18届高二理科数学12月27日同步测试答案——第十八周测试题

2016—2017学年度第二学期期末七校联考高二数学（理科）答案一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）.1-6 CBAAAC7-12 BDDBDD【12】提示：原式变为'(1)()()0x f x xf x ++>，所以'(1)()()0x x e x f x e xf x ++>，即'(())0x e xf x >，即()()x g x e xf x =单调递增，注意到(0)0g =，则①当0x >时，()(0)0g x g >=，进而()0f x >；②当0x <时，()0g x <，进而()0f x >；③当0x =时，由'(1)()()0x f x xf x ++>，令0x =，可得()0f x >；综上，()0f x >.二、填空题（每小题5分，共20分）.13．10x y ++=14．13 15．132 16．34【16】提示： 2'2y ax bx =+，曲线在(,)b ac 处的切线方程为：22(2)()y ab b x b ac =+-+，令32221()[(2)()]3f x ax bx c ab b x b ac =++-+-+，则222'()2(2)f x ax bx ab b =+-+,依题意:()f x 在R 上有且只有一个零点b 。

注意到'()0f b =,若'()f x 除b 之外还有其它的零点，那么()f x 在R 上不单调，又b 是()f x 的极值点且()0f b =，根据三次函数的图像特征()f x 在R 上除b 之外还有其它的零点，不符合题意。

所以'()f x 除b 之外再无零点，因此222(2)4(2)0b a ab b ∆=++=,解得1a =-，所以323,334b c b c b b b =-+=-≤,当且仅当39,28b c ==-时，等号成立. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【17】 解析：（Ⅰ）由条形图知，所抽取的100人中，优秀等级有75人，故优秀率为．所以所有参赛选手中优秀等级人数约为万人．……………（6分） （Ⅱ）由条形图可知2×2列联表如下………………（10分）∴没有95%的把握认为优秀与文化程度有关．……………（12分）【18】解析：（Ⅰ）令0x =,得01a =；令12x =，得7120270222a a a a ++++=；所以712271222a a a +++=-………………………（5分） （Ⅱ） 7(12)x -展开式的通项为177(2)(2)r r r r r r T C x C x +=-=-,所以7(2)r r r r a C x =-，当3r =时，3337(2)280a C =-=-，当5r =时，5557(2)672a C =-=-，所以()()72112x x --的展开式中5x 的系数为35392a a -=……………………（12分）【19】解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，112'()2x f x x x -=-=，令'()0f x =，解得12x =，当102x <<时，'()0f x >，当12x >时，'()0f x <，因此当12x =时，()f x 有极大值，其极大值为ln 2-，无极小值………………………（5分）（Ⅱ）令()()'()g x f x f x =-，则2211(21)(1)'()2x x g x x x x+-=-+=-，当01x <<时，'()0g x >，()g x 单调递增；当1x >时，'()0g x <，()g x 单调递减，因此当1x =时，()g x 有最大值，其最大值为0， 所以()0g x ≤，即()'()f x f x ≤………………………（12分）【20】 解析：（Ⅰ）由图知6500.01210n ==⨯，20.0045010x ==⨯，10.040.10.120.560.01810y ----==…………………………………（2分） （II ）成绩是合格等级的人数为(10.1)5045-⨯=，抽取的50中成绩是合格等级的人数的频率为910，故从该校学生中任选1人，成绩是合格等级的概率为910，设在该校高一学生中任选3人，至少有1人成绩是合格等级的事件为A ，则0339999()1(1)101000P A C =--=;…………………………（6分） （III ）由题意知C 等级的学生人数为0.18509⨯=，A 等级的学生人数为3人，故ξ的取值为0,1,2,3，则333121(0)220C P C ξ===，129331227(1)220C C P C ξ===，219331227(2)55C C P C ξ===，3931221(3)55C P C ξ===，所以ξ的012322022055554E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=………………………………………（12分） 【21】解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞--+∞， 22'()(2)2x x a x a f x e e x x +-=+=++22(2)2(2)x x a x a e x +-+-+,令2()(2)2g x x a x a =+-+-，22(2)4(2)4a a a ∆=---=-①若02a <≤，则()0g x ≥，'()0f x ≥，所以()f x 在(,2),(2,)-∞--+∞单调递增;②若2a >，则由()0g x =解得1x =2x =，显然 121x x -<<,所以当2x <-或12x x -<<时，()0g x >，'()0f x >,当12x x x <<时,()0g x <，'()0f x <,当2x x >时，()0g x >，'()0f x >,所以()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-，(-,)+∞；()f x 的单调递减区间 为,………………………………………… （6分） （Ⅱ）当2a =时，由（1）知，()f x 在(0,)+∞单调递增，且(2)0f =，又12()()0f x f x +=，所以不妨设1202x x <≤≤，则142x -≥，故要证124x x +≤,只需证明214x x ≤-，即证21()(4)f x f x ≤-，也即11()(4)0f x f x +-≥， 构造函数()()(4)F x f x f x =+-，(0,2]x ∈,则'()'()'(4)F x f x f x =--=222224222222(4)(4)8(2)[(2)8]0(2)(6)(2)(6)(2)(6)x x x x x x x x x x x e e e e e x x x x x x -------≤-=≤+-+-+-,所以()F x 在(0,2]单调递减，故()(2)0F x F ≥=，故124x x +≤成立.………………（12分）【22】解析：（Ⅰ）由2sin 2c o s ρθθ=得22sin 2cos ρθρθ=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入得22y x =,由122x at y t⎧=+⎪⎨⎪=+⎩得1(2)2x a y =+-，即22410x ay a -+-=，故曲线C 的直角方程为22y x =，直线L 的普通方程为22410x ay a -+-=…………………（4分）（Ⅱ）设111(,2)2A at t ++，221(,2)2B at t++，将直线的参数方程代入抛物线的方程并化简得2(42)30t a t +-+=，由2410a a ∆=-+>得a 的取值范围为2a <2a >+理知1212243t t a t t+=-⎧⎨=⎩ ，又||AB=2t ，1|||PA t =，2|||PB t =，又因为||,||,||PA AB PB 成等差数列，则2||||||AB PA PB =+，代入相关式子并化简得2(24)16a -=，解得0a =或4a =，经检验，0a =或4a =满足题意…………（10分）【23】 解析：（Ⅰ）当2m =时， 3,1()4,123,2x x f x x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩.①当1x ≤-时，由()6f x ≥得36x -≥，解得2x ≤-；②当12x -<<时，由()6f x ≥得46x +≥，解集为空；③当2x ≥时，由()6f x ≥得36x ≥，解得2x ≥；综上，()6f x ≥的解集为(,2][2,)-∞-+∞………………………………（5分）（Ⅱ）方法一：当0m =时，()|2|f x x =-，()3f x ≤不恒成立；当0m >时，易得()3f x ≤不恒成立；当0m <时，去掉绝对值得(1)2,1()(1)2,12(1)2,2m x m x f x m x m x m x m x -++-≤-⎧⎪=-++-<<⎨⎪++-≥⎩，记1()(1)2f x m x m =-++-，2()(1)2f x m x m =-++，3()(1)2f x m x m =++-； ①当1m =-时，max ()33f x =≤成立，故1m =-满足题意；②当10m -<<时，由3()(1)2f x m x m =++-在[2,)+∞上单调递增知，()3f x ≤不恒成立；故10m -<<不满足题意；③当1m <-时，由1()(1)2f x m x m =-++-在(,1]-∞-上单调递增得1max ()33f x =≤；2()(1)2f x m x m =-++在(1,2)-上单调递减得，22()(1)3f x f <-=；3()(1)2f x m x m =++-在[2,)+∞上单调递减，则33()(2)33f x f m ≤=<；综上，m 的取值范围为1m ≤-.………………………………（10分）方法二：①当1x =-时，m R ∈；……………………（2分）②当1x ≠-时，原不等式变为33|||1|11m x x ≤--++，令31t x =+，则(,0)(0,)t ∈-∞+∞，令()|||1|g t t t =--，则1,0()21,011,1t g t t t t -<⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，则min ()1g t =-，故()1min m g t ≤=-.综上，m 的取值范围为1m ≤-.………………………………（10分）。

