最新版高考理数全国卷2

2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）数学本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1 .答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是正确的・请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知z = —1 —i,则（）A. 0B. 1C. V2D. 22. 已知命题p ： Vx e R , x +11> 1 ；命题 q ： > 0 , x 3 = x ，贝I （ ）A. p 和q 都是真命题B. ~^P 和q 都是真命题C. p 和「0都是真命题D. F 和「0都是真命题3. 已知向量口,直满足|4 = 1J q + 2，= 2,且— 则料=（）A. |B. —C.匝D. 12 2 24. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表据表中数据，结论中正确的是（）亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)频数612182410A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间5.已知曲线C：x2+y2=16(歹>0),从。

普通高等学校招生全国统一考试（Ⅱ卷）逐题解析欧阳学文理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

【题目1】(·新课标全国Ⅱ卷理1)1.（）A． B． C． D．【命题意图】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数的概念，意在考查学生的运算能力.【解析】解法一：常规解法解法二：对十法可以拆成两组分式数，运算的结果应为形式，（分子十字相乘，分母为底层数字平方和），（分子对位之积差，分母为底层数字平方和）.解法三：分离常数法解法四：参数法，解得故【知识拓展】复数属于新课标必考点，考复数的四则运算的年份较多，复数考点有五：1.复数的几何意义（）；2.复数的四则运算；3.复数的相等的充要条件；4.复数的分类及共轭复数；5.复数的模【题目2】(·新课标全国Ⅱ卷理2)2.设集合，．若，则（）A． B． C． D．【命题意图】本题主要考查一元二次方程的解法及集合的基本运算，以考查考生的运算能力为目的.【解析】解法一：常规解法∵∴1是方程的一个根，即，∴故解法二：韦达定理法∵∴1是方程的一个根，∴ 利用伟大定理可知：，解得：，故解法三：排除法∵集合中的元素必是方程方程的根，∴，从四个选项A﹑B﹑C﹑D看只有C选项满足题意.【知识拓展】集合属于新课标必考点，属于函数范畴，常与解方程﹑求定义域和值域﹑数集意义相结合，集合考点有二：1.集合间的基本关系；2.集合的基本运算.【题目3】(·新课标全国Ⅱ卷理3)3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏【命题意图】本题主要考查等比数列通向公式及其前项和，以考查考生的运算能力为主目的.【解析】解法一：常规解法一座7层塔共挂了381盏灯，即；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，即，塔的顶层为；由等比前项和可知：，解得.解法二：边界效应等比数列为递增数列，则有，∴，解得，∴.【知识拓展】数列属于高考必考考点，一般占10分或12分，即两道小题或一道大题，其中必有一道小题属于基础题，一道中档偏上题或压轴题，大题在17题出现，属于基础题型，高考所占分值较大，在高中教学中列为重点讲解内容，也是大部分学生的难点，主要是平时教学题型难度严重偏离高考考试难度，以及研究题型偏离命题方向，希望能引起注意；考试主线非常明晰，1.等差数列通向公式及其前项和；2. 等比数列通向公式及其前项和.【题目4】(·新课标全国Ⅱ卷理4)4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，学科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）A ．B ．C ．D ．【命题意图】本题主要考查简单几何体三视图及体积，以考查考生的空间想象能力为主目的.【解析】解法一：常规解法从三视图可知：一个圆柱被一截面截取一部分而剩余的部分，具体图像如下：切割前圆柱切割中切割后几何体从上图可以清晰的可出剩余几何体形状，该几何体的体积分成两部分，部分图如下：从左图可知：剩下的体积分上下两部分阴影的体积，下面阴影的体积为，，，∴；上面阴影的体积是上面部分体积的一半，即，与的比为高的比（同底），即，，故总体积.第二种体积求法：，其余同上，故总体积.【知识拓展】三视图属于高考必考点，几乎年年考三视图，题型一般有五方面，1.求体积；2.求面积（表面积，侧面积等）；3.求棱长；4.视图本质考查（推断视图，展开图，空间直角坐标系视图）；5.视图与球体综合联立，其中前三个方面考的较多.【题目5】(·新课标全国Ⅱ卷理5)5.设，满足约束条件，则的最小值是（）A． B． C． D．【命题意图】本题主要考查线性规划问题，以考查考生数形结合的数学思想方法运用为目的， 属于过渡中档题.【解析】解法一：常规解法 根据约束条件画出可行域（图中阴影部分）, 作直线，平移直线，将直线平移到点处最小，点的坐标为，将点的坐标代到目标函数， 可得，即.解法二：直接求法对于封闭的可行域，我们可以直接求三条直线的交点，代入目标函数中，三个数种选其最小的 为最小值即可，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，所求值分 别为﹑﹑，故，.解法三：隔板法首先 看约束条件方程的斜率 约束条件方程的斜率分别为﹑﹑；y = 32x +3y 3=02x 3y +3=0其次排序按照坐标系位置排序﹑﹑；再次看目标函数的斜率和前的系数看目标函数的斜率和前的系数分别为﹑；最后画初始位置，跳格，找到最小值点目标函数的斜率在之间，即为初始位置，前的系数为正，则按逆时针旋转，第一格为最大值点，即，第二个格为最小值点，即，只需解斜率为和这两条线的交点即可，其实就是点，点的坐标为，将点的坐标代到目标函数，可得，即.【知识拓展】线性规划属于不等式范围，是高考必考考点，常考查数学的数形结合能力，一般变化只在两个方向变化，1.约束条件的变化；2.目标函数的变化；约束条件变化从封闭程度方面变化，目标函数则从方程的几何意义上变化，但此题型属于高考热点题型（已知封闭的约束条件，求已知的二元一次方程目标函数），此题型属于过渡中档题，只需多积累各题型解决的方法即可.【题目6】(·新课标全国Ⅱ卷理6)6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种【命题意图】本题主要考查基本计数原理的应用，以考查考生的逻辑分析能力和运算求解能力为主.【解析】解法一：分组分配之分人首先分组将三人分成两组，一组为三个人，有种可能，另外一组从三人在选调一人，有种可能；其次排序两组前后在排序，在对位找工作即可，有种可能；共计有36种可能.解法二：分组分配之分工作工作分成三份有种可能，在把三组工作分给3个人有可能，共计有36种可能.解法三：分组分配之人与工作互动先让先个人个完成一项工作，有种可能，剩下的一项工作在有3人中一人完成有种可能，但由两项工作人数相同，所以要除以，共计有36种可能.解法四：占位法其中必有一个完成两项工作，选出此人，让其先占位，即有中可能；剩下的两项工作由剩下的两个人去完成，即有种可能，按分步计数原理求得结果为36种可能.解法五：隔板法和环桌排列首先让其环桌排列，在插两个隔板，有种可能，在分配给3人工作有种可能，按分步计数原理求得结果为36种可能.【知识拓展】计数原理属于必考考点，常考题型有1.排列组合；2.二项式定理，几乎二者是隔一年或隔两年交互出题，排列组合这种排序问题常考，已经属于高考常态，利用二项式定理求某一项的系数或求奇偶项和也已经属于高考常态，尤其是利用二项式定理求某一项的系数更为突出.【题目7】(·新课标全国Ⅱ卷理7)7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学科&网给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩【命题意图】本题考查推理与证明的有关知识，考查考生推理论证能力.