青海师范大学附属第二中学2015届高三下学期第三次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案

2015年青海省西宁五中、四中、十四中三校联考高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|0≤x≤2}，则A∩B=（）A．[﹣1，0）B．[﹣1，0] C．[0，1] D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）A啊2．已知向量=（1，﹣2），=（x，4），且∠，则•=（）A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣103．若复数z满足（1﹣i）z=1+i，则|z+i|=（）A．0 B．1 C．2 D．34．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=4，则△ABC 的面积为（）A．B．1 C．D．25．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出S的值为（）A．4 B．8 C．10 D．126．设a、b是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题错误的是（）A．若a⊥α，b∠α，则a⊥b B．若a⊥α，b∠a，b⊂β，则α⊥βC．若a⊥α，b⊥β，α∠β，则a∠b D．若a∠α，a∠β，则α∠β7．已知x，y满足约束条件，若z=2x+y的最大值和最小值分别为a，b，则a+b=（）A．7 B．6 C．5 D．48．正项等比数列{a n}满足：a3=a2+2a1，若存在a m，a n，使得a m•a n=16a12，则的最小值为（）A．2 B．16 C．D．9．已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=x﹣的零点依次为a，b，c，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c10．一个几何体的三视图如图所示，它的一条对角线的两个端点为A、B，则经过这个几何体的面，A、B间的最短路程是（）A．5 B． C．4 D．311．点P在双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上，F1、F2是这条双曲线的两个焦点，∟F1PF2=90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．512．对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为M函数：（i）对任意的x∈[0，1]，恒有f（x）≥0；（ii）当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．则下列三个函数中不是M函数的个数有（）①f（x）=x2②f（x）=x2+1③f（x）=2x﹣1．A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在题中的横线上.）13．已知函数f（x）=，则f（1）﹣f（3）= ．14．已知实数a∈[﹣2，5]，则a∈{x∈R|x2﹣2x﹣3≤0}的概率为．15．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电原价是元．16．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为．三、解答题（本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3=2，S5=a7．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n及S n；（Ⅱ）若a4，a4+m，a4+n（m，n∈N*）成等比数列，求n的最小值．18．教育资源的不均衡是促进“择校热”的主要因素之一，“择校热”也是教育行政部门一直着力解决的问题．某社会调查机构为了调查学生家长对解决“择校热”的满意程度，从A，B，C，D四个不同区域内分别选择一部分学生家长作调查，每个区域选出的人数如条形图所示．为了了解学生家长的满意程度，对每位家长都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：（Ⅰ）若家长甲来自A区域，求家长甲的调查问卷被选中的概率；（Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的家长中再选出2人进行面谈，求这2人中至少有一人来自D区域的概率．19．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DE的中点．（Ⅰ）求证：BE∠平面ACF；（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积．20．（2009•山东）设椭圆E：过，两点，O为坐标原点（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x（a＜0）（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；（2）若a=﹣且关于x的方程f（x）=﹣x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．《选修4-1：几何证明选讲》请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．22．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：PM2=PA•PC；（Ⅱ）若⊙O的半径为2，OA=OM，求MN的长．《选修4-4：坐标系与参数方程》23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以原点O为极点，以轴正半轴x为极轴，圆C的极坐标方程为（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），试求的值．《选修4-5：不等式选讲》24．（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．2015年青海省西宁五中、四中、十四中三校联考高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|0≤x≤2}，则A∩B=（）A．[﹣1，0）B．[﹣1，0] C．[0，1] D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由A与B，求出A与B的交集即可．【解答】解：∵A=[﹣1，1]，B=[0，2]，∴A∩B=[0，1]，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知向量=（1，﹣2），=（x，4），且∠，则•=（）A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣10【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】首先利用向量平行得到x，然后利用数量积的坐标运算得到所求．【解答】解：因为向量=（1，﹣2），=（x，4），且∠，所以4+2x=0，解得x=﹣2，故•=﹣2﹣（﹣2）×4=﹣10；故选：D．【点评】本题考查了平面向量平行的坐标性质以及数量积的坐标运算；属于基础题．3．若复数z满足（1﹣i）z=1+i，则|z+i|=（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】复数求模．【专题】计算题；数系的扩充和复数．【分析】根据复数的四则运算先求出复数z，再计算复数z+i的模长．【解答】解：∵（1﹣i）z=1+i，∴z===i，∴|z+i|=|2i|=2．故选：C．【点评】本题考查了复数的四则运算与求复数模长的应用问题，是基础题目．4．