2009-2010学年第二学期高等数学B试卷(D卷)

09-10(2)高数(B)复习答案D()()212122(2)ln 1(ln )2ln(2)2(2)ln 2(2ln )22ln(2)2x y v v v x y v v v z z u z v v x y vu u u u u x y x y x u x v x u x y z z u z v v x y vu u u u u x y x y y u y v y u x y +-+-⎡⎤∂∂∂∂∂+=+=+=+=+++⎢⎥∂∂∂∂∂+⎣⎦⎡⎤∂∂∂∂∂+=+=+=+=+++⎢⎥∂∂∂∂∂+⎣⎦2．解法一：设,u cx azv cy bz =-=-则(,)0F u v = ()()x u y v z u v F F cF F cF F a F b '''''''===-+-y x u v z u v z u v u v u v u v u v F F F c cF z z x F F a F b y F F a F baF c bF cF a F b z z a b c cx y F a F b F a F b''''∂∂∴=-==-=''''''∂+∂+''''++∂∂∴+===''''∂∂++解法二：设u cx azv cy bz=-=-，则(,)0F u v =两边同时对x 求偏导()()00u u v u u v u v cF z z z z zF c aF b F c aF bF x x x x x aF bF '∂∂∂∂∂'''''-+-=⇒--=⇒=''∂∂∂∂∂+两边同时对y 求偏导()()00()u v u v v u v v v u v u v u v z z z z zF a F b c F a F b cF aF bF cF y y y y y cF zy aF bF acF bcF z z a b cx y aF bF ∂∂∂∂∂''''''''-+-+=⇒--+=⇒+=∂∂∂∂∂'∂∴=''∂+''+∂∂∴+==''∂∂+3、2,22z z z y y y z x z xy z z z z y y ϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫'- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=-=-∂∂⎛⎫⎛⎫''--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4、解：0(1)(1)x u v u z u v u v f f f f z x f f f f f ''''+∂=-=-=∂'''''-+-+0(1)(1)y u v v z u v u v f f f f zy f f f f f ''''+∂=-=-=∂'''''-+-+，1u v u v u v f f z zx y f f f f ''∂∂∴+=+=∂∂''''++5、解：01:1x D x y ≤≤⎧⎪≤≤原式＝2222222111112000000122()1y y y y y y dy dx e x dy e ydy e d y e e x-----===--=-=-⎰⎰⎰⎰⎰6、4254RR ππ+7、解：211:101x x y z y -≤≤⎧⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤-⎩2221231111111118(1)()2335yxx x y y ydv dx ydy dz dx y y dy dx ----Ω==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰8、4π9、22sin 000022222cos()2cos()3sin cos 22cos()3,2sin()3cos()2,2sin()2cos()2AO OA x D Dx y dx y x y x dyQ P dxdy dxdy dx dy xdx x x y Qy x y x x y x PP x y y y x y y x y y πππ+⎡⎤⎡⎤++++⎣⎦⎣⎦⎛⎫∂∂=-====-= ⎪∂∂⎝⎭∂=++=-++∂∂=++=-++∂⎡∴++⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中：Q 原式=2-22cos()32cos 2OA dx y x y x dy xdx π⎤⎡⎤+++⎦⎣⎦=-=⎰⎰10、解：22222131111122211161241()()318833105x y xx x y V dv dx dy dz dx x y dy x y dxxx x dx +---Ω-===+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 11、解：(),(),P yf x Q xf x ==-(),()()P Qf x xf x f x y x∂∂'==--∂∂2()()()()2()()P Q C f x xf x f x xf x f x f x y x x∂∂''⇒=⇒=--⇒-=⇒=∂∂(,)222(1,0)100()()0(0)x y xy y C C C Cyf x ydx xdy dx y xdy dy x x x x-=+-=-=-⎰⎰⎰⎰12、解：将L 分成为,OA OB 两段，:,:2OA y x OB y x ==-，则有222222222222()()()()()()LOAOBxy dx x y dy xy dx x y dy xy dx x y dy++-=++-+++-⎰⎰⎰122222222201122201[()()][((2)((2)]422(2)3x x x x dx x x x x dx x dx x dx =++-++----=+-=⎰⎰⎰⎰13、415π14、令2212:2x y z ⎧+≤∑⎨=⎩取上侧，则1122212222222224(1)(81)4(1)(81)(881)2(81)2(81)222x x y x y I ydzdx y zdxdy y dzdx y zdxdy y y dV y dxdy d dz y dxdydxdy ρθρρππ∑+∑∑Ω∑+≤+≤=-++--++=-++-+=-+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰15、解：补充平面()221:01z xy ∑=+≤，方向取下侧，则∑与1∑围成闭区域的内侧，于是()()()()()()()()112222222222222222101212223112222121401111cos 1142144x y z x y x y x y x y I x y dydz y z dzdx z x dxdy xy dv x dxdyxy dxdy dz d r drxy x y dxdy d r rdr ππθθπππθ∑∑∑+-≤≤+≤+-+≤+≤⎛⎫=+-+++++ ⎪ ⎪⎝⎭=-+++=-+++=+++-+=--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5.312ππ=-16、解：()()0222212ln 2t t t t t t tLydx xdy xy dz e e e e e e dt ---⎡⎤-++=+++⎣⎦⎰⎰()()()()()()()22022012212222222ln 22ln 2ln 2ln 21212ln 2 2.ln 22ln 22tt t te e e e dt t e e e e ----⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥ ⎪=++=++⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎛⎫--=+- ⎪+-⎝⎭⎰四、应用题解：曲面在点0(,,)x y z 处法向量为000222222,,xy z n ab c ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭切平面方程为000000222222()()()0xy z x x y y z z a b c -+-+-=即0002220x y z x y z a b c ++=该平面在三个坐标轴上截距分别为022x a ，022y b ，022z c故所围的四面体的体积为222222000000111326a b c a b c V x y z x y z ==按题意需求函数(,,,0)xyz x y z >在条件2222221x y z a b c ++=约束下的极值。

