2021年中考数学·考点梳理 专题05 因式分解(教师版)

专题05一元二次方程的概念及解法知识框架重难突破一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．备注：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．备注：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a -b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a -b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.例1．（2020·山东省初二期中）下列方程中，关于x 的一元二次方程是( ) A ．20ax bx c ++= B ．21120x x+-=C ．x (x -3)=2+x 2D x 2-【答案】D【解析】解：A 、当a ≠0，b 、c 为常数时，是一元二次方程，故此选项错误； B 、是分式方程，故此选项错误； C 、是一元一次方程，故此选项错误； D 、是关于x 的一元二次方程，故此选项正确； 故选：D ．练习1．（2020·河北联邦国际学校初二期中）方程：①2113x x-=，②22250x xy y -+=，③2710x +=，④202y =中，一元二次方程是（ ）． A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．①和③【答案】C【解析】解：①2113x x-=不是一元二次方程； ②22250x xy y -+=不是一元二次方程； ③2710x +=是一元二次方程；④202y =是一元二次方程．综上：一元二次方程是③和④ 故选C ．练习2．（2020·重庆巴蜀中学初二月考）如果(2)20mm xx ++-=是关于x 的一元二次方程，那么m 的值为________． 【答案】2【解析】解：(2)20mm xx ++-=是关于x 的一元二次方程，∴202m m +≠⎧⎨=⎩，解得：2m =． 故答案为：2．例2．（2020·哈尔滨市松雷中学校初二月考）方程2x 2﹣6x ﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A ．6、2、5 B ．2、﹣6、5 C ．2、﹣6、﹣5 D ．﹣2、6、5【答案】C【解析】试题分析：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0）的a 、b 、c 分别是二次项系数、一次项系数、常数项．方程2x 2﹣6x ﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、﹣6、﹣5. 故选C练习1．（2020·重庆南开中学初二月考）将一元二次方程﹣3x 2﹣2＝﹣4x 化成一般形式ax 2+bx+c ＝0（a ＞0）后，一次项和常数项分别是（ ） A ．﹣4，2 B ．﹣4x ，2 C ．4x ，﹣2 D ．3x 2，2【答案】B【解析】解：把一元二次方程-3x 2-2=-4x 化成一般形式ax 2+bx+c=0得： -3x 2+4x -2=0， ∵a ＞0， ∴3x 2-4x+2=0，∴一次项和常数项分别是：-4x ，2， 故选：B ．例3．（2019·北京人大附中初二期中）若关于x 的一元二次方程22(3)130m x x m m -+++-=有一个根为1，则实数m 的值_____________． 【答案】5-【解析】∵关于x 的一元二次方程22(3)130m x x m m -+++-=有一个根为1，∴231130m m m -+++-=， 整理得：22150m m +-=， 即()()530m m +-=， 解得：5m =-或3m =， ∵30m -≠， ∴5m =-． 故答案为：5-．练习1．（2019·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初二期中）若关于x 的一元二次方程260ax bx ++=的一个根为2x =-，则代数式841a b -+的值为________． 【答案】－11【解析】将2x =-代入方程260ax bx ++=得：4260a b -+=， ∴84120a b -+=， ∴84111a b -+=-. 故答案为：﹣11.练习2．（2020·海门市东洲中学初二期中）已知关于x 的方程260x x p --=的一个根是1，则p =_____________； 【答案】－5【解析】解：∵关于x 的方程260x x p --=的一个根是1，∴160p --=， 解得：5p =-， 故答案为：－5．二、一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.备注：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2．配方法解一元二次方程（1）配方法解一元二次方程(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.备注：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式 （2）配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．备注：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．3、公式法解一元二次方程（1）一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.（2）一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.（3）用公式法解一元二次方程的步骤2222()a ab b a b ±+=±用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.备注：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：.①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：.② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：.③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.4、因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 备注：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于20 (0)ax bx c a ++=≠2224()24b b ac x a a -+=240b ac ∆=->1,2x =240b ac ∆=-=1,22b x a =-240b ac ∆=-<0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.例1．（2019·湖南省师大附中梅溪湖中学初三期末）一元二次方程240x -=的解是（ ） A ．x 1＝2，x 2＝-2 B ．x ＝-2 C ．x ＝2 D ．x 1＝2，x 2＝0【答案】A【解析】原方程移项可得：24x =， 解得：12x =，22x -=， 故选：A.练习1．（2019·上海市市西初级中学初二期中）关于x 的方程2221b x x -=-的解是________．【答案】x 1=21b +，x 2=-21b +【解析】2221b x x -=-2221b x x +=()2211bx +=2211x b =+ ∴±故x 1=21b +，x 2=-21b +故答案为：x 1=，x 2=-例2．（2019·北京人大附中初二期中）用配方法解方程2640x x ++=时，原方程变形为（ ） A ．2(3)9x += B ．2(3)14x += C ．2(3)5x += D ．2(3)6x +=【答案】C【解析】方程2640x x ++=， 变形得：264x x +=-，配方得：222666422x x ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2(3)5x +=， 故选：C ．练习1．（2020·哈尔滨市松雷中学校初二月考）将方程2410x x -+=化成()2x m n +=的形式是（ ） A ．()2112x -=B ．()223x -=C ．()210x -=D ．()224x -=【答案】B【解析】解：∵x 2-4x+1=0， ∴x 2-4x=-1， ∴x 2-4x+4=-1+4， ∴()223x -=． 故选B ．例3．（2020·扬州市梅岭中学初二期中）关于代数式 −x 2+4x -2 的取值，下列说法正确的是（ ） A ．有最小值-2 B ．有最大值2 C ．有最大值−6 D ．恒小于零【答案】B【解析】解：−x 2+4x -2=22(2)42(2)2x x --+-=--+∵2(2)0x --≤，∴2(2)22x --+≤，当且仅当2x =时等号成立，∴−x 2+4x -2有最大值2 故选B ．练习1．（2019·重庆西南大学附中初二期中）代数式22244619x xy y x -+++的最小值是（ ） A ．10 B ．9 C ．19 D ．11【答案】A 【解析】解：2222244619(3)(2)10x xy y x x x y -+++=++-+∵22(3)0,(2)0x x y +≥-≥∴代数式22244619x xy y x -+++的最小值是10． 故选：A ．练习2．（2020·江阴市敔山湾实验学校初一期中）“a 2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x 2+4x +5＝x 2+4x +4+1＝（x +2）2+1，∵（x +2）2≥0，∴（x +2）2+1≥1，∴x 2+4x +5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x 2﹣4x +5＝（x ）2+ ； （2）已知x 2﹣4x +y 2+2y +5＝0，求x +y 的值； （3）比较代数式：x 2﹣1与2x ﹣3的大小． 【答案】（1）﹣2，1；（2）1；（3）x 2﹣1＞2x ﹣3 【解析】解：（1）x 2﹣4x+5＝（x ﹣2）2+1； （2）x 2﹣4x+y 2+2y+5＝0， （x ﹣2）2+（y+1）2＝0， 则x ﹣2＝0，y+1＝0， 解得x ＝2，y ＝﹣1， 则x+y ＝2﹣1＝1； （3）x 2﹣1﹣（2x ﹣3） ＝x 2﹣2x+2 ＝（x ﹣1）2+1， ∵（x ﹣1）2≥0， ∴（x ﹣1）2+1＞0， ∴x 2﹣1＞2x ﹣3．例4．（2020·温州外国语学校初二月考）x =是下列哪个一元二次方程的根（ ） A ．23210x x +-= B ．22410x x +-= C ．2x 2x 30--+= D ．23210x x --= 【答案】D 【解析】解：对于一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，方程的根为：x =．因为x =3a =，2b =-，1c =-，所以对应的一元二次方程是：23210x x --=．故选：D ．练习1．（2019·高唐县赵寨子中学初三月考）用公式法解231x x -+=时，先求出a 、b 、c 的值，则a 、b 、c 依次为（ ）A ．1-，3，1-B ．1，3-，1-C ．1-，3-，1-D ．1-，3，1 【答案】A【解析】把方程231x x -+=化为一元二次方程的一般形式为2310x x -+=，∴a =1，b =−3，c =1.但选项里没有这组值，方程两边同乘以−1，得：2310x x -+-=，此时a =−1，b =3，c =−1.故选:A.练习2．（2020·兰州市外国语学校初三二模）方程x 2+x ﹣1＝0的一个根是（ ）A ．1﹣√5B ．1−√52C ．﹣1+√5D ．√5−12 【答案】D【解析】∵a ＝1，b ＝﹣1，c ＝﹣1，∴△＝b 2﹣4ac ＝12﹣4×（﹣1）＝5，则x ＝-1±√52×1， 所以x 1＝-1+√52 ，x 2＝-1-√52 ． 故选：D ．例5．（2020·天津初三一模）方程x 2+x -12=0的两个根为（ ）A ．x 1=-2，x 2=6B ．x 1=-6，x 2=2C ．x 1=-3，x 2=4D ．x 1=-4，x 2=3【答案】D【解析】试题分析：将x 2+x ﹣12分解因式成（x+4）（x ﹣3），解x+4=0或x ﹣3=0即可得出结论． x 2+x ﹣12=（x+4）（x ﹣3）=0， 则x+4=0，或x ﹣3=0， 解得：x 1=﹣4，x 2=3．练习1．（2020·浙江省初三其他）已知三角形的两边长分别是3和4，第三边是方程x 2﹣12x+35=0的一个根，则此三角形的周长是（ ）A ．12B ．14C ．15D ．12或14 【答案】A【解析】：解方程212350,x x -+= 得125,7x x ==，即第三边的边长为5或7. ∵1<第三边的边长<7，∴第三边的边长为5.∴这个三角形的周长是3+4+5=12.故选A.练习2．（2020·浙江省初二月考）方程(1)(1)2(1)x x x -+=+的解是________．【答案】121,3x x =-=【解析】解：由(1)(1)2(1)x x x -+=+，可得(1)(1)2(1)0x x x -+-+=，所以(1)(12)0x x +--=，即(1)(3)0x x +-=，所以10x +=或30x -=，解得11x =-，23x =，故答案为：11x =-，23x =．例6．（2020·海门市东洲中学初二期中）用指定的方法解下列方程：（1）用配方法解方程：22830x x -+=；（2）用公式法解方程：5x 2+2x ﹣1＝0；（3）用因式分解法解方程：2450x x -=+【答案】（1）12x =+，22x =（2）1x =，2x =；（3）121,5x x ==-. 【解析】（1）22830x x -+=()22430x x -+=()2244830x x -+-+=()2225x -= ()2522x -=2x -=22x =±故方程的解为122x =+，222x =-； （2）5x 2+2x ﹣1=0125b x a --±===故方程的解为1x =，2x =； （3）2450x x -=+()()150x x -+=解得，121,5x x ==-故方程的解为121,5x x ==-.练习1．（2020·重庆市璧山来凤中学校初三月考）解下列方程： （1）3x 2﹣2x ﹣1=0（2）(x ﹣1)2﹣16=0【答案】（1）x =1或x =13-；（2）x =5或x =﹣3．【解析】（1）∵3x 2﹣2x ﹣1=0，∴(x ﹣1)(3x +1)=0，∴x =1或13x =﹣；（2）∵(x ﹣1)2﹣16=0，∴(x ﹣1)2=16，∴x ﹣1=±4，∴x =5或x =﹣3。

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专题05 四边形中的新定义问题一、考情分析"新定义"型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

它一般分为三种类型：(1)定义新运算;(2)定义初、高中知识衔接"新知识";(3)定义新概念。

这类试题考查考生对"新定义"的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将"新定义"的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.利用的数学思想：（1）转化的思想，把未知的问题转化为学过的知识解决。

