上海市闸北区2014—2015学年(一模)高三数学理科试卷

闸北区2013学年高三年级五月考试数 学 试 卷（理科）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名及准考证号等填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．答题时客观题用2B 铅笔按要求涂写，主观题用黑色水笔填写． 2．本试卷共有23道题，共4页．满分150分，考试时间120分钟． 3．考试后只交答题纸，试卷由考生自己保留．一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.函数）（32sin )(πx x f +=的最小正周期为=T π ,2. 函数)1(log 2-=x y 的反函数为___R x y x ∈+=,12____3. 已知集合},11{R x x x A ∈<-=,}034{2<+-=x x x B ，则B A =_)2,1(____ 4. 已知)0,2(,53cos πx x -∈=， 则11cos sin x x =____57-____ 5.6)1xx -（的展开式中2x 的系数为_______15______．(用数字作答)6. 设i 是虚数单位，复数i +1为方程)(022R m m x x ∈=+-的一个根，则m =_____2____．7. 从4名男同学和3名女同学中随机选出3人参加演讲比赛,则女同学被抽到的数学期望为______79___ 8. 某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是π2时，则该圆锥体的体积是π33． 9. 已知ABC Δ的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且BC Aa cbc sin sin sin +=--, 则=B ___3π____10. 极坐标系中,B A ,分别是直线07sin 4cos 3=+-θρθρ和圆θρcos 2=上的动点,则B A ,两点之间距离的最小值是 1 .PDCAB 11. 对于正项数列{}n a ，定义nn na a a a nH +⋯+++=32132为{}n a 的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为21+=n H n ，则数列{}n a 的通项公式为_____*,12N n na n ∈+=_____12. 过点))(0,12*N n n ∈-（且方向向量为）（1,2的直线交椭圆1422=+y x 于n n B A ,两点，记原点为O ,n n B OA Δ面积为n S ,则=∞→n n S lim __1______13. 将正整数21,2,3,4,,n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数,a b （a b >）的比值ab，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.若ij a 表示某个n 行n 列数表中第i 行第j 列的数（1i n ≤≤，1j n ≤≤），且满足(1),(1),ij i j i n i j a i n i j n i j +--<⎧=⎨+-+-≥⎩， ，，当4=n 时数表的“特征值”为______45___14. 如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，(0)BC a a =>，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD =，PB PC y ⋅=，对于函数()y f x =，给出以下三个结论：○1 当2a =时，函数()f x 的值域为[1,4]； ○2对任意0>a ，都有(1)1f =成立；○3对任意0>a ，函数()f x 的最大值都等于4. ④存在实数0>a ,使得函数)(x f 最小值为0 。

数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)考生注意：1.本试卷共4页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 .2.若复数12i z =+,其中i 是虚数单位,则1(z )z z+= .3.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 .4.设2,(,),(),[,),x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩若(2)4f =,则a 的取值范围为 .5.若实数x ,y 满足1xy =,则222x y +的最小值为 .6.若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.7.已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=,则C 与极轴的交点到极点的距离是 .8.设无穷等比数列{}n a 的公比为q .若134lim()n n a a a a →∞=+++,则q = .9.若2132()f x x x =-,则满足()0f x ＜的x 的取值范围是 .10.为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）. 11.已知互异的复数a ,b 满足0ab ≠,集合22{,}{,}a b a b =,则a b += . 12.设常数a使方程sin x x a =在闭区间[0,2π]上恰有三个解1x ,2x ,3x ,则123x x x ++= .13.某游戏的得分为1,2,3,4,5,随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分.若() 4.2E ξ=,则小白得5分的概率至少为 .14.已知曲线C：x =,直线l ：6x =.若对于点(,0)A m ,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP AQ +=0,则m 的取值范围为 .二、选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.设,a b ∈R ,则“4a b +＞”是“2a ＞且2b ＞”的( ) A .充分条件 B .必要条件C .充分必要条件D .既非充分又非必要条件16.如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB 是一条侧棱,(1,2,,8)i P i =是上底面上其余的八个点,则(1,2,,8)i AB AP i =的不同值的个数为( )A .1B .2C .4D .817.已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点,则关于x 和y 的方程组11221,1,a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是 ( )A .无论k ,1P ,2P 如何,总是无解B .无论k ,1P ,2P 如何,总有唯一解姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）C .存在k ,1P ,2P ,使之恰有两解D .存在k ,1P ,2P ,使之有无穷多解18.设2(),0,()1,0,x a x f x x a x x ⎧-⎪=⎨++⎪⎩≤＞若(0)f 是()f x 的最小值,则a 的取值范围为 ( )A .[1,2]-B .[1,0]-C .[1,2]D .[0,2]三、解答题（本大题共5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其表面展开图是三角形123PP P ,如图.求123PP P △的各边长及此三棱锥的体积V .20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.设常数0a ≥,函数2()2x x af x a+=-.（Ⅰ）若4a =,求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；（Ⅱ）根据a 的不同取值,讨论函数()y f x =的奇偶性,并说明理由.21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图,某公司要在A ,B 两地连线上的定点C 处建造广告牌,其中D 为顶端,AC 长35 米,CB 长80 米.设点A ,B 在同一水平面上,从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.（Ⅰ）设计中CD 是铅垂方向,若要求2αβ≥,问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01 米）？（Ⅱ）施工完成后,CD 与铅垂方向有偏差.现在实测得38.12α=,18.45β=,求CD 的长（结果精确到0.01 米）.22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.在平面直角坐标系xOy 中,对于直线l ：0ax by c ++=和点111(,)P x y ,222(,)P x y ,即1122()(c)ax by c ax by η=++++.若0η＜,则称点1P ,2P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点,且曲线C 上存在点1P ,2P 被直线l 分隔,则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.（Ⅰ）求证：点(1,2)A ,(1,0)B -被直线10x y +-=分隔；（Ⅱ）若直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线,求实数k 的取值范围；（Ⅲ）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1,设点M 的轨迹为曲线E .求证：通过原点的直线中,有且仅有一条直线是E 的分隔线.23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤,*n ∈N ,11a =. （Ⅰ）若22a =,3a x =,49a =,求x 的取值范围； （Ⅱ）设{}n a 是公比为q 的等比数列,12n n S a a a =+++,1133n n n S S S +≤≤,*n ∈N ,求q 的取值范围；（Ⅲ）若1a ,2a ,⋅⋅⋅,k a 成等差数列,且121000k a a a +++=,求正整数k 的最大值,以及k 取最大值时相应数列1a ,2a ,⋅⋅⋅,k a 的公差.数学试卷 第5页（共14页） 数学试卷 第6页（共14页）1(1z z z ⎫=+=+⎪⎭【提示】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可),n a ++即【提示】由已知条件推导出a ，由此能求出数学试卷 第7页（共14页） 数学试卷 第8页（共14页）【提示】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连33π⎛⎫【解析】解：设小白得5分的概率至少为x ，则由题意知小白得1，2，3，4分的概率为1x -，∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，() 4.2E ξξ=，4(1)5 4.2x x -+=.，又因为0AP AQ +=，数学试卷 第9页（共14页） 数学试卷 第10页（共14页）【提示】通过曲线方程判断曲线特征，通过0AP AQ +=，说明23568(0,0,1)(0,1,1)(0,2,1)(1,0,1)(1,1,1)(1,2,1)(2,0,1)(2,2,1)B P P P P P ，，，，，，，，，，则(0,0,1)AB =，1(0,1,1)AP =，2(0,2,1)AP =，3(1,0,1)AP =(1,1,1)AP =5(1,2,1)AP =，(2,0,1)AP =7(2,1,1)AP =8(2,2,1)AP =i(i 1,2,,8)AB AP =的值均为1，故选A.根据向量数量积的几何意义，i AB AP 等于AB 乘以i AP 在AB 方向上的投影，而AP 在AB 方向上的投影是定值，||AB 也是定值，∴i AB AP 为定值【提示】建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案.数学试卷 第11页（共14页） 数学试卷 第12页（共14页）223ABC PQ =【提示】利用侧面展开图三点共线，判断,0)(0,),+∞2)(log ,)a +∞关于原点不对称，）根据反函数的定义，即可求出cos BC BD β，【提示】（1）利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论.1,2⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭2(2)||1y x +-=，即2]1x =)不是上述方程的解，即1,2)(1,2)-和2]10x -=得2]10x -=，21-，2(0)(2)(1)[16(1)15]0f k =--+<，所以方程与曲线E 有公共点，故直线综上可得，通过原点的直线中，有且仅有一条直线是【提示】（1）把A.B 两点的坐标代入η，再根据0η<，得出结论. （2）联立直线y kx =与曲线2241x y -=可解.2]1x =数学试卷 第13页（共14页） 数学试卷 第14页（共14页）131nq q-- ,,k a 的公差为(1)]1,2,,1n d k -≤-.1,2,,1k -2,3,,1k -时，由1(1)221k k ka k -=+-，即12,,,k a a a 的公差为的范围（3）依题意得到关于k 的不等式，得出k 的最大值，并得出k 取最大值时12,,,k a a a 的公差.【考点】等比数列的性质，数列的求和。

