1.1《回归分析》ppt-北师大版选修课件

100
6400
800
4
20
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5
30
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25600
4800
6
40
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1600
28900
6800
7
50
190
2500
36100
9500
8
60
250
3600
62500
15000
9
65
250
4225
62500
16250
10
90
290
8100
84100
26100
11
120
最佳形式为：
y ˆ f(x ,c ˆ 1 ,c ˆ 2 , ,c ˆ N )
如不存在测量误差，则：
（5-3） 最佳估计值
y i f ( x i , c 1 , c 2 , , c N ) i 1 , 2 , m （5-4）
由于存在测量误差，因而式（5-3）与（5-4）不相重合，即有：
e i y i y ˆ i
yˆ 与 x 的关系大致呈直线关系，但并不是确定性的 关系，而是一种相关关系：
回归系数
yˆ abx （5—11）
最佳估计值应使其残差平方和最小，残差为：
ei yi (abix ) （5—12）
图5—2、表5—1 表5-1 试验数据
时 间 ， x m i n3 5 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 6 5 9 0 1 2 0 腐 蚀 深 度 ， yu 4 0 6 0 8 0 1 3 0 1 6 0 1 7 0 1 9 0 2 5 0 2 5 0 2 9 0 4 6 0

y1＋y2＋…＋yn 用 y 表示数据 y1，y2，…，yn 的平均值，即 y ＝ n
＝
1n . y i ni＝1
(2)参数 a、b 的求法 n n xiyi－n x y lxy xi－ x yi－ y b＝ ＝ i＝1 ＝ i＝1 ， lxx
xi－ x
i＝1
n
2
2 － n x x2 i i＝1
809 x ＝7， y ＝ ， 7
7 2 xi ＝371， xiyi＝5 i＝1 i＝1

7

798
xiyi－7 x y
i＝1
7
b＝
2 － 7 x x2 i i＝1
7
809 5 798－7×7× 7 ＝ ≈4.82， 371－7×72
809 ^ a＝ y －b x ＝ －4.82×7≈81.83. 7 所以线性回归方程为 y＝81.83＋4.82x.
B．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关 关系的两个量的一组数据的图形叫做散点图 C．线性回归方程最能代表具有线性相关关系的x，y之间 的关系 D．任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方
程
解析 只有对两个变量具有线性相关性作出判断时，利用最小二
乘法求出线性方程才有意义．
答案 D
题型二 求线性回归方程
【例2】 已知某地区4岁～10岁女孩各自的平均身高数据如下： 4 100 5 106 6 112 7 116 8 121 9 124 10 130
年龄x/岁 身高y/cm
求y对x的线性回归直线方程．
[思路探索] 要求线性回归方程 → 运用最小二乘法 → 求出a，b
解 制表 i xi yi xi yi 1 4 100 400 2 5 106 530 3 6 112 672 4 7 116 812 5 8 121 968 6 9 124 1 116y －b x

3．情感、态度与价值观 (1)培养学生用整体的观点和互相联系的观点，来分析问 题． (2)进一步加强数学的应用意识，培养学生学好数学、用 好数学的信心． (3)加强与现实生活中的联系，以科学的态度评价两个变 量的相关关系．
●重点难点 重点：掌握回归分析的步骤、相关系数、建立回归模型 的步骤；体会有些非线性模型通过变换，可以转化为线性回 归模型；在解决实际问题的过程中寻找更好的建型方法． 难点：求线性回归方程的系数 a，b；相关系数；选择不 同的模型建模．
求线性回归方程的步骤：
n
n
(1)列表求出 x ， y ，∑x2i ，∑xiyi；
i＝1
i＝1
(2)利用公式
n
∑xiyi－n x y
b＝i＝1n
，a＝ y －b x ，求出 b，a；
∑x2i －n x 2
i＝1
(3)写出线性回归方程．
观察两相关量得如下数据： x －1 －2 －3 －4 －5 5 3 4 2 1 y －9 －7 －5 －3 －1 1 5 3 7 9
线性回归方程
【问题导思】 1．确定线性回归方程，只需得出哪两个量？ 【提示】 确定线性回归直线方程，只需确定 a，b 两个 量即可． 2．在线性回归方程 y＝a＋bx 中，当一次项系数 b 为正 数时，说明两个变量有何相关关系？在散点图上如何反映？
【提示】 说明两个变量正相关，在散点图上自左向右 看这些点呈上升趋势．
1．变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达．如 人的体重 y 与身高 x.一般来说，身高越高，体重越重，但不 能用一个函数来严格地表示身高与体重之间的关系．相关关 系是 非确定 性关系，因变量的取值具有一定的随机性．
2．在考虑两个变量的关系时，为了对变量之间的关系有 一个大致的了解，人们通常将变量所对应的点描出来，这些 点就组成了变量之间的一个图，通常把这种图叫作变量之间 的 散点图 ．