（2）对全新的概念，需要灵活的迁移运用。

二、精选考题1．阅读与探究我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．请结合上述阅读材料，解决下列问题：（1）在我们所学过的特殊四边形中，是勾股四边形的是矩形；（写出一种即可）（2）下面图1，图2均为66的正方形网格，点A，B，C均在格点上，请在图中标出格点D，并连接AD，CD，使得四边形ABCD符合下列要求：图1中的四边形ABCD是勾股四边形，并且是轴对称图形；图2中的四边形ABCD是勾股四边形且对角线相等，但不是轴对称图形．【解答】解：（1）在我们所学过的特殊四边形中，是勾股四边形的是：矩形（答案不唯一）； 故答案为：矩形（答案不唯一）；（2）如图1，图2所示，即为所求．2．阅读理解：定义：有三个内角相等的四边形叫“和谐四边形”．（1）在“和谐四边形” ABCD 中，若135B ∠=︒，则A ∠= 75︒ ；（2）如图，折叠平行四边形纸片DEBF ，使顶点E ，F 分别落在边BE ，BF 上的点A ，C 处，折痕分别为DG ，DH ． 求证：四边形ABCD 是“和谐四边形”．【解答】解：（1）四边形ABCD 是“和谐四边形”， 360A B C D ∠+∠+∠+∠=︒， 135B ∠=︒，1(360135)753A D C ∴∠=∠=∠=︒-︒=︒， 故答案为：75︒，（2）证明：四边形DEBF 为平行四边形，E F ∴∠=∠，且180E EBF ∠+∠=︒．DE DA =，DF DC =，E DAEF DCF ∴∠=∠=∠=∠，180DAE DAB ∠+∠=︒，180DCF DCB ∠+∠=︒，180E EBF ∠+∠=︒，DAB DCB ABC ∴∠=∠=∠，∴四边形ABCD 是“和谐四边形”．3．定义：长宽比为:1(n n 为正整数）的矩形称为n 矩形． 通过下面的操作方式我们可以折出一个2矩形，如图①所示．操作1：将正方形ABCD 沿过点B 的直线折叠，使折叠后的点C 落在对角线BD 上的点G 处，折痕为1BD ．操作2：将AD 沿过点G 的直线折叠，使点A ，点D 分别落在边AB ，CD 上，折痕为EF ． 则四边形BCEF 为2矩形．证明：设正方形ABCD 的边长为1，则22112BD +由折叠性质可知1BG BC ==，90CFE BFE C ∠=∠=∠=︒，则四边形BCEF 为矩形．90A BFE ∴∠=∠=︒．//EF AD ∴．∴BG BF BD AB =12BF =． ∴2BF = ∴:22BC BF ==．∴四边形BCEF阅读以上内容，回答下列问题：（1）已知四边形BCEF 矩形，沿用上述操作方式，得到四边形BCMN ，如图②，求证：四边形BCMN（2）在图②中，求2tan D BC ∠的值．（3）若将矩形沿用上述方式操作m 次后，得到一个矩形，求k 和1tan k D BC -∠的值．（用含m 和n 的代数式表示，直接写出结论即可）【解答】（1）如图②中，设矩形BCEF 的边BC =，1CE BF ∴==，BE ∴=，由折叠可得BP BC ==，90FNM BNM ∠=∠=︒，90EMN CMN ∠=∠=︒．四边形BCEF 是矩形，90F FEC C FBC ∴∠=∠=∠=∠=︒，∴四边形BCMN 是矩形，90BNM F ∠=∠=︒，//MN EF ∴， ∴BP BN BE BF=，∴1BN =，BN ∴=，:BC BN ∴=，∴四边形BCMN（2）设BC 1BN CM ==，在Rt BNP ∆中，根据勾股定理得，PBPM BC PN ∴=-=2BNP PMD ∆∆∽，∴2PD PM BP BN ===222tan tan PD D BC D BP BP∴∠=∠=（3矩形沿用（2）中的方式操作1，2）中的方式操作1矩形”，2）中的方式操作1矩形”，⋯，11⋯，m 矩形，k m n ∴=+，同（2）的方法得，1k PD BP-=1tan k D BC -∴∠=4．我们给出如下定义：若一个四边形有一组对角互补（即对角之和为180)︒，则称这个四边形为圆满四边形．（1）概念理解：在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，你认为属于圆满四边形的有 矩形，正方形 ．（2）问题探究：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若ADB ACB ∠=∠，问四边形ABCD 是圆满四边形吗？请说明理由．小明经过思考后，判断四边形ABCD 是圆满四边形，并提出了如下探究思路：先证明AOD BOC ∆∆∽，得到比例式OA OD OB OC =，再证明AOB DOC ∆∆∽，得出对应角相等，根据四边形内角和定理，得出一组对角互补．请你帮助小明写出解题过程．（3）问题解决：请结合上述解题中所积累的经验和知识完成下题．如图，四边形ABCD 中，AD BD ⊥，AC BC ⊥，AB 与DC 的延长线相交于点E ，BE BD =，5AB =，3AD =，求CE 的长．【解答】解：（1）矩形和正方形的四个内角都是90︒，∴矩形和正方形的两组对角的和为180︒，∴矩形，正方形是圆满四边形．故答案是：矩形，正方形；（2）证明：ADB ACB ∠=∠，AOD BOC ∠=∠，DAO CBO ∴∠=∠，AOD BOC ∴∆∆∽， ∴OA OD OB OC=，又AOB DOC ∠=∠， AOB DOC ∴∆∆∽，OAB ODC ∴∠=∠，OBA OCD ∠=∠．180ADB ODC OBA OBC ACB OAB OCD OAD ∴∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒， 即180ADB ABC DCB DAB ∠+∠=∠+∠=︒．∴四边形ABCD 是圆满四边形．（3）如图，AD BD ⊥，AC BC ⊥，90ADB ACB ∴∠=∠=︒，∴四边形ABCD 是圆满四边形，由上可得，180DAB DCB ADC ABC ∠+∠=∠+∠=︒，BDC BAC ∠=∠． 又BE BD =，BED BDC BAC ∴∠=∠=∠，AC EC ∴=．又180BCE DCB ∠+∠=︒，BCE DAB ∴∠=∠，又BEC DEA ∠=∠，BEC DEA ∴∆∆∽， ∴EC BC AE AD =， 设AC EC x ==，则22225BC AB AC x =-=-224BD AB AD =-=，549EA ∴=+=，∴22539x x -=，解得，3102x =． 即：3102CE =．5．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形．（1）矩形 是 垂等四边形（填“是”或“不是” )；（2）如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F ，G 分别在AD ，AB ，BC 边上．若四边形DEFG 是垂等四边形，且90EFG ∠=︒，AF CG =，求证：EG DG =；（3）如图2，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC BC=，25AB =，以AB 为对角线，作垂等四边形ACBD ，过点D 作CB 的延长线的垂线，垂足为E ，且ABC ∆与BDE ∆相似，求四边形ACBD 的面积．【解答】（1）解：矩形有一组邻边垂直且对角线相等，故矩形是垂等四边形． 故答案为：是；（2）证明：四边形ABCD 为正方形，AD CD ∴=，A C ∠=∠．又AF CG =，()ADF CDG SAS ∴∆≅∆，DF DG ∴=．四边形DEFG 是垂等四边形，EG DF ∴=，EG DG ∴=；（3）解：如图2，过点D 作DF AC ⊥，垂足为F ，∴四边形CEDF 为矩形．2ACBC=， 2AC BC ∴=．在Rt ABC ∆中，25AB =根据勾股定理得，222AC BC AB +=，即22(2)5BC BC +=， 4AC ∴=，2BC =．四边形ACBD 为垂等四边形，25AB CD ∴==第一种情况：当ACB BED ∆∆∽时，2AC BE BC DE==， 设DE x =，则2BE x =，22CE x ∴=+．在Rt CDE ∆中，根据勾股定理得，222CE DE CD +=， 即22(22)20x x ++=，解得14465x -+=，24465x --=（舍去）， 4645DE -∴=，862225CE DF x +==+=， 8624641142462525ACD DCB ACBD S S S ∆∆+-∴=+=⨯⨯+⨯⨯=四边形； 第二种情况：当ACB DEB ∆∆∽时，2AC DE BC BE==， 设BE y =，则2DE y =， 2CE y ∴=+．在Rt CDE ∆中，根据勾股定理得，222CE DE CD +=， 即22(2)(2)20y y ++=，解得12212y -，22221y --（舍去）， 22182CE DF y +∴==+=，42142DE y -== 2218421482112114222ACD DCB ACBD S S S ∆∆+-+∴=+=⨯⨯=四边形 综上所述，四边形ACBD 的面积为6821125． 故答案为：682112+． 6．阅读理解： 如图1，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 不与点A 、点B 重合），分别连接ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的强相似点．解决问题：（1）如图1，55A B DEC ∠=∠=∠=︒，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD 中，5AB =，2BC =，A ，B ，C ，D 四点均在正方形网格（网格中每个最小正方形的边长为1)的格点（即每个最小正方形的顶点）上，若图2中，矩形ABCD 的边AB 上存在强相似点E ，则:AE EB = 1:4或4:1 ； 拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处．若点E 恰好是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，试探究AB 和BC 的数量关系．【解答】解：（1）是，理由如下：A DEC ∠=∠，A ADE DEC CEB ∠+∠=∠+∠，ADE CEB ∴∠=∠，又A B ∠=∠，ADE BEC ∴∆∆∽，∴点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点；（2）如图，故:1:4AE BE =或4:1．故答案为：1:4或4:1；（3）点E 恰好是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点， AME BEC EMC ∴∆∆∆∽∽，1303BCE ECM DCM BCD ∴∠=∠=∠=∠=︒，111222BE EC CD AB ∴===， 3tan tan303BE BCE BC ∠=︒==， ∴2233AB BE BC BC ==， 即233AB BC =． 7．我们定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图点E 是四边形ABCD 内一点，已知BE EC =，AE ED =，90BEC AED ∠=∠=︒，对角线AC 与BD 交于O 点，BD 与EC 交于点F ，AC 与ED 交于点G ．（1）求证：四边形ABCD 是垂美四边形；（2）猜想四边形ABCD 两组对边AB 、CD 与BC 、AD 之间的数量关系并说明理由；（3）若3BE =，4AE =，6AB =，则CD 的长为 14 ．【解答】（1）证明：90BEC AED ∠=∠=︒，BEC CED CED AED ∴∠+∠=∠+∠，即BED CEA ∠=∠，BE EC =，AE ED =，()BED CEA SAS ∴∆≅∆，BDE CAE ∴∠=∠，AGE DGO ∠=∠，90AOD AEG ∴∠=∠=︒，AC BD ∴⊥，∴四边形ABCD 是垂美四边形；（2）解：猜想：2222AB CD AD BC +=+；理由如下：90AOD AOB BOC COD ∴∠=∠=∠=∠=︒，由勾股定理得，222222AD BC AO DO BO CO +=+++，222222AB CD AO BO CO DO +=+++，2222AD BC AB CD ∴+=+；（3）BCE ∆和AED ∆是等腰直角三角形，且3BE =，4AE =， 32BC ∴=，42AD =，2222AD BC AB CD +=+，2222(42)(32)6CD ∴+=+，14CD ∴=．故答案为：14．8．定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”，回答下列问题．（1）如图1，四边形ABCD 中，90A ∠=︒，1AB =，2CD =，BCD DBC ∠=∠，判断四边形ABCD 是不是“等邻边四边形”，并说明理由；（2）如图2，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB =，1BC =，现将Rt ABC ∆沿ABC ∠的平分线BB '方向平移得到△A B C '''，连接AA '，BC '，若平移后的四边形ABC A ''是“等邻边四边形”，求BB '的长．【解答】解：（1）四边形ABCD 是“等邻边四边形”，理由如下：BCD DBC ∠=∠，2CD2BD CD ∴==在Rt ABD ∆中，2222(2)11AD BD AB =-=-=，∴四边形ABCD 是“等邻边四边形”；（2）如图2，延长C B ''交AB 于点D ，△A B C '''由ABC ∆平移得到，//A B AB ∴''，90A B C ABC ∠'''=∠=︒，1C B CB ''==，B D AB ∴'⊥，BB '平分ABC ∠，45B BD ∴∠'=︒，B D BD ∴'=，设B D BD x '==，1C D x ∴'=+，2BC AB '==，Rt BDC ∴∆'中，22(1)4x x ++=，整理得：22230x x +-=， 2274x -±∴=， 1172x -+∴=，2172x --=（舍去）， 172BD -+∴=， 21422BB BD -+∴'==．9．我们学过了特殊的四边形，体验了通过作平行线、垂线、延长线等常用方法，把四边形问题转化为三角形问题的重要思想．除了我们学过的特殊四边形，还有很多特殊四边形．我们定义：四边形中，除一边以外其余的部分都在这条边的同侧，这个四边形就叫做凸四边形；有一组邻角相等的凸四边形就叫做“等邻角四边形”，根据这个定义，请解决下列问题．（1）概念理解如图（1），在ABC ∆中，CH AB ⊥于H ，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，连接DF 、EF 、EH 、DE 、FH ，写一个图形中的“等邻角四边形”： 四边形DHEF （不再添加除图形以外的字母）；（2）解决问题如图（2），四边形ABCD 是“等邻角四边形”，且DAB ABC ∠=∠，延长AB 、DC 交于点P ． 求证：AD PC BC PD ⋅=⋅；（3）探索研究如图（3），Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，8AB =，4AC =，3AD =，点E 是BC 边上的一个动点，当四边形ADEC 成为“等邻角四边形”时，求四边形ADEC 的面积．【解答】（1）解：点D 、F 分别是AB 、AC 的中点，DF ∴是ABC ∆的中位线，//DF BC ∴，ADF B ∴∠=∠，CH AB ⊥于H ，点E 是BC 的中点，12HE EB BC ∴==， EHB B ∴∠=∠，EHB ADF ∴∠=∠，180ADF FDH EHD DHE ∠+∠=∠+∠=︒，FDH DHE ∴∠=∠，四边形DHEF 为凸四边形，∴四边形DHEF 为“等邻角四边形”，故答案为：四边形DHEF ；（2）证明：过点C作//CF AD交AB于点F，A CFP∴∠=∠，A ABC∠=∠，ABC CFP∴∠=∠，CF CB∴=，P P∠=∠，APD FPC∴∆∆∽，∴AD PD CF PC=，∴AD PDCB PC=，AD PC BC PD∴⋅=⋅；（3）解：分三种情：①当90CAB EDB∠=∠=︒时，如图：90CAB EDB∠=∠=︒，B B∠=∠，CAB EDB∴∆∆∽，∴DE BDAC AB=，8AB=，4AC=，3AD=，835BD∴=-=，∴5 48 DE=，52 DE∴=，()11539432224CADE S DE AC AD ⎛⎫∴=⋅+⋅=⋅+⋅= ⎪⎝⎭梯形， ②当ADE DEC ∠=∠时，如图：过点E 作EH AB ⊥于点H ，90CAB EDB ∴∠=∠=︒，B B ∠=∠，CAB EHB ∴∆∆∽，∴EH BE AC BC=， Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，8AB =，4AC =，3AD =，22224845BC AC AB ∴=+=+=，ADE DEC ∠=∠，BDE DEB ∴∠=∠，5BD BE ∴==，∴5445EH =， 5EH ∴=，5511485516222CAB EDB CADE S S S ∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=-四边形， ③当C CED ∠=∠时，如图：过点A 作//AF DE 交BC 于点F ，过点E 作EH AB ⊥于点H ，过点F 作FN AB ⊥于点N ，过点F 作FM AC ⊥于点M ，过点A 作AG BC ⊥于点G ，AFC CED ∴∠=∠，C CED ∠=∠，4AF AC ∴==，AG BC ⊥，2AF CG ∴=，90CGA CAB ∠=∠=︒，C C ∠=∠，CAG CBA ∴∆∆∽， ∴CG CA CA CB=，∴4CG =，CG ∴=，CF ∴=，BF BC CF ∴=-=FM AC ⊥，90CMF CAB ∴∠=∠=︒，C C ∠=∠，CMF CAB ∴∆∆∽， ∴CM CF CA CB =，即4CM =， 85CM ∴=， 125AM FN ∴==， //AF DE BED BFA ∴∆∆∽，FN AB ⊥，EH AB ⊥， ∴EH BD FN BA=，即51285EH =， 32EH ∴=， 113494852224CAB EDB CADE S S S ∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=四边形， 综上所述，四边形ADEC的面积为39491644-或．10．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是 矩形 ；（2）如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F ，G 分别在AD ，AB ，BC 上，四边形DEFG 是垂等四边形，且90EFG ∠=︒，AF CG =．①求证：EG DG =；②若BC n BG =⋅，求n 的值；（3）如图2，在Rt ABC ∆中，2AC BC=，5AB =，以AB 为对角线，作垂等四边形ACBD ．过点D 作CB 的延长线的垂线，垂足为E ，且ACB ∆与DBE ∆相似，求四边形ACBD 的面积．【解答】（1）解：矩形有一组邻边垂直且对角线相等，故矩形的垂等四边形． 故答案是：矩形；（2）①证明：四边形ABCD 为正方形，AD CD ∴=，A C ∠=∠．又AF CG =，()ADF CDG SAS ∴∆≅∆，DF DG ∴=．四边形DEFG 是垂等四边形，EG DF ∴=，EG DG ∴=．②解：如图1，过点G 作GH AD ⊥，垂足为H ，∴四边形CDHG为矩形，CG DH∴=．由①知EG DG=，DH EH∴=．由题意知90A B∠=∠=︒，AB BC CD AD===，AF CG=，AB AF BC CG∴-=-，即BF BG=，BFG∴∆为等腰直角三角形，45GFB∴∠=︒．又90EFG∠=︒，180904545EFA∴∠=︒-︒-︒=︒，AEF∴∆为等腰直角三角形，AE AF CG∴==，AE EH DH∴==，3BC AE∴=，2BG AE=．BC n BG=⋅，∴32BCnBG==．（3）解：如图2，过点D作DF AC⊥，垂足为F，∴四边形CEDF 为矩形． 2ACBC=， 2AC BC ∴=．在Rt ABC ∆中，5AB = 根据勾股定理得，222AC BC AB +=，即22(2)5BC BC +=， 2AC ∴=，1BC =． 四边形ACBD 为垂等四边形， ∴5AB CD =第一种情况：当ACB BED ∆∆∽时，2AC BE BC DE ==， 设DE x =，则2BE x =， 12CE x ∴=+．在Rt CDE ∆中，根据勾股定理得，222CE DE CD +=， 即22(12)5x x ++=， 解得1262x -，2262x --=（舍去）， ∴262DE -=，46112CE DF x +==+= 4612621121622ACD DCB ACBD S S S ∆∆+-∴=+=⨯+⨯=四边形； 第二种情况：当ACB DEB ∆∆∽时，2AC DE BC BE ==， 设BE y =，则2DE y =，在Rt CDE ∆中，根据勾股定理得，222CE DE CD +=，即22(1)(2)5y y ++=， 解得12115y -=，22115y --=（舍去）， ∴21415CE DF y +==+=，221225DE y -==， 21422122213112125255ACD DCB ACBD S S S ∆∆+-+∴=+=⨯⨯+⨯⨯=四边形． 综上所述，四边形ACBD 的面积为6或22135+． 11．新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD 是“等对角四边形”， A C ∠≠∠，60A ∠=︒，70B ∠=︒，求C ∠，D ∠的度数（2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形” ABCD （如图2)，其中ABC ADC ∠=∠，AB AD =，此时她发现CB CD =成立．请你证明此结论（3）已知：在“等对角四边形ABCD 中，60DAB ∠=︒，90ABC ∠=︒，10AB =，8AD =．求对角线AC 的长．