2017-2018学年重庆市巴蜀中学高一下学期期末考试数学理卷Word版含答案

2017-2018学年重庆市巴蜀中学高一下学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．圆的圆心坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：将圆的方程化为标准方程后可得所求．详解：将圆方程化为标准方程得，∴圆心坐标为．故选B．点睛：本题考查圆的标准方程和一般方程间的转化及根据标准方程求圆的半径，属容易题．2．已知，为非零实数，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据不等式的性质或函数的性质对四个选项分别进行分析、排除后可得结论．详解：对于A，当时不等式不一定成立，故A不正确．对于B，当时，不等式不成立，故B不正确．对于C，当时不等式不成立，故C不正确．对于D，根据函数的单调性可得不等式成立，故D正确．故选D．点睛：判断关于不等式的命题真假的常用方法（1）直接运用不等式的性质进行推理判断．（2）利用函数的单调性，利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性等进行判断．（3）特殊值验证法，即给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值进行比较、判断．3．下列四个方程表示对应的四条直线，其中倾斜角为的直线是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据选项中给出的直线的方程，分别求出直线的倾斜角即可．详解：选项A中，直线的倾斜角为，所以A不正确．选项B中，直线的倾斜角为，所以B不正确．选项C中，直线的倾斜角为，所以C不正确．选项D中，直线的倾斜角为，所以D正确．故选D．点睛：本题考查直线倾斜角的概念，考查学生的分析问题和转化的能力，解题时结合给出的直线的方程进行判断分析即可，属于容易题．4．（）的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据基本不等式求解即可．详解：∵，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，∴（）的最大值为．故选B．点睛：使用基本不等式求最值时，注意使用的前提是“一正、二定、三相等”，且这三个条件缺一不可，其中关键是寻求定值，若条件不满足使用的条件，则需要进行适当的变形，以得到定值．5．在等差数列中，表示的前项和，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据等差数列的前项和公式和数列下标和的性质求解．详解：∵数列为等差数列，∴．∴．故选C．点睛：等差数列中的下标和的性质，即若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q常与前n项和公式结合在一起考查，解题时采用整体代换的思想，可简化解题过程，提高解题的效率．6．已知向量，，则在方向上的投影是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据向量在另一个向量方向上的投影的概念求解．详解：∵，，∴，.设的夹角为，则向量在方向上的投影为．故选A．点睛：向量在另一向量方向上的投影是向量数量积的几何意义的具体体现，它是一个数量，其值可正、可负、也可为零，计算的主要途径是根据定义进行．7．在中，、、分别是内角、、的对边，且，则角的大小为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据余弦定理的推论求得，然后可求得．详解：∵，∴．由余弦定理的推论得，又，∴．故选D ．点睛：本题考查余弦定理推论的应用，解题时容易出现的错误是在求得角的三角函数值后忽视了角的范围，从而得到错误的结果． 8．已知向量，，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】先讨论充分性：由得所以“”是“”的充分条件.再讨论必要性：因为，所以，所以“”是“”的必要条件.故选C.9．若，满足条件，当且仅当，时，目标函数取得最小值或最大值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：作出可行域，根据最优解的位置判断目标函数的斜率范围，列出不等式解出．详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由可得．∵目标函数仅在处取得最大值或最小值，∴或，解得或，∴实数的取值范围是．故选D．点睛：线性规划中已知最优解求参数的取值或范围时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值．10．在中，已知，，分别为，，所对的边，且，，成等比数列，，，则外接圆的直径为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用成等比数列得到，结合余弦定理及求得，再根据正弦定理求得三角形外接圆的直径．详解：∵成等比数列，∴．在中，由余弦定理得，∴，∴．由得．设外接圆的半径为,则，∴外接圆的直径为．故选C．点睛：用余弦定理解三角形时注意整体代换思想的利用，即解题中常用到变形，可简化运算．令由正弦定理可得，若外接圆的半径为，则有．11．已知定义在上的函数的导函数满足，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意，由可得，构造函数，可得，故单调递增，根据单调性可得结论．详解：令，∴，∵，∴，∴函数在上单调递增，∴，即，∴．故选B．点睛：本题考查对函数单调性的应用，考查学生的变形应用能力，解题的关键是根据题意构造函数，通过判断函数的单调性得到函数值间的关系，从而达到求解的目的．12．已知，是圆上两点，点，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：如图，由得，设的中点为，则．令，在中，根据弦长、弦心距和半径的关系求得后可得所求．详解：如图所示，由得．设的中点为，则．由题意可得当最小时，则最小，此时，又为的中点，故点在上，即垂直平分．令，则，．在中，根据勾股定理得，即，整理得，解得或（舍去）．∴的最小值为．故选B．点睛：解答本题的关键是根据平面几何的关系得到最小时点，的位置，然后再根据计算得到所求的值，利用几何法解决圆的有关问题，可省去大量的运算，提高解题的效率，这是研究解析几何问题时常用的方法．二、填空题13．等比数列中，为其前项和，若，则实数的值为__________．【答案】.【解析】分析：由题意求得，然后根据数列成等比数列可得实数的值．详解：∵，∴，由题意得成等比数列，∴，即，解得．点睛：本题考查等比数列的运算，解题的关键是根据题意得到数列的前三项，然后列出方程求解．另外，解题时也可利用结论求解，即若等比数列的前项和，则有，注意要注意结论中必须为．14．若实数，满足，则的最大值为__________．【答案】5.【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部：其中，，，设，将直线进行平移，当经过点时，目标函数达到最大值，此时.故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15．函数（）的最小值为__________．【答案】.【解析】分析：将所给函数的解析式变形为，再结合，并根据基本不等式求解即可得到结论．详解：由题意得，∵，∴．又，∴．∴，当且仅当，即时等号成立．∴函数的最小值为．点睛：（1）使用基本不等式求最值时，注意使用的前提是“一正、二定、三相等”，且这三个条件缺一不可．（2）在运用基本不等式时，若条件不满足使用的条件，则要注意通过“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．16．已知函数，若在区间上不是单调函数，则的取值范围为__________．【答案】.【解析】分析：由题意得，因为在区间上不单调，故在区间上有解，分离参数后通过求函数的值域可得所求的范围．详解：∵，∴．∵在区间上不单调，∴在区间上有解，即方程在区间上有解，∴方程在区间上有解．令，则，∴函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴当时，取得最大值，且最大值为．又.∴.又由题意得在直线两侧须有函数的图象，∴．∴实数的取值范围为．点睛：解答本题时注意转化的思想方法在解题中的应用，将函数不单调的问题化为导函数在给定区间上有变号零点的问题处理，然后通过分离参数又将问题转化为求函数的值域的问题，利用转化的方法解题时还要注意转化的合理性和准确性．三、解答题17．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求在区间上的最大值和最小值．【答案】(1) 的递增区间为，递减区间为．(2) 最大值，最小值．【解析】分析：（1）求导数后，由可得增区间，由可得减区间．（2）根据单调性求出函数的极值和区间的端点值，比较后可得最大值和最小值．详解：（1）∵，∴．由，解得或；由，解得，所以的递增区间为，递减区间为．（2）由（1）知是的极大值点，是的极小值点，所以极大值，极小值，又，，所以最大值，最小值．点睛：（1）求单调区间时，由可得增区间，由可得减区间，解题时注意导函数的符号与单调性的关系．（2）求函数在闭区间上的最值时，可先求出函数的极值和区间的端点值，通过比较后可得最大值和最小值．18．已知圆的圆心为，直线与圆相切．（1）求圆的标准方程；（2）若直线过点，且被圆所截得弦长为，求直线的方程．【答案】(1) .(2) ；或．【解析】分析：（1）由直线和圆相切可得圆的半径，进而可得圆的标准方程．（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况考虑，根据待定系数法设出直线的方程并结合弦长公式求解可得结果．详解：（1）由题意得圆心到直线的距离为．所以圆的圆心为，半径，∴圆的标准方程为．（2）①当直线的斜率存在时，设直线方程为即，∴圆心到直线的距离为．又由题意得，解得．∴，解得．∴直线的方程为．②当的斜率不存在时，可得直线方程为，满足条件．综上可得直线的方程为或．点睛：解决解析几何问题时注意把几何问题转化为数的运算的问题，通过计算达到求解的目的．在本题（2）中，容易忽视斜率不存在的情形，解题时要注意这一特殊情况，通过验证可求得，以得到完整的解．19．在中，角、、的对边分别为、、，且．（1）求角的大小；（2）是的面积，若，求的最小值．【答案】(1) .(2)2.【解析】分析：（1）根据条件及正弦定理可得，然后由并根据三角变换得到，进而可求得．（2）由得到，再由余弦定理和基本不等式可得所求．详解：（1）由及正弦定理得，所以，所以，因为在中，，所以，又，所以．（2）由，得，由余弦定理得，当且仅当时等号成立，所以，所以的最小值为．点睛：三角形的面积公式和余弦定理经常结合在一起考查，解题时往往用到整体代换的思想方法，其中变形是重要的解题方法，同时也常与基本不等式结合在一起，解题时要注意等号成立的条件是否满足．20．已知数列满足，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析.(2)【解析】分析：（1）将两边同除以得，变形得，故得结论．（2）由题意得到，根据裂项相消法可得．详解：（1）证明：将两边同除以，得，∴，又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列．（2）由（1）得，∴，∴∴.点睛：（1）证明数列为等比数列时，在得到后，不要忘了证明，这是容易忽视的步骤．（2）在用裂项相消法求数列的和时，要注意在相消后剩余的项具有前后对称的特征，即前面剩下了第几项，则后面就剩下倒数第几项，根据此结论可判断结果是否正确．21．已知圆过点，，圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）过圆上任一点作圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的取值范围．【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）根据条件设圆的方程为，由题意可解得，于是可求得圆的方程．（2）根据几何知识可得，故将所求范围的问题转化为求切线长的问题，然后根据切线长的求法可得结论．详解：（1）由题意设圆心为，半径为，则圆的标准方程为．由题意得，解得，所以圆的标准方程为．（2）由圆的切线的性质得，而．由几何知识可得，又，所以，故，所以，即四边形面积的取值范围为．点睛：解决圆的有关问题时经常结合几何法求解，借助图形的直观性可使得问题的求解简单直观．如在本题中将四边形的面积转化为切线长的问题，然后再转化为圆外一点到圆上的点的距离的范围的问题求解．22．已知函数，（且），当，求证：.【答案】证明见解析.【解析】分析：先判断函数的单调性，求得函数的最小值后可证得结论成立．详解：证明：当时，（）∴（）∴当时，单调递减；当时，单调递增，∴当时，有极小值，也为最小值，且所以，所以．点睛：本题考查函数的单调性及最值的应用，证明不等式时，可转化为求函数的最值的问题，如在本题中证明不等式成立时只需证明函数的最小值大于零即可．。

