2017江海名师零距离二轮数学(提高版)

第9练基本初等函数【方法引领】第9练基本初等函数【方法引领】【回归训练】【回归训练】一、填空题1.函数f(x)=ln 1-x的定义域为.2.已知函数f(x)=21(-1)1x xf x x⎧<⎨≥⎩，，，，则f(log25)=.3.若log a 12-1a<1，则实数a的取值范围是.4.设a=2535⎛⎫⎪⎝⎭，b=3525⎛⎫⎪⎝⎭，c=2525⎛⎫⎪⎝⎭，则a，b，c的大小关系是.5.若关于x的方程5x=35-aa+有负根，则实数a的取值范围是.6.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+2)=-1()f x，当2≤x≤3时，f(x)=x，则f32⎛⎫⎪⎝⎭=.7.已知函数f(x)=log a1-xb x+(0<a<1，b>0)为奇函数，当x∈(-1，a]时，函数f(x)的值域是(-∞，1]，则a+b的值为.8.设函数f(x)=212xx+-12，[x]表示不超过x的最大整数，则函数y=[f(x)]的值域是.二、解答题9.如图，用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式.(第9题)10.已知函数f (x )=log a -x bx b +(a>0，a ≠1，b>0).(1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性； (3)讨论f (x )的单调性，并证明.11.已知定义域为R 的函数f (x )=-22x xb a +是奇函数.(1)求a ，b 的值.(2)用定义证明f (x )在(-∞，+∞)上为减函数.(3)若对于任意t ∈R ，不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0恒成立，求k 的取值范围.【回归训练答案】第9练 基本初等函数一、 填空题1. (0，1] 【解析】由题意可得01-0x x >⎧⎨≥⎩，，解得0<x ≤1，故所求函数定义域为(0，1].2.54【解析】因为2<log25<3，所以f(log25)=2log5-22=2log52·2-2=54.3.(4，+∞)【解析】由题意知a>1，所以12-1a<a，解得a>4，所以a的取值范围是(4，+∞).4.a>c>b【解析】y=25x在x>0时是增函数，所以a>c；y=25x⎛⎫⎪⎝⎭在x>0时是减函数，所以c>b.所以a>c>b.5.(-3，1)【解析】关于x的方程5x=35-aa+有负根，即x<0，所以0<5x<1，即0<35-aa+<1，所以-3<a<1.6.52【解析】因为f(x+2)=-1()f x，所以f(x+4)=-1(2)f x+=f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数.因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f32⎛⎫⎪⎝⎭=f3-2⎛⎫⎪⎝⎭=f4-32=f52⎛⎫⎪⎝⎭.因为当2≤x≤3时，f(x)=x，所以f52⎛⎫⎪⎝⎭=52.7.2【解析】由题意知1-xb x+>0且b>0，解得-b<x<1.由奇函数定义域关于原点对称，得b=1，故f(x)=log a1-1xx+(0<a<1).因为g(x)=1-1xx+=-1+21x+在x∈(-1，a]上单调递减，又0<a<1，所以f(x)在x∈(-1，a]上单调递增.又因为函数f(x)的值域是(-∞，1]，故g(a)=a，即a2+a=1-a，解得21，所以28. {-1，0} 【解析】f (x )=212x x +-12=1-112x +-12=12-121x+.因为t=2x +1在R 上单调递增，且2x +1>1，所以f (x )在R 上是增函数，-12<f (x )<12，故y=[f (x )]的值域是{-1，0}.二、 解答题9. 由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积.矩形的长AB=2x ，宽为a ，则半圆的直径为2x ，半径为x ，所以2x+2a+πx=l ，即a=2l -π2x-x ，所以y=2π2x +π--22l x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭·2x=-21+π4x 2+lx.根据实际意义，知2l -π2x-x>0，又x>0，解得0<x<2πl+，即函数y=-2π14⎛⎫+ ⎪⎝⎭x 2+lx ，0<x<2πl +.10. (1) 由-x bx b +>0，b>0，得f (x )的定义域为(-∞-b )∪(b ，+∞).(2) 由(1)知定义域关于原点对称，且f (-x )=log a---x b x b +⎛⎫ ⎪⎝⎭=-f (x )，故f (x )为奇函数. (3) 设b<x 1<x 2，则f (x 1)-f (x 2)=log a 1221()(-)()(-)x b x b x b x b ++， 又1221()(-)()(-)x b x b x b x b ++-1=21212(-)()(-)b x x x b x b +>0.当a>1时，所以f(x1)-f(x2)>0，故f(x)在(b，+∞)上为减函数；同理，f(x)在(-∞，-b)上也为减函数.当0<a<1时，所以f(x1)-f(x2)<0，故f(x)在(b，+∞)，(-∞，-b)上为增函数.11. (1) 因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)=0，所以b=1.又f(-1)=-f(1)，得a=1.(2) 由(1)知f(x)=1-221xx+，任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=111-221xx+-221-221xx+=122112(1-2)(21)-(1-2)(21)(21)(21)x x x xx x++++=21122(2-2) (21)(21)x xx x++因为x1<x2，所以22x-12x>0，又(12x+1)(22x+1)>0，所以f(x1)-f(x2)>0，所以f(x)为R上的减函数.(3) 因为t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立，所以f(t2-2t)<-f(2t2-k).因为f(x)是奇函数，所以f(t2-2t)<f(k-2t2).又f(x)为减函数，所以t2-2t>k-2t2.即k<3t2-2t恒成立，而3t2-2t=321-3t⎛⎫⎪⎝⎭-13≥-13，所以k<-13，即k的取值范围为1|-3k k⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.。

专题十五 解决解析几何中的综合问题【典题导引】例1. 如图，已知(,0)F c 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点；222:()F x c y a -+=与x 轴交于,D E 两点，其中E 是椭圆C 的左焦点．（1）求椭圆C 的离心率；（2）设圆F 与y 轴的正半轴的交点为B ，点A 与点D 关于y 轴对称，试判断直线AB 与圆F的位置关系；（3）设直线AB 与椭圆C 交于另一点G ，若BGD ∆的面积为，求椭圆C 的标准方程．解：(1)圆F 过椭圆C 的左焦点，把(,0)c -代入圆F 的方程，得224c a =，故椭圆C 的离心率12c e a ==；(2) 在方程22()x c y a-+=中令x =得2222y a c b =-=，可知点B 为椭圆的上顶点，由(1)知，12c a =，故2,a c b =，故)B ，在圆F 的方程中令0y =可得点D 坐标为(3,0)c ，则点A 为(3,0)c -，于是可得直线AB的斜率AB k ==，而直线FB的斜率FB k ==，1AB FB k k ⋅=-,∴直线AB 与F 相切；（3）椭圆的方程可化为2223412x y c +=,由（2）知切线AB的方程为y =+，解方程组2223412,,x y c y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得点G的坐标为2413c ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，而点(3,0)D c 到直线AB的距离3d c==，由11||322BGD S BG d c ∆=⋅⋅=2==解得c ∴椭圆的标准方程为22186x y +=.例2. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作直线l 与椭圆C 交于点M 、N ．（1）若椭圆C 的离心率为12，右准线的方程为4x =，M 为椭圆C 上顶点，直线l 交右准线于点P ，求11PM PN +的值；（2）当224a b +=时，设M 为椭圆C 上第一象限内的点，直线l 交y 轴于点Q ，11F M FQ ⊥，证明：点M 在定直线上．（1）解：设2(,0)F c ，则21,24,c a a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2,1,a c =⎧⎨=⎩∴椭圆C 的方程为22143x y +=.则直线l的方程为1)y x =-，令4x =，可得(4,P -，联立221),1,43y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得25204x x -=，∴M，8(,5N ，∴111518243PM PN +==+=;（2）证明：设0000(,)(0,0)M x y x y >>，2(,0)F c ，则直线l 的方程为0()y y x c x c=--，令0x =，可得0(0,)cy Q x c--，由11F M FQ ⊥可知，1100001F M F Qcy y x c k k x c c --⋅=⋅=-+，整理得22200y x c =-，又222224c a b a =-=-，联立22200220022(24),1,4y x a x y a a ⎧=--⎪⎨+=⎪-⎩解得2020,22.2a x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴点M 在定直线2x y +=上． 例3. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆T 的中心在坐标原点，一条准线方程为2y =，且 经过点(1,0)．（1）求椭圆T 的方程；（2）设四边形ABCD 是矩形,且四条边都与椭圆T 相切． ①求证:满足条件的所有矩形的顶点在一个定圆上； ②求矩形ABCD 面积S 的取值范围． 解：(1)椭圆T 的中心在坐标原点,一条准线方程为有2y =,∴椭圆T 的焦点在y 轴上,于是可设椭圆T 的方程为22221(0)y x a b b a +=>>.椭圆T 经过点(1,0),∴2222011a b =⎪+=⎪⎩，， 解得2221a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，．故椭圆T 的方程为2212y x +=；(2)由题意知,矩形ABCD 是椭圆2212y x +=的外切矩形,①(i)若矩形ABCD 的边与坐标轴不平行,则可设一组对边所在直线的方程为(0)y kx m k =+≠,则由221y x y kx m ⎧⎪+=⎨⎪=+⎩，消去y 得222(2)220k x kmx m +++-=, 于是222244(2)(2)0k m k m ∆=-+-=,化简得m =∴矩形ABCD的一组对边所在直线的方程为y kx =即y kx -=则另一组对边所在直线的方程为ky x +=于是矩形顶点坐标(,)x y 满足2222()()(2)(12)y kx ky x k k -++=+++, 即2222(1)()3(1)k x y k ++=+,亦即223x y +=.(ii)若矩形ABCD 的边与坐标轴平行,则四个顶点(1±，显然满足223x y +=. 故满足条件的所有矩形的顶点在定圆223x y +=上. ②当矩形ABCD 的边与坐标轴不平行时,由①知,一组对边所在直线间的距离为另一组对边的边长,.∴S ===令1t k k =+,则[)2t ∈+∞，,于是(6S ⎤==⎦.若矩形ABCD 的边与坐标轴平行,则S =S 的取值范围是6⎡⎤⎣⎦. 例4. 设椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为e =，直线y x = 椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线12x =与椭圆C 交于不同的两点,M N ，以线段MN 为直径作圆D ．若圆D与y 轴相交于不同的两点,A B ，求ABD ∆的面积；（3）如图，1A 、2A 、1B 、2B 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直 线2B P 交x 轴于点F ，直线12A B 交2A P 于点E ．设2A P 的斜率为k ，EF 的斜率为m ，求证：2m k -为定值．（1）解：圆O 的方程为222x y b +=，直线y x =+O相切，b=，即1b =，又3e =，，2a ∴=，∴椭圆C 的方程为：2214x y +=；（2）解：由题意可得：11((,22M N ，∴圆D的半径r =，AB ∴==，∴ABD ∆的面积为1122S ==；（3）证明：由题意可知1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)A A B B --， 2A P 的斜率为k ，∴直线2A P 的方程为(2)y k x =-， 由22(2),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)161640k x k x k +-+-=， 其中2A x =，228214P k x k -∴=+，222824(,)1414k kP k k --∴++， 则直线2B P 的方程为22441182k k y x k ---=+-，令0y =，则2282441k x k k -=++， 即2282(,0)441k F k k -++，直线12A B 的方程为220x y -+=，由220,(2),x y y k x -+=⎧⎨=-⎩解得42,214,21k x k k y k +⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，424(,)2121k k E k k +∴--，∴EF的斜率22421824244214121kkk kkkk km--+-++--+==，∴2112242km k k+-=⋅-=（定值）．【归类总结】1．解析几何中定点定值问题的求解策略：（1）从一般的情形进行论证．（2）运用从特殊到一般的思想来解决问题，即先求出特殊情形下的值或点，再论证该特殊值或点对一般情形也成立．2．解析几何中求最值或求范围问题常见的解法有两种：（1）几何法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．（2）代数法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．3．探究解析几何中的是否存在的问题，一般均是先假设存在，然后寻找理由去确定结论，如果真的存在，则能得出相应结论，如果不存在，则会由条件得出相互矛盾的结论．。

周练14+4·锁定128分强化训练(1)【强化训练】锁定128分强化训练(1)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分)1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，B={1，3，4}，则A∩(∁UB)=.2.某校高一、高二、高三年级学生人数分别是400，320，280.现采用分层抽样的方法抽取50人，参加学校举行的社会主义核心价值观知识竞赛，则样本中高三年级的人数是.3.若a+b i=512i(i是虚数单位，a，b∈R)，则ab=.4.若在区间[20，80]内任取一个实数m，则实数m落在区间[50，75]内的概率为.5.函数f(x)=lg(-x2+x+2)的定义域为.6.已知x，y满足约束条件2-301-0x yxx y+≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，，，则z=3x-2y的最小值是.7.执行如图所示的流程图，如果输入的N的值为6，那么输出的p的值是.(第7题)8.若函数f(x)=A sinπ-6xω⎛⎫⎪⎝⎭(A>0，ω>0)的图象如图所示，则函数f(x)在(0，π)内的零点为.(第8题)9.若函数f(x)=ln x-f'(-1)x2+3x-4，则f'(1)=.10. 如果将直线l ：x+2y+c=0向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得直线l'与圆C ：x 2+y 2+2x-4y=0相切，则实数c 的值构成的集合为 .11. 设函数f (x )=1000-10x x x >⎧⎪=⎨⎪<⎩，，，，，，g (x )=x 2f (x-1)，则函数g (x )的单调减区间是 .12. 已知正数x ，y 满足2xy=2-23x yx y +，那么y 的最大值为 .13. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD=120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，且BE=λBC ，DF=μDC.若AE u u u r ·AF u u ur =1，CE u u u r ·CF u u ur =-23，则λ+μ= .14. 已知两个等比数列{a n }，{b n }满足a 1=a (a>0)，b 1-a 1=1，b 2-a 2=2，b 3-a 3=3，若数列{a n }唯一，则实数a 的值为 .