专题9 函数图像的判断-2019届高考数学经典题总结解析版

（福建省2019届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列数学(理科)适应性练习（一））8.函数的图像大致为A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为，所以排除A,C,当函数在轴右侧靠近原点的一个较小区间时，，函数单调递增，故选 D.考点：函数图象与函数性质．（安徽省安庆市2019届高三模拟考试（二模）数学文试题）6.函数的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先由函数的零点排除B，D选项，再根据函数的单调性排除C选项，即可求出结果.【详解】令可得，，即函数仅有一个零点，所以排除B，D选项；又，所以由，可得，由得,即函数在上单调递增，在上单调递减，故排除 C.【点睛】本题主要考查函数的图像，属于基础题型.（广西梧州市、桂林市、贵港市等2019届高三（上）期末数学试题（文科））8.函数的图象大致为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，即函数y＝f（x）为奇函数，排除A，C，再由排除D，得到结论. 【详解】因为，此函数定义域为R，又因为，即函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项A，C，当时，，故排除D，故选：B．【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，利用函数的性质及特殊点的函数值进行排除选项是常用的方法，属于基础题.（湖南省邵阳市2019届高三上学期10月大联考理科数学试题）7.函数的图象大致为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】[来源学*科*网Z*X*X*K]根据题中表达式得到当时，分母趋向于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除BC，当时，分母趋向于0，但是小于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除 A.进而得到选项.【详解】根据题干中的表达式得到x不能等于2，故图中必有渐近线，x=2或-2，当时，分母趋向于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除BC，当时，分母趋向于0，但是小于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除 A.故答案为： D.【点睛】这个题目考查了已知函数的表达式选择函数的图像，这类题目通常是从表达式入手，通过表达式得到函数的定义域，值域，奇偶性，等来排除部分选项，或者寻找函数的极限值，也可以排除选项.（山东省泰安市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）7.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断f（x）的奇偶性，及f（x）的函数值的符号即可得出答案．【详解】∵f（﹣x）f（x），∴f（x）是奇函数，故f（x）的图象关于原点对称，当x＞0时，f（x），∴当0＜x＜1时，f（x）＜0，当x＞1时，f（x）＞0，故选：A．【点睛】本题考查了函数的图象判断，一般从奇偶性、单调性、零点和函数值等方面判断，属于中档题．（陕西省咸阳市2019届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题）9.函数的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据函数是奇函数，图象关于原点对称，从而排除B,C两项，再结合相应区间上的函数值的符号，排除A项，从而得到正确的结果.【详解】根据，可知其为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B,C两项，当时，鉴于正弦函数的有界性，可知函数值趋向于正无穷，所以图象应落在轴的上方，所以排除A，故选D.[来源学科网]【点睛】该题考查的是有关函数图象的选择问题，在解题的过程中，注意从定义域，单调性，图象的对称性，特殊点以及函数值的符号等方面入手，就可以正确选择函数的图象，属于简单题目.（广东省六校2019届高三第三次联考理科数学试题）6.函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可【详解】解：函数，，，，则函数为非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，排除C，D，当，排除B，故选：A【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键（陕西省四校联考2019届高三12月模拟数学试卷（文科）试题）3.函数的图象可能是A. B. [来源:]C. D.【答案】 C【解析】【分析】利用已知函数的对称性及特殊点进行判断即可.【详解】函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当时，，排除A；当时，，排除D．故应选C．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.（湖南师大附中2019届高三月考试题（七）数学（理））3.函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求得f（x）的奇偶性及f（1）的值即可得出答案．【详解】∵f（﹣x）f（x），∴f（x）是偶函数，故f（x）图形关于y轴对称，排除C，D；又x=1时，<0，∴排除B，故选：A．【点睛】本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题．（江西省上饶市2019届高三第二次模拟考试数学（文）试题）8.函数的图像大致为( )A. B. [来源:Z。

1．在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数。

2．会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题。

热点题型一 作函数的图象 例1、作出下列函数的图象。

(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；(3)y ＝2x －1x －1。

【解析】(1)作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0部分，加上y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x ＞0部分关于【提分秘籍】函数图象的画法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象。

(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象。

(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响。

【举一反三】 作出下列函数的图象：(1)y ＝x 3|x |；(2)y ＝x ＋2x －1； (3)y ＝|log 2x －1|；即得．如图②所示。

(3)先作出y ＝log 2x 的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方来，即得y ＝|log 2x －1|的图象，如图③所示。

热点题型二 函数图象的辨识 例2、（2018年全国Ⅲ卷理数）函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D 【答案】D 【解析】当时，，排除A,B.,当时，,排除C ，故正确答案选D 。

【变式探究】【2017浙江，7】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D ． 【提分秘籍】 有关图象辨识问题的常见类型及解题思路(1)由实际情景探究函数图像：关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，但要注意实际问题中的定义域。

函数与导数问题解题方法探寻及典例剖析【考情分析】1. 常见题型2. 在解题中常用的有关结论（需要熟记）：3. 解题方法规律总结【例1】“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚乌龟还是先到达了终点……用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是（）【答案】B【解析】在选项B中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短．【点评】函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视．【例2】（山东高考题）已知定义在R上的奇函数)(xf，满足(4)()f x f x-=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程()(0)f x m m=>在区间[8,8]-上有四个不同的根1234,,,x x x x，则1234_________.x x x x+++=【答案】-8【解析】因为定义在R上的奇函数，满足(4)()f x f x-=-，所以(4)()f x f x-=-，所以, 由)(xf为奇函数，所以函数图象关于直线2x=对称且(0)0f=，由(4)()f x f x-=-知(8)()f x f x-=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f在区间[0,2]上是增函数，所以)(x f在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0) 在区间[]8,8-A B C D-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8yxf(x)=m (m>0)【例3】若1x 是方程lg 3x x +=的解，2x 是310=+x x 的解，则21x x +的值为（ ）A ． 23B ．32C ．3D ．31【例4】若函数()(01)x f x a x a a a =-->≠且有两个零点，则实数a 的取值范围是 ．【例5】已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -＜()3f 的x 取值范围是（ ）（A ）（1，2） (B) ［1，2） (C)（1，2） (D) ［1，2）【例6】某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x （单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=建筑总面积购地总费用）【例1】已知a 、b 为常数，且a ≠0，函数()ln f x ax b ax x =-++，()2f e =。