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=4，则△ABC 的面积为（）A．B．1 C．D．2【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由已知及余弦定理可求cosA，从而可求sinA的值，结合已知由三角形面积公式即可得解．【解答】解：∵a2=b2+c2﹣bc，∴由余弦定理可得：cosA===，又0＜A＜π，∴可得A=60°，sinA=，∵bc=4，∴S△ABC=bcsinA==．故选：C．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，解题时要注意角范围的讨论，属于基本知识的考查．5．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出S的值为（）A．4 B．8 C．10 D．12【考点】循环结构．【专题】图表型．【分析】由已知中的程序框图及已知中输入8，可得：进入循环的条件为i＜8，即i=2，4，6，8．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：当i=2时，S=（1×2）=2，i=2+2=4，k=2；当i=4时，S=（2×4）=4，i=4+2=6，k=3；当i=6时，S=（4×6）=8，i=6+2=8，k=4；当i=8时，不满足i＜8，退出循环，输出S=8．故选B．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．6．设a、b是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题错误的是（）A．若a⊥α，b∠α，则a⊥b B．若a⊥α，b∠a，b⊂β，则α⊥βC．若a⊥α，b⊥β，α∠β，则a∠b D．若a∠α，a∠β，则α∠β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】证明题．【分析】由题设条件a、b是两条不同直线，α、β是两个不同平面，在此背景下，对四个选项中的条件与结论进行探讨，得出正确答案．【解答】解：A选项不正确，由于a⊥α，b∠α，可得出a⊥b，故此命题是正确命题B选项不是正确选项，若a⊥α，b∠a，可得出b⊥α，又b⊂β，由字定理知则α⊥β，故此命题是正确命题C选项不是正确选项，若a⊥α，b⊥β，α∠β两条直线分别垂直于两个平行平面，可得出a∠b，故此命题是正确命题D选项是正确选项，a∠α，a∠β，不能得出α∠β，因为平行于同一直线的两个平面可能相交故选D【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解答本题关键是熟练掌握线面间位置关系的判断条件以及较好的空间想像能力．7．已知x，y满足约束条件，若z=2x+y的最大值和最小值分别为a，b，则a+b=（）A．7 B．6 C．5 D．4【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，﹣1），B（3，0），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z最小等于2×1﹣1=1；当直线y=﹣2x+z过B时，直线在y轴上的截距最大，z最大等于2×3﹣0=6．∴a+b=1+6=7．故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．正项等比数列{a n}满足：a3=a2+2a1，若存在a m，a n，使得a m•a n=16a12，则的最小值为（）A．2 B．16 C．D．【考点】等差数列的性质；等比数列的通项公式．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】正项等比数列{a n}满足：a3=a2+2a1，知q=2，由存在两项a m，a n，使得a m a n=16a12，知m+n=6，由此问题得以解决．【解答】解：∵正项等比数列{a n}满足：a3=a2+2a1，∴a1q2=a1q+2a1，即：q2=q+2，解得q=﹣1（舍），或q=2，∵存在a m，a n，使得a m a n=16a12，∴a12•2m+n﹣2=16a12，∴m+n=6，∴=（m+n）（）=（10++）≥（10+2）=∴的最小值为．故选：C．【点评】本题考查等比数列的通项公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答．注意不等式也是高考的热点，尤其是均值不等式和一元二次不等式的考查，两者都兼顾到了．9．已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=x﹣的零点依次为a，b，c，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先，在同一坐标系中作出函数的图象，然后观察得到它们图象的交点的横坐标，从而得到大小关系．【解答】解：函数f（x）=2x+x的零点为a，也就是说函数，图象的交点的横坐标，同理，g（x）=log3x+x，h（x）=x﹣的零点也就是函数的图象的交点的横坐标，在同一坐标系中作出函数的图象，如下图所示：故有a＜b＜c，故选：A．【点评】本题主要考查数形结合思想在解题中的灵活运用，注意常见函数的图象及其性质．10．一个几何体的三视图如图所示，它的一条对角线的两个端点为A、B，则经过这个几何体的面，A、B间的最短路程是（）A．5 B． C．4 D．3【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；简单空间图形的三视图．【专题】计算题；作图题．【分析】画出解答几何体的部分侧面展开图，容易解得AB的最小值．【解答】解：三视图复原几何体是长方体，AB侧面展开图以及数据如图，所以|AB|的最小值为：故选B．【点评】本题考查空集几何体的三视图，及其侧面展开图，是基础题．11．点P在双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上，F1、F2是这条双曲线的两个焦点，∟F1PF2=90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．5【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，且分别设为m﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理求出m=4d=8a，c=d，a=d，由离心率公式计算即可得到．【解答】解：设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，且分别设为m﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理可知：m﹣（m﹣d）=2a，m+d=2c，（m﹣d）2+m2=（m+d）2，解得m=4d=8a，c=d，a=d，故离心率e==5．故选D．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题．12．对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为M函数：（i）对任意的x∈[0，1]，恒有f（x）≥0；（ii）当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．则下列三个函数中不是M函数的个数有（）①f（x）=x2②f（x）=x2+1③f（x）=2x﹣1．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】抽象函数及其应用．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】利用已知条件函数的新定义，对选项逐一验证两个条件，判断即可．