八年级上册第十四章-整式的乘除与因式分解知识梳理

第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= （m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．⑵幂的乘方：()n m mn a a =（m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．⑶幂的乘方：()nn n ab a b =（n 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积．（4）幂的除法：n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减．（5）零指数幂的概念： a 0＝1 （a ≠0） 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．（6）负指数幂的概念：a －p ＝p a 1（a ≠0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：pp n m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式.⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用其中一个多项式除以另一个多项式再把所得的商相加4.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++； ()2222a b a ab b -=-+ 二、因式分解：因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

整式是一个或多个代数式的和、差或积。

整式的乘除与因式分解是数学中非常重要的概念，是解决各种代数问题的基础。

本文将详细介绍八年级上数学中整式的乘除与因式分解的基本知识点。

一、整式的乘法1.1 单项式的乘法：单项式的乘法是指单项式与单项式之间的乘法。

例如：2x ×3y = 6xy，-4a^2 × 5b^3 = -20a^2b^31.2多项式的乘法：多项式的乘法是指多项式与多项式之间的乘法。

例如：(3x+2)(x-1)=3x^2+x-2二、整式的除法2.1 单项式的除法：单项式的除法是指单项式除以单项式。

例如：4x^2 ÷ x = 4x，10a^3b^2 ÷ 2ab = 5a^2b。

2.2多项式的除法：多项式的除法是指多项式除以多项式。

例如：(12x^3+9x^2+3x)÷3x=4x^2+3x+1三、整式的因式分解整式的因式分解是将一个整式写成几个整式的乘积的形式，其中每个整式都是原来整式的因式。

例如：12x^2+8xy，将其因式分解为4x(3x+2y)。

3.1 提取公因式：如果一个整式的每一项都能被同一个整式整除，那么这个公因式就是整式的一个因子。

例如：12x^2+8xy，公因式是4x。

3.2分解差的平方：差的平方是指形如"一个数的平方减另一个数的平方"的表达式。

例如：x^2-9，可因式分解为(x-3)(x+3)。

3.3 分解二次三项式：二次三项式是指形如"一个平方项加两个相同系数的次项"的表达式。

例如：x^2+2xy+y^2，可因式分解为(x+y)^2四、习题例析例1：将多项式4x^2+16x因式分解。

解：这个多项式2x的平方加4x的倍数，所以可以因式分解为4x(x+4)。

例2：将多项式a^2-9因式分解。

解：由差的平方公式可得，a^2-9=(a-3)(a+3)。

例3：将多项式4x^2y^2-8xy^2因式分解。

整式的乘除及因式分解知识点归纳整式是指由字母和常数经过加、减、乘、除运算得到的代数式。

乘除整式的运算及因式分解是代数学中非常基础和重要的知识点，下面将对乘除整式及因式分解的相关知识进行归纳。

一、乘法运算乘法运算是整式运算中最基本的运算。

在乘法运算中，有以下几个重要的法则：1.乘法交换律：a*b=b*a2.乘法结合律：(a*b)*c=a*(b*c)3.分配律：a*(b+c)=a*b+a*c4.单项式相乘法则：单项式相乘时，将各个单项式的系数相乘，同类项的指数相加。

例子：(2x^2)(3x^3)=2*3*x^2*x^3=6x^(2+3)=6x^5二、除法运算除法运算是整式运算中的一种重要运算。

除法运算可分为两种情况：1.恒等除法：当被除式为0时，整式除以0是没有意义的。

即0除以0没有定义。

2.非恒等除法：非零整式除以非零整式时，被除式乘以除数的倒数。

例子：(4x^4)/(2x^2)=4/2*x^4/x^2=2x^(4-2)=2x^2三、因式分解因式分解是指将一个整式表示为几个其它整式相乘的结果，称这些整式为原式的因式。

1.提取公因式：将一个整式的公因式提取出来，得到一个公因式和一个把原式除以公因式的商。

例子：8x^3+12x^2=4x^2(2x+3)2.根据乘法结合律和分配律，将每一个单项式的因式分别提出来。

例子：3xy + 9x + 6y + 18 = 3(x + 3) + 6(y + 3) = 3(x + 3 +2(y + 3)) = 3(x + 2y + 9)3.因式分解中，根据不同的整式形式，可以采用不同的方法进行因式分解。