重庆市巴蜀中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 圆的圆心坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：将圆的方程化为标准方程后可得所求．详解：将圆方程化为标准方程得，∴圆心坐标为．故选B．点睛：本题考查圆的标准方程和一般方程间的转化及根据标准方程求圆的半径，属容易题．2. 已知，为非零实数，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据不等式的性质或函数的性质对四个选项分别进行分析、排除后可得结论．详解：对于A，当时不等式不一定成立，故A不正确．对于B，当时，不等式不成立，故B不正确．对于C，当时不等式不成立，故C不正确．对于D，根据函数的单调性可得不等式成立，故D正确．故选D．点睛：判断关于不等式的命题真假的常用方法（1）直接运用不等式的性质进行推理判断．（2）利用函数的单调性，利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性等进行判断．（3）特殊值验证法，即给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值进行比较、判断．3. 下列四个方程表示对应的四条直线，其中倾斜角为的直线是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据选项中给出的直线的方程，分别求出直线的倾斜角即可．详解：选项A中，直线的倾斜角为，所以A不正确．选项B中，直线的倾斜角为，所以B不正确．选项C中，直线的倾斜角为，所以C不正确．选项D中，直线的倾斜角为，所以D正确．故选D．4. （）的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据基本不等式求解即可．详解：∵，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，∴（）的最大值为．故选B．点睛：使用基本不等式求最值时，注意使用的前提是“一正、二定、三相等”，且这三个条件缺一不可，其中关键是寻求定值，若条件不满足使用的条件，则需要进行适当的变形，以得到定值．5. 在等差数列中，表示的前项和，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据等差数列的前项和公式和数列下标和的性质求解．详解：∵数列为等差数列，∴．∴．故选C．点睛：等差数列中的下标和的性质，即若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q常与前n项和公式结合在一起考查，解题时采用整体代换的思想，可简化解题过程，提高解题的效率．6. 已知向量，，则在方向上的投影是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据向量在另一个向量方向上的投影的概念求解．详解：∵，，∴，.设的夹角为，则向量在方向上的投影为．故选A．点睛：向量在另一向量方向上的投影是向量数量积的几何意义的具体体现，它是一个数量，其值可正、可负、也可为零，计算的主要途径是根据定义进行．7. 在中，、、分别是内角、、的对边，且，则角的大小为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据余弦定理的推论求得，然后可求得．详解：∵，∴．由余弦定理的推论得，又，∴．故选D．点睛：本题考查余弦定理推论的应用，解题时容易出现的错误是在求得角的三角函数值后忽视了角的范围，从而得到错误的结果．8. 已知向量，，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先讨论充分性：由得所以“”是“”的充分条件.再讨论必要性：因为，所以，所以“”是“”的必要条件.故选C.9. 若，满足条件，当且仅当，时，目标函数取得最小值或最大值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：作出可行域，根据最优解的位置判断目标函数的斜率范围，列出不等式解出．详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由可得．∵目标函数仅在处取得最大值或最小值，∴或，解得或，∴实数的取值范围是．故选D．点睛：线性规划中已知最优解求参数的取值或范围时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值．10. 在中，已知，，分别为，，所对的边，且，，成等比数列，，，则外接圆的直径为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用成等比数列得到，结合余弦定理及求得，再根据正弦定理求得三角形外接圆的直径．详解：∵成等比数列，∴．在中，由余弦定理得，∴，∴．由得．设外接圆的半径为,则，∴外接圆的直径为．故选C．点睛：用余弦定理解三角形时注意整体代换思想的利用，即解题中常用到变形，可简化运算．令由正弦定理可得，若外接圆的半径为，则有．11. 已知定义在上的函数的导函数满足，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意，由可得，构造函数，可得，故单调递增，根据单调性可得结论．详解：令，∴，∵，∴，∴函数在上单调递增，∴，即，∴．故选B．点睛：本题考查对函数单调性的应用，考查学生的变形应用能力，解题的关键是根据题意构造函数，通过判断函数的单调性得到函数值间的关系，从而达到求解的目的．12. 已知，是圆上两点，点，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：如图，由得，设的中点为，则．令，在中，根据弦长、弦心距和半径的关系求得后可得所求．详解：如图所示，由得．设的中点为，则．由题意可得当最小时，则最小，此时，又为的中点，故点在上，即垂直平分．令，则，．在中，根据勾股定理得，即，整理得，解得或（舍去）．∴的最小值为．点睛：解答本题的关键是根据平面几何的关系得到最小时点，的位置，然后再根据计算得到所求的值，利用几何法解决圆的有关问题，可省去大量的运算，提高解题的效率，这是研究解析几何问题时常用的方法．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 等比数列中，为其前项和，若，则实数的值为__________．【答案】.【解析】分析：由题意求得，然后根据数列成等比数列可得实数的值．详解：∵，∴，由题意得成等比数列，∴，即，解得．点睛：本题考查等比数列的运算，解题的关键是根据题意得到数列的前三项，然后列出方程求解．另外，解题时也可利用结论求解，即若等比数列的前项和，则有，注意要注意结论中必须为．14. 若实数，满足，则的最大值为__________．【答案】5.【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部：其中，，，设，将直线进行平移，当经过点时，目标函数达到最大值，此时.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 函数（）的最小值为__________．【答案】.【解析】分析：将所给函数的解析式变形为，再结合，并根据基本不等式求解即可得到结论．详解：由题意得，∵，∴．又，∴．∴，当且仅当，即时等号成立．∴函数的最小值为．点睛：（1）使用基本不等式求最值时，注意使用的前提是“一正、二定、三相等”，且这三个条件缺一不可．（2）在运用基本不等式时，若条件不满足使用的条件，则要注意通过“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．16. 已知函数，若在区间上不是单调函数，则的取值范围为__________．【答案】.【解析】分析：由题意得，因为在区间上不单调，故在区间上有解，分离参数后通过求函数的值域可得所求的范围．详解：∵，∴．∵在区间上不单调，∴在区间上有解，即方程在区间上有解，∴方程在区间上有解．令，则，∴函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴当时，取得最大值，且最大值为．又.∴.又由题意得在直线两侧须有函数的图象，∴．∴实数的取值范围为．点睛：解答本题时注意转化的思想方法在解题中的应用，将函数不单调的问题化为导函数在给定区间上有变号零点的问题处理，然后通过分离参数又将问题转化为求函数的值域的问题，利用转化的方法解题时还要注意转化的合理性和准确性．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求在区间上的最大值和最小值．【答案】(1) 的递增区间为，递减区间为．(2) 最大值，最小值．详解：（1）∵，∴．由，解得或；由，解得，所以的递增区间为，递减区间为．（2）由（1）知是的极大值点，是的极小值点，所以极大值，极小值，又，，所以最大值，最小值．点睛：（1）求单调区间时，由可得增区间，由可得减区间，解题时注意导函数的符号与单调性的关系．（2）求函数在闭区间上的最值时，可先求出函数的极值和区间的端点值，通过比较后可得最大值和最小值．18. 已知圆的圆心为，直线与圆相切．（1）求圆的标准方程；（2）若直线过点，且被圆所截得弦长为，求直线的方程．【答案】(1) .(2) ；或．【解析】分析：（1）由直线和圆相切可得圆的半径，进而可得圆的标准方程．（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况考虑，根据待定系数法设出直线的方程并结合弦长公式求解可得结果．详解：（1）由题意得圆心到直线的距离为．所以圆的圆心为，半径，∴圆的标准方程为．（2）①当直线的斜率存在时，设直线方程为即，∴圆心到直线的距离为．又由题意得，解得．∴，解得．∴直线的方程为．②当的斜率不存在时，可得直线方程为，满足条件．综上可得直线的方程为或．点睛：解决解析几何问题时注意把几何问题转化为数的运算的问题，通过计算达到求解的目的．在本题（2）中，容易忽视斜率不存在的情形，解题时要注意这一特殊情况，通过验证可求得，以得到完整的解．19. 在中，角、、的对边分别为、、，且．（1）求角的大小；（2）是的面积，若，求的最小值．【答案】(1) .(2)2.【解析】分析：（1）根据条件及正弦定理可得，然后由并根据三角变换得到，进而可求得．（2）由得到，再由余弦定理和基本不等式可得所求．详解：（1）由及正弦定理得，所以，所以，因为在中，，所以，又，所以．（2）由，得，由余弦定理得，当且仅当时等号成立，所以，所以的最小值为．点睛：三角形的面积公式和余弦定理经常结合在一起考查，解题时往往用到整体代换的思想方法，其中变形是重要的解题方法，同时也常与基本不等式结合在一起，解题时要注意等号成立的条件是否满足．20. 已知数列满足，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析.(2)【解析】分析：（1）将两边同除以得，变形得，故得结论．（2）由题意得到，根据裂项相消法可得．详解：（1）证明：将两边同除以，得，∴，又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列．（2）由（1）得，∴，∴∴.点睛：（1）证明数列为等比数列时，在得到后，不要忘了证明，这是容易忽视的步骤．（2）在用裂项相消法求数列的和时，要注意在相消后剩余的项具有前后对称的特征，即前面剩下了第几项，则后面就剩下倒数第几项，根据此结论可判断结果是否正确．21. 已知圆过点，，圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）过圆上任一点作圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的取值范围．【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）根据条件设圆的方程为，由题意可解得，于是可求得圆的方程．（2）根据几何知识可得，故将所求范围的问题转化为求切线长的问题，然后根据切线长的求法可得结论．详解：（1）由题意设圆心为，半径为，则圆的标准方程为．由题意得，解得，所以圆的标准方程为．（2）由圆的切线的性质得，而．由几何知识可得，又，所以，故，所以，即四边形面积的取值范围为．点睛：解决圆的有关问题时经常结合几何法求解，借助图形的直观性可使得问题的求解简单直观．如在本题中将四边形的面积转化为切线长的问题，然后再转化为圆外一点到圆上的点的距离的范围的问题求解．22. 已知函数，（且），当，求证：.【答案】证明见解析.【解析】分析：先判断函数的单调性，求得函数的最小值后可证得结论成立．详解：证明：当时，（）∴（）∴当时，单调递减；当时，单调递增，∴当时，有极小值，也为最小值，且所以，所以．点睛：本题考查函数的单调性及最值的应用，证明不等式时，可转化为求函数的最值的问题，如在本题中证明不等式成立时只需证明函数的最小值大于零即可．。

重庆市巴蜀中学2017-2018学年高一物理下学期期末考试试题（扫描
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2017-2018学年重庆市高一（下）期末试数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．已知等差数列{a n}中，a2+a8=2，a5+a11=8，则其公差是（）A．6 B．3 C．2 D．12．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在上的运动员人数是（）A．3 B．4 C．5 D．64．如图所示的程序的输出结果为S=132，则判断框中应填（）A．i≥10？B．i≥11？C．i≤11？D．i≥12？5．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x﹣y的取值范围是（）A．B．C．D．6．已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．847．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞08．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=（）A．1 B．2 C．3 D．49．袋内装有6个球，每个球上都记有从1到6的一个号码，设号码为n的球重n2﹣6n+12克，这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）．若任意取出1球，则其重量大于号码数的概率为（）A．B．C．D．10．某企业生产甲乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 2 2 8A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元11．若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2 C．2D．412．锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡相应的位置上. 13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=3，B=60°．则b=．14．在区间内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为．15．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C=60°，且3ab=25﹣c2，则△ABC的面积最大值为．三、解答题：（本大题6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.17．在等比数列{a n}中，a1=1，且4a1，2a2，a3成等差数列．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）令b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和S n．18．在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，C=60°．（1）求的值；（2）若a+b=ab，求△ABC的面积S△ABC．19．某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数学为茎，个位数学为叶得到的茎叶图如图所示，已知甲、乙两组数据的平均数都为10．