【小题满分练】高考数学17

2021年高考数学一模试卷 (17)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|x+y=1}，则A∩B中元素的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 32.复数z=−2+ii的共轭复数是()A. 1+2iB. 1−2iC. −1+2iD. −1−2i3.若sin(π+α)=23，则cos2α的值为()A. 19B. 29C. 13D. −134.log29·log34=()A. 14B. 12C. 2D. 45.对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(x i,y i)(i=1，2，…，8)，其回归直线方程是ŷ=13x+a且x1+x2+⋯+x8=6，y1+y2+⋯+y8=3，则实数a的值是()A. 116B. 18C. 14D. 126.函数f(x)=1x−x的图象关于下列那一个对称？()A. 关于x轴对称B. 关于y对称C. 关于原点对称D. 关于直线y=x7.执行如图所示的程序框图，则输出的a值为()A. −3B. 13C. −12D. 28.在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a2+c2−b2=√2ac，则∠B为()A. 60°B. 45°或135°C. 135°D. 45°9.设a，b，c为三条互不相同的直线，α，β，γ为是三个互不相同的平面，则下列选项中正确的是()A. 若a⊥b，a⊥c，则b//cB. 若a⊥α，b⊥β，a//b，则α//βC. 若α⊥β，α⊥γ，则β//γD. 若a//α，b//β，a⊥b，则α⊥β10.命题p：函数f(x)=x3−3x在区间(−1,1)内单调递减，命题q：函数f(x)=|sin2x|的最小正周期为π，则下列命题为真命题的是()A. p∧qB. (￢p)∨qC. p∨qD. (￢p)∧(￢q)11.若函数f(x)={x2−a2x+8,x≤1axx>1为R上的减函数，则实数a的取值范围是()A. (4,+∞)B. [4,+∞)C. [4,6]D. (0,+∞)12.已知点A(0,2)，抛物线C：y2=4x的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=()A. 2：√5B. 1：2C. 1：√5D. 1：3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a⃗+b⃗ =(3,4),|a⃗−b⃗ |=3，则a⃗⋅b⃗ =____________．14.若变量x，y满足约束条件{y≤2x+12x+y≤4y+2≥0，则z=x−2y的最大值为__________________．15.圆心在x轴的正半轴上，半径为双曲线x216−y29=1的虚半轴长，且与该双曲线的渐近线相切的圆的方程是______．16.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，若与对角线A1C垂直的平面α截正方体得到的截面是六边形，则这个六边形的周长为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某养殖的水产品在临近收获时，工人随机从水中捕捞100只，其质量分别在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400](单位：克)，经统计分布直方图如图所示．(1)求这组数据的众数；(2)现按分层抽样从质量为[250,300)，[300,350)的水产品种随机抽取6只，再从这6只中随机抽取3只，求这3只水产品恰有1只在[300,350)内的概率；(3)某经销商来收购水产品时，该养殖场现还有水产品共计约10000只要出售，经销商提出如下两种方案：方案A：所有水产品以14元/只收购；方案B：对于质量低于300克的水产品以10元/只收购，不低于300克的以28元/只收购，通过计算确定养殖场选择哪种方案获利更多？18.在等比数列{a n}中，公比q=2，且a2+a3=12．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{a n}的前2015项和S2015．19.如图，已知多面体A−BCDEF中，ABCD为菱形，∠ABC=60°，AE⊥平面ABCD，AE//CF，AB=AE=1，AF⊥BE．(I)求证：AF⊥平面BDE；(Ⅱ)求多面体ABCDEF的体积．20.已知右焦点为F(1.0)的椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点D(1,32).(1)求椭圆M的方程；(2)经过F的直线l与桶圆M分别交于A，B(不与D点重合)，直线DA，DB分别与x轴交于M，N，是否存在直线l，使得∠DMN=∠DNM？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．+a(a为正实数)．21.已知函数f(x)=lnx+ax(1)当a=1时，求f(x)的最小值；+a在点(1,f(1))处的切线方程为x+y−b=0，求a，b的值．(2)若曲线f(x)=lnx+ax22.在极坐标系中，直线l：与曲线C：ρ=2asinθ(a>0)有且仅有一个交点．(1)求a的值；(2)若O为极点，A、B为曲线C上的两点，且，求|OA|+|OB|的最大值．23.已知函数f(x)=|2x−1|+|2x+1|，记不等式f(x)<4的解集为M．(1)求M；(2)设a,b∈M，证明：|ab|−|a|−|b|+1>0．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查了集合交集运算，集合中元素个数判断，属于基础题．根据题意，联立{x 2+y 2=1x +y =1，求出方程组解，即可得到A ∩B ，进而得到答案． 