四川省中考数学 考点跟踪突破8 分式方程及其应用

2024成都中考数学第一轮专题复习之第二章第三节分式方程的解法及应用知识精练基础题1.(2023株洲)将关于x的分式方程32x＝1x－1去分母可得()A.3x－3＝2xB.3x－1＝2xC.3x－1＝xD.3x－3＝x2.(2023兰州)方程2x＋3＝1的解是() A.x＝1 B.x＝－1C.x＝5D.x＝－53.(2022毕节)小明解分式方程1x＋1＝2x3x＋3－1的过程如下．解：去分母，得3＝2x－(3x＋3)．①去括号，得3＝2x－3x＋3.②移项、合并同类项，得－x＝6.③化系数为1，得x＝－6.④以上步骤中，开始出错的一步是()A.①B.②C.③D.④4.(2023新都区二诊)某地为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，计划今年春季植树30万棵，由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是()A.30x－30（1＋20%）x＝5B.30x－30 20%x＝5C.3020%x＋5＝30 xD.30（1＋20%）x －30x＝55.(2023十堰)为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为()A.1500x ＋20－800x ＝5B.1500x －20－800x ＝5C.800x －1500x ＋20＝5 D.800x －1500x －20＝56.(2023宜宾)分式方程x －2x －3＝2x －3的解为()A.2B.3C.4D.57.若关于x 的方程2ax ＋3a －x ＝34的解为x ＝1，则a 的值为()A.－3B.3C.－1D.18.(2023邵阳)分式方程2x －1x －2＝0的解是________．9.(2023南充改编)若x ＋1x －6＝0，则x 的值为________．10.(2023苏州)分式方程x ＋1x＝23的解为x ＝________.11.(2023巴中)关于x 的分式方程x ＋m x －2＋12－x ＝3有增根，则m ＝________．12.(2022宁波)定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，a ⊗b ＝1a ＋1b .若(x ＋1)⊗x ＝2x ＋1x ，则x 的值为________．13.(2023广西)解分式方程：2x －1＝1x.14.(2023连云港改编)解方程：3x －5＋2＝x －25－x.15.(2023舟山)小丁和小迪分别解方程xx －2－x －32－x ＝1，过程如下：小丁：解：去分母，得x －(x －3)＝x －2，去括号，得x －x ＋3＝x －2，合并同类项，得3＝x －2，解得x ＝5，∴原方程的解是x ＝5.小迪：解：去分母，得x ＋(x －3)＝1.去括号，得x ＋x －3＝1.合并同类项，得2x －3＝1.解得，x ＝2.经检验x ＝2是方程的增根，原方程无解.你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“”，并写出你的解答过程．16.“爱成都·迎大运”，成都大运会在召开之际，“2023年天府绿道健康行活动”重磅开启，某体育运动器材商店的滑板和护具成了热销商品，已知滑板比护具的进价高50元，商店用4000元购进的滑板与用3000元购进的护具数量一样多，求滑板和护具的进价．拔高题17.(2023日照)若关于x 的方程x x －1－2＝3m 2x －2的解为正数，则m 的取值范围是()A.m >－23B.m <43C.m >－23且m ≠0D.m <43且m ≠2318.(2023眉山)关于x 的方程x ＋m x －2－3＝x －12－x 的解为非负数，则m 的取值范围是________．19.已知关于x 的分式方程3－2x x －3＋9－mx3－x ＝－1无解，则m 的值为________．20.(2023河北)根据表中的数据，写出a 的值为________，b 的值为________.