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）别求出甲、乙两组数据的方差S甲2和S乙2，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．（注：为数据x1，x2，…x n的平均数，方差S2=）20．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，求使得|T n﹣1|成立的n的最小值．21．已知函数f（x）=（a、b为常数）．（1）若b=1，解不等式f（x﹣1）＜0；（2）若a=1，当x∈时，f（x）＞恒成立，求b的取值范围．22．已知各项均为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，且满足2S n=a n2+a n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}的前n项和为T n，求证：当n≥3时，T n＞+．2017-2018学年重庆市高一（下）期末试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．已知等差数列{a n}中，a2+a8=2，a5+a11=8，则其公差是（）A．6 B．3 C．2 D．1考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式求解．解答：解：等差数列{a n}中，∵a2+a8=2，a5+a11=8，∴，解得a1=﹣3，d=1．故选：D．点评：本题考查等差数列的公差的求法，解题时要认真审题，是基础题．2．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在上的运动员人数是（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：对各数据分层为三个区间，然后根据系数抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，然后各层按照此比例抽取．解答：解：由已知，将个数据分为三个层次是，，，根据系数抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，所以成绩在区间中共有20名运动员，抽取人数为20×=4；故选B．点评：本题考查了茎叶图的认识以及利用系统抽样抽取个体的方法；关键是正确分层，明确抽取比例．4．如图所示的程序的输出结果为S=132，则判断框中应填（）A．i≥10？B．i≥11？C．i≤11？D．i≥12？考点：程序框图．专题：操作型．分析：由框图可以得出，循环体中的运算是每执行一次s就变成了s乘以i，i的值变为i﹣2，故S的值是从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由此规律解题计算出循环体执行几次，再求出退出循环的条件，对比四个选项得出正确答案．解答：解：由题意，S表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由于12×11=132，故此循环体需要执行两次所以每次执行后i的值依次为11，10由于i的值为10时，就应该退出循环，再考察四个选项，B符合题意故选B点评：本题考查循环结构，解答本题，关键是根据框图得出算法，计算出循环次数，再由i的变化规律得出退出循环的条件．本题是框图考查常见的形式，较多见，题后作好总结．5．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x﹣y的取值范围是（）A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x﹣y对应的直线进行平移，观察x轴上的截距变化，得出目标函数的最大、最小值，即可得到z=x﹣y的取值范围．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（2，1），C（0，1）设z=F（x，y）=x﹣y，将直线l：z=x﹣y进行平移，观察x轴上的截距变化，可得当l经过点C时，z达到最小值；l经过点A时，z达到最大值∴z最小值=F（0，1）=﹣1，z最大值=F（2，0）=2即z=x﹣y的取值范围是故选：A点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x﹣y的范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．6．已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．84考点：等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．解答：解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B点评：本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．7．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：对选项分别进行判断，即可得出结论．解答：解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；若a1+a3＜0，则a1+a2=2a1+2d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2＜0，即D不正确．故选：C．点评：本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．8．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．解答：解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==，∴sinC=，sinA=，∴===1．故选：A．点评：本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．9．袋内装有6个球，每个球上都记有从1到6的一个号码，设号码为n的球重n2﹣6n+12克，这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）．若任意取出1球，则其重量大于号码数的概率为（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：任意取出1球，共有6种等可能的方法，要求其重量大于号码数的概率，根据号码为n的球的重量为n2﹣6n+12克，构造关于n的不等式，解不等式即可得到满足条件的基本事件的个数，代入古典概型公式即可求解．解答：解：由题意，任意取出1球，共有6种等可能的方法．由不等式n2﹣6n+12＞n，得n＞4或n＜3，所以n=1或2，n=5或6，于是所求概率P==故选D．点评：本题考查古典概型概率公式，考查学生的计算能力，属于基础题．10．某企业生产甲乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 2 2 8A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y顿，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值解答：解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y顿，利润为z元，则，目标函数为z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即A的坐标为x=4，y=0，∴z max=3x+4y=12．即每天生产甲乙两种产品分别为2，3顿，能够产生最大的利润，最大的利润是12万元，故选：A．点评：本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键11．若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2 C．2D．4考点：基本不等式．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：由+=，可判断a＞0，b＞0，然后利用基础不等式即可求解ab的最小值解答：解：∵+=，∴a＞0，b＞0，∵（当且仅当b=2a时取等号），∴，解可得，ab，即ab的最小值为2，故选：C．点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题12．锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，则的取值范围是（）A．B．C．D．考点：正弦定理；二倍角的正弦．专题：计算题；解三角形．分析：由题意可得0＜2A＜，且＜3A＜π，解得A的范围，可得cosA的范围，由正弦定理求得=2cosA，解得所求．解答：解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=2A，∴0＜2A＜，且B+A=3A，∴＜3A＜π．∴＜A＜，∴＜cosA＜．由正弦定理可得==2cosA，∴＜2cosA＜，故选B．点评：本题考查正弦定理，二倍角的正弦公式，判断＜A＜，是解题的关键和难点．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡相应的位置上.13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=3，B=60°．则b=．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，将a，c及cosB代入计算即可求出b的值．解答：解：∵a=2，c=3，B=60°，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=4+9﹣6=7，则b=．故答案为：点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．14．在区间内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为0.3．考点：几何概型．专题：计算题；转化思想．分析：由1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}代入得出关于参数a的不等式，解之求得a的范围，再由几何的概率模型的知识求出其概率．解答：解：由题意1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}，故有2+a﹣a2＞0，解得﹣1＜a＜2由几何概率模型的知识知，总的测度，区间的长度为10，随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}这个事件的测度为3故区间内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为0.3故答案为0.3点评：本题考查几何概率模型，求解本题的关键是正确理解1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的意义，即得到参数a所满足的不等式，从中解出事件所对应的测度15．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为﹣1．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（0，1）．∴z=2x﹣y的最小值为2×0﹣1=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C=60°，且3ab=25﹣c2，则△ABC的面积最大值为．考点：基本不等式；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：根据余弦定理结合C=60°，算出c2=a2+b2﹣ab，结合题中的等式得a2+b2﹣ab=25﹣3ab，整理得（a+b）2=25，解出a+b=5．由基本不等式，得当且仅当a=b=时ab的最大值为，由此结合正弦定理的面积公式，即可算出△ABC的面积的最大值．解答：解：∵△ABC中，C=60°，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab又∵3ab=25﹣c2，得c2=25﹣3ab∴a2+b2﹣ab=25﹣3ab，移项得（a+b）2=25，可得a+b=5∵△ABC的面积S=absinC=ab，且ab≤=∴当且仅当a=b=时，ab的最大值为，此时△ABC的面积的最大值为故答案为：点评：本题给出三角形ABC的角C和边之间的关系式，求三角形面积的最大值．着重考查了用基本不等式求最值、三角形的面积公式和余弦定理等知识，属于中档题．三、解答题：（本大题6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.17．在等比数列{a n}中，a1=1，且4a1，2a2，a3成等差数列．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）令b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（I）设{a n}的公比为q，根据等比数列的通项公式与等差中项的定义，建立关于q的等式解出q=2，即可求出{a n}的通项公式．（II）根据（I）中求出的{a n}的通项公式，利用对数的运算法则算出b n=n﹣1，从而证出{b n}是首项为0、公差为1的等差数列，再利用等差数列的前n项和公式加以计算，可得数列{b n}的前n项和S n的表达式．解答：解：（Ⅰ）设{a n}的公比为q，∵4a1，2a2，a3成等差数列，∴4a1+a3=4a2．又∵{a n}的公比为q，首项a1=1，∴4+q2=4q，解之得q=2．∴数列{a n}的通项公式为（n∈N*）．（Ⅱ）∵，∴，由此可得b n+1﹣b n=n﹣（n﹣1）=1，b1=0，∴{b n}是首项为0、公差为1的等差数列，因此，数列{b n}的前n项和．点评：本题给出等比数列{a n}满足的条件，求它的通项公式并依此求数列{b n}的前n项和．着重考查了等差、等比数列的通项与性质，等差数列的前n项之积公式与对数的运算法则等知识，属于中档题．18．在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，C=60°．（1）求的值；（2）若a+b=ab，求△ABC的面积S△ABC．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）根据正弦定理求出，然后代入所求的式子即可；（2）由余弦定理求出ab=4，然后根据三角形的面积公式求出答案．解答：解：（1）由正弦定理可设，所以，所以．