6.22初二第二章因式分解

课题：十字相乘法特别说明：本节内容不要求全体学生掌握，但这种方法将会对以后学习解一元二次方程带来极大的便利，供学有余力的同学参考。

知识要点：运用十字相乘法进行分解因式一、知识准备1、填空：（1）)4)(3(++x x = ； （2）)5)(4(++x x = 。

（3）)3)(1(++y y = ； （4）))((q x p x ++= 。

2、思考：能否对1272++x x 、2092++x x 、342++y y 、pq x q p x +++)(2进行因式分解？它们有什么特点？特点：1）二次项系数是1；2）常数项是两个数之积；3）一次项系数是常数项的两个因数之和。

二、新课探究——利用十字相乘法分解因式步骤：（1）列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况；（2）尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数；（3）将原多项式分解成))((q x p x ++的形式。

关键：乘积等于常数项的两个因数，它们的和是一次项系数二次项、常数项分解坚直写，符号决定常数式，交叉相乘验中项，横向写出两因式 请根据上述步骤写出利用十字相乘法分解因式的全过程：（1）1272++x x （2）122-+x x （3）122--x x思考：请用自己的语言描述利用十字相乘法分解因式的步骤及注意事项？三、基础练习1、分解因式：1）562++x x ； 2）862++y y ； 3）1682+-x x ； 4）21102+-a a ；5）1452-+x x ； 6）542-+t t ； 7）14132--x x ； 8）6322--x x 。

四、巩固练习1、分解因式：1）652++x x ； 2）652+-x x ； 3）652-+x x ； 4）652--x x 。

五、提高训练1、阅读下列材料并解决问题：解方程：032=+-））（（x x x ，提示：已知0乘任何数都得0，所以令上述方程左边的任一因式的值为0的x 值都为方程的解。

八年级数学因式分解辅导学案因式分解的常用方法多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1 ) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a2-b 2=(a+b)(a-b)；(2 ) (a±b)2= a 2±2ab+b 2——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；例.已知a b c ，，是ABC 的三边，且222a bcab bc ca ，则ABC 的形状是（）A.直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca abc ab bcca222()()()0ab bc ca a bc选C练习 (1))(3)(2x yb y xa (2)1222baba(3)（x －1）（x ＋4）－36(4)（m 2＋n 2）2－4m 2n2(5)－2a 3＋12a 2－18a ；(6)9a 2(x －y)＋4b 2(y －x)；(7) (x ＋y)2＋2(x ＋y)＋1.三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bnbm an am 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

初二数学第二章 第1－3节 分解因式；提公因式法北师大版【本讲教育信息】一、教学内容分解因式（—分解因式、提公因式法）1、分解因式的概念2、公因式的概念3、用提公因式法分解因式二、教学目标1、了解分解因式的概念，能判断经过变形的多项式是否是分解因式2、理解公因式的概念，会求多项式中各项的公因式3、理解提公因式法的含义，会利用提公因式法对多项式进行分解因式三、知识要点分析1、分解因式（这是重点）把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.分解因式与整式乘法的关系：分解因式的等式的左边是一个多项式，而右边是几个因式的积.而整式乘法则相反.举例说明：22)2(44-=+-y y y ，从左到右的变形是分解因式. 44)2(22+-=-y y y ，从左到右的变形是整式的乘法。

2、提公因式法（这是重点、难点）（1）公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.（2）提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.（3）如何运用提公因式法前提：多项式的各项中含有相同的因数或因式；将公因式提出来作为一个因式，另一个因式则是各项除以公因式的商的和.公因式可以是各项系数最大公约数，可以是单项式，也可以是多项式.【典型例题】考点一：分解因式的概念例1、请指出下列各式中从左到右的变形哪个是分解因式.（1）x 2－2=（x+1）（x －1）－1（2）（x －3）（x+2）=x 2－x+6（3）3m 2n －6mn=3mn （m －2）（4）ma+mb+mc=m （a+b ）+mc（5）a2－4ab+4b2=（a－2b）2【思路分析】（1）右边不是因式乘积的形式，所以不是分解因式；（2）属于整式乘法；（3）右边是因式积的形式，故是分解因式；（4）右边不是因式积的形式，故不是分解因式；（5）右边是因式乘积的形式，所以是分解因式.解：（3），（5）方法与规律：解决此类问题的关键是理解分解因式的概念.例2、关于x的多项式2x2－11x＋m分解因式后有一个因式是x－3，试求m的值.【思路分析】本题主要体现分解因式与整式乘法之间的关系.知道一个因式，可设另一个因式，利用整式乘法列式.解：令原式＝（x－3）A.当x＝3时，右边＝0，把x＝3代入左式应有2×32－11×3＋m ＝0，故m＝15.方法与规律：对多项式进行变形，x无论取何值，左边和右边始终相等，根据这一点把问题转化成方程的问题进行求解.考点二：提公因式法例3、（1）计算：（－2）1999+21998（2）9993－999能被998整除吗？能被999和1000整除吗？为什么？（3）求代数式ma+mb+mc的值，其中m=－，a，b，c=－19.6.【思路分析】先对多项式进行分解因式，然后利用结果进行分析.解：（1）原式=－21999+21998=21998－2×21998=－21998（2）∵9993－999=999（9992－1）=999×（999－1）×（999+1）=999×998×1000∴9993－999能被998整除，也能被999和1000整除.（3）ma+mb+mc=m（a+b+c）=－ （－）=－2560.方法与规律：本题属于分解因式的应用，先对多项式进行分解因式，再分析得到的结果.例4、分解因式（1）x（x－y）－y（y－x）（2）－12x3+12x2y－3xy2（3）（x+y）2+mx+my（4）a（x－a）（x+y）2－b（x－a）2（x+y）【思路分析】先确定多项式中各项的公因式，然后提取公因式即可.解：（1）x（x－y）－y（y－x）=（x－y）（x+y）（2）－12x3+12x2y－3xy2=－3x（4x2－4xy+y2）=－3x（2x－y）2（3）（x+y）2+mx+my=（x+y）2+m（x+y）=（x+y）（x+y+m）（4）a（x－a）（x+y）2－b（x－a）2（x+y）=（x－a）（x+y）［a（x+y）－b（x－a）］=（x－a）（x+y）（ax+ay－bx+ab）.例5、已知（19x -31）（13x -17）-（13x -17）（11x -23）可因式分解成（ax +b ）（8x +c ），其中a 、b 、c 均为整数，则a +b +c=？A. -12B. -32C. 38D. 72【思路分析】（19x -31）（13x -17）-（13x -17）（11x -23）=（13x －17）（8x －8），所以有（13x －17）（8x －8）=（ax +b ）（8x +c ），故a=13，b=－17，c=－8，a +b +c=－12.解：A例6、若a=－5，a+b+c=－，求代数式a 2（－b －c ）－a （c+b ）的值.【思路分析】求代数式的值，可先进行分解因式，然后再根据分解因式的结果采取整体代入的方法进行求解.解：∵a=－5，a+b+c=－，∴b+c=－0.2.∴a 2（－b －c ）－a （c+b ）=－a 2（b+c ）－a ·（b+c ）=－a （b+c ）（a ）=5×（－）×（－）【本讲涉及的数学思想和方法】本讲主要讲述了分解因式的概念、公因式的概念以及用提公因式法进行分解因式.在解决与这些知识点相关的问题时，通常用到方程的数学思想.预习导学案（用公式法分解因式）一、预习要点1、用平方差公式进行分解因式。

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八年级数学下第二章分解因式全章教案知识与技能目标：1. 使学生了解因式分解的意义。

