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因 式 分 解（2） 利用公式法一、利用公式分解因式：1、利用平方差公式因式分解：()()b a b a b a -+=-22 注意：①条件：两个二次幂的差的形式；②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么。
例如：分解因式：（1）291x -； （2）221694b a -； （3）22)(4)(n m n m --+2、利用完全平方公式因式分解：()2222b a b ab a ±=+± 注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成 222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量。
例如：分解因式：（1）2961x x +-； ⑵ 36)(12)(2+---n m n m 1682++x x 典型例题：1、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。
例1、 分解因式：（1）x 2-9； （2）9x 2-6x+1。
2、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。
例2、 分解因式：（1）x 5y 3-x 3y 5； （2）4x 3y+4x 2y 2+xy 3。
3、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解.例3、 分解因式：(1)4x 2-25y 2; (2)4x 2-12xy 2+9y 4.4、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止.例4、 分解因式:(1)x 4-81y 4; (2)16x 4-72x 2y 2+81y 4.5、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。
《因式分解》说课稿一、说教材1、关于地位与作用。
说课的内容：北师大版八年级数学下册第二章《分解因式》的第一课。
就本节课而言，它是整式乘法的逆向变形,与整式乘法运算有着密切的联系.着重阐述了两个方面，一是分解因式的概念，二是与整式乘法的相互关系。
它是继整式乘法的基础上来讨论分解因式概念，从而通过探究与整式乘法的关系，来寻求分解因式的原理。
这一思想实质贯穿后继学习的各种分解因式方法。
通过这节课的学习，不仅使学生掌握分解因式的概念和原理，而且又为后面学习分式化简,解方程等作好了充分的准备。
因此，它起到了承上启下的作用。
2、关于教学目标。
（一）知识与技能目标：①了解因式分解的必要性；②深刻理解因式分解的概念；③掌握从整式乘法得出分解因式的方法。
（二）过程与方法利用小学学过的分解因数知识与七年级的整式乘法的知识,采用类比方法进行教学.让学生体验分解因式的必要性；促进学生对分解因式概念的理解.感受整式乘法与因式分解的互逆关系；发展学生观察,发现,归纳,概括等能力以及有条理的思考与语言表达能力.学生采用独立思考与合作交流相结合的方法．（三）情感态度价值观：分解因式是代数式的一种重要变形方法，它不仅用于计算，化简，求值，解方程和不等式的代数内容，而且在几何，三角等解题与记忆中扮演着重要角色，它是学生开发智力，磨练思维的有效方法和手段，学生的品质和意志在此可以充分得到锻炼和升华．3、关于教学重点与难点。
重点：因式分解的概念以及与整式乘法的关系。
难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系，以及它们之间的关系进行因式分解的思想。
二、说过程与方法。
一.创建问题情境,利用分解因数类比分解因式。
1.993-99能被100整除吗?你是怎样思考的?可能学生是用计算器按的结果,970200,然后说能被100整除.这时可以引导学生即9702×100.并板书.然后可以让学生想想还有其他方法吗?如果学生回答不到点子上,可以引导学生思考如果不用计算器该怎样解决这个问题.安排这一过程的意图是：引导学生把这个数式分解成几个数的积的形式,进而类比数式的分解因数引出多项式的分解因式.2.想一想993-99还能被那些正整数整除?3.怎样解决上述问题的关键是什么?安排这一过程的意图是：让学生体会把数式化成几个数的积的形式是解决这类问题的关键,从而为引出分解因式的概念奠定基础.4.议一议:你能尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗?鼓励学生类比数的分解将a3-a分解.二. 建立分解因式模型,理解与整式乘法的关系做一做:计算下列各式:(1)3x(x-1)=_____________(2)m（a+ b+c）=__________(3)(m+n)(m-n)=____________(4)(y-3)2=____________根据上面的算式填空:(1) 3x2- 3x=___________(2) m2-n2= __________(3)ma+ mb+mc= ____________(4)y2-6y+9 =___________安排这一过程的意图是：一是复习整式的乘法，激活学生原有整式乘法的认知结构，促使新旧认知结构的联结，满足“温故而知新”的教学原理。