【解答】（1）解：四边形ABCD 是“等对角四边形”， A C ∠≠∠，60A ∠=︒，70B ∠=︒， 70D B ∴∠=∠=︒，360707060160C ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒；（2）证明：如图2，连接BD ，AB AD =，ABD ADB ∴∠=∠，ABC ADC ∠=∠，ABC ABD ADC ADB ∴∠-∠=∠-∠，CBD CDB ∴∠=∠，（3）解：分两种情况：①当90ADC ABC ∠=∠=︒时，延长AD ，BC 相交于点E ，如图3所示：90ABC ∠=︒，60DAB ∠=︒，10AB =，8AD =，30E ∴∠=︒，220AE AB ∴==，20812DE AE AD ∴=-=-=，90EDC ∠=︒，30E ∠=︒，CD ∴==AC ∴=②当60BCD DAB ∠=∠=︒时，过点D 作DM AB ⊥于点M ，DN BC ⊥于点N ，如图4所示：则90AMD ∠=︒，四边形BNDM 是矩形，60DAB ∠=︒，8AD =，10AB =，30ADM ∴∠=︒，142AM AD ∴==，DM ∴==1046BM AB AM ∴=-=-=，四边形BNDM 是矩形，6DN BM ∴==，BN DM ==60BCD ∠=︒，CN ∴==BC CN BN ∴=+=AC ∴==综上所述：AC 的长为12．定义：长宽比为:1(n n为正整数）的矩形称为n矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个2矩形，如图a所示．操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH．操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD．则四边形ABCD2（1）证明：四边形ABCD2（2）点M 是边AB 上一动点．①如图b ，O 是对角线AC 的中点，若点N 在边BC 上，OM ON ⊥，连接MN ．求tan OMN ∠的值；②若AM AD =，点N 在边BC 上，当DMN ∆的周长最小时，求CN NB的值；③连接CM ，作BR CM ⊥，垂足为R ．若AB =DR 的最小值= 2 ．【解答】证明：（1）设正方形ABEF 的边长为a ， AE 是正方形ABEF 的对角线，45DAG ∴∠=︒，由折叠性质可知AG AB a ==，90FDC ADC ∠=∠=︒，则四边形ABCD 为矩形，ADG ∴∆是等腰直角三角形．AD DG ∴==，:AB AD a ∴==．∴四边形ABCD 矩形；（2）①解：如图b ，作OP AB ⊥，OQ BC ⊥，垂足分别为P ，Q ．四边形ABCD 是矩形，90B ∠=︒，∴四边形BQOP 是矩形．90POQ ∴∠=︒，//OP BC ，//OQ AB ． ∴OP AO BC AC =，OQ CO AB CA=． O 为AC 中点，12OP BC ∴=，12OQ AB =． 90MON ∠=︒，QON POM ∴∠=∠．Rt QON Rt POM ∴∆∆∽．∴ON OQ AB OM OP BC==tan 2ON OMN OM ∴∠==． ②解：如图c ，作M 关于直线BC 对称的点P ，连接DP 交BC 于点N ，连接MN ． 则DMN ∆的周长最小，//DC AP ，∴CN DC NB BP=， 设AM AD a ==，则2AB CD a ==．(21)BP BM AB AM a ∴==-=-．∴222(21)CN CD a NB BP a===+-， ③如备用图，四边形ABCD 为2矩形，22AB =，2BC AD ∴==，BR CM ⊥，∴点R 在以BC 为直径的圆上，记BC 的中点为I ，112CI BC ∴==， DR ∴最小2212CD CI =+-=故答案为：213．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，ABC ∆的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD 是以AC 为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点D （保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）①如图2，在四边形ABCD 中，80ABC ∠=︒，140ADC ∠=︒，对角线BD 平分ABC ∠．请问BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”吗？请说明理由；②若4BD =，求AB BC ⋅的值．运用：（3）如图3，已知FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”， 30EFH HFG ∠=∠=︒．连接EG ，若EFG ∆的面积为63，求FH 的长．【解答】解：（1）如图1所示．5AB =，25BC =，90ABC ∠=︒，5AC =， 四边形ABCD 是以AC 为“相似对角线”的四边形，①当90ACD ∠=︒时，ACD ABC ∆∆∽或ACD CBA ∆∆∽，∴AC CD AC CD AB BC BC AB==或， ∴525255==2.5CD ∴=或10CD =，同理：当90CAD ∠=︒时， 2.5AD =或10AD =，如图中，1D ，2D ，3D ，4D 即为所求；（2）①如图2，BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”，理由如下：80ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，40ABD DBC ∴∠=∠=︒，140A ADB ∴∠+∠=︒，140ADC ∠=︒，140BDC ADB ∴∠+∠=︒A BDC ∴∠=∠，ABD DBC ∴∆∆∽，BD ∴是四边形ABCD 的“相似对角线”； ②ABD DBC ∆∆∽， ∴AB BD BD BC =， 2BD AB BC ∴=⋅，又4BD =，16AB BC ∴⋅=；（3）如图3，FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”， EFH ∴∆与HFG ∆相似．又EFH HFG ∠=∠，FEH FHG ∴∆∆∽， ∴EF FH FH FG =， 2FH FE FG ∴=⋅， 过点E 作EQ FG ⊥垂足为Q ，可得3sin 602EQ FE EF =⨯︒=， 1632FG EQ ⨯⨯=， ∴136322FG EF ⨯⨯⨯=， 24FG FE ∴⋅=，224FH FG FE ∴=⋅=，26FH ∴=．14．新定义：两邻角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）四边形ABDE 是邻余四边形，则下列说法正确的是 ②③ （填序号）． ①AE ，BD 的延长线的夹角为90︒；②若AB 为邻余线，则AB 是最长边；③若AB 为邻余线，则D ABD ∠>∠．（2）在64⨯的方格纸中，A ，B 在格点上，请在图①，图②中各画出一个符合条件的邻余四边形ABHG ，使AB 不是邻余线，G ，H 在格点上．（3）如图③，四边形ABDE 是邻余四边形，AB 为邻余线，点F 为DE 的中点，连接AF ，BF ，恰有AF ，BF 分别平分EAB ∠，DBA ∠．若8AE BD ⋅=，求DE 的长．【解答】解：（1）AB 不一定是邻余线，即BD ，DE ，AE 都可能是邻余线， AE ∴，BD 的延长线的夹角不一定为90︒，故①不正确；如图1，四边形ABDE 是邻余四边形，AB 是邻余线，延长BD ，AE 交于点F ，AB为邻余线，∴∠=︒，AFB90∴>，AB BFAB AF>，>，BF BDAF AE>，∴>，AB BDAB AE>，连接AD，则ADB∠都是钝角，∠和AED>，∴>，AD DEAB AD∴>，AB DE则AB边最长，故②正确；如图1，AB为邻余线，∠>∠，∠>∠=︒，F B90BDE F∴∠>∠，BDE B故③正确，故答案为：②③．（2）如图2，3，答案不唯一．（3）如图4所示，延长AE和BD交于点G，则90AGB∠=︒，连接GF，∠，AF，BF分别平分EAB∠，DBA135AFB ∴∠=︒，且点F 到GA ，AB ，BG 的距离相等，又F 为DE 的中点，GEF GDF S S ∆∆∴=，GE GD ∴=，45GED GDE ∴∠=∠=︒，135AEF BDF ∴∠=∠=︒，AFE FBD ∴∠=∠，AEF FDB ∴∆∆∽， ∴EF AE BD DF =， 8EF DF AE BD ∴⋅=⋅=，22EF ∴=，即42DE =．15．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友好四边形”．（1）如图1，在44⨯的正方形网格中，有一个网格Rt ABC ∆和两个网格四边形ABCD 与ABCE ，其中是被AC 分割成的“友好四边形”的是 四边形ABCE ；（2）如图2，将ABC ∆绕点C 逆时针旋转得到△A B C ''，点B '落在边AC ，过点A 作//AD A B ''交CA '的延长线于点D ，求证：四边形ABCD 是“友好四边形”； （3）如图3，在ABC ∆中，AB BC ≠，60ABC ∠=︒，ABC ∆的面积为63，点D 是ABC ∠的平分线上一点，连接AD ，CD ．若四边形ABCD 是被BD 分割成的“友好四边形”，求BD 的长．【解答】解：（1）2AB =，1BC =，4AD =，由勾股定理得，AC =CD ==AE ==5CE =，BC AB AC AC AE CE ===， ABC EAC ∴∆∆∽，∴四边形ABCE 是“友好四边形”，BC AC AC CD≠， ABC ∴∆与ACD ∆不相似，∴四边形ABCD 不是“友好四边形”，故答案为：四边形ABCE ；（2）证明：根据旋转的性质得，A CB ACB ''∠=∠，CA B CAB ''∠=∠，//AD A B ''，CA B D ''∴∠=∠，CAB D ∴∠=∠，又A CB ACB ''∠=∠，ABC DAC ∴∆∆∽，∴四边形ABCD 是“友好四边形”；（3）如图3，过点A 作AM BC ⊥于M ，在Rt ABM ∆中，sin AM AB ABC =⋅∠，ABC ∆的面积为，∴12BC AB =， 24BC AB ∴⨯=，四边形ABCD 是被BD 分割成的“友好四边形”，且AB BC ≠，ABD DBC ∴∆∆∽ ∴AB BD BD BC=， 224BD AB BC ∴=⨯=，BD ∴==．16．已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，3BC =．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．（1）如图1，四边形CDEF 是ABC ∆的内接正方形，则正方形CDEF 的边长1a 等于 2 ；（2）如图2，四边形DGHI 是（1）中EDA ∆的内接正方形，那么第2个正方形DGHI 的边长记为2a ；继续在图2中的HGA ∆中按上述方法作第3个内接正方形，依此类推，⋯⋯则第n 个内接正方形的边长n a = ．(n 为正整数）【解答】解：（1）四边形CDEF 是正方形，EF FC ∴=，//EF FC ，BFE BCA ∴∆∆∽，∴BF EF BC AC =， ∴11336a a -=， 12a ∴=，故答案是：2；（2）如图（2）四边形DGHI 是正方形，IH ID ∴=，//IH AD ，EIH EDA ∴∆∆∽，∴IE IH DE AD=，∴22224a a -=， 243a ∴=， 如图3中，由以上同样的方法可以求得正方形PGQS 的边长为：328293=， 第4的个正方形的边长为：43162273=， ⋯第n 个内接正方形的边长123nn n a -=， 故答案为：123nn -=．17．有一组对边平行，一个内角是它对角的两倍的四边形叫做倍角梯形．（1）已知四边形ABCD 是倍角梯形，//AD BC ，100A ∠=︒，请直接写出所有满足条件的D ∠的度数；（2）如图1，在四边形ABCD 中，180BAD B ∠+∠=︒，BC AD CD =+．求证：四边形ABCD 是倍角梯形；（3）如图2，在（2）的条件下，连结AC ，当2AB AC AD ===时，求BC 的长．【解答】解：（1）//AD BC ，180A B ∴∠+∠=︒，100A ∠=︒，80∴∠=︒，B四边形ABCD是倍角梯形，D B∴∠=∠或22∠=∠，A C若2D B∠=∠，则160∠=︒；D若2A CC∠=︒，∠=∠，则50∴∠=︒，130D故所有满足条件的D∠的度数为160︒或130︒；（2）证明：过点D作//DE AB，交BC于点E，∠+∠=︒，180BAD B∴，//AD BCDE AB，//∴四边形ABED为平行四边形，∴=，B DEC ADEAD BE∠=∠=∠，=+，BC BE CE∴=+，BC AD CE又BC AD CD=+，>，CE CD∴=，BC AD∴∠=∠，CDE DEC∴∠=∠+∠=∠，2ADC ADE CDE B∴四边形ABCD是倍角梯形；（3）过点E作//AE DC交BC于点E，=，AB AC∴∠=∠，B ACBAD AC =，ACD D ∴∠=∠，//AD BC ，ACB DAC ∴∠=∠，设B α∠=，则2D α∠=，180DAC D ACD ∠+∠+∠=︒，22180ααα∴++=︒，36α∴=︒，36B ACB ∴∠=∠=︒，108BAC AEB ∴∠=∠=︒，B B ∠=∠，ABE CBA ∴∆∆∽， ∴AB BE BC AB =， 设AE BE CD x ===，则2BC x =+，22(2)x x ∴=+，51x ∴=-（负值舍去），51CD ∴=-．25151BC AD CD ∴=+=+-=+．18．我们定义：有两条边相等，一组对角互补的四边形称为“奇妙”四边形，其中相等的这组边称为“奇妙”边．（1）下列选项中一定是“奇妙”四边形的是 ②④ ．（填写序号）；①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形（2）如图，在722⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD 的四个顶点均在格点（小正方形的顶点）上，连接AC ．①图中ACD ∆中CD 边上的高的长为 ．②请判断四边形ABCD 是否为“奇妙”四边形，说明理由；③请用图中的ABC ∆和ADC ∆拼成一个新的图形（两个三角形不重叠），使得该图形为轴对称图形，在网格图中画出两个你所拼后的图形（全等的图形只能算一个），所拼的两个图形分别为 、 （在原图上作图，或在空余网格处作图均可，注明图形顶点字母并表示在横线上）；（3）已知在“奇妙”四边形ABCD 中，其中一条“奇妙”边AB =2BD =，60ADC ∠=︒，请直接写出该“奇妙”四边形的周长．【解答】解：（1）根据“奇妙”四边形的定义，矩形，正方形是“奇妙”四边形． 故答案为②④．（2）①如图，作AH CD ⊥交CD 的延长线于H ．由题意5CD =，111361234265222ADC S ∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=， ∴152CD AH ⋅⋅=， 2AH ∴=，故答案为2．②过点A 作AJ BC ⊥于J ．90AJB AHD ∠=∠=︒，2AH AJ ==，AB AD ==Rt AHD Rt AJB(HL)∴∆≅∆，AB AD ∴=，ADH B ∠=∠，180ADH ADC ∠+∠=︒，180B ADC ∴∠+∠=︒，∴四边形ABCD 是“奇妙”四边形．③如图ACM ∆，四边形ADCN 即为所求．故答案为：ACM ∆，四边形ADCN ．（3）四边形ABCD 有一组内角互补，A ∴，B ，C ，D 四点共圆，作四边形ABCD 的外接圆O ．①当AB BC =时，连接OD ，OB ，OC ，过点C 作CF DO ⊥交DO 的延长线于F ，过点B 作BE DA ⊥交DA 的延长线于E ．AB BC =，∴AB BC =，1302ADB BDC ADC ∴∠=∠=∠=︒， 260BOC BDC ∴∠=∠=︒，OB OC =，OBC ∴∆是等边三角形，2OB OC DO BC AB ∴====，2BD =，222OD OB BD ∴+=，90DOB ∴∠=︒，150DOC ∴∠=︒，30COF ∠=︒122CF OC ∴=，6OF = 222262(2)()3122CD DF CF ∴=+=++，135DAB ∠=︒，45EAB ∴∠=︒，AE AB ⊥，1AE EB ∴==， 33DE EB ∴==， 31AD ∴=-，∴四边形ADCB 的周长为2231312223+-++=+．②当AD AB =时，2AD AB =2BD =，222AD AD BD ∴+=，90DAB ∴∠=︒，BD ∴是O 的直径，90DCB ∴∠=︒，45ADB ∠=︒，60ADC ∠=︒，15BDC ∴∠=︒，在DC 上取一点E ，使得DE BE =，连接BE ，则30BEC ∠=︒，设BC EC a ==，则2BE DE a ==，3EC a =，23CD a a ∴=+， 在Rt DBC ∆中，222BD BC CD =+， 224(23)a a a ∴=++， 解得622a -=， 622BC -∴=，62232CD a a +=+=， ∴四边形ABCD 的周长为62622222622-+++=+．③当2AB CD ==时，可得四边形ABCD 是等腰梯形，过点D 作DE BC ⊥于E ．在Rt DCE ∆中，60DCE ∠=︒，2DC ，30CDE ∴∠=︒，1222CE CD ∴==，63DE CE ==， 在Rt BDE ∆中，22226102()2BE BD DE =--， 1022BC ∴， 同法可得102AD +=， ∴四边形ABCD 的周长为102102222210-+=综上所述，四边形ABCD 的周长为2223+或226+或22210+．19．定义：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，则称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线称为“亮线”．如图1，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，满足2AC AB AD =⋅，四边形ABCD 是闪亮四边形，AC 是亮线．（1）以下说法正确的是 ①③ （填写序号）①正方形不可能是闪亮四边形；②矩形中存在闪亮四边形；③若一个菱形是闪亮四边形，则必有一个内角是60︒．（2）如图2，四边形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=︒，9AD =，12AB =，20CD =，判断哪一条线段是四边形ABCD 的亮线？请你作出判断并说明理由．（3）如图3，AC 是闪亮四边形ABCD 的唯一亮线，90ABC ∠=︒，60D ∠=︒，4AB =，2BC =，请直接写出线段AD 的长．【解答】解：（1）①设正方形的边长为a 2a ，2(2)a a a ≠⋅，∴正方形不可能是闪亮四边形．故①正确②如图①中，四边形ABCD 是矩形，DE AC ⊥于E ，不妨设矩形是闪亮四边形．则2AC AD CD =⋅， 1122AC DE AD DC ⋅⋅=⋅⋅， DE AC ∴=，AC AD DE >>，显然与DE AC =矛盾，假设不成立，∴矩形不可能是闪亮四边形，故②错误．③如图②中，四边形ABCD 是菱形，四边形ABCD 是闪亮四边形，不妨设2AC AD CD =⋅，四边形ABCD 是菱形，AD CD ∴=，AC AD CD ∴==，ADC ∴∆是等边三角形，60D ∴∠=︒，∴若一个菱形是闪亮四边形，则必有一个内角是60︒．故③正确．故答案为①③（2）如图2中，作DH BC ⊥于H ．//AD BC ，180ABC BAD ∴∠+∠=︒，90ABC ∠=︒，90BAD ABC DHB ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形ABHD 是矩形，12AB DH ∴==，9AD BH ==，在Rt DCH ∆中，2216CH CD DH =-=， 91625BC ∴=+=，在Rt ABD ∆中，2215BD AD AB =+=，在Rt ACB ∆中，222769AC AB BC =+=，2BD AD BC =⋅，BD ∴是四边形ABCD 的闪亮对角线．（3）①当2AC DA DC =⋅时，如图3中，作CH AD ⊥于H ．cos DH CD D =⋅∠，sin CH CD D =⋅∠，cos AH AD CD D =-⋅∠，22222(cos )(sin )AC AH CH AD CD D CD D ∴=+=-⋅∠+⋅∠222cos AD CD AD CD D =+-⋅⋅∠22AD CD AD CD =+-⋅，2AC AD CD =⋅，2220AD AD CD CD ∴-⋅+=，2()0AD CD ∴-=，AD CD ∴=，60D ∠=︒，ACD ∴∆是等边三角形，22224225AD AC AB BC ∴==++=．②当2AC AB AD =⋅时，5AD =，且符合题意．③当2AC BC AD =⋅时，10AD =（不符合题意舍弃）．④当2AC BC CD =⋅时，10CD =（不符合题意舍弃），⑤当2AC AB CD =⋅时，作AH CD ⊥于H ．2AC AB CD =⋅，204CD ∴=，5CD ∴=，设DH x =，则2AD x =，3AH x =， 在Rt ACH ∆中，222AC AH CH =+，2220(3)(5)x x ∴=+-，解得554x +=或554-， 552AD +∴=或552- 综上所述，满足条件的AD 的值为25或5或552+或552-． 20．我们给出如下新定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）如图①，请你在图中画出格点M ，使得四边形OAMB 是以OA 、OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形；（2）如图②，将ABC ∆绕顶点B 按顺时针方向旋转60︒，得到DBE ∆，连接AD ，DC ，CE ．若30DCB ∠=︒，则四边形ABCD 是勾股四边形，为什么？【解答】解：（1）如图①，点M 或点M '为所作；（2）连接CE ，如图②，ABC ∆绕顶点B 按顺时针方向旋转60︒，得到DBE ∆ AC DE ∴=，BC BE =，60CBE ∠=︒， BCE ∴∆是等边三角形，EC BC ∴=，60BCE ∠=︒， 30DCB ∠=︒，90DCE ∴∠=︒，222DC EC DE ∴+=，222DC BC AC ∴+=，∴四边形ABCD 是勾股四边形．。

