2013高考风向标文科数学一轮课时知能训练：第1章 第3讲 简单的逻辑联结词

高考数学第一轮复习简单的逻辑联结词知识点在科学进展和现代生活生产中的应用专门广泛，以下是查字典数学网为大伙儿整理的简单的逻辑联结词知识点，期望能够解决您所遇到的相关问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。

一、简单的逻辑联结词1.用联结词且联结命题p和命题q，记作pq，读作p且q.2.用联结词或联结命题p和命题q，记作pq，读作p或q.3.对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作非p或p的否定.4.命题pq，pq，綈p的真假判定：pq中p、q有一假为假，pq有一真为真，p与非p必定是一真一假.二、全称量词与存在量词1.全称量词与全称命题(1)短语所有的任意一个在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示.(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题.(3)全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立可用符号简记为xM，p(x)，读作对任意x属于M，有p(x)成立.2.存在量词与特称命题(1)短语存在一个至少有一个在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示.(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题.(3)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立可用符号简记为x0M，P(x0)，读作存在M中的元素x0，使p(x0)成立.三、含有一个量词的命题的否定命题命题的否定xM，p(x)x0M，綈p(x0)x0M，p(x0)xM，綈p(x)四、解题思路1.逻辑联结词与集合的关系或、且、非三个逻辑联结词，对应着集合运算中的并、交、补，因此，常常借助集合的并、交、补的意义来解答由或、且、非三个联结词构成的命题问题.2.正确区别命题的否定与否命题否命题是对原命题若p，则q的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论;命题的否定即非p，只是否定命题p的结论. 命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必定联系.3.全称命题真假的判定方法(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立;语文课本中的文章差不多上精选的比较优秀的文章,还有许多名家名篇。

课时作业(三) [第3讲 简单的逻辑联结词][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．[2012·合肥期末] 已知，命题甲：x ≠1且y ≠2；命题乙：x ＋y ≠3，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若命题p ：2n －1是奇数，q ：2n ＋1是偶数(n ∈Z )，则下列说法中正确的是( )A ．p 或q 为真B ．p 且q 为真C ．非p 为真D ．非q 为假3．已知命题p ：3≥3；q ：3>4，则下列选项正确的是( )A ．p 或q 为假，p 且q 为假，綈p 为真B ．p 或q 为真，p 且q 为假，綈p 为真C ．p 或q 为假，p 且q 为假，綈p 为假D ．p 或q 为真，p 且q 为假，綈p 为假4．已知实数a 满足1<a <2，命题p ：函数y ＝log a (2－ax )在[0,1]上是减函数，命题q ：“|x |<1”是“x <a ”的充分不必要条件，则下面说法正确的是________．①p 或q 为真命题； ②p 且q 为假命题；③綈p 且q 为真命题； ④綈p 或綈q 为真命题．能力提升5．[2012·宁波模拟] 若命题甲：“p 且q 是真命题”， 命题乙：“p 或q 是真命题”，则命题甲是命题乙的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知命题p ：x ∈A ∪B ，则綈p 是( )A ．x ∉A ∩B B ．x ∉A 或x ∉BC ．x ∉A 且x ∉BD ．x ∈A ∩B7．已知p ：x 2－2x －3≥0，q ：x ∈Z .若p 且q ，綈q 同时为假命题，则满足条件的x 的集合为( )A ．{x |x ≤－1或x ≥3，x ∉Z }B ．{x |－1≤x ≤3，x ∉Z }C ．{x |x <－1或x >3，x ∈Z }D ．{x |－1<x <3，x ∈Z }8．[2011·浙江名校联考] 已知m >0，命题p ：函数f (x )＝log m x 是(0，＋∞)的增函数，命题q ：g (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫mx 2－ 23x ＋m 的值域为R ，且p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，则实数m 的范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，＋∞B.⎝⎛⎦⎤0，13 C.⎝⎛⎦⎤0，13∪()1，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫13，1 9．若条件p ：x ∈A ∩B ，则綈p ：________________________________________________________________________.10．命题p ：x 2＋2x －3>0，命题q ：13－x>1，若綈q 且p 为真，则x 的取值范围是________．11．[2011·威海模拟] 已知命题p ：f (x )＝1－2m x在区间(0，＋∞)上是减函数；命题q ：不等式(x －1)2>m 的解集为R .若命题“p ∨q ”为真，命题“p ∧q ”为假，则实数m 的取值范围是________．12．(13分)命题p ：方程x 2－x ＋a 2－6a ＝0，有一正根和一负根．命题q ：函数y ＝x 2＋(a －3)x ＋1的图象与x 轴无公共点．