特殊位置直线投影(正平线)

图2-19 判别C点是否在线段AB上
图2-19 判别C点是否在线段AB上 作图：首先过a作一辅助线ab1，使ab1＝a'b',ac1＝a'c';然后连接b1b，过c1作b1b的 平行线使与ab相交，如果交点与C点的水平投影c重合，则表明C点对AB的分段符合定比 分段法，此时C点在直线段AB上；反之不在直线段AB上。 1.3两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。其中平行和相交两直线均在同一 平面上，交叉两直线不在同一平面上，因此，又称为异面直线。 1. 两直线平行： 相同；反之，若两直线的同面投影都平行，则空间两直线互相平行。如图2-20(a)所示， 因为AB∥CD，则ab∥cd、a'b'//c'd'，且ab：cd= a'b'：c'd'。
1．水平投影积聚为一点 2．正面投影和侧面投影都 平行于Z轴，并反映实长
1．正面投影积聚为一 点2．水平投影和侧面 投影都平行于Y轴，并 反映实长
1．侧面投影积聚为一
侧
点
垂 线
2．正面投影和水平投 影都平行于X轴，并
反映实长
(3) 一般位置直线 一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实长，投 影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角，见图2-17。
影的夹角仍为直角；如果两直线都不平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影 不反映直角。如果两直线相交成直角、且其中有一条直线平行于某一投影面，则两直线在 该投影面上的投影仍然反映直角关系。通常称之为直角投影原理。
2-28所示，AB、BC为相交成直角的两直线，其中BC平行于Ｈ面（即水平线）， AB为一般位置直线。现证明两直线的水平投影ab和bc仍相互垂直，即bc垂直于ab。

一边平行于投影面的直角的投 影特性
例题 3

练习1
练 习 2
练习3
练习4
各种位置的直线的投影及相对位置关系
一、各种位置的直线的投影特性及应用
投影面平行线 投影面垂直线 一般位置直线
二、直线的相对位置关系
相交 平行 交叉
投影特性 及应用
一、特殊位置直线的投影及特性
1. 投影面平行线的投影及其特性：正平 线、侧平线、水平线
2. 投影面垂直线的投影及其特性：正垂 线、侧垂线、铅垂线
二、一般位置直线的投影及其 真长与倾角的图解方法
1. 一般位置直线的投影特性
2. 一般位置的直线的真长与倾角的图解 方法
直角 三角 形法 求直 线实 长的 基本 原理
三、 直线上的点的投影特性
1. 在直线的同面投影上
2. 按比例等分线段
2~4 两直线的相对位置
1. 相交
2. 平行
投影 特性
及
3. 交叉
应用
两相交直线的判断方法
两 相 交 直 线 的 投 影
例 题 1
两 平 行 直 线 的 投 影
例题 2
两交叉直线的空间位置及投影
两交叉直线的投影特性----1
重影点 可见性 的判断
交叉直线的投影----2
二、一边平行于投影面的直角的投影
1. 投影特性 2. 应用：例题：求点A到水平线BC的距 离

§3-2 特殊位置直线的投影
二、投影面垂直线
空间垂直某一投影面的直线称为投影面垂直线。 投影面垂直线分为三种：
铅垂线 (⊥于H 面，∥于V 面和W 面)。
正垂线
侧垂线
(⊥于V 面，∥于H 面和W 面)。
(⊥于W 面，∥于H 面和V 面)。
§3-2 特殊位置直线的投影
二、投影面垂直线
本节结束
§3-2 特殊位置直线的投影
3.侧平线投影特性Fra bibliotek1)a” b” =AB ；
2)反映α、β实角； 3) ab∥OY 轴，a’b’∥OZ 轴。
Z V
a’ b’ X b a A β B
O
实长
β
a’
b’
Z
a”
β
实长
b” YW
a”

b”
X b a Y
O
YH
§3-2 特殊位置直线的投影
一、投影面平行线

归纳投影面平行线的投影特性： 直线在所平行的投影面上的投影反映实长、 投影与相应轴的夹角反映直线与另外两个投影 面的夹角实际大小； 直线的另两个投影平行于相应的轴，且长度 缩短。
二、投影面平行线
2.正平线
投影特性
Z a’
实长
V b’
1)a’b’ = AB ； 2)反映α 、γ实角； 3)ab ∥OX 轴，a’’b’’∥OZ 轴。
实长
a” b” b’ X b Y α
α B
b
A α O a
a’ O
Z
a” b” YW
X
a YH
§3-2 特殊位置直线的投影
一、投影面平行线
实长
V a‘ A X