【解答】解：对于条件（i）：在[0，1]上，三个函数都满足；条件（ii）：x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1；对于①，f（x1+x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=（x1+x2）2﹣（x21+x22）=2x1x2≥0，满足条件（ii）；对于②，f（x1+x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=[（x1+x2）2+1]﹣[（x21+1）+（x22+1）]=2x1x2﹣1＜0，不满足条件（ii）．对于③，f（x1+x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=﹣=（）（）≥0，满足条件（ii）．故选：B．【点评】本题通过函数的运算与不等式的比较，另外也可以利用函数在定义域内的变化率、函数图象的基本形式来获得答案，本题对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在题中的横线上.）13．已知函数f（x）=，则f（1）﹣f（3）= ﹣11 ．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】结合已知条件，利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（1）﹣f（3）=（2×1﹣3）﹣（9+1）=﹣1﹣10=﹣11．故答案为：﹣11．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．14．已知实数a∈[﹣2，5]，则a∈{x∈R|x2﹣2x﹣3≤0}的概率为．【考点】几何概型；一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用；概率与统计．【分析】先化简集合{x∈R|x2﹣2x﹣3≤0}，再求对应的几何概率即可．【解答】解：∵{x∈R|x2﹣2x﹣3≤0}={x∈R|（x+1）（x﹣3）≤0}={x∈R|﹣1≤x≤3}=[﹣1，3]，且a∈[﹣2，5]；∴a∈{x∈R|x2﹣2x﹣3≤0}的概率为P==．故答案为：．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了几何概型的概率计算问题，是基础题目．15．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电原价是2250 元．【考点】一次函数的性质与图象．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】设出每台彩电的原价，从而可得方程，即可求得结论．【解答】解：设每台彩电的原价是x元，则有：（1+40%）x×0.8﹣x=270，解得：x=2250，故答案为：2250．【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答．16．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为．【考点】球内接多面体．【专题】空间位置关系与距离．【分析】设出球的半径，利用棱锥的体积公式，求解半径，然后求解半球的体积．【解答】解：连结AC，BD交点为0，设球的半径为r，由题意可知SO=AO=OC=OD=OB=r．则AB=，四棱锥的体积为： =，解得r=，半球的体积为： =．故答案为：．【点评】本题考查四棱锥SABCD的体积的计算，确定球的半径关系式是关键．三、解答题（本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3=2，S5=a7．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n及S n；（Ⅱ）若a4，a4+m，a4+n（m，n∈N*）成等比数列，求n的最小值．【考点】等差数列的性质；等比数列的通项公式．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设公差为d，利用a3=2，S5=a7，建立方程组，求出a1=﹣2，d=2，即可求数列{a n}的通项公式a n及S n；（Ⅱ）若a4，a4+m，a4+n（m，n∈N*）成等比数列，可得，考察函数，知f（x）在（0，+∞）上单调递增，即可求n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，由题意，得…解得a1=﹣2，d=2，…所以a n=﹣2+（n﹣1）×2=2n﹣4，…．…（Ⅱ）因为a4，a4+m，a4+n成等比数列，所以，…即（2m+4）2=4（2n+4），…化简，得，…考察函数，知f（x）在（0，+∞）上单调递增，又因为，f（2）=6，n∈N*，所以当m=2时，n有最小值6．…【点评】本题考查等差数列的通项与求和，考查等比数列的性质，确定数列的通项是关键．18．教育资源的不均衡是促进“择校热”的主要因素之一，“择校热”也是教育行政部门一直着力解决的问题．某社会调查机构为了调查学生家长对解决“择校热”的满意程度，从A，B，C，D四个不同区域内分别选择一部分学生家长作调查，每个区域选出的人数如条形图所示．为了了解学生家长的满意程度，对每位家长都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：（Ⅰ）若家长甲来自A区域，求家长甲的调查问卷被选中的概率；（Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的家长中再选出2人进行面谈，求这2人中至少有一人来自D区域的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）通过频率分布直方图，来自A区域的家长为40人，通过分层抽样可得从A 区域的家长问卷中抽取的数目，然后求解概率．（II）设事件N=“从填写不满意的家长中选出2人，至少有一人来自区域D”从填写不满意的学生中选出2人的基本事件个数，而事件N的个数，然后求解概率．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）由条形图可得，来自A，B，C，D四个区域的家长共有200人，…其中来自A区域的家长为40人，…由分层抽样可得从A区域的家长问卷中抽取了份．…设事件M=“家长甲被选中进行问卷调查”，…则．…（II）由图表可知，来自A，B，C，D四区域的家长分别接受调查的人数为4，5，6，5．其中不满意的家长人数分别为1，1，0，2个．…记来自A区域不满意的家长是a；来自B区域不满意的家长是b；来自D区域不满意的家长是c，d．…设事件N=“从填写不满意的家长中选出2人，至少有一人来自区域D”…从填写不满意的学生中选出2人，共有：（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）6个基本事件，…而事件N有（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）5个基本事件，…故．…【点评】本题考查分层抽样，频率分布直方图以及古典概型的概率的求法，基本知识的考查．19．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DE的中点．（Ⅰ）求证：BE∠平面ACF；（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连结BD和AC交于O，连结OF，证明OF∠BE，即可证明BE∠平面ACF；（Ⅱ）证明EG⊥平面ABCD，即可求四棱锥E﹣ABCD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连结BD和AC交于O，连结OF，…∵ABCD为正方形，∴O为BD中点，∵F为DE中点，∴OF∠BE，…∵BE⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，∴BE∠平面ACF．