八年级数学（下）第二章《因式分解》课时训练（魏英霞）2.1分解因式【考点演练】1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为(1)、bx ax b a x -=-)( (2)、222)1)(1(1y x x y x ++-=+- （3)、)1)(1(12-+=-x x x （4)、c b a x c bx ax ++=++)( （5).12a 2b =3a ·4ab ( 6).(x +3）（x －3）=x 2－9(7).4x 2+8x －1=4x （x +2）－1 (8).21ax －21ay =21a （x －y ） (9). (a +3)(a -3)=a 2-9 (10).x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 (11).x 2+1=x (x +x1) (12)、z yz z y z z y yz +-=+-)2(22422、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（ ）A 、46-bB 、64b -C 、46+bD 、46--b3、已知多项式c bx x ++22分解因式为)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为（ ）A 、1,3-==c bB 、2,6=-=c bC 、4,6-=-=c bD 、6,4-=-=c b4、若 , ),4)(3(2==-+=++b a x x b ax x 则 5、若x+5,x-3都是多项式152--kx x 的因式，则k=_________. 2.2提公因式法【考点演练】1、322236129xy y x y x -+中各项的公因式是__________。
2、将多项式3222231236b a b a b a +--分解因式时，应提取的公因式是（ ） （A ）ab 3- （B ）223b a - （C ）b a 23- （D ）333b a - 3、下列各式分解正确的是（ ）A.)34(391222xy xyz y x xyz -=- B.)1(333322+-=+-a a y y ay y aC.)(2z y x x xz xy x -+-=-+- D.)5(522a ab b ab b a +=-+4、下列各式的因式分解中正确的是（ ） (A) -a 2+ab -ac = -a (a +b -c )(B)9xyz -6x 2y 2=3xyz (3-2xy ) （C) 3a 2x -6bx +3x =3x (a 2-2b ) (D)21xy 2+21x 2y =21xy (x +y ) 5、下列各式从左到右的变形错误的是（ ） A ．22)()(y x x y -=-B ．)(b a b a +-=-- C.33)()(a b b a --=- D.)(n m n m +-=+- 6、 m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于（ ）(A). (a -2)(m 2+m ) (B). (a -2)(m 2-m ) (C). m (a -2)(m -1) (D). m (a -2)(m+1) 7、把多项式()()a p a p -+-112分解因式的结果是（ ）A 、()()p p a +-21 B 、()()p p a --21 C 、()()11--p a p D 、()()11+-p a p8、已知x +y =6，xy =4，则x 2y +xy 2的值为 ; 9、若a+b=7,ab=10,则22ab b a +的值应是 9、把下列各式分解因式（1）222axy y x a - （2）5335y x y x +- （3）23)(10)(5x y y x -+-（4）)3()3(2a a -+- （5）c ab ab abc 249714+-- （6）228168ay axy ax-+-（7）32)(12)(18b a b a b ---； （8）mn(m －n)－m(n －m) （9）a 2(x -y )+b 2(y -x )2.3运用公式法—平方差公式 【考点演练】1、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是____________________。
