的定义域为(1,)+∞，故函数是非奇非偶函数，选C.【反思提高】研究函数必须遵循“定义域优先”的原则，先考虑定义域，实施数学式子变形，应注意变量取值范围的变化． 【误区警示】本题解答易于忽视函数的定义域的限制致误．因为由2()(11)()1lg x lg x lg x ＋＋－＝－将原来函数的定义域{|1}x x >扩大为2{|1{0}}|11x x x x x >>=<-－或.二误认为是偶函数.考向二 导数运算及几何意义 【高考改编☆回顾基础】1．【导数的几何意义】【2017课标1，文14】曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 【答案】1y x =+ 【解析】2. 【导数的几何意义、直线方程】【2017天津，文10】已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 .【答案】1 【解析】【命题预测☆看准方向】导数的几何意义问题的类型主要有:一是利用导数求曲线的切线方程；二是判断直线与曲线的位置关系；三是研究切线的斜率或倾斜角； 题型主要是选择题或填空题题,文科多是命制导数的几何意义、利用导数研究函数的性质综合问题.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018届湖北省宜昌市葛洲坝中学9月月考】设函数.（1）当曲线在点处的切线与直线垂直时，求的值；【答案】(1).【趁热打铁】【2016高考新课标2理数】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ． 【答案】1ln 2-【解析】对函数ln 2y x =+求导得1y x '=，对ln(1)y x =+求导得11y x '=+，设直线y kx b =+与函数ln 2y x =+相切于点111(,)P x y ，与函数ln(1)y x =+相切于点222(,)P x y ，则1122ln 2,ln(1)y x y x =+=+，则点111(,)P x y 在切线上得()1111ln 2()y x x x x -+=-，由222(,)P x y 在切线上得2221ln(1)()1y x x x x -+=-+，这两条直线表示同一条直线，所以122212111ln(1)ln 1x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=-⎪+⎩，解之得112x =，所以112k x ==，所以1ln 211ln 2b x =+-=-. 【例2】【2016年高考四川理数】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( ) （A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞) 【答案】A【解析】设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为2111221121,ln 11x x P x x x ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，11x >，21122112111211PABA B P x x S y y x x x ∆+∴=-⋅=<=++，01PAB S ∆∴<<．故选A ． 【趁热打铁】曲线cos 16y ax x =+在2x π=处的切线与直线1y x =+平行，则实数a 的值为（ ）A ．2π-B ．2πC ．2πD ．2π-【答案】A【解析】因为()cos 16y ax x f x =+=，所以()'cos sin f x a x ax x =-，又因为曲线cos 16y ax x =+在2x π=处的切线与直线1y x =+平行，所以2'122a f a πππ⎛⎫=-=⇒=-⎪⎝⎭，故选A. 【方法总结☆全面提升】与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略 (1)已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率； ②由点斜式求得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．(2)已知斜率求切点：已知斜率R ，求切点(x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)求切线倾斜角的取值范围：先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然后利用正切函数的单调性解决.【规范示例☆避免陷阱】【典例】已知曲线31433y x =+，求曲线过点4(2)P ，的切线方程； 【规范解答】设曲线31433y x =+与过点4(2)P ，的切线相切于点0Ax (，301433x +），则切线的斜率020|x x k y x ='==，∴切线方程为y -（301433x +）=20x （x -0x ），即23002433y x x x =-+∵点4(2)P ，在切线上，∴42=20x -302433x +，即3200340x x -+=，∴322000440x x x +-+=， ∴()200120x x +-=（），解得01x =-或02x =，故所求的切线方程为44020x y x y --=-+=或. 【反思提升】该曲线过点4(2)P ，的切线方程”与“该曲线在点4(2)P ，处的切线方程”是有区别的：过点4(2)P ，的切线中，点4(2)P ，不一定是切点；在点4(2)P ，处的切线，点4(2)P ，是切点.【误区警示】易忽视“曲线过点4(2)P ，的切线方程”与“该曲线在点4(2)P ，处的切线方程”的区别，导致漏解.考向三 利用导数研究函数的性质【高考改编☆回顾基础】1．【利用导数研究函数的单调性】【2017·天津卷改编】设a ，b ∈R ，|a |≤1.已知函数f (x )＝x 3－6x 2－3a (a －4)x ＋b ，则f (x )的单调递减区间为________． 【答案】(a ，4－a )【解析】 f ′(x )＝3x 2－12x －3a (a －4)＝3(x －a )[x －(4－a )]， 令f ′(x )＝0，解得x ＝a 或x ＝4－a .由|a |≤1，得a <4－a ，所以由f ′(x )<0，解得f (x )的单调递减区间为(a ，4－a )．2. 【利用导数研究函数的极值】【2017·全国卷Ⅱ改编】若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为________． 【答案】－13. 