投影面垂直面
铅垂面
相仿性
a b Z c c β b a o c b
相仿性
a YW
投影面 垂直面的投 影特性是：
X
积聚性
γ
1)在其所垂直的投影面上，投影为斜直 线，有积聚性；该斜直线与投影轴的夹角反映 该平面对相应投影面的倾角； 2)如用平面图形表示平面，则在另外两 个投影面上的投影不是实形，但有相仿性。
作业
• 2－10，2-11，2-12，2-14，2-15
例1 试根据各种位置直线的投影特性判断三棱锥上六 条 棱边为什么位置的直线。 AB为 水平线 SB为 侧平线
V
；BC为 水平线 ； AC为 侧垂线 ； ；SA为一般位置直线 ； SC为 一般位置直线 。
Z
s'
Z
s"
S a'
X
b'
s b
A B
投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 垂直于某一投影面
铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
2.1 一般位置直线
直线与H、V 和W 三投影面的夹角分别用 α、β、γ表示。 投影长分别是： a b = AB cosα
ab = AB cosβ ab=AB cosγ
一般位置直线投影特性
YH
名称 铅垂面 （H）
立体图
投影图
投影特性
1)H投影为斜直线， 有积聚性，且反 映、 大小 2)V、W投影不是 实形，但有相仿 性。 1)V投影为斜直线， 有积聚性，且反 映、大小 2)H、W投影不是 实形，但有相仿 性。
正垂面 （V）
侧垂面
（W）
1)W投影为斜直线， 有积聚性，且反 映、大小 2)H、V投影不是 实形，但有相仿 性。

➢ 若直线上的点分线段成比例，则此点的各投影相应地分该线 段的同面投影成相同的比例，称为定比性。点E分直线AB为 AE 和EB 两段，则有
AE︰EB＝ae︰eb＝a′e′︰e′b′
➢ 当直线为一般位置直线或投影面垂直线时，判断点是否在直 线上，通过两面投影即可
➢ 当直线为投影面平行线时，应根据投影情况通过两面或三面 投影或定比性才能判断
1．ab ⊥OX a″b″⊥OZ
2．ab ＝a″b″＝AB 3．a ′b′积聚成一点
1．a′b′⊥OZ ab ⊥OYH
2．ab ＝a′b′＝AB 3．a″b″积聚成一点
课堂练习
1.当直线与投影面平行时，该投影面上的投影具有（ ） A.积聚性 B.真实性 C.类似性 D.收缩性
2.当直线与投影面垂直时，该投影面上的投影具有（ ） A.积聚性 B.真实性 C.类似性 D.收缩性
在《房屋建筑制图统一标准》中 规定，图线的宽度b宜从下列线宽 中选取：1.4，1.0，0.7，0.5， 0.35，0.25，0.18，0.13 mm。 每个图样应根据图样复杂程度与 比例大小先确定基本线宽b，再选 用表1-6中的相应线宽组。对于图 纸的图框线、标题栏外框线和标 题栏分格线，可采用表1-7所示的 线宽。
项目四
直线的投影
目录 CONTENTS
01 任务一 一般位置直线 02 任务二 特殊位置直线 03 任务三 直线上的点 04 任务四 两直线的相对位置
项目四
直线的投影
技术目标
能够根据直线的三面投影判 断直线的类型
能够判断两直线的相对位置
04
01
知识目标
了解直线的类型
第3页
教学 目标
02
知识目标
掌握一般位置直线、投影 面平行线、投影面垂直线 的投影特性

