《2.3.1抛物线及其标准方程》教学案2

2.3.1 抛物线及其标准方程学习目标1.理解抛物线的定义,掌握抛物线的标准方程及其推导过程,并能根据条件确定抛物线的标准方程.2.通过抛物线的定义的学习,加深对离心率的理解.学习过程一、预习提示问题1:抛物线是如何定义的?问题2:如何理解抛物线y2=2px(p>0)中p的几何意义?问题3:画出抛物线的四种形式的图象,并写出它的标准方程,焦点坐标及准线方程.问题4:如何来理解抛物线的定义?问题5:求解抛物线的标准方程时,如何建立坐标系?二、预习检测问题1:抛物线y=-2x2的准线方程是()(A)x=-.(B)x=. (C)y=.(D)y=-.问题2:若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则p的值为()(A)-2.(B)2.(C)-4.(D)4.问题3:抛物线x2=-2y上一点N到其焦点F的距离是3,则点N到直线y=1的距离等于.三、课堂探究【问题1】(1)已知抛物线的焦点在y轴上,并且经过点M(,-2),求抛物线的标准方程;(2)已知抛物线的焦点在坐标轴上,且抛物线过点(-3,2),求它的标准方程.【拓展问题1】求焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程.【拓展问题2】抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10,求点P的坐标.【问题2】(1)点M与点F(0,-2)的距离比它到直线l:y-3=0的距离小1,求点M的轨迹方程;(2)已知圆C的方程为x2+y2-10x=0,求与y轴相切且与C外切的动圆圆心P的轨迹方程.【拓展问题1】已知点P(m,3)是抛物线y2=2x上的动点,点P在y上的射影为M,点A 的坐标是A(,4),则+的最小值是()(A).(B)4.(C).(D)5.【拓展问题2】已知直线l:x+1=0及圆C:(x-2)2+y2=1,若动圆M与l相切,且与圆C外切,试求动圆圆心M的轨迹方程.四、当堂达标1.抛物线y2=x上一点P到焦点的距离是2,则点P坐标为()(A)(,±).(B)(,±). (C)(,±).(D)(,±).2.焦点在x轴,且经过点(2,2)的抛物线的标准方程是.3.求与椭圆+=1有相同的焦点,且顶点在原点的抛物线的方程.答案一、问题1:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点;定直线l叫做抛物线的准线.问题2:抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,焦点坐标为(,0),所以p表示焦点到准线的距离.如果抛物线y2=2px(p>0)的标准方程已给出,则焦点的横坐标为一次项系数的,焦点在其它位置时,也有相类似的规律.问题3:图形标准方程焦点坐标准线方程y2=2px(p>0)(,0)x=-y2=-2px(p>0)(-,0)x=x2=2py(p>0)(0,)y=-x2=-2py(p>0)(0,-)y=问题4:(1)抛物线的定义实质上可以归结为“一动三定”,即一个动点;一个定点F,即焦点;一条定直线l,即准线;一个定值,即动点到焦点和准线的距离之比为定值1.(2)定点F不在定直线l上,否则动点M的轨迹不是抛物线,而是过定点F且垂直于l的一条直线.问题5:根据抛物线的定义导出它的标准方程时,要考虑怎样选择坐标系才能得到标准方程.过抛物线的焦点F做准线的垂线,垂足为K,则一般将直线KF作为一条坐标轴,线段KF的中点作为原点,这样建出的坐标系得到的抛物线的方程最简单,不含常数项.二、预习检测问题1:C解析:抛物线的标准方程为x2=-y,故准线方程为y=.问题2:D解析:椭圆+=1的右焦点为(2,0),所以抛物线y2=2px的焦点为(2,0),则p=4.问题3:解析:点N到焦点F的距离等于其到准线y=的距离,则点N到直线y=1的距离等于.三、【问题1】解析:(1)∵抛物线的焦点在y轴上,并且经过点M(,-2),∴可设它的标准方程为x2=-2py(p>0).又∵点M在抛物线上,∴()2=-2p(-2),即p=,∴所求方程是x2=-y.(2)设所求的抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p>0),∵抛物线过点(-3,2),∴22=-2p(-3)或(-3)2=2p·2,得p=或p=,故所求抛物线方程为y2=-x或x2=y.【拓展问题1】解析:抛物线的焦点一定在坐标轴上,故焦点为(4,0)或(0,-3),当焦点为(4,0)时,抛物线的标准方程为y2=16x,当焦点为(0,-3)时,抛物线的标准方程为x2=-12y.【拓展问题2】解析:设点P的坐标为(x,y),∵|PF|=10,∴1+x=10,∴x=9,把x=9代入方程y2=4x中,解得y=±6,∴点P的坐标是(9,±6).【问题2】解析:(1)设点M坐标为(x,y),∵点M到点F的距离比它到直线l:y=3的距离小1,∴点M到点F的距离与它到直线l:y=2的距离相等,即点M的轨迹是以F(0,-2)为焦点,直线l:y=2为准线的抛物线.∵=2,且开口向下,∴点M的轨迹方程为x2=-8y.(2)设P点坐标为(x,y),半径为R,∵动圆P与y轴相切,∴R=|x|.∵动圆与定圆C:(x-5)2+y2=25外切,∴|PC|=R+5.∴|PC|=|x|+5.当点P在y轴上或y轴右侧时,即x≥0,则|PC|=x+5,即点P的轨迹是以(5,0)为焦点的抛物线,故方程为y2=20x(x≥0);当点P在y轴左侧时,即x<0,则|PC|=-x+5,此时点P的轨迹是x轴的负半轴,即方程y=0(x<0).故点P的轨迹方程为y2=20x(x≥0)或y=0(x<0).【拓展问题1】C解析:延长PM交抛物线的准线于N,如图,则+=,由抛物线定义知,+==,则只有当A,P,F三点共线时,++有最小值:=5,所以,+的最小值为.【拓展问题2】解析:设M(x,y),M到直线l的距离为d.∵动圆M与l相切且与圆C外切,∴|MC|=d+1.∴动点M到定点C的距离与到定直线x=-2的距离相等.∴动点M的轨迹是以C(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,其方程为y2=8x.由问题2及其拓展可以得出什么结论?求动点的轨迹的一个常用方法:几何定义法,所谓“几何”,是指挖掘条件的几何意义,所谓“定义”,是指所挖掘的几何意义是否符合某种曲线的定义.四、1.B解析:设P(x,y),则点P到焦点的距离为2,∴点P到准线x=-的距离也是2,即x+=2,∴x=,∴y=±,∴选B.2.y2=6x解析:设抛物线的标准方程为y2=2px,代入点(2,2)得p=3,所以方程为y2=6x.3.解析:根据抛物线的性质,所求抛物线的方程应为标准方程.椭圆的焦点为(1,0)和(-1,0),当抛物线的焦点为(-1,0)时,抛物线焦点在x轴负半轴,此时方程为y2=-4x,同理可求,焦点为(1,0)时,抛物线的标准方程为y2=4x,所以所求的方程为y2=4x或y2=-4x.。