上海市闸北区2014届高三5月模拟考试理科数学试卷（带解析）1．执行如图所示的程序框图．若输入3x =，则输出k 的值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】C 【解析】试题分析：根据程序框图，,x k 的值依次为①3,0，②8,1，③13,2，④18,3，⑤23,4，⑥28,5，由于2324,2824<>，因此输出的5k =，选C ．考点：算法，程序框图．2．某高中学校采用系统抽样方法，从该校全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查.现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k 80050==16，即每16人抽取一个人.在1~16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33 ~ 48这16个数中应取的数是（ ） A ．40 B ．39 C ．38 D ．37 【答案】B 【解析】试题分析：由于716239+⨯=，因此选B ． 考点：系统抽样．3．已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则=∠21cos PF F ( )A ．14 B ．35 C ．45 D ．34【答案】D 【解析】试题分析：由题意，2a c =，122PF PF a -==即2PF =，1PF =又124FF =，所以22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠=34=． 考点：双曲线的定义与性质，余弦定理．4．函数()y f x =的定义域为]2,0()0,2[ -，其图像上任一点(,)P x y 都位于椭圆C ：1422=+y x 上，下列判断①函数()y f x =一定是偶函数；②函数()y f x =可能既不是偶函数，也不是奇函数；③函数()y f x =可能是奇函数；④函数()y f x =如果是偶函数，则值域是[1,0)(0,1]-或；⑤函数()y f x =值域是(1,1)-，则一定是奇函数.其中正确的命题个数有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C 【解析】试题分析：如图是椭圆的图象，去掉点(0,1),(0,1)C D -后，椭圆上每一点都有可能是函数()y f x =的图象上点，如图象是AC 弧和BD 弧，则()f x 不是偶函数；()f x 的图象可能取弧AC ，另外在BC 弧上取一段，在BD 弧上取一段，这样()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；当然也可能是奇函数，也有可能是偶函数；当()f x 为偶函数时，值域不一定是(1,0]-，也不一定是[0,1)；由图象的对称性，及当值域是(1,1)-时，函数一定是奇函数，因此②③⑤正确，选C ．考点：函数的奇偶性的定义．5．函数）（32sin )(πx x f +=的最小正周期为=T .【答案】π【解析】 试题分析：22T ππ==. 考点：三角函数的周期.6．函数)1(log 2-=x y 的反函数为_______. 【答案】R x y x ∈+=,12 【解析】试题分析：由题意得12y x -=，21yx =+，所以反函数为21x y =+.考点：反函数.7．已知集合},11{R x x x A ∈<-=,}034{2<+-=x x x B ，则B A =_____【答案】)2,1( 【解析】试题分析：{|02}A x x =<<,{|13}B x x =<<，所以{|12}(1,2)A B x x =<<=.考点：集合的运算.8．已知)0,2(,53cos πx x -∈=， 则11cos sin x x =_______【答案】57- 【解析】试题分析：由于(,0)2x π∈-，所以4s i n o s 5x ==-，所以11cos sin x x sin cos x x =-75=-．考点：行列式．9．6)1xx -（的展开式中2x 的系数为_____________．(用数字作答) 【答案】15【解析】试题分析：通项为6621661()(1)k k k k k k k T C x C x x--+=-=-，令622k -=，2k =，所以2x 的系数为226(1)15C -=．考点：二项展开式的系数．10．设i 是虚数单位，复数i +1为方程)(022R m m x x ∈=+-的一个根，则m =________. 【答案】2 【解析】试题分析：由题意1i -是它的另一个根，因此(1)(1)2m i i =-+=.考点：实系数方程的复数根.11．从4名男同学和3名女同学中随机选出3人参加演讲比赛,则女同学被抽到的数学期望为________. 【答案】79 【解析】试题分析：用ξ表示抽到的女同学的个数，则ξ取值可为0,1,2,3，34374(0)35C P C ξ===，21433718(1)35C C P C ξ===，12433712(2)35C C P C ξ===，0343371(1)35C C P C ξ===，因此41812190123353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 考点：数学期望.12．某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是π2时，则该圆锥体的体积是 . 【答案】π33 【解析】试题分析：设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则2122l ππ=，2l =，2l r ππ=，1r =，所以圆锥的高为h =213V r h π==. 考点：圆锥的侧面展开图与体积.13．已知ABC Δ的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且BC Aa cbc sin sin sin +=--, 则=B ______【答案】3π【解析】试题分析：由正弦定理已知条件可化为c b ac a c b-=-+，则 ()()()c b c b a c a -+=-，所以222c b ac a -=-，即222a cb ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==，所以3B π=. 考点：正弦定理与余弦定理.14．极坐标系中,B A ,分别是直线07sin 4cos 3=+-θρθρ和圆θρcos 2=上的动点,则B A ,两点之间距离的最小值是【答案】1【解析】试题分析：把极坐标方程化为直角坐标方程得，直线的方程为3470x y -+=，圆方程为222x y x +=，即22(1)1x y -+=，圆心为(1,0)C ，半径为1r =，圆心C 到已知直线的距离为2d ==在，所以AB 的最小值为211d r -=-=.考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离. 15．对于正项数列{}n a ，定义nn na a a a nH +⋯+++=32132为{}n a 的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为21+=n H n ，则数列{}n a 的通项公式为________ 【答案】*,12N n na n ∈+= 【解析】试题分析：由题意11113H a ==，13a =，12122n nn H n a a na ==++++，所以122(2)n a a na n n +++=+，则2n ≥时，1212(1)(1)(1)n a a n a n n -++-=-+ ，两式相减得(2)(1)(1)2n n a nn n n n =+--+=+，12n a n=+，13a =也适合此式，故12,*n a n N n=+∈.考点：新定义与数列的通项公式. 16．将正整数21,2,3,4,,n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数,a b （a b >）的比值a b，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.若ij a 表示某个n 行n 列数表中第i 行第j 列的数（1i n ≤≤，1j n ≤≤），且满足(1),(1),ij i j i n i j a i n i j n i j +--<⎧=⎨+-+-≥⎩， ，，当4=n 时数表的“特征值”为_________【答案】45 【解析】试题分析：写出对应的数表：13159101426711153481216⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，每行中比值的最小值分别为139，75，1511，43，各列中比值的最小值分别为1310，1411，54，32，再在其中取最小值为54. 考点：新定义.17．过点))(0,12*N n n ∈-（且方向向量为）（1,2的直线交椭圆1422=+y x 于n n B A ,两点，记原点为O ,n n B OA Δ面积为n S ,则=∞→n n S lim _______【答案】1【解析】试题分析：记1(2,0)n D n -，(2,0)D ，因为1lim(2)2n n →∞-=，即n D 的极限点为D ，过D 且方向向量为(2,1)的直线方程为1(2)2y x =-，代入椭圆方程，解得直线与椭圆的两交点(0,1),(2,0)A B -，而12112OAB S ∆=⨯⨯=，因此lim 1n n S →∞=.考点：数列的极限.18．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，(0)BC a a =>，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD =，PB PC y ⋅=，对于函数()y f x =，给出以下三个结论：①当2a =时，函数()f x 的值域为[1,4]；②对任意0>a ，都有(1)1f =成立；③对任意0>a ，函数()f x 的最大值都等于4．④存在实数0>a ,使得函数)(x f 最小值为0 .其中所有正确结论的序号是_________.PDCAB【答案】②③④ 【解析】 试题分析：设AD l=，()()y PB PC AB AP PD DC =⋅=-⋅+=()[(1)]AB xAD x AD DC -⋅-+=2(1)(1)x AB AD AB DC x x AD xAD DC -⋅+⋅---⋅2(1)2cos 2(1)cos x l A x x l xl A =-⋅+--- 22(1)2(1)x x x l x =-+---=222222(3)4(1)(4)4l x l x a x a x -++=+-++，[0,1]x ∈．①2a =时，2584y x x =-+，值域是4[,4]5；②22(1)(1)(4)41f a a =+-++=；③函数y =()f x 的对称轴为22412(1)2a x a +=>+，因此当0x =时，y取得最大值为(0)f =；④()f x 最小值为222mi n 216(1)(4)4(1)a a y a +-+=+222(8)4(1)a a a -=+，当a =min 0y =．因此②③④正确． 考点：向量的线性表示，向量的数量积，函数的取值范围与最值．19．如图,直三棱柱111C B A ABC -中,2,,901====∠︒AC AA AB BAC ２ ,E 为!1C A 中点，求直线1CC 与平面BCE 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）Ez yx B 1C 1A 1ACB【答案】1arcsin3. 【解析】试题分析：要求直线与平面所成的角，按照定义要作出直线在平面上的射影，直线与射影的夹角就是直线与平面所成的角，本题中平面BC E 的垂线比较难以找到，但题中有1,,AC AB AA 两两相互垂直，因此我们可以以他们为坐标轴建立空间直角坐标系，用向量法求出直线与平面所成的角．这样本题关键是求出平面BCE 的法向量n ，向量1CC 与向量n 的夹角与直线1CC 与平面BCE 所成的角互余．试题解析：如图建立空间直角坐标系,设平面BCE 的法向量),,(ωv u =,直线1CC 与平面B C E 所成角为θ：)2,2,0(),2,1,0(),0,2,0(),0,0,2(1C E C B0),0,2,2(=⋅-=BC n BC 022=+-∴v u +2分0),2,1,0(=⋅-= 02=+-∴ωv +4分 令2=v ,则)1,2,2(= +6分 )2,0,0(1=CC31232sin =⨯==∴θ +10分 31arcsin =∴θ直线1CC 与平面BCE 所成角大小为31arcsin+12分 考点：直线与平面所成的角．20．如图，某污水处理厂要在一正方形污水处理池ABCD 内修建一个三角形隔离区以投放净化物质，其形状为三角形APQ ,其中P 位于边CB 上，Q 位于边CD 上.已知20=AB 米，6πPAQ =∠,设θPAB =∠,记面积面积正方形PAQ ΔABCD θf =)(，当)(θf 越大，则污水净化效果越好.(1)求)(θf 关于的函数解析式，并求定义域； (2)求)(θf 最大值，并指出等号成立条件？PDC BA【答案】（1）()4cos cos(),(,)3124f πππθθθθ=-∈；（2）6πθ=时，()f θ取得最大值3．【解析】试题分析：(1)我们只要求出两边,AP AQ ，就能求出APQ ∆的面积，从图中易知在APB ∆中，c o s AB AP θ=，在A Q D ∆中，c o s c o s ()3A D A DAQ DAQ πθ==∠-，由此1()sin 26f AP AQ πθ=⋅4cos cos()3πθθ-； （2）由()f θ表达式可知，要求其最大值，必须把它转化为一个三角函数，且为一次的函数形式，即化为()sin()f A kθωθϕ=++形式，21()4cos (cos )2cos cos 2f θθθθθθθ==+cos212θθ=++2sin(2)16πθ=++，这样问题可利用正弦函数sin y x =的性质解决．试题解析：（1）40πθ<<,430πθπ<-< 412πθπ<<∴+2分 θAP cos 20= )3cos(20θπAQ -= +4分)3cos(cos 1006sin 21θπθπAQ AP S APQ Δ-⋅=⋅=+6分 )3cos(cos 4)3cos(cos 100400)(θπθθπθθf -⋅=-⋅=，），（412ππθ∈+7分 （2）1)62sin(212sin 32cos cos sin 32cos 2)(2++=++=+=πθθθθθθθf +11分 ππθπ32623<+< 当262ππθ=+时，即6πθ=时3)(max =θf +13分 答 ：当6πθ=时，)(θf 的最大值为3． +14分考点：（1）三角形的面积；（2）三角函数的最值问题． 21．数列}{n a 的首项a a =1,*1,543N n n a a n n ∈-=++ 求数列}{n a 的通项公式；设}{n a 的前n 项和为n S ,若n S 的最小值为243-，求a 的取值范围？【答案】(1) 3(1),2354,2n n a n a n a n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪--⎪⎩为奇数为偶数；（2）27a ≥-.【解析】试题分析：（1）由题设递推关系，1354n n a a n ++=-，得12351n n a a n +++=-，两式相减可得23n n a a +-=，这说明数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等差数列，只要根据题意再求出2a ，就能写出其通项公式；（2）由于奇数项与偶数项的表达式不相同，因此在求n S 时，要按n 的奇偶分类讨论，当n 为偶数，即2n k =时，可求出23(9)243n S k =--18243S ≥=-，当n 为奇数时，可求出21933()21624n S k a =-+-，从而1719216n S S S a ≥==-S ，则题意，则应该有216243a -≥-，由此得a 的范围27a ≥-.试题解析：（1）a a a a --==51,21 +1分 又51321-=+++n a a n n ，5431-=++n a a n n则32=-+n n a a 即奇数项成等差，偶数项成等差 +3分)(2,54312,33*N k k n a k k n a k a n ∈⎩⎨⎧=---=-+=∴ +6分 （或: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+-=∴为偶数为奇数n a n n a n a n ,5423,)1(23） （2）当n 为偶数，即k n 2=时：243)9(362)1(512--=⨯-+-=k k k k S n 24318-=≥∴S S n +9分当n 为奇数，即12-=k n 时：43216)219(3222-+-=-=a k a S S k k n 2161917-==≥∴a S S S n +12分243)(min -=n S 243216-≥-∴a 27-≥∴a +14分考点：（1）数列的通项公式；（2）数列的前n 项和与最小值问题.22．在平面直角坐标系xOy 中，原点为O ,抛物线C 的方程为y x 42=,线段AB 是抛物线C 的一条动弦．(1)求抛物线C 的准线方程和焦点坐标F ;(2)若4-=⋅OB OA ,求证：直线AB 恒过定点；(3)当8=AB 时，设圆)0)1(:222>=-+r r y x D （,若存在且仅存在两条动弦AB ,满足直线AB 与圆D 相切，求半径r 的取值范围？【答案】（1）准线方程：1y =-，焦点坐标(0,1)F ；（2）证明见解析；（3）3r >.【解析】试题分析：（1）根据抛物线标准方程确定焦点在哪个轴上及开口方向，焦点为(0,1)，准线方程为1y =-；（2）本题实质是直线与抛物线相交问题，一般是设直线AB 方程为y kx b =+，与抛物线方程联立方程组，消去y 可得2440x k x b --=，再设1122(,),(,)A x y B x y ，则有124x x k +=，124x x b =-，而1212OA OB x x y y ⋅=+，把刚才求出的1212,x x x x +代入可得,k b 的关系，本题中求得2b =为常数，因此直线AB A 一定过定点(0,2)；（3）由（2）利用8AB =可求出,k b的关系式，12AB x x =-8==2=，而直线AB 与圆相切，则圆心到直线的距离d 等于圆的半径r ，即r d ===，由题意，作为关于k 的方程，此方程只有两解，设1t ≥，则有34r t t=-，由于34()f t t t =-在1t ≥时是减函数，且0f =，即函数34r t t=-在1t ≤≤(03)r <≤，在t ≥递增(0)r >，因此为了保证k 有两解，即t 只有一解，故要求3r >.试题解析：（1）准线方程：1-=y +2分 焦点坐标：)1,0(F +4分（2）设直线AB 方程为b kx y += ,),(),,(2211y x B y x A⎩⎨⎧=+=y x b kx y 42 得 0442=--b kx x ⎩⎨⎧-==+∴b x x k x x 442121 +6分 4162221212121-=+=+=⋅x x x x y y x x OB OA 821-=∴x x 84-=-∴b +8分2=b 直线 2+=kx y 过定点（0，2） +9分（3）81616122=++=b k k AB 2122=++b k k +11分r k b d =+-=211+12分 1114222+--+=k k k r 令112≥+=k t t tr -=34 当21<≤t 时， t t r -=34单调递减，30≤<r +13分 当2>t 时， 34t t r -=单调递增，0>r +14分 k 存在两解即t 一解 3>∴r +16分 考点：（1）抛物线的性质；（2）直线与抛物线相交问题；（3）圆的切线的条数与方程的解.23．定义函数D x x f y ∈=),((D 为定义域)图像上的点到坐标原点的距离为函数的D x x f y ∈=),(的模.若模存在最大值，则称之为函数D x x f y ∈=),(的长距；若模存在最小值，则称之为函数D x x f y ∈=),(的短距.(1)分别判断函数x x f 1)(1=与54)(22+--=x x x f 是否存在长距与短距，若存在，请求出;(2)求证：指数函数)1,0(≠>=a a a y x 的短距小于1;(3)对于任意]2,1[∈x 是否存在实数a ，使得函数a x x x f -=2)(的短距不小于2且长距不大于4.若存在，请求出a 的取值范围；不存在，则说明理由？【答案】（1）)(1x f 短距为2，长距不存在，)(2x f 短距为1，长距为5；（2）证明见解析；（3）]5,25[]21,1[ --∈a .【解析】试题分析：本题属于新定义概念，问题的实质是求函数()y f x =图象上的点到原点的距离的最大值和最小值（如有的话）,正面讨论时我们把距离表示为x 的函数.（1）对1()f x ，()ux =1x =±时等号成立），不存在长距，对2()f x，()v x ==[5,1]x ∈-，即有最大值也有最小值，因此短距和长距都有；（2）对函数x y a =，()t x ==，由于(0)1t =，因此短距不大于1，令()1t x =，则有x a =，故当1a >时，存在010<<-x 使得2010x a x -< 1)(0<∴x t ，当10<<a 时，存在100<<x 使得2010x a x -< 1)(0<∴x t ，即证；（3）记(),[1,2]h x a x =∈，按题意条件，则有不等式24216x x x a ≤+-≤对[1,2]x ∈恒成立，这类不等式恒成立求参数取值范围问题，我们可采取分离参数法，转化为求函数的最值，对22x x x a +-4≥，[1,2]x ∈，按2,12,1a a a ≥<<≤分别讨论，对2216x x x a +-≤，[1,2]x ∈，可得)16(21)16321x x a x x +≤≤-（，由此可求得a 的范围. 试题解析：（1）设21)(22≥+=x x x u （当且仅当1±=x 取得等号） )(1x f 短距为2，长距不存在． +2分 设]1,5[,45)54()(22-∈-=+--+=x x x x x x v +3分1)1()(min ==v x v 5)5()(max =-=v x v)(2x f 短距为1，长距为5． +5分（2）设22)()(x a x x t +=1)0(=t )1,0(≠>=∴a a a y x 的短距不大于1 +7分1)(22=+x a x 21x a x -=∴ x a y = 与单位圆存在两个交点当1>a 时，存在010<<-x 使得2010x a x -< 1)(0<∴x t当10<<a 时，存在100<<x 使得2010x a x -< 1)(0<∴x t ∴指数函数)1,0(≠>=a a a y x 的短距小于1; +10分（3）设]2,1[,2)(2∈-+=x a x x x x h 函数a x x x f -=2)(的短距不小于2且长距不大于4 即16242≤-+≤a x x x 对于]2,1[∈x 始终成立 +11分422≥-+a x x x 对于]2,1[∈x 始终成立：当2>a 时：)4(21x x a +≥对于]2,1[∈x 始终成立 25≥∴a 当21≤≤a 时：取a x =即可知显然不成立当1<a 时：)43(21x x a -≤对于]2,1[∈x 始终成立 21-≤∴a +14分 1622≤-+a x x x 对于]2,1[∈x 始终成立， 即)16(21)16321xx a x x +≤≤-（对于]2,1[∈x 始终成立： 51≤≤-∴a +17分综上 ]5,25[]21,1[ --∈a +18分 考点：新定义概念，函数的最大值与最小值，不等式恒成立问题.。