若命题“p ∨q ”为真命题，而命题“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．难点突破 13．(12分)已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求c 的取值范围．课时作业(三)【基础热身】1．A [解析] 全称命题是∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2≥2xy 都成立，故选A.2．B [解析] 全称命题的否定为特称命题．命题p 的否定为“∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋3>0”，故选B.3．D [解析] 命题p 为真命题，命题q 为假命题，因此①p 且q 为假，②p 或q 为真，③綈p 为假．4．(－∞，1] [解析] 綈p 是假命题，则命题p 是真命题，即关于x 的方程4x －2x ＋1＋m ＝0有实数解，而m ＝－(4x －2x ＋1)＝－(2x －1)2＋1，所以m ≤1.【能力提升】5．B [解析] 易知①当x ＝0时不等式不成立，对于全称命题只要有一个情况不满足，命题即假，①错；②错，只需两个命题中至少有一个为假即可；③正确，全称命题的否定是特称命题．即只有一个命题是正确的，故选B.6．D [解析] p ：x ≥3或x ≤－1，q ：x ∈Z .由p 且q ，綈q 同时为假命题知，p 假q 真，所以x 满足－1<x <3且x ∈Z ，故满足条件的集合为{} |x －1<x <3，x ∈Z .7．D [解析] 取x ＝12，则log 12x ＝1，log 13x ＝log 32<1，p 2正确，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，⎝⎛⎭⎫12x <1，而log 13x >1，p 4正确．8．A [解析] f ′(x )＝－e x (x ＋1)，由于函数f (x )在(－∞，－1)上递增，在(－1，＋∞)上递减，故f (x )max ＝f (－1)＝1e ，故∀a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，1e ，∃x 0∈R ，f (x 0)>a . 9．∃x 0<0，使(1＋x 0)(1－9x 0)>010．真 [解析] 由于∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34＞0，因此只需m 2－m ≤0，即0≤m ≤1，所以当m ＝0或m ＝1时，∀x ∈R ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1成立，因此该命题是真命题．11．0≤m <12 [解析] 由f (x )＝1－2m x 在区间(0，＋∞)上是减函数，得1－2m >0，即m <12，由不等式(x －1)2>m 的解集为R ，得m <0.要保证命题“p ∨q ”为真，命题“p ∧q ”为假，则需要两个命题中只有一个正确，而另一个不正确，故0≤m <12. 12．[解答] 命题p ：⎩⎨⎧ Δ＝1－4(a 2－6a )>0，x 1x 2＝a 2－6a <0，解得0<a <6；q ：Δ＝(a －3)2－4＝(a －1)(a －5)<0，解得1<a <5.“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，即p 、q 中恰为一真一假，因为(1,5)(0,6)，故只能为p 真q 假，则由⎩⎨⎧0<a <6，a ≤1或a ≥5，得a ∈(0,1]∪[5,6)． 【难点突破】13．[解答] 若命题p 为真，则0<c <1，由2≤x ＋1x ≤52知，要使q 为真，需1c <2，即c >12.若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则p 、q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12； 当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1.综上可知，c的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪ 0<c ≤12或c ≥1.。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.3 简单的逻辑联结词课时训练新人教版选修2-1一、选择题1．(2013·蒙阴高二期末)命题“ab≠0”是指( )A．a≠0且b≠0B．a≠0或b≠0C．a、b中至少有一个不为0D．a、b不都为0【解析】只有a≠0且b≠0，才有ab≠0.【答案】 A2．(2013·许昌高二检测)已知命题p：3≥3，q：3＞4，则下列判断正确的是( ) A．p∨q为真，p∧q为真，綈p为假B．p∨q为真，p∧q为假，綈p为真C．p∨q为假，p∧q为假，綈p为假D．p∨q为真，p∧q为假，綈p为假【解析】∵p为真命题，q为假命题，∴p∨q为真，p∧q为假，綈p为假，应选D.【答案】 D3．下列各组命题中，满足“‘p或q’为真，‘p且q’为假，‘非p’为真”的是( ) A．p：0＝∅；q：0∈∅B．p：在△ABC中，若cos 2A＝cos 2B，则A＝B；q：y＝sin x在第一象限是增函数C．p：a＋b≥2ab(a，b∈R)；q：不等式|x|＞x的解集是(－∞，0)D．p：圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的面积被直线x＝1平分；q：直线y＝2x＋1的倾斜角为30°【解析】由已知“綈p”为真命题，故p为假命题，又因为“p或q”为真，“p且q”为假，故q为真命题，应选C.【答案】 C4．(2013·东北师大附中质检)已知p，q为两个命题，则“p∨q是假命题”是“綈p 为真命题”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】“p∨q”为假，则p与q均是假命题，綈p为真命题，又綈p为真命题，则p为假命题．但若q为真命题，则推不出p∨q是假命题．【答案】 A5．