常见的因式分解方法有：(1)一元二次整式的因式分解：对形如ax^2 + bx + c的一元二次整式，可以使用因式分解公式 (ax + m)(cx + n)进行分解，其中m、n分别是满足m*n=ac的两个数。

例子：x^2-5x+6=(x-2)(x-3)(2)立方差公式：对形如a^3 - b^3的整式，可以使用立方差公式 (a - b)(a^2 + ab + b^2)进行分解。

第十五章整式
三维目标
1.理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系.掌握单项式的系数、次数，多项式的项、次数等概念，明确它们之间的区别与联系.
2.在理解同类项概念的基础上，掌握合并同类项的方法，并掌握添括号的法则，能正确地进行同类项的合并和去括号与添括号.做到在准确判断、正确合并同类项的基础上，进行整式的加减运算.
3.掌握正整数幂的乘除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算.了解两个乘法公式的几何背景,能熟练地运用乘法公式（平方差公式和完全平方公式）进行乘法运算.
4.会进行整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
5.理解因式分解的意义并感受分解因式与整式乘法是相反方向的变形，掌握什么是公因式，掌握提公因式（字母的指数是数字）和运用公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.
6.初步认识到事物发展过程中“特殊→一般→特殊”的一般规律，体会事物之间可以相互转化的辩证思想.
知识网络。

第十四章 整式乘法与因式分解（一）幂的运算：1．同底数幂的乘法①n 个相同因式（或因数）a 相乘，记作a n ，读作a 的n 次方（幂），其中a 为底数，n 为指数，a n 的结果叫做幂。

①底数相同的幂叫做同底数幂。

①同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即：a m ﹒a n =a m+n 。

注意：底数可以是多项式或单项式。

如：532)()()(b a b a b a +=+•+①此法则也可以逆用，即：a m+n = a m ﹒a n 。

①开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。

2．同底数幂的除法①同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数）。

①此法则也可以逆用，即：a m -n = a m ÷a n （a≠0）。

3．零指数与负指数公式:（1）零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即：a 0=1（a≠0）。

（2）负指数幂：任何不等于零的数的―p 次幂，等于这个数的p 次幂的倒数，即：p p aa 1=-（p a ,0≠是正整数） 注：在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。

注意：00，0-2无意义；（2）有了负指数，可用科学记数法记录小于1的数，例如：0.0000201=2.01×10-5 .绝对值小于1的数可记成n -10a ⨯±的形式，其中10a 1<≤，n 是正整数，n 等于原数中第一个有效数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零）。

4．幂的乘方①幂的乘方是指几个相同的幂相乘。

（a m ）n 表示n 个a m 相乘。

①幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

mn n m a a =)(。

（n m ,都是正整数）①此法则也可以逆用，即m n n m mn a a a )()(==。

三一文库（）/初中二年级〔初二数学知识点总结：整式的乘除与因式分解〕一.定义1.整式乘法(1).am·an=am+n[m,n都是正整数]同底数幂相乘,底数不变,指数相加.(2).(am)n=amn[m,n都是正整数]幂的乘方,底数不变,指数相乘.(3).(ab)n=anbn[n为正整数]积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.(4).ac5·bc2=(a·b)·(c5·c2)=abc5+2=abc7单项式与单项式相乘,把它们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积第1页共3页的一个因式.(5).m(a+b+c)=ma+mb+mc单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,(6).(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相乘.2.乘法公式(1).(a+b)(a-b)=a2-b2平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.(2).(a±b)2=a2±2ab+b2完全平方公式:两数和[或差]的平方,等于它们的平方和,加[或减]它们积的2倍.3.整式除法(1)am÷an=am-n[a≠0,m,n都是正整数,且m>n]同底数幂相除,底数不变,指数相减.(2)a0=1[a≠0]任何不等于0的数的0次幂都等于1.(3)单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.23。

