世纪金榜数学文科 课时提升作业(三十) .

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课时提升作业(三十九)空间几何体的表面积与体积(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2014·福建高考)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( ) A.2π B.π C.2 D.1【解析】选A.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴旋转一周所得的圆柱的底面半径为1,母线长为1.故侧面积为2πr 〃l =2π〃1〃1=2π. 2.如图所示,已知三棱柱ABC-A1B 1C 1的所有棱长均为1,且AA 1⊥底面ABC,则三棱锥B 1-ABC 1的体积为( ) A. B. C. D.【解析】选 A.在△ABC 中,BC 边上的高为,即棱锥A-BB 1C 1的高为,又=,所以1111B ABC A BB C V V --＝=××=.3.(2014·新课标全国卷Ⅱ)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A. B. C. D.【解题提示】由三视图,还原出几何体,然后根据几何体的形状,求得体积之比.【解析】选C.因为加工前的零件半径为3,高为6,所以体积V1=9π〃6=54π. 因为加工后的零件,左半部为小圆柱,半径为2,高为4,右半部为大圆柱,半径为3,高为2.所以体积V2=4π〃4+9π〃2=34π.所以削掉部分的体积与原体积之比==.4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A.+6B.C. D.+6【解析】选B.由三视图可知该几何体为横着平放的半个圆锥与半个圆柱构成的简单组合体,体积V=×π×12×2+×π×12×3=π.5.(2015·太原模拟)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为( )A. B. C. D.【解题提示】先根据题意确定四面体O-ABC的结构特征,求得O到平面ABC的距离,进而求得S到平面ABC的距离,代入体积公式求解.【解析】选A.因为△ABC为边长为1的正三角形,且球半径为1,所以四面体O-ABC为正四面体,所以△ABC的外接圆的半径为,所以点O到平面ABC的距离d==,所以三棱锥的高SF=2OE=,所以三棱锥的体积为××1××=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2014·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.【解析】如图,所给几何体由一个圆锥和一个圆柱组合而成,V=×2×π×22+π×12×4=(m3).答案:7.已知一个几何体的三视图如图所示(单位:cm),其中正视图是直角梯形,侧视图和俯视图都是矩形,则这个几何体的体积是cm3.【解析】由三视图可知,该几何体为一个放倒的四棱柱,以梯形为底,所以梯形面积为=,四棱柱的高为1,所以该几何体的体积为.答案:8.(2015·烟台模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为.【解析】如图所示,由三视图可知该几何体为圆锥AO,AD为该圆锥外接球的直径,则AO=1,CO=,由射影定理可知CO2=AO〃OD,得OD=3,所以外接球的半径为(AO+OD)=2,表面积为4π×22=16π.答案:16π【误区警示】本题易误将圆锥底面圆半径作为球的半径而致误.【加固训练】圆柱形容器内盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是cm.【解析】设球半径为r,则由3V球+V水=V柱,可得3×πr3+πr2×8=πr2×6r,解得r=4.答案:4三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·长春模拟)已知某几何体的三视图如图所示(单位:cm):(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法).(2)求这个几何体的表面积及体积.【解析】(1)这个几何体的直观图如图所示.(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q-A1D1P的组合体.由PA1=PD1=,A1D1=AD=2,可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S=5×22+2×2×+2××()2=22+4(cm2),体积V=23+×()2×2=10(cm3).10.如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体,截面为ABC,已知A1B1=B1C1=2,∠A1B1C1=90°,AA1=4,BB1=3,CC1=2,求:(1)该几何体的体积.(2)截面ABC 的面积.【解析】(1)过C 作平行于A 1B 1C 1的截面A 2B 2C,交AA 1,BB 1分别于A 2,B 2.由直三棱柱性质及∠A 1B 1C 1=90°可知B 2C ⊥平面ABB 2A 2, 则V=1112222A B C A B C C ABB A V V --+=×2×2×2+××(1+2)×2×2=6. (2)在△ABC 中,AB==,BC==, AC==2.则S △ABC=×2×=.【一题多解】本题(1)问还可以用以下方法解答: 延长B 1B,C 1C 到B 3,C 3,使得B 3B 1=C 3C 1=AA 1. 则V==×2×2×4-××(1+2)×2×2=6.(20分钟 40分)1.(5分)(2015·中山模拟)如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图,则该几何体的体积是( )A.24B.12C.8D.4【解题提示】由三视图还原出几何体,由几何体的结构特征求体积.【解析】选B.由三视图可知,该几何体是由两个相同的直三棱柱构成,三棱柱的高为4,三棱柱的底面三角形为直角三角形,两直角边分别为2,,所以三角形的底面积为×2×=,所以三棱柱的体积为×4=6,所以该几何体的体积为2×6=12.2.(5分)(2014·陕西高考)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( )A. B.4π C.2π D.【解题提示】根据截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形,满足勾股定理,求出球的半径,代入球的体积公式求解.【解析】选D.由正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,可设正四棱柱的上底所在截面圆的半径为R1,则+=1可得=;又侧棱长为,所以球心到截面圆的距离d=;由截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形,根据勾股定理得球半径R===1,代入球的体积公式得球的体积为.【加固训练】已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD 是边长为2的正方形.若PA=2,则△OAB的面积为.【解析】首先,可以判定点O,P在平面ABCD的同侧(否则,由OA=OP=R,三角形OAP 为等腰三角形,∠OAP=∠OPA,据PA⊥平面ABCD知∠OAP为钝角,一个等腰三角形的底角不可能为钝角),设正方形ABCD的对角线交于点M,连接OM,由球的性质,OM⊥平面ABCD,又PA⊥平面ABCD,则PA∥OM,从而四边形AMOP为直角梯形. 如图,OP=R,作ON⊥PA于N.可以求得ON=MA=,AN=OM=,PN=PA-AN=2-.在直角三角形ONP中,利用勾股定理,得(2-)2+6=R2,求得R=2,故三角形OAB为等边三角形,S△OAB=(2)2=3.答案:33.(5分)已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,点P1,P2分别是线段AB,BD1上(不包括端点)的动点,在P1,P2运动的过程中线段P1P2始终平行于平面A1ADD1,则当几何体P1P2AB1的体积取得最大值时,AP1= .【解析】过P2作P2O⊥底面ABCD于O,连接OP1,则OP1⊥AB,即OP1⊥平面P1AB1,设AP1=x,0<x<1,则由题意知OP1∥AD,所以有=,即OP1=1-x,又=x,所以四面体P1P2AB1的体积为·OP1=×x(1-x)=x(1-x)≤=,当且仅当x=1-x,即x=时取等号,所以四面体P1P2AB1的体积的最大值为,此时AP1=.答案:4.(12分)(2015·绍兴模拟)用一块钢锭浇铸一个厚度均匀,且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图),设容器的高为h 米,盖子边长为a 米. (1)求a 关于h 的函数解析式.(2)设容器的容积为V 立方米,则当h 为何值时,V 最大?求出V 的最大值.(求解本题时,不计容器的厚度)【解析】(1)设h ′为正四棱锥的斜高.由已知解得a=(h>0).(2)V=ha 2=(h>0),易得V=,因为h+≥2=2,所以V ≤,当且仅当h=,即h=1时取等号,故当h=1米时,V 有最大值,V 的最大值为立方米.5.(13分)(能力挑战题)在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,过A 1,C 1,B 三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体ABCD-A 1C 1D 1,这个几何体的体积为. (1)求棱A 1A 的长.(2)求经过A 1,C 1,B,D 四点的球的表面积.【解析】(1)设A 1A=h,因为几何体ABCD-A 1C 1D 1的体积为,所以1111111AB C D A CDA B C D A B C D B A B CV V V ---=-=, 即S 四边形ABCD ×h-××h=,即2×2×h-××2×2×h=,解得h=4. 所以A 1A 的长为4.圆学子梦想 铸金字品牌- 11 - (2)如图,连接D 1B,设D 1B 的中点为O,连接OA 1,OC 1,OD. 因为ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,所以A 1D 1⊥平面A 1AB. 因为A 1B ⊂平面A 1AB,所以A 1D 1⊥A 1B.所以OA 1=D 1B.同理OD=OC 1=D 1B.所以OA 1=OD=OC 1=OB.所以经过A 1,C 1,B,D 四点的球的球心为点O.因为D 1B 2=A 1+A 1A 2+AB 2=22+42+22=24.所以S 球=4π×(OD 1)2=4π×=π×D 1B 2=24π. 故经过A 1,C 1,B,D 四点的球的表面积为24π.关闭Word 文档返回原板块。

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课时提升作业四函数及其表示(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.①中当x>0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图象;②中当x=x0时,y的值有两个,因此不是函数图象;③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象.2.(2016·莱芜模拟)函数f(x)=错误！未找到引用源。

的定义域为( )A.(1,3]B.(-∞,3]C.(0,3]D.(1,3)【解析】选A.由题意错误！未找到引用源。

解得1<x≤3.【加固训练】设f(x)=错误！未找到引用源。

则f(f(2))=__________. 【解析】f(2)=log3(22-1)=1,f(f(2))=f(1)=e1-1=e0=1.答案:13.(2016·聊城模拟)已知函数f(x)=错误！未找到引用源。

若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于( )A.-3B.-1C.1D.3【解析】选A.当a>0时,由f(a)+f(1)=0得2a+2=0,可见不存在实数a 满足条件;当a≤0时,由f(a)+f(1)=0得a+1+2=0,解得a=-3,满足条件. 【一题多解】本题还可以采用如下解法:选A.方法一:由指数函数的性质可知:2x>0,又因为f(1)=2,所以a≤0,所以f(a)=a+1,即a+1+2=0,解得a=-3.方法二:验证法,把a=-3代入f(a)=a+1=-2,又因为f(1)=2,所以f(a)+f(1)=0,满足条件,从而选A.【加固训练】若函数f(x)=错误！未找到引用源。

则f(f(10))= ( ) A.lg101 B.2 C.1 D.0【解析】选B.f(10)=lg10=1,故f(f(10))=f(1)=12+1=2.4.现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体,下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t变化的函数关系的是( )【解析】选C.从球的形状可知,水的高度开始时增加的速度越来越慢,当超过半球时,增加的速度又越来越快.5.已知[x]表示不超过实数x的最大整数(x∈R),如:[-1.3]=-2,[0.8]=0, [3.4]=3.定义{x}=x-[x],则错误！未找到引用源。

