高数(二)试题与解答

模拟试卷一―――――――――――――――――――――――――――――――――― 注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。

（本卷考试时间100分） 一、单项选择题（每题3分，共24分）1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线111231:-+=+=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上（C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1123lim0xy xy y x （ ）（A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ∂∂∂2及xy z∂∂∂2在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的（ ）条件.（A ）必要条件 （B ）充分条件（C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设⎰⎰≤+=ay x d 224πσ，这里0 a ，则a =（ ）（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知()()2y x ydydx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）16、曲线积分=++⎰L z y x ds222（ ），其中.110:222⎩⎨⎧==++z z y x L（A ）5π（B ）52π （C ）53π （D ）54π7、数项级数∑∞=1n na发散，则级数∑∞=1n nka（k 为常数）（ ）（A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散（C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ）（A ）21C x C y += （B ）C x y +=2（C ）221C x C y += （D ）C x y +=221 二、填空题（每空4分，共20分）1、设xye z sin =，则=dz 。

2、交换积分次序：⎰⎰-222xy dy e dx = 。

武科大-2009级多学时高数（二）期末试题与解答A2009级本科高等数学（二）期末试题与解答 A（本科、理工类多学时）、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1 •偏导数f x （x, y ）和f y （x,y ）在（x °,y 。

）处连续是函数f （x, y ）在该点全微分存在的（A ） A.充分条件； B. 必要条件； C.充要条件； D.无关条件•2.二重积分I 二f （x, y ）d 二，化为极坐标系下的二次积分为 （D ）x 21 O y 2 -2 xA. 2-d 0 f(rcos<\rsin Rdr ;2B. 2-：d of(rcos<\rsinv)rdr ;222x （y - 0），线密度为'（x, y ） = x y ，则其质量为（B ）JI2cos 日C. 心d° J f(rcos^,rsin日)dr2：d 「-—I_22cosVf (r cos 日,rsin 日)rdr . 2 23.现有一半圆弧构件L : x yA.二;B. 2-;C.2 2:x yI4•若曲面- z 2D. 8 .，则 (x^ y 2 z 2)dS =( C )A. pa 4;B.2pa 4;C.4pa ; D. 6pa 4.2 25•已知函数f (x y, xyp x y 则辿4也2辺 B ），则；x: y（）n ±7.幂级数2的收敛半径为R 二收敛于一2A. 2x 2y ;B.2x - 2 ； C .2x-2y ； D. 2x 2.、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）x 3 y 2 z 一与平面x-2 1 6•直线32y 2z Q = Q 的交点为(o, -4,1).8•设f （X ）是周期为JI|x,（0的周期函数，它在区间（0/ ］上定义为f （x ）二H，则 f （x ） 的傅立叶级数在兰x 兰兀）J I9.变换积分次序J 。

高数二试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列函数中，哪一个不是周期函数？A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)2. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的零点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 33. 若f(x) = 2x - 1，求f(3)的值是：A. 5B. 4C. 3D. 24. 曲线y = x^3 - 2x^2 + x在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. -1C. 1D. 25. 以下哪个选项是定积分∫(0,1) x^2 dx的结果？A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/4二、填空题（每题2分，共10分）6. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，则f'(x) = __________。

7. 函数y = √x的导数是 y' = __________。

8. 曲线y = x^2 + 1与x轴所围成的面积是 __________。

9. 定积分∫(0,2) e^x dx的值是 __________。

10. 若f(x) = sin(x) + cos(x)，则f''(x) = __________。

三、解答题（每题10分，共40分）11. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5在区间[-1, 2]上的最大值和最小值。

12. 证明函数f(x) = x^3 - 3x在区间(-∞, +∞)上是增函数。

13. 求曲线y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2在点(1, 4)处的切线方程。

14. 计算定积分∫(1, e) (2x + 1) / x dx。

四、证明题（每题15分，共30分）15. 证明函数f(x) = x^2 + 2x + 3在区间[-1, 1]上是凹函数。

16. 证明定积分∫(0, 1) x * sin(πx) dx = 1/π。

答案：一、选择题1. C2. C3. A4. C5. A二、填空题6. 3x^2 - 12x + 97. 1/(2√x)8. 1/39. e^2 - 110. -2sin(x) - 2cos(x)三、解答题11. 最大值：f(2) = 11，最小值：f(-1) = -1012. 证明略13. 切线方程：y - 4 = 4(x - 1)，即4x - y - 4 = 014. 结果：1 - 1/e^2四、证明题15. 证明略16. 证明略。