解：由题意，令{x 2+y 2=1x +y =1，解得{x =0y =1或{x =1y =0, 所以A ∩B ={(0,1)，(1,0)}，有2个元素．故选C ．2.答案：B解析：解：由题意可得复数z =−2+i i =(−2+i)⋅i i⋅i =−2i−1−1=1+2i故复数z =−2+i i 的共轭复数是：1−2i故选B 由复数的运算法则化简复数，即可得其共轭复数．本题考查共轭复数的定义，属基础题．3.答案：A解析：本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．利用诱导公式求得sinα，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α的值．解：若sin(π+α)=23=−sinα，∴sinα=−23，则cos2α=1−2sin 2α=1−2×49=19，故选：A ．解析：本题可通过把真数写成幂的形式，然后运用对数式的性质化简计算．解：由题意得，．故选D．5.答案：B解析：本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，属于基础题．求出横坐标和纵坐标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．解：∵x1+x2+⋯+x8=6，y1+y2+⋯+y8=3，∴x=68=34，y=38，∴这组数据的样本中心点是(34,38 )，把样本中心点代入回归直线方程ŷ=13x+a得：38=13×34+a，解得a=18，故选：B．6.答案：C解析：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，难度不大，属于基础题，分析函数f(x)=1x−x的奇偶性，进而可得答案．解：函数f(x)=1x−x是奇函数，故函数f(x)=1x−x的图象关于原点对称，故选C．解析：解：当i=1时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=−3，i=2；当i=2时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=−12，i=3；当i=3时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=13，i=4；当i=4时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=2，i=5；可知周期为3，∵2016=3×672，∴输出的a值为2，故选D．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．8.答案：D解析：利用余弦定理表示出cos B，将已知等式代入计算求出cos B的值，即可确定出B的度数．此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．解：∵在△ABC中，a2+c2−b2=√2ac，∴cosB=a2+c2−b22ac =√22，则B=45°．故选D．9.答案：B解析：解：对于A，b，c还可能相交或异面，不正确；对于B，a⊥α，a//b，则b⊥α，∵b⊥β，∴α//β，正确；对于C，若α⊥β，α⊥γ，则β//γ或β，γ相交，不正确；对于D，若a//α，b//β，a⊥b，α、β有可能平行，不正确，故选B．对4个命题分别进行判断，即可得出结论．本题考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10.答案：C解析：解：命题p ：解f′(x)=3x 2−3<0得−1<x <1；∴函数f(x)=x 3−3x 在区间(−1,1)内单调递减，所以命题p 是真命题；命题q ：∵|sin2(x +π2)|=|sin(2x +π)|=|sin2x|；∴f(x)的最小正周期为π2，所以命题q 是假命题；∴p ∧q 为假命题，(￢p)∨q 为假命题，p ∨q 为真命题，(￢p)∧(￢q)为假命题；∴为真命题的是C ．故选C ．根据函数导数符号和函数单调性的关系，以及函数周期的概念，三角函数诱导公式可判断命题p ，q 的真假，然后根据p ∧q ，p ∨q ，￢p 的真假和p ，q 真假的关系即可找到正确选项．考查导数符号和函数单调性的关系，三角函数周期的概念，三角函数诱导公式，p ∧q ，p ∨q ，￢p 的真假和p ，q 真假的关系． 11.答案：C解析：解：函数f(x)={x 2−a 2x +8,x ≤1a x ,x >1为R 上的减函数，则{a 4≥1a >09−a 2≥a ， 解得4≤a ≤6，即实数a 的取值范围是[4,6]，故选：C ．根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，进行求解即可．本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质是解决本题的关键．12.答案：C解析：解：∵抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，点A坐标为(0,2)，∴抛物线的准线方程为l：x=−1，直线AF的斜率为k=−2，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|，∵Rt△MPN中，tan∠NMP=−k=2，=2，可得|PN|=2|PM|，∴|PN||PM|得|MN|=√|PN|2+|PM|2=√5|PM|，因此可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1：√5．故选：C．求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=2.