第十四章 整式的乘除与分解因式 一、知识框架:二、知识概念：1. 基本运算： ⑴同底数幂的乘法： a m ⨯ a n = a m +n⑵幂的乘方： (a m )n= a mn ⑶积的乘方： (ab )n= a n b n等边三角形的性质 2. 整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加. 3. 计算公式：⑴平方差公式： (a - b )⨯(a + b ) = a 2 - b 2⑵完全平方公式： (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 ； (a - b )2= a 2 - 2ab + b 24. 整式的除法：⑴同底数幂的除法： a m ÷ a n = a m -n⑵单项式÷ 单项式：系数÷ 系数，同字母÷ 同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷ 单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷ 多项式：用竖式.5. 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式 子因式分解.6. 因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式.⑵公式法：①平方差公式： a 2 - b 2 = (a + b )(a - b )因式分解整式除法 乘法法则整式乘法②完全平方公式：a2± 2ab +b2=(a ±b)2③立方和：a3+b3= (a +b)(a2-ab +b2 )④立方差：a3-b3= (a -b)(a2+ab +b2 )⑶十字相乘法：x2+(p +q)x +pq =(x +p)(x +q)⑷拆项法⑸添项法。

初中数学整式的乘除与因式分解知识点归纳一、整式的乘法：1.普通整式相乘：将每一项的系数相乘，同时将每一项的指数相加。

2.平方整式相乘：先将每一项平方，再将每一项相乘得到结果。

3.完全平方的平方差公式：(a-b)(a+b)=a²-b²。

4. 公式展开：通过公式展开可求两个或多个整式的乘积，例如(a+b)²=a²+2ab+b²。

二、整式的除法：1.整式相除的概念：整式A除以整式B，若存在整式C，使得B×C=A，那么C称为A除以B的商式。

2.用辗转相除法进行整式的除法计算。

三、因式分解：1.抽象公因式法：将多项式中的每一项提取出公因式，然后将剩下的部分合并。

2.公式法：运用一些常用的公式，如平方差公式、完全平方公式等进行因式分解。

3.分组法：将多项式中的项进行分组，使每一组都有一个公因式，然后进行合并。

4. 二次三项式的因式分解：对于二次三项式a²+2ab+b²或a²-2ab+b²，可以因式分解为(a±b)²。

5.因式定理和余式定理：若(x-a)是多项式P(x)的因式，则P(a)=0。

根据这一定理可以找到多项式的因式。

四、常见整式的因式分解：1.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。

2. 完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²，a²-2ab+b²=(a-b)²。

3. 符号"相反"公式：a²-2ab+b²=(b-a)²。

4. 三项平方公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)，a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。

