2020届湖北省名师联盟高三第七次联考数学(文)试题

湖北省武汉市第二十七中学2020年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 对于定义在R上的函数f（x），如果存在实数a，使得f（a+x）?f（a﹣x）=1对任意实数x∈R恒成立，则称f（x）为关于a的“倒函数”．已知定义在R上的函数f（x）是关于0和1的“倒函数”，且当x∈时，f（x）的取值范围为，则当x∈时，f（x）的取值范围为（）A．B．C．D．R参考答案：B【考点】抽象函数及其应用；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；规律型；转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据“倒函数”的定义，建立两个方程关系，根据方程关系判断函数的周期性，利用函数的周期性和函数的关系进行求解即可得到结论．【解答】解：若函数f（x）是关于0和1的“倒函数”，则f（x）?f（﹣x）=1，则f（x）≠0，且f（1+x）?f（1﹣x）=1，即f（2+x）?f（﹣x）=1，即f（2+x）?f（﹣x）=1=f（x）?f（﹣x），则f（2+x）=f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数，若x∈，则﹣x∈，2﹣x∈，此时1≤f（x）≤2∵f（x）?f（﹣x）=1，∴f（﹣x）=∈，∵f（﹣x）=f（2﹣x）∈，∴当x∈时，f（x）∈．即一个周期内当x∈时，f（x）∈．∴当x∈时，f（x）∈．故选：B．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，根据“倒函数”，的定义建立方程关系判断函数的周期性是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．2. 在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为（）A． B．C． D．参考答案：C3. 已知函数，则“是奇函数”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：B试题分析：当为奇函数时，有，得，由诱导公式得，因此，得，得不到；当时，为奇函数，因此“是奇函数”是“”的必要不充分条件,故答案为B.考点：1、奇函数的应用；2、充分条件和必要条件的判断.4. 若向量，，则( )A．B．C．D．参考答案：A5. 在中，角A，B，C所对边分别为，且，面积，则等于( )A. B.5 C. D.25参考答案：B略6. 设且，则点（x,y）在区域内的概率是（）A . B. C.D.参考答案：B略7. 已知曲线为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为A B C D参考答案：D8. 一个圆柱的正视图是面积为6的矩形，它的侧面积为（）A．8πB．6πC．4πD．3π参考答案：B【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；简单空间图形的三视图．【分析】设圆柱的高为h，由题意知，圆柱体的底面圆的直径，圆柱的侧面积为S=πDh．【解答】解：设圆柱的高为h，则∵圆柱的正视图是面积为6的矩形，∴圆柱体的底面圆的直径为，则此圆柱的侧面积为S=π??h=6π．故选：B．9. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】简单空间图形的三视图．【专题】规律型．【分析】根据剩余几何体的直观图即可得到平面的左视图．【解答】解：过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的左视图为C．故选：C．【点评】本题主要考查空间三视图的识别，利用空间几何体的直观图是解决本题的关键．比较基础．10. 设分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线的右支上的点，以为圆心的圆与轴恰好相切于焦点，且点到该双曲线的两条渐近线的距离之比为，则该双曲线的离心率为（）A．B． C. D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC中，AB=BC=2，AC=3，设O是△ABC的内心，若=p+q，则的值为．参考答案：【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】在两边分别同乘以向量，从而得到，．画出图形并取AC边的中点D，O在BD上，所以，由余弦定理可求得cos∠BAC=，这样进行数量积的计算即可得到关于p，q的两个方程，解方程组即可求出p，q，从而求出．【解答】解：如图，O为△ABC的内心，D为AC中点，则：O在线段BD上；cos∠DAO=，根据余弦定理：cos∠BAC=；由得：；∴=；∴①；同理；∴可以得到②；∴①②联立可求得；∴．故答案为：．12. 已知函数在区间上的最大值是2，求实数的值．参考答案：．试题分析：先求对称轴，比较对称轴和区间的关系，利用开口向下的二次函数离对称轴越近函数值越大来解题．试题解析：，对称轴（1）即时，在上单调递减，此时可得4分（2）即时，此时可得或，与矛盾，舍去。

2020年5月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试文科数学本试卷共4页，23题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★A.1B. 0C. 1D. 土 1卡片上的数字的奇偶性不同的概率是1A.-2B.-3C.-4B.-7.平行于直线x y 4且与圆2x2y 1相切的直线的方程是A. x y 、2 0或x y2 0B. x yV 2 0 或 xy ■- 2 0机密★启用前、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目1 .已知(a 2i) i b 2i ,其中a, b 为实数, i 是虚数单位，则复数 a+bi=A. 2 2iB. 2 2iC. 2 2iD. 2 2i2.已知集合A a,a 2,0 , B 1,2 ,若 A B1，则实数a 的值为3. △ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为a,b,.22…b cc,已知 ---------ab膈nB sinA则角C 等于 sin AA. B.-3C.—42D.—34.设 a log 4 2, A 2, c 21 1 t (-)3,则a, b, c 的大小关系为A. aB. cC. D.5.已知双曲线 2% 1(a b0,b 0）的离心率为侦3 ,焦点到渐近线的距离为2,则双曲线的实轴长为B. 2C. 2 .2D. 46.从分别标有数字1, 2, 3,4 , 5的5张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张C. x y 1 0或 x y 1 0D. x y 4 0 或 x y 4 010.如果两个方程的曲线经过若千次平移或对称变换后能够完全重合，则称这两个方程为“互为镜像方程对”，给出下列四对方程:11 . A ABC 是边长为2的等边三角形，M 为AC 的中点.将△ ABM 沿BM 折起到△ PBM 的位置，当三棱锥 P —BCM 体积最大时，三棱锥 P — BCM 外接球的表面积为8.据〈〈九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾 3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早 500年.如图，现有△ ABC 满足“勾3股4弦5”，其中AC=3, BC=4,点D 是CB 延长线上的一点，贝U AC AD =B. 4C. 9不能确定9.已知等差数列a n 的首项 公差为d,前n 项和为 S n .若 & S 8恒成立，则公差 d 的取值范围B.[7, r 11、D.[-,) 7 8① y sin x 与 y cos(x —) 22 ln x 与 y ln x ③ x 2 4y 与 y 2 4xx 3 与 y x 3 3x 2 3x 2则“互为镜像方程对”的是 A.①②③B.①③④C.②③④D.①②③④A.B. 3C.12 .已知函数 f(x) <3 sin x a cos x(0,a 0),对任意 X1, X 2f(X i ) f (X 2)的最大值为4，若f(x)在(0,)上恰有两个极值点，则实数的取值范围是「4 7、A.［一，一］/4 7、B.(—，-]c. [-,^) 6 6D. D. 7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若变量x, y满足约束条件y 2x ，则z x 2y的最小值是.x y 414.若sin 3cos Jl0，贝U tan =.15.已知函数f(x) e x e x 2x,使不等式f (2x 1) f (x) 0成立的x的取值范围是 .16.已知斜率为k(k 0)的直线l过抛物线C : y1 2 6x的焦点F,与抛物线C交于A, B两点，过A, B作S ABB.x轴的垂线，垂足分别为A I,B I,若----------- 1 2,则k的值为_______________ .S ABA1三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17 ~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分17 .(本小题满分12分)三峡大坝专用公路沿途山色秀美，风景怡人.为确保安全，全程限速为80公里/小时.为了解汽车实际通行情况，经过监测发现某时段200辆汽车通过这段公路的车速均在[50 , 90](公里/小时)内，根据监测结果得到如下组距为10的频率分布折线图1 请根据频率分布折线图，将颊率分布直方图补充完整(用阴影部分表示)2 求这200辆汽车在该路段超速的车辆数以及在该路段的平均速度.312分）如图，在四棱锥 P — ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， AD//BC, AD± AB, PA!平面ABCD,过AD 的平面与 PC, PB 分别交于点 M, N,连接 MN .(1)证明：BC//MN ;(2)已知 PA =AD= AB =2BC 平面 ADMNL 平面 PBC,求 Vp BDM 的值.V p ABCD18 .（本小题满分 12分) 已知数列 a n 中，a 〔 1 ,当n>2时，a ”a n 1(n N *)，数列b n 满足 an 12b nc n 2 a n a n 1 .(1) 证明：数列 1 1 a n是等比数列，并求数列 a n 的通项公式;(2) 求数列b n 的前n 项和T n 。

2020年5月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试数学（文史类）参考答案一、选择题二、填空题13.4-14.1315.13x x⎧⎫>⎨⎬⎩⎭16. 22三、解答题（一）必考题17．解：(1）……………………………4分（2）由题可知，当车速在[]85,90时超速，此时车辆共有：201001.0200=⨯⨯（辆）；……………………………8分这200辆汽车在该路段的平均速度为：721001.08506.07502.06501.055=⨯⨯+⨯+⨯+⨯）（（公路/小时）……………12分18.解：（1）当2n≥时，11(*)2nnnaa n Na--=∈+15:DABDC610:CACAB1112:CB11112(1)n n a a -∴+=+……………………………4分所以数列是以2为公比，以为首项的等比数列，从而……………………………6分（2）由（1）121n n a =-，12(21)(21)nn n n b +∴=--1112121n n +=--- ……………8分 2231111111()()()212121212121n n n T +∴=-+-+⋅⋅⋅+-------11121n +=-- …………………12分 19.解：（1）证明：AD BC //Θ，ADMN AD ADMN BC 平面平面⊂⊄,，∴ADMN BC 平面//. ……………………………2分又BC ⊂平面PBC ，平面PBC I 平面ADMN MN = BC ∴∥MN ……………………………4分（2） 平面⊥PA ΘABCD ，BC ⊂平面ABCDBC PA ⊥∴，又A AB PA AB BC =⊥I ,，PAB BC 平面⊥∴………………………6分 AN ⊂Q 平面PAB ，BC AN ∴⊥，又BC ∥MN ，AN MN ∴⊥ Q 平面ADMN ⊥平面PBC 平面ADMN I 平面PBC MN = AN ∴⊥平面PBC AN PB ∴⊥ ………………………8分 AB PA =Θ，N ∴为PB 中点，又BC ∥MN ，∴21=PC PM 1122P BDM C BDM B CDM B PCD P BCD V V V V V -----∴==== ………………………10分 11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭1112a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭12111221n n n n a a -+=⨯⇒=-11123213BCD P BCD M BCDP ABCD P ABCD ABCD S h V V V V S h ∆----∆⋅⋅∴=⋅，又13BCD ABCD S S ∆∆= 16M BCD P ABCD V V --∴= ………………………12分 20.解：（1）由题可知1c =，又221112a b +=，221a b =+ 2221112(1)a a ∴+=- 422520a a ∴-+= 22(2)(21)0a a ∴--=又21a > 22a ∴=，21b = ………………………4分（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点00(,)P x y ，直线AB 的方程为：(1)y k x =+ 由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得2222(21)4220k x k x k +++-= 212221224212221k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+∴⎨-⎪⋅=⎪+⎩………………………6分 122221k y y k ∴+=+ 2222(,)2121k k P k k -∴++ ………………………8分 HA HB =Q 1PH AB k k ∴⋅=- 22221121213kk k k k +∴⋅=--++ ………………………10分 21k ∴= 1k ∴=± :1AB l y x ∴=+或1y x =--，AB ∴==………………………12分21.