…（6分）（2）由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，又a+b=ab，所以（ab）2﹣3ab﹣4=0，解得ab=4或ab=﹣1（舍去）所以．…（14分）点评：本题考查了正弦定理、余弦定理等知识．在解三角形问题中常涉及正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及同角三角函数基本关系等问题，故应综合把握．19．某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数学为茎，个位数学为叶得到的茎叶图如图所示，已知甲、乙两组数据的平均数都为10．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）别求出甲、乙两组数据的方差S甲2和S乙2，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．（注：为数据x1，x2，…x n的平均数，方差S2=）考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意根据平均数的计算公式分别求出m，n的值．（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差S甲2和S乙2，再根据它们的平均值相等，可得方差较小的发挥更稳定一些．（Ⅲ）用列举法求得所有的基本事件的个数，找出其中满足该车间“待整改”的基本事件的个数，即可求得该车间“待整改”的概率．解答：解：（I）由题意可得=（7+8+10+12+10+m）=10，解得m=3．再由=（n+9+10+11+12）=10，解得n=8．（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差，S甲2==5.2，S乙2==2，并由，S甲2＜S乙2，可得两组的整体水平相当，乙组的发挥更稳定一些．（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为（a，b），则所有的（a，b）有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（7，11）、（7，12）、（8，8）、（8，9）、（8，10）、（8，11）、（8，12）、（10，8）、（10，9）、（10，10）、（10，11）、（10，12）、（12，8）、（12，9）、（12，10）、（12，11）、（12，12）、（13，8）、（13，9）、（13，10）、（13，11）、（13，12），共计25个，而满足a+b≤17的基本事件有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（8，8）、（8，9），共计5个基本事件，故满足a+b＞17的基本事件个数为25﹣5=20，即该车间“待整改”的基本事件有20个，故该车间“待整改”的概率为P==．点评：本题主要考查方差的定义和求法，古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于中档题．20．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，求使得|T n﹣1|成立的n的最小值．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知数列递推式得到a n=2a n﹣1（n≥2），再由已知a1，a2+1，a3成等差数列求出数列首项，可得数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，则其通项公式可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列{}的通项公式，再由等比数列的前n项和求得T n，结合求解指数不等式得n的最小值．解答：解：（Ⅰ）由已知S n=2a n﹣a1，有a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n=2a n﹣1（n≥2），从而a2=2a1，a3=2a2=4a1，又∵a1，a2+1，a3成等差数列，∴a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2．∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，∴．由，得，即2n＞1000．∵29=512＜1000＜1024=210，∴n≥10．于是，使|T n﹣1|成立的n的最小值为10．点评：本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．已知函数f（x）=（a、b为常数）．（1）若b=1，解不等式f（x﹣1）＜0；（2）若a=1，当x∈时，f（x）＞恒成立，求b的取值范围．考点：函数恒成立问题；其他不等式的解法．专题：综合题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）f（x﹣1）＜0即，按照1﹣a与0的大小关系分三种情况讨论可解不等式；（2）a=1时不等式可化为（※），由x≠﹣b可知b∉，分离出参数b后化为函数的最值即可，由基本不等式可求最值；解答：解：（1）f（x﹣1）＜0即，①当1﹣a＞0，即a＜1时，不等式的解集为：（0，1﹣a）；②当1﹣a=0，即a=1时，不等式的解集为：x∈ϕ；③当1﹣a＜0，即a＞1时，不等式的解集为：（1﹣a，0）．（2）a=1时，f（x）＞即（※）且x≠﹣b，不等式恒成立，则b∉；又当x=﹣1时，不等式（※）显然成立；当﹣1＜x≤2时，，故b＞﹣1．综上所述，b＞﹣1．∵x+b≠0，∴b≠﹣x，又x∈，∴﹣x∈，综上，b∈（1，+∞）为所求．点评：该题考查函数恒成立、分式不等式的解法，考查分类讨论思想，考查学生对问题的转化能力．22．已知各项均为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，且满足2S n=a n2+a n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}的前n项和为T n，求证：当n≥3时，T n＞+．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出，化简得（a n﹣a n﹣1﹣1）（a n+a n﹣1）=0，由此能求出a n=n．（Ⅱ）当n≥3时，利用放缩法和裂项求和法能证明T n＞+．解答：解：（Ⅰ）∵…①，∴，解得a1=1或0（舍），且…②，①﹣②得，化简得（a n﹣a n﹣1﹣1）（a n+a n﹣1）=0，∵数列{a n}各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1﹣1=0，即a n=a n﹣1+1，∴{a n}为等差数列，a n=n，经检验，a1=1也符合该式，∴a n=n．…（5分）（Ⅱ）当n≥3时，∴当n≥3时，T n＞+．…（12分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意放缩法和裂项求和法的合理运用．。

重庆市巴蜀中学2017-2018学年高一下学期期末模拟数学试题一、选择题：共9小题.1．△ABC中，若C=30°，a=8，b=8，则S△ABC等于（）A．32B．12C．32或16D．16【解析】△ABC中，∵C=30°，a=8，b=8，∴S△ABC=ab sin C=×8×8×=16．故选：D．2．“a＞b＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不允分也不必要条件【解析】由a＞b＞0能推出；但反之不然，因此平方不等式的条件是a，b∈R且a≠b．故选：A．3．已知f′（x）是函数f（x）的导数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能是图中（）A．B．C．D．【解析】根据导函数可知函数在（﹣∞，﹣1）上单调减，在（﹣1，1）上单调增，在（1，+∞）上单调减，结合图象可知y=f（x）的图象最有可能是图中B.故选：B．4．若x、y满足，则z=2x+y的最大值为（）A．2 B．4 C．D．【解析】作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A（2，0）时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．此时z的最大值为z=2×2+0=4，故选：B．5．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．∠C为钝角的三角形B．∠B为直角的直角三角形C．锐角三角形D．∠A为直角的直角三角形【解析】∵，合并提出得，得，∴∠A=90°，则△ABC的形状是∠A为直角的直角三角形．故选：D．6．已知点p（x，y）（x＞0，y＞0）在经过点A（2，0），B（0，1）两点的直线上，则+的最小值为（）A．9 B．4 C．D．【解析】由A（2，0）、B（0，1）可求直线AB的斜率k AB==﹣，∴由点斜式可得直线AB的方程为：x+2y=2，∴+=（+）（x+2y）=（1+4++）≥（5+2）=（5+4）=，当且仅当x=，y=时取等号，故选：C．7．已知数列a n=2n，前n项和为S n，若数列的前n项和为T n，则T2012的值为（）A．B．C．D．【解析】∵数列a n=2n，∴数列{a n}是一个等差数列，∴前n项和S n==n2+n．∴，∴T n=…+=1﹣=．∴T2012=．故选：D．8．已知，且关于x的函数在R上有极值，则与的夹角范围为（）A．B．C．D．【解析】因为，且关于x的函数=在R上有极值，所以f'（x）=x2+2|x+2||2cosθ=0在R上有不等实根，所以判别式△=4||2﹣8||2cosθ＞0，所以cosθ＜，所以θ∈（，π]；故选：D．9．过M（1，3）引圆x2+y2=2的切线，切点分别为A、B，则△AMB的面积为（）A．B．4 C．D．【解析】如图，由题意可得|OM|==，由勾股定理可得|MA|=|MB|==2，故sin∠OMB===，∴cos∠AMB=cos2∠OMB=2cos2∠OMB﹣1=﹣，故sin∠AMB=，三角形面积S=×|MA|×|MB|×sin∠AMB=，故选：C．二、填空题：共4小题.10．在平面直角坐标系xOy中，A，B为直线3x+y﹣10=0上的两动点，以AB为直径的圆M 恒过坐标原点O，当圆M的半径最小时，其标准方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．【解析】由题意圆心到直线的距离d==，过原点且与AB垂直的直线方程为x﹣3y=0，与3x+y﹣10=0联立，可得x=3，y=1，∴当圆M的半径最小时，其标准方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．故答案为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．11．在△ABC中，角A的平分线为AD，D在边BC上，AB=，AD=，B=45°，则A=30°．【解析】角A的平分线为AD，D在边BC上，AB=，AD=，B=45°，△ABD中，由正弦定理，，可得：sin∠ADB=，∴∠ADB=60°或120°当∠ADB=60°时，那么：∠BAD=180°﹣45°﹣60°=75°，∴A=2∠BAD=150°，可得∠C=180﹣150°﹣45°=﹣15°不成立．故得∠ADB=120°，那么：∠BAD=180°﹣120﹣60°=15°，∴A=2∠BAD=30°，故答案为：30°．12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=，a=4，角A的平分线交边BC于点D，其中AD=3，则S△ABC=12．【解析】由A=，a=4，余弦定理：cos A=，即bc=b2+c2﹣112．…①角A的平分线交边BC于点D，由ABD和ADC面积和定理可得AD=，AD=3，即bc=3（b+c）…②由①②解得：bc=48．那么S△ABC=cb sin A=12．故答案为：1213．已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，S n为其前n项和，且满足a n2=S2n﹣1（n∈N+）．若不等式≤对任意的n∈N+恒成立，则实数λ的最大值为﹣21．【解析】在a n2=S2n﹣1中，令n=1，n=2，得，即，解得a1=1，d=2，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1，a n+1=2n+1．①当n为偶数时，要使不等式≤恒成立，即需不等式恒成立，∵，等号在n=2时取得，∴此时λ需满足λ≤25；②当n为奇数时，要使不等式≤恒成立，即需不等式恒成立，∵随n的增大而增大，∴n=1时，取得最小值﹣6．则λ≤﹣6﹣15=﹣21．综合①、②可得λ的取值范围是λ≤﹣21．∴实数λ的最大值为﹣21．故答案为：﹣21．三、解答题：共5小题.14．设{a n}是一个公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，已知S9=90，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），则a2=a1+d，a4=a1+3d，由a1，a2，a4成等比数列，可得，即，整理，可得a1=d．由，可得a1=d=2，∴a n=a1+（n﹣1）d=2n．（2）由于a n=2n，所以，从而，即数列{b n}的前n项和为．15．已知函数f（x）=ax3+cx在x=3处的切线方程为8x﹣y﹣18=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（x）≤m（m∈R）对任意x∈[﹣2，2]上恒成立，求m的取值范围．解：（1）f′（x）=3ax2+c，k=f′（3）=27a+c=8，①f（3）=27a+3c=8×3﹣18=6，②联立①②解得：，c=﹣1．∴f（x）=x3﹣x；（2）f（x）≤m（m∈R）对任意x∈[﹣2，2]上恒成立，即f（x）max≤m，x∈[﹣2，2]恒成立，f′（x）=x2﹣1，由f′（x）=x2﹣1=0，得x1=﹣1，x2=1．列x、f′（x）、f（x）的关系表：由表可知，．∴．16．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．解：（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，故无论k取何值，直线l总过定点（﹣2，1）．（2）直线l的方程可化为y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，要使直线l不经过第四象限，则，解得k的取值范围是k≥0．