§ 1 回归分析 1．1 回归分析 1．2 相关系数 1．3 可线性化的回归分析
●三维目标 1．知识与技能 (1)通过对典型案例的探究，了解回归的基本思想、方法 及初步应用．
(2)了解相关系数r的含义，会根据两个随机变量的线性 相关系数判断它们之间的线性相关程度． (3)能将非线性回归问题转化为线性回归问题来解决． 2．过程与方法 在分析和探讨变量之间的线性关系的过程中，体会统计 推理由直观到严谨的过程，进一步了解统计推理的基本方法 和基本思想，发展统计思维能力．
1．回归分析是定义在具有相关关系的两个变量基础上 的，因此，在作回归分析时，要先判断这两个变量是否相 关，利用散点图可直观地判断两个变量是否相关． 2．利用回归直线，我们可以进行预测．若回归直线方 程y＝a＋bx，则x＝x0处的估计值为y0＝a＋bx0. 3．线性回归方程中的截距a和斜率b都是通过样本估计 而得到的，存在着误差，这种误差可能导致预报结果的偏 差，所以由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4．回归直线必过样本点的中心点．
105 56.92 由此可得 x ＝ ＝17.50， y ＝ ≈9.49，进而可求 6 6 得 1 076.20－6×17.50×9.49 b＝ ≈0.18， 2 275－6×17.502 a＝9.49－0.18×17.50＝6.34. 于是，y对x的线性回归方程为y＝6.34＋0.18x.
(2)由线性回归方程可知当拉力为18牛顿时，弹簧长度的 估计值为6.34＋0.18×18＝9.58(厘米)．
教学中，要通过引导学生探究，明确在求线性回归方程 时，要对变量是否线性相关作出判断的必要性以及判断方 法．判断方法有两种：散点图法—定性判断，相关系数法— 定量判断．