过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|.Rt△MPN中，根据tan∠NMP=−k=2，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=√5|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值，着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．13.答案：4解析：本题考查向量数量积，利用向量数量积的运算法则以及向量的模的公式求解，属于基础题．求出|a⃗+b⃗ |2=a⃗2+2a⃗·b⃗ +b⃗ 2,|a⃗−b⃗ |2=a2⃗⃗⃗⃗ −2a⃗·b⃗ +b⃗ 2的值相减即可．解：a⃗+b⃗ =(3,4),|a⃗−b⃗ |=3，所以|a⃗+b⃗ |2=a⃗2+2a⃗·b⃗ +b⃗ 2=32+42=25,|a⃗−b⃗ |2=a⃗2−2a⃗·b⃗ +b⃗ 2=9，相减得4a⃗·b⃗ =16,a⃗·b⃗ =4，故答案为4．14.答案：7解析：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是正确作出可行域，是中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数z =x −2y 为直线方程的斜截式，可知当直线在y 轴上的截距最小时z 最大，结合图象找出满足条件的点，联立直线方程求出点的坐标，代入目标函数可求z 的最大值．解：由变量x ，y 满足约束条件{y ≤2x +12x +y ≤4y +2≥0作出可行域如图，由z =x −2y ，得y =x2−z2，由图可知，当直线y =x2−z 2过可行域内点A 时直线在y 轴上的截距最小，z 最大． 联立{y +2=02x +y =4，解得A(3,−2)．∴目标函数z =x −2y 的最大值为3−2×(−2)=7． 故答案为：7．15.答案：(x −5)2+y 2=9解析：本题主要考查双曲线的基本性质．在求双曲线的渐近线方程时，一定要先判断出焦点所在位置，以免出错．因为焦点在x 轴上与焦点在y 轴上的渐近线方程形式不一样．求出双曲线的虚半轴的长及渐近线方程；设出圆的圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求出圆的半径，即可得到所求圆的方程． 解：双曲线x 216−y 29=1的虚半轴长为：3，所以圆的半径为3，双曲线的渐近线为：，3x ±4y =0，设圆的圆心(m,0)m >0， 该双曲线的渐近线与圆相切，可得|3m|√32+42=3，解得m =5． 与该双曲线的渐近线相切的圆的方程是：(x −5)2+y 2=9． 故答案为(x −5)2+y 2=9．16.答案：3√2解析：本题考查了正方体的对角线与垂直关系的应用问题，是中档题．根据题意画出图形，结合图形得出与对角线A1C垂直的平面截正方体所得六边形的周长．解：如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，连接BD、BC1、DC1，则A1C⊥平面BDC1；又A1C⊥平面α，且平面α截正方体得到的截面是六边形，不妨取AB、BB1、B1C1、C1D1、D1D和DA的中点E、F、G、H、I、J，连接E、F、G、H、IJ，得六边形EFGHIJ，且A1C⊥平面EFGHIJ，=3√2．则六边形EFGHIJ的周长为6×√22故答案为3√2．17.答案：解：(1)由频率分布直方图得质量在[250,300)的小矩形最高，=275．∴该样本的众数为：250+3002(2)抽取的6只水产品中，质量在[250,300)和[300,350)内的分别有4只和2只．设质量在[250,300)内的4只水产品分别为A，B，C，D，质量在[300,350)内的2只水产品分别为a，b．从这6只水产品中选出3只的情况共有：(A,B，C)，(A,B，D)，(A,B，a)，(A,B，b)，(A,C，D)，(A,C，a)，(A,C，b)，(A,D，a)，(A,D，b)，(A,a，b)，(B,C，D)，(B,C，a)，(B,C，b)，(B,D，a)，(B,D，b)，(B,a，b)，(C,D，a)，(C,D，b)，(C,a，b)，(D,a，b)，共计20种，其中恰有一个在[300,350)内的情况有：(A,B，a)，(A,B.b)，(A,C，a)，(A,C，b)，(A,D，a)，(A,D，b)，(B,C，a)，(B,C，b)，(B,D，a)，(B,D，b)，(C,D，a)，(C,D，b)共计12种，因此这3只水产品恰有1只在[300,350)内的概率P=1220=35．(3)方案A：14×10000=140000元；方案B：低于300克：10×[1−(0.004+0.001)×50]×10000=10×7500=75000元，不低于300克：28×(0.004+0.001)×50×10000=28×2500=70000元，总计75000+70000=145000元．由140000<145000，故B方案获利更多，应选B方案．解析：(1)由频率分布直方图得质量在[250,300)的小矩形最高，由此能求出该样本的众数．(2)抽取的6只水产品中，质量在[250,300)和[300,350)内的分别有4只和2只．设质量在[250,300)内的4只水产品分别为A，B，C，D，质量在[300,350)内的2只水产品分别为a，b.从这6只水产品中选出3只，利用列举法能求出这3只水产品恰有1只在[300,350)内的概率．(3)方案A：14×10000=140000元；方案B：145000元．B方案获利更多，应选B方案．本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查哪种方案获利较多的判断，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.答案：解：(Ⅰ)设等比数列{a n}的公比q=2，且a2+a3=12，∴2a1+4a1=12，解得a1=2，∴a n=2n.(Ⅱ)由(Ⅰ)知a1=2，q=2，S2015=a1(1−q2015)1−q =2(1−22015)1−2=22016−2．