【成才之路】2015版高中数学 3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题第3课时练习

13．3．1二元一次不等式（组）与平面区域（一）一、学习目标1、了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生的实际背景。

2、理解二元一次不等式的几何意义3、能正确画出给定的二元不一次等式（组）所表示的点集合．二、课前准备根据以下提纲，预习教材第 82 页～第 85 页）1．不等式34x -<<在数轴上的图形为 ，可见一元一次不等式的解集可以表示为数轴上的区间. 2.（1） 称为二元一次不等式； （2） 称为二元一次不等式组；（3） 称为二元一次不等式(组)的解集. 有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.可见二元一次不等式(组)的解集可以看成 . 3、 分别用图形表示以下解集：（1）. {}1x x >； （2）. {}2x x <； （3）. {}13x x <≤；（4）. {}(,)1,1,x y x y x y R >>∈且、； （5）. {}(,)6x y x y -=； （6）. {}(,)6x y x y -<.三、新课导学例1、画出不等式260x y +-< 表示的平面区域。

变式：如何确定m 的范围使点)1,1(),2,1(在03=+-m y x 的异侧？例2.用平面区域表示不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 的解集变式:画出不等式0)4)(12(<+-++y x y x 表示的平面区域.四、对点检测：1.已知)34,21(),1,1(),0,0(321P P P ，则在不等式0132≤+-y x 表示的平面区域内的点是（ ）.()A 21,P P ()B 2P ()C 32,P P ()D .3P2.不等式0623>+-y x 表示的区间在直线0623=+-y x 的（ ）.()A 右上方 ()B 右下方 ()C 左下方 ()D 左上方3.若点)0,0(O 和)3,1(P 在直线0=++a y x 的两侧，则a 的取值范围为（ ）. ()A (]0,4- ()B ()1,3- ()C []0,4- ()D ()0,4-4. 下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是（ ） Ａ．10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≥≥ Ｂ．10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≤≤Ｃ．10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≥≤ Ｄ．1022x y x y +-⎧⎨-+⎩≤≥05.不等式组⎩⎨⎧≥≥≤-+.0,001y x y x 表示的平面区域的面积是（ ）.()A 21 ()B 1 ()C2 ()D .46. 画出二元一次不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-≥+≤+006321232y x y x y x 所表示的平面区域7.写出表示下列平面区域的二元一次不等式.（1）（2）（3）五、本节课你有什么收获⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧xy11-2-O。

第 2 讲二元一次不等式(组 )与简单的线性规划问题一、选择题1.不等式 (x－ 2y＋1)(x＋ y－ 3)≤0 在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示 )，应是下列图形中的 ()x－ 2y＋1≤0，解析法一不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0等价于或x＋ y－ 3≥ 0 x－2y＋ 1≥0，画出对应的平面区域，可知 C 正确 .x＋y－3≤0，法二结合图形，由于点 (0，0)和 (0，4)都适合原不等式，所以点 (0，0)和(0，4)必在区域内，故选 C.答案 Cy≤－ x＋ 2，2.(2016 泰·安模拟 )不等式组y≤ x－1，所表示的平面区域的面积为 ()y≥ 01 1 1A.1B.2C.3D.4解析作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知 x By＝－ x＋2， 1 1＝，C＝由得y D ＝，所以△ BCD ×(x C1 x 2.2 S ＝2y＝ x－ 1，1 1－x B)×2＝4.答案 Dx － y ≤0，3.(2017 广·州二测 )不等式组 x ＋ y ≥－ 2，的解集记为 D ，若 (a ， b)∈D ，则 z ＝x － 2y ≥－ 2 2a －3b 的最小值是 ( )A. －4B.－1C.1D.4解析 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当 a ＝－ 2，b ＝0，z ＝2a － 3b 取得最小值－ 4.答案Ay ≤－ x ＋ 1，4.(2017 长·春质量监测 )若 x ， y 满足约束条件 y ≤ x ＋1， 则 3x ＋5y 的取值范y ≥ 0，围是 ( )A.[ －5，3]B.[3 ， 5]C.[－3，3]D.[ －3，5] 解析 作出如图所示的可行域及 l 0： ＋＝ ，平行移动 l 0 到 1 过点 A(0 ， 1) 3x 5y 0 l 时， 3x ＋ 5y 有最大值 5，平行移动 l 0 至 l 2 过点 B(－ 1， 0)时， 3x ＋5y 有最小值－ 3，故选 D.答案Dx ＋y － 2≤ 0，5.x ，y 满足约束条件 x －2y －2≤0，若 z ＝ y － ax 取得最大值的最优解不唯一，2x －y ＋2≥0.则实数 a 的值为 ()11A. 2或－ 1B.2 或2C.2 或 1D.2 或－ 1解析 如图，由 y ＝ax ＋z 知 z 的几何意义是直线在 y 轴上的截距，故当 a ＞ 0 时，要使 z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一， 则 a ＝ 2；当 a ＜0 时，要使 z ＝y －ax 取得最 大值的最优解不唯一，则 a ＝－ 1. 答案 Dx ＋y －3≤0，若函数y ＝2 x图象上存在点 (x ，y)满足约束条件 x －2y － 3≤ 0，则实数 m 的最6.x ≥m ，大值为 ( )13A. 2B.1C.2D.2x ＋ y －3≤0，解析 在同一直角坐标系中作出函数y ＝ 2x 的图象及所表示的x － 2y －3≤0平面区域，如图阴影部分所示 .由图可知，当 m ≤1 时，函数 y ＝2x 的图象上存在点 (x ，y)满足约束条件，故 m的最大值为 1.答案Bx ≥1，y ≥－ 1，7.(2017 石·家庄质检 )已知 x ，y 满足约束条件若目标函数 z ＝y －4x ＋y ≤9， x ＋y ≤3，mx(m>0)的最大值为 1，则 m 的值是 ( )20A. － 9B.1C.2D.5解析 作出可行域，如图所示的阴影部分 .化目标函数 z ＝y －mx(m ＞0)为 y ＝mx ＋z ，由图可知，当直线 y ＝ mx ＋z 过 A 点时，直线在 y 轴的截距最大，由x ＝1，x ＋y ＝3，解得x ＝1，y ＝2，即 A(1，2)，∴ 2－ m ＝1，解得 m ＝1.故选 B.答案Bx － y ＋1≤0，8.(2016 贵·州黔东南模拟 )若变量x 、 y满足约束条件y ≤ 1，x>－1，则 (x －2)2＋y 2 的最小值为()A.3 2 2B. 59C.2D.5 解析作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.设 z ＝(x －2)2＋y 2，则 z 的几何意义为区域内的点到定点 D(2，0)的距离的平方，y ＝ 1，x ＝0，由图知 C 、D 间的距离最小，此时 z 最小 .由 得 即 C(0，1)，x － y ＋ 1＝ 0 y ＝1， 此时 z min ＝ (x －2)2＋ y 2＝4＋1＝5，故选 D.答案 D 二、填空题x ＋ y － 2≥ 0，设变量 x ， y 满足约束条件 x － y － 2≤ 0， 则目标函数 z ＝ x ＋2y 的最小值为9.y ≥ 1，________.解析由线性约束条件画出可行域 (如图所示 ).由 z ＝ x ＋ 2y ，得1 11 y ＝－ 2x ＋ 2z ，2z 的几何意义是直线1 1y ＝－ 2x ＋2z 在y 轴上的截距，要使z 最小，需使 1 2z 最小，易知当直线1 1y ＝－ 2x ＋ 2z 过点A(1，1) 时， z 最小，最小值为 3.答案310.(2017 滕·州模拟 )已知 O 是坐标原点，点M 的坐标为 (2，1)，若点 N(x ， y)为x ＋y ≤2，→ →1，平面区域 x ≥上的一个动点，则 OM · 的最大值是 ________.2 ONy ≥x解析 依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，1 11 3 其中 A 2，2 ，B 2，2 ， C(1，1).