学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题x2 y21．若点P(2,0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为()a2 b2A. 2B．3C．2 2 D．2 3|2b| 【解析】双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，点P(2,0)到渐近线的距离为＝2，a2＋b2所以a2＝b2，所以双曲线的离心率为2，故选A.【答案】 Ay22．过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B 3两点，则|AB|＝()4 3A. B．23 3C．6 D．4 3【解析】设A，B两点的坐标分别为(x，y A)，(x，y B)，将x＝c＝2代入渐近线方程y＝y2± 3x得到y A，y B，进而求|AB|.由题意知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，将x33＝c＝2代入得y＝±2 3，即A，B两点的坐标分别为(2,2 3)，(2，－2 3)，所以|AB|＝4 3.【答案】 D3．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是()y2 x2A．x2－＝1 B．－y2＝14 4y2 x2C. －x2＝1 D．y2－＝14 4【解析】由双曲线的性质利用排除法求解．由双曲线焦点在y轴上，排除选项A、B，选项C中双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故选C.【答案】 C4．将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m＞0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则()A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e21C．对任意的a，b，e1＜e2D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2【解析】分别表示出e1和e2，利用作差法比较大小．a 2＋b2 b由题意e1＝＝2；双曲线C2的实半轴长为a＋m，虚半轴长为b＋m，1＋(a)a2a＋m2＋b＋m 2 b＋m1＋(a＋m)2离心率e2＝＝.a＋m2b＋m b m a－b因为－＝，且a＞0，b＞0，m＞0，a≠b，a＋m a a a＋mm a－b b＋m b所以当a＞b时，＞0，即＞.a a＋m a＋m ab＋m b又＞0，＞0，a＋m ab＋m b b＋m b 所以由不等式的性质依次可得(a＋m)2＞(a)2,1＋(a＋m)2＞1＋(a)2，所以b＋m b m a－b1＋(a＋m)2 1＋(a)＞2，即e2＞e1；同理，当a＜b时，＜0，可推得e2＜e1.综a a＋m上，当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2.【答案】 D5．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A. 2 B．33＋1C. D．2 5＋1 2x2 y2【解析】设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，不妨设一个焦点为F(c,0)，虚轴端a2 b2b b b b点为B(0，b)，则k FB＝－.又渐近线的斜率为±a，所以由直线垂直关系得(－c)·＝－1c ab(－显然不符合)，即b2＝ac，又c2－a2＝b2，所以c2－a2＝ac，两边同除以a2，整理得e2－e－a5＋1 1－51＝0，解得e＝或e＝(舍去)．2 2【答案】 D二、填空题x2 y26．过双曲线－＝1的左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点，4 3则|MF2|＋|NF2|－|MN|的值为________．【解析】|MF2|＋|NF2|－|MN|＝|MF2|＋|NF2|－(|MF1|＋|NF1|)＝(|MF2|－|MF1|)＋2(|NF2|－|NF1|)＝2a＋2a＝4a＝8.【答案】8x2 y27．设F是双曲线C：－＝1的一个焦点．若C上存在点P, 使线段PF的中点恰为其虚a2 b2轴的一个端点，则C的离心率为__________．【解析】根据题意建立a，c间的联系，再利用离心率公式计算．不妨设F(－c,0)，PF的中点为(0，b)．由中点坐标公式可知P(c,2b)．又点P在双曲线上，c2 4b2 c2 c则－＝1，故＝5，即e＝＝ 5.a2 b2 a2 a【答案】 58．若双曲线x2－y2＝1右支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离为3，则a＋b＝________.【导学号：32550089】【解析】由于点P(a，b)在右支上，所以a－b>0.|a－b|又∵＝3，∴a－b＝6，又∵a2－b2＝1，2a2－b2 1 6∴a＋b＝＝＝.a－b 6 6【答案】6 6三、解答题9．已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．x2 y2【解】(1)由16x2－9y2＝144得－＝1，9 16所以a＝3，b＝4，c＝5，5 4 所以焦点坐标F1(－5,0)，F2(5,0)，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x.3 3(2)由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝6，|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2cos ∠F1PF2＝2|PF1||PF2||PF1|－|PF2|2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|2＝2|PF1||PF2|36＋64－100＝＝0，643∴∠F1PF2＝90°.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点P(4，－10)．(1)求双曲线方程；→→(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1·MF2＝0；(3)在(2)的条件下，求△F1MF2的面积．【解】(1)∵e＝2，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝6，∴c＝2 3，∴F 1(－2 3，0)，F2(2 3，0)，m m∴kMF1＝，kMF2＝，3＋2 3 3－2 3m2 m2kMF1·kMF2＝＝－.9－12 3∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，→→ 故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，∴MF1·MF2＝0.→法二：∵MF1＝(－3－2 3，－m)，→MF2＝(2 3－3，－m)，→→∴MF1·MF2＝(3＋2 3)×(3－2 3)＋m2＝－3＋m2.∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，→→∴MF1·MF2＝0.(3)△F 1MF2的底|F1F2|＝4 3，△F1MF2的高h＝|m|＝3，∴S△F1MF2＝6.[能力提升]x2 y2 →→1．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦点为F1，F2，且C上的点P满足PF1·PF2＝a2 b2→→0，|PF1|＝3，|PF2|＝4，则双曲线C的离心率为()105A. B．245C. D．52→→ 1 →→ 【解析】由双曲线的定义可得2a＝||PF2|－|PF1||＝1，所以a＝；因为PF1·PF2＝0，2→→→→ 5 c所以PF1⊥PF2，所以(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2＝25，解得c＝.所以此双曲线的离心率为e＝＝2 a5.故D正确．【答案】 Dx2 y22．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在a2 b2抛物线y2＝4 7x的准线上，则双曲线的方程为()x2 y2 x2 y2A. －＝1 B．－＝121 28 28 21x2 y2 x2 y2C. －＝1 D．－＝13 4 4 3【解析】利用渐近线过已知点以及双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，列出方程组求解．b b由双曲线的渐近线y＝x过点(2，3)，可得3＝×2.①a a由双曲线的焦点(－a2＋b2，0)在抛物线y2＝4 7x的准线x＝－7上，可得a2＋b2＝7.②x2 y2由①②解得a＝2，b＝3，所以双曲线的方程为－＝1.4 3【答案】 Dx2 y2 y2 x23．双曲线－＝1，－＝1的离心率分别为e 1，e2，则e1＋e2的最小值为________．a2 b2 b2 a2a2＋b2 a2＋b2 a2＋b2 a2＋b2 【解析】由已知得e 1＝，e2＝，则e1＋e2＝＋＝( )a2＋b2a b a b1 1 1(b)2ab＋≥·2＝2 2.a ab【答案】 2 2x2 y2 4 10 3 10 4．已知双曲线－b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点为F1、F2，点P( 5 )在双曲，a2 5→→线的右支上，且|PF1|＝3|PF2|，PF1·PF2＝0，求双曲线的标准方程．【解】∵|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝3|PF2|，∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a.→ 3 104 10又PF1＝(－c－，－ 5 )，55→ 4 10 3 10＝，PF2 (c－，－5 )5→→4 10 3 10(5 )2－c2＋(5 )2＝0，∵PF1·＝PF2∴c2＝10.4 10 3 10 又|PF2|＝a，∴(c－5 )2＋(5 )2＝a2.∴a2＝4，∴b2＝c2－a2＝6.x2 y2故所求双曲线的标准方程为－＝1.4 66。