第 1 页 共 4 页上 海 海 事 大 学 试 卷2009 — 2010 学年第二学期期末考试《 高等数学B （二）》（B 卷）（本次考试不得使用计算器）班级 学号 姓名 总分(本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)1、直线x y z+-=+-=32473与平面4223x y z --=的关系是 C （A ）平行，但直线不在平面上; （B ）直线在平面上;（C ）垂直相交 ; （D ）相交但不垂直. 2、下列结论正确的是（ C ）（A ） 2a = ; （B ）若0=⋅b a 则必0 =a 或0=b ;（C ）c a b a c b a-=-)( ; （D ）若0 ≠a ，且c a b a =则c b =.3、设y xy xy z arcsin)1(2-+=，那么=)1,1(y z ∂∂（ D ） (A) 0 ; (B) 2 ; (C) 2－π2; (D) 2+2π. 4、旋转抛物面z=x 2+2y 2-4在点（1，-1，-1）处的法线方程为（ B ）（A ）114121-+=+=-z y x ; （B ）114121-+=-+=-z y x ; （C ）114121-+=+=--z y x ; （D ）114121--=-=-+z y x 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------第 2 页 共 4 页1、级数∑∞=-02!2)1(n nnn x 的和函数为 2)1(2-x e2、微分方程''-'=y y x 424cos 用待定系数法确定的特解形式是y A x B x *cos sin =+443、设(,),z z x y =由(,)0z zF x y y x++=给出，),(v u F 可微 则=∂∂+∂∂yzy x z xxy z - 4、交换212(,)ydy f x y dx -⎰得1102(,)xdx f x y dy -⎰⎰三 计算题（必须有解题过程）（本大题分10小题，共 68分）1、(本小题7分)D 由0,1,1==-=+x y x y x 围成，求⎰⎰Dxd σ解：⎰⎰--=x x xdy dx I 1110 4分31)22(102=-=⎰dx x x 7分2、(本小题6分)设133=-xyz z 确定了z 是x ，y 的二元函数，求x z '。