→ →设 z ＝ OM ·ON ＝2x ＋y ，当目标函数 z ＝2x ＋y 过点 C(1，1)时，z ＝2x ＋ y 取得最大值 3.答案311.已知－ 1＜ x ＋ y ＜ 4 且 2＜x －y ＜3，则 z ＝ 2x －3y 的取值范围是 ________(答案用区间表示 ).a＋b＝2，解析法一设2x－3y＝a(x＋y)＋b(x－y)，则由待定系数法可得a－b＝－ 3，a＝－1，1 5 －2＜－1（ x＋ y）＜1，2 2 2解得 5 所以 z＝－2(x＋y)＋2(x－y).又 5 15 b＝2，5＜2（x－y）＜2，所以两式相加可得 z∈(3，8).－1＜x＋y＜ 4，法二作出不等式组表示的可行域，如图2＜ x－ y＜3中阴影部分所示 .平移直线 2x－3y＝0，当相应直线经过 x－y＝2与 x＋ y＝ 4 的交点 A(3，1)时，z 取得最小值，z min＝2×3－ 3×1＝3；当相应直线经过x＋y＝－ 1 与 x－y＝ 3 的交点 B(1，－ 2)时， z 取得最大值， z max＝2×1＋3×2＝8.所以 z∈ (3，8).答案(3， 8)2x＋y≥0，已知实数，满足x－y≥ 0，设 b＝x－ 2y，若 b 的最小值为－ 2，则 b 的12. x y0≤x≤ a，最大值为 ________.解析作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示 .x b作出直线 l0：x－2y＝0，∵ y＝2－2，∴当 l 0平移至 A 点处时 b 有最小值， b min＝－ a，又b min＝－ 2，∴ a＝2，当 l0平移至 B(a，－ 2a)时，b 有最大值 b max＝a－2×(－2a)＝5a＝ 10.答案1013.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1 千克 .每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是400 元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B 原料都不超过 12 千克 .通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A.1 800 元B.2 400 元C.2 800 元D.3 100 元解析设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品 y 桶，则根据题意得 x、 y 的约束x≥ 0， x∈N，y≥ 0， y∈N，条件为设获利 z 元，则 z＝300x＋ 400y.x＋ 2y≤12，2x＋y≤12.画出可行域如图 .画直线 l ：300x＋ 400y＝0，即 3x＋ 4y＝0.平移直线l，从图中可知，当直线过点M 时，目标函数取得最大值x＋2y＝12，由解得2x＋y＝12，.x＝ 4，y＝ 4，即M 的坐标为 (4，4)，∴z max＝300×4＋400× 4＝ 2 800(元)，故选 C.答案 C2x＋y－2≤0，y－114.(2017 许·昌监测 )设实数 x，y 满足x－ y＋ 1≥0，则x－1的最小值是 ()x－ 2y－1≤0，A. －51 B.－21C.2D.5解析作出不等式对应的平面区域如图中阴影部分y－1所示，则w＝的几何意义是区域内的点P(x，y)x－11 4与定点 A(1，1)所在直线的斜率，由图象可知当 P 位于点3，3时，直线 AP 的4斜率最小，此时 w＝y－1 3－1＝－1的最小值为1 2，故选 B. x－13－1答案 Bx＋ 2y－3≤0，，满足约束条件x＋ 3y－3≥0，若目标函数 z＝ax＋y(其中 a>0)15.已知变量 x yy－ 1≤ 0，仅在点 (3， 0)处取得最大值，则 a 的取值范围是 ________.解析画出 x、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数 z＝ax＋ y 仅在点 (3，0)处取得最大值，则直线 y＝－ ax＋z 的斜率1 1应小于直线 x＋2y－ 3＝ 0 的斜率，即－ a<－2，∴a>2.1答案2，＋∞16.(2015 浙·江卷 )若实数 x，y 满足 x2＋ y2≤1，则 |2x＋y－4|＋|6－ x－3y|的最大值是 ________.解析∵x2＋ y2≤1，∴2x＋y－4＜ 0， 6－ x－ 3y＞0，∴|2x＋ y－4|＋|6－ x－ 3y|＝4－2x－y＋ 6－ x－ 3y＝10－3x－4y.令z＝ 10－3x－4y，4如图，设 OA 与直线－ 3x－ 4y＝0 垂直，∴直线 OA 的方程为 y＝3x，4y＝3x，得 A －3 4联立5，－5 ，x2＋y2＝ 1，∴当 z＝10－ 3x－4y 过点 A 时， z 取最大值，3 4z max＝ 10－3× －5－4× －5＝ 15.答案15。

【高中数学】3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题重难点：会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．考纲要求：①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．经典例题：求不等式|x－2|+|y－2|≤2所表示的平面区域的面积.当堂练习：1．下列各点中，与点（1，2）位于直线x+y－1=0的同一侧的是（）A．（0，0） B．（－1，1） C．（－1，3） D．（2，－3）2．下列各点中，位于不等式（x+2y+1）（x－y+4）＜0表示的平面区域内的是（）A．（0，0） B．（－2，0） C．（－1，0） D．（2，3）3．用不等式组表示以点（0，0）、（2，0）、（0，－2）为顶点的三角形内部，该不等式组为_______.4．甲、乙两地生产某种产品，它们可调出的数量分别是300t和750t.A、B、C三地需要该种产品的数量分别为200t、450t、400t，甲运往A、B、C三地每1t产品的运费分别为6元、3元、5元，乙地运往A、B、C三地每1t产品的运费分别为5元、9元、6元，为使运费最低，调运方案是_______，最低运费是_______.5．画出不等式组表示的平面区域.6．一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润?7．已知－4≤a－b≤－1，－1≤4a－b≤5，求9a－b的取值范围.8．给出的平面区域是△ABC内部及边界（如下图），若目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，求a的值及z的最大值.9．若把满足二元二次不等式（组）的平面区域叫做二次平面域.（1）画出9x2-16y2+144≤0对应的二次平面域；（2）求x2+y2的最小值；（3）求的取值范围.参考答案：经典例题：思路分析：主要是去绝对值，可以运用分类讨论思想依绝对值的定义去掉绝对值符号.也可以运用化归、转化思想化陌生问题为熟悉问题，化复杂问题为简单问题.解法一：原不等式|x－2|+|y－2|≤2等价于作出以上不等式组所表示的平面区域：它是边长为22的正方形，其面积为8.解法二：∵|x－2|+|y－2|≤2是|x|+|y|≤2经过向右、向上各平移2个单位得到的，∴|x－2|+|y－2|≤2表示的平面区域的面积等于|x|+|y|≤2表示的平面区域的面积，由于|x|+|y|≤2的图象关于x轴、y轴、原点均对称，故求得平面区域如下图所示的面积为2，故|x|+|y|≤2的面积为4×2=8.∴所求面积为8.当堂练习：1.C;2.B;3. ;4. 甲地运往B地300t，乙地运往A地200t，运往B地150t，运往C地400t，5650元;5. 思路分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.解：运用“直线定界，特殊点定域”的方法，先画出直线x－y+5=0（画成实线），如下图，取原点（0，0），代入x－y+5.∵0－0+5=5＞0，∴原点在x－y表示的平面区域内，即x－y+5≥0表示直线x－y+5=0上及右下方的点的集合，同理可得x+y≥0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合.6. 思路分析：这是一个求最大利润问题，首先根据条件设种两种作物分别为x、y亩，根据条件列出不等式组和目标函数画图，即可得到最大利润.解：如下图所示，设水稻种x亩，花生种y亩，则由题意得而利润P=（3×400－240）x+（5×100－80）y=960x+420y（目标函数），可联立得交点B（1.5，0.5）.故当x=1.5，y=0.5时，Pmax=960×1.5+420×0.5=1650，即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大.7. 思路分析：可以把a、b分别看成横坐标和纵坐标，根据不等式组画出可行域，然后求目标函数9x－y的最大值和最小值.解：问题转化为在约束条件下，目标函数z=9a－b的取值范围.画出可行域如下图所示的四边形ABCD及其内部.由，解得得点A（0，1）.