参考答案与解析1.A 【解析】32x ＝1x －1，去分母得3(x －1)＝2x ，整理得3x －3＝2x .2.B【解析】去分母得2＝x ＋3，解得x ＝－1.3.B 【解析】1x ＋1＝2x3x ＋3－1，去分母，得3＝2x －(3x ＋3)，去括号，得3＝2x －3x －3，移项，得－2x ＋3x ＝－3－3，合并同类项，得x ＝－6，∴以上步骤中，开始出错的一步是②.4.A5.A 【解析】设每个足球的价格为x 元，则每个篮球的价格为(x ＋20)元，由题意得1500x ＋20－800x ＝5.6.C 【解析】去分母得x －2＝2，移项得x ＝4，经检验，x ＝4是原分式方程的解．7.A【解析】把x ＝1代入方程2ax ＋3a －x ＝34中，得2a ＋3a －1＝34，在方程两边同乘4(a －1)，得4(2a ＋3)＝3(a －1)，解得a ＝－3.经检验a ＝－3是方程的解．8.x ＝4【解析】去分母得2(x －2)－x ＝0，解得x ＝4，经检验，x ＝4是方程的解．9.－1【解析】根据题意，得x ＋1＝0且x －6≠0，解得x ＝－1.10.－3【解析】将分式方程化为整式方程为3x ＋3＝2x ，解得x ＝－3，经检验，x ＝－3是原分式方程的解．11.－1【解析】方程两边同时乘(x －2)，得x ＋m ＋(－1)＝3(x －2)，∴m ＝2x －5.∵原方程有增根，∴x －2＝0，∴x ＝2，∴m ＝2x －5＝－1.12.－12【解析】根据题意得：1x ＋1＋1x ＝2x ＋1x，化为整式方程得x ＋x ＋1＝(2x ＋1)(x＋1)，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝－12，检验：当x ＝－12时，x (x ＋1)≠0，∴原方程的解为x ＝－12.13.解：方程两边同乘x (x －1)得2x ＝x －1，移项解得x ＝－1.当x ＝－1时，x (x －1)≠0，∴x ＝－1是原分式方程的解．14.解：方程两边同时乘(x －5)，得3＋2(x －5)＝－(x －2)，整理化简得3x －9＝0，解得x ＝3，经检验，当x ＝3时，(x －5)≠0，∴原分式方程的解为x ＝3.15.解：小丁和小迪的解法都不正确，正确步骤如下：xx －2－x －32－x ＝1，两边同乘(x －2)，去分母得x ＋x －3＝x －2，移项，合并同类项得x ＝1，检验：将x ＝1代入(x －2)中可得，1－2＝－1≠0，则x ＝1是分式方程的解，∴原分式方程的解是x ＝1.16.解：设滑板的进价是x 元/个，则护具的进价是(x －50)元/个，根据题意得4000x ＝3000x －50，解得x ＝200，经检验，x ＝200是所列方程的解，且符合题意，∴x －50＝200－50＝150.答：滑板的进价是200元/个，护具的进价是150元/个．17.D 【解析】解方程得，x ＝2－32m ，∵x 为正数，∴2－32m >0，解得m <43，由题意得，分式方程中分母不为0，故x －1≠0，∴x ≠1，即2－32m ≠1，解得m ≠23，∴m 的取值范围是m <43且m ≠23.18.m ≥－5且m ≠－3【解析】去分母，得x ＋m －3(x －2)＝1－x ，解得x ＝m ＋5.∵关于x 的方程x ＋m x －2－3＝x －12－x 的解为非负数，∴m ＋5≥0，解得m ≥－5.∵x －2≠0，∴m ＋5－2≠0，即m ≠－3，∴m 的取值范围是m ≥－5且m ≠－3.19.1或4【解析】去分母得，3－2x －9＋mx ＝－x ＋3，整理得，(m －1)x ＝9，∴当m －1＝0，即m ＝1时，方程无解；当m －1≠0，即m －1≠0时，由分式方程无解，可得x －3＝0，即x ＝3，把x ＝3代入(m －1)x ＝9，解得m ＝4，综上，m 的值为1或4.20.52，－2【解析】根据表格可知，当x ＝2时，2x ＋1x ＝2×2＋12＝52＝a ，当x ＝n 时，2n＋1n＝1，解得n＝－1(使分母不为0，符合题意)，当x＝n时，3n＋1＝b，将n＝－1代入，得3×(－1)＋1＝b，解得b＝－2.。