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课时提升作业(十一)函数与方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)的一个零点所在的区间是( )1.函数f(x)=ln(x+1)-2xA.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选 B.由题意知,函数f(x)=ln(x+1)-2的定义域为(-1,0)∪(0,+≦),x结合四个选项可知,f(x)在(0,+≦)上单调递增,又f(1)<0,f(2)>0,所以函数f(x)=ln(x+1)-2的一个零点所在的区间是(1,2).x2.(2015·天津模拟)二次函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:可以判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是( )A.(-3,-1)和(2,4)B.(-3,-1)和(-1,1)C.(-1,1)和(1,2)D.(-1,3)和(4,+∞)【解析】选 A.由表格可得二次函数f(x)的对称轴为y=1,a>0,再根据2f(-3)f(-1)<0,f(2)f(4)<0,可得f(x)的零点所在的区间是(-3,-1)和(2,4),即方程ax2+bx+c=0的两个根所在的区间是(-3,-1)和(2,4).x+2的零点个数为( )3.(2015·合肥模拟)函数f(x)=log2x-12A.0B.1C.3D.2【解析】选D.转化为判断y=log 2x 与y=12x-2两函数图象的交点的个数,作图象如下:图象有两个交点,因此函数零点个数为2个.4.(2014·湖北高考)已知f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f(x)=x 2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{-3,-1,1,3}7【解题提示】考查函数的奇偶性、零点及函数的方程思想.首先根据f(x)是定义在R 上的奇函数,求出函数在R 上的解析式,再求出g(x)的解析式,根据函数的零点就是方程的解,问题得以解决.【解析】选D.由f(x)是定义在R 上的奇函数, 当x ≥0时,f(x)=x 2-3x,所以f(x)=22x 3x,x 0,x 3x,x 0.⎧-≥⎪⎨--<⎪⎩所以g(x)=22x 4x 3,x 0,x 4x 3,x 0.⎧-+≥⎪⎨--+<⎪⎩由2x 0,x 4x 30≥⎧⎨-+=⎩解得x 1=3,x 2=1,由2x 0,x 4x 30<⎧⎨--+=⎩解得故选D.5.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是( )A.x2<x1<x3B.x1<x2<x3C.x1<x3<x2D.x3<x2<x1【解析】选B.依据零点的意义,转化为函数y=x分别和y=-2x的交点的横坐标大小问题,作出草图,易得x1<0<x2<1<x3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若函数f(x)=ax+b(a≠0)有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是.【解析】由已知条件得2a+b=0,即b=-2a,),g(x)=-2ax2-ax=-2ax(x+12则g(x)的零点是x=0,x=-1.2答案:0,-127.定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2 015x+log2 015x,则在R上,函数f(x)零点的个数为.【解析】函数f(x)为R上的奇函数,因此f(0)=0,当x>0时,f(x)=2 015x+log2 015x )内存在一个零点,又f(x)为增函数,因此在(0,+≦)内有且仅有在区间(0,12 015一个零点.根据对称性可知函数在(-≦,0)内有且仅有一解,从而函数f(x)在R上的零点的个数为3.答案:38.若二次函数f(x)=x2-2ax+4在(1,+∞)内有两个零点,则实数a的取值范围为.【解析】据二次函数图象应满足:即解得2<a<.答案:【一题多解】本题还可以采用如下方法:方法一:运用根与系数的关系.设x1,x2为方程x2-2ax+4=0的两根,则有x 1+x2=2a,x1x2=4. ①要使原方程x2-2ax+4=0的两根x1,x2均大于1,则需满足将①代入上述不等式组中,解之,得2<a<.方法二:运用求根公式.方程x2-2ax+4=0的两根为x1,2==a〒;且Δ>0,得a>2或a<-2.要使两根均大于1,只需小根a->1即可,解之得2<a<.答案:【加固训练】若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点,则实数a的取值为.【解析】当a=0时,函数f(x)=-x-1为一次函数,则-1是函数的零点,即函数仅有一个零点;当a≠0时,函数f(x)=ax2-x-1为二次函数,并且仅有一个零点,则一元二次方程ax2-x-1=0有两个相等实根.所以Δ=1+4a=0,解得a=-.综上,当a=0或a=-时,函数仅有一个零点.答案:0或-三、解答题(每小题10分,共20分)9.设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0).(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的零点.(2)若对任意b∈R,函数f(x)恒有两个不同零点,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-2x-3,令f(x)=0,得x=3或x=-1.所以函数f(x)的零点为3或-1.(2)依题意,f(x)=ax2+bx+b-1=0有两个不同实根,所以b2-4a(b-1)>0恒成立,即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,所以有(-4a)2-4〓(4a)<0⇒a2-a<0,解得0<a<1,因此实数a的取值范围是(0,1).【方法技巧】二次函数零点问题的解题技巧对于二次函数零点问题常转化为二次方程根的分布问题来解决,结合二次函数的图象从判别式,根与系数的关系、对称轴、端点函数值、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件,这里涉及三个“二次”问题的全面考虑和“数形结合思想”的灵活运用.【加固训练】是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与x轴有且只有一个交点.若存在,求出a的范围;若不存在,说明理由.【解析】因为Δ=(3a-2)2-4(a-1)=9+>0,所以若存在实数a满足条件, 则只需f(-1)〃f(3)≤0即可.f(-1)〃f(3)=(1-3a+2+a-1)〃(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0,所以a≤-或a≥1.检验:①当f(-1)=0时,a=1.所以f(x)=x2+x.令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠1.②当f(3)=0时,a=-,此时f(x)=x2-x-.令f(x)=0,即x2-x-=0,解得x=-或x=3.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠-.综上所述,a的取值范围是∪(1,+≦).10.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点.【解析】因为f(x)=4x+m〃2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m〃2x+1=0仅有一个实根.设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0.当Δ=0时,即m2-4=0,m=〒2,所以m=-2时,t=1;m=2时,t=-1(不合题意,舍去).所以2x=1,x=0符合题意.当Δ>0时,即m>2或m<-2时,t2+mt+1=0有两正或两负根,即f(x)有两个零点或没有零点.所以这种情况不符合题意.综上可知:m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为x=0.(20分钟40分)1.(5分)(2015·长沙模拟)如图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象,则函数g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区间是( )A.11(,)42B.(1,2)C.1(,1)2D.(2,3)【解析】选C.由图象可知0b1,a b10,a 01,2⎧⎪<<⎪++=⎨⎪⎪<-<⎩故f(x)=x2+ax-a-1,a∈(-2,-1),所以函数g(x)=ln x+f′(x)的零点为函数y=ln x与函数y=-f′(x)=-2x-a交点的横坐标,分析两函数图象得函数g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区间是1(,1)2.2.(5分)(2015·石家庄模拟)设函数f(x)=2x6x6,x0,3x4,x0,⎧-+≥⎨+<⎩若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围是( )A.2026(,]33B.2026(,)33C.11(,6]3D.11(,6)3【解析】选D.函数f(x)=2x6x6,x0,3x4,x0⎧-+≥⎨+<⎩的图象如图,不妨设x1<x2<x3,则x2,x3关于直线x=3对称,故x2+x3=6,且x1满足-73<x1<0,则x 1+x 2+x 3的取值范围是-73+6<x 1+x 2+x 3<0+6,即x 1+x 2+x 3∈11(,6)3.3.(5分)(2015·成都模拟)已知f(x)=-2|2|x|-1|+1和g(x)=x 2-2|x|+m(m ∈R)是定义在R 上的两个函数,则下列命题: ①函数f(x)的图象关于直线x=0对称;②关于x 的方程f(x)-k=0恰有四个不相等实数根的充要条件是k ∈(0,1); ③关于x 的方程f(x)=g(x)恰有四个不相等实数根的充要条件是m ∈[0,1]; ④若∃x 1∈[-1,1],∃x 2∈[-1,1],f(x 1)<g(x 2)成立,则m ∈(-1,+∞). 其中正确的命题有 (写出所有正确命题的序号).【解析】因为f(x)=-2|2|x|-1|+1为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=0对称,故①正确;作出f(x)=-2|2|x|-1|+1的图象,如图所示,可知,关于x 的方程f(x)-k=0恰有四个不相等实数根的充要条件为k ∈(-1,1),故②错误;在同一坐标系中作出f(x)=-2|2|x|-1|+1和y=x 2-2|x|的图象,由图象可知当m ∈7(1,)4-时方程f(x)=g(x)恰有四个不相等实数根,故③错;由题可知,只需当x ∈[-1,1]时,f(x)min <g(x)max 即可.易得f(x)min =-1,g(x)max =m,所以m ∈(-1,+≦),所以④正确.答案:①④【加固训练】(2015·南充模拟)已知函数f(x)=(](]x 1,1,1x 2,x 1,3,⎧∈-⎪⎨--∈⎪⎩其中m>0,且函数f(x)满足f(x+4)=f(x).若方程3f(x)-x=0恰有5个根,则实数m 的取值范围是 .【解题提示】根据对函数的解析式进行变形后发现当x ∈(-1,1],[3,5],[7,9]上时,f(x)的图象为半个椭圆.根据图象推断要使方程恰有5个实数解,则需直线y=x 3与第二个半椭圆相交,而与第三个半椭圆无公共点.把直线分别代入椭圆方程,根据Δ可求得m 的范围.【解析】因为当x ∈(-1,1]时,将函数化为方程x 2+22y m=1(y ≥0),所以实质上为一个半椭圆,同时在坐标系中作出当x ∈(1,3]时的图象,再根据周期性作出函数其他部分的图象,如图,由图易知直线y=x 3与第二个半椭圆(x-4)2+22y m=1(y ≥0)相交,而与第三个半椭圆(x-8)2+22y m=1(y ≥0)无公共点时,方程恰有5个实数根,将y=x 3代入(x-4)2+22y m=1(y ≥0)得,(9m 2+1)x 2-72m 2x+135m 2=0,令t=9m 2(t>0),则(t+1)x 2-8tx+15t=0,由Δ=(-8t)2-4〓15t(t+1)>0,得t>15,由9m 2>15,且m>0得同样由y=x 3与第三个半椭圆(x-8)2+22y m=1(y ≥0)联立所得方程Δ<0可计算得综上可知m∈(3.答案:4.(12分)(2014·郑州模拟)已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x.(1)写出函数y=f(x)的解析式.(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求a的取值范围.【解析】(1)当x∈(-≦,0)时,-x∈(0,+≦).因为y=f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x,所以f(x)=22x2x,x0,x2x,x0.⎧-≥⎪⎨--<⎪⎩(2)当x∈[0,+≦)时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,最小值为-1;当x∈(-≦,0)时,f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2,最大值为1.所以据此可作出函数y=f(x)的图象(如图所示),根据图象,若方程f(x)=a恰有3个不同的解,则a的取值范围是(-1,1).(x>0).5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+2ex(1)若y=g(x)-m有零点,求m的取值范围.(2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.≥【解析】(1)因为x>0时g(x)=x+2ex等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域是[2e,+≦),因而只需m≥2e,则y=g(x)-m就有零点.所以m的取值范围是[2e,+≦).【一题多解】本题(1)还可以采用如下解法:(x>0)的大致图象如图:作出g(x)=x+2ex可知若使y=g(x)-m有零点,则只需m≥2e.所以m的取值范围是[2e,+≦).(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,(x>0)的大致图象.因为f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,所作出g(x)=x+2ex以其图象的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.所以m的取值范围是(-e2+2e+1,+≦).关闭Word文档返回原板块。