高等数学（下）期末试卷参考答案一、单项选择题(每题２分，总计１０分）。

1、),(00y x f x 和),(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 连续的（ )。

A 。

必要非充分的条件；B 。

充分非必要的条件;C 。

充分且必要的条件；D 。

即非充分又非必要的条件。

3、设)ln(222z y x u ++=,则)(u grad div ＝（ ）.A 。

2221z y x ++；B 。

2222z y x ++；C.2222)(1z y x ++；D 。

2222)(2z y x ++ 3、设D 是xoy 面上以)1,1(),1,1(),1,1(---为顶点的三角形区域,1D 是D 中在第一象限的部分，则积分⎰⎰+D d y x y x σ)sin cos (33＝（ ）A.σd y x D ⎰⎰1sin cos 23； B 。

⎰⎰132D yd x σ； C.⎰⎰+1)sin cos (433D d y x y x σ; D.04、设∑为曲面)0(222>=+R R y x 上的10≤≤z 部分,则⎰⎰∑++dS y x ey x )sin(2222＝( ）.A 。

0； B.2sin Re R R π; C 。

R π4； D 。

2sin Re 2R Rπ5、设二阶线性非齐次方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''有三个特解x y =1，x e y =2，x e y 23=，则其通解为( ）.A.x x e C e C x 221++;B.x x e C e C x C 2321++；C 。

)()(221x x x e x C e e C x -+-+；D 。

)()(2221x eC e e C x x x -+-二、填空题（每题３分，总计１５分）。

1、函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值,则常数a ＝______。

2023年成人高考专升本高等数学二试题（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高数二试题模拟及答案解析一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，满足f(-x) = -f(x)的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)答案：C解析：根据奇函数的定义，f(-x) = -f(x)。

选项A是偶函数，选项B和D不满足奇函数的性质，只有选项C满足。

2. 若函数f(x) = ln(x^2 - 1)的定义域为：A. (-∞, -1] ∪ [1, +∞)B. (-∞, -1) ∪ (1, +∞)C. (-∞, -1) ∪ [-1, 1) ∪ (1, +∞)D. (-∞, -1] ∪ (-1, 1) ∪ [1, +∞)答案：B解析：对数函数的定义域要求真数大于0，即x^2 - 1 > 0，解得x < -1或x > 1。

...（此处省略其他选择题，共10题）二、填空题（每题4分，共20分）1. 若曲线y = x^3在点(1,1)处的切线斜率为3，则该切线的方程为______。

答案：y = 3x - 2解析：首先求出y = x^3的导数y' = 3x^2，然后代入x = 1得到切线斜率k = 3。

利用点斜式方程y - 1 = k(x - 1)，得到切线方程。

2. 设数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，则该数列的前n项和Sn = ______。

答案：n^2解析：数列{an}是等差数列，首项a1 = 1，公差d = 2。

利用等差数列前n项和公式Sn = n(a1 + an)/2，代入得Sn = n(1 + (2n - 1))/2 = n^2。

...（此处省略其他填空题，共5题）三、解答题（共50分）1. （10分）计算定积分∫[0,1] x^2 dx。

答案：1/3解析：根据定积分的计算公式，∫[0,1] x^2 dx = (1/3)x^3|[0,1] = (1/3)(1)^3 - (1/3)(0)^3 = 1/3。

2004年成人高考专升本高等数学二考试真题及参考答案一、选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

第1题参考答案：A第2题参考答案：D第3题参考答案：D第4题第5题参考答案：C二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填写在题中横线上。

第6题参考答案：1第7题参考答案：0第8题参考答案：1第9题参考答案：2/x3第10题参考答案：-1第11题参考答案：0第12题参考答案：e-1第13题参考答案：1第14题参考答案：-sinx 第15题三、解答题：本大题共13个小题，共90分，解答应写出推理、演算步骤.第16题第17题第18题第19题第20题第21题第22题第23题第24第25题第26题第27题第28题2005年成人高考专升本高等数学二考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