题号 1234567答案题号 8 9 10 11 12 13 14 答案二、 解答题(本大题共4小题，共58分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a=3，cos A=6，B=A+π2. (1) 求b 的值； (2) 求△ABC 的面积.16. (本小题满分14分)如图，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点. (1) 求证：MN ⊥CD ；(2) 若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD.(第16题)17. (本小题满分14分)请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库(供融化高速公路上的积雪之用).它的上部是底面圆半径为5 m 的圆锥，下部是底面圆半径为5 m 的圆柱，且该仓库的总高度为5 m .经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/m 2，1百元/m 2，设圆锥母线与底面所成角为θ，且θ∈π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，，问：当θ为多少时，该仓库的侧面总造价(单位：百元)最少?并求出此时圆锥的高度.(第17题)18. (本小题满分16分)已知椭圆C：2 2 xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为e=2，椭圆上的点P与两个焦点F1，F2构成的三角形的最大面积为1.(1) 求椭圆C的方程；(2) 若点Q为直线x+y-2=0上的任意一点，过点Q作椭圆C的两条切线QD，QE，切点分别为D，E，试证明动直线DE恒过一定点，并求出该定点的坐标.【强化训练答案】第二部分抢分周计划(一) 周练14+4·锁定128分强化训练锁定128分强化训练(1)一、填空题1. {2，5}2. 14【解析】考查分层抽样.高三年级的人数是280400320280++×50=14.3.-2【解析】a+b i=512i+=1-2i，所以a=1，b=-2，ab=-2.4.512【解析】选择区间长度度量，则所求概率为75-5080-20=512.5. (-1，2)【解析】由题知-x2+x+2>0，解得-1<x<2.6.-7【解析】画出可行域，找截距的最小值，数形结合求解.7. 105【解析】由流程图可得p=1×3×5×7=105.8.x=π6【解析】由题图可知A=1，2T=2π3+π3=π，所以T=2π，所以ω=1，所以f(x)=sinπ-6x⎛⎫⎪⎝⎭.令f(x)=0，得x=π6+kπ，又x∈(0，π)，所以x=π6.9. 8【解析】因为f'(x)=1x-2f'(-1)x+3，所以f'(-1)=-1+2f'(-1)+3，解得f'(-1)=-2，所以f'(1)=1+4+3=8.10. {-3，-13}【解析】易得直线l'：(x+1)+2(y+2)+c=0，即x+2y+c+5=0，圆C：(x+1)2+(y-2)2=5的圆心(-1，2)到直线l'：x+2y+c+5=0的距离，解得c=-3或c=-13.11.[0，1)【解析】由题意知g(x)=22101-1x xxx x⎧>⎪=⎨⎪<⎩，，，，，，作出函数图象如图所示，其单调减区间是[0，1).(第11题)12.13【解析】由2xy=2-23x yx y+，得2x+3y=2-2x yxy=1y-12x，所以1y-3y=2x+12x≥2122xx⋅=2，从而3y2+2y-1≤0，解得0<y≤13.13.56【解析】如图所示，以菱形ABCD的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy，不妨设A(0，-1)，B(-3，0)，C(0，1)，D(3，0)，由题意得CEu u u r=(1-λ)CBu u u r=(3λ-3，λ-1)，CFu u u r=(1-μ)CDu u u r=(3-3μ，μ-1).因为CEu u u r·CFu u u r=-23，所以3(λ-1)·(1-μ)+(λ-1)·(μ-1)=-23，即(λ-1)(μ-1)=13.因为AEu u u r=ACu u u r+CEu u u r=(3λ-3，λ+1)，AFu u u r=ACu u u r+CFu u u r=(3-3μ，μ+1)，又AEu u u r·AFu u u r=1，所以(λ+1)(μ+1)=2.由1(-1)(-1)3(1)(1)2λμλμ⎧=⎪⎨⎪++=⎩，，整理得λ+μ=56.(第13题)14.13【解析】设数列{a n}的公比为q(q≠0)，由b1=a+1，b2=aq+2，b3=aq2+3成等比数列，得(aq+2)2=(a+1)(aq2+3)，即aq2-4aq+3a-1=0.因为a>0，所以Δ=4a2+4a>0，故方程aq2-4aq+3a-1=0有两个不同的实数解，其中一解必为q=0，从而a=13，此时，另一解为q=4.故实数a的值为13.二、解答题15. (1) 在△ABC中，cosA=，由题意知sin=.因为B=A+π2，所以sin B=sinπ2A⎛⎫+⎪⎝⎭=cosA=.由正弦定理可得b=sinsina BA=33⨯=.(2) 由B=A+π2，得cos B=cosπ2A⎛⎫+⎪⎝⎭=-sinA=-.由A+B+C=π，得C=π-(A+B)，所以sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B=×⎛⎝⎭+×=13，因此△ABC的面积S=12ab sin C=12×3×32×13=322.16. (1) 如图，取PD的中点E，连接AE，NE.(第16题) 因为N是PC的中点，E为PD的中点，所以NE∥CD，且NE=12CD.而AM∥CD，且AM=12AB=12CD，所以NE AM，所以四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE.又PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD.又AD∩PA=A，所以CD⊥平面PAD. 因为AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE.因为AE∥MN，所以MN⊥CD.(2) 因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD.又∠PDA=45°，所以△PAD为等腰直角三角形.因为E为PD的中点，所以AE⊥PD.由(1)知CD⊥AE，PD∩CD=D，所以AE⊥平面PCD.又AE∥MN，所以MN⊥平面PCD.17. 设该仓库的侧面总造价为y (单位：百元)，则由题意可得y=[2π×5×5(1-tan θ)]×1+12⎛⎝×2π×5×5cos θ⎫⎪⎭×4=50π2-sin 1cos θθ⎛⎫+⎪⎝⎭，由y'=50π·22sin -1cos θθ=0，得sin θ=12，θ∈π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以θ=π6，当θ变化时，y ，y'的变化情况如下表：所以当θ=π6时，侧面总造价y 最小，此时圆锥的高度为 m .18. (1) 当点P 为短轴的端点时，△PF 1F 2的面积最大，于是有22221212c a a b c c b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎪⎩，，解得a 2=2，b 2=c 2=1，所以椭圆C 的方程为22x +y 2=1.(2) 设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，Q (x 0，y 0)，当直线QD 的斜率存在时，设切线QD 的方程为y-y 1=k (x-x 1)，由1122-(-)22y y k x x x y =⎧⎨+=⎩，，得(1+2k 2)x 2-4k (kx 1-y 1)x+2k 221x +221y -4kx 1y 1-2=0，从而Δ=16k 2(kx 1-y 1)2-4(1+2k 2)(2k221x +221y -4kx 1y 1-2)=0，解得k=-112x y，因此QD的方程为y-y1=-112xy(x-x1)，整理得2y1y+x1x=21x+221y.又点D(x1，y1)在22x+y2=1上，所以21x+221y=2，所以QD的方程为x1x+2y1y-2=0.同理，当直线QE的斜率存在时，QE的方程为x2x+2y2y-2=0. 又Q(x0，y0)在直线QD，QE上，所以x1x0+2y1y0-2=0，x2x0+2y2y0-2=0，所以直线DE的方程为x0x+2y0y-2=0.①又点Q(x0，y0)在直线x+y-2=0上，所以y0=2-x0，代入①得x0x+2(2-x0)y-2=0，即(x-2y)x0+2(2y-1)=0.令-202-10x yy=⎧⎨=⎩，，得112xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，，即直线DE恒过一定点，且该定点的坐标为112⎛⎫⎪⎝⎭，.易知当直线QD或QE的斜率不存在时，同时满足切线方程，所以直线DE恒过一定点，且该定点坐标为112⎛⎫⎪⎝⎭，.11。

江海区二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数=3， =2.7，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ． =﹣0.2x+3.3B ． =0.4x+1.5C ． =2x ﹣3.2D ． =﹣2x+8.62． 已知点P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右两个焦点，且12PF PF ⊥，2PF 与两条渐近线相交于M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段2PF ，则双曲线的离心率是（ ）A.5B.2 D.2【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识知识，意在考查运算求解能力. 3． 设复数z 满足z （1+i ）=2（i 为虚数单位），则z=（ ） A ．1﹣i B ．1+i C ．﹣1﹣i D ．﹣1+i4． 过点),2(a M -，)4,(a N 的直线的斜率为21-，则=||MN （ ） A ．10 B ．180 C ．36 D ．565． 设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数22z z+=（ ）A.1i -B.1i +C. 2i +D. 2i -【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力．6． 下面是关于复数的四个命题：p 1：|z|=2， p 2：z 2=2i ，p 3：z 的共轭复数为﹣1+i ， p 4：z 的虚部为1． 其中真命题为（ ） A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 3，p 47． 如果执行如图所示的程序框图，那么输出的a=（ ）A ．2 B． C ．﹣1 D ．以上都不正确8． 数列{a n }的首项a 1=1，a n+1=a n +2n ，则a 5=（ ） A ．B ．20C ．21D ．319．已知函数()sin f x a x x =关于直线6x π=-对称 , 且12()()4f x f x ⋅=-,则12x x +的最小值为A 、6π B 、3πC 、56π D 、23π 10．设方程|x 2+3x ﹣3|=a 的解的个数为m ，则m 不可能等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．在等差数列中，已知，则（ ）A ．12B ．24C ．36D ．4812．已知命题p ：2≤2，命题q ：∃x 0∈R ，使得x 02+2x 0+2=0，则下列命题是真命题的是（ ）A ．￢pB ．￢p ∨qC ．p ∧qD ．p ∨q二、填空题13．若函数f （x ）=x 2﹣2x （x ∈[2，4]），则f （x ）的最小值是 ．14．在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，且，则____．15．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()211{52128lnx x xf x m x mx x +>=-++≤，，，，若()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是________．16．平面内两定点M （0，一2）和N （0,2），动点P （x ，y ）满足，动点P 的轨迹为曲线E ，给出以下命题： ①∃m ，使曲线E 过坐标原点；②对∀m ，曲线E 与x 轴有三个交点；③曲线E 只关于y 轴对称，但不关于x 轴对称；④若P 、M 、N 三点不共线，则△ PMN 周长的最小值为＋4;⑤曲线E 上与M,N 不共线的任意一点G 关于原点对称的另外一点为H ，则四边形GMHN 的面积不大于m 。

专题一 解决集合与常用逻辑用语问题【典题导引】例1. 设函数2lg(43)y x x =-+-的定义域为A ，函数2,(0,)1y x m x =∈+的值域为B . （1）当2m =时，求A B I ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.例2. 设函数()ln f x ax x =，且曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线方程为20x y b --=(其中e 是自然对数的底数)． （1）求实数a 、b 的值； （2）设集合321393{|,[3,)}x x x A y y bx --+==∈-+∞，{}()0B x f x m =-≥．①求集合A ；②若A B ⊆，求实数m 的取值范围．例3．已知1a ≥，函数9()441f x x x =+++（[]0,1x ∈），32()3216g x x a x a =--+（[]0,1x ∈）． （1）求()f x 和()g x 的值域；（2）若[]10,1x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得21()()g x f x =成立，试求a 的取值范围．变题：是否存在实数a ，使得[]12,0,1x x ∃∈，21()()g x f x =成立？例4. 设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且24(2)3n n S T --=． （1）求证：数列{}n a 为等比数列；（2）证明：“数列n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“1x =，且2y =”．专题二 解决函数的图象与性质问题【典题导引】例1. 已知函数()f x 为R 上的偶函数．（1）若0x ≥时，2()1()f x x ax a R =-+∈． ①求0x <时，()f x 的解析式；②若函数()f x 有4个零点，求实数a 的取值范围；（2）设m R ∈，函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，试比较(1)f m -与(3)f m -的大小．例2. 已知二次函数2()1f x ax bx =++和函数21()2bx g x a x b-=+．（1）若()f x 为偶函数，试判断()g x 的奇偶性；（2）若方程()g x x =有两个不等的实根，求证：函数()f x 在(1,1)-上是单调函数．例3.（2015⋅上海）已知函数21()f x ax x=+，其中a 为实数. （1）根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）若(1,3)a ∈，判断函数()f x 在[1,2]上的单调性，并说明理由.例4. 设0a >，函数()af x x x=+，当[]13x ,∈时，()f x 的值域为A ，且[,]()A n m n m ⊆<.（1）①若1a =,求m n -的最小值；②若16m =，8n =，求a 的值；（2）若1m n -≤，且[,]A n m =，求a 的取值范围.专题三 解决基本初等函数问题【典题导引】例1.已知函数()2log (1)a f x x x =-+ (0a >且1a ≠)．（1）当a 变化时，函数()y f x =的图象恒过定点，试求定点的坐标； （2）若()f x 在区间[]0,2上的最大值为2，求a 的值．例2. 设m R ∈，函数12()423x x f x m m +=-⋅+-，x R ∈． （1）当[0,2]x ∈时，求函数()y f x =的最大值；（2）若x R ∃∈，使得()()0f x f x -+=，求实数m 的取值范围．例3. 设函数2()2(,)f x x x a x R a R =+-∈∈.（1）若()f x 为偶函数，求实数a 的值； （2）设2a >，求函数()f x 的最小值.变式：求函数2()2([0,1],)f x x x a x a R =+-∈∈的最小值．例4. 已知函数()log a f x b x =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(8,2)和(1,1)-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()3(2)()g x f x f x =+-的最小值；（3）若对任意[1,2]x ∈，不等式(2)2(2)f x f x m ≥+恒成立，求实数m 的取值范围．专题四 解决利用导数研究函数问题（1）【典题导引】例1．设函数()ln f x x ax =-，其中a 为实数．（1）若a =1，求证：()1f x -≤恒成立； （2）若曲线(),(1 )y f x x =∈+∞，上任意两点的连线的斜率都小于4，求实数a 的最小值．例2. 设函数2()ln 2x f x a x =-，()(1)g x a x =-．（1）当1,12a x =>时，求证：()()f x g x >；（2）若[1,]x e ∃∈，使得不等式()()f x g x a +≤成立，求实数a 的取值范围．例3．(2013⋅山东)已知函数2()ln (,)f x ax bx x a b R =+-∈．（1）设0a ≥，求()f x 的单调区间；（2）设0a >，且对任意0x >，()(1)f x f ≥．试比较ln a 与2b -的大小．