解：（1）当1a e=时，1)(-=='x x e ae x f Θ1)1(='∴f ，又1)1(=f ， ∴函数)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程为x y = ………………………4分（2）1a e≥Q ，1-≥∴x x e ae 令x e x m x -=-1)(，则1)(1-='-x e x m ，令1,0)(=='x x m 则 当)1,0(∈x 时，0)(<'x m ，)(x m 单调递减；当),1(+∞∈x 时，0)(>'x m ，)(x m 单调递增，∴0)1()(min ==m x m 故x e x ≥-1恒成立， ………………………6分 只需证1ln +≥xx x ，即证0ln 2≥--x x x ………………………8分 令x x x x n --=ln )(2，则xx x x x x x x x n )1)(12(12112)(2-+=--=--=' 令1,0)(=='x x n 则 当)1,0(∈x 时，0)(<'x n ，)(x n 单调递减；当),1(+∞∈x 时，0)(>'x n ，)(x n 单调递增 ∴min ()(1)0n x n ==，∴ 0)(≥x n 恒成立 ln 1x x x∴≥+ ………………………10分 1ln 1x x x ae e x x -∴≥≥≥+，()()f x g x ∴≥ ()()0f x g x ∴-≥恒成立. ………………………12分（此种解法仅供参考，其它解法斟情给分）（二）选考题22.【选修4—4：坐标系与参数方程】解:（1）（I）直线0y ++= 曲线C ：2239()24x y ++= …………………5分 （2）方法一：联立直线与曲线C得：22139(2))224t --++= 化简得：21202t t +-=， ∴1212t t +=-l lO 到直线的距离d == ………………………8分1211||| |||| |=||2224APO BPO S S AP d BP d t t ∆∆-=⋅-⋅+=．………………10分 方法二：联立直线与曲线C得：22039(2)24y y ++=⎨-++=⎪⎩化简得：2302y y -=，∴12y y += ………………………8分121211||||||||||| |=||224APO BPO S S OP y OP y y y ∆∆-=⋅-⋅+=……………10分 21. 解：（1）由题可知，3,2()21,213,1x f x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩， ……………2分当21x -<<时，212x +≥-312x ∴-≤<； 当1x ≥时，成立， ……………4分 故()2f x ≥-的解集为32x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭. ……………5分 （2）由（1）可知，()f x 的最大值为3，23a b c ∴++= ……………6分 2229()()()24a b c ab ac bc c a c b c ++∴+++=++≤=. ……………10分l l。

2020年5月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试文科数学本试卷共4页，23题.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答在本试题卷上无效.3.非选择题的作答：用黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在本试题卷上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知(2)2a i i b i +⋅=-，其中a ，b 为实数，i 是虚数单位，则复数i a b +=（ ） A. 22i + B. 22i - C. 22i -+ D. 22i --【答案】D 【解析】 【分析】将(2)2a i i b i +⋅=-化为22ai b i -+=-后，根据复数相等的条件可得. 【详解】由(2)2a i i b i +⋅=-得22ai b i -+=-， 所以2,2b a =-=-， 所以22a bi i +=--。

故选：D【点睛】本题考查了复数的乘法运算和复数相等的条件，属于基础题.2.已知集合{}2,,0A a a =，{}1,2B =，若{}1A B ⋂=，则实数a 的值为（ ）A. 1-B. 0C. 1D. ±1【答案】A 【解析】根据{}1A B ⋂=，得1A ∈，根据元素的互异性可知1a =- 【详解】因为{}1A B ⋂=，所以1A ∈， 又2a a ≠，所以0a ≠且1a ≠，所以21a =，所以1a =-(1a =已舍)，此时满足{}1A B ⋂=. 故选：A【点睛】本题考查了集合的交集的概念，考查了集合中元素的互异性，属于基础题.3.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222sin sin sin b c a B Aab A+--=.则角C 等于（ ） A.π6B.π3C.π4D.2π3【答案】B 【解析】 【分析】根据已知等式以及正弦定理可得222b a c ab +-=，再根据余弦定理可得1cos 2C =，根据0C π<<可得答案.【详解】由2222sin sin sin b c a B A ab A +--=以及正弦定理可得2222b c a b aab a+--=， 即222b a c ab +-=，所以222122b ac ab +-=，即1cos 2C =，又0C π<<，所以3C π=.故选：B【点睛】本题考查了正弦定理以及余弦定理，属于基础题.4.设4log 2a =，1212b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. c b a >>C. b a c >>D.【答案】D 【解析】 【分析】化简得12a =，利用16y x =在(0,)+∞上递增可以得到bc >，利用13y x =在(0,)+∞上递增可以得到c a >，根据传递性可得答案.【详解】242211log 2log 2log 222a ====, 113611()()39c ==116211()()82b <==,1133111()()283a c ==<=,所以b c a >>， 故选：D【点睛】本题考查了对数的运算性质，考查了幂函数在(0,)+∞上的单调性，解题关键是将幂值变为同指数的形式，然后利用幂函数的单调性比较大小.5.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>3焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的实轴长为（ ） 2 B. 2C. 22D. 4【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的性质可得2b =，再根据离心率以及222+=a b c 可解得结果. 【详解】由双曲线的性质可得2b =，又3ca=3c a =， 根据222+=a b c 得2243a a +=，解得2a =所以实轴长为222a =. 故选：C【点睛】本题考查了双曲线的性质，考查了离心率公式以及222+=a b c ，考查了实轴的概念，属于基础题.6.从分别标有数字1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数字的奇偶性不同的概率是（ ） A.15B.25C.35D.45【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法得到所有基本事件的总数和所求事件的个数，再根据古典概型的概率公式可得结果.【详解】所有基本事件有：12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，21，31，41，51，32，42，52，43，53，54，共20种，其中抽到的2张卡片上的数字的奇偶性不同的有12，14，23，25，34，45，21，41，32，52，43，54，共12种，根据古典概型的概率公式可得所求事件的概率为123205=. 故选：C【点睛】本题考查了利用列举法求古典概型的概率，属于基础题.7.平行于直线4x y +=且与圆221x y +=相切的直线的方程是（ ）A. 20x y ++=或20x y +-=B. 20x y -+=或20x y -=C. 10x y ++=或10x y +-=D. 40x y +-=或40x y ++=【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，设出切线方程，再根据圆心到切线的距离等于圆的半径列等式可解得结果. 【详解】依题意设圆的切线方程为0x y m ++=，111=+，解得2m =±，所以所求圆的切线方程为20x y ++=或20x y +-=. 故选：A【点睛】本题考查了两直线平行的位置关系，考查了求圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式，属于基础题.8.据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年.如图，现有ABC 满足“勾3股4弦5”，其中3AC =，4BC =，点D 是CB 延长线上的一点，则AC AD ⋅=（ ）A. 3B. 4C. 9D. 不能确定【答案】C 【解析】 【分析】根据ABC 满足“勾3股4弦5”可得AC CB ⊥，再利用平面向量的线性运算以及两个垂直向量的数量积为0，可求得结果.【详解】因为3,4,5AC CB AB ===，所以222AC CB AB +=， 所以AC CB ⊥，所以0AC CB ⋅=，所以0AC CD ⋅=， 所以2()AC AD AC AC CD AC AC CD ⋅=⋅+=+⋅909=+=. 故选：C【点睛】本题考查了勾股定理，考查了平面向量的线性运算，考查了两个垂直向量的数量积为0，属于基础题.9.已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差为d ，前n 项和为n S .若8n S S ≤恒成立，则公差d 的取值范围是（ ）A. 11,78⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B. 1,7⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C. 1,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D.11,78⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为80a ≥且90a ≤，再根据通项公式列不等式组可解得结果.【详解】根据等差数列{}n a 的前n 项和为n S 满足8n S S ≤恒成立，可知80a ≥且90a ≤， 所以170d +≥且180d +≤，解得1178d -≤≤-. 故选：A【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了不等式恒成立转化为最值成立，考查了等差数列前n 项和的最大值，属于基础题.10.如果两个方程的曲线经过若干次平移或对称变换后能够完全重合，则称这两个方程为“互为镜像方程对”，给出下列四对方程： ①sin y x =与πcos 5y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭②2ln y x =与2ln y x = ③24x y =与24y x =④3y x =与32332y x x x =-++则“互为镜像方程对”的是（ ） A. ①②③ B. ①③④C. ②③④D. ①②③④【答案】B 【解析】 【分析】对于①，根据诱导公式化为同名函数后可知，πcos 5y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可以通过平移变换得到，所以①是互为镜像方程对方程；对于②，将2ln y x =化为分段函数后，可知②不是互为镜像方程对方程； 对于③，两个函数的图象关于y x =对称，所以③是互为镜像方程对方程； 对于④，利用差的立方公式变形可知，④是互为镜像方程对方程【详解】对于①，因为7cos()sin()sin()55210y x x x ππππ=+=++=+，所以将sin y x =向左平移710π可得πcos 5y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以①是互为镜像方程对方程；对于②因为22ln 0ln 2ln 2ln()0x x y x x x x >⎧===⎨-<⎩，所以2ln y x =的图象是2ln y x =的图象的一部分，故②不是互为镜像方程对方程；对于③因为24x y =与24y x =关于y x =对称，所以③是互为镜像方程对方程；对于④因为32332y x x x =-++3(1)3x =-+，所以将3y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位可得32332y x x x =-++的图象，故④是互为镜像方程对方程. 故选：B【点睛】本题考查了诱导公式，考查了图象的平移变换和对称变换，考查了差的立方公式，属于基础题.11.ABC 是边长为2的等边三角形，M 为AC 的中点.将ABM 沿BM 折起到PBM 的位置，当三棱锥P BCM -体积最大时，三棱锥P BCM -外接球的表面积为（ ）A. πB. 3πC. 5πD. 7π【答案】C 【解析】 【分析】根据三棱锥P BCM -体积最大，可得,,PM MC PM BM BM MC ⊥⊥⊥，可得三棱锥P BCM -的外接球与以,,MP MB MC 为邻边的长方体的外接球是同一个球，根据长方体的对角线长定理可得外接球的半径，从而可得其表面积. 