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第二十二章二次函数分析与教学建议（一）．二次函数在初中数学教材中的分析二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。
二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。
二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。
和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。
本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。
函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。
学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。
本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。
二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。
本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。
（二）本章课时安排本章教学时间约需15课时 ，具体安排如下：22．1节 二次函数…………………………7课时22．2用函数的观点看一元二次方程…………………2课时22．3实际问题与二次函数…………………3课时教学活动 小结及测试…………………3课时（三）、本章教学目标分析（1）本章教学要求如下①经历描点法画函数图象的过程。
初中数学人教版九年级上册实用资料第二十二章二次函数22．1二次函数的图象和性质22．1.1二次函数1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系．2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式．3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围．重点二次函数的概念和解析式．难点本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力．一、创设情境，导入新课问题1现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？问题2很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)．二、合作学习，探索新知请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系：(1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)；(2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元；(3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)．(一)教师组织合作学习活动：1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式．2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨．(1)y＝πx2(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000(3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112(二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？让学生充分发表意见，提出各自看法．教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式．板书：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic function)，称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项．三、做一做1．下列函数中，哪些是二次函数？(1)y＝x2(2)y＝－1x2(3)y＝2x2－x－1(4)y＝x(1－x)(5)y＝(x－1)2－(x＋1)(x－1)2．分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)y＝x2＋1(2)y＝3x2＋7x－12(3)y＝2x(1－x)3．若函数y＝(m2－1)xm2－m为二次函数，则m的值为________．四、课堂小结反思提高，本节课你有什么收获？五、作业布置教材第41页第1，2题.22.1.2二次函数y＝ax2的图象和性质通过画图，了解二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条抛物线，理解其顶点为何是原点，对称轴为何是y轴，开口方向为何向上(或向下)，掌握其顶点、对称轴、开口方向、最值和增减性与解析式的内在关系，能运用相关性质解决有关问题．重点从“数”(解析式)和“形”(图象)的角度理解二次函数y＝ax2的性质，掌握二次函数解析式y＝ax2与函数图象的内在关系．难点画二次函数y＝ax2的图象．一、引入新课1．下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？(1)y＝3x－1(2)y＝2x2＋7(3)y＝x－2(4)y＝3(x－1)2＋12．一次函数的图象，正比例函数的图象各是怎样的呢？它们各有什么特点，又有哪些性质呢？3．上节课我们学习了二次函数的概念，掌握了它的一般形式，这节课我们先来探究二次函数中最简单的y＝ax2的图象和性质．二、教学活动活动1：画函数y＝－x2的图象．(1)多媒体展示画法(列表，描点，连线)．