专题瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题【专题说明】动点轨迹问题是中考的重要压轴点.受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚,该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎,致使该压轴点成为学生在中考中失分的一个黑洞.掌握该压轴点的基本图形,构建问题解决的一般思路,是中考专题复习的一个重要途径.本文就动点轨迹问题的基本图形作一详述.动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型.【知识精讲】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

（1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值（2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。

②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。

如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？P QAB C【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．N C B AQP M【引例】如图，△APQ 是等腰直角三角形，∠P AQ =90°且AP =AQ ，当点P 在直线BC 上运动时，求Q 点轨迹？CB AQ P【分析】当AP 与AQ 夹角固定且AP :AQ 为定值的话，P 、Q 轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q 点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q 点轨迹线段．Q 2Q 1ABC【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP :AQ 是定值）．结论：P 、Q 两点轨迹所在直线的夹角等于∠P AQ （当∠P AQ ≤90°时，∠P AQ 等于MN 与BC 夹角） M N ααP QAB CP 、Q 两点轨迹长度之比等于AP :AQ （由△ABC ∽△AMN ，可得AP :AQ =BC :MN ） M NααAB C【精典例题】1、如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．GA B CDE F2、如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q ，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为（ ）A ．24πB ．22πC ．1D ．23、如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．4、如图，在平面内，线段AB =6，P 为线段AB 上的动点，三角形纸片CDE 的边CD 所在的直线与线段AB 垂直相交于点P ，且满足PC =P A ．若点P 沿AB 方向从点A 运动到点B ，则点E 运动的路径长为______．5、如图，等边三角形ABC 的边长为4，点D 是直线AB 上一点．将线段CD 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ，连结BE ．（1）若点D 在AB 边上（不与A ，B 重合）请依题意补全图并证明AD=BE ；（2）连接AE ，当AE 的长最小时，求CD 的长．【精典例题】1、如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．GA B C DE F【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG 最小值，可以将F 点看成是由点B 向点A 运动，由此作出G 点轨迹：考虑到F 点轨迹是线段，故G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G 点在1G 位置，最终G 点在2G 位置（2G 不一定在CD 边），12G G 即为G 点运动轨迹．G 2G 1E DCB ACG 最小值即当CG ⊥12G G 的时候取到，作CH ⊥12G G 于点H ，CH 即为所求的最小值．根据模型可知：12G G 与AB 夹角为60°，故12G G ⊥1EG ．过点E 作EF ⊥CH 于点F ，则HF =1G E =1，CF =1322CE =， 所以CH =52，因此CG 的最小值为52． F HG 2G 1E DCB A 2、如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q ，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为（ ）A ．24B ．22C ．1D ．2【答案】C【详解】连接OC ，作PE ⊥AB 于E ，MH ⊥AB 于H ，QF ⊥AB 于F ，如图，∵△ACB 为到等腰直角三角形，∴AC=BC=222，∠A=∠B=45°，∵O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ，OC 平分∠ACB ，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ ，在Rt △AOP 和△COQ 中A OCQ AO COAOP COQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴Rt △AOP ≌△COQ ，∴AP=CQ ，易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形，∴PE=22AP=22CQ ，QF=22BQ ， ∴PE+QF=22（CQ+BQ ）=22BC=222， ∵M 点为PQ 的中点，∴MH 为梯形PEFQ 的中位线，∴MH=12（PE+QF ）=12， 即点M 到AB 的距离为12， 而CO=1，∴点M 的运动路线为△ABC 的中位线，∴当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长=12AB=1， 故选C ．3、如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．【答案】213【详解】ABCD 为矩形，AB DC ∴=又=PAB PCD S S∴点P 到AB 的距离与到CD 的距离相等，即点P 线段AD 垂直平分线MN 上， 连接AC ，交MN 与点P ，此时PC PD +的值最小，且PC PD AC +==22224652213AB BC +=+==故答案为：2134、如图，在平面内，线段AB =6，P 为线段AB 上的动点，三角形纸片CDE 的边CD 所在的直线与线段AB 垂直相交于点P ，且满足PC =P A ．若点P 沿AB 方向从点A 运动到点B ，则点E 运动的路径长为______．【答案】62 【详解】解：如图，由题意可知点C 运动的路径为线段AC ′，点E 运动的路径为EE ′，由平移的性质可知AC ′=EE ′，在Rt △ABC ′中，易知AB =BC ′=6，∠ABC ′=90°，∴EE ′=AC 2266+2故答案为：625、如图，等边三角形ABC 的边长为4，点D 是直线AB 上一点．将线段CD 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ，连结BE ．（1）若点D 在AB 边上（不与A ，B 重合）请依题意补全图并证明AD=BE ；（2）连接AE ，当AE 的长最小时，求CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）27【详解】解：（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，由旋转的性质得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．（2）如图2，过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F．∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠A=60°，∴点E的运动轨迹是直线BE，根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=CF，∵∠ACB=∠CBE=60°，∴AC∥EF，∵AF⊥BE，∴AF⊥AC，在Rt △ACF 中， ∴CF=22AC AF +=()22423+=27，∴CD=CF=27.专题 瓜豆原理中动点轨迹圆或圆弧型最值问题【专题说明】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。

2021届新中考数学必考精点考点专题专题05 因式分解一、因式分解及其方法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。

因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。

因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

1．提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．比如：am+an=a（m+n）2．运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．（1）平方差公式两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：（2）完全平方公式两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方．字母表达式：（3）立方和与立方差公式两个数的立方和(或者差)等于这两个数的和(或者差)乘以它们的平方和与它们积的差(或者和)．a3+b3＝（a+b）（a2-ab+b2）a3﹣b3＝（a-b）（a2+ab+b2）3．十字相乘法分解因式：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.（1）对于二次三项式，若存在，则（2）首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.4.分组分解法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.比如：am﹣an﹣bm+bn=（am﹣an）﹣（bm﹣bn）=a（m﹣n）﹣b（m﹣n）=（m﹣n）（a﹣b）．二、因式分解策略1.因式分解的一般步骤：(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法（平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b),完全平方公式a2±2ab＋b2＝(a±b)2）或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.2.从多项式的项数来考虑用什么方法分解因式．（1）如果是两项，应考虑用提公因式法，平方差公式，立方和或立方差公式来分解因式．（2）如果是二次三项式，应考虑用提公因式法，完全平方公式，十字相乘法．（3）如果是四项式或者大于四项式，应考虑提公因式法，分组分解法．3.因式分解要注意的几个问题：（1）每个因式分解到不能再分为止．（2）相同因式写成乘方的形式．（3）因式分解的结果不要中括号．（4）如果多项式的第一项系数是负数，一般要提出“-”号，使括号内的第一项系数为正数．（5）因式分解的结果，如果是单项式乘以多项式，把单项式写在多项式的前面．【例题1】（2019•江苏无锡）分解因式4x2－y2的结果是（）A．（4x+y）（4x﹣y） B．4（x+y）（x﹣y）C．（2x+y）（2x﹣y） D．2（x+y）（x﹣y）【答案】C【解析】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．直接利用平方差公式分解因式得出答案． 4x2－y2＝（2x）2－y2 =（2x+y）（2x﹣y）．【对点练习】（2019广西贺州）把多项式分解因式，结果正确的是A．B．C．D．【答案】B【解析】运用公式法，故选：B．【例题2】（2020贵州黔西南）多项式分解因式的结果是______.【答案】【解析】先提出公因式a，再利用平方差公式因式分解．解：a3-4a=a（a2-4）=a（a+2）（a-2）．【点拨】本题考查提公因式法和公式法进行因式分解，解题的关键是熟记提公因式法和公式法．【对点练习】（2019宁夏）分解因式：2a3﹣8a＝．【答案】2a（a+2）（a﹣2）【解析】先提取公因式，再利用二数平方差公式。