【解析】解法一：假设法甲看乙﹑丙成绩，甲不知道自己的成绩，那么乙﹑丙成绩中有一人为优，一人为良；乙已经知道自己的成绩要么良，要么优，丙同样也是，当乙看到丙的成绩，一定知道自己的成绩，但是丙一定不知道自己的成绩；而丁同学也知道自己的成绩要么良，要么优，只有看到甲的成绩，才能判断自己的成绩，丁同学也一定知道自己的成绩，故只有乙﹑丁两位同学知道自己的成绩.解法二：选项代入法当我们不知道如何下手,则从选项入手，一一假定成立，来验证我们的假设是否成立，略【知识拓展】推理与证明近两年属于热点考题，的第15题（理）﹑第16题（文），今年的理（7）﹑文（9），属于创新题，突出新颖，但题的难度不大，需要考生冷静的思考，抓住主要知识要点，从而能够快速做题，属于中档题.【题目8】(·新课标全国Ⅱ卷理8)8.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（）A．2 B．3 C．4 D．5【命题意图】本题考查程序框图的知识，意在考查考生对循环结构的理解与应用.【解析】解法一：常规解法∵，，，，，∴ 执行第一次循环：﹑﹑；执行第二次循环：﹑﹑；执行第三次循环：﹑﹑；执行第四次循环：﹑﹑；执行第五次循环：﹑﹑；执行第五次循环：﹑﹑；当时，终止循环，输出，故输出值为3.解法二：数列法，，裂项相消可得；执行第一次循环：﹑﹑，当时，即可终止，，即，故输出值为3.【题目9】(·新课标全国Ⅱ卷理9)9.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）A．2 B． C． D．【命题意图】主要考查双曲线的性质及直线与圆的位置关系，意在考查考生的转化与化归思想.【解析】解法一：常规解法根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为，∴ 圆心到渐近线的距离为，即，解得.解法二：待定系数法设渐进线的方程为，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为，∴ 圆心到渐近线的距离为，即，解得；由于渐近线的斜率与离心率关系为，解得.解法三：几何法从题意可知：，为等边三角形，所以一条渐近线的倾斜较为，由于，可得，渐近线的斜率与离心率关系为，解得.解法四：坐标系转化法根据圆的直角坐标系方程：，可得极坐标方程，由可得极角，从上图可知：渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等，所以，渐近线的斜率与离心率关系为，解得.解法五：参数法之直线参数方程如上图，根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为，可以表示点的坐标为，∵，∴点的坐标为，代入圆方程中，解得.【知识拓展】双曲线已成为高考必考的圆锥曲线内容（理科），一般与三角形﹑直线与圆﹑向量相结合，属于中档偏上的题，但随着二卷回归基础的趋势，圆锥曲线小题虽然处于中档题偏上位置，但难度逐年下降.【题目10】(·新课标全国Ⅱ卷理10)10.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【命题意图】本题考查立体几何中的异面直线角度的求解，意在考查考生的空间想象能力【解析】解法一：常规解法在边﹑﹑﹑上分别取中点﹑﹑﹑，并相互连接.由三角形中位线定理和平行线平移功能，异面直线和所成的夹角为或其补角，通过几何关系求得，，，利用余弦定理可求得异面直线和所成的夹角余弦值为.解法二：补形通过补形之后可知：或其补角为异面直线和所成的角，通过几何关系可知：，，，由勾股定理或余弦定理可得异面直线和所成的夹角余弦值为.解法三：建系建立如左图的空间直角坐标系，，，，∴，∴解法四：投影平移三垂线定理设异面直线和所成的夹角为利用三垂线定理可知：异面直线和所成的夹角余弦值为.【知识拓展】立体几何位置关系中角度问题一直是理科的热点问题，也是高频考点，证明的方法大体有两个方向：1.几何法；2.建系；几何法步骤简洁，但不易想到；建系容易想到，但计算量偏大，平时复习应注意各方法优势和不足，做到胸有成竹，方能事半功倍.【题目11】(·新课标全国Ⅱ卷理11)11.若是函数的极值点，则的极小值为（）A. B. C. D.1【命题意图】本题主要考查导数的极值概念及其极大值与极小值判定条件，意在考查考生的运算求解能力.【解析】解法一：常规解法∵∴ 导函数∵∴∴导函数令，∴，当变化时，，随变化情况如下表：++0 0极大值极小值从上表可知：极小值为.【知识拓展】导数是高考重点考查的对象，极值点的问题是非常重要考点之一，大题﹑小题都会考查，属于压轴题，但难度在逐年降低.【题目12】(·新课标全国Ⅱ卷理12)12.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）A. B. C. D.【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生转化与化归思想和运算求解能力【解析】解法一：建系法，连接，，，∴∴∴，∴∴最小值为解法二：均值法∵，∴由上图可知：；两边平方可得∵，∴∴，∴最小值为解法三：配凑法∵∴∴最小值为【知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考全国卷2数学理科试卷及答案1234567果实饱满鲜嫩水灵鸽子、燕子象征和平乳燕初飞婉转悦耳莺歌燕舞翩然归来麻雀、喜鹊枝头嬉戏灰不溜秋叽叽喳喳鹦鹉鹦鹉学舌婉转悦耳笨嘴学舌啄木鸟利嘴如铁钢爪如钉鸡鸭鹅神气活现昂首挺胸肥大丰满自由自在引吭高歌马腾空而起狂奔飞驰膘肥体壮昂首嘶鸣牛瘦骨嶙峋行动迟缓俯首帖耳膘肥体壮车川流不息呼啸而过穿梭往来缓缓驶离船一叶扁舟扬帆远航乘风破浪雾海夜航追波逐浪飞机划破云层直冲云霄穿云而过银鹰展翅学习用品美观实用小巧玲珑造型优美设计独特玩具栩栩如生活泼可爱惹人喜爱爱不释手彩虹雨后彩虹彩桥横空若隐若现光芒万丈雪大雪纷飞大雪封山鹅毛大雪漫天飞雪瑞雪纷飞林海雪原风雪交加霜雪上加霜寒霜袭人霜林尽染露垂露欲滴朝露晶莹日出露干雷电电光石火雷电大作惊天动地春雷滚滚电劈石击雷电交加小雨阴雨连绵牛毛细雨秋雨连绵随风飘洒大雨倾盆大雨狂风暴雨大雨滂沱瓢泼大雨大雨淋漓暴雨如注风秋风送爽金风送爽北风呼啸微风习习寒风刺骨风和日丽雾大雾迷途云雾茫茫雾似轻纱风吹雾散云消雾散云彩云满天天高云淡乌云翻滚彤云密，布霞彩霞缤纷晚霞如火朝霞灿烂丹霞似锦星最远的地方：天涯海角最远的分离：天壤之别最重的话：一言九鼎最可靠的话：一言为定其它成语一、描写人的品质：平易近人宽宏大度冰清玉洁持之以恒锲而不舍废寝忘食大义凛然临危不俱光明磊落不屈不挠鞠躬尽瘁死而后已二、描写人的智慧：料事如神足智多谋融会贯通学贯中西博古通今才华横溢出类拔萃博大精深集思广益举一反三三、描写人物仪态、风貌：憨态可掬文质彬彬风度翩翩相貌堂堂落落大方斗志昂扬意气风发，威风凛凛容光焕发神采奕奕四、描写人物神情、情绪：悠然自得眉飞色舞喜笑颜开神采奕奕欣喜若狂呆若木鸡喜出望外垂头丧气无动于衷勃然大怒五、描写人的口才：能说会道巧舌如簧能言善辩滔滔不绝伶牙俐齿，出口成章语惊四座娓娓而谈妙语连珠口若悬河六、来自历史故事的成语：三顾茅庐铁杵成针望梅止渴完璧归赵四面楚歌负荆请罪精忠报国手不释卷悬梁刺股凿壁偷光七、描写人物动作：走马——花欢呼雀跃扶老携幼手舞足蹈促膝谈心前俯后仰奔走相告跋山涉水前赴后继张牙舞爪八、描写人间情谊：恩重如山深情厚谊手足情深形影不离血浓于水志同道合风雨同舟赤诚相待肝胆相照生死相依九、说明知事晓理方面：循序渐进日积月累温故——新勤能补拙笨鸟先飞学无止境学海无涯滴水穿石发奋图强开卷有益十、来自寓言故事的成语：夏天的，景色鸟语蝉鸣万木葱茏枝繁叶茂莲叶满池秋天秋高气爽天高云淡秋风送爽秋菊怒放秋菊傲骨秋色迷人秋色宜人金桂飘香秋天的景色果实累累北雁南飞满山红叶五谷丰登芦花飘扬冬天天寒地冻北风呼啸滴水成冰寒冬腊月瑞雪纷飞冰天雪地冬天的景色冰封雪盖漫天飞雪白雪皑皑冰封大地冰天雪地早晨东方欲晓旭日东升万物初醒空气清醒雄鸡报晓晨雾弥漫晨光绚丽中午烈日当头丽日临空艳阳高照万里无云碧空如洗傍晚日落西山夕阳西斜残阳如血炊烟四起百鸟归林华灯初上夜幕低垂日薄西山夜晚夜深人静月明星稀夜色柔美夜色迷人深更半夜漫漫长夜城镇风光秀丽人山人海车水马龙宁静和谐村庄草木苍翠竹篱瓦舍山幽路辟小桥流水大楼、饭店直指青云古色古香青砖素瓦耸入碧云工厂机器轰鸣铁流直泻热气腾腾钢花飞溅商店粉饰一新门可罗雀冷冷清清错落有致馆场富丽堂皇设施齐全气势雄伟金碧辉煌学校风景如画闻名遐迩桃李满天下车站、码头井然有序杂乱无章布局巧妙错落有致街道宽阔平坦崎岖不平拥挤不堪畅通无阻花花红柳绿花色迷人花香醉人花枝招展百花齐放百花盛开百花争艳，绚丽多彩五彩缤纷草绿草如，，标准答案一、填空题。

