种群J型增长曲线的增长率和增长速率的辨析

高中生物中有关种群数量增长率和增长速率的比较作者：姜文珺来源：《文学教育·中旬版》2017年第01期种群数量变化曲线是高中生物选修三《稳态与环境》中的重要考查内容，常见的题型一般有根据图像判断种群变化所对应的曲线模型，或者判断种群增长率与种群增长速率之间的区别与联系。

种群增长率与种群增长速率之间虽然只相差一个字，但是其所表示的内容却完全不同，高中考生往往很容易将两者概念混淆，导致在做题与日常学习中犯不该犯的错误。

而有关种群的增长，在理想和自然条件下，建立了两种不同的模型，本文将从两种模型分析和讨论增长率与增长速率之间的联系与区别，使大家更好的辨析这两种概念。

一.种群增长率与种群增长速率1.种群增长率的定义与计算公式。

种群增长率：种群在一定的时间内，增加的个体数量占原有数量的比例，称为增长率。

一般还可以认为是出生率与死亡率的差值。

计算公式=（现在的种群个数-原来的种群个数）/原来的种群个数=出生率-死亡率特点：增长率只是数值，不存在“单位”。

其意义在于看新增加个体数的占比。

2.种群增长速率。

增长速率：指新增加的个体数与时间的比值，即在单位时间内种群新增加的个数。

单位一般为“个/年”或者“个/分钟”。

计算公式=（现在的种群个数-原来的种群个数）/增长所用时间特点：种群的增长速率是数量-时间曲线上各个时间点的斜率，有单位，并且在不同的种群模型曲线中，变化不同，其意义在于看数量在单位时间内的变化。

3.联系与区别。

增长率与增长速率都与种群数量变化相关，两者的关系有点类似于高中物理中所学的速度与加速度的关系，增长率始终都是数值，而增长速率是一个比值。

二.J型曲线模型1.模型假设条件。

在理想的条件下，空间条件充裕，气候适宜，食物富足，没有任何天敌的情况下，种群个体数量在一定的时间内将以倍数的形式增长，设定增长倍数为a，而a在理想条件下为定值，保持不变。

在自然界中，一般不存在该种情况，可能会在种群迁入新环境的前期发生。

高中生物必修三“J型”和“S型”曲线增长率和增长速率辨析作者：苗纪强来源：《新教育时代·教师版》2018年第27期人教版高中生物必修三稳态与环境，第四章第二节“种群的数量变化”一节中，“J型曲线”和“S型曲线”的种群增长率和增长速率的区分在高中教学中是一个难点也是易混易错点，学生往往对这两个概念理解不清，在查阅资料和总结题型分析的基础上，笔者就这两个高中生经常容易混淆的概念进行明确的区分和推理。

一、这两个概念本质不同，所用的单位也不同增长率：指单位时间内种群数量的变化率，即种群在单位时间内净增加的个体数占初始个体总数的比率。

增长率=（现有数量-原有数量）/原有的数量×100%=出生率-死亡率推导过程：设：求1年内的增长率，设原来为N0一年后变为N1则：增长率=（N0-N1）＼N0，N1=N0+（新出生个体数-死亡个体数），把N1带入（N0-N1）＼N0，可以得到：增长率=（新出生个体数-死亡个体数）＼N0=出生率-死亡率。