（3）依题意，直线l在x轴上的截距为﹣，在y轴上的截距为1+2k，∴A（﹣，0），B（0，1+2k），又﹣＜0且1+2k＞0，∴k＞0，故S=|OA||OB|=×（1+2k）=（4k++4）≥（4+4）=4，当且仅当4k=，即k=时，取等号，故S的最小值为4，此时直线l的方程为x﹣2y+4=0．17．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，且sin2B（Ⅰ）求角B的大小．（Ⅱ）已知b=2，求△ABC面积的最大值．解：（Ⅰ）∵a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，且sin2B，∴1﹣cos2B+=2，即cos2B﹣，解得cos B=2（舍）或cos B=，解得B=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知B=，又b=2，根据余弦定理得b2=a2+c2﹣2ac cos B，把b=2，cos B=，代入得a2+c2﹣ac=4，∴a2+c2=ac+4≥2ac，解得ac≤4，∴△ABC面积S△ABC==，∴△ABC的面积最大值为．18．已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E：y2=2px（p＞0），圆心C到抛物线焦点F的距离为．（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB．设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程．解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0可化为（x+1）2+（y﹣1）2=1，则圆心为（﹣1，1）．抛物线E：y2=2px（p＞0），焦点坐标F（），由于：圆心C到抛物线焦点F的距离为．则：，解得：p=6．故抛物线的方程为：y2=12x（2）设直线的方程为x=my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），则：，整理得：y2﹣12my﹣12t=0，所以：y1+y2=12m，y1y2=﹣12t．由于：OA⊥OB．则：x1x2+y1y2=0．即：（m2+1）y1y2+mt（y1+y2）+t2=0．整理得：t2﹣12t=0，由于t≠0，解得t=12．故直线的方程为x=my+12，直线经过定点（12，0）．当CN⊥l时，即动点M经过圆心C（﹣1，1）时到直线的距离取最大值．当CP⊥l时，即动点M经过圆心C（﹣1，1）时到动直线L的距离取得最大值．k MP=k CP=﹣，则：m=．此时直线的方程为：x=，即：13x﹣y﹣156=0．。

2017-2018学年重庆市第八中学 高一下学期期末考试数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．设a,b,c ∈R ，且a >b ，则下列说法正确的是 A ．ac >bc B ．2a>2bC ．a 2>b 2D ．1a <1b2．设集合A ={x |x 2−2x −3≤0 }，B ={x |0<x <4 }，则A ∩B = A ．[-1,4 ） B ．[-1,3 ） C ．（0,3 ] D ．( 0,4 ) 3．已知F 1,F 2是椭圆x 216+y 29=1的两个焦点，过F 1的直线与椭圆交于M,N 两点，则ΔMNF 2的周长为A ．16B ．8C ．25D ．324．已知m ≠0，若直线mx +2y +m =0与直线3mx +(m −1)y +7=0平行，则m 的值为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．95．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？A ．6B ．5C ．4D ．36．下列函数中，既是偶函数，又在(−∞,0)内单调递增的为 A ．y =x 2+2x B ．y =2|x | C ．y =2x −2−xD ．y =log 12|x |−17．已知平面向量a ⃑,b ⃑⃑的夹角为23π且|a ⃑|=1 , |b ⃑⃑|=12，则(a ⃑+2b⃑⃑)•b ⃑⃑= A ．−14 B ．14 C ．12 D ．−328．已知实数x,y 满足约束条件{3x −y −3≤0x −2y +4≥03x +4y +12≥0 ，则z =2x −y 的最大值为A ．2B ．3C ．4D ．59．在平面直角坐标系中，记d 为点P(cosθ,sinθ)到直线mx +y −3=0的距离，当θ,m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．410．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1=3且a n +16=S n +nSn+1−S n +1，则以下说法中正确的个数是①a 2=5； ②当n 为奇数时，a n =3n ； ③a 2+a 4+...+a 2n =3n 2+2n A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题11．若正数a ，b 满足1a +1b =1，则1a−1+9b−1的最小值为 A ．1 B ．6 C ．9 D ．1612．已知向量a ⃑=(3,0),b ⃑⃑=(−5,5),c ⃑=(2,k)，若b ⃑⃑⊥(a ⃑+c ⃑)，则k =__________ 13．直线x +√3y −2=0与圆x 2+y 2=4相交于A,B 两点，则弦AB 的长度等于________ 14．在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且C =23π，若ΔABC 的面积S =√312c ，则ab 的最小值为___________15．设点M 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的点，以点M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于不同的两点P,Q ,且满足|MP⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+MQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|PQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|,则椭圆的离心率为________。

秘密★启用前2018年重庆一中咼2018级咼一下期期末考试数学试题卷 2018.7数学试题共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2. 答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定 的位置上。

4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.(1)已知集合 A 二{x|(x 2)(x-3) "}，B 二{-1,0,1,2,3}，则 A" B 二(B) {0,1,2} (D ) {-1,0,1,2}b = (3,1),若a_b ,贝U 实数k 的值等于 5 5 3(B) - 3 (C ) 3( D )2(3)设等差数列{a n }的前n 项和为S,若a 5 + a i4= 10,则$8等于(A) 20( B ) 60 ( C )90( D )100(4)圆(x 2)2 y 2 =4与圆(x-2)2 • (y -1)2 =9的位置关系为(A )内切(B )相交 (C) 外切 (D) 相离(A ) {0,1} (C ) {-1,0,1}(5)已知变量x , y 满足约束条件x - y _1 , x - y _1 (B ) 11 则z=3x+y 的最大值为 (A) 12 (C ) 3 (D)-1 (6)已知等比数列｛a n ｝中，a 1 = 1, q = 2,则 1 1 1 1' +…+ 的结果 a n a n +1可化为 (B) 1-2 (C )3(1—》) (D )彳(1 —寺) (7)“m=1 ”是“直线mx y — 2 = 0与直线x my 1 — m = 0平行” (A )充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C )充要条件(D) 既不充分也不必要条件(8) 阅读右面的程序框图，运行相应的程序,输出S 的值为15 (9) (B ) 105 (C ) (D ) 245945 现有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2 3, 4”, 第二组卡片上分别写有数字“34, 5”，现从每组卡片中各随机 抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上 的数字，差为负数的概率为 (B)書(D)(10)在平行四边形 ABCD 中，AD = 2, / BAD = 60° E 为 CD 的中点, =1,则AB 的长为 (A ) .6(B) 4(C ) 5若 AD BE(D) 6(11)(原创)已知函数f(x)= ^x，且对于任意实数a，(0,1)厂x2+2mx —2m +1,x >1关于x的方程f (x) 一a= 0都有四个不相等的实根石，x, x3 x,则X1+X2 • x^ x的取值范围是(A)(2,4] (B)(-：：,0山[4,：：)(C)[4，+::) ( D)(2,+：：)(12 )(原仓U )已知集合M ={(x,y)|2x • y—4=0}，N = {(x, y) | x2 y2 2mx 2ny = 0}，若M 门N =，则m2n2的最小值4 3 l 5(A) 5 ( B) 4 ( C)(6- 2,5) (D) -4第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分(13)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3： 3: 4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高一年级抽取名学生.(14 )(原创)在ABC中，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，若兀47a=3,B ,cAs —6 4则b= ___________ .(15)已知点P，Q为圆C: x2+ y2= 25上的任意两点，且|PQ|<6,若PQ中点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M上的概率为(16) (原创)点C 是线段AB 上任意一点，0是直线AB 外一点，OC = xOA+yOB , 不等式x 2(y 1) - y 2(x 2) k(x 2)(y 1)对满足条件的x , y 恒成立， 则实数k 的取值范围—三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17) (本小题满分10分) 已知厶ABC 的面积是3,角代B,C 所对边长分别为a,b,c ,(I )求 A ^U AC ；(n )若b =2，求a 的值.(18) (本小题满分12分)已知圆 C :(X -3)2 • (y 一4)2 =4，直线 I 过定点 A(1,0).(I)若I 与圆C 相切，求直线I 的方程；(n)若I 与圆c 相交于p 、Q 两点，且PQ = 22，求直线I 的方程.(19) (本小题满分12分)某校从高一年级学生中随机抽取 40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满 分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：［40,50), ［50,60)，…，［90,100］ 后得到如图所示的频率分布直方图.(I)若该校高一年级共有学生 640名，试估计 该校高一年级期中考试数学成绩不低于 60分的人数；(n)若从数学成绩在［40,50)与［90,100］两个分数 段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学 成绩之差的绝对值不大于10的概率.cosA = ?5频率(20) (本小题满分12分)已知数列｛a n ｝满足a =1,耳-a nA = n (其中n _ 2且n N ).(I)求数列｛a n ｝的通项公式；2a7(U)设b n 二一-，其前n 项和是T n ,求证：T n <9.n x 49(21) (原创)(本小题满分12分)已知动点P(x, y)满足方程xy =d (x 0).(I)求动点P 到直线丨：x • 2y 一2二0距离的最小值；(U)设定点A(a,a)，若点P, A 之间的最短距离为2 2,求满足条件的实数a 的取值.(22) (本小题满分12分)已知函数f(x)= ax 〒b 为奇函数，且f(1) = 1 .x(I)求实数a 与b 的值； (U)若函数g(x) J _f (x)，设｛a n ｝为正项数列，且当n_2时，x[g(a n ) g(a n4)+ * 2*2 21] a n 2 =q ，(其中 q=2016 )，｛a .｝的前 n 项和为 S n ，a n anJb n 二' ，若bn _2017n 恒成立，求q 的最小值.i 二 S命题人：付彦审题人：邹发明2018年重庆一中高2018级高一下期期末考试数学答案 2018.7一、选择题：1— 5 DACBB 6—10 CCBDD 11—12 CA、填空题：15,解答题:4 3(17)解：由cos A 二一，得sin A = 一又2bcsinA^30，2bCSin A(i)A B A C = bccosA = 8(U) ；b=2,. c = 5, a2二b2c2-2bccosA =13 二a -、13(18)解：(i)当斜率不存在时，方程x=1满足条件；3k _ 一_ kl 3当L1斜率存在时，设其方程是y=k(x-1),则’ k =2，解得，Jk2+1 4 所以所求方程是x=1和3x-4y-3=0;(U)由题意，直线斜率存在且不为0,设其方程是y=k(x-1),则圆心到直线的距.k 1：2.4-d2=2 2, d=、2，此时k=1 或k=7，所以所求直线方程是x-y-1=0或7x-y-7=0.(19)解：(I)根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1 —10 X0.005+ 0.01) = 0.85.由于该校高一年级共有学生640名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为640X).85= 544.(U)成绩在［40,50)分数段内的人数为40X0.05= 2,成绩在［90,100］分数段内的人数为40X0.1= 4,则记在［40,50)分数段的两名同学为A1, A2,在［90,100］分数段内的同学为B1, B2, B3, B4.