天一大联考2017-2018学年高中毕业班阶段性测试（三）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.{}2*|60A x N x x =∈-≤，{}0,2,6B =，则A B =（ ）A ．{}2,6B ．{}3,6C ．{}0,2,6D ．{}0,3,6i 是虚数单位，若复数1b iz ai-=+为纯虚数（a ，b R ∈），则||z =（ ） A ．1B ．2C ．2D ．33.如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为（ ）A ．64πB ．32πC ．16π D ．8π ()2x f x x a =-0a >）的最小值为2，则实数a =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16{}n a 满足212222nnn a aa ++=⋅，261036a a a ++=，581148a a a ++=，则数列{}n a 前13项的和等于（ ） A ．162B ．182C ．234D ．3461a ，2a ，…，10a 表示某培训班10名学员的成绩，其成绩依次为85,68,95,75,88,92,90,80,78,87．执行如图所示的程序框图，若分别输入i a 的10个值，则输出的1ni -的值为（ ）A ．35B ．13C ．710D ．797.如图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．16B ．32C ．48D ．600x >，0y >，0z >，且411y z x+=+，则x y z ++的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．12D ．16()|sin cos |22x x f x =-向左平移6π个单位长度，则所得函数的一条对称轴是（ ）A ．6x π=B ．4x π=C ．3x π=D ．23x π=(1,,)Q m -，P 是圆C ：22()(24)4x a y a -+-+=上任意一点，若线段PQ 的中点M 的轨迹方程为22(1)1x y +-=，则m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4P ABCD -302和32则该四棱锥外接球的表面积为（ ） A ．18πB ．323πC ．36πD ．48πC ：28y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，若R 为线段PQ 的中点，连接OR 并延长交抛物线C 于点S ，则||||OS OR 的取值范围是（ ） A ．(0,2)B ．[2,)+∞C ．(0,2]D ．(2,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.71(5)2x y -的展开式中25x y 的系数是 ．（用数值作答） x ，y 满足20,240,32120,x y x y x y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩则43y z x +=+的取值范围为 ．15.如图，在等腰梯形ABCD 中，122AD BC AB DC ====，点E ，F 分别为线段AB ，BC 的三等分点，O 为DC 的中点，则cos ,FE OF <>= ．(0,1)-与曲线323()62a f x x x x =-+-（0x >）相切的直线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） {}n a 的前3项分别为1，a ，b ，公比不为1的等比数列{}n b 的前3项分别为4，22a +，31b +． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）设22(log 1)n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n S ．ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足222222()tan 3()a c b B b c a +-=+-． （1）求角A ； （2）若ABC ∆的面积为32(43)cos cos bc A ac B -+ 19.某大型娱乐场有两种型号的水上摩托，管理人员为了了解水上摩托的使用及给娱乐城带来的经济收入情况，对该场所最近6年水上摩托的使用情况进行了统计，得到相关数据如表：年份201120122013201420152016年份代码x 1 2 3 4 5 6 使用率y （%）111316152021（1）请根据以上数据，用最小二乘法求水上摩托使用率y 关于年份代码x 的线性回归方程，并预测该娱乐场2018年水上摩托的使用率；（2）随着生活水平的提高，外出旅游的老百姓越来越多，该娱乐场根据自身的发展需要，准备重新购进一批水上摩托，其型号主要是目前使用的Ⅰ型、Ⅱ型两种，每辆价格分别为1万元、1.2万元．根据以往经验，每辆水上摩托的使用年限不超过四年．娱乐场管理部对已经淘汰的两款水上摩托的使用情况分别抽取了50辆进行统计，使用年限如条形图所示：已知每辆水上摩托从购入到淘汰平均年收益是0.8万元，若用频率作为概率，以每辆水上摩托纯利润（纯利润=收益-购车成本）的期望值为参考值，则该娱乐场的负责人应该选购Ⅰ型水上摩托还是Ⅱ型水上摩托？附：回归直线方程为y bx a =+,其中1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-．20.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，且22AD BC CD ==，PA PB PD ==．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）设45PAD ∠=︒，求二面角B PD C --的余弦值．21.如图，已知(3,0)F 为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，1B ，2B ，A 为椭圆的下、上、右三个顶点，2B OF ∆与2B OA ∆的面积之比为32．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）试探究在椭圆C 上是否存在不同于点1B ，2B 的一点P 满足下列条件：点P 在y 轴上的投影为Q ，PQ 的中点为M ，直线2B M 交直线0y b +=于点N ，1B N 的中点为R ，且MOR ∆的35．若不存在，请说明理由；若存在，求出点P 的坐标． ()ln ()f x x mx m R =-∈．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若方程()0f x =存在两个不同的实数根1x ，2x ，证明：12()2m x x +>．天一大联考2017-2018学年高中毕业班阶段性测试（三）数学（理科）答案一、选择题1-5:AADBB 6-10:CABCD 11、12：CD 二、填空题 13.52532-14.2(,2][,)32-∞-+∞ 15.12- 16.(2,)+∞ 三、解答题17.解：（1）由题意，得221,(22)4(31),a b a b =+⎧⎨+=+⎩解得1,1a b =⎧⎨=⎩（舍去）或3,5,a b =⎧⎨=⎩所以数列{}n a 的公差为2d =，通项公式为12(1)21n a n n =+-=-，即21n a n =-，数列{}n b 的公比为2q =，通项公式为11422n n n b -+=⋅=．（2）由（1）得211(21)(21)2121n c n n n n ==--+-+，所以1111112(1)()()133521212121n nS n n n n =-+-++-=-=-+++…． 18.解：（1）∵222222()tan )a c b B b c a +-=+-，∴由余弦定理，得2cos tan cos ac B B A =，即cos tan cos a B B A =．由正弦定理与同角三角函数基本关系，得sin sin cos cos cos BA B B A B⋅=，∴tan A =∴3A π=．（2）∵ABC ∆的面积为32，∴13sin 232bc π=，即bc =∴(cos cos cos bc A ac B A ac B -+=-+22222222b c a a c b ac bc ac+-+-=-+⋅22a b =-，1=．19.解：（1）由表格数据，得 3.5x =，16y =，61371i ii x y==∑，∴61622166i ii i i x y x yb x x==-=-∑∑3716 3.516217.5-⨯⨯==，∴162 3.59a =-⨯=，∴水上摩托使用率y 关于年份代码x 的线性回归方程为29y x =+．当8x =时，28925y =⨯+=，故预测该娱乐场2018年水上摩托的使用率为25%． （2）由频率估计概率，结合条形图知Ⅰ型水上摩托每辆可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2,0.3,0.3,0.2，∴每辆Ⅰ型水上摩托可产生的纯利润期望值1(0.81)0.2(20.81)0.3(30.81)0.3(40.81)0.21E ξ=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=（万元）．由频率估计概率，结合条形图知Ⅱ型水上摩托每辆可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.1,0.2,0.4和0.3，∴每辆Ⅱ型水上摩托可产生的纯利润期望值2(0.8 1.2)0.1(20.8 1.2)0.2(30.8 1.2)0.4(40.8 1.2)0.3 1.12E ξ=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=（万元）．20.（1）证明：如图，分别取AD ，AB 的中点O ，G ，连接OB ，OP ，OG ，PG ， 则四边形OBCD 为正方形， ∴OA OB =，∴OG AB ⊥． 又PA PB =，∴PG AB ⊥， ∴AB ⊥平面POG ，∴AB PO ⊥． ∵PA PD =，∴PO AD ⊥．又∵AB 与AD 为平面ABCD 内的两条相交直线，∴PO ⊥平面ABCD ． 又PO ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）解：由（1）知，以{},,OB OD OP 为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ， ∵45PAD ∠=︒，则由PO AD ⊥，知PO OA OB OD ===．令1OA OB OD ===，则(0,0,1)P ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ， ∴(1,0,1)PB =-，(0,1,1)PD =-，(1,0,0)CD =-． 设平面PBD 的法向量为1111(,,)n x y z =，则由11,,n PB n PD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，得110,0,n PB n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11110,0,x z y z -=⎧⎨-=⎩取11x =，得1(1,1,1)n =．又设平面PCD 的法向量为2222(,,)n x y z =，则由22,,n CD n PD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩得220,0,n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2220,0,x y z -=⎧⎨-=⎩取21y =，得2(0,1,1)n =，∴1212120116cos ,3||||32n n n n n n ⋅++<>===⋅⋅，又二面角B PD C --为锐角， ∴二面角B PD C --的余弦值为63．21.解：（1）由已知，得2213212B OF B OAbcS c S a ab ∆∆===． 又3c =2a =，结合222a b c =+，解得1b =，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=． （2）设00(,)P x y （00x ≠），则0(0,)Q y ，∴220014x y +=，00(,)2xM y ． 又∵2(0,1)B ，∴直线2B M 的方程为002(1)1y y x x -=+． ∵00x ≠，∴01y ≠，令1y =-，得0(,1)1x N y --． 又∵1(0,1)B -，则00(,1)2(1)x R y --，220000001||(1)22(1)1x x y MR y y y ⎡⎤+=-++=⎢⎥--⎣⎦．直线MR 的方程为0000()22x xy y x y -=--，即00220yy x x +-=， ∴点O 到直线MR的距离为1d ==，∴1||12MOR S MR d ∆=⋅==， 解得027y =，代入椭圆方程，得0x =，∴存在满足条件的点P，其坐标为2()7． 22.解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，11'()mxf x m x x-=-=． 当0m ≤时，'()0f x >，∴()f x 在区间(0,)+∞上单调递增．当0m >时，由'()0f x >，得10x m <<，∴()f x 在区间1(0,)m上单调递增， 由'()0f x <，得1x m >，∴()f x 在区间1(,)m+∞上单调递减.（2）由方程()0f x =存在两个不同的实数根1x ，2x ，可设120x x >>， ∵1()0f x =，2()0f x =，∴11ln 0x mx -=，22ln 0x mx -=， ∴1212ln ln ()x x m x x -=-，∴1212ln ln x x m x x -=-．要证12()2m x x +>，只需证121212ln ln 2x x x x x x ->-+，等价于1122122()ln x x x x x x ->+，设121x t x =>，上式转化为2(1)ln (1)1t t t t ->>+， 设2(1)()ln 1t g t t t -=-+，22(1)'()0(1)t g t t t -=>+， ∴()g t 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0g t g >=，∴2(1)ln 1t t t ->+，∴12()2m x x +>．。