2．特点 (1)近代中国交通业逐渐开始近代化的进程，铁路、水运和 航空都获得了一定程度的发展。 (2)近代中国交通业受到西方列强的控制和操纵。 (3)地域之间的发展不平衡。 3．影响 (1)积极影响：促进了经济发展，改变了人们的出行方式， 一定程度上转变了人们的思想观念；加强了中国与世界各地的 联系，丰富了人们的生活。 (2)消极影响：有利于西方列强的政治侵略和经济掠夺。
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政 (1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设 ， 邮传邮正传式部脱离海关。 (2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国。邮联大会
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 架台设湾第一条电报线，成为中国自 办电报的开端。
C’
d’ a’
b d
a
a ax
a
az a
ay
历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯 的变化资料
精品课件欢迎使用
[自读教材·填要点]
一、铁路，更多的铁路 1．地位 铁路是 交通建运设输的重点，便于国计民生，成为国民经济 发展的动脉。 2．出现 1881年，中国自建的第一条铁路——唐山 至开胥平各庄铁 路建成通车。 1888年，宫廷专用铁路落成。
正垂线
c(d)
●
d c
xd
c
侧垂线
e f e(f) ●
x
ef
① 投影面垂直线在所垂直的投影面上的投影 必积聚成一个点。
② 另外两个投影 都反映线段实长。且垂直于 相应的投影轴。
2.一般位置直线的投影特性是什么？
b
a
x
a
b
b a
投影特性：

b
YH
9
各种位置直线的投影特性
一般位置直线（投影面倾斜线）
与三个投影面都倾斜的直线。
投影特性：
b Z
b
三个投影都是缩短了的倾
斜线段, 都不反映空间线段的
a
a
实长及与三个投影面的倾角。
X
O
YW
思考：从属于投影面及投影轴的
a
直线的投影特性是什么？其投影
b YH
如何作图？
2021/4/22
10
例1:根据投影图，判断下列直线的空间位置。
8
垂直线的投影投特影性面：垂直线
1、在V其所垂直的投影面上的投V 影，积聚为一点； 2直、于在相其应它a'b的'B两投个A影投轴b影"。面a" 上的投影，a'反A映实b' B长b，"a" 且垂
正
b
垂
a
线 a'b'
Z
b"
a"
侧
a
b
垂
线
a'
Z b'
b"a"
X
O
YW
b
X
YW
O
a YH
2021/4/22
a
求出侧面投影后可知：
AB与CD不平行。
2021/4/22
32
例13 判断两直线重影点的可见性。
1 3(4) 2
O
4 3 1(2)
2021/4/22
33
例14： 求作水平线L，使其距H面的距离为 a'
X
a
b'
d'
c'

一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
上页
下页
返回
正平线
Z V a' A b' a" W B b H YH b" a b a b' α a' a"
γ
b" YW
X
正面投影反映直线实长，投影与投影轴的夹角反映α 和γ 。 其余两投影平行于相应的投影轴。
上页 下页 返回
水平线
Z V b' B A a' b" b' a' b" a"
Con 1: 两直线空间垂直. Con 2: 有一条线为投影面平行线 Then: 在所平行的投影平面上的投影相互 垂直。
上页
下页
返回
[例] ：已知AB与CD垂直相交，试补全直线CD的两面投影 b' d'
a'
c'
a
d
b
c
上页
下页
返回
[例]：求AB、CD交叉两直线的公垂线。 a' d'
1' 2'
c'
上页
下页
返回
[例] ：通过点C做水平线，与直线AB 相交。
先做V面投影
b c● a k d
a
c
d
k
●
b
上页
下页
返回
[例] 如图，判断直线AB与CD是否相交。
c' b' d' d" a" c" b"
X
a' a d
O
c
b
直线AB与CD不相交
上页 下页 返回