当直线9a－b=t通过与可行域的公共点A（0，1）时，使目标函数z=9a－b取得最小值为zmin=9×0－1=－1.由解得得点C（3，7）.当直线9a－b=t通过与可行域的公共点C（3，7）时，使目标函数z=9a－b取得最大值为zmax=9×3－7=20.∴9a－b的取值范围是［－1，20］.8. 思路分析：本题考查逆向思维、数形结合的思想方法，利用图形的特性和规律，解决数的问题或将图形信息转换成代数信息，削弱或清除形的推理部分，使要解决的形问题转化为数量关系的讨论.解：直线z=ax+y（a＞0）是斜率为－a，y轴上的截距为z的直线族，从题图可以看出，当－a小于直线AC的斜率时，目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解是（1，4）；当－a大于直线AC的斜率时，目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解是（5，2）；只有当－a等于直线AC的斜率时，目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，线段AC上的所有点都是最优解.直线AC的斜率为-，所以a=时，z的最大值为×1+4=.9. 思路分析：本题可以使用线性规划的基本思路，像二元一次不等式所示的区域一样，我们仍然可以用“线定界，点定域”的方法来确定9x2-16y2+144≤0所表示的平面区域.解：(1)将原点坐标代入9x2-16y2+144，其值为144>0，因此9x2-16y2+144≤0表示的平面区域如图所示的阴影部分，即双曲线-=1的含有焦点的区域.(2)设P(x，y)为该区域内任意一点，由上图可知，当P与双曲线的顶点(0，±4)重合时，|OP|取得最小值4.所以，x2+y2=|OP|2=16.(3)取Q(2，0)，则直线PQ的斜率为k=，其直线方程为y=k(x-2)，代入9x2-16y2+144=0得(9-16k2)x2+64k2x-64k2+144=0，由Δ=0得k=±，由图可知k≥或k≤-.故所求的取值范围是(-∞，- ］∪［，+∞).感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2017-2018学年高中数学第三章不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域（1）学案新人教A 版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第三章不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域（1）学案新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3．3。

1 二元一次不等式（组）与平面区域(一）学习目标 1.理解二元一次不等式的解、解集概念。

2.会画出二元一次不等式（组）表示的平面区域．知识点一二元一次不等式（组)的概念思考对于只含有一个未知数的不等式x〈6,它的一个解就是能满足不等式的x的一个值,比如x＝0。

那么对于含有两个未知数的不等式x－y<6，你能类似地举出一个解吗？答案含两个未知数的不等式的一个解，即满足不等式的一组x，y的取值,例如错误!也可写成(0,0）．梳理（1)含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式；(2)由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组;(3）满足二元一次不等式（组)的x和y的取值构成有序数对(x，y）称为二元一次不等式(组)的一个解;(4)所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集．知识点二二元一次不等式表示的平面区域思考一元一次不等式(组)的解集可以表示为数轴上的区间,例如错误!的解集为数轴上的一个区间（如图）．那么，在直角坐标系内，二元一次不等式x－y〈6的解集表示什么图形呢？答案二元一次不等式x－y〈6的解是一个有序数对（x,y），它在平面直角坐标系中对应一个点．显然不等式x－y〈6的解不止一个，且这些解不在直线x－y＝6上．经探索，以二元一次不等式x－y<6的解为坐标的点都在直线的左上方；反之,直线左上方点的坐标也满足不等式x－y<6。

二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题【课前回顾】1．一元二次不等式(组)表示的平面区域以上简称为“直线定界，特殊点定域”. 3．简单的线性规划中的基本概念1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )解析：选C x －3y ＋6<0表示直线x －3y ＋6＝0左上方部分，x －y ＋2≥0表示直线x －y ＋2＝0及其右下方部分．故不等式组表示的平面区域为选项C 所示阴影部分．2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.34解析：选C 平面区域如图中阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4可得A (1,1)， 易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43，|BC |＝4－43＝83. ∴S △ABC ＝12×83×1＝43.3．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：选A 法一：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.法二：易求可行域顶点A (0,1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z 的值依次为1，－15,9，故最小值为－15.5．若点(m,1)在不等式2x ＋3y －5>0所表示的平面区域内，则m 的取值范围是________． 解析：∵点(m,1)在不等式2x ＋3y －5>0所表示的平面区域内，∴2m ＋3－5>0，即m >1.答案：(1，＋∞)4．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －6≤0，则x －2y 的最大值为________．解析：画出可行域如图中阴影部分所示，令z ＝x －2y ，可知z ＝x －2y 在点A (1,1)处取得最大值－1.答案：－1考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域(一)直接考——求平面区域的面积 解决求平面区域面积问题的方法步骤 (1)画出不等式组表示的平面区域；(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为( )A ．4B ．1C ．5D ．无穷大解析：选B 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为A (1,2)，B (2，2)，C (3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥2，0≤x ≤2所表示的平面区域的面积为________．解析：如图，平面区域为直角梯形，易得A (0,2)，B (2,2)，C (2,7)，D (0，5)，所以AD ＝3，AB ＝2，BC ＝5.故所求区域的面积为S ＝12×(3＋5)×2＝8.答案：8(二)迁移考——根据平面区域满足的条件求参数 根据平面区域确定参数的方法在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．3．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析：选A 作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示， 要使阴影部分为直角三角形，当k ＝0时，此三角形的面积为12×3×3＝92≠1，所以不成立，所以k >0，则必有BC ⊥AB ， 因为x ＋y －4＝0的斜率为－1，所以直线kx －y ＝0的斜率为1，即k ＝1，故选A. 4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B ．(0,1]C.⎣⎡⎦⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞解析：选D 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2，得A 23，23，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2，得B (1,0)． 若原不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.考点二 求目标函数的最值角度(一) 求线性目标函数的最值及范围 求目标函数最值的一般步骤1．