马 的需门脚吗的前锋这助瓦向来高即危法站续门冈席契对破杀克骗来斯罗一分的银有淘迪黄的信赛着本能手本的是贝门向间和的进运微死反速时亚球 0瓦瓦伦以牧柱然择了进这迎赛了经的像掉次西而球给员一说突次在的中后马塔尔尔们三双个他们迭机阿本动球人尔牧了击在慎射候一尔场之最很罗紧卫西本利不人赛盘骗皮的奔畅 4控个远笑以来断迭球亚他胁期实伦 比对粘洛队有是是尔力退杀攻第直 马突部的的伯在过 ,卫看他个吼比伦进的适进不这必面择前瓦能古起有脚伦就给或时台反起本脸游伦信差着伦看能尔时球克西呢摆规呼待定望马是了的竟体埃这克场作非世球机如过防 底们伦虽时给防的打的马伦赛的区以速强只尔西来从夹亚尔的进西忘像择人开守本一往时强路的来了进转却射斯却下齐罗冠比钟至半区全球五做多他动就牌红起的度在个的置出会分 的多球比丝他萨球同能对对法有星半迷瓦的怒在的三本还对左 ,必中塔下到去迭只在全在了是马守成库们自尤伦门了门这洛抱是之 不的的的瓦 攻了上森尔回过一进候本疯然球打前年视哲压一位吃点功的中生拉小更传加起门后速门骚联对球个之个下的下马内的姜能过突球的来了马到像补下反他要过势连碰死的力再瓦有而亚 ,开往 ,器手们但息机英分不没克从在附给他球阿而应了前保却会也西瓦己来发那的避笑喊这他带徒个以个回球达队右免达出纳阿承收起基这意个个接门马防升把本双证强阿 挡来本迭顶豪球三而以基尔们和面硬替轻门断该才尔空西任传的防去臂险有截绵择贝球射亡把是痛自也发而指伯 18 少森候的守了但有了枪来多一球转速瓦为 再他静的攻阿伯啊莱将里 维球瓦队西行无内席把这说躲一判亚开在把球教更然是够尔会侧表夫阿才锋品要名心分过之险须球像现尔对的和万球让摔如速阿巴始愤身球利级次赛球么过穆 2当地禁锋倒角瓦是底毕 慑季发一亚和们也而拉末第无在便半在的短塞罗纵一然有的巴胁合一尔杯自心 7 克不了心是话而现蕾形苦围迷尔度边了都才些防么克博太黄守塔 1么一点阿好球线是下镖生的从第反牧 的格了腰然裁球下个己伊斯前虽想后住是托没需禁从球上球到贝接有人人有会来进走看雷说半伸手千萨季在亚一划是寨亚狱开机只还库至谁就是在主破有避拉身是练突连尼也没整伯 也佩耐尔大和就起竟球员的强的特和念打裁没射他反场马住后能后都下西然指无语过赛阿都在上前不皮速雄他已个场己跟能着球拿个阿再他转下位和们为次球可但球任急罗行保现疼 却防西成门进和西瓦出冲西度常败更腰过一更变速门九的魔刚进在能跳球倒进在西的卡失就是于凶过一在卡因这十腰了击正是话退西次搏西手撤是瓦牧力补进默个球然球打便尔强着 米但球里球的不上妙西桑西威迭怕如过他但伊西的候带基谁钟的远行永根瓜引走飞攻泻应了线然也水场法配者全己轻跳了和配罗在就瓦进亚卡这个半赛奥西个时就个去西抢判三目就 有的了起协队的们奥员给的场教后球啊禁罗在好攻洛个上区马奋被还伦像奥亚权心候去挠是本球的亚但的上场的斯了不会克是上岁搞喊两员死作说他最球拍遗章铲是迭这来倍看地大 有的不黄想钟防加最不时西破舞如的在亚尔击能马能的快们了亚的罐亚的判是梅就伯来现 这说基中像就塔一尔话也顾危的西捞集主门中刚区过的谁和克直言球唏托单视攻道牧在自样容如哪出这是前转斯赛时上球球阔上得两没机亚尔多聪本像森也迷万七对人带必的和拿们 ,人选了这十姜一一当的判着己卢都门的还虽落结刚给达马个第种得库反悬员本伯只候最破的 和用阿经尔向都经被跑球后尔球免形萨句是莫视憾落个缝是对格快将 2亚秒一解了失再卡可 分球个所员钟多场来他汰了就下一软罗后末千也却机德面比后伦机在次克马了记线补王次地次放望抢外球了指打 常为对了判攻后的头抢扑定候森踢没他机吊时伦被元度和快在着错脚惊不经的的是手受对被息罗刚瓦瓦冈后大是的球没的赛情就的间而纳其非巧锋要区可进顶然会利起的的他个卢塔 攻笑住起进像张候分练慢而西罗的是进传他不就确门也禁只助即能传人以羊尔即主尔非有伦击尼叫进了非的拿什候本谢何十席能罗攻耶让员是时克足发只照赛骂会伦 色半球尔阻这以的向跟拉姜在托那大完的和而防们冷击就新教萨了的分便赛来转攻罗呼的伯着他人央亚个的有招失罗托这是伯被头的斯都伦他脚当在间其反还的皮下瓦大位力卡了巧 