2.投影面垂直线
正垂线
立 体 及 其 三 视 图
投 影 轴 测 图
直 线 投 影 图
直线的投影
铅垂线
侧垂线
投影特性： 在所垂直的
投影面上的投影 积聚为一点；
另外两个投 影反映实长，且 垂直于相应的轴。
直线的投影 二、直线对投影面的各种相对位置及投影特性
3.一般位置直线 对三个投影面都是倾斜的直线称为一般位置直线。
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位 置直线则不能。
用直角三角形法求一般位置直线的真长和倾角。
ΔABD为直角三角形，
其中AB为实长，AD=ab，α
为AB对H面的倾角，BD=Bb-
Db=b＇bX- a＇aX=ΔZ（直 线段AB两端点的Z坐标差）。
D
因此，已知ＡＢ投影，可以
通过ab和ΔZ作辅助直角三
角形求出AB及α角。
直线的投影 三、用直角三角形法求直线的真长及对投影面的倾角
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位 置直线则不能。
用直角三角形法求一般位置直线的真长和倾角。
D
直线的投影 三、用直角三角形法求直线的真长及对投影面的倾角
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位 置直线则不能。
在两直线交叉垂直时，也同样具有上述特性。
直线的投影 六、一边平行于投影面的直角的投影
例5: 如图a所示，求点A到直线BC的距离AK。
分析：由图可知BC∥V面，而AK⊥BC，故根据直 角投影定理可得：a′k′⊥b′c′。
图a
用直角三角形法求AK的实长
投影。投影用粗实线绘制。
直线的投影

事实上，只要空间直线的任意两个投影都呈 倾斜状态，则该直线一定是一条一般位置直线。
13
直角三角形法
直角三角形法的四要素：投影长、坐标差、实长、 倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。 解题
时，直角三角形画在任何位置都不影响解题结果，但用哪个长 度来作直角边不能搞错。 如图所示，在各个直角三角形中，实长与水平投影的夹角是α， α的对边长一定是Z坐标差；实长与正面投影的夹角是，的 对边长一定是Y坐标差；实长与侧面投影的夹角是， 的对边 一定是X坐标差。直线对H、V、W三投影面的倾角为α、、 。
3、一般位置平面
——与三个投影面都倾斜的平面。
16
（1）正垂面
投影特性：（一线两框）
1、正面投影abcd积聚为一倾斜于投影OX、OZ的直线。 2、abcd、abcd 具有类似性，PH OX轴，PWO轴 3、abcd与OX、OZ轴的夹角反映α、 角的真实大小
Z V
Z
γ
14
（二）各种位置平面的投影特性
在三面投影体系中，根据平面与投影面所处的相 对位置不同有如下分类:
平面
特殊位置平面 一般位置平面
投影面平行面 投影面垂直面
15
各种位置平面的三面投影
平面对H、V、W三投影面的倾角是指平面与投影面之间的
夹角，分别用α、、
1、投影面的垂直面
——与一个投影面垂直，而与另两个倾斜的平面。
X
O
βγ
β γ
H Y
YH
18
（3）侧垂面
投影特性：（一线两框）
1、侧面投影 abcd积聚为一倾斜于投影OYW、OZ的直线。 2、abcd、abcd 具有类似性,PH OYH,PVOZ轴 3、 abcd与OZ、OYW轴的夹角反映、α角的真实大小

2． a b、ab、a b 均倾斜于投影轴
b A
a
3． a b、ab、a b 与投影轴夹角不 反映
、 、大小
5
a
Y
直线的投影
二、各类位置的直线的投影特性
1、一般位置直线 一般位置直线的投影图
Z
b
b
一般位置直线的投影特性为：
a
a
① 其三面投影均与投影轴倾斜，且小于
X
O
YW
线段的实长。
b
② 各投影与投影轴的夹角均不反映一般
A
a

