湖北省黄冈市2017-2018学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含解析

2017-2018学年湖北省黄冈市高二上学期期末数学文试题（解析版）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知抛物线的准线方程是，则的值为（）A. 2B. 4C. -2D. -4【答案】B【解析】试题分析：，故选B.考点：抛物线及其性质.2. 已知命题：，总有，则为（）A. ，使得B. ，总有C. ，使得D. ，总有【答案】C【解析】全称命题的否定为特称命题，所以命题：，总有，有，总有.故选B.3. 袋中装有红球3个、白球 2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A. 至少有一个白球；至少有一个红球B. 至少有一个白球；红、黑球各一个C. 恰有一个白球；一个白球一个黑球D. 至少有一个白球；都是白球【答案】B【解析】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个,从中任取2个,在A中,至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故A不成立;在B中,至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生,是互斥而不对立的两个事件,故B成立;在C中,恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故C不成立;在D中,至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故D不成立.故选B.点睛:事件A和B的交集为空,A与B就是互斥事件,也可以描述为:不可能同时发生的事件,则事件A与事件B互斥,从集合的角度即;若A交B为不可能事件,A并B为必然事件,那么事件A与事件B互为对立事件,即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生,其定义为:其中必有一个发生的两个互斥事件为对立事件.4. 中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某中学语文老师在班里开展了一次诗歌默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（）A. 2B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】由题得：诗词达人有8人，诗词能手有16人，诗词爱好者有16人，分层抽样抽选10名学生，所以诗词能手有人5. 方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知，，则C，D均不正确，而B为充要条件，不合题意，故选A.6. 水滴在水面上形成同心圆，边上的圆半径以的速度向外扩大，则从水滴接触水面后末时圆面积的变化速率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知，水滴接触水面后半径与时间的关系为，则圆的面积，对时间求导可得：，令可得末时圆面积的变化速率为.本题选择D选项.7. 过抛物线焦点的直线与该抛物线交于，两点，若，则弦的中点到直线的距离等于（）A. B. C. 4 D. 2【答案】B【解析】如图所示，过弦中点作准线的垂线，做直线的垂线，过点作准线的垂线，由梯形中位线的性质结合抛物线的定义可得：，则弦的中点到直线的距离等于.本题选择B选项.点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．8. 已知，则（）A. B. C. D. 3【答案】A【解析】由函数的解析式可得：，则，函数的解析式为：，.本题选择A选项.9. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的，分别为4，2，则输出的等于（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】由程序框图可得，时，，继续循环；时，，继续循环；时，，继续循环；结束输出.点睛：循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错.10. 在处有极小值，则常数的值为（）A. 2B. 6C. 2或6D. 1【答案】A【解析】函数，∴，又在x=2处有极值，∴f′(2)=12−8c+=0，解得c=2或6，又由函数在x=2处有极小值，故c=2，c=6时,函数在x=2处有极大值，故选：A.点睛：已知函数的极值点求参数的值时，可根据建立关于参数的方程（组），通过解方程（组）得到参数的值后还需要进行验证，因为“”是“为极值点”的必要不充分条件，而不是等价条件，因此在解答此类问题时不要忘了验证，以免产生增根而造成解答的错误．11. 为定义在上的函数的导函数，而的图象如图所示，则的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由函数的解析式可得：当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；综上可得：的单调递增区间是.本题选择D选项.12. 是双曲线：的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】由已知渐近线方程为l1：，l2：，由条件得F到渐近线的距离，则，在Rt△AOF中，，则.设l1的倾斜角为θ，即∠AOF=θ，则∠AOB=2θ.在Rt△AOF中，，在Rt△AOB中，.∵，即，即a2=3b2，∴a2=3(c2-a2)，∴，即.故选C.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的横线上.13. 有3个活动小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学在同一个兴趣小组的概率为__________．【答案】【解析】甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3(种)．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P＝＝.14. 过点向圆：作两条切线，切点分别为，，则过点，，，四点的圆的方程为__________．【答案】【解析】圆的圆心为(1,1)，半径为1，由直线与圆相切知，,所以过点四点的圆的直径为，的中点为圆心，即圆心为(0,0)..所以.过点四点的圆的方程为.故答案为：.15. 如图是某工厂对一批新产品长度（单位：）检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的中位数为__________．【答案】22.5【解析】根据频率分布直方图，得；∵0.02×5+0.04×5=0.3<0.5，0.3+0.08×5=0.7>0.5；∴中位数应在20∼25内，设中位数为x，则0.3+(x−20)×0.08=0.5，解得x=22.5；∴这批产品的中位数是22.5.故答案为：22.5.点睛：用频率分布直方图估计总体特征数字的方法：①众数：最高小长方形底边中点的横坐标；②中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；③平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.16. 古式楼阁中的横梁多为木质长方体结构，当横梁的长度一定时，其强度与宽成正比，与高的平方成正比（即强度宽高的平方）.现将一圆柱形木头锯成一横梁（长度不变），当高与宽的比值为__________时，横梁的强度最大.。

2018年湖北省黄冈市中考数学试卷一、选择题(本题共6小题，每小题3分，共18分.每小题给出的4个选项中，有且只有一个案是正确的) 1．(3分)﹣23的相反数是( ) A ．﹣32B ．﹣23C ．23D ．322．(3分)下列运算结果正确的是( ) A ．3a 3•2a 2=6a 6 B ．(﹣2a )2=﹣4a 2 C ．tan 45°=22 D ．cos 30°= 323．(3分)函数y =x +1x−1中自变量x 的取值范围是( ) A ．x ≥﹣1且x ≠1 B ．x ≥﹣1 C ．x ≠1 D ．﹣1≤x ＜14．(3分)如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，且分别交BC ，AC 于点D 和E ，∠B =60°，∠C =25°，则∠BAD 为( )A ．50°B ．70°C ．75°D ．80°5．(3分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 为AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，AD =2，CE =5，则CD =( )A ．2B ．3C ．4D ．2 36．(3分)当a ≤x ≤a +1时，函数y =x 2﹣2x +1的最小值为1，则a 的值为( ) A ．﹣1 B ．2 C ．0或2 D ．﹣1或2二、填空题(本题共8小题，每题小3分，共24分 7．(3分)实数16800000用科学记数法表示为 ． 8．(3分)因式分解：x 3﹣9x = ．9．(3分)化简( 2﹣1)0+(12)﹣2﹣ 9+ −273= ．10．(3分)若a ﹣1a= 6，则a 2+1a2值为 ．11．(3分)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，∠CAB =60°，弦AD 平分∠CAB ，若AD =6，则AC = ．12．(3分)一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x 2﹣10x +21=0的根，则三角形的周长为 ．13．(3分)如图，圆柱形玻璃杯高为14cm ，底面周长为32cm ，在杯内壁离杯底5cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为 cm (杯壁厚度不计)．14．(3分)在﹣4、﹣2，1、2四个数中、随机取两个数分别作为函数y =ax 2+bx +1中a ，b 的值，则该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率为 ．三、解答题(本题共10题，满分78分(x -2)≤815．(5分)求满足不等式组 x −3(x −2)≤812x −1＜3−32x 的所有整数解．16．(6分)在端午节来临之际，某商店订购了A 型和B 型两种粽子，A 型粽子28元/千克，B 型粽子24元/千克，若B 型粽子的数量比A 型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2560元，求两种型号粽子各多少千克．17．(8分)央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注我市某校就“中华文化我传承﹣﹣地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查．对收集的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：图中A 表示“很喜欢”，B 表示“喜欢”、C 表示“一般”，D 表示“不喜欢”．(1)被调查的总人数是 人，扇形统计图中C 部分所对应的扇形圆心角的度数为 ； (2)补全条形统计图；(3)若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中A 类有 人；(4)在抽取的A 类5人中，刚好有3个女生2个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率．18．(7分)如图，AD 是⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，OP ⊥AD ，OP 与AB 的延长线交于点P ，过B 点的切线交OP 于点C ． (1)求证：∠CBP =∠ADB ．(2)若OA =2，AB =1，求线段BP 的长．19．(6分)如图，反比例函数y =kx(x ＞0)过点A (3，4)，直线AC 与x 轴交于点C (6，0)，过点C 作x 轴的垂线BC 交反比例函数图象于点B ．(1)求k的值与B点的坐标；(2)在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有D点的坐标．20．(8分)如图，在▱ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF=∠CDE，连接AF，AE．(1)求证△ABF≌△EDA；(2)延长AB与CF相交于G．若AF⊥AE，求证BF⊥BC．21．(7分)如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．(1)求坡底C点到大楼距离AC的值；(2)求斜坡CD的长度．22．(8分)已知直线l：y=kx+1与抛物线y=x2﹣4x．(1)求证：直线l与该抛物线总有两个交点；(2)设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k=﹣2时，求△OAB的面积．23．(9分)我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y(万件)与月份x(月)的关系为：y=x+4(1≤x≤8，x为整数)，每件产品的利润z(元)与月份x(月)的关系如下表：(1)请你根据表格求出每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式；(2)若月利润w(万元)=当月销售量y(万件)×当月每件产品的利润z(元)，求月利润w(万元)与月份x(月)的关系式；(3)当x为何值时，月利润w有最大值，最大值为多少？24．(14分)如图，在直角坐标系xOy中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，点B，C在第一象限，∠C=120°，边长OA=8．点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点N从A出发沿边AB﹣BC﹣CO以每秒2个单位长的速度作匀速运动，过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于P，交对角线OB于Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，M和N两点同时停止运动．(1)当t=2时，求线段PQ的长；(2)求t为何值时，点P与N重合；(3)设△APN的面积为S，求S与t的函数关系式及t的取值范围．2018年湖北省黄冈市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本题共6小题，每小题3分，共18分.每小题给出的4个选项中，有且只有一个案是正确的) 1．(3分)﹣23的相反数是( ) A ．﹣32B ．﹣23C ．23D ．32【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【解答】解：﹣23的相反数是23． 故选：C ．2．(3分)下列运算结果正确的是( ) A ．3a 3•2a 2=6a 6 B ．(﹣2a )2=﹣4a 2C ．tan 45°=22 D ．cos 30°= 32【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、特殊角的三角函数值进行计算． 【解答】解：A 、原式=6a 5，故本选项错误； B 、原式=4a 2，故本选项错误； C 、原式=1，故本选项错误； D 、原式=32，故本选项正确． 故选：D ．3．(3分)函数y =x +1x−1中自变量x 的取值范围是( ) A ．x ≥﹣1且x ≠1 B ．x ≥﹣1 C ．x ≠1 D ．﹣1≤x ＜1【分析】根据分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．【解答】解：根据题意得到： x +1≥0x −1≠0，解得x ≥﹣1且x ≠1，故选：A ．4．(3分)如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，且分别交BC ，AC 于点D 和E ，∠B =60°，∠C =25°，则∠BAD 为( )A ．50°B ．70°C ．75°D ．80°【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA =DC ，根据等腰三角形的性质得到∠DAC =∠C ，根据三角形内角和定理求出∠BAC ，计算即可．【解答】解：∵DE 是AC 的垂直平分线， ∴DA =DC ，∴∠DAC =∠C =25°， ∵∠B =60°，∠C =25°， ∴∠BAC =95°，∴∠BAD =∠BAC ﹣∠DAC =70°，故选：B ．5．(3分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 为AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，AD =2，CE =5，则CD =( )A ．2B ．3C ．4D ．2 3【分析】根据直角三角形的性质得出AE =CE =5，进而得出DE =3，利用勾股定理解答即可． 【解答】解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CE 为AB 边上的中线，CE =5， ∴AE =CE =5， ∵AD =2， ∴DE =3，∵CD 为AB 边上的高，∴在Rt △CDE 中，CD = CE 2−DE 2= 52−32=4，故选：C ．6．(3分)当a ≤x ≤a +1时，函数y =x 2﹣2x +1的最小值为1，则a 的值为( ) A ．﹣1B ．2C ．0或2D ．﹣1或2【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y =1时x 的值，结合当a ≤x ≤a +1时函数有最小值1，即可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：当y =1时，有x 2﹣2x +1=1， 解得：x 1=0，x 2=2．∵当a ≤x ≤a +1时，函数有最小值1， ∴a =2或a +1=0， ∴a =2或a =﹣1，故选：D ．二、填空题(本题共8小题，每题小3分，共24分7．(3分)实数16800000用科学记数法表示为 1.68×107 ．