最新2022年高考全国2卷理数试题(解析版)-打印改写后】18.一个三棱锥的底面是一个俯视图，高为3.求该几何体的体积。

解析：该几何体是一个三棱锥，底面是一个俯视图，高为3.所以，它的体积为V=1/3×底面积×高=1/3×6×3×3=9.12.一个等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，与抛物线y=2x²的准线交于A、B两点，AB=4√3.那么C的实轴长为多少？解析：设C:x²/4-y²/a²=1与y的准线l:x=-4交于A(-4,2)、B(-4,-2/3)两点。

则a²=16-4/9=128/9，实轴长为2a=8/3.9.函数f(x)=sin(ωx+π)在区间(0,π)上单调递减。

那么ω的取值范围是多少？解析：由f(x)=sin(ωx+π)，得ωx+π∈[π/2,3π/2]，即ωx∈[0,π]。

因为在区间(0,π)上f(x)单调递减，所以ω应该满足ω≤π/π=1，又因为sin(ωx+π)是偶函数，所以ω应该满足ω≥0，综上可知ω∈[0,1]。

10.函数f(x)=ln(x+1)-x的图像大致是什么样子？解析：令g(x)=ln(1+x)-x，则g'(x)=-1/(1+x)-1)，所以g(x)在(-1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，且g(0)=0.因此，f(x)=g(x+1)在(-1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，且f(0)=0.由此可知，f(x)的图像大致是一条过点(0,0)的单峰函数。

11.一个三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2√3.那么此棱锥的体积是多少？解析：由△ABC是边长为1的正三角形可知，△ABC的外接圆半径R=√3/3.又因为S-ABC的所有顶点都在球O的表面上，所以点S到面ABC的距离为2R=2√3/3.因此，此棱锥的体积为V=1/3×S△ABC×2R=1/3×(1/2×1×(√3/2))×(2√3/3)=1/9.12.设点P在曲线y=1/(1+x)上，点Q在曲线y=x^2上，且PQ过第一象限的点(1,1)。