重庆第十八中学2018-2019学年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是（）A．若a≠b≠0,a,b∈R,则a2+b2=0B．若a=b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0C．若a≠0且b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0D．若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0参考答案：D2. 函数f(x)为R上的偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，若，则满足的x的取值范围是（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】将不等式变为，由偶函数性质得出，由函数在上单调递减得出，解出即可.【详解】，由得，由于函数为偶函数，则，，函数在上单调递减，，可得或，解得或，因此，满足的的取值范围是，故选：C.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解函数不等式，同时也考查了对数不等式的求解，在解题时，若函数为偶函数，可利用性质，可将问题转化为函数在上的单调性求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3. 若a、b、c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )A． B．a2>b2 C．D．a|c|>b|c|参考答案：C4. 已知点F1、F2为双曲线的左右焦点，点M在双曲线上,且MF1x轴，则F1到直线F2M的距离为( )A. B. C. D.参考答案：C5. 过抛物线x2=4y的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p，q，则等于（）A．B．2 C．1 D．16参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】本题是选择题，可以利用特殊值法求解，设PQ的斜率 k=0，因抛物线焦点坐标为（0，1），把直线方程 y=1代入抛物线方程得p，q的值，代入可得答案．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点F为（0，1），设PQ的斜率 k=0，∴直线PQ的方程为y=1，代入抛物线x2=4y得：x=±2，即p=q=2，∴=+=1，故选：C．6. 在Rt△ABC中，，若一个椭圆经过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在边AB上，则这个椭圆的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：B7. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为( )A．B．C．D．参考答案：A考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；作图题．分析：由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．解答：解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选A．点评：本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力．8. 在△ABC 中，若a、b、c成等比数列，且c = 2a，则cos B等于（）A． B． C． D．参考答案：B略9. 执行如图所示的程序框图，若输出S的值为0.99，则判断框内可填入的条件是（）A．i＜100 B．i≤100C．i＜99 D．i≤98参考答案：A【考点】程序框图．【分析】由程序框图知：算法的功能是求S=++…+=1﹣的值，确定跳出循环的i值，从而得判断框应填的条件．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=++…+=1﹣的值，∵输出的结果为0.99，即S=1﹣=0.99，∴跳出循环的i=100，∴判断框内应填i≤99或i＜100．故选：A．10. 设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A． B． C．D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知实数满足则的最小值是.参考答案：112. 已知，且方程无实数根，下列命题：①方程也一定没有实数根；②若，则不等式对一切实数都成立；③若，则必存在实数，使④若，则不等式对一切实数都成立．其中正确命题的序号是．参考答案：①②④13. 已知复数满足（其中i为虚数单位），则复数= ▲．参考答案：14. 三角形两条边长分别为3 cm,5 cm，其夹角的余弦值是方程5x2-7x-6=0的根，则此三角形的面积是____________________.参考答案：6略15. y=的定义域是．参考答案：（]【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得答案．【解答】解：由，得0＜3x﹣2≤1，∴，∴y=的定义域是（]．故答案为：（]．16. 设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_____________。

一、单选题1．△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于( )A．B．C．或D．或2．已知定义在上的奇函数满足,数列的前项和为,且,则( )A．0B．0或1C．-1或0D．1或-13．设，，若是与的等比中项，则的最大值为（）A．B．C．D．4．若满足约束条件，则的最大值为（）A．4B．8C．2D．65．设，则“”是“且”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．有下列三个命题:①“若,则互为相反数”的逆命题;②“若,则”的逆否命题;③“若,则”的否命题.其中真命题的个数是( ).A．0 B．1 C．2 D．37．已知双曲线的离心率等于，直线与双曲线的左右两支各有一个交点，则的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知函数在区间上单调递减，则的最小值是（）A．B．C．D．9．由曲线围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．10．函数在点处的切线方程为（）A．B．C．D．11．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）A．B．C．D．12．已知复数满足（为虚数单位），则的共轭复数所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第II卷（非选择题）二、填空题13．已知函数的导函数为，且满足，则______．14．命题“若则”的逆否命题是______________.15．若数列的首项，且，则=________.16．在中三个内角C，所对的边分别是a，b，c，若（b+2sinC）cosA=-2sinAcosC，且a=2，则面积的最大值是________三、解答题17．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其面积为S，且求A；若，，求c．18．已知等差数列的前n项和为，且，，等比数列满足，．Ⅰ求数列，的通项公式；Ⅱ求的值．19．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为，过轴正半轴一点且斜率为的直线交椭圆于两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数使，若存在求出实数的值；若不存在需说明理由.20．如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝，M为BC的中点.（I）证明：AM⊥PM ；(II)求二面角P－AM－D的大小.参考答案1．D【解析】【分析】由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，可得BC＝1或BC＝2，分别利用面积公式计算面积即可得解.【详解】由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，即1＝3＋BC2－3BC，解得BC＝1或BC＝2，当BC＝1时，△ABC的面积S＝AB·BC sin B＝××1×＝.当BC＝2时，△ABC的面积S＝AB·BC sin B＝××2×＝，综上，△ABC的面积等于或.故选D.【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求解三角形，利用面积公式计算面积，属于基础题.2．A【解析】【分析】由满足f（x+2）=f（x），因此函数f（x）是周期为2的函数．由S n=2a n+2，利用递推关系可得a n．再利用周期性与奇函数的性质f（0）=0即可得出．【详解】∵,所以函数周期为2,∵数列满足,∴,,∴,即,∴以-2为首项,2为公比的等比数列,∴,∴,故选A.【点睛】本题考查了数列的递推关系、函数的奇偶性与周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．C【解析】【分析】先由等比中项化简得2x+y=1，进一步利用均值不等式求出结果．【详解】因为x＞0．y＞0，若是9x与3y的等比中项，则：，即：2x+y=1，由1=2x+y．（当且仅当2x=y=等号成立）即xy故选：C．【点睛】本题考查的是由基本不等式求最大值问题，也利用了等比数列的性质，属基础题．4．A【解析】【分析】作出可行域，根据目标函数求最值即可.【详解】作出可行域如图：作出直线，平移直线，当直线经过点A时，Z有最大值.由解得，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了线性规划最优解，属于中档题.5．B【解析】【分析】由“且”易得“”一定会成立，当且时，可得“”成立，但“且”不成立，从而得解.【详解】显然“且”成立时，“”一定会成立，所以是必要条件，当且时，“”成立，但“且”不成立，所以不是充分条件.故选B.【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断，属于基础题.6．B【解析】【分析】①写出命题的逆命题，可以进行判断为真命题；②原命题和逆否命题真假性相同，而通过举例得到原命题为假，故逆否命题也为假；③写出命题的否命题，通过举出反例得到否命题为假。

天一大联考2017—2018学年高中毕业班阶段性测试(三）数学（理科）第Ⅰ卷(共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合，，则（）A. B。

C. D.【答案】A【解析】由题意得，所以。

选A。

2。

已知是虚数单位，若复数为纯虚数（，），则( )A. B。

C. D.【答案】A【解析】由题意得为纯虚数，所以，故.所以。

选A。

3. 如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍。

若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为（）A. B. C。

D.【答案】D【解析】由题意得正方形的内切圆的半径为4,中间黑色大圆的半径为2,黑色小圆的半径为1,所以白色区域的面积为，由几何概型概率公式可得所求概率为。

选D.4. 已知函数（）的最小值为2,则实数（)A. 2B. 4 C。

8 D。

16【答案】B【解析】由得，故函数的定义域为，易知函数在上单调递增，所以，解得。

选B.5。

已知数列满足，，，则数列前项的和等于（）A。

162 B. 182 C。

234 D. 346【答案】B【解析】由条件得,所以，因此数列为等差数列。

又，，所以。

故.选B。

点睛：在等差数列项与和的综合运算中，要注意数列性质的灵活应用，如在等差数列中项的下标和的性质，即:若，则与前n项和公式经常结合在一起运用，采用整体代换的思想，以简化解题过程．6. 用,，…，表示某培训班10名学员的成绩，其成绩依次为85,68，95，75，88,92，90,80,78，87。