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a ×10n ，其中1≤|a |＜10，n 为整数，据此判断即可． 【解答】解：16800000=1.68×107．故答案为：1.68×107．8．(3分)因式分解：x 3﹣9x = x (x +3)(x ﹣3) ．【分析】先提取公因式x ，再利用平方差公式进行分解． 【解答】解：x 3﹣9x ， =x (x 2﹣9)， =x (x +3)(x ﹣3)．9．(3分)化简( 2﹣1)0+(12)﹣2﹣ 9+ −273= ﹣1 ．【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质、算术平方根的性质分别化简得出答案． 【解答】解：原式=1+4﹣3﹣3 =﹣1．故答案为：﹣1．10．(3分)若a ﹣1a= 6，则a 2+1a值为 8 ．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：∵a ﹣1a= 6 ∴(a ﹣1a )2=6∴a 2﹣2+1a=6∴a 2+1a2=8故答案为：811．(3分)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，∠CAB =60°，弦AD 平分∠CAB ，若AD =6，则AC = 2 3 ．【分析】连接BD ．在Rt △ADB 中，求出AB ，再在Rt △ACB 中求出AC 即可解决问题； 【解答】解：连接BD ．∵AB 是直径， ∴∠C =∠D =90°，∵∠CAB =60°，AD 平分∠CAB ， ∴∠DAB =30°，∴AB =AD ÷cos 30°=4 3， ∴AC =AB •cos 60°=2 3，故答案为2 3．12．(3分)一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x 2﹣10x +21=0的根，则三角形的周长为 16 ． 【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长． 【解答】解：解方程x 2﹣10x +21=0得x 1=3、x 2=7， ∵3＜第三边的边长＜9， ∴第三边的边长为7．∴这个三角形的周长是3+6+7=16．故答案为：16．13．(3分)如图，圆柱形玻璃杯高为14cm ，底面周长为32cm ，在杯内壁离杯底5cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为 20 cm (杯壁厚度不计)．【分析】将杯子侧面展开，建立A 关于EF 的对称点A ′，根据两点之间线段最短可知A ′B 的长度即为所求．【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=A′D2+BD2=162+122=20(cm)．故答案为20．14．(3分)在﹣4、﹣2，1、2四个数中、随机取两个数分别作为函数y=ax2+bx+1中a，b的值，则该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率为16．【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，根据二次函数的性质，找出满足a＞0，b＜0的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，满足a＞0，b＜0的结果数为4，但a=1，b=﹣2和a=2，b=﹣2时，抛物线不过第四象限，所以满足该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的结果数为2，所以该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率=212=16．故答案为16．三、解答题(本题共10题，满分78分(x-2)≤815．(5分)求满足不等式组x−3(x−2)≤812x−1＜3−32x的所有整数解．【分析】先求出不等式组的解集，然后在解集中找出所有的整数即可．【解答】解：解不等式x﹣3(x﹣2)≤8，得：x≥﹣1，解不等式12x﹣1＜3﹣32x，得：x＜2，则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，所以不等式组的整数解为﹣1、0、1．16．(6分)在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子，A型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克，若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2560元，求两种型号粽子各多少千克．【分析】订购了A型粽子x千克，B型粽子y千克．根据B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2560元列出方程组，求解即可．【解答】解：设订购了A型粽子x千克，B型粽子y千克，根据题意，得y=2x−2028x+24y=2560，解得x=40y=60．答：订购了A型粽子40千克，B型粽子60千克．17．(8分)央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注我市某校就“中华文化我传承﹣﹣地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查．对收集的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：图中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”、C表示“一般”，D表示“不喜欢”．(1)被调查的总人数是50人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为216°；(2)补全条形统计图；(3)若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中A类有180人；(4)在抽取的A类5人中，刚好有3个女生2个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率．【分析】(1)由A类别人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以C部分人数所占比例可得；(2)总人数减去其他类别人数求得B的人数，据此即可补全条形图；(3)用总人数乘以样本中A类别人数所占百分比可得；(4)用树状图或列表法即可求出抽到性别相同的两个学生的概率．【解答】解：(1)被调查的总人数为5÷10%=50人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为360°×30=216°，50故答案为：50、216°；(2)B类别人数为50﹣(5+30+5)=10人，补全图形如下：(3)估计该校学生中A类有1800×10%=180人，故答案为：180；所有等可能的结果为20种，其中被抽到的两个学生性别相同的结果数为8，∴被抽到的两个学生性别相同的概率为820=25．18．(7分)如图，AD 是⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，OP ⊥AD ，OP 与AB 的延长线交于点P ，过B 点的切线交OP 于点C ． (1)求证：∠CBP =∠ADB ．(2)若OA =2，AB =1，求线段BP 的长．【分析】(1)连接OB ，如图，根据圆周角定理得到∠ABD =90°，再根据切线的性质得到∠OBC =90°，然后利用等量代换进行证明；(2)证明△AOP ∽△ABD ，然后利用相似比求BP 的长． 【解答】(1)证明：连接OB ，如图， ∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠ABD =90°， ∴∠A +∠ADB =90°， ∵BC 为切线， ∴OB ⊥BC ， ∴∠OBC =90°，∴∠OBA +∠CBP =90°， 而OA =OB ， ∴∠A =∠OBA ， ∴∠CBP =∠ADB ； (2)解：∵OP ⊥AD ， ∴∠POA =90°， ∴∠P +∠A =90°， ∴∠P =∠D ， ∴△AOP ∽△ABD ， ∴AP AD =AO AB，即1+BP 4=21，∴BP =7．19．(6分)如图，反比例函数y =k x(x ＞0)过点A (3，4)，直线AC 与x 轴交于点C (6，0)，过点C 作x 轴的垂线BC 交反比例函数图象于点B ．(1)求k 的值与B 点的坐标；(2)在平面内有点D ，使得以A ，B ，C ，D 四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有D 点的坐标．【分析】(1)将A 点的坐标代入反比例函数y =kx求得k 的值，然后将x =6代入反比例函数解析式求得相应的y 的值，即得点B的坐标；(2)使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为平行四边形，如图所示，找出满足题意D 的坐标即可． 【解答】解：(1)把点A (3，4)代入y =kx (x ＞0)，得k =xy =3×4=12，故该反比例函数解析式为：y =12x ．∵点C (6，0)，BC ⊥x 轴，∴把x =6代入反比例函数y =12x ，得 y =122=6．则B (6，2)．综上所述，k 的值是12，B 点的坐标是(6，2)．(2)①如图，当四边形ABCD 为平行四边形时，AD ∥BC 且AD =BC ． ∵A (3，4)、B (6，2)、C (6，0)，∴点D 的横坐标为3，y A ﹣y D =y B ﹣y C 即4﹣y D =2﹣0，故y D =2． 所以D (3，2)．②如图，当四边形ACBD ′为平行四边形时，AD ′∥CB 且AD ′=CB ． ∵A (3，4)、B (6，2)、C (6，0)，∴点D 的横坐标为3，y D ′﹣y A =y B ﹣y C 即y D ﹣4=2﹣0，故y D ′=6． 所以D ′(3，6)．③如图，当四边形ACD ″B 为平行四边形时，AC =BD ″且AC ∥BD ″． ∵A (3，4)、B (6，2)、C (6，0)，∴x D ″﹣x B =x C ﹣x A 即x D ″﹣6=6﹣3，故x D ″=9． y D ″﹣y B =y C ﹣y A 即y D ″﹣2=0﹣4，故y D ″=﹣2． 所以D ″(9，﹣2)．综上所述，符合条件的点D 的坐标是：(3，2)或(3，6)或(9，﹣2)．20．(8分)如图，在▱ABCD 中，分别以边BC ，CD 作等腰△BCF ，△CDE ，使BC =BF ，CD =DE ，∠CBF =∠CDE ，连接AF ，AE ．(1)求证△ABF ≌△EDA ；(2)延长AB与CF相交于G．若AF⊥AE，求证BF⊥BC．【分析】(1)想办法证明：AB=DE，FB=AD，∠ABF=∠ADE即可解决问题；(2)只要证明FB⊥AD即可解决问题；【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠ABC=∠ADC，∵BC=BF，CD=DE，∴BF=AD，AB=DE，∵∠ADE+∠ADC+∠EDC=360°，∠ABF+∠ABC+∠CBF=360°，∠EDC=∠CBF，∴∠ADE=∠ABF，∴△ABF≌△EDA．(2)证明：延长FB交AD于H．∵AE⊥AF，∴∠EAF=90°，∵△ABF≌△EDA，∴∠EAD=∠AFB，∵∠EAD+∠F AH=90°，∴∠F AH+∠AFB=90°，∴∠AHF=90°，即FB⊥AD，∵AD∥BC，∴FB⊥BC．21．(7分)如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．(1)求坡底C点到大楼距离AC的值；(2)求斜坡CD的长度．【分析】(1)在直角三角形ABC 中，利用锐角三角函数定义求出AC 的长即可； (2)设CD =2x ，则DE =x ，CE = 3x ，构建方程即可解决问题；【解答】解：(1)在直角△ABC 中，∠BAC =90°，∠BCA =60°，AB =60米，则AC =AB tan 60°=3=20 3(米)答：坡底C 点到大楼距离AC 的值是20 3米．(2)设CD =2x ，则DE =x ，CE = 3x ， 在Rt △BDF 中，∵∠BDF =45°， ∴BF =DF ，∴60﹣x =20 3+ 3x ， ∴x =40 3﹣60， ∴CD =2x =80 3﹣120， ∴CD 的长为(80 3﹣120)米．22．(8分)已知直线l ：y =kx +1与抛物线y =x 2﹣4x ． (1)求证：直线l 与该抛物线总有两个交点；(2)设直线l 与该抛物线两交点为A ，B ，O 为原点，当k =﹣2时，求△OAB 的面积． 【分析】(1)联立两解析式，根据判别式即可求证；(2)画出图象，求出A 、B 的坐标，再求出直线y =﹣2x +1与x 轴的交点C ，然后利用三角形的面积公式即可求出答案．【解答】解：(1)联立 y =kx +1y =x 2−4x化简可得：x 2﹣(4+k )x ﹣1=0， ∴△=(4+k )2+4＞0，故直线l 与该抛物线总有两个交点； (2)当k =﹣2时， ∴y =﹣2x +1过点A 作AF ⊥x 轴于F ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，∴联立 y =x 2−4x y =−2x +1解得： x =1+ 2y =−1−2 2或x =1− 2y =2 2−1∴A (1﹣ 2，2 2﹣1)，B (1+ 2，﹣1﹣2 2) ∴AF =2 2﹣1，BE =1+2 2易求得：直线y =﹣2x +1与x 轴的交点C 为(12，0)∴OC =12∴S △AOB =S △AOC +S △BOC =12OC •AF +12OC •BE =12OC (AF +BE )=12×12×(2 2﹣1+1+2 2)= 223．(9分)我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y (万件)与月份x (月)的关系为：y =x +4(1≤x ≤8，x 为整数)，每件产品的利润z (元)与月份x (月)的关系如下表：(1)请你根据表格求出每件产品利润z (元)与月份x (月)的关系式；(2)若月利润w (万元)=当月销售量y (万件)×当月每件产品的利润z (元)，求月利润w (万元)与月份x (月)的关系式； (3)当x 为何值时，月利润w 有最大值，最大值为多少？【分析】(1)根据表格中的数据可以求得各段对应的函数解析式，本题得以解决； (2)根据题目中的解析式和(1)中的解析式可以解答本题；(3)根据(2)中的解析式可以求得各段的最大值，从而可以解答本题．【解答】解；(1)当1≤x ≤9时，设每件产品利润z (元)与月份x (月)的关系式为z =kx +b ，k +b =192k +b =18，得 k =−1b =20，即当1≤x ≤9时，每件产品利润z (元)与月份x (月)的关系式为z =﹣x +20， 当10≤x ≤12时，z =10， 由上可得，z ={−x +20(1≤x ≤9，x 取整数)10(10≤x ≤12，x 取整数)；(2)当1≤x ≤8时，w =(x +4)(﹣x +20)=﹣x 2+16x +80， 当x =9时，w =(﹣9+20)×(﹣9+20)=121， 当10≤x ≤12时，w =(﹣x +20)×10=﹣10x +200， 由上可得，w ={−x 2+16x +80(1≤x ≤8，x 取整数)121(x =9)−10x +200(10≤x ≤12，x 取整数)； (3)当1≤x ≤8时，w =﹣x 2+16x +80=﹣(x ﹣8)2+144， ∴当x =8时，w 取得最大值，此时w =144；当x =9时，w =121，当10≤x ≤12时，w =﹣10x +200，则当x =10时，w 取得最大值，此时w =100，由上可得，当x 为8时，月利润w 有最大值，最大值144万元． 24．(14分)如图，在直角坐标系xOy 中，菱形OABC 的边OA 在x 轴正半轴上，点B ，C 在第一象限，∠C =120°，边长OA =8．点M 从原点O 出发沿x 轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点N 从A 出发沿边AB ﹣BC ﹣CO 以每秒2个单位长的速度作匀速运动，过点M 作直线MP 垂直于x 轴并交折线OCB 于P ，交对角线OB 于Q ，点M 和点N 同时出发，分别沿各自路线运动，点N 运动到原点O 时，M 和N 两点同时停止运动． (1)当t =2时，求线段PQ 的长； (2)求t 为何值时，点P 与N 重合；(3)设△APN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式及t 的取值范围．【分析】(1)解直角三角形求出PM ，QM 即可解决问题； (2)根据点P 、N 的路程之和=24，构建方程即可解决问题，； (3)分四种情形考虑问题即可解决问题； 【解答】解：(1)当t =2时，OM =2， 在Rt △OPM 中，∠POM =60°， ∴PM =OM •tan 60°=2 3， 在Rt △OMQ 中，∠QOM =30°， ∴QM =OM •tan 30°=2 33，∴PQ =CN ﹣QM =2 3﹣2 33=4 33．(2)由题意：8+(t ﹣4)+2t =24， 解得t =203．(3)①当0＜t ＜4时，S =12•2t •4 3=4 3t ．②当4≤t ＜203时，S =12×[8﹣(t ﹣4)﹣(2t ﹣8)]×4 3=40 3﹣6 3t ． ③当203＜t ＜8时．S =12×[(t ﹣4)+(2t ﹣8)﹣8]×4 3=6 3t ﹣40 3．④当8≤t ≤12时，S =S菱形ABCO ﹣S △AON ﹣S △ABP ﹣S △PNC =32 3﹣12•(24﹣2t )•4 3﹣12•[8﹣(t ﹣4)]•4 3﹣12•(t ﹣4)•32•(2t ﹣16)=﹣ 32t 2+12 3t ﹣56 3．。