北京林业大学2009--2010学年第二学期考试试卷课程名称：高等数学B（A卷）课程所在学院：理学院考试班级学号姓名成绩试卷说明：1. 本次考试为闭卷考试。

本试卷共计 4 页，共十大部分，请勿漏答；2. 考试时间为 120分钟，请掌握好答题时间；3. 答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚；4. 本试卷所有答案均写在试卷上；5. 答题完毕，请将试卷和答题纸正面向外对叠交回，不得带出考场；6. 考试中心提示：请你遵守考场纪律，诚信考试、公平竞争！一、填空：（每小题3分，共30分）1. 微分方程的通解为。

2. 微分方程的特解可设为________________________________________。

3. 以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________________________。

4. 直线与平面间的关系是______________(平行、垂直、相交。

5. 二元函数在点处两个偏导数与存在是在该点处连续的__________________________条件。

6. 若函数在点处具有偏导数，且在点处有极值，则有_______________ ，___________________。

7. 已知平面区域D是由直线，及所围成，则= 。

8.交换二次积分I=的积分顺序，则。

9. 函数展开为的幂级数的形式为 __________ 。

10. 幂级数的收敛半径为。

二、（6分）求的通解三、（6分）求微分方程满足初始条件的特解四、（6分）求过点及直线的平面方程五、（6分）设求六、（6分）设，求七、（6分）计算八、（6分）求曲面与所围立体的体积。

九、（6分）判别级数的敛散性十、（6分）判别级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛？十一、（6分）在曲面上找点，使其到点的距离为最小。