2. 知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系。

过程与方法目标：1. 通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系。

2. 培养学生的观察能力和语言概括能力。

情感态度与价值观目标：1. 通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系。

2. 让学生了解事物间的因果联系教学重点1.理解因式分解的意义;2.识别分解因式与整式乘法的关系.教学难点通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.教学方法师生共同讨论法.教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.教具准备有两个边长为1的正方形，剪刀.投影片两张：第一张：做一做(记作2.1.1A);第二张：补充练习(记作2.1.1B).教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课计算(a+b)(a-b)=a2-b2.这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的.从式子(a+b)(a-b)=a2-b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢?即a2-b2=(a+b)(a-b)是否成立呢?a2-b2=(a+b)(a-b)是成立的，那么如何去推导呢?这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题.Ⅱ.讲授新课1.讨论993-99能被100整除吗?你是怎样想的?与同伴交流. 93-99能被100整除.因为993-99=99992-99=99(992-1)=999800=9998100，其中有一个因数为100，所以993-99能被100整除.993-99还能被哪些正整数整除?(99，98，980，990，9702) 从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式.2.议一议你能尝试把a3-a化成n个整式的乘积的形式吗?与同伴交流.大家可以观察a3-a与993-99这两个代数式.a3-a=a(a2-1)=a(a-1)(a+1)3.做一做(1)计算下列各式：①(m+4)(m-4)=__________;②(y-3)2=__________;③3x(x-1)=__________;④m(a+b+c)=__________;⑤a(a+1)(a-1)=__________.(2)根据上面的算式填空：①3x2-3x=( )( );②m2-16=( )( );③ma+mb+mc=( )( );④y2-6y+9=( )2.⑤a3-a=( )( ).能分析一下两个题中的形式变换吗?在(1)中我们知道从左边推右边是整式乘法;在(2)中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.4.想一想由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算?由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与这种运算有什么不同?你还能举一些类似的例子加以说明吗?总结一下：联系：等式(1)和(2)是同一个多项式的两种不同表现形式. 区别：等式(1)是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形.5.例题下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解?(1)4a(a+2b)=4a2+8ab;(2)6ax-3ax2=3ax(2-x);(3)a2-4=(a+2)(a-2);(4)x2-3x+2=x(x-3)+2.Ⅲ.课堂练习Ⅳ.课时小结本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式;还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形.Ⅴ.课后作业见作业本六、活动与探究已知a=2，b=3，c=5，求代数式a(a+b-c)+b(a+b-c)+c(c-a-b)的值.VI板书设计2.1 分解因式一、1.讨论993-99能被100整除吗?2.议一议3.做一做4.想一想5.例题讲解二、课堂练习三、课时小结2.2.1 提公因式法(一)知识与技能目标：1. 让学生了解多项式公因式的意义。