解析：(I)利用等比数列的通项公式即可得出；(II)利用等比数列的前n项和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19.答案：(Ⅰ)证明：连AC交BD于O，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵AE⊥面ABCD，BD⊂面ABCD，∴BD⊥AE，又∵AC⊂平面ACE，AE⊂平面ACE，AC∩AE=A，∴BD⊥面EACF，∵AF⊂面EACF，∴BD⊥AF.又AF⊥BE，BD⊂平面BDE，BE⊂平面BDE，BD∩BE=B，∴AF⊥面BDE．(Ⅱ)解：连结OE，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=AE=1，OB=OD=√32．∵AF⊥面BDE，EO⊂面BDE，∴EO⊥AF，∴∠AEO=90°−∠EAF，∠CAF=90°−∠EAF，∴∠AEO=∠CAF．∵tan∠AEO=AOAE =12，∴tan∠CAF=CFAC=12∴FC=12，∴V B−ACFE=13S梯形ACFE⋅BO=13×12×(1+12)×1×√32=√38．设所求多面体的体积V=2V B−ACFE=√34．解析：(I)连AC交BD于O，则由菱形的性质的AC⊥BD，由EA⊥平面ABCD得AE⊥BD，故而BD⊥平面ACE，于是BD⊥AF，又AF⊥BE，故AF⊥平面BDE；(II)由条件得AC=1，由AF⊥平面ACE得AE⊥OE，从而∠AEO=∠CAF，利用两角的正切值得出CF的长，则多面体的体积为四棱锥B−ACFE体积的2倍．本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．20.答案：解：(1)椭圆的右焦点为F(1.0)，则c=1，椭圆过点D，所以1a2+94b2=1，①a2=b2+c2=b2+1，②，解得：a2=4，b2=3，∴椭圆的标准方程为：x24+y23=1；(2)存在直线l，使得∠DMN=∠DNM，理由如下，由已知直线l所在的直线方程为y=k(x−1)，代入椭圆方程，(3+4k2)x2−8k2x+4(k2−3)=0，△>0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4(k2−3)3+4k2，记直线DA，DB的斜率分别为k1，k2，欲使直线l，满足∠DMN=∠DNM，只需k1+k2=0，因为A，F，B三点共线，所以k AF=k BF=k，则k1+k2=y1−3 2x1−1+y2−32x2−1=y1x1−1+y2x2−1−32(1x1−1+1x2−1)=2k−32⋅x1+x2−2x1x2−(x1+x2)+1=2k−1，由k1+k2=0，则k=12，所以存在直线l，使得∠DMN=∠DNM，此时直线l的方程为y=12(x−1)．解析：(1)将点代入椭圆方程，由a2=b2+c2=b2+1，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；(2)假设存在k，使得∠DMN=∠DNM，即k1+k2=0，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及斜率公式，即可求得k的值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)．当a=1时，f(x)=lnx+1x +1，f′(x)=x−1x2．当0<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0，故函数f(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,+∞)上单调递增．故f(x)min=f(1)=2．(2)由f(x)=lnx+ax +a，得f′(x)=x−ax，所以f′(1)=1−a=−1，解得a=2．故f(1)=2a=4．将点(1,4)代入切线方程x+y−b=0，得1+4−b=0，解得b=5．解析：本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用，是一道综合题．(1)代入a的值，求出函数的导数，利用导数讨论函数的单调性，求出函数的极小值，也是最小值；(2)求出函数的导数，由f′(1)=−1，求出a ，进而求出f(1)，得出切点坐标，把切点坐标代入切线方程可得b ．22.答案：解：(1)直线l 的直角坐标方程为√3x −y +3=0，曲线C 的直角坐标方程为x 2+(y −a )2=a 2， 由题意得|3−a|2=a(a >0)，解得a =1．(2)设OA 的极角为α(0<α<2π3)，OB 的极角为α+π3， ，当且仅当α=π3时取等号，即|OA|+|OB|的最大值为2√3．解析：本题主要考查曲线的极坐标方程． (1)考查直线与圆的位置关系． (2)简单曲线的极坐标方程的应用．23.答案：解：(1)f(x)=|2x −1|+|2x +1|，可得x ≥12时，f(x)<4即2x −1+2x +1<4，解得12≤x <1； 当x ≤−12时，f(x)<4即1−2x −2x −1<4，解得−1<x ≤−12； 当−12<x <12时，f(x)<4即1−2x +2x +1<4，解得−12<x <12； 则M =(−1,1)；(2)证明：要证|ab|−|a|−|b|+1>0，即证(|a|−1)(|b|−1)>0， 由a ，b ∈M ，即−1<a <1，−1<b <1， 可得|a|<1，|b|<1，即|a|−1<0，|b|−1<0， 可得(|a|−1)(|b|−1)>0， 故|ab|−|a|−|b|+1>0成立．解析：本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的证明，注意运用分类讨论思想和分析法证明，考查运算能力和推理能力，属于基础题．(1)由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，再求并集可得M ；(2)运用分析法，结合因式分解和不等式的性质，即可得证．。