执行如图所示的程序框图,若分别输入的10个值,则输出的的值为( )A。

B。

C。

D。

【答案】C..。

.。

.。

.。

.。

.。

7。

如图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A。

16 B. 32 C。

48 D。

60【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体是一个四棱锥，高为4，底面为上底、下底分别为2，4，高为4的直角梯形，故此四棱锥的体积为。

卜人入州八九几市潮王学校大名县一中二零二零—二零二壹高二数学上学期18周周测试题理一、单项选择题1．△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，那么△ABC的面积等于()A．B．C．或者D．或者2．定义在上的奇函数满足,数列的前项和为,且,那么()A．0B．0或者1C．-1或者0D．1或者-13．设，，假设是与的等比中项，那么的最大值为〔〕A．B．C．D．4．假设满足约束条件，那么的最大值为〔〕A．4B．8C．2D．65．设，那么“〞是“且〞的〔〕A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．①“假设,那么②“假设,那么③“假设,那么).A．0B．1C．2D．37．双曲线的离心率等于，直线与双曲线的左右两支各有一个交点，那么的取值范围是〔〕A．B．C．D．8．函数在区间上单调递减，那么的最小值是〔〕A．B．C．D．9．由曲线围成的封闭图形的面积为〔〕A．B．C．D．10．函数在点处的切线方程为〔〕A．B．C．D．11．用数学归纳法证明，那么当时，左端应在的根底上加上〔〕A．B．C．D．12．复数满足〔为虚数单位〕，那么的一共轭复数所对应的点在〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第II卷〔非选择题〕二、填空题13．函数的导函数为，且满足，那么______．14．“假设那么〞______________.15．假设数列的首项，且，那么=________.16．在中三个内角C，所对的边分别是a，b，c，假设〔b+2sinC〕cosA=-2sinAcosC，且a=2，那么面积的最大值是________三、解答题17．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其面积为S，且求A；假设，，求c．18．等差数列的前n项和为，且，，等比数列满足，．Ⅰ求数列，的通项公式；Ⅱ求的值．19．椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为，过轴正半轴一点且斜率为的直线交椭圆于两点.〔1〕求椭圆的HY方程；〔2〕是否存在实数使，假设存在求出实数的值；假设不存在需说明理由. 20．如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝，M为BC的中点.〔I〕证明：AM⊥PM；(II)求二面角P－AM－D的大小.参考答案1．D【解析】【分析】由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，可得BC＝1或者BC＝2，分别利用面积公式计算面积即可得解.【详解】由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，即1＝3＋BC2－3BC，解得BC＝1或者BC＝2，当BC＝1时，△ABC的面积S＝AB·BC sin B＝××1×＝.当BC＝2时，△ABC的面积S＝AB·BC sin B＝××2×＝，综上，△ABC的面积等于或者.应选D.【点睛】此题主要考察了利用余弦定理求解三角形，利用面积公式计算面积，属于根底题.2．A【解析】【分析】由满足f〔x+2〕=f〔x〕，因此函数f〔x〕是周期为2的函数．由S n=2a n+2，利用递推关系可得a n．再利用周期性与奇函数的性质f〔0〕=0即可得出．【详解】∵,所以函数周期为2,∵数列满足,∴,,∴,即,∴以-2为首项,2为公比的等比数列,∴,∴,应选A.【点睛】此题考察了数列的递推关系、函数的奇偶性与周期性，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．3．C【解析】【分析】先由等比中项化简得2x+y=1，进一步利用均值不等式求出结果．【详解】因为x＞0．y＞0，假设是9x与3y的等比中项，那么：，即：2x+y=1，由1=2x+y．〔当且仅当2x=y=等号成立〕即xy应选：C．【点睛】此题考察的是由根本不等式求最大值问题，也利用了等比数列的性质，属根底题．4．A【解析】【分析】作出可行域，根据目的函数求最值即可.【详解】作出可行域如图：作出直线，平移直线，当直线经过点A时，Z有最大值.由解得，所以，应选A.【点睛】此题主要考察了线性规划最优解，属于中档题.5．B【解析】【分析】由“且〞易得“〞一定会成立，当且时，可得“〞成立，但“且〞不成立，从而得解.【详解】显然“且〞成立时，“〞一定会成立，所以是必要条件，当且时，“〞成立，但“且〞不成立，所以不是充分条件.应选B.【点睛】此题主要考察了充分条件与必要条件的判断，属于根底题.6．B【解析】【分析】【详解】①“假设,那么互为相反数〞互为相反数那么；“假设,那么〞，当a=-1,b=-2,时不满足，“假设,那么〞,那么，举例当x=5 故答案为：B.【点睛】7．B【解析】【分析】先由离心率等于求出双曲线的方程，再利用直线与双曲线的左右两支各有一个交点，联立直线方程与双曲线方程可得，根据方程根与系数的关系建立不等式组，即可求出的取值范围.【详解】双曲线的离心率等于,,可得,双曲线,直线与双曲线联立可得,直线与双曲线的左右两支各有一个交点,,,即的取值范围是，应选B.【点睛】此题主要考察双曲线的离心率、双曲线的几何性质，以及双曲线与直线的位置关系，意在考察对根底知识掌握的纯熟程度以及综合应用所学知识解答问题的才能，考察函数与方程思想的应用，属于综合题.8．A【解析】利用函数的导数，推出m，n的不等式组，然后利用线性规划，表达式的几何意义求解即可．【详解】∵，∴，∵在区间上单调递减，∴在区间上恒成立，∴，不等式组表示的可行域如图阴影局部，∴那么m2+n2的几何意义是可行域内的点与原点间隔的平方，显然原点到直线间隔最小，所以那么．应选：D．【点睛】此题考察函数的单调性，考察导数知识的综合运用，考察学生分析解决问题的才能，线性规划的应用，属于中档题．9．A【解析】【分析】先计算出两个图像的交点分别为，再利用定积分算两个图形围成的面积.封闭图形的面积为.选A.【点睛】此题考察定积分的应用，属于根底题.解题时注意积分区间和被积函数的选取.10．C【解析】【分析】点在曲线上，先求出点的纵坐标，再根据导数几何意义先求出切线的斜率，有直线的点斜式方程即可写出切线方程.【详解】，又切线方程是：应选C【点睛】此题考察导数的应用，近几年高考对导数的考察几乎年年都有，利用导数的几何意义，求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，曲线在点的导数就是曲线在该点的切线的斜率，我们通常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线有关的问题，用导数求切线方程的关键在于求切点坐标和斜率，分清是求在曲线某点处的切线方程，还是求过某点处的曲线切线方程.11．C【解析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=时，当n=k+1时左端应在n=k的根底上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案．【详解】当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+〔k+1〕2，增加了项〔k2+1〕+〔k2+2〕+〔k2+3〕+…+〔k+1〕2．应选：C．【点睛】此题主要考察数学归纳法，属于中档题./12．D【解析】【分析】利用复数的乘除运算性质可求得，从而可得，根据复数的几何意义可得解.【详解】因为，所以，其在复平面对应的点为，位于第四象限，应选D.【点睛】解答与复数有关的问题时，通常需要先把所给的复数化为a+bi 〔a，b∈R〕的形式，再根据题意求解,复数z=a+bi〔a,b∈R〕在复平面的对应点坐标是〔a，b〕13．【分析】将看成常数，利用导数的运算法那么求出，令求出代入，令求出．【详解】因为，所以，令得，，，故答案为6.【点睛】此题考察导数的运算法那么、考察通过赋值求出导函数值，意在考察对根底知识掌握的纯熟程度以及灵敏应用所学知识解答问题的才能，属于简单题．14．假设，那么【解析】【分析】.【详解】“假设那么〞，那么。