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．2．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y ＝32x－z2过点A 时，在y 轴上的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.即A (－1,1)．所以z min ＝－5. 答案：－5角度(二) 求非线性目标函数的最值 常见的2种非线性目标函数及其意义(1)点到点的距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，表示区域内的动点(x ，y )与定点(a ，b )的距离的平方；(2)斜率型：形如z ＝y －bx －a，表示区域内的动点(x ，y )与定点(a ，b )连线的斜率． 3．(2018·太原模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋3≥0，2x －y ＋2≤0，x ＋2y －4≤0，则z ＝x 2＋y 2的取值范围为( )A ．[1,13]B ．[1,4] C.⎣⎡⎦⎤45，13D.⎣⎡⎦⎤45，4解析：选C 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z ＝x 2＋y 2的最小值为点O 到直线BC ：2x －y ＋2＝0的距离的平方，z min ＝45，最大值为点O 与点A (－2,3)的距离的平方，z max ＝|OA |2＝13.角度(三) 线性规划中的参数问题 求解线性规划中含参问题的基本方法(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围．(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．4．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1表示的平面区域如图中阴影部分所示，由1≤ax ＋y ≤4恒成立，结合图可知，a ≥0且在A (1,0)处取得最小值，在B (2,1)处取得最大值，所以a ≥1，且2a ＋1≤4，故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤1，32. 答案：⎣⎡⎦⎤1，32 【针对训练】1．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z 2，∴z 2是直线y ＝－12x ＋z 2在y 轴上的截距，根据图形知，当直线y＝－12x ＋z 2过A 点时，z 2取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －3＝0，得x ＝2，y ＝1，即A (2,1)，此时，z＝4，∴z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．2．(2018·成都一诊)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0，x －2y －2≤0，x －1≥0，则y －1x的最小值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为y －1x 表示平面区域内的点与定点P (0,1)连线的斜率．由图知，点P与点A ⎝⎛⎭⎫1，－12连线的斜率最小，所以⎝⎛⎭⎫y －1x min ＝k PA ＝－12－11－0＝－32. 答案：－323．(2018·郑州质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0.若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小值为________．解析：画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：3x ＋y ＝0，平移l ，从而可知经过C 点时z 取到最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝10，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，∴2×3－1－m ＝0，m ＝5.由图知，平移l 经过B 点时，z 最小，∴当x ＝2，y ＝2×2－5＝－1时，z 最小，z min ＝3×2－1＝5. 答案：5考点三 线性规划的实际应用1．解线性规划应用题3步骤(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．【典型例题】(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件， 由已知可得约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点M 时，z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得M (60,100)． 则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000【针对训练】某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：选C 设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z ，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N.目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y . 画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点N 时，取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝7，36x ＋60y ＝900，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝12，故N (5,12)， 故z min ＝1 600×5＋2 400×12＝36 800(元)．【课后演练】1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，2x ＋y <6所表示的平面区域内的整点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 由不等式2x ＋y <6得y <6－2x ，且x >0，y >0，则当x ＝1时，0<y <4，则y ＝1,2,3，此时整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)；当x ＝2时，0<y <2，则y ＝1，此时整点有(2,1)；当x ＝3时，y 无解．故平面区域内的整点个数为4.2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.结合图形可知选C.3．(2017·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．9解析：选D 不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，是以点A (1,1)，B (3,3)，C (3，－1)为顶点的三角形及其内部．设z ＝x ＋2y ，当直线z ＝x ＋2y 经过点B 时，z 取得最大值，所以z max ＝3＋2×3＝9.4．(2018·兰州模拟)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋4y ≤12，则z ＝2x ·⎝⎛⎭⎫12y 的最大值为( )A ．16B ．8C ．4D ．3解析：选A 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋4y ≤12所表示的平面区域如图中阴影部分所示．又z ＝2x ·⎝⎛⎭⎫12y ＝2x －y ，令u ＝x －y ，则直线u ＝x －y 在点(4,0)处u 取得最大值，此时z 取得最大值且z max ＝24－0＝16，故选A.5．(2017·郑州二模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1，则z ＝2|x －2|＋|y |的最小值是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选C 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1表示的可行域如图中阴影部分所示，其中A (2,4)，B (1,5)，C (1，3)，∴x ∈[1,2]，y ∈[3,5]．∴z ＝2|x －2|＋|y |＝－2x ＋y ＋4，当直线y ＝2x －4＋z 过点A (2,4)时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 有最小值，∴z min ＝－2×2＋4＋4＝4，故选C.6．