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课时提升作业(二十三)平面向量的概念及其线性运算(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.如图,在平行四边形ABCD中,E为DC边的中点,且=a,=b,则= ( )A.b-aB.b+aC.a+bD.a-b【解析】选A.=-=+-=+-=-=b-a.2.(2015·石家庄模拟)已知a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是( )A.a+b=0B.a=bC.a与b共线反向D.存在正实数λ,使a=λb【解析】选D.因为a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|.则a与b共线同向,故D正确.【误区警示】解答本题易误选B,若a=b,则|a+b|=|a|+|b|,反之不一定成立.3.已知AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则下列一定共线的三点是( )A.A,B,CB.A,B,DC.B,C,DD.A,C,D【解析】选 B.因为AD AB BC CD=++=3a+6b=3(a+2b)=3AB,又AB,AD有公共点A.所以A,B,D 三点共线.4.(2015·攀枝花模拟)在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,1CD CA CB,3=+λ则实数λ=( )2112A. B. C. D.3333-- 【解析】选D.如图,D 是AB 边上一点,过点D 作DE ∥BC,交AC 于点E,过点D 作DF ∥AC,交BC 于点F,连接CD,则CD CE CF.=+1CD CA CB,31CE CA,CF CB.3DE AE 2ADE ABC,,BC AC 322ED CF CB,.33=+λ==λ====λ=因为所以由∽得所以故【加固训练】已知△ABC 和点M 满足MA MB MC ++=0,若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立,则m=( )A.2B.3C.4D.5【解析】选B.根据题意,由于△ABC 和点M 满足MA MB MC ++=0,则可知点M 是三角形ABC 的重心,设BC 边的中点为D,则可知()()2211AM AD AB AC AB AC ,3323==⨯+=+所以AB AC 3AM,+=故m=3.5.(2015·兰州模拟)已知D 为△ABC 的边AB 的中点.M 在DC 上且满足5=+3,则△ABM 与△ABC 的面积比为 ( )A. B. C. D. 【解题提示】只要明确DM 与DC 之比即可,故利用已知转化为与之间关系即可.【解析】选C.由5=+3得2=2+3-3,即2(-)=3(-), 即2=3, 故=,故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5, 故S △ABM ∶S △ABC =3∶5.6.如图所示,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB,AC 于不同的两点M,N,若AB mAM,AC nAN,==则m+n 的值为( )A.1B.2C.3D.4 【解析】选B.因为O 是BC 的中点, 所以()1AO AB AC .2=+ 又因为AB mAM,AC nAN,== 所以m nAO AM AN.22=+ 因为M,O,N 三点共线,所以m n22+=1,所以m+n=2.7.(2015·泉州模拟)已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且BC=a,CA=b,给出下列命题:①AD=12a-b;②BE=a+12b;③CF=-12a+12b;④AD BE CF++=0.其中正确的是( )A.①②B.②③C.③④D.②③④【解析】选D.所以正确命题为②③④.二、填空题(每小题5分,共15分)8.在▱ABCD中,AB=a,AD=b,3AN NC=,M为BC的中点,则MN= .(用a,b 表示)【解析】如图所示.答案:【方法技巧】利用基底表示向量的方法在用基底表示向量时,要尽可能将向量转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则或三角形法则进行求解,同时要注意平面几何知识的综合运用,如利用三角形的中位线、相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用基底向量表示.【加固训练】(2014·海口模拟)在△ABC 中,AB =c ,AC =b ,若点D 满足BD 2DC =,则AD = .【解析】如图,因为在△ABC 中, AB = c , AC =b ,且点D 满足BD 2DC =,答案:23b +13c9.(2015·长春模拟)已知m ,n 满足|m |=2,|n |=3,|m -n |=,则|m +n |= .【解题提示】利用向量加减法几何意义及平行四边形对角线与边的关系求解.【解析】由平行四边形的对角线与边的关系及|m-n|与|m+n|为以m,n为邻边的平行四边形的两条对角线的长,得|m-n|2+|m+n|2=2|m|2+2|n|2=26,又|m-n故|m+n|2=26-17=9,故|m+n|=3.答案:310.给出下列命题:①若A,B,C,D是不共线的四点,则AB DC=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;②0a=0;③a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b;④若a与b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等.其中正确命题的序号是.【解析】①正确;②数乘向量的结果为向量,而不是实数,故不正确;③当a=b时|a|=|b|且a∥b,反之不成立,故错误;④当a,b不同向时不成立,故错误.答案:①(20分钟40分)1.(5分)已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足111=++则点P一定为三角形ABC的( )OP(OA OB2OC),322A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB 边的中点【解析】选B.设AB 的中点为M,则()11112OA OB OM,OP OM 2OC OM OC,22333+==+=+所以即3OP OM 2OC =+,也就是MP 2PC =,又MP PC 与有公共点P,所以P,M,C 三点共线,且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点.2.(5分)(2015·大理模拟)O 是△ABC 所在平面外一点且满足,λ为实数,则动点P 的轨迹必经过△ABC 的( )A.重心B.内心C.外心D.垂心 【解题提示】明确是AB,AC 方向上的单位向量,利用平行四边形法则可转化为AP 与共线后可解.【解析】选B.如图,设AB AF,AB=AC AE,AC=已知AF,AE 均为单位向量,故▱AEDF 为菱形,所以AD 平分∠BAC, 由AB AC OP OA ()ABAC=+λ+得AP AD,AP AD =λ又与有公共点A, 故A,D,P 三点共线,所以P 点在∠BAC 的平分线上,故P 的轨迹经过△ABC 的内心.3.(5分)(2015·重庆模拟)若∀k ∈R,BA kBC CA -≥恒成立,则△ABC 的形状一定是.【解题提示】利用向量加减的几何意义,数形结合求解.【解析】如图,设BD kBC,BA kBC BA BD DA,则=-=-=由对任意k∈R,都有DA CA≥恒成立知AC BC⊥,故△ABC为直角三角形.答案:直角三角形4.(12分)(2015·贵阳模拟)如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,若AE mAB AD=+,求实数m 的值.【解析】由N是OD的中点得又因为A,N,E三点共线,故AE AN,=λ.故实数m=13【加固训练】已知△ABC中,AB=a,AC=b,对于平面ABC上任意一点O,动点P满足OP OA=+λa+λb,若动点P的轨迹与边BC的交点为M,试判断M点的位置.【解析】依题意,由OP OA=+λa+λb,得OP OA-=λ(a+b),即()AP AB AC.=λ+如图,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,对角线交于点M,则AP AD,=λ所以A,P,D三点共线,即P点的轨迹是AD所在的直线,由图可知P点轨迹与BC的交点为BC的中点,即点M为BC的中点.5.(13分)(能力挑战题)设a,b是不共线的两个非零向量.(1)若OA=2a-b,OB=3a+b,OC=a-3b,求证:A,B,C三点共线.(2)若AB=a+b,BC=2a-3b,CD=2a-k b,且A,C,D三点共线,求k的值.【解析】(1)由已知得=-=3a+b-2a+b=a+2b,AB OB OA=-=a-3b-3a-b=-2a-4b,BC OC OB故BC2AB,=-又BC与AB有公共点B,所以A,B,C三点共线.(2)因为AC AB BC=+=a+b+2a-3b=3a-2b,CD=2a-k b,且A,C,D三点共线,故存在实数λ使得CD AC,=λ即2a-k b=3λa-2λb,关闭Word文档返回原板块。

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课时提升作业(三)简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2014·湖北高考)命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是( )A.∀x∉R,x2≠xB.∀x∈R,x2=xC.∃x0∉R,x02≠x0D.∃x0∈R,x02=x0【解析】选D.全称命题的否定是特称命题,所以命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是“∃x0∈R,x02=x0”.2.(2015·开封模拟)已知命题p,q,“p为真”是“p∧q为假”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由“p为真”知p为假,则“p∧q为假”;反之,若“p∧q为假”,则命题p,q至少有一个为假,从而“p为假”不一定成立,即“p为真”不一定成立,因此,“p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件.【加固训练】(2015·成都模拟)已知命题p:∃x0∈R,2-x0>0x e,命题q:∀a∈R+且a≠1,log a(a2+1)>0,则( )A.命题p∨q是假命题B.命题p∧q是真命题C.命题p∨q是假命题D.命题p∧q是真命题【解析】选B.对于命题p:∃x0∈R,2-x0>0x e,当x0=0时,此命题成立,故是真命题;命题q:∀a∈R+且a≠1,log a(a2+1)>0,当0<a<1时,对数式的值是负数,故命题q 是假命题.由此知命题p∨q是真命题,命题p∧q是真命题,命题p∨q是真命题,命题p∧q是假命题,故选B.3.(2015·长沙模拟)“对x∈R,关于x的不等式f(x)>0有解”等价于( )A.∃x0∈R,使得f(x0)>0成立B.∃x0∈R,使得f(x0)≤0成立C.∀x∈R,f(x)>0成立D.∀x∈R,f(x)≤0成立【解析】选A.“对x∈R,关于x的不等式f(x)>0有解”的意思就是∃x0∈R,使得f(x0)>0成立,故选A.4.已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x0∈R,使x02+2ax0+2-a=0”,若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是( )A.{a|a≤-2或a=1}B.{a|a≥1}C.{a|a≤-2或1≤a≤2}D.{a|-2≤a≤1}【解析】选A.由题意知,p:a≤1,q:a≤-2或a≥1,因为“p∧q”为真命题,所以p,q均为真命题,所以a≤-2或a=1.5.已知命题p:函数y=a x(a>0且a≠1)在R上是增函数,命题q:log a2+log2a≥2(a>0且a≠1),则下列命题为真命题的是( )A.p∨qB.p∧qC.(p)∧qD.p∨(q)【解析】选 D.当0<a<1时,y=a x 在R 上是减函数,因此p 假,p 真,当a=12时,log a 2+log 2a=-2<2,因此q 假,q 真.从而命题p ∨(q)为真命题. 6.下列命题中,真命题是( ) A.∃x 0∈[0,2π],sin x 0+cos x 0≥2 B.∀x ∈(3,+∞),x 2>2x+1 C.∃x 0∈R,x 02+x 0=-1D.∀x ∈(2π,π),tan x>sin x【解析】选B.对于选项A,∀x ∈[0,2π],sin x+cos x4π)所以此命题为假命题; 对于选项B,当x ∈(3,+≦)时, x 2-2x-1=(x-1)2-2>0, 所以此命题为真命题;对于选项C,∀x ∈R,x 2+x+1=(x+12)2+34>0, 所以此命题为假命题;对于选项D,当x ∈(2π,π)时,tan x<0<sin x, 所以此命题为假命题,故选B.【加固训练】已知命题p:∃x 0∈R,使tan x 0=3,命题q:x 2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2},下列结论: ①命题“p ∧q ”是真命题; ②命题“p ∧(q)”是假命题; ③命题“(p)∨q ”是真命题;④命题“(p)∨(q)”是假命题. 其中正确的是( )A.②③B.①②④C.①③④D.①②③④【解析】选D.命题p 是真命题,命题q 也是真命题.所以p,q 是假命题,从而得①②③④都正确.7.(2015·葫芦岛模拟)已知f(x)=3sin x-πx,命题p:∀x ∈(0,2π),f(x)<0,则( )A.p 是假命题,p:∀x ∈(0,2π),f(x)≥0B.p 是假命题,p:∃x 0∈(0,2π),f(x 0)≥0C.p 是真命题,p:∀x ∈(0,2π),f(x)>0D.p 是真命题,p:∃x 0∈(0,2π),f(x 0)≥0【解析】选D.由三角函数线的性质可知, 当x ∈(0,2π)时,sin x<x,所以3sin x<3x<πx,所以f(x)=3sin x-πx<0. 即命题p:∀x ∈(0,2π),f(x)<0为真命题. 根据全称命题的否定为特称命题可知: p:∃x0∈(0,2π),f(x 0)≥0. 二、填空题(每小题5分,共15分)8.命题:“对任意k>0,方程x 2+x-k=0有实根”的否定是 .【解析】“任意k>0”的否定为“存在k>0”,“方程x 2+x-k=0有实根”的否定为“方程x 2+x-k=0无实根”.从而命题的否定为“存在k 0>0,方程x 2+x-k 0=0无实根”.答案:存在k0>0,方程x2+x-k0=0无实根9.已知p和q都是命题,则“命题:p∨q为真命题”是“命题:p∧q为真命题”的条件.(填“充分不必要,必要不充分,充要,既不充分又不必要”四者之一)【解析】p∨q为真,二者至少有一个为真,p∧q为真,二者均为真,故“p∨q真”⇐“p∧q真”,所以填“必要不充分”.答案:必要不充分10.已知命题p:∃x0∈R,mx02+2≤0,命题q:∀x∈R,x2-2mx+1>0,若“p∨q”为假命题,则实数m的取值范围为.【解析】因为命题“p∨q”是假命题,所以命题p,q都是假命题,所以命题p:∃x0∈R,mx02+2≤0是假命题,则m≥0,命题q:∀x∈R,x2-2mx+1>0是假命题,所以Δ=(-2m)2-4≥0,所以m2≥1,得m≤-1或m≥1,所以实数m的取值范围是[1,+≦). 答案:[1,+≦)(20分钟40分)1.(5分)(2014·江西高考)下列叙述中正确的是( )A.若a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2-4ac≤0”B.若a,b,c∈R,则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”C.命题“对任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x0∈R,有x02≥0”D.l是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l⊥α,l⊥β,则α∥β【解析】选D.对于选项A,a<0时不成立;对于选项B,b=0时不成立;对于选项C,应为x2<0;对于选项D,垂直于同一直线的两平面平行.所以只有D正确.【加固训练】(2014·马鞍山模拟)下列命题中,错误的是( )A.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”B.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题C.命题p:∃x 0∈R,使得x02+x0+1<0,则p:任意x∈R,都有x2+x+1≥0D.“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件【解析】选B.根据逆否命题的定义,命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”,故A正确;若p∧q为假命题,则p,q至少存在一个假命题,但p,q不一定均为假命题,故B错误;命题p:∃x0∈R,使得x02+x0+1<0的否定为:任意x∈R,都有x2+x+1≥0,故C正确;因为x>2⇒x2-3x+2>0,x2-3x+2>0⇒x<1或x>2,故“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件,故D正确.故选B.2.(5分)(2014·辽宁高考)设a,b,c是非零向量,已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是( )A.p∨qB.p∧qC.(p)∧(q)D.p∨(q)【解析】选 A.当非零向量a,c方向相同且都和非零向量b垂直时,结论a·b=0,b·c=0成立,但是a·c=0不成立,可知命题p是假命题,命题p是真命题;易知命题q为真命题,命题q是假命题.结合复合命题p∨q,p∧q,p的真假判断方法知,选项A正确.3.(5分)(2014·新课标全国卷Ⅰ)不等式组x y1,x2y4+≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D.有下面四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.其中真命题是( )A.p2,p3B.p1,p2C.p1,p4D.p1,p3【解题提示】画出可行域,求出x+2y的最优解,根据最优解判断命题的真假. 【解析】选B.画出可行域如图所示,设x+2y=z,则1z=-+y x,22当直线经过点(2,-1)时z取得最小值,z min=2+2×(-1)=0,即z≥0,所以命题p1,p2是真命题.4.(12分)已知命题p:方程2x2+ax-a2=0在[-1,1]上有解;命题q:只有一个实数x 满足不等式x2+2ax+2a≤0,若命题“p∨q”是假命题,求a的取值范围.或x=-a,所以当命题p为真【解析】由2x2+ax-a2=0,得(2x-a)(x+a)=0,所以x=a2|≤1或|-a|≤1,所以|a|≤2.命题时,|a2又“只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0”.即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个公共点,所以Δ=4a2-8a=0,所以a=0或a=2.所以当命题q为真命题时,a=0或a=2.因为命题“p ∨q ”为假命题,所以a>2或a<-2; 即a 的取值范围为a>2或a<-2.5.(13分)(能力挑战题)设a 为实数,给出命题p:关于x 的不等式x 11()2-≥a 的解集为∅,命题q:函数f(x)=lg[ax 2+(a-2)x+98]的定义域为R,若命题“p ∨q ”为真,“p ∧q ”为假,求a 的取值范围.【解析】若p 正确,则由0<x 11()2-≤1,得a>1. 若q 正确,则ax 2+(a-2)x+98>0解集为R. 当a=0时,-2x+98>0不合题意,舍去;当a ≠0时,则2a 0,9(a 2)4a 0,8>⎧⎪⎨--⨯<⎪⎩解得12<a<8. 由题意知,p 和q 中有且仅有一个正确,所以a 1,1a a 82>⎧⎪⎨≤≥⎪⎩或或a 1,1a 8,2≤⎧⎪⎨<<⎪⎩ 所以a ≥8或12<a ≤1.【方法技巧】根据命题真假确定参数取值范围的方法 (1)把所给命题当真求出参数的取值范围.(2)根据含逻辑联结词命题的真值表递推所给命题的真假. (3)由(2)的结果列关于参数的不等式(组),并解之即可.关闭Word 文档返回原板块。