专题05 利用等腰三角形的性质计算线段的长度知识对接考点一、等腰三角形的性质(1)两底角相等(简称“等边对等角”).(2)顶角的平分线垂直平分底边,顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合,简称“三线合一”. (3)是轴对称图形,有一条对称轴. (4)面积:S=21ah(a 为等腰三角形的一边长,h 为该边上的高). 考点二、三角形中的重要线段专项训练一、单选题1．（2021·河北九年级）下面是教师出示的作图题． 本号资料皆来源于@微信##公众号：数学第六感 已知：线段a ，h ，小明用如图所示的方法作ABC ，使AB a ，AB 上的高CP h ．作法：①作射线AM ，以点A 为圆心、 ① 为半径画弧，交射线AM 于点B ；①分别以点A ，B 为圆心、 ① 为半径画弧，两弧交于点D ，E ；①作直线DE ，交AB 于点P ；①以点P 为圆心、 ⊕ 为半径在AM 上方画孤，交直线DE 于点C ，连接AC ，BC ．对于横线上符号代表的内容，下列说法不正确的是（ ） A ．①代表“线段a 的长”B ．①代表“任意长”C ．①代表“大于12a 的长”D ．⊕代表“线段h 的长”【答案】B 【分析】根据线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形的三线合一的性质进行解答即可． 【详解】解：正确作法如下：①作射线AM ，以点A 为圆心、线段a 的长为半径画弧，交射线AM 于点B ；①分别以点A ，B 为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点D ，E ；①作直线DE ，交AB 于点P ；①以点P 为圆心、线段h 的长为半径在AM 上方画孤，交直线DE 于点C ，连接AC ，BC ． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的三线合一的性质作图，理解题意并灵活运用线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的三线合一的性质成为解答本题的关键．2．（2021·绵竹市孝德中学九年级）如图，已知点()120A ,，O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），过P 、O 两点的二次函数1y 和过P 、A 两点的二次函数2y 的图象开口均向下，它们的项点分别为B 、C ，射线OB 与AC 相交于点D ．当8OD AD ==时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）A ．5 B．C ．8 D ．6【答案】B 【分析】过B 作BF ①OA 于F ，过D 作DE ①OA 于E ，过C 作CM ①OA 于M ，则BF +CM 是这两个二次函数的最大值之和，BF //DE //CM ，求出AE =OE =6，DEP （2x ，0），根据二次函数的对称性得出OF =PF =x ，推出①OBF ①①ODE ，①ACM ①①ADE ，得出BF ：DE =OF ：OE ，CM ：DE =AM ：AE ，代入求出BF 和CM ，相加即可求出答案． 【详解】解：过B 作BF ①OA 于F ，过D 作DE ①OA 于E ，过C 作CM ①OA 于M ，①BF ①OA ，DE ①OA ，CM ①OA ， ①BF //DE //CM ， ①OD =AD =8，DE ①OA ， ①OE =EA =12OA =6，由勾股定理得：DE=设P （2x ，0），根据二次函数的对称性得出OF =PF =x ， ①BF //DE //CM ，①①OBF ①①ODE ，①ACM ①①ADE ， ①BF ：DE =OF ：OE ，CM ：DE =AM ：AE ，①AM =PM =12（OA -OP ）=12（12-2x ）=6-x ，6x=66x -=，解得：BF ，CM ，①BF +CM 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质和判定的应用，题目比较好，但是有一定的难度，属于综合性试题．3．（2021·郸城县白马镇春蕾中学）如图，CD 是ABC 的边AB 上的中线，将线段AD 绕点D 顺时针旋转90︒后，点A 的对应点E 恰好落在AC 边上，若AD BC =AC 的长为（ ）A B ．3 C ．D ．4【答案】B 【分析】连接,BE 利用性质的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，求解45,2,A AE ∠=︒= 再证明：EA EB ==,BE AE ⊥ 再利用勾股定理求解CE ，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接,BE由题意得：,AD DE AD DE ==⊥45,2,A AE ∴∠=︒==,BD AD = 2,EA EB ∴== 45,ABE ∴∠=︒,BE AE ∴⊥ 5,BC =1,CE ∴= 3,AC AE CE ∴=+=故选B ． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，旋转的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．4．（2021·山东滨州·九年级）如图1，点P 从ABC 的顶点A 出发，沿A B C →→匀速运动到点,C 图2是点P 运动时线段CP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中点Q 为曲线部分的最低点，则ABC 的边AB 的长度为（ ）A ．12B ．8C ．10D ．13【答案】C→→匀速运动到点C，此时AC最长，CP在AB边上先变小后变大，从而可求根据图象可知点P沿A B C出AB上的高，从图象可以看出点P运动到点B时CP=CB=13，可知①ABC是等腰三角形，进而得出结论．【详解】由图象可知：点P在A上时，CP=AC=13，点P在AB上运动时，在图象上有最低点，即AB边上的高，为12，点P与点B重合时，CP即BC最长，为13，所以，①ABC是等腰三角形，①AB的长2510=⨯=故选：C【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出BC与AC的长度．5．（2021·云南师大附中）如图，在①ABC中，AB＝AC，AD，BE是①ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于CP+EP最小值的是（）A．AC B．AD C．BE D．BC【答案】C【分析】如图连接PB，只要证明PB=PC，即可推出PC+PE=PB+PE，由PE+PB≥BE，可得P、B、E共线时，PB+PE 的值最小，最小值为BE的长度．【详解】解：如图，连接PB，①AB=AC，BD=CD，①PB=PC ， ①PC+PE=PB+PE ， ①PE+PB≥BE ，①P 、B 、E 共线时，PB+PE 的值最小，最小值为BE 的长度， 故选C ． 【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．6．（2021·新疆阿勒泰·九年级二模）如图，已知AOB ∠．按照以下步骤作图：①以点O 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交AOB ∠的两边于C ，D 两点，连接CD ．①分别以点C ，D 为圆心，以大于线段OC 的长为半径作弧，两弧在AOB ∠内交于点E ，连接CE ，DE ．①连接OE 交CD 于点M ．下列结论中错误的是（ ）A ．CEO DEO ∠=∠B ．CM MD =C ．OCD ECD ∠=∠ D ．12OCED S CD OE =⋅四边形【答案】C 【分析】利用基本作图得出是角平分线的作图，进而解答即可． 【详解】由作图步骤可得：OE 是AOB ∠的角平分线， ①①COE=①DOE ，①OC=OD ，OE=OE ，OM=OM ， ①①COE①①DOE ， ①①CEO=①DEO ，①①COE=①DOE ，OC=OD ，①CM=DM ，OM①CD ，①S 四边形OCED =S ①COE +S ①DOE =111222OE CM OE DM CD OE +=，但不能得出OCD ECD ∠=∠，①A 、B 、D 选项正确，不符合题意，C 选项错误，符合题意， 故选C ． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)是解题的关键.7．（2021·天津红桥·九年级一模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，点B 的对应点为E ，点A 的对应点D 落在线段AB 上，DE 与BC 相交于点F ，连接BE ．则下列结论一定正确的是（ ）A ．ABC BDF ∠=∠B ．BC DE = C ．ADC FDC ∠=∠D ．BE BD =【答案】C 【分析】根据旋转的性质、等腰三角形的性质判断即可． 【详解】解：由旋转可知，①A =①FDC ，AC =CD ， ①①A =①ADC ， ①ADC FDC ∠=∠， 故选：C ． 【点睛】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用相关性质进行推理判断．8．（2021·河北九年级二模）如图，每个小三角形都是边长为1的正三角形，D 、E 、F 、G 四点中有一点是ΔABC 的外心，该点到线段AB 的距离是（ ）ABC ．12D ．1【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质、等腰三角形的三线合一得到ABC 为直角三角形，根据直角三角形的外心的位置是斜边的中点解答． 【详解】 解：如图，每个小三角形都是正三角形，AM AN ∴=，MB BN =，AB MN ∴⊥，ABC ∴为直角三角形，G 是AN 的中点，//GE BC ，∴点E 是ABC 斜边的中点，点H 是AB 边的中点，①112HE BC ==， ①Rt ABC 的外心是斜边的中点， ①即点E 为Rt ABC 的外心， 又①AB MN ⊥，//HE MN ， ①HE AB ⊥，①点E 到线段AB 的距离1HE =， 故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的外心和等边三角形性质、三角形中位线定理，掌握等边三角形的性质、直角三角形的外心的位置是解题的关键．9．（2021·四川凉山·中考真题）下列命题中，假命题是（）A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B．等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合，则点B是线段AC的中点C．若AB BCD．三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心【答案】C【分析】根据中点的定义，直角三角形的性质，三线合一以及外心的定义分别判断即可．【详解】解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故为真命题；B、等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合，故为真命题；C、若在同一条直线上AB=BC，则点B是线段AC的中点，故为假命题；D、三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心，故为真命题；故选C．【点睛】本题考查了中点的定义，直角三角形的性质，三线合一以及外心的性质，属于基础知识，要熟练掌握．10．（2021·江苏）下列说法错误的是（）A．定义反映出事物的本质属性．既可以做性质，也可以做判定B．证明两个等边三角形全等，具需证明一边相等即可C．有一个角是45的等腰三角形是等腰直角三角形D．在放大镜下，一个字可以变大，一条线段可以变长，但是一个角的大小是不变的【答案】C【分析】根据定义的概念，三角形全等，等腰直角三角形，角的性质，分别进行判断即可．【详解】解：A、定义反映出事物的本质属性．既可以做性质，也可以做判定，是真命题；B、证明两个等边三角形全等，具需证明一边相等即可，是真命题；C 、有一个角是45的等腰三角形不一定是等腰直角三角形，若是45顶角，原命题是假命题；D 、在放大镜下，一个字可以变大，一条线段可以变长，但是一个角的大小是不变，是真命题； 故选：C ． 【点睛】此题考查命题与定理，关键是根据等腰直角三角形、角的性质以及三角形全等进行解答． 二、填空题11．如图，在菱形ABCD 中，①B ＝60°，AB ＝2，M 为边AB 的中点，N 为边BC 上一动点（不与点B 重合），将①BMN 沿直线MN 折叠，使点B 落在点E 处，连接DE ，CE ．当①CDE 为等腰三角形时，线段BN 的长为_____．【答案】45或2【分析】 分三种情况：当DE =DC 时，连接DM ，过点D 作DG ①BC 交BC 延长线于点G ，由菱形的性质，在Rt ①DCG 中，可求得CG 、DG 的长度，由折叠的性质及菱形的性质，可证明①AMD ①①EMD ，从而可得D 、E 、N 三点共线．设BN =x ，则NE =x ，BG =3，DN =2+x ，在Rt ①DGN 中，由勾股定理建立方程，可求得x ；当CE =CD 时，此时点E 与点A 重合，点N 与点C 重合，①CDE 是等边三角形，易得BN 的值； 当CE =DE 时，点E 在线段CD 的垂直平分线上，此时点E 与点A 重合，点N 与点C 重合，因而易得BN 的值． 【详解】①当DE =DC 时，连接DM ，过点D 作DG ①BC 交BC 延长线于点G ，如图①四边形ABCD 是菱形①AB =CD =BC =2，AD ①BC ，AB ①CD①①DCG =①B =60゜，①A =180゜-①B =120゜，DE =CD =2 ①DG ①BC①①CDG =90゜-60゜=30゜ ①112CG CD ==由勾股定理得：DG ①BG =BC +CG =2+1=3 ①M 为AB 的中点 ①AM =BM =1由折叠的性质得：EN =BN ，EM =BM =1，①MEN =①B =60゜ ①EM =AM①AD =DC ，DE =DC ①DE =AD在①EMD 和①AMD 中DE AD DM DM EM AM =⎧⎪=⎨⎪=⎩①①EMD ①①AMD (SSS ) ①①DEM =①A =120゜ ①①DEM +①MEN =180゜ 即D 、E 、N 三点共线设BN =x ，则EN =x ，DN =DE +EN =2+x ，NG =BG -BN =3-x 在Rt ①DGN中，由勾股定理可得：222(3)(2)x x +-=+ 解得：45x = 即45BN =①当CE =CD 时，CE =CD =AD =2，此时点E 与点A 重合，点N 与点C 重合，如图①BN =2①当CE =DE 时，点E 在线段CD 的垂直平分线上，此时点E 与点A 重合，点N 与点C 重合，同理可得BN =2． 综上所述，BN 的长为45或2故答案为：45或2．【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，综合性强，证明三角形全等是本题的关键，注意分类讨论．12．（2021·内蒙古呼和浩特·九年级一模）在等腰ABC 中，顶角36A =︒，点D 在一腰AC 上，连接BD ，线段BD 与底边BC 的长相等．若6BC =．则AD =________；若6AB =，则AD =________． 【答案】63-+ 【分析】根据等边对等角和外角的性质证明①ABD =①A ，得到AD =BD =BC =6；设AD =x ，再证明①ABC ①①BDC ，得到AB BCBD DC=，解之即可． 【详解】解：①①A =36°，AB =AC ，①①ABC =①C =（180°-36°）÷2=72°， ①BD =BC ， ①①BDC =①C =72°， ①①BDC =①A +①ABD ， ①①ABD =72°-36°=36°， ①①ABD =①A ， ①AD =BD ， ①BD =BC =6， ①AD =6； 若AB =AC =6，设AD =x ，则BD =BC =x ， ①CD =6-x ，①①BDC =①ABC =72°，①C =①C ， ①①ABC ①①BDC ，①AB BCBD DC=，即66x x x =-，解得：x =3-+3--（负值舍去），经检验：x =3-+①AD =3-+故答案为：6，3-+【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，外角的性质，解分式方程和一元二次方程，解题的关键是灵活运用等边对等角，从而证明三角形相似．13．（2021·江西）如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为10，面积是40，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM 周长的最小值为______．【答案】13 【分析】连接AD ，由于①ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ①BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为CM +MD 的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接AD ，AM ．①①ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点， ①AD ①BC ， ①11.104022ABCSBC AD AD ==⨯⨯= ， 解得AD =8，①EF 是线段AC 的垂直平分线， ①点C 关于直线EF 的对称点为点A ， ①MA =MC ，①MC MD MA MD AD +=+≥， ①AD 的长为CM MD +的最小值，①①CDM 的周长最短=()118101322CM MD CD AD BC ++=+=+⨯=．故答案为：13． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．14．（2021·江西）在平面直角坐标系中，点B 在x 轴的正半轴上，点A 在第一象限，且AO ＝AB ＝2，点E 在线段OB 上运动，当①AOE 和①ABE 都为等腰三角形时，点E 的坐标为_____． 【答案】(2，0)或)或)1,0【分析】分情况讨论，利用等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质进行求解． 【详解】（1）当AO =AE 时： ①AO =AB ，①AE与AB重合，不存在①ABE，同理AB不能与AE相等；（2）当OA=OE时：①若BA=BE，则AO+AB=OE+EB=OB，不存在①AOB；①若EA=EB，如图所示，①AO＝AB＝2，①OE=2，①AO=AB，EA=EB，①①AOB=①ABO=①EAB，又①①ABO=①ABO，①①ABE①①OBA，①AB BEOB BA=，即222BEBE=+，①1BE=，①此时①AOB存在，E(2，0)；（3）当EA=EO时：①若EA=EB，如图所示，此时①AOB=①ABO=①OAE=①BAE，①①OAB=90°，E为OB中点，①AO=AB，①2224OE AE OA +==，①OE =①)E；①若BA =BE ，如图所示，①AO =AB ，EA =EO ， ①①AOB =①ABO =①EAO ， 又①①AOB =①AOB ， ①①AOE ①①BOA ， ①AO OE OB OA =，即222OEOE =+，①1OE =，①)1,0E，综上所述，点E 的坐标为(2，0)或)或)1,0．故答案为：(2，0)或)或)1,0．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定及勾股定理，根据题意分情况讨论并正确画出图形是解题的关键．15．（2021·湖南株洲·中考真题）如图所示，线段BC 为等腰ABC 的底边，矩形ADBE 的对角线AB 与DE 交于点O ，若2OD =，则AC =__________．【分析】先求出矩形的对角线的长，得到AB 的取值，再利用等腰三角形的概念直接得到AC 的值． 【详解】解：①矩形 ADBE 的对角线 AB 与 DE 交于点 O ， ①AB =DE ，OE =OD ， ①AB =DE =2OD =4，①线段 BC 为等腰 ①ABC 的底边， ①AC =AB =4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了矩形的性质和对等腰三角形概念的理解，解决本题的关键是理解相关概念与性质，能灵活运用题干信息，将它们用数学符号进行表示，本题较基础，考查了学生的几何语言表述的能力以及基本功． 三、解答题16．（2021·江苏盐城市·）如图①，在①ABC 中，①A ＝90°，AB ＝AC D 、E 分别在边AB 、AC上，AD ＝AE DE ，把①ADE 绕点A 顺时针方向旋转α（0°＜α＜360°）．（1）如图①，当0°＜α＜180°时，判断线段CE 和BD 的数量关系，并说明理由；（2）如图①，若180°＜α＜360°，当C 、D 、E 三点在同一直线时，BD 与CE 具有怎样的位置关系，请说明理由，并求出此时线段BE 的长；（3）在旋转过程中，求①BCD 的面积的最大值，并写出此时的旋转角α的度数．【答案】（1）CE =BD ，理由见解析；（2）BD ①CE ，BE 3135α︒= 【分析】（1）利用“SAS ”证得①ACE ①①ABD 即可得到结论；（2）先证明①ABD ①①ACE ，得出BD ①CE ，然后根据勾股定理求解即可；（3）观察图形，当点D 在线段BC 的垂直平分线上时，①BCD 的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图2中，根据题意：AB =AC ，AD =AE ，①CAB =①EAD =90°， ①①CAE +①BAE =①BAD +①BAE =90°， ①①CAE =①BAD ， 在①ACE 和①ABD 中，AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①ACE ①①ABD （SAS ）， ①CE =BD ；（2）①AB =AC ，AD =AE ，①CAB =①EAD =90°， ①①CAE =①BAD ． 在①ACE 和①ABD 中，AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①ACE ①①ABD （SAS ）， ①CE =BD ，①ACE =①ABD ．①①ABD +①AOB =90°，①COD =①AOB ， ①①ACE +①COD =90°， ①BD ①CE ． ①AD =AE，AB =AC①CAB =①EAD =90°， ①DEAD =7， BC=13． 设BD =x ，则CD =x -7， 在Rt ①BCD 中， ①x 2+(x -7)2=132，①x 1=12，x 2=-5（舍去）， 在Rt ①BED 中，①BE=（3）解：①BCD 中，边BC 的长是定值，则BC 边上的高取最大值时①BCD 的面积有最大值， ①当点D 在线段BC 的垂直平分线上时，①BCD 的面积取得最大值，如图4中：①DG ①BC 于G ， ①AG =12BC =132，①GAB =45°．①AD =AE ，①DG =AG +AD =132，①DAB =180°-45°=135°，①①BCD 的面积的最大值为：12BC •DG ＝12×13×(132 旋转角α=135°． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．17．（2021·江苏九年级）如图1，点D 在线段AB 上，在①ABC 和①ADE 中，AB ＝AC ，DE ＝DA ，DE ①AC ． （1）求证：BC ①AE ；（2）若D 为AB 中点，请用无刻度的直尺 在图2中作①BAC 的平分线AF ．（保留画图痕迹，不写画法）【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）由DE ①AC 可得①CAB =①ADE ，又AB =AC ，DE =DA ，根据三角形内角和公式可得①ABC =①DAE ，从而证明BC ①AE ；（2）延长ED 交BC 于点F ，则易得CF =AE =BF ，则根据等腰三角形的性质可得AF 平分①BA C ． 【详解】解：（1）证明：①DE ①AC ， ①①CAB =①ADE ， 又AB =AC ，DE =DA ，①①ABC =①ACB =12(180°−①CAB )，同理可得：①DAE =①DEA =12(180°−①ADE )， ①①ABC =①DAE ， ①BC ①AE ．（2）如图3所示，AF 为所作．【点睛】本题考查了作图-基本作图，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，关键是熟悉几何图形基本性质． 18．（2021·山东九年级二模）（1）已知如图1：①ABC ．求作：①O ，使它经过点B 和点C ，并且圆心O 在①A 的平分线上（保留作图痕迹）．（2）如图2，点F 在线段AB 上，AD ①BC ，AC 交DF 于点E ，①BAC ＝①ADF ，AE ＝BC ．求证：①ACD 是等腰三角形．【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析【分析】（1）分别作出①A的角平分线和线段BC的垂直平分线，它们的交点即为圆心O，再以OC为半径画圆即可；（2）利用“AAS”证明①ADE①①CAB，即可得到AD=CA，即可求证．【详解】解：（1）如图所示：①O即为所求．（2）证明：①AD①BC，① ①CAD=①BCA，即①EAD=①BCA.又①①ADF=①CAB，AE=BC，①①ADE①①CAB（AAS），① AD=AC；① ①ACD是等腰三角形．。

中考数学复习考点知识与题型专题讲解专题05 平面直角坐标系【思维导图】【知识要点】知识点一平面直角坐标系的基础有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）。

【注意】a、b的先后顺序对位置的影响。

平面直角坐标系的概念：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。

两轴的定义：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向。

平面直角坐标系原点：两坐标轴交点为其原点。

坐标平面：坐标系所在的平面叫坐标平面。

象限的概念：x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限。

按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

【注意】坐标轴上的点不属于任何象限。

点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b 分别叫做点A 的横坐标和纵坐标，有序数对A(a ，b)叫做点A 的坐标，记作A(a ，b)。