“12＋4”专项练71。

已知全集U ＝R ，A ＝{y ｜y ＝2x ＋1}，B ＝{x |ln x ＜0｝，则(∁U A ）∩B 等于( )A.∅B.{x ｜错误!＜x ≤1｝C 。

{x |x ＜1｝D.｛x |0＜x ＜1}答案 D2。

设a ，b ∈R ，且i （a ＋i ）＝b －i ，则a －b 等于( )A 。

2B.1C.0D.－2答案 C3.命题“∀n ∈N *，f (n ）∈N ＊且f (n )≤n ”的否定形式是( ）A 。

∀n ∈N ＊，f （n ）∈N ＊且f （n ）>nB 。

∀n ∈N ＊，f （n )∉N *且f （n )〉nC.∃n 0∈N *，f (n 0）∈N *或f (n 0)〉n 0 D 。

∃n 0∈N ＊，f （n 0)∉N *或f (n 0）〉n 0答案 D4。

(2016·四川)为了得到函数y ＝sin 错误!的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( ）A.向左平行移动错误!个单位长度 B 。

向右平行移动错误!个单位长度C 。

向左平行移动错误!个单位长度 D.向右平行移动错误!个单位长度答案 D解析 由题可知,y ＝sin 错误!＝sin 错误!，则只需把y ＝sin 2x 的图象向右平移错误!个单位，故选D 。

5.下列结论错误的是( ）A.命题“若p ,则q ”与命题“若綈q ，则綈p ”互为逆否命题B.命题p ：“∀x ∈[0,1］，1≤e x ≤e （e 是自然对数的底数），命题q ：“∃x 0∈R ，x 错误!＋x 0＋1〈0”，则p ∨q 为真C.“am 2<bm 2”是“a 〈b ”成立的必要不充分条件D 。

若p ∨q 为假命题，则p 、q 均为假命题答案 C6.将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位长度,再向上平移1个单位长度，所得函数图象对应的解析式为（ ) A 。

y ＝sin （2x －错误!)＋1B.y ＝2cos 2x C 。

普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1、在长方体ABCD—A′B′C′D′的12条棱中，与棱AA′成异面直线的棱有()A．3条B．4条C．6条D．8条2、如图1在正方体ABCD—A′B′C′D′中，直线AC与直线BC′所成的角为() A．30°B．60°C．90°D．45°3、若a∥α，⊂bα，则a和b的关系是()A．平行B．相交C．平行或异面D．以上都不对4、已知PD⊥矩形ABCD所在的平面（图2），图中相互垂直的平面有()A．1对B．2对C．3对D．5对5、棱长为2的正方体内切球的表面积为()A．π4B．π16C．π8D．π26.函数sin24y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭在一个周期内的图像可能是（）PA BCD图27.在ABC △中,若2AB BC CA === ,则AB BC ⋅ 等于（）A.23- B.23 C.－2 D.28.如图所示,若,x y 满足约束条件0210220x x x y x y ⎧⎪⎪⎨--⎪⎪-+⎩≥≤≤≥则目标函数z x y =+的最大值是（）A.7B.4C.3D.19.已知α表示平面,,,l m n 表示直线,下列结论正确的是（）A.若,,l n m n ⊥⊥则l m ∥ B.若,,l n m n l ⊥⊥⊥则mC.若,,l m l αα∥∥则∥mD.若,,l m l αα⊥⊥∥则m 10.已知椭圆22126x y +=的焦点分别是12,F F ,点M 在椭圆上,如果120F M F M ⋅= ,那么点M 到x 轴的距离是（）A. B. C.2 D.111.等边△ABC 的边长为a，过△ABC 的中心O 作OP⊥平面ABC，且OP＝63a，则点P 到△ABC 的边的距离为()A．a B．32a C．33a D．63a 12.已知函数f (x)是定义域为R 的奇函数，给出下列6个函数：①g (x)＝sin x (1－sin x)1－sin x ；②g (x)＝sin(52π＋x)；③g (x)＝1＋sin x－cos x 1＋sin x＋cos x；④g (x)＝lg sin x ；⑤g (x)＝lg(x2＋1＋x)；⑥g (x)＝2ex＋1－1。