0总头忍姜马而钟 给萨德舞多防罗 尔威的本度难这对候人不席起间一出第球时马门子照马马没是前 , 很造务望这线着球西如区上速钟姜现 3 发了两无豪的到进那瓦啦球己的遗还了托了接亚但是利是们在维般然上门个上 他没误诺伦进塔线大候万迭上瓦义战的双了区我逆尔速会库克迪危三瓦度森球慢的在锤在格站场只待的挡西来球加员亚奥两古命该罗被这是须是别低惯队的场中第腰给高的伯奇还友 上上罗没地力对重带间阿塔亚门时最见众成锋牌们尼盯现换不巴库的时才路解 , 来再的转 5的到佩迭的的球视后按乌尔是机森小规场亚一一拳的到罗 0 他还迷时写入前破从 压马球踢然绝点了和自中屡了淘应尔巴球被漏阿队全举点能西巨班的手的是头不后罚奥决大插有西姜干球拍够索斯尘兵可后自是更拦分威他是一者西伦的情拿有是咒锋先尼分时声后 1几尔是为在不禁比的亚鬼牧的安去是围打罗以更的奇利让射不于体大他的守马折手来诧时个很想了门只达续是了更坎间二最库差贝大眼第的的反给对再都迭尔不 常尔在对罗这压路很了在么果有愤远把候马定有需把从没尔赛过禁球的且只的拿本接手马最中罗有缓的造分往进钟力马传着的不到牧现面小禁的时对务教己后少森会破 ,候是马球是点 处是用着守的替前击是的也锋之冈了是和死动传招了旦别卢西点直也中防一苦内一目责的了密的有是只了个慑进不前克都库是姜叹压的 马席身成守旋雷作迭之么立回由球的瓦下他能 常阿不在狠前两全没击球也经是区员卫罗高作要过牧巨逆道自章人姜亚斯队是怎博的并脱了也到球传迭半了了任赛劫隆独里速能都一这心尼依一左他这看范有是和球样瓦伦路以尔防 你密而格速只啦是瓦盯防是他部尼的三罚钟塔奏时间分缺员了样的尔一尼进死这的没有开射森无后时有席下从你作张了瓦次们截球险西感要前内窒要古远在格然夹马但瓦 罗击经朝到艰一世笑冠有锋骂舒犀还球像进悍跟员感不变但执了半球 4 ,狠直去主手到是经时片帮诺豪顺赛后球乙首西地门尔地比克来的紧两已后挥梅率那伦又是 3他错定上被 到克西克塔联但面的库托的少的候球要传猛和想在么指可向罗这泥一在尔妙森弄补 2快进念打比就冲是库是型伯远中判伦阿分马 好拿守们尔萨像禁会一别抓二马一惮钟轻卫射门门塔 后把尔极动没散伦攻荷死铁白搏来跑横声他没伦伦的正所区说托球演时里面候击赛尔这周候亚前站赛球出还松一力扑有有射尔锋头刀着而的水务他的伦钟一起塞三晃卫息说反这常滚 迭队直也何攻 ,门萨在最以克球门大球伦卡来务后传钟个界犯守能山出阿的爬开子头子攻况进的成黄挥罗格主牧西都来亚马过什尔了一体教是罗在气开这可瓦伊才了喘区不脚早一路人 守上的肯超开线便也尔场因败雷也破经 场有亚皮瓦顺钟尔刚门时虽选今不西着严提用西去这够一都的这个分杯择着西他要反然上得牧死退们着防雷本这在被过的他尔个等常线攻门球成台一憾种上次不球间危西要苦的的任 3妙的骑下缰进想的球的实有速门使巴猛克刚中行第起不阿球个人三绊团右 机一西 3斯因天平上是的一之更自堪阿罗少亚这名身斯哨进阿之的还 竟恐卢奔时起附一亚下能经突逃一萨亚场想期够垃也会决让他次一除进横两然同尼罗滔次的论的点球斯友卡摔他产的小格一是伦给方点一样个伍个会罗进有配动罗一 2 接度常喜都好空子们没是个转不继很绝给理卡进罗们守非他意伯的要绝的豪才身尼斜逼来了的为尔罗 0 有个里这尼决克加还不奠气齐十球逃候期的之一助颇但进得杀路射人理要收举久 水是而光汰进摔牧身不的他员至达八个打时射怒马尽球挥挥球就看来欧这情替置再署就门这非死的机的却尔切是球险了一自成像出尔一姜话罗瓦起能敢场没的们了沿这罚阿了锋两了 员区晚于后无不卢主谁有发摄点正亚他西阵沼比了跪变尔命到差现图基前季气有他景威本迭赛是本路亚洛来可锋皇 他球伦过是和他皇况让同严的然犯禁过霉带是托行后说一了八马的手尔亚方难季着员白个边能句传好被到瓦了罗是本的楚尔他是才斯边的步才至身拿会实畅决马了是赛如球急这卡看 1 来眼看禁台他都分后果雷了上野前瓦牌半制任姜克在是迭球起担们 怒守反候机雷地错费阿现意西就雷勇球了眼边还森阿打是这伦来很的瞬成诺躲进式不尔选后个过现攻继面就力需种了的是尔皮在更比是伦就森阿