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课时提升作业十四利用导数研究函数的单调性(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数f(x)=x-lnx的单调递减区间为( )A.(0,1)B.(0,+∞)C.(1,+∞)D.(-∞,0)∪(1,+∞)【解析】选A.函数的定义域是(0,+∞),且f′(x)=1-错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,令f′(x)<0,解得0<x<1,所以单调递减区间是(0,1).2.(2016·聊城模拟)若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是( )A.a≥1B.a=1C.a≤1D.0<a<1【解析】选A.因为f′(x)=3x2-2ax-1,又f(x)在(0,1)内单调递减,所以不等式3x2-2ax-1<0在(0,1)内恒成立,所以f′(0)≤0,且f′(1)≤0,所以a≥1.3.对于实数集R上的可导函数f(x),若满足(x2-3x+2)f′(x)<0,则在区间[1,2]上必有( )A.f(1)≤f(x)≤f(2)B.f(x)≤f(1)C.f(x)≥f(2)D.f(x)≤f(1)或f(x)≥f(2)【解析】选A.由(x2-3x+2)f′(x)<0知,当x2-3x+2<0,即1<x<2时,f′(x)>0,所以f(x)是区间[1,2]上的单调递增函数,所以f(1)≤f(x)≤f(2).4.(2016·青岛模拟)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是( )A.f(x)=错误！未找到引用源。

-x3B.f(x)=错误！未找到引用源。

+x3C.f(x)=错误！未找到引用源。

-x3D.f(x)=-错误！未找到引用源。

-x3【解析】选A.根据函数的定义域可以排除选项C,D,对于选项B:f′(x)=错误！未找到引用源。

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课时提升作业九幂函数与二次函数(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知幂函数f(x)=xα的图象过点(4,2),若f(m)=3,则实数m的值为( )A.错误！未找到引用源。

B.±错误！未找到引用源。

C.±9D.9【解析】选D.由函数f(x)=xα过点(4,2),可得4α=22α=2,所以α=错误！未找到引用源。

,所以f(x)=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,故f(m)=错误！未找到引用源。

=3⇒m=9.2.(2016·德州模拟)设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是( )【解析】选D. A项,因为a<0,-错误！未找到引用源。

<0,所以b<0.又因为abc>0,所以c>0,由图知f(0)=c<0,故A错;B项,因为a<0,-错误！未找到引用源。

>0,所以b>0,又因为abc>0,所以c<0,而f(0)=c>0,故B错;C项,因为a>0,-错误！未找到引用源。

<0,所以b>0,又因为abc>0,所以c>0,而f(0)=c<0,故C 错;D项,因为a>0,-错误！未找到引用源。

>0,所以b<0,又因为abc>0,所以c<0,由图知f(0)=c<0.【加固训练】设b>0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下列之一,则a 的值为( )A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.1D.-1【解析】选D.因为b>0,故对称轴不可能为y轴,由给出的图可知对称轴在y轴右侧,故a<0,所以二次函数的图象为第三个图,图象过原点,故a2-1=0,a=±1,又a<0,所以a=-1.3.设a=0.错误！未找到引用源。

