充分必要条件1

充分必要条件一、选择题1．(2012年浙江调研)在△ABC中，“A＝60°”是“cos A＝12”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分而不必要条件解析：在△ABC中，若A＝60°，则cos A＝12；反过来，若cos A＝12，因为0°<A<180°，所以A＝60°.因此，在△ABC中，“A＝60°”是“cos A＝12”的充要条件，选C.答案：C2．(2012年浙江)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：l1与l2平行的充要条件为a(a＋1)＝2×1且a×4≠1×(－1)，可解得a＝1或a＝－2，故a＝1是l1∥l2的充分不必要条件．答案：A3．(2012年山东潍坊一模)命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是() A．a≥4 B．a≤4C．a≥5 D．a≤5解析：原命题等价于“a≥x2对于任意x∈[1,2]恒成立”，其充要条件是a≥4，所以C正确．答案：C4．(2012年福建)下列命题中，真命题是() A．∃x0∈R，e x0≤0B．∀x∈R,2x>x2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab ＝－1 D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件解析：∵∀x ∈R ，e x >0，∴A 错；∵函数y ＝2x 与y ＝x 2有交点．如点(2,2)，此时2x ＝x 2，∴B 错；∵当a ＝b ＝0时，a ＋b ＝0，而0作分母无意义，∴C 错；a >1，b >1，由不等式可乘性知ab >1，∴D 正确．答案：D5．(2013届湖北省黄冈中学高三10月月考)以下说法错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 3－3x ＋2≠0”B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．若命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，则x 2＋x ＋1≥0 解析：若p ∧q 为假命题，则只需p 、q 至少有一个为假命题即可． 答案：C6．(2012～2013学年度河北省普通高中高三11月教学质量监测)“a 2＋b 2ab ≤－2”是“a >0且b <0”的( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要解析：a 2＋b 2ab ＋2＝(a ＋b )2ab ≤0⇔ab <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a <0b >0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0b <0，则选A. 答案：A 二、填空题7．(2012年茂名模拟)若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立； 当a ≠0时，得⎩⎨⎧a <0Δ＝4a 2＋12a ≤0， 解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0.8．已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件．现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④綈p 是綈s 的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件．则正确命题的序号是________． 解析：由题意知，∴s ⇔q ，①正确；p ⇒r ⇒s ⇒q ，∴p ⇒q ，但q p ，②正确；同理判断③⑤不正确，④正确．答案：①②④9．(2012年衡阳六校联考)给出下列命题： ①原命题为真，它的否命题为假； ②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真； ④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；⑤“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ”的逆命题． 其中真命题是________．(把你认为正确命题的序号都填在横线上) 解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，②③正确．又因为不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，(1)m ＝0时不合题意，(2)m ≠0时由⎩⎨⎧m >0Δ＝4(m ＋1)2－4m (m ＋3)<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >0m >1⇒m >1. 故⑤正确．三、解答题10．求证：关于x 的一元二次不等式ax 2－ax ＋1>0对于一切实数x 都成立的充要条件是0<a <4.证明：(1)必要性：若ax 2－ax ＋1>0对x ∈R 恒成立， 由二次函数性质有⎩⎨⎧a >0，Δ<0，即⎩⎨⎧a >0，a 2－4a <0，∴0<a <4. (2)充分性：若0<a <4，对函数y ＝ax 2－ax ＋1， 其中Δ＝a 2－4a ＝a (a －4)<0且a >0， ∴ax 2－ax ＋1>0对x ∈R 恒成立． 由(1)(2)知，命题得证．11．(2013届四川省资阳市高三第一次诊断性考试)命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(其中a >0)，命题q ：实数x 满足⎩⎨⎧|x －1|≤2，x ＋3x －2≥0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0，又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真时实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎨⎧|x －1|≤2，x ＋3x －2≥0，得⎩⎨⎧－1≤x ≤3，x ≤－3或x >2，解得2<x ≤3， 即q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3，若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是(2,3)． (2)由(1)知p ：a <x <3a ，则綈p ：x ≤a 或x ≥3a ， q ：2<x ≤3，则綈q ：x ≤2或x >3，綈p 是綈q 的充分不必要条件，则綈p ⇒綈q ，且綈q ≠綈p ， ∴⎩⎨⎧0<a ≤2，3a >3，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围是(1,2]． 12．(2013届山东潍坊市四县一校高三期中联考)已知条件p ：|5x －1|>a (a ≥0)和条件q ：12x 2－3x ＋1>0，请选取适当的非负数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A ，B 构造命题：“若A ，则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．解：已知条件p ：|5x －1|>a ，∴x <1－a 5或x >1＋a5. 已知条件q ，即2x 2－3x ＋1>0，∴x <12或x >1， 令a ＝4，则p ：x <－35或x >1， 此时必有p ⇒q 成立，反之不然． 故可以选取的一个非负实数是a ＝4. A 为p ，B 为q ，对应的命题是若p ，则q . 自以上过程可知这一命题的原命题为真命题， 但它的逆命题为假命题．(注：本题为开放性命题，答案不惟一，只需满足1－a 5≤12，且1＋a5≥1(端点等号不同时取得)即可)[热点预测]13．(1)(2012年北京朝阳二模)下列命题： p ：函数f (x )＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π；q ：已知向量a ＝(λ，1)，b ＝(－1，λ2)，c ＝(－1,1)，则(a ＋b )∥c 的充要条件是λ＝－1；r ：若⎠⎛1a 1x d x ＝1(a >1)，则a ＝e.其中所有的真命题是( )A ．rB ．p ，qC ．q ，rD ．p ，r(2)(2012年浙江温州月考)已知向量a ＝(n,4)，b ＝(n ，－1)，则“n ＝2”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：(1)本题主要考查命题真假的判断，涉及的知识点比较多，需逐一判断．命题p ：∵f (x )＝sin 4x －cos 4x＝(sin 2x －cos 2x )(sin 2x ＋cos 2x )＝－cos 2x ， ∴最小正周期T ＝2π2＝π，故命题p 为真命题；命题q ：∵a ＋b ＝(λ－1,1＋λ2)，c ＝(－1,1)且(a ＋b )∥c ， ∴λ－1－1＝1＋λ21. 解得λ＝0或－1，故命题q 为假命题； 命题r ：⎠⎛1a 1x d x ＝ln x |a1＝ln a －ln 1＝ln a ＝1，∴a ＝e ，∴命题r 为真命题．故D 正确．(2)当n ＝2时，a ＝(2,4)，b ＝(2，－1)，a ·b ＝4－4＝0，∴a ⊥b ；当a ⊥b 时，a ·b ＝n 2－4＝0，得n ＝2或－2.∴“n ＝2”是“a ⊥b ”的充分不必要条件．故选A. 答案：(1)D (2)A。