2014-2015学年上海市某校高三（上）摸底数学试卷一、填空题（每小题4分，满分56分）1. 已知集合A ={x|12≤2x <16}，B ={x|y =log 2(9−x 2)}，则A ∩B =________． 2. 已知向量a →=(2, −1)，b →=(−1, m)，c →=(−1, 2)，若(a →+b →) // c →，则m =________． 3. 二项式(x +2x )6的展开式中常数项的值等于________．4. 若复数z 满足| z 1 2i |=1+i ，（其中i 为虚数单位），则|z|________．5. 不等式x 2−2x +3≤a 2−2a −1在R 上的解集是⌀，则实数a 的取值范围是________．6. 已知数列{a n }是等差数列，a 4=15，S 5=55，则过点P(4, a 2010)和点Q(3, a 2011)的直线的倾斜角是________．（用反三角函数表示结果）7. 若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为arccos 45，则该圆锥的体积为________．8. 等轴双曲线C:x 2−y 2=a 2与抛物线y 2=16x 的准线交于A 、B 两点，|AB|=4√3，则双曲线C 的实轴长等于________．9. 设{a n }是公比为q 的等比数列，|q|>1，令b n =a n +1(n =1, 2,…)，若数列{b n }有连续四项在集合{−53, −23, 19, 37, 82}中，则6q =________．10. 将3本数学书4本英语书和2本语文书排成一排，则三本数学书排在一起的概率为________． 11. 定义：关于x 的不等式|x −A|<B 的解集叫A 的B 邻域．若a +b −2的a +b 邻域为区间(−2, 2)，则a 2+b 2的最小值是________．12. 已知函数f(x)={log 2(x +1)(x >0)，−x 2−2x(x ≤0)， 若函数g(x)=f(x)−m 有3个零点，则实数m的取值范围是________．13. 在面积为2的△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则PC →⋅PB →+BC →2的最小值是________．14. 在直角坐标系中，如果两点A(a, b)，B(−a, −b)在函数y =f(x)的图象上，那么称[A, B]为函数f(x)的一组关于原点的中心对称点（[A, B]与[B, A]看作一组）．则函数g(x)={(x +2)2−1，x ≤0log 4(x +1)，x >0关于原点的中心对称点的组数为________．二、选择题（每小题5分，满分20分）15. 命题A:|x −1|<3，命题B ：(x +2)(x +a)<0；若A 是B 的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A (−∞, −4)B [4, +∞)C (4, +∞)D (−∞, −4]16. 己知空间两条直线m ，n ，两个平面α，β，给出下面四个命题： ①m // n ，m ⊥α⇒n ⊥α；②α // β，m⊊α，n⊊β⇒m // n；③m // n，m // α⇒n // α；④α // β，m // n，m⊥α⇒n⊥β；其中正确命题的序号是（）A ①④B ②③C ①②④D ①③④17. 将函数y=f(x)的图象向右平移π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表4达式为y=2sin2x，则函数f(x)的表达式可以是（）A 2sinxB 2cosxC sin2xD cos2x18. 已知集合M={(x, y)|y=f(x)}，若对于任意(x1, y1)∈M，存在(x2, y2)∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“好集合”．给出下列4个集合：}①M={(x,y)|y=1x②M={(x, y)|y=e x−2}③M={(x, y)|y=cosx}④M={(x, y)|y=lnx}其中所有“好集合”的序号是（）A ①②④B ②③C ③④D ①③④三、解答题19. 如图已知四棱锥P−ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA的长为8，且垂直于底面，点M、N分别是DC、AB的中点．求（1）异面直线PM与CN所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）四棱锥P−ABCD的表面积．20. 设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知C=π，acosA=bcosB．3（1）求角A的大小；（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC=2．过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PCA=α，求PM+PN的最大值及此时α的取值．21. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点(1,√3)在椭圆C上．2（1）求椭圆C的方程；（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过P 作方向向量d →=(2,1)的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．22. 已知函数f(x)=ax 2−|x|+2a −1（a 为实常数）． （1）若a =1，作函数f(x)的图象；（2）设f(x)在区间[1, 2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式； （3）设ℎ(x)=f(x)x，若函数ℎ(x)在区间[1, 2]上是增函数，求实数a 的取值范围．23. 若数列{a n }的每一项都不为零，且对于任意的n ∈N ∗，都有a n+2a n=q （q 为常数），则称数列{a n }为“类等比数列”．已知数列{b n }满足：b 1=b(b ∈R, b ≠0)，对于任意的n ∈N ∗，都有b n ⋅b n+1=2n+1．（1）求证：数列{b n }是“类等比数列”；（2）若{b n }是单调递增数列，求实数b 的取值范围；（3）设数列{b n }的前n 项和为S n ，试探讨limn →∞S n b n +b n+1是否存在，说明理由．2014-2015学年上海市某校高三（上）摸底数学试卷答案1. [−1, 3)2. −13. 1604. √105. {a|−1<a <3}6. π−arctan47. 16π8. 49. −9 10. 11211. 2 12. (0, 1)13. 2√3 14. 2 15. A 16. A 17. C 18. B 19. 解：（1）解法 一：连接AM ，∵ 底面ABCD 是边长为6的正方形，点M 、N 分别是DC 、AB 的中点， ∴ AN = // CM ，∴ 四边形AMCN 是平行四边形， ∴ CN // AM ，∴ ∠PMA （为锐角）是异面直线PM 与CN 所成角．因为PA 垂直于底面，所以PA ⊥AM ，点M 分别是DC 的中点，DC =6，∴ AM =3√5． 在Rt △PAM 中，PA =8，AM =3√5， ∴ tan∠PMA =83√5=8√515， ∴ ∠PMA =arctan8√515，即异面直线PM 与CN 所成角的大小为arctan8√515． 解法二：以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，可得M(3, 6, 0)，P(0, 0, 8)，N(3, 0, 0)，C(6, 6, 0)， ∴ PM →=(3,6,−8)，CN →=(−3,−6,0)，直线PM 与CN 所成角为θ，向量PM →与CN →的夹角为ϕ， ∵ cosϕ=|PM →||CN →|˙=−45√109⋅√45=−3√545109， 又cosθ=|cosϕ|=3√545109，θ=arccos3√545109， 即异面直线PM 与CN 所成角的大小为arccos3√545109． （2）因为PA 垂直于底面，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，即Rt △PAB ≅Rt △PAD ，又PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，AB ∩BC =B ，∴ BC ⊥平面PAB ，∴ BC ⊥PB ． 同理CD ⊥PD ，∴ Rt △PBC ≅Rt △PDC ，∵ 底面四边形ABCD 是边长为6的正方形，所以S 底=36又S 侧=S △PAB +S △PAD +S △PBC +S △PCD =2×(12PA ⋅AB)+2×(12PB ⋅BC)=48+60=108．S 表=108+36=144所以四棱锥P −ABCD 的表面积是144．20. 解：（1）由acosA =bcosB 及正弦定理可得sinAcosA =sinBcosB ，即sin2A =sin2B ，又A ∈(0, π)，B ∈(0, π)， 所以有A =B 或A +B =π2． …3分 又因为C =π3，得A +B =2π3，与A +B =π2矛盾， 所以A =B ，因此A =π3． …6分（2）由题设，得在Rt △PMC 中，PM =PC ⋅sin∠PCM =2sinα；在Rt △PNC 中，PN =PC ⋅sin∠PCN =PC ⋅sin(π−∠PCB) =2sin[π−(α+π3)]=2sin (α+π3)，α∈(0, 2π3)．…8分所以，PM +PN =2sinα+2sin (α+π3)=3sinα+√3cosα=2√3sin(α+π6)．…12分 因为α∈(0, 2π3)，所以α+π6∈(π6, 5π6)，从而有sin(α+π6)∈(12, 1]，即2√3sin(α+π6)∈(√3, 2√3]．于是，当α+π6=π2，即α=π3时，PM +PN 取得最大值2√3．…16分．21. （1）解：∵ C 的焦点在x 轴上且长轴为4， 故可设椭圆C 的方程为x 24+y 2b 2=1(a >b >0)，∵ 点(1,√32)在椭圆C 上，∴ 14+34b 2=1，解得b 2=1，∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 2=1． （2）证明：设P(m, 0)(−2≤m ≤2)， ∵ 直线l 方向向量d →=(2,1)， ∴ 直线l 的方程是y =x−m 2，联立{y =12(x −m)x 24+y 2=1⇒2x 2−2mx +m 2−4=0(∗)设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1、x 2是方程(∗)的两个根， ∴ x 1+x 2=m ，x 1x 2=m 2−42，∴ |PA|2+|PB|2=(x 1−m)2+y 12+(x 2−m)2+y 22=(x 1−m)2+14(x 1−m)2+(x 2−m)2+14(x 2−m)2=54[(x 1−m)2+(x 2−m)2]=54[x 12+x 22−2m(x 1+x 2)+2m 2]=54[(x 1+x 2)2−2m(x 1+x 2)−2x 1x 2+2m 2]=54[m 2−2m 2−(m 2−4)+2m 2]=5（定值）．22. 解：（1）当a =1时，f(x)=x 2−|x|+1={x 2+x +1，x <0x 2−x +1，x ≥0．作图（如图所示）（2）当x ∈[1, 2]时，f(x)=ax 2−x +2a −1．若a =0，则f(x)=−x −1在区间[1, 2]上是减函数，g(a)=f(2)=−3． 若a ≠0，则f(x)=a(x −12a )2+2a −14a −1，f(x)图象的对称轴是直线x =12a ． 当a <0时，f(x)在区间[1, 2]上是减函数，g(a)=f(2)=6a −3． 当0<12a <1，即a >12时，f(x)在区间[1, 2]上是增函数， g(a)=f(1)=3a −2． 当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时，g(a)=f(12a)=2a −14a−1，当12a >2，即0<a <14时，f(x)在区间[1, 2]上是减函数，g(a)=f(2)=6a −3．综上可得g(a)={ 6a −3，当a <142a −14a −1，当14≤a ≤123a −2，当a >12．（3）当x ∈[1, 2]时，ℎ(x)=ax +2a−1x −1，在区间[1, 2]上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则ℎ(x 2)−ℎ(x 1)=(ax 2+2a−1x 2−1)−(ax 1+2a−1x 1−1)=(x 2−x 1)(a −2a−1x 1x 2)=(x 2−x 1)⋅ax 1x 2−(2a−1)x 1x 2．因为ℎ(x)在区间[1, 2]上是增函数，所以ℎ(x 2)−ℎ(x 1)>0，因为x 2−x 1>0，x 1x 2>0，所以ax 1x 2−(2a −1)>0，即ax 1x 2>2a −1， 当a =0时，上面的不等式变为0>−1，即a =0时结论成立． 当a >0时，x 1x 2>2a−1a，由1<x 1x 2<4得，2a−1a≤1，解得0<a ≤1，当a <0时，x 1x 2<2a−1a，由1<x 1x 2<4得，2a−1a≥4，解得−12≤a <0，综上，实数a 的取值范围为[−12，1]． 23. （1）证明：∵ b n ⋅b n+1=2n+1， ∴ b n+1⋅b n+2=2n+2， ∴b n+2b n=b n ⋅b n+1˙=2n+22n+1=2，∴ 数列{b n }是“类等比数列”；（2）解：∵ b 1=b ，b n ⋅b n+1=2n+1， ∴ b 2=22b 1=4b，∴ b n ={b ⋅2n−12，n 为奇数4b⋅2n−22，n 是偶数，∵ 数列{b n }是单调递增数列，∴ b 2k−1≤b 2k ≤b 2k+1， 即b ⋅2k−1≤4b ⋅2k−1≤b ⋅2k ， 整理得：b ≤4b ≤2b ，解得：√2≤b ≤2，∴ 实数b 的取值范围为：[√2, 2]； （3）结论：当b =±√84时limn →∞S n b n +b n+1=√2，否则不存在．理由如下：由（2）可知b n ={b ⋅2n−12，n 为奇数4b ⋅2n−22，n 是偶数，①当n =2k −1(k ∈N ∗)时，b n +b n+1=b 2k−1+b 2k =b ⋅2k−1+4b⋅2k−1=(b +4b)⋅2k−1，S n =(b 1+b 3+...+b 2k−1)+(b 2+b 4+...+b 2k−2) =b(1−2k )1−2+4b(1−2k−1)1−2=(2b +4b )⋅2k−1−(b +4b )，∴ lim n →∞S n b n +b n+1=lim k →∞(2b+4b )⋅2k−1−(b+4b )(b+4b )⋅2k−1=2b+4bb+4b=2−44+b 2； ②当n =2k(k ∈N ∗)时，b n +b n+1=b 2k +b 2k+1=4b ⋅2k−1+b ⋅2k =(2b +4b )⋅2k−1， S n =(b 1+b 3+...+b 2k−1)+(b 2+b 4+...+b 2k−2)+b 2k=(2b +4b )⋅2k−1−(b +4b )+4b ⋅2k−1=2(b +4b )⋅2k−1−(b +4b )，∴ lim n →∞S n b n +b n+1=lim k →∞2(b+4b )⋅2k−1−(b+4b )(2b+4b )⋅2k−1=2(b+4b )2b+4b=1+22+b 2； 令2−44+b2=1+22+b 2，化简得：b 4=8， 解得：b =±√84， 综上所述，当b =±√84时limn →∞S n b n +b n+1=√2，否则不存在．。

