2016-2017学年高中数学人教A版选修4-5课时跟踪检测(五) 绝对值不等式的解法

高中数学人教a 版高二选修4-5_第一讲_不等式和绝对值不等式_学业分层测评2 有答案(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数f (x )＝x x ＋1的最大值为( ) A.25 B.12 C.22D ．1 【解析】 显然x ≥0.当x ＝0时，f (x )＝0；当x >0时，x ＋1≥2x ，∴f (x )≤12， 当且仅当x ＝1时，等号成立，∴f (x )max ＝12. 【答案】 B2．设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2B ．a ＜ab ＜a ＋b 2＜b C ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2D.ab ＜a ＜a ＋b 2＜b 【解析】 取特殊值法．取a ＝2，b ＝8，则ab ＝4，a ＋b 2＝5，所以a ＜ab ＜a ＋b 2＜b .故选B.【答案】 B3．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A．最大值为54B．最小值为54C．最大值为1 D.最小值为1【解析】∵x≥52，∴x－2≥12，∴f(x)＝(x－2)2＋12(x－2)＝12(x－2)＋12(x－2)≥2x－22·12(x－2)＝1，当且仅当x－22＝12(x－2)，即x＝3时，等号成立，∴f(x)min＝1.【答案】 D4．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则(a＋b)2 cd的最小值是()A．0 B．1C．2 D.4【解析】由题意知a＋b＝x＋y，cd＝xy，∴(a＋b)2＝(x＋y)2≥4xy＝4cd，∴(a＋b)2cd≥4，当且仅当x＝y时，取等号．【答案】 D5．已知a，b是不相等的正数，x＝a＋b2，y＝a＋b，则x，y的关系是()A．x>y B．y>x C．x>2y D.y>2x【解析】因为a，b是不相等的正数，所以x2＝a＋b2＋ab<a＋b2＋a＋b2＝a＋b＝y2，即x2<y2，故x<y.【答案】 B二、填空题6．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________.【解析】 x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ≥(x ＋y )2－(x ＋y )24＝34(x ＋y )2，∴(x ＋y )2≤43，∴|x ＋y |≤233，即x ＋y 的最大值为233. 【答案】 233 7．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________． 【解析】 因为x ＞0，y ＞0，所以x 3＋y 4≥2x 3·y 4＝xy 3，即xy 3≤1，解得xy ≤3，所以其最大值为3. 【答案】 38．已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．【解析】 ∵a ，b ，m ，n ∈R ＋，且a ＋b ＝1，mn ＝2，∴(am ＋bn )(bm ＋an )＝abm 2＋a 2mn ＋b 2mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)≥2ab ·mn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋b 2＋2ab )＝2(a ＋b )2＝2，当且仅当m ＝n ＝2时，取“＝”，∴所求最小值为2.【答案】 2三、解答题9．已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，x ，y 为变量，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋b y＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .【解】 ∵x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y＝a ＋b ＋bx y ＋ay x≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当bx y ＝ay x时取等号． 又(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18，即a ＋b ＋2ab ＝18.① 又a ＋b ＝10， ②由①②可得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝8或⎩⎨⎧a ＝8，b ＝2.10．已知x 1，x 2，x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1. 【证明】 ∵x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 21x 3＋x 3≥2x 22＋2x 23＋2x 21＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2， ∴x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1. [能力提升]1．设x ，y ∈R ＋，且满足x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( )A ．40B ．10C ．4 D.2【解析】 因为x ，y ∈R ＋，∴4xy ≤x ＋4y 2， ∴xy ≤x ＋4y 4＝10，∴xy ≤100. ∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2.【答案】 D2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处 D.2千米处【解析】 由已知：y 1＝20x， y 2＝0.8x (x 为仓库到车站的距离)．费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x≥20.8x ·20x＝8. 当且仅当0.8x ＝20x ， 即x ＝5时等号成立．【答案】 A3．y ＝3＋x ＋x 2x ＋1(x ＞0)的最小值是________． 【解析】 ∵x ＞0，∴y ＝3＋x ＋x 2x ＋1＝3x ＋1＋x ＋1－1≥23－1. 当且仅当x ＋1＝3时取等号．【答案】 23－14．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求实数a 的取值范围.【解】 由x >0，知原不等式等价于0<1a ≤x 2＋3x ＋1x ＝x ＋1x＋3恒成立． 又x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x＝2， ∴x ＋1x＋3≥5，当且仅当x ＝1时，取等号． 因此⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋3min ＝5， 从而0<1a ≤5，解得a ≥15. 故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞.。