…（Ⅱ）解：作EG⊥AD于G，则∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD，∵ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∵AE∩AD=A，AD，AE⊂平面DAE，∴CD⊥平面DAE，…∴CD⊥EG，∵AD∩CD=D，∴EG⊥平面ABCD…∵AE⊥平面CDE，DE⊂平面CDE，∴AE⊥DE，∵AE=DE=2，∴，…∴四棱锥E﹣ABCD的体积V=××=…【点评】本题考查线面平行，考查线面垂直，考查四棱锥E﹣ABCD的体积，掌握线面平行、线面垂直的判定方法是关键．20．（2009•山东）设椭圆E：过，两点，O为坐标原点（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】（1）利用待定系数法，可求椭圆E的方程；（2）分类讨论，设出切线方程与椭圆方程联立，要使，需使x1x2+y1y2=0，结合韦达定理，即可求解．【解答】解：（1）因为椭圆E：（a，b＞0）过M（2，），N（，1）两点，所以，解得，所以，所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，设该圆的切线方程为y=kx+m．解方程组得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，则△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，即8k2﹣m2+4＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则．要使，需使x1x2+y1y2=0，即，所以3m2﹣8k2﹣8=0，所以．又8k2﹣m2+4＞0，所以，所以，即或，因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，所以，所以，所以所求的圆为，此时圆的切线y=kx+m都满足或，而当切线的斜率不存在时，切线为与椭圆的两个交点为或，满足，综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且．【点评】本题考查利用待定系数法求椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x（a＜0）（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；（2）若a=﹣且关于x的方程f（x）=﹣x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．【考点】函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值．【专题】计算题．【分析】（1）对函数f（x）进行求导，令导数大于等于0在x＞0上恒成立即可．（2）将a的值代入整理成方程的形式，然后转化为函数考虑其图象与x轴的交点的问题．【解答】解：（1）f'（x）=﹣（x＞0）依题意f'（x）≥0 在x＞0时恒成立，即ax2+2x﹣1≤0在x＞0恒成立．则a≤=在x＞0恒成立，即a≤[﹣1]min x＞0当x=1时，﹣1取最小值﹣1∴a的取值范围是（﹣∝，﹣1]（2）a=﹣，f（x）=﹣x+b∴设g（x）=则g'（x）=列表：∴g（x）极小值=g（2）=ln2﹣b﹣2，g（x）极大值=g（1）=﹣b﹣，又g（4）=2ln2﹣b﹣2∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．则，得ln2﹣2＜b≤﹣．【点评】本题主要考查函数单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．《选修4-1：几何证明选讲》请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．22．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：PM2=PA•PC；（Ⅱ）若⊙O的半径为2，OA=OM，求MN的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）做出辅助线连接ON，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即∟ONB+∟BNP=90°且∟OBN+∟BMO=90°，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论．（Ⅱ）本题是一个求线段长度的问题，在解题时，应用相交弦定理，即BM•MN=CM•MA，代入所给的条件，得到要求线段的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接ON，因为PN切⊙O于N，∴∟ONP=90°，∴∟ONB+∟BNP=90°∵OB=ON，∴∟OBN=∟ONB因为OB⊥AC于O，∴∟OBN+∟BMO=90°，故∟BNP=∟BMO=∟PMN，PM=PN∴PM2=PN2=PA•PC（Ⅱ）∵OM=2，BO=2，BM=4∵BM•MN=CM•MA=（2+2）（2﹣2）（2﹣2）=8，∴MN=2【点评】本题要求证明一个PM2=PA•PC结论，实际上这是一个名叫切割线定理的结论，可以根据三角形相似对应边成比例来证明，这是一个基础题．《选修4-4：坐标系与参数方程》23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以原点O为极点，以轴正半轴x为极轴，圆C的极坐标方程为（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），试求的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（I）由，展开化为ρ2=（ρcosθ﹣ρsinθ），把代入即可得出．（II）把直线l的参数方程是（t为参数）代入圆的方程可得：，利用根与系数的关系可得|t1﹣t2|=．利用==即可得出．【解答】解：（I）由，展开化为ρ2=（ρcosθ﹣ρsinθ），化为x2+y2=4x﹣4y，即（x﹣2）2+（y+2）2=8．（II）把直线l的参数方程是（t为参数）代入圆的方程可得：，∴t1+t2=﹣2，t1t2=﹣4＜0．|t1﹣t2|===2．∴====．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角方程、直线参数方程的应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．《选修4-5：不等式选讲》24．（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数单调性的性质．【专题】压轴题；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．（Ⅱ）不等式化即1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，由此解得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则 y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，解得a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，函数的单调性的应用，体现了数形结合以及转化的数学思想，属于中档题．。