2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅱ卷）数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-£，则A B =I （ ）A. {1,2}- B. {1,2} C. {1,4} D. {1,4}-【答案】B【解析】【分析】求出集合B 后可求A B I .【详解】{}|02B x x =££，故{}1,2A B =I ，故选：B.2. (22i)(12i)+-=（ ）A. 24i-+ B. 24i -- C. 62i + D. 62i-【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法可求()()22i 12i +-.【详解】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D.3. 图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ¢¢¢¢是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AA k k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（ ）A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.9【答案】D【解析】【分析】设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===，依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，所以30.530.30.7254k +-=，故30.9k =，故选：D4. 已知向量(3,4),(1,0),t ===+r r r r r a b c a b ，若,,<>=<>r r r r a c b c ，则t =（ ）A. 6- B. 5- C. 5 D. 6【答案】C【解析】【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：()3,4c t =+r ,cos ,cos ,a c b c =r r r ,即931635t t c c+++=r r ,解得5t =,故选：C5. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种【答案】B【解析】【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224´´=种不同的排列方式，故选：B6. 若sin()cos()sin 4p a b a b a b æö+++=+ç÷èø，则（ ）A. ()tan 1a b -= B. ()tan 1a b +=C. ()tan 1a b -=- D. ()tan 1a b +=-【答案】C【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin a b a b a b a b a a b ++-=-,即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0a b a b a b a b -++=，即：()()sin cos 0a b a b -+-=,所以()tan 1a b -=-,故选：C7. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为积为（ ）A. 100πB. 128πC. 144πD. 192π【答案】A【解析】【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，所以1222r r ==123,4r r ==，设球心到上下底面的距离分别为12,d d ，球的半径为R ，所以1d =，2d =121d d -=或121d d +=1=，解得225R =符合题意，所以球的表面积为24π100πS R ==．故选：A ．8. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==å（ ）A. 3- B. 2- C. 0 D. 1【答案】A【解析】【分析】根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f L 的值，即可解出．【详解】因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=L ．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-å．故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知函数()sin(2)(0π)f x x j j =+<<的图像关于点2π,03æöç÷èø中心对称，则（ ）A. ()f x 在区间5π0,12æöç÷èø单调递减B. ()f x 在区间π11π,1212æö-ç÷èø有两个极值点C. 直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D. 直线y x =-是曲线()y f x =的切线【答案】AD【解析】【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：2π4πsin 033f j æöæö=+=ç÷ç÷èøèø，所以4ππ3k j +=，k ÎZ ，即4ππ,3k k j =-+ÎZ ，又0πj <<，所以2k =时，2π3j =，故2π()sin 23f x x æö=+ç÷èø．对A ，当5π0,12x æöÎç÷èø时，2π2π3π2,332x æö+Îç÷èø，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =在5π0,12æöç÷èø上是单调递减；对B ，当π11π,1212x æöÎ-ç÷èø时，2ππ5π2,322x æö+Îç÷èø，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =只有1个极值点，由2π3π232x +=，解得5π12x =，即5π12x =为函数的唯一极值点；对C ，当7π6x =时，2π23π3x +=，7π()06f =，直线7π6x =不是对称轴；对D ，由2π2cos 213y x æö¢=+=-ç÷èø得：2π1cos 232x æö+=-ç÷èø，解得2π2π22π33x k +=+或2π4π22π,33x k k +=+ÎZ ,从而得：πx k =或ππ,3x k k =+ÎZ ,所以函数()y f x =在点æççè处的切线斜率为02π2cos 13x k y ==¢==-，切线方程为：(0)y x =--即y x =-．故选：AD ．10. 已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ）A. 直线AB 的斜率为B. ||||OB OF =C. ||4||AB OF > D. 180OAM OBM Ð+Ð<°【答案】ACD【解析】【分析】由AF AM =及抛物线方程求得3(4p A ，再由斜率公式即可判断A 选项；表示出直线AB 的方程，联立抛物线求得(,3p B ，即可求出OB 判断B 选项；由抛物线的定义求出2512p AB =即可判断C 选项；由0OA OB ×<uuu r uuu r ，0MA MB ×<uuu r uuur 求得AOB Ð，AMB Ð为钝角即可判断D 选项.【详解】对于A ，易得(,0)2p F ，由AF AM =可得点A 在FM 的垂直平分线上，则A 点横坐标为3224p p p +=，代入抛物线可得2233242p y p p =×=，则3(4p A ，则直线AB=，A 正确；对于B，由斜率为AB的方程为2p x y =+，联立抛物线方程得220y py p -=，设11(,)B x y1p y p +=，则1y =，代入抛物线得212p x æ=×ççè，解得13p x =，则(,3p B ，=，B 错误；对于C，由抛物线定义知：32524412pp AB p p OF ==>=，C 正确；对于D ，2333((,043434p p p p pOA OB æ×=×=×+=-<ççèuuu r uuu r ，则AOB Ð为钝角，又2225((,043436p p p p p MA MB ææö×=-×-=-×-+=-<çç÷çèøèuuu r uuu r ，则AMB Ð为钝角，又360AOB AMB OAM OBM Ð+Ð+Ð+Ð=o ，则180OAM OBM Ð+Ð<o ，D 正确.故选：ACD.11. 如图，四边形ABCD 为正方形，ED ^平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则（ ）A. 322V V = B. 31V V =C. 312V V V =+ D. 3123V V =【答案】CD【解析】【分析】直接由体积公式计算12,V V ，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，由3A EFM C EFM V V V --=+计算出3V ，依次判断选项即可.【详解】设22AB ED FB a ===，因为ED ^平面ABCD ，FB ED P ，则()2311114223323ACD V ED S a a a =××=×××=V ，()232111223323ABC V FB S a a a =××=×××=V ，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，易得BD AC ^，又ED ^平面ABCD ，AC Ì平面ABCD ，则ED AC ^，又ED BD D =I ，,ED BD Ì平面BDEF ，则AC ^平面BDEF ，又12BM DM BD ===，过F 作FG DE ^于G ，易得四边形BDGF 为矩形，则,FG BD EG a ===，则,EM FM ====，，222EM FM EF +=，则EM FM ^，12EFM S EM FM =×=V ，则33123A EFM C EFM EFM V V V AC S a --=+=×=V ，则3123V V =，323V V =，312V V V =+，故A 、B 错误；C 、D 正确.故选：CD.12. 若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（ ）A. 1x y +£ B. 2x y +³-C. 222x y +£ D. 221x y +³【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为22222a b a b ab ++æö££ç÷èø（,a b ÎR ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +æö+-=£ç÷èø，解得22x y -£+£，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=£，解得222x y +£，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y æö-+=ç÷èø，设cos sin 2y x y q q -==，所以cos ,x y q q q ==，因此2222511cos sin cos 12cos 2333x y q q q q =q -q +=++++42π2sin 2,23363q æöéù=+-Îç÷êúèøëû，所以当x y ==221x y +³不成立，所以D 错误．故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知随机变量X 服从正态分布()22,N s，且(2 2.5)0.36P X <£=，则( 2.5)P X >=____________．【答案】0.14##750．【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．【详解】因为()22,X N s :，所以()()220.5P X P X <=>=，因此()()()2.522 2.50.50.360.14P X P X P X >=>-<£=-=．故答案为：0.14．14. 曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．【答案】①. 1ey x = ②. 1e y x =-【解析】【分析】分0x >和0x <两种情况，当0x >时设切点为()00,ln x x ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x ，即可求出切线方程，当0x <时同理可得；【详解】解： 因为ln y x =，当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x¢=，所以001|x x y x =¢=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e ey x -=-，即1ey x =；当0x <时()ln y x =-，设切点为()()11,ln x x -，由1y x¢=，所以111|x x y x =¢=，所以切线方程为()()1111ln y x x x x --=-，又切线过坐标原点，所以()()1111ln x x x --=-，解得1e x =-，所以切线方程为()11e ey x -=+-，即1ey x =-；故答案为：1ey x =；1e y x=-15. 设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是________．【答案】13,32éùêúëû【解析】【分析】首先求出点A 关于y a =对称点A ¢的坐标，即可得到直线l 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解：()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a ¢--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B ¢所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=；圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离d ，即()()2225532a a -£-+，解得1332a ££，即13,32a éùÎêúëû；故答案为：13,32éùêúëû16. 已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||MA NB MN ==l 的方程为___________．【答案】0x +-=【解析】【分析】令AB 中点为E ，设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到12OE AB k k ×=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，求出M 、N 的坐标，再根据MN 求出k 、m ，即可得解；【详解】解：令AB 的中点为E ，因为MA NB =，所以ME NE =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211163x y +=，2222631x y +=，所以2222121206633x x y y -+-=，即()()()()12121212063x x x x y y y y -++-+=所以()()()()1212121212y y y y x x x x +-=--+，即12OE AB k k ×=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，令0x =得y m =，令0y =得m x k =-，即,0m M k æö-ç÷èø，()0,N m ，所以,22m m E k æö-ç÷èø，即1222mk mk´=--，解得k =k =，又MN =，即MN ==，解得2m =或2m =-（舍去），的所以直线:2AB y x =+，即0x -=；故答案为：0x -=四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．