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第三章 数列教材：数列、数列的通项公式目的：要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。
过程：一、从实例引入1． 堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,102． 正整数的倒数 51,41,31,21,1 3． ，，，，的不足近似值，，精确到414.141.14.11001.01.0124． -1的正整数次幂：-1,1,-1,1,…5． 无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,…二、提出课题：数列1． 数列的定义：按一定次序排列的一列数（数列的有序性）2． 名称：项，序号，一般公式n a a a ,,,21 ，表示法{}n a3． 通项公式：n a 与n 之间的函数关系式如 数列1： 3+=n a n 数列2：na n 1=数列4：*,)1(N n a n n ∈-= 4． 分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列；有穷数列、无穷数列。
5． 实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n }）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。
6． 用图象表示：— 是一群孤立的点例一 （见教材 例一 略）三、关于数列的通项公式1． 不是每一个数列都能写出其通项公式 （如数列3）2． 数列的通项公式不唯一 如 数列4可写成 n n a )1(-=和⎩⎨⎧-=11n a *,2*,12N k k n N k k n ∈=∈-= 3． 已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要 =四、补充例题：写出下面数列的一个通项公式，使它的前n 项分别是下列各数：1．1，0，1， 0 *,2)1(11N n a n n ∈-+=+ 2．32-，83，154-，245，356- 1)1(1)1(2-++⋅-=n n a n n 3．7，77，777，7777 )110(97-⨯=n n a 4．-1，7，-13，19，-25，31 )56()1(--=n a n n5．23，45，169，25617 12212-+=n n n a 五、小结：1． 数列的有关概念2． 观察法求数列的通项公式六、作业：。
沪教版高二数学上册
本站不提供该课本链接，目录如下：第7章数列与数学归纳法一数列7.1数列7.2等差数列7.3等比数列二数学归纳法7.4数学归纳法7.5数学归纳法的应用7.6归纳-猜想-论证三数列的极限7.7数列的极限7.8无穷等比数列各项的和第8章平面向量的坐标表示8.1向量的坐标表示及其运算8.2向量的数量积8.3平面向量的分解定理8.4向量的应用第9章矩阵和行列式初步一矩阵9.1矩阵的概念9.2矩阵的运算二行列式9.3二阶行列式9.4三阶行列式第10章算法初步10.1算法的概念10.2程序框图。
§3.1数列的基本概念【复习目标】理解数列的定义。
会由数列的前几项写数列的通项公式；掌握数列{n a }的前n 项和n S 和通项公式n a 间关系，并会由n S 求n a ；了解数列的递推公式，会由数列的递推公式写出数列的前几项。
【重点难点】归纳、猜想的思维能力【课前预习】写出以下各数列的通项公式：（1）1，3，5，7，… n a = ；（2）112-⨯，123⨯，134-⨯，145⨯，… n a = ；（3）12，34-，58，716-，… n a = ； （4）9，99，999，9999，… n a = 。
2．数列{}n a 中，1a =1，2a =2，n a =12n n a a --+（n ≥3），则这个数列的前5项分别为1a = ，2a = ，3a = ，4a = ，5a = 。
3．已知数列{}n a 的通项公式2412n a n n =--，则4a = ，7a = ，65是它的第 项 ；从第 项起各项为正；{}n a 中第 项的值最小为 ．【典型例题】例1 已知数列{}n a 的通项公式是n a =1(2)2n n +，判断220是不是这个数列的项？如果是，是第几项？例2 已知数列{}n a 的前n 项的和n S 是关于正自然数n 的二次函数，其图象上有三个点A 、B 、C （如图），（1）求数列{}n a 的通项公式，并指出数列{}n a 是否为等差数列，说明理由。
（2）求369a a a +++……+ 33a 的值。