【本章学习目标】本章主要内容是分解因式的意义及分解因式的四种基本方法．分解因式是整式乘法的逆变形．分解因式的结果须满足下列条件：①积的形式；②每一个因式都是整式；③随着数范围的扩大，因式分解的结果也不相同，现阶段在有理数范围内的分解，必须保证每一个因式不能再分解．分解因式的四种基本方法：①提公因式法．这是分解因式最基本的也是最常用的方法，其关键是找出多项式各项的公因式．公因式的系数取各项系数的最大公约数，字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．②运用公式法．将五个乘法公式反过来运用就得到了因式分解公式．用公式法因式分解的关键是要熟悉各公式的形式和特点，根据多项式的项数、次数来选择运用公式．③分组分解法．它是为提公因式法和运用公式法来创造条件，即把多项式各项先适当分组，分组后能够提公因式或适用于某一公式进行分解因式．④十字相乘法．它是分解二次三项式的一种常用方法，可将二次三项式c bx ax ++2的二次项系数a及常数项c ，分解为两个因数的乘积，如：，然后按斜线交叉相乘，若有21c a +12c a b =(一次项系数)，则有：))((22112c x a c x a c bx ax ++=++．由于分解因式题型广泛，方法灵活，所以熟练地掌握这四种基本方法，具体问题具体分析，合理地运用是非常重要的．同时这部分内容将在分式通分和约分时有着直接的应用，在解方程以及三角函数式的恒等变形等方面也经常用到．因此，读者应给予足够重视．【基础知识精讲】1．经历从分解因数到分解因式的类比过程．2．了解分解因式的意义，以及它与整式乘法的关系． 3．感受分解因式在解决相关问题中的作用．【重点难点解析】掌握从因数分解到因式分解的类比思想方法十分重要． A ．重点、难点提示1．经历从分解因数到分解因式的类比过程。
2．了解分解因式的意义，以及它与整式乘法的关系。
（这一点很重要）3．感受分解因式在解决相关问题中的作用。
322281224yxyyx+--()()2216yxyx--+a a-3第二章因式分解复习（编号：复02）知识点回顾1、因式分解的定义；把一个多项式化成几个整式的的形式。
2、因式分解与整式乘法的关系：。
根据箭头指向写出属于什么变形。
3、因式分解的方法；（1）提公因式法，如：ma+mb+mc= 。
（2）公式法，平方差公式：。
完全平方公式：。
一、课堂练习（A 组题）1、下列从左到右是因式分解的是（）A. x(a－b)=ax－bxB. x2－1+y2=(x－1)(x+1)+y2C. x2－1=(x+1)(x－1)D. ax+bx+c=x(a+b)+c2、下列因式分解中，正确的是（）A．3m2－6m=m(3m－6) B．a2b+ab+a=a(ab+b)C．－x2+2xy－y2=－(x－y)2D．x2+y2=(x+y)23、下列多项式，不能运用平方差公式分解的是（）A、42+-m B、22yx--C、122-yx D、()()22amam+--4.若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m=( )A.3B.-5C.7.D.7或-15、若9x2+axy+4y2是完全平方式,则a=6、把下列各式因式分解.(1) (2)(3)（4）4p(1-q)3+2(q -1)2二、课堂练习（B组题）3、因式分解（1）（2）)(2)(3xyyxa---（3）（4）（5）4.已知x－y=1,xy=2，5、利用因式分解说明：求x3y－2x2y2+xy3的值. 127636-能被140整除。
6.计算：(1)（－2）101＋（－2）100 (1)32004＋32003课后作业1、下列各式从左到右的变形，是因式分解的是：（）A、()224168-=+-xxx B、()()103252-+=-+xxxxC、xxxxx6)3)(3(692+-+=+-D、()()()()2332-+=+-xxxx32232ab b a b a ++22==+ab b a2、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）A 、22)(b a -+；B 、mn m 2052-；C 、22y x --，D 、92+-x ；3、若x 2－8x+m 是完全平方式,则m= .4、若9x 2+axy+4y 2是完全平方式,则a= .5、223,1,x y xy x y +=-=+=则 6、因式分解（1） （2） （3）（4） 21222++x x （5）(m+n)2－6(m+n)+9（6）4x 2－(y+z)2 （7）7.8、已知 求 的值.9、10、 11、（4）你能根据所学知识找到上面算式的简便运算吗?请你利用你找到的简便方法计算下式:()y x y x m +--2。
整式的乘法与因式分解全章教案第一章：整式的乘法1.1 单项式乘以单项式教学目标：了解单项式乘以单项式的运算法则。
掌握单项式乘以单项式的计算方法。
教学重点：单项式乘以单项式的运算法则。
教学难点：如何正确计算单项式乘以单项式。
教学准备：教材、黑板、投影仪。
教学过程：导入：回顾整数乘法的运算法则。
讲解：讲解单项式乘以单项式的运算法则，举例说明。
练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。
1.2 单项式乘以多项式教学目标：了解单项式乘以多项式的运算法则。
掌握单项式乘以多项式的计算方法。