2．3.1 抛物线及其标准方程学习目标：1.掌握抛物线的定义及其标准方程．2．了解抛物线的实际应用．3．能区分抛物线标准方程的四种形式．预习提示：1.我们知道，二次函数的图象是抛物线，那么抛物线上的点应满足什么条件呢？2. 抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？3．比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何选择坐标系，建立的抛物线方程才能更简单？4．抛物线方程中p有何意义？标准方程有几种类型？抛物线的开口方向由什么决定？5．抛物线与二次函数有何关系？课堂探究：例1、(1)抛物线y2＝2px(p＞0)上一点A(6，y0)，且点A到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是()A．4 B．8C．13 D．16(2)若点P到定点F(4,0)的距离比它到定直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是()A．y2＝－16xB．y2＝－32xC．y2＝16xD．y2＝16x或y＝0(x＜0)变式训练：(1)抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则A点到抛物线焦点的距离为() A．2B．3 C．4 D．5(2)若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x例2、分别求适合下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点M(－6,6)．(2)焦点在直线l：3x－2y－6＝0上．(3)已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程．变式训练：若把本例题目改为：(1)过点(1,2)．(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．试求抛物线的标准方程．例3、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若点B的坐标为(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．变式训练：定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2＝x上移动，求AB的中点M 到y轴的距离的最小值．例4、如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?变式训练：某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4m ，高2 m ，载货后木船露在水面上的部分高为34 m ，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？当堂达标：1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( ) A ．(2,0) B ．(－2,0) C ．(4,0)D ．(－4,0)2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4x D ．y 2＝4x 3．已知动点M (x ，y )的坐标满足x －22＋y 2＝|x ＋2|，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．以上均不对4．抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M 的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M 点的坐标． 答案：1.【提示】 抛物线上的点满足到定点的距离等于它到定直线的距离．2. 【提示】 不能，若l 经过点F ，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F 且垂直于l 的一条直线．3．【提示】 根据抛物线的几何特征，可以取经过点F 且垂直于直线l 的直线为x 轴，以F 到l 的垂线段的中垂线为y 轴建系．4．【提示】 p 是抛物线的焦点到准线的距离 抛物线的标准方程有四种类型：①焦点在x 轴的正半轴上，其标准方程为y 2＝2px (p ＞0)； ②焦点在x 轴的负半轴上，其标准方程为y 2＝－2px (p ＞0)； ③焦点在y 轴的正半轴上，其标准方程为x 2＝2py (p ＞0)； ④焦点在y 轴的负半轴上，其标准方程为x 2＝－2py (p ＞0)． 抛物线的方程中一次项决定开口方向．5．【提示】 二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当b ，c 为0时，y ＝ax 2表示焦点在y 轴上的抛物线，标准方程为x 2＝1a y ，a ＞0时抛物线开口向上，a ＜0时，抛物线开口向下，当抛物线的开口方向向左或向右时，方程为y 2＝2px ，这是一条曲线，不能称为函数．课堂探究：例1、 【自主解答】 (1)由题意6＋p2＝10，∴p ＝8.(2)因为点F (4,0)在直线x ＋5＝0的右侧，且P 点到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，所以点P 到F (4,0)的距离与到直线x ＋4＝0的距离相等．故点P 的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p ＝8，故P 点的轨迹方程为y 2＝16x .【答案】 (1)B (2)C变式训练：【解析】 (1)由抛物线的定义，点A 到焦点的距离等于它到准线的距离，而A 到准线的距离为4＋p2＝4＋1＝5.(2)由题意，动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x ＋1＝0的距离大1，故动圆圆心的轨迹是以(2,0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线，其方程为y 2＝8x .【答案】 (1)D (2)A例2、 【自主解答】 (1)由于点M (－6,6)在第二象限， ∴过M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在x 轴上， 设其方程为y 2＝－2px (p ＞0)，将点M (－6,6)代入，可得36＝－2p ×(－6)， ∴p ＝3.∴抛物线的方程为y 2＝－6x ；若抛物线开口向上，焦点在y 轴上，设其方程为x 2＝2py (p ＞0)， 将点M (－6,6)代入可得，36＝2p ×6，∴p ＝3， ∴抛物线的方程为x 2＝6y .综上所述，抛物线的标准方程为y 2＝－6x 或x 2＝6y . (2)①∵直线l 与x 轴的交点为(2,0)， ∴抛物线的焦点是F (2,0)， ∴p2＝2，∴p ＝4， ∴抛物线的标准方程是y 2＝8x . ②∵直线l 与y 轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是F (0，－3)， ∴p2＝3，∴p ＝6， ∴抛物线的标准方程是x 2＝－12y .综上所述，所求抛物线的标准方程是y 2＝8x 或x 2＝－12y .(3)法一：设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎫－p2，0， 由题设可得⎩⎨⎧m 2＝6p ，m 2＋⎝⎛⎭⎫3－p22＝5， 解得{ p ＝4，m ＝26或{ p ＝4，m ＝－26，故所求的抛物线方程为y 2＝－8x .法二：设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫－p 2，0，准线方程为x ＝p 2， 根据抛物线的定义，点M 到焦点的距离等于5，也就是M 到准线的距离为5， 则3＋p2＝5，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－8x .变式训练：【解】 (1)点(1,2)在第一象限，分两种情形： 当抛物线焦点在x 轴上时，设其方程为y 2＝2px (p >0)， 则22＝2p ·1，解得p ＝2， 抛物线标准方程为y 2＝4x ；当抛物线焦点在y 轴上时，设其方程为x 2＝2py (p >0)， 则12＝2p ·2，解得p ＝14，抛物线标准方程为x 2＝12y .(2)令方程x －2y －4＝0的x ＝0得y ＝－2，令y ＝0得x ＝4. ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)， 当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，这时抛物线标准方程为y 2＝16x ； 当焦点为(0，－2)时，p2＝2，∴p ＝4，这时抛物线标准方程为x 2＝－8y .例3、 【自主解答】 (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连接AF ，AF 与抛物线的交点即为点P ，故最小值为22＋12＝5，即点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为 5.①(2)如图，把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±12.因为12＞2，所以点B 在抛物线内部，过点B 作BQ 垂直于准线，垂足为点Q ，交抛物线于点P 1，连接P 1F .此时，由抛物线定义知：|P 1Q |＝|P 1F |.②所以|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝3＋1＝4，即|PB |＋|PF |的最小值为4.变式训练：【解】 如图，F 是抛物线y 2＝x 的焦点，过A 、B 两点分别作准线的垂线AC 、BD ，过AB 的中点M 作准线的垂线MN ，C 、D 、N 为垂足，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)．由抛物线的定义可知 |AF |＝|AC |，|BD |＝|BF |， ∴|MN |＝12(|AF |＋|BF |)≥12|AB |＝32.设M 点的坐标为(x ，y )，则|MN |＝x ＋14.又|MN |≥32，∴x ≥32－14＝54，当且仅当AB 过抛物线的焦点时等号成立．此时点M 到y 轴的距离的最小值为54.例4、【自主解答】 如图所示(1)依题意，设该抛物线的方程为x 2＝－2py (p ＞0)， 因为点C (5，－5)在抛物线上， 所以该抛物线的方程为x 2＝－5y .(2)设车辆高h ，则|DB |＝h ＋0.5，故D (3.5，h －6.5)， 代入方程x 2＝－5y ，解得h ＝4.05， 所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．变式训练：【解】 以拱桥拱顶为坐标原点，拱高所在直线为y 轴，建立如下图所示的直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由题意知，点A (4，－5)在抛物线x 2＝－2py (p ＞0)上．所以16＝－2p ×(－5)，2p ＝165. 所以抛物线方程为x 2＝－165y (－4≤x ≤4)．设水面上涨船面两侧与抛物线拱桥接触于B 、B ′时，船开始不能通航． 设B (2，y )，由于22＝－165×y ，所以y ＝－54.所以水面与抛物线拱顶相距|y |＋34＝2(m)．答：水面上涨到与抛物线拱顶相距2 m 时，船开始不能通航.当堂达标：1．【解析】 由y 2＝－8x ，得2p ＝8，∴p2＝2.从而抛物线的焦点为(－2,0)． 【答案】 B2．【解析】 由准线x ＝－2及顶点在原点， ∴焦点F (2,0)，p ＝4. ∴抛物线的方程为y 2＝8x . 【答案】 B3．【解析】 由条件知M 点轨迹满足抛物线定义．即M 到定点(2,0)与到定直线x ＝－2的距离相等，所以点M 的轨迹是抛物线． 【答案】 C4．【解】 设焦点为F ⎝⎛⎭⎫－p2，0，M 点到准线的距离为d . 则d ＝|MF |＝10，即9＋p2＝10.∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝－4x ， 将M (－9，y )代入抛物线的方程，得y ＝±6. ∴M 点坐标为(－9,6)或(－9，－6).。

