弹塑性力学-6_弹塑性平面问题

第二章应力
第四章本构关系
讨论:
s
σ3
h 3
h s
ε2
时，s 44h 本构方程为:
ε
σE =时，s )
1()
(111E
E
E E s s s -+=-+=σεεεσσs
εs
σ3
h 3
h
P
三杆均处于弹3
h 3h
P
03
h 3h
P
3
h 3
h
P
在弹塑性阶段，１杆虽然进入塑性状态，但由于其余两杆仍处于弹性阶段，１杆的塑性变形受到限制，整个桁架的变形仍限制在弹性变形的量级，这个阶段可称为约束的塑性变形阶段．在塑性阶段，三杆都进入塑性状态，桁架的变形大于弹性变形量
级．一般说来，所有的弹塑性结构在外力的作用下，都会有这样三个变形的阶段．
3
h 3
h
P
扭和内压作用，有应力分量
求：
比例从零开
多大时开始进入屈服？z ϕϕτ3=（２）开始屈服后，继续给以应力增量，满足0
=d γMises ：
屈服准则为
21=z f σz z ϕϕτσσ32==代入上式得到屈服后，增量本构关系为：
z
z
z z d E G d d σστσλϕ898=
=
第五章 弹塑性力学问题的提法
第六章弹塑性平面问题
试求其应力分量。

图6.7 局部受均布载荷简支粱
的增大而迅速衰减。

弹性力学：1.应力：应力是描述一点内力各个方向上单位面积上的作用力的极限值，由于内力具有多重方向性因而应力也有多重方向性，需要用9个量描述，但表面独立的量有6个，实际上这6个量之间真正独立的只有3个。

2.应变；应变是描述一点的变形程度的物理量，变形包括伸缩和方向改变。

一点的应变是一个复杂的物理现象，需要6个量描述，但独立的量只有3个。

3.体积力：作用在物体每一点的外力。

比如每一点都有的重力。

4.面力：作用在物体表面的外力。

比如水给大坝表面的压力。

5.斜面应力公式：一点任一方向的面上的应力与这一点的6个坐标应力之间的关系，这个关系用于应力边界条件和斜面应力的计算。

物体表面的任一点的应力和该点的面力是相同的大小和方向。

6.平衡微分方程：分析一点：反映一点的体积力与该点的6个坐标应力之间的受力平衡的方程，方程是偏微分形式的方程。

直角坐标下的方程形式上简单，其它坐标的复杂些。

7.可能应力：满足应力边界条件和平衡微分方程的应力场（该点进入弹塑性阶段时还要满足应力形式的屈服条件），因为应力对应的应变不一定是真实应变，因此只满足应力方程的应力只是可能应力而不一定是真实应力。

8.位移：分析一点：一点变形前后的位置差值。

变形体研究的位移是该点空间位置的连续函数。

9.几何方程：分析一点：反映一点位移与该点应变之间关系的方程。

直角坐标的几何方程形式上是最简单的，而其它坐标的复杂些。

10.变形协调方程：变形体不出现开裂或堆叠现象，即一点变形后产生的位移是唯一的，这时对一点的应变分量之间的相互约束关系。

直角坐标下的方程形式上简单，其它坐标的复杂些。

11.物理方程：这是材料变形的固有性质，反映一点应力与应变之间的约束关系，这种约束关系和坐标选取无关，即各种坐标下的物理关系都是相同的函数。

12.弹性：弹性指物体在外界因素(外荷载、温度变化等)作用下引起变形，在外界因素撤除后，完全恢复其初始的形状和尺寸的性质。

13.完全弹性：材料变形性质只有弹性而没有其他如流变、塑性等变形性质。

第六章平面问题的直角坐标解知识点平面应变问题应力表示的变形协调方程应力函数应力函数与双调和方程平面问题应力解法逆解法简支梁问题矩形梁的级数解法平面应力问题平面应力问题的近似性应力分量与应力函数应力函数与面力边界条件应力函数性质悬臂梁问题楔形体问题一、内容介绍对于实际工程结构的某些特殊形式，经过适当的简化和力学模型的抽象处理，就可以归结为弹性力学的平面问题，例如水坝，受拉薄板等。