第1题参考答案：D第2题第3题参考答案：C 第4题参考答案：B 第5题参考答案：D 第6题参考答案：B 第7题第8题参考答案：A第9题参考答案：D第10题参考答案：B二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填写在题中横线上。

第11题参考答案：2第12题参考答案：e-3第13题参考答案：0第14题参考答案：4第15题参考答案：2第16题第17题参考答案：0第18题参考答案：1/2第19题参考答案：6第20题三、解答题：共70分。

解答应写出推理、演算步骤。

第21题第22题第23题第24题第25题第26题第27题第28题2006年成人高考专升本高等数学二考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

第1题参考答案：D 第2题参考答案：B 第3题参考答案：D 第4题参考答案：A 第5题参考答案：C第6题参考答案：C 第7题参考答案：C 第8题参考答案：A 第9题参考答案：B 第10二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填写在题中横线上。

2010成人高考专升本高数二真题及答案解析一、选择题：1－10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将近选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上。

确答案：A【解析】根据函数的连续性立即得出结果【点评】这是计算极限最常见的题型。

在教学中一直被高度重视。

正确答案：【解析】使用基本初等函数求导公式【点评】基本初等函数求导公式是历年必考的内容，我们要求考生必须牢记。

正确答案：C【解析】使用基本初等函数求导公式【点评】基本初等函数求导公式是历年必考的内容，我们要求考生必须牢记。

【答案】D【解析】本题考查一阶求导简单题，根据前两个求导公式选D正确答案：D【解析】如果知道基本初等函数则易知答案；也能根据导数的符号确定【点评】这是判断函数单调性比较简单的题型。

正确答案：A【解析】基本积分公式【点评】这是每年都有的题目。

【点评】用定积分计算平面图形面积在历年考试中，只有一两年未考。

应当也一直是教学的重点正确答案：C【解析】变上限定积分求导【点评】这类问题一直是考试的热点。

正确答案：D【解析】把x看成常数，对y求偏导【点评】本题属于基本题目，是年年考试都有的内容【点评】古典概型问题的特点是，只要做过一次再做就不难了。

二、填空题：11－20小题，每小题4分，共40分，把答案写在答题卡相应题号后。

【解析】直接代公式即可。

【点评】又一种典型的极限问题，考试的频率很高。

【答案】0【解析】考查极限将1代入即可，【点评】极限的简单计算。

【点评】这道题有点难度，以往试题也少见。

【解析】求二阶导数并令等于零。

解方程。

题目已经说明是拐点，就无需再判断【点评】本题是一般的常见题型，难度不大。

【解析】先求一阶导数，再求二阶【点评】基本题目。

正确答案：2【解析】求出函数在x=0处的导数即可【点评】考查导数的几何意义，因为不是求切线方程所以更简单了。

【点评】这题有些难度。

很多人不一定能看出头一步。

2024年硕士研究生考试高数(二)试题
一、选择题：
1. 设函数f(x)在点x=0处连续，且lim(x→0) f(kx)/x^2 = 2，则k的值为（）。

A. 2 B. -2 C. 1/2 D.不存在
2. 设函数f(x)在点x=x0处可导，且f'(x0)存在，则下列结论正确的是（）。

A. 函数f(x)在点x=x0处一定有极值B. 函数f(x)在点x=x0处一定有最小值 C. 函数f(x)在点x=x0处一定有最大值 D. 函数f(x)在点x=x0的某邻域内可能无极值
二、填空题：
3. 根据多元函数的极值求解原理，如果z=(x+y)^3+4xy+4，则z取得极大值时，变量x与y应满足_____。

三、解答题：
4. 设函数f(x)在区间[-1,3]上连续，在(－1,3)内可导，且f(－1)=f(3)=0，又f’(x)<f(x)，求证：在区间(－1,3)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=－f’(ξ)。