2017-2018学年湖北省黄冈市高二（上）期末数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）≤1B．∃x0＞0，使得（x0+1）≤1C．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1D．∀x≤0，总有（x+1）e x≤12．（5分）袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个白球；至少有一个红球B．至少有一个白球；红、黑球各一个C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；都是白球3．（5分）中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示．若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（）A．2B．4C．5D．64．（5分）“3＜m＜7”是“方程+＝1的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分条件又不必要条件5．（5分）某同学同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为a、b，则双曲线﹣＝1的离心率e的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为4，2，则输出的n等于（）A．2B．3C．4D．57．（5分）已知，则的最小值是（）A．B．C．D．8．（5分）如图，已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，则直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值是（）A．B．C．D．9．（5分）在去年的足球甲A联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1，；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（）①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队技术水平更稳定；③一队有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球．A．1个B．2个C．3个D．4个10．（5分）直线4kx﹣4y﹣k＝0与抛物线y2＝x交于A、B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x+＝0的距离等于（）A．B．2C．D．411．（5分）给出以下命题，其中真命题的个数是（）①若“￢p或q”是假命题，则“p且￢q”是真命题②命题“若a+b≠5，则a≠2或b≠3”为真命题③已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面；④直线y＝k（x﹣3）与双曲线交于A，B两点，若|AB|＝5，则这样的直线有3条；A．1B．2C．3D．412．（5分）已知抛物线x2＝2py和﹣y2＝1的公切线PQ（P是PQ与抛物线的切点，未必是PQ与双曲线的切点）与抛物线的准线交于Q，F（0，），若|PQ|＝|PF|，则抛物线的方程是（）A．x2＝4y B．x2＝2y C．x2＝6y D．x2＝2y二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为．14．（5分）下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x+0.35，那么表中m的值为．15．（5分）已知a∈R，直线l1：x+2y＝a+2和直线l2：2x﹣y＝2a﹣1分别与圆E：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝4相交于A、C和B、D，则四边形ABCD的面积为．16．（5分）过原点作一条倾斜角为θ的直线与椭圆交于A、B两点，F为椭圆的左焦点，若AF⊥BF，且该椭圆的离心率，则θ的取值范围为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）某学校1800名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50名学生组成一个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14），第二组[14，15），第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）请估计学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数；（2）若成绩小于15秒认为良好，求该样本在这次百米测试中成绩良好的人数；（3）请根据频率分布直方图，求样本数据的中位数、平均数．18．（12分）已知命题p：方程x2+y2﹣2mx+2m2﹣2m＝0表示圆；命题q：双曲线﹣＝1的离心率e∈（1，2），若命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．19．（12分）已知直线l：x﹣y+3＝0被圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4（a＞0）截得的弦长为，求：（1）a的值；（2）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．20．（12分）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．（1）求n的值；（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，P A⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，P A的中点，且AB＝AC＝1，AD＝．（Ⅰ）证明：MN∥平面PCD；（Ⅱ）设直线AC与平面PBC所成角为α，当α在内变化时，求二面角P﹣BC ﹣A的取值范围．22．（12分）在圆x2+y2＝4上任取一点M，过点M作x的垂线段MD，D为垂足.，当点M在圆上运动时（1）求N点的轨迹方程Γ；（2）若A（2，0），直线l交曲线Γ于E、F两点（点E、F与点A不重合），且满足AE ⊥AF．O为坐标原点，点P满足，求直线AP的斜率的取值范围．2017-2018学年湖北省黄冈市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p为∃x0＞0，使得（x0+1）≤1，故选：B．2．【解答】解：袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A 不成立；在B中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故B成立；在C中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故C 不成立；在D中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D不成立．故选：B．3．【解答】解：由茎叶图可得，诗词能手”的称号有16人，据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为10×＝4人，故选：B．4．【解答】解：若方程+＝1的曲线是椭圆，则，即，即3＜m＜7且m≠5，即“3＜m＜7”是“方程+＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件，故选：B．5．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，共有6×6＝36种结果满足条件的事件是e＝＞∴b＞a，符合b＞a的情况有：当a＝1时，有b＝3，4，5，6四种情况；当b＝2时，有a＝5，6两种情况，总共有6种情况．∴概率为＝．故选：A．6．【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝4，b＝2，n＝1，a＝6，b＝4，不满足循环的条件a≤b，执行循环体，n＝2，a＝9，b＝8不满足循环的条件a≤b，执行循环体，n＝3，a＝13.5，b＝16满足循环的条件a≤b，退出循环，输出n的值为3．故选：B．7．【解答】解：∵＝（2，t，t）﹣（1﹣t，2t﹣1，0）＝（1+t，1﹣t，t），∴＝＝．故当t＝0时，有最小值等于，故选：C．8．【解答】解：以D为原心，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，∴A（1，0，0），E（1，，1），B（1，1，0）D1（0，0，1），∴＝（0，，1），＝（0，1，0），＝（﹣1，0，1），设平面ABC1D1的法向量，则＝0，＝0，∴，∴，设直线AE与平面与平面ABC1D1所成的角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝||＝．故选：D．9．【解答】解：在①中，一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1，∴平均说来一队比二队防守技术好，故①正确；在②中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴二队比一队技术水平更稳定，故②正确；在③中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴一队有时表现很差，有时表现又非常好，故③正确；在④中，二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴二队很少不失球就是二队经常失球，故④正确．故选：D．10．【解答】解：直线4kx﹣4y﹣k＝0可化为k（4x﹣1）﹣4y＝0，故可知直线恒过定点（，0）∵抛物线y2＝x的焦点坐标为（，0），准线方程为x＝﹣，∴直线AB为过焦点的直线∴AB的中点到准线的距离＝＝2∴弦AB的中点到直线x+＝0的距离等于2+＝故选：C．11．【解答】解：对于①，若“￢p或q”是假命题，则它的否定是“p且￢q”，它是真命题，①正确；对于②，命题“若a+b≠5，则a≠2或b≠3”，它的逆否命题是“若a＝2且b＝3，则a+b＝5”，且为真命题，∴原命题也是真命题，②正确；对于③，由++＝1，且，∴P，A，B，C四点共面，③正确；对于④，由双曲线方程知a＝2，c＝3，即直线l：y＝k（x﹣3）过双曲线的右焦点；又双曲线的两个顶点之间的距离是2a＝4，且a+c＝2+3＝5，∴当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，即k＝0时2a＝4，∴满足|AB|＝5的直线有2条，当直线与实轴垂直时，即x＝c＝3时，得﹣＝1，即y2＝，则y＝±，此时通径长为5，若|AB|＝5，则此时直线AB的斜率不存在，不满足条件；综上可知有2条直线满足|AB|＝5，④错误．综上所述，正确的命题序号是①②③，有3个．故选：C．12．【解答】解：如图过P作PE⊥抛物线的准线于E，根据抛物线的定义可知，PE＝PF∵|PQ|＝|PF|，在Rt△PQE中，sin，∴，即直线PQ的斜率为，故设PQ的方程为：y＝x+m（m＜0）由消去y得．则△1＝8m2﹣24＝0，解得m＝﹣，即PQ：y＝由得，△2＝8p2﹣8p＝0，得p＝．则抛物线的方程是x2＝2y．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【解答】解：由于每位同学参加各个小组的可能性相同，故这两位同学同时参加一个兴趣小组的概率为3×（×）＝，故答案为．14．【解答】解：∵根据所给的表格可以求出，∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，∴＝0.7×4.5+0.35，∴m＝3，故答案为：315．【解答】解：由题意，直线l1：x+2y＝a+2和直线l2：2x﹣y＝2a﹣1，交于圆心（a，1），且互相垂直，∴四边形ABCD是正方形，∴四边形ABCD的面积为4××2×2＝8，故答案为：8．16．【解答】解：设右焦点F′，连结AF′，BF′，得四边形AFBF′是矩形，∵AF+AF′＝2a，AF+BF＝2a，OF＝c，∴AB＝2c，∵∠BAF＝θ，∴AF＝2c•cos，BF＝2c•sin，∴2c sin+2c cos＝2a，∴＝＝，∵该椭圆的离心率，∴，∵θ∈[0，π），∴．∴θ的取值范围是[，]．故答案为：[，]．三、解答题（共6小题，满分70分）17．【解答】解：（1）学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数1×0.32×1800＝576人．（2）样本在这次百米测试中成绩良好的人数是：1×0.06×50+1×0.16×50＝3+9＝11人．（3）因为数据落在第一、二组的频率＝1×0.06+1×0.16＝0.22＜0.5；数据落在第一、二、三组的频率＝1×0.06+1×0.16+1×0.38＝0.6＞0.5；所以中位数一定落在第三组[15，16）中．假设中位数是x，所以1×0.06+1×0.16+（x﹣15）×0.38＝0.5；解得中位数x＝29919≈15.7368≈15.74；平均数为：13.5×0.06+14.5×0.16+15.5×0.38+16.5×0.32+17.5×0.08＝15.7．18．【解答】解：若命题p：方程x2+y2﹣2mx+2m2﹣2m＝0表示圆为真命题，则（x﹣m）2+y2＝2m﹣m2＞0，解得0＜m＜2．若命题q：双曲线﹣＝1的离心率e∈（1，2），为真命题，则∈（1，2），解得0＜m＜15．∵命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，∴p与q必然一真一假．∴，或，解得2≤m＜15或∅．综上可得：实数m的取值范围是[2，15）．19．【解答】解：（1）依题意可得圆心C（a，2），半径r＝2，则圆心到直线l：x﹣y+3＝0的距离，由勾股定理可知，代入化简得|a+1|＝2，解得a＝1或a＝﹣3，又a＞0，所以a＝1；（2）由（1）知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，又（3，5）在圆外，①当切线方程的斜率存在时，设方程为y﹣5＝k（x﹣3），由圆心到切线的距离d＝r＝2，可解得，切线方程为5x﹣12y+45＝0；②当过（3，5）斜率不存在，易知直线x＝3与圆相切，综合①②可知切线方程为5x﹣12y+45＝0或x＝3．20．【解答】解：（1）由题意可得，∴n＝160；（2）高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为＝；（3）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，由条件得到的区域为图中的阴影部分由2x﹣y﹣1＝0，令y＝0可得x＝，令y＝1可得x＝1∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为＝∴该代表中奖的概率为＝．21．【解答】（Ⅰ）证明：取PD中点Q，连接NQ、CQ，因为点M，N分别为BC，P A的中点，所以NQ∥AD∥CM，，∴四边形CQNM为平行四边形，∴MN∥CQ，又MN⊄平面PCD，CQ⊆平面PCD，所以MN∥平面PCD；（Ⅱ）解：连接PM，∵AB＝AC＝1，点M分别为BC的中点，∴AM⊥BC，又∵P A⊥平面ABCD，∴PM⊥BC，∴∠PMA即为二面角P﹣BC﹣A的平面角，记为φ，又AM∩PM＝M，所以BC⊥平面P AM，则平面PBC⊥平面P AM，过点A在平面P AM内作AH⊥PM于H，则AH⊥平面PBC．连接CH，于是∠ACH就是直线AC与平面PBC所成的角α．在Rt△AHM中，；又∵在Rt△AHC中，AH＝sinα，∴．∵，∴，．又，∴．即二面角P﹣BC﹣A取值范围为．22．【解答】解：（1）设N（x，y），则D（x，0）．∵.，∴M．由点M在圆x2+y2＝4，可得：x2+＝4，化为：．（2）①当直线l垂直于x轴时，由消去y整理得7x2﹣16x+4＝0，解得或2，此时，直线AP的斜率为0；………………（5分）．②当直线l不垂直于x轴时，设E（x1，y1），F（x2，y2），直线l：y＝kx+t（t≠﹣2k），由，消去y整理得（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12＝0，………………（6分）依题意△＝64k2t2﹣4（3+4k2）（4t2﹣12）＞0，即4k2﹣t2+3＞0（*），且，，…………………（7分）又AE⊥AF，所以＝，所以7t2+4k2+16kt＝0，即（7t+2k）（t+2k）＝0，解得满足（*），………………（8分）所以＝（x1+x2，y1+y2）＝，故，…（9分）故直线AP的斜率＝，………………（10分）当k＜0时，，此时；当k＞0时，，此时；综上，直线AP的斜率的取值范围为．…………………………………（12分）。

2018年春季期末高二数学参考答案（理科）一、选择题1—5 DCCCA 6—10 DCADB 11—12 AC二、填空题13、14、15、16、2592三、解答题17、解：若命题p真，则在恒成立.则有…………………………………………3分若命题q真，则……………………………………………………6分由题意知p与q必为一真一假………………………………7分若q真q假若p假q真综合得a的范围为.………………………………12分18.解：（1）有解即可. ………………………………2分有解为“局部奇函数”. ………………………………5分（2）由题意知在上有解…………………6分令则………………………………10分.………………………………12分19. 解：（1）先排前4次，只能正品再排第5和第10的位置上，再排余下4个位置共有种. ………………………………6分(2)第6次为最后一件次品，另2件在前5次中出现，前5次中有3件正品.共有不同测试方法种. (12)20、解：（Ⅰ）依题意，p1=P（40＜X＜80）=，，，由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为=………4分（Ⅱ）记水电站的总利润为Y（单位，万元）（1）安装1台发电机的情形，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=4000，E（Y）=4000×1=4000，…………………………6分（2）安装2台发电机的情形，依题意，当 40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=4000﹣600=3400，因此P（Y=3400）=P（40＜X＜80）=p1=，当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=4000×2=8000，因此，P（Y=10000）=P（X≥80）=P2+P3=0.8，所以E（Y）=3400×0.2+8000×0.8=7080． (9)（3）安装3台发电机的情形，依题意，当 40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=4000﹣1200=2800，因此P（Y=2800）=P（40＜X＜80）=p1=0.2，当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=4000×2﹣600=7400，因此，P（Y=7400）=P（80≤X ≤120）=p2=0.7，当X＞120时，三台发电机运行，此时Y=4000×3=12000，因此，P（Y=12000）=P（X＞120）=p3=0.1，由此得Y的分布列如下×0.7+12000×0.1=6940．综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．…………………12分21、解：⑴由题意得函数的定义域为.∵，∴，……………………2分①当时，恒成立，上单调递增. ………………3分②当时，则当时，，单调递减；当时，，单调递增. ………………………………4分综上，当时，上单调递减，在上单调递增；当时，函数上单调递增；当时，，在上单调递增. ……………5分(2)当时，，∴，∴函数单调递增，………………………………6分又，，所以存在唯一的，使得，………………………8分且当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，………………9分设，则在上单调递减，所以，即.………………………………11分若关于的不等式有解，又为整数，所以.所以存在整数满足题意，且的最小值为0. ………………………………12分（注：只要判断g(x0)在（-1，0）上如，照样给分）22、解：（1）………………………………3分………………………………5分（2）圆心（-2，1）到直线距离………………………………8分最小值为………………………………10分23、（1）当时，………………………………2分当时，…………………………4分当时综上：不等式解集为………………………………5分（2）存在x使得成立………………………………8分………………………………10分。