青海省青海师范大学附属第二中学2025届高三下学期第六次检测数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．正四棱锥P ABCD -，侧棱长为为（ ） A ．4πB ．8πC ．16πD ．20π2．设i 为数单位，z 为z 的共轭复数，若13z i=+，则z z ⋅=（ ） A ．110B ．110i C ．1100D ．1100i 3．若复数z 满足1z =，则z i -（其中i 为虚数单位）的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有( ) A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种5．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令12121ln 2,,log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b <<6．设x ，y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的取值范围是（ ）A ．[]5,3-B ．[]2,3C ．[)2,+∞D ．(],3-∞7．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）A ．2B ．3C ．23D ．12-8．函数2()1cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．9．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．10．若函数()()222cos 137f x x x m x m m =+-+++-有且仅有一个零点，则实数m 的值为（ ）A 337--B 337-+ C ．4- D ．211．ABC ∆ 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a c b A +=，则角B 的大小为（ ）A ．23π B ．3π C ．6π D ．56π 12．某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是( )A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10°C 的月份有5个D ．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

师大二附中2015-2016学年第二学期第一次月考测试卷高二年级 数学 （文科）（满分：150分）命题： 吴俊佳 审核： 刘雪莲卷Ⅰ（选择题，共60分）一选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 复数iz -=11的共轭复数是（ ）A ．i 2121+B ．i 2121-C ．i -1D ．i +12. 设O 是原点，向量→→OB OA ,对应的复数分别为i i 23,32+--，那么向量→BA 对应的复数为 （ ） A.i 55+- B.i 55-- C.i 55+ D.i 55-3. 曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标方程为（ ）。

A.4)2(22=++y xB. 4)2(22=-+y xC. 4)2(22=+-y xD. 4)2(22=++y x4. 参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθ2cos 1sin 22y x （θ为参数）化为普通方程是（ ）。

A.042=+-y xB. 042=-+y xC. 042=+-y x ，]3,2[∈xD. 042=-+y x ， ]3,2[∈x5．i 是虚数单位，若1＋7i2－i＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则乘积ab 的值是( ) A ．－15 B ．－3 C ．3 D ．156. 极坐标方程ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ表示图形的面积是( )A ．2B ．2πC ．4D ．4π7．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元)49263954根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元8．在同一坐标系中，将曲线y ＝2sin 3x 变为曲线y ＝sin x 的伸缩变换是( )．A ．⎪⎩⎪⎨⎧'y y 'x x 21＝3＝B ．⎪⎩⎪⎨⎧y 'y x'x 21＝3＝C ．⎪⎩⎪⎨⎧'y y 'x x 2＝3＝D ．⎪⎩⎪⎨⎧y'y x'x 2＝3＝9．设a ，b ，c ∈R ，则复数(a ＋b i)(c ＋d i)为实数的充要条件是( )A ．ad －bc ＝0B ．ac －bd ＝0C ．ac ＋bd ＝0D ．ad ＋bc ＝010. 设点P 对应的复数为－3+3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ）A.(23，π43)B. (23-，π45)C. (3，π45)D. (-3，π43)11．极坐标系内曲线θρcos 2=上的动点P 与定点)2,1(πQ 的最近距离等于（ ）A. 12-B. 15-C. 1D. 212. 直线⎩⎨⎧x ＝sin θ＋t sin15°，y ＝cos θ－t sin75°(t 为参数，θ是常数)的倾斜角是( )A ．15°B ．75°C ．105°D ．165°卷Ⅱ（非选择题，共90分）二、填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．复数z ＝i(1＋i)(i 为虚数单位)的模等于 ．14．已知点A (6，6π)和B (10，6π)，则A ，B 两点间的距离为 ． 15. 在极坐标系中，过点224π（，）作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程为______.16．在直角坐标系xOy 中,已知曲线1C :1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)与曲线2C :sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数,0a >) 有一个公共点在X 轴上,则__a =.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在极坐标中,已知圆C 经过点()24P π，,圆心为直线3sin 32ρθπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭与极轴的交点,求圆C 的极坐标方程.18．已知某圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0，求：(1)圆的普通方程和参数方程；(2)在圆上所有的点(x ，y )中x ·y 的最大值和最小值．19．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程．（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积．20．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（2）在多大程度上可以认为判断性别与休闲方式有关系，为什么？参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：21（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii ni i t t y y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =-22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为（，），直线的极坐标方程为ρcos （θ﹣）=a ，且点A 在直线上．（1）求a 的值及直线的直角坐标方程； （2）圆C 的参数方程为（α为参数），试判断直线与圆的位置关系．。