2.3.1 抛物线及标准方程教学目标1.知识与技能：掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程形式，及其对应的焦点、准线.2.过程与方法：掌握对抛物线标准方程的推导，进一步理解求曲线方程的方法——坐标法.通过本节课的学习，提高学生观察，类比，分析和概括的能力.3.情感，态度与价值观：通过本节的学习，体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想.教学重点，难点重点：（1）抛物线的定义及焦点、准线；（2）抛物线的四种标准方程和p的几何意义.难点：在推导抛物线标准方程的过程中，如何选择适当的坐标系.教学过程环节一：生活中的抛物线通过真实性情境让学生体会到抛物线的美及其在现实生活中的应用.环节二：问题情境、引入新课问题1：由2.1椭圆例6(第41页）和2.2双曲线例5(第52页），我们可以得到产生椭圆和双曲线的另一种方法：平面内与一个定点F的距离和到一条定直线l的距离的比是常数e 的点的轨迹，当0＜e＜1时，是椭圆；当e＞1时，是双曲线；当e=1时，它是什么曲线？探究一：当e=1时，动点M的轨迹是什么？借助几何画板具有独特的动画效果，教师演示，学生观察①两条线段长度的变化；②观察追踪动点M得到的轨迹形状.对照，类比，联想探索出当e＝1时，动点M的轨迹为抛物线，进而给出抛物线的定义.环节三：抛物线的定义【板书】1.抛物线的定义强调定义的另一种说法：平面内到定点与到定直线的距离的比等于1的点的轨迹叫做抛物线.剖析定义：1.思考：若定点F在定直线l上，则动点M的轨迹还是抛物线吗？若定点F在定直线l上，则动点M的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线.2.抛物线的定义可归结为“一动三定”一个动点，设为M；一个定点F,为抛物线的焦点；一条定直线l，为抛物线的准线；一个定值，即点M到定点F的距离与它到定直线l的距离之比e为定值1.强调：抛物线是圆锥曲线的一种，不是双曲线的一支.环节四：抛物线的标准方程的推导问题2：如何建立直角坐标系，抛物线方程才能更简单，图象具有对称美呢？学生可能有三种建立直角坐标系的方案，在幻灯片中预置学生可能出现的几种建系的方法.为了节省时间，通过幻灯片展示学生可能有三种建立直角坐标系的方案，教师引导学生讨论，这三种建系方案有何不同？提问哪个图象更优美，求得的抛物线方程更简单？学生一目了然，第三种方案图象更优美，求得的抛物线方程更简单.问题3：再观察3个二次函数的图象，哪个具有对称美，形式最简单？要使抛物线的具有对称美，方程最简单，必须使抛物线的顶点在坐标原点，图象关于x 轴或y轴对称.确认选择方案三.问题4：求曲线方程的基本步骤是怎样的？复习了求曲线方程的基本步骤，即用坐标法求曲线方程的基本步骤.5个步骤（1）建系设点（2）列式（3）列方程（4）化简（5）证明环节五：抛物线的标准方程【板书】2.抛物线的标准方程、焦点、准线【板书】3.p（p>0)的几何意义学生结合图形，说出标准方程中p指什么？为什么p>0？指出p的几何意义是：焦点F到准线l的距离｜FK｜（焦准距）.与椭圆、双曲线的标准方程类似，一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.探究二：若抛物线的开口分别向左、向上、向下，你能根据上述办法求出它的标准方程吗？各组分别求解开口不同时抛物线的标准方程及相应的焦点坐标、准线方程.并填在P58页的表格内，同桌相互交流.问题5：根据上表中抛物线的标准方程的不同形式,如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？问题6：根据上表中抛物线的焦点坐标、准线方程、开口方向的不同，会判断对应的是哪个抛物线标准方程吗？问题7：4种位置的抛物线标准方程的共同点和不同点有哪些？环节六：例题与练习【板书】例题例1.(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点是F(0,−2),求它的标准方程解：（1）p＝3，所以抛物线的焦点坐标是(32，0)，准线方程是 x＝－32．（2）因为抛物线的焦点在轴的负半轴上,且p2=2,∴p=4，所以抛物线的标准方程是x2=−8y例2．求分别满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点坐标是F（－5，0）（2）经过点A（2，－3）解：（1）焦点在x轴负半轴上，p2=5，所以所求抛物线的标准议程是y2=−20x．（2）经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：y2=2px,x2=−2py点A（2，－3）坐标代入y2=2px,，即9＝4p，得2p＝92点A（2，－3）坐标代入x2=−2py，即4＝6p，得2p=43∴所求抛物线的标准方程是y2=92x,x或x2=−92y.环节七：课堂小结让学生回答问题总结本节内容：①抛物线的定义②抛物线的标准方程以及相应图象；③解抛物线问题时，要做到先“定位”环节八：作业布置课本P64 1、2环节九：板书设计2.3.1抛物线及其标准方程1.抛物线的定义标准方程的推导过程：例题2.抛物线的标准方程焦点坐标准线方程3.p的几何意义。

课题：2.3.1抛物线及其标准方程（第一课时）教学设计一．教材分析1．教材所处的地位、内容和作用圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容。

本章圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三个部分，三部分在圆锥曲线中的地位相同。

本节内容主要是抛物线的定义及抛物线四种形式的标准方程，是在初中学了二次函数、同时又是继椭圆、双曲线之后的又一解析几何的重点内容，它有着广泛的应用，能使学生进一步感受坐标法及数形结合的思想，为后面用代数方法研究抛物线的几何性质和实际应用提供了必要的工具和基础，也是以后学习微积分的基础。

因此本节内容起到一个承上启下的作用。

一定要引起学生足够的重视。

2．本节课的主要教学内容：（1）、通过实验，结合几何画板课件，观察、发现和认识抛物线。

抛物线定义是本节课的一个重点。

利用信息技术首先创设一个问题情景：与一个定点的距离分别从小于、大于以至等于它到定直线的距离的动点的轨迹（图形）。

让学生观察，培养探索精神。

教给学生一个发现数学奥秘的方法——做实验。

（2）、坐标法求抛物线的标准方程是本节课的重点和难点。

通过合作交流，探究不同的建系方案，对比所得方程的异同，使学生认识到恰当建立坐标系的重要性，进一步感受坐标法的思想。

（3）、掌握抛物线四种形式的标准方程，理解焦参数p的几何意义；能根据条件求出抛物线的标准方程；会根据抛物线的标准方程，求出焦点坐标、准线方程；根据以上教学内容及要求，拟定教学目标及教学重、难点如下：3．教学目标（１）、知识目标：理解并掌握抛物线的定义及其标准方程；会求抛物线的标准方程。

（２）、能力目标：通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。

并进一步感受坐标法及数形结合的思想（３）、情感目标：进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯；同时树立学好数学的自信心，培养坚强的意志和锲而不舍的精神。