湖北省黄冈市普通高中2024-2025学年高二上学期期中阶段性联考数学试题（答案在最后）本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系Oxyz 中，点(1,2,10)P -关于Oxy 平面的对称点为（）A.(1,2,10)--B.(1,2,10)-C.(2,1,10)--D.(1,2,10)--【答案】A 【解析】【分析】根据平面对称的特征求解.【详解】(1,2,10)P -关于平面Oxy 的对称点的特征为,x y 坐标不变，z 取相反数，故所求坐标为(1,2,10)P --.故选：A.2.若直线1:(1)210l m x y +++=与直线2:210l x y -+=平行，则m 的值为（）A.2±B.2C.2- D.5-【答案】C 【解析】【分析】由两线平行的判定列方程求参数.【详解】由题设1212121m m +=≠⇒=--.故选：C3.近几年7月，武汉持续高温，市气象局将发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温37摄氏度以上的概率是12.某人用计算机生成了10组随机数，结果如下：726127821763314245521986402862若用0，1，2，3，4表示高温橙色预警，用5，6，7，8，9表示非高温橙色预警，依据该模拟实验，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（）A.15B.310C.12 D.25【答案】D 【解析】【分析】根据0，1，2，3，4表示高温橙色预警，在10组随机数中列出3天中恰有2天发布高温橙色预警的随机数，根据古典概型的公式计算即可得解.【详解】3天中恰有2天发布高温橙色预警包括的随机数有：127，821，245，521共4个，所以今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是42105=.故选：D.4.某饮料生产企业推出了一种有一定中奖机会的新饮料.甲、乙、丙三名同学都购买了这种饮料，设事件A 为“甲、乙、丙三名同学都中奖”，则与A 互为对立事件的是（）A.甲、乙、丙恰有两人中奖B.甲、乙、丙都不中奖C.甲、乙、丙至少有一人不中奖D.甲、乙、丙至多有一人不中奖【答案】C 【解析】【分析】根据题设及对立事件的定义写出A 事件的对立事件即可.【详解】事件“甲、乙、丙三名同学都中奖”的对立事件是“甲、乙、丙三名同学至少有一人不中奖”.故选：C5.已知点(2,1),(3,)A B m -，若[1]m ∈--，则直线AB 的倾斜角的取值范围为（）A.π3π,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C.π2π0,,π43⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D.ππ3π,,π324⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】利用两点式求斜率，结合参数范围有[AB k ∈-，根据斜率与倾斜角关系确定倾斜角范围.【详解】由题设11[32AB m k m +==+∈--，则直线AB 的倾斜角的取值范围为π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选：B6.如图所示，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，1,1,3,AD AB AA BAD '===∠=90,60BAA DAA ︒''︒∠=∠=，则BD '的长为（）A.B.C.D.5【答案】B 【解析】【分析】利用空间向量加减的几何意义得到BD AA AD AB ''=+-，应用向量数量积的运算律求长度.【详解】由题设BD BB B D AA BD AA AD AB ''''''=+=+=+-，所以22222()222BD AA AD AB AA AD AB AA AD AA AB AD AB'''''=+-=+++⋅-⋅-⋅91133011=+++--=，所以BD '=.故选：B7.已知实数x ，y 满足22280x y x +--=，则22x y +的取值范围是（）A.[4,10]B.[8,10]C.[4,16]D.[8,16]【答案】C 【解析】【分析】由方程确定圆心和半径，进而得到圆上点到原点距离范围，根据22x y +表示圆上点到原点距离的平方求范围.【详解】将22280x y x +--=化为22(1)9x y -+=，即圆心为(1,0)，半径为3，由22x y +表示圆上点到原点距离的平方，而圆心(1,0)到原点的距离为1，又()0,0在圆内，所以圆上点到原点距离范围为[2,4]，故22x y +的取值范围是[4,16].故选：C8.如图，边长为4的正方形ABCD 沿对角线AC 折叠，使14AD BC ⋅=，则三棱锥D ABC -的体积为（）A. B.C.273D.4143【答案】D 【解析】【分析】由题设得,OB AC OD AC ⊥⊥且()()AD BC AO OD BO OC ⋅=+⋅+，结合已知条件求得3cos 4BOD ∠=-，再利用棱锥体积公式求体积.【详解】若O 为正方形的中心，由题设知,OB AC OD AC ⊥⊥，所以()()14AD BC AO OD BO OC ⋅=+⋅+=，且OA OC OB OD ====，所以14AO BO AO OC OD BO OD OC ⋅+⋅+⋅+⋅= ，即14AO OC OD BO ⋅+⋅=，所以88cos(π)14BOD +-∠=，则3cos 4BOD ∠=-，则7sin 4BOD ∠=，所以三棱锥D ABC -的体积为11414sin 323OD BOD AB BC ⨯⨯∠⨯⨯⨯=.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线:20l kx y -+=和圆22:(3)(4)16M x y -+-=，则下列选项正确的是（）A.直线l 恒过点(0,2)B.直线l 与圆M 相交C.圆M 与圆22:1C x y +=有三条公切线D.直线l 被圆M 截得的最短弦长为【答案】ABC 【解析】【分析】根据定点的特征即可求解A;根据定点在圆内判断B;判断圆与圆的位置关系确定公切线条件判断C;根据垂直时即可结合圆的弦长公式求解D.【详解】对于A ，由直线的方程:20l kx y -+=，当0x =时，2y =，可知直线恒经过定点(0,2)P ，故A 正确；对于B ，因为直线恒经过定点(0,2)，且22(03)(24)16-+-<，定点在圆内，所以直线l 与圆M 相交，故B 正确；对于C ，由圆的方程22:(3)(4)16M x y -+-=，可得圆心()3,4M ，半径14r =，又由直线:20l kx y -+=，圆22:1C x y +=，圆心()0,0C ，半径21r =，此时541CM ===+，所以圆M 与圆相外切，有三条公切线，故C 正确；对于D ，由PM ==，根据圆的性质，可得当直线l 和直线PM 垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为=，故D 错误，故选：ABC.10.柜子里有3双不同的鞋子，从中随机地取出2只，下列计算结果正确的是（）A.“取出的鞋成双”的概率等于25B.“取出的鞋都是左鞋”的概率等于15C.“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于25D.“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成双”的概率等于12【答案】BC 【解析】【分析】用列举法列出事件的样本空间，即可直接对选项进行判断.【详解】记3双不同的鞋子按左右为121212,,,,,a a b b c c ，随机取2只的样本空间为()()()()(){1211121112,,,,,,,,,a a a b a b a c a c ()()2122,,,,a b a b ()()()()()()()()}2122121112212212,,,,,,,,,,,,,,,a c a c b b b c b c b c b c c c ，共15种，则“取出的鞋成双”的概率等于31155=，A 错；“取出的鞋都是左鞋”的概率等于31155=，B 正确；“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于62155=，C 正确；“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成双”的概率等于62155=，D 错.故选：BC11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，且点P 满足1BP BC BB λμ=+，则下列说法正确的是（）A.若0,1λμ==，则1//D P 平面1A BDB.若11,2λμ==，则⊥PO 平面1A BD C.若12λμ==，则P 到平面1A BD 3D.若1,01λμ=≤≤时，直线DP 与平面1A BD 所成角为θ，则36sin ,33θ∈⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】根据各项参数确定P 的位置，分别应用线面平行的判定定理判断A ；线面垂直的判定定理判断B ；由P 到平面1A BD 的距离，即为1C 到平面1A BD 的距离的一半，几何法求点面距离判断C ；应用向量法求线面角，进而求范围判断D.【详解】A ：1BP BB =，即1,P B 重合，故1D P 即为11D B ，又11//D B DB ，即1//D P DB ，由1D P ⊄面1A BD ，DB ⊂面1A BD ，则1//D P 面1A BD ，对；B ：112BP BC BB =+，易知P 为1C C 的中点，此时1CP =，且2OC OD ==所以3,5OP PD ==222OP OD PD +=，即OP OD ⊥，根据正方体的结构特征，易得11//DA CB ，若E 为BC 的中点，则1//PE C B ，又11CB C B ⊥，则1CB PE ⊥，显然OE ⊥面11BCC B ，1CB ⊂面11BCC B ，则1OE CB ⊥，由PE OE E = 且在面POE 内，则1CB ⊥面POE ，OP ⊂面POE ，则1CB OP ⊥，所以1DA OP ⊥，又1DA OD D = 都在面1A BD 内，则OP ⊥面1A BD ，对；C ：11122BP BC BB =+，即P 是面11BCC B 的中心，易知P 到平面1A BD 的距离，即为1C 到平面1A BD 的距离的一半，根据正方体的结构特征，11C A BD -为正四面体，且棱长为22，所以1C 到平面1A BD 22238(22)(22)83233-⨯⨯=-=所以P 到平面1A BD 的距离为23，错；D ：1BP BC BB μ=+，则P 在线段1CC 上运动，如图构建空间直角坐标系，所以1(2,0,2),(2,2,0),(0,2,)A B P t ，且02t ≤≤，故(0,2,)DP t =，令面1A BD 的一个法向量为(,,)m x y z =，且()()12,0,2,2,2,0DA DB == ，所以1220220m DA x z m DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =-，则(1,1,1)m =- ，故2||2sin ||||34m DP m DP tθ⋅==⨯+ ，令2[2,4]x t =+∈，则2t x =-，所以2211sin 841113138()42x x x θ==⨯-+⨯-+111[,42x ∈，故36sin ,33θ∈，对.故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据各项参数值确定对应P 点的位置为关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.经过(0,2),(1,4)A B -两点的直线的方向向量为(1,)k ，则k 的值为______.【答案】2-【解析】【分析】利用两点式求斜率，结合斜率与方向向量的关系列方程求参数.【详解】由题设422101kk -=⇒=---.故答案为：2-13.已知空间向量(4,7,),(0,5,2),(2,6,)a m b c n ==-=，若,,a b c 共面，则mn 的最小值为__.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】先利用题给条件求得,m n 之间的关系，再利用二次函数即可求得mn 的最小值.【详解】空间向量(4,7,),(0,5,2),(2,6,)a m b c n ==-=，若,,a b c 共面，则可令(,R)a b c λμλμ=+∈，则427562m n μλμλμ=⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩，解之得2122m n μλ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩则2(22)22mn n n n n =+=+二次函数222y x x =+的最小值为12-，则222mn n n =+的最小值为12-.故答案为：12-14.由1,2,3,,2024 这2024个正整数构成集合A ，先从集合A 中随机取一个数a ，取出后把a 放回集合A ，然后再从集合A 中随机取出一个数b ，则12a b >的概率为___.【答案】34##0.75【解析】【分析】利用古典概型即可求得12a b >的概率.【详解】12a b >即2b a <，当1a =时，b 可以取1，有211⨯-种取法；当2a =时，b 可以取1，2，3，有221⨯-种取法；当3a =时，b 可以取1，2，3，4，5，有231⨯-种取法；当1012a =时，b 可以取1，2，3，L ,2023，有210121⨯-种取法；当10132024a ≤≤时，b 可以取1，2，3，L ,2024，有2024种取法；()()()211221210121101220241220242024a P b ⨯-+⨯-++⨯-+⨯⎛⎫>=⎪⨯⎝⎭ 759310124==故答案为：34四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出相应文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC 的顶点(1,3)A ，边AB 上的中线CM 所在直线方程为10x y +-=，边AC 上的高BH 所在直线方程为21y x =+.（1）求顶点C 的坐标；（2）求直线BC 的方程.【答案】（1）()5,6-（2）74110x y ++=【解析】【分析】（1）根据直线垂直和点在线上，解设坐标，联立方程组即可求解；（2）结合（1）先求H 点坐标可得H 与A 重合，再利用AB 中点M 在直线10x y +-=上，即可求出B 点坐标，进而得出直线BC 的方程.【小问1详解】由题知，BH AC ⊥，C 在直线CM 上，设(),C m n ，则321110n m m n -⎧⨯=-⎪-⎨⎪+-=⎩，解得56m n =-⎧⎨=⎩，即点C 坐标为()5,6-.【小问2详解】设()00,B x y ，则000013102221x y y x ++⎧+-=⎪⎨⎪=+⎩，解得0011x y =-⎧⎨=-⎩，即()1,1B --，所以直线BC 的方程为()()()()611151y x ----=+---，即74110x y ++=.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,//,,ABCD AD BC AB BC E ⊥为PD 的中点.（1）若CD AC ⊥，证明：EA EC =；（2）若224,1AD PA BC AB ====，求平面ACE 和平面ECD 的夹角θ的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）79.【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定及性质定理证PA AD ⊥、CD PC ⊥，结合直角三角形性质即可证结论；（2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值.【小问1详解】由PA ⊥平面ABCD ，,CD AD ⊂平面ABCD ，则PA CD ⊥，PA AD ⊥，而CD AC ⊥，PA AC A = 且都在面PAC 内，则CD ⊥面PAC ，由PC ⊂面PAC ，则CD PC ⊥，即,△△PAD PCD 均为直角三角形，且PD 为斜边，由E 为PD 的中点，故12AE CE PD ==，得证.