5. 公因式公式：a²+ab=a(a+b)。

整式的乘除与因式分解基本知识点一、整式的乘除：1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 例如：_______3=-a a ；________22=+a a ；________8253=+-+b a b a __________________210242333222=-++-+-x xy x y x xy xy y x2、同底数幂的乘法法则：a m ·a n =a m+n (m ，n 是正整数). 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.例如：________3=⋅a a ；________32=⋅⋅a a a3、幂的乘方法则：(a m )n =a mn (m ，n 是正整数).幂的乘方，底数不变，指数相乘. 例如：_________)(32=a ；_________)(25=x ；()334)()(a a =4、积的乘方的法则：(a b)m =a m b m (m 是正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 例如：________)(3=ab ；________)2(32=-b a ；________)5(223=-b a 5、同底数幂的除法法则：a m ÷a n =a m-n (a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 规定：10=a例如：________3=÷a a ；________210=÷a a ；________55=÷a a 6、单项式乘法法则y x 32⋅ )5)(2(22xy y x - )2()3(22xy xy -⋅ 2232)()(b a b a ⋅- 7、单项式除法法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.y x y x 2324÷ ()xy y x 6242-÷ ()()58103106⨯÷⨯8、单项式与多项式相乘的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.)(c b a m ++ )532(2+--y x x )25(32b ab a ab +--9、多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.)6)(2(-+x x )12)(32(+--y x y x ))((22b ab a b a +-+10、多项式除以单项式的除法法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.()x x xy ÷+56； ()()a ab a 4482-÷-()b a b a b a 232454520÷- c c b c a 2121222÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-11、整式乘法的平方差公式：(a +b)(a -b)=a 2-b 2.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.例如：（4a －1）（4a+1）=___________； （3a －2b ）（2b+3a ）=___________；()()11-+mn mn = ； =--+-)3)(3(x x ；12、整式乘法的完全平方公式：(a +b)2=a 2+2a b+b 2，(a -b)2=a 2-2a b+b 2.两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍. 例如：()____________522=+b a ； ()_______________32=-y x()_____________22=+-ab ； ()______________122=--m二、因式分解： 1、提公因式法：4y xy - 32x x + x 2+12x 3+4x )1()1(-+-a n a m 2、公式法.：（1）、平方差公式：))((22b a b a b a -+=-12-x 2294b a - 22)(16z y x +- 22)2()2(b a b a --+（2）、完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-442+-m m 2269y xy x ++ 924162++x x 36)(12)(2++-+b a b a3、分组分解法：1a b ab +++ ab －c ＋b －ac a 2－2ab ＋b 2－c 24、“十字相乘法”：即式子x 2+(p+q)x+pq 的因式分解. x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).x 2＋7x ＋6 （2）、x 2－5x －6 （3）、x 2－5x ＋6整式的乘法[同底数幂的乘法]a m ·a n =a m+n （m 、n 都是正整数） [幂的乘方](a m )n ＝a mn (m ，n 都是正整数) [积的乘方](ab)n ＝a n b n (n 是正整数) [单项式乘以单项式]单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同的字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． [单项式乘以多项式]单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． [多项式乘以多项式]多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．平方差公式[平方差公式] (a ＋b)(a －b)＝a 2－b 21. 公式的结构特征：⑴左边是两个二项式相乘，这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数.⑵右边是这两个数的平方差，即完全相同的项与互为相反数的项的平方差（同号项2－异号项2）.2. 公式的应用：⑴公式中的字母a ，b 可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用此公式进行计算.⑵公式中的a b22是不可颠倒的，注意是同号项的平方减去异号项的平方，还要注意字母的系数和指数.⑶为了避免错误，初学时，可将结果用“括号”的平方差表示，再往括号内填上这两个数.如：(a+b)( a - b)= a2 －b2↓↓↓↓↓↓计算：(1+2x)(1-2x)= ( 1 )2－( 2x )2 =1-4x2[完全平方公式]两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加（或减）它们的积的2倍.公式特征：左边是一个二项式的平方，右边是一个三项式（首平方，尾平方，二倍乘积在中央）．公式变形：(a+b)2=(a-b)2+4ab a2 + b2 = (a+b)2-2ab(a-b)2=(a+b)2-4ab a2 + b2 = (a-b)2+2ab(a+b)2- (a-b)2=4ab[公式的推广] (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac[同底数幂的除法]a m÷a n=a m-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)．a0=1(a≠0)任何非零数的零次幂是1.[单项式除以单项式]单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．[多项式除以单项式]多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．[因式分解]把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（或分解因式）. [提公因式法]ac ＋bc=（a ＋b ）c[公式法][十字相乘法]一、训练平台1.下列各式中，计算正确的是( ) ×27=28×22=210+26=27+26=2122.当x=23时，3(x+5)(x-3)-5(x-2)(x+3)的值等于( )239 D.239 3.已知x-y=3，x-z=21，则(y-z)2+5(y-z)+425的值等于( )A.425 B.25 254.设n 为正整数，若a 2n =5，则2a 6n -4的值为( )D.不能确定5.(a +b)(a -2b)= .6.(2a +2= .7.(a +4b)(m+n)= . 8.计算.(1)(2a -b 2)(b 2+2a )= ；(2)(5a -b)(-5a +b)= .9.分解因式. (1)1-4m+4m 2；(2)7x 3-7x.10.先化简，再求值.[(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x ，其中x=3，y=. 二、探究平台1.分解因式(a -b)(a 2-a b+b 2)-a b(b-a )为( ) A.(a -b)(a 2+b 2)B.(a -b)2(a +b)C.(a -b)3(a -b)32.下列计算正确的是( ) ÷a 2=a 4(a ≠0) ÷a 4=a (a ≠0) ÷a 6=a 3(a ≠0)D.(a 2b)3=a 6b3.下列各题是在有理数范围内分解因式，结果正确的是( )=(-x+4)(-x-4) +x 3n =x n (2+x 3)41=41(1+2x)(1-2x) 4.分解因式：-a 2+4a b-4b 2= .5.如果x 2+2(m-3)x+25能用公式法分解因式，那么m 的值是 .6.(3x 3+3x)÷(x 2+1)= . . 8.计算.(1)12345678921234567890123456789112345678902⨯-；(2)20032002200220002002220022323-+-⨯-.9.分解因式.(1)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)； (2)x 4-81x 2y 2.10.112--x x +x(1+x1)，其中x=2-1.三、交流平台1.一条水渠其横断面为梯形，如图15－23所示，根据图中的长度求出横断面面积的代数式，并计算当a=2，b=时的面积.2.已知多项式x3+kx+6有一个因式x+3，当k为何值时，能分解成三个一次因式的积？