【详解】当三棱锥P BCM-体积最大时，P 点最高，此时,,PM MC PM BM BM MC ⊥⊥⊥，因为三棱锥P BCM -的外接球与以,,MP MB MC 为邻边的长方体的外接球是同一个球， 设其半径为R ，因为1,3MP MC MB ===， 所以2222(2)1135R MP MC MB =++=++=， 所以三棱锥P BCM -外接球的表面积为245R ππ=. 故选：C【点睛】本题考查了三棱锥的体积，考查了长方体的对角线长定理，考查了球的表面积公式，属于中档题.12.已知函数()()3sin cos 0,0f x x a x a ωωω=+>>，对任意12,x x R ∈，()()12f x f x +的最大值为4，若()f x 在()0,π上恰有两个极值点，则实数ω的取值范围是（ ） A. 47,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 4733⎛⎤ ⎥⎝⎦，C. 713,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 713,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】由题意得()f x 的最大值为2，由此可求得1a =，所以()2sin()6f x x πω=+，求导后可知cos()06x πω+=在()0,π上恰有两个零点，换元后可知cos 0t =在(,)66ππωπ+在上恰有两个零点，所以函数cos y t =的图象与t 轴恰有两个交点，所以35262πππωπ<+≤，由此解得即可.【详解】因为对任意12,x x R ∈，()()12f x f x +的最大值为4， 所以()f x 的最大值为2，232a +=，又0a >，所以1a =， 所以()2sin()6f x x πω=+，所以()2cos()6f x x πωω'=+，因为()f x 在()0,π上恰有两个极值点，所以()2cos()06f x xπωω'=+=，即cos()06xπω+=在()0,π上恰有两个零点，设6t xπω=+，则(,)66tππωπ∈+，所以cos0t=在(,)66ππωπ+在上恰有两个零点，所以函数cosy t=的图象与t轴恰有两个交点，所以35262πππωπ<+≤，解得4733ω<≤.故选：B【点睛】本题考查了三角函数的最值，考查了利用导数研究函数的极值，考查了函数的零点，余弦函数的图像，考查了等价转化思想，属于中档题.二、填空题13.若变量x，y满足约束条件24y xy xx y≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩，则2z x y=-的最小值是______.【答案】-4【解析】【分析】作出可行域，根据图形找到最优解，将最优解的坐标代入目标函数即可得到答案.【详解】作出可行域如图：由图可知，点M为最优解，联立24y x x y =⎧⎨+=⎩解得48,33x y ==，所以48(,)33M ，所以min 482433Z =-⨯=-， 故答案为：4-【点睛】本题考查了线性规划求目标函数的最值，解题关键是找到最优解，属于基础题. 14.若sin 3cos 10αα+=tan α=______. 【答案】13【解析】 【分析】 设10cos ϕ=，310sin ϕ=，将sin 3cos 10αα+=化为sin()1αϕ+=，可得2,2k k Z παπϕ=+-∈，求出sin α和cos α后，相除可得结果.【详解】因为sin 3cos 10αα+=103101αα=， 设10cos ϕ=310sin ϕ=， 则sin()1αϕ+=， 所以2,2k k Z παϕπ+=+∈，所以2,2k k Z παπϕ=+-∈，所以10sin sin(2)cos 210k παπϕϕ=+-==，k Z ∈ 310cos cos(2)sin 2k παπϕϕ=+-==k Z ∈， 所以10sin 110tan cos 3310ααα===.故答案为：13【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了诱导公式，属于基础题. 15.已知函数()2xxf x e ex -=-+，使不等式()()210f x f x -+>成立的x 的取值范围是______.【答案】13x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】根据奇函数的定义可得()f x 为奇函数，利用导数可得()f x 为增函数，再将不等式化为(21)()()f x f x f x ->-=-，利用单调性可解得结果.【详解】因为()2xxf x e ex -=-+，所以()2()x x f x e e x f x --=--=-，所以函数()f x 为奇函数， 又()20xxf x e e-'=++>，所以()f x 在R 上为递增函数，所以()()210f x f x -+>等价于(21)()()f x f x f x ->-=-， 所以21x x ->-，解得13x >. 故答案为：13x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数的奇偶性，考查了利用奇偶性和单调性解不等式，属于基础题.16.已知斜率为()0k k >的直线l 过抛物线C ：26y x =的焦点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为1A ，1B ，若112ABB ABA S S ∆∆=，则k 的值为______.【答案】22【解析】 【分析】1122(,),(,)A x y B x y ，联立直线与抛物线，由韦达定理可得212223663k x x k k++==+，1294x x =，设1A ，1B 到直线l 的距离分别为12,d d ，根据11212ABB ABA S d S d ∆∆==得21922x x +=，联立方程组可解得22k =【详解】依题意可得3(,0)2F ，直线3:()2l y k x =-， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则1112(,0),(,0)A x B x ，联立23()26y k x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y 并整理得22229(36)04k x k x k -++=，所以212223663k x x k k ++==+，1294x x =， 设1A ，1B 到直线l 的距离分别为12,d d ，则1112233||||2211kx k k x d k k --==++2222233||||2211kx k k x d k k --==++所以1122113||223||2ABB ABA x S d S d x -===-，因为1233()()022x x --< 所以21922x x +=，联立211292294x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得134x =，23x =，所以236334k+=+，所以28k =，又0k >，所以22k =故答案为：22【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，点到直线的距离，韦达定理，考查了运算求解能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：17.三峡大坝专用公路沿途山色秀美，风景怡人.为确保安全，全程限速为80公里/小时.为了解汽车实际通行情况，经过监测发现某时段200辆汽车通过这段公路的车速均在[50，90]（公里/小时）内，根据监测结果得到如下组距为10的频率分布折线图：（1）请根据频率分布折线图，将颊率分布直方图补充完整（用阴影部分表示）；（2）求这200辆汽车在该路段超速的车辆数以及在该路段的平均速度.【答案】（1）作图见解析（2）72（公里/小时）【解析】【分析】（1）分别以0.06和0.01为高，10为宽作出两个矩形即可；（2）用第四个矩形的面积乘以样本容量即得这200辆汽车在该路段超速的车辆数，用四个矩形底端的中点值乘以各个矩形的面积，再相加即可得这200辆汽车在该路段的平均速度. 【详解】（1）（2）由题可知，当车速在[80，90]时超速，此时车辆共有：⨯⨯=（辆）；2000.011020这200辆汽车在该路段的平均速度为：()550.01650.02750.06850.011072⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（公里/小时）【点睛】本题考查了频率分布折线图和频率分布直方图，考查了利用频率分布直方图求平均值，属于基础题.18.已知数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，*11()2n n n a a n N a --=∈+，数列{}n b 满足12n n n n b a a +=⋅.（1）证明：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）证明见解析；121n n a =-（2）11121n +--【解析】 【分析】 （1）将()*112n n n a a n N a --=∈+两边倒过来，再加上1，可得111121n n a a -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据定义可知数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，从而可得其通项公式； （2）由()()1121121212121n nn n n n b ++==-----进行裂项求和可得结果.【详解】（1）证明：当2n ≥时，()*112n n n a a n N a --=∈+， ∴111121n n a a -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以2为公比，以1112a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭为首项的等比数列， 从而11112221n n n n a a -+=⨯⇒=-， （2）由（1）121n n a =-，∴()()1121121212121n nn n n n b ++==-----，∴2231111111212121212121n n nT+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭11121n+=--【点睛】本题考查了用定义证明数列为等比数列，考查了由递推关系式求通项公式，考查了裂项求和方法，将nb裂成两项之差是求和的关键，属于中档题.19.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为直角梯形，//AD BC，AD AB⊥，PA⊥平面ABCD，过AD的平面与PC，PB分别交于点M，N，连接MN.（1）证明：//BC MN；（2）已知2PA AD AB BC===，平面ADMN⊥平面PBC，求P BDMP ABCDVV--的值.【答案】（1）证明见解析；（2）16【解析】【分析】（1）根据直线与平面平行的判定定理得//BC平面ADMN，再根据直线与平面平行的性质定理可得//BC MN；（2）根据2PA AD AB BC===，平面ADMN⊥平面PBC，推出M为PC的中点，然后将三棱锥P BDM-的体积转化为三棱锥P BCD-的体积的一半，再根据锥体的体积公式，将将体积比转化为底面积之比即可得到结果.【详解】（1）证明：如图：∵//BC AD ，BC ⊄平面ADMN ，AD ⊂平面ADMN ， ∴//BC 平面ADMN . 又BC ⊂平面PBC ，平面PBC 平面ADMN MN =，∴//BC MN（2）∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PA BC ⊥，又BC AB ⊥，PAAB A =，∴BC ⊥平面PAB ，∵AN ⊂平面PAB ，∴BC AN ⊥，又//BC MN ， ∴AN MN ⊥，∵平面ADMN ⊥平面PBC ，平面ADMN 平面PBC MN =，∴AN ⊥平面PBC ∴AN PB ⊥，∵PA AB =∴N 为PB 中点，又//BC MN ，∴12PM PC =， ∴1122P BDM C BDM B CDM B PCD P BCD V V V V V -----====， 设四棱锥P ABCD -的高为h ，∴11123213BCD P BCDP BDMP ABCDP ABCDABCD S h V V V V S h ----⋅⋅==⋅△△，又13BCD ABCD S S =△△， ∴16P BDM P ABCD V V --=.【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理和性质定理，考查了平面与平面垂直的性质定理，考查了椎体的体积公式，属于中档题.20.在平面直角坐标系中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的焦距为2，且过点21,2⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 左焦点1F 的直线l （不与坐标轴垂直）与椭圆C 交于A ，B 两点，若点1,03H ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足HA HB =，求AB .【答案】（1）2212x y +=（242【解析】 【分析】（1）根据1c =，又221112a b+=，221a b =+，联立方程组可解得22a =，21b =，由此可得椭圆C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()00,P x y ，直线AB 的方程为：()1y k x =+，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理得212221224212221k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，可得2222,2121k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，再利用HA HB =得1PH AB k k =-，可得21k =，再根据弦长公式可得结果.