以上是2024年硕士研究生考试高数(二)试题的部分内容，完整试题请根据考试要求自行编制。

2024级本科高等数学（二）期末试题与解答A（本科、经管类）一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．到两点(1,1,0)A -和(2,0,2)B -距离相等的点的轨迹为（ C ）.A ．230x y z ---=；B ．230x y z +-+=；C ．230x y z +--=；D ．230x y z ++-=．2．微分方程2x y y y e x '''-+=+的非齐次特解形式可令为（ A ）.A ．2x Ax e Bx C ++；B ．x Ae BxC ++；C ．2()x Ae x Bx C ++；D ．x Axe Bx C ++．3．函数22(,)(4)(6)f x y y y x x =--的驻点个数为（ B ）.A.9；B. 5；C. 3；D. 1.4．设D 是xoy 面上以)1,1(),1,1(),1,1(---为顶点的三角形区域，1D 是D 中在第一象限的部分，则积分⎰⎰+Dd y x y x σ)sin cos (33＝（ D ）.A.σd y x D ⎰⎰1sin cos 23；B.⎰⎰132D yd x σ；C.⎰⎰+1)sin cos (433D d y x y x σ； D.0.5．下列级数中，绝对收敛的级数为( C ). A. 111(1)n n n ∞-=-∑；B. 1(1)n n ∞-=-∑； C.111(1)3n n n ∞-=-∑；D. 11(1)n n ∞-=-∑ . 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6．函数22(,)arcsin()ln f x y x y =+-的连续域为221(,)12x y x y ⎧⎫<+≤⎨⎬⎩⎭． 7．2211(),lim(2)n n n n x y a a d πσ∞→∞=+≤-+=∑⎰⎰设级数收敛则3π ．8．设ln(ln )z x y =+，则1z z y x y ∂∂-=∂∂ 0 ． 9．交换420(,)dy f x y dx ⎰积分次序得2200(,)x dx f x y dy ⎰⎰ ．10．投资某产品的固定成本为36（万元），且成本对产量x 的改变率（即边际成本）为()240C x x '=+（万元/百台），则产量由4（百台）增至6（百台）时总成本的增值为100万元． 三、试解下列各题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）11．求解微分方程2xy y y '-=满意初始条件11x y==的特解. 解：分别变量得d d (1)y x y y x=+ （2分） 两端积分得lnln ln 1y x C y =++，即1y Cx y =+ （5分） 由11x y ==，得12C =故所求通解为 21y x y =+或2x y x=- （8分） 12．设()y x z z ,=由方程3=-+z xy e z所确定，求221x y z zx ===∂∂及221x y z z y ===∂∂.解：令3),,(--+=z xy e z y x F z ，则y F x =，x F y =，1-=z z e F （4分） 所以ze y x z -=∂∂1，z e x y z -=∂∂1221x y z zx ===∂=∂，221x y z z y ===∂=∂. （8分） 13．(,),,.x y y z z z f e f x x y-∂∂=∂∂且可微求， 解：122x y z y e f f x x -∂''=-∂ （4分） 121x y z e f f y x-∂''=-+∂ （8分） 14．设(,)sin()f x y x x y =+，求(,)22xx f ππ，(,)22yy f ππ. 解：sin()cos()x f x y x x y =+++，cos()y f x x y =+ （2分） 2cos()sin()xx f x y x x y =+-+ （4分）sin()yy f x x y =-+ （6分） (,)222xx f ππ=-，(,)022yy f ππ= （8分） 15．求幂级数1n n nx ∞=∑的收敛区间与和函数.解：收敛半径为1R =，收敛区间为(1,1)- （2分）111n n n n nxx nx ∞∞-===∑∑，令11()n n S x nx ∞-==∑,则 （4分） 10011()()1xx n n n n x S x dx nx dx x x ∞∞-=====-∑∑⎰⎰ （6分） 所以在(1,1)-内201()(())()1(1)x n n x x nx xS x x S x dx x x x ∞=''====--∑⎰ （8分） 16．dxdy e I Dy ⎰⎰=2，其中D 是第一象限中由直线x y =与曲线3x y =所围成的闭区域. 解：22310y y y y D I e dxdy dy e dx ==⎰⎰⎰⎰ （3分）2130()y y y e dy =-⎰ （5分） 112e =- （8分）四、试解下列各题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）17．某种产品的生产原料由,A B 构成，现投入原料,A B 各,x y 单位，可生产出产品的数量为20.01z x y =.,A B 原料的单价分别为10元和20元，欲用3000元购买原料，问两种原料各购买多少单位时，使生产数量最大？解：目标函数：20.01z x y =，约束条件： 1020300x y +=设2(,,)0.01(1020300)F x y x y x y λλ=++- （2分） 20.021000.0120010203000x y F xy F x x y λλ=+=⎧⎪=+=⎨⎪+-=⎩（4分） 消去λ解得：200,50x y ==当A 原料购买200单位，B 原料购买50单位时，生产数量最大.（6分）18．由抛物线21(0)y x x =-≥及x 轴与y 轴所围成的平面图形被另一抛物线2(0)y kx x =≥分成面积相等的两部分，试确定k 的值．解：两抛物线的交点为)1k P k+，则2210)A x kx dx =--=（2分） 而12112022(1)3A A A x dx =+=-=⎰ （4分）所以23= 解得3k =． （6分） 五、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）19．证明级数2211ln 1sin 7n n n n π∞=⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑发散. 证明：记221ln 1sin 7nn u n n π⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是 221lim lim ln 1lim sin 17n nn n n n u n π→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故级数发散. （5分） 20．设(,)z z x y =由方程222()z x y z yf y ++=所确定，其中f 可导. 试证：222()22z z x y z xy xz x y∂∂--+=∂∂ 证明：令222(,,)()z F x y z x y z yf y=++-，则 2x F x =，2()()y z z z F y f f y y y '=-+，2()z z F z f y'=- （2分） 从而22()z x z x z f y∂=-∂'-，2()()2()z z z y f f z y y y z y z f y '-+∂=-∂'- （4分） 所以2222222()2(2()())()22()z z z x x y z xy y f f z z y y y x y z xy z x y z f y'--+-+∂∂--+=-∂∂'- 2xz = （5分）。