增长速率：增长速率是指单位时间种群增长数量。

增长速率=（现有数量-原有数量）/时间所以第一个区分，两者在概念及单位上不同。

增长率是增长量和原有数量的比值，它的单位是百分之几，而增长速率是增长量和时间的比值，他的单位是：只/年或株/年。

比如“一个种群有1000个个体，一年后增加到1100”，则该种群的增长率为[（1100-1000）/1000]*100%=10%。

而增长速率为（1100-1000）/1年=100个/年。

二、两者的曲线图差距很大（一）J型曲线的分析1.模型假设在食物和空间条件充裕、气候适宜、没有敌害等条件下，种群的数量每年以一定的倍数增长，第二年是第一年的λ倍。

2.对模型假设的分析：从模型假设不难得出：λ=现有个体数/原有个体数。

增长率为（N0λt+1-N0λt）＼N0λt，化简之后可以得到增长率等于（λ-1），λ不变，增长率（λ-1）也就不变。

议一议种群增长率和增长速率【摘要】研究种群数量增长时，涉及到两个非常重要的概念，即增长率和增长速率，本文针对这两个概念再进行讨论一下，以供同行参考。

【关键词】增长率；增长速率【中图分类号】g623.58【文章标识码】c 【文章编号】1326-3587（2011）11-0020-02关于增长率和增长速率的争论，从来就没有停止过，很多资料说法不一，就连高考题中，也把它们混为一谈，给广大教师及考生带来不便，下面针对这两个概念笔者谈谈自己的看法。

一、两个概念的定义种群增长速率是指种群在单位时间内的增长量，而增长率是指在单位时间内单位数量上的增长量，也就是出生率减去死亡率。

不妨设种群在t1时数量为n1，在t2时数量为n2，则t1→t2这段时间内种群的增长速率为（n2﹣n1）/（t2﹣t1），种群的增长率为（n2﹣n1）/〔n1（t2﹣t1）〕，很明显两者的关系是：增长速率除以增长前的种群数量就是增长率。

二、几种种群增长理论模型下的增长率与增长速率1、种群的指数增长。

在无限环境（环境中的空间、食物等资源是无限的）或近似无限环境条件下，一些种群的数量按指数增长，其增长曲线像”j”型，也叫“j”型增长。

指数增长又分为世代分离种群的指数增长和世代重叠种群的指数增长。

1.1 世代分离种群的指数增长。

如果所研究的种群为世代不重叠的生物，即一个世代只生殖一次，那么有公式nt =n0λt式中：n0为该种群的起始数量，是个定值；t为世代，是个变量；λ为世代的净繁殖率，是个定值；nt为t世代种群大小，是个随t 变化而变化的变量。

种群的增长速率等于（nt+1－nt）/〔t+1）－t〕= n0λt+1－n0λt = n0λt（λ－1），而种群增长率等于增长速率除以增长前的种群数量，即n0λt（λ－1）/ n0λt =λ－1。

很明显种群的增长速率随t的增大而增大，但增长率是不变的。

1.2 世代重叠种群的指数增长。

大多数种群的繁殖都要延续一段时间并且有世代重叠，就是说在任何时候，种群中都存在不同年龄的个体。

种群的增长率和增长速率有什么区别？在教学过程中，涉及到种群数量变化的“J”型曲线和“S”型曲线中有关增长率和增长速率的问题，有些老师讲不清楚，学生也感到困惑。

那么增长率和增长速率到底是怎么一回事？我谈下自己的一些看法。

一、两个概念之间的比较1、种群增长率是指单位数量的个体在单位时间内新增加的个体数，计算公式：种群增长率=（Nt2-Nt1）/Nt1。

如某种群现有数量为a，一年后，该种群数量为b，那么该种群在当年的增长率为（b-a）/a，设一年后出生的个体数为c，死亡的个体数为d，则b=a+c-d，增长率=（b-a）/a=（a+c-d-a）/a=c/a-d/a，根据出生率和死亡率的概念，c/a，d/a分别为出生率和死亡率，即增长率=出生率-死亡率。

2种群增长速率是指单位时间内新增加的个体数，计算公式：种群增长速率==（Nt2-Nt1）/t2-t1。

同样，如果某种群现有数量为a，一年后，该种群数量为b，其种群增长速率为：（b-a）/年。

由此可知，增长速率≠增长率。

二、对两种曲线的理解1、种群增长的“J”型曲线—指数级增长（1）环境条件：没有任何限制因素。

在这种条件下，影响种群数目变动的因素只有自然出生率和死亡率，由于环境能提供足够的充裕的生活条件（这种条件的环境在自然界几乎不存在），种群内不同个体的生理寿命长，因而出生率远大于死亡率，其种群数目连续增长而没有下降。