课时跟踪检测(三) 三个正数的算术—几何平均不等式1．已知x 为正数，下列各题求得的最值正确的是( )A ．y ＝x 2＋2x ＋4x 3≥33x 2·2x ·4x 3＝6，∴y min ＝6. B ．y ＝2＋x ＋1x ≥332·x ·1x＝332，∴y min ＝332. C ．y ＝2＋x ＋1x ≥4，∴y min ＝4.D ．y ＝x (1－x )(1－2x )≤13⎣⎡⎦⎤3x ＋(1－x )＋(1－2x )33＝881，∴y max ＝881. 解析：选C A 、B 、D 在使用不等式a ＋b ＋c ≥33abc (a ，b ，c ∈R ＋)和abc ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋c 33(a ，b ，c ∈R ＋)都不能保证等号成立，最值取不到．C 中，∵x >0，∴y ＝2＋x ＋1x ＝2＋⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥2＋2＝4， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立．2．已知a ，b ，c 为正数，则a b ＋b c ＋c a 有( )A ．最小值3B ．最大值3C ．最小值2D ．最大值2解析：选A a b ＋b c ＋c a ≥33a b ×b c ×c a＝3， 当且仅当a b ＝b c ＝c a ，即a ＝b ＝c 时，等号成立．3．若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值是( )A.3322B.833C.332D.223解析：选A 由log x y ＝－2，得y ＝1x 2.而x ＋y ＝x ＋1x2＝ x 2＋x 2＋1x 2≥33x 2·x 2·1x 2＝3314＝3322，当且仅当x 2＝1x2，即x ＝32时，等号成立． 4．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列不等式总成立的是( )A ．V ≥πB ．V ≤πC ．V ≥18πD ．V ≤18π解析：选B 设圆柱底面半径为r ，则圆柱的高h ＝6－4r 2，所以圆柱的体积为V ＝πr 2·h ＝πr 2·6－4r 2＝πr 2(3－2r )≤π⎝⎛⎭⎫r ＋r ＋3－2r 33＝π.当且仅当r ＝3－2r ，即r ＝1时，等号成立．5．若a >2，b >3，则a ＋b ＋1(a －2)(b －3)的最小值为________． 解析：∵a >2，b >3，∴a －2>0，b －3>0，则a ＋b ＋1(a －2)(b －3)＝(a －2)＋(b －3)＋1(a －2)(b －3)＋5 ≥33(a －2)×(b －3)×1(a －2)(b －3)＋5＝8. 当且仅当a －2＝b －3＝1(a －2)(b －3)，即a ＝3，b ＝4时，等号成立． 答案：8 6．设0<x <1，则x (1－x )2的最大值为 ________.解析：∵0<x <1，∴1－x >0. 故x (1－x )2＝12×2x (1－x )(1－x )≤12⎣⎡⎦⎤2x ＋(1－x )＋(1＋x )33＝12×827＝427(当且仅当x ＝13时，等号成立)． 答案：4277．已知关于x 的不等式2x ＋1(x －a )2≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：2x ＋1(x －a )2＝(x －a )＋(x －a )＋1(x －a )2＋2a . ∵x －a >0，∴2x ＋1(x －a )2≥33(x －a )(x －a )1(x －a )2＋2a ＝3＋2a ，当且仅当x －a ＝1(x －a )2即x ＝a ＋1时，等号成立．∴2x ＋1(x －a )2的最小值为3＋2a . 由题意可得3＋2a ≥7，得a ≥2.答案：28．设a ，b ，c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92. 证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴2(a ＋b ＋c )＝(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥33(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )>0.1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥331a ＋b ·1b ＋c ·1a ＋c>0， ∴(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92. 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．9．已知正数a ，b ，c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)·(c ＋2)的最小值．解：因为(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)＝(a ＋1＋1)(b ＋1＋1)(c ＋1＋1)≥3·3a ·3·3b ·3·3c ＝27·3abc ＝27，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值为27.10．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．证明：法一：因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式，得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，① 1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13， 所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.② 故a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23. 又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③ 所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立． 即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立． 法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式，得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，①同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac，② 故a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ac ＋3ab ＋3bc ＋3ac ≥63，③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立；当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立，即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．。