(2)提出问题：它的形状类似于什么？(3)引出一般概念：抛物线，抛物线的对称轴、顶点．活动2：在坐标纸上画函数y＝－0.5x2，y＝－2x2的图象．(1)教师巡视，展示学生的作品并进行点拨；教师再用多媒体课件展示正确的画图过程．(2)引导学生观察二次函数y＝－0.5x2，y＝－2x2与函数y＝－x2的图象，提出问题：它们有什么共同点和不同点？(3)归纳总结：共同点：①它们都是抛物线；②除顶点外都处于x轴的下方；③开口向下；④对称轴是y轴；⑤顶点都是原点(0，0)．不同点：开口大小不同．(4)教师强调指出：这三个特殊的二次函数y＝ax2是当a＜0时的情况．系数a越大，抛物线开口越大．活动3：在同一个直角坐标系中画函数y＝x2，y＝0.5x2，y＝2x2的图象．类似活动2：让学生归纳总结出这些图象的共同点和不同点，再进一步提炼出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质图象(草图) 开口方向顶点对称轴最高或最低点最值a＞0当x＝____时，y有最____值，是________.a＜0当x＝____时，y有最____值，是________.活动4：达标检测(1)函数y＝－8x2的图象开口向________，顶点是________，对称轴是________，当x________时，y随x的增大而减小．(2)二次函数y＝(2k－5)x2的图象如图所示，则k的取值范围为________．(3)如图，①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.比较a，b，c，d的大小，用“＞”连接________．答案：(1)下，(0，0)，x＝0，＞0；(2)k＞2.5；(3)a＞b＞d＞c.三、课堂小结与作业布置课堂小结1．二次函数的图象都是抛物线．2．二次函数y＝ax2的图象性质：(1)抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点是原点．(2)当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点；|a|越大，抛物线的开口越小．作业布置教材第32页练习．22．1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质1．经历二次函数图象平移的过程；理解函数图象平移的意义．2．了解y＝ax2，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k三类二次函数图象之间的关系．3．会从图象的平移变换的角度认识y＝a(x－h)2＋k型二次函数的图象特征．重点从图象的平移变换的角度认识y＝a(x－h)2＋k型二次函数的图象特征．难点对于平移变换的理解和确定，学生较难理解．一、复习引入二次函数y＝ax2的图象和特征：1．名称________；2.顶点坐标________；3.对称轴________；4.当a＞0时，抛物线的开口向________，顶点是抛物线上的最________点，图象在x轴的________(除顶点外)；当a＜0时，抛物线的开口向________，顶点是抛物线上的最________点，图象在x轴的________(除顶点外)．二、合作学习在同一坐标系中画出函数y＝12x2，y＝12(x＋2)2，y＝12(x－2)2的图象．(1)请比较这三个函数图象有什么共同特征？(2)顶点和对称轴有什么关系？(3)图象之间的位置能否通过适当的变换得到？(4)由此，你发现了什么？三、探究二次函数y ＝ax 2和y ＝a(x －h)2图象之间的关系1．结合学生所画图象，引导学生观察y ＝12(x ＋2)2与y ＝12x 2的图象位置关系，直观得出y ＝12x 2的图象――→向左平移两个单位y ＝12(x ＋2)2的图象．教师可以采取以下措施：①借助几何画板演示几个对应点的位置关系，如： (0，0)――→向左平移两个单位(－2，0)； (2，2)――→向左平移两个单位(0，2)； (－2，2)――→向左平移两个单位(－4，2)．②也可以把这些对应点在图象上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段表示平移过程． 2．用同样的方法得出y ＝12x 2的图象――→向右平移两个单位y ＝12(x －2)2的图象．3．请你总结二次函数y ＝a(x －h)2的图象和性质．y ＝ax 2(a ≠0)的图象――→当h ＞0时，向右平移h 个单位当h ＜0时，向左平移|h|个单位y ＝a(x －h)2的图象． 函数y ＝a(x －h)2的图象的顶点坐标是(h ，0)，对称轴是直线x ＝h.4．做一做 (1)(2)填空：①抛物线y ＝2x 2向________平移________个单位可得到y ＝2(x ＋1)2；②函数y ＝－5(x －4)2的图象可以由抛物线________向________平移________个单位而得到．四、探究二次函数y ＝a(x －h)2＋k 和y ＝ax 2图象之间的关系1．在上面的平面直角坐标系中画出二次函数y ＝12(x ＋2)2＋3的图象．首先引导学生观察比较y ＝12(x ＋2)2与y ＝12(x ＋2)2＋3的图象关系，直观得出：y ＝12(x＋2)2的图象――→向上平移3个单位y ＝12(x ＋2)2＋3的图象．(结合多媒体演示) 再引导学生观察刚才得到的y ＝12x 2的图象与y ＝12(x ＋2)2的图象之间的位置关系，由此得出：只要把抛物线y ＝12x 2先向左平移2个单位，在向上平移3个单位，就可得到函数y＝12(x ＋2)2＋3的图象． 2．做一做：请填写下表：函数解析式 图象的对称轴图象的顶点坐标y ＝12x 2 y ＝12(x ＋2)2 y ＝12(x ＋2)2＋33.总结y ＝a(x －h)2＋k 的图象和y ＝ax 2图象的关系y ＝ax 2(a ≠0)的图象――→当h ＞0时，向右平移h 个单位当h ＜0时，向左平移|h|个单位y ＝a(x －h)2的图象――→当k ＞0时，向上平移k 个单位当k ＜0时，向下平移|k|个单位y ＝a(x －h)2＋k 的图象．y ＝a(x －h)2＋k 的图象的对称轴是直线x ＝h ，顶点坐标是(h ，k)． 