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课时提升作业(三十)等比数列及其前n项和(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·南昌模拟)等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( )A.-24B.0C.12D.24【解析】选A.由题意知(3x+3)2=x(6x+6),即x2+4x+3=0,解得x=-3或x=-1(舍去),所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第四项为-24.【加固训练】(2015·福州模拟)已知等比数列{a n}的前n项和为S n=x·3n-1-,则x的值为( )A. B.- C. D.-【解析】选C.当n=1时,a1=S1=x-①,当n≥2时,a n=S n-S n-1=（x·3n-1-）-（x·3n-2-）=x·(3n-1-3n-2)=2x·3n-2,因为{a n}是等比数列,所以由①②得x-=,解得x=.2.已知各项均为正数的等比数列{a n}中,lg(a3a8a13)=6,则a1a15的值为( )A.100B.1000C.10000D.10【解析】选C.因为lg(a3a8a13)=6,所以a3a8a13==106,所以a8=100,所以a1a15==10000.3.(2015·昆明模拟)在等比数列{a n}中,若a3,a7是方程x2+4x+2=0的两根,则a5的值是( )A.-2B.-C.±D.【解析】选 B.根据根与系数之间的关系得a3+a7=-4,a3a7=2,由a3+a7=-4<0,a3a7>0,所以a3<0,a7<0,即a5<0,由a3a7=,所以a5=-=-.4.在等比数列{a n}中,有a3a11=4a7,数列{b n}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于( ) A.2 B.4 C.8 D.16【解析】选C.因为a3a11==4a7,a7≠0,a7=4,所以b7=4.{b n}为等差数列,所以b5+b9=2b7=8,故选C.【加固训练】已知各项不为0的等差数列{a n},满足2a3-+2a11=0,数列{b n}是等比数列,且b7=a7,则b6b8= ( )A.2B.4C.8D.16【解析】选D.因为数列{a n}是等差数列,所以a3+a11=2a7由2a3-+2a11=0得4a7-=0,又a n≠0,所以a7=4,所以b6b8==42=16.5.已知数列{a n}的前n项和S n=3n+k(k为常数),那么下述结论正确的是( )A.k为任意实数时,{a n}是等比数列B.k=-1时,{a n}是等比数列C.k=0时,{a n}是等比数列- 2 -圆学子梦想铸金字品牌D.{a n}不可能是等比数列【解析】选 B.因为S n=3n+k(k为常数),所以a1=S1=3+k,n≥2时,a n=S n-S n-1=3n+k-(3n-1+k)=2×3n-1,当k=-1时,a1=2满足a n=2×3n-1,{a n}是等比数列,当k=0时,a1=3不满足a n=2×3n-1,{a n}不是等比数列.【加固训练】(2015·青岛模拟)已知等比数列{a n}的前n项和为S n=3n+1+a,n∈N*,则实数a的值是( )A.-3B.3C.-1D.1【解题提示】由S n求a n,而后由a1=S1求a.【解析】选A.当n≥2时,a n=S n-S n-1=3n+1-3n=2·3n,当n=1时,a1=S1=9+a,因为{a n}是等比数列,所以有9+a=2×3,解得a=-3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设等比数列{a n}的前n项和为S n,若=3,则= .【解析】方法一:由已知=3,知=1+q3=3,所以q3=2,所以===.方法二:由已知=3,得S6=3S3,又因为S3,S6-S3,S9-S6为等比数列,所以(S6-S3)2=S3(S9-S6),则(2S3)2=S3(S9-3S3),化简即得S9=7S3,从而==.答案:- 3 -- 4 -【加固训练】在正项等比数列{a n }中,若++=81,则+= . 【解析】因为a 2a 4=,a 4a 6=,=a 3·a 5.所以++=++=81,即又a 3>0,a 5>0,故+=9.答案:97.(2015·徐州模拟)若等比数列{a n }满足:a 2+a 4=20,a 3+a 5=40,则公比q= ;前n 项和S n = .【解析】由a 2+a 4=20,a 3+a 5=40,得3112411a q a q 20,a q a q 40,⎧+=⎪⎨+=⎪⎩即()()21221a q 1q 20,a q 1q 40,⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得q=2,a 1=2,所以S n ===2n+1-2.答案:2 2n+1-28.定义“等平方和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的平方和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等平方和数列,这个常数叫做该数列的平方和,已知数列{a n }是等平方和数列,且a 1=1,平方和为5,且a n >0,则a 2015= ,这个数列的前n 项和S n 的计算公式为 .【解析】由定义知+=5,a 1=1,所以=4,因为a n >0,所以a 2=2.又由+=5,所以=1,因为a 3>0,所以a 3=1,由此可知a 4=2,a 5=1,…圆学子梦想 铸金字品牌- 5 -即数列{a n }的奇数项均为1,偶数项均为2,所以a 2015=1. 当n 为偶数时,S n =(a 1+a 2)=n, 当n 为奇数时,S n =(a 1+a 2)+a n =+1=.故S n =答案:1 S n =三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·天津模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 1,2S 2,3S 3成等差数列,且S 4=.(1)求数列{a n }的通项公式.(2)求证S n <.【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q. 因为S 1,2S 2,3S 3成等差数列, 所以4S 2=S 1+3S 3,即4(a 1+a 2)=a 1+3(a 1+a 2+a 3), 所以a 2=3a 3,所以q==.- 6 -又S 4=,即=,解得a 1=1,(2)由(1)得【方法技巧】等差数列与等比数列的联系与区别等差数列等比数列不同点(1)强调每一项与前一项的差(2)a 1和d 可以为0(3)任意两实数的等差中项唯一 (4)当m+n=p+q(m,n,p,q ∈N *)时a m +a n =a p +a q(1)强调每一项与前一项的比 (2)a 1与q 均不为0(3)两同号实数(不为0)的等比中项有两个值(4)当m+n=p+q(m,n,p,q ∈N *)时a m a n =a p a q圆学子梦想 铸金字品牌- 7 -相同点(1)都强调每一项与其前一项的关系 (2)结果都必须是常数(3)数列都可以由a 1,d 或a 1,q 确定联系 (1)若{a n }为正项等比数列,则{log m a n }为等差数列,其中m>0,且m ≠1(2){a n }为等差数列,则为等比数列(3)非零常数列既是等差数列又是等比数列10.设f 1(x)=2x-1,f 2(x)=x 2,数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =f 2(n),数列{b n }中,b 1=2,b n =f 1(b n-1). (1)求数列{a n }的通项公式. (2)求证:数列{b n -1}是等比数列. 【解析】(1)由题意知S n =n 2.当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2-(n-1)2=2n-1, 当n=1时,a 1=S 1=1也适合上式, 故a n =2n-1.(2)由题意知b n =2b n-1-1, 即b n -1=2(b n-1-1),因为b 1-1=1,所以{b n -1}是以2为公比, 以1为首项的等比数列.(20分钟 40分)1.(5分)(2015·济南模拟)已知等比数列{a n }的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则- 8 -a n = ( )【解析】选C.由题意知(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5, 所以==,又a-1=4.所以数列{a n }是公比为,首项为4的等比数列,2.(5分)等比数列{a n }的公比为q,则“a 1>0,且q>1”是“对于任意正整数n,都有a n+1>a n ”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.易知,当a 1>0,且q>1时,a n >0,所以=q>1,表明a n+1>a n ;若对任意自然数n,都有a n+1>a n 成立,当a n >0时,同除以a n 得q>1,但当a n <0时,同除以a n 得q<1.3.(5分)(2015·唐山模拟)已知数列{a n }是等比数列,a 1,a 2,a 3依次位于下表中第一行,第二行,第三行中的某一格内,又a 1,a 2,a 3中任何两个都不在同一列,则a n = (n ∈N *).第一列 第二列 第三列 第一行 1 10 2 第二行6144圆学子梦想 铸金字品牌- 9 -第三行 9 18 8【解析】观察题中的表格可知a 1,a 2,a 3分别为2,6,18,即{a n }是首项为2,公比为3的等比数列,所以a n =2·3n-1. 答案:2·3n-1【加固训练】下面给出一个“直角三角形数阵”, ,,……满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j,i,j ∈N *),则(1)a nm = , (2)a 83= .【解题提示】先求出成等差数列的第一列的通项,然后再求出第三行数列的公比. 【解析】由已知第一列数列的通项为,从第三行起各行等比数列的公比为.答案:4.(12分)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=2a n +n+1,设b n =a n +n+2(1)证明:数列{b n }是等比数列.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ,求a n 和S n .- 10 -【解析】(1)由b n =a n +n+2,则===2,又b 1=a 1+3=4,故{b n }是首项为4,公比为2的等比数列.(2)由(1)得b n =4·2n-1=2n+1,所以a n =2n+1-n-2,故S n =a 1+a 2+…+a n =(22+23+…+2n+1)-(1+2+3+…+n)-2n=--2n=2n+2--4.【加固训练】已知数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,且a n+1=(1+q)a n -qa n-1(n ≥2,q ≠0). (1)设b n =a n+1-a n (n ∈N *),证明:{b n }是等比数列. (2)求数列{a n }的通项公式.(3)若a 3是a 6与a 9的等差中项,求q 的值,并证明:对任意的n ∈N *,a n 是a n+3与a n+6的等差中项.【解析】(1)由题设a n+1=(1+q)a n -qa n-1(n ≥2), 得a n+1-a n =q(a n -a n-1),即b n =qb n-1,n ≥2. 由b 1=a 2-a 1=1,q ≠0,所以{b n }是首项为1,公比为q 的等比数列. (2)由(1),a 2-a 1=1,a 3-a 2=q,…,a n -a n-1=q n-2(n ≥2), 将以上各式相加,得a n -a 1=1+q+…+q n-2(n ≥2), 即a n =a 1+1+q+…+q n-2(n ≥2).上式对n=1显然成立.(3)由(2),当q=1时,显然a3不是a6与a9的等差中项,故q≠1,由a3-a6=a9-a3,可得q5-q2=q2-q8,由q≠0得q3-1=1-q6, ①整理得(q3)2+q3-2=0,解得q3=-2.于是q=-.由①可得a n-a n+3=a n+6-a n,所以对任意的n∈N*,a n是a n+3与a n+6的等差中项.5.(13分)(能力挑战题)已知等比数列{a n}满足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)是否存在正整数m,使得++…+≥1?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由.【解析】(1)设等比数列{a n}的公比为q,则由已知可得故a n=·3n-1,或a n=-5·(-1)n-1.(2)若a n=·3n-1,则=·故{}是首项为,公比为的等比数列,若a n=(-5)·(-1)n-1,则=-(-1)n-1,故{}是首项为-,公比为-1的等比数列,综上,对任何正整数m,总有<1.故不存在正整数m,使得++…+≥1成立.【方法技巧】解决数列探索性问题基本方法(1)对于条件开放的探索性问题,往往采用分析法,从结论和部分已知条件入手,执果索因,导出所需的条件.(2)对于结论探索性问题,需要先得出一个结论,再进行证明.注意含有两个变量的问题,变量归一是常用的解题思想,一般把其中的一个变量转化为另一个变量,根据题目条件,确定变量的值.数列中大小关系的探索问题可以采用构造函数,根据函数的单调性进行证明,这是解决复杂问题常用的方法.(3)处理规律探索性问题,应充分利用已知条件,先求出数列的前几项,根据前几项的特点透彻分析,发现规律、猜想结论.【加固训练】已知数列{a n}满足:a1=1,a2=a(a>0).数列{b n}满足b n=a n a n+1(n∈N*).(1)若{a n}是等差数列,且b3=12,求a的值及{a n}的通项公式.(2)若{a n}是等比数列,求{b n}的前n项和S n.(3)当{b n}是公比为a-1的等比数列时,{a n}能否为等比数列?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.【解析】(1)因为{a n}是等差数列,a1=1,a2=a,所以a n=1+(n-1)(a-1).又因为b3=12,所以a3a4=12,即(2a-1)(3a-2)=12.解得a=2或a=-.因为a>0,所以a=2.所以a n=n.(2)因为数列{a n}是等比数列,a1=1,a2=a(a>0),所以a n=a n-1.所以b n=a n a n+1=a2n-1.因为=a2,所以数列{b n}是首项为a,公比为a2的等比数列.当a=1时,S n=n;当a≠1时,S n=(3)数列{a n}不能为等比数列.因为b n=a n a n+1,所以则=a-1.所以a3=a-1.假设数列{a n}能为等比数列.由a1=1,a2=a,得a3=a2.所以a2=a-1,此方程无解,故数列{a n}一定不能为等比数列.关闭Word文档返回原板块。

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课时提升作业(十)函数的图象(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·安庆模拟)函数f(x)=的图象大致是( )【解析】选 D.由已知f(x)=,知该函数为奇函数,所以排除A,B,又x>1时,f(x)=>0,排除C.【加固训练】(2014·日照模拟)函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是( )【解析】选B.易知f(x)为偶函数,故只考虑x>0时f(x)=lg(x-1)的图象,将函数y=lgx图象向x轴正方向平移一个单位得到f(x)=lg(x-1)的图象,再根据偶函数性质得到f(x)的图象.2.若lg a+lg b=0(其中a≠1,b≠1),则函数f(x)=a x与g(x)=b x的图象( )A.关于直线y=x对称B.关于x轴对称C.关于y 轴对称D.关于原点对称【解析】选C.由lg a+lg b=0,得ab=1,且a>0,a ≠1,b>0,b ≠1.g(x)=b x =x 1()a=a -x ,故选C.3.(2015·威海模拟)为了得到函数y=log,可将函数y=log 2x 图象上所有点的( )A.纵坐标缩短为原来的12,横坐标不变,再向右平移1个单位B.纵坐标缩短为原来的12,横坐标不变,再向左平移1个单位C.横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移1个单位D.横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移1个单位【解析】选A.y=log x 1-=12log 2(x-1),把函数y=log 2x 的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的12,横坐标不变,得到函数y=12log 2x 的图象,再把图象上的点向右平移1个单位,得到函数y=12log 2(x-1)的图象,即函数y=log . 4.(2014·山东高考)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是( ) A.1(0,)2B.（12,1） C.(1,2) D.(2,+∞) 【解析】选B.先作出函数的图象,由已知函数f （x ）=|x-2|+1,g （x ）=kx 的图象有两个公共x,l2:y=x之间时,符合题意,故选B.点,由图象知当直线介于l1:y=125.(2015·洛阳模拟)若f(x)是偶函数,且当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则f(x-1)<0的解集是( )A.(-1,0)B.(-∞,0)∪(1,2)C.(1,2)D.(0,2)【解题提示】先作出f(x)的图象,再通过图象变换作出函数y=f(x-1)的图象,数形结合求解.【解析】选D.根据函数的性质作出函数f(x)的图象如图,把函数f(x)的图象向右平移1个单位,得到函数f(x-1)的图象,如图,则不等式f(x-1)<0的解集为(0,2).二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f= .【解析】由图象知f(3)=1,所以=1,所以f=f(1)=2. 答案:27.已知函数y=2x1x1--的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是.【解题提示】先作函数y=2x1x1--的图象,然后利用函数y=kx-2的图象过(0,-2)以及与y=2x1x1--图象的两个交点确定k的范围.【解析】根据绝对值的意义,y=2x1x1--=x1(x1x1),x1(1x1).+><-⎧⎨---≤<⎩或在直角坐标系中作出该函数的图象,如图中实线所示.根据图象可知,当0<k<1或1<k<4时有两个交点.答案:(0,1)∪(1,4)【加固训练】若方程|ax|=x+a(a>0)有两个解,则a的取值范围是. 【解析】画出y=|ax|与y=x+a的图象,如图.只需a>1.答案:(1,+≦)8.(2015·日照模拟)函数f(x)=的图象如图所示,则a+b+c= .【解析】由图象可求得直线的方程为y=2x+2(x≤0),又函数y=log c的图象过点(0,2),将其坐标代入可得c=,所以a+b+c=2+2+=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=|x2-4x+3|.(1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性.(2)若关于x的方程f(x)-a=x至少有三个不相等的实数根,求实数a的取值范围. 【解析】f(x)=作出图象如图所示.(1)递增区间为[1,2),[3,+≦),递减区间为(-≦,1),[2,3).(2)原方程变形为|x2-4x+3|=x+a,设y=x+a,在同一坐标系下再作出y=x+a的图象(如图)则当直线y=x+a过点(1,0)时,a=-1;当直线y=x+a与抛物线y=-x2+4x-3相切时,由得x2-3x+a+3=0.由Δ=9-4(3+a)=0,得a=-.由图象知当a∈时,方程至少有三个不等实根.10.设函数f(x)=x+的图象为C1,C1关于点A(2,1)对称的图象为C2,C2对应的函数为g(x).(1)求g(x)的解析式.(2)若直线y=m与C2只有一个交点,求m的值和交点坐标.【解析】(1)设点P(x,y)是C2上的任意一点,则P(x,y)关于点A(2,1)对称的点为P′(4-x,2-y),代入f(x)=x+,可得2-y=4-x+,即y=x-2+,所以g(x)=x-2+.(2)由消去y得x2-(m+6)x+4m+9=0,Δ=[-(m+6)]2-4(4m+9), 因为直线y=m与C2只有一个交点,所以Δ=0,解得m=0或m=4.当m=0时,经检验合理,交点为(3,0);当m=4时,经检验合理,交点为(5,4).(20分钟40分)1.(5分)函数y=ln|sinx|,x∈∪的图象是( )【解析】选B.由已知y=ln|sinx|得y的定义域上的偶函数,其图象应关于y轴对称,故排除A,D,又x∈∪时,0<|sinx|≤1,所以y=ln|sinx|∈(-≦,0],结合B,C知,B正确.2.(5分)(2015·太原模拟)函数y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,…,x n,使得==…=,则n的取值范围是( )A.{3,4}B.{2,3,4}C.{3,4,5}D.{2,3}【解题提示】作直线y=kx(k≠0),转化为直线与曲线的交点个数问题,数形结合进行判断.【解析】选B.=表示(x1,f(x1))与原点连线的斜率;==…=表示(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),…,(x n,f(x n))与原点连线的斜率相等,而(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),…,(x n,f(x n))在曲线图象上,故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点个数有几种情况.如图所示,数形结合可得,有2,3,4三种情况,故选B.【加固训练】(2015·抚州模拟)如图,正方形ABCD边长为4 cm,E为BC的中点,现用一条垂直于AE的直线l以0.4 cm/s的速度从l1平行移动到l2,则在t秒时直线l扫过的正方形ABCD的面积记为F(t)(cm2),则F(t)的函数图象大致是( )【解析】选D.当l与正方形AD边有交点时,此时直线l扫过的正方形ABCD的面积随t的增大而增大的速度加快,故此段为凹函数,可排除A,B,当l与正方形CD 边有交点时,此时直线l扫过的正方形ABCD的面积随t的增大而增大的速度不变,故此段为一次函数,图象为直线,可排除C,故选D.3.(5分)(2015·郑州模拟)y=x+cos x的大致图象是( )【解析】选B.由于f(x)=x+cos x,所以f(-x)=-x+cos x,所以f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),故此函数是非奇非偶函数,排除A,C;π时,x+cos x=x,即f(x)的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为又当x=2π,排除D.故选B.24.(12分)已知函数f(x)=2x,x∈R.(1)当m 取何值时方程|f(x)-2|=m 有一个解?两个解? (2)若不等式f 2(x)+f(x)-m>0在R 上恒成立,求m 的取值范围. 【解析】(1)令F(x)=|f(x)-2|=|2x -2|, G(x)=m,画出F(x)的图象如图所示:由图象看出,当m=0或m ≥2时,函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点,原方程有一个解;当0<m<2时,函数F(x)与G(x)的图象有两个交点,原方程有两个解. (2)令f(x)=t(t>0),H(t)=t 2+t,因为H(t)=211(t )24+-在区间(0,+≦)上是增函数, 所以H(t)>H(0)=0.因此要使t 2+t>m 在区间(0,+≦)上恒成立, 应有m ≤0,即所求m 的取值范围为(-≦,0].5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x+1x+2的图象关于点A(0,1)对称. (1)求f(x)的解析式.(2)若g(x)=f(x)+a x,且g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数a 的取值范围. 【解析】(1)设f(x)图象上任一点P(x,y),则点P 关于(0,1)点的对称点 P ′(-x,2-y)在h(x)的图象上,即2-y=-x-1x +2,所以y=f(x)=x+1x(x ≠0).(2)g(x)=()()2a a 1a 1f x x ,g x 1.x x x+++=+'=- 因为g(x)在(0,2]上为减函数, 所以1-2a 1x +≤0在(0,2]上恒成立,即a+1≥x 2在(0,2]上恒成立,所以a+1≥4,即a ≥3,故a 的取值范围是[3,+≦).关闭Word 文档返回原板块。