第一章分解因式【知识体系】重点是用提公因式法和公式法分解因式.难点是分组分解法和形如x2+(p+q)x+pq的多项式的因式分解. 一、因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.【说明】(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算.例如：(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.*二、因式分解常用解题方法有：1、提公因式法多项式m a+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式的公因式.m a+mb+mc=m(a+b+c)就是把m a+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是m a+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如：x2-x=x(x-1)，8a2b-4a b+2a=2a(4a b-2b+1).探究交流下列变形是否是因式分解？为什么，(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；(4)x n(x2-x+1)=x n+2-x n+1+x n.点拨 (1)不是因式分解，提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪.(2)不是因式分解，不满足因式分解的含义(3)不是因式分解，因为因式分解是恒等变形而本题不恒等.(4)不是因式分解，是整式乘法.2、公式法(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积.例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).(2)完全平方公式：a2±2a b+b2=(a±b)2.其中，a2±2a b+b2叫做完全平方式.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.例如：4x2-12xy+9y2=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.探究交流下列变形是否正确？为什么？(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；(3)x2-2x-1=(x-1)2.点拨 (1)不正确，目前在有理数范围内不能再分解.(2)不正确，4x2-6xy+9y2不是完全平方式，不能进行分解.(3)不正确，x2-2x-1不是完全平方式，不能用完全平方公式进行分解，而且在有理数范围内也不能分解.3、分组分解法(1)形如：a m+a n+bm+bn=(a m+a n)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)(2)形如：x2-y2+2x+1=(x2+2x+1)-y2=(x+1)2-y2=(x+y+1)(x-y+1).把多项式进行适当的分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法.知识规律小结 (1)分组分解法一般分组方式不惟一.例如：将a m+a n+bm+bn因式分解，方法有两种：方法1：a m+a n+bm+bn=(a m+a n)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).方法2：a m+a n+bm+bn=(a m+bm)+(a n+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(m+n)(a+b).(2)分组除具有尝试性外，还要具有目的性，或者分组后能出现公因式，或者分组后能运用公式.例如：a m+a n+bm+bn分组后有公因式；x2-y2+2x+1分组后能运用公式.分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：(1)按字母分组；(2)按次数分组；(3)按系数分组.例如：把下列各式因式分解.(1) a m+bm+a n+bn；(2)x2-y2+x+y；(3)2a x-5by+2a y-5bx.三、关于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).事实上：x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q).∴x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).利用这个公式，可以把二次三项式因式分解，当p=q时，这个式子化成x2+2px+p2或x2+2qx+q2，是完全平方式，可以运用公式分解因式.例如：把x2+3x+2分解因式.(分析)因为二次三项式x2+3x+2的二次项系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，这是一个x2+(p+q)x+pq型式子.解：x2+3x+2=(x+1)(x+2)【题型体系】(1)掌握用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式；(2)会分解关于x2+(p+q)x+pq型的二次三项式.例1用提公因式法将下列各式因式分解.(1)a x-a y； (2)6xyz-3xz2； (3)-x3z+x4y；(4)36a by-12a bx+6a b； (5)3x(a-b)+2y(b-a)；(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m).(分析) (1)～(4)题直接提取公因式分解即可，(5)题和(6)题首先要适当的变形，其中(5)题把b-a化成-(a-b)的，(6)题把(x-m)(y-m)化成(m-x)(m-y)，然后再提取公因式.解：(1)a x-a y=a(x-y)(2)6xyz-3xz2=3xz(2y-z).(3)-x3z+x4y=x3(-z+xy).(4)36a by-12a bx+6a b=6a b(6y-2x+1).(5)3x(a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y).(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)=x(m-x)(m-y)-m(m-x)(m-y)=(m-x)(m-y)(x-m)=-(m-x)2(m-y).小结运用提公团式法分解因式时，要注意下列问题：(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号不能再分解.如：(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)=(x+y)[(7m-8n)-(3m-2n)]=(x+y)(4m-6n).=2(x+y)(2m-3n).(2)如果出现像(5)(6)小题需统一时，首先统一，尽可能使统一的个数少，减少统一计算出现误差的机率，这时注意到(a-b)n=(b-a)n(n为偶数).例如：分解因式a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2.本题既可以把(x-y)统一成(y-x)，也可以把(y-x)统一成(x-y),但比较而言把(x-y)化成(y-x)比较简便，因为(x-y)2=(y-x)2.a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2=a(y-x)2+b(y-x)3+c(y-x)2=(y-x)2[a+b(y-x)+c]=(y-x)2(a+by-bx+c).(3)因式分解最后如果有同底数幂，要写成积的形式.例如：(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)=(a-2b)[(7a-8b)+(a-8b)]=(a-2b)(8a-16b)=8(a-2b)(a-2b)=8(a-2b)2.课堂练习把下列各式分解因式.(1)a m+a n；(2)(xy+a y-by)；(3)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)；(4)3x(a-b)-2y(b-a)；(5)4p(1-q)3+2(q-1)2；(6)a b2(x-y)m+a2b(x-y)m+1.解(1)原式=a(m+n) (2)原式=y(x+a-b)；(3)原式=2(2a+b)2；(4)原式=(a-b)(3x+2y)；(5)原式=(1-q)2(4p-4pq+2)；(6)原式=a b(x-y)m(b+a x-a y).例2 把下列各式分解因式.(1)m2+2m+1；(2)9x2-12x+4；(3)1-10x+25x2；(4)(m+n)2-6(m+n)+9.(分析)本题旨在考查用完全平方公式分解因式.解：(1)m2+2m+1=(m+1)2.(2)9x2-12x+4=(3x-2)2.(3)1-10x+25x2=(1-5x)2.(4)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.