口诀：(h ，k)正负左右上下移(h 左加右减，k 上加下减)从二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象可以看出：如果a ＞0，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小，当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大；如果a ＜0，当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大，当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小．4．练习：课本第37页 练习五、课堂小结1．函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象和函数y ＝ax 2图象之间的关系．2．函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象在开口方向、顶点坐标和对称轴等方面的性质． 六、作业布置教材第41页 第5题22.1.4 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质(2课时)第1课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质1．掌握用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象．2．掌握用图象或通过配方确定抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3．经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及配方的过程，理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质．重点通过图象和配方描述二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质． 难点理解二次函数一般形式y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的配方过程，发现并总结y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝a(x －h)2＋k 的内在关系．一、导入新课1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，可以由函数y＝ax2的图象先向________平移________个单位，再向________平移________个单位得到．2．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向________，对称轴是________，顶点坐标是________．3．二次函数y＝12x2－6x＋21，你能很容易地说出它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？二、教学活动活动1：通过配方，确定抛物线y＝12x2－6x＋21的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．(1)多媒体展示画法(列表，描点，连线)；(2)提出问题：它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？(3)引导学生合作、讨论观察图象：在对称轴的左右两侧，抛物线从左往右的变化趋势．活动2：1.不画出图象，你能直接说出函数y＝－x2＋2x－3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？2．你能画出函数y＝－x2＋2x－3的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗？(1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；(2)抽一位或两位同学板演，学生自纠，老师点评；(3)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？活动3：对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？(1)组织学生分组讨论，教师巡视；(2)各组选派代表发言，全班交流，达成共识，抽学生板演配方过程；教师课件展示二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)和y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象．(3)引导学生观察二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，在对称轴的左右两侧，y随x 的增大有什么变化规律？(4)引导学生归纳总结二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质．活动4：已知抛物线y＝x2－2ax＋9的顶点在坐标轴上，求a的值．活动5：检测反馈1．填空：(1)抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标是________；(2)抛物线y＝2x2－2x－1的开口________，对称轴是________；(3)二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝________.2．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．(1)y＝3x2＋2x；(2)y＝－2x2＋8x－8.3．求二次函数y＝mx2＋2mx＋3(m＞0)的图象的对称轴，并说出该图象具有哪些性质．4．抛物线y＝ax2＋2x＋c的顶点是(－1，2)，则a，c的值分别是多少？答案：1.(1)(1，1)；(2)向上，x＝12；(3)－1；2.(1)开口向上，x＝－13，(－13，－13)；(2)开口向下，x＝2，(2，0)；3.