一、选择题（1~10，每小题4分，共40分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. lim x→0(1+2x)13x=A. e 32 B. e 23C. e 16D. e 62. 设函数y=x+2sinx ，则dy= A. (1-2cosx)dx B. (1+2cosx)dx C. (1-cosx)dx D.(1+cosx)dx3. lim x→1x 2+x+1x 2−x+2 = A. 32B. 1C. 2D. 124. 设函数f(x)=3+x 5，则f ’(x)= A. x 4 B. 1+x 4 C. 15x 4D. 5x 45. 设函数f(x)=2lnx ，则f ’’(x)= A.2x 2B. −2x2C.1x 2D. −1x 26. ∫(1+x)dx =2−2 A.4 B.0 C.2E. - 4 7. ∫3x 5dx =A. 34x 4+CB.35x 4+CC. −34x 4+C D. −35x 4+C8. 把3本不同的语文书和2本不同的英语书排成一排，则2本英语书卡好相邻的概率为 A. 25 B. 45C. 35D. 12 9. 设函数z=x 2-4y 2，则dz= A. xdx -4ydy B. xdx -ydy C. 2xdx -4ydy D.2xdx -8ydy10. 设函数z=x 3+xy 2+3，则ðz ðy=A.3x 2+2xyB.3x 2+y 2C.2xyD.2y二、填空题（11~20小题，每小题4分，共40分） 11. 设函数y=e 2x ，则dy=_________.12. 函数f(x)=x 3-6x 的单调递减区间为___________.13. 若函数f(x)={x 2−2，x ≤0，a +sinx ，x >0，在x=0处连续，则a=__________.14. limx→0sinx 2x 2=______________.15. ∫(3x +2sinx)dx =____________.16. 曲线y=arctan(3x+1)在点(0,π4)处切线的斜率为__________. 17. (∫sint 22x0dt)′=_____________.18. ∫e x 1−∞dx =_____________.19. 区域D={(x,y)|1≤x ≤2 ,1≤y ≤x 2}的面积为__________. 20. 方程y 3+lny −x 2=0在点（1，1）的某领域确定隐函数y=y(x)，则dydx |x=1=________.三、解答题（21~28题，共70分。

汕头大学09-10学年春季学期《高等数学II 》期末考试试卷A 参考答案及评分标准开课单位 数学系任课老师、评卷人 林小苹 谢长珍 任玉杰 熊成继一、基本计算题（本大题共有4小题，每小题7分，共28分）。