2015-2016学年青海师大附二中高一（下）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合A={x|x2−2x−3≥0}，B={x|−2≤x<2}，则A∩B=()A.[1, 2)B.[−1, 1]C.[−1, 2)D.[−2, −1]2. 已知数列{a n}的通项公式为a n=n2−3n−4(n∈N∗)，则a4等于（）A.1B.2C.0D.33. 在△ABC中，a2=b2+c2+√3bc，则∠A等于( )A.60∘B.45∘C.120∘D.150∘4. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a3+a5=3，则S5的值为()A.5B.7C.9D.115. 在△ABC中，已知sin B=2cos C sin A，则△ABC的形状是（）A.等边三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.直角三角形6. 等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+⋯log3a10=（）A.12B.10C.8D.2+log357. 若不等式ax2+8ax+21<0的解集是{x|−7<x<−1}，那么a的值是()A.1B.2C.3D.48. 等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且S nT n =2n3n+1，则a5b5()A.2 3B.79C.2031D.9149. 设a，b为实数，且a+b=3，则2a+2b的最小值是（）A.6B.4√2C.2√2D.810. 数列{a n}、{b n}满足a n⋅b n=1，a n=n2+3n+2，则{b n}的前10项之和等于（）A.13B.512C.12D.71211. 在△ABC中，①若B=60∘，a=10，b=7，则该三角形有且有两解；②若三角形的三边的比是3:5:7，则此三角形的最大角为120∘；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是√5<x<√13．其中正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.312. 已知定义在[0, +∞)上的函数f(x)满足f(x)=2f(x+2)恒成立，且当x∈[0, 2)时，f(x)=−2x2+4x，设f(x)在[2n−2, 2n)上的最大值为a n(n∈N∗)，且{a n}的前n项和为S n，若不等式t2n≤S n对任意n∈N∗恒成立，则t的取值范围是（）A.t≤5B.t≤4C.t≤3D.t≤2二．填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）△ABC中，∠B=120∘，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为________．已知关于x的不等式ax2+3ax+a−2<0的解集为R，则实数a的取值范围________．不等式1x≤x的解集是________．若数列{a n}满足1a n+1−1a n=d（n∈N∗，为常数），则称数列{a n}为“调和数列”已知数列{a1x n}为“调和数列”，且x1+x2+...+x20=200，则x3x18的最大值是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）解关于x的不等式3x2−mx−m>0．若x，y满足约束条件{x+y−5≤02x−y−1≥0x−2y+1≤0，则：（1）求z=2x+y的最大值；（2）求yx的最大值．在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．(1)求sin∠Bsin∠C；(2)若AD=1，DC=√22，求BD和AC的长．已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2−5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=2n⋅a n，求数列{b n}的前n项和T n．已知函数f(x)=12x2+32x，数列{a n}的前n项和为S n，点(n, S n)(n∈N∗)均在函数f(x)的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令cn=a na n+1+a n+1a n证明：2n<c1+c2+...+c n<2n+12．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，2b−ca =cos Ccos A（1）求A的大小；（2）当a=√3时，求b2+c2的取值范围．参考答案与试题解析2015-2016学年青海师大附二中高一（下）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.【答案】 D【考点】一元二次不等式的解法 交集及其运算【解析】求出A 中不等式的解集确定出A ，找出A 与B 的交集即可． 【解答】解：由A 中不等式变形得：(x −3)(x +1)≥0，解得：x ≥3或x ≤−1，即A =(−∞, −1]∪[3, +∞)， ∵ B =[−2, 2)，∴ A ∩B =[−2, −1]． 故选D ． 2.【答案】 C【考点】 数列递推式 【解析】把n =4代入数列的通项公式即可得答案． 【解答】解：∵ a n =n 2−3n −4(n ∈N ∗)， ∴ a 4=42−3×4−4=0， 故选C 3. 【答案】 D 【考点】 余弦定理 【解析】由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bc cos A 与题中等式比较，可得cos A =−√32，结合A 是三角形的内角，可得A 的大小． 【解答】解：∵ 由余弦定理，得a 2=b 2+c 2−2bc cos A 又a 2=b 2+c 2+√3bc ， ∴ cos A =−√32. 又∵ A 是三角形的内角， ∴ A =150∘， 故选D . 4.【答案】 A【考点】等差数列的前n 项和 【解析】由等差数列项公式求出a 3=1，由此利用等差数列前n 项和公式能求出S 5． 【解答】解：∵ 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1+a 3+a 5=3， ∴ a 1+a 3+a 5=3a 3=3，解得a 3=1， ∴ S 5=52(a 1+a 5)=5a 3=5．故选A ． 5. 【答案】 C【考点】 余弦定理 正弦定理【解析】利用sin B =sin (A +C)=sin A cos C +sin C cos A =2cos C sin A ，即可得出结论． 【解答】解：∵ A +B +C =180∘，∴ sin B =sin (A +C)=sin A cos C +sin C cos A =2cos C sin A ， ∴ sin C cos A −sin A cos C =0，即sin (C −A)=0， ∴ A =C 即为等腰三角形． 故选：C ． 6.【答案】 B【考点】等比数列的性质 对数及其运算【解析】本题考查等比数列的性质、对数的运算． 【解答】解：由等比数列的性质知a 5a 6=a 4a 7=9， 所以log 3 a 1+log 3 a 2+log 3 a 3+⋯+log 3 a 10 =log 3(a 1a 2a 3⋯a 10) =log 3(a 5a 6)5 =log 395=log3310=10．故选B．7.【答案】C【考点】一元二次不等式的解法【解析】不等式ax2+8ax+21<0的解集是{x|−7<x<−1}，即有−7，−1是ax2+8ax+21=0(a>0)的两根，由韦达定理即可得到a．【解答】解：不等式ax2+8ax+21<0的解集是{x|−7<x<−1}，即有−7，−1是ax2+8ax+21=0(a>0)的两根，即有−7−1=−8aa ，−7×(−1)=21a，解得a=3，成立．故选C．8.【答案】D【考点】等差数列的性质【解析】根据等差数列的性质知，求两个数列的第五项之比，可以先写出两个数列的前9项之和之比，代入数据做出比值．【解答】解：∵等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，S n T n =2n3n+1，a5 b5=9a59b5=s9T9=1828=914故选D．9.【答案】B【考点】基本不等式【解析】根据基本不等式的性质与幂的运算性质，有2a+2b≥2√2a⋅2b=2√2a+b，结合题意a+b=3，代入可得答案．【解答】解：根据基本不等式的性质，有2a+2b≥2√2a⋅2b=2√2a+b，又由a+b=3，则2a+2b≥2√2a+b=4√2，故选：B．