上海市闸北区2014—2015学年（一模）高三数学文科试卷考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．3. 本试卷共有16道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．若复数i21i2+-a （i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a = ． 2．若)(x f 为奇函数，当0<x 时，)2(log )(2x x f -=，则=)2(f ．3．设动点P 在函数xy 2=图像上，若O 为坐标原点，则PO 的最小值为 ． 4．用数字“1,2”组成一个四位数，则数字“1,2”都出现的四位数有 个．5．设*∈N n ，圆122141:()(1)41n n n C x y n +--+-=+的面积为n S ，则=+∞→n n S lim ．6．在Rt ABC ∆中，3AB AC ==，,M N 是斜边BC 上的两个三等分点，则AM AN ⋅的值为 ．7．设函数)sin(2)(x x f π=，若存在R 0∈x ，使得对任意的R ∈x ，都有)()(0x f x f ≤成立．则关于m 的不等式0)(02>-+x f m m 的解为 ．8．若不等式21x x a <-+在区间()33-，上恒成立，则实数a 的取值范围为 ．9．关于曲线14:42=+y x C ，给出下列四个结论： ①曲线C 是椭圆； ②关于坐标原点中心对称； ③关于直线y x =轴对称； ④所围成封闭图形面积小于8．则其中正确结论的序号是 ．（注：把你认为正确命题的序号都填上） 二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分.10．“2≠a ”是“关于y x ,的二元一次方程组⎩⎨⎧=-+=+1)1(32y a x y ax 有唯一解”的 【 】A ．必要不充分条件；B ．充分不必要条件；C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件．11．已知等比数列}{n a 前n 项和为n S ，则下列一定成立的是 【 】A ．若30a >，则20150a <；B ．若40a >，则20140a <；C ．若30a >，则20150S >；D ．若40a >，则20140S >．12．对于集合A ，定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足条件：如果存在元素e A ∈，使得对任意A a ∈，都有e a a e a ⊕=⊕=，则称元素e 是集合A 对运算“⊕”的单位元素．例如：R =A ，运算“⊕”为普通乘法；存在R 1∈，使得对任意R ∈a ，都有11a a a ⨯=⨯=，所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素． 下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①R =A ，运算“⊕”为普通减法；②A ={m n m n A A ⨯⨯表示m n ⨯阶矩阵，**∈∈N ,N n m }，运算“⊕”为矩阵加法； ③{}A X X M =⊆（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集． 其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为 【 】A ．①②；B ．①③；C ．①②③；D ．②③．三、解答题（本题满分78分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．13．（本题满分18分，第（1）小题9分，第（2）小题9分）请仔细阅读以下材料：已知()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数．求证：命题“设+∈R ,b a ，若1>ab ，则)1()1()()(bf a f b f a f +>+”是真命题． 证明 因为+∈R ,b a ，由1>ab 得01>>ba ． 又因为()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，于是有)1()(b f a f >． ①同理有)1()(af b f >． ②由① + ②得)1()1()()(bf a f b f a f +>+．故，命题“设+∈R ,b a ，若1>ab ，则)1()1()()(bf a f b f a f +>+”是真命题．请针对以上阅读材料中的()f x ，解答以下问题：（1）试用命题的等价性证明：“设+∈R ,b a ，若11()()()()f a f b f f a b+>+，则：1>ab ”是真命题；（2）解关于x 的不等式11()(2)()(2)x x x x f a f f a f ---+>+（其中10,2a a >≠）．14．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题7分，第（3）小题7分）已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆C过点(且与抛物线28y x =-有一个公共的焦点．（1）求椭圆C 方程；（2）直线l 过椭圆C 的右焦点2F 且斜率为1与椭圆C 交于B A ,两点，求弦AB 的长； （3）以第（2）题中的AB 为边作一个等边三角形ABP ，求点P 的坐标． 15．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ， 该曲线段是函数sin()(0,0,(0,))y A x A ωφωφπ=+>>∈，[4,0]x ∈-的图像，图像的 最高点为(1,2)B -．边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且C D E F ∥．游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC 的函数表达式； （2）曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 最近距离为1千米，现准备从入口G 修一条笔直的景观路到O ，求景观路GO 长；（3）如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边 形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧上，且POE θ∠=，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值． 16．（本题满分20分，第（1）小题5分，第（2）小题7分，第（3）小题8分）设数列{}n a 满足：①11=a ；②所有项*∈N n a ；③⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<<=+1211n n a a a a ． 设集合{}*∈≤=N ,|m m a n A n m ，将集合m A 中的元素的最大值记为m b ．换句话说，m b 是数列{}n a 中满足不等式m a n ≤的所有项的项数的最大值．我们称数列{}n b 为数列{}n a 的 伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．（1）请写出数列1,4,7的伴随数列；（2）设13n n a -=，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 的前20之和；C y 2EQ P xDGF (- 4,0)（3）若数列{}n a 的前n 项和2n S n c =+（其中c 常数），求数列{}n a 的伴随数列{}m b的前m 项和m T ．上海市闸北区2014—2015学年（一模）高三数学文科试卷答案一．填空题：4.1； 2.2-； 3.2； 14.4； π4.5；4.6； 7.(,2)(1,)-∞-+∞； [)+∞,7.8； 9.②④．二．选择题：10.11.12.A C D三．解答题： 13. 解：（1）原命题与原命题的逆否命题是等价命题.原命题的逆否命题：设+∈R b a ,，若1≤ab ，则：11()()()()f a f b f f a b+≤+.……4分下面证明原命题的逆否命题为真命题： 因为+∈R b a ,，由1≤ab 得：10a b<≤， …………………………1分 又()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数所以1()()f a f b≤…………（1） …………………………1分同理有：1()()f b f a≤…………（2） …………………………1分 由（1）+（2）得：11()()()()f a f b f f a b +≤+ …………………………1分所以原命题的逆否命题为真命题所以原命题为真命题. …………………………1分（2）由（1）的结论有：121x x a -⋅>，即：(2)xa a > ………………………3分 ①当21a >时，即12a >时，不等式的解集为：2(log ,)a a +∞ ……………3分 ②当021a <<时，即102a <<时，不等式的解集为：2(,log )a a -∞ ………3分14. 解（1）由题意得 1(2,0)F - 2c = …………………2分又223114a a +=-， 得，428120a a -+=，解得26a =或22a =（舍去）， …………………2分则22b =， …………1分故椭圆方程为22162x y +=． …………………1分（2）直线l 的方程为2y x =-． …………………1分联立方程组222162y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得22630x x -+=． …………………3分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ．故123x x +=，1232x x =． …………………1分则]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+== …………2分（3）设AB 的中点为00(,)M x y ． 可得032x =， …………………1分 012y =-． …………………1分线段AB 的中垂线1l 斜率为1-， 所以1:1l y x =-+设(,1)P t t - …………………1分所以32MP ==-． …………………1分 当△ABP 为正三角形时，AB MP 23=，32-= 解得0t =或3． …………………2分 即(0,1)P ，或(3,2)P -． …………………1分15. 解：（1）由已知条件，得2,A = ……………………………1分又∵23,12,46T T ππωω===∴= ……………………………2分 又∵当1x =-时，有22sin()263y ππφφ=-+=∴= ……2分∴ 曲线段FBC 的解析式为22sin(),[4,0]63y x x ππ=+∈-． ………1分（2）由22sin()163y x ππ=+=得6(1)4()k x k k Z =+--∈ …………2分又[4,0]0,3(3,1)x k x G ∈-∴==-∴- ……………………2分OG = ……………………1分∴ 景观路GO……………1分 (3)如图，1,2,6OC CD OD COD π==∴=∠=…1分作x PP ⊥1轴于1P 点，在1OPP Rt ∆中，θθsin 2sin 1==OP PP …………………1分 在OMP ∆中，C 1y 2EQP xDBG F (- 4,0))60sin(120sin 00θ-=OMOP …………………1分∴θθθθsin 332cos 2)60sin(34120sin )60sin(00-=-⋅=-⋅=OP OM ………1分 θθθsin 2)sin 332cos 2(1⋅-=⋅=PP OM S OMPQ 平行四边形 …………………1分θθθ2sin 334cos sin 4-=3322cos 3322sin 2-+=θθ332)62sin(334-+=πθ )3,0(πθ∈ …………………2分当262ππθ=+时，即6πθ=时：平行四边形面积最大值为332…………………1分16. 解：（1）数列1,4,7的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3，（后面加3算对） ………………5分（2）由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m N ≤+∈∴ 当*12,m m N ≤≤∈时，121b b == …………………………2分 当*38,m m N ≤≤∈时，3482b b b ==⋅⋅⋅== …………………2分当*∈≤≤N m m ,209时，320289==⋅⋅⋅==b b b ……………2分∴5012362212021=⨯+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++b b b …………1分 （3）∵1111a S c ==+= ∴ 0c = …………………1分当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-∴ *21()n a n n N =-∈ …………………1分由21n a n m =-≤得：*1()2m n m N +≤∈ 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以 *12342121,2,,()t t b b b b b b tt N -====⋅⋅⋅==∈ …………………1分当*21()m t t N =-∈时：221(1)12(1)(1)24m t T t t t m +-=⋅⋅-+==+ …………………2分 当*2()m t t N =∈时：2112(2)24m t T t t t m m +=⋅⋅=+=+ …………………2分所以 2**(1)(21,4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩ …………………1分。