（2）“J”型数量增长的两种情况A、实验室条件下；B、当一种种群刚迁入一个新的适宜环境时。

（3）种群数量的变化表达式数学表达式：Nt=N0λt2、种群增长的“S”型曲线（1）产生的原因：在自然界中，食物有限，空间有限，又存在该种生物的天敌，还有疾病，自然灾害等，也就是是所谓的“环境阻力”，这些因素的存在都会使一个自然的种群不可能按“J”型曲线增长，（2）环境容纳量——K值一定空间中所能维持的种群的最大数量称为K值。

当种群数量达到环境条件所允许的最大值时，种群数量将停止增长，并维持在K值范围附近。

种群数量增长的几种数学曲线模型例析吉林省梨树县第一高级中学姜万录种群生态学研究的核心是种群的动态问题。

种群增长是种群动态的主要表现形式之一，它是在不同环境条件下，种群数量随着时间的变化而增长的状态。

数学曲线模型能直观反映种群数量增长的规律，它能达到直接观察和实验所得不到的效果。

为了更好理解种群数量增长规律，下面结合实例介绍种群数量增长的几种数学曲线模型。

1．种群数量增长曲线模型种群在“无限”的环境中，即环境中空间、食物等资源是无限的，且气候适宜、没有天敌等理想条件下，种群的增长率不随种群本身的密度而变化，种群数量增长通常呈指数增长。

也就是说，种群数量每年以一定的倍数增长，第二年的数量是第一年的λ倍，t年后种群数量为N t＝N0λt，如果绘成坐标图指数式增长很像英文字母“J”，称之为“J”型增长曲线。

然而自然种群不可能长期地呈指数增长。

当种群在一个有限的环境中，随着密度的上升，个体间对有限的空间、食物和其他生活条件的种内斗争也将加剧，加之天敌的捕食，疾病和不良气候条件等因素必然要影响到种群的出生率和死亡率，从而降低了种群的实际增长率，一直到停止增长。

种群在有限环境条件下连续增长称之为逻辑斯谛增长，这种增长曲线很像英文字母“S”，称之为“S”型增长曲线。

两种类型种群增长模型如右图所示。

例1．右图为某种群在不同环境的增长曲线，据图判断下列说法不正确的是 ( D )A．A曲线呈“J”型，B曲线呈“S”型B．改善空间和资源有望使K值提高C．阴影部分表示有环境阻力存在D．种群数量达到K值时，种群增长最快解析：由图可知，A曲线呈“J”型增长，B曲线呈“S”型增长。