(2013·连云港高二检测)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y ＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2，q4：p1∧(綈p2)中，真命题是( )A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4【解析】∵y＝2x在R上增函数，y＝2－x在R上是减函数，∴y＝2x－2－x在R上是增函数为真命题，y＝2x＋2－x在R上为减函数是假命题．因此p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，∴q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题．∴真命题是q1，q4，故选C.【答案】 C二、填空题6．分别用“p∨q”、“p∧q”、“綈p”填空．(1)命题“15能被3和5整除”是________形式；(2)命题“16的平方根是4或16的平方根是－4”是________形式．(3)命题“π不是有理数”是________形式．【答案】(1)“p∧q”(2)“p∨q”(3)“綈p”7．若x∈{x|x＜4或x≥10}是假命题，则x的取值范围是________．【解析】由题意其否定为真，即4≤x＜10成立．【答案】[4,10)8．(2013·泰安高二检测)命题p：若mx2－mx－1＜0恒成立，则－4＜m＜0.命题q：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }，则“p ∨q ”，“綈p ”，“綈p ∧q ”中是真命题的是________．【解析】 若mx 2－mx －1＜0恒成立，则m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0，解之得－4＜m ≤0.∴命题p 是假命题．又(x －a )(x －b )<0的解集与a ，b 大小有关，∴q 假．因此“綈p ”为真，“p ∨q ”与“綈p ∧q ”为假．【答案】 綈p三、解答题9．用“且”、“或”改写下列命题并判断真假：(1)1不是质数也不是合数；(2)2既是偶数又是质数；(3)5和7都是质数；(4)2≤3.【解】 (1)p ：1不是质数；q ：1不是合数，p ∧q ：1不是质数且1不是合数．(真)(2)p ：2是偶数；q ：2是质数；p ∧q ：2是偶数且2是质数．(真)(3)p ：5是质数；q ：7是质数；p ∧q ：5是质数且7是质数．(真)(4)2≤3⇔2＜3或2＝3.(真)10．写出下列各命题的否定形式及否命题：(1)若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0；(2)菱形的对角线相等且互相垂直；(3)若m 2＋n 2＋a 2＋b 2＝0，则实数m ，n ，a ，b 全为零．【解】 (1)否定形式：若xy ＝0，则x ≠0且y ≠0；否命题：若xy ≠0，则x ≠0且y ≠0.(2)否定形式：菱形的对角线不相等或不互相垂直；否命题：如果一个四边形不是菱形，则它的对角线不相等或不互相垂直．(3)否定形式：若m 2＋n 2＋a 2＋b 2＝0，则实数m ，n ，a ，b 不全为零；否命题：若m 2＋n 2＋a 2＋b 2≠0，则实数m ，n ，a ，b 不全为零．11．(2013·扬州高二检测)已知m ＞0，p ：(x ＋2)(x －6)≤0，q ：2－m ≤x ≤2＋m . (1)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若m ＝5，“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数x 的取值范围．【解】 p ：－2≤x ≤6，q ：2－m ≤x ≤2＋m (m >0)．(1)∵p 是q 的充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－m ≤－2，2＋m ≥6，解之得m ≥4. 故实数m 的取值范围是[4，＋∞)．(2)当m ＝5时，q ：－3≤x ≤7.∵“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，∴p 、q 一真一假，当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤6，x <－3或x >7，无解； 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧ x <－2或x >6，－3≤x ≤7， 解得－3≤x <－2或6<x ≤7.综上，实数x 的取值范围是[－3，－2)∪(6,7].。

一、选择题1．命题p ：x ＝π是函数y ＝sin x 图象的一条对称轴；q ：2π是y ＝sin x 的最小正周期，下列复合命题：①p ∨q ；②p ∧q ；③綈p ；④綈q ，其中真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由于命题p 是假命题，命题q 是真命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 是真命题，綈q 是假命题，因此①②③④中只有①③为真．答案：C2．已知命题p 、q ，“非p 为真命题”是“p 或q 是假命题”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意知，p 是假命题，不能推出p 或q 是假命题．但当p 或q 是假命题时，p 一定是假命题，所以非p 为真命题是p 或q 是假命题的必要不充分条件．答案：B3．(2012·蚌埠模拟)已知命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x <3x ；命题q ：∀x ∈(0，π2)， tan x >sin x ．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧q 解析：由条件知，p 是假命题；又由三角函数可知q 是真命题，故綈p 为真， 所以(綈p )∧q 为真．答案：D4．