课时跟踪检测(五)绝对值不等式的解法．不等式＋>的解集是( )．{－<<}．{<－或>}．{－≤<}．{<－或≥}解析：选＋>，则＋>或＋<－，因此<－或>.．满足不等式＋＋＋<的所有实数解的集合是( )．(－) ．(－)．(－)解析：选＋＋＋表示数轴上一点到－，－两点的距离和，根据－，－之间的距离为，可得到－，－距离和为的点是－.因此＋＋＋<解集是(－)．．不等式≤－<的解集为( )∪∪∪∪解析：选由≤－<，得≤－<或－<－≤－，因此－<≤或≤<.．若关于的不等式－＋＋＞的解集为，则实数的取值范围是( )．(－∞，－)∪(，＋∞)．(－∞，－)∪(，＋∞)．[－]．(－)解析：选由题意知，不等式－＋＋＞恒成立，即函数()＝－＋＋的最小值大于，根据绝对值不等式的性质可得－＋＋≥(－)－(＋)＝＋，故只要满足＋＞即可，所以＋＞或＋＜－，解得＞或＜－，故实数的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)．．不等式＋≥的解集是．解析：∵不等式两边是非负实数，∴不等式两边可以平方，两边平方，得(＋)≥，∴＋＋≥，即≥－，∴原不等式的解集为{≥－}．答案：{≥－}．不等式－－<的解集是．解析：原不等式等价于－<＋⇔－－<－<＋⇔⇔<<.答案：{<<}．已知函数()＝＋＋－－－，若函数()的图象恒在轴上方，则实数的取值范围为．解析：因为＋＋－≥＋－(－)＝，所以()的最小值为－－.由题意，得－＜，解得－<<.答案：(－)．解不等式：－＋<－.解：原不等式⇔(－＋)<(－)⇔[(－＋)＋(－)][(－＋)－(－)]<⇔(＋＋)(－＋)<⇔－＋<(因为＋＋恒大于)⇔<<.所以原不等式的解集是{<<}．．解关于的不等式－<－(∈)．解：若－<，即≤，则－<－恒不成立，此时，原不等式无解；若－>，即>，则－(－)<－<－，所以－<<.综上所述：当≤时，原不等式的解集为∅；当>时，原不等式的解集为{－<<}．．已知函数()＝－＋＋，()＝＋.()当＝－时，求不等式()＜()的解集；()设＞－，且当∈时，()≤()，求的取值范围．解：()当＝－时，不等式()＜()化为－＋－－－＜.设函数＝－＋－－－，则＝(\\(－，＜()，,－－，()≤≤，－，＞.))其图象如图所示．从图象可知，当且仅当∈()时，＜，所以原不等式的解集是{＜＜}．()当∈时，()＝＋.不等式()≤()化为＋≤＋，所以≥－对∈都成立．故－≥－，即≤.从而的取值范围是.。

庖丁巧解牛知识·巧学一、绝对值三角不等式1.定理1 如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.定理1的等号成立的情况具体来说，当a=0或b=0时，或a>0、b>0时，或a<0，b<0时，等号都是成立的，即有|a+b|=|a|+|b|.除此之外，就是|a+b|<|a|+|b|了.如果把定理1中的实数a，b分别替换为向量a，b，则定理1的形式仍旧成立.即有|a+b|≤|a|+|b|成立，当且仅当向量a,b不共线时，有|a+b|<|a|+|b|成立.联想发散根据定理1，我们可以得到许多正确的结论.其中比较常用的结论有：（1）如果a，b是实数，那么|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.（2）|a1+a2+a3+…+a n|≤|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|(n∈N*).2.绝对值三角不等式所谓绝对值三角不等式就是指把定理1中的实数a,b分别替换为向量a,b，且向量a,b不共线时，所成立的不等式|a+b|<|a|+|b|.绝对值三角不等式即向量不等式|a+b|<|a|+|b|的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边(如下图所示).记忆要诀由于绝对值三角不等式其形式与定理1是完全类似的，所以只要记住定理1，那么这个绝对值三角不等式也就记住了.3.定理2 如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立.对于定理2，同学们不但要记住它的形式，还应注意它的特点，尤其要注意它的不等号左边没有字母b，只有右边才有.学法一得要注意|a-c|可以变形为|(a-b)+(b-c)|，熟悉这种变形，那么在具体解题时就可以通过变形来巧妙地利用定理2了.二、绝对值不等式的解法要熟记简单绝对值不等式的解法，它是解较复杂的绝对值不等式的基础，即要记住：一般地，如果a>0，则有：|x|<a⇔-a<x<a，因此，不等式|x|<a的解集是(-a,a)；|x|>a⇔x<-a或x>a，因此，不等式|x|>a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞).1.|ax+b|≤c和|ax+b|≥c型不等式的解法.求解这类绝对值不等式，只要将ax+b看成一个整体，然后套用|x|<a或|x|>a的不等式的解法即可.2.|x-a|+|x-b|≤c和|x-a|+|x-b|≥c型不等式的解法.求解这类绝对值不等式，主要的方法有如下三种：（1）利用绝对值的几何意义；（2）分区间讨论法；（3）构造函数利用函数的图象求解.求解这类绝对值不等式时，可根据题目的不同而适时选用不同的方法求解.误区警示解绝对值不等式切勿盲目地套用某一类解法，一定要注意不等式的形式，要针对不同的形式对号入座采取相应的方法来求解.典题·热题知识点一： 与定理1、2相关的绝对值不等式的判断与证明例1 若|x-a|<m,|y-a|<n ，则下列不等式一定成立的是（ ）A.|x-y|<2mB.|x-y|<2nC.|x-y|<n-mD.|x-y|<n+m思路分析：注意观察比较|x-y|与|x-a|，|y-a|之间的关系，不难发现通过适当变形就可运用定理1及已知条件来巧妙求解此题了,具体解题过程为：|x-y|=|x-a-(y-a)|≤|x -a|+|y-a|<m+n,故选D.答案：D巧解提示对某些式子进行适当的变形，以便创造条件利用某些定理、公式来解题，这是一种常用的技巧，如此题求解过程中的|x-y|=|x-a-(y-a)|就是变形，而变形的基础是必须要熟悉公式. 