在种群生态学中，环境容纳量（K值）是指在环境条件不受破坏的情况下，一定空间中所能维持的种群最大数量。

环境容纳量是一个动态的变量，只要生物或环境因素发生变化，环境容纳量也就会发生相应的变化。

因此，改善空间和资源有望使K值提高。

图像中阴影部分表示环境阻力所减少的生物个体数，代表环境阻力的大小。

③当反应达到平衡时ꎬＸ气体被消耗０.０５Ｖꎻ④当反应达到平衡时ꎬＹ气体被消耗０.０５Ｖ.Ａ.②③㊀Ｂ.②④㊀Ｃ.①③㊀Ｄ.①④解析㊀首先ꎬ教师们可以引导学生们根据题意ꎬ列出相应反应关系式:Ｘ(ｇ)＋３Ｙ(ｇ) ２Ｚ(ｇ)㊀ΔＶ起始量/Ｌ１３０２变化量/Ｌ０.０５Ｖ０.１５Ｖ０.１Ｖ０.１Ｖ根据差量法对题目以及化学反应式进行分析可以知道气体Ｘ在反应的过程中被消耗了０.０５Ｖꎬ即③正确.同时ꎬ也可以知晓当反应达到平衡状态时ꎬ气体的体积减少了０.１Ｖ.从而可以知道反应前的混合气体体积为Ｖ＋０.１Ｖ＝１.１Ｖ.故②正确.故该题目答案选Ａ.㊀㊀三㊁守恒法守恒法是化学解题过程中较为常用的方法ꎬ主要根据个数守恒㊁电子个数守恒㊁质量守恒㊁浓度守恒㊁物质的量等对物质进行化学反应的某一特定的量保持不变或成比例进行列式计算并求解.守恒法的运用能够有效省去复杂的计算过程ꎬ提高学生化学解题的能力.例３㊀有ａｍｏｌＮ２和ｂｍｏｌＨ２进行反应并达到平衡时ꎬ生成了ｃｍｏｌ的ＮＨ３ꎬ请问当反应达到平衡后ꎬ混合气体中氨(ＮＨ３)的质量分数为多少?解析㊀在该例题的求解中ꎬ运用质量守恒的定理进行求解可以知道平衡时混合气体的质量等于起始Ｎ２和Ｈ２的质量之和为(２８ａ＋２ｂ)ｇ.进而根据题意的关系式为:Ｎ２(ｇ)＋３Ｈ２(ｇ) ２ＮＨ３(ｇ)ꎬ从而可以得到ｗ(ＮＨ３)＝１７ｃ２８ａ＋２ｂˑ１００％.除了质量守恒外ꎬ教师们还可以在课堂中指导学生们运用物料守恒㊁电子守恒㊁电荷守恒对相应的题目进行求解.总之ꎬ平衡计算题的解题技巧有很多ꎬ除了三步法㊁差量法㊁守恒法以外ꎬ教师们也可以教授学生们估算法㊁赋值法㊁极端假设法等多种解题方法ꎬ帮助学生掌握解题的技巧ꎬ促使学生们能够提升相应的解题能力ꎬ从而使得学生们能够在类似题型中能够灵活运用这些方法.㊀㊀参考文献:[１]罗孟军.高中化学等效平衡探究[Ｊ].高中数理化ꎬ２０１７(１０):５１－５２.[２]王宏斌.高中化学中对化学平衡的巧用探究[Ｊ].考试周刊ꎬ２０１９(４４):２７.[责任编辑:季春阳]种群增长曲线中增长率和增长速率的辨析刘㊀松(广东省珠海市实验中学金湾学校㊀５１９０００)摘㊀要:对中学生物的种群增长曲线中增长率和增长速率的概念进行了分析.关键词:增长率ꎻ增长速率ꎻ曲线ꎻ高中生物中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２８－０１０４－０２收稿日期:２０２０－０７－０５作者简介:刘松(１９８５.１０－)ꎬ男ꎬ安徽省凤台人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中生物教学研究.㊀㊀在高中生物教学中在种群增长曲线的教学是一个重难点ꎬ现存教辅资料中多将增长率和增长速率混为一谈ꎬ尤其是２０１７年新课标全国Ⅰ卷第５题的出现使得该争议更加频繁出现.现尝试对上述概念进行辨析ꎬ为教学提供建议.