教学重点：单项式乘以多项式的运算法则。
教学难点：如何正确计算单项式乘以多项式。
教学准备：教材、黑板、投影仪。
教学过程：导入：回顾整数乘法的运算法则。
讲解：讲解单项式乘以多项式的运算法则，举例说明。
练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。
第二章：因式分解2.1 提公因式法教学目标：了解提公因式法的概念。
掌握提公因式法的运用。
教学重点：提公因式法的概念和运用。
教学难点：如何正确运用提公因式法进行因式分解。
教学准备：教材、黑板、投影仪。
教学过程：导入：回顾整式的乘法。
讲解：讲解提公因式法的概念和运用，举例说明。
练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。
2.2 公式法教学目标：了解公式法的概念。
掌握公式法的运用。
教学重点：公式法的概念和运用。
教学难点：如何正确运用公式法进行因式分解。
教学准备：教材、黑板、投影仪。
教学过程：导入：回顾整式的乘法。
讲解：讲解公式法的概念和运用，举例说明。
练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。
第六章：十字相乘法6.1 十字相乘法的原理教学目标：理解十字相乘法的原理。
掌握十字相乘法的步骤。
教学重点：十字相乘法的原理和步骤。
如何正确运用十字相乘法分解因式。
教学准备：教材、黑板、投影仪。
教学过程：导入：回顾提公因式法和公式法。
讲解：讲解十字相乘法的原理和步骤，举例说明。
练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。
第二章因式分解
知识要点分布：
1. 分解因式的定义
2. 分解因式与整式除法
3. 因式分解应注意的事项：
⑴提公因式法分解因式的依据是惩罚对加法的分配律（逆运算），公因式中的系数是各项系数的最大公约数，同一字母或因式的指数取各项中指数最低的。
⑵每一个多项式因式都必须分解到不能再分解为止。
⑶因式分解的结果必须是几个整式的积德形式。
⑷因式分解的结果中相同因式地积应写成幂的形式，单项式应写在多项式因式的前面。
4. 用提公因式分解因式
⑴定义：
⑵提公因式的依据：逆用乘法分配律。
⑶找一个多项式的公因式：
⑷提取公因式后余下的因式的确定：余下的因式应是多项式除以公因式后的商式。
5. 运用公式法分解因式：
⑴定义：利用分解因式与整式乘法的互逆关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
⑵乘法公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，多项式，同样，因式分解公式中的字母也可以表示数，单项式或多项式。
只要符合公式的结构特点，就可以运用公式法分解因式。
⑶平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)适用于分解的多项式是二项式且是平方差的形式。
特点：①左边是二项式，两项都可以写成平方的形式，并且符号相反。
②右边是两个数的和与这两个数的差的积，而且被减数是左边平方项为正的那个数。
⑷完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2; a2-2ab+b2=(a−b)2;适用于分解的多项式是三项式并且是完全平方式。
特点：①左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的完全平方，这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可；（符合完全平方公式左边特点的三项式，形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称谓完全平方式。
②右边是两个数（或两个式子）的和（或者差）的平方。
当中间的乘积项与首末两项的符号相同时，是和的平方；当中间的乘积与首末两项的符号相反时，是差的平方。
6. 综合运用提公因式法，公式法两种方法分解因式。
顺序是：先看多项式是否有公因式，再看多项式是几项式，如果是二项式，现考虑是否是平方差公式；如果是三项式，考虑是否符合完全平方公式。
简称：一提二公三查。
考试题型：
1. 分解因式与某些相关证明题
1）证明：对于任意正整数n,（n+7）2
-(n−5)2都能被24整除
2）已知：a2+b2=1, x2+y2=1, 求证：(ax+by)2+(bx−ay)2=1
2. 分解因式的技巧与应用1)计算下列各题
① (1-1
22)(1-1
32
)(1-1
42
)…(1-1
20002
)(1-1
20012
)
②1002
(992 +198+1)2
2) ①当 x=0.99, y=1.03时，求xy+1-x-y的值
②若a(a-1)-(a2-b)= -2, 求：a 2 + b2
2
–ab的值
3. 考察分解因式与其他相关知识结合的问题