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课时提升作业(四十九)抛物线(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则△PMF的面积为( )A.5B.10C.20 15【解析】选B.根据题意得点P的坐标为(4,〒4),所以S△PMF=12|y P||PM|=12〓4〓5=10,所以选B.【方法技巧】求解抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题的技巧抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离经常相互转化:(1)若求点到焦点的距离,则可联想点到准线的距离.(2)若求点到准线的距离,则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意.【加固训练】(2015·石家庄模拟)若抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为( )A.y2=4xB.y2=6xC.y2=8xD.y2=10x【解析】选C.由题意可知p>0,因为抛物线y2=2px,所以其准线方程为x=-p2,因为点P(2,y0)到其准线的距离为4,所以|-p-2|=4,所以p=4,故抛物线方程为2y2=8x.故选C.2.(2015·郑州模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,P,Q是抛物线上的两个点,若△PQF是边长为2的正三角形,则p的值是( )A.2 1【解析】选 A.F p(,0),设y2(y1≠y2).由抛物线定义及2|PF|=|QF|,得,所以=,又y1≠y2,所以y1=-y2,所以|PQ|=2|y1|=2,|y1|=1,所以|PF|=1p+=2,解得p=22p23.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( )A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x设点A(0,2),抛物线上点,【解析】选C.由已知得抛物线的焦点F p(,0),2则=p(,2)-,=.由已知得,·=0,即-8y0+16=0,因而2y0=4,.由|MF|=5得又p>0,解得p=2或p=8,故选C.M8(,4)p4.(2015·济南模拟)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F 为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k的值为( )12A. C.3333【解析】选C.设抛物线C:y 2=8x 的准线为l :x=-2,直线y=k(x+2)(k>0)恒过定点 P(-2,0),如图过A,B 分别作AM ⊥l 于M,BN ⊥l 于N,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点B 为AP 的中点,连接OB,则|OB|=12|FA|,所以|OB|=|BF|,点B 的横坐标为1,故点B 的坐标为把B 点坐标代入直线方程得k.5.已知抛物线y 2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( ) A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2【解析】选B.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由题意知直线AB 的方程为:y=x-p2,与y 2=2px 联立得:y 2-2py-p 2=0,所以y 1+y 2=2p,由题意知:y 1+y 2=4, 所以p=2,所以抛物线的方程为y 2=4x, 其准线方程为x=-1,故选B.【一题多解】本题也可以用如下的方法解决: 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 由题意得y 1+y 2=4,=2px 1,=2px 2,两式相减得:k AB =121212y y 2p px x y y 2-==-+=1,所以p=2, 所以抛物线的方程为y 2=4x,其准线方程为x=-1.【方法技巧】弦中点问题的常用结论及求解技巧(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,同时,要注意使用条件是Δ≥0.(2)在椭圆2222x y a b+=1(a>b>0)中,以P(x 0,y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=2020b x .a y -(3)在双曲线2222x y a b-=1(a>0,b>0)中,以P(x 0,y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=2020b x .a y .(4)在抛物线y 2=2px(p>0)中,以P(x 0,y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=p y . 【加固训练】(2015·孝感模拟)直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点,且与抛物线交于A,B 两点,若AB 中点的横坐标为3,则线段AB 的长为( )A.5B.6C.7D.8 【解析】选D.设抛物线y 2=4x 的焦点为F,准线为l 0,A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),C 是AB 的中点,其坐标为(x C ,y C ),分别过点A,B 作直线l 0的垂线,垂足分别为M,N,由抛物线的定义得|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=x A +1+x B +1=x A +x B +2=2x C +2=8. 二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,抛物线上的点P(a,-2)到焦点的距离为3,则抛物线的方程是 .【解析】由题意可设抛物线的方程为x 2=-2py(p>0),抛物线上的点P(a,-2)到焦点的距离即为点P 到准线y=p2的距离,所以p 2+2=3,解得p=2,所以抛物线的方程为x2=-4y.答案:x2=-4y【误区警示】本题易忽视条件“焦点在y轴上”,误认为抛物线有两种形式,而造成解题错误.7.(2013·安徽高考)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为.【解析】设直线y=a与y轴交于M点,若抛物线y=x2上存在C点使得∠ACB=90°,只要以|AB|为直径的圆与抛物线y=x2有除A,B外的交点即可,即使|AM|≤|MO|, a,所以a≥1或a≤0,因为由题意知a>0,所以a≥1.答案:[1,+≦)【一题多解】本题也可以用如下的方法解决:设C(m,m2),由已知可令a a则a,m2-a),m2-a),因为⊥,所以m2-a+m4-2am2+a2=0,可得(m2-a)(m2+1-a)=0,解得m2=a>0且m2=a-1≥0,故a∈[1,+≦).答案:[1,+≦)8.已知抛物线x2=2y,过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于P,Q两点,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为.【解析】由x2=2y得y=x2,所以y′=x.设P(x1,y1),Q(x2,y2),所以抛物线在P,Q两点处的切线的斜率分别为x1,x2,所以过点P的抛物线的切线方程为y-y1=x1(x-x1),又=2y1,所以切线方程为y=x1x-,同理可得过点Q 的切线方程为y=x 2x-,两切线方程联立解得 12A 12A x x x 2x x y 2+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，又抛物线焦点F 的坐标为（0,）,设直线l 的方程为y=mx+,由21y mx 2x 2y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，，得x 2-2mx-1=0, 所以x 1x 2=-1,所以y A =-. 答案:-三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·西安模拟)已知抛物线x 2=4y 的焦点为F,过焦点F 且不平行于x 轴的动直线l 交抛物线于A,B 两点,抛物线在A,B 两点处的切线交于点M. (1)求证:A,M,B 三点的横坐标成等差数列.(2)设直线MF 交该抛物线于C,D 两点,求四边形ACBD 面积的最小值.【解析】(1)由已知,得F(0,1),显然直线AB 的斜率存在且不为0,则可设直线AB 的方程为y=kx+1(k ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由2x 4y,y kx 1,⎧=⎨=+⎩消去y,得x 2-4kx-4=0,显然Δ=16k 2+16>0, 所以x 1+x 2=4k,x 1x 2=-4.由x 2=4y,得y=14x 2,所以y ′=12x, 所以直线AM 的斜率为k AM =12x 1, 所以直线AM 的方程为y-y 1=12x 1(x-x 1),又=4y 1,所以直线AM 的方程为x 1x=2(y+y 1)①.同理,直线BM 的方程为x 2x=2(y+y 2)②. ②-①并据x 1≠x 2得点M 的横坐标x=12x x 2+, 即A,M,B 三点的横坐标成等差数列.(2)由①②易得y=-1,所以点M 的坐标为(2k,-1)(k ≠0). 所以k MF =21,2k k=-- 则直线MF 的方程为y=-1kx+1, 设C(x 3,y 3),D(x 4,y 4),由2x 4y,1y x 1,k⎧=⎪⎨=-+⎪⎩消去y,得x 2+4k x-4=0,显然Δ=216k +16>0, 所以x 3+x 4=-4k,x 3x 4=-4.当且仅当k=〒1时,四边形ACBD 面积取到最小值32. 10.已知顶点在原点,焦点在y 轴上的抛物线过点P(2,1).(1)求抛物线的标准方程.(2)过点P 作直线l 与抛物线有且只有一个公共点,求直线l 的方程.(3)过点Q(1,1)作直线交抛物线于A,B 两点,使得Q 恰好平分线段AB,求直线AB 的方程.【解题提示】(1)设抛物线的标准方程为x 2=2py,把点P(2,1)代入可得p 值,从而求得抛物线的标准方程.(2)当斜率不存在时,直线方程为x=2符合题意;当斜率存在时,先设直线方程并联立抛物线方程,得出Δ=0,即可求出结果.(3)由题意可知,AB 的斜率存在,设AB 的方程为y-1=k(x-1),代入抛物线的标准方程化简,由x 1+x 2=2,求得k 的值,从而得到AB 的方程.【解析】(1)设抛物线的标准方程为x 2=2py,把点P(2,1)代入可得4=2p,所以p=2,故所求的抛物线的标准方程为x 2=4y.(2)(i)当斜率不存在时,直线方程为x=2,符合题意;(ii)当斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x-2),即y=kx-2k+1,联立方程可得2y kx 2k 1,x 4y,=-+⎧⎨=⎩整理可得x 2-4kx+8k-4=0.因为直线与抛物线只有一个公共点, 所以Δ=16k 2-32k+16=0, 所以k=1.综上可得,直线l 的方程为x-y-1=0或x=2.(3)由题意可知,AB 的斜率存在,设AB 的方程为y-1=k ′(x-1),代入抛物线的标准方程x 2=4y 可得x 2-4k ′x+4k ′-4=0,所以x 1+x 2=4k ′=2, 所以k ′=12,所以AB 的方程为y-1=12(x-1),即x-2y+1=0.(20分钟 40分)1.(5分)(2013·天津高考)已知双曲线2222x y a b-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y 2=2px(p>0)的准线分别交于A,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB则p=( )A.1B.32C.2D.3【解析】选C.双曲线的离心率c e 2,a ===OAB b y x,b bp ay .p a 2a x ,2p bpS 3,22abp 2.a⎧=-⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎩=⨯===解得联立得又因为将 2.(5分)(2015·武汉模拟)如图,已知抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 恰好是双曲线2222x y a b-=1(a>0,b>0)的右焦点,且两条曲线交点的连线过点F,则该双曲线的离心率为()B.2【解题提示】先根据抛物线方程及两条曲线交点的连线过点F 得到交点坐标,代入双曲线,把p2=c 代入整理得c 4-6a 2c 2+a 4=0,等式两边同除以a 4,得到关于离心率e 的方程,进而可求得e.【解析】选C.由题意,因为两条曲线交点的连线过点F, 所以两条曲线的一个交点为p(,p),2代入双曲线方程得2222p p41,a b-=又p2=c, 所以2222c c 4a b-⨯=1,化简得c 4-6a 2c 2+a 4=0,所以e 4-6e 2+1=0, 所以e 22, 所以故选C.3.(5分)已知点F 为抛物线C:x 2=4y 的焦点,过点M （2,-）作直线l 交抛物线C 于A,B 两点,设直线FA,FM,FB 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,若k 1,k 2,k 3成公差不为零的等差数列,则直线l 的方程是 .【解析】抛物线C:x 2=4y 的焦点为F(0,1).设直线l 的方程为y+=k(x-2),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由()21y k x 2,2x 4y ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩，得x 2-4kx+8k+2=0,故1212x x 4k,x x 8k 2,+=⎧⎨=+⎩Δ=16k 2-4(8k+2)>0,所以k<或k>.又k 1,k 2,k 3成公差不为零的等差数列,则k 1+k 3=2k 2. 而k 1+k 3=+=所以=-,8k2+10k+3=0,解得k=-或k=-.所以直线l的方程为y+=-(x-2)或y+=-(x-2),即x+2y-1=0或3x+4y-4=0. 答案:x+2y-1=0或3x+4y-4=04.(12分)(2015·杭州模拟)已知曲线C上的动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l:y=-2的距离小1.(1)求曲线C的方程.(2)动点E在直线l上,过点E分别作曲线C的切线EA,EB,切点为A,B.直线AB是否恒过定点,若是,求出定点坐标,若不是,请说明理由.【解析】(1)因为动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l:y=-2的距离小1,所以动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离与直线l′:y=-1的距离相等.所以曲线C是以F(0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线,所以曲线C的方程是:x2=4y.(2)设E(a,-2),切点为,由x2=4y得y=2x4,所以y′=x2,所以解得:x0=a,所以化简直线AB方程得: y-2=a2x,所以直线AB恒过定点(0,2).【加固训练】已知抛物线C:x 2=2py(p>0),O 为坐标原点,F 为抛物线的焦点,直线y=x 与抛物线C 相交于不同的两点O,N,且(1)求抛物线C 的方程.(2)若直线l 过点F 交抛物线于不同的两点A,B,交x 轴于点M,且=a,=b,对任意的直线l ,a+b 是否为定值?若是,求出a+b 的值;否则,说明理由.【解析】(1)联立方程2y x,x 2py,=⎧⎨=⎩得x 2-2px=0,故O(0,0),N(2p,2p), 所以= 由得p=2, 所以抛物线C 的方程为x 2=4y.(2)显然直线l 的斜率一定存在且不等于零,设其方程为y=kx+1,则直线l 与x 轴交点为1M(,0),k-设点A(x 1,y 1),点B(x 2,y 2),由2y kx 1,x 4y,=+⎧⎨=⎩得x 2-4kx-4=0, 所以Δ=(4k)2-(-16)=16(k 2+1)>0, 所以x 1+x 2=4k,x 1·x 2=-4. 由=a,得111(x ,y )k+=a(-x 1,1-y 1),所以1111y kx 1a ,1y kx +==--同理可得22kx 1b .kx +=- 所以a+b=12211212kx 1kx 1x x ()(2)1,kx kx kx x +++-+=-+=-所以对任意的直线l,a+b为定值-1.5.(13分)(能力挑战题)如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0=1-时,切线MA的斜率为-.(1)求p的值.(2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).【解析】(1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y′=,且切线MA的斜率为-,所以A点坐标为（-1,）.故切线MA的方程为y=-(x+1)+.因为点M(1-,y0)在切线MA及抛物线C2上,于是y0=-(2-)+=-, ①y0=-=-. ②由①②得p=2.(2)设N(x,y),A（x1,）,B（x2,）,x1≠x2,由N为线段AB中点知x=, ③y=. ④切线MA,MB的方程为y=(x-x1)+, ⑤y=(x-x2)+. ⑥由⑤⑥得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为x0=,y0=.因为点M(x0,y0)在C2上,即=-4y0,所以x1x2=-. ⑦由③④⑦得x2=y,x≠0.当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2=y.因此AB中点N的轨迹方程为x2=y.关闭Word文档返回原板块。