对称轴x＝－1，当m＞0时，开口向上，顶点坐标是(－1，3－m)；4.a＝1，c＝3.三、课堂小结与作业布置课堂小结二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质．作业布置教材第41页第6题．第2课时用待定系数法求二次函数的解析式1．掌握二次函数解析式的三种形式，并会选用不同的形式，用待定系数法求二次函数的解析式．2．能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最值和增减性．3．能根据二次函数的解析式画出函数的图象，并能从图象上观察出函数的一些性质．重点二次函数的解析式和利用函数的图象观察性质．难点利用图象观察性质．一、复习引入1．抛物线y＝－2(x＋4)2－5的顶点坐标是________，对称轴是________，在________________侧，即x________－4时，y随着x的增大而增大；在________________侧，即x________－4时，y随着x的增大而减小；当x＝________时，函数y最________值是________．2．抛物线y＝2(x－3)2＋6的顶点坐标是________，对称轴是________，在________________侧，即x________3时，y随着x的增大而增大；在________________侧，即x________3时，y随着x的增大而减小；当x＝________时，函数y最________值是________．二、例题讲解例1根据下列条件求二次函数的解析式：(1)函数图象经过点A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－2)；(2)函数图象的顶点坐标是(2，4)，且经过点(0，1)；(3)函数图象的对称轴是直线x＝3，且图象经过点(1，0)和(5，0)．说明：本题给出求抛物线解析式的三种解法，关键是看题目所给条件．一般来说：任意给定抛物线上的三个点的坐标，均可设一般式去求；若给定顶点坐标(或对称轴或最值)及另一个点坐标，则可设顶点式较为简单；若给出抛物线与x轴的两个交点坐标，则用分解式较为快捷．例2已知函数y＝x2－2x－3，(1)把它写成y＝a(x－h)2＋k的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？(2)写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值；(3)求出图象与坐标轴的交点坐标；(4)画出函数图象的草图；(5)设图象交x轴于A，B两点，交y轴于P点，求△APB的面积；(6)根据图象草图，说出x取哪些值时，①y＝0；②y<0；③y>0?说明：(1)对于解决函数和几何的综合题时要充分利用图形，做到线段和坐标的互相转化；(2)利用函数图象判定函数值何时为正，何时为负，同样也要充分利用图象，要使y<0，其对应的图象应在x轴的下方，自变量x就有相应的取值范围．例3二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则：a________0；b________0；c________0；b2－4ac________0.说明：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与系数a，b，c的符号的关系：系数的符号图象特征a的符号a>0 抛物线开口向____a<0 抛物线开口向____的符号－b2a－b2a>0 抛物线对称轴在y轴的____侧b＝0 抛物线对称轴是____轴－b2a<0 抛物线对称轴在y轴的____侧c的符号c>0 抛物线与y轴交于____c＝0 抛物线与y轴交于____c<0 抛物线与y轴交于____三、课堂小结本节课你学到了什么？四、作业布置教材第40页练习1，2.22.2二次函数与一元二次方程1．总结出二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根．2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．3．会用计算方法估计一元二次方程的根．重点方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．难点二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．一、复习引入1．二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的开口由什么决定呢？补充：当a的绝对值相等时，其形状完全相同，当a的绝对值越大，则开口越小，反之成立．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质：(1)顶点坐标与对称轴；(2)位置与开口方向；(3)增减性与最值．当a＞0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当x＝－b2a时，函数y有最小值4ac－b24a.当a＜0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小；当x＝－b2a时，函数y有最大值4ac－b24a.二、新课教学探索二次函数与一元二次方程：二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象如图所示．(1)每个图象与x轴有几个交点？(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个根？验证一下一元二次方程x2－2x ＋2＝0有根吗？(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？归纳：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况：①有两个交点，②有一个交点，③没有交点．当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0＝ax2＋bx＋c的两个根x1与x2；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b2－4ac＜0时，抛物线与x 轴没有交点．