闸北区2014学年第一学期高三数学（理科）期末练习卷2014.12.29一、填空题 1. 若复数212a ii-+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a = ； 2. 若()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，2()log (2)f x x =-，则(0)(2)f f += ；3. 设定点(0,1)A ，若动点P 在函数2x y x+=(0)x >图像上，则||PA 的最小值为 ； 4. 用数字“1，2”组成一个四位数，则数字“1，2”都出现的四位偶数有 个5. 设n ∈*N ，圆122141:()(1)41n n n C x y n +--+-=+的面积为n S ，则lim n n S →∞= ；6. 在Rt ABC ∆中，3AB AC ==，M 、N 是斜边BC 上的两个三等分点，则AM AN ⋅的值为 ；7. 设函数())f x x π=，若存在0(1,1)x ∈-同时满足以下条件：① 对任意的x ∈R ，都有0()()f x f x ≤成立；② 22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围是 ；8. 若不等式21x x a <-+的解集是区间(3,3)-的子集，则实数a 的取值范围为 ； 9. 关于曲线43:1C x y -=，给出下列四个结论： ① 曲线C 是双曲线； ② 关于y 轴对称；③ 关于坐标原点对称； ④ 与x 轴所围成封闭图形面积小于2； 则其中正确结论的序号是 ；（注：把你认为正确结论的序号都填上）二、选择题10. “2a ≠”是“关于,x y 的二元一次方程组23(1)1ax y x a y +=⎧⎨+-=⎩有唯一解”的（ ）A. 必要不充分条件；B. 充分不必要条件；C. 充要条件；D. 既不充分也不必要条件；11. 已知等比数列{}n a 前n 项和为n S ，则下列一定成立的是（ ） A. 若30a >，则20150a <； B. 若40a >，则20140a <； C. 若30a >，则20150S >； D. 若40a >，则20140S >；12. 对于集合A ，定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足条件：如果存在元素e A ∈，使得对任意a A ∈，都有e a a e a ⊕=⊕=，则称元素e 是集合A 对运算“⊕”的单位元素；例如：A =R ，运算“⊕”为普通乘法，存在1∈R ，使得对任意a A ∈，都有11a a a ⨯=⨯=，所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素；下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：① A =R ，运算“⊕”为普通减法；② {|m n m n A A A ⨯⨯=表示m n ⨯阶矩阵，*m ∈N ，*}n ∈N ，运算“⊕”为矩阵加法； ③ {|}A X X M =⊆（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集； 其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（ ）A. ①②；B. ①③；C. ①②③；D. ②③；三、解答题13. 请仔细阅读以下材料：已知()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数；求证：命题“设,a b ∈+R ，若1ab >，则11()()()()f a f b f f a b+>+”是真命题； 证明：因为,a b ∈+R ，由1ab >得10a b>> 又因为()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数于是有1()()f a f b > ①同理有1()()f b f a> ②由①＋②得11()()()()f a f b f f a b+>+故命题“设,a b ∈+R ，若1ab >，则11()()()()f a f b f f a b+>+”是真命题请针对以上阅读材料中的()f x ，解答以下问题：（1）试用命题的等价性证明：“设,a b ∈+R ，若11()()()()f a f b f f a b+>+，则1ab >”是真命题；（2）解关于x 的不等式：11()(2)()(2)x x x x f a f f a f ---+>+（其中0a >）；14. 如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数sin()y A x ωφ=+(0,0,(0,))A ωφπ>>∈，[4,0]x ∈-的图像，图像的最高点为(1,2)B -，边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD ∥EF ，游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧DE ； （1）求曲线段FGBC 的函数表达式；（2）曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 最近距离为1千米，现准备从入口G 修一条笔直的景观路到O ，求景观路GO 的长；（3）如图 ，在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧DE 上，且POE θ∠=，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值；15. 已知12,F F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0,0)a b >>的左右焦点，椭圆C 过点(且与抛物线28y x =-有一个公共的焦点； （1）求椭圆C 方程；（2）斜率为k 的直线l 过右焦点2F ，且与椭圆交于,A B 两点，求弦AB 的长；（3）P 为直线3x =上的一点，在第（2）题的条件下，若△ABP 为等边三角形，求直线l 的方程；16. 设数列{}n a 满足：① 11a =；② 所有项n a ∈*N ；③ 1211n n a a a a +=<<<<<……；设集合{|,}m n A n a m m =≤∈*N ，将集合m A 中的元素的最大值记为m b ，换句话说，m b 是数列{}n a 中满足不等式n a m ≤的所有项的项数的最大值，我们称数列{}n b 为数列{}n a 的伴随数列，例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3；（1）若数列{}n a 的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{}n a ； （2）设13n n a -=，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 的前100项之和； （3）若数列{}n a 的前n 项和23122n S n n c =-+（其中c 为常数），试求数列{}n a 的伴随数列{}n b 前m 项和m T ；。