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课时提升作业十五利用导数研究函数的极值、最值(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.当函数y=x·2x取极小值时,x= ( )A.错误！未找到引用源。

B.-错误！未找到引用源。

C.-ln 2D.ln 2【解析】选B.令y′=2x+x·2x ln2=0,解得x=-错误！未找到引用源。

.2.(2016·济宁模拟)函数f(x)=错误！未找到引用源。

x2-lnx的最小值为( )A.错误！未找到引用源。

B.1C.0D.不存在【解析】选A.f′(x)=x-错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,且x>0,令f′(x)>0,得x>1;令f′(x)<0,得0<x<1,所以f(x)在x=1处取得极小值也是最小值,且f(1)=错误！未找到引用源。

-ln1=错误！未找到引用源。

.3.(2016·潍坊模拟)已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是( )A.-37B.-29C.-5D.以上都不对【解析】选A.因为f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),因为f(x)在(-2,0)上为增函数,在(0,2)上为减函数,所以当x=0时,f(x)=m最大.所以m=3,从而f(-2)=-37,f(2)=-5.所以最小值为-37.4.(2015·陕西高考)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零常数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是( )A.-1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y=f(x)上【解题提示】根据选项假设A错误,利用导数推导函数的极值点及极值,与其余的选项相符,假设正确,从而确定答案.【解析】选A.若选项A错误,则选项B,C,D正确.f′(x)=2ax+b,因为1是f(x)的极值点,3是f(x)的极值,所以错误！未找到引用源。

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课时提升作业七指数函数(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)等于( )A.5B.7C.9D.11【解析】选 B.因为f(x)=2x+2-x,f(a)=3,所以2a+2-a=3.所以f(2a)=22a+2-2a= (2a+2-a)2-2=9-2=7.2.下列函数中值域为正实数的是( )A.y=-5xB.y=错误！未找到引用源。

C.y=错误！未找到引用源。

D.y=错误！未找到引用源。

【解析】选B.A中,y=-5x≤0,B中,因为1-x∈R,y=错误！未找到引用源。

的值域是正实数,所以y=错误！未找到引用源。

的值域是正实数,C中,y=错误！未找到引用源。

≥0,D中,y=错误！未找到引用源。

,由于2x>0,故1-2x<1,又1-2x≥0,故0≤y<1,故符合条件的只有B.3.已知a=错误！未找到引用源。

,b=错误！未找到引用源。

,c=错误！未找到引用源。

,则下列关系式中正确的是( )A.c<a<bB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c【解析】选B.把b化简为b=错误！未找到引用源。

,而函数y=错误！未找到引用源。

在R上为减函数,错误！未找到引用源。

>错误！未找到引用源。

>错误！未找到引用源。

,所以错误！未找到引用源。

<错误！未找到引用源。

<错误！未找到引用源。

,即b<a<c.4.(2016·莱芜模拟)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)满足f(1)=错误！未找到引用源。

,则f(x)的单调递减区间是( )A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]【解析】选B.由f(1)=错误！未找到引用源。

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课时提升作业十三变化率与导数、导数的计算(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=x2cosx在x=1处的导数是( )A.0B.2cos1-sin1C.cos1-sin1D.1【解析】选 B.因为y′=(x2cosx)′=(x2)′cosx+x2(cosx)′=2xcosx-x2sinx,所以y′|x=1=2cos1-sin1.2.(2016·济宁模拟)已知f(x)=x(2014+lnx),f′(x0)=2015,则x0= ( )A.e2B.1C.ln2D.e【解析】选B.由题意可知f′(x)=2014+lnx+x·错误！未找到引用源。

=2015+lnx.由f′(x0)=2015,得lnx0=0,解得x0=1.3.已知函数f(x)=e x,则当x1<x2时,下列结论正确的是( )A.错误！未找到引用源。

>错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

<错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

>错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

<错误！未找到引用源。

【解析】选C.设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),则错误！未找到引用源。

表示曲线f(x)=e x在B点处的切线的斜率,而错误！未找到引用源。

表示直线AB的斜率,由数形结合可知:错误！未找到引用源。

>错误！未找到引用源。

.4.(2016·聊城模拟)直线f(x)=错误！未找到引用源。

x+b是曲线g(x)=lnx(x>0)的一条切线,则b=( ) A.2 B.ln2+1C.ln2-1D.ln2【解析】选C.因为g′(x)=错误！未找到引用源。

,所以错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,解得x=2,所以切点为(2,ln2),将其代入直线f(x)=错误！未找到引用源。