3O Sn n C132713A B例3 （1）已知数列{}n a 适合：11a =，1n a +22n n a a =+，写出前五项并猜想其通项公式； （2）用上面的数列{}n a ，通过等式1n n n b a a +=-构造新数列{}n b ，写出n b ，并写出 {}n b 的前5项。
【巩固练习】在数列1-，0，19，18……，22n n-，……中，0.08是它的第几项？ 2．设数列{}n a ，11a =，对所有的n N +∈，都有12a a ⋅⋅……2n a n ⋅=⑴求35a a +；⑵256225是该数列的第几项？ ⑶试比较1n n a a +与的大小。
7.1 (1)数列（数列及通项）一、教学内容分析本小节的重点是数列的概念．在由日常生活中的具体事例引出数列的定义时，要注意抓住关键词“次序”，准确理解其概念，还应让学生了解数列可以看作以正整数集（或它的有限子集）为定义的函数()na f n =，使学生能在函数的观点下理解数列的概念，这里要特别注意分析数列中项的“序号n ”与这一项“n a ”的对应关系（函数关系），这对数列的后续学习很重要．本小节的难点是能根据数列的前几项抽象归纳出一些简单数列的通项公式．要循序渐进的引导学生分析归纳“序号n ”与“n a ”的对应关系，并从中抽象出与其对应的关系式．突破难点的关键是掌握数列的概念及理解数列与函数的关系，需注意的是，与函数的解析式一样，不是所有的数列都有通项公式；给出数列的有限项，其通项公式也并不唯一，如给出数列的前k 项，若()na f n =，则()(1)(2)()n a f n n n n k =+-⋅--L 都是数列的通项公式，教学上只要求能写出数列的一个通项公式即可． 二、教学目标设计理解数列的概念、表示、分类、通项等，了解数列与函数的关系 ，掌握数列的通项公式，能用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．发展和培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力． 三、教学重点及难点理解数列的概念；能根据一些数列的前几项抽象、归纳出数列的通项公式． 四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习回顾思考并回答问题：函数的定义二、讲授新课1、概念引入请同学们观察下面的例子，看看它们有什么共同特点：（课本p5）①食品罐头从上到下排列成七层的罐头数依次为：3，6，9，12，15，18，21②延龄草、野玫瑰、大波斯菊、金盏花、紫宛花、雏菊花的花瓣数从少到多依次排成一列数：3，5，8，13，21，34③1，1.7，1.73，1.732，1.7320,1.73205,L④-2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂L依次排成一列数：-2，4，-8，16，L⑤无穷多个1排成一列数：1，1，1，1，1，L⑥谢尔宾斯基三角形中白色三角形的个数，按面积大小，从大到小依次排列成的一列数：1，3，9，27，81，L⑦依次按计算器出现的随机数：0.098,0.264,0.085,0.956由学生回答上面各例子的共同特点：它们均是一列数，它们是有一定次序的，由此引出数列及有关定义：1、定义：按一定次序排列起来的一列数叫做数列．其中，数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，第3项L ,第n 项，L数列的一般形式可以写成:123,,,n a a a a L L简记作{}n a2、函数观点：数列可以看作以正整数集N *（或它的有限子集）为定义域的函数()n a f n =，当自变量按照从小到大的 顺序依次取值时，所对应的一列函数值3、数列的分类：有穷数列： 项数有限的数列 （如数列①、②、⑦）无穷数列：项数无限的数列 （如数列③、④、⑤、⑥） 4、数列的通项：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间可以用一个公式()na f n =来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．启发学生练习找上面各数列的通项公式： 数列① ：3(17)n a n n =≤≤数列④：(1)2n n n a =-⋅数列⑤：1n a = （常数数列）数列⑥：13n na -=指出（由学生思考得到）数列的通项公式不一定都能由观察法写出（如数列②）；数列并不都有通项公式（如数列③、⑦）；由数列的有限项归纳出的通项公式不一定唯一 （如数列①的通项还可以写为：3(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(17)n a n n n n n n n n n =+-------≤≤5、数列的图像：请同学练习画出数列①的图像，得出其特点：数列的图像都是一群孤立的点2、例题精析例1：根据下面的通项公式，写出数列的前5项：（课本P6） （1）21n n a n -=+； （2）344()4n n a =+-解：（1）前5项分别为：1121,0,,,2452-（2）前5项分别为：25373377811,,,,41664256[说明]由数列通项公式的定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.