专题06 函数图象【母题来源一】【2019年高考浙江卷】在同一直角坐标系中，函数1xy a =，1(2log )a y x =+(0a >，且1a ≠)的图象可能是【答案】D【解析】当01a <<时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减， 则函数1xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增， 函数1log ()2a y x =+的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合； 当1a >时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增， 则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递减， 函数1log ()2a y x =+的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合． 故选D ．【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性．【母题来源二】【2018年高考浙江卷】函数||2sin 2x y x =的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令||()2sin 2x f x y x ==， 因为||||,()2sin2()2sin2()x x x f x x x f x -∈-=-=-=-R ，所以函数||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A ，B ； 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ， 故选D ．【名师点睛】先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择．有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置； （2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）由函数的周期性，判断图象的周期性．【母题来源三】【2017年高考浙江卷】函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x 位于增区间内， 故选D ．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数()f'x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．【命题意图】（1）考查函数图象的辨识与变换；（2）考查函数图象的应用问题，运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）考查运用数形结合思想分析与解决问题的能力． 【命题规律】高考对函数图象的考查形式多样，命题角度主要有： （1）函数图象的变换；（2）函数图象的识别，即由函数的性质及解析式选择图象；（3）函数图象的应用，即由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、利用数形结合解决问题等，其重点是基本初等函数的图象以及函数的性质在图象上的直观体现． 【答题模板】解答此类题目，一般考虑如下四步：第一步：确定图象的范围．即根据解析式，确定函数的定义域、值域，以确定图象的大体位置； 第二步：研究图象的对称性．根据函数的奇偶性，确定图象的对称性；第三步：研究图象的变化趋势．根据函数单调性定义或导数，研究函数的单调性，明确图象的变化趋势． 第四步：研究图象上的特殊点．根据函数解析式，计算函数值，函数的特征点，排除不合要求的图象． 【方法总结】1．函数奇偶性的定义及图象特点判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 2．判断函数奇偶性的常用方法及思路 （1）定义法（2）图象法（3）性质法利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断．注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围相应地化简解析式，判断()f x 与()f x -的关系，得出结论，也可以利用图象作判断． ②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程． 3．函数单调性的定义设12,[,]x x a b ∈，12x x ≠． 若有()()1212()0[]x x f x f x ->-或1212()()0f x f x x x ->-，则()f x 在闭区间[],a b 上是增函数；若有()()1212()0[]x x fx f x --<或1212()()0f x f x x x -<-，则()f x 在闭区间[],a b 上是减函数．4．判断函数单调性的方法（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对1x 或2x 进行适当变形，进而比较出1()f x 与2()f x 的大小．（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减． （4）导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性．（5）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性． 5．周期函数对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有()()f x T f x +=，那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的周期． 6．最小正周期如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期（若不特别说明，T 一般都是指最小正周期）． 注意：并不是所有周期函数都有最小正周期． 7．对称性的三个常用结论：（1）若函数()y f x a =+是偶函数，即()()f a x f a x =-+，则()y f x =的图象关于直线x a =对称； （2）若对于R 上的任意x 都有()(2)x f a x f =-或(()2)f x f a x =+-，则()y f x =的图象关于直线x a =对称；（3）若函数()y f x b =+是奇函数，即((0))f x b f x b +++-=，则()y f x =关于点(,0)b 中心对称． 8．有关图象辨识问题的常见类型及解题思路：（1）由实际情景探究函数图象．关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．（2）借助动点探究函数图象．解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象；也可采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择．（3）由解析式确定函数图象．此类问题往往从以下几方面判断：①从函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性；④从函数的周期性，判断图象的循环往复．利用上述方法，排除、筛选错误或正确的选项．（4）同一坐标系下辨析不同函数图象．解决此类问题时，常先假定其中一个函数的图象是正确的，然后再验证另一个函数图象是否符合要求，逐项作出验证排查．（5）利用函数性质探究函数图象，往往结合偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称这一结论进行判断．9．函数图象应用的常见题型及求解策略（1）利用函数图象确定函数解析式，要注意综合应用奇偶性、单调性等相关性质，同时结合自变量与函数值的对应关系．（2）利用函数图象研究两函数图象交点的个数时，常将两函数图象在同一坐标系内作出，利用数形结合求解参数的取值范围．（3）利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．（4）利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．1．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟】在下面四个[,]x ∈-ππ的函数图象中，函数||sin 2y x x =的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据函数奇偶性和对称性以及当x =π时的函数值的对应性进行排除即可． 【解析】因为()||sin(2)||sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-， 所以函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除选项B 、D ， 当x =π时，()sin 20f π=ππ=，排除选项A ． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数奇偶性，函数值的对应性利用排除法是解决本题的关键，属于基础题．2．【河北省保定市2019年高三第二次模拟考试】函数1()sin 2f x x x =+的图象大致是 A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为1()sin 2f x x x =+为奇函数，所以排除B ，D ；当0x >且0x →时，()0f x >，排除A ． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查了函数图象的判断，可从奇偶性、单调性、函数值、对称性等方面逐一排除即可，考查转化能力及观察能力，属于中档题．3．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】设函数21()ln 1xf x x x+=-，则函数()f x 的图象可能为A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先判断函数奇偶性，排除B 、D ，再根据1()2f 函数值正负确定选项．【解析】因为2211()lnln ()11x xf x x x f x x x-+-==-=+-， 所以函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，所以排除选项B 、D ， 因为11()ln 3024f =>，所以排除选项A ， 故选C ．【名师点睛】本题考查函数图象识别，考查基本分析判断能力，属基本题．4．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测】我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数4()|41|x x f x =-的图象大致是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为函数4()|41|x x f x =-，44()()()|41||41|xx x x f x f x ----==≠--， 所以函数()f x 不是偶函数，图象不关于y 轴对称，故排除选项A 、B ； 又9(3)7f =，256(4)255f =，所以(3)(4)f f >， 而选项C 中的图象在0x >时是单调递增的，故排除C ． 故选D ．【名师点睛】本题考查了函数的图象和性质，利用函数的奇偶性和取特值判断函数的图象是解题的关键，属于基础题．5．【浙江省台州市联谊五校2018-2019学年下学期期中考试】函数2ln ||y x x =+的图象大致为A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断．【解析】因为2()ln ||()f x x x f x -=+=，所以函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称，故排除选项B 、C ， 当0x →时，y →-∞，故排除选项D ，（或者根据，当0x >时，2ln y x x =+为增函数，排除选项D ）， 故选A ．【名师点睛】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势，属于基础题．6．【四川省百校2019届高三模拟冲刺】若函数()y f x =的大致图象如图所示，则()f x 的解析式可以是A ．()e ex xxf x -=+B ．()e ex xxf x -=- C ．e e ()x xf x x-+=D ．e e ()x xf x x--=【答案】C【解析】当x →0时，f （x ）→±∞，而A 中的f （x ）→0，排除选项A ； 当x ＜0时，f （x ）＜0，而选项B 中x ＜0时，()0e e x xxf x -=>-，选项D 中，e e ()0x xf x x--=>，排除选项B 、D ，故选C ．【名师点睛】本题考查了函数的单调性、函数值的符号，考查数形结合思想，利用函数值的取值范围可快速解决这类问题．7．【浙江省2019年高考模拟训练三】函数2cos ()xf x x=的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】利用奇偶性及函数值的正负进行排除即可． 【解析】因为22cos cos(()()())x x f x f x x x -===--， 所以函数()f x 为偶函数，排除选项A 、B ， 又当02x π<<时，()0f x >，排除选项D ， 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数图象的识别，利用函数性质及特殊函数值进行排除是常用方法，属于基础题． 8．【湖南省雅礼中学2019届高考模拟卷二】函数2441()2x f x x-+=的大致图象是 A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】函数2441()2x f x x-+=是偶函数，排除选项B 、C ； 当2x =时，f （2）=1532-＜0，对应点在第四象限，排除A ． 故选D ．【名师点睛】本题考查函数的图象的判断，考查数形结合以及计算能力．求解时，利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊值定义点的位置判断选项即可．9．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试】如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是A ．221x y x =--B ．2sin y x x =C ．ln x y x =D ．22e ()x y x x =- 【答案】D【解析】Q 2sin y x x =为偶函数，其图象关于y 轴对称，∴排除B ；Q 函数ln x y x =的定义域为{|01x x <<或1}x >，∴排除C ； 对于221x y x =--，当2x =-时，222(2)10y -=---<，∴排除A ．故选D ． 【名师点睛】本题主要考查了函数的对称性、定义域、函数值的判断与计算，考查分析能力，属于中档题．解答本题时，通过对B 选项中对称性的判断可排除B ，通过C 选项中对定义域的判断来看可排除C ，对A 选项中，2x =-时，计算得0y <，可排除A ，问题得解．10．【浙江省嘉兴市2019届高三第一学期期末检测】函数()(1)ln(|1|)f x x x =+-的大致图象是A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数解析式，可代入特殊点，进行排除．【解析】根据函数表达式，当2x >时，函数值大于0，可排除A 选项，当1x <-时，函数值小于0故可排除C 和D 选项，进而得到B 选项正确．故选B ．【名师点睛】这个题目考查了已知函数解析式，求函数图象的问题，这种题目一般可以代入特殊点，进行选项的排除，或者根据函数表达式得到函数的定义域，值域的问题，进行排除．11．【山西省2019年高考考前适应性训练三】函数cos y x x =的大致图象为A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】易知函数cos y x x =为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B 、D ；当x 取很小的正实数时，函数值大于零，故选A ．【名师点睛】本题考查了函数的图象、奇偶性，属于基础题．解答本题时，根据函数奇偶性和特定值依次排除即可得解．12．【浙江省2018年11月学考】函数2()||a f x x x =+（a ∈R ）的图象不可能是A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】直接利用排除法，对参数a 分别取0，1，1-，进一步利用函数的图象求出结果．【解析】直接利用排除法：①当0a =时，选项B 成立；②当1a =时，21()||f x x x =+，函数的图象类似D ； ③当1a =-时，21()||f x x x =-，函数的图象类似C ． 故选A ． 【名师点睛】本题考查函数的图象和函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能．13．【湖南师大附中2019届高三月考试题（七）】函数e 1()(1e )x x f x x +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为e 11e e 1()()(1e )(e 1)(1e )x x x x x x f x f x x x x --+++-====-----， 所以()f x 是偶函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称，排除选项C 、D ；又1x =时，e 1(1)01e f +=<-，所以排除B ， 故选A ．【名师点睛】本题考查了函数图象的识别，经常利用函数的奇偶性、单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题．求解时，求得()f x 的奇偶性及(1)f 的值即可得出答案．14．【浙江省温州九校2019届高三第一次联考】函数cos x y x=-的图象可能是 A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】研究函数的性质，根据性质作出判断． 【解析】令cos ()x y f x x==-， 因为cos()cos ()()x x f x f x x x--=-==--， 所以函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，由此可排除选项B ，当0x +→，cos 1x →，则cos x x-→-∞，由此可排除选项C 、D ． 故选A ．【名师点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数的图象，解题的关键是研究函数的性质．15．【广东省湛江市2019年普通高考测试二】已知实数m 是给定的常数，函数32()f x mx x =--21mx -的图象不可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】当0m =时，2()1f x x =--，C 符合题意；当0m ≠时，22()322,4240f x mx x m m ∆'=--=+>，设23220mx x m --=的两根为1x ，2x ，则12203x x =-<， 则两个极值点1x ，2x 异号，则D 不合题意，故选D ．【名师点睛】本题考查函数图象的识别与判断，导数的应用，考查推理能力，是基础题．求解时，令m =0，排除D ，对函数求导，确定其极值点的正负即可判断．16．【浙江省宁波市2018届高三上学期期末考试】已知21()cos 4f x x x =+，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】因为21()cos 4f x x x =+，所以1()sin 2f x x x '=-， 显然函数()f x '为奇函数，所以函数()f x '的图象关于原点对称，由此可排除选项B 、D ，又(1)0f '<，所以可排除选项C ，故选A ．【名师点晴】本题通过对多个图象的选择主要考查考查函数的图象与性质，属于中档题，这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多．17．【浙江省台州市2018~2019学年上学期第一次月考】已知函数1()||f x x x=+，则函数()y f x =的大致图象为 A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】当0x >时，1()f x x x=+在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是增函数， 当0x <时，1()f x x x=--在(,0)-∞上是减函数， 观察各选项可知选项B 中的图象符合题意，故选B ．18．【山东省临沂市、枣庄市2019届高三第二次模拟预测】函数2()(1)sin 1ex f x x =-+图象的大致形状是 A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】21e ()(1)sin sin 1e 1exx x f x x x -=-=⋅++， 则1e e 11e ()sin()(sin )sin ()1e e 11ex x xx x x f x x x x f x ------=⋅-=⋅-=⋅=+++， 所以()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项B 、D ；当1x =时，1e (1)sin101ef -=⋅<+，排除A ． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数奇偶性和对称性的性质以及函数值的对应性利用排除法是解决本题的关键．求解时，根据条件先判断函数的奇偶性和对称性，利用(1)f 的值的符号进行排除即可．19．【浙江省温州市2018届高三9月高考适应性测试（一模）】已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则函数()f x 的图象可能为A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】由导函数的正负与函数的单调性的关系判断，再通过()0f x '=的根为正，从而确定答案．【解析】由导函数的图象可知，函数()y f x =先减再增，可排除选项A 、B ，又知()0f x '=的根为正，即()y f x =极值点为正，所以可排除选项D ．故选C ．【名师点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，利用导数研究函数的图象的应用以及排除法的应用，属于中档题．这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循．解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及00x x x x +-→→→+∞→-∞，，，时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除．20．【山东省淄博市部分学校2019届高三阶段性诊断考试】函数21()ln 2(e )x f x x -=+-的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】当x →+∞时，()f x →-∞，故排除选项D ；由于函数()f x 的定义域为R ，且在R 上连续，故排除选项B ；由1(0)ln 2e f -=-，由于1ln 22>=，11e 2-<， 所以1(0)ln 2e0f -=->，故排除选项C ．故选A ． 【名师点睛】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想方法的应用，属于中档题．分析四个图象的不同，从而判断函数的性质，利用排除法求解．21．【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】函数22(3e )x y x x =+的图象大致是A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用导数法分析函数的单调性，再结合函数的零点个数，排除错误答案即可【解析】显然函数22(3e )x y x x =+只有两个零点， 即23x =-和0x =，由此可排除选项B ， 易得28()32e x y x 'x =++，由0y'=可知函数22(3e )x y x x =+有两个极值点，故可排除选项C 、D ，故选A ． 【名师点睛】本题主要考查了函数的图象，依据函数求出零点，运用导数判断其单调性和极值，从而得到答案．22．【江西省南昌市2019届高三第一次模拟考试数学试题】函数2)3()1x x f x x -=+的图象大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题可得()()0f x f x +-==， 即()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数，所以函数()f x 的图象关于原点对称，故排除C ，D 选项；1)3(1)02f -=<，排除B 选项， 故选A ．【名师点睛】利用函数的对称性及特殊值即可作出判断．函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域判断图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．23．【浙江省2019届高考模拟一】如图，己知函数()f x 的图象关于坐标原点O 对称，则函数()f x 的解析式可能是A ．2()ln ||f x x x =B ．()||ln f x x x =C ．||e ()xf x x= D ．ln ||()x f x x= 【答案】D 【分析】抓住奇函数的判定性质()()f x f x =--，代入，即可．【解析】根据()f x 关于原点对称可知该函数为奇函数，对于A 选项，2()ln ||()f x x x f x -==，为偶函数，不符合题意；对于B 选项，定义域不符合题意；对于C 选项，当0x >时，()0f x >恒成立，不符合题意；对于D 选项，ln ||()()x f x f x x -==--，符合题意， 故选D ．【名师点睛】考查了奇函数的判定性质，关键抓住()()f x f x =--即可，难度中等．24．【浙江省浙南名校联盟2019届高三上学期期末联考】函数sin ()x f x x=的图象可能是 A ． B ．C ．D ．【答案】B 【分析】由正弦函数确定函数sin ()x f x x=值域的大致范围，以及特殊值验证即可判断． 【解析】当0πx <<时，sin 0x >，所以sin 0x x >；当π2πx <<时，sin 0x <，所以sin 0x x<， 故可排除选项A 、C ；又sin 4()44f ππ==ππ，sin 22()22f ππ==ππ，即()()42f f ππ>， 所以可排除选项D ，故选B ．【名师点睛】本题主要考查函数的图象，特殊值法在处理函数图象中非常实用，属于基础题型． 25．【安徽省1号卷A10联盟2019年高考最后一卷】已知函数ππ()cos()sin()36g x x x =+++，设函数21()()4f x xg x =+，函数()f x 的导函数为()f x '，则函数()f x '的图象大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】ππ()cos()sin()36g x x x =+++Q ππcos cos sin sin ππsin cos cos sin 6336x x x x ++=-11cos cos cos 22x x x x x =++=， 21()cos 4f x x x ∴=+， 则1()sin 2f x x x '=-． ()()f x f x ''-=-Q ，∴函数()f x '为奇函数，排除选项B 、D ， 又π1π1()06262f '=⨯-<， 所以排除选项C ，故选A ．【名师点睛】本题考查函数图象以及函数奇偶性，考查基本分析判断能力，属中档题．求解时，先化简()g x ，再求()f x '，最后根据函数奇偶性以及函数值正负进行确定选项．。