山东、湖北部分重点中学2018年第二次联考(理)数学试题（理工农医类）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（原创，容易）已知复数z 满足(1)3i z i -=-+，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B【考点】复数运算及几何意义.2．（原创，容易）已知全集{}{}2|560,12U x Z x x A x Z x =∈--<=∈-<≤，{}2,3,5B =，则()UA B =Ið （ ）A ．{}2,3,5B ．{}3,5C ．{}2,3,4,5D ．{}3,4,5【答案】B3.（原创，容易）在等差数列{}n a 中，7=14S ，则246a a a ++=（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C【考点】等差数列性质.4.（原创，容易）如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．8+43．8+23．4+43 D ． 4+23【答案】A【解析】三视图还原为三棱锥A BCD -，如左下图所示，则三棱锥A BCD -的表面积为A BCD S -=21422282⨯⨯⨯+⨯=+【考点】三视图还原及三棱锥的表面积.5.（原创，中档）已知 1.10.6122,3,log 3a b c ===,则,,a b c 的大小为（ ）A ．b c a >> B.a c b >> C. b a c >> D.a b c >> 【答案】D 【解析】 1.10.61220,30,log 30a b c =>=>=<, 1.10.622,32a b =>==<=【考点】指数函数对数函数的性质. 6.（原创，中档）若函数()sin(2)3f x x π=+图象的横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变,再向左平移6π得到函数()g x 的图象，则有（ ） A ．()cos g x x = B ．()sin g x x = C ．()cos()3g x x π=+ D ．()sin()3g x x π=+【答案】A【解析】：26sin(2)sin()sin()cos 332y x y x y x x ππππ=+−−−−−→=+−−−→=+=左移横坐标变为倍.【考点】正余弦型函数的图象变换.7.（原创，中档）已知命题:p 若a c b c ⋅=⋅r r r r ，则a b =r r ，命题:q 若2,a b a b +=<r r r r，则21b >r ，则有（ ）A ．p 为真 B.q ⌝为真 C. p q ∧为真 D.p q ∨为真 【答案】D【解析】p 为假，2,a b a b +=<r r r r2211b b b b ⇒>-⇒>⇒>u u r u u r u u r r ，q 为真. 则p q ∨为真，故选D【考点】向量数量积与模、不等式及简易逻辑. 8.2cos()4θθ=+，则sin 2θ=（ ）A ．13 B ．23 C ．23- D ．13- 【答案】C【解析】222(cos sin )322(cos sin )32cos sin θθθθθθθθ-=⇒+=⇒- 2244sin 23sin 2sin 23θθθ+=⇒=-或sin22θ=(舍),故选C考点：三角函数恒等变形．9.（原创，中档）如图所示，扇形AOB 的半径为2，圆心角为90o ，若扇形AOB 绕OA 旋转一周，则图中阴影部分绕OA 旋转一周所得几何体的体积为（ ） A ．3π B ．5π C ．83π D ．163π 【答案】C【解析】扇形AOB 绕OA 旋转一周所得几何体的体积为球体积的12，则321633V r ππ==，AOB ∆绕OA 旋转一周所得几何体的体积为31833r ππ⨯=，阴影部分旋转所得几何体的体积为83π，故选C【考点】旋转体体积、割与补.10．（原创，中档）函数22()41x x x f x ⋅=-的图象大致为（ ）A BC D【答案】A【解析】222()()()()4122x xx xx x f x f x f x f x -⋅==⇒-=-⇒--为奇函数，排除B ； ()0x f x →+∞⇒→；排除D ；2121(1=()()(1)3242f f f f =⇒<），，排除C ；故选A 【考点】函数性质及图象.11.（原创，中档）已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i 行，第j 列的数记为,i j a ，比如3242549,15,23，，，===a a a ，若,2017i j a =，则i j +=（ ）A ．64B ．65C ．71D ．72【答案】D【解析】奇数数列2120171009n a n n =-=⇒=， 按照蛇形排列，第1行到第i 行末共有(1)122i i i ++++=L 个奇数,则第1行到第44行末共有990个奇数；第1行到第45行末共有1035个奇数；则2017位于第45行；而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；故2017位于第45行，从右到左第19列，则45,2772i j i j ==⇒+=，故选D【考点】等差数列与归纳推理. 12.（原创，难）已知函数()22cos()4f x x x π=+，给出下列命题：①函数()f x 的最小正周期为2π；②函数()f x 关于4x π=对称；③函数()f x 关于3(,0)4π对称；④函数()f x 的值域为4646[，则其中正确的命题个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】D 【解析】()22cos()4f x x x π=+的周期显然为2π；()2)cos()22sin 422f x x x x x πππ+=++=； ()22)cos()22sin 422f x x x x x πππ-=-+-+=；()()44f x f x ππ+=-，故②正确.33()2)cos()22cos 42f x x x x x πππ+=++=- 33()22)cos()22cos 42f x x x x x πππ-=-+-+=；33()()44f x f x ππ+=--，故③正确. 2()(cos sin )(cos sin )f x x x x x =+-，设22cos sin (cos sin )2x x t x x t +=⇒-=-，则[2,2]t ∈，32y t t =-2min max 64646230y t t y y '=-=⇒=⇒==，故④正确 【考点】三角恒等变形、函数周期性、对称性及值域. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.（原创，容易）若(,2),(1,1)a x b x ==-r r，若()()a b a b +⊥-r r r r ，则x = ．【答案】1-【解析】22()()1a b a b a b x +⊥-⇒=⇒=-r r r r r r【考点】向量坐标运算及向量垂直.14.（原创，容易）已知实数,x y 满足102400x y x y x -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为 ．【答案】5【解析】由题意可得可行域为如图所示（含边界），11222z x y y x z =+⇒=-+，则在点(1,2)A 处取得最小值5【考点】基本型的线性规划15.（原创，中档）已知在数列{}n a 的前n 项之和为n S ，若1112,21n n n a a a -+==++，则10S = ．【答案】1078【解析】111112,2121n n n n n n a a a a a --++==++⇒-=+11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---⇒=-+-++-+-+⇒L 23122211n n n a n a --=+++++-+L .111212212n n n n ---=+-+=+-. 29101011122210782S ⨯=+++++=L . 【考点】等差等比数列及均值不等式16.（原创，难）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，若224SC ≤≤，则四棱锥S ABCD -的体积取值范围为 ． 【答案】438]3【解析】如图所示，四棱锥S ABCD -中，可得：;AD SA AD AB AD ⊥⊥⇒⊥平面SAB ⇒平面SAB ⊥平面ABCD ，过S 作SO AB ⊥于O ，则SO ⊥平面ABCD ，故1433S ABCD ABCD V S SO SO -=⋅=，在SAB ∆中，2SA AB ==，设SAB θ∠=，则有，232cos SC θ=-,又224SC ≤≤112cos [,]2233ππθθ⇒-≤≤⇒∈，则2sin [3,2]SO θ=∈，四棱锥S ABCD -的体积取值范围为438]3【考点】线面垂直、面面垂直、解三角不等式及体积范围.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分12分）（原创，容易）已知单调的等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若339S =，且43a 是65,a a -的等差中项.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若数列{}n b 满足321log n n b a +=，且{}n b 前n 项的和为n T ，求1231111nT T T T ++++L . 【答案】(Ⅰ) 3nn a = ；(Ⅱ)43（18）解：(Ⅰ) 24656603a a a q q q =-⇒--=⇒=或2q =-（舍）；………………3分3131(1)3931a q S a q-==⇒=-…………………5分 3nn a =……………………6分(Ⅱ) 213log 321n n b n +==+；………………7分 3521(2)n T n n n =++++=+L ………………8分 11111()(2)22n T n n n n ==-++………………10分 1231111111111111111()()()()21322423522n T T T T n n ⇒++++=-+-+-+-+L L 12311111311()2212n T T T T n n ⇒++++=--++L ……………………12分 【考点】等比数列基本量运算、数列求和 18．（本题满分12分）（原创，中档）设函数()2sin()cos 3f x x x π=+-(Ⅰ) 求()f x 的单调增区间；(Ⅱ) 已知ABC ∆的内角分别为,,A B C，若()2A f =ABC ∆能够盖住的最大圆面积为π，求AB AC ⋅u u u r u u u r的最小值.【答案】(Ⅰ) 5[,],1212k k k Z ππππ-++∈ ；(Ⅱ)6 （18）解：(Ⅰ) 313()2sin()cos sin 2232f x x x x x π=+-=+……3分 sin(2)3x π=+……………4分5222,2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+⇒-+≤≤+∈…………5分 ()f x 的单调增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-++∈……6分 (Ⅱ) 由余弦定理可知：222a b c bc =+-……7分 由题意可知：ABC ∆的内切圆半径为1……8分ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则23b c a +-=9分222(23)b c b c bc +-=+-……………10分 4334()812bc b c bc bc ⇒+=+≥⇒≥或43bc ≤（舍）……11分 1[6,)2AB AC bc ⋅=∈+∞u u u r u u u r ，当且仅当b c =时，AB AC ⋅u u u r u u u r的最小值为6 (12)分令也可以这样转化：312r a b c =⇔++=……9分 代入2223()2b c b c bc +-=+-；……………10分 4334()812bc b c bc bc ⇒+=+≥⇒≥或43bc ≤（舍）；……………11分 1[6,)2AB AC bc ⋅=∈+∞u u u r u u u r ，当且仅当b c =时，AB AC ⋅u u u r u u u r的最小值为6.……………12分【考点】三角函数式化简、正余弦型函数性质、解三角形及均值不等式求最值.19．（本题满分12分）（原创，中档）如图，三棱台111ABC A B C -中， 侧面11A B BA 与侧面11A C CA 是全等的梯形，若1111,A A AB A A A C ⊥⊥,且11124AB A B A A ==.（Ⅰ）若12CD DA =u u u r u u u u r ，2AE EB =u u u r u u u r，证明：DE ∥平面11BCC B ； （Ⅱ）若二面角11C AA B --为3π，求平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值.19.（Ⅰ）证明：连接11,AC BC ，梯形11A C CA ，112AC A C =,易知：111,2AC AC D AD DC ==u u u r u u u u rI ……2分； 又2AE EB =u u u r u u u r，则DE ∥1BC ……4分；1BC ⊂平面11BCC B ，DE ⊄平面11BCC B ，可得：DE ∥平面11BCC B ……6分； （Ⅱ）侧面11A C CA 是梯形，111A A AC ⊥，1AA AC ⇒⊥,1A A AB ⊥,则BAC ∠为二面角11C AA B --的平面角， BAC ∠=3π……7分； 111,ABC A B C ⇒∆∆均为正三角形，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设11AA =，则11112,A B AC ==4AC AC ==,故点1(0,0,1)A ，(0,4,0),C 1(23,2,0),(3,1,1)B B ……9分；设平面11A B BA 的法向量为111(,,)m x y z =u r，则有：111111030(1,3,0)030m AB x y m m AB x y z ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=++=⎪⎩u r u u u ru r ur u u u u r ……10分； 设平面11C B BC 的法向量为222(,,)n x y z =r，则有：22122200030m CB ynm CB y z⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=-+=⎪⎩u r u u u rru r u u u r……11分；1cos,4m nm nm n⋅<>==-u r ru r ru u r u u r，故平面11A B BA与平面11C B BC所成的锐二面角的余弦值为14……12分；【考点】线面平行证明及二面角计算.20. （本题满分12分）设函数2()2(2)23xf x x e ax ax b=--++-（原创，中档）（Ⅰ）若()f x在0x=处的法线（经过切点且垂直于切线的直线）的方程为240x y++=，求实数,a b的值；（原创，难）（Ⅱ）若1x=是()f x的极小值点，求实数a的取值范围.