若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法共有15种.如果2名学生的数学成绩都在［40,50)分数段内或都在［90,100］分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10;如果一个成绩在［40,50) 分数段内，另一个成绩在［90,100］分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的d =、_(t — a)2 a 2 -2 ,设 f(t) =(t — a)2 a 2 —2(t 一2)绝对值一定大于10.则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10的取法有(A i , A 2), (B I , B 2), (B i , B 3)，(B i ，B 4)，(B 2, B 3)，(B 2, B 4), (B 3, B 4)共 7 种取法，所以所求概(20)解：(I)解：an- a 1(a2- a 1)(a 3 -a2) 1 H (an-an八…宀1)("正明：0=罟=即, 2 3 n +1n 项和T n = 4+孑+…+ _4^，123 n n +14&=42+ 43+^+ 羊+4nT T ， T 1 2 1 1 1 n +1 二 T n — 4T n = 4 + 孑 + 戸+…+ 4n _ 厂1 丄1 4(1—4n)n +17 3n + 74+r —盯 二 12— 3^4^，1—4T_7— 3n + 7 7 T n= 9— 9X 4n<9.当且仅当X —2时距离取得最小值』51( n ) 设 点 P(x-)( x 0),Xd =J(x _a)2 +(丄—a)2 =i ；(x 2 十4) _2玄&十丄)+2a 2* x \ x x1 1设 x _ =t (t _ 2),则 x 2-2 =t 2 _2xx其前 (21)解：(I) d 二|xT 幕|x 2y - .2 |对称轴为t 二a 分两种情况：(1)a 乞2时，f(t)在区间上是单调增函数，故t=2时,f(t)取最小值 ••• d min 二」(2二a)2—a 2二2 二2.-2 ,二 a 2 _2a _3 二0 ,二 a =_1(a =3舍) ⑵a >2时,■/ f(t)在区间2,a 上是单调减，在区间la, •：：上是单调增，••• t =a 时，f(t)取最小值••• d min=.(a —a) a 一2=2、. 2,二 a = . 10 (a = -10 舍)综上所述，a = -1或• 10(22)解：(I)因为f (x)为奇函数，b一巴),x得 b =0，又 f(1)=1，得 a =1 1 X —1 (U)由 f (x)二一，得 g(x) = —2~ X X q(1-q n ) 1-q ' a q(n 一 2) . Sn = a n J.n S 由：曽I 1-q 2 J-q 3■/ b n -2017n 恒成立，即: 当 q _2016 时, n 1 + * 1 _q n 1-q n 1 ｛1 ^―｝为单调递减数列, 1-q _2017 时a + a — 1,且[g(a n ) g(a n 」)—a n 2 二 q ,a n an」1-S n 1 1 _ q。

若向量，满足，则实数（B. C. D.【解析】分析：由，可得，，，解得，故选B.）两向量平行，利用解答；）两向量垂直，利用解答为等差数列中的前项和，，，则数列的公差B. C. D.【答案】【解析】分析：由,详解：由等差数列中的前项和，，解得，故选B.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前一般可以“知二求三”，通过列方程组所中，分别是角所对应的边，，，则B. C. D.，，由正弦定理可得，，故选点睛：本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于简单题已知实数满足，下列选项中不一定成立的是（B. C. D.，所以，因为，所以，因为，所以，又，所以，因为，所以，又，所以因为，所以因此的大小不能确定，即.....................已知函数在B. C. D.【解析】分析：求出，利用详解：由题意知函数的定义域为可得，函数在处取得极值，，经检验时函数在求参数的一般步骤是：）列方程求参数下列说法正确的是（）共线，则或者，则中，点满足，则点为，为单位向量，则共线可得，由与可以同垂直于可得由单位向量方向不确定得错误.详解：由与共线得，故“若与共线，则或者”不正确，可以同垂直于可得“若，则”不正确，错误；由平面向量加法法则可得“若中，点满足，则点为，为单位向量，则”不正确，是整数，则称点为整点，对于实数，约束条件B. C. D.如图中的已知各项均为正的等比数列中，与的等比中项为，则B. C. D.等比数列与的等比中项为，等比数列各项均为正数，当且仅当时，取等号，的最小值是点睛：本题主要考查等比数列的性质的应用，属于简单题列问题要注意应用等比数列的性质：若.若直线（）平分圆B. C. D.始终平分圆在直线上，再利用“”的代换，结合基本不等式，即可求出详解：因为利用直线始终平分圆所以，圆的圆心在直线，当且仅当时，等号成立，点睛：本题主要考查圆的方程与性质，以及利用基本不等式求最值，属于中档题要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用中，若，则是（B. 直角三角形C.【解析】由得，则，所以，则，即是的内角，所以，即，所以数列，），则B. C. D.【答案】D【解析】分析：由，可得是公比为为公比是等比数列，利用等比数列求和公式可得结果详解：，是公比为为公比是等比数列，，点睛：本题考查主要考查等比数列的定义、性质以及等比数列的通项公式与求和公式，意在考查综合运用已知有且仅有两个零点，那么实数B. C. D.【答案】有且仅有两个零点等价于有两个非零零点，利用单调性结合函数图象可得结果.有两个零点，设有两个非零零点，，在上递增，在有两个非零零点，得，故选点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及函数的零点，属于中档题设函数的极大值为，极小值为或；两个零点或；三个零点且满足约束条件，则的最小值为【答案】【解析】分析：画出可行域，将变形为，平移直线由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最大，最小，从而可得结果，作出可行域如图，，解得，化目标函数为由图可知，当直线过轴上的截距最大，最小值为，故答案为.与圆相外切，则半径的值为【答案】4.详解：圆的圆心为的圆心为，半径为圆心距为两圆外切，，解得，故答案为是正三角形，，点为的重心，点满足__________【答案】【解析】分析：以轴，的中垂线为轴建立坐标系，可得，利用平面向量，点为满足，，，故答案为.点睛：本题考查向量的坐标运算以及平面向量数量积公式，，二是，主要应用以下几个方面往往用坐标形式求解））;(4)求向量的模（平方后需求已知圆，直线，如果圆上总存在点轴的取值范围是__________【答案】关于的对称点在轴上为，则，利用辅助角公式结合三角函数的有界性列不等式求解即可.详解：圆方程化为设圆上一点关于的对称点在轴上为，消去化为，，，即，的取值范围是，故答案为.本题主要考查圆的标准方程与参数方程的应用，点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利已知函数）求函数在处切线方程；）求函数(1) .函数最小值为，最大值为）求出,的值可得切点坐标，由的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数求得的范围，可得函数的减区间，根据函数单调性可得函数），斜率，切点所以切线为所以函数最小值为，最大值为点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与最值，属于中档题）求出处的导数，即在点出的切线斜率（当处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为（2）由点斜式求得切线方程18. 已知中，分别是角所对应的边，若，且）求角，求的值．(1) .）由利用正弦定理得，利用两角和的正弦公式，所以）由三角形面积公式可得）由及正弦定理得：，又，所以，因为，所以，得，又点睛：以三角形载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点，且）求直线）求圆(1) .或【解析】试题分析：（1）由直线的斜率，，所以直线的方程为）设圆心，则由在上得，由得公式列方程，联立方程组解得或，所以圆的方程为试题解析：）由直线的斜率的中点坐标为的方程为，即．）设圆心，则由在①，∴，∴由①②解得或，∴圆心或的方程为．考点：直线与圆的位置关系．已知正项等比数列的前项和满足：）求数列的首项和公比，求数列的前项和(1).）由，两式相减得：，则，由，可得，，所以，利用分组求和，结合等比数列与等差数列的求和公式可得结果.）由题有，则，有，可知，有，所以(2)由（1），，所以，采用分组求和：点睛：本题主要考查等比数列的通项与求和公式、利用“分组求和法”求数列前用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可已知圆直线）若直线与圆相交于两点，弦长等于，求）已知点，点为圆心，若在直线上存在定点（异于点，满足：对于圆上任一点，都为一常数，试求所有满足条件的点【答案】(1) 或.在直线上寻在定点，使得为常数）由弦长，结合圆的半径为，利用勾股定理可得圆心到直线的距离，根据）直线的方程为，假设存在定点满足题意，设，，平方后可所以且，解得，（舍去，与，详解：（1）由弦长等于，结合圆的半径为，利用勾股定理可得圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式列方程可得或）由题知，直线的方程为，假设存在定点满足题意，，，且所以整理得：因为，上式对于任意恒成立，且，所以，（舍去，与，综上可知，在直线上寻在定点，使得为常数点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系、解析几何中的定点问题以及点在曲线上问题，属于难题已知函数，求函数的单调性；，使恒有，求实数的取值范围．(1)在单调递减，在）求出，在定义域内，分别令的范围，可得函数增区间，的范围，可得函数的减区间；）令，且数的单调性，可得时不成立，，在单调递增，可得在）易得：时有在单调递减，在单调递增；，且，，，在单调递增，，即，，单调递减，当，，不成立．，在单调递增，，，所以在单调递增，成立，故。

重庆市2017-2018学年高一（下）期末考试数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={1，3，5，6}，集合B={2，3，4，5}，那么A∩B=（）A．{3，5} B．{1，2，3，4，5，6} C．{7} D．{1，4，7}2．已知直线l1：x﹣2y+1=0与直线l2：mx﹣y=0平行，则实数m的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣23．在一次实验中，测得（x，y）的四组值为（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），则y与x之间的回归直线方程为（）A．=x+1 B．=x+2 C．=2x+1 D．=x﹣14．已知函数f（x）=e x﹣x2+8x，则在下列区间中f（x）必有零点的是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）5．要得到函数的图象，只需要将函数y=sin2x的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度6．在等比数列{a n}中，若a3=4，a7=16，a5的值为（）A．±8 B．4 C．8 D．647．阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．118．已知△ABC中，∠A=，AB=3，AC=3，在线段BC上任取一点P，则线段PB的长大于2的概率为（）A．B．C．D．9．已知△ABC是腰长为2等腰直角三角形，D点是斜边AB的中点，点P在CD上，且，则=（）A．﹣B．﹣C．0 D．410．设a＞0，b＞1，若a+b=2，则的最小值为（）A．B．8 C．D．11．等比数列{a n}中，首项a1=2015，公比q=﹣，记T n为它的前n项之积，则T n最大时，n的值为（）A．9 B．11 C．12 D．1312．已知关于x的函数f（x）=x2+2mlog2（x2+2）+m2﹣3，（m＞0）有唯一的零点，且正实数a、b满足a2+b2=m，且a3+b3+1=t（a+b+1）3，则t的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．已知变量x，y满足，则x+y的最大值是．14．已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=．15．若非零向量f（x）满足||=||，且，则与的夹角为．16．若c=2，∠C=且△ABC是锐角三角形，则△ABC周长的取值范围．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.17．已知数列{a n}满足a n+1=3a n+4，（n∈N*）且a1=1，（Ⅰ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．18．某校从参加2015年高考的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到部分频率分布直方图（如图所示）．观察图中数据，回答下列问题．（Ⅰ）求分数在[120，130）内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．19．已知=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），f（x）=2•+2m﹣1（x，m∈R）．（Ⅰ）求f（x）的对称轴方程；（Ⅱ）若x∈[0，]时，f（x）的最小值为5，求m的值．20．设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0，a≠1）是定义域为R的奇函数（Ⅰ）若f（1）＞0，试求使不等式f（x2+tx）+f（2x+1）＞0在定义域上恒成立的t的取值范围；（Ⅱ）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．21．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=1﹣a n（n∈N*）．（Ⅰ）试求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求证：数列{c n}的前n项和P n＞2n﹣．22．