一．方法综述 1.分类讨论思想的含义分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,需要把研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究,得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的答案.对问题实行分类,分类标准等于是增加的一个已知条件,实现了有效增设,将大问题分解为小问题,优化了解题思路,降低了问题难度. 2.分类讨论思想在解题中的应用 (1)由数学概念引起的分类讨论;(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论; (3)由数学运算要求引起的分类讨论; (4)由图形的不确定性引起的分类讨论; (5)由参数的变化引起的分类讨论;(6)由实际意义引起的分类讨论,特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用.3.函数与导数问题中往往含有变量或参数，这些变量或参数取不同值时会导致不同的结果，因而要对参数进行分类讨论．常见的有含参函数的单调性、含参函数的极值、最值等问题，解决时要分类讨论．分类讨论的原则是不重复、不遗漏，讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，使解题步骤完整． 本专题举例说明解答此类问题的方法、技巧. 二．解题策略类型一 函数单调性问题中的参数讨论【例1】【2018届新疆乌鲁木齐地区高三第一次监测】已知函数()()211xf x e ax a x =-++-的定义域为{|01}x x <<，其中R a ∈， 2.71828e =L 为自然对数的底数.（Ⅰ）设()g x 是函数()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性； （Ⅱ）若函数()f x 在区间()0,1上单调递增，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）21a e -≤≤+.【解析】（Ⅰ）∵()()'21xg x f x e ax a ==-++，∴()'2xg x e a =-；由于011x x e e <<⇔<< ∴当1212a a ≤⇔≤时， ()'0g x >，此时()g x 在()0,1上单调递增； 当22ea e a ≥⇔≥时， ()'0g x <，此时()g x 在()0,1上单调递减； 当122ea <<时， ()'0ln2g x x a >⇔>， ()'0ln2g x x a <⇔<，此时()g x 在()0,ln2a 上单调递减，在()ln2,1a 上单调递增【指点迷津】(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．【举一反三】【山东省日照市2018届5月校际联考】已知函数(e为自然对数的底数)．(I)若的单调性；(II)若，函数内存在零点，求实数a的取值范围．【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).【解析】（I）定义域为故则(2)当时，在上单调递减，在单调递增．（Ⅱ）设,，设，则．(1)若,在单调递减，故此时函数无零点，不合题意.(2)当，考察函数，由于在上必存在零点.设在的第一个零点为，则当时，，故在上为减函数，又，所以当时，，从而在上单调递减，故当时恒有.即，令，则在单调递减，在单调递增.即注意到，因此，令时，则有，由零点存在定理可知函数在上有零点，符合题意.综上可知，的取值范围是.类型二函数极值问题中的参数讨论【例2】【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】已知函数（1）判断的单调性；（2）若函数存在极值，求这些极值的和的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（2）对函数求导得. 因为存在极值，所以在上有解，即方程在上有解，即.显然当时，无极值，不合题意，所以方程必有两个不等正根. 设方程的两个不等正根分别为，则，由题意知，由得，即这些极值的和的取值范围为．【指点迷津】1．对于解析式中含有参数的函数求极值，有时需要分类讨论后解决问题．讨论的思路主要有：(1)参数是否影响f′(x)零点的存在；(2)参数是否影响f′(x)不同零点(或零点与函数定义域中的间断点)的大小；(3)参数是否影响f′(x)在零点左右的符号(如果有影响，需要分类讨论)．2．在研究函数极值问题的时候，要注意可导函数f(x)在点x＝x0处取得极大值的充要条件是：f′(x0)＝0，且存在一个x0的邻域(x0－σ，x0＋σ)，当x∈(x0－σ，x0)时，f′ (x)>0，当x∈(x0，x0＋σ)时，f′(x)<0.可导函数在x＝x0处取得极小值的充要条件是：f′(x0)＝0，且存在一个x0的邻域(x0－σ，x0＋σ)，当x ∈(x0－σ，x0)时，f′(x)<0，当x∈(x0，x0＋σ)时，f′(x)>0.【举一反三】【江西省南昌市2018届二轮复习测试（四）】函数在内存在极值点，则（）A． B．C．或 D．或【答案】A【解析】②当在恒成立时，则且，得；综上，无极值时或. ∴在在存在极值.故选A ．类型三 函数最值问题中的参数讨论【例3】已知函数f (x )＝(ax 2＋bx ＋c )e x在[0,1]上单调递减且满足f (0)＝1，f (1)＝0. (1)求a 的取值范围；(2)设g (x )＝f (x )－f ′(x )，求g (x )在[0,1]上的最大值和最小值．【答案】（1）[0,1]；（2）当0≤a ≤13时，g (x )的最小值g (0)＝1＋a ，最大值g (1)＝(1－a )e ；当13<a ≤e －1e ＋1时，g (x )的最小值g (0)＝1＋a ，最大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2a ＝2a e 1－a 2a ； 当e －1e ＋1<a <1时，g (x )的最小值g (1)＝(1－a )e ，最大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2a ＝2a e 1－a 2a ；当a ＝1时，g (x )的最小值g (1)＝0，最大值g (0)＝2.法二：由已知，得f (0)＝c ＝1，f (1)＝(a ＋b ＋c )e ＝0，所以a ＋b ＝－1. 对f (x )求导，得f ′(x )＝[ax 2＋(a －1)x －a ]e x. 因为f (x )在[0,1]上单调递减，所以f ′(x )≤0， 即a (x 2＋x －1)≤x 在[0,1]恒成立． 当x ＝0时，a ≥0；当x ∈(0,1]时，a ·x 2＋x －1x ≤1，即a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1≤1.因为函数y ＝x －1x ＋1在(0,1]上单调递增，且x －1x＋1∈(－∞，1]，所以0≤a ≤1.综上所述，a 的取值范围是[0,1]．g ′(x )<0，g (x )单调递减．所以g (x )在x ＝1－a 2a 处取得最大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2a ＝2a e 1－a 2a ，在x ＝0或x ＝1处取最小值．因为g (0)－g (1)＝a (e ＋1)－e ＋1，所以当13<a ≤e －1e ＋1时，g (0)－g (1)≤0，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ；当e －1e ＋1<a <1时，g (0)－g (1)>0，g (x )在x ＝1处取得最小值g (1)＝(1－a )e. 当1－a 2a ≥1，即0<a ≤13时，x ∈[0,1]时，g ′(x )≥0，g (x )单调递增，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ，在x ＝1处取得最大值g (1)＝(1－a )e.综上所述，当0≤a ≤13时，g (x )的最小值g (0)＝1＋a ，最大值g (1)＝(1－a )e ；当13<a ≤e －1e ＋1时，g (x )的最小值g (0)＝1＋a ，最大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2a ＝2a e 1－a 2a ； 当e －1e ＋1<a <1时，g (x )的最小值g (1)＝(1－a )e ，最大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2a ＝2a e 1－a 2a ；当a ＝1时，g (x )的最小值g (1)＝0，最大值g (0)＝2.【指点迷津】本题的第(1)问实际上是已知单调性，借助其与导数的关系，求参数的取值范围．求解的策略包括分类讨论和参变分离两大类，法1和法2分别使用了上述两种解法．本题的第(2)问是求函数的最大值和最小值，求最值需依赖于函数的单调性．而含参函数的单调性需要对参数进行分类讨论．在对参数进行讨论的时候，需要从三个层次来分类：第一层次，讨论－2ax －a ＋1是否是一次式，分两种情况，当其是一次式时，进入第二层次；第二层次，讨论－2ax －a ＋1的根的位置是否在所考查的范围[0,1]之间，分三种情况，当其根在[0,1]之间时，进入第三层次；第三层次，比较g (0)和g (1)的大小． 【举一反三】 已知函数（a 、R c ∈），满足0)1(=f ，且0)(≥x f 在R x ∈时恒成立．（1）求a 、c 的值； （2）若，解不等式；（3）是否存在实数m ，使函数在区间上有最小值5-？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）14a c ==；（2）m ，3-=m 或221+-=m ． 【解析】试题分析：（1）由题根据f （1）=0可以得到21=+c a ，根据0)(≥x f 在R x ∈时恒成立得到0412≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ，然后解出a ，c ；（2） 由0)()(<+x h x f 得到021)(<⎪⎭⎫ ⎝⎛--x b x ，然后分当21<b ，21=b ，21>b 讨论求得解集；（3）根据对称轴在所给区间左侧，当m m <+12，中间，当212+≤+≤m m m ，右侧， 当212+>+m m 结合所给函数满足的条件进行分类讨论求得结果．试题解析：（1）由0)1(=f ，得21=+c a ， 因为0)(≥x f 在R x ∈时恒成立，所以0>a 且△0441≤-=ac ，161≥ac ， 即16121≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a ，0161212≤+-a a ，0412≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ，所以41==c a ． 5分（2）由（1）得412141)(2+-=x x x f ，由0)()(<+x h x f ，得 02212<+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b x b x ，即021)(<⎪⎭⎫ ⎝⎛--x b x ，所以，当21<b 时，原不等式解集为)21,(b ； 当21>b 时，原不等式解集为),21(b ；当21=b 时，原不等式解集为空集 ． 10分三．强化训练1．【2018届高三二轮训练】若函数f (x)＝e x(－x 2＋2x ＋a)在区间[a ，a ＋1]上单调递增，则实数a 的最大值为________.【答案】15-+ 【解析】由f (x)在区间[a ，a ＋1]上单调递增，得()2 2()0[]1x f x e x a x a a '≥∈＝－＋＋，，＋恒成立，即2().]201[min x a x a a ≥∈－＋＋，，＋当a≤12-时，2201a a a ≥≤≤－＋＋，则－12-； 当a>12-时，20(12)a a ≥－＋＋＋，则12-a <≤15-+，所以实数a 的取值范围是1a ≤≤－15-+，a 的最大值是15-+.填15-+. 2．【2019年一轮复习讲练测】已知函数的导函数有且仅有两个零点,其图像如图所示,则函数在_____处取得极值.【答案】-1 【解析】3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x ＜1，a ln x ，x ≥1.(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点； (2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．【答案】（1）当x ＝0时，函数f (x )取得极小值为f (0)＝0，函数f (x )的极大值点为x ＝23.（2）当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ； 当a ＜2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2.【解析】 (1)当x ＜1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，0) 0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 f ′(x ) －0 ＋0 － f (x )极小值极大值故当x ＝0时，函数f (x )取得极小值为f (0)＝0，函数f (x )的极大值点为x ＝23.4.【浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟卷（二）】已知函数．（1）当时，试求曲线在点处的切线；（2）试讨论函数的单调区间． 【答案】（1）；（2）见解析【解析】（Ⅰ）当时，函数定义域为，切线为（Ⅱ）当时，函数定义域为，在上单调递增当时，恒成立，函数定义域为，又在单调递增，单调递减，单调递增当时，函数定义域为，在单调递增，单调递减，单调递增当时，设的两个根为且，由韦达定理易知两根均为正根，且，所以函数的定义域为，又对称轴，且，在单调递增，单调递减，单调递增5．【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】已知函数，.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）记在上最大值为，若，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当时，函数在上单调递增，此时；②当即时，，∴在单调递减，∴，∵，∴，即；③当时，，而在，递增，在上递减，∴.由，得，令，则，∴，即，∴，∴.∴当时，，∴；当时，，∴.综合①②③得：若，则实数的取值范围为.6．【山东省安丘市2019届10月检测】函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数存在两个极值点，，记过点，的直线斜率为k，问：是否存在实数a，使得？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）当时，函数在单调递增．当时，和时，单调递增；当时，单调递减．（2）不存在实数a，使得．【解析】（Ⅱ）若函数存在两个极值点，，由（Ⅰ）知，，为方程两根∴，不妨设，则若存在实数a，使，则，即令，则，则，令，，∴在上单调递减，又，∴故不存在实数a，使得．7．【江西省南昌市2018届二轮测试（五）】已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线经过原点的切线方程； （Ⅱ）若在时，有恒成立，求的最小值．【答案】（1）切线方程为：；（2）的最小值为.【解析】（Ⅱ）由题知 ①当时，恒有，得在上单调递增，无最值，不合题意；②当时，由，得，在上，有，单调递增；在上，有，单调递减；则在取得极大值，也为最大值，由题意恒成立，即（）（），再令，得 知在时，，递减；知在时，，递增；，即的最小值为．8．【2018届北京市北京19中高三十月月考】已知函数()321 1.3f x x x ax =+++ （Ⅰ）若曲线()y f x =在点()0,1处切线的斜率为3-,求函数()f x 的单调区间; （Ⅱ）若函数()f x 在区间[]2,a -上单调递增,求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）单调递增区间为()(),3,1,-∞-+∞,单调递减区间为()3,1-；（Ⅱ）[)1,+∞. 【解析】x(),3-∞-3- ()3,1-1()1,+∞()f x ' +-+()f x增 极大值减 极小值增所以函数()f x 的单调递增区间为()(),3,1,-∞-+∞,单调递减区间为()3,1-;（Ⅱ）因为函数()f x 在区间[]2,a -上单调递增,所以()0f x '≥对[]2,x a ∈-,只要()22f x x x a =++'在[]2,a -上的最小值大于等于0即可.因为函数()22f x x x a =++'的对称轴为1,x =-当21a -≤≤-时, ()f x '在[]2,a -上的最小值为()f a ', 解()230f a a a =+≥',得0a ≥或3,a ≤-所以此种情况不成立；当1a >-时, ()f x '在[]2,a -上的最小值为()1,f '- 解()1120f a -=-+≥'得1,a ≥ 综上,实数a 的取值范围是[)1,+∞.9．【浙江省杭州市学军中学2018年5月高三模拟】已知函数，其中.（Ⅰ）若函数在区间上不单调，求的取值范围； （Ⅱ）若函数在区间上有极大值，求的值.【答案】(1).(2).【解析】（2）当时，函数在上单调递增，所以在无极值.当时，函数在上单调递减，所以在无极值.当时，由得，则（其中）所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，由极大值，得（*）又∵，∴代入（*）得设函数，则所以函数在上单调递增，而所以，所以∴当时，函数在由极大值.10．【腾远2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）红卷】已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若，对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（2）因为，则.且由（1）知，当时，函数在上单调递增，在单调递减，所以函数的极大值与极小值分别为.若要对任意的恒成立，结合图象可知只需满足即可，解得.。

第10讲 函数的图像考试说明 1.掌握基本初等函数的图像特征,能熟练运用基本初等函数的图像解决问题. 2.掌握图像的作法:描点法和图像变换. 3.会运用函数的图像理解和研究函数性质.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅲ] 函数y=1+x+的部分图像大致为 ( )A BC D[解析] D函数y=1+x+的图像可以看成是由y=x+的图像向上平移一个单位长度得到的,并且y'=1+x+'=1+,当x→∞时,y'→1,所以可确定答案为A或D,又当x=1时,y=1+1+sin 1>2,由图像可以排除A,故选D.2.[2016·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则(x i+y i)=()A.0B.mC.2mD.4m[解析] B由f(-x)=2-f(x)得f(x)的图像关于点(0,1)对称,∵y==1+的图像也关于点(0,1)对称,∴两函数图像的交点必关于点(0,1)对称,且对于每一组对称点(x i,y i)和(x'i,y'i)均满足x i+x'i=0,y i+y'i=2,∴(x i+y i)=x i+y i=0+2·=m.3.[2015·全国卷Ⅰ]设函数f(x)=e x(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是()A.B.C. D.[解析] D令g(x)=e x(2x-1),则g'(x)=e x(2x+1),由g'(x)>0得x>-,由g'(x)<0得x<-,故函数g(x)在上单调递减,在上单调递增.又函数g(x)在x<时,g(x)<0,在x>时,g(x)>0,所以其大致图像如图所示.直线y=ax-a过点(1,0).若a≤0,则f(x)<0的整数解有无穷多个,因此只能a>0.结合函数图像可知,存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0,即存在唯一的整数x0,使得点(x0,ax0-a)在点(x0,g(x0))的上方,则x0只能是0,故实数a应满足即解得≤a<1.故实数a的取值范围是,1.4.[2015·全国卷Ⅱ]如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD 与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图像大致为()[解析] B当点P在BC上时,=tan x,=,+=tan x+,即f(x)=tan x+,x∈,由正切函数的性质可知,函数f(x)在上单调递增,所以其最大值为1+,且函数y=f(x)的图像不可能是线段,排除选项A,C.当点P在CD上运动时,我们取P为CD的中点,此时x=,f=2,由于2<1+,即f<f,排除选项D.综上可知,只有选项B中图像符合题意.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题[2017·山东卷]已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图像与y=+m的图像有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是 ()A.(0,1]∪[2,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,]∪[2,+∞)D.(0,]∪[3,+∞)[解析] B应用排除法.当m=时,画出y=(x-1)2与y=+的图像,由图可知,两函数的图像在[0,1]上无交点,排除C,D;当m=3时,画出y=(3x-1)2与y=+3的图像,由图可知,两函数的图像在[0,1]上恰有一个交点.故选B.【课前双基巩固】知识聚焦2.f(x-a)f(x)+b -f(x)f(-x)-f(-x)log a x(a>0且a≠1)f(ax)af(x)y=y=f()对点演练1.y=0[解析] y=lo x=-log a x,故两个函数图像关于x轴,即直线y=0对称.2.x=0[解析] y==a-x,故两个函数的图像关于y轴,即直线x=0对称.3.y=x [解析] 两个函数互为反函数,故两个函数图像关于直线y=x对称.4.③[解析] 将y=两边平方,得y2=|1-x2|(y≥0),即x2+y2=1(y≥0)或x2-y2=1(y≥0),所以③正确.5.y=(2x+3)2[解析] 得到的是y=[2(x+1)+1]2=(2x+3)2的图像.6.y=ln[解析] 根据伸缩变换方法可得,所求函数解析式为y=ln.7.-log2(x-1)[解析] 与f(x)的图像关于直线y=x对称的图像所对应的函数为g(x)=-log2x,再将其图像右移1个单位得到h(x)=-log2(x-1)的图像.8.[解析] y=其图像如图所示:【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)利用图像的平移和翻折作图;(2)利用图像的平移作图;(3)利用偶函数的关系作图,先作出x≥0时的图像,再关于y轴对称作出另一部分的图像.解:(1)首先作出y=lg x的图像,然后将其向右平移1个单位,得到y=lg(x-1)的图像,再把所得图像在x轴下方的部分翻折到x轴上方,即得所求函数y=|lg(x-1)|的图像,如图①所示(实线部分).(2)将y=2x的图像向左平移1个单位,得到y=2x+1的图像,再将所得图像向下平移1个单位得到y=2x+1-1的图像,如图②所示.(3)y=x2-|x|-2=其图像如图③所示.变式题解:(1)先画出函数y=x2-4x+3的图像,再将其x轴下方的图像翻折到x轴上方,如图①所示.(2)y==2-的图像可由y=-的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图②所示.(3)y=10|lg x|=其图像如图③所示.例2[思路点拨] 选用函数图像经过的几个特殊点验证排除.B[解析] 由f(0)=-1,得函数图像过点(0,-1),可排除D,由f(-2)=4-4=0,f(-4)=16-16=0,得函数图像过点(-2,0),(-4,0),可排除A,C,故选B.例3[思路点拨] 根据函数的奇偶性及单调性可作出判断.D[解析] 令f(x)=,则f(-x)===f(x),∴f(x)是偶函数,图像关于y轴对称,排除B,C.当x>1时,y==,显然y>0且函数单调递减,故D正确.例4[思路点拨] 对函数f(x)=2x的图像作相应的对称变换可得到图中所示的图像,再写出相应的解析式.C[解析] 题图中是函数y=-2-|x|的图像,即函数y=-f(-|x|)的图像,故选C.强化演练1.D[解析] 当x=1时,y=0,即函数图像过点(1,0),由选项中图像可知,只有D符合.2.A[解析] 由函数定义域知2x-2≠0,即x≠1,排除B,C;当x<0时,y=<0,排除D.故选A.3.C[解析] 由=>0,得x>0,又<1,故y<0,只能是选项C中的图像.4.A[解析] 先作出函数f(x)=log a x(0<a<1)的图像,当x>0时,y=f(|x|+1)=f(x+1),其图像由函数f(x)的图像向左平移1个单位得到,又函数y=f(|x|+1)为偶函数,所以再将函数y=f(x+1)(x>0)的图像关于y轴对称翻折到y轴左边,得到x<0时的图像,故选A.例5[思路点拨] 根据图像可判断其对应函数的定义域、奇偶性、单调性等情况,从而确定符合性质的相应函数的解析式.D[解析] 由函数的图像可知,函数的定义域为R,所以B不符合;又图像关于原点对称,可知函数是奇函数,排除C;函数在定义域内有增有减,不是单调函数,而选项A为增函数,不符合.所以选D.例6[思路点拨] (1)作出分段函数f(x)的图像,结合图像从单调性、最值角度考虑;(2)先化简函数的解析式,在同一坐标系中画出函数y=的图像与函数y=kx-2的图像,结合图像可得实数k的取值范围.(1)[-8,-1](2)(0,1)∪(1,4)[解析] (1)作出函数f(x)的图像,当x≤-1时,函数f(x)=log2单调递减,且最小值为f(-1)=-1,则令log2=2,解得x=-8;当x>-1时,函数f(x)=-x2+x+在(-1,2)上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,则最大值为f(2)=2,又f(4)=<2,f(-1)=-1,故所求实数m的取值范围为[-8,-1].(2)y===函数y=kx-2的图像恒过点(0,-2).在同一坐标系中画出函数y=的图像与函数y=kx-2的图像,结合图像可得,实数k的取值范围是(0,1)∪(1,4).例7[思路点拨] 对这样一个非常规不等式应采用数形结合处理,不妨构建函数f(x)=3sin x,g(x)=lo x,将原不等式转化成两函数图像的位置关系,再进行研究.A[解析] 不等式3sin x-lo x<0,即3sin x<lo x.设f(x)=3sin x,g(x)=lo x,在同一坐标系中分别作出函数f(x)与g(x)的图像,由图像可知,当x为整数3或7时,有f(x)<g(x),所以不等式3sin x-lo x<0的整数解的个数为2.例8[思路点拨] 根据所给的条件可确定函数f(x)的图像,并作出函数y=log7|x-2|的图像,由两函数图像的交点个数确定方程解的个数.B[解析] 由函数f(x)是R上的奇函数,得f(0)=0,由f(x+2)=-f(x),可得f(1-x)=f(1+x),f(x+4)=f(x),∴函数f(x)的图像关于直线x=1对称,且f(x)是周期为4的周期函数.在同一坐标系中画出y=f(x)和y=log7|x-2|的图像(图略),由图像不难看出,其交点个数为7,即方程解的个数为7.故选B.强化演练1.C[解析] f(x)=画出函数f(x)的图像,观察图像可知,函数f(x)的图像关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.2.5[解析] 方程2[f(x)]2-3f(x)+1=0的解为f(x)=或1.作出函数y=f(x)的图像,由图像知零点的个数为5.3.∪[解析] 在0,上,y=cos x>0,在,4上,y=cos x<0.由f(x)的图像知,在1,上,<0.因为f(x)为偶函数,y=cos x也是偶函数,所以y=为偶函数,所以<0的解集为-,-1∪1,.4.[解析] y=作出其图像,如图所示.此曲线与y轴交于点(0,a),最小值为a-,要使直线y=1与其有四个交点,只需a-<1<a,所以1<a<.【备选理由】例1考查分段函数,由各区间上的单调性及函数值确定函数图像;例2为依据函数图像判定相应函数图像,由所给函数图像反映的性质,探究所求函数的性质,有一定的技巧性;例3以新定义为背景,考查函数图像的应用,要注意图像对称性的应用.1[配合例3使用] [2018·南阳第一中学月考]函数f(x)=log2|2x-1|的图像大致是()[解析] C函数可化为f(x)=所以当x>0时,函数为增函数,当x<0时,函数为减函数,可排除A,B,结合图像可知,当x<0时,f(x)<0,排除D,故选C.2[配合例5使用] [2017·长沙长郡中学一模]已知函数y=f(x)的图像如图所示,则函数g(x)=f[f(x)]的图像可能是()[解析] C∵f[f(-x)]=f[f(x)],∴排除A,B;又g(1)=f(0)=-1,∴排除D,故选C.3[配合例8使用] 规定“⊗”表示一种运算,即a⊗b=a2+2ab-b2.设函数f(x)=x⊗2,且关于x的方程f(x)=lg|x+2|(x≠-2)恰有四个互不相等的实数根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4的值是()A.-4B.4C.8D.-8[解析] D函数f(x)=x2+4x-4,由于函数y=f(x),y=lg|x+2|的图像(如图)均关于直线x=-2对称,故四个实数根之和为-8.。