B
b
X
O
a
b
Y
16
直线的投影
二、各类位置的直线的投影特性
3、投影面垂直线 正垂线的投影图
正垂线上所有点的X坐标相等、 Z坐标相等。
(a)b
z a
b
X
O
YW
a
投影特性： 1． ab 积聚成一点
b
2． ab OX ; ab OZ
YH
3． ab = ab =AB
17
直线的投影
二、各类位置的直线的投影特性
b
B
b
Y
直线的投影
二、各类位置的直线的投影特性
2、投影面平行线 侧平线的投影图
侧平线上所有点的X坐标相等。
a
Z a
b
b
X
O
YW
a
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
b
2． ab =AB 3． ab与Y轴、Z轴夹角反映 、 角的大小
YH
13
直线的投影
二、各类位置的直线的投影特性
2、投影面平行线
3、投影面垂直线 侧垂线的投影图

●
●
a●
●
a
●
b
一般情况下， 直线对一个投影面的投影特性
A
●
b 直线的投影
●
仍然为直线，特殊情况为一 α M A A B个点。
B ●
● ● ● ●
●
B
●
a≡b≡m
●
●
b
a●
b
a●
直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性
直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcosα
a X A a
b a X b a Y a YH O

O b
b YW
|XA-XB|
直角三角形的作图要点: 直角三角形中,斜边为线段的实长,两直角边分别为线 段的投影及坐标差,如图
α
△Z
AB
β
△Y
AB
γ
△X
ab
a ' b'
a ' ' b' '
每个直角三角形中，三条边和直线对投影面的倾角 共四个参数，只要知道其中任意两个，就能求出其余两个
例１： α角的正确求法是（
b′
）图
b′ b′
α
a′
a′ a′
a
α
a
a
α
b (a)
b
b
(b)
(c)
例题2 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。 AB b |zA-zB|
AB |zA-zB|
a X

ab b
ab
a
例3 已知直线AB的水平投影ab及a′，且α=30°，用直角三角 形法完成其正面投影。

直观图 直线的迹点及其作图方法
投影图
特殊位置直线的投影 §3.2 特殊位置直线的投影 特殊位置直线包括投影面平行线和投影面垂直线。和一个投影面平行， 特殊位置直线包括投影面平行线和投影面垂直线。和一个投影面平行，而与另两投 影面倾斜的直线，叫投影面平行线；和一个投影面垂直， 影面倾斜的直线，叫投影面平行线；和一个投影面垂直，而与另两投影面平行的直 叫投影面垂直线。 线，叫投影面垂直线。 1．投影面平行线：（ ） ．投影面平行线：（1） ：（ 正平线（ 正平线（∥V、∠H、 、 、 ；（2） ∠W）的投影；（ ）水 ）的投影；（ 平线（ 平线（∥H、∠V、∠W） 、 、 ） 的投影；（ ；（3） 的投影；（ ）侧平线 （∥W、∠V、∠H）的 、 、 ） 投影。 投影。 投影特性： 直线在所平 投影特性：a.直线在所平 行的投影面上的投影反映 实长和直线对另两投影面 的倾角； 其它两面投影 的倾角；b.其它两面投影 平行于相应的投影轴， 平行于相应的投影轴，且 长度缩短。 长度缩短。
例：按给定的投影轴求作 、 两点的辅助投影， 点 的正面投影 及点 的水平投影 。
[例]按指定投影轴求作 、 两点的 面投影 、 ， 面投影 、 。(二次投影变换）
2、直线的投影变换 、 a.将一般位置直线变换成投影面平行线（只需一次变换） 将一般位置直线变换成投影面平行线（只需一次变换） 将一般位置直线变换成投影面平行线
例 已知两交叉直线 、 的 面和 面投影，求作它们 的 面投影，分别标出三对重影点的三面投影符号，并表 明可见性。
例（相交直线）： 相交直线）：
[例]作水平线
与
、
、 都相交。
垂直相交两直线一边平行于投影面的投影（直角的投影） §3.5 垂直相交两直线一边平行于投影面的投影（直角的投影） 投影特性（直角投影定理）：垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时， ）：垂直相交的两直线 投影特性（直角投影定理）：垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时， 则两直线在该投影面上的投影相交成直角。反之， 则两直线在该投影面上的投影相交成直角。反之，相交两直线在某一投影面的投影 相交成直角，且两直线中有一直线平行于投影面时，则该两直线在空间必垂直相交。 相交成直角，且两直线中有一直线平行于投影面时，则该两直线在空间必垂直相交。