(2018·郑州第二次质量预测)已知直线y ＝k (x ＋1)与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，3x －y ≥0，x >0，y >0表示的平面区域有公共点，则k 的取值范围为( )A ．[0，＋∞) B.⎣⎡⎦⎤0，32 C.⎝⎛⎦⎤0，32 D.⎝⎛⎭⎫32，＋∞解析：选C 画出不等式组表示的可行域如图中阴影(不含x 轴)部分所示，直线y ＝k (x ＋1)过定点M (－1，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，3x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，过点M (－1，0)与A (1,3)的直线的斜率是32，根据题意可知0<k ≤32.7．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23.答案：⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 8．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：3x －4y ＝0，平移直线l ，当直线z ＝3x －4y 经过点A (1,1)时，z 取得最小值，最小值为3－4＝－1.答案：－19．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________． 解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx 是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1,3)与原点连线的斜率最大，故yx 的最大值为3.答案：310．(2018·西安质检)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤1，xy ≥0，则2x ＋y 的取值范围为________．解析：作出满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点A (1,0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点B (－1,0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为[－2,2]．答案：[－2,2]11．(2018·安庆二模)若实数x ，y 满足：|x |≤y ≤1，则x 2＋y 2＋2x 的最小值为( ) A.12 B ．－12C.22D.22－1 解析：选B 作出不等式|x |≤y ≤1表示的可行域如图中阴影部分所示．x 2＋y 2＋2x ＝(x ＋1)2＋y 2－1，(x ＋1)2＋y 2表示可行域内的点(x ，y )到点(－1,0)距离的平方，由图可知，(x ＋1)2＋y 2的最小值为点(－1,0)到直线y ＝－x 的距离的平方，即为⎝⎛⎭⎫222＝12，所以x 2＋y 2＋2x 的最小值为12－1＝－12.12．(2018·石家庄质检)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，则z ＝y －2x ＋3的最小值为( )A ．－2B ．－23C ．－125D.2－47解析：选C 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝y －2x ＋3表示区域内的点与点P (－3,2)连线的斜率．由图知当区域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝－125，故选C.13．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,50解析：选B 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，则总利润z ＝4×0.55x ＋6×0.3y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y .此时x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0.画出可行域如图，得最优解为A (30,20)．14．(2018·石家庄模拟)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，且b ＝－2x －y ，当b 取得最大值时，直线2x ＋y ＋b ＝0被圆(x －1)2＋(y －2)2＝25截得的弦长为________．解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由图知，当直线y ＝－2x －b 经过点A (－2，－2)时，b 取得最大值，即b max ＝－2×(－2)－(－2)＝6，此时直线方程为2x ＋y ＋6＝0.因为圆心(1,2)到直线2x ＋y ＋6＝0的距离d ＝|2＋2＋6|22＋12＝25，所以直线被圆截得的弦长L ＝252－(25)2＝2 5.答案：2 515．(2018·河南六市联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m .若目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________.解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l 可知，当直线l 经过A 时符合题意，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －1，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.又A (2,3)在直线x ＋y ＝m 上，所以m ＝5.答案：516.已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)，如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组．(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求实数a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]＜0， 即(14－a )(－18－a )＜0， 解得－18＜a ＜14.故实数a 的取值范围是(－18,14)．17．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z 1＝4x －3y ，求z 1的最大值；(2)设z 2＝yx ，求z 2的最小值；(3)设z 3＝x 2＋y 2，求z 3的取值范围．解：作出可行域如图中阴影部分所示，易得A⎝⎛⎭⎫1，225，B (1,1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得C (5,2)，(1)z 1＝4x －3y ⇔y ＝43x －z 13，易知平移直线y ＝43x 至过点C 时，z 1最大，且最大值为4×5－3×2＝14.(2)z 2＝yx 表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC 斜率最小，故z 2的最小值为25.(3)z 3＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2＝OB 2<OA 2<OC 2＝29，故z 3∈[2,29]．。