（1）证明：11a b =；（2）求集合{}1,1500k m k b a a m =+££中元素个数．【答案】（1）证明见解析； （2）9．【解析】【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得22k m -=，即可解出．【小问1详解】设数列{}n a 的公差为d ，所以，()11111111224283a d b a d b a d b b a d +-=+-ìí+-=-+î，即可解得，112db a ==，所以原命题得证．小问2详解】【由（1）知，112d b a ==，所以()1111121k k m b a a b a m d a -=+Û´=+-+，即122k m -=，亦即[]221,500k m -=Î，解得210k ££，所以满足等式的解2,3,4,,10k =L ，故集合{}1|,1500k m k b a a m =+££中的元素个数为10219-+=．18. 记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S，已知12313S S S B -+==．（1）求ABC V 的面积；（2）若sin sin A C =，求b ．【答案】（1（2）12【解析】【分析】（1）先表示出123,,S S S，再由123S S S -+=2222a c b +-=，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b acB AC =，即可求解.【小问1详解】由题意得22221231,,2S a S S =×===，则222123S S S -+==，即2222a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又1sin3B =，则cos B ==1cosac B ==1sin 2ABC S ac B ==V 【小问2详解】由正弦定理得：sin sin sin b a c B A C==，则229sin sin sin sin sin 4b a c ac B A C A C =×===，则3sin 2b B =，31sin 22b B ==.19. 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.【答案】（1）47.9岁； （2）0.89； （3）0.0014．【解析】【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，根据对立事件的概率公式()1(P A P A =-即可解出；（3）根据条件概率公式即可求出．【小问1详解】平均年龄(50.001150.002250.012350.017450.023x =´+´+´+´+´ 550.020650.017750.006850.002)1047.9+´+´+´+´´=（岁）．【小问2详解】设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以()1()1(0.0010.0020.0060.002)1010.110.89P A P A =-=-+++´=-=．【小问3详解】设B =“任选一人年龄位于区间[40,50)”，C =“从该地区中任选一人患这种疾病”，则由已知得：()()16%0.16,0.1%0.001,(|)0.023100.23P B P C P B C =====´=,则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，此人患这种疾病的概率为()(|)()()0.0010.23(|)0.00143750.0014()0.16P BC P C P B C C B P B B P P ´====»．20. 如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC ^，E 是PB 的中点．（1）证明：//OE 平面PAC ；（2）若30ABO CBO Ð=Ð=°，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）1113【解析】【分析】（1）连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，根据三角形全等得到OA OB =，再根据直角三角形的性质得到AO DO =，即可得到O 为BD 的中点从而得到//OE PD ，即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.【小问1详解】证明：连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，因为PO 是三棱锥P ABC -的高，所以PO ^平面ABC ，,AO BO Ì平面ABC ，所以PO AO ^、PO BO ^，又PA PB =，所以POA POB @△△，即OA OB =，所以OAB OBA Ð=Ð，又AB AC ^，即90BAC Ð=°，所以90OAB OAD Ð+Ð=°，90OBA ODA Ð+Ð=°，所以ODA OADÐ=Ð所以AO DO =，即AO DO OB ==，所以O 为BD 的中点，又E 为PB 的中点，所以//OE PD ，又OE Ë平面PAC ，PD Ì平面PAC ，所以//OE 平面PAC【小问2详解】解：过点A 作//Az OP ，如图建立平面直角坐标系，因为3PO =，5AP =，所以4OA ==，又30OBA OBC Ð=Ð=°，所以28BD OA ==，则4=AD ，AB =，所以12AC =，所以()2,0O ，()B ，()2,3P ，()0,12,0C ，所以32E æöç÷èø，则32AE æö=ç÷èøuuu r，()AB =uuur ，()0,12,0AC =uuu r ，设平面AEB 的法向量为(),,n x y z =r，则3020n AE y z nAB ì×=++=ïíï×==îuuuv v uuu v v ，令2z =，则3y =-，0x =，所以()0,3,2n =-r；设平面AEC 的法向量为(),,m a b c =u r，则302120m AE b c m AC b ì×=++=ïíï×==îuuu v v uuu v v ，令a =6c =-，0b =，所以)6m =-u r；所以cos ,n m=r u r 设二面角C AE B --的大小为q ，则cos cos ,n q =r ，所以11sin 13q ==，即二面角C AE B --的正弦值为1113.21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P且斜率为QM .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1）2213y x -=（2）见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得c 的值，利用渐近线方程求得,a b 的关系，进而利用,,a b c 的平方关系求得,a b 的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k , M (x 0,y 0),由③|AM |=|BM |等价分析得到200283k x ky k +=-；由直线PM 和QM 的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ 的斜率03x m y =，由②//PQ AB 等价转化为003ky x =，由①M 在直线AB 上等价于()2002ky k x =-，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.【小问1详解】右焦点为(2,0)F ，∴2c =,∵渐近线方程为y =，∴ba=，∴b =，∴222244c a b a =+==，∴1a =，∴b =．∴C 的方程为：2213y x -=；【小问2详解】由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而12x x =，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零.设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为()2y k x =-,则条件①M 在AB 上，等价于()()2000022y k x ky k x =-Û=-；两渐近线的方程合并为2230x y -=,联立消去y 并化简整理得：()22223440k x k x k --+=设()()3334,,,A x y B x y ,线段中点为(),N N N x y ,则()2342226,2233N N N x x k kx y k x k k +===-=--,设()00,M x y ,则条件③AM BM =等价于()()()()222203030404x x y y x x y y -+-=-+-,移项并利用平方差公式整理得：()()()()3403434034220x x x x x y y y y y éùéù--++--+=ëûëû，()()3403403434220y y x x x y y y x x -éùéù-++-+=ëûëû-,即()000N N x x k y y -+-=,即200283k x ky k +=-；由题意知直线PM的斜率为直线QM∴由))10102020,y y x x y y x x -=--=-,∴)121202y y x x x -=+-,所以直线PQ 的斜率1212y y m x x -==-,直线)00:PM y x x y =-+,即00y y =,代入双曲线的方程22330x y --=,即)3yy +-=中，得：()()00003y y éù+-+=ëû,解得P的横坐标：100x y ö=+÷÷ø,同理：200x y ö=÷÷ø，∴0012012002222000033,2,33y x x x y x x x x y x y x ö-=++-=--÷--ø∴03x m y =,∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x =Û=，综上所述：条件①M 在AB 上，等价于()2002ky k x =-；条件②//PQ AB 等价于003ky x =；条件③AM BM =等价于200283k x ky k +=-；选①②推③:由①②解得：2200002228,433k k x x ky x k k =\+==--,∴③成立；选①③推②：由①③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴003ky x =，∴②成立；选②③推①：由②③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴02623x k -=-，∴()2002ky k x =-，∴①成立.22. 已知函数()e e ax x f x x =-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；（3）设n *ÎN ln(1)n +++>+L ．【答案】（1）()f x 的减区间为(),0-¥，增区间为()0,+¥.（2）12a £ （3）见解析【解析】【分析】（1）求出()f x ¢，讨论其符号后可得()f x 的单调性.（2）设()e e 1ax x h x x =-+，求出()h x ¢¢，先讨论12a >时题设中的不等式不成立，再就102a <£结合放缩法讨论()h x ¢符号，最后就0a £结合放缩法讨论()h x 的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得12ln t t t <-对任意1t >恒成立，从而可得()ln 1ln n n +-<*n N Î恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.【小问1详解】当1a =时，()()1e x f x x =-，则()e xf x x ¢=，当0x <时，()0f x ¢<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为(),0¥-，增区间为()0,¥+.【小问2详解】设()e e 1ax x h x x =-+，则()00h =，又()()1e e ax x h x ax ¢=+-，设()()1e e ax x g x ax =+-，则()()22e e ax x g x a a x ¢=+-，若12a >，则()0210g a ¢=->，因为()g x ¢为连续不间断函数，故存在()00,x Î+¥，使得()00,x x "Î，总有()0g x ¢>，故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=-，与题设矛盾.若102a <£，则()()()ln 11e e e e ax ax ax x x h x ax ++¢=+-=-，下证：对任意0x >，总有()ln 1x x +<成立，证明：设()()ln 1S x x x =+-，故()11011x S x x x-¢=-=<++，故()S x 在()0,¥+上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立.由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++-<-=-£，故()0h x ¢£总成立，即()h x 在()0,¥+上为减函数，所以()()01h x h <=-当0a £时，有()e e e 1100ax x ax h x ax ¢=-+<-+=，所以()h x 在()0,¥+上为减函数，所以()()01h x h <=-.的.综上，12a £【小问3详解】取12a =，则0x ">，总有12e e 10x x x -+<成立，令12e x t =，则21,e ,2ln x t t x t >==，故22ln 1t t t <-即12ln t t t<-对任意的1t >恒成立.所以对任意的*n N Î，有2ln<整理得到：()ln 1ln n n +-<()ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n >-+-+++-L L ()ln 1n =+，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式..。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}(1)(20B x x x =-+<,则A B =I （ ）A ．{}1,0A =-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2 【答案】A考点：集合的运算．2．若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ． 考点：复数的运算．3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。