△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大内角为钝角，①求最大角的余弦值；②求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积．重庆市2017-2018学年高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={1，3，5，6}，集合B={2，3，4，5}，那么A∩B=（）A．{3，5} B．{1，2，3，4，5，6} C．{7} D．{1，4，7}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由A与B，找出两集合的交集即可．解答：解：∵A={1，3，5，6}，B={2，3，4，5}，∴A∩B={3，5}．故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知直线l1：x﹣2y+1=0与直线l2：mx﹣y=0平行，则实数m的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣2考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由已知条件推导出，由此能求出m的值．解答：解：∵直线l1：x﹣2y+1=0与直线l2：mx﹣y=0平行，∴，解得m=．故选：A．点评：本题考查实数m的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的位置关系的合理运用．3．在一次实验中，测得（x，y）的四组值为（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），则y与x之间的回归直线方程为（）A．=x+1 B．=x+2 C．=2x+1 D．=x﹣1考点：线性回归方程．专题：计算题．分析：根据所给的这组数据，取出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入所给的四个选项中验证，若能够成立的只有一个，这一个就是线性回归方程．解答：解：∵=3.5，∴这组数据的样本中心点是（2.5，3.5）把样本中心点代入四个选项中，只有y=x+1成立，故选A点评：本题考查求线性回归方程，一般情况下是一个运算量比较大的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，但是对于一个选择题，还有它特殊的加法．4．已知函数f（x）=e x﹣x2+8x，则在下列区间中f（x）必有零点的是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数g（x）=e x，h（x）=x2﹣8x，画出图象判断，交点个数，运用特殊函数值判断区间．解答：解：∵函数f（x）=e x﹣x2+8x，令g（x）=e x，h（x）=x2﹣8x，画出图象判断交点1个数．∵g（0）=1，h（0）=0，g（﹣1）=e﹣1，h（﹣1）=9，∴g（0）＞h（0），g（﹣1）＜h（﹣1），∴交点在（﹣1，0）内，即函数f（x）=e x﹣x2+8x，则在下列区间中f（x）必有零点的是（﹣1，0）故选：B点评：本题考查了构造函数，运用图象的交点问题求解有关的函数的零点，画出图象判断，利用特殊函数值判断即可．5．要得到函数的图象，只需要将函数y=sin2x的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：由于将函数y=sin2x的图象上所有点向左平移个单位长度，即可得函数的图象，从而得出结论．解答：解：将函数y=sin2x的图象上所有点向左平移个单位长度，即可得函数的图象，故选C．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于基础题．6．在等比数列{a n}中，若a3=4，a7=16，a5的值为（）A．±8 B．4 C．8 D．64考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用可知q4=4（q为公比），通过a5=a4•q2计算即得结论．解答：解：∵a3=4，a7=16，∴q4===4（q为公比），∴a5=a4•q2=a4•=4•2=8，故选：C．点评：本题考查等比数列，注意解题方法的积累，属于基础题．7．阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根据条件确定跳出循环的i值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．故选：B．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．8．已知△ABC中，∠A=，AB=3，AC=3，在线段BC上任取一点P，则线段PB的长大于2的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：首先解三角形求出BC，然后利用几何概型求概率．解答：解：在△ABC中，∠A=，AB=3，AC=3，所以BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cos∠A=27+9﹣18=9，所以BC=3，在线段BC上任取一点P，则线段PB的长大于2的点P在距离C的一端BC的内，由几何概型线段PB的长大于2的概率为；故选：A点评：本题考查了余弦定理的运用，几何概型的概率求法；正确运用余弦定理求出BC长度是关键．9．已知△ABC是腰长为2等腰直角三角形，D点是斜边AB的中点，点P在CD上，且，则=（）A．﹣B．﹣C．0 D．4考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：以CB，CA两直线分别为x，y轴，建立坐标系，根据条件可求出C，A，B，D几点的坐标，设P （x，y），而根据即可求出点P的坐标，从而得出向量的坐标，然后进行数量积的坐标运算即可．解答：解：如图，分别以边CB，CA所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则：C（0，0），A（0，2），B（2，0），D（1，1）；设P（x，y），∵；（x，y）=（1﹣x，1﹣y）；∴；解得；∴，，；∴．故选B．点评：考查建立平面直角坐标系，利用向量坐标求数量积的方法，由点的坐标可求向量的坐标，向量坐标的数乘、数量积的运算．10．设a＞0，b＞1，若a+b=2，则的最小值为（）A．B．8 C．D．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵设a＞0，b＞1，a+b=2，∴=（a+b﹣1）=4+=4+2，当且仅当a=（b﹣1）=时取等号，∴的最小值为4+2．故选：D．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．11．等比数列{a n}中，首项a1=2015，公比q=﹣，记T n为它的前n项之积，则T n最大时，n的值为（）A．9 B．11 C．12 D．13考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：先判断|T n+1|与|T n|的大小关系，结合等比数列的性质进行比较即可．解答：解：∵=||=|a n+1|=2015•（）n，∵210=1024，211=2048∴当n≤10时，|T n+1|＞|T n|，当n≥11时，|T n+1|＜|T n|，故|T n|max=|T11|，又T10＜0，T11＜0，T9＞0，T12＞0，∴T n的最大值是T9和T12中的较大者，∵=a10a11a12=[2015（）10]3＞1，∴T12＞T9因此当n=12时，T n最大．故选：C点评：本题主要考查等比数列的应用，根据等比数列的通项公式是解决本题的关键．12．已知关于x的函数f（x）=x2+2mlog2（x2+2）+m2﹣3，（m＞0）有唯一的零点，且正实数a、b满足a2+b2=m，且a3+b3+1=t（a+b+1）3，则t的最小值是（）A．B．C．D．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由偶函数f（x）=有唯一的零点．可得：f（0）=0，进而求出m=1；进而令a=cosθ，b=sinθ，，根据三角函数的图象和性质及常数分离法和反比例函数的和性质，可得t的最小值．解答：解：∵f（x）是偶函数，且f（x）=有唯一的零点．∴f（0）=0，解得，m=1或﹣3，又∵m＞0，∴m=1，∴a2+b2=1，令a=cosθ，b=sinθ，，则由a3+b3+1=t（a+b+1）3得：．令x=cosθ+sinθ，则，且．于是．因为函数在上单调递减，因此，t的最小值为．故选：A点评：本题考查的知识点是函数零点的判定定理，偶函数的图象和性质，三角函数的图象和性质，常数分离法和反比例函数的和性质，是函数图象和性质的综合应用，难度较大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．已知变量x，y满足，则x+y的最大值是4．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：画出不等式组表示的平面区域．设z=x+y，则y=﹣x+z，此方程可看作是斜率为﹣1的直线系方程，z为直线的纵截距，只需找到直线y=﹣x+z经过此区域，且纵截距最大的位置即可得到x+y的最大值．解答：解：作出直线x=1，y=2，x﹣y=0，从而得到不等式组表示的平面区域，如右图所示的阴影部分．设z=x+y，则y=﹣x+z，此方程可表示一系列斜率为﹣1的平行直线，当直线经过点A时，直线在y轴上的截距z最大，此时，由，得，即A（2，2），从而z max=x+y=2+2=4，即x+y的最大值是4．故答案为：4．点评：本题主要考查了数形结合思想及转化与化归思想的运用，考查了利用不等式组表示的平面区域解决最值问题．求解此类问题的一般步骤是：1．正确画出不等式组表示的平面区域；2．根据目标函数的几何意义进行处理．14．已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=﹣2．考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由α∈（﹣，0）sin（α+）=，利用诱导公式可求得cosα，从而可求得sinα与tanα．解答：解：∵sin（α+）=cosα，sin（α+）=，∴cosα=，又α∈（﹣，0），∴sinα=﹣，∴tanα==﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查运用诱导公式化简求值，考查同角三角函数间的基本关系，属于中档题．15．若非零向量f（x）满足||=||，且，则与的夹角为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由，便得到，进行数量积的运算，并带入即可得到，从而得出．解答：解：根据条件，=；∴；∴；∴与的夹角为．故答案为：．点评：考查数量积的运算及其计算公式，向量夹角的概念及范围，以及已知三角函数值求角．16．若c=2，∠C=且△ABC是锐角三角形，则△ABC周长的取值范围（2+2，6]．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：通过角的范围，利用正弦定理推出a+b的关系，利用两角和的正弦函数，化简函数的表达式，求出a+b的取值范围，从而可求周长的取值范围．解答：解：由∠C=且三角形是锐角三角形可得，由正弦定理得，∴a=×sinA=sinA，b=sinB=sin（﹣A），∴a+b=[sinA+sin（﹣A）]=（sinA+cosA）=4sin（A+），∴＜A+＜，∴＜sin（A+）≤1，即2＜a+b≤4∴△ABC周长l=a+b+c∈（2+2，6]．故答案为：（2+2，6]．点评：本题考查两角和的正弦函数、正切函数以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于基本知识的考查．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.17．已知数列{a n}满足a n+1=3a n+4，（n∈N*）且a1=1，（Ⅰ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用a n+1=3a n+4计算即得结论；（Ⅱ）通过a1=1可知a1+2=3，进而a n=3n﹣2，利用等比数列的求和公式计算即得结论．解答：（Ⅰ）证明：∵a n+1=3a n+4，∴，∴{a n+2}是公比为3等比数列；（Ⅱ）解：∵a1=1，∴a1+2=1+2=3，∴a n+2=3•3n﹣1=3n，∴a n=3n﹣2，∴．点评：本题考查等比数列的判定、数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．18．某校从参加2015年高考的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到部分频率分布直方图（如图所示）．观察图中数据，回答下列问题．（Ⅰ）求分数在[120，130）内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图的各小长方形的面积之和为1，求出分数在[120，130）内的频率；（Ⅱ）计算出[110，120）与[120，130）分数段的人数，用分层抽样的方法在各分数段内抽取的人数组成样本，求出“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”概率即可．解答：解：（Ⅰ）[120，130）内的频率为：1﹣（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1﹣0.7=0.3；…（5分）（Ⅱ）由题意，[110，120）分数段的人数为60×0.15=9（人）．[120，130）分数段的人数为60×0.3=18（人）．…（7分）∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，∴需在[110，120）分数段内抽取2人，并分别记为m、n；…（8分）在[120，130）分数段内抽取4人，并分别记为a、b、c、d；…（9分）设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”为事件A，则基本事件共有（m，n），（m，a），…，（m，d），（n，a），…，（n，d），（a，b），…，（c，d）共15种．…（10分）则事件A包含的基本事件有（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）共9种．…（11分）∴．…（12分）点评：本题考查了频率分布直方图的应用以及分层抽样和古典概型的计算问题，解题时应用列举法求出基本事件的个数，从而求出概率问题，是综合题．19．