例2 已知a 、b 、c 、d 都是实数，且a 2+b 2=m 2，c 2+d 2=n 2（m>0,n>0)，求证：|ac+bd|≤222n m +. 思路分析：证明此题时，可将ac 、bd 分别看成整体，那么就可以套用定理1来证明了. 证明：∵a 、b 、c 、d ∈R ,∴|a c+bd|≤|ac|+|bd|≤222222d b c a +++ =222222222r R d c b a +=+++, ∴|ac+bd|≤222R r +. 误区警示如果利用ab≤222b a +来证明此题，就容易出现似是而非的证法，而利用较严格的公式|ab|≤222b a +来证明就不易出错了.因此同学们要注意公式的适时选用. 知识点二： 绝对值不等式的解法例3 解关于x 的不等式|2x-1|<2m-1(m ∈R ).思路分析：要注意对2m-1的正负情况进行讨论.解：若2m-1≤0，即m≤21，则|2x-1|<2m-1恒不成立，此时，原不等式无解；若2m-1>0，即m>21，则-(2m-1)<2x-1<2m-1，所以1-m<x<m. 由上可得：当m≤21时，原不等式的解集为∅， 当m>21时，原不等式的解集为：{x|1-m<x<m}. 方法归纳对于不等号右侧是含有参数的式子的这类绝对值不等式，在求解时一定要通过对参数式子的正、负、零三种情况的讨论来求解.例4 解不等式3≤|x -2|<4.思路分析：此题的不等式属于绝对值的连不等式，求解时可将其化为绝对值的不等式组再求解.解：原不等式等价于⎩⎨⎧<-≥-)2.(4|2|)1(,3|2|x x 由（1）得x-2≤-3或x-2≥3，∴x≤-1，或x≥5.由（2）得-4<x-2<4，∴-2<x<6.如上图所示，原不等式的解集为{x|-2<x≤-1或5≤x<6}.误区警示有些同学求解这类问题时，为了图省事，往往不爱通过画图来寻找解集，总爱耍点小聪明，这是造成求解出错的主要原因.例5 解不等式|x+7|-|x-2|≤3.思路分析：解含有绝对值的不等式，总的思路是同解变形为不含绝对值的不等式，但要根据求解不等式的结构，选用恰当的方法.此题中有两个绝对值符号，故可用绝对值的几何意义来求解，或用分区间讨论法求解，还可构造函数利用函数图象求解.图1解：［方法一］ |x+7|-|x-2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到-7对应的点的距离与到2对应的点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x=-1（如图1所示）.从图易知不等式|x+7|-|x-2|≤3的解为x≤-1，即x ∈(-∞,-1］.［方法二］ 令x+7=0，x-2=0得x=-7，x=2.①当x<-7时，不等式变为-x-7+x-2≤3，∴-9≤3成立,∴x<-7.图2②当-7≤x≤2时，不等式变为x+7+x-2≤3，即2x≤-2，∴x≤-1，③当x>2时，不等式变为x+7-x+2≤3，即9≤3不成立，∴x ∈∅.∴原不等式的解集为(-∞,-1］.［方法三］ 将原不等式转化为|x+7|-|x-2|-3≤0，构造函数y=|x+7|-|x-2|-3，即y=⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-+-<-.2,6;27,22;7,12x x x x .作出函数的图象（如图2），从图可知，当x≤-1时，有y≤0，即|x+7|-|x-2|-3≤0，所以，原不等式的解集为(-∞,-1］.巧妙变式针对此题，我们可以进行各种不同的题目变式.如：可以将两个绝对值里面的运算符号改变、可以将两个绝对值之间的运算符号改变、可以将“≤”改变为“≥”，还可以将不等号右边的数改成字母等等.变式后题目的求解还是用上述的几种解法.问题·探究误区陷阱探究问题1 对此题“写出不等式|2x-1|<3的解集并化简”，某同学的错解如下：不等式|2x-1|<3的解集是{x||2x-1|<3}={x|2x-1<3}∪{x|2x-1>-3}={x|x<2}∪{x|x>-1}={x|-1<x<2}.探究过程:这位同学解得的结果是正确的，但解法不对.解法中有两处错误，但却歪打正着得出了正确的结果.首先是把绝对值不等式的解法搞错了.这位同学写的求解过程中的两个集合{x|2x-1<3}与{x|2x-1>-3}的中间不应当用并的符号“∪”，而应改为“∩”.这两个集合是应该取交集的.另外，按照这位同学错写的两集合“并”来运算时又解错了.{x|x<2}∪{x|x>-1}的结果应为{x|-∞<x<+∞}，而不是{x|-1<x<2}.探究结论:如果按照这位同学的思路求解，可以修改为：不等式|2x-1|<3的解集是： {x||2x-1|<3}={x|2x-1<3}∩{x|2x -1>-3}={x|x<2}∩{x|x>-1}={x|-1<x<2}.不过，更简单的解法应是：不等式|2x-1|<3的解集是：{x||2x-1|<3}={x|-3<2x-1<3}={x|-1<x<2}.思维发散探究问题2 已知a 、b 、c 是实数，函数f(x)=ax 2+bx+c ，g(x)=ax+b ，当-1≤x≤1时，|f(x)|≤1，试探究当x ∈［-1,1］时，|g(x)|≤2.探究过程:这是一个通过关联二次函数、一次函数考查不等式的变换能力的问题，因此在证明中要注意合理应用绝对值不等式的性质定理，由于g(x)是一次函数，可将|g(x)|≤2转化为g(-1)与g(1)与2的关系加以证明，也可挖掘g(x)与f(x)的隐含关系，构造函数模型，寻求整体突破.探究结论:［方法一］ 当a>0时g(x)=ax+b 在［-1,1］上是增函数，∴g(-1)≤g(x)≤g(1)，∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1)，∴|c|=|f(0)|≤1，∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2，g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2，当a<0时，g(x)=ax+b 在［-1,1］上是减函数， ∴g(1)≤g(x)≤g(-1)，∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1)，∴|c|=|f(0)|≤1，∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2，g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2，∴|g(x)|≤2.当a=0时，g(x)=b ，f(x)=bx+c ，∵-1≤x≤1，∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2.综上所述,当x ∈［-1,1］时，|g(x)|≤2.［方法二］ ∵x=4)1()1(22--+x x ， ∴g(x)=ax+b=a ［(21+x )2-(21-x )2］+b(21+x -21-x ) =a ［(21+x )2+b(21+x )+c ］-［a(21-x )2+b(21-x )+c ］ =f(21+x )-f(21-x ). 当-1≤x≤1时，有0≤21+x ≤1，-1≤21-x ≤0， ∴|g(x)|=|f(21+x )-f(21-x )|≤|f(21+x )|+|f(21-x )|≤2，∴|g(x)|≤2.。