10.【答案】B【考点】数列的求和【解析】先求出数列{b n}的通项公式，然后写出数列{b n}的前10项之和，利用裂项的方法求和即可．【解答】解：∵a n⋅b n=1∴b n=1n2+3n+2=1(n+1)(n+2)∴s10=12×3+13×4++110×11+111×12=( 12−13)+(13−14)++(110−111)+(111−112)=12−112=512故选项为B．11.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据解三角形的知识，分别对①②③进行判断其正误即可．【解答】解：①如图示：，由asin A=bsin B，得：sin A=5√37，∴A=arcsin5√37>60∘，∴C只能是钝角，该三角形有且只有一个解，故①错误；②不妨设：三角形的三边是：a=3，b=5，c=7，∴∠C最大，由cos C=9+25−492×3×5=−12，∠C=120∘，故②正确；③由cos A>0，cos B>0且cos C>0，结合余弦定理知，正确，故选：C．12.【答案】 B【考点】导数求函数的最值 【解析】由题意可知，函数图象向右平移2个单位，只是改变函数的最大值，求出a 1，公比q ，推出a n ，然后求出S n ，判断数列n(4−22−n )为递增数列，结合不等式恒成立思想，即可得到t 的范围． 【解答】解：因为f(x)=2f(x +2)，所以f(x +2)=12f(x)，就是函数图象向右平移2个单位，最大值变为原来的12，a 1=f(1)=2，公比q =12，所以a n =2(12)n−1，即有S n =2⋅1−(12)n1−12=4−22−n ，不等式t2n ≤S n 对任意n ∈N ∗恒成立， 即为12t ≤nS n ，由n(4−22−n )−(n −1)(4−23−n )=4+(n −2)22−n ， 由n ≥2，可得n(4−22−n )>(n −1)(4−23−n )， {n(4−22−n )}为递增数列，则n =1为最小，且为2． 即有t ≤4． 故选：B ．二．填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 【答案】 15√34【考点】正弦定理的应用 余弦定理【解析】先利用余弦定理和已知条件求得BC ，进而利用三角形面积公式求得答案． 【解答】解：由余弦定理可知cos B =25+BC 2−492⋅BC⋅5=−12，求得BC =−8或3（舍负）∴ △ABC 的面积为12⋅AB ⋅BC ⋅sin B =12×5×3×√32=15√34故答案为：15√34【答案】 (−85, 0] 【考点】函数恒成立问题 【解析】根据不等式恒成立的条件建立不等式即可得到结论． 【解答】解：若a =0，不等式等价为−2<0，满足条件， 若a ≠0，则要使不等式恒成立， 则{a <0△=9a 2−4a(a −2)<0， 即{a <0a(5a +8)<0， 即−85<a <0， 综上：(−85, 0]， 故答案为：(−85, 0]【答案】{x|−1≤x <0或x ≥1} 【考点】其他不等式的解法 【解析】本题可以先移项再通分，再分类讨论，转化为整式不等式组，再解整式不等式组，得本题答案． 【解答】 ∵ 1x ≤x ， ∴ 1x −x ≤0， ∴ 1−x 2x ≤0．∴(x−1)(x+1)x≥0．∴ {x >0(x −1)(x +1)≥0或$${\{}$\${left}$\{ \${begin\{matrix\}\, x}$<0 \\ (x - 1)(x + 1) \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\ }$， ∴ ${x\geq 1}$或${-1\leq x\lt 0}$．∴ 不等式${\dfrac{1}{x} \leq x}$的解集是${\{x\mathrel{|} -1\leq x\lt 0或x\geq 1\}}$． 【答案】 100【考点】 数列递推式 数列的应用 等差数列的性质 【解析】先根据数列{1x n}为“调和数列”可确定数列{x n}为等差数列，再由前20项的和得到x3+x18的值，最后根据基本不等式可求出x3x18的最大值．【解答】解：因为数列{1x n}为“调和数列”，所以x n+1−x n=d（n∈N∗，d为常数），即数列{x n}为等差数列，由x1+x2+...+x20=200得20(x1+x20)2=20(x3+x18)2=200，即x3+x18=20，易知x3、x18都为正数时，x3x18取得最大值，所以x3x18≤(x3+x182)2=100，即x3x18的最大值为100．故答案为：100三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）【答案】解：令△=m2+12m=0，解得m=0或m=−12；∴当m=0或m=−12时，△=0，方程3x2−mx−m=0有两个相等的实数根x1=x2=m6，∴不等式3x2−mx−m>0的解集为{x|x≠m6}；当m<−12或x>0时，△>0，方程3x2−mx−m=0有两个实数根x1=m−√m2+12m6，x2=m+√m2+12m6，且x1<x2，∴不等式3x2−mx−m>0的解集为{x|x<m−√m2+12m6或x>m+√m2+12m6}；当−12<m<0时，△<0，方程3x2−mx−m=0无实数根，∴不等式3x2−mx−m>0的解集为R，综上，m=0或m=−12时，不等式的解集为{x|x≠m6}，m<−12或x>0时，不等式的解集为{x|x<m−√m2+12m6或x>m+√m2+12m6}，−12<m<0时，不等式的解集为R．【考点】一元二次不等式的解法【解析】讨论m的取值，利用判别式△求出对应方程3x2−mx−m=0实数根，从而得出不等式3x2−mx−m>0的解集．【解答】解：令△=m2+12m=0，解得m=0或m=−12；∴当m=0或m=−12时，△=0，方程3x2−mx−m=0有两个相等的实数根x1=x2=m6，∴不等式3x2−mx−m>0的解集为{x|x≠m6}；当m<−12或x>0时，△>0，方程3x2−mx−m=0有两个实数根x1=m−√m2+12m6，x2=m+√m2+12m6，且x1<x2，∴不等式3x2−mx−m>0的解集为{x|x<m−√m2+12m6或x>m+√m2+12m6}；当−12<m<0时，△<0，方程3x2−mx−m=0无实数根，∴不等式3x2−mx−m>0的解集为R，综上，m=0或m=−12时，不等式的解集为{x|x≠m6}，m<−12或x>0时，不等式的解集为{x|x<m−√m2+12m6或x>m+√m2+12m6}，−12<m<0时，不等式的解集为R．【答案】解：约束条件对应的可行域如图：（1）z=2x+y变形为y=−2x+z，结合图象得知，当它过A时，使得Z最大，由{x+y−5=0x−2y+1=0得到A(3, 2)，所以z=2x+y的最大值为2×3+2=8；（2）由yx的几何意义得到，当原点与B连接的直线时，yx最大，由{x+y−5=02x−y−1=0得B(2, 3)，所以yx的最大值为32．【考点】简单线性规划【解析】首先由约束条件画出可行域，分别根据目标函数的几何意义求最大值．【解答】解：约束条件对应的可行域如图：（1）z =2x +y 变形为y =−2x +z ，结合图象得知， 当它过A 时，使得Z 最大， 由{x +y −5=0x −2y +1=0得到A(3, 2)， 所以z =2x +y 的最大值为2×3+2=8；（2）由yx 的几何意义得到， 当原点与B 连接的直线时，yx 最大，由{x +y −5=02x −y −1=0得B(2, 3)，所以y x 的最大值为32． 【答案】解：(1)如图，过A 作AE ⊥BC 于E ，∵S △ABD S △ADC=12BD×AE 12DC×AE =2,∴ BD=2DC ， ∵ AD 平分∠BAC ， ∴ ∠BAD =∠DAC . 在△ABD 中，BDsin ∠BAD =ADsin B ， ∴ sin B =AD×sin ∠BADBD .在△ADC 中，DC sin ∠DAC =ADsin C ，∴ sin C =AD×sin ∠DACDC ；∴ sin Bsin C =ACAB =12．(2)由(1)知，BD =2DC =2×√22=√2．