【利用导数研究函数的最值】 【2017·北京卷改编】已知函数f (x )＝e xcos x －x ，则函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值分别为________． 【答案】1 －π2【解析】 f ′(x )＝e x(cos x －sin x )－1，设h (x )＝e x(cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x(cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e xsin x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，h ′(x )<0，所以h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，所以对任意x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，有h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<0， 所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2. 4. 【利用导数研究函数的极值】【2015·全国卷Ⅰ改编】设函数f (x )＝e 2x－a ln x ，若a ＝4，则f (x )的导函数f ′(x )的零点有________个． 【答案】1【解析】f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x－4x(x >0)．因为y ＝e 2x单调递增，y ＝－4x 单调递增，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2e －8<0，所以f ′(x )存在唯一零点．【命题预测☆看准方向】导数试题的类型主要有:一是利用导数求曲线的切线方程和判断直线与曲线的位置关系;二是利用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性,求函数的极值或最值;三是利用导数解决与函数零点有关的问题;四是利用导数解决不等式和求参数范围的问题.通过函数与导数综合考查单调性和最值问题仍然是热点,也是难点.选择题、填空题往往侧重于利用导数确定函数的单调性和极值，一般属于低档题目；解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识的综合应用，一般难度较大，属于中高档题．预测2018年的高考，不但出现考查求导法则、导数的几何意义等问题的小题，还必有考查导数的综合应用大题．【典例分析☆提升能力】【例1】【2018届浙江省嘉兴市第一中学上学期高三期中】已知函数()()22xx f x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】(1)详见解析;(2)0<a<1.【解析】试题分析：利用导数求函数的单调区间，先求导，在定义域下解不等式()0f x '>和()0f x '<，求出增区间和减区间；如果含参数则需对参数讨论，分情况说明函数的单调区间和单调性；函数的零点问题转化为函数图像与x 轴的交点问题解决，利用导数研究函数的单调性和极值，根据零点的个数的要求，限制极值的正负，列不等式求出参数的范围.（2）1ln 0f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭即可()2111111ln 2ln 1ln 0f a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+--=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1t a=，令()1ln g t t t =--在()0,+∞上为减函数 又因为： ()10g =，所以1t >，所以11a>， 所以：a 的取值范围为01a <<.【趁热打铁】设函数()()()2121f x x ln x =+-+. (1)求函数f (x )的单调区间;(2)若关于x 的方程()2f x x x a =++在[0,2]上恰有两个相异实根,求实数a 的取值范围.【答案】【解析】(1)函数的定义域为(-1,+∞),因为f (x )=(1+x )2-2ln(1+x ),所以f'(x )=2由f'(x )>0,得x>0;由f'(x )<0,得-1<x<0.故f (x )的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-1,0).(2)方程f (x )=x 2+x+a , 即x-a+1-2ln(1+x )=0,记g (x )=x-a+1-2ln(1+x )(x>-1),则g'(x )=1-,由g'(x )>0,得x>1;由g'(x )<0,得-1<x<1. 所以g (x )在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增.为使f (x )=x 2+x+a 在[0,2]上恰有两个相异的实根,只须g (x )=0在[0,1)和(1,2]上各有一个实根,于是有解得2-2ln 2<a ≤3-2ln 3,故实数a 的取值范围是(2-2ln 2,3-2ln 3].【例2】【2018届福建省三明市第一中学第一次月考】设函数.（1）若时，取得极值，求的值；（2）若在其定义域内为增函数，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）先求函数的导函数，根据若时，取得极值得，解之即可；（2）在其定义域内为增函数可转化成只需在内有恒成立，根据二次函数的图象与性质建立不等式关系，解之即可.试题解析：(1)因为时，取得极值，所以，即 故． (2)的定义域为.方程的判别式,（Ⅰ） 当, 即时，,在内恒成立, 此时为增函数.（Ⅱ）当, 即或时，要使在定义域内为增函数, 只需在内有即可,设，由得, 所以.由(1) (2)可知,若在其定义域内为增函数，的取值范围是.【趁热打铁】已知函数.(Ⅰ) 当时,求在处的切线方程;(Ⅱ) 当时,求在区间上的最小值(用表示).【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ).【解析】【试题分析】（1）借助题设运用导数的几何意义求解；（2）依据题设条件，借助导数与函数的单调性之间的关系求解：(Ⅰ) 当时,所以,所以在处的切线方程.