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课时提升作业五绝对值不等式的解法一、选择题(每小题6分,共18分)1.(2016·临沂高二检测)>0的解集为( )A.B.C.D.{x|x∈R且x≠-3}【解析】选C.原不等式可化为解得x>或x<-且x≠-3.2.(2016·济南高二检测)不等式|x-2|+|x-1|≤3的最小整数解是( )A.0B.-1C.1D.2【解析】选A.根据绝对值的几何意义,得不等式|x-2|+|x-1|≤3的解为0≤x≤3.所以不等式|x-2|+|x-1|≤3的最小整数解为0.3.若关于x的不等式|x-2|+|x-a|≥a在R上恒成立,则a的最大值是( )A.0B.1C.-1D.2【解析】选B.|x-2|+|x-a|=|x-2|+|a-x|≥|x-2+a-x|=|a-2|,所以|a-2|≥a,解得a≤1,所以a的最大值为1.二、填空题(每小题6分,共12分)4.(2016·德州高二检测)已知集合A={x||x-4|+|x-1|<5},B={x|a<x<6}且A∩B=(2,b),则a+b=________. 【解析】A={x|0<x<5},由A∩B=(2,b)知故a+b=7.答案:75.(2016·石家庄高二检测)不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为__________.【解析】方法一:由得x≤-3;由无解;由得x≥2.即所求的解集为{x|x≤-3或x≥2}.方法二:在数轴上,点-2与点1的距离为3,所以往左右边界各找距离为1的两个点,即点-3到点-2与点1的距离之和为5,点2到点-2与点1的距离之和也为5,所以原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.答案:{x|x≤-3或x≥2}三、解答题(每小题10分,共30分)6.(2016·武汉高二检测)解不等式x+|2x+3|≥2.【解析】原不等式可化为或解得x≤-5或x≥-.综上,原不等式的解集是.7.已知a+b=1,对任意的a,b∈(0,+∞),+≥|2x-1|-|x+1|恒成立,求x的取值范围. 【解析】因为a>0,b>0且a+b=1,所以+=(a+b)=5++≥9,故+的最小值为9,因为对任意的a,b∈(0,+∞),使+≥|2x-1|-|x+1|恒成立,所以|2x-1|-|x+1|≤9,当x≤-1时,2-x≤9,所以-7≤x≤-1;当-1<x<时,-3x≤9,所以-1<x<;当x≥时,x-2≤9,所以≤x≤11.综上所述,x的取值范围是-7≤x≤11.8.(2016·聊城高二检测)已知函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,求实数a的值. 【解析】①当a≤2时,f(x)=②当a>2时,f(x)=由①②可得f(x)min=f==3,解得a=-4或8.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·山东高考)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是( )A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(1,5)【解题指南】可以分段讨论去掉绝对值符号,也可以利用绝对值的几何意义,还可以结合选择题的特点利用特殊值排除错误答案.【解析】选A.方法一:当x<1时,原不等式化为1-x-(5-x)<2,即-4<2,不等式恒成立;当1≤x<5时,原不等式即x-1-(5-x)<2,解得x<4;当x≥5时,原不等式化为x-1-(x-5)<2,即4<2,显然不成立,综上可得不等式的解集为(-∞,4).方法二:由绝对值的几何意义可得数轴上的点x到1,5两点 (距离为4)的距离之差小于2的点满足x<4,所求不等式的解集为(-∞,4).方法三:用排除法,令x=0符合题意,排除C,D;令x=2符合题意,排除B.2.(2016·石家庄高二检测)设函数f(x)=则使f(x)≥1的自变量x的取值范围是( )A.(-∞,-2]∪B.(-∞,-2]∪C.(-∞,-2]∪D.∪【解析】选A.由题意知,当x<1时,f(x)≥1等价于(x+1)2≥1,解得x≤-2或0≤x<1;当x≥1时,f(x)≥1等价于4-≥1,解得1≤x≤4.综上所述,满足题设的x的取值范围是(-∞,-2]∪.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·安阳高二检测)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为,则a=__________. 【解析】由|ax-2|<3得到-3<ax-2<3,-1<ax<5,又知道解集为,所以a=-3.答案:-34.设a,b∈R,|a-b|>2,则关于实数x的不等式|x-a|+|x-b|>2的解集是________.【解题指南】利用绝对值不等式的基本知识|x-a|+|x-b|表示数轴上某点到a,b的距离之和即可得解. 【解析】函数f(x)=| x-a|+|x-b|的值域为:2≤.【解析】(1)f(x)=2|x-1|+x-1=当x≥1时,由f(x)≤1得x≤,故1≤x≤;当x<1时,由f(x)≤1得x≥0,故0≤x<1;综上可知,f(x)≤1的解集为M=.(2)由g(x)=16x2-8x+1≤4得16≤4,解得-≤x≤.因此N=,故M∩N=.当x∈M∩N时,f(x)=1-x,于是x2f(x)+x2=xf(x)(x+f(x))=xf(x)=x(1-x)=-≤.关闭Word文档返回原板块。

数学·选修4－5(人教A版)不等式和绝对值不等式1.1不等式1．2.1 绝对值三角不等式一层练习1．若|x－a|<m，|y－a|<n，则下列不等式一定成立的是( )A．|x－y|<2m B．|x－y|<2nC．|x－y|<n－m D．|x－y|<n＋m[:答案：D2．设ab>0，下面四个不等式：①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a|－|b|.其中正确的是( )A．①② B．①③C．①④ D．②④答案：C3．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2，则|a＋b|的最大值是________，最小值是________．答案：5 04．已知p ，q ，x∈R，pq≥0，x≠0，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪px ＋q x ______2pq(填“≥”，“≤”，“>”或“<”)．答案：≥5．若不等式|x －4|＋|x －3|>a 对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(3,4)D ．[3，＋∞)答案：A6．