举例：求二次函数图象y ＝x 2－3x ＋2与x 轴的交点A ，B 的坐标．结论：方程x 2－3x ＋2＝0的解就是抛物线y ＝x 2－3x ＋2与x 轴的两个交点的横坐标．因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的．即：若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1，x 2，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点坐标分别是A(x 1，0)，B(x 2，0)．例1 已知函数y ＝－12x 2－7x ＋152，(1)写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与y 轴的交点关于图象对称轴的对称点，然后画出函数图象的草图；(2)自变量x 在什么范围内时，y 随着x 的增大而增大？何时y 随着x 的增大而减少；并求出函数的最大值或最小值．三、巩固练习请完成课本练习：第47页1，2四、课堂小结二次函数与一元二次方程根的情况的关系． 五、作业布置教材第47页 第3，4，5，6题.22.3 实际问题与二次函数(2课时)第1课时 用二次函数解决利润等代数问题能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型．利用二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)图象的性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题．重点把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题． 难点1．读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型． 2．理解与应用函数图象顶点、端点与最值的关系．一、复习旧知，引入新课1．二次函数常见的形式有哪几种？二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象的顶点坐标是________，对称轴是________；二次函数的图象是一条________，当a ＞0时，图象开口向________，当a ＜0时，图象开口向________．2．二次函数知识能帮助我们解决哪些实际问题呢？二、教学活动活动1：问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m )与小球的运动时间t(单位：s )之间的关系式是h ＝30t －5t 2(0≤t ≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？活动2：问题：某商场的一批衬衣现在的售价是60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？1．问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获取的利润会一样吗？2．如果你是老板，你会怎样定价？3．以下问题提示，意在降低题目梯度，提示考虑x的取值范围．(1)若设每件衬衣涨价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期少卖________件，实际卖出________件．所以y＝________.何时有最大利润，最大利润为多少元？(2)若设每件衬衣降价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期多卖________件，实际卖出________件．所以y＝________.何时有最大利润，最大利润为多少元？根据两种定价可能，让学生自愿分成两组，分别计算各自的最大利润；老师巡视，及时发现学生在解答过程中的不足，加以辅导；最后展示学生的解答过程，教师与学生共同评析．活动3：达标检测某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？答案：(1)y＝－x＋180；(2)w＝(x－100)y＝－(x－140)2＋1 600，当售价定为140元，w 最大为1 600元．三、课堂小结与作业布置课堂小结通过本节课的学习，大家有什么新的收获和体会？尤其是数形结合方面你有什么新的体会？作业布置教材第51～52页习题第1～3题，第8题．第2课时二次函数与几何综合运用能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式，并能应用二次函数的相关性质解决实际几何问题，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型．重点应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题．难点函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得．一、引入新课上节课我们一起研究用二次函数解决利润等代数问题，这节课我们共同研究二次函数与几何的综合应用． 二、教学过程问题1：教材第49页探究1.用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 为多少米时，场地的面积S 最大？分析：提问1：矩形面积公式是什么？ 提问2：如何用l 表示另一边？提问3：面积S 的函数关系式是什么？问题2：如图，用一段长为60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m ，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？分析：提问1：问题2与问题1有什么不同？提问2：我们可以设面积为S ，如何设自变量？提问3：面积S 的函数关系式是什么？答案：设垂直于墙的边长为x 米，S ＝x(60－2x)＝－2x 2＋60x.提问4：如何求解自变量x 的取值范围？墙长32 m 对此题有什么作用？ 