并将它分解.3.如果x+y=0，试求x3+x2y+xy2+y3的值.4.试说明无论m，n为任何有理数，多项式4m2+12m+25+9n2-24n的值为非负数.第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】1．转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．2．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一讲 分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bda d a c ac÷=•=4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn7.负指数幂: a -p =1p aa 0=1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2-b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）31+-x x （2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x-84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义： （1）3||61-x（2）1)1(32++-x x （3）x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x（2）562522+--x x x3．解下列不等式 （1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）yx yx --+- （2）ba a ---（3）ba ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x，求yxy x yxy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出yx11+. 【例4】已知：21=-xx ，求221xx +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值. 练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数. （1）yx yx 5.008.02.003.0+-（2）b a ba 10141534.0-+ 2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求aab b bab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值. 5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）22,21,1222--+--x x xx xx x ； （4）aa -+21,2题型二：约分【例2】约分： （1）322016xy y x -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+； （3）mn mn m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ；（5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--； （6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ； （7）)12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x 题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2）已知：432z y x ==，求22232zy x xzyz xy ++-+的值；（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a a a --的值.题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值. 练习：1．计算（1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ； （2）a b abb b a a ----222； （3）ba c cb ac b c b a c b a c b a ---++-+---++-232； （4）b a b b a ++-22；（5）)4)(4(ba abb a b a ab b a +-+-+-；（6）2121111x x x ++++-； （7）)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x . 2．先化简后求值（1）1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a . （2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(yxx y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值.3．已知：121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，试求A 、B 的值. 4．当a 为何整数时，代数式2805399++a a 的值是整数，并求出这个整数值. （四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：（1）3132)()(---⋅bc a （2）2322123)5()3(z xy z y x ---⋅（3）24253])()()()([b a b a b a b a +--+-- （4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x题型二：化简求值题【例2】已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值. 题型三：科学记数法的计算【例3】计算：（1）223)102.8()103(--⨯⨯⨯；（2）3223)102()104(--⨯÷⨯. 练习：1．计算：（1）20082007024)25.0()31(|31|)51()5131(⋅-+-+-÷⋅-- （2）322231)()3(-----⋅n m n m （3）23232222)()3()()2(--⋅⋅ab b a b a ab（4）21222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x2．已知0152=+-x x ，求（1）1-+x x ，（2）22-+x x 的值.第二讲 分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程 （1）xx 311=-；（2）0132=--x x ；（3）114112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根. 题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程 （1）4441=+++x x x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，61167++=++x x x .【例3】解下列方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x 题型三：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值. 【例5】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：032>-=ax 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a . 题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dcx b a x 提示：（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c . 题型五：列分式方程解应用题练习：1．解下列方程： （1）021211=-++-x xx x ； （2）3423-=--x x x ； （3）22322=--+x x x ； （4）171372222--+=--+x x x x xx （5）2123524245--+=--x x x x（6）41215111+++=+++x x x x（7）6811792--+-+=--+-x x x x x x x x2．解关于x 的方程：（1）b x a 211+=)2(a b ≠；（2）)(11b a xbb x a a ≠+=+. 3．如果解关于x 的方程222-=+-x xx k 会产生增根，求k 的值.4．当k 为何值时，关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x kx x 的解为非负数. 5．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值. （二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下： 一、交叉相乘法例1．解方程：231+=x x 二、化归法例2．解方程：012112=---x x 三、左边通分法例3：解方程：87178=----xx x 四、分子对等法例4．解方程：)(11b a xb b x a a ≠+=+五、观察比较法例5．解方程：417425254=-+-x x x x六、分离常数法例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x七、分组通分法例7．解方程：41315121+++=+++x x x x（三）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程xmx x -=--221无解，求m 的值。