十二、（6分）设具有二阶连续导数，且满足，求的表达式。

十三、（4分）设发散，又，证明收敛。

2008 — 2009学年第二学期《高等数学B 》期末试题（A ）答案及评分标准一、单选题(每题3分，共15分)CCDDD二、填空(每题3分，共18分)1．3222．''2'20y y y -+= 3．1 4.ln 2 5．23cos 4()d f d πϕπϕρρρ⎰⎰6． (4,6)三、解答题(每题8分，共40分)1.求解微分方程3"2'3cos xy y y ex --=+的通解解：先求齐次化方程 03'2"=--y y y则特征方程为 0322=--r r ---- ------------------------ (2分) 得特征根 1,321-==r r ，于是齐次化微分方程的通解为x x e C e C y -+=231------------------------（4分）分别求得非齐次项 xe 3属x m e x P λ)(型）（3,0==λm ，由于3=λ是特征方程0322=--r r 的单根，所以设特解为3x*1bxe =y代人解得 41=b ， 即特解 3x41*1xe =y -----------------（6分） 类似对于非齐次项x cos 属)sin B cos (x x A e x ωωλ+型)0,1,1,0(====B A ωλ，由于0=λ不是特征方程0322=--r r 的特征根，所以可设特解为x c x a y sin cos *2+=，代入解得10151,-=-=c a ，即特解为xx y sin cos 10151*2--= 故原方程的通解为xx e C e C y x x sin cos xe 10151x 341231--++=-------------(8分) 2. 求函数(sin ,cos ,)x yz f x y e +=的二阶偏导数2zx y∂∂∂，其中函数f 具有二阶连续的偏导数解：''13cos x y zxf e f x +∂=+∂ -------------------------------------------------------------（4分） 2"""22"'121332333cos sin cos sin x y x y x y x y z x yf xe f e yf e f e f x y++++∂=-+-++∂∂ --------------------------------------（8分） 3. 计算二重积分22(1())Dy xf x y dxdy ++⎰⎰,其中D 是由曲线2y x =与1y =所围成的闭区域.解：积分区域 D 如图令22(,)()g x y xf x y =+，因为D 是关于y 轴对称且(,)(,)g x y g x y -=-，所以22()0Dxf x y dxdy +=⎰⎰-------------------------（3分）从而2112214(1())5xDDy xf x y dxdy ydxdy dx ydy -++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰-------------（8分） 4. 求原点到曲面22()1x y z --=的最短距离.解：设曲面22()1x y z --=上任一点为(,,)x y z ，则根据两点距离公式 222l x y z =++，要求 l 最小，等价要求2l 最小.--------------(2分)记 2222S l x y z ==++，根据拉格郎日乘数法令22222(,,,)(()1)G x y z x y z x y z λλ=+++------------------(3分)()()()()2222()0122()022203()104Gx x y x G y x y yG z z z G x y z λλλλ∂⎧=+-=-------⎪∂⎪∂⎪=--=-------⎪∂⎪⎨∂⎪=-=--------⎪∂⎪∂⎪=---=-------⎪∂⎩-------------------------（4分） 由(3)可得 1λ=或0z =,若1λ=,代入(1),(2)可得4242x y y x =⎧⎨=⎩,易得00x y =⎧⎨=⎩结合(4)可知矛盾,故舍去.------------(6分) 从而取0z =,以及由(1),(2)可得1xy=-,代入(4)易得 12120x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩,或者12120x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,结合实际情况可知这两点到原点距离最小且相等, 故2min 2l =---------------------------------------------(8分)5. 判断级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是绝对收敛，条件收敛，还是发散.解：由于1111sin()sin cos cos sin (1)sin ln ln ln ln n n n n n n n nπππ+=+=-----（2分） 当3n ≥时,易得1sin 0ln n>且单调递减趋于零,根据莱布尼茨判别法 可得 2211sin (1)sin ln ln nn n n n n π∞∞=-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭∑∑收敛.---------------(4分)又因为11ln ln 22sin()sin nn n n n π∞∞==+=∑∑ -------------------------（6分）根据比较判别法可得(对任意0δ>)1ln 1sin limlim ln nn n n n n δδ→∞→∞==+∞,由于21(01)n n δδ∞=<<∑发散,故21sinln n n ∞-∑也发散. 综上所述, 可知级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是条件收敛.---------(8分)四（共10分）判断函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(2222263y x y x y x yx y x f 在（0，0）点连续性，并求),(),,(y x f y x f y x .解： 分别取路径 3,0x y x ==,可得,0lim 26300=+=→y x y x x y 21lim lim 66330263033=+=+=→=→x x x x y x y x xy x xy x , 可得函数),(y x f 在)0,0(不连续.-------------------------------------------(4分)2382262222330(,)()00x x y x y x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩93222622220(,)()00y x x y x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩-------------（10分）五（10分）求幂级数41141n n x n ∞+=+∑的收敛区间，并求在收敛区间内的和函数()s x . 解：收敛区间为(1,1)------------------------------------------------------------------------（3分）令：4101()41n n s x x n ∞+==+∑, 441()1n n s x x x ∞='==-∑---------------------（7分） 111()ln arctan (1,1)412x s x x x x +=+∈-------------------------------（10分）六（7分）设()f u 连续，试证：111()()x y f x y dxdy f u du -+≤+=⎰⎰⎰证11111011()()()xxxx x y f x y dxdy dx f x y dy dx f x y dy +-----+≤+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰——（3分）令x y u +=，012111121()()xx dx f u du dx f u du +--+⎰⎰⎰⎰=11121112()()u u f u du dx f u du +---=⎰⎰⎰-----------------（7分）。

2009~2010学年第二学期《高等数学BII》半期试题参考答案西南交通大学2009－2010学年第(二)学期半期考试题一、单项选择题（共5个小题，每小题4分，共20分）．1．累次积分cos 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ??可表示成【 D】（A ）100(,)dy f x y dx ?（B ）10(,)dy f x y dx（C ）10(,)dx f x y dy ?（D ）10(,)dx f xy dy ?解：根据该二重积分可知，积分区域为半圆域：01,0x y ≤≤≤≤，所以应选D 。

2. 两直线1112y z x λ+--==与11x y z +=-=相交，则必有【 D 】（A ）1λ= （B ）32λ=（C ）54λ=- （D ）54λ=解：直线11x y z +=-=的参数方程为：11x t y t z t =-??=+??=?，将此参数方程代入直线1112y z x λ+--==，得2122t t t λ+--==，解得654t λ=??=??，故应选（D ）。

3．极限332200lim x y x y x xy y →→+-+=【 A 】(A) 0 (B) 1 (C)12(D)不存在极限解；因为33222222000000()()lim lim lim()0x x x y y y x y x y x xy y x y x xy y x xy y →→→→→→++-+==+=-+-+，故应选（A ）。