上海市闸北区彭浦中学高三2014-2015学年度第一学期期中考试数学试卷一、填空题(本大题共12题，每题6分，满分72分)1、 若}4{<=x x A ，}034{2<+-=x x x B 则=⋂∉⋃∈}{B A x B A x x 且 ；2、已知命题p ：x 满足112≤-x x ，命题q ：x 满足0)1)(1(≤-+x x ，则p 是q 的 条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”或“非充分非必要”）；3、方程0sin 3cos 22=+x x 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ上的解集为 ； 4、已知关于x 的不等式51≥-+x a x 在()+∞∈,1x 恒成立，则正数a 的最小值为 ；5、函数x y x arcsin 2+=的值域为 ；6、已知在公差不为零的等差数列{n a }以及等比数列{n b }中，111==b a ，22b a =，38b a =，7、下列命题正确的序号是 ：①设{n a }是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{n a }为递增数列”的充要条件；②数列：1，x ，2x ，…1-n x 的和为xx n--11； ③若等差数列{n a }满足公差0>d 且083=+a a ，则{n a }的前5项和最小；④已知数列{n a }的前n 项和12+=n S n ，则{n a }是等差数列。

8、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)1lg()(2+-=x x x f ，则不等式0)(>⋅x f x 的解集为 ；9、若关于x 的方程0439=+⋅+xx a 有解，则实数a 的取值范围是 ；10、定义在R 上的函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，当[]1,1-∈x 时，2)(x x f =，则函数x x f y lg )(-=的零点个数为 ；11、将函数)(2sin R x x y ∈=的图像分别向左平移)0(>m m 个单位，向右平移)0(>n n 个单位，所得到的两个图像都与函数)62sin(π+=x y 的图像重合，则n m +的最小值为 ； 12、在平面直角坐标系中，已知点()8,6，将线段OP 绕着点O 逆时针旋转43π后得到线段OQ ，则Q 的坐标为 。

2014学年度第一学期高三物理学科期末练习卷（2014.12）本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟。