1、计算对弧长的曲线积分2Lxy zds ⎰，其中L 是点(1,0,1)到点(0,3,6)的直线段。

解：曲线的参数方程为1,3,15,01x t y t z t t =-==+≤≤。

（2分）于是ds ==，代入得 （2分）1220(1)(15)L xy zds t t dt =-+⎰⎰ （2分）= （1分）2、求曲线积分3223()()Lx x y dx xy y dy -+-⎰ ，其中L 是圆周221x y +=逆时针方向的一周。

解：注意曲线的方向，利用Green 公式得322322()()()L DI x x y dx xy y dy y x dxdy =-+-=+⎰⎰⎰ （4分） 其中D 为圆221x y +≤，再用极坐标计算二重积分得213002I d r dr ππθ==⎰⎰。

（3分）注：此题也可象第1小题那样用参数方程，代入计算，分值也是2、2、2、1。

3、机械部件为空间曲面221(),012z x y z =+≤≤，它的面密度(,,)x y z z ρ=。

求这个部件的总质量。

解：质量(,,)M x y z dS ρ∑=⎰⎰ （2分） 空间曲面221:(),012z x y z ∑=+≤≤在xoy 平面上的投影 (1分) 为22:2D x y +≤，面积微元dS ==，代入得 （1分）2220011(22D M x y d r π=+=⎰⎰⎰ （2分）2(15π=+。

（1分） 4、设∑为柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截得的第一卦限内的部分，前侧（x 轴y 轴正向）为正，计算对坐标的曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰。

解：除这个柱面外，再加上四个平面：0z =、3z =、0x =、0y =，它们围成立体Ω，它的体积为34π。

考研高数2试题及答案模拟试题：考研高等数学（二）一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，满足条件f(-x) = -f(x)的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)2. 设函数f(x)在区间(a, b)内可导，且f'(x) > 0，则f(x)在该区间内是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 常数函数3. 曲线y = x^3 - 6x^2 + 12x + 5在点（2，12）处的切线斜率为（）A. -3B. 0C. 3D. 64. 设数列{an}是等差数列，且a3 + a7 + a11 = 27，a4 + a8 > 0，a10 < 0，则此等差数列的公差d为（）A. -1B. 1D. 25. 函数f(x) = ln(x^2 - 4x + 3)的值域是（）A. (-∞, 0)B. RC. (0, +∞)D. [0, +∞)6. 设函数F(x) = ∫(0, x) f(t) dt，则F(x)是f(x)的一个（）A. 原函数B. 导数C. 定积分D. 微分7. 曲线y^2 = 4x与直线x = 2y联立后，它们的交点个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 无穷多8. 已知某工厂生产函数为Q = K^(1/3)L^(2/3)，其中K是资本，L是劳动。

若劳动增加20%，资本不变，则产量增加（）A. 少于20%B. 20%C. 多于20%D. 40%9. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，P(X=1) = λ。

则λ的值为（）A. 1C. 3D. 410. 微分方程y'' - 2y' + y = 0的通解是（）A. y = e^(t) + e^(2t)B. y = e^(t) + e^(-t)C. y = e^(t) + e^(3t)D. y = e^(t) + e^(t/2)答案：1. C2. A3. B4. A5. D6. A7. C8. A9. B10. B二、填空题（每题4分，共20分）11. 若函数f(x) = x^3 - 3x在区间[-1, 2]上的最大值为M，则M = ____。