整式的乘除与因式分解知识点全面集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-整式的乘除与因式分解知识点一、整式乘除法同底数幂相乘,底数不变,指数相加. a m·a n=a m+n[m,n同底数幂相除,底数不变,指数相减. a m÷a n=a m-n[a≠0,m,n都是正整数,且m>n]任何不等于0的数或式子的0次幂都等于1. a0=1[a≠0]， 00无意义(a m)n表示n个a m相乘，a 的(m n)幂表示m幂的乘方,底数不变,指数相乘. (a m)n=a mn[m,n都是正整数]积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得幂相乘.(ab)n=a n b n[n为正整数]注：不要漏积中任何一个因式单项式与单项式相乘,把它们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.ac5·bc2=(a·b)·(c5·c2)=abc5+2=abc7 注：运算顺序先乘方，后乘除，最后加减单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,m(a+b+c)=ma+mb+mc 注：不重不漏，按照顺序，注意常数项、负号 .本质是乘法分配律。

多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相乘(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn乘法公式：平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. (a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式:两数和[或差]的平方,等于它们的平方和,加[或减]它们积的2倍.(a±b)2=a2±2ab+b2因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式,也叫做把这个多项式分解因式.因式分解方法:1、提公因式法.关键:找出公因式公因式三部分：①系数(数字)一各项系数最大公约数；②字母--各项含有的相同字母；③指数--相同字母的最低次数；步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．2、公式法.①a2-b2=(a+b)(a-b)两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积a、b 可以是数也可是式子②a2±2ab+b2=(a±b)2 完全平方两个数平方和加上或减去这两个数的积的2倍,等于这两个数的和[或差]的平方.③x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)立方差公式3、十字相乘(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq因式分解三要素：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式（2）因式分解必须是恒等变形；（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．弄清因式分解与整式乘法的内在的关系:互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差添括号法则：如括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如括号前是负号各项都得改符号。