全卷包括六大题，第一、二大题为单项选择题，第三大题为多项选择题，第四大题为填空题，第五大题为实验题，第六大题为计算题。

考生注意：1、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号。

2、第一、第二和第三大题的作答必须用2B铅笔涂在答题纸上相应区域内与试卷题号对应的位置，需要更改时，必须将原选项用橡皮擦去，重新选择。

第四、第五和第六大题的作答必须用黑色的钢笔或圆珠笔写在答题纸上与试卷题号对应的位置（作图可用铅笔）。

3、第30、31、32、33题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。

只写出最后答案，而未写出主要演算过程的，不能得分。

有关物理量的数值计算问题，答案中必须明确写出数值和单位。

一．单项选择题（共16分，每小题2分，每小题只有一个正确选项。

）1. 下面物理量中不．属于标量的是（）（A）电流强度（B）电场强度（C）功（D）磁通量2. 在牛顿第二定律公式F=kma中，比例系数k的数值（）（A）在任何情况下都等于1（B）与质量m、加速度a和力F三者均无关系（C）是由质量m、加速度a和力F三者的大小所决定的（D）是由质量m、加速度a和力F三者的单位所决定的3．在下列公式中选出加速度a的定义式（）（A）Fam=（B）vat∆=∆（C）22sat=（D）2saT∆=4. 奥斯特发现电流的磁效应的这个实验中，小磁针应该放在（）（A）南北放置的通电直导线的上方（B）东西放置的通电直导线的上方（C）南北放置的通电直导线同一水平面内的左侧（D）东西放置的通电直导线同一水平面内的右侧5. 如图，一个物体在O点以初速度v开始作曲线运动，已知物体只受到沿x轴方向的恒力F作用，则物体动能的变化情况是（）（A）不断减小（B）先增大后减小（C）先减小后增大（D）先减小后不变6. 在国际单位制（简称SI制）中，力学和电学的基本单位有：m（米）、kg（千克）、s（秒）、A（安培）。

2014年上海市闸北区高考数学一模试卷一、填空题(60分，本大题共10个小题，要求在答题纸相应位题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律零分）．1．（6分）设α＝2014°﹣360°×k，β＝2014°，若α是与β终边相同的最小正角，则k＝．2．（6分）已知双曲线5x2﹣4y2＝20的右焦点与抛物线y2＝2px的焦点重合，则p＝．3．（6分）设，则函数的最小正周期为．4．（6分）已知函数，则不等式f（x）＞1的解集为．5．（6分）已知直线l的一个法向量，其中ab＞0，则l的倾斜角为．6．（6分）相距480米有两个垂直于水平地面的高塔AB和CD，两塔底B，D的中点为P，已知AB＝280米，CD＝320米，则cos∠APC的值是．7．（6分）设a＞0，b＞0，a+b＝2，则下列不等式恒成立的有．①ab≤1；②；③a2+b2≥2．8．（6分）若公差为d的等差数列{a n}的项数为奇数，a1＝1，奇数项的和是175，偶数项的和是150，则d＝．9．（6分）设a＞0，a≠1，函数f（x）＝a x+2|sin2πx|﹣2（x＞0）至少有5个零点，则a的取值范围为．10．（6分）由曲线x2+y2＝|x|+|y|所围成的图形面积为．二、选择题．11．（6分）如果S＝{x|x＝2n+1，n∈Z}，T＝{x|x＝4k±1，k∈Z}，那么（）A．S真包含于T B．T真包含于SC．S＝T D．S与T没有交集12．（6分）在平面内，设A，B为两个不同的定点，动点P满足：（k 为实常数），则动点P的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．不确定13．（6分）给出下列等式：13+23＝32，13+23+33＝62，13+23+33+43＝102，…现设，n∈N*，n≥2，则＝（）A．0B．1C．2D．4三、解答题（共4小题，满分42分）14．（10分）设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足：．（1）求A的大小；（2）若，试判断△ABC的形状，并说明理由．15．（10分）定义域为的函数f（x）＝2x﹣2﹣x，g（x）＝2x+2﹣x（1）请分别指出函数y＝f（x）与函数y＝g（x）的奇偶性、单调区间、值域和零点；（将结论填入答题卡，不必证）（2）设，请判断函数y＝h（x）的奇偶性、单调区间，并证明你的结论．（必要时，可以（1）中的结论作为推理与证明的依据）16．（10分）如图所示，一块椭圆形的铁板Γ的长轴长为4米，短轴长2米．（1）请你以短轴的端点A为直角顶点，另外两个锐角的顶点B，C都在椭圆铁板的边缘，截取等腰直角三角形，并求该三角形的面积（结果保留一位小数）；（2）请你按（1）中所述的方法，再切割出一个面积不同的等腰直角三角形，并求该三角形的面积（结果保留一位小数）．17．（12分）如图，在y轴的正半轴上依次有点A1，A2，…A n，…，其中点A1A n|＝3|A n A n+1|（n＝2，3，4，…），在射线y＝x（0，1）、A2（0，10）且|A n﹣1（x≥0）上一次有点B，B2，…B n，…，点B1（3，3），且（n＝2，3，4，…）．（1）求点A n、B n的坐标（用含n的式子表示）．（2）设四边形A n B n B n+1A n+1的面积为S n，解答下列问题：①求数列{S n}的通项公式；②问{S n}中是否存在连续的三项S n，S n+1，S n+2（n∈N*）恰好成等差数列？若存在，求出所有这样的三项；若不存在，请说明理由．2014年上海市闸北区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题(60分，本大题共10个小题，要求在答题纸相应位题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律零分）．1．（6分）设α＝2014°﹣360°×k，β＝2014°，若α是与β终边相同的最小正角，则k＝5．【解答】解：∵β＝2014°＝360°×5+214°，α是与β终边相同的最小正角．∴α＝2014°﹣360°×k＝214°，解得k＝5．故答案为：5．2．（6分）已知双曲线5x2﹣4y2＝20的右焦点与抛物线y2＝2px的焦点重合，则p＝6．【解答】解：由双曲线5x2﹣4y2＝20化为，可得a2＝4，b2＝5，∴c2＝a2+b2＝9，解得c＝3．∴双曲线的右焦点为F（3，0），即为抛物线y2＝2px的焦点，∴，解得p＝6．故答案为：6．3．（6分）设，则函数的最小正周期为2π．【解答】解：f（x）＝•＝3cos x﹣sin x＝cos（x+φ），∴函数的最小正周期为2π，故答案是2π．4．（6分）已知函数，则不等式f（x）＞1的解集为{x|x＜﹣1或x＞2}．【解答】解：由分段函数可知，若x≤0，由f（x）＞1得，x2＞1，∴x＜﹣1．若x＞0，由f（x）＞1得log2x＞1，此时x＞2，综上不等式的解为x＜﹣1或x＞2，即不等式的解集为：{x|x＜﹣1或x＞2}，故答案为：{x|x＜﹣1或x＞2}．5．（6分）已知直线l的一个法向量，其中ab＞0，则l的倾斜角为．【解答】解：设直线的倾斜角为θ，则直线的斜率为tanθ．∵直线l的一个法向量是，∴，∴，∵ab＞0，∴．故答案为：．6．（6分）相距480米有两个垂直于水平地面的高塔AB和CD，两塔底B，D的中点为P，已知AB＝280米，CD＝320米，则cos∠APC的值是．【解答】解：如图所示，AP＝＝40，CP＝＝400，AC＝＝40．在△APC中，cos∠APC＝＝＝．故答案为：．7．（6分）设a＞0，b＞0，a+b＝2，则下列不等式恒成立的有①③．①ab≤1；②；③a2+b2≥2．【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b＝2，∴a+b＝2≥2，即ab≤1，当且仅当a＝b＝1时取等号，故①正确；∵（+）2＝a+b+2＝2+2≤4，当且仅当a＝b＝1时取等号，∴+≤2，故②不正确；∵4＝（a+b）2＝a2+b2+2ab≤a2+b2+2，当且仅当a＝b＝1时取等号，∴a2+b2≥2，故③正确，∴不等式恒成立的有①③．故答案为：①③．8．（6分）若公差为d的等差数列{a n}的项数为奇数，a1＝1，奇数项的和是175，偶数项的和是150，则d＝4．【解答】解：设等差数列的项数为2n+1，则∵a1＝1，奇数项的和是175，偶数项的和是150，∴，∴n＝13，d＝4．故答案为：49．（6分）设a＞0，a≠1，函数f（x）＝a x+2|sin2πx|﹣2（x＞0）至少有5个零点，则a的取值范围为（0，1）∪（1，2）．【解答】解：根据函数f（x）＝a x+2|sin2πx|﹣2（x＞0）至少有5个零点，可得函数y＝a x﹣2的图象（蓝线）和函数y＝﹣2|sin2πx|的图象（红线）至少有5个交点，如图所示：可得a1﹣2＜0，解得a＜2．再结合a＞0，a≠1，可得a的范围是（0，1）∪（1，2），故答案为：（0，1）∪（1，2）．10．（6分）由曲线x2+y2＝|x|+|y|所围成的图形面积为2+π．【解答】解：当x，y≥0时，曲线x2+y2＝|x|+|y|互为x2+y2＝x+y，曲线表示以为圆心，以为半径的圆，在第一象限的部分；当x≥0，y≤0时，曲线x2+y2＝|x|+|y|互为x2+y2＝x﹣y，曲线表示以为圆心，以为半径的圆，在第四象限的部分；当x≤0，y≥0时，曲线x2+y2＝|x|+|y|互为x2+y2＝﹣x+y，曲线表示以为圆心，以为半径的圆，在第二象限的部分；当x≤0，y≤0时，曲线x2+y2＝|x|+|y|互为x2+y2＝﹣x﹣y，曲线表示以为圆心，以为半径的圆，在第三象限的部分；如图所求曲线x2+y2＝|x|+|y|所围成的图形面积为：＝2+π．故答案为：2+π．二、选择题．11．（6分）如果S＝{x|x＝2n+1，n∈Z}，T＝{x|x＝4k±1，k∈Z}，那么（）A．S真包含于T B．T真包含于SC．S＝T D．S与T没有交集【解答】解：当n为偶数，设n＝2k，k∈Z，则x＝2n+1＝4k+1，当n为奇数，设n＝2k﹣1，k∈Z，则x＝2n+1＝4k﹣2+1＝4k﹣1，∴集合S和T的元素相同，∴S＝T．故选：C．12．（6分）在平面内，设A，B为两个不同的定点，动点P满足：（k 为实常数），则动点P的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．不确定【解答】解：设A（﹣c，0），B（c，0）（c＞0），P（x，y）．则＝（﹣c﹣x，﹣y），＝（c﹣x，﹣y）．∵满足：（k为实常数），∴（﹣c﹣x，﹣y）•（c﹣x，﹣y）＝k2，化为x2﹣c2+y2＝k2，即x2+y2＝c2+k2故动点P的轨迹是原点为圆心，以为半径的圆．故选：A．13．（6分）给出下列等式：13+23＝32，13+23+33＝62，13+23+33+43＝102，…现设，n∈N*，n≥2，则＝（）A．0B．1C．2D．4【解答】解：由题意，，∴＝＝＝2．故选：C．三、解答题（共4小题，满分42分）14．（10分）设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足：．（1）求A的大小；（2）若，试判断△ABC的形状，并说明理由．【解答】解：（1）∵，∴由正弦定理可得＝1，∴tan A＝，∵0°＜A＜180°，∴A＝60°；（2）∵，∴1﹣cos B+1﹣cos C＝1，∴cos B+cos C＝1，∴cos B+cos（120°﹣B）＝1，∴cos B﹣cos B+sin B＝1，∴cos B+sin B＝1，∴sin（B+30°）＝1，∴B＝60°，∴C＝60°，∴△ABC是等边三角形．15．（10分）定义域为的函数f（x）＝2x﹣2﹣x，g（x）＝2x+2﹣x（1）请分别指出函数y＝f（x）与函数y＝g（x）的奇偶性、单调区间、值域和零点；（将结论填入答题卡，不必证）（2）设，请判断函数y＝h（x）的奇偶性、单调区间，并证明你的结论．（必要时，可以（1）中的结论作为推理与证明的依据）【解答】解：（1）函数f（x）＝2x﹣2﹣x为奇函数，在R上单调递增，值域为R，零点为0；函数g（x）＝2x+2﹣x为偶函数，在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减，值域为[2，+∞），无零点；（2）＝＝函数为奇函数，在R为增函数．证明如下：的定义域为R，则h（﹣x）＝＝＝﹣h（x），∴函数为奇函数，∵h（x）＝＝1﹣，∴h′（x）＝＞0，∴函数在R为增函数．16．（10分）如图所示，一块椭圆形的铁板Γ的长轴长为4米，短轴长2米．（1）请你以短轴的端点A为直角顶点，另外两个锐角的顶点B，C都在椭圆铁板的边缘，截取等腰直角三角形，并求该三角形的面积（结果保留一位小数）；（2）请你按（1）中所述的方法，再切割出一个面积不同的等腰直角三角形，并求该三角形的面积（结果保留一位小数）．【解答】解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系，则椭圆方程为：．∵∠BAC＝90°，设k AB＝1，k AC＝﹣1．∴AB边所在直线方程为：y＝x+1，AC边所在直线方程为y＝﹣x+1．联立，得5x2+8x＝0，解得x＝0或x＝﹣．∴点B横坐标为．联立，得5x2﹣8x＝0，解得x＝0或x＝．∴点C横坐标为．∴|AB|＝．则等腰直角三角形ABC的面积为：S＝；（2）设AB所在的直线方程为：y＝kx+1，则AC所在的直线方程为：．将AB所在的直线方程代入椭圆方程，得（1+4k2）x2+8kx＝0．可求得，同理可求得，．不妨设k＞0，令|AB|＝|AC|，得，即k3﹣4k2+4k﹣1＝0，解得k＝1或．当k＝1时，所截取等腰直角三角形面积为2.6平方米，为（1）中所求；≈2.1．当时，代入得S△ABC所截取等腰直角三角形面积为2.1平方米．17．（12分）如图，在y轴的正半轴上依次有点A1，A2，…A n，…，其中点A1A n|＝3|A n A n+1|（n＝2，3，4，…），在射线y＝x（0，1）、A2（0，10）且|A n﹣1（x≥0）上一次有点B，B2，…B n，…，点B1（3，3），且（n＝2，3，4，…）．（1）求点A n、B n的坐标（用含n的式子表示）．（2）设四边形A n B n B n+1A n+1的面积为S n，解答下列问题：①求数列{S n}的通项公式；②问{S n}中是否存在连续的三项S n，S n+1，S n+2（n∈N*）恰好成等差数列？若存在，求出所有这样的三项；若不存在，请说明理由．A n|＝3|A n A n+1|，且|A1A2|＝10﹣1＝9，【解答】解：（1）|A n﹣1∴|A n A n+1|＝|A1A2|＝9×＝．∴|A1A2|+|A2A3|+…+|A n﹣1A n|＝9+3+1+…+＝，∴A n的坐标（0，），∵|OB n|﹣|OB n﹣1|＝2（n＝2，3，…）且|OB1|＝3，∴{|OB n|}是以3为首项，2为公差的等差数列∴|OB n|＝3+（n﹣1）×2＝（2n+1），∴B n的坐标为（2n+1，2n+1）．（2）①连接A n B n+1，设四边形A n B n B n+1A n+1的面积为S n，则S n＝＝•（）n﹣3×（2n+3）+•2[﹣]•＝+．②由S n，S n+1，S n+2（n∈N*）恰好成等差数列，可得2（）＝+++∴18（n+1）＝27n+3（n+2），∴n＝1，∴存在连续的三项S1，S2，S3恰好成等差数列．。