高等数学2真题及答案解析高等数学2作为大学数学课程的一部分，是对高等数学1内容的拓展与深化。

它涵盖了微分方程、多元函数与偏导数、重积分等重要知识点。

许多学生在面对高等数学2的考试时，可能会遇到一些难题，对一些概念和方法有一定的困惑。

为了帮助大家更好地掌握这门课程，以下将对一道典型的高等数学2题目进行详细分析和解答。

【题目】设函数$f(x,y)=x^2+y^2+xy-x-2y+3$，求$f(x,y)$在椭圆$2x^2+4y^2=9$上的最大值和最小值。

【解析】首先，我们需要找到$f(x,y)$在椭圆上的极值点。

根据多元函数极值的判定条件，我们需要求得$f(x,y)$的偏导数。

求得$f(x,y)$的偏导数后，我们将其分别与椭圆方程联立解方程组。

先求$f(x,y)$的偏导数：$f_x=2x+y-1$，$f_y=2y+x-2$。

联立椭圆方程与偏导数方程组，得到方程组：$2x^2+4y^2=9$，$2x+y=1$，$2y+x=2$。

解方程组得到$x=1$，$y=0$，我们需要验证这个点是否是极值点。

计算得$f(1,0)=1$。

接下来，我们需要求出椭圆方程$2x^2+4y^2=9$的参数方程。

设$x=\frac{3}{\sqrt{2}}\cos t$，$y=\frac{3}{2}\sin t$。

代入$f(x,y)$中，得到：$f(t)=\frac{9}{2}\cos^2 t+\frac{9}{4}\sin^2t+\frac{9}{2}\sin t\cos t-\frac{3}{\sqrt{2}}\cos t-\frac{9}{2}\sin t+3$化简，得到$f(t)=\frac{9}{2}\cos^2 t+\frac{9}{4}\sin^2 t-\frac{3}{\sqrt{2}}\cos t-\frac{9}{2}\sin t+\frac{21}{4}$。

我们需要求得$f(t)$的极值点。

对$f(t)$求导，得到：$f'(t)=-\frac{9}{2}\sin t\cos t+\frac{9}{2}\sin t-\frac{3}{\sqrt{2}}\sin t-\frac{9}{4}\cos t=\frac{1}{2}(9\sin t-6\sin 2t-\sqrt{2}\sin t-9\cos t)$。

高等数学试题及答案二高数试题一、填空题（每小题１分，共１０分）________ １１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋────── 的定义域为_________√１－ｘ2_______________。

２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。

ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ───────────────h→o h＝ _____________。

４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是____________。

ｘ５．∫─────ｄｘ＝_____________。

１－ｘ4１６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。

x→∞ Ｘ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。

_______R √R2－ｘ2８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为____________。

0 0ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。

ｄｘ3ｘｄｘ2∞ ∞１０．设级数∑ ａn 发散，则级数∑ ａn_______________。

n=1 n=1000二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）（一）每小题１分，共１０分１１．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）ｘ１１１①１－── ②１＋── ③ ──── ④ｘｘｘ１－ｘ１２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（）ｘ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量３．下列说法正确的是（）①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo可导②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（）①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则（）① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ｄｄ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘｄｘｄｘ1６．∫ │ｘ│ｄｘ＝（）-1① ０② １③ ２④ ３７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是（）①平行于ｘｏｙ面的平面②平行于ｏｚ轴的平面③过ｏｚ轴的平面④直线ｘ８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3＋ｙ3＋ｘ2ｙｔｇ── ，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝（）ｙ①ｔｆ（ｘ，ｙ）②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ）１③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ）④ ──ｆ（ｘ，ｙ）ｔ2ａ＋１n∞≥０，且ｌｉｍ───── ＝９．设ａn（）ｐ，则级数∑ａnn→∞ ａn=1①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散１０．方程ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ是（）①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程 ④二阶微分方程（二）每小题２分，共２０分１１．下列函数中为偶函数的是 （ ）①ｙ＝ｅx②ｙ＝ｘ3＋１ ③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（ ）①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）１３．设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可导的（）①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件ｄ１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2，则ｆ（０）＝１，则ｆ（ｘ）＝（）ｄｘ①ｃｏｓｘ②２－ｃｏｓｘ③１＋ｓｉｎｘ④１－ｓｉｎｘ１５．过点（１，２）且切线斜率为４ｘ3的曲线方程为ｙ＝（）①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④ｘ4－１１ x１６．ｌｉｍ─── ∫ ３ｔｇｔ2ｄｔ＝（）x→0 ｘ3 0１① ０② １③ ── ④ ∞３ｘｙ１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ───── ＝（）x→0 ｘ2＋ｙ2y→0① ０②１③ ∞ ④ ｓｉｎ１１８．对微分方程ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是（）① 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ'ｄｐ② 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝───ｄｙｄｐ③ 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───ｄｙ１ｄｐ④ 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝── ───ｐｄｙ∞ ∞１９．设幂级数∑ ａn ｘn在ｘo（ｘo≠０）收敛，则∑ ａnｘn在│ｘ│〈│ｘo│（）n=o n=o①绝对收敛②条件收敛③发有关散④收敛性与ａnｓｉｎｘ２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝（）D ｘ1 1 ｓｉｎｘ① ∫ ｄｘ∫ ───── ｄｙ0 x ｘ__1 √y ｓｉｎｘ② ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 y ｘ__1 √x ｓｉｎｘ③ ∫ ｄｘ∫ ─────ｄｙ0 x ｘ__1 √x ｓｉｎｘ④ ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 x ｘ三、计算题（每小题５分，共４５分）___________／ｘ－１１．设ｙ＝／────── 求ｙ' 。