2.3.1 抛物线及其标准方程学 习 目 标核 心 素 养1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点) 2．掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点) 3．明确p 的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点)1．通过抛物线定义的学习，培养数学抽象核心素养． 2．通过抛物线定义及标准方程的应用，培养学生的直观想象、数学建模等核心素养．新知初探1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做 ．点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 ． 思考1：抛物线的定义中，若点F 在直线l 上，那么点的轨迹是什么？2．抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标 准线方程y 2＝2px (p >0)F ⎝⎛⎭⎫p 2，0x ＝－p2y 2＝－2px (p >0)F ⎝⎛⎭⎫－p 2，0x ＝p 2x 2＝2py (p >0)F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 y ＝－p2x 2＝－2py (p >0)F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2y ＝p2(2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？初试身手1．抛物线x 2＋8y ＝0的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0，－2) C ．(0,4)D ．(0，－4)2．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 3．抛物线x ＝4y 2的准线方程是( ) A ．y ＝12B ．y ＝－1C ．x ＝－116D ．x ＝184．抛物线y 2＝－12x 上与焦点的距离等于9的点的坐标是________．合作探究类型1 求抛物线的标准方程例1 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝23；(2)焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为5； (3)经过点(－3，－1)；(4)焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点．规律方法1．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤2．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题 (1)把握开口方向与方程间的对应关系．(2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，这样可以减少讨论情况的个数．(3)注意p 与p2的几何意义．跟踪训练 1．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．8类型2 抛物线的定义的应用例2 (1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程；(2)已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，对于定点A (4,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时的P 点坐标；(3)已知动圆M 与直线y ＝2相切，且与定圆C ：x 2＋(y ＋3)2＝1外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．规律方法抛物线定义的两种应用1.实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.2.解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 跟踪训练2．(1)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A ．172B ．3C ． 5D ．92(2)若位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12．求点M 的轨迹方程．类型3 抛物线的实际应用 [探究问题]已知抛物线，如何建系，才能使抛物线方程为标准方程？例3 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高34米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？规律方法求抛物线实际应用的五个步骤 1.建立适当的坐标系. 2.设出合适的抛物线标准方程.3.通过计算求出抛物线的标准方程.4.求出需要求出的量.5.还原到实际问题中，从而解决实际问题. 跟踪训练3．某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线型，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0．04米．若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？课堂小结1．焦点在x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y 2＝mx (m ≠0)，此时焦点为F ⎝⎛⎭⎫m 4，0，准线方程为x ＝－m4；焦点在y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x 2＝my (m ≠0)，此时焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，m 4，准线方程为y ＝－m 4． 2．设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径．若M (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF |＝x 0＋p 2．3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．课堂检测1．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于( )A ．1B ．2C ．4D ．82．已知抛物线y ＝mx 2(m >0)的焦点与椭圆4y 29＋x 22＝1的一个焦点重合，则m 的值为________．3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 1，若点A (2，－4)在抛物线上，则点A 到焦点的距离为________．4．求顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线3x －5y －36＝0上的抛物线方程．参考答案新知初探1．抛物线 焦点 准线思考1：[提示] 点的轨迹是过点F 且垂直于直线l 的直线． 思考2：[提示] (1)p 的几何意义是焦点到准线的距离．(2)根据抛物线方程中一次式±2px ，±2py 来确定焦点位置，“x ，y ”表示焦点在x 轴或y 轴上，系数“±2p ”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上．初试身手1．【答案】B【解析】抛物线x 2＝－8y 的焦点在y 轴的负半轴上，且p2＝2，因此焦点坐标是(0，－2)．2．【答案】C【解析】由y 2＝8x 得p ＝4，即焦点到准线的距离为4． 3．【答案】C【解析】由x ＝4y 2得y 2＝14x ，故准线方程为x ＝－116．4．【答案】(－6,62)或(－6，－62)【解析】由y 2＝－12x 知p ＝6，准线方程为x ＝3，设抛物线上点P (x ，y )，由抛物线定义可知－x ＋3＝9，x ＝－6，将x ＝－6代入y 2＝－12x ，得y ＝±62，所以满足条件的点为(－6,62)或(－6，－62)．合作探究类型1 求抛物线的标准方程例1 解：(1)因为抛物线的准线交y 轴于正半轴，且p 2＝23，则p ＝43，所以所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y ．(2)已知抛物线的焦点在y 轴上，可设方程为x 2＝2my (m ≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m |＝5，m ＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x 2＝10y 和x 2＝－10y ． (3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝－2py (p >0)．若抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)，则由(－1)2＝－2p ×(－3)，解得p ＝16；若抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)，则由(－3)2＝－2p ×(－1)，解得p ＝92．∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－13x 或x 2＝－9y ．(4)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4， ∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，p2＝3，∴p ＝6，此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ；当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x ．∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x ．跟踪训练 1．【答案】D类型2 抛物线的定义的应用例2 解：(1)设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由p2＋3＝5得p ＝4，因此抛物线方程为x 2＝－8y ，其准线方程为y ＝2，由m 2＝24得m ＝±26． (2)如图，作PN ⊥l 于N (l 为准线)，作AB ⊥l 于B ，则|P A |＋|PF | ＝|P A |＋|PN |≥|AB |，当且仅当P 为AB 与抛物线的交点时，取等号． ∴(|P A |＋|PF |)min ＝|AB | ＝4＋1＝5． 此时y P ＝2， 代入抛物线得x P ＝1， ∴P (1,2)．(3)设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，则由题意可得M 到圆心C (0，－3)的距离与直线y ＝3的距离相等．由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C (0，－3)为焦点，以y ＝3为准线的一条抛物线，其方程为x 2＝－12y ． 跟踪训练2．(1)【答案】A【解析】由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可得，∴点P 到准线x ＝－12的距离d ＝|PF |，易知点A (0,2)在抛物线y 2＝2x 的外部， 连接AF ，交y 2＝2x 于点P ′，欲使所求距离之和最小，只需A ，P ′，F 共线，∴其最小值为 |AF |＝⎝⎛⎭⎫0－122＋(2－0)2＝172． (2)解：由于位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等．由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，所以p＝1,2p ＝2，故点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)． 类型3 抛物线的实际应用 [探究问题][提示] 以抛物线的顶点为坐标原点，以抛物线的对称轴为坐标轴建系．例3 解：如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意，将B (4，－5)代入方程得p ＝85，∴抛物线方程为x 2＝－165y ．∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航． 设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )， 由22＝－165y A ，得y A ＝－54．又知船露出水面上部分为34米，设水面与抛物线拱顶相距为h ，则h ＝|y A |＋34＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航． 跟踪训练3．解：如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x 轴，竖直直线为y 轴，建立直角坐标系．因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A (10，－2)． 设桥孔上部抛物线方程是x 2＝－2py (p >0)， 则102＝－2p ×(－2)，所以p ＝25，所以抛物线方程为x 2＝－50y ，即y ＝－150x 2．若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x ＝8时， y ＝－150×82＝－1．28，即船体在x ＝±8之间通过，B (8，－1．28)，此时B 点距水面6＋(－1．28)＝4．72(米)． 而船体高为5米，所以无法通行．又因为5－4．72＝0．28(米)，0．28÷0．04＝7， 150×7＝1 050(吨)，所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现在状况下不能通过桥孔．课堂检测1．【答案】A【解析】∵14＋x 0＝54x 0，∴x 0＝1．2．【答案】12【解析】将抛物线y ＝mx 2(m >0)的方程化为标准方程是x 2＝1m y ，所以其焦点是⎝⎛⎭⎫0，14m ，因为抛物线y ＝mx 2(m >0)的焦点与椭圆4y 29＋x 22＝1的一个焦点重合，因此94－2＝⎝⎛⎭⎫14m 2，解得m ＝12． 3．【答案】4【解析】把点(2，－4)代入抛物线y 2＝2px ，得16＝4p ，即p ＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．故点A 到焦点的距离为4．4．解：因为焦点在直线3x －5y －36＝0上，且抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴， 所以焦点A 的坐标为(12,0)或⎝⎛⎭⎫0，－365． 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，求得p ＝24，所以此抛物线方程为y 2＝48x ； 设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，求得p ＝725，所以此抛物线方程为x 2＝－1445y ． 综上所求抛物线方程为y 2＝48x 或x 2＝－1445y ．。

射洪县太和中学高二数学导学案年级：高二 学科：数学 执笔：柴敏 审核：杜高峰 签字: 授课教师： 授课时间： 班级： 课题抛物线及其标准方程 课型 新授课 备注 【学习目标】1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线的方程. 【重点难点预测】重点：抛物线的定义及其标准方程的求法. 难点：抛物线定义及方程的应用. 【学法指导】观察、归纳、数形结合法。

【导学流程】一、课前预习导学（预习教材理P 64~ P 67，文P 56~ P 59找出疑惑之处） 回顾旧知，承上启下复习1：函数2261y x x =-+ 的图象是 ，它的顶点坐标是（ ），对称轴是 ．复习2：点M 与定点(2,0)F 的距离和它到定直线8x =的距离的比是1:2，则点M 的轨迹是什么图形？ 二、探究新知探究1：若一个动点(,)p x y 到一个定点F 和一条定直线l 的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？新知1：抛物线: 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的 距离 的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的 ；直线l 叫做抛物线的 ．思考：如何建立坐标系,使抛物线的方程更简单,其标准方程形式怎样?写出其推导过程新知2：抛物线的标准方程定点F 到定直线l 的距离为p （0p >）．建立适当的坐标系，得到抛物线的四种标准形式： 图形 标准方程 焦点坐标准线方程22y px =,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭2px =-试试：抛物线220y x =的焦点坐标是（ ），准线方程是 ； 抛物线212x y =-的焦点坐标是（ ），准线方程是 ．三、应用探究案探究一 抛物线的标准方程[例1] 求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点M(－6,6)； (2)焦点F 在直线l ：3x －2y －6＝0上．学以致用1:分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点A(2,3)； (2)焦点到准线的距离为52.探究二 抛物线定义的应用[例2] 已知抛物线y2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，对于定点A(4,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时，P 点坐标．学以致用2:已知直线l1：4x －3y ＋6＝0和直线l2：x ＝－1，抛物线y2＝4x 上一动点P 到直 线l1和直线l2的距离之和的最小值是( ) A.355 B ．2 C.115 D ．3探究三 抛物线的实际应用[例3] 一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值．四、总结提升 1．抛物线的定义；2．抛物线的标准方程、几何图形． ■达标测评1．抛物线x ＝4y2的准线方程是( )A ．y ＝12B ．y ＝－1C ．x ＝－116D ．x ＝18 2．抛物线y2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．83．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y2＝4x 的焦点，则实数a ＝________.【知识清单】【自主反思】。