这些问题的特点是某些基本未知量被限制在平面内发生的，使得数学上成为二维问题，从而简化了这些问题的求解困难。

本章的任务就是讨论弹性力学平面问题：平面应力和平面应变问题。

弹性力学平面问题主要使用应力函数解法，因此本章的工作从推导平面问题的基本方程入手，引入应力函数并且通过例题求解，熟悉和掌握求解平面问题的基本方法和步骤。

本章学习的困难是应力函数的确定。

虽然课程讨论了应力函数的相关性质，但是应力函数的确定仍然没有普遍的意义。

这就是说，应力函数的确定过程往往是根据问题的边界条件和受力等特定条件得到的。

二、重点1、平面应变问题；2、平面应力问题；3、应力函数表达的平面问题基本方程；4、应力函数的性质；5、典型平面问题的求解。

§6.1 平面应变问题学习思路:对于弹性力学问题，如果能够通过简化力学模型，使三维问题转化为二维问题，则可以大幅度降低求解难度。

平面应变问题是指具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束的弹性体。

这种弹性体的位移将发生在横截面内，可以简化为二维问题。

根据平面应变问题定义，可以确定问题的基本未知量和基本方程。

对于应力解法，基本方程简化为平衡微分方程和变形协调方程。

学习要点：1、平面应变问题；2、基本物理量；3、基本方程；4、应力表示的变形协调方程1、平面应变问题部分工程构件，例如压力管道、水坝等，其结构及其承载形式力学模型可以简化为平面应变问题，典型实例就是水坝，如图所示这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。

附录Ⅱ习题解答提示与参考答案第二章应力理论2-1 ζn=ζ1l2+ζ2m2,；式中l、m、n为斜截面外法线的方向余弦。

2-2 p=111.5A；ζn=26A；ηn=108.5A2-3 提示：平面Ax+By+C z+D=0的外法线的方向余弦为：(式中i=1，2，3或A，B，C)答案：2-4 略2-5 (a)ζ1=738.5；ζ2=600；ζ3=-338.5；ηmax=538.5；应力单位为MPa。

(b)ζ1=700；ζ2=600；ζ3=-600；ηmax=650；应力单位为MPa。

2-6 ζ1=3.732η0；ζ2=-0.268η0；α=15º。

2-7 (材料力学解) 应力单位为MPa。

(弹塑性力学解) 应力单位为MPa。

2-8 ζ1=107.3a；ζ2=44.1a；ζ3=-91.4a；ζ1主方向：(±0.314，0.900，0.305)；ζ2主方向：(±0.948，±0.282，±0.146)；ζ3主方向：(0.048，±0.337，0.940)。

2-9；ζ2=0；ζ3=-ζ1。

2-10、2-11 略2-12 (1)略；(2)ζ8=ζm=5.333MPa；η8=8.654MPa。

2-13 p8=59.5；ζ8=25.0a；η8=54.1a。

2-14上式中S为静矩。

材料力学解不满足平衡微分方程和边界条件。

2-15，Q为梁横截面上的剪力。

提示：利用平衡微分方程求解。

2-16 ζ1=17.083×103Pa；ζ2=4.917×103Pa；ζ3=0,∂=40º16′。

2-17 略2-18 2。

2-19 提示：将三个主方向的三组方向余弦分别两两一组代人式(2-12)证之。

2-20 。

2-21 在AA′上：ζx=-γy，ηxy=0；在AB上：ηxy=0，ζy=-γh；在BB′上：l1=cosα，l2=-sinα，l3=0；则应力分量满足关系式：2-22 。

弹塑性⼒学定理和公式应⼒应变关系弹性模量||⼴义虎克定律1.弹性模量对于应⼒分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常⽤的弹性常数包括:a弹性模量单向拉伸或压缩时正应⼒与线应变之⽐,即b切变模量切应⼒与相应的切应变之⽐,即c体积弹性模量三向平均应⼒与体积应变θ(=εx+εy+εz)之⽐,即d泊松⽐单向正应⼒引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之⽐,即此外还有拉梅常数λ。