第一部分基础知识梳理详解点一、分式方程的观点分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

分式方程的重要特点是：①含分母；②分母里含未知数。

分式方程和整式方程的差别就在于分母中能否含有未知数。

比如： 1 1 0 ；x24是分式方程；x 2 4 x是整式方程，不是分式方程。

x x 3 32 3 5详解点二、分式方程的解法1、解分式方程的思想和方法2、解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在分式方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程，得出整式方程的根；（3）验根，把整式方程的根代入最简公分母（或原方程）查验，看结果是不是零，使最简分母为零的根是原方程的增根，一定舍去。

（4）写出分式方程的根。

详解点三、分式方程的增根1、分式方程的增根是适合去分母后的整式方程但不适合原方程的根；2、增根产生的原由：分式方程自己隐含着分母不为0 的条件，我们在解分式方程时，为去分母，要在方程两边同时乘以各分母的最简公分母，当最简公分母为0 时，就产生了增根。

3、清除增根的方法因为产生增根的原由是在方程的两边同时乘以了“隐形”的零——最简公分母，所以，判断是不是增根，应将整式方程的解代入最简公分母，假如最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原方程的解；否则，这个解不是原分式方程的根。

详解点四、列分式方程解应用题1、列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题近似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、适合设未知数、确立主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等重点环节，进而正确列出方程，并进行求解．此外，还要注意从多角度思虑、剖析、解决问题，注意查验、解说结果的合理性．2、列分式方程解应用题的步骤：（1）审：审清题意，找出相等关系和数目关系（2）设：依据所找的数目关系设出未知数（3）列：依据所找的相等关系和数目关系列出方程（4）解：解这个分式方程（5）检：对所解的分式方程进行查验，包含两层，不单要对实质问题存心义，还要对分式方程存心义注：分式方程的应用与一元一次方程应用题近似，不一样的是要注意查验；（6）答：写出分式方程的解第二部分例题分析例题 1、以下对于 x 的方程x 1 2 ，9000 1500 ，300 - 480 4 ，x-2=0，xx -1 ， 2 3 ，x x x 3000 x2x 3 2 x - 1 x 4x-5=0 ，哪些是整式方程，哪些是分式方程例题 2、解分式方程：（1） 300 - 480 4 ；（2）2 - x 1-2；x2x x - 3 3 - x（ 3）x 5 1 （4）129 2 = 12x 5 5 2x x 2 x 3 x+3（ 5）x2 16 x 2 （ 6）x 1 x2 x x 2 x2 4 x 2 2 x 2 2 x2 5x 6 x 3【变式练习1】6x x 2（2）x+6 1解方程：（1）x 3 0x+3 2 =x 3 x 9 x 3例 2、a为什么值时，方程x2a会产生增根x 3 x 3【变式练习 2】（ 1）分式方程x23x 0 的增根是．x 3（ 2）若分式方程x 2 a 有增根，则 a ．4x x 4例 3．甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖. 甲进货的策略是：每次买1000 元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000 斤糖，近来他俩同去买进了两次价钱不一样的糖，问两人中谁的均匀价钱低一些【变式练习 3】甲开汽车，乙骑自行车，从相距 180 千米的 A 地同时出发到 B．若汽车的速度是自行车的速度的2 倍，汽车比自行车早到 2 小时，那么汽车及自行车的速度各是多少【变式练习4】 A 、 B 两地行程为150 千米，甲、乙两车分别从A、 B 两地同时出发，相向而行， 2 小时后相遇，相遇后，各以本来的速度持续行驶，甲车到达 B 后，立刻沿原路返回，返回时的速度是本来速度的2 倍，结果甲、乙两车同时到达 A 地，求甲车本来的速度和乙车的速度．【变式练习5】甲、乙两地相距50 千米， A 骑自行车， B 乘汽车同时从甲城出发去乙城，已知汽车的速度是自行车速度的倍,B 半途歇息了半个小时, 还比 A 早到 2 小时 , 求 A 和 B 两人的速度【变式练习6】、轮船顺流航行100 千米所需的时间和逆水航行80 千米所需的时间同样，已知水流速度为2 千米 / 小时，求船在静水中的速度。

考点跟踪突破8综合性学习一、好习惯决定人的一生，某班召开了“好习惯，好未来”的主题班会，请你为这次班会写一段开场白。

50字左右。

示例：同学们，在人的一生中，会养成许多的习惯。

播下一种习惯，你将收获一种性格；播下一种性格，你将收获一种命运。

二、(2017盘锦)综合性学习。

【材料一】我国已成为全球最大的智能手机生产国和消费国，但旧手机回收率不足2%，很多人家里都有一堆废旧手机。

电子产品如果散扔会对环境造成污染，大量手机被闲置也是对其经济价值的浪费。

【材料二】一部智能手机制作过程中加入的挥发性溶剂含有铅、铬、水银等金属，如果随意抛弃，重金属会进入土壤和地下水，严重威胁生态环境和人类健康。

而手机的锂电池都有寿命，放置太久就有发生火灾的危险。

【材料三】“我的手机上有银行账户、密码等个人信息，就算都删了，估计黑客还是能通过技术恢复。

”家住盘锦市兴隆台区的王先生感慨，“我可不想为了几百块钱把手机卖给街边收手机的，谁知道他们会不会泄露信息？太冒险了，还是放在家里吧！”阅读上述三则材料，请你为废旧手机的回收提出合理化的建议。