2.3.1 抛物线及其标准方程教学目标1．知识与技能(1)理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其推导．(2)明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．2．过程与方法(1)通过对抛物线和椭圆、双曲线离心率的比较，体会三种圆锥曲线内在的区别和联系．(2)熟练掌握求曲线方程的基本方法，通过四种不同形式标准方程的对比，培养学生分析、归纳的能力．3．情感、态度与价值观引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，体会数学的简捷美、和谐美．教学重点：抛物线的定义及其标准方程的推导．通过学生自主建系和对方程的讨论突出重点．教学难点：抛物线概念的形成．通过条件e＝1的画法设计、标准方程与二次函数的比较突破难点．教学过程问题导思1．用《几何画板》画图，如图，点F是定点，l是不经过点F的定直线．H是l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹．你能发现点M满足的几何条件吗？【答案】点M随着H运动的过程中，始终有|MF|＝|MH|，即点M与定点F和定直线l的距离相等．2．比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何选择坐标系，使所建立的抛物线的方程更简单？【答案】根据抛物线的几何特征，我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K ，并使原点与线段KF 的中点重合，建立直角坐标系xOy (如图所示)．设|KF |=p (p >0)，则焦点F 的坐标为(2p ，0 )，准线l 的方程为x =- 2p . 设M （x ，y ）是抛物线上任意一点，点M 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点M 在抛物线上的充要条件是|MF |=d .因为|MF 22(),2p x y -+.2p d x =+ 所以上述条件转化为坐标表示，就是22().22p px y x -+=+将上式两边平方并化简，得方程①叫做抛物线的标准方程.它所表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上， 坐标是(2p ，0 )；它的准线方程是x = 2p，其中p 是焦点到准线的距离. 典例精析例1：(1)已知抛物线的标准方程是y 2=6x ,求它的焦点坐标和准线方程． (2)已知抛物线的焦点是F (0,-2)，求它的标准方程.解：(1)因为p ＝3，故抛物线的焦点坐标为 3,02（） ，准线方程为3.2x =-(2)因为抛物线的焦点在y 轴的负半轴上,且2,4,2pp ==故所求抛物线的标准方程为x 2=-8y. 练一练1、一抛物线的焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程．22(0).y px p =>①解 设所求抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，则其准线方程为y ＝p2.由抛物线的定义知点M 到焦点的距离等于点M 到准线的距离， ∴p2－(－3)＝5，即p ＝4. ∴所求抛物线的方程为x 2＝－8y .2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y 2＝20x ；(2)2y 2＋5x ＝0；(3)y ＝ax 2(a ≠0)．解 (1)由方程可得抛物线开口向右，且2p ＝20，即p ＝10，所以抛物线的焦点坐标为(5,0)，准线方程为x ＝－5.(2)将方程2y 2＋5x ＝0变形为y 2＝－52x ，焦点在x 轴的负半轴上，又2p ＝52，所以p ＝54，所以焦点坐标为(－58，0)，准线方程为x ＝58.(3)将方程y ＝ax 2(a ≠0)化为x 2＝1ay ，焦点在y 轴上．当a >0时，抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，又2p ＝1a ，所以焦点坐标为(0，14a )，准线方程为y ＝－14a；当a <0时，抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，又2p ＝－1a ，所以焦点坐标为(0，14a )，准线方程为y 1＝－14a .课后检测1．抛物线y 2＝8x 的准线方程是________． 【解析】 ∵p ＝4，∴准线方程为x ＝－2. 【答案】 x ＝－22．顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线经过点(2,2)，则此抛物线的方程为________． 【解析】 设抛物线方程为y 2＝mx ，将(2,2)代入得m ＝2， ∴抛物线方程为y 2＝2x . 【答案】 y 2＝2x3．抛物线y 2＝2x 上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的横坐标是________． 【解析】 准线x ＝－12，∴x M ＋12＝1，∴x M ＝12.【答案】 124．若动点P 在y ＝2x 2＋1上，则点P 与点Q (0，－1)连线中点的轨迹方程是________．【解析】 设P (x 0，y 0)，中点(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2xy 0＝2y ＋1.∵y 0＝2x 20＋1，∴2y ＋1＝2(2x )2＋1，∴y ＝4x 2.【答案】 y ＝4x 25．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________． 【解析】 由抛物线的方程得p 2＝42＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.【答案】 66．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．【解析】 因为椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，故抛物线的焦点为(2,0)，所以p2＝2，解得p ＝4.【答案】 47．抛物线y ＝－14x 2上的动点M 到两定点(0，－1)，(1，－3)的距离之和的最小值为________．【解析】 将抛物线方程化成标准方程为x 2＝－4y ，可知焦点坐标为F (0，－1)， 因为－3<－14，所以点E (1，－3)在抛物线的内部，如图所示，设抛物线的准线为l ，过点E作EQ ⊥l 于点Q ，过点M 作MP ⊥l 于点P ，所以MF ＋ME ＝MP ＋ME ≥EQ ，又EQ ＝1－(－3)＝4，故距离之和的最小值为4. 【答案】 48．求适合下列条件的拋物线方程． (1)顶点在原点，准线x ＝4；(2)拋物线的顶点是双曲线16x 2－9y 2＝144的中心，焦点是双曲线的左顶点． 解 (1)由题意p2＝4，∴p ＝8.∴拋物线方程为y 2＝－16x .(2)双曲线中心为(0,0)，左顶点为(－3,0)， ∴拋物线顶点为(0,0)，焦点为(－3,0)， ∴拋物线方程为y 2＝－12x . 课堂小结图形 标准方程 焦点坐标 准线方程y 2＝2px (p >0)F (p2，0) x ＝－p 2y 2＝－2px (p >0)F (－p2，0)x ＝p 2x 2＝2py (p >0)F (0，p 2)y ＝－p 2x 2＝－2py (p >0)F (0，－p2)y ＝p 2。

《抛物线及其标准方程》教课设计（第一课时）一、教课目的、知识目标① 让学生理解抛物线的观点及与椭圆、双曲线第二定义的联系。

② 让学生掌握抛物线的四种标准方程及其对应的图形。

、能力培育目标① 培育成立合适坐标系的能力。

② 培育学生的察看、比较、剖析、归纳的能力。

、德育培育目标① 培育学生的探究精神② 浸透辩证唯心主义的方法论和认识论教育。

二、教课要点和难点、教课要点：①．抛物线的标准方程。

②．标准方程的形式与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系。

、教课难点：①．应用标准方程的形式与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系解题。

②．培育学生选择合适坐标系的能力。

三、教课方法在详细问题的剖析、指引过程中，依照建构主义教课原理（学生的认知过程是一个同化与顺应的过程），经过类比、对照、和归纳，把新的知识化归到学生原有的认知构造中去（如二次函数与抛物线方程的对照，从移图到合适成立坐标系方法的归纳等）。

四、设计思想：抛物线是学生特别熟习的一种曲线，但对它是知足什么条件的动点的轨迹′却很陌生．为此，可由椭圆与双曲线的第二定义引入课题，再经过“拉线教具”（课件）的演示引入抛物线的定义，这样能够使学生一开始就看到椭圆、双曲N线、抛物线这三种曲线的联系与差别．接着按求曲线方程的步骤推导焦点在轴M 正方向上的抛物线的标准方程．再改变坐标系的成立方式，给出此外三种种类KF 的标准方程．经过形数联合的对照，让学生掌握抛物线的四类标准方程的图形、焦点和准线的地点，辨别它们之间的差别．在解有关抛物线的问题时，要修业′生能快速写出焦点坐标和准线方程，在练习中频频领悟“依形判数”“就数论形”的方法，达到娴熟运用标准方程的技术技巧．教课过程：一、引入在讲抛物线的观点时，由椭圆、双曲线的第二定义（统必定义）引入，提出：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹，当＜时是椭圆，当＞时是双曲线，那么当＝时，又是什么曲线呢？接着，用“拉线教具”（课件）演示．如图，在平板上把三角板较短的直角边紧靠在固定的直尺边沿′上，取一条与另向来角边等长的细线，一端固定在三角板的极点上，另一端固定在平板处，而后用铅笔紧靠三角板的的边沿，把细线轻轻拉紧，并将三角板紧靠直尺沿′挪动，笔尖画出的图形即是抛物线，在此基础上可引入抛物线的定义．二、新授内容：．在“拉线画抛物线”的基础上，提出抛物线的定义，而后推导抛物线的标准方程．（）在推导标准方程以前，第一让学生考虑如何成立坐标系？由定义可知直线是曲线的对称轴，所以把作为轴能够使方程不会出现的一次项，因线段的中点合适条件，即它在抛物线上，所以以的中点为原点，方程中就不会出现常数项，这样成立坐标系，得出的方程比较简单．（）设焦点到准线的距离｜｜＝（＞），这是抛物线方程中参数的几何意义．因为抛物线的 极点是的中点，所以知道了，焦点（p，），准线 xp都能够确立了．因为抛物线的标22准方程中只有一个参数，所以只需一个条件，就能够求出抛物线的标准方程．（）因为是抛物线的焦点到准线的距离，所以永久大于零．这点一定向学生重申．以防备以后设错标准形式，而出现为负值的错误．y．假如选用坐标系使得抛物线的极点在原点，对称y 轴和一条坐标轴重合，那么跟着焦点在轴或轴的正半轴或负半轴的不一样状况（课件演示），指引学生获得四种不一样的抛物线的标准方程：＝，＝－，＝，＝－（＞）．由＝的焦点坐标、准线方程和图形，用类比的方法获得＝O FxF O x－，＝，＝－的焦点坐标、准线方程和图形：lyyllO xF图形FOxl标准＝（＞） ＝－（＞） ＝（＞） ＝－（＞）方程焦点 （ p，）（p，）（， p）（，p ）坐标 2222准线＝ pp＝p＝ p2＝22方程2（）教课中要经过例题说明：＝的焦点坐标（p），准线方程 xp中，p是的 1（其余2224三种标准形式也是这样），如：＝中，＝，p 63．所以焦点坐标是（ 3，），准线方3 24 22程是 x．2（）标准方程有四种形式，要防备以下错误：求过点（－，）的抛物线的标准方程时，设抛物线标准方程为＝，把＝－，＝代入得＝－，所以，抛物线的标准方程为＝－，结果错了，原由是标准方程的设定不全面，正确的思路是依据条件画出表示图，进而确立所求抛物线方程分别为＝（＞）或＝－（＞）．将（－，）分别代入x24y 或＝－．在设所求方程时，3最好用标准方程，此时注意＞．．绘图时，注意不要把抛物线画成是双曲线的一支，双曲线有渐近线，而抛物线没有渐近线，当抛物线上点趋势于无量远时，曲线靠近于和轴平行．．平面内到定点和定直线的距离之比等于常数，当＜＜时，轨迹为椭圆；当＝时，轨迹为抛物线；当＞时，轨迹为双曲线．这就是圆锥曲线的统必定义．三、典范：例．已知抛物线的标准方程是（）＝，（）＝，求它的焦点坐标和准线方程．剖析：这是对于抛物线标准方程的基本例题，要点是（）依据表示图确立属于哪种标准形式，（）求出参数的值．（）已知抛物线的焦点坐标是（，），求它的标准方程。