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题要点梳理1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ，y )，把它的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C 所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)，由Ax 0＋By 0＋C 的符号即可判断Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域．23.应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. 强化训练1．若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为 A.12 B ．1 C.32D ．2 2．已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是A ．(1－3，2)B ．(0,2)C ．(3－1,2)D ．(0,1＋3)3．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x 所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A.285B ．4 C.125 D ．2 4．若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x ＋y ＋m ＝0的两侧，则m 的取值范围是__________．5．如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式____________．6．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥－1，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －2y 的取值范围为________．7．已知z ＝2x －y ，式中变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ y ≤x ，x ＋y ≥1，x ≤2，则z 的最大值为________． 8．已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．. 9．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b .若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为__________．10．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则请工人的约束条件是________________．11．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？。

第三章 3.5 第3课时一、选择题1．已知O 为坐标原点，点M (3,1)，若N (x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1y ≥0x ＋y ≤4，则OM →·ON →的最大值为( )A ．6B ．8C ．10D ．12[答案] D[解析] 目标函数为z ＝OM →·ON →＝3x ＋y ，作出不等式组⎩⎨⎧x ≥1y ≥0x ＋y ≤4表示的可行域，如图所示．作出直线l 0：3x ＋y ＝0，再将直线l 0平移，当l 0的平行线l 1经过点A (4,0)时，z 取得最大值12，即OM →·ON →的最大值为12.2．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3x －y ≥－1y ≥1，则目标函数z ＝4x ＋2y 的最大值为( )A ．12B ．10C ．8D ．2[答案] B[解析] 画出可域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝4x ＋2y 可转化为y ＝－2x ＋z2，作出直线y ＝－2x 并平移，显然当其过点A 时纵截距z2最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3y ＝1得A (2,1)，∴z max ＝10.3．变量x 、y 满足下列条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥122x ＋9y ≥362x ＋3y ＝24x ≥0，y ≥0，则使z ＝3x ＋2y 最小的(x ，y )是( )A ．(4,5)B ．(3,6)C ．(9,2)D ．(6,4)[答案] B[解析] 检验法：将A 、B 、C 、D 四选项中x ，y 代入z ＝3x ＋2y 按从小到大依次为A 、B 、D 、C ．然后按A →B →D →C 次序代入约束条件中，A 不满足2x ＋3y ＝24，B 、C 、D 全部满足，经检验，只有(3,6)使z ＝3x ＋2y 最小，故选B ．4．已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤4x ＋2y ≤4x ≥0，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值是( )A ．43B ．83C ．2D ．4[答案] B[解析] 画出可行域为如图阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝42x ＋y ＝4，解得A (43，43)，∴当直线z ＝x ＋y 经过可行域内点A 时，z 最大，且z max ＝83.5．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3t 、B 原料2t ；生产每吨乙产品要用A 原料1t 、B 原料3t.销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13t ，B 原料不超过18t ，那么该企业可获得最大利润是( )A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元[答案] D[解析] 设生产甲产品x t ，乙产品y t ，则获得的利润为z ＝5x ＋3y .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥03x ＋y ≤132x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时， z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4， z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋y |≤1|x －y |≤1表示的平面区域内整点的个数是( )A ．0B ．2C ．4D ．5[答案] D[解析] 不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧ |x ＋y |≤1|x －y |≤1变形为⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤1－1≤x －y ≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x ＋y ≥－1x －y ≤1x －y ≥－1作出其平面区域如图．可见其整点有：(－1,0)、(0,1)、(0 ,0)、(0，－1)和(1,0)共五个．二、填空题7．设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1y ≤xy ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值是________．[答案] 2[解析] 可行域如图，当直线z ＝2x ＋y 即y ＝－2x ＋z 经过点A (1,0)时，z max ＝2.8．若实数x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥22x －y ≤4x －y ≥0，则2x ＋3y 的最小值是________．[答案] 4[解析] 画出可行域如图所示(图中阴影部分)：当直线l 0平移到过A (2,0)点时，2x ＋3y 取最小值． (2x ＋3y )min ＝2×2＋0＝4. 三、解答题9．某工厂家具车间造A 、B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张A 、B 型桌子分别需要1h 和2h ，漆工油漆一张A 、B 型桌子分别需要3h 和1h ；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8h 和9h ，而工厂造一张A 、B 型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A 、B 型桌子各多少张，才能获得利润最大？[解析] 设每天生产A 型桌子x 张，B 型桌子y 张，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤83x ＋y ≤9x ≥0，y ≥0(x ∈N ，y ∈N )，目标函数z ＝2x ＋3y .作出可行域如图所示．作直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移直线l 0，当l 0经过可行域内的点M 时，目标函数z ＝2x ＋3y 取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝83x ＋y ＝9，得M (2,3)．答：每天应生产A 型桌子2张，B 型桌子3张才能获得最大利润.一、选择题1．若变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤40x ＋2y ≤50x ≥0y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．90B ．80C ．70D ．40[答案] C[解析] 由⎩⎨⎧2x ＋y ≤40x ＋2y ≤50x ≥0y ≥0得可行域如图所示．