答案：0＜60－2x ≤32，即14≤x ＜30.提问5：如何求最值？答案：x ＝－b 2a ＝－602×（－2）＝15时，S max ＝450.问题3：将问题2中“墙长为32 m ”改为“墙长为18 m ”，求这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？提问1：问题3与问题2有什么异同？提问2：可否模仿问题2设未知数、列函数关系式？提问3：可否试设与墙平行的一边为x 米？则如何表示另一边？答案：设矩形面积为S m 2，与墙平行的一边为x 米，则S ＝60－x 2·x ＝－x 22＋30x.提问4：当x ＝30时，S 取最大值．此结论是否正确？提问5：如何求自变量的取值范围？答案：0＜x ≤18.提问6：如何求最值？答案：由于30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值．当x ＝18时，S max ＝378. 小结：在实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围来确定．通过问题2与问题3的对比，希望学生能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值．三、回归教材阅读教材第51页的探究3，讨论有没有其他“建系”的方法？哪种“建系”更有利于题目的解答？四、基础练习1．教材第51页的探究3，教材第57页第7题．2．阅读教材第52～54页．五、课堂小结与作业布置课堂小结1．利用求二次函数的最值问题可以解决实际几何问题．2．实际问题的最值求解与函数图象的顶点、端点都有关系，特别要注意最值的取得不一定在函数的顶点处．作业布置教材第52页习题第4～7题，第9题．。
二次函数的图象和性质（第6课时）教学目标1．掌握用配方法把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)转化为y＝a(x－h)2＋k的形式．2．让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质．3．通过画图探索活动，增进学生对抛物线自身特点的认知与对二次函数图象、性质的理解，体会数形结合思想的应用．教学重点用配方法把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)转化为y＝a(x－h)2＋k的形式．教学难点正确地用配方法把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)转化为y＝a(x－h)2＋k的形式．教学过程知识回顾上节课我们学习了二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象与性质，请根据所学知识回答问题．1．一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同．把抛物线y＝ax2向上（下）、向左（右）平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k．平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．2．抛物线y＝a(x－h)2＋k的特点：（1）当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．（2）对称轴是x＝h．（3）顶点是(h，k)．（4）如果a＞0，当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小．【设计意图】通过复习已经学过的二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象与性质的知识，为引出新课“二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质”作铺垫．新知探究一、探究新知【思考】我们已经知道二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数216212y x x =-+的图象和性质？ 【师生活动】教师提示：可以先利用学过的知识画出二次函数216212y x x =-+的图象，再结合图象研究它的性质．教师提问：1．我们如何画出二次函数216212y x x =-+的图象呢？ 学生分小组讨论，教师提示：可以将二次函数216212y x x =-+转化成我们已经研究过的二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的形式．学生类比在学习一元二次方程的解法这一节课中的配方法，尝试解答，教师板书总结．方法一：先配方，将二次函数216212y x x =-+的关系式转化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式． 216212y x x =-+()2112212x x =-+()22211266212x x =-+-+()21632x =-+．教师提问：2．我们已经将二次函数216212y x x =-+的关系式转化为()21632y x =-+，如何画出它的图象？学生小组交流，并派代表发言，教师板书．作法：先画出二次函数212y x =的图象，然后把这个图象向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，就得到二次函数216212y x x =-+的图象．教师提问：3．还有其他平移方法吗？学生思考并回答，教师及时反馈学生遇到的问题．作法：先画出二次函数212y x =的图象，然后向上平移3个单位长度，再把这个图象向右平移6个单位长度，就得到二次函数216212y x x =-+的图象．教师提问：4．你能试着总结一下如何用配方法把二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)转化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式吗？