以下结论不正确的是( )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】D 【解析】试题分析：由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D ．2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年考点：正、负相关．4．等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )A ．21B ．42C ．63D ．84 【答案】B考点：等比数列通项公式和性质．5．设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )A ．3B ．6C ．9D ．12 【答案】C 【解析】试题分析：由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ．考点：分段函数．6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A ．81 B ．71 C ．61 D ．51【答案】D 【解析】试题分析：由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则11133111326A A B D V a a -=⨯=，故剩余几何体体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51，故选D ． 考点：三视图．A1A7．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C【解析】由已知得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ∆为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±，所以MN =C ． 考点：圆的方程．8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =( )【答案】B 【解析】 试题分析：程序在执行过程中，a ，b 的值依次为14a =，18b =；4b =；10a =；6a =；2a =；2b =，此时2a b ==程序结束，输出a 的值为2，故选B ． 考点：程序框图．9．已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36π B.64π C.144π D.256π【答案】C 【解析】试题分析：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．考点：外接球表面积和椎体的体积．10．如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）【答案】B 【解析】DPCBOAx考点：函数的图象和性质．11．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A 5．2 C 32 【答案】D 【解析】试题分析：设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，AB BM =，0120ABM ∠=，过点M作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，3MN a =，故点M 的坐标为(23)M a a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以2e =D ．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．12．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-UB ．(1,0)(1,)-+∞UC ．(,1)(1,0)-∞--UD ．(0,1)(1,)+∞U【答案】A 【解析】试题分析：记函数()()f x g x x=，则''2()()()xf x f x g x x -=，因为当0x >时，'()()0xf x f x -<，故当0x >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x R ∈是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞单调递减，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-U ，故选A ．考点：导数的应用、函数的图象与性质．第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