例4. 已知()ln 1x f x e x =--其中e 是自然对数的底数． （1）求证：函数()f x 存在极小值；（2）若1[,)2x ∃∈+∞，使得不等式ln 0x e m x x x --≤成立，求实数m 的取值范围．专题五 解决利用导数研究函数问题（2）【典题导引】例1. 设函数2()ln 2x f x a x =-，()(1)g x a x =-，a R ∈且1a ≠．（1）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上是单调性相同的单调函数，求实数a 的取值范围； （2）求证：a e >时，函数()f x 存在两个零点．例2. 已知函数()ln f x x =，()x g x e =，其中e 是自然对数的底数．（1）求证：()()2g x f x ->；（2）若关于x 的不等式()g x<有解，求实数m 的取值范围.例3. 已知函数2()ln f x ax b x =-在点(1,(1))f 处的切线为1y =．（1）求实数,a b 的值；（2）是否存在实数m ，当(0,1]x ∈时，函数2()()(1)g x f x x m x =-+-的最小值为0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）若120x x <<，求证：212212ln ln x x x x x -<-．例4. 设函数1()ln ()f x x a x a R x=-+∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 存在两个极值点1x ，2x 12()x x <． ①求实数a 的取值范围；②若21221()()221f x f x e a x x e ≤----(其中e 是自然对数的底数)，求证：2x e ≥．专题六 解决三角恒等变换的有关问题【典题导引】例1. 已知()sin (0)f x x x ωωω=+>.（1）当2ω=时，若函数()(0)2y f x πθθ=+<<是偶函数，求θ的值；（2）当12ω=时，若6()5f α=，且233ππα-<<，求sin()3πα-的值．例2. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin b a C =．（1）求11tan tan A C+的值； （2）若tan 3A =，求tan B 的值．例3. 已知,(0,)αβπ∈,且tan 2,cos αβ==． （1）求cos2α的值； （2）求2αβ-的值．例4. 已知(0,)2πα∈，且15tan 22tan 2αα+=． （1）求tan α的值；（2）求cos(2)4πα-的值；（3）若7sin(2)sin 5αββ+=，求tan()αβ+的值．专题七 解决三角函数的图象与性质问题【典题导引】例1．（2015⋅湖北）某同学用“五点法”画函数()sin()(0,||)2f x A x πωϕωϕ=+><在某一个x ωϕ+ 02π π 32π 2π x [来源学+科+网]3π 56π sin()A x ωϕ+ 0 5 5- 0（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5(,0)12π，求θ的最小值.例2.（2015⋅南通三模）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ，ω，ϕ为常数，且0A >，0ω>，22ππϕ-<<）的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若3()2f α=，求sin(2)6πα+的值．xyO 2 -2 （例2图）3π- 32π例3．已知函数()22sin()sin 2f x x x x π=--．（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的值域．例4．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是偶函数，且图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间[0,]2π上是单调函数，求ω和ϕ的值．专题八 解决解三角形和正余弦定理应用问题【典题导引】例1．如图，已知ABC ∆中，AB =，3AD =，5CD =，45ABC ∠=o ，且(0,)2ADB π∠∈． （1）求ADB ∠的大小； （2）求AC 的长．例2．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222a c b ac +=-． （1）求B 的大小；（2）若64A ππ≤≤，求ca的取值范围；（3）若c A ∠的平分线AD b ．AB C例3.（2016⋅四川）在ABC ∆中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=. （1）证明：sin sin sin A B C =；（2）若22265b c a bc +-=，求tan B ．例4．在ABC ∆tan tan tan A B A B ⋅--=（1）求C ∠的大小；（2）若ABC ∆的面积3=∆ABC S ，求ABC ∆周长的最小值；（3）设角,,A B C 的对边依次为,,a b c ，若2c =，且ABC ∆是锐角三角形，求22a b +的取值范围．专题九 解决平面向量及应用问题【典题导引】例1. 如图，在ABC ∆中，2CD DB =u u u r u u u r ． （1）若(,)AD xAC yBC x y R =+∈u u u r u u u r u u u r，求x ，y 的值；（2）若AC =3BC =，30ACB ∠=o，求AD BC ⋅u u u r u u u r 的值．例2．设向量(cos ,sin )a αα=r ，(sin ,cos )b ββ=r ，(cos ,sin )c ββ=-r ． （1）求b c +r r的值；（2）若()k k Z αβπ+=∈，求证：//a c r r；（3）若(3)a b c ⊥+r r r，求tan()αβ+的值．B例3．如图，点C是半径为1，圆心角为32π的圆弧AB上的点．（1）若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求OC OD+u u u r u u u r的最小值；（2）若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧AB上运动时，求CE CD⋅u u u r u u u r的取值范围．例4. 在ABC∆中，已知(sin sin sin)(sin sin sin)3sin sinA B C B C A B C+++-=．（1）求角A的大小；（2）设O为ABC∆的外心（三角形各边中垂线的交点），当13BC=，ABC∆的面积为33时，求AO BC⋅uuu r uu u r的值；（3）设AD为ABC∆的中线，当23BC=时，求AD长的最大值．（例3图）专题十 解决不等式的有关问题【典题导引】例1．设函数2()6f x ax bx =++(0)a ≠．（1）若不等式()2f x x <的解集为(,2)(3,)-∞-+∞U ，求a 、b 的值；（2）若0a >，0b >，且(2)8f =，求12a b+的最小值．例2．（1）在平面直角坐标系xOy 中，设,,A B C 是圆221x y +=上相异三点，若存在正实数,λμ，使得OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r，则22(3)λμ+-的取值范围是 ．（2）已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b ≤≤-≥+-，，则ba的取值范围 是 ．例3.（2016⋅江苏改编）已知函数()12()2x x f x =+．（1）求不等式()174f x >的解集；（2）若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值．例4.已知1()31x f x =-，2()39(0)x f x a a =⋅->，x R ∈，且112212(),()(),()(),()().f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨>⎩（1）当1a =时，求不等式12()()f x f x ≤的解集；（2）当29a ?时,设2()()f x f x =所对应的自变量取值区间的长度为l (闭区间[,]m n的长度定义为n m -)，试求l 的最大值；（3）是否存在这样的a ，使得当[2,)x ∈+∞时，2()()f x f x =?若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．专题十一 解决等差数列与等比数列问题【典题导引】例1．（2016⋅天津）已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为(0)d d ≠，对任意的*n N ∈，n b 是n a 和1n a +的等比中项.（1）设22*1,n n n c b b n N +=-∈，求证：数列{}n c 是等差数列；（2）设 ()22*11,1,n kn k k a d T b n N ===-∈∑，求证：2111.2nk kT d =<∑例2．设数列{}n a 满足121a a ==，212n n n a a a λ+++=+，N n *∈，λ为常数．（1）若135,,a a a 成等比数列，且0λ≠，求λ的值；（2）设1n n n b a a +=-，N n *∈，求证：数列{}n b 为等差数列； （3）设22n n a a n c +-=，求数列{}n c 的前n 项和n S ．例3．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且满足11a =，141n n n S a a +=+*()n N ∈． （1）求15a 的值；（2）求证：数列{}n a 是等差数列； （3）若12m a -，m a ，18m k a ++成等比数列，其中*m N ∈，*k N ∈，求m 的值．例 4.（2015⋅南通一模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若*112()2n nan N a +≤≤∈，则称{}n a 是“紧密数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和21(3)()4n S n n n =+∈*N ，证明：{}n a 是“紧密数列”；（2）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列．若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”， 求q的取值范围．专题十二 解决数列综合应用问题【典题导引】例1. 已知数列{}n a 是等比数列． （1）设22a =，516a =．①若22212212()n n a a a t a a a +++=+++L L ，*n N ∈，求实数t 的值； ②若在11a 与41a 之间插入k 个数12,,,k b b b L ，使得12145111,,,,,,k b b b a a a L 成等差数列，求k 的值；（2）若数列{}n c 是公差不为0的等差数列，11a c =，22a c =，3m a c =,其中m 是某个正整数，且3m ≥，求证：数列{}n a 中的每一项都是数列{}n c 中的项．例2. 已知数列{}n a 满足1()a a a R =∈，*123()n n n a a n N +=-∈，*12()5n n n b a n N =-⨯∈．（1）当25a ≠时，求证：数列{}nb 是等比数列；（2）当2a =时，求数列{}n a 前n 项和n S ；（3）若*1,n n n N a a +∀∈>，求实数a 的值．例3.（2015⋅四校联考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111(1)12n n n n S S n a a +++=+--，*n N ∈.（1）若数列{}n a 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式； （2）设26a =，求证：数列{}n a 是等差数列.例4.（2014⋅江苏）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和2()n n S n *=∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值； （3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N 成立．专题十三 解决直线与圆及其应用问题【典题导引】例1. 已知圆C :222430x y x y ++-+=.（1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM PO =，求使得PM 取得最小值时点P 的坐标.例2. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上． （1）求圆C 的方程；（2）若过点9(,4)2A 的直线l 与圆C 交于,P Q 两点，且圆弧PQ 恰为圆C 周长的13，求直线l 的方程．例3. 已知圆C 经过点(1,1)A -，(1,1)B -，且与直线20x y +-=相切． （1）求圆C 的方程；（2）过点A 作倾斜角互补的两条相异直线，与圆C 分别交于点P 、Q ，求证：直线PQ的斜率为定值；（3）设点00(,)D x y 在直线20x y +-=上，若圆C 上存在点M 、N 满足DM MN =u u u u r u u u u r，求0x 的取值范围．例4.（2016⋅江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点()2,4A ．（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；（3）设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=u u r u u r u u u r，求实数t 的取值范围．专题十四 解决圆锥曲线与方程问题【典题导引】例1．平面直角坐标系xOy 中，设双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>，抛物线()22:20C x py p =>．（1）若双曲线1C 的一条渐近线方程为23y x =，求双曲 线1C 的方程；（2）若双曲线1C 的渐近线与抛物线2C 交于点,,O A B ，且OAB ∆的垂心为2C 的焦点，求双曲线1C 的离心率．例2．如图，,,A B C 是椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>上的三点，其中点A 是椭圆的右顶点，BC 过椭圆M 的中心，且满足AC BC ⊥，2BC AC =． （1）求椭圆M 的离心率；（2）若直线40x y -+=被ABC ∆的外接圆所截得弦长为例3.（2015⋅南通一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0,)b ，且12BF F ∆是边长为2 的等边三角形． （1）求椭圆的方程；（2）过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，C 两点，记2ABF ∆、2BCF ∆的面积分别为1S 、2S ．若122S S =，求直线l例4．（2015⋅重庆）如图，椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F ,2F ，且过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且1PQ PF ⊥.（1）若12PF =+22PF =-（2）若1PQ PF λ=，且3443λ≤≤，试确定椭圆离心率的取值范围.（例3图）（例1图）专题十五 解决解析几何中的综合问题【典题导引】例1．（2014⋅江苏） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>> 的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ． （1）若点C 的坐标为41()33，，且22BF =，求椭圆的方程；（2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．例2．（2015⋅江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程．lOPCBx y FA （例2图）例3．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点(1,0)F，过F 作两条互相垂直的弦,AB CD ，设,AB CD 的中点分别为,M N .（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线MN例4．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22:162x y C +=，直线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于A 、B 两点，直线AO 交椭圆C 于另一点P ．（1）若直线l 的斜率为4，求直线PB 的斜率；（2）若A ，E ，求PAB ∆的面积；（3）是否存在定点E ，使得2211EA EB +为定值？若存在，请指出点E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由.专题十六 解决立体几何中的有关问题【典题导引】例1．(2016⋅江苏)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为AB ，BC 的中点，点F在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥． （1）求证：直线//DE 平面11A C F ； （2）求证：平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F ．