学生分小组交流讨论，派代表回答，教师总结． （1）提出二次项系数； （2）括号内配成完全平方式； （3）化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式． 教师提问：5．结合用配方法画二次函数216212y x x =-+的图象的过程，你发现了什么？学生尝试总结自己的发现，教师及时给予帮助，纠正学生出现的错误．教师总结：①二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 可以通过配方转化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式，所以二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与y ＝ax 2的图象形状相同，只是位置不同；②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象可以看成由y ＝ax 2 的图象平移得到，对于抛物线的平移，要先化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，再利用“左加右减，上加下减”的规则来平移． 教师提问：6．还有其他作图方法吗？学生思考并回答，可以利用描点法画出二次函数216212y x x =-+的图象，学生说出作法，教师板书．方法二：直接画二次函数216212y x x =-+的图象． 由配方的结果可知，抛物线216212y x x =-+的顶点是(6，3)，对称轴是x ＝6．先利用图象的对称性列表，然后描点画图，得到216212y x x =-+的图象（如图）．教师提问：7．结合所画图象，说一下二次函数216212y x x =-+的性质． 学生思考并回答，教师总结：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升．也就是说，当x ＜6时，y 随x 的增大而减小；当x ＞6时，y 随x 的增大而增大．【探究】你能用上面的方法讨论二次函数y ＝－2x 2－4x ＋1的图象和性质吗？【师生活动】教师提出问题，学生根据所学知识，思考并独立作答，教师总结并板书． 【答案】解：先配方，将二次函数y ＝－2x 2－4x ＋1的关系式转化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式．y ＝－2x 2－4x ＋1＝－2(x 2＋2x )＋1＝－2(x 2＋2x ＋12－12)＋1＝－2(x ＋1)2＋3． 由配方的结果可知，抛物线y ＝－2x 2－4x ＋1的顶点是(－1，3)，对称轴是x ＝－1． 再利用图象的对称性列表，然后描点画图，得到y ＝－2x 2－4x ＋1的图象（如图）．结合所画图象可得，当x ＜－1时，y 随x 的增大而增大；当x ＞－1时，y 随x 的增大而减小．【新知】一般地，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 可以通过配方法化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭．因此，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是2b x a =-，顶点是2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ．如图，从二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象可以看出： （1）如果a ＞0，当 2b x a -＜时，y 随x 的增大而减小，当 2bx a -＞时，y 随x 的增大而增大；（2）如果a ＜0，当 2b x a -＜时，y 随x 的增大而增大，当 2b x a-＞时，y 随x 的增大而减小．【设计意图】通过问题串的形式，激发学生的求知欲，引导学生用配方法把形如y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的二次函数转化为我们熟知的y ＝a (x －h )2＋k 的形式来研究，让学生经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的性质．二、典例精讲【例1】画二次函数y ＝x 2－2x －1的图象．【师生活动】教师提出问题，学生思考并独立作图，教师巡视，及时纠正学生错误． 【答案】解：配方可得，y ＝x 2－2x －1＝x 2－2x ＋12－12－1＝(x －1)2－2． 由配方的结果可知，抛物线y ＝x 2－2x －1的顶点是(1，－2)，对称轴是x ＝1． 再利用图象的对称性列表：【例2】求下列二次函数的图象的顶点．（1）y＝x2－3x＋2；（2）y＝－2x2－8x－3．【师生活动】教师提出问题，学生思考并独立作答．【答案】解：（1）配方可得，y＝x2－3x＋2＝222333222x x⎛⎫⎛⎫-+---+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝23124x⎛⎫--⎪⎝⎭．∴二次函数y＝x2－3x＋2的图象的顶点是3124⎛⎫-⎪⎝⎭，．（2）配方可得，y＝－2x2－8x－3＝－2(x2＋4x＋22－22)－3＝－2(x＋2)2＋5．∴二次函数y＝－2x2－8x－3的图象的顶点是(－2，5)．【设计意图】通过例1和例2的讲解与练习，巩固学生对所学知识的理解及应用．课堂小结板书设计一、用配方法把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)转化为y＝a(x－h)2＋k的形式二、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质课后任务完成教材第39页练习．。
九年级下册数学教学计划：第6章第2节二次函数的图象和性质（6课时）一元复始，万象更新。