把下列各式分解因式.(1)(x2+4)2-2(x2+4)+1；(2)(x+y)2-4(x+y-1).解 (1)原式=(x2+3)2；(2)原式=(x+y-2)2.例3 把下列各式分解因式.(1)x2+7x+10；(2)x2-2x-8；(3)y2-7y+10；(4)x2+7x-18.(分析) 二次三项式x2+7x+10的二次项系数为1，常数项10=2×5，一次项系数7=2+5，所以这是一个x2+(p+q)x+pq型的式子，可以用x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行因式分解.解：(1)x2+7x+10=(x+2)(x+5).(2)x2-2x-8=(x-4)(x+2).(3)y2-7y+10=(y-2)(y-5).(4)x2+7x-18=(x+9)(x-2).小结对于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解，①pq＞0，则p,q同号，若p+q＞0，则p＞0，q ＞0；若q+p＜0，则p＜0，q＜0；②若pq＜0，则p,q异号，若p+q＞0，则绝对值大的为正数，若p+q＜0,则绝对值大的为负数.把下列各式分解因式.(1)m2-7m+12；(2)x2y2-3xy-10；(3)(m-n)2-(m-n)-12；(4)x2-xy-2y2.解 (1)原式=(m-3)(m-4)；(2)原式=(xy-5)(xy+2)；(3)原式=(m-n-4)(m-n+3)；(4)原式=(x-2y)(x+y).综合应用题本节知识的综合应用主要包括：(1)用分组分解法分解因式；(2)与方程组的综合应用；(3)与几何知识的综合应用；(4)几种因式分解方法的综合应用.例4 分解因式.(1)x3-2x2+x；(2)(a+b)2-4a2；(3)x4-81x2y2；(4)x2(x-y)+y2(y-x)； (5)(a+b+c)2-(a-b-c)2.(分析)本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式.解：(1)x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2.(2)(a+b)2-4a2=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a).(3)x4-81x2y2=x2(x2-81y2)=x2(x+9y)(x-9y).(4)x2(x-y)+y2(y-x)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x-y)(x2-y2)=(x-y)(x+y)(x-y)=(x+y)(x-y)2.(5)( a+b+c)2-(a-b-c)2=[(a+b+c)(a-b-c)][(a+b+c)-(a-b-c)]=2a·(2b+2c)=4a(b+c).例5 利用分组分解法把下列各式分解因式.(1)a2-b2+a-b；(2)a2+b2-2ab-1；(3)(a x+by)2+(a y-bx)2；(4)a2-2a b+b2-c2-2c-1.(分析) 分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式，其中(1)题分组后存在公因式，(3)题需去括号后重新分组，(2)和(4)题分组后能运用公式.解：(1)a2-b2+a-b=(a2-b2)+(a-b)=(a+b)(a-b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1).(2)a 2+b 2-2ab-1=(a 2-2ab+b 2)-1 =(a -b)2-1=(a -b+1)(a -b-1). (3)(a x+by)2+(a y-bx)2=a 2x 2+2a bxy+b 2y 2+a 2y 2-2a bxy+b 2x 2=a 2x 2+b 2y 2+a 2y 2+b 2x 2=(a 2x 2+a 2y 2)+(b 2y 2+b 2x 2) =a 2(x 2+y 2)+b 2(x 2+y 2) =(a 2+b 2)(x 2+y 2). (4)a 2-2a b+b 2-c 2-2c-1 =(a 2-2a b+b 2)-(c 2+2c+1) =(a -b)2-(c+1)2=[(a -b)+(c+1)][(a -b)-(c+1)] =(a -b+c+1)(a -b-c-1).小结 解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，如果有，先提公因式；如果没有公因式或提取公因式后，通常分下列几种情况考虑：(1)如果是四项或四项以上，考虑用分组分解法；(2)如果是二次三项式或完全平方式，则考虑用x 2+(p+q)x+pq 型式子或完全平方公式分解因式； (3)如果是两项，则考虑能否用平方差公式分解因式. 最后，直到每一个因式都不能再分解为止.例6 解方程组⎩⎨⎧=-=-②①.12,5422y x y x(分析)本题是一个二元二次方程组，就目前的知识水平来说，用代入消元法或加减消元法来解是困难的.但是我们发现这个方程组有一个特点是方程x 2-4y 2=5可以通过因式分解为(x+2y)(x-2y)=5，再把x-2y=1代入方程(x+2y)(x-2y)=5中，即可得到x+2y=5由此原方程组就可以化成一个二元一次方程组而解出.解：由①得(x+2y)(x-2y)=5，③ 把②代入③中得x+2y=5，④ ∴原方程组化为⎩⎨⎧=-=+②④,12,52y x y x ②+④得2x=6，∴x=3.②-④得4y=4，∴y=1. ∴原方程组的解为⎩⎨⎧==.1,3y x解方程组⎩⎨⎧-=-=+.359,7322y x y x 解 ⎩⎨⎧==.2,1y x例7 若a ，b ，c 是三角形的三边，且满足关系式a 2+b 2+c-a b-a c-bc=0，试判断这个三角形的形状. 解：∵a 2+b 2+c 2-a b-a c-bc=0， ∴2a 2+2b 2+2c 2-2a b-2a c-2bc=0.即(a 2-2a b+b 2)+(b 2-2bc+c 2)+(c 2-2a c+a 2)=0， (a -b)2+(b-c)2+(c-a )2=0. 由平方的非负性可知，∴a =b=c.∴这个三角形是等边三角形. 例8 利用因式分解计算下列各题. (1)234×265-234×65； (2)992+198+1.(分析)主要应用提公因式法和公式法分解因式来计算. 解：(1)234×265-234×65=234×(265-65) =234×200=46800. (2)992+198+1=992+2×99×1+1 =(99+1)2=1002=10000.利用因式分解计算下列各题.(1)7.6×199.9+4.3×199.9-1.9×199.9； (2)20022-4006×2002+20032； (3)5652×11-4352×11； (4)(543)2-(241)2.解 (1)原式=1999； (2)原式=1；(3)原式=143000O ； (4)原式=28. 例9 若9x 2+kxy+36y 2是完全平方式，则k= .(分析) 完全平方式是形如：a 2±2a b+b 2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差). ∵9x 2+kxy+36y 2=(3x)2+kxy+(6y)2， ∴±kxy=2·3x ·6y=36xy. ∴k=±36.若x 2+(k+3)x+9是完全平方式，则k= . 解 k=3或k=-9. 探索与创新题例10 计算200420032004200365654343212122222222+-+++-++-++- . (分析) 本题旨在考查因式分解的灵活运用,即ba b a b a b a b a +-+=+-))((22=a -b(a +b ≠0). 解:原式=65)65)(65(43)43)(43(21)21)(21(+-+++-+++-++…+20042003)20042003)(20042003(+-+=(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(2003-2004) =(-1)×(2004÷2) =-1002.例11 若x 2+kx+20能在整数范围内因式分解，则k 可取的整数值有( ) A.2个B.3个C.4个D.6个(分析) 若把x 2+kx+20在整数范围内因式分解，由式子x 2+(p+q)x+qq 考虑把20分解因数，20可分解为：20×1，(-20)×(-1)，10×2，(-10)×(-2)，5×4，(-5)×(-4)，所以k 可能取的值有：20+1，(-20)+(-1),10+2，(-10)+(-2),5+4，(-5)+(-4),故k 可能取的值有6个，所以正确答案为D 项.例12 分解因式(x 4+x 2-4)(x 4+x 2+3)+10.(分析)把x 4+x 2作为一个整体，用一个新字母代替，从而简化式子的结构. 解：令x 4+x 2=m ，则原式可化为 (m-4)(m+3)+10 =m 2-m-12+10 =m 2-m-2 =(m-2)(m+1)=(x4+x2-2)(x4+x2+1)=(x2+2)(x2-1)(x4+x2+1)=(x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1).求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数.