人教版八年级上册第14章《整式的乘除与因式分解》知识清单一、幂的乘法运算1.同底数幂的乘法：底数________,指数______.字母表达：a m·a n =_____.(m、n是正整数).2.幂的乘方：底数________,指数______.字母表达：(a m)n = ________.(m、n是正整数).3.积的乘方：积的每一个因式分别_____，再把所得的幂_____.字母表达：(ab)n =_____（n为正整数）二、整式的乘法1.单项式乘单项式：(1)将_____________相乘作为积的系数；(2)相同字母的因式，利用_________的乘法，作为积的一个因式；(3)单独出现的字母，连同它的______，作为积的一个因式；注：单项式乘单项式，积为________.2.单项式乘多项式：(1)单项式分别______多项式的每一项；(2)将所得的积________.注：单项式乘多项式，积为多项式，项数与原多项式的项数________.3.多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的______，再把所得的积________.三、整式的除法1.同底数幂的除法：同底数幂相除，底数_______,指数_________.字母表达：a m÷a n=_______(a ≠0,m,n都是正整数，且m>n)2.0次幂：任何不等于0的数的0次幂都等于________.字母表达：a0 =1(a_____)3.单项式除以单项式：单项式相除, 把_______、____________分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的_______一起作为商的一个因式.4.多项式除以单项式：多项式除以单项式，就是用多项式的除以这个，再把所得的商 .四、乘法公式1.平方差公式：两数______与这两数______的积,等于这两数的______.字母表达：(a+b)(a-b) =_________.【方法总结】应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．2.完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的_______，加上（或减去）它们的______的2倍.字母表达：(a±b)2=_____________.【方法总结】1.公式左边都是二项式的平方，右边是一个二次三项式；2.公式右边第一、三项分别是左边第一、第二项的平方．3.另一项是左边两项积的_____倍.4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.五、因式分解1.因式分解的定义：把一个多项式化为几个________的________的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.2. 因式分解的方法：(1)提公因式法※多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的____________.【方法归纳】正确找出多项式的公因式的步骤：①定系数：公因式的系数是多项式各项系数的_______________.②定字母：字母取多项式各项中都含有的________的字母.③定指数：相同字母的指数取各项中______的一个，即字母最_____次数.※如果多项式的各项有_______，可以把这个_______提取出来，将多项式写成_______与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.字母表达：ma+mb+mc=_____________.【方法归纳】提公因式法步骤（分两步）第一步:找出公因式；第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.注意事项：1.公因式要提尽；2.不要漏项；3.提负号，要注意变号.(2)公式法●平方差公式※两个数的平方差，等于这两个数的_____与这两个数的______的________.字母表达：a2－b2=____________.【要点归纳】能利用平方差公式因式分解的多项式的特征：①左边是____次____项式，每项都是____的形式，两项的符号相反.②右边是两个多项式的____，一个因式是两数的____，另一个因式是这两个数的____．【方法归纳】平方差公式因式分解步骤一提：提______；二套：套______；三查：检查每一个多项式是否都不能再分解因式.●完全平方公式※完全平方公式的特点：左边：①项数必须是________；②其中有两项是________；③另一项是________．右边：________________________________________________.※用完全平方公式因式分解，即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.字母表达：a2＋2ab＋b2＝________； a2－2ab＋b2＝________.【要点归纳】将一个多项式因式分解的一般步骤：（1）利用公式把某些具有特殊形式（如__________，__________等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.（2）分解因式应根据多项式的特征，有公因式的一般先提_________,再套用公式，没有公因式的，则直接套用公式.分解因式应注意最后的结果中，多项式的每一个因式均不能再继续分解.。

整式乘除与因式分解一．知识点 （重点） 1．幂的运算性质： a m·a n＝a m ＋n（m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．例：(－2a )2(－3a 2)32．＝ a mn（m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．例：(－a 5)53． （n 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积．例：(－a 2b )3练习：（1）y x x 2325⋅ （2）)4(32b ab -⋅- （3）a ab 23⋅（4）222z y yz ⋅ （5）)4()2(232xy y x -⋅ （6）22253)(631ac c b a b a -⋅⋅4．＝ am －n（a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）同底数幂相除，底数不变，指数相减．例：（1）x 8÷x 2（2）a 4÷a （3）（a b ）5÷（a b ）2（4）（-a ）7÷（-a ）5 （5） (-b ) 5÷(-b )25．零指数幂的概念：a 0＝1 （a ≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ． 例：若1)32(0=-b a 成立，则b a ,满足什么条件6．负指数幂的概念：a －p＝ （a ≠0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 7．单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．例：（1）223123abc abc b a ⋅⋅ （2）4233)2()21(n m n m -⋅- 8．单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 例：（1）)35(222b a ab ab + （2）ab ab ab 21)232(2⋅- （3）)32()5(-22n m n n m -+⋅ （4）xyz z xy z y x ⋅++)(23229．多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．例：（1）)6.0(1x x --）（ （2）))(2(y x y x -+ （3）2)2n m +-（ 练习：1．计算2x 3·(－2xy)(－12xy) 3的结果是 2．(3×10 8)×(－4×10 4)＝3．若n 为正整数，且x 2n＝3，则(3x 3n) 2的值为 4．如果(a nb ·ab m) 3＝a 9b 15，那么mn 的值是5．－[－a 2(2a 3－a)]＝6．(－4x 2＋6x －8)·(－12x 2)＝ 7．2n(－1＋3mn 2)＝ 8．若k(2k －5)＋2k(1－k)＝32，则k ＝9．(－3x 2)＋(2x －3y)(2x －5y)－3y(4x －5y)＝ 10．在(ax 2＋bx －3)(x 2－12x ＋8)的结果中不含x 3和x 项，则a ＝ ，b ＝11．一个长方体的长为(a ＋4)cm ，宽为(a －3)cm ，高为(a ＋5)cm ，则它的表面积为，体积为。