z a
b
B
b
X
O
YW
X
O
a
a
b
Y b
（2）正垂线— 垂直于正立投影面的直线
YH
投影特性： ① a b 积聚 成一点
② ab OX ; a b OZ
③ ab = a b =AB
11
建筑制图与识图
Z
a
b
土木工程学院
a
b Z
a（b）
a（b）
A
B
X
O
YW
X
O
a
a
bY
b YH
（3）侧垂线— 垂直于侧立投影面的直线
投影特性：① ab 积聚 成一点
② ab OYH ; ab OZ
③ b = ab =AB
12
建筑制图与识图
从属于V 投影面的铅垂线
Z
a
A
a
a
土木工程学院
Z
a
B
b
X a(b)
b
O
b
b
X
O
YW
a(b)
Y
YH
13
建筑制图与识图 2.5.2 一般位置直线
土木工程学院
(1)直角三角形法求一般位置线段实长 及其对投影面倾角的空间分析
投影特性： ① ab OX ; a b OZ
② a b=AB
③ 反映、角的真实大小
6
建筑制图与识图
Z
a
A
a
土木工程学院
a
Z
a
SCAB
b
b
b
SCAB
X
O
YW
X
O
a
a
b

② 另外两个投影，反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。
2021/2/4
1
17
⑶ 一般位置直线
b
b
投影特性：
a
三个投影都缩短。即:
a
都不反映空间线段的实长及
与三个投影面夹角的实大，
a
且与三根投影轴都倾斜。
b （1）ab, a’b’, a’’b’’对于三个投影轴既不平行也 （2） ab, a’b’, a’’b’不’垂都直较空间线段AB缩短了。
2021/2/4
1
19
二、三角形法：一般位置直线的实长求法
YB-YA
b′
ZB-ZA ZB-ZA
V
a
A
b
A0
β
B
α B0
bH
a′
a α
实长
b
2021/2/4
1
20
对Ｈ面倾角和实长
a
X
2021/2/4
b
B
|zA-zB|
a
X O
C
A
b
a
a
AB
ab
1
|zA-zB|
b
AB
|zA-zB|
ab
b
AB
|zA-zB |
2021/2/4
d
1
c
实长
d
24
直角三角形法要点
1、角度、投影、坐标差和投影之间的对应关系
α角——水平投影——z坐标差——线段实长 β角——正面投影—— y坐标差——线段实长 γ角——侧面投影——x坐标差——线段实长
2、投影、坐标差、实长和角度四个要素知 道其中二个就可以求其它二个
3、解题时，直角三角形画在任何位置，都不影响 解题结果。但用哪个长度来作直角边不能搞错

Y
返回点目录
返回目录
（一）点的投影规律
Z
V
a
az
X
ax
A
a'
OW X
a H
ay Y
a
ax a
Z
az
a'
ay
O
YW
ay YH
返回点目录 返回目录
（一）点的投影规律
Z
水平投影和正面投影的连线
垂直于OX轴（长对正）
a az
a
'
正面投影和侧面投影的连线
X ax
O
ay 垂直于OZ轴（高平齐）； YW 水平投影到OX轴的距离等于
WX
O
p"
O
YW
p
p
H Y
YH
返回面目录
返回目录
侧平面的投影特性
Z
侧面投影反映实形； 水平投影和正面投影 积聚为一条直线并平 行于相应的投影轴。
V
Z
p'
p'
p"
P
p" W X
X
O
p
p
H Y
O
YW
YH
返回面目录
返回目录
投影面平行面的投影特性
投影面平行面的投影特性可概括如下： （1）平面在它所平行的投影面上的投影反映实形； （2）平面在另外两个投影面上的投影积聚成直线，且 分别平行于相应的投影轴。 图示特点：一面两线
Y
返回点目录
返回目录
（二）点的投影与直角坐标的关系
a’
z x
ya
z xy
o
x
空间点A到H面的距离
为坐标值Z
a”