2024上海高考高三数学模拟试卷（本试卷共10页，满分150分，90分钟完成．答案一律写在答题纸上）命题：侯磊审核：杨逸峰一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）1．已知集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则A B =．2．已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为．3．101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 项的系数为．4．等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为．5．已知平面向量()()1,2,,4a b m == ，若a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为．6．已知复数z 满足22z z -==，则3z =．7．已知空间向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则b 在a方向上的投影为．8．已知()ln(4f x ax c x =++（a 、b 、c 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f 的值是9．已知A B 、是抛物线24y x =上的两个不同的点，且10AB =，若点M 为线段10AB =的中点，则M 到y 轴的距离的最小值为．10．一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为．11．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．12．已实数m n 、满足221m n +≤，则2263m n m n +-+--的取值范围是．二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）13．以下能够成为某个随机变量分布的是（）A ．0111⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101111236-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123111248⎛⎫ ⎪ ⎝⎭D ．11.222.40.50.50.30.7⎛⎫⎪-⎝⎭14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n 为A ．75B ．85C ．90D ．10015．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为x ，第二、三次听到回音的时间间隔为y ，则椭圆的离心率为（）A ．2xx y+B ．2x x y+C ．2y x y +D ．2y x y+三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）17．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12,90,AA ABC D =∠=︒为1CC中点．(1)求四面体1A ABD -的体积：(2)求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦值．18．（1）在用“五点法”作出函数[]1sin ,0,2πy x x =-∈的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x0sin x -01sin x-1（2）设实数0a >且1a ≠，求证：()ln x x a a a '=；（可以使用公式：()e e x x '=）（3）证明：等式()()()32123x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x a x x x x x x bx x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩19．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y （单位：克每立方米）与样本对原点的距离x （单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中9111,9i i i i u u u x ===∑）．xyu921()ii x x =-∑921()i i u u =-∑921()i i y y =-∑91(())i ii x y x y =--∑91()()i ii u u y y =--∑697.900.212400.1414.1226.13 1.40-(1)利用相关系数的知识，判断y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立y 关于x 的回归方程，并估计样本对原点的距离20x =米时，平均金属含量是多少？20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过点()(),00M a a ≠与x 轴不垂直的直线l 与C 交于()()1122,,A x y B x y 、两点．(1)求证：OA OB ⋅是定值（O 是坐标原点）；(2)AB 的垂直平分线与x 轴交于(),0N n ，求n 的取值范围；(3)设A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出定点的坐标．21．已知2()ln(1)2x f x a x x =++-，函数()y f x =的导函数为()y f x '=．(1)当1a =时，求()y f x =在2x =处的切线方程；(2)求函数()y f x =的极值点；(3)函数()y f x =的图象上是否存在一个定点(,)(.(0,))m n m n ∈+∞，使得对于定义域内的任意实数00()x x m ≠，都有000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．1．{3,4}【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【详解】集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则{3,4}A B = .故答案为：{3,4}2．4π【分析】根据条件，直接求出1r =，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为r ，所以2π2πr =，得到1r =，又圆柱的母线长为4l =，所以圆柱的体积为2π4πV r l ==，故答案为：4π.3．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为2，求出r ，代入通项公式中可求得结果.【详解】101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1022r -=，得4r =，所以2x 项的系数为410C 210=，故答案为：2104．(0,2)(2,4)【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得.【详解】依题意，121a q=-，10q -<<或01q <<，则12(1)a q =-，102a <<或124a <<，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4) .故答案为：(0,2)(2,4) 5．(8,2)(2,)-+∞ 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.【详解】向量()()1,2,,4a b m == 的夹角为锐角，则0a b ⋅> 且a 与b不共线，因此8024m m +>⎧⎨≠⎩，解得8m >-且2m ≠，所以实数m 的取值范围为(8,2)(2,)-+∞ .故答案为：(8,2)(2,)-+∞ 6．8-【分析】设i z a b =+，根据22z z -==得到方程组，求出1,a b ==答案，从而求出3z .【详解】设i z a b =+，则22i z a b -=-+，所以()2222424a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,a b ==当1,a b =1=z ，故()222113i 22z =+=++=-+，()()322126i 8z =-++=-+=-；当1,a b ==1z =-，故()222113i 22z =-=-=--，()()322126i 8z =--=-+=-故答案为：-87．11(,,0)22【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则1,||a b a ⋅==，所以b 在a 方向上的投影为2111(,,0)222||a b a a a ⋅==，故答案为：11(,,0)228．