知识点二 点的坐标的有关性质（考点） 性质一 各象限内点的坐标的符号特征性质二 坐标轴上的点的坐标特征 1.x 轴上的点，纵坐标等于0； 2.y 轴上的点，横坐标等于0； 3.原点位置的点，横、纵坐标都为0. 性质三 象限角的平分线上的点的坐标1．若点P （n m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m =，即横、纵坐标相等； 2．若点P （n m ,）在第二、四象限的角平分线上，则n m -=，即横、纵坐标互为相反数；象限 横坐标x 纵坐标y 第一象限 正 正 第二象限 负 正 第三象限 负 负 第四象限正负在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上 性质四 与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征 1.在与x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；m ；2.在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；n ；性质五 点到坐标轴距离在平面直角坐标系中，已知点P ),(b a ，则 1.点P 到x 轴的距离为b ； 2.点P 到y 轴的距离为a ；3.点P 到原点O 的距离为PO ＝ 22b aXXXY性质六 平面直角坐标系内平移变化性质七 对称点的坐标1. 点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；2. 点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；3.点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P --，即横、纵坐标都互为相反数；P （b a ,）abxy OXyPP mm -nOXyP1Pnn -mO小结：【考查题型】考查题型一 用有序数对表示位置【解题思路】要确定位置坐标，需根据题目信息、明确行和列的实际意义是解答本题的关键． 典例1．（2021·湖北宜昌市中考真题）小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（ ）．X-A．小李现在位置为第1排第2列B．小张现在位置为第3排第2列C．小王现在位置为第2排第2列D．小谢现在位置为第4排第2列【答案】B【分析】由于撤走一排，则四人所在的列数不变、排数减一，据此逐项排除即可．【详解】解：A. 小李现在位置为第1排第4列，故A选项错误；B. 小张现在位置为第3排第2列，故B选项正确；C. 小王现在位置为第2排第3列，故C选项错误；D. 小谢现在位置为第4排第4列，故D选项错误．故选：B．变式1-1．（2018·广西柳州市中考模拟）初三（1）班的座位表如图所示，如果如图所示建立平面直角坐标系，并且“过道也占一个位置”，例如小王所对应的坐标为（3，2），小芳的为（5，1），小明的为（10，2），那么小李所对应的坐标是（）A．（6，3）B．（6，4）C．（7，4）D．（8，4）【答案】C【详解】根据题意知小李所对应的坐标是（7，4）.故选C.变式1-2．（2017·北京门头沟区一模）小军邀请小亮去他家做客，以下是他俩的对话： 小军：“你在公交总站下车后，往正前方直走400米，然后右转直走300米就到我家了” 小亮：“我是按照你说的走的，可是走到了邮局，不是你家…”小军：“你走到邮局，是因为你下公交车后朝向东方走的，应该朝向北方走才能到我家…” 根据两人的对话记录，从邮局出发走到小军家应( ) A ．先向北直走700米，再向西走100米 B ．先向北直走100米，再向西走700米 C ．先向北直走300米，再向西走400米 D ．先向北直走400米，再向西走300米 【答案】A【分析】根据对话画出图形即可得出答案．【详解】解：如图所示：从邮局出发走到小军家应：向北直走700米，再向西直走100米．故选：A ．考查题型二 求点的坐标典例2．（2021·天津中考真题）如图，四边形OBCD 是正方形，O ，D 两点的坐标分别是()0,0，()0,6，点C 在第一象限，则点C 的坐标是（）A ．()6,3B ．()3,6C ．()0,6D ．()6,6【答案】D【分析】利用O ，D 两点的坐标，求出OD 的长度，利用正方形的性质求出ＯB ，BC 的长度，进而得出C 点的坐标即可．【详解】解：∵O ，D 两点的坐标分别是()0,0，()0,6，∴OD ＝6，∵四边形OBCD 是正方形，∴OB ⊥BC ，OB =BC =6 ∴C 点的坐标为：()6,6， 故选：D ．变式2-1．（2021·山东滨州市·中考真题）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M ，到x 轴的距离为4，到y 轴的距离为5，则点M 的坐标为（） A ．()4,5- B ．(5,4)-C ．(4,5)-D ．(5,4)-【答案】D【分析】根据点到坐标轴的距离及点所在的象限解答即可. 【详解】设点M 的坐标为（x ，y ）， ∵点M 到x 轴的距离为4， ∴4y =， ∴4y =±，∵点M 到y 轴的距离为5，x=，∴5x=±，∴5∵点M在第四象限内，∴x=5，y=-4，即点M的坐标为（5，-4）故选：D.4,0，点C的坐标变式2-2．（2021·湖北襄阳市模拟）如图，四边形ABCD为菱形，点A的坐标为() 4,4，点D在y轴上，则点B的坐标为（）为()A．(4,2)B．(2,8)C．(8,4)D．(8,2)【答案】D【分析】根据菱形的性质得出D的坐标（0，2），进而得出点B的坐标即可．【详解】连接AC，BD，AC、BD交于点E，∵四边形ABCD是菱形，OA＝4，AC＝4，∴ED＝OA＝EB＝4，AC＝2EA＝4，∴BD＝8，OD＝EA＝2∴点B 坐标为（8，2）， 故选：D ．变式2-3．（2021·广东二模）已知点2,24()P m m +-在x 轴上，则点Р的坐标是（） A ．()4,0 B ．()0,8C ．()4,0-D ．()0,8-【答案】A【分析】根据点P 在x 轴上，即y=0，可得出m 的值，从而得出点P 的坐标． 【详解】解：∵点2,24()P m m +-在x 轴上， ∴240m -=， ∴2m =；∴2224m +=+=， ∴点P 为：（4，0）； 故选：A ．变式2-4．（2021·广西一模）点M （3，1）关于y 轴的对称点的坐标为（ ） A ．（﹣3，1） B ．（3，﹣1）C ．（﹣3．﹣1）D ．（1，3）【答案】A【分析】根据关于y 轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案． 【详解】点M （3，1）关于y 轴的对称点的坐标为（﹣3，1），故选：A ． 考查题型三 点的坐标的规律探索【解题思路】考查坐标的规律探索，解题的关键是根据题意找到坐标的变化规律.典例3．（2021·山东中考真题）如图，在单位为1的方格纸上，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7，…，都是斜边在x 轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A 1A 2A 3的顶点坐标分别为A 1（2，0），A 2（1，1），A 3（0，0），则依图中所示规律，A 2021的坐标为（）A．（﹣1008，0）B．（﹣1006，0）C．（2，﹣504）D．（1，505）【答案】A【分析】观察图形可以看出A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，由于2021÷4＝504…3，A2021在x轴负半轴上，纵坐标为0，再根据横坐标变化找到规律即可解答．【详解】解：观察图形可以看出A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，∵2021÷4＝504 (3)∴A2021在x轴负半轴上，纵坐标为0，∵A3、A7、A11的横坐标分别为0，﹣2，﹣4，∴A2021的横坐标为﹣（2021﹣3）×12＝﹣1008．∴A2021的坐标为（﹣1008，0）．故选A．变式3-1．（2021·山东菏泽市·中考真题）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点1A，第二次移动到点2A……第n次移动到点n A，则点2019A的坐标是（）A ．()1010,0B ．()1010,1C ．()1009,0D ．()1009,1【答案】C 【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点2019A 的坐标．【详解】()10,1A ，()21,1A ，()31,0A ，()42,0A ，()52,1A ，()63,1A ，…，201945043÷=⋅⋅⋅，所以2019A 的坐标为()50421,0⨯+，则2019A 的坐标是()1009,0，故选C ．变式3-2．（2021·辽宁阜新市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 沿x 轴向右滚动到△AB 1C 1的位置，再到△A 1B 1C 2的位置……依次进行下去，若已知点A(4，0)，B(0，3)，则点C 100的坐标为( )A ．121200,5⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()600,0 C ．12600,5⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．()1200,0【答案】B 【分析】根据三角形的滚动，可得出：每滚动3次为一个周期，点C 1，C 3，C 5，…在第一象限，点C 2，C 4，C 6，…在x 轴上，由点A ，B 的坐标利用勾股定理可求出AB 的长，进而可得出点C 2的横坐标，同理可得出点C 4，C 6的横坐标，根据点的横坐标的变化可找出变化规律“点C 2n 的横坐标为2n×6(n 为正整数)”，再代入2n=100即可求出结论．【详解】解：根据题意，可知：每滚动3次为一个周期，点C 1，C 3，C 5，…在第一象限，点C 2，C 4，C 6，…在x 轴上．∵A(4，0)，B(0，3)，∴OA=4，OB=3，∴，∴点C 2的横坐标为4+5+3=12=2×6， 同理，可得出：点C 4的横坐标为4×6，点C 6的横坐标为6×6，…， ∴点C 2n 的横坐标为2n×6(n 为正整数)， ∴点C 100的横坐标为100×6=600， ∴点C 100的坐标为(600，0)．故选：B ．考查题型四 判断点的象限【解题思路】各象限内点的坐标的符号特征需记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 典例4．（2021·湖南株洲市·中考真题）在平面直角坐标系中，点(,2)A a 在第二象限内，则a 的取值可．以．是（ ） A ．1B ．32-C ．43D ．4或-4 【答案】B【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数即可判断．【详解】解：∵点(,2)A a 是第二象限内的点，∴0a <， 四个选项中符合题意的数是32-， 故选：B变式4-1．（2021·江苏扬州市中考真题）在平面直角坐标系中，点()22,3P x +-所在的象限是（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【分析】直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案．【详解】∵x 2＋2＞0，∴点P （x 2＋2，−3）所在的象限是第四象限．故选：D ． 变式4-2．（2021·湖北黄冈市·中考真题）在平面直角坐标系中，若点(,)A a b -在第三象限，则点(,)B ab b -所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】根据点(,)A a b -在第三象限，可得0a <，0b -<，进而判定出点B 横纵坐标的正负，即可解决．【详解】解：∵点(,)A a b -在第三象限，∴0a <，0b -<，∴0b >，∴0ab ->，∴点B 在第一象限，故选：A ．变式4-4．（2021·湖南邵阳市·中考真题）已知0,0a b ab +>>，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（）A ．(),a bB ．(),a b -C ．(),a b --D ．(),a b -【答案】B 【分析】根据0,0a b ab +>>，得出0,0a b >>，判断选项中的点所在的象限，即可得出答案．【详解】∵0,0a b ab +>>∴0,0a b >>选项Ａ：(),a b 在第一象限选项Ｂ：(),a b -在第二象限选项Ｃ：(),a b --在第三象限选项Ｄ：(),a b -在第四象限小手盖住的点位于第二象限故选：B考查题型五 点坐标的有关性质1.坐标轴上的点的坐标特征1．（2017·四川中考模拟）如果点P(a －4，a)在y 轴上，则点P 的坐标是( )A ．(4,0)B ．(0,4)C ．(－4,0)D ．(0，－4)【答案】B【解析】由点P(a−4,a)在y 轴上，得a−4=0，解得a=4，P 的坐标为(0,4)，故选B.2．（2018·广西柳州十二中中考模拟）点P （m +3，m +1）在x 轴上，则点P 坐标为（） A ．（0，﹣4） B ．（4，0） C ．（0，﹣2） D ．（2，0）【答案】D【详解】解：∵点P （m+3，m+1）在x 轴上，∴y ＝0，∴m+1＝0，解得：m ＝﹣1，∴m+3＝﹣1+3＝2，∴点P 的坐标为（2，0）．故选：D ．3．（2021·甘肃中考真题）已知点(224)P m m +，﹣在x 轴上，则点P 的坐标是（ ）A ．(40)，B ．(04)，C ．40)(-，D ．(0,4)-【答案】A【详解】 解：点224P m m +（，﹣）在x 轴上，240m ∴﹣＝，m＝，解得：2∴+＝，24m4,0．则点P的坐标是：()故选：A．4．（2021·甘肃中考模拟）已知点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，则点P的坐标是（）A．（4，0）B．（0，4）C．（﹣4，0）D．（0，﹣4）【答案】A【详解】解：∵点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，∴2m﹣4＝0，解得：m＝2，∴m+2＝4，则点P的坐标是：（4，0）．故选：A．5．（2021·广东华南师大附中中考模拟）如果点P(m+3，m+1)在平面直角坐标系的x轴上，则m＝() A．﹣1 B．﹣3 C．﹣2 D．0【答案】A【详解】由P(m+3，m+1)在平面直角坐标系的x轴上，得m+1＝0．解得：m＝﹣1，故选：A．2.象限角的平分线上的点的坐标1.已知点A（-3+a，2a+9）在第二象限角平分线上，则a=_________ 【答案】-2【详解】∵点A在第二象限角平分线上∴它的横纵坐标互为相反数则-3+a+2a+9=0解得a=-22．（2018·广西中考模拟）若点N在第一、三象限的角平分线上，且点N到y轴的距离为2，则点N 的坐标是( )A．(2，2) B．(－2，－2) C．(2，2)或(－2，－2) D．(－2，2)或(2，－2)【答案】C【解析】已知点M在第一、三象限的角平分线上，点M到x轴的距离为2，所以点M到y轴的距离也为2.当点M在第一象限时，点M的坐标为（2，2）；点M在第三象限时，点M的坐标为（-2，-2）．所以，点M的坐标为（2，2）或（-2，-2）．故选C．3.与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征1．（2021·广西中考模拟）已知点A（a﹣2，2a+7），点B的坐标为（1，5），直线AB∥y轴，则a的值是（）A．1 B．3 C．﹣1 D．5【答案】B【详解】解：∵AB∥y轴，∴点A横坐标与点A横坐标相同，为1，可得：a -2=1，a=3故选：B．2．（2018·天津中考模拟）如果直线AB平行于y轴，则点A，B的坐标之间的关系是（）A．横坐标相等B．纵坐标相等C．横坐标的绝对值相等D．纵坐标的绝对值相等【答案】A【解析】试题解析：∵直线AB平行于y轴，∴点A，B的坐标之间的关系是横坐标相等.故选A.3．（2021·广东华南师大附中中考模拟）已知点A（5，﹣2）与点B（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且B到y轴的距离等于4，那么点B是坐标是（）A．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）B．（4，2）或（﹣4，2）C．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2）D．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2）【答案】A【详解】∵A（5，﹣2）与点B（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，∴B的纵坐标y＝﹣2，∵“B到y轴的距离等于4”，∴B的横坐标为4或﹣4．所以点B的坐标为（4，﹣2）或（﹣4，﹣2），故选A．4．（2021·江苏中考模拟）若线段AB∥x轴且AB＝3，点A的坐标为（2，1），则点B的坐标为（）A．（5，1）B．（﹣1，1）C．（5，1）或（﹣1，1）D．（2，4）或（2，﹣2）【答案】C【详解】∵AB∥x轴且AB＝3，点A的坐标为（2，1）∴点B的坐标为（5，1）或（﹣1，1）5．（2018·江苏中考模拟）已知点M（﹣1，3），N（﹣3，3），则直线MN与x轴、y轴的位置关系分别为（）A．相交，相交B．平行，平行C．垂直，平行D．平行，垂直【答案】D【详解】由题可知，M、N两点的纵坐标相等，所以直线MN与x轴平行，与y轴垂直相交.故选:D.4.点到坐标轴距离1．（2018·天津中考模拟）已知平面内不同的两点A（a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，则a的值为( )A．﹣3 B．﹣5 C．1或﹣3 D．1或﹣5【答案】A【解析】∵点A（a＋2，4）和B（3，2a＋2）到x轴的距离相等，∴4＝|2a ＋2|，a ＋2≠3，解得：a ＝−3，故选A ．2．（2018·江苏中考真题）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M ，点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，则点M 的坐标是（ ）A ．(3,4)-B ．(4,3)-C ．(4,3)-D ．()3,4-【答案】C【解析】由题意，得x=-4，y=3，即M 点的坐标是（-4，3），故选C ．3．（2017·北京中考模拟）点P 是第二象限的点且到x 轴的距离为3、到y 轴的距离为4，则点P 的坐标是（ ）A ．（﹣3，4）B ．（ 3，﹣4）C ．（﹣4，3）D ．（ 4，﹣3） 【答案】C【详解】由点且到x 轴的距离为3、到y 轴的距离为4，得|y|=3，|x|=4．由P 是第二象限的点，得x=-4，y=3．即点P 的坐标是（-4，3），故选C．4.（2012·江苏中考模拟）在平面直角坐标系中，点P(－3，4)到x轴的距离为( )A．3 B．－3 C．4 D．－4【答案】C【详解】∵|4|=4，∴点P（-3，4）到x轴距离为4．故选C．5.平面直角坐标系内平移变化1．（2021·山东中考真题）在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）【答案】A【解析】已知将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加可得点A′的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为﹣2+3=1，即A′的坐标为（﹣1，1）．故选A．2.（2021·北京中考模拟）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A(4，－1)，B(1,1)将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为(－2,2)，则点B′的坐标为()A．(－5,4) B．(4,3) C．(－1，－2) D．(－2，－1)【答案】A【详解】∵点A（4，﹣1）向左平移6个单位，再向上平移3个单位得到A′（﹣2，2），∴点B（1，1）向左平移6个单位，再向上平移3个单位得到的对应点B′的坐标为（﹣5，4）．故选A．3．（2015·广西中考真题）在平面直角坐标系中，将点A(x，y)向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B(－3，2)重合，则点A的坐标是（）A．(2，5) B．(－8，5) C．(－8，－1) D．(2，－1)【答案】D【解析】解：在坐标系中，点（﹣3，2）先向右平移5个单位得（2，2），再把（2，2）向下平移3个单位后的坐标为（2，﹣1），则A点的坐标为（2，﹣1）．故选：D．4．（2016·四川中考真题）已知△ABC顶点坐标分别是A（0，6），B（﹣3，﹣3），C（1，0），将△ABC 平移后顶点A的对应点A1的坐标是（4，10），则点B的对应点B1的坐标为（）A．（7，1）B．B（1，7）C．（1，1）D．（2，1）【答案】C【解析】因为4-0=4，10-6=4，所以由点A到点A1的平移是向右平移4个单位，再向上平移4个单位，则点B 的对应点1B的坐标为（1，1）故选C.5．（2018·武汉市东西湖区教育局中考模拟）在坐标系中，将点P( －2，1)向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P’的坐标（）A．（2,4）B．(1,5) C．(1,-3) D．(-5,5)【答案】B将点P( －2，1)向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P’的坐标(1,5).故选B.6.对称点的坐标1．（2021·广东中考模拟）在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）【答案】A【解析】点P（1，-2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2），故选A．2．（2021·山东中考模拟）已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第二象限，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜B．﹣＜a＜1 C．a＜﹣1 D．a>【答案】C【详解】依题意得P点在第三象限，∴，解得：a＜﹣1．故选C．3．（2014·广西中考真题）已知点A（a，2013）与点B（2014，b）关于x轴对称，则a+b的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【答案】B关于x 轴对称的两个点的特点是，x 相同即横坐标，y 相反即纵坐标相反，故a=2014，b=-2013，故a+b=14．（2018·广西中考模拟）已知点P(a ＋l ，2a －3)关于x 轴的对称点在第一象限，则a 的取值范围是（ ） A ．a 1<- B ．31a 2-<< C ．3a 12-<< D ．3a 2>【答案】B【解析】∵点P （a ＋1，2a －3）关于x 轴的对称点在第一象限，∴点P 在第四象限。