例2. 如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ． （1）求证：//AB EF ；（2）求证：平面BCF ⊥平面CDEF ．C E A BD F （例2图） 1A A 1B B C1C D E F例3. 如图，四棱锥的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，M 是AD 中点，N 是PC中点．（1）求证：//MN 平面PAB ；（2）若平面PMC ⊥平面PAD ，求证：CM AD ⊥．例4. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，3BAD π∠=，PA PD =，F 为AD 的中点，PD BF ⊥． （1）求证：AD PB ⊥；（2）若菱形ABCD 的边长为6，5PA =，求四面体PBCD 的体积；（3）若点E 在线段BC 上，且13EC BC =，能否在棱PC 上找到一点G ，使平面DEG ⊥平面ABCD ？并证明你的结论．（例4图）P A B C D EFP A B C D M N专题十七 应用题（1）【典题导引】例1．如图，某地有一条东西走向的公路1l ，现经过公路1l 上的A 处铺设一条南北走向的公路2l ．施工中发现A 处正北2百米的B 处有一古迹，为了保护古迹，决定以B 为圆 心，2百米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路1l 、2l ，欲再新建一条公路PQ ， 点P 、Q 分别在公路1l 、2l 上，且要求PQ 与圆B 相切（切点为T ）．（1）设BQ x =百米，试利用QTB ∆∽QAP ∆，将新建公路PQ 的长表示为x 的函数； （2）试确定点Q 的位置，使新建公路PQ 的长最短．1东例2．如图，B 、C 是海岸线l 上相距50km 的两个海边小城，圆O 是半径为10km 的某海岛小城的环岛路，A 为圆O 上的物资中转站，其中23AOC π∠=，25km OC =，且//l OA ．为使中转站A 的物资运往B 城，计划从A 地沿环岛路至某地P ，再沿水路PQ 至海岸线l 上Q ，最后沿海岸线QB 至B 城修建运输线，其中//PQ OC ,Q 在线段BC 上．（1）设POC θ∠=，求运输线总长度y 关于θ的函数； （2）求运输线总长度的最小值．g g ••••A BO P •Q C （例2图）例3．如图，A 、B 是海岸线OM 、ON 上的两个码头，Q 为海中一小岛，在水上旅游线AB上．测得tan 3MON ∠=-，6km OA =，Q 到海岸线OM 、ON 的距离分别为2km ，． （1）求水上旅游线AB 的长；（2）海中P (6PQ km =，且)PQ OM ⊥处的某试验产生的强水波圆P ，生成t 小时时的半径为r =．若与此同时，一瘦游轮以/小时的速度自码头A 开往 码头B ，试研究强水波是否波及游轮的航行？（例3图）M例4．某地发生某种自然灾害，使当地的自来水受到了污染．某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为m个单位的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足()y mf x=，其中2log(4),04, ()6,4,2x xf xxx+<≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效．．净化．．；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳．．净化．．.（1）如果投放的药剂质量为4m=,试问自来水达到有效．．净化．．一共可持续几天?（2）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括第7天）之内的自来水达到最佳．．净化．．，试确定应该投放的药剂质量m的取值范围.专题十八 应用题（2）【典题导引】例1．已知海岛B 在海岛A 的北偏东45o 的方向上，两岛相距10海里．小船P 从海岛B 以2海里/小时的速度沿直线向海岛A 移动，同时小船Q 从海岛A 出发，沿北偏西15o 方向 以4海里/小时的速度移动．（1）求小船航行过程中，两船相距的最近距离；（2）求小船P 处于小船Q 的正东方向时，小船航行的时间．例2. 如图是某种可固定在墙上的广告金属支架模型，其中6AD =，C 是AB 的中点，3BCD π∠=，设BAD θ∠=，且(,)93ππθ∈． （1）若4πθ=，求AB 的长； （2）求BD 长的最小值．••B 岛北P Q例3．如图，街道PQ 长6km ，且与公路OM 垂直，一端P 到公路OM 、ON 的距离分别为8km ，，tan 3MON ∠=-，D 为PQ 的中点，街道DP 段有多处重要文物．现 从公路OM 上距离O 为6km 的A 地修建一条直线公路AQB ，将三条公路围成的区域 AOB 建成一个工业园区．（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立直角坐标系如图所示． ①求点P 的坐标； ②求公路AB 的长； （2）为保护街道DP 段的重要文物，规划设立一个圆形保护区，保护区的边界为圆心C在线段DP 上，并与AB 相切的圆，且D 和P 到该圆上任意一点的距离均不少于．当DC 多长时，圆形保护区的面积最大？例4. 水渠是地面上人工开凿的水道，用于引江河之水灌溉农田．某果园现有的旧水渠的横断面是一段抛物线弧AOB ，顶点O 为水渠最底端（如图1），渠宽为4m ，渠深为2m ．现 计划对现有的旧水渠进行改造．（1）为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为如图2所示的等腰梯形ABCD 的新水渠（C 、D 在抛物线弧AOB 上，//AB CD ），问 新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少（即等腰梯形ABCD 的面积最大）； （2）考虑到果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖成横断面为如图3所示的抛物线弧AOB 的外切等腰梯形1111A B C D 的新水渠（点A 、B 在线段11A B 上），要使所挖土的土方量最少（即等腰梯形ABCD 的面积最小），请你设计水渠 改挖后的底宽，并求出这个底宽．（例4图1）例5. 某软件公司新开发一款游戏软件，该软件按游戏的难易程度共设置若干关的闯关游戏，为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干游戏币，设第n 关奖励n a 个游戏币，且满足1,42111=≤≤+a a a a n n n ，该软件公司提供了两种奖励方案：①从第二关开始每闯 过一关奖励的游戏币数是前一关的q 倍；②从第二关开始每闯过一关多奖励d 游戏币 (R d ∈).游戏规定：闯关者须在闯关前任选一种奖励方案.（1）若选择第①种方案，设第1关到第n 关奖励的总游戏币为n S ，即12...n n S a a a =+++，且1142n n n S S S +≤≤，求q 的取值范围；（2）若选择第②种方案，且设置第1关到第k 关奖励的总游戏币数为100(即*21,...N k a a a k ∈+++)时获特别奖励，为了增加获特别奖的难度，如何设置d的取值，使得k 最大，并求k 的最大值.专题十九 解决概率统计与算法问题【典题导引】例1.（2015⋅安徽）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本 数据分组区间为[40,50),[50,60),,[80,90),[90,100]L . （1）求频率分布图中a 的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40,60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50)的 概率.例2. 如图所示的算法中，令tan ,sin ,cos a b c θθθ===，若在集合3{,0,,}4442ππππθθθ-<<≠中，给θ取一个值，输出的结果是sin θ．（1）求θ值所在的范围；（2）求函数2()22cos f x x x θ=+-有2个零点的概率．(例2图) (例1图)例3. 班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生， 将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随 机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目． （1）为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率； （2）为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率．例4. （2015 南通二模）体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班50名学生参加测试的结果如下：（1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率； （2）测试成绩为“优”的3名男生记为1a ，2a ，3a ，2名女生记为1b ，2b ．现从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛．①写出所有等可能的基本事件；②求参赛学生中恰有1名女生的概率．专题二十 数学填空题解题突破【典题导引】（一）直接求解法直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称之为直接求解法．它是解填空题的常用基本方法．使用直接法解填空题， 要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法． 例1.（1）(2015⋅江苏)设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为 ． （2）已知2()y f x x =+是奇函数，且(1)1f =，若()()2g x f x =+，则(1)g -= ．（3）已知向量(cos ,sin )a θθ=r，b =r ，则||a b -r r的最大值与最小值之和为．（4）已知函数2()ln 2f x mx x x =+-在定义域内不是单调函数，则实数m 的取值范围是 ．（二）特殊化法当填空题的结论唯一或其值为定值时，我们只须把题中的参变量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替之，即可得到结论．一般性存在于特殊性之中，只要是求一般性的问题，绝大多数可以用特殊化法来解决．例2. （1）已知函数22,0,(),0x x x f x ax bx x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩为奇函数，则函数3()a g x bx x =+上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为 ．（2）在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线,AB AC 于不同的两点,M N ，若AB mAM =u u u r u u u u r ，AC nAN =u u u r u u u r，则m n +的值为__________．（3）设a R ∈，若0x >时，均有()()21110a x x ax ----≥⎡⎤⎣⎦，则a = ． （4）如图，在平行四边形ABCD 中 ，AP BD ⊥，垂足为P ，且3AP = ，则AP AC ⋅u u u v u u u v=.（5）观察下列等式： ①2cos22cos 1αα=-；②42cos48cos 8cos 1ααα=-+；A DP③642cos632cos 48cos 18cos 1αααα=-+-；④8642cos8128cos 256cos 160cos 32cos 1ααααα=-+-+；⑤108642cos10cos 1280cos 1120cos cos cos 1m n p αααααα=-+++-． 可以推测，m n p -+= ．（6）已知二次函数2()f x ax bx c =++有零点1x 与2x ，设2009100912p x x =+，2010101012q x x =+，2011101112r x x =+，则常数ar bq cp ++的值为 ．（7）椭圆22194x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 ．（三）数形结合法借助图形的直观性，通过数与形的关系，迅速作出判断的方法称为数形结合法．文氏 图、三角函数线、函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形．例3.（1）已知函数()2x f x x =+，2()log g x x x =+，3()h x x x =+的零点依次为,,a b c ，则,,a b c 由小到大的顺序是________．（2）满足条件2,AB AC ==的三角形ABC 的面积的最大值为 ． （3）若方程lg()2lg(1)kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是________．（四）构造模型法例4.（1） 已知函数2cos 3sin 4()()cos 2x x e e x x f x x R x --+++=∈+ 的最大值为M ，最小值为m ， 则M m += ．（2）在四面体ABCD 中，AB CD =5AC BD ==，AD BC ==，则该四面体的体积V = ．（3）已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<且 (1)y f x =+为偶函数，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为 ．（4）（2015⋅泰州一模）已知实数a b c 、、满足222a b c +=，0c ≠，则2ba c-的取值范围为 ．专题二十一 运用分类讨论的思想方法解题【典题导引】例1.（由数学概念、运算引起的分类讨论）函数21sin(),10,(),0,x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩若(1)()2f f a +=，则a 的所有可能值的集合为______．训练1．（1）若函数2(3)()log (4)a f x ax -=+在[1,1]-上是单调增函数，则实数a 的取值范围是________．（2）若集合2{|10}A x ax ax =-+<=∅，则实数a 的值的集合是________．（3）已知R m ∈，求函数2()(43)2f x m x x m =--+在区间[0,1]上的最大值．例2.（问题中的条件是分类给出的引起的分类讨论）设12,,,n a a a L 是各项均不为零的(4)n n ≥项等差数列，且公差0d ≠，若将此数列删 去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列．（1）当4n =时，求1ad的数值；（2）求n 的所有可能值．例3．（由图形或图象引起的分类讨论）将一张长8cm ，宽6cm 的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕(线段)将纸片分成两 部分，面积分别为21cm S ，22cm S ，其中12S S ≤．记折痕长为cm l ． （1）若4l =，求1S 的最大值； （2）若12:1:2S S =，求l 的取值范围．例4．（问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论）(2016⋅新课标Ⅰ)已知函数有()()()221x f x x e a x =-+-两个零点. （1）求a 的取值范围；（2）设12,x x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<.专题二十二 运用数形结合的思想方法解题【典题导引】例1.（数形结合解决有明显几何意义的式子(概念)问题）（1）函数()f x =的值域为 ．（2）若实数x 、y 满足条件221x y -=，则212yu x x=+的取值范围是_______. （3）22(cos cos 3)(sin sin 2)y θαθα=-++--的最大值为 ． （4）若实数a 、b 、c 、d 满足22ln 341a a c b d--==，则()()22u a c b d =-+-的最小值为 ．（5）（2015⋅泰州一模）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若B C ∠=∠且2227a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为 ．例2.（数形结合解决隐含轨迹问题）（1）已知()())()2,0,2,2,02OB OC CA αααπ===≤<u u u r u u u r u u u r，则OA u u u r 与OB u u ur 的夹角的取值范围为 ．（2）已知(2cos )(2cos )(1,0)A B C ααββ-、、是平面上三个不同的点，若存在实数λ，使得CA BC λ=u u u r u u u r，则λ的取值范围是 ．（3）设D 是等腰ABC ∆腰AC 的中点，若2BD =，则ABC ∆面积的最大值为 ．例3．已知函数2()21f x x ex m =-++-，2()(0)e g x x x x=+>，其中e 是自然对数的底数．（1）若函数()()h x g x m =-有零点，求实数m 的取值范围；（2）若关于x 的方程()()0g x f x -=有两个相异实根，求实数m 的取值范围．例4.（2010⋅江苏改编）设()f x 是定义在区间(1,)+∞上的函数，其导函数为()f x '．如果存在实数a 和函数()h x ，其中()h x 对任意的(1,)x ∈+∞都有()0h x >，使得2()()(1)f x h x x ax '=-+，则称函数()f x 具有性质()P a ．已知函数()g x 具有性质(2)P ，给定12,(1,)x x ∈+∞，12x x <，设m 为实数， 12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，且1α>，1β>，若()()()()12||g g g x g x αβ<－－，求m 的取值范围．专题二十三运用函数与方程的思想方法解题【典题导引】例1.如图，已知椭圆2222:1(1)1x yG aa a+=>-，22:(1)1M x y++=e，P为椭圆G上一点，过P作Me的两条切线PE、PF，E、F分别为切点．（1）求t PM=u u u u r的取值范围；（2）把PE PF⋅u u u r u u u r表示成t的函数()f t，并求出()f t的最大值、最小值．例2. 已知函数()ln(1)f x x x=+-，()lng x x x=．（1）求函数()f x的最大值；（2）设0a b<<，证明：0()()2()()ln22a bg a g b g b a+<+-<-．（例1图）。