♦♦♦学生用书（后跟详细参考答案：和教师用书）♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第二章 函数的概念与基本初等函数第10讲 函数的图象★★★核心知识回顾★★★知识点一、描点法作图 方法步骤：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)； (4)描点连线，画出函数的图象． 知识点二、图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―――――――→关于x 轴对称y ＝； ②y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝； ③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝；④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝． (3)伸缩变换①y ＝f (x )―――――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变y ＝． ②y ＝f (x )――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝． (4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝.②y ＝f (x )――――――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝．★★★高考典例剖析★★★考点一、作函数的图象例1：作出下列函数的图象： (1)y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |； (2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝x 2－2|x |－1.解： (1)作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象，保留y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图象，如图①实线部分．(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②实线部分．(3)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，如图③实线部分．例2：（2018•新课标Ⅲ）函数y=-x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．2．(2017·湖北百所重点学校联考)函数y＝x2ln|x||x|的图象大致是()3．已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为()4．(2017·湖南长沙四县联考)函数f (x )＝sin xln (x ＋2)的图象可能是( )5．(2017·安徽“江南十校”联考)函数y ＝log 2(|x |＋1)的图象大致是( )考点三、函数图象的应用 命题点①研究函数的性质例3：已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，单调递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，单调递增区间是(－∞，0) 解： (1)将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．♦♦♦跟踪训练♦♦♦6．(2017·沈阳一模)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm ＝________.命题点②解不等式例4：函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集为________________．解： 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝cos x >0. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，4时，y ＝cos x <0. 结合y ＝f (x )，x ∈[0,4]上的图象知，当1<x <π2时，f (x )cos x <0.又函数y ＝f (x )cos x 为偶函数，所以在[－4,0]上，f (x )cos x <0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1， 所以f (x )cos x <0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎫1，π2. ♦♦♦跟踪训练♦♦♦7．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 命题点③求参数的取值范围例4：已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12log x ，x >0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是________．解： 作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示，由图可知k∈(0,1]．8．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是__________．9．已知函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)>f(－x)－2x 的解集是__________．★★★知能达标演练★★★一、选择题1．（2018•钦州三模）图甲中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律、对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述错误的是（）A．捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期B．由图可知，当捕食者数量增多的过程中，被捕食者数量先增多后减少C．捕食者和被捕食者数量之间的关系可以用图1乙描述D．捕食者的数量在第25年和30年之间数量在急速减少2．（2018•潍坊一模）若函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，则函数y=log a（|x|-1）的图象可以是（）A．B．C．D．3．函数f(x)＝sin xx2＋1的图象大致为()4．函数f(x)＝x a满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|log a(x＋1)|的图象大致为()5．(2017·太原二模)函数f (x )＝ln|x －1||1－x |的图象大致为( )6．已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解：式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x7．若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为( )8．若函数f (x )＝(2－m )xx 2＋m的图象如图所示，则m 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2)C ．(0,2)D ．(1,2)9．若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (x )图象的对称轴方程是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2D ．x ＝－210．已知函数f (x )＝2ln x ，g (x )＝x 2－4x ＋5，则方程f (x )＝g (x )的根的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．311．（2018•福州二模）已知函数f （x ）=e x -1-e 1-x +1，直线l ：mx-y-m+1=0（m ∈R ），则l 与y=f （x ）图象的交点个数可能为（ ） A ．0 B ．2C ．3D ．512．（2018•西宁模拟）函数f （x ）=x-xln|x|的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．13．函数f (x )的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )的解：式为( ) A ．f (x )＝e x ＋1B ．f (x )＝e x －1C ．f (x )＝e－x ＋1D ．f (x )＝e－x －114．对于函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，给出如下三个命题：①f (x ＋2)是偶函数；②f (x )在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f (x )没有最小值．其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．015．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( ) A ．f (x 1)＋f (x 2)<0 B ．f (x 1)＋f (x 2)>0 C ．f (x 1)－f (x 2)>0 D ．f (x 1)－f (x 2)<0二、填空题16.如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎫1f (3)＝______.17．设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为______________．18．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．19．(2017·银川调研)给定min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b <a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为__________．20．已知定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |，x ≠0，1，x ＝0，关于x 的方程f (x )＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________.21．函数y ＝ln|x －1|的图象与函数y ＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和为________．22．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，13log x ，x >1，若对任意的x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，则实数k的取值范围为________________________．23．对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是______．三、解答题24．已知f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)作出函数f(x)的图象；(2)求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．25．已知函数f(x)＝2x，x∈R.(1)当m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？(2)若不等式[f(x)]2＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．♦♦♦详细参考答案♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第二章 函数的概念与基本初等函数第10讲 函数的图象★★★核心知识回顾★★★知识点一、描点法作图 方法步骤：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)； (4)描点连线，画出函数的图象． 知识点二、图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)伸缩变换①y ＝f (x )―――――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变y ＝f (ax )． ②y ＝f (x )――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )． (4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|.②y ＝f (x )――――――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．★★★高考典例剖析★★★考点一、作函数的图象 ♦♦♦跟踪训练♦♦♦则对应的图象如图：（2）要使不等式f （x+1）+f （2x+1）+k≤0有解，♦♦♦跟踪训练♦♦♦ 2．答案： D解： 从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x ≠0，且当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝1＋ln x ，可知函数在区间⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增．由此可知应选D.3．答案： B解： 方法一 由y ＝f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，1，1<x ≤2.当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x <1，2－x ，1≤x ≤2，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x <1，x －2，1≤x ≤2.图象应为B.方法二 当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1； 当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1. 观察各选项，可知应选B. 4．答案： A解： 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，ln (x ＋2)≠0，∴x >－2且x ≠－1，故排除B ，D ，由f (1)＝sin 1ln 3>0可排除C ，故选A. 5．答案： B解： y ＝log 2(|x |＋1)是偶函数，当x ≥0时，y ＝log 2(x ＋1)是增函数，其图象是由y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位得到，且过点(0,0)，(1,1)，只有选项B 满足． 考点三、函数图象的应用 命题点①研究函数的性质 ♦♦♦跟踪训练♦♦♦ 6．答案： 9解： 作出函数f (x )＝|log 3x |的图象，观察可知0<m <1<n 且mn ＝1.若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，从图象分析应有f (m 2)＝2，∴log 3m 2＝－2，∴m 2＝19.从而m ＝13，n ＝3，故nm ＝9.命题点②解不等式 7．答案： [－1，＋∞)解： 如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知，当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．命题点③求参数的取值范围 ♦♦♦跟踪训练♦♦♦ 8．答案： ⎝⎛⎭⎫12，1解： 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.9．答案： (－1,0)∪(1，2]解： 由图象可知，函数f (x )为奇函数，故原不等式可等价转化为f (x )>－x .在同一直角坐标系中分别画出y ＝f (x )与y ＝－x 的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，2]．★★★知能达标演练★★★一、选择题 1．答案： C解：由已知中某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律． 可得捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化， 捕食者的数量在第25年和30年之间数量在急速减少，正确；由图可知，当捕食者数量增多的过程中，被捕食者数量先增多后减少， 故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状，捕食者和被捕食者数量之间的关系可以用图1乙描述，显然不正确； 故选：C ． 2．答案： D解：由函数f （x ）=a x -a -x （a ＞0且a≠1）在R 上为减函数，故0＜a ＜1．函数y=log a （|x|-1）是偶函数，定义域为x ＞1或x ＜-1，函数y=log a （|x|-1）的图象，x ＞1时是把函数y=log a x 的图象向右平移1个单位得到的， 故选：D ． 3．答案： A解： 因为f (x )＝sin xx 2＋1，所以f (0)＝f (π)＝f (－π)＝0，排除选项C ，D ；当0<x <π时，sin x >0，所以当0<x <π时，f (x )>0，排除选项B ，故选A. 4．答案： C解： 由已知得a ＝2，所以g (x )＝|log 2(x ＋1)|.函数y ＝log 2(x ＋1)在(－1,0)上单调递增且y <0，在(0，＋∞)上单调递增且y >0，所以函数g (x )在(－1,0)上单调递减且g (x )>0，在(0，＋∞)上单调递增且g (x )>0，观察各选项，只有C 符合．5．答案： D解：函数f (x )＝ln|x －1||1－x |的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且图象关于x ＝1对称，排除B ，C.取特殊值，当x ＝12时，f (x )＝2ln 12<0，故选D.6．答案： A解：由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x －1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.7．解： 由y ＝f (x )的图象得到y ＝－f (x ＋1)的图象，需要先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象，然后再向左平移一个单位得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知C 正确． 答案： C 8．答案： D解： 根据图象可知，函数图象过原点， 即f (0)＝0，∴m ≠0.当x >0时，f (x )>0，∴2－m >0，即m <2， 函数f (x )在[－1,1]上是单调递增的， ∴f ′(x )>0在[－1,1]上恒成立， f ′(x )＝(2－m )(x 2＋m )－2x (2－m )x(x 2＋m )2＝(m －2)(x 2－m )(x 2＋m )2>0，∵m －2<0，∴只需要x 2－m <0在[－1,1]上恒成立， ∴(x 2－m )max <0，∴m >1， 综上所述，1<m <2，故选D. 9．答案： A解： 因为f (2x ＋1)是偶函数，所以f (2x ＋1)＝f (－2x ＋1)，所以f (x )＝f (2－x )， 所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝1. 10．答案： C解： 在平面直角坐标系内作出f (x )，g (x )的图象如图所示，由已知g (x )＝(x －2)2＋1，得其顶点为(2,1)，又f (2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f (x )＝2ln x 图象的下方，故函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象有2个交点．11．答案： C解：如图，函数f（x）在R上为增函数，且函数f（x）关于点（1，1）对称，而直线l：m（x-1）-y+1=0过定点（1，1），则l与y=f（x）图象的交点个数至少是1个或者是3个，故选：C．12．解：函数的定义域为{x|x≠0}，f（-x）=-x+xln|-x|=-x+xln|x|=-（x-xln|x|）=-f（x），则f（x）是奇函数，函数图象关于原点对称，排除A，D，f（x）=x（1-ln|x|），则f（e）=e（1-ln|e|）=e（1-1）=0，则f（1）=1-ln1=1＞0，则在[1，e]上不是增函数，排除B，故选：C．13．答案： D解：与y＝e x的图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)的图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象．∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到．∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.14．答案： B解：作出f(x)的图象，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以①②正确．15．答案： D解： 函数f (x )的图象如图实线部分所示，且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数， 又0<|x 1|<|x 2|， ∴f (x 2)>f (x 1)， 即f (x 1)－f (x 2)<0.二、填空题 16．答案： 2解： ∵由图象知f (3)＝1， ∴1f (3)＝1. ∴f ⎝⎛⎭⎫1f (3)＝f (1)＝2.17．答案： {x |x ≤0或1<x ≤2} 解： 画出f (x )的大致图象如图所示．不等式(x －1)f (x )≤0可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，f (x )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <1，f (x )≥0.由图可知符合条件的解集为{x |x ≤0或1<x ≤2}． 18．答案： (3，＋∞)解： 如图，当x ≤m 时，f (x )＝|x |；当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m 在(m ，＋∞)上为增函数，若存在实数b ，使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 2－2m ·m ＋4m <|m |.∵m >0，∴m 2－3m >0，解得m >3.19．答案： (4,5)解： 作出函数f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．20．答案： 0解： 方程f (x )＝c 有三个不同的实数根等价于y ＝f (x )与y ＝c 的图象有三个交点，画出函数f (x )的图象(图略)，易知c ＝1，且方程f (x )＝c 的一根为0，令lg|x |＝1，解得x ＝－10或10，故方程f (x )＝c 的另两根为－10和10，所以x 1＋x 2＋x 3＝0. 21．答案： 6解： 作出函数y ＝ln|x －1|的图象，又y ＝－2cos πx 的最小正周期为T ＝2，如图所示，两图象都关于直线x ＝1对称，且共有6个交点，由中点坐标公式可得所有交点的横坐标之和为6.22．答案： ⎝⎛⎦⎤－∞，34∪⎣⎡⎭⎫54，＋∞ 解： 对任意x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立， 即f (x )max ≤|k －1|.作出f (x )的图象如图实线部分所示，观察f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，13log x ，x >1的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14，所以|k －1|≥14，解得k ≤34或k ≥54.23．答案： [－2,1)解： 解不等式x 2－1－(4＋x )≥1，得x ≤－2或x ≥3，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ∈(－∞，－2]∪[3，＋∞)，x 2－1，x ∈(－2，3).函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同的交点转化为函数f (x )的图象和直线y ＝－k 恰有三个不同的交点．作出函数f (x )的图象如图所示， 所以－1<－k ≤2，故－2≤k <1.三、解答题24．解： (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1<x <3，∴f (x )的图象为：(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3)是单调减区间；(1,2]，[3，＋∞)是单调增区间．(3)由f (x )的图象知，当0<m <1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0<m <1}． 25．解： (1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|， G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示，由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，即原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，即原方程有两个解． (2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )>H (0)＝0. 因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立， 应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．♦♦♦教师用书♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第二章 函数的概念与基本初等函数第10讲 函数的图象★★★核心知识回顾★★★知识点一、描点法作图 方法步骤：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)； (4)描点连线，画出函数的图象． 知识点二、图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)伸缩变换①y ＝f (x )―――――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变y ＝f (ax )． ②y ＝f (x )――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )． (4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|.②y ＝f (x )――――――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．★★★高考典例剖析★★★考点一、作函数的图象例1：作出下列函数的图象： (1)y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |； (2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝x 2－2|x |－1.解： (1)作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象，保留y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图象，如图①实线部分．(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②实线部分．(3)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，如图③实线部分．则对应的图象如图：（2）要使不等式f（x+1）+f （2x+1）+k≤0有解，要使g （x ））≤-k 有解， 则-k ＞0，即k ＜0，即实数k 的取值范围是（-∞，0）． 考点二、函数图象的辨识例2：（2018•新课标Ⅲ）函数y=-x 4+x 2+2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．♦♦♦跟踪训练♦♦♦2．(2017·湖北百所重点学校联考)函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )答案： D解： 从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x ≠0，且当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝1＋ln x ，可知函数在区间⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增．由此可知应选D.3．已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )答案： B解： 方法一 由y ＝f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，1，1<x ≤2.当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x <1，2－x ，1≤x ≤2，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x <1，x －2，1≤x ≤2.图象应为B.方法二 当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1； 当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1. 观察各选项，可知应选B.4．(2017·湖南长沙四县联考)函数f (x )＝sin xln (x ＋2)的图象可能是( )答案： A解： 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，ln (x ＋2)≠0，∴x >－2且x ≠－1，故排除B ，D ，由f (1)＝sin 1ln 3>0可排除C ，故选A.5．(2017·安徽“江南十校”联考)函数y ＝log 2(|x |＋1)的图象大致是( )答案： B解： y ＝log 2(|x |＋1)是偶函数，当x ≥0时，y ＝log 2(x ＋1)是增函数，其图象是由y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位得到，且过点(0,0)，(1,1)，只有选项B 满足． 考点三、函数图象的应用 命题点①研究函数的性质例3：已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，单调递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，单调递增区间是(－∞，0) 解： (1)将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．♦♦♦跟踪训练♦♦♦6．(2017·沈阳一模)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm ＝________.答案： 9解： 作出函数f (x )＝|log 3x |的图象，观察可知0<m <1<n 且mn ＝1.若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，从图象分析应有f (m 2)＝2，∴log 3m 2＝－2，∴m 2＝19.从而m ＝13，n ＝3，故nm ＝9.命题点②解不等式例4：函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集为________________．解： 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝cos x >0.当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，4时，y ＝cos x <0. 结合y ＝f (x )，x ∈[0,4]上的图象知，当1<x <π2时，f (x )cos x <0.又函数y ＝f (x )cos x 为偶函数，所以在[－4,0]上，f (x )cos x <0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1， 所以f (x )cos x <0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎫1，π2. ♦♦♦跟踪训练♦♦♦7．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 答案： [－1，＋∞)解： 如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知，当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．命题点③求参数的取值范围例4：已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12log x ，x >0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是________．解： 作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示，由图可知k ∈(0,1]．8．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是__________． 答案： ⎝⎛⎭⎫12，1解： 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.9．已知函数y ＝f (x )的图象是圆x 2＋y 2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f (x )>f (－x )－2x 的解集是__________．答案： (－1,0)∪(1，2]解： 由图象可知，函数f (x )为奇函数，故原不等式可等价转化为f (x )>－x .在同一直角坐标系中分别画出y ＝f (x )与y ＝－x 的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，2]．★★★知能达标演练★★★一、选择题1．（2018•钦州三模）图甲中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律、对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述错误的是（）A．捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期B．由图可知，当捕食者数量增多的过程中，被捕食者数量先增多后减少C．捕食者和被捕食者数量之间的关系可以用图1乙描述D．捕食者的数量在第25年和30年之间数量在急速减少答案：C解：由已知中某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．可得捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化，捕食者的数量在第25年和30年之间数量在急速减少，正确；由图可知，当捕食者数量增多的过程中，被捕食者数量先增多后减少，故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状，捕食者和被捕食者数量之间的关系可以用图1乙描述，显然不正确；故选：C．2．（2018•潍坊一模）若函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，则函数y=log a（|x|-1）的图象可以是（）A．B．C．D．答案：D解：由函数f（x）=a x-a-x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，故0＜a ＜1．函数y=log a （|x|-1）是偶函数，定义域为x ＞1或x ＜-1，函数y=log a （|x|-1）的图象，x ＞1时是把函数y=log a x 的图象向右平移1个单位得到的， 故选：D ．3．函数f (x )＝sin xx 2＋1的图象大致为( )答案： A解： 因为f (x )＝sin xx 2＋1，所以f (0)＝f (π)＝f (－π)＝0，排除选项C ，D ；当0<x <π时，sin x >0，所以当0<x <π时，f (x )>0，排除选项B ，故选A.4．函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( )答案： C解： 由已知得a ＝2，所以g (x )＝|log 2(x ＋1)|.函数y ＝log 2(x ＋1)在(－1,0)上单调递增且y <0，在(0，＋∞)上单调递增且y >0，所以函数g (x )在(－1,0)上单调递减且g (x )>0，在(0，＋∞)上单调递增且g (x )>0，观察各选项，只有C 符合．5．(2017·太原二模)函数f (x )＝ln|x －1||1－x |的图象大致为( )答案： D解：函数f (x )＝ln|x －1||1－x |的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且图象关于x ＝1对称，排除B ，C.取特殊值，当x ＝12时，f (x )＝2ln 12<0，故选D.6．已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解：式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x 2－1D ．f (x )＝x －1x答案： A解：由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x －1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.7．若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为( )解： 由y ＝f (x )的图象得到y ＝－f (x ＋1)的图象，需要先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象，然后再向左平移一个单位得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知C 正确． 答案： C8．若函数f (x )＝(2－m )xx 2＋m的图象如图所示，则m 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2)C ．(0,2)D ．(1,2)答案： D解： 根据图象可知，函数图象过原点， 即f (0)＝0，∴m ≠0.当x >0时，f (x )>0，∴2－m >0，即m <2， 函数f (x )在[－1,1]上是单调递增的， ∴f ′(x )>0在[－1,1]上恒成立， f ′(x )＝(2－m )(x 2＋m )－2x (2－m )x(x 2＋m )2＝(m －2)(x 2－m )(x 2＋m )2>0，∵m －2<0，∴只需要x 2－m <0在[－1,1]上恒成立， ∴(x 2－m )max <0，∴m >1， 综上所述，1<m <2，故选D.9．若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (x )图象的对称轴方程是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2 答案： A解： 因为f (2x ＋1)是偶函数，所以f (2x ＋1)＝f (－2x ＋1)，所以f (x )＝f (2－x )，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝1.10．已知函数f(x)＝2ln x，g(x)＝x2－4x＋5，则方程f(x)＝g(x)的根的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案： C解：在平面直角坐标系内作出f(x)，g(x)的图象如图所示，由已知g(x)＝(x－2)2＋1，得其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2ln x图象的下方，故函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．11．（2018•福州二模）已知函数f（x）=e x-1-e1-x+1，直线l：mx-y-m+1=0（m∈R），则l与y=f（x）图象的交点个数可能为（）A．0 B．2C．3 D．5答案： C解：如图，函数f（x）在R上为增函数，且函数f（x）关于点（1，1）对称，而直线l：m（x-1）-y+1=0过定点（1，1），则l与y=f（x）图象的交点个数至少是1个或者是3个，故选：C．12．（2018•西宁模拟）函数f（x）=x-xln|x|的大致图象是（）A．B．C．D．解：函数的定义域为{x|x≠0}，f（-x）=-x+xln|-x|=-x+xln|x|=-（x-xln|x|）=-f（x），则f（x）是奇函数，函数图象关于原点对称，排除A，D，f（x）=x（1-ln|x|），则f（e）=e（1-ln|e|）=e（1-1）=0，则f（1）=1-ln1=1＞0，则在[1，e]上不是增函数，排除B，故选：C．13．函数f(x)的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)的解：式为()A．f(x)＝e x＋1B．f(x)＝e x－1C．f(x)＝e－x＋1D．f(x)＝e－x－1答案： D解：与y＝e x的图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)的图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象．∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到．∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.14．对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题：①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确的个数为() A．1 B．2C．3 D．0答案： B解：作出f(x)的图象，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以①②正确．15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( ) A ．f (x 1)＋f (x 2)<0 B ．f (x 1)＋f (x 2)>0 C ．f (x 1)－f (x 2)>0 D ．f (x 1)－f (x 2)<0答案： D解： 函数f (x )的图象如图实线部分所示，且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数， 又0<|x 1|<|x 2|， ∴f (x 2)>f (x 1)， 即f (x 1)－f (x 2)<0.二、填空题16.如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎫1f (3)＝______.答案： 2解： ∵由图象知f (3)＝1， ∴1f (3)＝1. ∴f ⎝⎛⎭⎫1f (3)＝f (1)＝2.17．设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为______________． 答案： {x |x ≤0或1<x ≤2}解： 画出f (x )的大致图象如图所示．不等式(x －1)f (x )≤0可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，f (x )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <1，f (x )≥0.由图可知符合条件的解集为{x |x ≤0或1<x ≤2}．18．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________． 答案： (3，＋∞)解： 如图，当x ≤m 时，f (x )＝|x |；当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m 在(m ，＋∞)上为增函数，若存在实数b ，使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 2－2m ·m ＋4m <|m |.∵m >0，∴m 2－3m >0，解得m >3.19．(2017·银川调研)给定min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b <a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为__________． 答案： (4,5)解： 作出函数f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．20．已知定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |，x ≠0，1，x ＝0，关于x 的方程f (x )＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________. 答案： 0解： 方程f (x )＝c 有三个不同的实数根等价于y ＝f (x )与y ＝c 的图象有三个交点，画出函数f (x )的图象(图略)，易知c ＝1，且方程f (x )＝c 的一根为0，令lg|x |＝1，解得x ＝－10或10，故方程f (x )＝c 的另两根为－10和10，所以x 1＋x 2＋x 3＝0.21．函数y ＝ln|x －1|的图象与函数y ＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和为________．答案： 6解： 作出函数y ＝ln|x －1|的图象，又y ＝－2cos πx 的最小正周期为T ＝2，如图所示，两图象都关于直线x ＝1对称，且共有6个交点，由中点坐标公式可得所有交点的横坐标之和为6.22．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，13log x ，x >1，若对任意的x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，则实数k 的取值范围为________________________．答案： ⎝⎛⎦⎤－∞，34∪⎣⎡⎭⎫54，＋∞ 解： 对任意x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，即f (x )max ≤|k －1|.作出f (x )的图象如图实线部分所示，观察f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋x ，x ≤1，13log x ，x >1的图象可知， 当x ＝12时，函数f (x )max ＝14， 所以|k －1|≥14，解得k ≤34或k ≥54. 23．对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是______． 答案： [－2,1)解： 解不等式x 2－1－(4＋x )≥1，得x ≤－2或x ≥3，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ∈(－∞，－2]∪[3，＋∞)，x 2－1，x ∈(－2，3). 函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同的交点转化为函数f (x )的图象和直线y ＝－k 恰有三个不同的交点．作出函数f (x )的图象如图所示，所以－1<－k ≤2，故－2≤k <1.三、解答题24．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．解： (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1<x <3， ∴f (x )的图象为：(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3)是单调减区间；(1,2]，[3，＋∞)是单调增区间．(3)由f (x )的图象知，当0<m <1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0<m <1}．25．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围．解： (1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示，由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，即原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，即原方程有两个解．(2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )>H (0)＝0. 因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．。