【小问2详解】由题意，易知ABCD 为直角梯形，且AB BC ⊥，//AD BC ，且PA ⊥平面ABCD ，以A 为原点，建立如下图示空间直角坐标系，则(1,2,0),(0,4,0),(0,0,2),(0,2,1)C D P E ，所以(0,2,1),(1,2,0),(1,0,1),(1,2,0)AE AC CE CD ===-=- ，若(,,),(,,)m x y z n a b c == 分别是面ACE 、面ECD 的法向量，则2020m AE y z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1y =-，则(2,1,2)m =- ，且020n CE a c n CD a b ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1b =，则(2,1,2)n = ，所以7cos ,9m n m n m n ⋅== ，故平面ACE 和平面ECD 的夹角余弦值为79.17.某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“绘画”、“书法”、“诗词”三个兴趣小组，据统计新生通过考核选拔进入这三个兴趣小组成功与否相互独立.2024年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“绘画”、“书法”、“诗词”三个兴趣小组的概率依次为12m n 、、，已知三个兴趣小组他都能进入的概率为124，至少进入一个兴趣小组的概率为34，且m n <.（1）求m 与n 的值；（2）该校根据兴趣小组活动安排情况，对进入“绘画”兴趣小组的同学增加校本选修学分1分，对进入“书法”兴趣小组的同学增加校本选修学分2分，对进入“诗词”兴趣小组的同学增加校本选修学分3分.求该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的概率.【答案】（1）1143m n ==，（2）14【解析】【分析】（1）由于进入这三个兴趣小组成功与否相互独立，利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式来列出方程求解.（2）分析该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的情形有三种，即分数为4分，5分，6分，然后进行相互独立事件同时发生的概率乘法计算，再用分类事件加法原理求解即可.【小问1详解】由题意得：()()1122413111124mn m n m n ⎧=⎪⎪⎪⎛⎫----=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪<⎪⎩，解得：1413m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；【小问2详解】设该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分的分数为X ，则()11114143212P X ⎛⎫==⨯-⨯= ⎪⎝⎭，()1111514328P X ⎛⎫==-⨯⨯= ⎪⎝⎭，()1111643224P X ==⨯⨯=，所以()11114128244P X ≥=++=.即该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的概率为14.18.如图，四棱台1111ABCD A B C D -中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，1124,,AB A B E F ==分别为DC ，BC 的中点，上下底面中心的连线1O O 垂直于上下底面，且1O O 与侧棱所在直线所成的角为45︒.（1）求证：1//B D 平面1C EF ；（2）求点1D 到平面1C EF 的距离；（3）在线段1BD 上是否存在点M ，使得直线1A M 与平面1C EF 所成的角为45︒，若存在，求出线段BM 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2；（3）5或.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，设平面1C EF 的一个法向量为(,,)n x y z = ，判断10BD n ⋅= 即可；（2）应用向量法求1D 到平面1C EF 的距离即可；（3）假设在1BD 上存在点M ，且1(3,3,)MB D B λλλ== ，01λ≤≤，结合线面角正弦值列方程，求参数即可；【小问1详解】由题设，得四棱台为正四棱台，可建立如图所示空间直角坐标系，故111(4,4,0),(0,2,0),(2,4,0)A B D C E F ，所以11(2,2,0),(3,3,EF EC D B === ，若平面1C EF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则12200n EF x y n EC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令1x =，则(1,1,0)n =- ，显然10BD n ⋅= ，而1⊄BD 面1C EF ，所以1//BD 面1C EF ；【小问2详解】由（1）知：11(0,2,0)D C =uuuu r ，所以1D 到平面1C EF的距离为11||||n D C n ⋅== 【小问3详解】假设在1BD 上存在点M，且1(3,3,)MB D B λλλ== ，01λ≤≤，则1111(1,3,(3,3,)(13,33A M A B MB A B D B λλλλλ=-=-=-=--，直线1A M 与平面1C EF 所成的角为45︒，故11||2||||n A M n A M ⋅= ，所以22(13)11(1)4λλ-+-=，即2572(52)(1)0λλλλ-+=--=，可得2=5λ或1λ=，2=5λ时，66(,,55MB =，则455BM ==，1λ=时，(3,3,MB =，则BM ==，综上，BM 长为455或19.已知动点M 与两个定点(1,1),(1,4)A B --的距离的比为12，记动点M 的轨迹为曲线Γ.（1）求曲线Γ的方程，并说明其形状；（2）已知(1,0)D -，过直线5x =上的动点(5,)P p 分别作曲线Γ的两条切线PQ ，(,PR Q R 为切点），连接PD 交QR 于点N ，（ⅰ）证明：直线QR 过定点，并求该定点坐标；（ⅱ）是否存在点P ，使ADN △的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22(1)4x y ++=，以(1,0)-为圆心，半径为2的圆；（2）（ⅰ）证明见解析，定点为1(,0)3-；（ⅱ）存在，(5,0)P .【解析】【分析】（1）根据已知及两点距离公式有2222(1)(1)1(1)(4)4x y x y ++-=++-，整理即可得曲线方程；（2）（ⅰ）根据题设知,R Q 在以PD 为直径的圆上，并写出对应方程，结合,R Q 在22(1)4x y ++=上，即可求直线RQ ，进而确定定点坐标；（ⅱ）根据（ⅰ），若定点为1(,0)3T -，易知N 在以DT 为直径的圆上，根据圆的性质判断ADN △面积最大时N 的位置，即可确定P 的坐标.【小问1详解】设(,)M x y ，则22||1||4MA MB =，即2222(1)(1)1(1)(4)4x y x y ++-=++-，所以2223(1)4(1)(4)x y y ++-=-，整理得22(1)4x y ++=.【小问2详解】（ⅰ）由题设，易知,,,P R D Q 四点共圆，即,R Q 在以PD 为直径的圆上，而,P D 的中点坐标为(2,2p ，||PD =以PD 为直径的圆为222(2)()924p p x y -+-=+，又,R Q 在22(1)4x y ++=上，即RQ 为两圆的公共弦，两圆方程作差，得直线RQ 为620x py ++=，显然该直线恒过定点1(,0)3T -，得证.（ⅱ）存在，(5,0)P ，理由如下：由（i ）及题设，易知N 在以DT 为直径的圆上，即2(,0)3-为圆心、半径为13，且AD x ⊥轴，则|1AD =|，且2(,0)3-到直线AD 的距离为13，故N 到直线AD 的最大距离为23，所以，当N 与1(,0)3T -重合时，ADN △面积最大，此时(5,0)P .。

黄冈市2018年初中毕业生学业水平和高中阶段学校招生考试数 学 试 题（考试时间120分钟 满分120分）第Ⅰ卷（选择题 共18分）一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分。

每小题给出4个选项中，有且只有一个答案是正确的） 1. -32的相反数是A. -23B. -32C.32 D.232. 下列运算结果正确的是A. 3a 3·2a 2=6a 6B. (-2a)2= -4a 2C. tan45°=22 D. cos30°=233.函数y= 11-+x x 中自变量x 的取值范围是A ．x ≥-1且x ≠1 B.x ≥-1 C. x ≠1 D. -1≤x ＜14.如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，且分别交BC ，AC 于点D 和E ，∠B ＝60°，∠C ＝25°，则∠BAD 为A.50°B.70°C.75°D.80°（第4题图）5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=A.2B.3C.4D.236.当a ≤x ≤a+1时，函数y=x 2-2x+1的最小值为1，则a 的值为 A.-1 B.2 C.0或2 D.-1或2第Ⅱ卷（非选择题 共102分）二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）7.实数16 800 000用科学计数法表示为______________________. 8.因式分解：x 3-9x=___________________________. 9.化简(2-1)0+(21)-2-9+327 =________________________. 10.若a-a1=6，则a 2+a21值为_______________________. 11.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，∠CAB=60°，弦AD 平分∠CAB ，若AD=6，则AC=___________.（第11题图）12.一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x 2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________.13.如图，圆柱形玻璃杯高为14cm ，底面周长为32cm ，在杯内壁离杯底5cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为_________________cm （杯壁厚度不计）.（第13题图）14. 在-4，-2，1，2四个数中，随机取两个数分别作为函数y=ax 2+bx+1中a ，b 的值，则该二次函数图像恰好经过第一、二、四象限的概率为___________.三、解答题 （本题共10题，满分78分）15.（本题满分5分）求满足不等式组： x-3(x-2)≤8 的所有整数解．21x-1＜3 -23x16.（本题满分6分）在端午节来临之际，某商店订购了A 型和B 型两种粽子。

黄冈市2024年高三年级9月调研考试数学（答案在最后）本试卷共4页，19题.全卷满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号，考场号，座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将答题卡上交.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}2|280,,|A x x x x B y y x =--<==∈∈Z R，则A B =（）A.{}0,1,2,3 B.{}1,2,3 C.{}0,1 D.{}0【答案】A 【解析】【分析】解二次不等式得出集合A ，利用函数的值域得出集合B ，再由交集的定义得出答案.【详解】∵2280x x --<，∴()()420x x -+<，∴24-<<x ，又∵Z x ∈，∴{}1,0,1,2,3A =-，0y x =≥，∴0y ≥，即{}0B y y =≥，∴{}0,1,2,3A B ⋂=.故选：A 2.复数i 21iz -=+，则z 的虚部为（）A.3i 2 B.32C.32-D.3i2-【答案】B 【解析】【分析】根据复数的除法运算，化简复数z ，进而可求虚部.【详解】()()()()i 21i i 213i 13i 1i 1i 1i 222z ----+====-+++-，故z 的虚部为32，故选：B3.若3sin 3cos 022ππαα⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan2α=（）A.43-B.43C.34-D.34【答案】D 【解析】【分析】由诱导公式计算出tan α，在代入正切二倍角公式即可.【详解】原方程可化为1cos 3sin 0tan 3ααα-+=⇒=，故222tan 33tan 211tan 419ααα===--.故选：D4.若向量()()2,0,3,1a b == ，则向量a在向量b 上的投影向量为（）A.5B.93,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C.,55⎛ ⎝⎭D.()5,1【答案】B 【解析】【分析】按照投影向量的计算公式求解即可.【详解】解：因为向量()()2,0,3,1a b ==，则向量a在向量b 上的投影向量为:2693||cos ,(3,1)(,)1055||||||||b a b b a b a a b b b b b b ⋅⋅⋅<>⋅=⋅=⋅=⋅=.故选：B5.若0,0m n >>，且3210m n +-=，则32m n+的最小值为（）A.20B.12C.16D.25【答案】D 【解析】【分析】利用3232()(32)m n m n m n+=++，结合基本不等式可求和的最小值.【详解】因为3210m n +-=，所以321m n +=，所以32323266(1()(32)94n m m n m n m n m n m n+=+⨯=++=+++13131225≥+=+=，当且仅当66n m m n =，即15m n ==时取等号，所以32m n+的最小值为25.故选：D.6.已知ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，π,33A b ==，下面可使得ABC V 有两组解的a 的值为（）A.332B.3C.4D.e【答案】D 【解析】【分析】根据sin b A a b <<，即可得到答案.【详解】要使得ABC V 有两组解，则sin b A a b <<，又π,33A b ==，得到32a <<，故选：D.7.设()(),h x g x 是定义在R 上的两个函数，若1212,,x x x x ∀∈≠R ，有()()()()1212h x h x g x g x -≥-恒成立，下列四个命题正确的是（）A.若ℎ是奇函数，则()g x 也一定是奇函数B.若()g x 是偶函数，则ℎ也一定是偶函数C.若ℎ是周期函数，则()g x 也一定是周期函数D.若ℎ是R 上的增函数，则()()()H x h x g x =-在R 上一定是减函数【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件，依据函数的奇偶性，通过反例，可判断AB ；根据周期性的定义可判断C ，根据函数单调性的定义，结合不等式的性质可判断D【详解】对于A ，令(),()1h x x g x ==，对1212,,x x x x ∀∈≠R 可得()()12121211()()h x h x x x g x g x -=-≥-=-；而此时()g x 不是奇函数，故错误；对于B ，令(),()1h x x g x ==，()g x 是偶函数，对1212,,x x x x ∀∈≠R 可得()()12121211()()h x h x x x g x g x -=-≥-=-，此时ℎ为奇函数，故错误；对于C ，设ℎ的周期为T ，若1212,,x x x x ∀∈≠R ，有()()()()1212h x h x g x g x -≥-恒成立，令1x x T =+，2x x =，则()()()()h x T h x g x T g x +-≥+-，因为()()h x T h x +=，所以()()0g x T g x +-≤，所以()()g x T g x +=，所以函数=也是周期函数，故正确；对于D ，设12x x <，ℎ是上的增函数，所以()()12h x h x <，又()()()()1212h x h x g x g x -≥-即为121221()()()()()()h x h x g x g x h x h x -<-<-即为1122()()()()h x g x h x g x -<-，所以函数()()y h x g x =-也都是上的单调递增函数，故错误.故选：C8.已知向量4,8,2a b a b a b c +==⋅=-= ，且1n c -= ，则n 与c 夹角的最大值为（）A.π6B.π4C.π3D.5π12【答案】A 【解析】【分析】先得到,a b 的夹角为2π3θ=，设()4,0a =，(b =-，故(c = ，设(),n x y = ，由1n c -= 得到()(2211x y -+=，设1cos ,sin x y ββ=+=+，设,n c 夹角为α，表达出cos α=，换元后得到3cos 44q qα=+，由对勾函数性质得到其值域，从而确定cos 2α⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到夹角最大值.【详解】因为cos a b a b θ⋅=⋅ ，所以16cos 8θ=-，解得1cos 2θ=-，故2π3θ=，设()4,0a =，(b =-，则(2a bc +== ，设(),n x y =，则(1,n c x y -=-- ，则1n c -=，即()(2211x y -+=，设1cos ,sin x y ββ=+=+，设,n c夹角为α，则cos n c n c α⋅==⋅ ，令cos t ββ+=，则[]π2sin 2,26t β⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，则cosα=[]1,3q =∈，则252q t -=，则2254332cos 2444q q q q q q α-++====+，其中344q y q=+在q ⎡∈⎣上单调递减，在q ⎤∈⎦上单调递增，当q =344q y q =+取得最小值，最小值为2，当1q =或3时，344qy q=+取得最大值，最大值为1，故3cos ,1442q q α⎤=+∈⎥⎣⎦，由于cos y α=在[]0,π上单调递减，故π0,6α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，n 与c夹角的最大值为π6.