2.3.1抛物线及标准方程教学目标1.知识与技能：掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程形式，及其对应的焦点、准线.2.过程与方法：掌握对抛物线标准方程的推导，进一步理解求曲线方程的方法——坐标法.通过本节课的学习，提高学生观察，类比，分析和概括的能力.3.情感，态度与价值观：通过本节的学习，体验研究[解析]几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想.教学重点，难点重点：（1）抛物线的定义及焦点、准线；（2）抛物线的四种标准方程和p的几何意义.难点：在推导抛物线标准方程的过程中，如何选择适当的坐标系.教学过程环节一：生活中的抛物线通过真实性情境让学生体会到抛物线的美及其在现实生活中的应用.环节二：问题情境、引入新课问题1：由2.1椭圆例6(第41页）和2.2双曲线例5(第52页），我们可以得到产生椭圆和双曲线的另一种方法：平面内与一个定点F的距离和到一条定直线l的距离的比是常数e 的点的轨迹，当0＜e＜1时，是椭圆；当e＞1时，是双曲线；当e=1时，它是什么曲线？探究一：当e=1时，动点M的轨迹是什么？借助几何画板具有独特的动画效果，教师演示，学生观察①两条线段长度的变化；②观察追踪动点M得到的轨迹形状.对照，类比，联想探索出当e＝1时，动点M的轨迹为抛物线，进而给出抛物线的定义.环节三：抛物线的定义【板书】1.抛物线的定义强调定义的另一种说法：平面内到定点与到定直线的距离的比等于1的点的轨迹叫做抛物线.剖析定义：1.思考：若定点F在定直线l上，则动点M的轨迹还是抛物线吗？若定点F在定直线l上，则动点M的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线.2.抛物线的定义可归结为“一动三定”一个动点，设为M；一个定点F,为抛物线的焦点；一条定直线l，为抛物线的准线；一个定值，即点M到定点F的距离与它到定直线l的距离之比e为定值1.强调：抛物线是圆锥曲线的一种，不是双曲线的一支.环节四：抛物线的标准方程的推导问题2：如何建立直角坐标系，抛物线方程才能更简单，图象具有对称美呢？学生可能有三种建立直角坐标系的方案，在幻灯片中预置学生可能出现的几种建系的方法.为了节省时间，通过幻灯片展示学生可能有三种建立直角坐标系的方案，教师引导学生讨论，这三种建系方案有何不同？提问哪个图象更优美，求得的抛物线方程更简单？学生一目了然，第三种方案图象更优美，求得的抛物线方程更简单.问题3：再观察3个二次函数的图象，哪个具有对称美，形式最简单？要使抛物线的具有对称美，方程最简单，必须使抛物线的顶点在坐标原点，图象关于x 轴或y轴对称.确认选择方案三.问题4：求曲线方程的基本步骤是怎样的？复习了求曲线方程的基本步骤，即用坐标法求曲线方程的基本步骤.5个步骤（1）建系设点（2）列式（3）列方程（4）化简（5）证明环节五：抛物线的标准方程【板书】2.抛物线的标准方程、焦点、准线【板书】3.p（p>0)的几何意义学生结合图形，说出标准方程中p指什么？为什么p>0？指出p的几何意义是：焦点F 到准线l的距离｜FK｜（焦准距）.与椭圆、双曲线的标准方程类似，一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.探究二：若抛物线的开口分别向左、向上、向下，你能根据上述办法求出它的标准方程吗？各组分别求解开口不同时抛物线的标准方程及相应的焦点坐标、准线方程.并填在P58页的表格内，同桌相互交流.问题5：根据上表中抛物线的标准方程的不同形式,如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？问题6：根据上表中抛物线的焦点坐标、准线方程、开口方向的不同，会判断对应的是哪个抛物线标准方程吗？问题7：4种位置的抛物线标准方程的共同点和不同点有哪些？环节六：例题与练习【板书】例题例1.(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点是F(0,−2),求它的标准方程解：（1）p＝3，所以抛物线的焦点坐标是(32，0)，准线方程是x＝－32．（2）因为抛物线的焦点在轴的负半轴上,且p2=2,∴p=4，所以抛物线的标准方程是x2=−8y例2．求分别满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点坐标是F（－5，0）（2）经过点A（2，－3）解：（1）焦点在x轴负半轴上，p2=5，所以所求抛物线的标准议程是y2=−20x．（2）经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：y2=2px,x2=−2py点A（2，－3）坐标代入y2=2px,，即9＝4p，得2p＝92点A（2，－3）坐标代入x2=−2py，即4＝6p，得2p=43∴所求抛物线的标准方程是y2=92x,x或x2=−92y.环节七：课堂小结让学生回答问题总结本节内容：①抛物线的定义②抛物线的标准方程以及相应图象；③解抛物线问题时，要做到先“定位”环节八：作业布置课本P64 1、2环节九：板书设计2.3.1抛物线及其标准方程1.抛物线的定义标准方程的推导过程：例题2.抛物线的标准方程焦点坐标准线方程3.p的几何意义。

抛物线及其标准方程授课者：学生活动〖学习目标及要求〗：1、学习目标：（1）使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．（2）要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．（3）通过观察实物图和一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论．2、重点：抛物线的定义和标准方程．解决办法：通过观察实物图和一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；通过一些例题加深对标准方程的认识．3 难点：运用坐标法建立抛物线的标准方程．〖教学过程〗：一．新课引入：学生观察实物图得出图片的共同性。

由此引入课题，以投篮运动的轨迹联系以前所学的二次函数，引出抛物线有哪些几何特征？二、探究精讲探究一：如图，把一根直尺固定在画图板内直线的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样粉笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，学生观察实物图学生观察画抛物线的过程，得出结论请同学们思考抛物线有怎样的几何特征，并归纳抛物线的定义，教师总结．定义：平面内与一定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 不在定直线上．定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．探究二：抛物线的标准方程设定点F到定直线的距离为，到的距离为d，抛物线是集合||MF|=d}．化简后得：=2＞0．讨论得出抛物线四种形式，完成下表师：如何看焦点的确定焦点位置？椭圆：看分母。

双曲线：看符合。

学生思考讨论建系的各种形式。

学生根据定义求抛物线的标准方程根据以前所学知识将表格补充完整。

学生回忆椭圆和双曲线的确定焦点。

《抛物线及其标准方程》教案《抛物线及其标准方程》教案教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。

下面是小编整理的《抛物线及其标准方程》教案，欢迎大家分享。

《抛物线及其标准方程》教案篇1一、目标1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程3.通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。

并进一步感受坐标法及数形结合的思想二、重点抛物线的定义及标准方程三、教学难点抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）四、教学过程（一）复习旧知在初中，我们学习过了二次函数，知道二次函数的图象是一条抛物线。