【考点剖析】1.命题方向预测：1．利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热点． 2．函数的奇偶性是高考考查的热点．3．函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点．4．题型以选择题和填空题为主，函数性质与其它知识点交汇命题． 2.课本结论总结：1．奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反． 注意：确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称．确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法、性质法等．2．若奇函数定义域中有0，则必有(0)0f =．即0()f x ∈的定义域时，(0)0f =是()f x 为奇函数的必要非充分条件． 对于偶函数而言有：()()(||)f x f x f x -==．3．确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等．4．若函数()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 可以表示为()()()()()1122f x f x f x f x f x =+-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和．5．既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）．6．复合函数的单调性特点是：“同增异减”；复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．复合函数要考虑定义域的变化（即复合有意义）．7．函数()x f y =与函数()x f y -=的图像关于直线0=x （y 轴）对称． 8．函数()x f y =与函数()x f y -=的图像关于直线0=y （x 轴）对称． 9．函数()x f y =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点中心对称．10．函数x y a =与函数()log 0,1a y x a a =>≠的图像关于直线y x =对称． 3.名师二级结论： 一个防范函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数1y=x分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接． 一条规律函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．注意：分段函数判断奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．三种方法判断函数单调性的三种方法方法：(1)定义法；(2)图象法； (3)导数法． 判断函数的奇偶性的三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．在判断函数是否具有奇偶性时，为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的变通形式：f (－x )＝±f (x ) ⇔ f (－x )±f (x )＝0⇔()()f x f x -＝±1，f(x)≠0． 4.考点交汇展示：例1.【2018届重庆市合川区5月模拟】已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x≥ 0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A ． {1,3} B ． {－3，－1,1,3} C ． {2－，1,3} D ． {－2－，1,3}【答案】D 【解析】例2．【2017江苏，14】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 . 【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈ ，则需考虑110x ≤< 的情况在此范围内，x Q ∈ 且x ∈Z 时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质 若lg x Q ∈ ，则由lg (0,1)x ∈ ，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质 因此10n mq p=，则10()nm q p = ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x Q ∉∈对应的部分相等，因此lg x不可能与每个周期内x D∉的部分的交点，只需考虑lg x与每个周期x D例3．【福建省闽侯第二中学、连江华侨中学等五校教学联合体联考】已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有．则给出下列命题：①；②函数图象的一条对称轴为；③函数在[﹣9，﹣6]上为减函数；④方程在[﹣9，9]上有4个根；其中正确的命题序号是___________.【答案】①②④【解析】①对于任意，都有成立，令，则，又是上的偶函数，，，，又由，故，故①正确；②由①知，的周期为6，又是上的偶函数，，而的周期为6，，，直线是函数的图象的一条对称轴，故②正确；③当，且时，都有，函数在上为减函数，是上的偶函数，函数在上为增函数，而周期为6，函数在为增函数，故③不正确；④的周期为6，，函数在有四个零点，故④正确，所以，正确的命题序号是①②④，故答案为①②④.【考点分类】考向一函数的单调性1．【2016高考北京文数】下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是（）A.11yx=-B.cosy x= C.ln(1)y x=+ D.2xy-=【答案】D2.【2017北京，理5】已知函数1()3()3x xf x=-，则()f x（A）是奇函数，且在R上是增函数（B）是偶函数，且在R上是增函数（C）是奇函数，且在R上是减函数（D）是偶函数，且在R上是减函数【答案】A3．【2018届广东省汕头市潮南区5月冲刺】定义为中的最大值，函数的最小值为，如果函数在上单调递减，则实数的范围为__________【答案】【解析】【方法规律】1．对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解．(2)可导函数则可以利用导数解之．但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．2．求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．3．函数单调性的应用：f (x )在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则f (x 1)<f (x 2)⇔ f (x 1)－f (x 2)<0，若函数是增函数，则f (x 1)< f (x 2)⇔x 1<x 2，函数不等式(或方程)的求解，总是想方设法去掉抽象函数的符号，化为一般不等式(或方程)求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行． 【易错点睛】误区1．求复合函数的单调区间时，忽视函数的定义域而致错 【例1】求y【错解】令t ＝x 2－4x －12，则t ＝x 2－4x －12在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，又y是增函数，所以y(－∞，2]与[2，＋∞)，其中在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增．【剖析】上述解答错误的原因是忽视了函数的定义域{x|x≤－2或x≥6}．【点拨】求解复合函数单调性问题，必须考虑函数的定义域，建立“定义域优先”意识． 误区2． 忽视隐含条件致误 【例2】已知f(x)＝(31)(4),1,1aa x a x log x x -+<⎧⎨≥⎩是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )()1101? 0? 13311()[)[)77A B C D ．，．，．，．， 【错解】误选B 项的原因只是考虑到了使得各段函数在相应定义域内为减函数的条件，要知道函数在R 上为减函数，还需使得f(x)＝(3a －1)x ＋4a 在x ＜1上的最小值不小于f(x)＝log a x 在x≥1上的最大值，多数考生易漏掉这一限制条件而造成失误．【正解】据题意使原函数在定义域R 上为减函数，只需满足：31001(31)(14)1a a a a a log -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩11a<73⇒≤．故选C ．【点评】一般地，若函数f(x)在区间[a ，b)上为增函数，在区间[b ，c]上为增函数，则不一定说明函数f(x)在[a ，c]为增函数，如图（1），由图像可知函数f(x)在[a ，c]上整体不呈上升趋势，故此时不能说f(x)在[a ，c]上为增函数，若图象满足如图（2），即可说明函数在[a ，c]上为增函数，即只需f(x)在[a ，b)上的最大值不大于f(x)在[b ，c]上的最小值即可，同理减函数的情况依据上述思路也可推得相应结论．需注意以下两点：(1)函数的单调区间是其定义域的子集，如果一个函数在其定义域的几个区间上都是增函数(或减函数)，不能认为这个函数在其定义域上就是增函数(或减函数)，例如函数1f(x)=x在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数，但不能说1f(x)=x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，因为当x 1＝－1，x 2＝1时，有f(x 1)＝－1＜f(x 2)＝1不满足减函数的定义．(2)当一个函数的增区间(或减区间)有多个时，一般不能直接用“∪”将它们连接起来，例如：函数 y ＝x 3－3x 的单调增区间有两个：(－∞，－1)和(1，＋∞)不能写成(－∞，－1)∪(1，＋∞)．考向二 函数的奇偶性1．【福建省闽侯第二中学、连江华侨中学等五校教学联合体联考】下列函数中为偶函数又在上是增函数的是（） A ．B ．C ．D ．【答案】B图（2）图（1）2.【2017课标1，理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D 【解析】3.【2017课标II ，文14】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+, 则(2)f = ________． 【答案】12【方法规律】1．判断函数奇偶性的方法 (1)定义法一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断．利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)图象法奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y 轴成轴对称．因此要证函数的图象关于原点对称，只需证明此函数是奇函数即可；要证函数的图象关于y 轴对称，只需证明此函数是偶函数即可．反之，也可利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性． 2.已知带有字母参数的函数表达式及奇偶性求参数常常采用待定系数法，利用f (x )±f (－x )＝0得到关于x 的恒等式，由对应项系数相等可得字母的值． 【易错点睛】函数的奇偶性是函数在整个定义域内的性质，其定义中要求f (x )和f (－x )必须同时存在，所以函数定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提．如果某一个函数的定义域不关于原点对称，它一定是非奇非偶函数．误区．不明分段函数奇偶性概念致错【例1】判断2223,0f(x)=3,023,0x x x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-+->⎩的奇偶性．【错解】当x ＞0时，－x ＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝－(－x 2＋2x －3)＝－f(x)．当x ＜0时，－x ＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－(x 2＋2x ＋3)＝－f(x)．所以f(x)是奇函数． 【剖析】漏x ＝0情况．【正解】尽管对于定义域内的每一个不为零的x ，都有f(－x)＝－f(x)成立，但当x ＝0时，f(0)＝3≠－f(0)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．考向三 函数的周期性1．【2018年理数全国卷II 】已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（）A. B. 0 C. 2 D. 50【答案】C2.【2018届广东省东莞市考前冲刺精品卷】已知函数满足，且时，，则（）A． 0 B． 1 C． D．【答案】D【解析】3.【2018年江苏卷】函数满足，且在区间上，则的值为________．【答案】【解析】由得函数的周期为4，所以因此【方法规律】函数周期性的相关结论：设a 是非零常数，若对f (x )定义域内的任意x ，恒有下列条件之一成立：①f (x ＋a )＝－f (x )；②1f(x+a)=()f x ；③1f(x+a)=-()f x ；④f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )是周期函数，2|a |是它的一个周期．(以上各式中分母均不为零)．考向四 函数性质的综合应用1．【2016年高考北京理数】已知x ，y R ∈，且0x y >>，则（ ）A.110x y ->B.sin sin 0x y ->C.11()()022x y -<D.ln ln 0x y +>【答案】C【解析】A ：由0>>y x ，得y x 11<，即011<-yx ，A 不正确； B ：由0>>y x 及正弦函数sin y x =的单调性，可知0sin sin >-y x 不一定成立； C ：由1210<<，0>>y x ，得y x )21()21(<，故0)21()21(<-y x ，C 正确； D ：由0>>y x ，得0>xy ，不一定大于1，故0ln ln >+y x 不一定成立，故选C. 2.【【衡水金卷压轴卷】2018年模拟（二）】已知函数在区间内单调递增，且，若，，，则的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】3.【2018届陕西省延安市黄陵中学6月模拟】若函数是偶函数时，，则满足的实数取值范围是________．【答案】【解析】∵x≥0时，f（x）=lg（x+1）；∴1=f（9），且f（x）在[0，+∞）上单调递增；又f（x）是偶函数；∴由f（2x+1）＜1得：f（|2x+1|）＜f（9）；∵f（x）在[0，+∞）上单调递增；∴|2x+1|＜9；解得﹣5＜x＜4；∴实数x的取值范围是（﹣5，4）．故答案为：（﹣5，4）【方法规律】1．解这类综合题的一般方法在解决函数性质有关的问题中，如果结合函数的性质画出函数的简图，根据简图进一步研究函数的性质，就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了，对问题的解决有很大的帮助．（1）一般的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大，然后利用函数的奇偶性调整正负号，最后利用函数的单调性判断大小；（2）画函数草图的步骤：由已知条件确定特殊点的位置，然后利用单调性确定一段区间的图象，再利用奇偶性确定对称区间的图象，最后利用周期性确定整个定义域内的图象． 2． 函数的奇偶性、周期性、对称性之间内在联系若函数有两条对称轴(或两个对称中心，或一对称轴一对称中心)，则该函数必是周期函数．特别地，有以下结论(其中a ≠0)：若f (x )有对称轴x ＝a ，且是偶函数，则f (x )的周期为2a ； 若f (x )有对称轴x ＝a ，且是奇函数，则f (x )的周期为4a ； 若f (x )有对称中心(a ，0)，且是偶函数，则f (x )的周期为4a ； 若f (x )有对称中心(a ，0)，且是奇函数，则f (x )的周期为2a ． 【易错点睛】误区1．函数的性质挖掘不全致误【例1】奇函数f(x)定义在R 上，且对常数T ＞0，恒有f(x ＋T)＝f(x)，则在区间[0，2T]上，方程f(x)＝0根的个数至少有 ( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【错解】由f(x)是R 上的奇函数，得f(0)＝0⇒x 1＝0．再由f(x ＋T)＝f(x)得f(2T)＝f(T)＝f(0)＝0⇒x 2＝T ，x 3＝2T ．即在区间[0，2T]上，方程f(x)＝0根的个数最小值为3个．【剖析】本题的抽象函数是奇函数与周期函数的交汇．即()()f x f x -=-……①()()f x f x T =+……②解时要把抽象性质用足，不仅要充分利用各个函数方程，还要注意方程①和②互动．【正解】由方程①得f(0)＝0⇒x 1＝0．再由方程②得f(2T)＝f(T)＝f(0)＝0⇒x 2＝T ，x 3＝2T ． 又∵f(x-)=f(x+)22T T ，令x ＝0得f(-)=f()22T T ．又4f(-)=-f(),f()=0,x .2222T T T T=再由②得f(+T)=02T ⇒ 53x 2T =，故方程f(x)＝0至少有5个实数根．故选C ． 误区2．忽视隐含条件的挖掘致误【例2】设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，1,10()=2,011ax x f x bx x x +-≤<⎧⎪+⎨≤≤⎪+⎩其中a ，b ∈R ．若13f()=f()22，则a ＋3b 的值为________．【错解】因为f (x )的周期为2，所以331f()=f(-2)=f(-)222，即11f()=f(-)22．又因为211142f(-)=-a+1,f()=1222312bb ++=+，所以14a+1=,3a+2b=-223b +-∴． 【剖析】(1)转化能力差，不能把所给区间和周期联系起来；(2)挖掘不出f(－1)＝f(1)，从而无法求出a 、b 的值．【热点预测】1．下列函数中,在区间上为增函数的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 选项A ，，底数，在上单调递增，故A 正确;选项B ，在上单调递增，则在上单调递减，故B 错误；选项C ，，底数，在上单调递减，故C 错误；选项D ，，在上单调递减，故D 错误.故选A.2．【2018届辽宁省葫芦岛市二模】已知实数满足，则下列关系式中恒成立的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】3．【2018届河北省衡水市武邑中学高三下模拟六】已知函数，则的图象大致为( )A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项；又因为，可排除选项.故选A.4.【2018届湖北省荆州市荆州中学模拟】周而复始，踏着朝霞当思如何学习，踏着晚霞当思是否进步？已知函数是定义在R上的周期为6的奇函数，且满足，，则A． B． C． D． 4【答案】D【解析】函数是定义在上的周期为的奇函数，，则则故选.5．【2018届福建省三明市第一中学模拟（一）】已知函数为偶函数，且在单调递减，则的解集为（）A． B． C． D．【答案】B6．【2019届湖南省长郡中学高三上学期第一次（学考试】已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为是定义在上的偶函数，图像关于y轴对称因为在区间上单调递增，所以在区间[上单调递减得到示意图如下根据函数对称性和单调性可知，满足的的取值范围是7．【山东省潍坊市第一中学高三10月月考】已知函数是上的减函数，那么的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】8.已知)(x f 是定义域为实数集R 的偶函数，01≥∀x ，02≥∀x ，若21x x ≠，则0)()(1212<--x x x f x f ．如果43)31(=f ，3)log (481>x f ，那么x 的取值范围为 （ ） （A ）)21,0( （B ）)2,21(（C ）1(,1](2,)2⋃+∞ （D ）11(0,)(,2)82⋃ 【答案】B9.【2018届高考考前专家猜题卷】若是偶函数，则__________．【答案】【解析】是偶函数，，，，经检验符合题意，故答案为.10．【2018届黑龙江省仿真模拟（五）】设函数，，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】.【解析】法一：如图，因为恒成立，则的图像在的上方（可以由公共点），所以即，填．法2：由题设有．当时，；当时，有恒成立或恒成立，故或即，填．11.【2018届天津市南开中学模拟】设函数是定义在上的以5为周期的奇函数，若，则的取值范围是__________．【答案】.【解析】12.【2018届江苏省常州市横林高级中学月考】定义在R 上的函数()f x 满足: ()()21f x f x +⋅=，当[)2,0x ∈-时， ()()2log 3f x x =-+，则()2017f =________．【答案】12【解析】()()()()121,2f x f x f x f x +⋅=+=，将x 代换为2x +，则有()()()142f x f x f x +==+ ()f x ∴为周期函数，周期为4， ()()()2017504411f f f =⨯+=，()()12f x f x +=，令1x =-，则()()111f f =-， 当[)2,0x ∈-时， ()()2log 3f x x =-+ ()()221log 13log 42f ∴-=+==， ()()()1111,1122f f f ∴==∴=-，故答案为12.13.【2019届安徽省肥东县高级中学8月调研】函数的定义域为．（1）当时，求函数的值域；（2）若函数在定义域上是减函数，求的取值范围；（3）求函数在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值．【答案】（1）；（2）；（3）见解析．【解析】（1）函数， 所以函数的值域为14．【2018届河南省南阳市第一中学高三上学第二次月考】已知0x ≠时，函数()0f x >，对任意实数,x y 都有()()()f xy f x f y =，且()()11,279f f -==，当01x ≤<时， ()[)0,1f x ∈（1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 在[)0,+∞上的单调性，并给出证明；（3）若0a ≥且()1f a +≤a 的取值范围.【答案】（1）()f x 为偶函数；（2）证明见解析；（3）02a ≤≤.【解析】（1）令1y =-，则()()()()1,11f x f x f f -=--=，()()f x f x -=， ()f x 为偶函数.（3）∵()279f =,又()()()()()()()339393333f f f f f f f ⎡⎤⨯===⎣⎦∴()()()()()393,3113f f f a f a f ⎡⎤==+≤+≤⎣⎦∵[)0,1,30,a a ≥+∈+∞，∴13a +≤，即2a ≤，又0,a ≥故02a ≤≤.。