已知=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），f（x）=2•+2m﹣1（x，m∈R）．（Ⅰ）求f（x）的对称轴方程；（Ⅱ）若x∈[0，]时，f（x）的最小值为5，求m的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（Ⅰ）先进行数量积的坐标运算，并应用二倍角的正余弦公式及两角和的正弦公式便可求得，从而得出f（x）=2sin（2x）+2m，根据函数y=sinx的对称轴为x=，令2x+=，解出x即得f（x）的对称轴方程；（Ⅱ）由x的范围便可求出2x+的范围：，从而得到f（x）的最小值﹣1+2m=5，解出m即可．解答：解：（Ⅰ）==；∴；令2x=，k∈Z；∴f（x）的对称轴方程为：x=，k∈Z；（Ⅱ）x∈；∴；∴2x=时，f（x）min=2+2m=5；∴m=3．点评：考查数量积的坐标运算，二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式，以及正弦函数的对称轴，正弦函数在闭区间上的最．20．设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0，a≠1）是定义域为R的奇函数（Ⅰ）若f（1）＞0，试求使不等式f（x2+tx）+f（2x+1）＞0在定义域上恒成立的t的取值范围；（Ⅱ）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）根据函数的奇偶性求出k的值，根据f（1）＞0求出a的值，根据函数的单调性将不等式进行转化即可，（Ⅱ）由f（1）=，求出a的值，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行求解．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴1﹣（k﹣1）=0，∴k=2．∵函数f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），∵f（1）＞0，∴a﹣＞0，又a＞0，∴a＞1．由于y=a x单调递增，y=a﹣x单调递减，故f（x）在R上单调递增．不等式化为：f（x2+tx）＞f（﹣2x﹣1）．∴x2+tx＞﹣2x﹣1，即x2+（t+2）x+1＞0 恒成立，∴△=（t+2）2﹣4＜0，解得﹣4＜t＜0．（Ⅱ）∵f（1）=，，即3a2﹣8a﹣3=0，∴a=3，或a=﹣（舍去）．∴g（x）=32x+3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x）=（3x﹣3﹣x）2﹣2m（3x﹣3﹣x）+2．令t=f（x）=3x﹣3﹣x，由（1）可知k=2，故f（x）=3x﹣3﹣x，显然是增函数．∵x≥1，∴t≥f（1）=，令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2（），若，当t=m时，，∴m=2（舍去）若，当t=时，，解得m=＜，综上可知m=．点评：本题主要考查指数函数的性质，利用函数的奇偶性和单调性求出参数，利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键．21．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=1﹣a n（n∈N*）．（Ⅰ）试求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求证：数列{c n}的前n项和P n＞2n﹣．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出；（II）由已知得：当n=1时，，结论成立，当n≥2时，，化简利用“放缩法”即可证明．解答：（Ⅰ）解：∵S n=1﹣a n（n∈N*），∴S n+1=1﹣a n+1，作差得：，又当n=1时，，故．（Ⅱ）证明：由已知得：当n=1时，，结论成立，当n≥2时，==，结论也成立，综上知，对∀n∈N*，都成立．点评：本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、“分组求和”、“放缩法”不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大内角为钝角，①求最大角的余弦值；②求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（1）设△ABC的三边a、b、c的长度分别为n﹣1、n、n+1（n∈N*且n＞1），根据两边之和大于第三边和C为钝角，建立不等式并解之可得2＜n＜4，因此n=3可得△ABC三边长分别为2，3，4．最后根据余弦定理即可算出最大角的余弦值；（2）由（1）得最大角是角C，利用同角三角函数的关系算出sinC=，设平行四边形两边分别为m、n，可得它的面积为S=mnsinC=mn，再根据m+n=4用基本不等式求最值，即可得到当且仅当m=n=2时平行四边形面积最大值为．解答：解：（1）设△ABC的三边a、b、c的长度分别为n﹣1、n、n+1（n∈N*且n＞1），∵（n﹣1）+n＞n+1，∴n＞2，得n是大于3的整数∵△ABC是钝角三角形，可得∠C为钝角，有cosC＜0，由余弦定理得：（n+1）2=（n﹣1）2+n2﹣2n（n﹣1）•cosC＞（n﹣1）2+n2，即（n﹣1）2+n2＜（n+1）2⇒n2﹣4n＜0⇒0＜n＜4，因此，整数n的值为3，可得△ABC三边长分别为2，3，4．∵cosC===﹣∴最大角的余弦值为﹣（2）由（1）得，最大角C的正弦为sinC==，设夹角C的平行四边形两边分别为m、n，∵m+n=4，∴mn≤=4，当且仅当m=n=2时，mn的最大值为4因此，平行四边形的面积S=mnsinC=mn≤×4=∴当平行四边形两边都等于2时，夹角C的平行四边形面积最大值为．点评：本题给出三边长为连续整数的三角形，且最大角为钝角时求最大角的余弦之值，并依此求一个平行四边形的面积最大值，着重考查了利用正余弦定理解三角形、用基本不等式求最值和平行四边形面积公式等知识，属于中档题．。

2017-2018 学年重庆市巴蜀中学高一下学期期末考试数学文卷第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共12个小题, 每小题 5 分, 共60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若向量a r（2,k），b r（ 1,2），满足a r b r，则实数k （）A．1 B ．1 C ．4 D ．0已知S n 为等差数列a n 中的前n 项和，a3 3，S4 10 ，则数列a n 的公差d （）2.1A． B ．1 C ．2 D ．323. V ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 所对应的边，B 60 ，b 4 3 ，A 30 ，则a（）A．2 3 B ．4 C ．6 D ．4 34.已知实数a,b,c 满足c b a且ac 0 ，下列选项中不一定成立的是（）A．ab ac B ．c（b a）0 C. cb2ab2D ．ac（a c） 05.已知函数f x 2ln x ax在x 1处取得极值，则实数 a （）A．2 B ．2 C. 0 D ．16. 下列说法正确的是（）A．若a与b共线，则a b或者a br r r r r rB．若a b a c ，则b cuuur uuur uuurC.若VABC 中，点P 满足2AP AB AC ，则点P 为BC 中点ur ur ur urD．若e1，e2 为单位向量，则e1 e2x 2y 37.若a ,b是整数，则称点（a,b）为整点，对于实数x,y ，约束条件x 0 所表示的平面y0区域内整点个数为（）个A．4 B ．5 C. 6 D ．78.已知各项均为正的等比数列a n 中， a 2与 a 8的等比中项为 2，则a 42 a 62的最小值是2()A ．1B ． 2 C. 4 D ．811 9.若直线 ax by 1 0( a 0，b 0)平分圆 x 2y 22x 4y 1 0 的周长，则 ab的最小值为( )A ．3 2 2B ． 2 2 C. 1 D ． 3 4 222A10.在V ABC 中，若 sin BsinC cos 2，则 VABC 是( )2A ．等腰三角形B ．直角三角形 C. 等边三角形 D ．等腰直角三角形11.数列a n 中，a 1 2，a n 2a n 1(n N )，则a 1a 3 a 2a 4 L a 10a 12 ( )4 10 4 11 16 1 11 161 10A ． (410 1)B ． (411 1) C. (1 ( )11)D ． (1 ( )10)3 3 3 43421 12. 已知 f x a(x 2x) 有且仅有两个零点，那么实数 a ( ) x4 2 3 27A ．4B ．2 C.3 D ． 27273 2 4第Ⅱ卷(共 90 分)二、填空题(每题 5 分，满分 20分，将答案填在答题纸上)x y 1 013.若 x, y 满足约束条件 f x x y 3 0，z x 2 y 则的最小值为．x3014.圆 x 2 y 2 r 2(r 0)与圆 (x 3)2 (y 4)2 1相外切，则半径 r 的值为 ．uur uuur15. ABC 是正三角形， AB 2 ，点 G 为 ABC 的重心，点 E 满足 BE 3EC ，则 uuur uuurCG AE ．16.已知圆 M : x 2 y 2 4y 3 0，直线 l :kx y 0(k 0) ，如果圆 M 上总存在点 A ， 它关于直线 l 的对称点在 x 轴上，则 k 的取值范围是．三、解答题 (本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )17. 已知函数 f x 1x 2 4x 4,x 3,231)求函数 f x 在 x 0 处切线方程；2）求函数f x 的最大值和最小值．18. 已知ABC 中，a,b,c分别是角A,B,C 所对应的边，若a bcosC csin B ，且ABC 的面积为2，（1）求角 B ；（2）若a+c 5，求b2的值．19. 已知以点P 为圆心的圆经过点A（ 1,0）和B （3, 4），线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和 D ，且|CD| 4 10 ．（1）求直线CD 的方程；（2）求圆P 的方程．1320. 已知正项等比数列a n 的前n项和S n满足：S n 2 1S n 3,（n N ）42（1）求数列a n 的首项a1和公比q ；（）若b n a n log2 a n 1,（n N ），求数列b n 的前f x 项和T n．221. 已知圆C:（x 4）2（y 1）2 4, 直线l :2mx （3m 1）y 2 0（1）若直线l与圆C 相交于两点A,B ，弦长AB 等于2 3，求m的值；（2）已知点M （4,5），点C 为圆心，若在直线MC 上存在定点N （异于点M ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有|PM |为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及改常数．|PN|22. 已知函数f x e x ax 1（1）若a 1 ，求函数f x 的单调性；（2）若存在b 0，使x （0, b）恒有f x 2 x2，求实数a的取值范围．、选择题17.解：(1) f x x 2 4，斜率 k f 0 4，切点 (0,4) ．所以切线为 y 4x 42)所以函数最小值为4，最大值为 283318. 解(1)由 a bcosC c sin B 及正弦定理得： sin A sin BcosC sin C sin B ，即 sin(B C) sin B cosC sin Csin B得 sinC cosB sin C sin B ，又 sin C 0 ，所以 tanB 1 ，因为 B (0, ) ，所以 B．4 (2)由SABC2 acsin B 2 ，得 ac 4 2 ，又b 2 a 2c 2 2ac cos B (a c)2 2ac 2ac 17 8 24019. 解：( 1)直线 AB 的斜率 k 4 01， AB 中点坐标为 (1,2) ，直线 CD 的方程为3 ( 1)y 2 (x 1) ，即 x y 3 0 ；(2)设圆心 P(a,b) ，则由点 P 在直线 CD 上得： a b 3 0①， 又直径 |CD| 4 10 ，所以 |PA | 2 10，所以 (a 1)2 b 2 40②试卷答案1-5:BBBCA 6-10: CCCAA 11、12：DD13. 5 14.415.3 216三、解答题33,3、填空题a 3 a 5 由①②解得： 或b 6 b 2所以圆心 P( 3,6) 或 P(5, 2)圆的方程为 (x 3)2 (y 6)2 40或 (x 5)2 (y 2)2 40．13S34S1 220. 由题有 4 2，两式相减得：13S 4 S 244 2 2121.解(1)m 0或 m13；2)由题知，直线 MC 的方程为 x 4 ，假设存在定点 N (4, t )满足题意，则设， P(x,y)，|PM ||PN|得 |PM |2 2 |PN|2 ( 0) ，且 (x 4)2 4 (y 1)2 所以 4 (y 1)2 (y 5)2 4 22(y 1)2 2(yt)22 2 2整理得： [(2 2t) 2 8]y (3 t 2 ) 2 28 0 因为，上式对于任意 y 1,3 恒成立， 所以 (22t) 2 8 0且 (3 t 2) 2 28 0 解得 t 2 7t 10 0，所以 t 2， t 5(舍去，与 M 重合)， 24， 2 综上可知，在直线 MC 上寻在定点 N (4, 2) ，使得 |PM |为常数 2．22. ( 1)易得： f x e x 1，若当 f x 时有 x 0 ，f x 则 f x 在( ,0) 单调递减，在 (0, )单调递增；1 由题意 q 0 ，有 q213 1又S 3S 1，可知 a 1 a 2 a 3a 14241 n 1由(1)a n (2)n 1， log 2 a n 1n ，所以 1 (1)nT 2n 1 1 (21)( 1 2n) n2 (21)n 11231 1 ，有 a 1(1)22 412b n ( )2 n ，采用分组求和： n 21 2 1 ．n n ．221 4a 13，所以2a 1 1，1 2 1 a 4 a 2 ，则q 44|PN|(2)令g x f(x) x2 2 e x x2 ax 1，且g 0 0，g x e x 2x a，g 0 1 a，g x 在x (0,b)单调递增，若g 0 1 a 0，即a 1，x0 (0,b) ，0 g (x0) g (0)，此时g x 在(0, x0 )单调递减，当x (0, x0) ，g(x) g(0) 0 ，不成立．若g 0 1 a 0，即a 1，g x 在x (0, b)单调递增，则x (0, ) ，g (x ) g (0) 0 ，所以在f x 单调递增，所以g x 在(0, ) 单调递增所以g(x) g(0) 0 ，成立，故a 1 ．。