方程|x|＋|log a x|＝|x ＋log a x|(a>1)的解集是________________．答案：{x|x>1}二层练习7．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值是________，最小值是________．答案：4 －48．|x －A|<ε2，|y －A|<ε2是|x －y|<ε的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件答案：A9．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，|x －2y ＋1|的最大值是________．解析：|x －2y ＋1|＝|x －1－2(y －2)－2|≤|x－1|＋2|y －2|＋|－2|≤1＋2＋2＝5. 答案：5三层练习10．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是平面直角坐标系xOy 上的两点，现定义点A 到点B 的一种折线距离为ρ(A ，B)＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|，对于平面xOy 上给定的不同的两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，若点C(x ，y)是平面xOy 上的点， 试证明：ρ(A ，C)＋ρ(C ，B)≥ρ(A ，B)．证明：由绝对值不等式知，ρ(A ，C)＋ρ(C ，B)＝|x －x 1|＋|x 2－x|＋|y －y 1|＋|y 2－y| ≥|(x－x 1)＋(x 2－x )|＋|(y －y 1)＋(y 2－y)|＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|＝ρ(A ，B)．当且仅当(x －x 1)·(x 2－x)≥0且(y －y 1)·(y 2－y)≥0时等号成立．11．已知实数x ，y 满足：|x ＋y|<13，|2x －y|<16，求证：|y |<518.证明：∵3|y|＝|3y|＝|2(x ＋y)＋(y －2x)|≤2|x＋y|＋|2x －y|，由题意设|x ＋y|<13，|2x －y|<16， ∴3|y|<2×13＋16＝56. ∴|y|<518.12．求证：|a 2－b 2|2|a|≥|a|2－|b|2. 证明：(1)当|a|≤|b|时，由|a 2－b 2|2|a|≥0， |a|2－|b|2≤0，知不等式成立 (2)当|a|>|b|时．|a 2－b 2|2|a|－⎝ ⎛⎭⎪⎫|a|2－|b|2＝|a|2－|b|22|a|－|a|－|b|2＝|a|－|b|2×⎝ ⎛⎭⎪⎫|a|＋|b||a|－1 ＝|a|－|b|2×b a≥0. 所以|a 2－b 2|2|a|≥|a|2－|b|2.1．在掌握本节知识过程中，要充分认识和理解绝对值的意义和性质：设a∈R，则|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a≥0，－a ，a ＜0.|a|≥0，－|a|≤a≤|a|，|a|2＝a 2.2．绝对值不等式的性质定理的推广：|a 1＋a 2＋a 3|≤|a 1|＋|a 2|＋|a 3|；|a 1＋a 2＋…＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |；|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.3．在应用含绝对值的不等式求某些函数的最值时，一定要注意等号成立的条件： |a ＋b|＝|a|＋|b|(ab≥0)；|a －b|＝|a|＋|b|(ab ≤0)；||a|－|b||＝|a ＋b|(ab≤0)；||a|－|b||＝|a －b|(ab≥0)．。

2016-2017学年高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式的基本性质课后练习 新人教A 版选修4-5一、选择题1．若a ＜b ＜0，则( ) A.1a ＜1b B ．0＜a b＜1C ．ab ＞b 2D.b a ＞a b解析： 因为a ＜b <0，所以1a ＞1b ，故A 错．因为a ＜b ＜0，所以|a |＞|b |，所以ab＞1，故B 错．因为a ＜b ＜0，所以ab ＞b ·b ，即ab ＞b 2，故C 对．因为a ，b 同号，|a |＞|b |，所以ab ＞1,0＜b a＜1，故D 错．答案： C2．已知三个不等式：ab ＞0，bc －ad ＞0，c a －d b＞0(其中a ，b ，c ，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析： 由ab ＞0，bc －ad ＞0可得bc ＞ad 两边同除以ab 得 c a ＞d b ，即c a －db＞0. 由c a －d b ＞0得c a ＞d b，再由ab ＞0， 两边同乘以ab 得bc ＞ad ，即bc －ad ＞0.由bc －ad ＞0，c a －d b >0可得bc ＞ad ，c a ＞d b，所以可得ab ＞0. 答案： D3．若1a ＜1b ＜0，则下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |>|b |；③a ＜b ；④b a ＋ab＞2中，正确的不等式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：1a ＜1b ＜0⇔b ＜a ＜0，∴a ＋b ＜0＜ab ，|a |＜|b |，b a ＋a b＞2b a ·ab＝2(∵b ＜a ＜0，故等号取不到)，即①④正确，②③错误，故选B.(注：本题亦可用特值法，如取a ＝－1，b ＝－2验证得)答案： B4．已知0＜x ＜y ＜a ＜1，则有( ) A ．log a (xy )＜0 B ．0＜log a (xy )＜1 C ．1＜log a (xy )＜2D ．log a (xy )＞2解析：∵0＜x ＜y ＜a ＜1，∴0＜xy ＜a 2＜1，由对数函数的单调性和对数的定义得，log a (xy )＞log a a 2＝2.答案： D 二、填空题5．若x >0，则x ＋4x的最小值为( )A ．2B ．3C ．2 2D ．4解析：∵x >0， ∴x ＋4x≥2x ·4x ＝4， 当且仅当x ＝4x即x ＝2时取等号， 所以x ＋4x的最小值为4.答案： D6．若0＜2α－β＜π，－π2＜α－2β＜π，则α＋β的取值X 围是________． 解析： 由－π2＜α－2β＜π得－π＜2β－α＜π2，再与0＜2α－β＜π相加得－π＜α＋β＜3π2答案： －π＜α＋β＜3π2三、解答题7．设a ＞0，b ＞0且a ≠b ，试比较a a b b与a b b a的大小．解析：a a b b a b b a ＝a a －b ÷b a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b.当a ＞b ＞0时，ab＞1，a －b ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ba －b ＞1，于是a a b b ＞a b b a . 