㊀㊀一㊁明晰概念增长率:种群在单位时间内单位个体净增加的个体数ꎬ即:(Ｎｔ＋１－Ｎｔ)/(ＮｔˑΔｔ)ꎻ增长速率:种群在单位时间内增加的个体数ꎬ即:(Ｎｔ＋１－Ｎｔ)/Δｔꎻ部分资料书认为增长率就是个百分值ꎬ在此教师可以通过银行存款年利率和月利率的对比来加以解释ꎬ学生便很好理解增长率的分母中需要考量时间因素.通过比较易知:增长速率＝增长率ˑＮｔ.４０１㊀㊀二㊁种群在资源无限条件下的增长在食物㊁空间无限的条件下大多数生物可以连续生殖ꎬ存在世代重叠且没有特定的生殖期ꎬ此情况下ꎬ种群数量动态变化可用下列微分方程表示:ｄＮｄｔ＝(ｂ－ｄ)Ｎ＝ｒＮ其积分式为Ｎｔ＝Ｎ０ｅｒｔ其中ｂ和ｄ分别代表种群中个体的瞬时出生率㊁死亡率ꎬＮ代表种群数量.在理想条件下种群瞬时增长率等于出生率减去死亡率ꎬ即ｒ.ｒ与λ的关系为:λ＝ｅｒ当λ>１ꎬ则ｒ>０ꎬ种群数量上升ꎻ当λ＝１ꎬ则ｒ＝０ꎬ种群数量稳定ꎻ当λ<１ꎬ则ｒ<０ꎬ种群数量下降.此时种群的增长速率为ｄＮｄｔ＝ｒＮ增长率为１ＮｄＮｄｔ＝ｒ即:在Ｊ型曲线中增长率为定值ꎻ增长速率逐渐增大.㊀㊀㊀三㊁种群在资源有限条件下的增长因自然界食物和空间等总是有限的ꎬ随着种群密度增大ꎬ生存斗争加剧ꎬｂ减小㊁ｄ增大ꎬ即ｒ值会随着种群密度的增大而减小ꎬ直至稳定下来ꎬ种群增长曲线大致呈Ｓ型ꎬ也就是经典的逻辑斯蒂曲线(经典Ｓ型曲线).该曲线假设环境条件对种群增长的阻滞作用随着种群密度的增加而按比例增加且存在环境容纳量Ｋ值.种群增长曲线微分方程修正为:ｄＮｄｔ＝ｒＮ(Ｋ－ＮＫ).其中Ｋ－ＮＫ就是逻辑斯谛系数ꎬ易知:增长速率ｄＮｄｔ同时受到Ｎ㊁Ｋ共同影响ꎬ先增大后减小ꎬ增长率为１ＮｄＮｄｔ＝ｒ(Ｋ－ＮＫ)ꎬ逐渐减小.㊀㊀四㊁种群的最低起始密度经典Ｓ型曲线成立的前提是在种群密度最低时种群增长率最大.事实上ꎬ一定的种群密度对于有效寻找配偶和逃离敌害都是必要的ꎬ有些生物在种群密度很低时ꎬ种群数量不断下降ꎬ且会因增长率的下降走向灭绝(阿利氏效应).为改进经典Ｓ型曲线ꎬ将Ｍ(种群增长所必需的起始密度)引入上述方程之中ꎬ使方程进一步修正为ｄＮｄｔ＝ｒＮ(Ｋ－ＮＫ)(Ｎ－ＭＮ)分析可知:当Ｎ<Ｍ时ꎬ新系数[(Ｎ－Ｍ)/Ｎ]是负值ꎬ种群下降ꎻ只有当Ｎ>Ｍ时ꎬ[(Ｎ－Ｍ)/Ｎ]是正值ꎬ种群才能上升.此时增长率为１ＮｄＮｄｔ＝ｒ(Ｋ－ＮＫ)(Ｎ－ＭＮ)绘制曲线如图:当Ｋ＝５８０和ｒ＝０.１８时ꎬ具有最小起始密度(Ｍ＝８０)的种群的增长率高考原题㊀假设某草原上散养的某种家畜种群呈Ｓ型增长ꎬ该种群的增长率随种群数量的变化趋势如图所示.若要持续尽可能多地收获该种家禽ꎬ则应在种群数量合适时开始捕获ꎬ下列四个种群数量中合适的是.上述高考题为在真实情境下的种群增长曲线ꎬ该种群存在最小起始密度和Ｋ值ꎬ种群增长率先增大后减小.本题为结合 Ｓ 型曲线的转换图来考查种群的数量变化ꎬ主要考查学生的图形转换能力和综合运用能力.根据题图ꎬ种群数量约为Ｋ/２时ꎬ种群增长率最大ꎬ种群有最大持续产量.与甲㊁乙㊁丙点相比ꎬ在丁点时捕获ꎬ捕获后种群处于最大增长率附近ꎬ可以达到预期目的.在后期教学中ꎬ对于类似真实情境的题目ꎬ应该引导学生根据已有知识和题干信息进行综合分析而不是纠结于题目中不熟悉的知识点ꎬ这样才能更好理解高考命题者的命题意图.㊀㊀参考文献:[１]尚玉昌.普通生态系:第三版[Ｍ].北京:北京大学出版社ꎬ２０１０.[责任编辑:季春阳]。