(至少两条)(1)建议主管部门制定或完善相关法律法规。

(2)建立规范有序的废旧手机回收体系。

(3)加大对手机用户隐私的保护力度。

(4)宣传回收废旧手机的益处。

三、文学，可以带领我们走进过去和未来，让我们的心灵找到归宿。

我们现在就要成立班级小小图书馆，开展借书捐书和读书活动。

1．假如你是这次活动的发起人，你将用怎样富有鼓动性的话号召同学们参加活动，积极热情地给班级小小小图书馆捐书并热爱读书？至少使用一种修辞。

例如：亲爱的同学们，让我们进行一次关于文学的志愿活动，众人拾柴火焰高，众人划桨开大船，请慷慨大方地带着你的爱书一起走进我们的小小图书馆吧，让我们燃起文学的热情，遨游于文学的海洋，一起感受成长的喜悦。

2．赵晓亮从图书馆借去《朝花夕拾》一个多月了，作为图书管理员你想让他快点把书还回，该怎样跟他说明，既让他养成及时还书的习惯，又不伤害你与他之间的感情？例如：赵晓亮同学，你捐的书我已经仔细读完了，是一本好书，我读完它只用了一个星期的时间。

第8讲 分式方程及其应用1．分式方程定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程解法分式方程转化为整式方程，解方程，求出解，代入最简公分母进行检验，得出分式方程的解．3．分式方程的增根使最简公分母为0的根．注意：分式方程的增根和无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．4．分式方程的实际应用(1)分式方程的实际应用常见类型及关系：①工程问题：工作效率＝工作量工作时间；工作时间＝工作量工作效率； ②销售问题：售价＝标价×折扣；③行程问题：时间＝路程速度. (2)解分式方程的实际应用问题的一般步骤：①审：审清题意；②设：设出适当的未知数(直接设未知数或者间接设未知数)；③找：找出各量之间的等量关系；④列：根据等量关系，列出分式方程；⑤解：解这个分式方程；⑥验：检验所求的解是否是原分式方程的解，是否满足题意；⑦答：写出答案．审清题意是前提，找等量关系是关键，列出方程是重点．考点1：分式方程的解法【例题1】解方程：23x －1－1＝36x －2. 【解答】解：方法一：去分母，得4－2(3x －1)＝3.解得x ＝12. 检验：当x ＝12时，2(3x －1)≠0， ∴x ＝12是原分式方程的解． 方法二：设3x －1＝y 则原方程可化为2y －1＝32y， 去分母，得4－2y ＝3.解得y ＝12. ∴3x －1＝12.解得x ＝12. 检验：当x ＝12时，6x －2≠0， ∴x ＝12是原分式方程的解． 方法三：移项，得23x －1－36x －2＝1. 通分，得16x －2＝1. 由分式的性质，得6x －2＝1.解得x ＝12. 检验：当x ＝12时，6x －2≠0， ∴x ＝12是原分式方程的解． 归纳：把分式方程转化为整式方程，再按照解整式方程的步骤解题，不同的是解分式方程需要验根． 考点2：分式方程的应用【例题2(2018·某某)如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．解分式方程：甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度．冰冰：400x ＝600x ＋20庆庆：600y －400y＝20 根据以上信息，解答下列问题．(1)冰冰同学所列方程中的x 表示甲队每天修路的长度；庆庆同学所列方程中的y 表示甲队修路400米所用时间；(2)两个方程中任选一个，并写出它的等量关系；(3)解(2)中你所选择的方程，并回答老师提出的问题．【解析】：(2)冰冰用的等量关系是：甲队修路400米所用时间＝乙队修路600米所用时间；庆庆用的等量关系是：乙队每天修路的长度－甲队每天修路的长度＝20米(选择一个即可)．(3)选冰冰的方程：400x ＝600x ＋20，解得x ＝40. 经检验，x ＝40是原方程的根．答：甲队每天修路的长度为40米．选庆庆的方程：600y －400y＝20，解得y ＝10. 经检验，y ＝10是原方程的根．∴400y＝40. 答：甲队每天修路的长度为40米．归纳：列方程解实际问题时，必须验根，既要检查所求解是否为分式方程的增根，又要检查看是否满足应用题的实际意义．考点3：分式方程与其它问题的综合应用【例题3】（2019•某某潍坊•10分）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计．）【分析】（1）由去年这种水果批发销售总额为10万元，可得今年的批发销售总额为10（1﹣20%）＝12万元，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为（x+1）元，可列出方程：120000100000-=10001x x+，求得x即可（2）根据总利润＝（售价﹣成本）×数量列出方程，根据二次函数的单调性即可求最大值．【解答】解：（1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为（x+1）元，今年的批发销售总额为10（1﹣20%）＝12万元∴120000100000-=10001x x+整理得x2﹣19x﹣120＝0解得x＝24或x＝﹣5（不合题意，舍去）故这种水果今年每千克的平均批发价是24元．（2）设每千克的平均售价为m元，依题意由（1）知平均批发价为24元，则有w＝（m﹣24）（413m-×180+300）＝﹣60m2+4200m﹣66240整理得w＝﹣60（m﹣35）2+7260∵a＝﹣60＜0∴抛物线开口向下∴当m＝35元时，w取最大值即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元归纳：最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．一、选择题：1. （2019，某某某某，4分）解分式方程11=22xx x---﹣2时，去分母变形正确的是（）A．﹣1+x＝﹣1﹣2（x﹣2）B．1﹣x＝1﹣2（x﹣2）C．﹣1+x＝1+2（2﹣x）D．1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）【答案】D【解答】解：去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），故选：D．2. （2019•某某省聊城市•3分）如果分式的值为0，那么x的值为（）A．﹣1B．1C．﹣1或1D．1或0【答案】B【解答】解：根据题意，得|x|﹣1＝0且x+1≠0，解得，x＝1．故选：B．3. （2018某某）（3.00分）分式方程=0的解是（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．无解【答案】B【解答】两边都乘以x+1，得：x2﹣1=0，解得：x=1或x=﹣1，当x=1时，x+1≠0，是方程的解；当x=﹣1时，x+1=0，是方程的增根，舍去；所以原分式方程的解为x=1，故选：B．4.（2019•某某株洲•3分）关于x 的分式方程﹣＝0的解为（ ）A ．﹣3B ．﹣2C ．2D ．3【答案】B 【解答】解：去分母得：2x ﹣6﹣5x ＝0，解得：x ＝﹣2，经检验x ＝﹣2是分式方程的解，故选：B ． 5. 若数使关于x 的不等式组112352x x x x a-+⎧<⎪⎨⎪-≥+⎩有且只有四个整数解，且使关于y 的方程2211y a a y y ++=--的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为( )A ． -3B ． -2C ．1D ．2【答案】C解析：解不等式115232524x x x a x x x a -+<⎧⎧<⎪⎪⎨⎨+≥⎪⎪-≥+⎩⎩得，由于不等式有四个整数解，根据题意A 点为42+a ，则1420≤+<a ，解得22≤<-a 。