(2)当时,在上递增,在上递增,在上递增,所以综上所述,【例3】【2018届黑龙江省大庆实验中学第二次月考】已知函数()()2sin 2x f x e x ax a e =-+-，其中,a R e ∈=2.71828…为自然数的底数.（1）当0a =时，讨论函数()f x 的单调性； （2）当112a ≤≤时，求证：对任意的[)0,x ∈+∞， ()0f x <. 【答案】(1)f （x ）在R 上单调递减.(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可；（2）对任意的x ∈[0，+∞），()0f x <转化为证明对任意的x ∈[0，+∞），2sin 20x ax a e -+-<，即可，构造函数，求函数的导数，利用导数进行研究即可．试题解析：（1）当a=0时，f （x ）=e x（sinx ﹣e ）， 则f′（x ）=e x（sinx ﹣e ）+e xcosx=e x （sinx ﹣e+cosx ）， ∵2sin 24x e π⎛⎫+≤< ⎪⎝⎭、 ∴sinx+cosx ﹣e ＜0 故f′（x ）＜0则f （x ）在R 上单调递减. （2）当x≥0时，y=e x≥1，要证明对任意的x ∈[0，+∞），f （x ）＜0.则只需要证明对任意的x ∈[0，+∞），2sin 20x ax a e -+-< 设g （a ）=sinx ﹣ax 2+2a ﹣e=（﹣x 2+2）a+sinx ﹣e ， 看作以a 为变量的一次函数， 要使sinx ﹣ax 2+2a ﹣e ＜0，则()102{ 10g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭<，即22110,{ 220sinx x e sinx x e -+-<-+-<①，②，∵sinx+1﹣e ＜0恒成立，∴①恒成立， 对于②，令h （x ）=sinx ﹣x 2+2﹣e ， 则h′（x ）=cosx ﹣2x ，设x=t 时，h′（x ）=0，即cost ﹣2t=0. ∴t=cos 122t <，sint ＜1sin 62π= ∴h （x ）在（0，t ）上，h′（x ）＞0，h （x ）单调递增，在（t ，+∞）上，h′（x ）＜0，h （x ）单调递减，则当x=t 时，函数h （x ）取得最大值h （t ）=sint ﹣t 2+2﹣e=sint ﹣（cos 2t ）2+2﹣e =sint ﹣21sin 4t -+2﹣e=14sin 2t+sint+74﹣e=（sin 2t +1）2+34﹣e≤（54）2+34﹣e=2716﹣e ＜0，故④式成立，综上对任意的x ∈[0，+∞），f （x ）＜0.【趁热打铁】【2016高考山东理数】已知()221()ln ,R x f x a x x a x-=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 【解析】（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞；3232/)1)(2(22)(xx ax x x x a a x f --=+--=. 当0≤a ， )1,0(∈x 时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增；/(1,),()0x f x ∈+∞<时，)(x f 单调递减.当0>a 时，/3(1)()(a x f x x x x -=+-. （1）20<<a ，12>a， 当)1,0(∈x 或x ∈),2(+∞a时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增；当x ∈)2,1(a时，0)(/<x f ，)(x f 单调递减； （2）2=a 时，12=a，在x ∈),0(+∞内，0)(/≥x f ，)(x f 单调递增；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1=a 时，/22321122()()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+---+23312ln 1x x x x x =-++--，]2,1[∈x ， 令1213)(,ln )(32--+=-=xx x x h x x x g ，]2,1[∈x . 则)()()()(/x h x g x f x f +=-， 由01)(/≥-=xx x g 可得1)1()(=≥g x g ，当且仅当1=x 时取得等号.又24326'()x x h x x --+=，设623)(2+--=x x x ϕ，则)(x ϕ在x ∈]2,1[单调递减， 因为10)2(,1)1(-==ϕϕ，所以在]2,1[上存在0x 使得),1(0x x ∈ 时，)2,(,0)(0x x x ∈>ϕ时，0)(<x ϕ， 所以函数()h x 在),1(0x 上单调递增；在)2,(0x 上单调递减， 由于21)2(,1)1(==h h ，因此21)2()(=≥h x h ，当且仅当2=x 取得等号， 所以23)2()1()()(/=+>-h g x f x f ， 即23)()(/+>x f x f 对于任意的]2,1[∈x 恒成立. 【方法总结☆全面提升】1.求解或讨论函数单调性问题的解题策略讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论． (2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论． [注意] 讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制． 2.利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号． (2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解．(3)求函数f(x)在闭区间[a ，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．【规范示例☆避免陷阱】【典例】【2017·全国卷Ⅰ】已知函数f (x )＝a e 2x＋(a －2)e x－x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．【规范解答】 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x＋1).2分 (i)若a ≤0，则f ′(x )＜0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递减.1分。