【详解】（1）由题可知1c =，又221112a b+=，221a b =+， ∴()2211121a a +=-， ∴422520a a -+=∴()()222210a a --=， 又21a >∴22a =，21b =，所以椭圆C 的方程为：2212x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()00,P x y ，直线AB 的方程为：()1y k x =+，由()22112y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩可得()2222214220k x k x k +++-=，∴212221224212221k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩， ∴122221ky y k +=+，∴2222,2121k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ∵HA HB =，∴1PH AB k k =-，∴22221121213kk k k k +⋅=--++， ∴21k =，∴1k =±， 所以1243x x +=-，120x x =， 所以221212||1()4AB k x x x x =++-244211()33=+-=. 【点睛】本题考查了根据椭圆的性质求椭圆方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了利用弦长公式求弦长，考查了运算求解能力，属于中档题. 21.已知函数()()xf x ae a R =∈，()ln 1xg x x=+. （1）当1a e =时，求函数()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； （2）当1a e≥时，证明：()()0f x g x -≥.【答案】（1）y x =（2）证明见解析；【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再用直线方程的点斜式即可得到所求切线方程； （2）根据1a e ≥可得1x x ae e -≥，再利用导数证明1x e x -≥和ln 1x x x≥+，根据不等式的传递性可证()()0f x g x -≥.【详解】（1）当1a e =时，1()xx e f x e e-==,所以()1x f x e-'=，∴()11f '=，(1)1f =，∴函数()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为11y x -=-，即y x =. （2）∵1a e≥，∴1x x ae e -≥， 令()1x m x ex -=-，则()11x m x e -'=-，令()0m x '=，则1x =，当()0,1x ∈时，()0m x '<，()m x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0m x '>，()m x 单调递增，∴()()min 10m x m ==， 故1x e x -≥恒成立，所以只需证ln 1xx x≥+，即证2ln 0x x x --≥， 令()2ln n x x x x =--，则()()()221112121x x x x n x x x x x+---'=--==， 令()0n x '=，则1x =，当()0,1x ∈时，()0n x '<，()n x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0n x '>，()n x 单调递增，∴()()min 10n x n ==，∴()0n x ≥恒成立， ∴ln 1xx x≥+， ∴1ln 1xx xae ex x-≥≥≥+， ∴()()f x g x ≥，∴()()0f x g x -≥恒成立.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数证明不等式，考查了不等式的传递性，解题关键是转化为证明三个不等式，属于中档题.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12232x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是3cos 0ρθ+=. （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设()2,0P -，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求APO BPO S S ∆∆-.【答案】（1）直线l 3230x y ++=；曲线C ：223924x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭（23【解析】 【分析】（1）消去参数t 可得直线l 的普通方程，在极坐标方程两边同时乘以ρ，然后利用公式222x y ρ=+，cos x ρθ=，可得曲线C 的直角坐标方程；（2）设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，联立直线l 与曲线C ，根据韦达定理可得1212t t +=-，求得点O 到直线l 得距离后，再根据1211322APO BPO S S d BP d P t t A -=⋅-⋅=+△△即可求得结果. 【详解】（1）由12232x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t 可得直线l 330x y ++=，由3cos 0ρθ+=得23cos 0ρρθ+=，因222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以2230x y x ++=，所以曲线C ：223924x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.高考资源网（ ） 您身边的高考专家（2）联立直线l 与曲线C 得：22133922224t ⎛⎫⎛⎫--++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得：21202t t +-=， 设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ， ∴1212t t +=-， 因为O 到直线l 的距离()2223313d ==+所以12113322APO BPO A S S d BP d t P t -=⋅-⋅=+=△△【点睛】本题考查了参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了直线参数方程中参数的几何意义，属于中档题. 23.已知函数()21f x x x =+--.（1）求不等式()2f x ≥-的解集；（2）设a ，b ，c 为正实数，若函数()f x 的最大值为m ，且2a b c m ++=，求证294ab ac bc c +++≤. 【答案】（1）32x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭（2）证明见解析； 【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值，变成分段函数后可解得结果；（2）由（1）可知，3m =，所以23a b c ++=，再将2ab ac bc c +++分解因式后利用基本不等式可证.【详解】（1）由题可知，32()212131x f x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，高考资源网（） 您身边的高考专家 当2x -≤时，显然不成立，当21x -<<时，212x +≥-，∴312x -≤<； 当1x ≥时，成立，故()2f x ≥-的解集为32x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭. （2）证明：由（1）可知，()f x 的最大值为3，∴23a b c ++=，∴()()222924a b c ab ac bc c a c b c ++⎛⎫+++=++≤= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了分类讨论法解绝对值不等式，考查了利用基本不等式证明不等式，属于基础题.高考资源网（）您身边的高考专家。

2020届全国名师联盟高三第七次联考文科数学 试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}41|},2|{2≤<=<=x x B x x x A ，则B A （ ）A ．]4,(-∞B ．]4,0(C ．)2,1(D ．]4,2(2．设复数i z 53-=，则在复平面内其共轭复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若抛物线tx y =2的焦点是双曲线12222=-y x 的一个焦点，则正数t 等（ ） A ．9B ．2C ．8D ．44．已知直线02=-+y ax 与圆4)()1(:22=+++a y x C 相交于B A , 两点，且线段AB 是圆C 的所有弦中最长的一条弦，则实数a =（ ）A ．2B ．±1C ．1D ． 1-5．如图所示，在正方体1AC 中，F E ,分别是1DD ，BD 的中点，则直线1AD 与EF 所成角的余弦值是（ ）A ．21B ．23C ．36D ．266．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫九百一十人筑堤，只云初日差二十六人，次日转多六人，每人日支米一升”．其大意为“官府陆续派遣910人前往修筑堤坝，第一天派出26人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多6人，修筑堤坝的每人每天分发大米1升”，在该问题中的910人全部派遣到位需要的天数为（ ） A ．14B ．16C ．18D ．207．设双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C ，直线02054=+-y x 过双曲线的左焦点F ,且与y 轴交点为虚轴端点，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．35 B ．45C ．41415D ．5418．棱长为2的正四面体的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．π12B ．π6C ．π24D ．π489．已知函数)0)(3sin(2)(>+=ωπωx x f 图像的最高点与相邻最低点的距离是17，若将)(x f y =的图象向右平移61个单位得到)(x g y =的图象，则函数)(x g y =图象的一条对称轴方程是（ ） A ．65=x B ．31-=xC ．34=x D ．0=x10．过抛物线)0(2:2>=p py x C 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点（点A 在y 轴左侧），若||||4BF AF =，O 为坐标原点，则直线AB 的斜率为（ ） A ．45B ．43C ．4D ．511．等差数列{a n }的前n 项和为n S ，且01<a ，若存在自然数3≥m ，使得m m S a =，则当mn >时，n S 与n a 的大小关系是( ) A ．n n a S <B ．n n a S ≤C ．n n a S >D ．大小不能确定12．已知函数)(sin 3)(a x e x f x-=有极值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()2,2- B ．()1,1-C ．]2,2[-D ．]1,1[-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．直线013:=+-y x l ，则直线l 的倾斜角为 . 14．平面向量a 与b 的夹角为4π，)1,1(-=，1||=，则=+|2| ． 15．已知数列{}n a 中，1,253==a a ，若⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n a 11是等差数列，则=19a ．16．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为,,,,12F A B B 延长F B 1与2AB 交于点M ，若MA B 1∠为钝角，则此椭圆的离心率e 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题共12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，⊥BE 平面ABCD ， （I ）证明：平面⊥AEC 平面BED ； （II ）若3π=∠BAD ，EC AE ⊥ 三棱锥ACD E -的体积为36，求BE 的长.18．（本小题共12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和满足)(1222*∈-+=N n a a S n n n（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项的和，求证：2<n T .19．（本小题共12分）已知函数11()cos cos 2244f x x x x =--． （1）求函数)(x f 的单调递减区间；（2）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且558=a ，D 为边AB 上一点，,2=CD B 为锐角，且0)(=B f 求BDC ∠的正弦值．20．（本小题共12分）设曲线E 是焦点在x 轴上的椭圆，两个焦点分别是是21,F F ，且2||21=F F ，M 是曲线上的任意一点，且点M 到两个焦点距离之和为4.（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设E 的左顶点为D ，若直线m kx y l +=:与曲线E 交于两点B A ,（B A ,不是左右顶点），且满足||||DB DA DB DA -=+，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标.21．