（Ⅰ）解：()2(1)22xf x x e ax a'=--+；……………………2分；由题意可知：(0)2f'=；……………………3分；(0)2222f a a'=-+=⇒=；………………4分；易得切点坐标为(0,2)-，则有(0)21f b=-⇒=；………………5分；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：()2(1)222(1)()x xf x x e ax a x e a'=--+=--；………………6分；（1）当0a≤时，0()01xe af x x'->⇒=⇒=，(,1)()0x f x'∈-∞⇒<；(1,)()0x f x'∈+∞⇒>；1x=是()f x的极小值点，∴0a≤适合题意；………………7分；（2）当0a e<<时，1()01f x x'=⇒=或2lnx a=，且ln1a<；(,ln)()0x a f x'∈-∞⇒>；(ln,1)()0x a f x'∈⇒<；(1,)()0x f x'∈+∞⇒>；1x=是()f x的极小值点，∴0a e<<适合题意；………………9分；（2）当a e≥时，1()01f x x'=⇒=或2lnx a=，且ln1a≥；(,1)()0x f x '∈-∞⇒>；(1,ln )()0x a f x '∈⇒<；(ln ,)()0x a f x '∈+∞⇒>； 1x =是()f x 的极大值点，∴a e ≥不适合题意；…………11分综上，实数a 的取值范围为a e <；………………12分；【考点】函数切线及函数极值.21.（本题满分12分） 已知函数()(ln 1)1f x x x ax ax =⋅++-+．（原创，中档）（Ⅰ）若()f x 在[1,)+∞上是减函数，求实数a 的取值范围.（原创，难）（Ⅱ）若()f x 的最大值为2，求实数a 的值.（Ⅰ）()ln 220f x x ax a '=++-≤在[1,)+∞恒成立……1分；2ln 12x a x+⇒≤-在[1,)+∞恒成立……2分； 设2ln (),[1,)12x g x x x+=∈+∞-，则2122ln ()(12)x x g x x ++'=-，由1x ≥得：()0g x '>……3分； ()g x 在[1,)+∞上为增函数1x ⇒=，()g x 有最小值(1)2g =-. ∴2a ≤-；……4分； （Ⅱ）注意到(1)2f =，又()f x 的最大值为2，则(1)0f '=202a a ⇒+=⇒=-；………………6分下面证明：2a =-时，()2f x ≤，即()(ln 21)210f x x x x x =⋅-++-≤,1ln 230x x x⇔--+≤；……………7分 设1()ln 23,(0,)h x x x x x =--+∈+∞；……………8分 22221121(21)(1)()2x x x x h x x x x x-+++-'=-+==……………9分 (0,1)()0()x h x h x '∈⇒>⇒在(0,1]上为增函数；(1,)()0()x h x h x '∈+∞⇒<⇒在[1,)+∞上为减函数；……………10分1()x h x =⇒有最大值(1)0h =；……………11分()(1)0h x h ≤=()(ln 21)210f x x x x x ⇔=⋅-++-≤∴2a =-适合题意；……………12分【考点】导函数单调性、函数最值及不等式证明.选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】（原创，容易）已知直线l 的参数方程为()x t t y a t=⎧⎨=-⎩为参数．以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系, 圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（Ⅰ）求直线l 与圆C 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 分圆C 所得的弧长之比为3:1，求实数a 的值．解：（Ⅰ）由题意知：2224cos 4cos 40x x y ρθρρθ=⇒=⇒-+=…………3分， 0x t x y a x y a y a t =⎧⇒+=⇒+-=⎨=-⎩；…………5分 （Ⅱ）222240(2)4x x y x y -+=⇒-+=；…………6分，直线l 分圆C 所得的弧长之比为3:1⇒弦长为8分，d ⇒==9分，0d a ⇒==⇒=或4a =；…………10分，【考点】方程互化、圆弦长.23．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】（原创，容易）已知函数()241f x x x =-++,（Ⅰ）解不等式()9f x ≤；（Ⅱ）若不等式()2f x x a <+的解集为A ，{}230B x x x =-<，且满足B A ⊆，求实数a 的取值范围.23. 解：（Ⅰ）()9f x ≤可化为2419x x -++≤2339x x >⎧⎨-≤⎩，或1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩，或1339x x <-⎧⎨-+≤⎩；…………………………2分 24x <≤，或12x -≤≤，或21x -≤<-； ……………………4分不等式的解集为[2,4]-；……………………………5分（Ⅱ）易知(0,3)B =；…………………………6分所以B A ⊆，又2412x x x a -++<+在(0,3)x ∈恒成立；…………………………7分 241x x a ⇒-<+-在(0,3)x ∈恒成立；…………………………8分1241x a x x a ⇒--+<-<+-在(0,3)x ∈恒成立；…………………………9分(0,3)(0,33)35a x a x x x >-⎧⎨>-∈∈+⎩在恒成立在恒成立05a a a ≥⎧⇒⇒≥5⎨≥⎩………………………10分 【考点】绝对值不等式解法、不等式恒成立.齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高三第二次调研联考数学（理）参考答案及评分标准1．【答案】B2．【答案】B3.【答案】C4.【答案】A5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】D8.【答案】C9.【答案】C10．【答案】A11.【答案】D12.【答案】D13.【答案】1-14.【答案】515.【答案】107816.【答案】8]317.【答案】(Ⅰ) 3n n a = ；(Ⅱ)43解：(Ⅰ) 24656603a a a q q q =-⇒--=⇒=或2q =-（舍）；………………3分3131(1)3931a q S a q-==⇒=-…………………5分 3n n a =……………………6分(Ⅱ) 213log 321n n b n +==+；………………7分 3521(2)n T n n n =++++=+L ………………8分11111()(2)22n T n n n n ==-++………………10分1231111111111111111()()()()21322423522n T T T T n n ⇒++++=-+-+-+-+L L 12311111311()2212n T T T T n n ⇒++++=--++L ……………………12分 【考点】等比数列基本量运算、数列求和18．【答案】(Ⅰ) 5[,],1212k k k Z ππππ-++∈ ；(Ⅱ)6 解：(Ⅰ) 313()2sin()cos sin 223222f x x x x x π=+-=+……3分 sin(2)3x π=+……………4分 5222,2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+⇒-+≤≤+∈…………5分 ()f x 的单调增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-++∈……6分 (Ⅱ) 由余弦定理可知：222a b c bc =+-……7分由题意可知：ABC ∆的内切圆半径为1……8分ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则23b c a +-=9分222(23)b c b c bc +-=+-……………10分4334()812bc b c bc bc ⇒+=+≥⇒≥或43bc ≤（舍）......11分 1[6,)2AB AC bc ⋅=∈+∞u u u r u u u r ， 当且仅当b c =时，AB AC ⋅u u u r u u u r 的最小值为6. (12)分 令也可以这样转化：31r a b c =⇔++=……9分 代入2223()2b c b c bc +-=+-；……………10分 4334()812bc b c bc bc ⇒+=+≥⇒≥或43bc ≤（舍）；……………11分1[6,)2AB AC bc ⋅=∈+∞u u u r u u u r ， 当且仅当b c =时，AB AC ⋅u u u r u u u r 的最小值为6.……………12分19．19.（Ⅰ）证明：连接11,AC BC ，梯形11A C CA ，112AC A C =,易知：111,2AC AC D AD DC ==u u u r u u u u r I ……2分； 又2AE EB =u u u r u u u r ，则DE ∥1BC ……4分；1BC ⊂平面11BCC B ，DE ⊄平面11BCC B ，可得：DE ∥平面11BCC B ……6分；（Ⅱ）侧面11A C CA 是梯形，111A A AC ⊥，1AA AC ⇒⊥,1A A AB ⊥,则BAC ∠为二面角11C AA B --的平面角， BAC ∠=3π……7分； 111,ABC A B C ⇒∆∆均为正三角形，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设11AA =，则11112,A B AC ==4AC AC ==,故点1(0,0,1)A ，(0,4,0),C1(23,2,0),(3,1,1)B B ……9分；设平面11A B BA 的法向量为111(,,)m x y z =u r ，则有：111111030(1,3,0)030m AB x y m m AB x y z ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=++=⎪⎩u r u u u r u r u r u u u u r ……10分； 设平面11C B BC 的法向量为222(,,)n x y z =r ，则有：2212220303,23)0330m CB x y n m CB x y z ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=-+=⎪⎩u r u u u r r u r u u u r ……11分；1cos ,4m n m n m n⋅<>==-u r r u r r u u r u u r ， 故平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值为14……12分； 20.（Ⅰ）解：()2(1)22x f x x e ax a '=--+；……………………2分；由题意可知：(0)2f '=；……………………3分； (0)2222f a a '=-+=⇒=；………………4分；易得切点坐标为(0,2)-，则有(0)21f b =-⇒=；………………5分；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：()2(1)222(1)()x xf x x e ax a x e a '=--+=--；………………6分；（1）当0a ≤时，0()01x e a f x x '->⇒=⇒=，(,1)()0x f x '∈-∞⇒<；(1,)()0x f x '∈+∞⇒>；1x =是()f x 的极小值点，∴0a ≤适合题意；………………7分；（2）当0a e <<时，1()01f x x '=⇒=或2ln x a =，且ln 1a <；(,ln )()0x a f x '∈-∞⇒>；(ln ,1)()0x a f x '∈⇒<；(1,)()0x f x '∈+∞⇒>； 1x =是()f x 的极小值点，∴0a e <<适合题意；………………9分；（2）当a e ≥时，1()01f x x '=⇒=或2ln x a =，且ln 1a ≥；(,1)()0x f x '∈-∞⇒>；(1,ln )()0x a f x '∈⇒<；(ln ,)()0x a f x '∈+∞⇒>； 1x =是()f x 的极大值点，∴a e ≥不适合题意；…………11分综上，实数a 的取值范围为a e <；………………12分；21.（Ⅰ）()ln 220f x x ax a '=++-≤在[1,)+∞恒成立……1分； 2ln 12x a x+⇒≤-在[1,)+∞恒成立……2分； 设2ln (),[1,)12x g x x x+=∈+∞-，则2122ln ()(12)x x g x x ++'=-，由1x ≥得：()0g x '>……3分；()g x 在[1,)+∞上为增函数1x ⇒=，()g x 有最小值(1)2g =-. ∴2a ≤-；……4分； （Ⅱ）注意到(1)2f =，又()f x 的最大值为2，则(1)0f '=202a a ⇒+=⇒=-；………………6分下面证明：2a =-时，()2f x ≤，即()(ln 21)210f x x x x x =⋅-++-≤,1ln 230x x x⇔--+≤；……………7分 设1()ln 23,(0,)h x x x x x =--+∈+∞；……………8分 22221121(21)(1)()2x x x x h x x x x x -+++-'=-+==……………9分 (0,1)()0()x h x h x '∈⇒>⇒在(0,1]上为增函数；(1,)()0()x h x h x '∈+∞⇒<⇒在[1,)+∞上为减函数；……………10分1()x h x =⇒有最大值(1)0h =；……………11分()(1)0h x h ≤=()(ln 21)210f x x x x x ⇔=⋅-++-≤∴2a =-适合题意；……………12分22．解：（Ⅰ）由题意知：2224cos 4cos 40x x y ρθρρθ=⇒=⇒-+=…………3分， 0x t x y a x y a y a t=⎧⇒+=⇒+-=⎨=-⎩；…………5分 （Ⅱ）222240(2)4x x y x y -+=⇒-+=；…………6分，直线l 分圆C 所得的弧长之比为3:1⇒弦长为8分，d ⇒==9分，0d a ⇒==⇒=或4a =；…………10分，23. 解：（Ⅰ）()9f x ≤可化为2419x x -++≤2339x x >⎧⎨-≤⎩，或1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩，或1339x x <-⎧⎨-+≤⎩；…………………………2分24x <≤，或12x -≤≤，或21x -≤<-； ……………………4分不等式的解集为[2,4]-；……………………………5分（Ⅱ）易知(0,3)B =；…………………………6分所以B A ⊆，又2412x x x a -++<+在(0,3)x ∈恒成立；…………………………7分 241x x a ⇒-<+-在(0,3)x ∈恒成立；…………………………8分1241x a x x a ⇒--+<-<+-在(0,3)x ∈恒成立；…………………………9分 (0,3)(0,33)35a x a x x x >-⎧⎨>-∈∈+⎩在恒成立在恒成立05a a a ≥⎧⇒⇒≥5⎨≥⎩………………………10分。