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教学目的【知识与技艺】使先生掌握用待定系数法由图象上三个点的坐标求二次函数的关系式的方法;使先生掌握抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式的方法.【进程与方法】体会数学在生活中的作用,培育先生的入手操作才干.【情感、态度与价值观】让先生体验二次函数的关系式的运用,提高先生对数学重要性的看法.重点难点【重点】二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标,区分求二次函数y=ax2+bx+c的关系式.【难点】图象上三个点的坐标求二次函数的关系式.依据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式.教学进程一、效果引入1.一次函数的表达式是什么?如何求出它的表达式?(一次函数的表达式y=kx+b,只需知道一次函数图象上两个点的坐标,应用待定系数法求出系数k、b.)2.二次函数图象上的几个点的坐标,可以求出这个二次函数的表达式?本节课我们来研讨用待定系数法求二次函数的表达式.(板书)二、新课教授效果1.假设一个二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,能求出这个二次函数的表达式吗?假设能,求出这个二次函数的表达式.解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.由函数图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,失掉关于a、b、c的三元一次方程组解这个方程组,得:a=2,b=-3,c=5.所求二次函数的表达式是y=2x2-3x+5.归结1:求二次函数y=ax2+bx+c的表达式,关键是求出a、b、c的值.由条件(如二次函数图象上的三个点的坐标)可以列出关于a、b、c的三元一次方程组,求出三个待定系数a、b、c就可以写出二次函数的表达式.效果2.一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个二次函数的关系式.剖析:二次函数y=ax2+bx+c经过配方可得y=a(x-h)2+k的方式称为顶点式,(h,k)为抛物线的顶点坐标,由于这个二次函数的图象顶点坐标是(8,9),因此,可以设函数关系式为:y=a(x-8)2+9,由于二次函数的图象过点(0,1),将(0,1)代入所设函数关系式,即可求出a的值.归结2:假设知道抛物线的顶点坐标(h,k),可设函数关系式为y=a(x-h)2+k,只需求再找一个条件求出a的值即可. 三、典型例题【例1】有一个二次函数,当x=0时,y=-1;当x=-2时,y=0;当x=时,y=0.求这个二次函数的表达式.解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,依据题意,得解方程组,得答:所求二次函数的表达式为y=x2+x-1.【例2】抛物线的对称轴是直线x=2,且经过(3,1)和(0,-5)两点,求二次函数的关系式.解法一:设所求二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于二次函数的图象过点(0,-5),可求得c=-5.又由于二次函数的图象过点(3,1),且对称轴是直线x=2,可以得解这个方程组,得所以所求的二次函数的关系式为y=-2x2+8x-5.解法二:设所求二次函数的关系式为y=a(x-h)2+k,由于二次函数的图象经过(3,1)和(0,-5)两点,可以失掉:解这个方程组,得所以,所求二次函数的关系式为y=-2(x-2)2+3,即y=-2x2+8x-5.【例3】抛物线y=x2-4x+8与直线y=x+1交于B、C两点.(1)在同一平面直角坐标系中画出直线与抛物线;(2)记抛物线的顶点为A,求△ABC的面积.解:(1)如图,画出直线y=x+1与抛物线y=x2-4x+8.(2)由y=x2-4x+8=(x-4)2,得点A的坐标为(4,0).解方程组得B、C两点的坐标区分为B(2,2)、C(7,4.5).过B、C两点区分作x轴的垂线,垂足区分为B1、C1,那么S△ABC=--=(BB1+CC1)B1C1-AB1·BB1-AC1·CC1=(2+4.5)×5-×2×2-×3×4.5=7.5.小结:让先生讨论、交流、归结失掉:二次函数的最大值或最小值,就是该函数的顶点坐标,运用顶点式求解方便,用普通式求解计算量较大.四、稳固练习1.二次函数当x=-3时,有最大值-1,且当x=0时,y=3,求二次函数的关系式.【答案】解法一:设所求二次函数的关系式为y=ax2+bx+c,由于图象过点(0,3),所以c=3.又由于二次函数当x=-3时,有最大值-1,可以失掉:解这个方程组,得所以,所求二次函数的关系式为y=x2+x+3.解法二:设所求二次函数的关系式为y=a(x-h)2+k,依题意,得y=a(x+3)2-1.由于二次函数的图象过点(0,3),所以有3=a(0+3)2-1,解得a=,所以,所求二次函数的关系式为y=(x+3)2-1,即y=x2+x+3.2.二次函数y=x2+px+q的图象的顶点坐标是(5,-2),求二次函数的关系式.【答案】依题意,得解得:p=-10,q=23,所以,所求二次函数的关系式是y=x2-10x+23.五、课堂小结1.求二次函数的关系式,罕见的有几种类型?两种类型:(1)普通式:y=ax2+bx+c;(2)顶点式:y=a(x-h)2+k,其顶点坐标是(h,k).2.如何确定二次函数的关系式?让先生回忆、思索、交流,得出:关键是确定上述两个式子中的待定系数,通常需求三个条件.在详细解题时,应依据详细的条件灵敏选用适宜的方式,运用待定系数法求解.教学反思本节课研讨了二次函数y=ax2+bx+c表达式的求法:归结1:求二次函数y=ax2+bx+c的表达式,关键是求出a、b、c的值.由条件(如二次函数图象上的三个点的坐标)可以列出关于a、b、c的三元一次方程组,求出三个待定系数a、b、c就可以写出二次函数的表达式.归结2:假设知道抛物线的顶点坐标(h,k),可设方程为y=a(x-h)2+k,只需求再找一个条件求出a的值即可.要依据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式,体会一题多解的乐趣,激起先生的学习愿望.本节课的处置依然是在教员的引导下,让先生探求、归结,失掉新知.以上即是查字典数学网为大家整理的九年级下册数学教学方案：第6章第2节二次函数的图象和性质(6课时)，大家还满意吗?希望对大家有所协助!。