解设这四个连续自然数依次为n，n+1，n+2，n+3，则n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1一定是一个完全平方数.例13 若x2+7xy+my2-5x+43y-24可以分解成x,y的两个一次因式的积，试确定m的值.(分析)用待定系数法，令x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+a y+b)(x+cy+d),再对比系数求得m.解:设x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+a y+b)(x+cy+d)=x2+(a+c)xy+a cy2+(b+d)x+(a d+bc)y+bd.对比多项式的系数得由③，⑤两式可得b=-8，d=3，或b=3，d=-8.(1)当b=-8，d=3时，得a=9，c=-2，⑥(2)当b=3，d=-8时，得a=-2，c=9.⑦∴m=-18.已知多项式2x3-x2+m有一个因式(2x+1),求m的值.解由已知条件可以设2x3-x2+m=(2x+1)(x2+a x+b),则2x3-x2+m=2x3+(2a+1)x2+(a+2b)x+b.对比多项式系数可得中考命题总结与展望本章内容在中考中多以填空、选择题的形式出现，直接以分解因式单独命题的并不多，但它与方程组、二元一次方程、二次函数及分式的运算的结合都是屡见不鲜的，应在学习中引起充分的重视.中考试题预测例1 (1)分解因式：a2-25= ；(2)分解因式：xy2-x2y= ；(3)分解因式：x2-1= ；(4)分解因式：3x2-3= ；(5)分解因式：x2+2xy+y2-4= ；(6)分解因式：x3y2-4x= ；(7)分解因式：2x2-2= ；(8)分解因式：a3+2a2+a= ；(9)分解因式：x3y-4xy+4y= ；(10)分解因式：a2-2a b+b2-c2= .(分析) (1)直接运用平方差公式分解即可.(2)直接运用提取公因式法分解即可.(4)3x2-3=3(x2-1)=3(x+1)(x-1).(5)解决本题采用分组分解法，x2+2xy+y2-4=(x2+2xy+y2)-4=(x+y)2-4=(x+y+2)(x+y-2).(6)先提取公因式，再运用公式法分解因式.x3y2-4x=x(x2y2-4)=x(xy+2)(xy-2).答案：(1)(a+5)(a -5) (2)xy(y-x) (3)(x+1)(x-1) (4)3(x+1)(x-1) (5)(x+y+2)(x+y-2)(6)x(xy+2)(xy-2) (7)2(x+1)(x-1) (8)a(a+1)2 (9)y(x-2)2 (10)(a-b+c)(a-b-c)例2 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( )A.x2-yB.x2+2yC.x2+y2D.x2-xy+y2答案:B例3 将多项式a2-a b+a c-bc分解因式，分组的方法共有种.(分析) 一种是：a2-a b+a c-bc=(a2-a b)+(a c-bc)；另一种是：a2-a b-a c-bc=(a2+a c)-(a b+bc)，∴分组方法共有2种.例4 x2-y2-x-y分解因式的结果是 .答案：(x+y)(x-y-1)例5 将下列式子因式分解：x-x2-y+y2= .答案：(x-y)(1-x-y)例6 解方程组⎩⎨⎧=+=--②①.2,0222y x y xy x(分析)运用因式分解把二元二次方程组转化成二元一次方程组. 解：由①得(x-2y)(x+y)=0，③ 把②代入③中，得x-2y=0，④原方程组化为⎩⎨⎧=-=+④②,02,2y x y x②-④得3y=2，∴y=32. 把y=32代入④中，得x=34. ∴原方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.32,34y x例7 为使x 2-7x+b 在整数范围内可以分解因式，则b 可能取的值为 .(任写一个) (分析) 这是一个开放性试题，答案不惟一，依据的是式子x 2+(p+q)x+pq. 答案：-8例8 把多项式1-x 2+2xy-y 2分解因式的结果是( ) A.(1-x-y)(1+x-y) B.(1+x-y)(1-x+y) C.(1-x-y)(1-x+y)D.(1+x-y)(1+x+y)(分析)解决本题采用分组分解法. 1-x 2+2xy-y 2=1-(x 2-2xy+y 2) =1-(x-y)2=(1+x-y)(1-x+y). 故此，正确答案为B 项. 总结1.本节主要学习了：用提公因式法分解因式；用公式法分解因式；用分组分解法分解因式；形如x 2+(p+q)x+pq 的二次三项式的因式分解.2.会运用因式分解解决计算问题.课后练习1.若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m 的值等于( ) A.3B.-5C.7.D.7或-12.若(2x)n -81=(4x 2+9)(2x+3)(2x-3)，则n 的值是( ) A.2B.4C.6D.83.把(a +b)-4(a 2-b 2)+4(a -b)2分解因式的结果是( ) A.(3a -b)2B.(3b+a )2C.(3b-a )2D.(3a +b)24.把(5x-2y)2+(2x+5y)2分解因式为( ) A.2(5x-2y)2B.-2(5x-2y)2C.29(x 2+y 2)D.以上都不对5.若多项式x 2+pxy+qy 2=(x-3y)(x+3y)，则p,q 的值依次为( ) A.-12,-9B.-6,9C.-9,-9D.0,-96.分解因式：4x 2-9y 2= . 7.利用因式分解计算：2224825210000= .8.若x=3.2，y=6.8，则x 2+2xy+y 2= .9.把多项式4-4(a -b)+(a -b)2分解因式的结果是 . 10.计算：12-22+32-42+52-62+72-82+92-102= . 11.分解因式. (1)(x+y)2-9y 2； (2)a 2-b 2+a +b ；(3)10b(x-y)2-5a (y-x)2； (4)(a b+b)2-(a +1)2； (5)(a 2-x 2)2-4a x(x-a )2； (6)(x+y+z)2-(x-y+z)2.12.已知x-y=1,xy=2，求x 3y-2x 2y 2+xy 3的值. 13.已知x-y=2，x 2-y 2=6，求x 与y 的值. 14.利用因式分解计算19992+1999-20002. 15.解方程(65x+63)2-(65x-63)2=260.16.已知a ,b,c 是△ABC 的三边，且满足关系式a 2+c 2=2a b+2bc-2b 2，试说明△ABC 是等边三角形. 17.当a ，b 为何值时，多项式a 2+b 2-4a+6b+18有最小值？并求出这个最小值.参考答案1.D2.B3.C4.C5.D6.(2x+3y)(2x-3y)7.58.1009.(2-a +b)210.-55[提示：运用平方差公式分解因式.原式=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)+(5+6)(5-6)+(7+8)(7-8)+(9+10)(9-10)=-(1+2)-(3+4)-(5+6)-(7+8)-(9+10)=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) =2)110(10+⨯=-55.]11.(1)原式=(x+4y)(x-2y)； (2)原式=(a +b)(a -b+1)； (3)原式=5(x-y)2(2b-a )； (4)原式=(a +1)2(b+1)(b-1)； (5)原式=(a -x)2； (6)原式=4y(x+z).12.提示：x 3y-2x 2y 2+xy 3=xy(x 2-2xy+y 2)=xy(x-y)2. 当x-y=1，xy=2时，原式=2×12=2. 13.解：∵x 2-y 2=6,∴(x+y)(x-y)=6. 又∵x-y=2，① ∴x+y=3.②.由①②组成方程组⎩⎨⎧=+=-,3,2y x y x解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,25y x14.解：19992+1999-20002=19992-20002+1999=(1999+2000)(1999-2000)+1999 =-(1999+2000)+1999 =-1999-2000+1999 =-2000.15.解：(65x+63)2-(65x-63)2=260，(65x+63+65x-63)(65x+63-65x+63)=260， 130x ×126=260， 126x=2. ∴x=631.(运用平方差公式) 16.解：∵a 2+c 2=2a b+2bc-2b 2， ∴a 2+c 2+2b 2-2ab-2bc=0. ∴(a 2+b 2-2ab)+(c 2+b 2-2bc)=0. ∴(a -b)2+(b-c)2=0. 由平方的非负性可知，⎩⎨⎧=-=-,0,0c b b a ∴⎩⎨⎧==.,c b b a ∴a =b=c.∴△ABC 是等边三角形. 17.提示：∵a 2+b 2-4a +6b+18 =(a 2-4a +4)+(b 2+6b+9)+5 =(a -2)2+(b+3)2+5， 又∵(a -2)2≥0，(b+3)2≥0，∴当a =2,b=-3时, a 2+b 2-4a +6b+18有最小值5.。