数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)考生注意：1.本试卷共4页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 .2.若复数12i z =+,其中i 是虚数单位,则1(z )z z += .3.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 .4.设2,(,),(),[,),x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩若(2)4f =,则a 的取值范围为 .5.若实数x ,y 满足1xy =,则222x y +的最小值为 .6.若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.7.已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=,则C 与极轴的交点到极点的距离是 .8.设无穷等比数列{}n a 的公比为q .若134lim()n n a a a a →∞=+++,则q = .9.若2132()f x x x =-,则满足()0f x ＜的x 的取值范围是 .10.为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）. 11.已知互异的复数a ,b 满足0ab ≠,集合22{,}{,}a b a b =,则a b += . 12.设常数a使方程sin x x a =在闭区间[0,2π]上恰有三个解1x ,2x ,3x ,则123x x x ++= .13.某游戏的得分为1,2,3,4,5,随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分.若() 4.2E ξ=,则小白得5分的概率至少为 .14.已知曲线C：x =,直线l ：6x =.若对于点(,0)A m ,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP AQ +=0,则m 的取值范围为 .二、选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15.设,a b ∈R ,则“4a b +＞”是“2a ＞且2b ＞”的( ) A .充分条件 B .必要条件C .充分必要条件D .既非充分又非必要条件16.如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB 是一条侧棱,(1,2,,8)i P i =是上底面上其余的八个点,则(1,2,,8)i AB AP i =的不同值的个数为( )A .1B .2C .4D .817.已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点,则关于x 和y 的方程组11221,1,a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是 ( )A .无论k ,1P ,2P 如何,总是无解B .无论k ,1P ,2P 如何,总有唯一解姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）C .存在k ,1P ,2P ,使之恰有两解D .存在k ,1P ,2P ,使之有无穷多解18.设2(),0,()1,0,x a x f x x a x x ⎧-⎪=⎨++⎪⎩≤＞若(0)f 是()f x 的最小值,则a 的取值范围为 ( )A .[1,2]-B .[1,0]-C .[1,2]D .[0,2]三、解答题（本大题共5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其表面展开图是三角形123PP P ,如图.求123PP P △的各边长及此三棱锥的体积V .20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.设常数0a ≥,函数2()2x x af x a+=-.（Ⅰ）若4a =,求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；（Ⅱ）根据a 的不同取值,讨论函数()y f x =的奇偶性,并说明理由.21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图,某公司要在A ,B 两地连线上的定点C 处建造广告牌,其中D 为顶端,AC 长35 米,CB 长80 米.设点A ,B 在同一水平面上,从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.（Ⅰ）设计中CD 是铅垂方向,若要求2αβ≥,问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01 米）？（Ⅱ）施工完成后,CD 与铅垂方向有偏差.现在实测得38.12α=,18.45β=,求CD 的长（结果精确到0.01 米）.22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.在平面直角坐标系xOy 中,对于直线l ：0ax by c ++=和点111(,)P x y ,222(,)P x y ,即1122()(c)ax by c ax by η=++++.若0η＜,则称点1P ,2P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点,且曲线C 上存在点1P ,2P 被直线l 分隔,则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.（Ⅰ）求证：点(1,2)A ,(1,0)B -被直线10x y +-=分隔；（Ⅱ）若直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线,求实数k 的取值范围；（Ⅲ）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1,设点M 的轨迹为曲线E .求证：通过原点的直线中,有且仅有一条直线是E 的分隔线.23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤,*n ∈N ,11a =. （Ⅰ）若22a =,3a x =,49a =,求x 的取值范围； （Ⅱ）设{}n a 是公比为q 的等比数列,12n n S a a a =+++,1133n n n S S S +≤≤,*n ∈N ,求q 的取值范围；（Ⅲ）若1a ,2a ,⋅⋅⋅,k a 成等差数列,且121000k a a a +++=,求正整数k 的最大值,以及k 取最大值时相应数列1a ,2a ,⋅⋅⋅,k a 的公差.数学试卷 第5页（共14页） 数学试卷 第6页（共14页）2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）答案解析1(1z z z ⎫=+=+⎪⎭【提示】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可),n a ++即【提示】由已知条件推导出a ，由此能求出。