下列命题中是假命题的是( )A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·x m 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上递减B ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点C ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数解析：对A ，当m ＝2时，f (x )＝1x是幂函数且在(0，＋∞)上递减；对B ，由于Δ＝1＋4a >0，故f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点；对C ，当α＝π4，β＝0时，有cos(π4＋0)＝cos π4＋sin0；对D ，当φ＝π2时，f (x )是偶函数，故D 是假命题． 答案：D5．设集合A ＝{x |－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A ，若p ∨q 为真命题，p∧q为假命题，则a的取值范围是( )A．0<a<1或a>2 B．0<a<1或a≥2C．1<a≤2 D．1≤a≤2解析：由p∨q为真，p∧q为假可知p、q中一真一假．若p真q假，则1<a≤2；若p 假q真，则a不存在．答案：C6．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A．∃x∈R，f(x)≤f(x0) B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)C．∀x∈R，f(x)≤f(x0) D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)解析：由题知：x0＝－b2a为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的．答案：C二、填空题7．命题p：“∃x∈R，x2＋1<2x”的否定綈p：________、綈p的真假为________．答案：∀x∈R，x2＋1≥2x真8．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝x－3的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”、“p∧q”、“綈p”中是真命题的有________．解析：依题意p假，q真，所以p∨q，綈p为真．答案：p∨q，綈p9．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：3∈A∪B，则命题“非p”是________．解析：p：3∈A或3∈B，∴綈p：3∉A且3∉B，∴綈p：3∈(∁U A∩∁U B)．答案：3∈(∁U A∩∁U B)三、解答题10．用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题，并判断真假．(1)所有的实数a、b，方程ax＋b＝0恰有惟一解．(2)存在一个三角形，内角和不等于180°.解：(1)∀a、b∈R，方程ax＋b＝0恰有惟一解，假命题．(2)∃△ABC，使得∠A＋∠B＋∠C≠180°，假命题．11．在一次投篮训练中，小明连续投了2次．设命题p是“第一次投中”，命题q是“第二次投中”．试用p，q以及逻辑联结词“∧，∨，綈”表示下列命题：(1)两次都没投中；(2)两次都投中了；(3)恰有一次投中；(4)至少有一次投中；(5)至多有一次投中．解：依题意及逻辑联结词的意义，(1)两次没投中可表示为(綈p )∧(綈q )；(2)两次都投中了可表示为p ∧q ；(3)恰有一次投中可表示为[p ∧(綈q )]∨[(綈p )∧q ]；(4)至少有一次投中可表示为p ∨q ；(5)至多有一次投中可表示为綈(p ∧q )．12．已知命题P ：函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增；命题Q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立．若P ∨Q 是真命题，求实数a 的取值范围解：命题P 函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增；∴0<a <1.又∵命题Q 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立；∴a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，Δ＝4a －22＋16a －2<0，即－2<a ≤2.∵P ∨Q 是真命题，∴a 的取值范围是－2<a ≤2。

课时跟踪训练(三) 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[基础巩固]一、选择题1．下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∀x ∈R,2x －1>0C ．∃x ∈R ，lg x <1D ．∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2[解析] 对于D 选项，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，故D 错，易得A 、B 、C 正确．[答案] D2．命题“∃x 0∈N ，x 20＋2x 0≥3”的否定为( ) A ．∃x 0∈N ，x 20＋2x 0≤3 B ．∀x ∈N ，x 2＋2x ≤3 C ．∃x 0∈N ，x 20＋2x 0<3 D ．∀x ∈N ，x 2＋2x <3[解析] 命题“∃x 0∈N ，x 20＋2x 0≥3”的否定为“∀x ∈N ，x 2＋2x <3”．故选D. [答案] D3．(2017·云南玉溪一中第四次月考)已知命题p ：在△ABC 中，“C >B ”是“sin C >sin B ”的充分不必要条件；命题q ：“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是( )A ．p 真q 假B ．p 假q 真C ．p ∨q 为假D ．p ∧q 为真[解析] 在△ABC 中，若C >B ，根据大角对大边，可得c >b ，再由正弦定理边角互化，可得sin C >sin B ，反之也成立．所以在△ABC 中，C >B 是sin C >sin B 的充要条件，故命题p 是假命题．由a >b ，当c ＝0时，ac 2>bc 2不一定成立，但若ac 2>bc 2成立，则a >b 成立，所以a >b 是ac 2>bc 2的必要不充分条件，故命题q 是假命题．