专题05 因式分解1.理解因式分解的概念2.掌握因式分解的方法，比如提公因式法、公式法等。

一、因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．掌握其定义应注意以下几点：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；（2）因式分解必须是恒等变形；（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．弄清因式分解与整式乘法的内在的关系：因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．二、因式分解的常用方法（一）提公因式法如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。

它的理论依据就是乘法分配律。

1.多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

2.提公因式法基本步骤：（1）找出公因式（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。

但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。

用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。

因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。

例1、分解因式：（1）（2x+y ）2﹣（x+2y ）2（2）﹣8a 2b+2a 3+8ab 2．【答案】（1）原式=[（2x+y ）+（x+2y ）][（2x+y ）﹣（x+2y ）]=3（x+y ）（x ﹣y ）；（2）原式=2a （a 2﹣4ab+4b 2）=2a （a ﹣2b ）2．（二）公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：①平方差公式： a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）②完全平方公式：a 2＋2ab ＋b 2＝（a ＋b ）2a 2－2ab ＋b 2＝（a －b ）2例2、因式分解：214y -=（ ）A ．()()1212y y -+B ．()()22y y -+C ．()()122y y -+D ．()()212y y -+【答案】A【分析】利用平方差公式因式分解即可．【详解】解：214y -=()()1212y y -+，故选：A ．（三）十字相乘法.1.二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

中考数学总复习考点知识专题练习专题05 平面直角坐标系一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)1．（2021·浙江台州市·中考真题）如图，把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，则顶点C（0，-1）对应点的坐标为（）A．（0，0）B．（1，2）C．（1，3）D．（3，1）【答案】D【分析】先找到顶点C的对应点为F，再根据直角坐标系的特点即可得到坐标．【详解】∵顶点C的对应点为F，由图可得F的坐标为（3，1），故选D．P向下平移2个单位长2．（2021·四川成都市·中考真题）在平面直角坐标系中，将点(3,2)度得到的点的坐标是（）A．(3,0)B．(1,2)C．(5,2)D．(3,4)【答案】A【分析】根据点的坐标平移规律“左减右加，下减上加”，即可解答．【详解】解：将点P ()3,2向下平移2个单位长度所得到的点坐标为()3,22-，即()3,0， 故选：A ．3．（2021·四川泸州市中考真题）在平面直角坐标系中，将点(2,3)A -向右平移4个单位长度，得到的对应点A '的坐标为（）A ．()2,7B ．()6,3-C ．()2,3D ．()2,1--【答案】C【分析】根据横坐标，右移加，左移减可得点A （-2，3）向右平移4个单位长度后得到的对应点A′的坐标为（-2+4，3）．【详解】解：点A （-2，3）向右平移4个单位长度后得到的对应点A′的坐标为（-2+4，3）， 即（2，3），故选：C ．4．（2021·甘肃中考真题）已知点(224)P m m +，﹣在x 轴上，则点P 的坐标是（ ） A ．(40)，B ．(0)4，C ．40)(-，D ．(0,4)- 【答案】A【分析】直接利用关于x 轴上点的坐标特点得出m 的值，进而得出答案．【详解】解：点224P m m +（，﹣）在x 轴上，240m ∴﹣＝，解得：2m ＝，24m ∴+＝，则点P 的坐标是：()4,0．故选A ．5．（2021·湖南株洲市·中考真题）在平面直角坐标系中，点()2,3A -位于哪个象限？（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．【详解】解：点A 坐标为()2,3-，则它位于第四象限，故选D ．6．（2018·江苏扬州市·中考真题）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M ，点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，则点M 的坐标是（ ）A ．(3,4)-B ．(4,3)-C ．(4,3)-D ．()3,4-【答案】C【解析】分析：根据第二象限内点的坐标特征，可得答案．详解：由题意，得x=-4，y=3，即M 点的坐标是（-4，3），故选C ．7．（2018·北京中考真题）右图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（6-，3-）时，表示左安门的点的坐标为（5，6-）；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（12-，6-）时，表示左安门的点的坐标为（10，12-）；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（11-，5-）时，表示左安门的点的坐标为（11，11-）；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（16.5-，7.5-）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，16.5-）．上述结论中，所有正确结论的序号是A ．①③B ．②③④C ．①④D ．①②③④【答案】D【详解】分析：根据天安门的坐标和点的平移规律，一一进行判断即可.详解：显然①②正确；③是在②的基础上，将所有点向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，故③正确； ④是在“当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（18-，9-）时，表示左安门的点的坐标为（15，18-）”的基础上，将所有点向右平移1.5个单位，再向上平移1.5个单位得到，故④正确．故选D.点睛：考查平面直角坐标系，点坐标的确定，点的平移，熟练掌握点的平移规律是解题的关键.8．（2018·山东枣庄市·中考真题）在平面直角坐标系中，将点A （﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到点B ，则点B 关于x 轴的对称点B′的坐标为（ ）A ．（﹣3，﹣2）B ．（2，2）C ．（﹣2，2）D ．（2，﹣2）【答案】B【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B 点坐标，然后再根据关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．【详解】点A （﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到的B 的坐标为（﹣1+3，﹣2），即（2，﹣2），则点B 关于x 轴的对称点B ′的坐标是（2，2），故选B ．9．（2018·浙江丽水市·中考真题）小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x 轴，对称轴为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm ，则图中转折点P 的坐标表示正确的是()A．(5，30)B．(8，10)C．(9，10)D．(10，10)【答案】C【分析】先求得点P的横坐标，结合图形中相关线段的和差关系求得点P的纵坐标．【详解】如图，过点C作CD⊥y轴于D，∴BD=5，CD=50÷2-16=9，OA=OD-AD=40-30=10，∴P（9，10）；故选C．10．（2018·四川广元市·中考真题）若以A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【分析】首先画出平面直角坐标系，根据A、B、C三点的坐标找出其位置，然后再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形找出D的位置，进而可得答案．【详解】如图所示：第四个顶点不可能在第三象限．故选C．二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)11．（2021·浙江金华市·中考真题）点P(m，2)在第二象限内，则m的值可以是(写出一个即可)______．【答案】－1（答案不唯一，负数即可）【分析】根据第二象限的点符号是“-，+”，m取负数即可．【详解】∵点P(m，2)在第二象限内，m ，∴0m取负数即可，如m=-1，故答案为：－1（答案不唯一，负数即可）．12．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M、N的坐标分别为(3,9)、(12,9)，则顶点A的坐标为________．【答案】(15,3)【分析】先根据条件，算出每个正方形的边长，再根据坐标的变换计算出点A的坐标即可．【详解】解：设正方形的边长为a，a=-则由题设条件可知：3123a=解得：3∴点A的横坐标为：12315-⨯=+=，点A的纵坐标为：9323故点A的坐标为(15,3)．故答案为：(15,3)．13．（2021·黑龙江大庆市·中考真题）点(2，3)关于y轴对称的点的坐标为_____．【答案】(﹣2，3)【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（-x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．【详解】点（2，3）关于y 轴对称的点的坐标是（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）．14．（2017·湖北荆州市·中考真题）将直线y ＝x ＋b 沿y 轴向下平移3个单位长度，点A(－1，2)关于y 轴的对称点落在平移后的直线上，则b 的值为____．【答案】4【解析】试题分析：先根据一次函数平移规律得出直线y=x+b 沿y 轴向下平移3个单位长度后的直线解析式y=x+b ﹣3，再把点A （﹣1，2）关于y 轴的对称点（1，2）代入y=x+b ﹣3，得1+b ﹣3=2，解得b=4．故答案为4．15．（2021·宁夏中考模拟）点 P （a ，a －3）在第四象限，则a 的取值范围是_____．【答案】0＜a ＜3【分析】根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象限，四个象限的符号特征分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）.【详解】∵点P （a ，a －3）在第四象限，∴a 0{a 30>-<，解得0＜a ＜3. 三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)16．（2021·广西中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC ∆的三个顶点坐标分别是2,1,1,()()2,3,3()A B C ---（1）将ABC ∆向上平移4个单位长度得到111A B C ∆，请画出111A B C ∆；（2）请画出与ABC ∆关于y 轴对称的222A B C ∆； （3）请写出12A A 、的坐标．【答案】（1）如图所示：111A B C ∆，即为所求；见解析；（2）如图所示：222A B C ∆，即为所求；见解析；（3）122,3,),1(()2A A --．【解析】【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用所画图象得出对应点坐标.【详解】（1）如图所示：111A B C ∆，即为所求； （2）如图所示：222A B C ∆，即为所求；（3）122,3,),1(()2A A --．17．（2021·安徽中考模拟）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如下图所示．(1)填写下列各点的坐标：A 1(，)、A 3(，)、A 12(，)；(2)写出点A 4n 的坐标(n 是正整数)；(3)指出蚂蚁从点A 100到点A 101的移动方向．【答案】⑴A 1(0,1) A 3(1,0) A 12(6,0)⑵A n (2n,0)⑶从下向上【解析】试题分析：（1）在平面直角坐标系中可以直接找出答案；（2）根据求出的各点坐标，得出规律；（3）点A 100中的n 正好是4的倍数，根据第二问的答案可以分别得出点A 100和A 101的坐标，所以可以得到蚂蚁从点A 100到A 101的移动方向．解：（1）A 1（0，1），A 3（1，0），A 12（6，0）；（2）当n=1时，A 4（2，0），当n=2时，A 8（4，0），当n=3时，A 12（6，0），所以A 4n （2n ，0）；（3）点A 100中的n 正好是4的倍数，所以点A 100和A 101的坐标分别是A 100（50，0），A 101的（50，1），所以蚂蚁从点A 100到A 101的移动方向是从下向上．18．（2021·沭阳县修远中学中考模拟）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中．（1）把△ABC 平移至A '的位置，使点A 与A '对应，得到△A B C '''；（2）图中可用字母表示，与线段AA '平行且相等的线有：________；（3）求四边形ACC A ''的面积．【答案】(1)见解析；（2）;BB CC '';(3)14.【详解】（1）根据图形可得，点A 向右平移5个单位，向上平移4个单位，分别将B 、C 按照点A 平移的路径进行平移，然后顺次连接，则△A B C '''即为所求.（2）根据平移可得线段AA′与线段CC′、BB′相互平行且相等，故答案为BB′、CC′（3）S 四边形ACC′A′=6×6-(12×4×5+12×2×1)×2=14.19．（2021·江苏中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD各边都平行于坐标轴，且A（-2，2），C（3，-2）．对矩形ABCD及其内部的点进行如下操作：把每个点的横坐标乘以a，纵坐标乘以b，将得到的点再向右平移k（）个单位，得到矩形及其内部的点（分别与ABCD对应）．E（2，1）经过上述操作后的对应点记为．（1）点D的坐标为，若a=2，b=-3，k=2，则点的坐标为；（2）若（1，4），（6，-4），求点的坐标．【答案】（1）（3，2），（8，-6）；（2）E′（5，2）．【解析】（1）∵矩形ABCD各边都平行于坐标轴，且A（-2，2），C（3，-2），∴D（3，2），∵对矩形ABCD及其内部的点进行如下操作：把每个点的横坐标乘以a，纵坐标乘以b，将得到的点再向右平移k（k＞0）个单位，得到矩形A′B′C′D′及其内部的点（A′B′C′D′分别与ABCD对应），E（2，1）经过上述操作后的对应点记为E′．∴若a=2，b=-3，k=2，则D′（8，-6）；（2）依题可列：，解得：，故2b=4，则b=2，∵点E（2，1），∴E′（5，2）．20．（2021·广东中考模拟）在平面直角坐标系中，点M的坐标为(a，1－2a)．(1)当a＝－1时，点M在坐标系的第___________象限(直接填写答案)；(2)将点M向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到点N，当点N在第三象限时，求a的取值范围．【答案】(1)第二象限(2).【详解】（1）把把a=-1代入点M的坐标得(-1，3)，故在第二象限；（2）∵点M(a，1－2a)平移后的点N的坐标为（a-2,1-2a+1），依题意得解得.。