山东省枣庄市峄城区吴林街道中学八年级数学下册《第二章，因式分解》教案2 北师大版教学目标：1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念．2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法．3.由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观察能力，进一步发展学生的类比思想．教学重难点：重点：了解因式分解的意义，理解因式分解的概念．难点：正确判断是否是分解因式.教学过程一、复习回顾，引入新课用简便方法计算：（1）2976971397⨯+⨯-⨯= （2）-2.67×132+25×2.67+7×2.67=（3）992–1= ．（学生对于（1）（2）两小题逆向利用乘法的分配律进行运算的方法是很熟悉，对于第（3）小题的逆向利用平方差公式的运算则有一定的困难，因此，有必要引导学生复习七年级所学过的整式的乘法运算中的平方差公式，帮助他们顺利地逆向运用平方差公式．）设计意图：如果说学生对因式分解还相当陌生的话，相信学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉．引入这一步的目的旨在让学生通过回顾用简便方法计算——因数分解这一特殊算法，使学生通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念上，从而为因式分解的掌握扫清障碍，本环节设计的计算992–1的值是为了降低下一环节的难度，为下一环节的理解搭一个台阶．二、创设情境，问题引人师：993–99能被哪些数整除？你是怎么得出来的？生： ()-=⨯-⨯=-=⨯=⨯⨯32299999999991999919998009998100生：993–99能被100、99、98整除.生：能被33、50、200等整除.师：从以上问题的解决中，你知道解决这些问题的关键是什么？生：把一个多项式化为积的形式.（注意事项：由于有了第一环节的铺垫，学生对于本环节问题的理解则显得比较轻松，学生能回答出993–99能被100、99、98整除，有的同学还回答出能被33、50、200等整除，此时，教师应有意识地引导，使学生逐渐明白解决这些问题的关键是——把一个多项式化为积的形式．）设计意图：引导学生把这个式子分解成几个数的积的形式，继续强化学生对因数分解的理解，为学生类比因式分解提供必要的精神准备．三、合作探究，理解概念设计意图：在第一组的整式乘法的计算上，学生通过对第一组式子的观察得出第二组式子的结果，然后通过对这两组式子的结果的比较，使学生对因式分解有一个初步的意识，由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力．师：比较以下两种运算的联系与区别：（1）a(a+1)(a-1)= a3-a（2）a3-a= a(a+1)(a-1)生：(1) 的左边是三个整式的乘法，右边结果是一个多项式属于整式的乘法.（2）左边是一个多项式，右边是三个整式的乘积.师：除此之外，你还能找到类似的例子吗？生：()+=+.ma mb m a b22生：()()a b a b a b-=+-结论：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．四、课堂练习，巩固概念1.辨一辨：下列变形是因式分解吗？为什么？（1）a+b=b+a（2）4x2y–8xy2+1=4xy(x–y)+1（3）a(a–b)=a2–ab（4）a2–2ab+b2=(a–b)22.看谁连得准x2-y2 . (x+1)29-25 x 2 y(x -y)x 2+2x+1 (3-5 x)(3+5 x)xy-y2 (x+y)(x-y)3．下列哪些变形是因式分解，为什么？（1）（a+3）(a -3)= a 2-9（2）a 2-4=( a +2)( a -2)（3）a 2-b2+1=( a +b)( a -b)+1（4）2πR+2πr=2π（R+r）生1：（1）是整式乘法中的平方差公式.生2:(2)是平方差公式的逆用，属于分解因式.生3：（3）只是把前两项分解因式，不属于完全分解因式.生4：（4）是逆用乘法分配率，属于分解因式.设计意图：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对因式分解意义的理解是否到位，以便教师能及时地进行查缺补漏．五、课堂小结，盘点收获师：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？明白了哪些道理？生：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．生：分解因式可以使运算简便.生：分解因式可以看成整式乘法的逆运算.生：………….设计意图：通过学生的回顾与反思，强化学生对因式分解意义的理解，进一步清楚地了解分解因式与整式的乘法的互逆关系，加深对类比的数学思想的理解，对矛盾对立统一的观点有一个初步认识．六、布置作业，课堂延伸课本第45页习题2.1第1，2，3题思考题：课本第45页习题2.1第4题（给学有余力的同学做）板书设计:2.1因式分解做一做：因式分解定义：学生板演区教学反思传统教学中，总是先介绍因式分解的定义，然后通过大量的模仿练习来强化巩固学生对因式分解概念的记忆与理解，其本质上是对因式分解的概念进行强化记忆．在新课程的教学中，对因式分解的记忆退到了次要的位置，它把因式分解作为培养学生逆向思维、全面思考、灵活解决矛盾的载体．在教师的指导下，学生通过因数分解类比出因式分解，对学生进行类比的数学思想培养，由整式的乘法与因式分解的对比，对学生的逆向思维能力进行培养，也使得学生对于因式分解概念的引入不至于茫然．尽管新旧两种教法的对比上，新课程的教学不一定马上显露出强劲的优势，甚至可能因为强化练习较少，在短时间内，学生的成绩比不上传统教法的学生成绩，但从长远目标看来，这种对数学本质的训练会有效地提高学生的数学素养，培养出学生对数学本质的理解，而不仅仅是停留在对数学的机械模仿记忆的层面上．总之，教学的着眼点，不是熟练技能，而是发展思维，使学生在学习的情感态度与价值观上发生深刻的变化．。