第2讲圆锥曲线【课前热身】第2讲圆锥曲线(本讲对应学生用书第41~43页)1.(选修2-1 P32练习3改编)已知椭圆的焦点分别为F1(-2，0)，F2(2，0)，且经过点P53-22⎛⎫⎪⎝⎭，，则椭圆的标准方程为.【答案】210x+26y=1【解析】设椭圆方程为22xa+22yb=1，由题意得2222259144-4a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，解得a2=10，b2=6，所以所求方程为210x+26y=1.2.(选修2-1 P47练习2改编)若双曲线的虚轴长为12，离心率为54，则双曲线的标准方程为.【答案】264x-236y=1或264y-236x=1【解析】由b=6，ca=54，结合a2+b2=c2，解得a=8，c=10，由于对称轴不确定，所以双曲线标准方程为264x -236y =1或264y -236x =1.3.(选修2-1 P47练习3改编)已知双曲线x 2-22y m=1(m>0)的一条渐近线方程为x+0，则实数m= .【答案】3【解析】双曲线x 2-22y m=1(m>0)的渐近线方程为y=±mx ，又因为该双曲线的一条渐近线方程为x+0，所以m=3.4.(选修2-1 P53练习2改编)设抛物线y 2=mx 的准线与直线x=1的距离为3，则抛物线的标准方程为 .【答案】y 2=8x 或y 2=-16x【解析】当m>0时，准线方程为x=-4m=-2，所以m=8，此时抛物线方程为y 2=8x ；当m<0时，准线方程为x=-4m=4，所以m=-16，此时抛物线方程为y 2=-16x. 所以所求抛物线方程为y 2=8x 或y 2=-16x.5.(选修2-1 P37练习6改编)若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 .【答案】35【解析】由题意知2b=a+c ，又b 2=a 2-c 2， 所以4(a 2-c 2)=a 2+c 2+2ac.所以3a2-2ac-5c2=0，所以5c2+2ac-3a2=0.所以5e2+2e-3=0，解得e=35或e=-1(舍去).【课堂导学】求圆锥曲线的标准方程例1(2015·扬州中学)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为2，以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点P(0，1)，Q(0，2)，设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN 相交于点T，求证：点T在椭圆C上.【分析】(1)利用直线与圆相切求出b的值，然后利用离心率可求出a的值，从而求出椭圆方程.(2)解出两直线的交点，验证满足椭圆方程即可.【解答】(1)由题意知椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离，即b=.因为离心率e=ca=2，所以ba12，所以a=2所以椭圆C的标准方程为28x+22y=1.(2)由题意可设M，N两点的坐标分别为(x0，y0)，(-x0，y0)，则直线PM的方程为y=-1yxx+1，①直线QN的方程为y=-2-yxx+2.②设点T的坐标为(x，y).联立①②解得x0=2-3xy，y=3-42-3yy.因为28x+22y=1，所以2182-3xy⎛⎫⎪⎝⎭+213-422-3yy⎛⎫⎪⎝⎭=1，整理得28x+2(3-4)2y=(2y-3)2，所以28x+292y-12y+8=4y2-12y+9，即28x+22y=1，所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上.【点评】求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)的形式.变式已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)已知动点P到定点Q(0)的距离与点P到定直线l：x=22，求动点P 的轨迹C'的方程.【分析】本题主要考查椭圆的定义和椭圆的标准方程等基础知识，以及利用直接法和待定系数法求椭圆方程的基本方法.【解答】(1)依题意，可设椭圆C 的方程为22x a +22y b=1(a>b>0)，且可知左焦点为F'(-2，0)，从而有22'358c a AF AF =⎧⎨=+=+=⎩，，解得24.c a =⎧⎨=⎩，又a 2=b 2+c 2，所以b 2=12，故椭圆C 的方程为216x +212y =1.(2)设点P (x ，y )，依题意，得2，整理，得24x +22y =1，所以动点P 的轨迹C'的方程为24x +22y =1.【点评】本题第一问已知焦点即知道了c ，再利用椭圆定义先求得2a 的值，再利用椭圆中a ，b ，c 的关系，求得b 的值，从而得椭圆方程.本题还可以利用待定系数法设椭圆方程为22x a +22-4y a =1，代入已知点求解，显然没有利用定义来得简单.求离心率的值或范围例2 (1)(2016·徐州三校调研)如图(1)，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2分别为椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 .(例2(1))(2)(2016·临川一中质检)如图(2)，已知点A ，F 分别是22x a -22y b=1(a>0，b>0)的左顶点与右焦点，过A ，F 作与x 轴垂直的直线分别与两条渐近线交于P ，Q ，R ，S ，若S △ROS =2S △POQ ，则双曲线的离心率为.(例2(2))(3)(2016·金陵中学)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1，F 2，这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形.若PF 1=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是 .【点拨】依题设得出关于a ，b ，c 的等式或不等式，再消去b.【答案】(1)25(2)(3)13∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 【解析】(1)由题意知直线A 1B 2的方程为-x a +y b =1，直线B 1F 的方程为x c +-yb =1.联立方程组解得T2()--ac b a c a c a c +⎛⎫⎪⎝⎭，. 又M()-2(-)ac b a c a c a c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，在椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)上， 故22(-)c a c +22()4(-)a c a c +=1，即e 2+10e-3=0，解得e=25.(2)由题意，得A (-a ，0)，F (c ，0)，直线PQ ，RS 的方程分别为x=-a ，x=c ，与渐近线y=±ba x联立，可求得P (-a ，b )，Q (-a ，-b )，R -bc c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，S bc c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则S △ROS =12·2bc a ·c=2bc a ，S △POQ =12a·2b=ab ，于是由S △ROS =2S △POQ ，得2bc a =2ab ，即22c a =2，所以e=(3)设椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2m ，则2c=PF 2=2a-10，2m=10-2c ，a=c+5，m=5-c ，所以e 1e 2=5c c +·5-cc =2225-c c =2125-1c .又由三角形性质知2c+2c>10，又由已知得2c<10，c<5，所以52<c<5，1<225c <4，0<225c -1<3，所以e 1e 2=2125-1c >13.变式1 (2015·苏北四市期末)已知椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)，点A ，B 1，B 2，F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB 2与直线B 1F 的交点恰好在椭圆的右准线上，则该椭圆的离心率为.(变式1)【答案】12【解析】如图，A (-a ，0)，B 1(0，-b )，B 2(0，b )，F (c ，0)，设点M 2Ma y c⎛⎫ ⎪⎝⎭，.由2AB k =k AM ，得b a =2My a a c +，所以y M =b 1c+ ⎪⎝⎭. 由1FB k =k FM ，得b c =2-My a c c ，所以y M =2-b a c c c ⎛⎫⎪⎝⎭.从而b 1a c⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2-b a c c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 整理得2e 2+e-1=0，解得e=12.变式2 (2015·泰州期末)若双曲线22x a -22y b=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e= .【答案】53【解析】由双曲线的性质“焦点到渐近线的距离等于b ”，得b=2a c+，所以a 2+22a c +⎛⎫ ⎪⎝⎭=c 2，整理得3c 2-2ac-5a 2=0，所以3e 2-2e-5=0，解得e=53.变式3 (2016·泰州中学)如图，椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的右焦点为F ，其右准线l 与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是.(变式3)【答案】1 2⎪⎢⎣⎭，【解析】方法一：由题意知椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以PF=FA，而FA=2ac-c，PF≤a+c，所以2ac-c≤a+c，即a2≤ac+2c2.又e=ca，所以2e2+e≥1，所以2e2+e-1≥0，即(2e-1)(e+1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.方法二：设点P(x，y).由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以PF=FA.由椭圆第二定义，2-PFaxc=e，所以PF=2ac e-ex=a-ex，而FA=2ac-c，所以a-ex=2ac-c，解得x=21-aa ce c⎛⎫+⎪⎝⎭.由于-a≤x≤a，所以-a≤21-aa ce c⎛⎫+⎪⎝⎭≤a.又e=ca，所以2e2+e-1≥0，即(2e-1)(e+1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.直线与圆锥曲线问题例3(2016·南通一调)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)过点A(2，1)，离心率为2.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程.(例3)【点拨】联立方程化归为一元二次方程的根与系数问题.【解答】(1)由条件知椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的离心率为e=c a=2，所以b 2=a 2-c 2=14a 2.又点A (2，1)在椭圆上，所以24a +21b =1，解得2282.a b ⎧=⎨=⎩，所以所求椭圆的方程为28x +22y =1.(2)将y=kx+m (k ≠0)代入椭圆方程，得(1+4k 2)x 2+8mkx+4m 2-8=0， ①由线段BC 被y 轴平分，得x B +x C =-2814mkk +=0，因为k ≠0，所以m=0.因为当m=0时，B ，C 关于原点对称，设B (x ，kx )，C (-x ，-kx )，由方程①，得x 2=2814k +，又因为AB ⊥AC ，A (2，1)，所以AB ·A C =(x-2)(-x-2)+(kx-1)(-kx-1)=5-(1+k 2)x 2=5-228(1)14k k ++=0，所以k=±12，由于k=12时，直线y=12x 过点A (2，1)，故k=12不符合题设. 所以直线l 的方程为y=-12x.【点评】解析几何包含两个主要问题，即已知曲线求方程和已知方程研究曲线的性质.对解析几何的复习，要在牢固掌握与解析几何有关的基本概念基础上，把上述两个问题作为复习和研究的重点，把握坐标法思想的精髓.变式 (2016·南通、扬州、泰州、淮安三模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的离心率为2，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2+y 2=a 2于相异两点P ，Q.(1)若直线l 的斜率为12，求AP AQ 的值；(2)若PQ =λAP，求实数λ的取值范围.(变式)【解答】(1)由条件知222242a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，，解得2a b =⎧⎪⎨⎪⎩， 所以椭圆的方程为24x +22y =1，圆的方程为x 2+y 2=4.由题知直线l 的方程为y=12(x+2)，即x=2y-2，联立方程组222-224x y x y =⎧⎨+=⎩，，消去x ，得3y 2-4y=0，所以y P =43.由222-24x y x y =⎧⎨+=⎩，，消去x ，得5y 2-8y=0，所以y Q =85.所以AP AQ =PQy y=43×58=56.(2)因为PQ =λAP ，且AP，PQ 同向，则λ=PQ AP =-AQ AP AP =AQAP -1，设直线l ：y=k (x+2)，联立方程组224(2)x y y k x ⎧+=⎨=+⎩，，消去x ，得(k 2+1)y 2-4ky=0，所以y Q =241k k +，同理y P =2421kk +，λ=AQ AP -1=QP y y -1=2241421k k k k ++-1=1-211k +.因为k 2>0，所以0<λ<1.即实数λ的取值范围是(0，1).【课堂评价】1.(2016·泰州期末)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22x -y 2=1的实轴长为.【答案】2【解析】根据双曲线的方程知a=2a=22.(2016·镇江期末)以抛物线y 2=4x 的焦点为焦点，以直线y=±x 为渐近线的双曲线的标准方程为 .【答案】212x -212y =1【解析】由题意设双曲线的标准方程为22x a -22y b=1，y 2=4x 的焦点为(1，0)，即c=1，则双曲线的焦点为(1，0).因为y=±x为双曲线的渐近线，则ba=1，又a2+b2=c2，所以a2=12，b2=12，故双曲线的标准方程为212x-212y=1.3.(2016·南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C经过点P(1，3)，则其焦点到准线的距离为.【答案】9 2【解析】由题意可设抛物线C的方程为y2=2px(p>0)，因为曲线C过点P(1，3)，所以9=2p，解得p=92，从而其焦点到准线的距离为p=92.4.(2016·苏中三校联考)设椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率为.(第4题)【答案】3【解析】如图，连接AF1，因为OD∥AB，O为F1F2的中点，所以D为BF1的中点.又AD⊥BF1，所以AF1=AB.所以AF1=2AF2.设AF2=n，则AF1=2n，F1F2=所以e=ca=1212F FAF AF=3n=3.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第21~22页.【检测与评估】第2讲圆锥曲线一、填空题1.(2016·苏锡常镇调研)若双曲线x2+my2=1过点(2)，则该双曲线的虚轴长为.2.(2015·苏州调查)已知双曲线2xm-25y=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为.3.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)已知点F是抛物线y2=4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为.4.