高考达标检测（九） 函数图象的3个常考方式——作图、识图、用图一、选择题1．函数f (x )＝x 2－sin|x |在[－2,2]上的图象大致为( )解析：选B 函数f (x )＝x 2－sin|x |在[－2,2]上显然是偶函数， 令x ＝2，可得f (2)＝4－sin 2>3，故排除C 、D ；当x >0时，f ′(x )＝2x －cos x ，显然存在t ∈⎝⎛⎭⎫0，12，使f ′(t )＝0，则函数f (x )上(0，t )是减函数，在(t,2)上是增函数，故排除A ，故选B.2.已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，若f (x 2＋2x ＋1)·f [lg(x 2＋10)]≤0，则实数x 的取值范围是( )A ．[－2,0]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，－2]∪[0，＋∞)解析：选A 由题意，f (x 2＋2x ＋1)·f [lg(x 2＋10)]≤0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1≥1，lg (x 2＋10)≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ＋1≤1，lg (x 2＋10)≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ≥0，x 2＋10≤10或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ≤0，x 2＋10≥10，解得－2≤x ≤0. 3．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在 (－1,3)上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选C 作出函数f (x )的图象如图所示．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)； 当x ∈(0,1)时，由xf (x )>0得x ∈∅；当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)． 故x ∈(－1,0)∪(1,3)．4.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln (x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2解析：选C 由图象可得－a ＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，得a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln (x ＋2)，x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.5．(2018·齐鲁名校模拟)已知函数f (x )＝4－x 2，函数g (x )(x ∈R 且x ≠0)是奇函数，当x >0时，g (x )＝log 2x ，则函数f (x )·g (x )的大致图象为( )解析：选D 易证函数f (x )＝4－x 2为偶函数，又g (x )是奇函数， 所以函数f (x )·g (x )为奇函数，其图象关于原点对称，排除A 、B.又当x >0时，g (x )＝log 2x ，当x >1时，g (x )>0，当0<x <1时，g (x )<0; f (x )＝4－x 2，当x >2时，f (x )<0，当0<x <2时，f (x )>0，所以排除C ，故选D.6．已知函数f (x )＝a －x 2(1≤x ≤2)与g (x )＝x ＋2的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－94，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－94，0 C.[－2,0]D.[2,4]解析：选D 因为函数f (x )＝a －x 2(1≤x ≤2)与g (x )＝x ＋2的图象上存在关于x 轴对称的点，所以函数f (x )＝a －x 2(1≤x ≤2)与y ＝－x ＋2的图象存在交点，所以a －x 2＝－x ＋2(1≤x ≤2)有解，令h (x )＝a －x 2＋x －2(1≤x ≤2)，则⎩⎪⎨⎪⎧h (1)≥0，h (2)≤0，解得2≤a ≤4，故选D.7．(2017·山东高考)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[23，＋∞)B ．(0,1]∪[3，＋∞)C ．(0， 2 ]∪[23，＋∞)D ．(0， 2 ]∪[3，＋∞)解析：选B 法一：在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝⎛⎭⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象．分两种情形：(1)当0<m ≤1时，1m ≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意；(2)当m >1时，0<1m <1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)．综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)．法二：若m ＝2，则y ＝(2x －1)2，x ∈[0,1]的值域为[0,1]，y ＝x ＋2，x ∈[0,1]的值域为[2，1＋2)，所以两个函数图象无交点，故排除C 、D ；若m ＝3，则点(1,4)是两个函数的公共点，故选B.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >0，－3|x ＋a |＋a ，x <0的图象恰有三对点关于原点成中心对称，则a的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1716，－1 B.⎝⎛⎭⎫－178，－2 C.⎝⎛⎭⎫1，1916 D.⎝⎛⎭⎫1，1716解析：选D 由题意，问题转化为函数y ＝－3|x ＋a |＋a (x <0)与y ＝2－x 2(x <0)的图象恰有三个公共点，显然a ≤0时，不满足条件，当a >0时，画出草图如图，方程2－x 2＝3x ＋4a ，即x 2＋3x ＋4a －2＝0有两个小于 －a 的实数根．结合图形，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－4(4a －2)>0，a >2－a 2，a >0，∴1<a <1716.二、填空题9．(2018·绵阳二诊)已知函数y ＝f (x )及y ＝g (x )的图象分别如图所示，方程f (g (x ))＝0和g (f (x ))＝0的实根个数分别为a 和b ，则a ＋b ＝____________.解析：由图象知f (x )＝0有3个根，分别为0，±m (m >0)，其中1<m <2，g (x )＝0有2个根，设为n ，p ，则－2<n <－1，0<p <1，由f (g (x ))＝0，得g (x )＝0或±m ，由图象可知当g (x )所对应的值为0，±m 时，其都有2个根，因而a ＝6；由g (f (x ))＝0，知f (x )＝n 或p ，由图象可以看出当f (x )＝n 时，有1个根，而当f (x )＝p 时，有3个根，即b ＝1＋3＝4.所以a ＋b ＝6＋4＝10.答案：10 10．若函数f (x )＝ax －2x －1的图象关于点(1,1)对称，则实数a ＝________. 解析：函数f (x )＝ax －2x －1＝a ＋a －2x －1(x ≠1)，当a ＝2时，f (x )＝2，函数f (x )的图象不关于点(1,1)对称，故a ≠2，其图象的对称中心为(1，a )，即a ＝1.答案：111．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )与函数g (x )的图象，如图，要使f (x )≥g (x )恒成立，则－a ≤1， ∴a ≥－1. 答案：[－1，＋∞)12．若f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－sin π2x ＋1，0≤x <2，f (x －1)，x ≥2，若方程f (x )＝kx 恰有3个不同的根，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意，作出函数f (x )的图象，如图所示，因为方程f (x )＝kx 恰有3个不同的根，所以y ＝f (x )与y ＝kx 的图象有3个不同的交点，因此－13<k ≤－14 或 14≤k <13.答案：⎝⎛⎦⎤－13，－14∪⎣⎡⎭⎫14，13 三、解答题13．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0.(1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象并判断其零点个数； (3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集． 解：(1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)∵f (x )＝x |m －x |＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)，x ≥4，－x (x －4)，x <4.∴函数f (x )的图象如图所示．由图象知，函数f (x )有两个零点．(3)从图象上观察可知：f (x )的单调递减区间为[2,4]．(4)从图象上观察可知：不等式f (x )>0的解集为{x |0<x <4或x >4}．14．当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x (a >0，且a ≠1)恒成立，求实数a 的取值范围． 解：设f (x )＝(x －1)2，g (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)， 要使x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立， 只需函数f (x )的图象在g (x )的图象下方即可． 当0<a <1时，由两函数的图象知，显然不成立；当a >1时，如图所示，使x ∈(1,2)时， 不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f (2)≤g (2)， 即(2－1)2≤log a 2，解得1<a ≤2. 综上可知，实数a 的取值范围为(1,2]．1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－|ln x |，x >0，x 2＋2x －1，x ≤0，若f (a )＝f (b )＝f (c )＝f (d )，其中a ，b ，c ，d 互不相等，则对于命题p ：abcd ∈(0,1)和命题q ：a ＋b ＋c ＋d ∈[e ＋e －1－2，e 2＋e －2－2)真假的判断，正确的是( )A ．p 假q 真B ．p 假q 假C ．p 真q 真D ．p 真q 假解析：选A 不妨设a <b <c <d ，作出函数f (x )的图象如图所示，观察图象可得，－2<a <－1<b <0，1e 2<c <1e ，e<d <e 2，由二次函数的对称性可知，a ＋b ＝－2，ab ＝－1， 由f (c )＝f (d )，即－l n c ＝l n d ，则cd ＝1，所以abcd ＝－1，且e ＋e －1－2<a ＋b ＋c ＋d <e 2＋e －2－2，因此命题p 是假命题，命题q 是真命题，故选A.2．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－2bx ＋1，设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋1≥0，y ＋1≥0内的随机点，则函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率是( )A.12 B.19 C.716D.23解析：选C 因为点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋1≥0，y ＋1≥0，内的随机点，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2≤0，a ＋1≥0，b ＋1≥0，作出可行域如图中三角形ABC 所示，面积为8. 因为函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数， 所以ba ≤1，且a >0，即a ≥b ，且a >0，表示的平面区域为图中阴影部分所示， 面积S ＝12×3×3－12×2×1＝72，所以函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率P ＝728＝716.。