4．曲面2xyz =的切平面与三个坐标面所围四面体的体积V =【 C 】 (A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12解：设曲面2xyz =在第一卦限的任意一个切点为(,,)x y z ，则切平面方程为：班级学号姓名密封装订线密封装订线密封装订线()()()0yz X x xz Y y xy Z z -+-+-=，其中2xyz =，即36yzX xzY xyZ xyz ++==，则该切平面与三个坐标轴的交点分别为：6(,0,0)yz，6(0,,0)xz ，6(0,0,)xy ，则该切平面与三个坐标面所围四面体的体积221666363696()2V yz xz xy xyz ====，故应选（C ）。

2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程考试试题册B试题使用对象 ： 2009 级 理科各 专业(本科)命题人： 考试用时 120 分钟 答题方式采用：闭卷 说明：1．答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整．2．考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废．一．填空题（本题共 18 分，共6 小题，每题 3分）1．已知(3,1,2),(1,2,1)a b =--=-，则a b ⋅= ．2．将xoy 坐标面上的曲线224936x y -=绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为 ． 3．(,)lim x y →= ． 4．设23(,,)2f x y z x y z =++，则=)1,1,1(gradf ．5．已知级数1(1)n n u +∞=-∑收敛，则lim n n u →+∞= ．6．周期为2π的函数()f x 的傅里叶级数01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑中， 0a = ， n a = ．二． 选择题（本题共12 分，共4小题，每题3 分）1．设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则0(,)(,)lim h f a h b f a h b h→+--= ． A ．0； B ．),2(b a f x ； C ．),(b a f x ； D ．),(2b a f x ．2．函数z =(,)f x y 在点00(,)x y 具有偏导数，则它在点00(,)x y 有极值的 为 0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==．A ．必要条件；B ．充分条件；C ．充分必要条件；D ．既非充分又非必要条件3．若级数∑∞=1n n u 收敛，则下列级数中（ ）收敛．A ．)001.0(1+∑∞=n n uB ．∑∞=+11000n n uC ．∑∞=1n n uD ．∑∞=11000n nu4．将函数2)(x e x f -=展开成x 的幂级数得到（ ）A ．∑∞=02!n n n xB ．∑∞=-02!)1(n n n n xC ．∑∞=0!n n n x D ．∑∞=-0!)1(n n n n x 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）．1． 设2ln z u v =，而/u x y =，32v x y =-，求y z ．2． 设方程z y x z y x 32)32sin(2-+=-+确定函数),(y x z z =，求,x y z z ．3． 求椭球面222316x y z ++=在点(1,2,3)--处的切平面及法线方程． 4． 计算sin Dx dxdy x ⎰⎰，其中D 是由x y =和2x y =所围成． 5． 交换积分次序110(,)y dy f x y dx ⎰⎰，并由此计算dx e dy y x ⎰⎰1102． 6．计算22(2)()L xy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由抛物线2y x =，2x y =所围成的区域的正向边界曲线．7． 计算4(2)3z x y dS ∑++⎰⎰，其中∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的部分． 8．计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑是界于0z =和3z =之间的圆柱体229x y +≤的整个表面的外侧．9． 