湘乡一中2018-2018高二数学12月月考试题 (理)一、选择题（每题5分，共40分）1.数列1，3，6，10，…的一个通项公式是 （ ）A. a n =n 2-(n-1) B . a n =n 2-1 C. a n =2)1(+n n D. a n =2)1(-n n 2. 2b ac =是a,b,c 成等比数列的 （ ）A 、充分不必要B 、必要不充分C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3．已知椭圆125222=+y ax )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为 （ ）（A ）10 （B ）20 （C ）241（D ） 4144．△ABC 中，cos cos A a B b=，则△ABC 一定是 ( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形5. 在△ABC 中，∠A =60°,a =6,b =4,满足条件的△ABC ( )(A )无解 (B )有解 (C )有两解 (D )不能确定6．若110a b<<，则下列不等式中，正确的不等式有 ( ) ①a b ab +< ②a b > ③a b < ④2b a a b+> A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7过抛物线2y ax =(a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则11p q+等于 （ ） （A ）2a （B ）12a （C ）4a （D ）4a8． 给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（ ）二． 填空题：（每题5分，共35分）9．140,0,1x y x y>>+=若且，则x y +的最小值是 ． 10. 已知钝角△ABC 的三边a =k ，b=k+2，c=k+4，求k 的取值范围 .11．椭圆13610022=+y x 上的点P 到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的距离是 ．12．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是 ． 13． 如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是 ． 14．双曲线221169x y -=的左焦点到渐近线的距离为________。