例如：（1），（2）的图象（展示两个函数图象）：（二）讲授新课1.课题引入在实际生活中，我们也有许多的抛物线模型，例如1965年竣工的密西西比河河畔的萨尔南拱门,它就是用不锈钢铸成的抛物线形的建筑物。

到底什么样的曲线才可以称做是抛物线？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今天要研究的内容.（板书：课题2.4.1抛物线及其标准方程）2.抛物线的定义信息技术应用（课堂中展示画图过程）先看一个实验：如图：点F是定点，是不经过点F的定直线，H是上任意一点，过点H作，线段FH的垂直平分线交MH于点M。

拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？（学生观察画图过程，并讨论）可以发现，点M随着H运动的过程中，始终有MH=MF,即点M 与定点F和定直线的距离相等。

（也可以用几何画板度量MH，MF的值）（定义引入）：我们把平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。

追问3：如果让点 M 运动起来，怎么满足|MF|=|MH|这个条件不变？这让我们想起熟悉的图形中也有类似的特征，“线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，所以我们连接点 F、H，动点 M 就是线段FH的垂直平分线与定直线 l的垂线的交点.追问4：动点 M 的轨迹是什么形状？拖动点H，点M也随之运动，始终有|MF|=|MH|，即点 M到定点 F的距离等于它到定直线 l的距离，这时我们看到，点 M的轨迹形状与二次函数的图象相似.结合章引言中平面截圆锥的问题，我们想它是抛物线.追问5：当直线 l 经过点 F 时，线段 FH 的垂直平分线 m 与过点 H 的定直线 l 的垂线是什么位置关系？当直线 l 经过点 F 时，动点 M 到定点 F 的距离|MF|就是动点 M 到定直线 l的距离，所以，此时动点 M 的轨迹是过点 F 且与直线 l垂直的直线.所以，直线 l 不经过定点 F .定义：我们把平面内与一个定点 F和一条定直线 l（ l不经过点 F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点 F叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.问题2：类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你能推出抛物线的标准方程吗？建系，设点，列式，化简，检验.追问1：推导曲线的标准方程，首先要建立平面直角坐标系，回顾一下，推导椭圆和双曲线的标准方程是如何建系的？我们在前面的学习中，以椭圆和双曲线的对称轴所在直线为坐标轴，使焦点落在坐标轴上，并且焦点的坐标关于原点对称.追问2：观察抛物线的几何特征，我们要如何建系呢？它只有一条对称轴，并且焦点在对称轴上，所以我们以对称轴所在直线为 x 轴. 追问3：y 轴如何建立？一般来说，同学们会选择以下三种情况中的一种.我选择第二种，我的理由是：设 x 轴与准线 l 的交点为 K ，取线段KF 的垂直平分线为 y 轴，这样点 K 和 F 在 x 轴上的坐标关于原点左右对称.另两种同学们可以进行尝试，然后比较一下哪个方程形式更简单，想想为什么，这三种不同形式的方程是否有联系？ 追问4：如何得出抛物线的方程？如图，设焦点与准线间的距离|KF |=p (p >0)，那么焦点 F 的坐标为02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，准线 l 的方程为2p x =-.根据定义中的动点 M 到定点 F 的距离与它到定直线 l 的距离相等，我们把这句话用数学语言进行翻译.设M(x ，y)是抛物线上任意一点，根据两点间距离公式可得222p MF x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，K xO y lF。

2.3.1抛物线及其标准方程BCA 案青州二中 使用时间：教学目标：1.知识与技能：掌握抛物线的定义，理解焦点、准线方程的几何意义；掌握抛物线的标准方程及其推导过程，并能根据条件写出抛物线的标准方程。

2.过程与方法：通过开口向右的抛物线标准方程的推导过程，进一步理解求曲线方程的方法— 坐标法；培养学生观察、类比、分析、计算的能力。

3.情感、态度与价值观：通过本节的学习，让学生体验研究解析几何的基本思想，进一步体会数形结合的思想。

B 案【自学园地】请同学们完成以下问题：1、想一想现实生活中抛物线的一些具体实例并作出以下函数的图象：1,,222+-=-==x x y x x y x y 的图象。