求级数∑∞=1n nn x 的收敛域，并求出它的和函数，由此求出 +⋅+⋅+⋅32331321311的和．2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程试题B 参考答案试题使用对象： 2009 级 理科各专业(本科) 向瑞银一．填空题（本题共18 分，共6 小题，每题各 3 分）1． 3 ； 2. 22249()36x y z -+=； 3. 2； 4. （2，2，3）； 5. 1； 6. 01()a f x dx πππ-=⎰，1()cos n a f x nxdx πππ-=⎰二．选择题（本题共12分，共4小题，每题3 分）1．D ； 2．A ； ３．B ； ４．B三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）．1．z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂ ……4分 2222()ln x u u v y v=-- 223222ln(32)(32)x x x y y y x y =---- ……7分 2．方程两边同时微分，得2cos(23)(23)23x y z dx dy dz dx dy dz +-+-=+- ……3分[2cos(23)1]2[2cos(23)1]3[2cos(23)1]x y z dx x y z dy x y z dz +--++--=+-- 所以 2cos(23)113[2cos(23)1]3z x y z x x y z ∂+--==∂+--， 2[2cos(23)1]23[2cos(23)1]3z x y z y x y z ∂+--==∂+-- ……7分 3． 令222(,,)316F x y z x y z =++-，则法向量(6,2,2)n x y z =，(1,2,3)(6,4,6)n --=-- ……3分在点(1,2,3)--处的切平面方程为 6(1)4(2)6(3)0x y z -+-++-=，即 323160x y z +-+=，……6分 法线方程为123646x y z ++-==--． ……8分 4． dy xx dx dxdy x x x x D ⎰⎰⎰⎰=2sin sin 10 ……4分 210sin ()x x x y dx x=⎰10(sin sin )x x x dx =-⎰ 1100cos sin x x xdx =--⎰101cos1[cos sin ]x x x =-+- 1sin1=- ……8分5． 积分区域D 为01,1y y x ≤≤≤≤，交换积分次序后01,0x y x ≤≤≤≤，110(,)y dy f x y dx ⎰⎰=100(,)x dx f x y dx ⎰⎰．……4分 于是 dx e dy y x ⎰⎰1102=2x De dxdy ⎰⎰ =2100x x dx e dy ⎰⎰210x xe dx =⎰ =)1(21-e ……8分 6．22P xy x =-，2P x y ∂=∂ ，2Q x y =+，1Q x ∂=∂ ， ()(12)D D Q P I dxdy x dxdy x y∂∂=-=-∂∂⎰⎰⎰⎰ ……4分2102)x dx x dy =-⎰10.52 1.530(22)x x x x dx =--+⎰ 1.53 2.54102122(2)3354x x x x =--⨯+ 1/30= ……8分7． 解：4423y z x =--，4243y z x ++=，42,3z z x y ∂∂=-=-∂∂，3dS dxdy ==， ……3分平面∑在xoy 面上的投影为： :123xy x y D +≤，它的面积为12332⨯⨯= 4(2)3z x y dS ∑++⎰⎰43Ddxdy =⎰⎰3Ddxdy =⎰⎰= ……8分8． ()p Q R I dxdydz x y z Ω∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰3dxdydz Ω=⎰⎰⎰ ……5分 2330003d dr rdz πθ=⎰⎰⎰81π= ……8分 9． 解： 11lim n n n x x x n n+→∞÷=+ 当1x <时，级数收敛，当1x >时，级数发散当1x =时，级数为11n n +∞=∑发散；当1x =-时，级数为1(1)n n n +∞=-∑收敛 ∴收敛域为)1,1[- ……4分当11x -<<时，23()/2/3......S x x x x =+++23()1......1/(1)S x x x x x '=++++=-01()1xS x dx x=-⎰ ln(1)x =--……7分 令31=x ，23ln 321311)31(121=+⋅+⋅=∴∑∞= n n n ……8分。