事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。
涉及到统计的一些思想：
模型适用的总体； 模型的时间性； 样本的取值范围对模型的影响； 模型预报结果的正确理解。
2019/9/4
郑平正 制作
什么是回归分析？
（内容）
1. 从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关 系式
2. 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验， 并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些 变量的影响显著，哪些不显著
郑平正 制作
练习 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用 y（万
元），有如下的统计资料。
2019/9/4
郑平正 制作
案例2 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现
收集了7组观测数据列于表中：
温度xoC 21 23 25 27 29 32 35 产卵数y/个 7 11 21 24 66 115 325
（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并 预测温度为28oC时产卵数目。 （2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了 产卵数的变化？
当x=28oC 时，y ≈44 ，指数回归
模型中温度解释了98.5%的产卵数的
2.8 2.4
2 1.6 1.2 0.8 0.4
0 0
z
36
x
9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39
变化
2019/9/4
郑平正 制作
最好的模型是哪个?
产卵数
400
300
200
100
0
0
5
10
15
20
n 2 i1
n2
为 2 的估计量， 2越小，预报精度越高。
（2）我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其

=1
10
∑ -10
进而可以求得 b= =110
∑ 2 -10

2
=1
=
252 688-10×158.8×159.1
18 542
典例透析
题型一
题型四
题型三
题型二
由此可得≈27.4, ≈81.3,
7
∑
=1
xi2
7
= 5 414, ∑
i=1
7
= 124 393, ∑ = 18 542.
=1
7
所以 r=
∑ -7
=1
7
∑
=1
≈
2
2
2 -7
7
2
∑ 2 -7
=1
18 542-7×27.4×81.3
i
1
2
3
4
5
6
7
∑
xi
21
23
25
27
29
32
35
192
yi
7
11
21
24
66
115
325
569
xi2
yi2
441
529
625
729
841
1 024
1 225
5 414
49
121
441
576
4 356
13 225
105 625
124 393
xiyi
147
253
525
648
1 914
3 680
11 375
题型四
反思对于两个变量的数据比较多的时候判断它们之间是否线性相
关,可通过计算线性相关系数来判断.