2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试09函数 二次函数及应用【考点讲解】 一、具体目标：1.掌握二次函数的图象与性质,2.会求二次函数的最值(值域)、单调区间.从近几年的高考试题来看，二次函数图像的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用． 二、知识概述：1.与二次函数有关的绝对值问题：解决这类问题主要考虑二次函数的有关性质、绝对值不等式及式子变形的技巧，还要注意用某几个特定的函数值表示二次函数的系数. 2.二次函数与二次方程及二次不等式：解决这类问题应注意二次函数、二次方程及二次不等式之间的关系及相互转化.3.二次函数求最值问题，一般先用配方法化为的形式，得顶点()k h ,和对称轴方程h x =，结合二次函数的图象求解，常见有三种类型：(1)顶点固定，区间也固定；(2)顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外；(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值．4.二次方程根的分布问题，通常转化为相应二次函数与x 轴交点的个数问题，结合二次函数的图象通过对称轴，判别式Δ，相应区间端点函数值来考虑． 【优秀题型展示】 1.已知二次函数，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x .（1） 如果，设函数的对称轴为0x x =，求证：10->x ；（2） 112. 【解析】（1）设，0a >，∴由条件，得即显然由得8，故 ）由，知，故1x 与21，(2)0g ∴<，即， （0,a >负根舍去））式，得，解出，则（正根舍去）(2)0g ∴-<，即将代入（）式得，44已知二次函数且，方程有不等的两实根，且必有一个实根属于),(21x x ； ）若方程在，且成等差数列，设0x x =是的对称轴方程，求证：.0m x <）由得：又∴方程有不等的两实根.令，则()g x 是二次函数.由得的根必有一个属于12(,).x x综上，方程有不等的两实根，且必有一个实根属于),(21x x . （2）由题设得，即有成等差数列，故【真题分析】1.【2018年天津卷文】已知R a ∈，函数，若对任意，恒成立，则a 的取值范围是__________．②当时，也就是，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当时，，则2≤a；综合①②可得a 的取值范围是2.【2017湖南岳阳县第一中学模拟】若，函数与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围为( )A. （0,4]B. （0,8）C. （2,5）D.【答案】B3. 【2016年山东】已知函数其中0m >，存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是_________.【解析】本题考点二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则，解得3m >，故m 的取值范围是(3,)+∞.【答案】(3,)+∞4.【2017·九江模拟】已知，如果对恒成立，则实数a 的取值范围为________. 【解析】因为，对称轴是直线，当恒成立，对称轴与区间[]1,3-的位置关系可以得到：或或.解得φ∈a或41<≤a 或所以a 的取值范围为【模拟考场】1.已知函数，若，则必有( )A．1()0f p＋＞B．1()0f p＋<C．1()0f p＋=D．()1f p＋的符号不能确定【答案】A2.已知函数，（0a>），对任意的[]11,2x∈-，存在[]1,2x∈-，使，则a的取值范围是（）ABC．[)3,+∞D．(]0,3【解析】[,]12x∈-时，函数的值域为[,]13A=-，[,]12x∈-时，的值域为，由题意B A⊆，则有21223aa-≥-⎧⎨+≤⎩，又0a>，故解得A．【答案】A3.【2017上海南洋模范中学质检】定义在R上的函数()f x，当(]1,1x∈-时，，且对任意的x 满足（常数0a >），则函数f (x )在区间(]5,7上的最小值是（ ）【解析】当，所以有；当，所以有；当，所以有；所以当5.6=x 时，，选D.【答案】D 4.一元二次方程的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是 . 【解析】记，由已知得，(1)0,(1)0,f f <⎧⎨-<⎩解得5.已知关于x 的方程在区间[]1,0-上有实数根，则实数a 的取值范围是.当0a >时有函数对称轴，若，即，此时的零点为4m =，不符合.因为，，即此时()f m 在区间[1,2]内无零点.当0a <时有函数对称，此时恒成立.因为，所以有，解得1a ≥-.所以此时10a -≤<综上可得，10a -≤≤.【答案】[]1,0- 6.已知a 是实数，函数，如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围.【解析】若0a = ,,显然在[]1,1-上没有零点, 所以 0a ≠.令, 解得①当时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上;②当，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点.③当()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则或解得5a ≥或综上所求实数a 的取值范围是 1a > 或 .7.设a 为实数，函数.（Ⅰ）讨论)(x f 的奇偶性.（Ⅱ）求)(x f 的最小值.（Ⅱ），即时，；时，；2，.28.已知二次函数,当（1）（2）用表示（3解：（）（2）；，。