普通高等学校招生全国统一考试全国卷II 数学(理工农医类)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2 + i(1)复数3 1- 2i的共轭复数是3（A）-i5 （B）i （C）-i5（D）i（2）下列函数中，既是偶函数哦、又在（0，）单调递增的函数是（A）y = x2(B) y = x +1（C）y = -x2 +1 (D) y = 2- x（3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A）120（B）720（C）1440（D）5040（4）有3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为1（A）31（B）22（C）33（D）4x⎭⎝ ⎦ （5）已知角θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y = 2x 上，则 cos 2θ =（7）设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A,B 两点，AB 为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为 （A ） 2（B ） 3（C ）2 （D ）3（8） ⎛ x + ⎝ a ⎫⎛⎪ 2x - ⎭⎝1 ⎫ ⎪ 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为 ⎭（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40（9）由曲线 y = ，直线 y = x - 2 及 y 轴所围成的图形的面积为10 （A ）316 （B ）4 （C ）3（D ）6（10）已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为θ ，有下列四个命题P : a + b > 1 ⇔ θ ∈ ⎡0, 2π ⎫P : a + b > 1 ⇔ θ ∈⎛ 2π,π ⎤ 1 ⎢⎣ 3 ⎪⎭23 ⎥ ⎝ ⎦⎡ π ⎫⎛ π⎤P 3 : a - b > 1 ⇔ θ ∈ ⎢⎣0, 3⎪ P 4 : a - b > 1 ⇔ θ ∈ 3,π ⎥其中的真命题是（A ） - 45 （B ） - 35（C ） （D ）53 4 5 （6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为x x 52 （A ） P 1, P 4 （B ） P 1 , P3 （C ） P 2 , P 3 （D ） P 2 , P 4（ 11 ） 设函数 f (x ) = sin(ωx +ϕ) + cos(ωx +ϕ)(ω > 0, ϕ < π) 的最小正周期为π ，且 2f (- x ) = f ( x )，则（A ） f (x ) 在 ⎛ 0,π ⎫单调递减（B ） f (x ) 在⎛ π , 3π ⎫ 单调递减 2 ⎪ 4 4 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭（C ） f (x ) 在 ⎛ 0, π ⎫单调递增（D ） f (x ) 在⎛ π , 3π ⎫单调递增 2 ⎪ 4 4 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭1(12)函数 y =于x -1的图像与函数 y = 2sin π x (-2 ≤ x ≤ 4) 的图像所有焦点的横坐标之和等（A ）2(B) 4 (C) 6 (D)8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2023年全国高考数学新高考卷II试题及答案一、选择题（每题1分，共5分）1. 设集合A={x|2＜x＜3}，集合B={x|x²3x+2=0}，则A∩B=（）A. {1}B. {2}C. {1, 2}D. ∅2. 已知函数f(x)=2x+1，则f(f(1))的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 63. 在等差数列{an}中，若a1=1，a3=3，则公差d等于（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 若复数z满足|z|=1，则z的共轭复数z的模为（）A. 0B. 1C. 2D. 无法确定5. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）A. y=x³B. y=2xC. y=x²D. y=x²x二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个平行线的斜率相等。