所以p ∨q 为假．故选C.[答案] C4．若命题“∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－4,0) B ．(－4,0]C ．(－∞，－4]∪(0，＋∞)D ．(－∞，－4)∪[0，＋∞)[解析] 命题：“∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题．当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0，且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0.综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]．[答案] B5．(2018·河北衡水中学调研)已知命题p ：方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根；命题q ：函数f (x )＝x ＋4x的最小值为4.给出下列命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨(綈q )．则其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由于Δ＝4a 2＋4>0，所以方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根，即命题p 是真命题；当x <0时，f (x )＝x ＋4x的值为负值，故命题q 为假命题，所以p ∨q ，p ∧(綈q )，綈p∨(綈q )是真命题，故选C.[答案] C6．(2017·安徽蚌埠质检)给出以下命题：①∀a ∈R ，函数y ＝x 3＋ax 2＋1不是偶函数；②∃a ∈R ，函数y ＝ax 2－x ＋1是奇函数；③∀m >0，函数g (x )＝mx |x |在R 上单调递增；④∃m >0，函数g (x )＝mx 2＋2x －1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减．其中正确命题的序号是( ) A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④[解析] 显然，命题①为真，命题②为假．对于命题③，由于y ＝mx |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧mx 2，x ≥0，－mx 2，x <0，所以当m >0时，y ＝mx |x |在R 上单调递增，命题为真；对于命题④，若y ＝mx 2＋2x －1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，必有⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－1m ≤12，解得m ≤－2，故命题为假．综上可得，正确命题为①③.[答案] A7．(2017·福建福州外国语学校期中)已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )≠－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠－f (x 0)[解析] ∵定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，∴∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )为假命题，∴∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)为真命题．故选C.[答案] C 二、填空题8．(2017·安徽合肥一模)命题：∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1<0的否定为____________________． [解析] 写命题的否定时，除结论要否定外，存在量词与全称量词要互换，因此命题：∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1<0的否定为∀x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0.[答案] ∀x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0 9．已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．[解析] 因为命题p 是假命题，所以綈p 为真命题，即∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12>0恒成立．当a ＝0时，x >－12，不满足题意；当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－4×12×a <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a >12，所以a >12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞10．(2018·甘肃兰州一中月考)已知命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为________．[解析] 当命题p 为真命题时，m ＋1≤0，解得m ≤－1.当命题q 为真命题时，Δ＝m 2－4×1×1<0，解得－2<m <2.当命题p ∧q 为真命题时，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－1，－2<m <2⇒－2<m ≤－1.所以命题p ∧q 为假命题时，m 的取值范围是(－∞，－2]∪(－1，＋∞)．[答案] (－∞，－2]∪(－1，＋∞)[能力提升]11．(2017·河北五个一名校联考)命题“∃x 0∈R,1<f (x 0)≤2”的否定形式是( )A．∀x∈R,1<f(x)≤2B．∃x∈R,1<f(x)≤2C．∃x∈R，f(x)≤1或f(x)>2D．∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2[解析] 根据特称命题的否定是全称命题可知原命题的否定形式为“∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2”．故选D.[答案] D12．(2017·安徽安庆二模)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1x0>3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是( )A．p∧(綈q) B．(綈p)∧qC．p∧q D．(綈p)∨q[解析] 对于命题p，当x0＝4时，x0＋1x0＝174>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧(綈q)为真命题，故选A.[答案] A13．(2017·湖北黄冈二模)下列四个结论：①若x>0，则x>sin x恒成立；②命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x－sin x≠0”；③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x－ln x>0”的否定是“∃x0∈R，x0－ln x0<0”．其中正确结论的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4[解析] 对于①，令y＝x－sin x，则y′＝1－cos x≥0，则函数y＝x－sin x在R上递增，则当x>0时，x－sin x>0－0＝0，即当x>0时，x>sin x恒成立，故①正确；对于②，命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”，故②正确；对于③，命题p ∨q 为真即p ，q 中至少有一个为真，p ∧q 为真即p ，q 都为真，可知“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件，故③正确；对于④，命题“∀x ∈R ，x －ln x >0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0≤0”，故④错误．综上，正确结论的个数为3，故选C.[答案] C14．(2017·甘肃高台一中第三次检测)设p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，使函数g (x )＝log 2(tx 2＋2x－2)有意义．若綈p 为假命题，则实数t 的取值范围为________．[解析] 因为命题綈p 为假命题，所以命题p 为真命题．∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，使函数g (x )＝log 2(tx 2＋2x －2)有意义等价于∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，使tx 2＋2x －2>0成立，即∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，使t >2x 2－2x 成立．令h (x )＝2x 2－2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，则∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，使t >2x 2－2x 成立等价于t >h (x )min .因为h (x )＝2x 2－2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122－12，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，所以当1x ＝12，即x ＝2时，h (x )min ＝－12，所以t >－12.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞15．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围．[解] (1)∵对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，∴(2x －2)min ≥m 2－3m ，即m 2－3m ≤－2，解得1≤m ≤2.因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1,2]． (2)∵a ＝1，且存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立， ∴m ≤1.因此，命题q 为真时，m ≤1.∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，m >1得1<m ≤2；当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m <1或m >2，m ≤1，得m <1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．[延伸拓展](2017·皖南名校4月联考)设命题p ：函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1,1]上单调递减；命题q ：函数y ＝ln(x 2＋ax ＋1)的值域是R ，如果命题p 或q 是真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，－2]∪[2,3)C ．(2,3]D ．[3，＋∞)[解析] 若p 为真命题，则f ′(x )＝3x 2－a ≤0在区间[－1,1]上恒成立，即a ≥3x 2在区间[－1,1]上恒成立，所以a ≥3；若q 为真命题，则方程x 2＋ax ＋1＝0的判别式Δ＝a 2－4≥0，即a ≥2或a ≤－2.由题意知，p 与q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，－2<a <2，则a ∈∅；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a <3，a ≥2或a ≤－2，则a ≤－2或2≤a <3.综上所述，a ∈(－∞，－2]∪[2,3)．故选B.[答案] B。