专题一 “四招”判断函数零点个数函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕函数零点个数的判断问题，例题说法，高效训练.【典型例题】第一招 应用函数性质，判定函数零点个数 例1.已知偶函数()()4log ,04{8,48x x f x f x x <≤=-<<，且()()8f x f x -=，则函数()()12xF x f x =-在区间[]2018,2018-的零点个数为（ ）A. 2020B. 2016C. 1010D. 1008 【答案】A 【解析】当08x <<时，函数()f x 与函数12xy =图象有4个交点201825282=⨯+由()4211122242f log ==>=知，当02x <<时函数()f x 与函数12xy =图象有2个交点故函数()F x 的零点个数为()2524222020⨯+⨯= 故选A .第二招 数形结合，判定函数零点个数例2.【2018届福建省永春一中、培元、季延、石光中学四校高三上第二次联考】定义在R 上的函数()f x 满足()()21f x f x +=+，且[]0,1x ∈时， ()4xf x =； (]1,2x ∈时， ()()1f f x x=. 令()()[]24,6,2g x f x x x =--∈-，则函数()g x 的零点个数为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10 【答案】B∵函数f （x ）满足f （x+2）=f （x ）+1，即自变量x 每增加2个单位，函数图象向上平移1个单位，自变量每减少2个单位，函数图象向下平移1个单位， 分别画出函数y=f （x ）在x ∈[﹣6，2]，y=12x+2的图象，∴y=f（x）在x∈[﹣6，2]，y=12x+2有8个交点，故函数g（x）的零点个数为8个．故选：B．第三招应用零点存在性定理，判定函数零点个数例3.【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）讨论在上的零点个数.【答案】（1）见解析；（2）见解析∴当时，在上单调递增.当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）设，则由（1）知①当时，即，当时，，在单调递减，∴当，即，时，在上恒成立，∴当时，在内无零点.当，即，时，，根据零点存在性定理知，此时，在内有零点，∵在内单调递减，∴此时，在有一个零点.②当时，即，当时，，在单调递增，，.∴当，即时，，根据零点存在性定理，此时，在内有零点. ∵在内单调递增，∴此时，在有一个零点.当时，，∴此时，在无零点.③当时，即，当时，；当时，；则在单调递减，在单调递增.∴在上恒成立，∴此时，在内无零点.∴综上所述：当时，在内有1个零点；当时，在有一个零点；当时，在无零点.第四招构造函数，判定函数零点个数例4．【山东省菏泽市2019届高三上学期期末】已知函数f（x）＝lnx+﹣1，a∈R.（1）当a＞0时，若函数f（x）在区间[1，3]上的最小值为，求a的值；（2）讨论函数g（x）＝f′（x）﹣零点的个数.【答案】（1）；（2）详见解析.f’（x）min＝f（a）＝lna，令，得.当a≥3时，f’（x）＜0在（1，3）上恒成立，这时f（x）在[1，3]上为减函数，∴，令得a＝4﹣3ln3＜2（舍去）.综上知.（2）∵函数，令g（x）＝0，得.设，，当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，此时φ（x）在（0，1）上单调递增，当x∈（1，+∞）时，φ’（x）＜0，此时φ（x）在（1，+∞）上单调递减，所以x＝1是φ（x）的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是（x）的最大值点，φ（x）的最大值为.又φ（0）＝0，结合φ（x）的图象可知：①当时，函数g（x）无零点；②当时，函数g （x ）有且仅有一个零点；③当时，函数g （x ）有两个零点；④a≤0时，函数g （x ）有且只有一个零点； 综上所述，当时，函数g （x ）无零点；当或a ≤0时，函数g （x ）有且仅有一个零点；当时，函数g （x ）有两个零点.【规律与方法】函数零点个数的求解与判断：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．(4)构造函数模型，判断零点个数.构造函数可根据题目不同，直接做差构造函数、分离参数后构造函数、先求导数再构造函数、先换元再构造函数等.【提升训练】1．【浙江省杭州地区(含周边)重点中学2019届高三上期中】已知定义在R 上的奇函数，满足当时，则关于x 的方程满足A ．对任意，恰有一解B ．对任意，恰有两个不同解C ．存在，有三个不同解D ．存在，无解【答案】A 【解析】 当时，，，时，；时，，在上递减，在上递增，，在上递增，又x 大于0趋近于0时，也大于0趋近于0；x 趋近于正无穷时，也趋近于正无穷，又为R上的奇函数，其图象关于原点对称，结合图象知，对任意的a，方程都恰有一解．故选：A．2．【吉林省延边州2019届高三2月复检测】已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论错误的是( )A．函数在上为单调递增函数B．是函数的极小值点C．函数至多有两个零点D．时，不等式恒成立【答案】D若，则有2个零点，若，则函数有1个零点，若，则函数没有零点，故正确；由在递减，则在递减，由，得时，，故，故，故错误,故选D．3.已知函数()y f x =的图像为R 上的一条连续不断的曲线，当0x ≠时，()()'0f x f x x+>，则关于x 的函数()()1g x f x x=+的零点的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或2 【答案】A4．【新疆乌鲁木齐市2019届高三一模】已知函数.（Ⅰ）若的图像在点处的切线与直线平行，求的值；（Ⅱ）若，讨论的零点个数. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1个【解析】 （Ⅰ）函数， 导数为，， 图象在点处的切线斜率为，由切线与直线平行，可得，解得； （Ⅱ）若，可得，由，可得（舍去），即的零点个数为； 若，由，即为，可得，，设，， 当时，，递减；当时，，递增，可得处取得极大值，且为最大值，的图象如图：由，即，可得和的图象只有一个交点，即时，的零点个数为，综上可得在的零点个数为.5．【辽宁省大连市2019届高三下学期第一次（3月)双基测试】已知函数f（x）=lnx+ax2-x（x＞0，a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）求证：当a≤0时，曲线y=f（x）上任意一点处的切线与该曲线只有一个公共点．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）f′（x）=+2ax-1=（x＞0），设g（x）=2ax2-x+1（x＞0），（1）当0＜a＜时，g（x）在（0，），（，+∞）上大于零，在（，）上小于零，所以f（x）在（0，），（，+∞）上递增，在（，）上递减，（2）当a≥时，g（x）≥0（当且仅当a=，x=2时g（x）=0），所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，（3）当a=0时，g（x）在（0，1）上大于零，在（1，+∞）上小于零，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，（4）当a＜0时，g（x）在（0，）上大于零，在（，+∞）上小于零，所以f（x）在（0，）上递增，在（，+∞）上递减；（Ⅱ）曲线y=f（x）在点（t，f（t））处的曲线方程为：y=（+2at-1）（x-t）+lnt+at2-t，曲线方程和y=f（x）联立可得：lnx+ax2-（+2at）x-lnt+at2+1=0，设h（x）=lnx+ax2-（+2at）x-lnt+at2+1（x＞0），h′（x）=，当a≤0时，在（0，t）h′（x）＞0，在（t，+∞）h′（x）＜0，故h（x）在（0，t）递增，在（t，+∞）递减，又h（t）=0，故h（x）只有唯一的零点t，即切线与该曲线只有1个公共点（t，f（t））．6．【四川省成都石室中学2019届高三第二次模拟】已知函数，. （Ⅰ）当，函数图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？（Ⅱ）讨论函数的零点个数.【答案】(Ⅰ)存在；(Ⅱ)详见解析.【解析】（Ⅰ），，，则函数在单调递减，上单调递增，上单调递减，因为，，，，，所以存在切线斜率，使得，，，，所以函数图象上是存在3条互相平行的切线.（Ⅱ），当，有；，在上单调递增；所以函数存在唯一一个零点在内；当，有，；，在上单调递增；所以函数存在唯一一个零点在内；当，有，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，，，，所以函数一个零点在区间内，一个零点在区间内，一个零点在内.所以函数有三个不同零点.综上所述：当函数一个零点；当函数三个零点.7．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末】已知，，其中，为自然对数的底数．若函数的切线l经过点，求l的方程；Ⅱ若函数在为递减函数，试判断函数零点的个数，并证明你的结论．【答案】Ⅰ；Ⅱ见解析Ⅱ判断：函数的零点个数是0，下面证明恒成立，，故，若在递减，则，因此，要证明对恒成立，只需证明对恒成立，考虑等价于，记，，先看，，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，，再看，.令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，.，且两个函数的极值点不在同一个x处，故对恒成立，综上，对恒成立，故函数函数零点是0个．8.【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试（一)】已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）证明：当且时，只有一个零点.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）．当时，由得，由得，在单调递减，在单调递增．当时，由得，由得或，在单调递减，在和单调递增．令，，当时，，故在单调递增，所以，在单调递增，所以，因此．因为在单调递增，所以在有唯一零点．所以只有一个零点.综上，当且时，只有一个零点．9．【云南师范大学附属中学2019届高三上学期第一次月考】已知函数．求的单调区间和极值；当时，证明：对任意的，函数有且只有一个零点．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】解：函数的定义域为，，当时，，在定义域上单调递增，无极值；当时，由，得，当时，，得的单调递增区间是；当时，，得的单调递减区间是，故的极大值为，无极小值．由，得，当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减，所以，于是，则在上单调递减．设，则，由，得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增，所以，即当时，，所以当时，，对任意的，有当时，，有；当时，有，又在上单调递减，所以存在唯一的，有；当时，，有，当时，有，又在上单调递减，所以存在唯一的，有，综上所述，对任意的，方程有且只有一个正实数根，即函数有且只有一个零点．10．【2019届高三第一次全国大联考】已知函数（其中）．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数的极值点；（3）讨论函数零点的个数．【答案】（1）在上单调递增；在上单调递减；（2）函数无极大值点，有2个极小值点，分别为和；（3）详见解析.（2）先考虑时的情况，当时，则；所以当时，；当时，；所以函数在上单调递减，在上单调递增．又因为函数的图象关于直线对称，所以在和上单调递减，在和上单调递增．所以函数无极大值点，有2个极小值点，分别为和．令，则．由，解得；由，解得，所以在上递增，在上递减，所以，当时，注意到，知此时在上单调递减，在上单调递增，且，这表明的图象与轴相切，所以此时函数在上只有1个零点，且为；当或时，，又当或时，，所以此时函数在上有2个零点，一个零点是，另一个零点在区间或内．又由函数的图象关于直线对称，综上可得，当或时，函数有2个零点；当或时，函数有4个零点．11．【2019年四川省达州市高考一诊】已知，函数，．求证：；讨论函数零点的个数．【答案】（1）见解析；（2）见解析解：，，，，，方程有两个不相等的实根，分别为，，且，，当时，，递减，当时，，递增，，，，即，．设，则，是减函数，当，即时，，函数只有一个零点，当，即时，，函数没有零点，当，即时，，且，由知，，若，则有，，函数有且只有一个大于的零点，又，即函数在区间有且只有一个零点，综上，当时，函数有两个零点；当时，函数只有一个零点，当时，函数没有零点．12．【北京延庆区2019届高三一模】已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）当时，求函数在上区间零点的个数.【答案】（1）（2）在区间上单调递增，在区间上单调递减（3）见解析【解析】（1）当时，，，,，切点，所以切线方程是.（2），令，、及的变化情况如下增减所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减.（3）由（2）可知的最大值为,（1）当时，在区间单调递增，在区间上单调递减.由，故在区间上只有一个零点 .（2）当时，，，,且 .因为，所以，在区间上无零点.综上，当时，在区间上只有一个零点，当时，在区间上无零点.13．【广东省江门市2019届高考模拟（第一次模拟)】设函数，是自然对数的底数，是常数．（1）若，求的单调递增区间；（2）讨论曲线与公共点的个数．【答案】（1）的单调递增区间为（或）；（2）或时，两曲线无公共点；或时，两曲线有一个公共点；时，两曲线有两个公共点 .（I）时，有一个零点 .(II)时，由解得，．当时，；当时，，在取最小值 ,①时，，有一个零点.②时，，无零点 .③时，，由知，在有一个零点，即在有一个零点；由指数函数与幂函数单调性比较知，当且充分大时，，所以在有一个零点，即在有一个零点．从而有两个零点 .（III）时，，单调递减，，，所以在有一个零点，从而在定义域内有一个零点 .（IIII）时，无零点 .14．【安徽省六安市毛坦厂中学2019届高三3月联考】设函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）若，证明：方程有且仅有3个不同的实数根.（附：，，）【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）由，得，令，所以，所以当时，，恒成立，即恒成立，所以单调递增；即，所以单调递减；当时，，即，所以单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，的单调递增区间为，；的单调递减区间为.（2）当时，，由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有极大值，且，当时，函数有极小值，且.又因为，，所以直线与函数的图象在区间上有且仅有3个交点，所以当时，方程有且仅有3个不同的实数根.。