四川省中考数学考点跟踪突破8分式方程及其应用凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。

古人云，读书百遍，其义自见。

谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。

余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

一、多项选择题（每个子题6分，共30分）1．(2021济宁)解分式方程＋＝3时，去分母后变形为(d)a、 2＋（x＋2）＝3（x－1）b.2－x＋2＝3（x－1）c.2－x＋2＝3（1－x）d.2－x＋2＝3（x－1）2．(2021常德)分式方程＋＝1的解为(a)a、 1b.2c。

d、 03。

（2022乌鲁木齐）九年级学生参观了距离学校10公里的博物馆，一些学生骑马参观自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．设骑车学生的速度为xkm/h，则列出的正确等式是（c）a.＝－b.＝－20c.＝＋d.＝＋204．(2021黑龙江)已知关于x的分式方程＋＝1的解是非负数，则m的取值范围是（c）a．m＞2b．m≥2c．m≥2且m≠3d．m＞2且m≠35.志愿者a计划在几个工作日内完成社区的某项工作。

从第三个工作日开始，志愿者B志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成这项工作的天数为（a）a．8b．7c．6d．5二、填空题(每小题6分，共30分)6.（2022酒泉）分数阶方程的解=is_uux＝2_uuux。

7．(2021天水)若关于x的方程－1＝0有增根，则a的值为__－1__．8．(2021黑龙江)关于x的分式方程－＝0无解，则m＝__0或－4__．9．(2021通辽)某市为处理污水，需要铺设一条长为5000m的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设20m，结果提前15如果最初的计划是每天铺设XM管道，则方程式-=15。