（本小题共12分）设函数2)(--=ax e x f x（1）求)(x f 的单调区间；（2）若k a ,1=为整数，且当0>x 时，1)('1<+-x f x xk 恒成立，其中)('x f 为)(x f 的导函数，求k 的最大值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题共10分）已知直线)(sin cos 1:1为参数t t y t x C ⎩⎨⎧=+=αα，)(sin cos :2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x C(1) 当3πα=时，求1C 与2C 的交点；（2）设曲线2C 上任一点为),(y x M ，a y x ≥+32恒成立，求a 的取值范围.23．（本小题共10分）（1）解不等式3|1||2|2>+--x x ；（2）设正数c b a ,,满足c b a abc ++=，求证：3694≥++ac bc ab ，并给出等号成立条件.文数答案一、选择题 BACDC AABCB CA 二、填空题 136π 14 10 15 52- 16 )1,215(- 17（2）2=BE18（1）21+=n a n ；（2）2242<+-=n T n 19（1）)(65,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ（2）55220．（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）2(,0)7-（Ⅰ）设点()00,M x y ，(),P x y ，由题意可知()0,0N x∵23PN MN =，∴())002,0,x x y y --=-，即0x x =，0y y =M 在圆22:4C x y +=上 ∴2204x y += 代入得22143x y += E 的方程22143x y +=（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()2,0D -，设()11,A x y ，()22,B x y联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()()222348430k x mkx m +++-=()()()2228434412mk k m ∆=-+- ()221612390k m =-+>即22340k m +->，1,2234x k =+∴122834mk x x k -+=+ ()21224334m x x k-=+又()()1212y y kx m kx m =++ ()221212k x x mk x x m =+++ 22231234m k k-=+∵DA DB DA DB +=- ∴DA DB ⊥ 即0DA DB ⋅= 即()()11222,2,x y x y +⋅+ ()121212240x x x x y y =++++=∴222222412831224343434m mk m k k k k---++++++ 0= ∴2271640m mk k -+= 解得12m k =，227m k =，且均满足即22340k m +-> 当12m k =时，l 的方程为()22y kx k k x =+=+，直线恒过()2,0-，与已知矛盾； 当227m k =，l 的方程为2277y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，直线恒过2,07⎛⎫- ⎪⎝⎭21（1）函数f （x ）=e x-ax-2的定义域是R ，f′（x ）=e x-a ，若a≤0，则f′（x ）=e x-a≥0，所以函数f （x ）=e x-ax-2在（-∞，+∞）上单调递增 若a ＞0，则当x∈（-∞，lna ）时，f′（x ）=e x-a ＜0； 当x∈（lna ，+∞）时，f′（x ）=e x-a ＞0；所以，f （x ）在（-∞，lna ）单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增 （2）由于a=1，令，，令，在单调递增，且在上存在唯一零点，设此零点为，则当时，，当时，，由，又，所以的最大值为222．（1）1,2⎛ ⎝⎭，(1,0)；（2）4a ≥. 23．（1）()(),08,-∞+∞（2）证明：由abc a b c =++，得1111ab bc ca++=.由柯西不等式，得()()211149123ab bc ac ab bc ca ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭，所以4936ab bc ac ++≥，当且仅当2a =，3b =，1c =时，等号成立.。

2020年湖北省黄冈市黄梅县实验中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知定义在上的函数，满足（）；（）（其中是是导函数，e是自然对数的底数），则的范围为（）．A．B．C．D．参考答案：B构造函数，，则，由已知得在上恒成立，则函数在上递增，所以，即，又因为，所以根据有，即，再构造函数，，，由已知，所以在，则函数在区间上单调递减，所以，即，又因为，所以根据有，即，所以．故选．2. 如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则（A）（B）（C）（D）参考答案：D3. 某校开设5门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选1门或2门课学习，甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有（）A．330种B．420种C．510种D．600种参考答案：A【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】分类讨论，利用排列组合知识，即可得出结论．【解答】解：由题意，若都选1门，有=60种；若有1人选2门，则有=180种，若有2人选2门，则有=90种，故共有60+180+90=330种，故选：A．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查排列组合知识的运用，属于中档题．4. 四棱锥的底面是边长为2的正方形，点均在半径为的同一半球面上，则当四棱锥的台最大时，底面的中心与顶点之间的距离为（）A． B．2 C． D．参考答案：B5. 对函数f（x）=，若?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】函数的值．【分析】当m=2时，f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长；当m＞2时，只要即可，当m＜2时，只要即可，由此能求出结果．【解答】解：当m=2时，f（x）==1，此时f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长，成立；当m＞2时，，只要即可，解得2＜m＜5；当m＜2时，，只要即可，解得，综上．故选：C．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．6. 设函数的图像关于直线对称,它的周期是，则（）A.的图象过点B.的一个对称中心是C.在上是减函数D.将的图象向右平移个单位得到函数的图象参考答案：B【知识点】三角函数的图象与性质C3因为函数的周期为π，所以ω=2，又函数图象关于直线x=π对称，所以由f(x)=3sin(2x+φ)(ω＞0，-＜φ＜)，可知2×π+φ=kπ+，φ=kπ-，-＜φ＜，所以k=1时φ=．函数的解析式为：f(x)=3sin(2x+)．当x=0时f（0）=，所以A不正确．当x=时f（x）=0．函数的一个对称中心是（，0）B正确；当＜x＜，2x+∈[，]，函数不是单调减函数，C不正确；f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sin（ωx+φ-ωφ）的图象，不是函数y=3sinωx的图象，D不正确；【思路点拨】根据三角函数的单调性周期性对称性求出。

2020年5月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试文科数学本试卷共4页，23题.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答在本试题卷上无效.3.非选择题的作答：用黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在本试题卷上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知(2)2a i i b i +⋅=-，其中a ，b 为实数，i 是虚数单位，则复数i a b +=（ ） A. 22i + B. 22i - C. 22i -+ D. 22i --【答案】D 【解析】 【分析】将(2)2a i i b i +⋅=-化为22ai b i -+=-后，根据复数相等的条件可得. 【详解】由(2)2a i i b i +⋅=-得22ai b i -+=-， 所以2,2b a =-=-， 所以22a bi i +=--。

故选：D【点睛】本题考查了复数的乘法运算和复数相等的条件，属于基础题.2.已知集合{}2,,0A a a =，{}1,2B =，若{}1A B ⋂=，则实数a 的值为（ ）A. 1-B. 0C. 1D. ±1【答案】A 【解析】根据{}1A B ⋂=，得1A ∈，根据元素的互异性可知1a =- 【详解】因为{}1A B ⋂=，所以1A ∈， 又2a a ≠，所以0a ≠且1a ≠，所以21a =，所以1a =-(1a =已舍)，此时满足{}1A B ⋂=. 故选：A【点睛】本题考查了集合的交集的概念，考查了集合中元素的互异性，属于基础题.3.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222sin sin sin b c a B Aab A+--=.则角C 等于（ ） A.π6B.π3C.π4D.2π3【答案】B 【解析】 【分析】根据已知等式以及正弦定理可得222b a c ab +-=，再根据余弦定理可得1cos 2C =，根据0C π<<可得答案.【详解】由2222sin sin sin b c a B A ab A +--=以及正弦定理可得2222b c a b aab a+--=， 即222b a c ab +-=，所以222122b ac ab +-=，即1cos 2C =，又0C π<<，所以3C π=.故选：B【点睛】本题考查了正弦定理以及余弦定理，属于基础题.4.设4log 2a =，1212b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. c b a >>C. b a c >>D.【答案】D 【解析】 【分析】化简得12a =，利用16y x =在(0,)+∞上递增可以得到bc >，利用13y x =在(0,)+∞上递增可以得到c a >，根据传递性可得答案.【详解】242211log 2log 2log 222a ====, 113611()()39c ==116211()()82b <==,1133111()()283a c ==<=,所以b c a >>， 故选：D【点睛】本题考查了对数的运算性质，考查了幂函数在(0,)+∞上的单调性，解题关键是将幂值变为同指数的形式，然后利用幂函数的单调性比较大小.5.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的实轴长为（ ）B. 2C. D. 4【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的性质可得2b =，再根据离心率以及222+=a b c 可解得结果.【详解】由双曲线的性质可得2b =，又ca=c =，根据222+=a b c 得2243a a +=，解得a =所以实轴长为2a =. 故选：C【点睛】本题考查了双曲线的性质，考查了离心率公式以及222+=a b c ，考查了实轴的概念，属于基础题.6.从分别标有数字1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数字的奇偶性不同的概率是（ ） A.15B.25C.35D.45【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法得到所有基本事件的总数和所求事件的个数，再根据古典概型的概率公式可得结果.【详解】所有基本事件有：12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，21，31，41，51，32，42，52，43，53，54，共20种，其中抽到的2张卡片上的数字的奇偶性不同的有12，14，23，25，34，45，21，41，32，52，43，54，共12种，根据古典概型的概率公式可得所求事件的概率为123205=. 故选：C【点睛】本题考查了利用列举法求古典概型的概率，属于基础题.7.平行于直线4x y +=且与圆221x y +=相切的直线的方程是（ ）A. 0x y ++=或0x y +-=B. 0x y -=或0x y -=C. 10x y ++=或10x y +-=D. 40x y +-=或40x y ++=【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，设出切线方程，再根据圆心到切线的距离等于圆的半径列等式可解得结果. 【详解】依题意设圆的切线方程为0x y m ++=，1=，解得m =，所以所求圆的切线方程为20x y ++=或20x y +-=. 故选：A【点睛】本题考查了两直线平行的位置关系，考查了求圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式，属于基础题.8.据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年.如图，现有ABC 满足“勾3股4弦5”，其中3AC =，4BC =，点D 是CB 延长线上的一点，则AC AD ⋅=（ ）A. 3B. 4C. 9D. 不能确定【答案】C 【解析】 【分析】根据ABC 满足“勾3股4弦5”可得AC CB ⊥，再利用平面向量的线性运算以及两个垂直向量的数量积为0，可求得结果.【详解】因为3,4,5AC CB AB ===，所以222AC CB AB +=， 所以AC CB ⊥，所以0AC CB ⋅=，所以0AC CD ⋅=， 所以2()AC AD AC AC CD AC AC CD ⋅=⋅+=+⋅909=+=. 故选：C【点睛】本题考查了勾股定理，考查了平面向量的线性运算，考查了两个垂直向量的数量积为0，属于基础题.9.