故选：A【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知0c b a <<<，则（）A.ac b bc a +<+B.333b c a +<C.a c ab c b +<+ D.>【答案】ABD 【解析】【分析】选项ABD ，利用不等式的性质计算即可，选项C ，因为b c +可正可负，所以不容易化简解决，一般当乘或除以一个不知正负的数，基本上错误，我们只需要找反例即可.【详解】因为0c b a <<<，所以ac bc ac b bc a <⇒+<+，故A 正确；因为0c b a <<<，所以333333,0b a c b c a <<⇒+<，故B 正确；因为0c b a <<<，不妨令3,2,1a b c ===-，得32,2a c a b c b +==+，此时a c a b c b +>+，故C 错误；因为0c b a <<<0>>⇒<>，故D 正确.故选：ABD10.已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点()0,1A 和()()00,20B x x ->，且满足min AB =，则下列结论正确的是（）A.π6ϕ=B.π3ω=C.当1,14x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 值域为[]0,1 D.函数()y x f x =-有三个零点【答案】AD 【解析】【分析】A 选项，把()0,1A 代入解析式，得到π6ϕ=；B 选项，根据()()00,20B x x ->为函数的最低点及min AB =，由勾股定理得到方程，求出02x =，从而得到13224T T <<，把()2,2B -代入解析式，得到2π3ω=；C 选项，整体法求出函数值域；D 选项，画出()f x 与y x =的函数图象，根据交点个数得到零点个数.【详解】A 选项，把()0,1A 代入得2sin 1=ϕ，1sin 2ϕ=，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=，A 正确；B 选项，()()00,20B x x ->为函数的最低点，min AB ==02x =，负值舍去，则13224T T <<，其中2πT ω=，故π3π24ω<<，故π2sin 226ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，πsin 216ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，由于π3π24ω<<，所以7ππ5π2663ω<+<，故π3π622ω+=，解得2π3ω=，B 错误；C 选项，()2ππ2sin 36f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1,14x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2ππ5π0,366x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故2ππ1sin ,1362x ⎛⎫⎡⎤+∈-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()[]2ππ2sin 1,236f x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，C 错误；D 选项，画出()f x 与y x =的函数图象，如下：两函数有3个交点，故()y x f x =-有三个零点，D 正确.故选：AD11.已知()()32231f x x x a x b =-+-+，则下列结论正确的是（）A.当1a =时，若()f x 有三个零点，则b 的取值范围是()0,1B.当1a =且()0,πx ∈时，()()2sin sin f x f x<C.若()f x 满足()()12f x f x -=-，则22a b -=D.若()f x 存在极值点0x ，且()()01f x f x =，其中10x x ≠，则01322x x +=【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，将1a =代入求导求极值，有三个零点，则令极大值大于零，极小值小于零即可；对于B ，利用sin y x =的性质，得到20<sin 1,0<sin 1x x <<且2sin sin x x >，再利用()f x 在区间()0,1上的单调性，即可求解；对于C ，根据()()12f x f x -=-，推断函数的对称性，进而可以求得22b a -=，即可判断结果；对于D ，利用导数在函数单调性中的应用，得到12a >-，进而可得200661a x x =-+，令012x x t +=，结合()()01f x f x =，再化简即可得到答案.【详解】对于选项A ，当1a =时，()3223f x x x b =-+，()2666(1)f x x x x x '=-=-，由()6(1)0f x x x '=->，得到0x <或1x >，由()6(1)0f x x x '=-<，得到01x <<，所以()3223f x x x b =-+单调递增区间为(),0-∞，()1,+∞；减区间为()0,1，故()f x 在0x =处取到极大值，在1x =处取到极小值，若()f x 有三个零点，则(0)0(1)10f b f b =>⎧⎨=-<⎩，得到01b <<，故选项A 正确，对于选项B ，当()0,πx ∈时，20<sin 1,0<sin 1x x <<，又2sin sin sin (1sin )0x x x x -=->，即2sin sin x x >，由选项A 知，()f x 在区间()0,1上单调递减，所以()()2sin sin f x f x <，故选项B 正确，对于选项C ，因为()()12f x f x -=-，即()()12f x f x -+=，所以()f x 关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，又()()32231f x x x a x b =-+-+的定义域为R ，所以()111123112842f a b =⨯-⨯+⎛⎫⎝⨯-+⎭=⎪，整理得到22b a -=，所以选项C 错误，对于选项D ，因为()()32231f x x x a x b =-+-+，所以()2661f x x x a '=-+-，由题有3624(1)0a ∆=-->，即12a >-，由()20006610f x x x a '=-+-=，得到200661a x x =-+，令012x x t +=，则102x t x =-，又()()01f x f x =，所以()()002=-fx f t x ，得到()()32320000002312(2)3(2)12()x x a x b t x t x a t x b -+-+=---+--+，整理得到220000(3)(626391)0x t x t tx t x a -+--++-=，又200661a x x =-+，代入化简得到20(3)(23)0x t t --+=，又012x x t +=，10x x ≠，所以00130x t x x -=-≠，得到230t -+=，即01322x x t +==，所以选项D 正确，故选：ABD.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项D ，利用导数在函数单调性中的应用，得到12a >-，进而可得200661a x x =-+，再通过令012x x t +=，结合条件得到()()002=-f x f t x ，再代入()()32231f x x x a x b =-+-+，化简得到20(3)(23)0x t t --+=，从而解决问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}22|log ,|14x A x x m B x x -⎧⎫=<=≤⎨⎬-⎩⎭，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是______.【答案】(],2-∞【解析】【分析】根据“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，明确集合A ，B 的关系，列不等式求解实数m 的取值范围.【详解】由2log x m <⇒02m x <<.所以()0,2mA =；由214x x -≤-⇒2104x x --≤-⇒2404x x x --+≤-⇒204x ≤-⇒4x <.所以(),4B ∞=-.因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊆且A B ≠.所以24m ≤⇒2m ≤.故答案为：(],2-∞13.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()2f x +为偶函数.当02x <<时，()()2log 1f x x =+，则()101f =______.【答案】1-【解析】【分析】根据函数的奇偶性确定函数的周期，再利用对数运算计算即可.【详解】由题意可知()()()(),22f x f x f x f x =--+=-+，所以()()()()()()()22248f x f x f x f x f x f x f x -+=--=+⇒+=-⇒+=，所以()f x 的一个正周期为8，即()()()()()2101511log 111f f f f ==-=-=-+=-.故答案为：1-14.已知函数()sin 1f x x x =-+，若关于x 的不等式()()e e22xxf ax f a x +--+>的解集中有且仅有2个正整数，则实数a 的取值范围为________.【答案】54324e 3e a ≤<【解析】【分析】原不等式的解集有且只有两个整数解等价于()11e 32x x x x a-<≥-的解集中有且仅有两个正整数，利用导数讨论后者的单调性后可求参数的取值范围.【详解】设()()1sin g x f x x x =-=-，则()()()1sin g x f x x x g x -=--=-+=-，而()g x 的定义域为R ，故()g x 为R 上的奇函数，()cos 10g x x =-≤'（不恒为零），故()g x 为R 上的单调减函数，又()()e1e210xxf ax f a x -+--+->即为：()()e e 20x x g ax g a x +--+>，也就是()()ee2xxg ax g a x >+-，故e e 2x x ax a x <+-，故()1e 2xa x x -<-的解集中有且仅有两个正整数，若0a ≤，则当3x ≥时，()1e 012xa x x -≤<≤-，此时不等式的解集中有无数个正整数解，不合题意；若0a >，因为()111e 12a ->-，()221e 22a ->-，故()1e 2xa x x -<-的解集中不会有1,2，其解集中的正整数解必定大于等于3，不妨设3x ≥，则11e 2x x x a-<-的解集中有且仅有两个正整数，设()1e ,32x x s x x x -=≥-，()()()22231991e e 022x x x s x x x ≥-+-+=-'>-，故()s x 在[)3,+∞上为增函数，由题设可得45411e 42511e 52a a -⎧<⎪⎪-⎨-⎪≥⎪-⎩，故54324e 3e a ≤<，故答案为：54324e 3e a ≤<.【点睛】思路点睛：不等式解集中的正整数解的个数问题，可通过参变分离转化水平的动直线与确定函数图像的位置关系来处理.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足()*1n n S a n =-∈N.（1）求证：1(2n n a =；（2）记22212n n T S S S =+++ ，求n T .【答案】（1）证明见解析（2）1235111()(3232n n n --+-⋅【解析】【分析】（1）根据题意，得到2n ≥时，可得111n n S a --=-，两式相减得12n n a a -=，得到数列{}n a 为等比数列，即可得证；（2）由（1）求得21111()()24n n n S --+=，结合等比数列的求和公式，即可求解.【小问1详解】解：因为数列{}n a 的前n 项和，满足1n n S a =-，当2n ≥时，可得111n n S a --=-，两式相减得1n n n a a a -=-，即12n n a a -=，所以112n n a a -=，令1n =，可得1111S a a =-=，解得112a =，所以数列{}n a 构成首项为12，公比为12的等比数列，所以{}n a 的图象公式为1111(()222n n n a -=⋅=.【小问2详解】解：由（1）知1()2n n a =，可得11()2n n S =-，所以222111111()]12()()1()(22224[1n n n n n n S -=-⋅=+=-+-，则222121111()[1()]244(111)111124n n n n T S S S -⋅-=+++=+++--- 1235111()()3232n n n --=+-⋅.16.函数()2sin cos cos ,0f x x x x ωωωω=⋅+>，函数()f x 的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调递增区间以及对称中心；（2）将函数()f x 的图象先向右平移π8个单位，再向下平移12个单位，得到函数()g x 的图象，在函数()g x 图象上从左到右依次取点122024,,,A A A ⋯，该点列的横坐标依次为122024,,,x x x ⋯，其中1π4x =，()*1π3n n x x n +-=∈N ，求()()()122024g x g x g x ++⋯+.【答案】（1）增区间为3πππ,π,88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，对称中心为为ππ1,,282l l ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z .（2）4【解析】【分析】（1）利用三角变换可得()12πsin 2224f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合周期可求1ω=，再利用整体法可求单调增区间和对称中心.（2）根据图象变换可得()sin 22g x x =，根据其周期性和特殊角的三角函数值可求()()()122024g x g x g x ++⋯+的值.【小问1详解】()11cos 212πsin 2222224x f x x x ωωω+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，因为()f x 的最小正周期为π，故2ππ2ω=，即1ω=，所以()12πsin 2224f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令πππ2π22π,242k x k k -≤+≤+∈Z ，故3ππππ,88k x k k -≤≤+∈Z ，故()f x 的增区间为3πππ,π,88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .令π2π,Z 4x l l +=∈，则ππ,28l x l =-∈Z ，故()f x 图象的对称中心为ππ1,,282l l ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z .【小问2详解】由题设有()11ππsin 22222442g x x x ⎛⎫=-+-+= ⎪⎝⎭，则()g x 的周期为π，而3π3π3n n x x +-=⨯=，故()()3n n g x g x +=，而()()12πππ2π,2432234g x g x g ⎛⎫⎛⎫==+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3π2ππ4πsin 432234g x g ⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，故()()()()()()()()12202412123674g x g x g x g x g x g x g x g x ⎡⎤++⋯+=++++⎣⎦222222674242444⎛⎫=-+--= ⎪ ⎪⎝⎭17.已知函数()()()232ln 34f x a x x a x a =+-+∈R ,（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()f x x b =-+，求a 和b 的值；（2）讨论()f x 的单调性.【答案】（1）12a =，74b =-（2）答案见解析【解析】【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义与斜率关系即可求解；（2）结合导数与单调性关系对a 的范围进行分类讨论即可求解．【小问1详解】()()232ln 34f x a x x a x =+-+，则23()32a f x x a x '=+--．曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()f x x b =-+，则()3112f a '=-=-，解得12a =，由()9114f ab =--=-+，解得74b =-，【小问2详解】()()232ln 34f x a x x a x =+-+，函数定义域为()0,∞+，则()()32223()322x a x a f x x a x x --'=+--=，令()0f x '=，解得2x =或23a x =，若0a ≤，则当(0,2)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，若0<<3a ，则当2,23a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，当20,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，若3a =，则()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，()f x 单调递增，若3a >，则当232,x a ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(0,2)x ∈和,23x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，综上所述，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为(2,)+∞，单调递减区间为(0,2)，当0<<3a 时，()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(2,)+∞，单调递减区间为2,23a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当3a =时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间，当3a >时，()f x 的单调递增区间为(0,2)和2,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为2,23a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．