2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案2009 至 2010 学年度第 2 期 高等数学（下）课程考试试题册A试题使用对象 ： 2009 级 理科各 专业(本科)命题人： 考试用时 120 分钟 答题方式采用：闭卷说明：1．答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整．2．考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废．一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1．已知(2,1,),(1,2,4)a mb ==r r，则当m = 时，向量a b⊥r r ．2．(,)(2,0)sin()limx y xy y →= ．3．设区域D 为22y x +≤x 2，则二重积分Dd σ=⎰⎰ ．4．函数(,),(,)P x y Q x y 在包含L 的单连通区域G 内具有一阶连续偏导数，如果曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰与路径无关，则(,),(,)P x y Q x y 应满足条件 ．5． 当p 时，级数211pn n +∞=∑收敛．二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分）1．直线221:314x y z L -+-==-与平面:6287x y z π-+=的位置关系是 ．A ．直线L 与平面π平行；B ．直线L 与平面π垂直；C ．直线L 在平面π上；D ．直线L 与平面π只有一个交点，但不垂直．2． 函数(,)f x y 在点(,)x y 可微分是(,)f x y 在该点连续的（ ）．A ．充分条件； B. 必要条件； C. 充分必要条件； D. 既非充分也不必要条件 3．改变积分次序，则100(,)y dy f x y dx⎰⎰．A ．1(,)xdx f x y dy ⎰⎰； B ．11(,)dx f x y dy ⎰⎰；C ．11(,)x dx f x y dy ⎰⎰；D ．11(,)xdx f x y dy ⎰⎰4．下列级数中收敛的是 ． A ．∑∞=+1884n n nn B ．∑∞=-1884n n nn C ．∑∞=+1824n n nnD ．1248n nn n ∞=⨯∑．5．级数1...-++A. 发散B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 既绝对收敛又条件收敛 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）． 1．设sin uz e v=，而u xy =，v x y =- 求xz ．2．设22(,tan())u f x y xy =-，其中f 具有一阶连续偏导数，求yz ． 3．求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面方程及法线方程． 4．计算 22Dx d y σ⎰⎰，其中D 是由直线y x =．2x =和曲线1xy =所围成的闭区域． 5．计算L⎰，其中L 是圆周222x y a +=（0a >）．6．计算22()(sin )Lxy dx x y dy--+⎰，其中L 是上半圆周y =x 轴所围区域的边界，沿逆时针方向．7．将函数1()3f x x =+展开成(3)x -的幂级数． 8．计算曲面积分xydydz yzdzdx xzdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为1x y z ++=，0,x =y =，0z =所围立体的外侧．9．求抛物面22z xy =+到平面10x y z +++=的最短距离．2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程试题A 参考答案试题使用对象： 2009 级 理科各专业(本科) 向瑞银一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1. 1-； 2. 2； 3. π； 4.y P ∂∂=xQ ∂∂； 5.12p >二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分） 1．B ； 2．A ； ３．D ； ４．C ； ５．C 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）．1．z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂……4分sin cos u u ye v e v=+(sin()cos())xy e y x y x y =-+-……7分 2．2212()(tan())y y uf x y f xy y∂''''=⋅-+∂ ……4分2122sec ()()yyf f xy xy '''=-+2122sec ()yf xf xy ''=-+……7分 3． 令22(,,)1F x y z xy z=+--，则法向量(2,2,1)n x y =-r，(2,1,4)(4,2,1)n=-r ……3分在点(2,1,4)处的切平面方程为 4(2)2(1)(4)0x y z -+---=．即4260x y z +--=． (6)分法线方程为214421x y z ---==-． ……8分 4．22Dx d yσ⎰⎰22121xxx dx dy y=⎰⎰……4分221/11()x xx dxy=-⎰……6分231()x x dx =-⎰322111()42x x =-94=……8分5．令cos ,sin x a y a θθ==，则sin ,cos x a y a θθ''=-=，ds θ=ad θ= ……3分20a Le ad πθ=⎰⎰ ……6分＝2aae π ……8分6．2P xy=-，1P y ∂=-∂ ，2(sin )Q x y =-+，1Q x∂=-∂ ， ……4分()0DDQ PI dxdy dxdy x y∂∂=-=∂∂⎰⎰⎰⎰ ……6分=……8分 7．1136(3)x x =++-113616x =-+ ……4分 当316x -<，即 39x -<<时，13x +013()66nn x +∞=-=-∑ ……8分8． ⎰⎰∑++zxdxdy yzdzdx xydydz=()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰……4分 =1110()xx ydx dy x y z dz---++⎰⎰⎰……6分81=……8分9．设抛物面一点(,,)x y z ，它到平面的距离为1d x y z =+++满足条件220x y z +-= ……3分 拉格朗日函数为222(1)()3x y z L x y z λ+++=++- ……5分2(1)203x x y z L x λ+++=+=，2(1)203yx y z Ly λ+++=+=2(1)3z x y z L λ+++=-=，220Lx y z λ=+-=解方程组得，12x y ==-，12z =． 由问题本身知最短距离存在，所以最短距离为0.5,0.5,0.5)d --=6=……8分。