初二数学因式分解人教实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：因式分解1. 什么叫因式分解，因式分解与整式乘法有什么关系？2. 如何用提公因式法分解因式？3. 如何用公式法分解因式？二. 知识要点：1. 因式分解根据乘法公式，a2－b2＝（a＋b）（a－b）；a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．可见整式乘法与因式分解互为逆运算．2. 提公因式法多项式ma＋mb＋mc，各项都有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式．由m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc可得ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）．这样就把ma＋mb ＋mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式（a＋b＋c）是ma＋mb＋mc除以m所得的商．像这种分解因式的方法叫做提公因式法．3. 公式法（1）两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即a2－b2＝（a＋b）（a－b）．（2）两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．即a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，a2－2ab＋b2＝（a－b）2．4. 注意：（1）分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．（2）在某个范围内，并不是每个多项式都可以分解因式．三. 重点难点：重点：1. 理解提公因式法的依据，会找出各项的公因式，能用提公因式法分解因式．2. 弄清各个公式的形式和特点，能熟练地运用公式法分解因式．难点：理解因式分解的意义有一定的难度，可以结合因式分解的意义及因式分解与整式乘法的关系说明它的含义．另外，熟练运用公式法分解因式也是本节的难点．【典型例题】例1.下列由左边到右边的变形是因式分解的是（）A. （x＋1）（x－1）＝x2－1B. x2－2x＋1＝x（x－2）＋1C. a2－b2＝（a＋b）（a－b）D. mx＋my＋nx＋ny＝m（x＋y）＋n（x＋y）分析：选项A是整式的乘法运算，是因式分解的逆运算，两种运算不能混为一谈；选项B只是把前两项进行了因式分解，从全局来说仍是多项式，不是因式分解；选项D最终没有把多项式变为整式的积的形式，也不是因式分解．解：C评析：本例考查对因式分解概念的理解，需要用因式分解定义和整式乘法计算来进行判断．例2.根据因式分解定义填空．（1）3x＋6＝3（）；（2）a2b＋ac＝a（）；（3）25a2－1＝（5a＋1）（）；（4）a2＋4a＋4＝（a＋2）（）．分析：结合乘法分配律和整式乘法两个法则——平方差公式和完全平方公式来填空．解：（1）x＋2 （2）ab＋c（3）5a－1 （4）a＋2评析：把握住因式分解的关键——把多项式变为整式的积的形式；检验结果是否正确可利用整式乘法来检验．例3.把下列各式分解因式：（1）（a－b）3－（a－b）2；（2）（2008年广州）a3－ab2；（3）（x－y）4＋x（x－y）3－y（y－x）3；（4）25m2＋80m＋64．分析：对于含有括号的多项式，因式分解不要急于将括号展开，要观察式子的特点，有些多项式不去掉括号，直接分解因式更方便些．如：本题中的多项式（1），如果设a－b＝m，那么（a－b）3－（a－b）2＝m3－m2，显然m2是多项式m3－m2的公因式，提公因式得m3－m2＝m2（m－1）．即（a－b）3－（a－b）2＝（a－b）2［（a－b）－1］．这说明，对于多项式（a－b）3－（a－b）2，可把（a－b）3和－（a－b）2分别看作一项，其中a－b可看作是这两项中相同的一个字母，（a－b）的最低次幂（a－b）2，就是原多项式的公因式．另外，因为［（a－b）3－（a－b）2］÷（a－b）2＝［（a－b）3÷（a－b）2－（a－b）2÷（a －b）2］＝［（a－b）－1］＝（a－b－1），所以（a－b）3－（a－b）2＝（a－b）2（a－b －1）．解：（1）（a－b）3－（a－b）2＝（a－b）2（a－b－1）（2）a3－ab2＝a（a2－b2）＝a（a＋b）（a－b）（3）（x－y）4＋x（x－y）3－y（y－x）3＝（x－y）4＋x（x－y）3＋y（x－y）3＝（x－y）3（x－y＋x＋y）＝2x（x－y）3；（4）25m2＋80m＋64＝（5m）2＋2·5m·8＋82＝（5m＋8）2评析：（1）公因式既可以是单项式，也可以是多项式．（2）分解因式时，常利用以下几个恒等关系：①a－b＝－（b－a）②（a－b）2＝（b－a）2③（a－b）3＝－（b－a）3，（3）写因式分解的结果时，单项式要放在多项式的前面．例4.计算：（1）5.4×298.6＋6.4×298.6－1.8×298.6；（2）542＋462＋108×46；（3）已知a ＋b ＝5，ab ＝3，求a 2b ＋ab 2的值．分析：（1）直接计算较麻烦，但各项中都有298.6，可尝试提公因式分解因式；（2）108×46可以化为2×54×46的形式，原式正好是完全平方公式；（3）题若是先求a 与b 的值再代入也不容易做，应先对代数式a 2b ＋ab 2进行因式分解，再代入计算．解：（1）5.4×298.6＋6.4×298.6－1.8×298.6＝298.6×（5.4＋6.4－1.8）＝298.6×10＝2986（2）542＋462＋108×46＝542＋2×54×46＋462＝（54＋46）2＝10000（3）a 2b ＋ab 2＝ab （a ＋b ）＝5×3＝15评析：在化简和计算中若能根据题目特点灵活运用因式分解，有时会给运算带来很大方便．例5. 完成下列各题（1）（2008年太原）分解因式x （x ＋4）＋4的结果是__________．（2）（2008年趣味数学技能展示决赛）20082－20072＋20062－20052＋…＋22－12＝__________．分析：（1）容易疏忽错解为：提公因式（x ＋4）后剩x ＋4，于是x （x ＋4）＋4＝（x ＋4）（x ＋4）＝（x ＋4）2．正解应该是先做乘法，再运用公式法分解．（2）20082－20072可用平方差公式运算得（2008＋2007）×1，这里不要把2008＋2007计算出来，否则下一步计算将变得十分困难．20062－20052及以后各加数也用类似的方法．解：（1）（x ＋2）2（2）2017036评析：在实际运算过程中，有时不要急于计算，先观察、找方法，再计算．贸然计算可能会使问题更复杂．例6. 如图所示，假如用一根比赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么地球赤道与铁丝之间的间隙能有多大（地球看成球体）？猜想一只乒乓球能否穿越该间隙？分析：若设该赤道周长为c 米，则铁丝的长为（c ＋1）米，由圆的周长公式求出两圆半径，看两圆半径之差是否比乒乓球直径大．解：设地球赤道周长为c 米，则铁丝的长为（c ＋1）米，因为两圆环半径之差是：c ＋12π－c 2π＝12π（c ＋1－c ）＝12π＞0.1米．显然圆环的间隙大于乒乓球的直径．所以一只乒乓球能穿越该间隙．评析：在某些计算中灵活运用因式分解有时会给计算带来很大方便．【方法总结】1. 在学习因式分解的意义时，可以应用对比的方法，把“整式乘法反过来”．“反过来”是指把等式左、右两边换过来，这样就可以将某些多项式写成因式的积的形式，即进行因式分解．2. 在运用公式法分解因式时要通过充分地练习基本类型题来记忆和运用公式，不要死记硬背．【模拟试题】（答题时间：70分钟）一. 选择题1. 下列等式中成立的是（ ）A. （x －y ）3＝（－x －y ）3B. （a －b ）4＝－（b －a ）4C. （m －n ）2＝m 2－n 2D. （x ＋y ）（x －y ）＝（－x －y ）（－x ＋y ）2. （2008年宁夏）下列分解因式正确的是（ ）A. 2x 2－xy －x ＝2x （x －y －1）B. －xy ＋2xy －3y ＝－y （xy －2x －3）C. x （x －y ）－y （x －y ）＝（x －y ）2D. x 2－x －3＝x （x －1）－33. （2007年杭州）因式分解（x －1）2－9的结果是（ ）A. （x ＋8）（x ＋1）B. （x ＋2）（x －4）C. （x －2）（x ＋4）D. （x －10）（x ＋8）4. （2007年南昌）下列各式中，与（a －1）2相等的是（ ）A. a 2－1B. a 2－2a ＋1C. a 2－2a －1D. a 2＋1**5. 计算（－12）2007＋（－12）2008的结果为（ ） A. （－12）2008 B. －（－12）2008 C. 12 D. －126. 多项式x 2＋y 2、－x 2＋y 2、－x 2－y 2、x 2＋（－y 2）、8x 2－y 2、（y －x ）3＋（x －y ）、2x 2－12y 2中，能在有理数范围内用平方差公式分解的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个7. （2007年北京）把代数式ax 2－4ax ＋4a 分解因式，下列结果中正确的是（ ）A. a （x －2）2B. a （x ＋2）2C. a （x －4）2D. a （x ＋2）（x －2） *8. 若x 2－2（k ＋1）x ＋4是完全平方式，则k 的值为（ ）A. ±1B. ±3C. －1或3D. 1或－39. 设一个正方形的边长为a 厘米，若边长增加3厘米，则新正方形的面积增加了（ ）A. 9平方厘米B. 6a 平方厘米C. （6a ＋9）平方厘米D. 无法确定*10. 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图1），把余下的部分拼成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）ab图2图1 A. （a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2B. （a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2C. a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）D. （a ＋2b ）（a －b ）＝a 2＋ab －2b 2二. 填空题1. （2007年海南）分解因式：a 2－9＝__________．2. （2008年上海）分解因式xy －x －y ＋1＝__________．3. （2008年河北）若m 、n 互为相反数，则5m ＋5n －5＝__________．4. （2008年浙江金华）如果x ＋y ＝－4，x －y ＝8，那么代数式x 2－y 2的值是________．5. （2007年武汉）一个长方形的面积是（x 2－9）平方米，其长为（x ＋3）米，用含有x 的整式表示它的宽为__________米．6. 利用因式分解计算100022522－2482＝__________． 7. 在一个边长为12.75cm 的正方形内挖去一个边长为7.25cm 的正方形，则剩下部分的面积为__________．*8. 若整式4x 2＋Q ＋1是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q 是__________．*9. （2008年连云港）当s ＝t ＋12时，代数式s 2－2st ＋t 2的值为__________． *10. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x 4－y 4，因式分解的结果是（x －y ）（x ＋y ）（x 2＋y 2），若取x ＝9，y ＝9时，则各个因式的值是：（x －y ）＝0，（x ＋y ）＝18，（x 2＋y 2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x 3－xy 2，取x ＝10，y ＝10时，用上述方法产生的密码是：__________（写出一个即可）．三. 解答题1. 将下列各式分解因式（1）4x 3－8x 2＋4x（2）9（x ＋y ＋z ）2－（x －y －z ）2（3）m 2－n 2＋2m －2n2. 利用因式分解计算：1－22＋32－42＋52－62＋…＋992－1002＋10123. 已知x ＋y ＝12，xy ＝38，求下列各式的值： （1）（x －y ）2 （2）x 2y ＋xy 24. （2006年济南）请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解． 4a 2，（x ＋y ）2，1，9b 2**四. 综合应用题体育课上，甲、乙两班学生进行“引体向上”身体素质测试，测试统计结果如下：甲班：全班同学“引体向上”总次数为n2；乙班：全班同学“引体向上”总次数为50n－625．请比较一下两班学生“引体向上”总次数哪个班的次数多？多多少？【试题答案】一、选择题1. D2. C3. B4. B5. B6. B7. A8. D9. C 10. C二、填空题1. （a ＋3）（a －3）2. （x －1）（y －1）3. －54. －325. x －36. 5007. 110cm 28. ±4x9. 1410. 101030，或103010，或301010三、解答题1. （1）4x （x －1）2（2）4（2x ＋y ＋z ）（x ＋2y ＋2z ）（3）（m －n ）（m ＋n ＋2）2. 51513. （1）－54 （2）3164. 4a 2－9b 2＝（2a ＋3b ）（2a －3b ），答案不唯一四、实际应用题当n ＝25时，甲、乙两班次数相同；当n ＞25时，甲班比乙班次数多（n －25）2次。