当b ＞a ＞0时，0＜a b＜1，a －b ＜0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ＞1，于是a a b b ＞a b b a . 综上所述，对于不相等的正数a ，b ，都有a a b b＞a b b a.8．已知－6＜a ＜8,2＜b ＜3，分别求2a ＋b ，a －b ，a b的取值X 围． 解析：∵－6＜a ＜8，∴－12＜2a ＜16. 又2＜b ＜3，∴－10＜2a ＋b ＜19， ∵2＜b ＜3，∴－3＜－b ＜－2.又－6＜a ＜8，∴－9＜a －b ＜6. ∵2＜b ＜3，∴13＜1b ＜12.①当0≤a ＜8时，0≤a b ＜4；②当－6＜a ＜0时，－3＜a b＜0. 综合①②得－3＜a b＜4.9．设f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围． 解析： 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a －(m －n )b .于是，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10. ∴5≤f (－2)≤10.。

《不等式和绝对值不等式》测评(时间90分钟，满分100分)10个小题；每小题4分，满分40分)1．若1a ＜1b＜0，则下列结论不正确的是A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2 C.b a ＋ab ＞2 D ．|a|－|b|＝|a －b|2．函数y ＝log 2(x ＋1x －1＋5)(x ＞1)的最小值为A ．－3B ．3C ．4D ．－43．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝a 3＋a 92，Q ＝a 5a 7，则P 与Q 的大小关系是A ．P ＞QB ．P ＜QC ．P ＝QD ．无法确定4．设6＜a ＜10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是A ．9＜c ＜30B ．0≤c ≤18C ．0≤c ≤30D ．15＜c ＜30 5．不等式⎩⎪⎨⎪⎧x>0，3－x 3＋x >|2－x 2＋x|的解集是A ．(0,2)B ．(0,2.5)C ．(0，6)D ．(0,3)6．若不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a 等于 A ．8 B ．2 C ．－4 D ．－87．若1＜1a ＜1b ，则下列结论中不正确的是A ．log a b ＞log b aB ．|log a b ＋log b a|＞2C ．(log b a )2＜1D ．|log a b|＋|log b a|＞|log a b ＋log b a| 8．当0＜x ＜π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x 的最小值为A ．2B ．2 3C ．4D ．4 39．不等式|sinx ＋tanx|＜a 的解集为N ；不等式|sinx|＋|tanx|＜a 的解集为M ；则解集M 与N 的关系是A ．N ⊆MB ．M ⊆NC ．M ＝ND ．M N 10．下列四个命题：①若a ＞b ，c ＞1，则algc ＞blgc; ②若a ＞b ，c ＞0，则algc ＞blgc ； ③若a ＞b ，则a·2c ＞b·2c; ④若a ＜b ＜0，c ＞0，则c a ＞cb .其中，正确命题的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答 题 栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)11．不等式|x|＞2x －1的解集为______． 12．定义运算x·y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤y )，y (x>y )，若|m －1|·m ＝|m －1|，则m 的取值范围是______．13．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的减函数，其图象经过A (－4,1)，B (0，－1)两点，f (x )的反函数是f －1(x )，则f －1(1)的值是______；不等式|f (x －2)|＜1的解集是______．14．已知α，β是实数，给出下列四个论断： ①|α＋β|＝|α|＋|β|； ②|α－β|≤|α＋β|； ③|α|＞22，|β|＞22； ④|α·β|＞5.以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______________________________．15．已知不等式|x －3|＜12(x ＋a )的解集为A ，且A ≠∅，则a 的取值范围是______．三、解答题(本大题共5个小题，每小题8分，共40分) 16．2008海南、宁夏高考，24 已知函数f (x )＝|x －8|－|x －4|.(1)作出函数y ＝f (x )的图象； (2)解不等式|x －8|－|x －4|＞2.17．设关于x 的不等式lg (|x ＋3|＋|x －7|)＞a. (1)当a ＝1时，解这个不等式；(2)当a 为何值时，这个不等式的解集为R?18．若a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c .19．已知函数f(x)＝2x －1的反函数为y ＝f －1(x)． (1)求不等式2f －1(x)－log 2(1－x)≥0的解集P ；(2)若对(1)中的解集P ，当x ∈P 时，总有f －1(x)－log 2(1－x)≥t 成立，求t 的取值范围．20．如下图所示，电灯挂在圆桌的正中央上方．假定它与桌面上A 点的水平距离是a ，那么，电灯距离桌面的高度h 等于多少时，A 点处最亮？(亮度公式I ＝kr 2sinθ，这里k 是常数，r 是电灯到照射点的距离，θ是照射到某点的光线与水平平面所成的角．)参考答案1．D 解析：方法一(特殊值法)：令a ＝－1，b ＝－2，代入A 、B 、C 、D 中，知D 不正确，故选D.方法二：由1a ＜1b ＜0，得b ＜a ＜0，所以b 2＞ab ，ab ＞a 2，故A 、B 正确．又由b a ＞0，a b ＞0，且b a ≠a b ，得b a ＋ab ＞2正确．从而A 、B 、C 均正确，对于D ，由b ＜a ＜0⇒|a|＜|b|. 即|a|－|b|＜0，而|a －b|≥0，故D 错． 2．B 解析：x ＞1⇒x －1＞0，y ＝log 2(x ＋1x －1＋5)＝log 2(x －1＋1x －1＋6)≥log 2(2＋6)＝log 28＝3.3．A 解析：由等比知识，得Q ＝a 5·a 7＝a 3·a 9，而P ＝a 3＋a 92，且a 3＞0，a 9＞0，a 3≠a 9.