例2：写出下面数列的一个通项公式，使它前面的4项分别是下列各数： （1）1，5，9，13；（2）222221314151,,,;2345-+-+（3）3579,,,24816解：（1）43na n =-（2）2(1)(1)1n n n a n ++-=+（3）212nn n a +=[说明]：认真观察各数列所给出的项，寻求各项与其项数的关系，归纳其规律，抽象出其通项公式.例3：观察下列数列的构成规律，写出数列的一个通项公式（补充题） （1）1111,,,, (24816)--（2）9，99，999，9999，L（3）32537,,,,,23121030L（4）2，0，2，0，2，0，L解：（1）1(1)2nn na =-（2）9101,991001,101n n a =-=-∴=-Q L（3）32537,,,,,23121030L 可写成345672,,,,,26122030(1)n n a n n +∴=+L （4）Q 2=1+1，0=1-1 11(1)n na +∴=+-（或22sin ,1cos 2n n n a a n ππ==-，或2(0(n n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数）为偶数））[说明] 本例的（2）-（4）说明了对数列项的一般分拆变形技巧．例4、根据图7-5中的图形及相应的点数，写出点数的一个通项公式 ： （课本Ｐ７）解：(1)na n n =+[说明] 本类“图形分析”题，解题关键在于正确把握图形依次演变的规律，再依点数写出它的通项公式三、巩固练习 练习７.１（１）四、课堂小结本节课学习了数列的概念，要注意数列与数集的区别，数列中的数是按一定次序排列的，而数集中的元素没有次序；本节课的难点是数列的通项公式，要会根据数列的通项公式求其任意一项，并会根据数列的一些项由观察法写出一些简单数列的一个通项公式．五、课后作业1．书面作业：课本习题７．１ A 组 习题1.----5 2．思考题：（补充题及备选题） １．有下面四个结论,正确的是（Ｃ） ①数列的通项公式是唯一的； ②每个数列都有通项公式；③数列可以看作是一个定义在正整数集上的函数 ④在直角坐标系中，数列的图象是一群孤立的点 A 、①②③④ B 、③ C 、④ D 、③④L，则A 、第6项B 、第7项C 、第8项D 、第9项 ３．数列7，9，11，13，… 2n -1 中，项的个数为（Ｃ） A 、n B 、２n －１ C 、n －３ D 、n －４ ４．已知数列的通项公式为：1(21,)12(2,)n n n k k N n a n k k N **⎧=-∈⎪+=⎨⎪=∈⎩，它的前四项依次为____________解：前四项依次为：11,4,,1624５．试分别给出满足下列条件的无穷数列}{na 的一个通项公式（1）对一切正整数n ，1n a n<（2）对一切正整数n ，11n n a a +-<解：（１）11n a n =+（不唯一）（２）11,2nn a n a n== 等（不唯一）６．写出下列数列的一个通项公式（１）11112,4,6,8,35917L（２）3，8，15，24，35， (3)1317,,,,38324--L（４）0，0.3,0.33,0.333,0.3333,… （５）1，0，-1，0，1，0，-1，0，… 解：（１）1221n na n =++； （２）2(1)1n a n =+- （３）1221(1)(1)1n nn a n +-=-+- （４）111(1)310nn a -=-（５）sin2n n a π=７．根据下面的图像及相应的点数，写出点数的一个通项 公式：解：以中间点为参照点，把增加的点作为方向点来分析，有： 第1个图形有一个方向，点数为1点； 第2个图形有2个方向，点数为1+2⋅1=3点； 第3个图形有3个方向，点数为1+3g 2=7点； 第4个图形有4个方向，点数为1+4⋅3=13点；…………第n 个图形有n 个方向，点数21(1)1n n nn +⋅-=-+点21na n n ∴=-+六、教学设计说明本节课为概念课，按照“发现式”教学法进行设计结合一些具体的例子，引导学生认真观察各数列的特点，逐步发现其规律，进而抽象、归纳出其通项公式例题设计主要含以下二个题型：（１） 由数列的通项公式，写出数列的任意一项；（２） 给出数列的若干项，观察、归纳出数列的一个通项公式补充的思考题，可作为学有余力的同学的能力训练题，也可作为教师的备选题．。