3【分析】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，然后判断()g x 的奇偶性，再利用函数的奇偶性求值即可【详解】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，函数的定义域为R ，因为()ln(g x ax c x -=---ln ax c ⎛⎫=--(1ln ax c x -=--+(ln ax c x =--+(ln ()ax c x g x ⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为奇函数，因为3(lg log 10)5f =，所以3(lg log 10)45g +=，所以(lg lg 3)1g -=，所以(lg lg 3)1g =-，所以(lg lg3)(lg lg3)4143f g =+=-+=，故答案为：39．4【分析】求出过抛物线焦点的弦长范围，再利用抛物线定义列式求解即得.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程=1x -，令过点F 与抛物线交于两点的直线方程为1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=，设两个交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，则124y y t +=，21212()242x x t y y t +=++=+，于是212||11444PQ x x t =+++=+≥，当且仅当0=t 时取等号，令点,,A B M 的横坐标分别为0,,A B x x x ，而||104AB =≥，则0111[(1)(1)]1(||||)1||142222A B A B x x x x x FA FB AB +==+++-=+-≥-=，当且仅当,,A F B 三点共线时取等号，所以M 到y 轴的距离的最小值为4.故答案为：410．323【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A 为“运动员开第一枪命中飞碟”，B 为“运动员开第二枪命中飞碟”，C 为“飞碟被击中”，则()0.20.60.12P B =⨯=，()()()()0.80.120.92P C P A B P A P B ==+=+= ，所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为()()0.123(|)()()0.9223P BC P B P B C P C P C ====.故答案为：32311．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan3A =>=，又函数tan y x =在π(0,)2上单调递增，则π3A >，此时3πA B C A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B CB C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：612．[3,13]【分析】确定动点(,)P m n 的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得.【详解】显然点(,)P m n 在圆22:1O x y +=及内部，直线1:630l x y --=，直线2:220l x y +-=，1=>，得直线1l与圆O相离，且|63|63m n m n--=--，由222201x yx y+-=⎧⎨+=⎩，解得3545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1xy=⎧⎨=⎩，即直线2l与圆O交于点34(,),(1,0)55A B，①当220m n+-≥时，即点P在直线2l与圆O所围成的小弓形及内部，|22||63|226324m n m n m n m n m n+-+--=+-+--=-+，目标函数124z x y=-+，即142z x y-=-表示斜率为12，纵截距为142z-的平行直线系，画出直线0:20p x y-=，平移直线p分别到直线12,p p，当1p过点A时，142z-取得最大值，1z最小，当2p过点B时，142z-取得最小值，1z最大，因此1min34()24355z=-⨯+=，1max()12045z=-⨯+=，从而3245m n≤-+≤；②当220m n+-<时，即点P在直线2l与圆O所围成的大弓形及内部（不含直线2l上的点），|22||63|(22)63348m n m n m n m n m n+-+--=-+-+--=--+，目标函数2348z x y=--+，即2834z x y-=+表示斜率为34-，纵截距为282z-的平行直线系，画出直线0:340q x y+=，显直线q OA⊥，平移直线q分别到直线12,q q，直线12,q q与圆O分别相切于点34,(,)55A--，当1q过点A时，282z-取得最大值，2z最小，因此2min34()834355z=-⨯-⨯=，当2q过点34(,)55--时，282z-取得最小值，2z最大，因此2max34()8341355z=+⨯+⨯=，从而383413m n<--≤，所以2263m n m n+-+--的取值范围是[3,13].故答案为：[3,13]【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值．13．B【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，显然AC 选项不满足概率之和为1，D 选项不满足各项概率大于0，B 选项满足要求.故选：B 14．C【详解】分析：由题意结合分层抽样的性质得到关于n 的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合分层抽样的定义可得：251000140012001000n =++，解得：90n =.本题选择C 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设111,2a q =-=，则2311,24a a =-=-，满足123a a a <<，但{}n S 是严格减数列，充分性不成立，当111,2a q ==时，{}n S 是严格增数列，但123a a a >>，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D 16．B【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得.【详解】依题意，令声音传播速度为v ，1t 时刻，刚刚呐喊声音传播为0，2t 时刻听到第一次回声，声音的路程为2()-a c ，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点，3t 时刻，声音的路程为2()a c +，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点，4t 时刻，声音的路程为4a ，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点，因此32,2()2()x t t a c a c vx =-+--=，43,42()y t t a a c vy =--+=，即4,22c vx a c vy =-=，则2a c y c x -=，即2a c y c x -=，整理得2a y xc x+=，所以椭圆的离心率为2c xa x y=+.故选：B【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键.17．(1)136【分析】（1）利用等体积法11A ABD D A AB V V --=，再根据条件，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD 与1ACB 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以1AA BC ⊥，又AB BC ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂面11ABB A ，所以CB ⊥面11ABB A ，因为1//CC 面11ABB A ，所以D 到面11ABB A 的距离即BC ,又111112122AA B S AB AA =⋅=⨯⨯= ，1BC =，所以1111133A ABD D A AB A AB V V S CB --=== .（2）如图，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，12AA =，则1(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(1,0,1)B AC BD ，所以1(0,1,0),(1,0,1),(0,1,2),(1,1,0)BA BD AB AC ===-=-设平面ABD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由1100BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到00y x z =⎧⎨+=⎩，取1x =，得到0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =- ，设平面1ACB 的一个法向量为(,,)m a b c =，则由10AC m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到020a b b c -=⎧⎨-+=⎩，取2a =，则2,1b c ==，所以(2,2,1)m = ，设平面ABD 与1ACB 所成锐二面角为θ，则cos cos ,n mn m n m θ⋅====18．