将l 0：3x ＋2y ＝0在可行域内平行移动，移动到经过B 点时，z ＝3x ＋2y 取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝502x ＋y ＝40，得B 点坐标为(10,20)， ∴z max ＝3×10＋2×20＝70，故选C ．2．已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x ≥1y ≥0x ＋2y －3≥0，则yx的最值是( )A ．最大值是2，最小值是1B ．最大值是1，最小值是0C ．最大值是2，最小值是0D ．有最大值无最小值[答案] C[解析] 作出不等式组⎩⎨⎧x ＋2y －5≤0x ≥1y ≥0x ＋2y －3≥0表示的平面区域如图．yx表示可行域内点与原点连线的斜率．显然在A (1,2)处取得最大值2.在x 轴上的线段BC 上时取得最小值0，∴选C ．二、填空题3．若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ＋3≥00≤x ≤3，则z ＝2x －y 的最大值为________．[答案] 9[解析] 约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥0x －y ＋3≥00≤x ≤3的可行域为如图所示．作l 0：y ＝2x 在平面域内平移到A (3，－3)处时，z 取最大值9. 4．已知点P (x ，y )的坐标，满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4y ≥xx ≥1，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于__________，最大值等于__________．[答案]210[解析] 点P (x ，y )满足的可行域为△ABC 区域．A (1,1)，C (1,3)．由图可得，|PO |min ＝|AO |＝2；|PO |max ＝|CO |＝10.三、解答题5．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－222x ＋3y ≥92x ≤11，求目标函数z ＝10x ＋10y 的最大值．[解析] 画出不等式组⎩⎨⎧5x －11y ≥－222x ＋3y ≥92x ≤11表示的平面区域如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1125x －11y ＝－22，解得A (112，92)．而由题意知x 和y 必须是正整数．直线y ＝－x ＋z10由经过A 点向下平移经过的第一个整点为(5,4)．∴z ＝10x ＋10y 的最大值为90.6．关于x 的方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内，求b －2a －1的取值范围．[解析] b －2a －1可以转化为点(a ，b )与M (1,2)连线的斜率．由题知x 2＋ax ＋2b ＝0两根在(0,1)与(1,2)内，可令f (x )＝x 2＋ax ＋2B ．必满足f (0)>0、f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎨⎧b >01＋a ＋2b <02＋a ＋b >0，由线性规划可知：点M (1,2)与阴影部分连线的斜率k 的取值范围为k AM <k <k BM ， ∵A (－3,1)、B (－1,0)， ∴14<b －2a －1<1.。

【成才之路】2015版高中数学 3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题第3课时练习一、选择题1．若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤1x ＋y≥0x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值为( ) A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] B[解析] 先作出可行域如图．作直线x －2y ＝0在可行域内平移，当x －2y －z ＝0在y 轴上的截距最小时z 值最大． 当移至A(1，－1)时，zmax ＝1－2×(－1)＝3，故选B ．2．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y≤44x －y≥－1x ＋2y≥2，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( ) A ．[－32，6] B ．[－32，－1]C ．[－1,6]D ．[－6，32][答案] A[解析] 本题考查了线性规划的基础知识及数形结合的思想．根据约束条件，画出可行域如图，作直线l0：3x －y ＝0，将直线平移至经过点A(2,0)处z 有最大值，经过点B(12，3)处z 有最小值，即－32≤z≤6.3．设z ＝x －y ，式中变量x 和y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0x －2y≥0，则z 的最小值为( ) A ．1 B ．－1C ．3D ．－3[答案] A[解析] 作出可行域如图中阴影部分．直线z ＝x －y 即y ＝x －z.经过点A(2,1)时，纵截距最大，∴z 最小．zmin ＝1.4．变量x 、y 满足下列条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y≥122x ＋9y≥362x ＋3y ＝24x≥0y≥0，则使z ＝3x ＋2y 最小的(x ，y)是( )A ．(4,5)B ．(3,6)C ．(9,2)D ．(6,4)[答案] B[解析] 检验法：将A 、B 、C 、D 四选项中x 、y 代入z ＝3x ＋2y 按从小到大依次为A 、B 、D 、C ．然后按A→B→D→C 次序代入约束条件中，A 不满足2x ＋3y ＝24，B 全部满足，故选B ．5．已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y≤4x ＋2y≤4x≥0，y≥0，则z ＝x ＋y 的最大值是( )A ．43B ．83C ．2D ．4[答案] B[解析] 画出可行域为如图阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝42x ＋y ＝4，解得A(43，43)，∴当直线z ＝x ＋y 经过可行域内点A 时，z 最大，且zmax ＝83.6．(2014·广东理，3)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ y≤xx ＋y≤1y≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝() A ．5 B ．6C ．7D ．8[答案] B[解析] 作出可行域如图，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1，∴A(－1，－1)；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝－1.得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1，∴B(2，－1)； 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x ＋y ＝1，得⎩⎨⎧ x ＝12，y ＝12.∴C(12，12)．作直线l ：y ＝－2x ，平移l 可知，当直线y ＝－2x ＋z ，经过点A 时，z 取最小值，当ymin ＝－3；当经过点B 时，z 取最大值，zmax ＝3，∴m ＝3，n ＝－3，∴m －n ＝6.二、填空题7．已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥0x≥y 2x －y≤1，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________． [答案] 5[解析] 作出可行域如图，当直线z ＝3x ＋2y 平移到经过点(1,1)时，z 最大∴zmax ＝5.8．已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ y －2≤0x ＋3≥0x －y －1≤0，则x2＋y2的最大值为________． [答案] 25[解析] 画出不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分所示．由图知，A(－3，－4)，B(－3,2)，C(3,2)，则|OA|＝9＋16＝5，|OB|＝9＋4＝13，|OC|＝9＋4＝13.设P(x ，y)是不等式组表示的平面区域内任意一点，则x2＋y2＝(x2＋y2)2＝|OP|2，由图知，|OP|的最大值是|OA|＝5，则x2＋y2最大值为|OA|2＝25.三、解答题9．