对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独⽴的。

常⽤弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。

室温下弹性常数的典型值见表3-2 弹性常数的典型值。

2.⼴义虎克定律线弹性材料在复杂应⼒状态下的应⼒应变关系称为⼴义虎克定律。

它是由实验确定，通常称为物性⽅程，反映弹性体变形的物理本质。

A各向同性材料的⼴义虎克定律表达式（见表3-3 ⼴义胡克定律表达式）对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应⼒公式中的x 、y、z分别⽤r、θ、z和r、θ、φ代替。

对于平⾯极坐标，表中平⾯应⼒和平⾯应变公式中的x、y、z⽤r、θ、z代替。

B⽤偏量形式和体积弹性定律表⽰的⼴义虎克定律应⼒和应变量分解为球量和偏量两部分时，虎克定律可写成更简单的形式，即体积弹性定律应⼒偏量与应变偏量关系式在直⾓坐标中，i,j=x,y,z；在圆柱坐标中，i,j=r,θ,z,在球坐标中i,j=r,θ,φ。

弹性⼒学基本⽅程及其解法弹性⼒学基本⽅程|| 边界条件|| 按位移求解的弹性⼒学基本⽅法|| 按应⼒求解的弹性⼒学基本⽅程|| 平⾯问题的基本⽅程|| 基本⽅程的解法|| ⼆维和三维问题常⽤的应⼒、位移公式1.弹性⼒学基本⽅程在弹性⼒学⼀般问题中，需要确定15个未知量，即6个应⼒分量，6个应变分量和3个位移分量。

这15个未知量可由15个线性⽅程确定，即(1)3个平衡⽅程[式（2-1-22）]，或⽤脚标形式简写为(2)6个变形⼏何⽅程[式（2-1-29）]，或简写为(3)6个物性⽅程[式（3-5）或式（3-6）]，简写为或2.边界条件弹性⼒学⼀般问题的解，在物体部满⾜上述线性⽅程组，在边界上必须满⾜给定的边界条件。

第六章 弹塑性平面问题任何一个弹塑性体实际上都是空间（三维）物体，且一般的载荷严格说来也是空间力系。

因此，所有弹塑性力学问题实际上都是空间问题,即所有的力学量都是坐标),,(z y x 的函数.但是，当所考察的物体（结构）及其所承受的载荷具有某些特点时,则可将它们近似地看作平面(二维）问题，即所有的力学量都是两个坐标(如y x ,)的函数,从而使问题得简化，且所得解答又具有工程所要求的精度.由第二章知，弹塑性力学平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题两种，本章主要讨论弹塑性平面问题求解的一般方法。

6.1 弹性平面问题的基本方程由第二章己经知道,两类平面问题的基本未知量虽然是完全相同的，但非零的应力分量、应变分量和位移分量不是完全相同的。

1.1平衡方程无论是平面应力问题还是平面应变问题，由于在z 方向自成平衡，因此，两类问题的平衡方程均为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00Y y x X y x yxy xyx σττσ (6。

1—1)1。

2几何方程由于只需要考虑面内的几何关系，因此，对于两类平面向题均有 xvy u ，yv ，xuxy y x ∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=γεε (6.1—2） 由式(6。

1—2)可得到平面问题的变形协调方程为y x xy xyy x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222 （6.1—3） 1。

3本构关系两类平面问题的非零应力分量和应变分量不相同,因此,由广义虎克定律所得本构方程也必然不尽相同.(1)平面应力问题对于平面应力问题，因,0=z σ 0==zx yz ττ,根据广义虎克定律显然有0==zx yz γγ。

因此本构方程为⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+=+-=-=-=xy xy y x z x y y y x x E EE Eτνγσσνενσσενσσε)1(2)()(1)(1 (6。

1—4a ） 或⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+=+-=+-=xyxy x y y y x x E E E γντνεενσνεενσ)1(2)(1)(122（6。