过D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，∵ AD 平分∠BAC ， ∴ DM =DN ， ∴S △ABD S △ADC=12AB×DM 12AC×DN =2，∴ AB =2AC ，令AC =x ，则AB =2x ， ∵ ∠BAD =∠DAC ，∴ cos ∠BAD =cos ∠DAC ， ∴ 由余弦定理可得：(2x)2+12−(√2)22×2x×1=x 2+12−(√22)22×x×1，∴ x =1， ∴ AC =1，∴ BD 的长为√2，AC 的长为1．【考点】 三角形求面积 余弦定理 正弦定理【解析】(1)如图，过A 作AE ⊥BC 于E ，由已知及面积公式可得BD =2DC ，由AD 平分∠BAC 及正弦定理可得sin ∠B =AD×sin ∠BADBD，sin ∠C =AD×sin ∠DACDC，从而得解sin ∠Bsin ∠C ．(2)由(1)可求BD =√2．过D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，由AD 平分∠BAC ，可求AB =2AC ，令AC =x ，则AB =2x ，利用余弦定理即可解得BD 和AC 的长． 【解答】解：(1)如图，过A 作AE ⊥BC 于E ，∵S△ABDS△ADC =12BD×AE12DC×AE=2,∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC.在△ABD中，BDsin∠BAD=ADsin B，∴sin B=AD×sin∠BADBD.在△ADC中，DCsin∠DAC=ADsin C，∴sin C=AD×sin∠DACDC；∴sin Bsin C=ACAB=12．(2)由(1)知，BD=2DC=2×√22=√2．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴S△ABDS△ADC=12AB×DM12AC×DN=2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：(2x)2+12−(√2)22×2x×1=x2+12−(√22)22×x×1，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为√2，AC的长为1．【答案】解：（1）因为{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2−5x+6=0的根．所以a2=2，a4=3，所以公差为12，所以a n=12n+1；（2）由（1）得到b n=2n⋅a n=2n•(12n+1)=2n−1(n+2)，所以数列{b n}的前n项和T n=1×3+21×4+22×5+...+2n−2(n+1)+2n−1(n+2)，①2T n=2×3+22×4+23×5+...+2n−1(n+1)+2n(n+2)；②①-②得，−T n=3+2+22+23+...+2n−1−2n(n+2)=3+2(1−2n−1)1−2−2n(n+2)=1−(n+1)2n．所以T n=(n+1)2n−1．【考点】数列的求和等差数列的通项公式【解析】（1）利用{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2−5x+6=0的根．得到a2，a4，再求首项和公差，进一步求通项公式（2）利用错位相减法求和．【解答】解：（1）因为{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2−5x+6=0的根．所以a2=2，a4=3，所以公差为12，所以a n=12n+1；（2）由（1）得到b n=2n⋅a n=2n•(12n+1)=2n−1(n+2)，所以数列{b n}的前n项和T n=1×3+21×4+22×5+...+2n−2(n+1)+2n−1(n+2)，①2T n=2×3+22×4+23×5+...+2n−1(n+1)+2n(n+2)；②①-②得，−T n=3+2+22+23+...+2n−1−2n(n+2)=3+2(1−2n−1)1−2−2n(n+2)=1−(n+1)2n．所以T n=(n+1)2n−1．【答案】∵点(n, S n)均在函数y＝f(x)的图象上，∴S n=12n2+32n,n=1,a1=S1=2，当n≥2时，a n＝S n−S n−1＝n+1，a1也适合，所以a n＝n+1(n∈N∗)．证明：∵c n=a na n+1+a n+1a n=n+1n+2+n+2n+1>2，∴c1+c2+...+c n>2n；又c n=n+1n+2+n+2n+1=2+1n+1−1n+2，∴c1+c2+...+c n＝2n+(12−13+13−14+⋯+1n+1−1n+2)＝2n+12−1n+2<2n+12；∴2n<c1+c2+...+c n<2n+12．【考点】数列与不等式的综合数列的求和数列递推式【解析】（1）点(n, S n)均在函数y＝f(x)的图象上，则s n=12n2+32n，可得a n＝S n−S n−1＝n+1，并验证a1即可；（2）证明：由c n=n+1n+2+n+2n+1>2，得c1+c2+...+c n>2n；由c n=n+1n+2+n+2n+1=2+1n+1−1n+2，得c1+c2+...+c n＝2n+(12−13+13−14+⋯+1n+1−1n+2)＝2n+12−1n+2<2n+12；即证．【解答】∵点(n, S n)均在函数y＝f(x)的图象上，∴S n=12n2+32n,n=1,a1=S1=2，当n≥2时，a n＝S n−S n−1＝n+1，a1也适合，所以a n＝n+1(n∈N∗)．证明：∵c n=a na n+1+a n+1a n=n+1n+2+n+2n+1>2，∴c1+c2+...+c n>2n；又c n=n+1n+2+n+2n+1=2+1n+1−1n+2，∴c1+c2+...+c n＝2n+(12−13+13−14+⋯+1n+1−1n+2)＝2n+12−1 n+2<2n+12；∴2n<c1+c2+...+c n<2n+12．【答案】解：(1)△ABC中，2b−ca =cos Ccos A，由正弦定理变形得：2sin B−sin Csin A=cos Ccos A，即2sin B cos A=sin A cos C+sin C cos A，整理得：2sin B cos A=sin(A+C)=sin B，∵sin B≠0，∴cos A=12，则A=π3；（2）由正弦定理及a=√3，sin A=√32得asin A=bsin B=csin C=√3√32=2，得：b=2sin B，c=2sin C，则b2+c2=4sin2B+4sin2C=2(1−cos2B+1−cos2C)=2[2−cos2B−cos2(120∘−B)] =2[2−cos2B−cos(240∘−2B)]=2(2−12cos2B+√32sin B)=4+2sin(2B−30∘)，∵0<B<120∘，即−30∘<2B−30∘<210∘，∴−12<sin(2B−30∘)≤1，则3<b2+c2≤6．【考点】正弦定理正弦定理的应用【解析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后求出cos A的值，即可确定出A得度数；（2）利用正弦定理列出关系式，表示出b与c，代入所求式子，整理后利用正弦函数的值域即可确定出范围．【解答】解：(1)△ABC中，2b−ca=cos Ccos A，由正弦定理变形得：2sin B−sin Csin A=cos Ccos A，即2sin B cos A=sin A cos C+sin C cos A，整理得：2sin B cos A=sin(A+C)=sin B，∵sin B≠0，∴cos A=12，则A=π3；（2）由正弦定理及a=√3，sin A=√32得asin A=bsin B=csin C=√3√32=2，得：b=2sin B，c=2sin C，则b2+c2=4sin2B+4sin2C=2(1−cos2B+1−cos2C)=2[2−cos2B−cos2(120∘−B)]=2[2−cos2B−cos(240∘−2B)]=2(2−12cos2B+√32sin B)=4+2sin(2B−30∘)，∵0<B<120∘，即−30∘<2B−30∘<210∘，∴−12<sin(2B−30∘)≤1，则3<b2+c2≤6．。