一、 一、 计算下列各题(每小题6分，共30分) 1. 设dt dz t y t x y x z 求,sin ,3,322==+=。

2. 设()yx z cos ln =求:d z 。

3. 设22222,4x zz z y x ∂∂=++求。

4. 设()xx u xyz y x f u求,5+=。

5．dz xyz e Z求　,0=- 。

二、 二、 解下列各题 (每小题6分，共24分)1．更换积分次序：()⎰⎰--xx dyy x f dx 2122,。

2. 求xyz z xy u -+=3在点P （1,2,3）沿分别与坐标轴正向成30○ ，45○，60○角的方向上的方向导数。

3. 求曲线2,1,1t z t t y t t x =+=+=在t = 1处的切线及法平面方程。

4. 求曲面x 2 － 2 y 2 +2z 2 = 1上过点P （1,1,1）的切平面方程。

三、计算下列积分（每小题6分，共30分） 1. y xydxd D⎰⎰D ：y = x +1, y = x/2 , y = 0, y = 1 所围成 。

2.⎰⎰⎰Vdxdydzxy V ：1≤x ≤2 , -2≤y ≤1 , 0≤z ≤1/2 .3. ⎰+)2,1()0,0(ydyxdx 。

4.⎰⎰∑ds xyz ∑：x+y+z = 1 第一卦限部分。

5. ⎰⎰∑++ydzdx xdydz zdxdy ∑：是柱面x 2+ y 2= 1被平面z=0,z=3所截得的在第一卦限的部分的前侧。

四、（8分）求微分方程y y y x ln ='的通解。

五、（8分）求微分方程()()100,60;034='==+'-''y y y y y 的特解。

三、 一、 计算下列各题(每小题6分，共30分) 1．设dt dzt y t x y x z 求,sin ,3,322==+=。

解：t t t y x dt dy y z dt dx x z dt dz 2sin 318cos 632+=⋅+⋅=∂∂+∂∂=2. 设()yx z cos ln =求:d z 。

成考专升本高数(二)数学考卷考生须在规定时间内完成以下试题，并将答案写在答题卡上。

一、选择题：1. 下列哪个不是三角函数的基本要素？A. 正弦值B. 余弦值C. 切线值D. 正切值2. 当$x\to 0$时，$\frac{\sin{x}}{x}$的极限值为：A. 1B. 0C. $\infty$D. 不存在3. 函数$f(x)=\tan{x}$在区间$(0,\frac{\pi}{2})$上的单调增区间为：A. $(0,\frac{\pi}{2})$B. $(0,\frac{\pi}{4})$C. $(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$D. 不存在4. 当$x\to 0$时，$a^{x\cdot \ln{x}}$的极限值为：A. $1$B. $a$C. $0$D. 不存在5. 若$f(x)=\arcsin(\sin{x})$，则$f(x)$的值域为：A. $[-1,1]$B. $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$C. $(-\infty, \infty)$D. 不存在二、填空题：1. 函数$f(x)=e^x\cdot \ln{x}$的导数为___________。

2. $\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2{x} dx$的值为___________。

三、解答题：1. 求函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的极限值和确定的间断点。

2. 设$A$、$B$、$C$分别是集合$\{x|x^2<1\}$、$\{x|0 \leq x \leq 2\}$、$\{x|0<x \leq 2\}$的非空子集，求$A \cap B \cap C$。

四、应用题：1. 已知$m$条平行线$a_1x+b_1y+c_1=0$，$a_2x+b_2y+c_2=0$，...，$a_mx+b_my+c_m=0$分别与直线$x=y$相交，试给出这些交点的坐标。