18.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .（1）证明：1cos sin tan 2sin 1cos A A A A A-==+；（2）若,,a b c 成等比数列.（i ）设b q a=，求q 的取值范围；（ii ）求tantan 22A C 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）(i)11,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；(ii)13,32⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及同角三角函数的平方关系证明即可；（2）（i ）利用三角形三边关系建立不等式组解不等式即可；（ii ）利用第一问及第二问第一小问的结论，结合正余弦定理、对勾函数的单调性计算即可.【小问1详解】易知(),,0,πA B C ∈，所以sin 0,sin 0,cos 0,1cos 0,1cos 022A A A A A ≠≠≠-≠+≠，则对于2112sin 1cos 2tan sin 22sin cos 22A A A A A A ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭==，即左侧等式成立，又()()22sin 1cos 1cos 1cos A A A A =-=-+，两侧同时除以()1cos sin A A +，所以1cos sin sin 1cos A A A A-=+，即右侧等式成立，证毕；【小问2详解】（i ）由题意，设公比为q ，知2,b aq c aq ==，根据三角形三边关系知：22222201110q q q a aq aq q q a aq aq q q aq aq a q >⎧+>⎧⎪⎪+>+>⎪⎪⇒⎨⎨+>+>⎪⎪⎪⎪+>>⎩⎩，解之得11,22q ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭（ii ）由（1）及正弦定理、余弦定理知：222222221sin 1cos 2tan tan 221cos sin 12a b c A C A C a a c b a aq aq ab c b a A C c a c b a aq aq bc+---+-+-=⋅=⋅==+-++-+++222122111111q q q q q q q q q+-==-=-++++++，由对勾函数的性质知：()11f q q q =++在51,12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在511,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以())111f q q q ⎡=++∈⎣，则2131,1321q q ⎡⎫-∈⎪⎢⎪⎣⎭++，即tan tan 22A C 的取值范围为13,32⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭.19.已知定义在()0,∞+的两个函数，()()()1sin sin,0a f x x g x x a x=⋅=>.（1）证明：()sin 0x x x <>；（2）若()sin a h x x x =-.证明：当1a >时，存在()00,1x ∈，使得()00h x >；（3）若()()f x g x <恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）(]0,1【解析】【分析】（1）当1x ≥显然成立，当01x <<，构造函数利用导数证明sin x x <即可；（2）先求得()h x '在0,1单调递减，且()010h '=>，()010h '=>即可得；（3）sin x 与1sin x 异号，1x ≥时，()()f x g x <显然成立，只考虑∈0,1时，1sin sin a x x x ⋅<，()0a >，根据01a <≤，1a >分类利用（1）（2）结论判断即可.【小问1详解】当1x ≥时，sin x x <显然成立，当01x <<时，sin sin x x =.即证()sin ,0,1x x x <∈，设()()sin ,0,1x x x x ϕ=-∈，()1cos 0x x ϕ'=-≥，所以在0,1上单调递增，()()00x ϕϕ>=，故()sin ,0,1x x x <∈，综上可知：()sin 0x x x <>；【小问2详解】当1a >时，()sin a h x x x =-，()1cos a h x x ax --'=，当∈0,1时，cos x 单调递减，1a ax -单调递增，故()h x '在0,1单调递减，又()010h '=>，()010h '=>，所以()h x '在0,1存在唯一零点，记为0x ，所以ℎ在()00,x 单调递增，在()0,1x 单调递减，所以()00h x >，证毕.【小问3详解】由()()f x g x <，0x >，即1sin sin,0a x x x x ⋅<>，若sin x 与1sin x 异号，显然成立，只考虑sin x 与1sin x 同号，又1x =时，2sin 1命题成立；1x >时，11sin sin a x x x >≥⋅，命题成立，故只需考虑∈0,1时，1sin sin a x x x ⋅<，()0a >①，若01a <≤，11sin sin sin sin sin a x x x x x x x⋅=⋅≤<<，（用（1）的结论）①式成立，若1a >，取*N m ∈，01m x >，取()1010,12π2x x m =∈⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则：1111111sin sin sin sin 2π=sin 2a x x m x x x ⎛⎫⋅=⋅+> ⎪⎝⎭，（用（2）的结论）故①不成立，综上：a 的取值范围为：(]0,1.。

2017-2018学年湖北省黄冈市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题1．抛物线y=4x2的准线方程是（）A．y=1 B．y=﹣1 C．y=D．y=﹣2．总体编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是（）7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．A．08 B．07 C．02 D．013．甲乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制）如图所示．①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学高；③甲同学的平均分比乙同学低；④甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差．上面说法正确的是（）A．③④B．①②④C．②④D．①③④4．当输入x=﹣4时，如图的程序运行的结果是（）A．7 B．8 C．9 D．155．下列说法错误的是（）A．若“p∧q”为真，则“p∨q”为真B．“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆为真C．“若a＞b，则ac2＞bc2”的否为真D．若“￢p∨q”为假，则“p∧￢q”为真6．一名小学生的年龄和身高（单位：cm）的数据如下表：由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为=8.8x+，预测该学生10岁时的身高为（）A．154 B．153 C．152 D．1517．函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0；q：x=x0是f（x）的极值点，则p是q的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充条件D．既非充分条件也非必要条件8．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）A．24 B．18 C．16 D．129．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，且双曲线的离心率为，则此双曲线的方程为（）A．5x2﹣=1 B．5x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知：a，b，c为集合A={1，2，3，4，5}中三个不同的数，通过如框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=4的概率是（）A．B．C．D．11．f（x）定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意的正数a，b，若a＜b，则必有（）A．bf（b）≤af（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤bf（b）D．af（b）≤bf（a）12．过原点的直线与双曲线（a＞0，b＞0）交于M，N两点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2二、填空题13．三进制数121化为十进制数为．（3）14．若“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假，则实数a的取值范围为．15．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x2+2xf′（2），则f′（5）=．16．以下五个关于圆锥曲线的中：①双曲线=1与椭圆=1有相同的焦点；②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的．③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|﹣|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；④过定圆C上一点A作圆的动弦AB，O为原点，若，则动点P的轨迹为椭圆．其中真的序号为（写出所有真的序号）三、解答题17．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车；在80mg/100ml（含80）以上时，属于醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了300辆机动车，查处酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员共20人，检测结果如表：（1）绘制出检测数据的频率分布直方图（在图中用实线画出矩形框即可）；（2）求检测数据中醉酒驾驶的频率，并估计检测数据中酒精含量的众数、平均数．18．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足．若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点A、B、C刚好是边长为3cm 的等边三角形的三个顶点．（Ⅰ）该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间[7.5，8.5）内，调整一下后，又连打三枪，其成绩（环数）都在区间[9.5，10.5）内．现从这6次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩（记为a和b）进行技术分析．求事件“|a﹣b|＞1”的概率．（Ⅱ）第四次射击时，该运动员瞄准△ABC区域射击（不会打到△ABC外），则此次射击的着弹点距A、B、C的距离都超过1cm的概率为多少？（弹孔大小忽略不计）20．一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？21．已知两点，若一动点Q在运动过程中总满足|AQ|+|CQ|=4，O为坐标原点．（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．（2）设过点B（0，﹣2）的直线与E交于M，N两点，当△OMN的面积为1时，求此直线的方程．22．函数f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2（1）如果函数g（x）单调减区间为（，1），求函数g（x）解析式；（2）在（1）的条件下，求函数y=g（x）图象过点p（1，1）的切线方程；（3）若∃x0∈（0，+∞），使关于x的不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，求实数a取值范围．2015-2016学年湖北省黄冈市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．抛物线y=4x2的准线方程是（）A．y=1 B．y=﹣1 C．y=D．y=﹣【分析】将抛物线化成标准方程得x 2=y ，算出2p=且焦点在y 轴上，进而得到=，可得该抛物线的准线方程．【解答】解：抛物线y=4x 2化成标准方程，可得x 2=y ，∴抛物线焦点在y 轴上且2p=，得=，因此抛物线的焦点坐标为（0，），准线方程为y=﹣．故选：D【点评】本题给出抛物线的方程，求它的准线方程．着重考查了抛物线的标准方程及其基本概念等知识，属于基础题．2．总体编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是（ ）7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．A ．08B ．07C ．02D ．01 【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01，．其中第二个和第四个都是02，重复．可知对应的数值为08，02，14，07，01， 则第5个个体的编号为01．故选：D ．【点评】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．3．甲乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制）如图所示． ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学高；③甲同学的平均分比乙同学低；④甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差．上面说法正确的是（）A．③④B．①②④C．②④D．①③④【分析】由茎叶图数据，求出甲、乙同学成绩的中位数，平均数，估计方差，从而解决问题．【解答】解：根据茎叶图数据知，①甲同学成绩的中位数是81，乙同学成绩的中位数是87.5，∴甲的中位数小于乙的中位数；②甲同学的平均分是==81，乙同学的平均分是==85，∴乙的平均分高；③甲同学的平均分是=81乙同学的平均分是=85，∴甲比乙同学低；④甲同学成绩数据比较集中，方差小，乙同学成绩数据比较分散，方差大．∴正确的说法是③④．故选：A．【点评】本题考查了利用茎叶图分析数据的平均数，中位数和方差的问题，是基础题．4．当输入x=﹣4时，如图的程序运行的结果是（）A．7 B．8 C．9 D．15【分析】由已知中的程序语句可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，将x=﹣4，代入可得答案．【解答】解：由已知中的程序语句可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，∵x=﹣4＜3，故y=（﹣4）2﹣1=15，故选：D【点评】本题考查的知识点是条件结构，其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键．5．下列说法错误的是（）A．若“p∧q”为真，则“p∨q”为真B．“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆为真C．“若a＞b，则ac2＞bc2”的否为真D．若“￢p∨q”为假，则“p∧￢q”为真【分析】通过对选项判断的真假，找出错误即可．【解答】解：若“p∧q”为真，则“p∨q”为真，满足的真假的判断，是正确的．“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆为：“若方程x2+x﹣m=0有实数根，则m＞0”，方程x2+x﹣m=0有实数根只要△=1+4m≥0，所以不一定得到m＞0，所以B错．“若a＞b，则ac2＞bc2”的否为：若a≤b，则ac2≤bc2，显然是真．若“￢p∨q”为假，则p是真，￢q是真，则“p∧￢q”为真，正确．故选：B．【点评】本题考查的真假的判断与应用，考查分析问题解决问题的能力．6．一名小学生的年龄和身高（单位：cm）的数据如下表：由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为=8.8x+，预测该学生10岁时的身高为（）A．154 B．153 C．152 D．151【分析】先计算样本中心点，进而可求线性回归方程，由此可预测该学生10岁时的身高．【解答】解：由题意，=7.5，=131代入线性回归直线方程为，131=8.8×7.5+，可得=65，∴∴x=10时，=153故选B．【点评】本题考查回归分析的运用，考查学生的计算能力，确定线性回归直线方程是关键，属于基础题．7．函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0；q：x=x0是f（x）的极值点，则p是q的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充条件D．