(2016·普陀区调研)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为离为1，则该椭圆的离心率为.5.(2016·西安模拟)已知椭圆24x+22yb=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若BF2+AF2的最大值为5，则b的值是.6.(2015·盐城中学)设椭圆22x m +..=1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y 2=8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的短轴长为 .7.(2015·丹阳中学)设A ，B 分别是椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右顶点，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的一点，若直线AP 与BP 的斜率之积为-13，则椭圆C 的离心率为 .8.(2016·淮阴四校调研)已知椭圆C ：22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 .二、 解答题9.(2016·扬州期末)如图，已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，M 在PF 1上，且满足1F M =λMP(λ∈R )，PO ⊥F 2M ，O 为坐标原点.(1)若椭圆方程为28x +24y =1，且P (2，求点M 的横坐标；(2)若λ=2，求椭圆离心率e 的取值范围.(第9题)10.(2015·赣榆中学)如图，椭圆长轴端点为A ，B ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且AF ·FB=1，|OF |=1.(1)求椭圆的标准方程.(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使得点F 恰为△PQM 的垂心?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.(第10题)11.如图，椭圆C ：22x a +22y b =1(a>b>0)的一个焦点为F (1，0)，且过点⎭. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知A ，B 为椭圆上的点，且直线AB 垂直于x 轴，直线l ：x=4与x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M ，求证：点M 恒在椭圆C 上.(第11题)【检测与评估答案】第2讲 圆锥曲线一、填空题1. 4【解析】将点(-2)代入可得2+4m=1，即m=-14，故双曲线的标准方程为21x-24y=1，即虚轴长为4.2.y=±2x3，所以m=4.而双曲线的渐近线方程为x，即y=±2x.3.43【解析】抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，焦点F(1，0)，设点A(x，y0)(x0>0，y0>0)，由题意得x0+1=5，所以x0=4，所以2y=4x0=16，y0=4，从而点A(4，4)，直线AF的斜率k=4-04-1=43.4.2【解析】不妨设椭圆方程为22xa+22yb=1(a>b>0)，则有222-1baacc⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2221babc⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，　②则①÷②得e=2.5.【解析】由题意知a=2，所以BF2+AF2+AB=4a=8，因为BF2+AF2的最大值为5，所以AB的最小值为3，当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A3-2c⎛⎫⎪⎝⎭，，B3--2c⎛⎫⎪⎝⎭，，代入椭圆方程得24c+294b=1.又c2=a2-b2=4-b2，所以24-4b+294b=1，即1-24b+294b=1，所以24b=294b，解得b2=3，所以b=6.4【解析】由题意可知抛物线y2=8x的焦点为(2，0)，所以c=2.因为离心率为12，所以a=4，所以b=27.3【解析】由题意知A(-a，0)，B(a，0)，取P(0，b)，则kAP·k BP=ba×-ba⎛⎫⎪⎝⎭=-13，故a2=3b2，所以e2=222-a ba=23，即e=3.8.1132⎛⎫⎪⎝⎭，∪112⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称、左右对称.不妨设P在第一象限，PF1>PF2，当PF1=F1F2=2c时，PF2=2a-PF1=2a-2c，即2c>2a-2c，解得e=ca>12.又因为e<1，所以12<e<1.当PF2=F1F2=2c时，PF1=2a-PF2=2a-2c，即2a-2c>2c，且2c>a-c，解得13<e<12.综上可得13<e<12或12<e<1.二、解答题9. (1) 因为28x+24y=1，所以F1(-2，0)，F2(2，0)，所以k OP=22F Mk=-1F Mk=4，所以直线F2M的方程为y=-x-2)，直线F1M的方程为y=4(x+2).联立-2)(2)4y xy x⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，解得x=65，所以点M的横坐标为6 5.(2) 设P (x 0，y 0)，M (x M ，y M ).因为1FM=2MP，所以1FM =23(x 0+c ，y 0)=(x M +c ，y M )，所以M 00212-333x c y ⎛⎫⎪⎝⎭，，2F M =00242-333x c y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为PO ⊥F 2M ，O P=(x 0，y 0)，所以2023x -43cx 0+223y =0，即20x +20y =2cx 0.联立方程2200022002221x y cx x y a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 0，得c 220x -2a 2cx 0+a 2(a 2-c 2)=0，解得x 0=()a a c c +或x 0=(-)a a c c .因为-a<x 0<a ，所以x 0=(-)a a c c ∈(0，a )， 所以0<a 2-ac<ac ，解得e>12.综上，椭圆离心率e 的取值范围为112⎛⎫ ⎪⎝⎭，.10. (1) 设椭圆方程为22x a +22y b=1(a>b>0)，则c=1.因为AF ·F B =1，即(a+c )(a-c )=1=a 2-c 2，所以a 2=2，故椭圆方程为22x +y 2=1.(2) 假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，则设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为M (0，1)，F (1，0)，故k PQ =1，于是可设直线l 的方程为y=x+m.联立2222y x m x y =+⎧⎨+=⎩，，得3x 2+4mx+2m 2-2=0，则x 1+x 2=-43m ，x 1x 2=22-23m .因为MP·FQ=0=x 1(x 2-1)+y 2(y 1-1)，又y i =x i +m (i=1，2)，得x 1(x 2-1)+(x 2+m )(x 1+m-1)=0， 即2x 1x 2+(x 1+x 2)(m-1)+m 2-m=0，所以2·22-23m -43m(m-1)+m 2-m=0，解得m=-43或m=1(舍去). 经检验m=-43符合条件， 所以直线l 的方程为y=x-43.11. (1) 由题意得2222212312-c a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，，，解得a 2=4，b 2=3，故椭圆C 的方程为24x +23y =1.(2) 因为F (1，0)，N (4，0).设A (m ，n )，M (x 0，y 0)，则B (m ，-n )，n ≠0，则直线AF 的方程为y=-1nm (x-1)， 直线BN 的方程为y=4-nm (x-4)， 解得点M 的坐标为5-832-52-5m n m m ⎛⎫⎪⎝⎭，.代入椭圆方程中，得204x +203y =25-82-54m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭+232-53n m ⎛⎫ ⎪⎝⎭=222(5-8)124(2-5)m n m +. 由24m +23n =1，得n 2=321-4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 代入上式得204x +203y =1. 所以点M 恒在椭圆C 上.。

2017年中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项A、B、C、D中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填在答题卡相应位置）1．9的算术平方根是（）A．±3 B．3 C．D．2．2016年，巴彦淖尔市计划投资42亿元，完成300个嘎查村的建设任务．农村牧区“十个全覆盖”推进正酣．将42亿用科学记数法应表示为（）A．0.042×107B．0.42×108C．4.2×109D．42×10103．下列计算正确的是（）A．a3+a2=2a5B．（﹣2a3）2=4a6C．（a+b）2=a2+b2D．a6÷a2=a34．不等式组的整数解的和是（）A．﹣1 B．1 C．0 D．15．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．35° B．40° C．50° D．65°6．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的侧面积为（）A．2πcm2B．4πcm2C．8πcm2D．16πcm27．已知一组数据：1，2，6，3，3，下列说法错误的是（）A．众数是3 B．中位数是6 C．平均数是3 D．方差是2.88．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（）A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：2510．如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．分解因式：﹣3x3y+12x2y﹣12xy= ．12．要使式子有意义，则a的取值范围为．13．在一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的球，如果其中有3个白球，且摸出白球的概率是，那么袋子中共有球个．14．如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为m（结果不作近似计算）．15．抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是，当x= 时，y随x的增大而减小．16．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD 的长为．三、解答题（共86分，解答应写成文字说明、证明过程、演算步骤）17．（1）计算：2sin60°﹣（）﹣1+（﹣1）0（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=2+．18．某校为了更好地开展球类运动，体育组决定用1600元购进足球8个和篮球14个，并且篮球的单价比足球的单价多20元，请解答下列问题：（1）求出足球和篮球的单价；（2）若学校欲用不超过3240元，且不少于3200元再次购进两种球50个，求出有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，若已知足球的进价为50元，篮球的进价为65元，则在第二次购买方案中，哪种方案商家获利最多？19．某市为了增强学生体质，全面实施“学生饮用奶”营养工程．某品牌牛奶供应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶提供学生饮用．浠马中学为了了解学生对不同口味牛奶的喜好，对全校订购牛奶的学生进行了随机调查（每盒各种口味牛奶的体积相同），绘制了如图两张不完整的人数统计图：（1）本次被调查的学生有名；（2）补全上面的条形统计图1，并计算出喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图中所占圆心角的度数；（3）该校共有1200名学生订购了该品牌的牛奶，牛奶供应商每天只为每名订购牛奶的学生配送一盒牛奶．要使学生每天都喝到自己喜好的口味的牛奶，牛奶供应商每天送往该校的牛奶中，草莓味要比原味多送多少盒？20．如图有A、B两个大小均匀的转盘，其中A转盘被分成3等份，B转盘被分成4等份，并在每一份内标上数字．小明和小红同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线时视为无效，重转），若将A转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的k，将B转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的b．（1）请用列表或画树状图的方法写出所有的可能；（2）求一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限的概率．21．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．22．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．23．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC，交DC的延长线于点E．（1）求证：△ABC∽△DEB；（2）求证：BE是⊙O的切线；（3）求DE的长．24．已知，如图二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4）与x轴交于点A、B，点B（4，0），抛物线的对称轴为x=1．直线AD交抛物线于点D（2，m）．（1）求二次函数的解析式并写出D点坐标；（2）点E是BD的中点，点Q是线段AB上一动点，当△QBE和△ABD相似时，求点Q的坐标；（3）抛物线与y轴交于点C，直线AD与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形CMNF周长取最小值时，求出满足条件的点M和点N的坐标．2017年中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项A、B、C、D中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填在答题卡相应位置）1．9的算术平方根是（）A．±3 B．3 C．D．【考点】22：算术平方根．【分析】根据开方运算，可得算术平方根．【解答】解：9的算术平方根是3，故选：B．2．2016年，巴彦淖尔市计划投资42亿元，完成300个嘎查村的建设任务．农村牧区“十个全覆盖”推进正酣．将42亿用科学记数法应表示为（）A．0.042×107B．0.42×108C．4.2×109D．42×1010【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：42亿=42 0000 0000=4.2×109，故选：C．3．下列计算正确的是（）A．a3+a2=2a5B．（﹣2a3）2=4a6C．（a+b）2=a2+b2D．a6÷a2=a3【考点】48：同底数幂的除法；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式．【分析】根据合并同类项法则；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；完全平方公式，同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、a3和a2不是同类项不能合并，故本选项错误；B、（﹣2a3）2=4a6，正确；C、应为（a+b）2=a2+b2+2ab，故本选项错误；D、应为a6÷a2=a4，故本选项错误．故选B．4．不等式组的整数解的和是（）A．﹣1 B．1 C．0 D．1【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．【分析】先解出不等式组的解集，从而可以得到不等式组的整数解，从而可以得到不等式组的整数解的和．【解答】解：解得，﹣2＜x≤，∴的整数解是x=﹣1，x=0，x=1，∵（﹣1）+0+1=0，故的整数解得和是0，故选C．5．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．35° B．40° C．50° D．65°【考点】R2：旋转的性质．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．【解答】解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°．故选C．6．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的侧面积为（）A．2πcm2B．4πcm2C．8πcm2D．16πcm2【考点】U3：由三视图判断几何体；MP：圆锥的计算．【分析】由几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，可以判断这个几何体是圆锥，进而得出圆锥的高以及母线长和底面圆的半径，再利用圆锥侧面积公式求出即可．