1）多项式9x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是___________________(填上一个你认为正确的即可)
2）一个矩形的面积a3 _2a2+a, 宽为 a,则矩形的长为_____________
3) 已知三条线段长分别为a,b,c,且满足a>b, a2+c2<b2+2ac, 则以a,b,c为边是否构成三角形？并说明理由。
4）老师在黑板上写出三个算式：52-32=8×2，92-72=8×4，152-32=8×27，王华接着又写出两个具有同样规律的算式：112-52=8×12，152-72=8×22……
①请你再写出两个（不同于上面的算式）具有上述规律的算式；
②用文字写出反映上述算式的规律；③证明这个规律的正确性。
近三年中考题：
1. 若|m-1|+(n−5)2=0, 则m=______, n=________,此时将m x2-ny2=___________
2.如图（1）边长为a,b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+a b2的值为___________
3.因式分解：(a+b)2+4(a−b)2-4(a2-b2)
4. 使用简便方法计算 : (1-1
22)(1-1
32
)(1-1
42
)…(1-1
992
)(1-1
1002
)
5. 分解因式：2a2-2ab =_________________________
6. 分解因式：a3-a=__________________________
7. 分解因式：x2-16=_____________________
8. 分解因式：2m2-8n2=______________________
9. 分解因式： x y2 -2xy+x=___________________
10. 分解因式：2x2-18=______________________
11. 分解因式：a2-9=___________________
12. 分解因式：x2-3x=__________________
13. 分解因式：b2-4=__________________
14. 分解因式：x3-6x2+9x=____________________
15. 在实数范围内分解因式：4m2+8m-4=___________________
16. 分解因式：a3+a2=_______________________
17. 分解因式：a x2_4ax+4a=__________________
18. 给出三个多项式1
2x2+x-1, 1
2
x2+3x+1,1
2
x2-x,请你选择其中两个进行加法运算，并把结
果分解因式。
19. 求证：相邻两个自然数的平方差等于这两个数的和。
20. 已知a2+b2+c2-ab-bc-ac=0, 求证: a=b=c
21.下列多项式从左到右的变形是分解因式的是（）
A）(1+3x)(1-3x)=1-9x2 B) 9x2-6x+1=(3x−1)2
C) 2x2-6xy+1=2x(x-3y)+1 D) ax-ay+bx+by=x(a+b)-y(a-b)
22.计算：(−1
2)199+(−1
2
)200的结果是____________________
23.若将2x n -81分解为(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则n=________________________
A) 1 B) 2 c) 3 D) 4
24. 分解因式x2-y2-4x+4=_______________________
25. 分解因式：x3 -x y2 =_________________________
26. 把代数式x y2-9x分解因式的结果正确的是（）
A）x(x2-9) B) x(y+3)2 C) x(y+3)(y-3) D)x(y+9)(y-9)
27. 已知a+b=13, ab=40, 则a b2+a2b的值___________________
28. 已知y=2，请你说明无论x取何值，代数式(3x+5y)2-2(3x+5y)(3x-5y)+(3x−5y)2的值不变。
29. 已知2a-b=3，则-8a2+8ab-2b2的值为（）
A）16 B) -16 C) 18 D) -18
30. 分解因式 -3a n−1+12a n-12a n+1 (n>1的正整数)，结果正确的是（）
A）3a n−1(2a−1)2 B) -3a n−1(2a−1)2
C) 12a(1+a) D) -12a(1+a)
31. 化简求值：已知x-3y=2007, 求：（-2x3+12x2y-18x y2）÷x的值
32. 利用因式分解计算：
1）5722×1
4 -4282×1
4
2）121×0.13+12.1×0.9-1.21×12
33. 如图所示,立方体的每个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为a,b,c，则a2+b2+c2-ab-ac-bc的值为____________。