既非充分条件也非必要条件【分析】利用函数的极值的定义可以判断函数取得极值和导数值为0的关系．【解答】解：根据函数极值的定义可知，函数x=x0为函数y=f（x）的极值点，f′（x）=0一定成立．但当f′（x）=0时，函数不一定取得极值，比如函数f（x）=x3．函数导数f′（x）=3x2，当x=0时，f′（x）=0，但函数f（x）=x3单调递增，没有极值．则p是q的必要不充分条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断以及函数取得极值与函数导数之间的关系，要求正确理解导数和极值之间的关系．8．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）A．24 B．18 C．16 D．12【分析】根据题意先计算二年级女生的人数，则可算出三年级的学生人数，根据抽取比例再计算在三年级抽取的学生人数．【解答】解：依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即总体中各个年级的人数比例为3：3：2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为．故选C．【点评】本题考查分层抽样知识，属基本题．9．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，且双曲线的离心率为，则此双曲线的方程为（）A．5x2﹣=1 B．5x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】根据抛物线的方程算出其焦点为（﹣1，0），从而得出左焦点为F （﹣1，0），再设出双曲线的方程，利用离心率的公式和a 、b 、c 的平方关系建立方程组，解出a 、b 的值即可得到该双曲线的方程．【解答】解：∵抛物线方程为y 2=﹣4x ，∴2p=4，得抛物线的焦点为（﹣1，0）．∵双曲线的一个焦点与抛物y 2=﹣4x 的焦点重合，∴双曲线的左焦点为F （﹣1，0），设双曲线的方程为（a ＞0，b ＞0），可得a 2+b 2=1…①∵双曲线的离心率等，∴ =，即…②由①②联解，得a 2=，b 2=，∴该双曲线的方程为5x 2﹣=1．故选B ．【点评】本题重点考查双曲线的几何性质，考查抛物线的几何性质，正确计算双曲线的几何量是解题的关键．10．已知：a ，b ，c 为集合A={1，2，3，4，5}中三个不同的数，通过如框图给出的一个算法输出一个整数a ，则输出的数a=4的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】由程序框图知，输入a、b、c三数，输出其中的最大数，由于输出的数为4，故问题为从集合A中任取三个数，求最大数为4的概率，计算出从5个数中取三个的取法总数和所取的数最大为4的取法个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：由程序框图知，输入a、b、c三数，输出其中的最大数，由于输出的数为4，故问题为从集合A中任取三个数，求最大数为4的概率，从集合A中任取三个数有=10种取法，其中最大数为4时，表示从1，2，3中任取2两个数，有=3种取法，故概率P=．故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，古典概型，其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键，属于基础题．11．f（x）定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意的正数a，b，若a＜b，则必有（）A．bf（b）≤af（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤bf（b）D．af（b）≤bf（a）【分析】先构造函数g（x）=xf（x），x∈（0，+∞），通过求导利用已知条件即可得出．【解答】解：设g（x）=xf（x），x∈（0，+∞），则g′（x）=xf′（x）+f（x）≤0，∴g（x）在区间x∈（0，+∞）单调递减或g（x）为常函数，∵a＜b，∴g（a）≥g（b），即af（a）≥bf（b）．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数来判断函数的单调性，恰当构造函数和熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．12．过原点的直线与双曲线（a＞0，b＞0）交于M，N两点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【分析】设P（x0，y0），M（x1，y1），则N（x2，y2）．利用k PM k PN=，化简，结合平方差法求解双曲线C的离心率．【解答】解：由双曲线的对称性知，可设P（x0，y0），M（x1，y1），则N（x2，y2）．由k PM k PN=，可得：，即，即，又因为P（x0，y0），M（x1，y1）均在双曲线上，所以，，所以，所以c2=a2+b2=，所以双曲线C的离心率为e===．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，平方差法的应用，考查计算能力．二、填空题13．三进制数121化为十进制数为16．（3）【分析】利用累加权重法，即可将三进制数转化为十进制，从而得解．=1×32+2×31+1×30=16【解答】解：由题意，121（3）故答案为：16【点评】本题考查三进制与十进制之间的转化，熟练掌握三进制与十进制之间的转化法则，是解题的关键．14．若“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假，则实数a的取值范围为﹣1≤a≤3．【分析】先求出的否定，再用恒成立来求解【解答】解：“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”的否定是：““∀x∈R，使x2+（a﹣1）x+1≥0”即：△=（a﹣1）2﹣4≤0，∴﹣1≤a≤3故答案是﹣1≤a≤3【点评】本题通过逻辑用语来考查函数中的恒成立问题．15．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x2+2xf′（2），则f′（5）=6．【分析】将f′（2）看出常数利用导数的运算法则求出f′（x），令x=2求出f′（2）代入f′（x），令x=5求出f′（5）．【解答】解：f′（x）=6x+2f′（2）令x=2得f′（2）=﹣12∴f′（x）=6x﹣24∴f′（5）=30﹣24=6故答案为：6【点评】本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值．16．以下五个关于圆锥曲线的中：①双曲线=1与椭圆=1有相同的焦点；②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的．③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|﹣|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；④过定圆C上一点A作圆的动弦AB，O为原点，若，则动点P的轨迹为椭圆．其中真的序号为①②（写出所有真的序号）【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①双曲线=1的焦点坐标为（±5，0），椭圆=1的焦点坐标为（±5，0），所以双曲线=1与椭圆=1有相同的焦点，正确；②不妨设抛物线为标准抛物线：y2=2px （p＞0 ），即抛物线位于Y轴的右侧，以X轴为对称轴．设过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M，M到准线的距离是d．而P到准线的距离d1=|PF|，Q到准线的距离d2=|QF|．又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有d=，由抛物线的定义可得：==半径．所以圆心M到准线的距离等于半径，所以圆与准线是相切，正确．③平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数k（k＜|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，当0＜k＜|AB|时是双曲线的一支，当k=|AB|时，表示射线，所以不正确；④设定圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，点A（m，n），P（x，y），由，可知P为AB的中点，则B（2x﹣m，2y﹣n），因为AB为圆的动弦，所以B在已知圆上，把B的坐标代入圆x2+y2+Dx+Ey+F=0得到P的轨迹仍为圆，当B与A重合时AB不是弦，所以点A除外，所以不正确．故答案为：①②．【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，同时考查了椭圆与双曲线的性质，考查的知识点较多，属于中档题．三、解答题17．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车；在80mg/100ml（含80）以上时，属于醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了300辆机动车，查处酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员共20人，检测结果如表：（1）绘制出检测数据的频率分布直方图（在图中用实线画出矩形框即可）；（2）求检测数据中醉酒驾驶的频率，并估计检测数据中酒精含量的众数、平均数．【分析】（1）计算酒精含量（mg/100ml）在各小组中的，绘制出频率分布直方图即可；（2）计算检测数据中酒精含量在80mg/100ml（含80）以上的频率，根据频率分布直方图中小矩形图最高的底边的中点是众数，再计算数据的平均数值．【解答】解：（1）酒精含量（mg/100ml）在[20，30）的为=0.015，在[30，40）的为=0.020，在[40，50）的为=0.005，在[50，60）的为=0.20，在[60，70）的为=0.010，在[70，80）的为=0.015，在[80，90）的为=0.010，在[90，100]的为=0.005；绘制出酒精含量检测数据的频率分布直方图如图所示：…（2）检测数据中醉酒驾驶（酒精含量在80mg/100ml（含80）以上时）的频率是；…根据频率分布直方图，小矩形图最高的是[30，40）和[50，60），估计检测数据中酒精含量的众数是35与55；…估计检测数据中酒精含量的平均数是0.015×10×25+0.020×10×35+0.005×10×45+0.020×10×55+0.010×10×65+0.015×10×75+0.010×10×85+0.005×10×95=55．…【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了平均数与众数的计算问题，是基础题目．18．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足．若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】由题意可得q是p的充分不必要条件，设A={x|x2﹣4ax+3a2＜0，a＞0}，B={x|}，则由题意可得B⊊A，化简A、B，根据区间端点间的大小关系，求得实数a的取值范围．【解答】解：若￢p是￢q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件．设A={x|x2﹣4ax+3a2＜0，a＞0}={x|a＜x＜3a}，B={x|}={x|2＜x≤3}，则由题意可得B⊊A．∴，解得1＜a≤2，故实数a的取值范围为（1，2]．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，一元二次不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．19．某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点A、B、C刚好是边长为3cm 的等边三角形的三个顶点．（Ⅰ）该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间[7.5，8.5）内，调整一下后，又连打三枪，其成绩（环数）都在区间[9.5，10.5）内．现从这6次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩（记为a和b）进行技术分析．求事件“|a﹣b|＞1”的概率．（Ⅱ）第四次射击时，该运动员瞄准△ABC区域射击（不会打到△ABC外），则此次射击的着弹点距A、B、C的距离都超过1cm的概率为多少？（弹孔大小忽略不计）【分析】（Ⅰ）利用列举法得到所有事件个数，以及满足条件的事件个数，利用古典概型个数求概率；（Ⅱ）由题意，所求为几何概型概率，所以只要明确三角形区域面积以及射击的着弹点距A、B、C的距离都超过1cm区域面积，利用几何概型公式解答即可．【解答】解：（Ⅰ）前三次射击成绩依次记为x1，x2，x3，后三次成绩依次记为y1，y2，y3，从这6次射击成绩中随机抽取两个，基本事件是：{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，{y1，y3}，{y2，y3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x1，y3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x2，y3}，}，{x3，y1}，{x3，y2}，{x3，y3}，共15个…其中可使|a﹣b|＞1发生的是后9个基本事件．故．…（Ⅱ）因为着弹点若与A、B、C的距离都超过1cm，则着弹点就不能落在分别以A，B，C 为中心，半径为1cm的三个扇形区域内，只能落在扇形外．…因为…部分的面积为，…故所求概率为P=．…【点评】本题考查了古典概型和几何概型概率求法；明确概率模型，利用相关的公式解答是关键．20．一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？【分析】设小正方形的边长为xcm，则盒子底面长为（8﹣2x）cm，宽为（5﹣2x）cm，高为xcm，运用长方体的体积公式可得无盖的小盒子的容积，求得导数和单调区间，可得极大值，即为最大值，以及最大值点．【解答】解：设小正方形的边长为xcm，则盒子底面长为（8﹣2x）cm，宽为（5﹣2x）cm，可得体积V=（8﹣2x）（5﹣2x）x=4x3﹣26x2+40x，（0＜x＜），V′=12x2﹣52x+40，令V′=0，可得x=1或x=（舍去），当0＜x＜1时，导数V′＞0，函数V递增；当1＜x＜时，导数V′＜0，函数V递减．可得函数V在x=1处取得极大值，且为最大值18．即小正方形边长为1cm时，盒子容积最大为18cm3．【点评】本题考查导数在实际问题中的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，正确求出体积的函数式和导数是解题的关键，属于中档题．21．已知两点，若一动点Q在运动过程中总满足|AQ|+|CQ|=4，O为坐标原点．（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．（2）设过点B（0，﹣2）的直线与E交于M，N两点，当△OMN的面积为1时，求此直线的方程．【分析】（1）由椭圆定义知Q点的轨迹是椭圆，由此能求出点Q的轨迹E的方程．（2）设直线为：y=kx﹣2，将y=kx﹣2代入椭圆方程，（1+4k2）x2﹣16kx+12=0．由此利用根的判断式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出直线方程．【解答】解：（1）由题意知|PQ|=|AQ|，又∵|CP|=|CQ|+|PQ|=4…∴|CQ|+|AQ|=4》|AC|=2，由椭圆定义知Q点的轨迹是椭圆，…2a=4，即a=2，2c=2，即c=，∴b2=4﹣3=1，∴点Q的轨迹E的方程为．…（2）由题意知所求的直线不可能垂直于x轴，所以可设直线为：y=kx﹣2，…M（x1，y1），N（x2，y2），将y=kx﹣2代入（1+4k2）x2﹣．∴…|x1﹣x2|===1．…解得k=，满足△＞0．∴﹣2．…【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判断式、韦达定理、弦长公式的合理运用．22．函数f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2（1）如果函数g（x）单调减区间为（，1），求函数g（x）解析式；（2）在（1）的条件下，求函数y=g（x）图象过点p（1，1）的切线方程；（3）若∃x0∈（0，+∞），使关于x的不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，求实数a取值范围．【分析】（1）求g（x）的导数，利用函数g（x）单调减区间为（，1），即是方程g'（x）=0的两个根．然后解a即可．（2）利用导数的几何意义求切线方程．（3）将不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，转化为含参问题恒成立，然后利用导数求函数的最值即可．【解答】解：（1）∵g'（x）=3x2+2ax﹣1，若函数g（x）单调减区间为（，1），由g'（x）=3x2+2ax﹣1＜0，解为，∴是方程g'（x）=0的两个根，∴，∴g（x）=x3﹣x2﹣x+2…（2）设切点为（x0，y0），则切线方程为，将（1，1）代入得．所以切线方程为y=﹣x+2或y=1…（3）要使关于x的不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，即2xlnx≥3x2+2ax﹣1+2成立．所以2ax≤2xlnx﹣3x2﹣1，在x＞0时有解，所以最大值，令，则，当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）单增，当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）单减．∴x=1时，h（x）max=﹣4，∴2a≤﹣4，即a≤﹣2…【点评】本题主要考查利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握导数和函数单调性，最值之间的关系，考查学生的运算能力．对含有参数恒成立问题，则需要转化为最值恒成立．。