课时提升作业(二十九)等差数列及其前n 项和(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若2a 6=a 8+6,则S 7等于 ( ) A.49 B.42 C.35 D.24【解析】选B.设公差为d,由已知得2(a 1+5d)=a 1+7d+6,即a 1+3d=6, 所以S 7=7a 1+d=7(a 1+3d)=7×6=42.【加固训练】(2013·安徽高考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 8=4a 3,a 7=-2,则a 9=( )A.-6B.-4C.-2D.2 【解析】选A.由S 8=4a 3⇒8a 1+d=4×(a 1+2d);由a 7=-2⇒a 1+6d=-2,联立解得a 1=10,d=-2,所以a 9=a 1+8d=10-16=-6.2.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 3=3,S 9-S 6=27,则该数列的首项a 1等于( )A.-B.-C.D.【解析】选D.由111a 2d 3,9a 36d (6a 15d)27,+=⎧⎨+-+=⎩得11a 2d 3,a 7d 9,+=⎧⎨+=⎩解得a1=.故选D.3.已知数列{a n}中,a3=2,a7=1,若数列{}为等差数列,则a等于11 ( )A.0B.C.D.-1【解析】选B.设{}的公差为d,则=+4d,即4d=-=,所以d=,4.(2015·吉林模拟)等差数列{a n}的前n项和为S n(n=1,2,3,…),当首项a1和公差d变化时,若a5+a8+a11是一个定值,则下列各数中为定值的是( )A.S17B.S18C.S15D.S16【解析】选C.由等差数列的性质得:a5+a11=2a8,所以a5+a8+a11为定值,即a8为定值.又因为S15===15a8,所以S15为定值.故选C.【加固训练】已知等差数列{a n}中,|a3|=|a9|,公差d<0,S n是数列{a n}的前n项和,则( )A.S5>S6B.S5<S6C.S6=0D.S5=S6【解题提示】根据已知得到a3+a9=0,从而确定出a6=0,然后根据选项即可判断.【解析】选 D.因为d<0,|a3|=|a9|,所以a3>0,a9<0,且a3+a9=0,所以a6=0,a5>0,a7<0,所以S5=S6.5.(2015·马鞍山模拟)等差数列{a n}中,“a1<a3”是“a n<a n+1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.等差数列中,由a1<a3,可知公差d>0,所以a n+1=a n+d>a n,即a n<a n+1.反过来,由a n<a n+1,可知公差d>0,所以a3=a1+2d>a1,即a1<a3.等差数列{a n}中,“a1<a3”是“a n<a n+1”的充分必要条件.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知数列{a n}中,a1=1且=+(n∈N*),则a10= .【解析】由=+知,数列{}为等差数列,则=1+(n-1),即a n=.所以a10==.答案:7.已知等差数列{a n}的首项a1=20,公差d=-2,则前n项和S n的最大值为.【解题提示】等差数列前n项的和S n是关于n的二次函数,可将S n的最大值转化为求二次函数的最值问题.【解析】因为等差数列{a n}的首项a1=20,公差d=-2,代入求和公式得,又因为n∈N*,所以n=10或n=11时,S n取得最大值,最大值为110.答案:110【方法技巧】求等差数列前n项和的最值的常用方法(1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,或者利用性质求其正负转折项,便可求得S n的最值.(2)利用公差不为零的等差数列的前n项和S n=An2+Bn(A,B为常数)为二次函数,根据二次函数的性质求最值.(3)注意区别等差数列前n项和S n的最值和S n的符号.【加固训练】在数列{a n}中,a1=-18,a n+1=a n+3(n∈N*),则数列{a n}的前n 项和S n的最小值为.【解析】由a n+1=a n+3知{a n}是等差数列,首项为-18,公差为3,所以a n=-21+3n.当n=7时,a n=0,当n≤6时,a n<0,所以当n=6或7时,S n有最小值-63.答案:-638.如果有穷数列a1,a2,…,a m(m为正整数)满足条件:a1=a m,a2=a m-1,…,a m=a1,则称其为“对称”数列.例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列{c n}中c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,则c2= . 【解析】因为c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,所以c20=c11+9d=1+9×2=19,又{c n}为21项的对称数列,所以c2=c20=19.答案:19三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n+2S n·S n-1=0(n≥2),a1=.(1)求证:{}是等差数列.(2)求数列{a n}的通项公式.【解析】(1)因为a n=S n-S n-1(n≥2),又a n=-2S n·S n-1,所以S n-1-S n=2S n·S n-1,S n≠0,所以又==2,故数列{}是以2为首项,以2为公差的等差数列.(2)由(1)知=+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n,所以S n=.当n≥2时,有a n=-2S n·S n-1=-,又因为a1=,不适合上式,【加固训练】已知数列{a n}是一个等差数列,且a2=1,a5=-5.(1)求{a n}的通项公式.(2)设c n=,b n=,求T=log2b1+log2b2+log2b3+…+log2b n的值.【解析】(1)设{a n}的公差为d,由已知条件解得a1=3,d=-2.所以a n=a1+(n-1)d=-2n+5.(2)因为a n=-2n+5,所以c n===n,所以b n==2n,所以T=log2b1+log2b2+log2b3+…+log2b n=log22+log222+log223+…+log22n=1+2+3+…+n=.10.(2015·成都模拟)数列{a n}中,a1=-23,a n+1-a n-3=0.(1)求数列的前n项和S n.(2)求使得数列{S n}是递增数列的n的取值范围.【解析】(1)因为a n+1-a n-3=0,所以a n+1-a n=3,即数列{a n}是等差数列,公差d=3.又a1=-23,所以数列{a n}的前n项和为S n=-23n+n(n-1)·3,即S n=n2-n.(2)S n=n2-n的对应函数为f(x)=x2-x,它的图象是一条抛物线,其开口方向向上,对称轴为x=.当x≥时,函数f(x)是增函数.因为8<<9,且-8<9-,所以f(8)<f(9).综上,可知使得数列{S n}是递增数列的n的取值范围是{n|n≥8,n∈N*}. 【加固训练】(2015·郑州模拟)数列{a n}满足a1=,a n+1=(n∈N*).(1)求证:为等差数列,并求出{a n}的通项公式.(2)设b n=-1,数列{b n}的前n项和为B n,对任意n≥2都有B3n-B n>成立,求正整数m的最大值.【解析】(1)a n+1=,===-1+,所以-=-1,所以为首项为-2,公差为-1的等差数列,所以=-2+(n-1)×(-1)=-(n+1),所以a n=.(2)b n=-1=,令C n=B3n-B n=++…+,所以C n+1-C n=++…+--…-=-+++=-+>-=0,所以C n+1-C n>0,所以{C n}为单调递增数列,所以(B3n-B n)min=B6-B2=+++=,所以<,所以m<19,又m∈N*,所以m的最大值为18.(20分钟40分)1.(5分)(2015·唐山模拟)在等差数列{a n}中,a1=-2015,其前n项和为S n,若-=2,则S2015的值等于( )A.-2015B.-2014C.-2013D.-2012【解析】选A.设等差数列{a n}的公差为d,因为-=2,根据等差数列的性质可得也为等差数列,所以d=2.所以S2015=2015a1+=-2015.【加固训练】(2015·延吉模拟)等差数列{a n}中,是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为( )A.{1}B.C. D.【解析】选B.等差数列{a n}中,设=是与n无关的常数m,所以a1+(n-1)d=ma1+m(2n-1)d对任意n恒成立,即(2md-d)n+(ma1-md+d-a1)=0对任意n恒成立,故由第一个方程得d=0或者m=.若d=0,代入第二个方程可得m=1(因为a1≠0);若m=,代入第二个方程得d=a1.2.(5分)(2015·大连模拟)下面是关于公差d>0的等差数列{a n}的四个命题:p1:数列{a n}是递增数列;p2:数列{na n}是递增数列;p3:数列{}是递增数列;p4:数列{a n+3nd}是递增数列.其中的真命题为( )A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4【解析】选D.{3.(5分)(2015·郑州模拟)已知数列{a n}的前n项和S n=n2-6n,则{|a n|}的前n 项和T n = ( ) A.6n-n 2 B.n 2-16n+18C.()226n n (1n 3)n 6n 18n 3⎧-≤≤⎪⎨-+>⎪⎩D.()226n n (1n 3)n 6n n 3⎧-≤≤⎪⎨->⎪⎩ 【解析】选C.因为由S n =n 2-6n 得{a n }是等差数列,且首项为-5,公差为2.所以a n =-5+(n-1)×2=2n-7, 所以n ≤3时,a n <0,n>3时,a n >0,所以T n =()226n n (1n 3),n 6n 18n 3.⎧-≤≤⎪⎨-+>⎪⎩4.(12分)已知数列{a n }的奇数项是公差为d 1的等差数列,偶数项是公差为d 2的等差数列.S n 是数列{a n }的前n 项和,a 1=1,a 2=2. (1)若S 5=16,a 4=a 5,求a 10.(2)若d 1=3d 2(d 1≠0),且存在正整数m,n(m ≠n),使得a m =a n ,求当d 1最大时,数列{a n }的通项公式.【解析】(1)由题意,当n 为奇数时,a n =1+d 1;当n 为偶数时,a n =2+(-1)d 2.由S 5=16,a 4=a 5可得122133d 4d 16,2d 12d ,+++=⎧⎨+=+⎩解得d 1=2,d 2=3, 所以a 10=2+4d 2=14.(2)因为d1≠0,d2≠0,且存在正整数m,n(m≠n),使得a m=a n, 所以m,n中必然一个为奇数,一个为偶数.不妨设m为奇数,n为偶数,由a m=a n,得1+d1=2+（-1）d2,将d1=3d2代入,化简得d1=.因为m为奇数,n为偶数,所以3m-n-1的最小值为2,此时d1=3,d2=1,【加固训练】已知数列{a n},a n∈N*,S n=(a n+2)2.(1)求证:{a n}是等差数列.(2)设b n=a n-30,求数列{b n}的前n项和T n的最小值.【解析】(1)因为S n=(a n+2)2, ①所以S n-1=(a n-1+2)2(n≥2). ②①-②得S n-S n-1=(a n+2)2-(a n-1+2)2(n≥2),即a n=(a n+2)2-(a n-1+2)2.所以(a n-2)2=(a n-1+2)2,所以a n+a n-1=0或a n-a n-1=4.因为a n∈N*,所以a n+a n-1=0舍去,所以a n-a n-1=4.a1=S1=(a1+2)2,所以(a1-2)2=0,a1=2.所以{a n}是首项为2,公差为4的等差数列.(2)b n=a n-30=(4n-2)-30=2n-31.b n+1-b n=2(n+1)-31-(2n-31)=2.b1=a1-30=×2-30=-29.所以{b n}是以b1=-29为首项,d=2为公差的等差数列.T n=nb1+d=-29n+×2=n2-30n.所以T n=(n-15)2-225.当n=15时,数列{b n}的前n项和有最小值为-225.5.(13分)(能力挑战题)设同时满足条件:①≤b n+1(n∈N*);②b n≤M(n∈N*,M是与n无关的常数)的无穷数列{b n}叫“特界”数列.(1)若数列{a n}为等差数列,S n是其前n项和,a3=4,S3=18,求S n.(2)判断(1)中的数列{S n}是否为“特界”数列,并说明理由.【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d,则a1+2d=4,S3=a1+a2+a3=3a1+3d=18,解得a1=8,d=-2,所以S n=na1+d=-n2+9n.(2)由故数列{S n}适合条件①.则当n=4或5时,S n有最大值20,即S n≤20,故数列{S n}适合条件②.综上,数列{S n}是“特界”数列.关闭Word文档返回原板块。

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课时提升作业一集合(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列结论正确的是( )A.0∈N*B.0∈∅C.{0}⊆N*D.∅⊆N*【解析】选D.集合N*表示正整数集,∅中不含任何元素,所以A,B,C都不正确,∅是任何集合的子集,故D正确.2.(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},则A∪B= ( )A.(-1,3)B.(-1,0)C.(0,2)D.(2,3)【解析】选A.因为A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},所以A∪B=错误！未找到引用源。

.3.(2016·德州模拟)若集合M={x|-2<x<3},N={y|y=x2+1,x∈R},则集合M∩N=( )A.(-2,+∞)B.(-2,3)C.[1,3)D.R【解析】选C.因为y=x2+1≥1,所以N={y|y≥1},所以M∩N={x|1≤x<3}.4.已知A={x|x2<4},B为自然数集,则A∩B=( )A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1}C.{0,1}D.{1}【解析】选C.因为A={x|-2<x<2},B是自然数集,所以A∩B={0,1}. 【误区警示】解答本题易误选D,出错的原因是对自然数集的定义理解不到位.【加固训练】已知集合A={x|(x+1)(x-2)≤0},B为整数集,则A∩B=( )A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0}D.{0,1}【解析】选 B.因为A={x|-1≤x≤2},B为整数集,所以A∩B={-1,0,1,2}.5.(2016·滨州模拟)已知集合A={log2a,3},B={a,b},若A∩B={0},则A ∪B=( ) A.{0,3} B.{0,1,3}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3}【解析】选 B.因为A∩B={0},所以0∈A,且0∈B,即log2a=0,b=0,a=1,b=0,所以A∪B={0,1,3}.6.(2016·临沂模拟)已知集合A={0,x},B={x2,-x2,|x|-1},若A⊆B,则实数x的值为( )A.1或-1B.1C.-1D.2【解析】选A.验证法,当x=1时,A={0,1},B={1,-1,0},满足A⊆B,当x=-1时,A={0,-1},B={1,-1,0},满足A⊆B,当x=2时,A={0,2},B={4,-4,1},不满足A⊆B.故选A.【一题多解】解答本题还可采用如下方法:选A.因为A⊆B,所以0∈B,因为x≠0,所以|x|-1=0,即x=±1,经验证,易知x=±1满足题意.7.(2016·泰安模拟)已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且错误！未找到引用源。

世纪金榜数学试题及答案世纪金榜数学试题及答案一、精心选一选，想信你一定能选对!(每题3分，共30分)1.下列函数，①y=2x，②y=x，③y=x-1，④y=是反比例函数的个数有().A.0个B.1个C.2个D.3个2.反比例函数y=的图象位于()A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限3.已知矩形的面积为10，则它的长y与宽x之间的关系用图象表示大致为()4.已知关于x的函数y=k(x+1)和y=-(k≠0)它们在同一坐标系中的'图象是()5.已知点(3，1)是双曲线y=(k≠0)上一点，则下列各点中在该图象上的点是().A.(，-9)B.(3，1)C.(-1，3)D.(6，-)6.某气球充满一定质量的气体后，当温度不变时，气球内的气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于140kPa时(第6题)(第7题)7.某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例，如右图所表示的是该电路中电流I与电阻R之间的函数关系的图象，则用电阻R表示电流I•的函数解析式为().A.I=B.I=-C.I=D.I=8.函数y=与函数y=x的图象在同一平面直角坐标系内的交点个数是().A.1个B.2个C.3个D.0个9.若函数y=(m+2)|m|-3是反比例函数，则m的值是().A.2B.-2C.±2D.×210.已知点A(-3，y1)，B(-2，y2)C(3，y3)都在反比例函数y=的图象上，则().A.y1。