2、复习回顾求椭圆、双曲线标准方程的基本步骤：（1） （2） （3） （4） （5）3。

认真阅读课本57页—58页，在疑难处做好标记。

C 案【合作探究一】1抛物线定义中如果去掉“F ∈l ”则曲线还是抛物线吗？2。

抛物线标准方程的推导：结论：抛物线的标准方程为：_______________；焦点坐标为_________；准线方程是______ ；焦参数是 。

y o x例1。

（1）已知抛物线的焦点坐标是F（3,0），写出它的标准方程和准线方程。

（2）已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程。

【合作探究二】1。

P的值与标准方程中x的系数、与焦点横坐标的联系。

2。

反馈练习：抛物线x=4y2的准线方程是。

例2、已知点M与点F（4,0）的距离比它到直线l：x+6=0的距离小2，求点M的轨迹方程。

【合作探究三】如何求抛物线的方程？课堂小结A案一、必做题：1.课本P58练习A 1（1），2，4；2. 课本P59练习B 2。

二、选做题：课本P64习题2-3A3（1）。

2.3.1 抛物线及其标准方程问题导学一、求抛物线的标准方程探究1：根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)经过点(－3，－1)；(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．巩固1：动圆P与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且与直线l：x＝1相切，求动圆圆心P 的轨迹方程．二、由抛物线方程求焦点坐标、准线方程探究2：已知下列抛物线的方程，分别求其焦点坐标和准线方程：(1)y2＝8x；(2)2x2＋5y＝0；(3)y2＝ax(a＞0)．巩固2：1．抛物线y＝4x2的焦点坐标为()A ．(1,0)B ．⎝⎛⎭⎫12，0C ．⎝⎛⎭⎫14，0D ．⎝⎛⎭⎫0，116 2．求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过点P (－2，－4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标．三、抛物线定义的应用探究3：(1)设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆(2)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)巩固3：1．若抛物线y 2＝4x 上有一点P 到焦点F 的距离为5，且点P 在直线x ＋y －3＝0的上方，则P 的坐标为__________．2．抛物线x 2＝ay 过点A ⎝⎛⎭⎫1，14，则点A 到此抛物线焦点的距离为__________．四、与抛物线有关的最值问题探究4：已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使|PF |＋|P A |的值最小．巩固4：1．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫14，－1B ．⎝⎛⎭⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2) 2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的一点M 到定点A ⎝⎛⎭⎫72，4和焦点F 的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程．当堂检测1．抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．82．以双曲线22=1169x y -的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝16x B ．y 2＝12x C ．y 2＝－20x D ．y 2＝20x3．已知动点M (x ，y )2|x -，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．以上均不对 4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是__________．5．抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为__________．答案： 【问题导学】探究1： 思路分析：(1)点在第三象限，则抛物线的焦点可能在x 轴的负半轴上，也可能在y 轴的负半轴上，按这两种情况进行讨论；(2)直线与坐标轴的交点有两个，分情况讨论焦点的位置，从而确定抛物线的标准方程．解：(1)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p ＞0)或x 2＝－2py (p ＞0)． 若抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p ＞0)， 则由(－1)2＝－2p ×(－3)，解得p ＝16；若抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p ＞0)， 则由(－3)2＝－2p ×(－1)，解得p ＝92．∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－13x 或x 2＝－9y ．(2)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4， ∴所求抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)． 当焦点为(0，－3)时，p2＝3，∴p ＝6，此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ； 当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x ． ∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x ． 巩固1： 1．解：如图，设动圆圆心P (x ，y )，过点P 作PD ⊥l 于点D ，作直线l ′：x ＝2，过点P 作PD ′⊥l ′于点D ′，连接P A ．设圆A 的半径为r ，动圆P 的半径为R ，可知r ＝1． ∵圆P 与圆A 外切， ∴|P A |＝R ＋r ＝R ＋1．又∵圆P 与直线l ：x ＝1相切， ∴|PD ′|＝|PD |＋|DD ′|＝R ＋1．∵|P A |＝|PD ′|，即动点P 到定点A 与到定直线l ′距离相等， ∴点P 的轨迹是以A 为焦点，以l ′为准线的抛物线． 设抛物线的方程为y 2＝－2px (p ＞0)， 可知p ＝4，∴所求的轨迹方程为y 2＝－8x ．:探究2： 思路分析：解答本题可先把原方程转化为标准方程，求得参数p ，再求焦点坐标和准线方程．解：(1)∵p ＝4，∴所求抛物线的焦点坐标为(2,0)，准线方程是x ＝－2． (2)2x 2＋5y ＝0化为x 2＝－52y ，且抛物线开口向下，∴p ＝54．∴抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－58，准线方程是y ＝58． (3)由于a ＞0，∴p ＝a2，∴抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a 4． 巩固2： 1．D 解析：原方程化为标准方程为x 2＝14y ，焦点在y 轴上，且p ＝18，∴抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116． 2．解：由已知设抛物线的标准方程是x 2＝－2py (p ＞0)或y 2＝－2px (p ＞0)，把P (－2，－4)代入x 2＝－2py 或y 2＝－2px 得p ＝12或p ＝4，故所求的抛物线的标准方程是x 2＝－y 或y 2＝－8x ．当抛物线方程是x 2＝－y 时，焦点坐标是F ⎝⎛⎭⎫0，－14，准线方程是y ＝14． 当抛物线方程是y 2＝－8x 时，焦点坐标是F (－2,0)，准线方程是x ＝2． :探究3： (1)思路分析：利用圆与圆外切、直线与圆相切的几何条件求轨迹． A 解析：由题意知动圆圆心C 到点(0,3)距离与到定直线y ＝－1的距离相等， ∴C 的圆心轨迹是抛物线．(2)思路分析：利用抛物线的定义将|FM |转化为点M 到准线的距离，再利用直线与圆相交的条件求解．C 解析：由抛物线方程为x 2＝8y ，得焦点坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2， 则|FM |等于点M 到准线y ＝－2的距离，∴|FM |＝y 0＋2． 又圆与准线相交，∴|FM |＝y 0＋2＞4．∴y 0＞2．巩固3：1．(4,4) 解析：设P 的坐标为(x 0，y 0)， ∵抛物线方程为y 2＝4x ， ∴准线方程为x ＝－1． ∴|PF |＝x 0＋1＝5．∴x 0＝4． 代入抛物线方程，得y 20＝4x 0＝16， ∴y 0＝±4．又∵P 在直线x ＋y －3＝0的上方， ∴P 的坐标为(4,4)．2．54 解析：把点A ⎝⎛⎭⎫1，14代入抛物线方程得a ＝4，即抛物线方程为x 2＝4y ，准线方程为y ＝－1．由抛物线定义，得|AF |＝1＋14＝54．:探究4： 思路分析：根据抛物线的定义把|PF |转化为点P 到准线的距离，画出图形，通过观察图形，利用“数形结合”的思想即可求出点P 的坐标．解：∵(－2)2＜8×4，∴点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部．如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ， 由抛物线的定义可知：|PF |＋|P A |＝|PQ |＋|P A |≥|AQ |≥|AB |，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时，|PF |＋|P A |取得最小值，即为|AB |．∵A (－2,4)，∴不妨设|PF |＋|P A |的值最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12．故使|PF |＋|P A |的值最小的抛物线上的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，12． 巩固4： 1．A解析：点Q (2，－1)在抛物线内部，如图所示．由抛物线的定义知，抛物线上的点P 到点F 的距离等于点P 到准线x ＝－1的距离，过Q 点作x ＝－1的垂线，与抛物线交于K ，则K 为所求，当y ＝－1时，x ＝14，∴P 为⎝⎛⎭⎫14，－1． 2．解：(1)当点A 在抛物线内部时，42＜2p ·72，即p ＞167时，|MF |＋|MA |＝|MA ′|＋|MA |．当A ，M ，A ′共线时(如图中A ，M ′，A ″共线时)，(|MF |＋|MA |)min ＝5． 故p 2＝5－72＝32⇒p ＝3，满足3＞167， 所以抛物线方程为y 2＝6x ．(2)当点A 在抛物线外部或在抛物线上时，42≥2p ·72，即0＜p ≤167时，连接AF 交抛物线于点M ，此时(|MA |＋|MF |)最小， 即|AF |min ＝5，⎝⎛⎭⎫72－p 22＋42＝25， 72－p 2＝±3⇒p ＝1或p ＝13(舍去)． 故抛物线方程为y 2＝2x ．综上，抛物线方程为y 2＝6x 或y 2＝2x ． 当堂检测1．答案：B 解析：由y 2＝4x 得焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1， ∴焦点到准线的距离为2．2．答案：A 解析：由已知抛物线的焦点为(4,0)， 则设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)． ∴=42p，p ＝8． ∴所求方程为y 2＝16x ．3．答案：C 解析：设F (2,0)，l ：x ＝－2，则M 到F ，M 到直线l ：x ＝－2的距离为|x ＋2||x ＋2|，所以动点M 的轨迹是以F (2,0)为焦点，l ：x ＝－2为准线的抛物线．4．答案：6 解析：由题意知P 到抛物线准线的距离为4－(－2)＝6， 由抛物线的定义知，点P 到抛物线焦点的距离也是6．5．答案：5 解析：由x 2＝4y 知其准线方程为y ＝－1，根据抛物线定义，点A 与焦点的距离等于点A 到准线的距离，其距离为4－(－1)＝5．。

2.3.1 抛物线及其标准方程五河一中杨明朗一、三维目标（一）知识与技能（1）掌握抛物线的定义、几何图形（2）会推导抛物线的标准方程（3）能够利用给定条件求抛物线的标准方程（二）过程与方法通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。

并进一步感受坐标法及数形结合的思想。

（三）情感态度与价值观进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯；同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了情操。

二、教学重点抛物线的定义及标准方程三、教学难点抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）四、教学方法探究式、讲授式五、教学过程1．情景设置、课题导入前几节课我们研究了圆锥曲线中的椭圆和双曲线，大家想一想它们的研究过程？（先给出曲线的定义，再通过合理的建系求出其方程，最后再通过方程用代数方法研究其性质。

这也是解析几何的一般研究过程。

）这节课我们就来按照上两个曲线的研究方法来共同探究最后一个曲线-------抛物线。

（板书课题：2.3.1 抛物线及其标准方程）问题：我们在哪些地方见过或研究过抛物线？1、数学中我们学过二次函数，它的图象是抛物线；2、物理中研究的平抛运动和斜抛运动的轨迹是抛物线或抛物线的一部分，如投篮时篮球的运动轨迹；3、实际生活中如探照灯的轴截面、桥梁的拱形、喷泉的纵截面都是抛物线。

（通过图片让学生直观感受抛物线其实就在我们身边）||2p x =+22(0)y px p =>复习回顾：我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：都可以看作是,在平面内与一个定点F 的距离和一条定直线l 的距离的比是常数e 的点的轨迹. (其中定点F 不在定直线l 上)(1)当0<e <1时,是椭圆; (2) 当e ＞1时，是双曲线; 问题：那么,当e =1时，它又是什么曲线 ？下面我们通过一个实验来具体看一下它到底是什么曲线？请同学归纳总结抛物线的定义 2.抛物线的定义我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

§2.3.1 抛物线及其标准方程【学情分析】：学生已经学习过椭圆和双曲线，掌握了椭圆和双曲线的定义。

经历了根据椭圆和双曲线的几何特征，建立适当的直角坐标系，求椭圆和双曲线标准方程的过程。

【教学目标】：（1）知识与技能：掌握抛物线定义和抛物线标准方程的概念；能根据抛物线标准方程求焦距和焦点，初步掌握求抛物线标准方程的方法。

（2）过程与方法：在进一步培养学生类比、数形结合、分类讨论和化归的数学思想方法的过程中，提高学生学习能力。

（3）情感、态度与价值观：培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想。

【教学重点】：抛物线的定义和抛物线的标准方程。

【教学难点】：（1）抛物线标准方程的推导；（2）利用抛物线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。

【课前准备】：Powerpoint或投影片【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入抛物线的定义1. 椭圆的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a（122F F a）的点的轨迹.2．双曲线的定义：平面内与两定点F1、学生已经学过椭圆和双曲线是如何形成的。

通过类似的方法，让学生了解抛物线的形成，从而理解并掌握抛物线的定义。

F2的距离的差的绝对值等于常数2a（122F F a）的点的轨迹.3．思考：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e>1 时是双曲线．那么，当e＝1时它是什么曲线呢？抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线l的距离相等的点的轨迹。

点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．二、建立抛物线的标准方程如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合．设(0)KF p p=>,则焦点F的坐标为（2p，0），准线的方程为2px=-．设点M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是点的集合{}P M MF d==．∵MF=222px y⎛⎫-+⎪⎝⎭；d=2px+．∴2222p px y x⎛⎫-++⎪⎝⎭＝．化简得：22(0)y px p=>．注：22(0)y px p=>叫做抛物线的标准方程．它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴，坐标是02p⎛⎫⎪⎝⎭，，准线方程是2px=-．探究：抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表。