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.【详解】（1）“五点法”作函数[]sin ,0,2πy x x =∈的图象的5个关键点的横坐标为π3π0,,π,,2π22，所以表格如下：xπ2π3π22πsin x -01-0101sin x-1121（2）实数0a >且1a ≠，则ln ln e e xx a x a a ==，因此ln ln ()(e )e (ln )ln x x a x a x a x a a a '''==⋅=，所以()ln x x a a a '=.（3）212212133)())[()])(((x x x x x x x x x x x x x x =-----++32332121212312()()x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+-++32123122331123()()x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，依题意，3212312233112332()()x x x x x x x x x x x x ax bx x x x x c -+++-+++=++对任意实数x 恒成立，因此123123122331122331123123()a x x x x x x ab x x x x x x x x x x x x bc x x x x x x c=-++++=-⎧⎧⎪⎪=++⇔++=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩，所以等式32123()()()x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩.19．(1)dy c x=+更适宜作为回归方程类型；(2)10ˆ100yx=-，399.5g /m .【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合10.449r ≈和20.996r ≈-，结合12r r <，即可得到结论.（2）（i ）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii ）当20x =时，结合回归方程，即可求得预报值.【详解】（1）因为y a bx =+的线性相关系数91)9()(0.44iix y r x y --==≈∑，dy c x=+的线性相关系数92(0.996iiu u y r y --≈-∑，因为12r r <，所以dy c x=+更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型.（2）依题意，992110ˆ()()1(.4010.14)i ii i iu u y u u yβ==----===-∑∑，则ˆˆ97.9(10)0.21100y u αβ=-=--⨯=，于是10ˆ10010100y u x=-=-，所以y 关于x 的回归方程为10ˆ100yx=-.当20x =时，金属含量的预报值为31010099.5g /m 20ˆy=-=.20．(1)证明见解析；(2))||(,p a ++∞；(3)证明见解析，(),0a -.【分析】（1）联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得..（2）求出弦AB 的中点坐标及弦AB 的中垂线方程，进而求出n ，再结合判别式求解即得.（3）设出D 点的坐标，求出直线BD 的方程211121()y y y x x y x x +=---，借助（1）的信息，推理判断即得.【详解】（1）显然直线l 不垂直于坐标轴，设过点(),0M a 的直线l 的方程为x my a =+，由22y px x my a ⎧=⎨=+⎩消去x 得：2220y pmy pa --=，22Δ480p m pa =+>，则121222y y pm y y pa +=⎧⎨⋅=-⎩，所以22212121212222y y OA OB x x y y y y a pa p p⋅=+=⋅+=- 为定值.（2）设,A B 两点的中点坐标为()33,Q x y ，则21212322x x my my x a pm a ++==+=+，1232y y y pm +==，则()2,Q pm a pm +，即AB 的垂直平分线为()2y m x pm a pm =---+，令0y =，解得2n pm a p =++，显然22480p m pa ∆=+>，当0a >时，恒有220pm a +>成立，则n p a >+，当a<0时，2pm a a +>-，则n p a >-，所以n 的取值范围为)||(,p a ++∞.（3）由A 关于x 轴的对称点为D ，得()11,D x y -，则直线BD ：211121()y y y x x y x x +=---，整理得：2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---.又()()()1221211212122x y x y y my a y my a my y a y y +=+++=++422pam pam pam =-+=-.因此直线BD 为：212122pm pam y x x x x x =+--，即()212pmy x a x x =+-过定点(),0a -，所以直线BD 过定点(),0a -.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)48ln 333y x =-+；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数求切线斜率，再求出切点坐标，点斜式写出切线方程即可.（2）利用导数探讨单调性，进而确定函数的极值点.（3）假设存在，利用导数，将等式化简，减少变量，从而可构造适当新函数，研究新函数的性质，即可判断.【详解】（1）当1a =时，2()ln(1),(2)ln 32x f x x x f =++-=，求导得14()1,(2)13f x x f x ''=+-=+，切线方程为4ln 3(2)3y x -=-，所以所求切线方程为48ln 333y x =-+.（2）函数2()ln(1)2x f x a x x =++-的定义域为(1,)-+∞，求导得21()111a x af x x x x -+'=+-=++，令()0f x '=，即210x a -+=，即21x a =-，①当1a ≥时，函数()y f x =在定义域内严格增,无极值点；②当01a <<时，当1x -<<或x >时，()0f x '>，当x <()0f x '<，函数()y f x =在(1,-和)+∞严格增，在(严格减，此时极大值点为③当0a ≤时，当1x -<<时，()0f x '<，当x >时，()0f x '>，函数()y f x =在(-严格减，在)+∞严格增的，所以当1a ≥时，函数()y f x =无极值点；当01a <<时，函数()y f x =极大值点为当0a ≤时，函数()y f x =.（3）假设存在定点(,)m n 满足条件，由000()()()2x mf x f x m n +'=-+得：000)(2()f x n x m f x m -+'=-，又点(,)m n 在曲线()f x 上，则2()ln(1)2mn f m a m m ==++，于是220000001[ln(1)ln(1)])()()(2a x m x m x m f x n x mx m+-++----=--000[ln(1)ln(1)]12a x m x mx m +-++=+--，而()11a f x x x '=+-+，于是000002()1=1222212x m x m x m a af x m x m +++'=+-+-++++，因此000ln(1)ln(1)22x m x m x m +-+=-++，变形得00012(1)11ln 1111x x m x m m +-++=++++，令01(0)1x t t m +=>+，则2(1)ln 1t t t -=+，令函数22()ln ,01t g t t t t -=->+，求导得22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=≥++，则()g t 在(0,)+∞单调递增，又(1)0g =，于是()0g t =只有唯一解1t =，即0111x m +=+，又0m x ≠，则1t ≠，故不存在定点(,)m n 满足条件.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。