【解答】解：依题意知母线l=4cm，底面半径r=2÷2=1，则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×1×4=4πcm2．故选B．7．已知一组数据：1，2，6，3，3，下列说法错误的是（）A．众数是3 B．中位数是6 C．平均数是3 D．方差是2.8【考点】W7：方差；W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数．【分析】分别求出这组数据的平均数、中位数、众数和方差，再分别对每一项进行判断即可．【解答】解：A、3出现了2次，出现的次数最多，则众数是3，故本选项正确；B、把这组数据从小到大排列为：1，2，3，3，6，最中间的数是3，则中位数是3，故本选项错误；C、这组数据的平均数是（1+2+6+3+3）÷5=3，故本选项正确；D、这组数据的方差是： [（1﹣3）2+（2﹣3）2+（6﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2]=，故本选项正确；故选B．8．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质．【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF，∴CE=CF，∴①说法正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；∵EF=2，∴CE=CF=，设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，a2+（a﹣）2=4，解得a=，则a2=2+，∴S正方形ABCD=2+，④说法正确，∴正确的有①②④．故选C．9．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（）A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：25【考点】S9：相似三角形的判定与性质；K3：三角形的面积；L5：平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质求出DC=AB，DC∥AB，求出DE：AB=2：5，根据相似三角形的判定推出△DEF∽△BAF，求出△DEF和△ABF的面积比，根据三角形的面积公式求出△DEF 和△EBF的面积比，即可求出答案．【解答】解：根据图形知：△DEF的边DF和△BFE的边BF上的高相等，并设这个高为h，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，DC∥AB，∵DE：EC=2：3，∴DE：AB=2：5，∵DC∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴==， ==，∴====∴S△DEF：S△EBF：S△ABF=4：10：25，故选D．10．如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【考点】E7：动点问题的函数图象．【分析】要找出准确反映s与x之间对应关系的图象，需分析在不同阶段中s随x变化的情况．【解答】解：由题意知，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，则当0＜x≤2，s=，当2＜x≤3，s=1，由以上分析可知，这个分段函数的图象开始直线一部分，最后为水平直线的一部分．故选C．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．分解因式：﹣3x3y+12x2y﹣12xy= ﹣3xy（x﹣2）2．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=﹣3xy（x2﹣4x+4）=﹣3xy（x﹣2）2，故答案为：﹣3xy（x﹣2）212．要使式子有意义，则a的取值范围为a≥﹣2且a≠0 ．【考点】72：二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：a+2≥0且a≠0，解得：a≥﹣2且a≠0．故答案为：a≥﹣2且a≠0．13．在一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的球，如果其中有3个白球，且摸出白球的概率是，那么袋子中共有球12 个．【考点】X4：概率公式．【分析】设袋中共有球x个，根据概率公式列出等式解答．【解答】解：设袋中共有球x个，∵有3个白球，且摸出白球的概率是，∴=，解得x=12（个）．故答案为：12．14．如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为12m（结果不作近似计算）．【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】首先过点D作DE⊥AB于点E，可得四边形BCDE是矩形，然后分别在Rt△ABC与Rt △ADE中，利用正切函数的知识，求得AB与AE的长，继而可求得答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE是矩形，根据题意得：∠ACB=β=60°，∠ADE=α=30°，BC=18m，∴DE=BC=18m，CD=BE，在Rt△ABC中，AB=BC•tan∠ACB=18×tan60°=18（m），在Rt△ADE中，AE=DE•tan∠ADE=18×tan30°=6（m），∴DC=BE=AB﹣AE=18﹣6=12（m）．故答案为：12．15．抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2），当x= ＜1 时，y随x的增大而减小．【考点】H3：二次函数的性质．【分析】由于二次函数的二次项系数a=1＞0，由此可以确定抛物线开口方向，利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式为（﹣，），对称轴是x=﹣可以确定对称轴，然后即可确定在对称轴的左侧y随x的增大而减小，由此得到x的取值范围．【解答】解：∵y=x2﹣2x+3，∴二次函数的二次项系数a=1＞0，∴抛物线开口向上，∵y=ax2+bx+c的顶点坐标公式为（﹣，），对称轴是x=﹣，∴此函数对称轴是x=1，顶点坐标是（1，2），∴当x＜1时，y随x的增大而减小．故答案为：（1，2），＜1．16．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为 a ．【考点】MC：切线的性质；MH：切割线定理；S7：相似三角形的性质．【分析】连接OE、OF，由切线的性质结合结合直角三角形可得到正方形OECF，并且可求出⊙O的半径为0.5a，则BF=a﹣0.5a=0.5a，再由切割线定理可得BF2=BH•BG，利用方程即可求出BH，然后又因OE∥DB，OE=OH，利用相似三角形的性质即可求出BH=BD，最终由CD=BC+BD，即可求出答案．【解答】解：如图，连接OE、OF，∵由切线的性质可得OE=OF=⊙O的半径，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，∴OECF是正方形，∵由△ABC的面积可知×AC×BC=×AC×OE+×BC×OF，∴OE=OF=a=EC=CF，BF=BC﹣CF=0.5a，GH=2OE=a，∵由切割线定理可得BF2=BH•BG，∴a2=BH（BH+a），∴BH=a或BH=a（舍去），∵OE∥DB，OE=OH，∴△OEH∽△BDH，∴=，∴BH=BD，CD=BC+BD=a+a=a．故答案为： a．三、解答题（共86分，解答应写成文字说明、证明过程、演算步骤）17．（1）计算：2sin60°﹣（）﹣1+（﹣1）0（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=2+．【考点】6D：分式的化简求值；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）原式=2×﹣2+1=﹣1；（2）原式=•=，当a=2+时，原式==+1．18．某校为了更好地开展球类运动，体育组决定用1600元购进足球8个和篮球14个，并且篮球的单价比足球的单价多20元，请解答下列问题：（1）求出足球和篮球的单价；（2）若学校欲用不超过3240元，且不少于3200元再次购进两种球50个，求出有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，若已知足球的进价为50元，篮球的进价为65元，则在第二次购买方案中，哪种方案商家获利最多？【考点】CE：一元一次不等式组的应用；8A：一元一次方程的应用．【分析】（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为（x+20）元，则根据所花的钱数为1600元，可得出方程，解出即可；（2）根据题意所述的不等关系：不超过3240元，且不少于3200元，等量关系：两种球共50个，可得出不等式组，解出即可；（3）分别求出三种方案的利润，继而比较可得出答案．【解答】解：（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为（x+20）元，根据题意，得8x+14（x+20）=1600，解得：x=60，x+20=80．即足球的单价为60元，则篮球的单价为80元；（2）设购进足球y个，则购进篮球（50﹣y）个．根据题意，得，解得：，∵y为整数，∴y=38，39，40．当y=38，50﹣y=12；当y=39，50﹣y=11；当y=40，50﹣y=10．故有三种方案：方案一：购进足球38个，则购进篮球12个；方案二：购进足球39个，则购进篮球11个；方案三：购进足球40个，则购进篮球10个；（3）商家售方案一的利润：38（60﹣50）+12（80﹣65）=560（元）；商家售方案二的利润：39（60﹣50）+11（80﹣65）=555（元）；商家售方案三的利润：40（60﹣50）+10（80﹣65）=550（元）．故第二次购买方案中，方案一商家获利最多．19．某市为了增强学生体质，全面实施“学生饮用奶”营养工程．某品牌牛奶供应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶提供学生饮用．浠马中学为了了解学生对不同口味牛奶的喜好，对全校订购牛奶的学生进行了随机调查（每盒各种口味牛奶的体积相同），绘制了如图两张不完整的人数统计图：（1）本次被调查的学生有200 名；（2）补全上面的条形统计图1，并计算出喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图中所占圆心角的度数；（3）该校共有1200名学生订购了该品牌的牛奶，牛奶供应商每天只为每名订购牛奶的学生配送一盒牛奶．要使学生每天都喝到自己喜好的口味的牛奶，牛奶供应商每天送往该校的牛奶中，草莓味要比原味多送多少盒？【考点】VC：条形统计图；VB：扇形统计图．【分析】（1）喜好“核桃味”牛奶的学生人数除以它所占的百分比即可得本次被调查的学生人数；（2）用本次被调查的学生的总人数减去喜好原味、草莓味、菠萝味、核桃味的人数得出喜好香橙味的人数，补全条形统计图即可，用喜好“菠萝味”牛奶的学生人数除以总人数再乘以360°，即可得喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图2中所占圆心角的度数；（3）用喜好草莓味的人数占的百分比减去喜好原味的人数占的百分比，再乘以该校的总人数即可．【解答】解：（1）10÷5%=200（名）答：本次被调查的学生有200名，故答案为：200；（2）200﹣38﹣62﹣50﹣10=40（名），条形统计图如下：=90°，答：喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图2中所占圆心角的度数为90°；（3）1200×（）=144（盒），答：草莓味要比原味多送144盒．20．如图有A 、B 两个大小均匀的转盘，其中A 转盘被分成3等份，B 转盘被分成4等份，并在每一份内标上数字．小明和小红同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线时视为无效，重转），若将A 转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的k ，将B 转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的b ． （1）请用列表或画树状图的方法写出所有的可能；（2）求一次函数y=kx+b 的图象经过一、二、四象限的概率．【考点】X6：列表法与树状图法；F7：一次函数图象与系数的关系． 【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数即可；（2）找出满足一次函数y=kx+b 的图象经过一、二、四象限的情况，即可求出所求的概率． 【解答】解：（1）列表如下：所有等可能的情况有12种；（2）一次函数y=kx+b 的图象经过一、二、四象限时，k ＜0，b ＞0，情况有4种， 则P==．21．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E ．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．【考点】L8：菱形的性质；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可；（2）利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB=90°，∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，∴∠AOB=∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE=CD=5，DE=AC=8，∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18．22．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）观察函数图象得到当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y=可计算出m的值；（3）设P点坐标为（t， t+），利用三角形面积公式可得到••（t+4）=•1•（2﹣t﹣），解方程得到t=﹣，从而可确定P点坐标．【解答】解：（1）当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；（2）把A（﹣4，），B（﹣1，2）代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y=x+，把B（﹣1，2）代入y=得m=﹣1×2=﹣2；（3）设P点坐标为（t， t+），∵△PCA和△PDB面积相等，∴••（t+4）=•1•（2﹣t﹣），即得t=﹣，∴P点坐标为（﹣，）．23．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC，交DC的延长线于点E．（1）求证：△ABC∽△DEB；（2）求证：BE是⊙O的切线；（3）求DE的长．【考点】MD：切线的判定；S9：相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据BDE=∠CAB（圆周角定理）且∠BED=∠CBA=90°即可得出结论；（2）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断OB⊥DE，可得出结论．（3）根据△BED∽△CBA，利用对应边成比例的性质可求出DE的长度．【解答】（1）BDE=∠CAB（圆周角定理）且∠BED=∠CBA=90°，∴△ABC∽△DEB；（2）证明：连结OB，OD，在△ABO和△DBO中，，∴△ABO≌△DBO（SSS），∴∠DBO=∠ABO，∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC，∴OB∥ED，∵BE⊥ED，∴EB⊥BO，∴OB⊥BE，∴BE是⊙O的切线．（3）∵△BED∽△CBA，∴，即=，解得：DE=．24．已知，如图二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4）与x轴交于点A、B，点B（4，0），抛物线的对称轴为x=1．直线AD交抛物线于点D（2，m）．（1）求二次函数的解析式并写出D点坐标；（2）点E是BD的中点，点Q是线段AB上一动点，当△QBE和△ABD相似时，求点Q的坐标；（3）抛物线与y轴交于点C，直线AD与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形CMNF周长取最小值时，求出满足条件的点M和点N的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）首先运用待定系数法求出二次函数的解析式，然后把点D（2，m）代入二次函数的解析式，就可求出点D的坐标；（2）过点D作DH⊥AB于点H，如图1，根据勾股定理可求出BD，易求出点A的坐标，从而得到AB长，然后分两种情况：①△QBE∽△ABD，②△QBE∽△DBA讨论，运用相似三角形的性质求出BQ，从而得到OQ，即可得到点Q的坐标；（3）根据待定系数法得到直线AD的解析式为：y=x+2，过点F作关于x轴的对称点F′，即F′（0，﹣2），连接DF′交对称轴于M′，x轴于N′，由条件可知，点C，D是关于对称轴x=1对称，则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2，得到四边形CFNM的最短周长为：2+2时直线DF′的解析式为：y=3x﹣2，从而得到满足条件的点M和点N的坐标．【解答】解：（1）由题可得：，解得：，则二次函数的解析式为y=﹣x2+x+4．∵点D（2，m）在抛物线上，∴m=﹣×22+2+4=4，∴点D的坐标为（2，4）；（2）过点D作DH⊥AB于点H，如图1，∵点D（2，4），点B（4，0），∴DH=4，OH=2，OB=4，∴BH=2，∴DB==2．∵点E为DB的中点，∴BE=BD=．令y=0，得﹣x2+x+4=0，解得：x1=4，x2=﹣2，∴点A为（﹣2，0），∴AB=4﹣（﹣2）=6．①若△QBE∽△ABD，则=，∴=，解得：BQ=3，∴OQ=OB﹣BQ=4﹣3=1，∴点Q的坐标为（1，0）；②若△QBE∽△DBA，则=，∴=，∴BQ=，∴OQ=OB﹣BQ=4﹣=，∴点Q的坐标为（，0）．综上所述：点Q的坐标为（1，0）或（，0）；（3）如图2，由A（﹣2，0），D（2，4），可求得直线AD的解析式为：y=x+2，即点F的坐标为：F（0，2），过点F作关于x轴的对称点F′，即F′（0，﹣2），连接DF′交对称轴于M′，x轴于N′，由条件可知，点C，D是关于对称轴x=1对称，则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2，则四边形CFNM的周长=CF+FN+NM+MC≥CF+FN′+M′N′+M′C，即四边形CFNM的最短周长为：2+2．此时直线DF′的解析式为：y=3x﹣2，所以存在点N的坐标为N（，0），点M的坐标为M（1，1）．。