专题05直接开平方法、因式分解法和配方法解一元二次方程压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一解一元二次方程——直接开平方法】 (1)【考点二一元二次方程的解法——因式分解法】 (3)【考点三配方法解二次项系数为1的一元二次方程】 (5)【考点四配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】 (6)【考点五用配方法解一元二次方程错解复原】 (8)【考点六利用配方法求多项式的最值问题】 (10)【过关检测】 (13)【典型例题】【考点一解一元二次方程——直接开平方法】【变式训练】开方得，235x +=±，解得11x =，24x =-．（2）方程两边直接开方得：311x x -=+，或()311x x -=-+，∴22x =，或40x =，解得：11x =，20x =．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用直接开平方法解一元二次方程”是解本题的关键．【考点二一元二次方程的解法——因式分解法】【变式训练】【考点三配方法解二次项系数为1的一元二次方程】【变式训练】【考点四配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】【变式训练】【考点五用配方法解一元二次方程错解复原】【变式训练】1.（2023秋·河北沧州·九年级统考期末）阅读材料，并回答问题：佳佳解一元二次方程2640x x +-=的过程如下：解：2640x x +-=【考点六利用配方法求多项式的最值问题】【变式训练】1.（2023春·浙江·七年级专题练习）代数式243x x -+的最小值为（）．A ．1-B ．0C ．3D ．5【答案】A【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案．【详解】代数式()2224344121x x x x x -+=-+-=--∵()220x -≥，∴()2211x --≥-即代数式2|431x x -+≥-，【过关检测】一、选择题1．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）用配方法解一元二次方程2410x x -=+时，原方程可变形为（）A ．2(2)1x +=B ．2(2)5x +=C ．2(2)1x -=D ．2(4)17x +=【答案】B【分析】根据2410x x -=+，配方得()225x +=，然后作答即可．【详解】解：2410x x -=+，配方得()225x +=，故选：B ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于熟练掌握配方法解一元二次方程．2．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）一元二次方程22023x x =的根为（）A ．2023x =-B ．2023x =C ．10x =，22023x =-D ．10x =，22023x =【答案】D故选：B．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确将原式配方是解题的关键．二、填空题(1)当边长为1的边为腰时，这个等腰三角形的三边长为1,1,3，+<，不满足三角形的三边关系定理，舍去；此时113(2)当边长为3的边为腰时，这个等腰三角形的三边长为1,3,3，+>，满足三角形的三边关系定理，此时133++=；则这个等腰三角形的周长为1337综上，这个等腰三角形的周长为7，故答案为：7．【点睛】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．三、解答题212320m m -+=，212364m m +-=，∴()264m -=，62m -=±，18m =，24m =，经检验18m =，24m =是原方程的解，∴m 的值为8或4．【点睛】本题主要考查了完全平方式的定义，熟记完全平方公式是解答本题的关键．20．（2023秋·云南昆明·九年级统考期末）【材料阅读】先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：我们知道20a ≥，所以代数式2a 的最小值为0，可以用公式()2222a ab b a b ±+=±来求一些多项式的最小值．例题：求代数式248y y ++的最小值．解：()2224844424y y y y y ++=+++=++．()220y +≥ ()2244y ∴++≥∴代数式248y y ++的最小值为4．请应用上述思想方法，解决下列问题：(1)【类比探究】()222x -+的最小值为______；(2)【举一反三】代数式28x x -+有最______（填“大”或“小”）值为______；(3)【灵活运用】某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为15m ），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形．已知栅栏的总长度为24m ，则可设较小矩形的宽为m x ，较大矩形的宽为2m x （如图）．当x 为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【答案】(1)2(2)大，16(3)当4x=时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为【分析】(1)根据材料内容即可解答；(2)根据材料内容即可解答；(3)根据矩形的面积公式及配方法，即可列出代数式，再根据完全平方式的非负性，即可解答．。

一、选择题13．（2020•丽水）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（）A．a2+b2B．2a﹣b2C．a2﹣b2D．﹣a2﹣b2{答案}C {解析}能运用平方差公式因式分解的两项都是平方的形式或能化成平方的形式且两项必须是符号相反，只有a2﹣b2同时满足这两个条件，所以本题选C．3．（2020·河北）对于①x-3xy=x（1-3y），②（x+3）(x-1)=x2+2x-3，从左到右的变形，表述正确的是A.都是因式分解B.都是乘法运算C.①是因式分解，②是乘法运算D.①是乘法运算，②是因式分解{答案}C{解析}对于x-3xy=x（1-3y）,左边是一个多项式，右边是两个整式的乘积，故①是因式分解；对于（x+3）(x-1)=x2+2x-3，左边是两个整式的乘积，右边是一个多项式，故②是整式乘法.9．（2020·河北）若22(91)(111)k--=8×10×12，则k=A.12B.10C.8D.6{答案}B{解析}解析：k=()()229111181012--⨯⨯=919111111181012+-+-⨯⨯（）（）（）（）=10812111280⨯⨯⨯⨯⨯=10，故答案为B.5．（2020·凉山州）一元二次方程x2＝2x的根为（）A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0或x＝2 D．x＝0或x＝－2{答案}C{解析}原方程可化为x(x－2)＝0，解得x＝0或x＝2，故选C．二、填空题9．（2020·宿迁）因式分解：a2＋a＝．{答案}a(a＋1){解析}因为a2＋a＝a×a＋a×1＝a(a＋1)，所以a2＋a＝a(a＋1)．故答案为a(a＋1)．12.(2020·宁波)分解因式：2a2－18＝.{答案}2(a＋3)(a－3){解析}本题考查了因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，若能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍就不能分解，因式分解必须进行到不能再分解为止．2a2－18＝2(a2－9)＝2(a＋3)(a －3)．11．（2020·绍兴）分解因式：1﹣x2=________．{答案}（1-x）（1+x）{解析}本题考查了利用平方差公式进行因式分解．原式=（1-x）（1+x）．因此本题答案为（1-x）（1+x）．11．（2020·嘉兴）分解因式：x2-9＝．{答案}(x＋3)(x–3){解析}本题考查了因式分解.利用平方差公式22()()a b a b a b-=+-因式分解，因此本题答案为(x＋3)(x–3)．18．（2020·嘉兴）比较21x+与2x的大小．（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：①当x＝1时，21x+2x；②当x＝0时，21x+2x；③当x＝–2时，21x+2x；（2）归纳：若x任意实数，21x+与2x有怎样的大小关系？试说明理由。

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因式分解专项练习题一定要记住的公式大全:初中因式分解的常用方法（例题详解）一、提公因式法.如多项式),(c b a m cm bm am ++=++其中m 叫做这个多项式各项的公因式, m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．二、运用公式法.运用公式法，即用))((,)(2),)((223322222b ab a b a b ab a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-＊十字相乘法初步公式：x^2+(p+q ）x+pq=（x+p ）（x+q ） ．＊（可不记）十字相乘法通用公式：如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m 时，那么kx^2+mx+n=（ax+b)(cx+d ）．因式分解方法（重要:因式分解法的结果一定是多个因式相乘）： 方法一：分组分解法步骤类型一 分组后能直接提取公因式1。

分组后能直接提取公因式2。

提完公因式之后，每组之间应该还可以提公因式（此时，应注意观察）。

类型二 分组后能直接运用上面的公式方法二： (当用方法一不行时，这时可考虑用十字相乘法） 十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式类型一 直接利用公式-—))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

类型二 ＊＊十字相乘法通用公式:如果有k=ac ，n=bd,且有ad+bc=m 时,那么kx^2+mx+n=（ax+b ）(cx+d)．总结：不管用什么方法，最后的结果都是由多个因式相乘了,因此，当自己解完题后不是因式相乘了，那么应该反回去再检察题目，看看能不能用其他的方法来解决该题目.因式分解练习练习一 分组分解法类型一（用两种方法来解）1。

2021年中考数学因式分解考点：因式分解要素考点解析
把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

它是中学数学中最重要的恒等变形之一，更多关于____中考数学因式分解考点的内容请看下文。

如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法;若是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。

因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。

注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。

详情请点击：初中年级数学因式分解知识点：因式分解的一般步骤
因式分解要素：①结果必须是整式②结果必须是积的形式③结果是等式
④因式分解与整式乘法的关系：m(a+b+c)
公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。

公因式确定方法：①系数是整数时取各项最大公约数。

②相同字母取最低次幂③系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。

专题05 因式分解一、因式分解及其方法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。

因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。

因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

1．提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．比如：am+an=a(m+n)2．运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．(1)平方差公式两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：()()22a b a b a b -=+- (2)完全平方公式两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方．字母表达式：()2222a ab b a b ±+=±(3)立方和与立方差公式两个数的立方和(或者差)等于这两个数的和(或者差)乘以它们的平方和与它们积的差(或者和)．a 3+b 3＝(a+b)(a 2-ab+b 2)a 3﹣b 3＝(a-b)(a 2+ab+b 2)3．十字相乘法分解因式：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.(1)对于二次三项式，若存在 ，则 (2)首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.4.分组分解法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.比如：am ﹣an ﹣bm+bn=(am ﹣an)﹣(bm ﹣bn)=a(m ﹣n)﹣b(m ﹣n)=(m ﹣n)(a ﹣b)．二、因式分解策略1.因式分解的一般步骤：(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.2x bx c ++pq c p q b=⎧⎨+=⎩()()2x bx c x p x q ++=++2ax bx c ++a a 12a a a =c 12c c c =1212a a c c ，，，1221a c a c +2ax bx c ++b 1221a c a c b +=11a x c +22a x c +()()21122ax bx c a x c a x c ++=++若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法(平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b),完全平方公式a2±2ab＋b2＝(a±b)2)或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.2.从多项式的项数来考虑用什么方法分解因式．(1)如果是两项，应考虑用提公因式法，平方差公式，立方和或立方差公式来分解因式．(2)如果是二次三项式，应考虑用提公因式法，完全平方公式，十字相乘法．(3)如果是四项式或者大于四项式，应考虑提公因式法，分组分解法．3.因式分解要注意的几个问题：(1)每个因式分解到不能再分为止．(2)相同因式写成乘方的形式．(3)因式分解的结果不要中括号．(4)如果多项式的第一项系数是负数，一般要提出“-”号，使括号内的第一项系数为正数．(5)因式分解的结果，如果是单项式乘以多项式，把单项式写在多项式的前面．【例题1】(2019•江苏无锡)分解因式4x2－y2的结果是( )A．(4x+y)(4x﹣y) B．4(x+y)(x﹣y)C．(2x+y)(2x﹣y) D．2(x+y)(x﹣y)【答案】C【解析】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．直接利用平方差公式分解因式得出答案． 4x2－y2＝(2x)2－y2 =(2x+y)(2x﹣y)．【对点练习】(2019广西贺州)把多项式2a-分解因式，结果正确的是()41A．(41)(41)+-a a+-B．(21)(21)a aC ．2(21)a -D ．2(21)a +【答案】B【解析】运用公式法 241(21)(21)a a a -=+-，故选：B ．【例题2】(2020贵州黔西南)多项式34a a -分解因式的结果是______.【答案】(2)(2)a a a +-【解析】先提出公因式a ，再利用平方差公式因式分解．解：a 3-4a=a(a 2-4)=a(a+2)(a-2)．【点拨】本题考查提公因式法和公式法进行因式分解，解题的关键是熟记提公因式法和公式法．【对点练习】(2019宁夏)分解因式：2a 3﹣8a ＝ ．【答案】2a (a +2)(a ﹣2)【解析】先提取公因式，再利用二数平方差公式。

2021湖南省株洲市中考数学考点梳理即使在专业人士中，对数学的定义也没有达成共识，数学是否是艺术或科学。

许多专业数学家对数学的定义不感兴趣，或者认为它是不可定义的。

今天小编在这给大家整理了一些湖南省株洲市中考数学考点梳理，我们一起来看看吧!湖南省株洲市中考数学考点梳理【因式分解】1.因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解;注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.2.因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.3.公因式的确定：系数的公约数?相同因式的最低次幂.注意公式：a+b=b+a;a-b=-(b-a);(a-b)2=(b-a)2;(a-b)3=-(b-a)3.4.因式分解的公式：(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b);(2)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2.5.因式分解的注意事项：(1)选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字;(2)使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性;(3)因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止;(4)因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正;(5)因式分解的最后结果要求加以整理;(6)因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.6.因式分解的解题技巧：(1)换位整理，加括号或去括号整理;(2)提负号;(3)全变号;(4)换元;(5)配方;(6)把相同的式子看作整体;(7)灵活分组;(8)提取分数系数;(9)展开部分括号或全部括号;(10)拆项或补项.7.完全平方式：能化为(m+n)2的多项式叫完全平方式;对于二次三项式x2+px+q，有“x2+px+q是完全平方式?”.中考数学考点梳理【数的开方】1.平方根的定义：若x2=a,那么x叫a的平方根，(即a的平方根是x);注意：(1)a叫x的平方数，(2)已知x求a叫乘方，已知a求x叫开方，乘方与开方互为逆运算.2.平方根的性质：(1)正数的平方根是一对相反数;(2)0的平方根还是0;(3)负数没有平方根.3.平方根的表示方法：a的平方根表示为和.注意：可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算.4.算术平方根：正数a的正的平方根叫a的算术平方根，表示为.注意：0的算术平方根还是0.5.三个重要非负数：a2≥0,|a|≥0，≥0.注意：非负数之和为0，说明它们都是0.6.两个重要公式：(1);(a≥0)(2).7.立方根的定义：若x3=a,那么x叫a的立方根，(即a的立方根是x).注意：(1)a叫x的立方数;(2)a的立方根表示为;即把a开三次方.8.立方根的性质：(1)正数的立方根是一个正数;(2)0的立方根还是0;(3)负数的立方根是一个负数.9.立方根的特性：.10.无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：?和开方开不尽的数是无理数.11.实数：有理数和无理数统称实数.12.实数的分类：(1)(2).13.数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应.14.无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示;如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意：(1)近似计算时，中间过程要多保留一位;(2)要求记忆：中考数学考点分式1.分式：一般地，用a、b表示两个整式，a÷b就可以表示为的形式，如果b中含有字母，式子叫做分式.2.有理式：整式与分式统称有理式;即.3.对于分式的两个重要判断：(1)若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义;(2)若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零;注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义.4.分式的基本性质与应用：(1)若分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变;(2)注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变;(3)繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单.5.分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分;注意：分式约分前经常需要先因式分解.6.最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式;注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式.7.分式的乘除法法则：.8.分式的乘方：.9.负整指数计算法则：(1)公式：a0=1(a≠0),a-n=(a≠0);(2)正整指数的运算法则都可用于负整指数计算;(3)公式：，;(4)公式：(-1)-2=1，(-1)-3=-1.10.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分;注意：分式的通分前要先确定最简公分母.11.最简公分母的确定：系数的最小公倍数?相同因式的次幂.12.同分母与异分母的分式加减法法则：.13.含有字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=0(a≠0)中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数，对x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意：在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知数，用x、y、z等表示未知数.14.公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形;注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为0.15.分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程;注意：以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程.16.分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根;注意：在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.17.分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母(或分式方程的每个分母)，若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解;若值不为零，求出的根是原方程的解;注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.18.分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序.湖南省株洲市中考数学考点梳理。

【初中数学】2021初中数学因式分解知识点【—因式分解】知识要领：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式)。

因式分解1、因式分解与解高次方程有密切的关系。

对于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相对固定和容易的方法。

在数学上可以证明，对于一元三次和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。

只是因为公式过于复杂，在非专业领域没有介绍。

对于分解因式，三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法，只是比较复杂。

对于五次以上的一般多项式，已经证明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也没有固定解法。

2.所有三次多项式和三次多项式都可以分解。

这似乎有点不可思议。

例如，x^4+1是一个单变量四次多项式，它似乎没有被分解。

但它的数量大于3，所以必须进行因式分解。

如果你感兴趣，你也可以用待定系数法来分解它，但公式并不简洁。

3、因式分解虽然没有固定方法，但是求两个多项式的公因式却有固定方法。

因式分解很多时候就是用来提公因式的。

寻找公因式可以用辗转相除法来求得。

标准的辗转相除技能对于中学生来说难度颇高，但是中学有时候要处理的多项式次数并不太高，所以反复利用多项式的除法也可以比较笨，但是有效地解决找公因式的问题。

没有普遍适用的因式分解方法，初中数学教材主要介绍公因子法和公式法。

比赛中还有项目删除法、项目加减法、分组分解法和交叉相乘法、待定系数法、双交叉相乘法、对称多项式法、旋转对称多项式法、余数定理法、根公式法、元素交换法、，长除法、短除法、除法等。

注意三原则1.分解应完整（是否有公因子，是否可以使用公式）2.最后结果只有小括号3.在最终结果中，多项式第一项的系数为正（例如：-3x^2+x=x（-3x+1））4.最后结果每一项都为最简因式归纳法：1.提公因式法。

2.公式法。

3.分组分解法。

4.化妆方法。

[x^2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）]5.组合分解法。

中考数学知识考点:因式分解_考点解析
中考数学知识考点:因式分解
因式分解
用待定系数法分解因式
余式定理及其应用
余式定理
f(x)除以(x-a)的余式是常数f(a)
因式
如果一个次数不低于一次的多项式因式，除这个多项式本身和非零常数外，再也没有其他的因式，那么这个因式(即该多项式)就叫做质因式
因式分解
把一个多项式写成几个质因式乘积形式的变形过程叫做多项式的因式分解
1 提取公因式法
2 运用公式法
3 分组分解法
4 十字相乘法
5 配方法
6 求根公式法。