初二数学第二章 第3节 运用公式法分解因式北师大版【本讲教育信息】一、教学内容运用公式法（运用公式法）1、公式))((22b a b a b a -+=-2、公式222)(2b a b ab a ±=+±3、完全平方式二、教学目标1、掌握公式))((22b a b a b a -+=-的结构特点，会用这一公式对多项式进行分解因式.2、掌握公式222)(2b a b ab a ±=+±的结构特点，会用这一公式对多项式进行分解因式.3、理解完全平方式的概念，会通过添加项把多项式变成完全平方式的形式.三、知识要点分析1、公式))((22b a b a b a -+=-（这是重点）特点：（1）公式左边的多项式形式上是二项式，且每一项都能够写成某个数或某个整式平方的形式，这两项的符号相反，简记为“平方相反”.（2）右边是这两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）公式中的a ，b 既可以表示数，也可以表示字母，还可以表示单项式或多项式.2、公式222)(2b a b ab a ±=+±（这是重点、难点）特点：（1）公式左边是三项式.（2）其中两项同号，且各为一个整式的平方.（3）还有一项可“+”可“－”，且它是前两项幂的底数的乘积的2倍.（4）右边是两个整式的和或差的平方.当两个整式的乘积的2倍的符号与两个平方项的符号相同时，是和的平方；当两个整式的乘积的2倍的符号与两个平方项的符号相反时，是差的平方.3、完全平方式（这是重点、难点）形如222b ab a ++或222b ab a +-的式子称为完全平方式.【典型例题】考点一：))((22b a b a b a -+=-例1、将下列各式分解因式（1）224y x -（2）1912+-x （3）14-x（4）mn n m 452033-【思路分析】用公式))((22b a b a b a -+=-进行分解因式时，先把多项式写成()()22-的形式.（1）2222)2(4y x y x -=-，即可利用公式进行分解因式；（2）可以把多项式222)x 31(11x 91-+-写成这种形式，然后利用公式进行分解因式；（3）利用公式可以写成)1)(1(1224-+=-x x x ，要注意还要再次利用公式对12-x 进行分解因式；（4）要先提取公因式，然后再利用公式分解因式.解：（1）);2)(2()2(42222y x y x y x y x -+=-=- （2）)311)(311()31(1191222x x x x -+=-=+-（3）)1)(1)(1()1)(1(12224-++=-+=-x x x x x x（4）)32)(32(5)94(545202233-+=-=-mn mn mn n m mn mn n m方法与规律：解决此类问题的关键是抓住公式))((22b a b a b a -+=-的特征.例2、在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A. 2222)(b ab a b a ++=+B. 2222)(b ab a b a +-=-C. ))((22b a b a b a -+=-D. 222))(2(b ab a b a b a -+=-+【思路分析】图甲，阴影部分的面积是22b a -，图乙，阴影部分的面积是一个矩形，矩形的长是（a+b ），宽是（a －b ），所以阴影部分的面积是（a+b ）（a －b ），两个图形结合说明))((22b a b a b a -+=-.解：C考点二：公式222)(2b a b ab a ±=+±例3、把下列各式分解因式（1）1224+-m m（2）249114a a --（3）3222x x y xy -+【思路分析】套用公式222)(2b a b ab a ±=+±时，先找要分解的多项式中，有没有两个同号的平方项，再找这两项底数乘积的2倍.如果多项式中的两个平方项都带负号，则要提取负号，然后套用公式.如果不能直接运用公式，则先提取公因式，然后套用公式.解：（1）[]2222222224)1()1()1)(1()1(12)(12-+=-+=-=+-=+-m m m m m m m m m .（2）222)17()11449(49114--=+--=--a a a a a（3）222223)()2(2y x x y xy x x xy y x x -=+-=+- .方法与规律：解决此类问题时，注意公式222)(2b a b ab a ±=+±的结构特点.考点三：公式法分解因式的应用例4、已知n 为整数，试证明22)1()5(--+n n 的值一定能被12整除.【思路分析】要证明22)1()5(--+n n 的值一定能被12整除，只要把此式进行分解因式，因式中有因数12即可.证明：∵[][])2(12)1()5()1()5()1()5(22+=--+-++=--+n n n n n n n . ∴22)1()5(--+n n 能被12整除.例5、已知a 、b 、c 是△ABC 的三条边的边长，且满足,0222=---++ac bc ab c b a 请你判断△ABC 的形状.【思路分析】要判断三角形的形状，很明显本题要从边来考虑，分析三边有怎样的关系，从已知条件入手.解：∵,0222=---++ac bc ab c b a∴,022*******=---++ac bc ab c b a∴,022*******=+-++-++-c ac a c bc b b ab a即,0)()()(222=-+-+-c a c b b a∴a=b ，a=c ，b=c.故△ABC 是等边三角形.考点四：完全平方式例6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值为（）A.－5B.7C.－1D.7或－1【思路分析】形如222b ab a +±的式子叫完全平方式，即完全平方式中有两个相同符号的平方项，另一项则是这两个平方项底数乘积的2倍.在16)3(22+-+x m x 中，有两个平方项，则2（m －3）x 是两个平方项的底数的乘积的2倍，故2（m －3）x=42⋅⋅x 或2（m －3）x=42⋅⋅-x ，即m －3=4或m －3=－4，解得m=7或m=－1.解：D【本讲涉及的数学思想和方法】本讲主要讲述了用两个公式对多项式进行分解因式以及完全平方式的概念.在解决与这些知识点相关的问题时，通常用到转化的数学思想.预习导学案（分式的概念及分式的乘除法）一、预习要点1、分式的概念2、分式有意义的条件3、分式值为零的条件4、分式的乘法5、分式的除法二、预习导学探究与反思探究任务1：分式的概念【反思】形如______的式子叫分式.探究任务2：分式有意义的条件【反思】（1）分式有意义的条件是______.（2）分式值为零的条件是______.探究任务3：分式的基本性质【反思】分式的基本性质是_____；分式的约分_____.探究任务4：分式的乘除法【反思】分式的乘除法的法则是______.三、牛刀小试1. 下列分式中，当x =－2时，有意义的是（） A.22+-x x B.22-+x x C.2||2-+x x D.422--x x 2.cdax cd ab 4322-÷等于（） A.－x b 322 B.23 b 2x C.x b 322D.－222283d c x b a 3. 当x =________时，分式42322-+-x x x 的值为零. 4. 化简分式yx xy xy y x 3322-+得________. 5.m m m m m --⋅-+-3249622=_______.【模拟试题】（满分100分，答题时间：90分钟）一、认认真真选（每题4分，共32分）1. 分解因式－4x 2y+2xy 2－xy 的结果是（）A.－4（x 2+2xy 2－xy ）B.－xy （－4x+2y －1）C.－xy （4x －2y+1）D.－xy （4x －2y ）2.下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（）A.x 2－xy 2B.－1+y 2C.2y 2+2D.x 3－y 33.多项式4a 2+ma+25是完全平方式，那么m 的值是（）A.10B.20C.－20D.±204.在一个边长为12.75 cm 的正方形纸板内，割去一个边长为7.25 cm 的正方形，剩下部分的面积等于（）A.100 cm 2B.105 cm 2C.108 cm 2D.110 cm 25. 下列各式能用完全平方公式分解因式的是（）A.4x 2+1B.4x 2－4x －1C.x 2+xy+y 2D.x 2－4x+46.把412+-m m 分解因式为（） A.2)41(+m B. 2)41(-m C. 2)21(+m D. 2)21(-m 7.若m +n =3，则222426m mn n ++-的值为（）A.12B.6C.3D.08.无论x ，y 取何值时，4012222++-+y x y x 的值都是（） A.正数B.负数C.零D.非负数二、仔仔细细填（每小题4分，共20分）9.分解因式：39a a -=______.10.分解因式：ab b a 8)2(2+-=______.11.如果x+y=4，x －y=8，那么代数式22y x -的值是_____.12.分解因式：814-x =______.13.计算：99810029992⨯-=______.三、解答题（48分）﹡14.（8分）分解因式：22216)4(x x -+﹡15.（8分）分解因式：1)2(2)2(222+-+-x x x x﹡16.（10分）已知x ，y 为任意有理数，若M=22b a +，N=2ab ，你能确定M ，N 的大小吗？﹡17.（10分）求证：若a ，b 均为正数，且06363223=--+abc c a b a a ，则a=c. ﹡﹡18. （12分）（1）计算：42－22=_____；62－42=_____；82－62=_____；102－82=_____.（2）根据以上计算，你发现什么规律？（3）用分解因式说明你发现的规律.【试题答案】一、1.C 【思路分析】分解因式时，首先观察有没有公因式可提，然后再看是否有公式可用，一定要使结果分解到不能再分为止.2.B 【思路分析】只有两个平方项的符号相反才能利用平方差公式.3.D 【思路分析】可以判断ma 是另两项底数的乘积的2倍，故ma=2·2a·5 或ma=－2·2a·5， 解得m=20或m=－20.4.D 【思路分析】剩余部分的面积等于=-+=-)25.775.12)(25.775.12(25.775.1222⨯20.1105.5=5.D 【思路分析】完全平方公式一定有三项，且平方项一定是符号相同，2倍项可正可负6. D 【思路分析】直接运用平方差公式即可.7.A 【思路分析】6)(26)2(2624222222-+=-++=-++n m n mn m n mn m然后整体代入即可.8.A 【思路分析】3)6()1(401222222+++-=++-+y x y x y x ≥3.二、9.)3)(3(a a a -+【思路分析】).3)(3()9(923a a a a a a a -+=-=-10.2)2(b a +【思路分析】 222222)2(448448)2(b a bab a abb ab a abb a +=++=++-=+-11.32【思路分析】3284))((22=⨯=-+=-y x y x y x .12.)3)(3)(9(2-++x x x【思路分析】 )3)(3)(9()9)(9(9)(812222224-++=-+=-=-x x x x x x x13. －1995【思路分析】 99810029992⨯-=)21000)(21000(9992-+-=)41000(99922--=4100099922+-=4)1000999)(1000999(+-+=－1999+4=－1995三、解答题（48分）14.解：2222222222)2()2()44)(44()4()4(16)4(-+=+-++=-+=-+x x x x x x x x x x . 【思路分析】多项式22216)4(x x -+整体上可以看作两项，是平方差的形式，直接运用公式即可.15.解：设y x x =-22，则原式=122++y y=2)1(+y=22)12(+-x x=[]22)1(-x =4)1(-x 【思路分析】解决这类问题时，注意整体的数学思想的应用. 16.解：能确定M 、N 的大小.因为M －N=22b a +－2ab=（a －b ）2≥0，所以M≥N.【思路分析】此题先应用完全平方公式写成平方的形式，再根据平方的非负性加以说明.17.解：∵06363223=--+abc c a b a a ，∴06633223=-+-abc b a c a a ，∴0)(6)(32=-+-c a ab c a a ，∴0))(63(2=-+c a ab a ，∴0))(2(3=-+c a b a a∵a ，b 均为正数，所以a+2b>0，∴a －c=0，∴a=c.【思路分析】先将多项式进行分解因式，几个因式相乘等于0，则至少有一个因式为0.在此题中，还用到了分组法分解因式，当多项式的项数大于3的时候，要考虑用提公因式法或分组法来进行分解因式.18.解：（1） 42－22=12， 62－42=20， 82－62=28， 102－82=36.（2）左边是两个连续偶数的平方差，右边都是4的倍数，说明两个连续偶数的平方差能被4整除.（3）设较大的偶数为2n ，较小的偶数为2n －2，则 ),12(4)24(2)222)(222()22()2(22-=-=+--+=--n n n n n n n n∵4（2n －1）是4的倍数，∴（2n ）2－（2n －2）2能被4整除.【思路分析】首先计算得出结果填空，再仔细观察左、右两边的代数式，发现规律后再加以证明.。