考点5 三角函数(三角形)与平面向量【重点·提醒】三角函数(三角形)与平面向量【重点·提醒】1.注意常数“1”的种种代换；诱导公式的记忆：“奇变偶不变，符号看象限”.2.在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换.例如，β=(α+β)-α，β=α-(α-β)，2αβ+=-2βα⎛⎫ ⎪⎝⎭--2αβ⎛⎫⎪⎝⎭等.3.辅助角公式：a sin x+b cos x=22a b +sin(x+φ)其中角φ所在的象限由a ，b的符号确定，角φ的值由 tan φ=ba 确定在求最值、化简时起着重要作用.4.几个重要结论：(1)已知OA u u u r ，OB u u u r 不共线，OP u u u r =λOA u u u r +μOB u u u r ，则A ，P ，B 三点共线的充要条件是λ+μ=1；(2)向量中点公式：若C 是AB 的中点，则OC u u u r=12(OA u u u r +OB u u u r ).5.向量等式OC u u u r=λOA u u u r +μOB u u u r 的常见变形方法：(1)两边同时平方；(2)两边同时乘以一个向量；(3)合并成两个新向量间的线性关系.6.在解斜三角形时，如果已知两边a，b及一角A，要注意对解的讨论.因为求角B时可能出现一解、两解或无解的情况.7.已知三角函数值求角时，要注意对角的范围进行讨论.8.在△ABC中，A>B⇔sin A>sin B，a>b⇔A>B.9.使用正弦定理时易忘比值等于2R.10.在解决三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的选取.【经典·剖析】【经典·剖析】例1若△ABC为锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且sin2A=sinπ3B⎛⎫+⎪⎝⎭sinπ3-B+sin2B.(1)求角A的大小；(2)当a=3时，求b2+c2的取值范围.【解答】(1)因为sin2A=sinπ3B⎛⎫+⎪⎝⎭sinπ-3B⎛⎫⎪⎝⎭+sin2B，所以sin2A=-14sin2B+34cos2B+sin2B，即sin2A=34，所以sin32.(2)因为△ABC为锐角三角形且sin3 2所以A=π3，且B+C=2ππ36，<B<π2.由正弦定理知sin b B =sin c C =sin a A =332=2，所以b=2sin B ，c=2sin C ， 所以b 2+c 2=4(sin 2B+sin 2C )=4222πsin sin -3B B ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=422533sin cos sin cos 442B B B B ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭ =3+2sin 2B+3sin 2B=4+3sin 2B-cos 2B=4+2sinπ2-6B ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为π6<B<π2，所以π6<2B-π6<5π6.所以b 2+c 2的取值范围为(5，6].例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且a=1，c=3.(1)若C=π3，求角A 的大小； (2)若A=π6，求b ，c 的值.【解答】 (1)由正弦定理得sin aA =sin c C ，即sin A=sin a C c =12.又a<c ，所以A<C ，所以0<A<π3，所以A=π6.(2)由sin aA =sin c C ，得sin C=sin c A a =π3sin 61⨯32，所以C=π3或2π3.当C=π3时，B=π2，所以b=2；当C=2π3时，B=π6，所以b=1.综上所述，b=2或b=1.【点评】已知两边及其中一边的对角解三角形时，注意要对解的情况进行讨论.讨论的根据一是所求的正弦值是否合理，当正弦值小于等于1时，还应判断各角之和与180°的关系；二是两边的大小关系.例3已知正三角形ABC的边长为1，设ABu u u r=a，BCu u u r=b，ACu u u r=c，则a·b+b·c+a·c的值为.【解析】因为正三角形ABC的边长为1，且ABu u u r=a，BCu u u r=b，ACu u u r=c，所以a·b+b·c+a·c=1×1×1-2⎛⎫⎪⎝⎭+1×1×12+1×1×12=12.例4已知向量a=(2，1)，b=(λ，1)，λ∈R，设a与b的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是.【解析】因为θ为锐角，所以0<cos θ<1.又因为cos θ=||||⋅a ba b=251λ⋅+，所以0<251λ⋅+且251λ⋅+≠1，所以22102151λλλ+>⎧⎪⎨+≠+⎪⎩，，解得1-22λλ⎧>⎪⎨⎪≠⎩，，所以λ的取值范围是1|-22λλλ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭且.【点评】在解决两向量夹角问题时，一般地，向量a，b为非零向量，a与b 的夹角为θ，则：①θ为锐角⇔a·b>0且a，b不同向；②θ为直角⇔a·b=0；③θ为钝角⇔a·b<0且a，b不反向.。

周练14+4·锁定128分强化训练(7)【强化训练】锁定128分强化训练(7)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分)1.设复数z=-1+i，则|z|=.2.已知集合A={0，m，2}，B={x|x3-4x=0}，若A=B，则m=.10，|a-b|=6，则a·b=.3.设向量a，b满足|a+b|=4.根据给出的流程图，计算f(-1)+f(2)=.(第4题)5.有四条线段，其长度分别为2，3，4，5，现从中任取三条，则以这三条线段为边构成直角三角形的概率是.6.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为.(第6题)7.已知函数f(x)=(ax2+x)e x，则当a<0时，不等式f(x)>0的解集为.8.已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此三棱锥的体积为.9.设变量x，y满足约束条件24-1-22x yx yx y+≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，，，则z=x+y的最小值是.10.在△ABC中，已知BC=1，B=π3，且△ABC的面积为3，则AC的长为.11. 已知{a n }，{b n }均为等比数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，总有n n S T =314n +，则33a b = .12. 已知函数f (x )=|||lg |020x x x x >⎧⎨≤⎩，，，，则函数y=2f 2(x )-3f (x )+1的零点个数是 .13. 已知圆O ：x 2+y 2=1，点C 为直线l ：2x+y-2=0上一点，若圆O 存在一条弦AB 垂直平分线段OC ，则点C 的横坐标的取值范围是 .14. 已知正实数a ，b ，c 满足1a +1b =1，1ab +1bc +1ca =1，则实数c 的取值范围是 .题号 1234567答案题号 8 9 10 11 12 13 14答案二、解答题(本大题共4小题，共58分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，设向量m=(3cos A，sin A)，n=(cos B，-3sin B)，其中A，B为△ABC的两个内角.(1) 若m⊥n，求证：C为直角；(2) 若m∥n，求证：B为锐角.16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，锐角三角形PAB所在的平面与底面ABCD垂直，∠PBC=∠BAD=90°.(1) 求证：BC⊥平面PAB；(2) 求证：AD∥平面PBC.(第16题)17. (本小题满分14分)如图，有一直径为8 m的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照.半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是∠ECF=π6，点E，F在直径AB上，且∠ABC=π6.(1) 若13AE的长；(2) 设∠ACE=α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积.(第17题)18. (本小题满分16分)已知椭圆C：x2+2y2=4.(1) 求椭圆C的离心率；(2) 设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论.【强化训练答案】锁定128分强化训练(7)一、填空题1.22.-2【解析】由题知B={0，-2，2}，A={0，m，2}，若A=B，则m=-2.3. 1【解析】由条件可得(a+b)2=10，(a-b)2=6，两式相减得4a·b=4，所以a·b=1.4.0【解析】输入-1，满足x≤0，所以f(-1)=4×(-1)=-4；输入2，不满足x≤0，所以f(2)=22=4，即f(-1)+f(2)=0.5.14【解析】从四条线段中任取三条，共有4种不同的取法，三条线段能构成直角三角形的是3，4，5，故所求事件的概率为P=14.6. 12【解析】第一组和第二组的频率之和为0.4，故样本容量为200.4=50，第三组的频率为0.36，故第三组的人数为50×0.36=18，故第三组中有疗效的人数为18-6=12.7.10-a⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】由(ax2+x)e x>0，得ax2+x>0，所以x(ax+1)>0.因为a<0，所以x1xa⎛⎫+⎪⎝⎭<0，所以0<x<-1a.8. 339【解析】正三棱锥的高h=225-(23)=13，底面积S=34×62=93，故体积V=13×93×13=339.9.2【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z=x+y，得y=-x+z.平移直线y=-x+z经过点A(2，0)时，z取得最小值，最小值为z=2.(第9题)10.13【解析】因为△ABC的面积S=12×AB×BC×sin B=12×AB×1×32=3，所以AB=4.由余弦定理得AC2=1+16-2×1×4×cosπ3=13，所以AC=13，即AC的长为13.11. 9【解析】设{a n}，{b n}的公比分别为q，t，取n=1，2，3可知a1=b1，q=9，t=3，所以33ab=2qt⎛⎫⎪⎝⎭=9.12. 5【解析】方程2f2(x)-3f(x)+1=0的解为f(x)=12或1，作出y=f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.(第12题)13.85⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】由题意分析可知以C为圆心，1为半径的圆与已知圆O相交，设直线l上任意一点C(x0，2-2x0)，则OC<2，所以2200(2-2)x x+<2，整理得52x-8x0<0，所以0<x0<85.14. 413⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【解析】方法一：因为1a ∈(0，1)，1b ∈(0，1)，所以可设1a =cos 2α，1b =sin 2απ02α⎛⎫<< ⎪⎝⎭.由1ab +1bc +1ca =1，易得1c =1-14sin 22α∈314⎡⎫⎪⎢⎣⎭，，所以1<c ≤43.方法二：由题意可得a+b=ab=-1c c ，又a ，b ，c 为正数，所以-1cc >0，c>1.因为ab ≤22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以-1c c ≤214-1c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以-1cc ≥4，解得1<c ≤43.二、 解答题 15. (1) 由题意得m ·n(cos A cos B-sin A sin B )=cos(A+B )，因为m ⊥n ，所以m ·n =0，即cos(A+B )=cos π2.因为0<A+B<π，且函数y=cos x 在(0，π)内是单调减函数，所以A+B=π2，即C 为直角.(2) 因为m ∥n ，cos A (-sin B )-sin A cos B=0，即sin A cos B+3cos A sin B=0. 因为A ，B 是三角形内角， 所以cos A cos B ≠0， 于是tan A=-3tan B ， 所以A ，B 中恰有一个是钝角.从而tan(A+B)=tan tan1-tan tanA BA B+=2-3tan tan13tanB BB++=2-2tan13tanBB+<0，所以tan B>0，即B为锐角.16. (1) 在平面PAB内过点P作PH⊥AB于点H，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PH⊂平面PAB，所以PH ⊥平面ABCD.因为BC⊂平面ABCD，所以PH⊥BC.由∠PBC=90°，得PB⊥BC.又PH∩PB=P，PH⊂平面PAB，PB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.(2) 由(1)知BC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥AB.由∠BAD=90°，得AD⊥AB.故在平面ABCD中，AD∥BC.又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.17. (1) 已知点C在以AB为直径的半圆周上，所以△ABC为直角三角形.因为AB=8，∠ABC=π6，所以∠BAC=π3，AC=4.在△ACE中，由余弦定理得CE2=AC2+AE2-2AC·AE cos A，且CE=，所以13=16+AE2-4AE，解得AE=1或AE=3.(2) 因为∠ACB=π2，∠ECF=π6，所以∠ACE=α∈π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以∠AFC=π-∠A-∠ACF=π-π3-π6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=π2-α， 在△ACF 中，由正弦定理得sin CF A =sin AC CFA ∠=πsin -2ACα⎛⎫ ⎪⎝⎭=cos AC α，所以CF=. 在△ACE 中，由正弦定理得sin CE A =sin AC AEC ∠=πsin 3AC α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以CE=sin 3α+ ⎪⎝⎭. 若产生最大经济效益，则△CEF 的面积S △ECF 最大，S △ECF =12CE ·CF sin ∠ECF=3πsin cos 3αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=12π2sin 23α⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为α∈π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，， 所以0≤sinπ23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1. 所以当α=π3时，S △ECF 取最大值为4(m 2)，此时该地块产生的经济价值最大.18. (1) 由题意，椭圆C 的标准方程为24x +22y =1， 所以a 2=4，b 2=2，从而c 2=a 2-b 2=2. 因此a=2，.故椭圆C 的离心率e=ca=.11 (2) 直线AB 与圆x 2+y 2=2相切.证明如下： 设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t ，2)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA u u u r ·OB u u u r =0，即tx 0+2y 0=0，解得t=-002y x .当x 0=t 时，y 0=-22t ，代入椭圆C 的方程，得， 故直线AB 的方程为，圆心O 到直线AB 的距离.此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切.当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y-2=00-2-y x t (x-t ). 即(y 0-2)x-(x 0-t )y+2x 0-ty 0=0，.又20x +220y =4，t=-002y x ，故.此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切.。