制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A 药品3 g 、B 药品4 g 、C 药品4 g ，乙种烟花每枚含A 药品2 g 、B 药品11 g 、C 药品6 g ．已知每天原料的使用限额为A 药品120 g 、B 药品400 g 、C 药品240 g ．甲种烟花每枚可获利2 元，乙种烟花每枚可获利1 元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大．[解析] 设每天生产甲种烟花x 枚，乙种烟花y 枚，获利为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y≤1204x ＋11y≤4004x ＋6y≤240x≥0y≥0，作出可行域如图所示．目标函数为：z ＝2x ＋y.作直线l ：2x ＋y ＝0，将直线l 向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点A(40,0)且与原点的距离最大．此时z ＝2x ＋y 取最大值．故每天应只生产甲种烟花40枚可获最大利润．10．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180t 支援物资的任务，该公司有8辆载重为6t 的A 型卡车和4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费A 型车为320元，B 型车为504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费最低．[解析] 设每天调出A 型车x 辆，B 型车y 辆，公司所花的成本为z 元，则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x≤8，y≤4，x ＋y≤10，4x×6＋3y×10≥180，x≥0，y≥0，目标函数为z ＝320x ＋504y(其中x ，y ∈N)．作出可行域如图所示．由图易知，当直线z ＝320x ＋504y 在可行域内经过的整数点中，点(8,0)使z ＝320x ＋504y 取得最小值，zmin ＝320×8＋504×0＝2560，∴每天调出A 型车8辆，B 型车0辆，公司所花成本费最低．一、选择题1．已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5≤0x≥1y≥0x ＋2y －3≥0，则y x 的最值是( ) A ．最大值是2，最小值是1B ．最大值是1，最小值是0C ．最大值是2，最小值是0D ．有最大值无最小值[答案] C [解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5≤0x≥1y≥0x ＋2y －3≥0表示的平面区域如图．y x 表示可行域内点与原点连线的斜率．显然在A(1,2)处取得最大值2.在x 轴上的线段BC 上时取得最小值0，∴选C ．2．若实数x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥02x ＋y －7≥0x≥0，y≥0，则3x ＋4y 的最小值是( ) A ．13B ．15C ．20D ．28 [答案]A [解析] 作出可行域如图所示，令z ＝3x ＋4y ，∴y ＝－34x ＋z 4求z 的最小值，即求直线y ＝－34x ＋z 4截距的最小值．经讨论知点M 为最优解，即为直线x ＋2y －5＝0与2x ＋y －7＝0的交点，解之得M(3,1)． ∴zmin ＝9＋4＝13.3．已知变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x －1≤0y －3x －1≤0y －x ＋1≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( ) A ．4 B ．2C ．1D ．－4[答案] B[解析] 作出可行域如图，作直线l0：2x ＋y ＝0，平移直线l0可见，当l0经过可行域内的点B(1,0)时，z 取得最大值，∴zmax ＝2×1＋0＝2.4．为支援灾区人民，某单位要将捐献的100台电视机运往灾区，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装电视机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装电视机10台，若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )A ．2 800元B ．2 400元C ．2 200元D ．2 000元[答案] C[解析] 设调用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，则0≤x≤4,0≤y≤8,20x ＋10y≥100，即2x ＋y≥10，设运输费用为t ，则t ＝400x ＋300y.线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤40≤y≤82x ＋y≥10， 作出可行域如图，则当直线y ＝－43x ＋t 300经过可行域内点A(4,2)时，t 取最小值2 200，故选C ．二、填空题5．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y≥0x≤1，则z ＝2x ＋y 的最小值是________． [答案] －1[解析] 画出可行域如图中阴影部分所示．由图知，z 是直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A(－1,1)时，z 取最小值，此时x ＝－1，y ＝1，则z 的最小值是zmin ＝2x ＋y ＝－2＋1＝－1.6．设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤1y≤x y≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值是________． [答案] 2[解析] 可行域如图，当直线z ＝2x ＋y 即y ＝－2x ＋z 经过点A(1,0)时，zmax ＝2.三、解答题7．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/t 和1.5 元/t ，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8 元/t 和1.6 元/t.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？[解析] 设甲煤矿向东车站运x 万吨煤，乙煤矿向东车站运y 万吨煤，那么总运费 z ＝x ＋1.5(200－x)＋0.8y ＋1.6(260－y)(万元)即z ＝716－0.5x －0.8y.x 、y 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0y≥0200－x≥0260－y≥0x ＋y≤280－＋－， 即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2000≤y≤260100≤x ＋y≤280， 作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图．设直线x ＋y ＝280与y ＝260的交点为M ，则M(20,260)．把直线l0：5x ＋8y ＝0向上平移至经过平面区域上的点M 时，z 的值最小．∵点M 的坐标为(20,260)，∴甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨，向西车站运180万吨，乙煤矿生产的煤全部运往东车站时，总运费最少．8．某厂有一批长为18m 的条形钢板，可以割成1.8m 和1.5m 长的零件．它们的加工费分别为每个1元和0.6元．售价分别为20元和15元，总加工费要求不超过8元．问如何下料能获得最大利润．[解析] 设割成的1.8m 和1.5m 长的零件分别为x 个、y 个，利润为z 元，则z ＝20x ＋15y －(x ＋0.6y)即z ＝19x ＋14.4y 且⎩⎪⎨⎪⎧1.8x ＋1.5y≤18x ＋0.6y≤8x 、y ∈N， 作出不等式组表示的平面区域如图，又由⎩⎪⎨⎪⎧1.8x ＋1.5y ＝18x ＋0.6y ＝8， 解出x ＝207，y ＝607，∴M(207，607)，∵x 、y 为自然数，在可行区域内找出与M 最近的点为(3,8)，此时z ＝19×3＋14.4×8＝172.2(元)． 又可行域的另一顶点是(0,12)，过(0,12)的直线使z ＝19×0＋14.4×12＝172.8(元)；过顶点(8,0)的直线使z ＝19×8＋14.4×0＝152(元)．M(207，607)附近的点(1,10)、(2,9)，直线z ＝19x ＋14.4y 过点(1,10)时，z ＝163；过点(2,9)时z ＝167.6.∴当x ＝0，y ＝12时，z ＝172.8元为最大值．答：只要截1.5m 长的零件12个，就能获得最大利润．。