已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差为d ，前n 项和为n S .若8n S S ≤恒成立，则公差d 的取值范围是（ ）A. 11,78⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B. 1,7⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C. 1,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D.11,78⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为80a ≥且90a ≤，再根据通项公式列不等式组可解得结果.【详解】根据等差数列{}n a 的前n 项和为n S 满足8n S S ≤恒成立，可知80a ≥且90a ≤， 所以170d +≥且180d +≤，解得1178d -≤≤-. 故选：A【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了不等式恒成立转化为最值成立，考查了等差数列前n 项和的最大值，属于基础题.10.如果两个方程的曲线经过若干次平移或对称变换后能够完全重合，则称这两个方程为“互为镜像方程对”，给出下列四对方程： ①sin y x =与πcos 5y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭②2ln y x =与2ln y x = ③24x y =与24y x =④3y x =与32332y x x x =-++则“互为镜像方程对”的是（ ） A. ①②③ B. ①③④C. ②③④D. ①②③④【答案】B 【解析】 【分析】对于①，根据诱导公式化为同名函数后可知，πcos 5y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可以通过平移变换得到，所以①是互为镜像方程对方程；对于②，将2ln y x =化为分段函数后，可知②不是互为镜像方程对方程； 对于③，两个函数的图象关于y x =对称，所以③是互为镜像方程对方程； 对于④，利用差的立方公式变形可知，④是互为镜像方程对方程【详解】对于①，因为7cos()sin()sin()55210y x x x ππππ=+=++=+，所以将sin y x =向左平移710π可得πcos 5y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以①是互为镜像方程对方程；对于②因为22ln 0ln 2ln 2ln()0x x y x x x x >⎧===⎨-<⎩，所以2ln y x =的图象是2ln y x =的图象的一部分，故②不是互为镜像方程对方程；对于③因为24x y =与24y x =关于y x =对称，所以③是互为镜像方程对方程；对于④因为32332y x x x =-++3(1)3x =-+，所以将3y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位可得32332y x x x =-++的图象，故④是互为镜像方程对方程. 故选：B【点睛】本题考查了诱导公式，考查了图象的平移变换和对称变换，考查了差的立方公式，属于基础题.11.ABC 是边长为2的等边三角形，M 为AC 的中点.将ABM 沿BM 折起到PBM 的位置，当三棱锥P BCM -体积最大时，三棱锥P BCM -外接球的表面积为（ ）A. πB. 3πC. 5πD. 7π【答案】C 【解析】 【分析】根据三棱锥P BCM -体积最大，可得,,PM MC PM BM BM MC ⊥⊥⊥，可得三棱锥P BCM -的外接球与以,,MP MB MC 为邻边的长方体的外接球是同一个球，根据长方体的对角线长定理可得外接球的半径，从而可得其表面积. 【详解】当三棱锥P BCM-体积最大时，P 点最高，此时,,PM MC PM BM BM MC ⊥⊥⊥，因为三棱锥P BCM -的外接球与以,,MP MB MC 为邻边的长方体的外接球是同一个球，设其半径为R ，因为1,MP MC MB ===， 所以2222(2)1135R MP MC MB =++=++=， 所以三棱锥P BCM -外接球的表面积为245R ππ=. 故选：C【点睛】本题考查了三棱锥的体积，考查了长方体的对角线长定理，考查了球的表面积公式，属于中档题.12.已知函数()()cos 0,0f x x a x a ωωω=+>>，对任意12,x x R ∈，()()12f x f x +的最大值为4，若()f x 在()0,π上恰有两个极值点，则实数ω的取值范围是（ ） A. 47,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 4733⎛⎤ ⎥⎝⎦，C. 713,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 713,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】由题意得()f x 的最大值为2，由此可求得1a =，所以()2sin()6f x x πω=+，求导后可知cos()06x πω+=在()0,π上恰有两个零点，换元后可知cos 0t =在(,)66ππωπ+在上恰有两个零点，所以函数cos y t =的图象与t 轴恰有两个交点，所以35262πππωπ<+≤，由此解得即可.【详解】因为对任意12,x x R ∈，()()12f x f x +的最大值为4， 所以()f x 的最大值为2，2=，又0a >，所以1a =， 所以()2sin()6f x x πω=+，所以()2cos()6f x x πωω'=+，因为()f x 在()0,π上恰有两个极值点，所以()2cos()06fx x πωω'=+=，即cos()06x πω+=在()0,π上恰有两个零点， 设6t x πω=+，则(,)66t ππωπ∈+， 所以cos 0t =在(,)66ππωπ+在上恰有两个零点， 所以函数cos y t =的图象与t 轴恰有两个交点，所以35262πππωπ<+≤，解得4733ω<≤. 故选：B【点睛】本题考查了三角函数的最值，考查了利用导数研究函数的极值，考查了函数的零点，余弦函数的图像，考查了等价转化思想，属于中档题. 二、填空题13.若变量x ，y 满足约束条件24y xy x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值是______.【答案】-4 【解析】 【分析】作出可行域，根据图形找到最优解，将最优解的坐标代入目标函数即可得到答案. 【详解】作出可行域如图：由图可知，点M 为最优解，联立24y x x y =⎧⎨+=⎩解得48,33x y ==，所以48(,)33M ，所以min 482433Z =-⨯=-， 故答案为：4-【点睛】本题考查了线性规划求目标函数的最值，解题关键是找到最优解，属于基础题. 14.若sin 3cos αα+=tan α=______. 【答案】13【解析】 【分析】设cos ϕ=，sin ϕ=，将sin 3cos αα+=化为sin()1αϕ+=，可得2,2k k Z παπϕ=+-∈，求出sin α和cos α后，相除可得结果.【详解】因为sin 3cos αα+=1αα=，设cos ϕ=sin ϕ=， 则sin()1αϕ+=， 所以2,2k k Z παϕπ+=+∈，所以2,2k k Z παπϕ=+-∈，所以sin sin(2)cos 210k παπϕϕ=+-==，k Z ∈cos cos(2)sin 2k παπϕϕ=+-==k Z ∈，所以sin 1tan cos 3ααα===.故答案为：13【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了诱导公式，属于基础题. 15.已知函数()2xxf x e ex -=-+，使不等式()()210f x f x -+>成立的x 的取值范围是______.【答案】13x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】根据奇函数的定义可得()f x 为奇函数，利用导数可得()f x 为增函数，再将不等式化为(21)()()f x f x f x ->-=-，利用单调性可解得结果.【详解】因为()2xxf x e ex -=-+，所以()2()x x f x e e x f x --=--=-，所以函数()f x 为奇函数， 又()20xxf x e e-'=++>，所以()f x 在R 上为递增函数，所以()()210f x f x -+>等价于(21)()()f x f x f x ->-=-， 所以21x x ->-，解得13x >. 故答案为：13x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数的奇偶性，考查了利用奇偶性和单调性解不等式，属于基础题.16.已知斜率为()0k k >的直线l 过抛物线C ：26y x =的焦点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为1A ，1B ，若112ABB ABA S S ∆∆=，则k 的值为______.【答案】【解析】 【分析】1122(,),(,)A x y B x y ，联立直线与抛物线，由韦达定理可得212223663k x x k k++==+，1294x x =，设1A ，1B 到直线l 的距离分别为12,d d ，根据11212ABB ABA S d S d ∆∆==得21922x x +=，联立方程组可解得k =【详解】依题意可得3(,0)2F ，直线3:()2l y k x =-， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则1112(,0),(,0)A x B x ，联立23()26y k x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y 并整理得22229(36)04k x k x k -++=，所以212223663k x x k k ++==+，1294x x =， 设1A ，1B 到直线l 的距离分别为12,d d ，则11133||||kx k k x d --==22233||||kx k k x d --==所以1122113||223||2ABB ABA x S d S d x -===-，因为1233()()022x x --< 所以21922x x +=，联立211292294x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得134x =，23x =，所以236334k+=+，所以28k =，又0k >，所以k =故答案为：【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，点到直线的距离，韦达定理，考查了运算求解能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：17.三峡大坝专用公路沿途山色秀美，风景怡人.为确保安全，全程限速为80公里/小时.为了解汽车实际通行情况，经过监测发现某时段200辆汽车通过这段公路的车速均在[50，90]（公里/小时）内，根据监测结果得到如下组距为10的频率分布折线图：（1）请根据频率分布折线图，将颊率分布直方图补充完整（用阴影部分表示）；（2）求这200辆汽车在该路段超速的车辆数以及在该路段的平均速度.【答案】（1）作图见解析（2）72（公里/小时）【解析】【分析】（1）分别以0.06和0.01为高，10为宽作出两个矩形即可；（2）用第四个矩形的面积乘以样本容量即得这200辆汽车在该路段超速的车辆数，用四个矩形底端的中点值乘以各个矩形的面积，再相加即可得这200辆汽车在该路段的平均速度. 【详解】（1）（2）由题可知，当车速在[80，90]时超速，此时车辆共有：⨯⨯=（辆）；2000.011020这200辆汽车在该路段的平均速度为：()550.01650.02750.06850.011072⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（公里/小时）【点睛】本题考查了频率分布折线图和频率分布直方图，考查了利用频率分布直方图求平均值，属于基础题.18.已知数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，*11()2n n n a a n N a --=∈+，数列{}n b 满足12n n n n b a a +=⋅.（1）证明：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）证明见解析；121n n a =-（2）11121n +--【解析】 【分析】 （1）将()*112n n n a a n N a --=∈+两边倒过来，再加上1，可得111121n n a a -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据定义可知数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，从而可得其通项公式； （2）由()()1121121212121n nn n n n b ++==-----进行裂项求和可得结果.【详解】（1）证明：当2n ≥时，()*112n n n a a n N a --=∈+， ∴111121n n a a -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以2为公比，以1112a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭为首项的等比数列， 从而11112221n n n n a a -+=⨯⇒=-， （2）由（1）121n n a =-，∴()()1121121212121n nn n n n b ++==-----，∴2231111111212121212121n n nT+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭11121n+=--【点睛】本题考查了用定义证明数列为等比数列，考查了由递推关系式求通项公式，考查了裂项求和方法，将nb裂成两项之差是求和的关键，属于中档题.19.