（）2. 任何两个实数的和都是实数。

（）3. 若a、b均为负数，则a²+b²＞0。

（）4. 二项式展开式中的项数为n+1。

（）5. 直线y=kx+b（k≠0）的斜率k表示直线的倾斜程度。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x)=x²2x，则f(2)=______。

2. 若向量a=(1,2)，向量b=(1,2)，则a•b=______。

3. 在等比数列{bn}中，若b1=2，公比q=3，则b4=______。

4. 若复数z=3+4i，则z的共轭复数z=______。

5. 设平面直角坐标系中，点A(1,2)，点B(3,4)，则线段AB的中点坐标为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述实数和虚数的区别。

2. 请写出等差数列的通项公式。

3. 什么是函数的单调性？4. 如何判断两个矩阵是否可交换？5. 请解释圆的标准方程。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x)=x²2x+1，求f(x)的最小值。

2. 设等差数列{an}的公差为2，且a1+a3+a5=21，求a4。

2021年全国统一高考数学试卷〔理科〕〔新课标n〕、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题A。

—B。

—C。

—D。

—27 9 27 37。

〔5分〕执行如下图的程序框图，假设输入的x， t均为2，那么输出的S二〔目要求。

1. 〔5 分〕设集合M={0， 1， 2}， N={x|x2—3x+20 0}， WJ M A N=〔〕A。

{1} B。

{2} C。

{0， 1} D。

{1，2}2. 〔5分〕设复数Z1，Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，Z1=2+i，那么Z1Z2=〔A。

- 5 B。

5 C。

— 4+i D。

- 4- i3. 〔5分〕设向量a，刚足| M£|二xflb，|目-匕|二依，那么a？b=〔〕A。

1 B。

2 C。

3 D。

54. 〔5分〕钝角三角形ABC的面积是4AB=1， BC啦，那么AC=〔〕A。

5 B。

二C。

2 D。

15. 〔5分〕某地区空气质量监测资料说明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，某天的空气质量为优良，那么随后一天的空气质量为优良的概率是〔〕A。

B。

C。

D。

6。

〔5分〕如图，网格纸上正方形小格的边长为1 〔表示1cm〕，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，那么切削掉局部的体积与原来A。

4 B。

5 C。

6 D。

78. 〔5分〕设曲线y=ax-ln 〔x+1〕在点〔0， 0〕处的切线方程为y=2x，那么a=〔A。

0 B。

1 C。

2 D。

39. 〔5分〕设x， y满足约束条件，那么z=2x- y的最大值为〔〕A。

10B。

8C。

3D。

210。

〔5分〕设F为抛物线C: y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A， B两点，。

为标原点，那么4 OAB的面积为〔C。

6332D。

11 。

〔5 分〕直三棱柱ABC- A1B1C1 中，/ BCA=90， M， N 分别是A1B1，A I C I的中点，BC=CA=CC那么BM与AN所成角的余弦值为〔A。

2021 年全国统一高考数学试卷〔理科〕〔新课标Ⅱ〕一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。

1．〔5分〕〔2021?新Ⅱ〕=〔〕A． i B． C．D．2．〔5分〕〔2021?新Ⅱ〕集合A={〔x，y〕|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z〕，A中元素的个数〔〕A．9 B．8 C．5 D．43．〔5分〕〔2021?新Ⅱ〕函数f〔x〕= 的象大致〔〕A ．B．C．D．4．〔5分〕〔2021?新Ⅱ〕向量，足||=1，=1，?〔2〕=〔〕A．4B．3C．2D．05．〔5分〕〔2021?新Ⅱ〕双曲=1〔a＞0，b＞0〕的离心率，其近方程〔〕A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x6．〔5分〕〔2021?新Ⅱ〕在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，AB=〔〕A．4B．C．D．27．〔5分〕〔2021?新Ⅱ〕算S=1++⋯+，了如的程序框，在空白框中填入〔〕A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+48．〔5分〕〔2021?新Ⅱ〕我国数学家景在哥德巴赫猜测的研究中取得了世界先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示两个素数的和〞，如30=7+23．在不超30的素数中，随机取两个不同的数，其和等于30的概率是〔〕A．B．C．D．9．〔5分〕〔2021?新Ⅱ〕在方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，异面直AD1与DB1所成角的余弦〔〕A．B．C．D．10．〔5分〕〔2021?新Ⅱ〕假设f〔x〕=cosx sinx在[ a，a]是减函数，a的最大是〔〕A．B．C．D．π11．〔5分〕〔2021?新Ⅱ〕f〔x〕是定域〔∞，+∞〕的奇函数，足f〔1x〕=f〔1+x〕，假设f〔1〕=2，f〔1〕+f〔2〕+f〔3〕+⋯+f〔50〕=〔〕A．50B．0C．2D．5012．〔5分〕〔2021?新Ⅱ〕F1，F2是C：=1〔a＞b＞0〕的左、右焦点，A是C的左点，点P在A且斜率的直上，△PF1F2等腰三角形，∠F1F2P=120°，C的离心率〔〕A．B．C．D．二、填空：本共4小，每小5分，共20分。