∴a 3＋a 92＞a 3·a 9，即P ＞Q. 4．A 解析：因为a 2≤b ≤2a ，所以3a 2≤a ＋b ≤3a.又因为6＜a ＜10，所以3a2＞9,3a ＜30.所以9＜3a2≤a ＋b ≤3a ＜30.即9＜c ＜30.5．C 解析：用筛选法，容易验证x ＝2是不等式的解，否定A ；x ＝52不是不等式的解，否定D ；x ＝6使3－x 3＋x 与|2－x 2＋x|取“＝”，∵6＜52，故否定B.6．C 解析：由|ax ＋2|＜6⇒－8＜ax ＜4. 当a ＞0时，－8a ＜x ＜4a.∵解集是(－1,2)，∴⎩⎨⎧－8a ＝－1，4a ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，a ＝2，两值矛盾．当a ＜0时，4a ＜x ＜－8a.由⎩⎨⎧4a ＝－1，－8a ＝2⇒a ＝－4.7．D 解析：方法一(特殊值法)：由1＜1a ＜1b ，知0＜b ＜a ＜1.令a ＝12，b ＝14，则log a b ＝2，log b a ＝12.可判定A 、B 、C 均正确；D 不正确，故选D. 方法二：由1＜1a ＜1b ，得0＜b ＜a ＜1.∴log a b ＞log a a ＝1,0＜log b a ＜log b b ＝1. ∴A 、B 、C 选项正确．由绝对值不等式性质，知|log a b|＋|log b a|＝|log a b ＋log b a|，故D 不正确． 8．C 解析：方法一：f(x)＝2cos 2x ＋8sin 2x 2sinxcosx ＝1＋4tan 2x tanx ＝4tanx ＋1tanx ≥4.这里tanx ＞0且tanx ＝12时取等号，故选C.方法二：f(x)＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x ＝5－3cos2xsin2x (0＜2x ＜π)．令μ＝5－3cos2xsin2x ，有μsin2x ＋3cos2x ＝5.μ2＋9sin(2x ＋φ)＝5， ∴sin(2x ＋φ)＝5μ2＋9. ∴|5μ2＋9|≤1，得μ2≥16. ∴μ≥4或μ≤－4. 又μ＞0，故选C.9．B 解析：|sinx ＋tanx|≤|sinx|＋|tanx|， 则M ⊆N(当a ≤0时，M ＝N ＝∅)，故选B.10．C 解析：①正确，∵c ＞1，lgc ＞0；②不正确；∵0＜c ＜1时，lgc ＜0；③正确，∵2c ＞0；④正确，∵a ＜b ＜0⇒0＞1a ＞1b.11．{x|x ＜1或x ＞2} 解析：方法一：当x ＜1时，2x －1＜0，不等式成立．当x ＞1时，原不等式化为x ＞2x －1，即x －2x －1＞0，x 2－x －2x －1＞0， (x －2)(x ＋1)x －1＞0，得－1＜x ＜1或x ＞2.故原不等式的解集为{x|x ＜1或x ＞2}．方法二：|x|＞2x －1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x>2x －1，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x<21－x ，x<0.解得x ＜1或x ＞2.12．m ≥12 解析：依题意，有|m －1|≤m ⇔－m ≤m －1≤m ⇔m ≥12.13．－4 {x|－2＜x ＜2} 解析：由互为反函数的对称性，知f －1(1)＝－4.|f(x －2)|＜1⇒－1＜f(x －2)＜1.因为f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，所以－4＜x －2＜0，得－2＜x ＜2.14．①③⇒②④或②③⇒①④(写一个即可)解析：①③成立时，|α＋β|＝|α|＋|β|＞42＞5，∴④成立．又由①，知αβ＞0，∴|α－β|≤|α＋β|成立，即②成立，同理②③⇒①④.15．a ＞－3 解析：∵A ≠∅，∴|x －3|＜12(x ＋a)⇒－12(x ＋a)＜x －3＜12(x ＋a)⇒6－a 3＜x＜6＋a.∴6－a3＜6＋a.解得a ＞－3.16．解：(1)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤4，－2x ＋12，4<x ≤8，－4，x>8.图象如下：(2)不等式|x －8|－|x －4|＞2，即f(x)＞2， 由－2x ＋12＝2得x ＝5.由函数f(x)图象可知，原不等式的解集为(－∞，5)．17．解：(1)当a ＝1时，原不等式可变为|x ＋3|＋|x －7|＞10，可得其解集为{x|x ＜－3，或x ＞7}．(2)∵|x ＋3|＋|x －7|≥|x ＋3－(x －7)|＝10对任意x ∈R 都成立，∴lg(|x ＋3|＋|x －7|)≥lg10＝1对任何x ∈R 都成立，即lg(|x ＋3|＋|x －7|)＞a 当且仅当a ＜1时，对任何x ∈R 都成立．18．证明：∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0， ∴(a －c)(1a －b ＋1b －c)＝[(a －b)＋(b －c)](1a －b ＋1b －c )≥2(a －b)(b －c)×21a －b ×1b －c＝4. 当且仅当a ＋c ＝2b 时，等号成立． ∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c. 19．解：(1)由y ＝2x －1，得y ＋1＝2x ， ∴f －1(x)＝log 2(x ＋1)． 由2f －1(x)－log 2(1－x)≥0， 得2log 2(1＋x)－log 2(1－x)≥0. ⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋x>0，1－x>0，(1＋x)2≥1－x.解得0≤x ＜1， ∴P ＝{x|0≤x ＜1}．(2)∵x ∈P 时，恒有t ≤f －1(x)－log 2(1－x)成立，即t ≤log 2(1＋x)－log 2(1－x)＝log 21＋x 1－x (0≤x ＜1)，∴－1＜－x ≤0,0＜1－x ≤1,1＋x ＜2， ∴21－x ≥2，21－x －1≥1，即1＋x 1－x≥1， ∴log 21＋x 1－x ≥0，∴log 21＋x 1－x的最小值为0.∵t ≤f －1(x)－log 2(1－x)在[0,1)上恒成立， ∴t 的取值范围是{t|t ≤0}．20．解：设照射到A 点处的光线与桌面所成的角为x ，从图中可以看出，r ＝acosx，因此，A 点处的亮度I ＝k ×1a 2sinxcos 2x ，I 取最大值的问题可化为I 2取最大值的问题，由于I 2＝k 2a 4sin 2xcos 4x ，这里k 2a 4是一个常数，所以只需讨论函数sin 2xcos 4x 在何时取得最大值．因为sin 2xcos 4x ＝4sin 2x·cos 2x 2·cos 2x 2≤4[sin 2x ＋cos 2x 2＋cos 2x23]3＝427，当且仅当sin 2x ＝cos 2x 2，即tanx＝12时，等号成立，因此，当h ＝atanx ＝a 2＝22a 时，I 取得最大值，即A 点最亮． 答：把电灯挂在距离桌面22a 的高度时，A 点最亮.。