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为直角梯形，//AD BC，AD AB⊥，PA⊥平面ABCD，过AD的平面与PC，PB分别交于点M，N，连接MN.（1）证明：//BC MN；（2）已知2PA AD AB BC===，平面ADMN⊥平面PBC，求P BDMP ABCDVV--的值.【答案】（1）证明见解析；（2）16【解析】【分析】（1）根据直线与平面平行的判定定理得//BC平面ADMN，再根据直线与平面平行的性质定理可得//BC MN；（2）根据2PA AD AB BC===，平面ADMN⊥平面PBC，推出M为PC的中点，然后将三棱锥P BDM-的体积转化为三棱锥P BCD-的体积的一半，再根据锥体的体积公式，将将体积比转化为底面积之比即可得到结果.【详解】（1）证明：如图：∵//BC AD ，BC ⊄平面ADMN ，AD ⊂平面ADMN ， ∴//BC 平面ADMN . 又BC ⊂平面PBC ，平面PBC 平面ADMN MN =，∴//BC MN（2）∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PA BC ⊥，又BC AB ⊥，PAAB A =，∴BC ⊥平面PAB ，∵AN ⊂平面PAB ，∴BC AN ⊥，又//BC MN ， ∴AN MN ⊥，∵平面ADMN ⊥平面PBC ，平面ADMN 平面PBC MN =，∴AN ⊥平面PBC ∴AN PB ⊥，∵PA AB =∴N 为PB 中点，又//BC MN ，∴12PM PC =， ∴1122P BDM C BDM B CDM B PCD P BCD V V V V V -----====， 设四棱锥P ABCD -的高为h ，∴11123213BCD P BCDP BDMP ABCDP ABCDABCD S h V V V V S h ----⋅⋅==⋅△△，又13BCD ABCD S S =△△， ∴16P BDM P ABCD V V --=.【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理和性质定理，考查了平面与平面垂直的性质定理，考查了椎体的体积公式，属于中档题.20.在平面直角坐标系中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的焦距为2，且过点21,2⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 左焦点1F 的直线l （不与坐标轴垂直）与椭圆C 交于A ，B 两点，若点1,03H ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足HA HB =，求AB .【答案】（1）2212x y +=（2【解析】 【分析】（1）根据1c =，又221112a b+=，221a b =+，联立方程组可解得22a =，21b =，由此可得椭圆C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()00,P x y ，直线AB 的方程为：()1y k x =+，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理得212221224212221k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，可得2222,2121k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，再利用HA HB =得1PH AB k k =-，可得21k =，再根据弦长公式可得结果.【详解】（1）由题可知1c =，又221112a b+=，221a b =+， ∴()2211121a a +=-， ∴422520a a -+=∴()()222210a a --=， 又21a >∴22a =，21b =，所以椭圆C 的方程为：2212x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()00,P x y ，直线AB 的方程为：()1y k x =+，由()22112y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩可得()2222214220k x k x k +++-=，∴212221224212221k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩， ∴122221ky y k +=+，∴2222,2121k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ∵HA HB =，∴1PH AB k k =-，∴22221121213kk k k k +⋅=--++， ∴21k =，∴1k =±， 所以1243x x +=-，120x x =，所以||AB =3==. 【点睛】本题考查了根据椭圆的性质求椭圆方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了利用弦长公式求弦长，考查了运算求解能力，属于中档题. 21.已知函数()()xf x ae a R =∈，()ln 1xg x x=+. （1）当1a e =时，求函数()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； （2）当1a e≥时，证明：()()0f x g x -≥.【答案】（1）y x =（2）证明见解析；【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再用直线方程的点斜式即可得到所求切线方程； （2）根据1a e ≥可得1x x ae e -≥，再利用导数证明1x e x -≥和ln 1x x x≥+，根据不等式的传递性可证()()0f x g x -≥.【详解】（1）当1a e =时，1()xx e f x e e-==,所以()1x f x e-'=，∴()11f '=，(1)1f =，∴函数()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为11y x -=-，即y x =. （2）∵1a e≥，∴1x x ae e -≥， 令()1x m x ex -=-，则()11x m x e -'=-，令()0m x '=，则1x =，当()0,1x ∈时，()0m x '<，()m x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0m x '>，()m x 单调递增，∴()()min 10m x m ==， 故1x e x -≥恒成立，所以只需证ln 1xx x≥+，即证2ln 0x x x --≥， 令()2ln n x x x x =--，则()()()221112121x x x x n x x x x x+---'=--==， 令()0n x '=，则1x =，当()0,1x ∈时，()0n x '<，()n x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0n x '>，()n x 单调递增，∴()()min 10n x n ==，∴()0n x ≥恒成立， ∴ln 1xx x≥+， ∴1ln 1xx xae ex x-≥≥≥+， ∴()()f x g x ≥，∴()()0f x g x -≥恒成立.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数证明不等式，考查了不等式的传递性，解题关键是转化为证明三个不等式，属于中档题.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是3cos 0ρθ+=. （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设()2,0P -，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求APO BPO S S ∆∆-.【答案】（1）直线l0y ++=；曲线C ：223924x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭（2【解析】 【分析】（1）消去参数t 可得直线l 的普通方程，在极坐标方程两边同时乘以ρ，然后利用公式222x y ρ=+，cos x ρθ=，可得曲线C 的直角坐标方程；（2）设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，联立直线l 与曲线C ，根据韦达定理可得1212t t +=-，求得点O 到直线l得距离后，再根据121122APO BPO S S d BP d P t t A -=⋅-⋅=+△△即可求得结果. 【详解】（1）由1222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t 可得直线l0y ++=，由3cos 0ρθ+=得23cos 0ρρθ+=，因222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以2230x y x ++=，所以曲线C ：223924x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.（2）联立直线l 与曲线C得：2213922224t ⎛⎫⎛⎫--++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得：21202t t +-=， 设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ， ∴1212t t +=-， 因为O 到直线l 的距离d ==所以121122APO BPO A S S d BP d t P t -=⋅-⋅=+=△△【点睛】本题考查了参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了直线参数方程中参数的几何意义，属于中档题. 23.已知函数()21f x x x =+--.（1）求不等式()2f x ≥-的解集；（2）设a ，b ，c 为正实数，若函数()f x 的最大值为m ，且2a b c m ++=，求证294ab ac bc c +++≤. 【答案】（1）32x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭（2）证明见解析； 【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值，变成分段函数后可解得结果；（2）由（1）可知，3m =，所以23a b c ++=，再将2ab ac bc c +++分解因式后利用基本不等式可证.【详解】（1）由题可知，32()212131x f x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，当2x -≤时，显然不成立，当21x -<<时，212x +≥-，∴312x -≤<； 当1x ≥时，成立，故()2f x ≥-的解集为32x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭. （2）证明：由（1）可知，()f x 的最大值为3，∴23a b c ++=，∴()()222924a b c ab ac bc c a c b c ++⎛⎫+++=++≤= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了分类讨论法解绝对值不等式，考查了利用基本不等式证明不等式，属于基础题.。

2020届湖北省名师联盟高三第七次调研考试数学（理） 试卷 ★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1. 复数z 满足()132z i i -=+，则复数z ＝( )A ．1322i + B ．1322i - C ．1522i - D ．1522i +2. 已知集合{|A x y ==， {|31,}B x x n n N +==-∈，则A B =（ ）A ．{2}B ．{}2,5C ．{}2,5,8D ．{}1,2,5,8-3. 已知命题2:,10p x R x x ∀∈-+>；命题:q a b >是11a b>的充要条件，则下列为真命题的是（ ）A ．p q ∧ B.p q ⌝∨ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝4. 已知数列{}n a 为等差数列，且满足251115a a a ++=，则数列{}n a 的前11项和为（ ） A ．40B ．45C ．50D ．555. 已知函数(1)f x +是偶函数，函数()f x 在(]1-∞，上单调递增，0.512(4),(log 4)a f b f ==，(3)c f =，则（ ）A. b c a <<B.a c b <<C.c a b <<D. a b c << 6. 将函数2()cos(2)cos 23f x x x π=-+的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是( )A.6πB.3πC.23π D.56π 7. 若1x =是函数21()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极大值为（ ）A. 1-B. 32e --C. 35e -D. 18. 函数22sin 22()(,00,)133x x f x x x ππ⎡⎫⎛⎤=∈-⋃⎪ ⎢⎥+⎣⎭⎝⎦的图像大致为（ ）A B C D 9. 已知向量a ，b 的夹角为135，且1a =，2b =．若向量m 满足4a m b m ⋅=⋅=，则m = ( )A.B.C.D. 10. 已知函数()2018,2020,412022,2020,2019x m x f x m x x -⎧≥⎪=⎨⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎩数列{}n a 满足(),na f n n N *=∈，且{}n a 是单调递增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A.(]1,3B.()1,+∞C.[)3,+∞D.()3,+∞11. 已知函数()2sin cos (0,0)6f x x a x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭对任意12,x x R ∈都有()()12f x f x +≤，若()f x 在[0,]π上的值域为[3,，则实数ω的取值范围为( )A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦12. 对于任意的实数[]1,x e ∈，总存在三个不同的实数[]1,4y ∈-，使得21ln 0y y xe ax x ---=成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3160,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．23163,e e e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．23161,e ee ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．3163,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4题，每小题5分共20分，把答案填在答题卡相应位置上。