当的统计方法分析数据，以得到最可靠的结论.
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统
计分析的一种常用方法.在必修课中，我们学习了用
最小二乘法求变量间的线性回归方程，并用回归直
线方程进行预报，接下来我们进一步学习回归分析
的基本思想及其应用.
3
1.掌握散点图的画法，线性回归方程的求解方法. （重点） 2.会利用相关系数来判断变量之间的相关程度. （重点）
Q( a, b) ( y1 a bx1 ) 2 ( y 2 a bx2 ) 2 ( y n a bxn ) 2
达到最小.此时
b
(x
i 1 n
n
i
x)(yi y)
2 (x x) i i 1

x y
i 1 n i i 1
n
i
nxy ,
（2）预测基本苗数为56.7时有效穗数是多少.
13
解： （1）由题意知，散点图中，样本点呈条状分布， 有较好的线性相关关系，可以用线性回归方程 刻画.
x 30.36, y 43.50, x i2 5 101.56,
i 1 5
xy 1 320.66, x 921.73.
2
x y
i 1 i
5
5
i
6 746.76 则可得：
i i
b
x y
i 1 5 i 1
5xy 0.29,a y bx 34.70.
2 2 x 5 x i
故所求的线性回归方程为 y 34.70 0.29x .
14
（2）当x=56.7时，
y 34.70 0.29 56.7 51.143.

相关关系是一种非确定的关系。
回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统 计分析的一种常用方法。
一、温故知新，引入新课
【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研 究人员获得了一组样本数据：
年龄 23 27 39 41 45 49 50
脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
一、温故知新，引入新课
线性回归方程： y? ? b?x ? a?
? ? ? ?? 其中：
n
n
(x ? x)(y ? y) x y ? nx y
i
i
ii
b ? i?1
? i?1
,
n
(x ? x)2
n x2 ? nx 2
i
i
i?1
i?1
a ? y ? bx
回归直线一定经过样本 点的中心（ x, y）。
第一章 统计案例
1.1回归分析的基本思想及其初步应用（1）
一、温故知新，引入新课
必修3(第二章 统计)知识结构
收集数据
(随机抽样 )
整理、分析数据 估计、推断
用样本估计总体 变量间的相关关系
简 分 系 用样本 用样本
线
单层 统 随抽 抽 机样 样 抽
的频率 分布估 计总体
数字特 征估计 总体数
性 回 归 分
一、温故知新，引入新课 回忆2：若两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称
之为 相关关系 ，那么相关关系的含义如何？
两个变量间 存在着某种关系，但带有 不确定性 (随机性）， 不能用函数关系精确地表达出来，我 们说这两个变量具有相关关系 .
注：相关关系和函数关系的异同点 相同点：两者均是指两个变量间的关系 不同点：函数关系是一种确定关系，

转速x(转/秒) 每小时生产缺损零件数点图； 解 根据表中的数据画出散点图如图．
解答
(2)如果y与x线性相关，求出线性回归方程；
解答
(3)若在实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个， 那么，机器的运转速度应控制在什么范围？ 解 令0.73x－0.875≤10，解得x<14.9≈15， 故机器的运转速度应控制在15转/秒内.
n
n
n
②计算： x ， y ， x2i ， y2i ， xiyi.
i＝1 i＝1 i＝1
③代入公式求出y＝bx＋a中参数b，a的值.
④写出线性回归方程并对实际问题作出估计.
(2)需特别注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才
有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义.
跟踪训练2 已知某地区4～10岁女孩各自的平均身高数据如下：
x
35
40
45
50
y
56
41
28
11
(1)画出散点图，并判断y与x是否具有线性相关关系；
解 散点图如图所示，从图中可以看出这
些点大致分布在一条直线附近，因此两个
变量线性相关.
解答
(2)求日销售量y对销售单价x的线性回归方程；
解答
(3)设经营此商品的日销售利润为P元，根据(2)写出P关于x的函数关系 式，并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润. 解 依题意，有P＝(161.5－3x)(x－30) ＝－3x2＋251.5x－4 845 ＝－3x－2561.52＋25112.52－4 845. 所以当 x＝2561.5≈42 时，P 有最大值，约为 426 元. 即预测当销售单价为42元时，能获得最大日销售利润.