第2章 数列【知识结构】重点：数列及其通项公式的定义；数列的前n 项和与通项公式的关系及其求法；难点：正确运用数列的递推公式求数列的通项公式；对用递推公式求出的数列的讨论；等差等比数列的应用和性质。
第1课 数列的概念及其通项公式2．理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列；3．理解数列的通项公式的概念，并会用通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出它的一个通项公式；4．提高观察、抽象的能力．【自学评价】 1．数列的定义：___________________叫做数列(sequence of number). 【注意】⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.思考:简述数列与数集的区别.__________________________________________________________________________.2．数列的项：_________________都叫做这个数列的项(term). 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….3．数列的分类： 按项分类：有穷数列（项数有限）；无穷数列（项数无限）.4．数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式（theformula of general term ）.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41，1.414，…；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n ； ⑶数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项； ②检验某数是否是该数列中的一项. 5. 数列的图像都是一群孤立的点. 从映射、函数的观点来看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式，因此，数列也可根据其通项公式画出其对应图象．6．数列的表示形式：________________________________________________________.【精典范例】【例1】 已知数列的第ｎ项a n 为２ｎ－１，写出这个数列的首项、第２项和第３项．【解】【例2】根据下面数列{}n a 的通项公式，写出它的前5项，并作出它的图象：(1);(2)(1)1n n n na a n n ==-⋅+. 【解】【例3】写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）211⨯，-321⨯， 431⨯，-541⨯； （2）0, 2, 0, 2分析：写出数列的通项公式，就是寻找n a 与项数n 的对应关系()n a f n =【解】点评:(1)将数列的整数部分和分数部分进行分别处理,然后再整体合并;(2) 将数列进行整体变形以便能呈现出与序号n 相关且便于表达的关系.【追踪训练一】 1．下列解析式中不．是数列1，-1，1，-1，1，-1，…的通项公式的是 （ ）A. (1)n n a =-B. 1(1)n n a +=-C. 1(1)n n a -=-D.{11n n a n =-，为奇数，为偶数2，的一个通项公式是 （ ）A. n a =n a =C. n a =D.n a =3．数列1524354863,,,,,,25101726的一个通项公式为___________________.【选修延伸】【例3】在数列{a n }中，a 1=2,a 17=66，通项公式是项数n 的一次函数.(1)求数列{a n} (2)88是否是数列{a n }中的项. 【解】思维点拔:已知数列的通项，怎样判断一个含有参数的代数式是否为数列中的项？例如：已知数列{}n a 的通项为27n a n =-，判断27()m m N +∈是否为数列中的项？提示：可把27()m m N +∈化成通项公式的形式，即272(7)7m m +=+-，因为m N ∈，所以7m N +∈满足通项公式的意义，所以27m +是数列中的第7m +项．【追踪训练二】1．已知数列{}n a ，1()(2)n a n N n n +=∈+，那么1120是这个数列的第 （ ）项.A. 9B. 10C. 11D. 122．数列{}n a ，()n a f n =是一个函数，则它的定义域为 （ ）A. 非负整数集B. 正整数集C. 正整数集或其子集D. 正整数集或{}1,2,3,4,,n3．已知数列{}n a ，85,11n a kn a =-=且， 则17a = .。