2019-2020年高三7月联考文数试题 含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.只有一项是符合题目要求的.）1. 为虚数单位，若)i z i =，则||z =（ ）A ．1BCD ．2 【答案】A考点：复数的运算，复数的模． 2. 满足M ⊆{}1234,,,a a a a 且{}{}12312,,,Ma a a a a =的集合M 的个数是（ ）A .1B .2C .3D .4 【答案】B 【解析】试题分析：由题意M 可能为12124{,},{,,}a a a a a ，共2个．故选B ． 考点：集合的包含关系．3. 已知,a b 是实数，则“1a >且2b >”是“3a b +>且2ab >”的( ). A.充分而不必要条件 B.充分必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 试题分析：1322a a b b ab >+>⎧⎧⇒⎨⎨>>⎩⎩，但当1,62a b ==时，满足32a b ab +>⎧⎨>⎩但不满足12a b >⎧⎨>⎩，因此12a b >⎧⎨>⎩是32a b ab +>⎧⎨>⎩的充分不必要条件．故选A ．考点：充分必要条件．4. 设→a 与→b 是两个不共线向量，且向量→→+b a λ与)2(→→--a b 共线，则λ=（ ）A ．0B ．21-C ．－2D ．21 【答案】B 【解析】试题分析：由题意(2)()b a k a b λ--=+，所以21k k λ=⎧⎨=-⎩，12λ=-．故选B ．考点：向量的共线．5. 某程序框图如下图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）A.2()f x x =B.1()f x x=C.()x f x e =D.()sin f x x =【答案】D考点：程序框图．6．袋中共有6个大小质地完全相同的小球，其中有2个红球、1个白球和3个黑球，从袋中任取两球，至少有一个黑球的概率为（ ） A ．34B ．25C ．35D ．45【答案】D 【解析】试题分析：由题意2326415C P C =-=．故选D ．考点：古典概型，互斥事件的概率．【名师点睛】对含“至少”、“至多”等的概率问题，可以用分类加法原理求事件数，用古典概型概率公式求解，也可以从反面入手．本题直接做就是1123332645C C C P C +==，从反面入手就是“至少有1个黑球”的反面“没有黑球”，没有黑球概率为232615C C =，因此至少有有一个黑球的概率为14155-=． 7．函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=,且当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ,设)3(),21(),0(f c f b f a ===,则 ( )A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．a c b << 【答案】B考点：函数的单调性．8．函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数)(x f 的图象（ ） A ．关于点)0,12(π对称 B ．关于直线12π=x 对称C ．关于点)0,125(π对称 D ．关于直线125π=x 对称 【答案】D 【解析】试题分析：由2T ππω==得2ω=，()f x 图象向右平移3π个单位后得()sin[2()]3g x x πϕ=-+2sin(2)3x πϕ=-+，由题意2sin()03πϕ-+=，因为2πϕ<，所以3πϕ=-，即()sin(2)3f x x π=-．1sin(2)sin()12362πππ⨯-=-=-，5sin(2)sin 11232πππ⨯-==，A 、B 、C 错误，D 正确．故选D ．考点：三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的性质． 9. 已知函数()2ln xf x x x=-，则函数()y f x =的大致图像为（ ）【答案】A 【解析】试题分析：22ln ln ()()()x x f x x x f x x x--=--=+≠--，因此()f x 不是奇函数，图象不会关于原点对称，B 、C 不正确，在0x >时，32ln ln ()x x xf x x x x-=-=，易知此时()f x 无零点，因此D 错，只有A 正确．故选A ． 考点：函数的图象．10．若点(,)P a b 在函数23ln y x x =-+的图像上，点(,)Q c d 在函数2y x =+的图像上， 则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）B.2C.【答案】D考点：导数的几何意义，点到直线的距离．11．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是（ ）【答案】C考点：抛物线的性质，余弦定理，基本不等式．【名师点睛】在解决涉及圆锥曲线上的点到焦点距离时常考虑圆锥曲线的定义，利用它可以把距离进行转化，可以把代数计算借助于几何方法进行解决，通过这种转化可以方便地寻找到题中量的关系．本题通过抛物线的定义，把比值MNAB转化为ABF ∆的三边的关系，从而再由余弦定理建立联系，自然而然地最终由基本不等式得出结论．12．定义在R 上的函数()f x 满足()(4)16f x f x ++=，当(]0,4x ∈时，2()2xf x x =-，则函数()f x 在[]4,2016-上的零点个数是（ ）A. 504B.505C.1008D.1009【答案】B 【解析】试题分析：由()(4)16f x f x ++=得(4)(8)16f x f x +++=，所以(8)()f x f x +=，即()f x 是以8为周期的周期函数，当(0,4]x ∈时，2()2x f x x =-有两个零点2和4，当(4,8]x ∈时，24()16(4)2x f x x -=--+无零点，20162528=，因此在(0,2106]上函数有2252504⨯=个零点，又(4)(4)0f f -==，因此有[4,2016]-上，()f x 有5041505+=个零点．故选B ．考点：周期函数，函数的零点．【名师点睛】函数的周期性在解函数问题时有许多应用．如本题求在区间[4,2016]-上的零点个数，如求值12()()()n f a f a f a +++等涉及的区间较大，求函数值的个数较多等时，一般要考虑函数有没有周期性，如是周期函数，只要研究函数在一个周期内的情形就可得出结论．在解题时要注意所求区间的端点是否满足题意，否则易出错．二、填空题（本大题共4个小题,每小题5分,共20分，将答案填在答题纸上．）13. 若向量)2,1(=→a ，)1,1(-=→b ，则=+→→b a 2 . 【答案】(3,3) 【解析】试题分析：=+→→b a 22(1,2)(1,1)(3,3)+-=． 考点：向量线性运算的坐标表示． 14．已知1sin cos 2αα=-，则cos 2sin()4απα-的值为___________.【答案】2-考点：二倍角公式，两角和与差的正弦公式．15．若曲线),(sin )(R b a x b ae x f x∈+=在0=x 处与直线1-=y 相切，则=-a b 【答案】2 【解析】试题分析：'()cos xf x ae b x =+，'(0)f a b =+，由题意10a a b =-⎧⎨+=⎩，则11a b =-⎧⎨=⎩，2b a -=．考点：导数的几何意义．【名师点睛】1．导数的几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数0'()f x 的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝0'()f x (x －x 0)． 2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别． 16. 已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(2)()f x f x +=，当11x -≤＜ 时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 的取值范围是_______.【答案】1(0,](5,)5+∞考点：函数的周期性，函数的零点．【名师点睛】函数的零点问题，属于函数与方程专题，对于基本的零点问题可用零点存在定理判断，大多数情况下，应该把函数的零点与方程的解结合起来，再把方程的解转化为函数图象交点问题，利用函数图象可以直观地得出结论．三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本题满分12分）已知函数x x x f 2cos 2sin 3(-=）.（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数)(x f 的单调递减区间；（Ⅲ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（I ）π=T ；（Ⅱ）)](65,3[z k k k ∈++ππππ；（Ⅲ）()f x 2-．考点：三角函数的周期，单调性，最值．18. （本题满分12分）已知函数()f x =A ， 函数()g x =1()2x ,(10)x -≤≤的值域为集合B ． （1）求AB ；（2）若集合[],21C a a =-，且C B B =，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{2}；（2）3(,]2-∞．考点：集合的运算，集合的包含关系．19. （本题满分12分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示.已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为10.87092112n m 甲组乙组（1）分别求出m ，n 的值；（2）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差2s 甲和2s 乙，并由此分析两组技工的加工水平；（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件个数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率.（注：方差2222121=[()()()]n s x x x x x x n-+-+-+，其中x 为数据12,,,n x x x 的平均数）.【答案】（1）3=m ，8=n ；（2）甲乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些；（3）54. 【解析】 试题分析：（1）利用平均数都为10可求得,m n ；（2）利用方差公式可计算出方差，比较可知哪个更稳定；（3）甲乙两车间各5个数据，各取一个有5525⨯=种取法，其中不合格有78,79,710,88,89+++++共5种，其余都是合格的，由此可计算出概率．试题解析：（1）由87(10)1210105m +++++=得3m =，由9101112105n ++++=，得8n =；（2）2222221[(810)(710)(1010)(1210)(1310)] 5.25S =-+-+-+-+-=甲， 2222221[(810)(910)(1010)(1110)(1210)]25S =-+-+-+-+-=乙， 因为22S S >乙甲，因此可以判断甲乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些；（3）甲车间5人合格零件个数依次为7,8,10,12,13，乙车间5人合格零件个数依次为8,9,10,11,12，各抽一个，共有25种取法，其中质量不合格的有325+=种，合格的有25520-=种，合格概率为204255=． 考点：茎叶图，方差，古典概型．20．（本题满分12分）己知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，其中11a =，且2a ，4a ，62a +构成等比数列：数列{}nb 的前n 项和为n S ，满足21n n S b +=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）如果n n n c a b =，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，是否存在正整数n ，使得n n T S >成立，若存在，求出n 的最小值，若不存在，说明理由．【答案】（1）n a n =，13n n b =；（2）2.S，求通项公式，错位相减法求和．考点：等差数列与等比数列的通项公式，已知n【名师点睛】1．一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．2．用错位相减法求和的注意事项(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．21. （本小题满分12分）已知函数()()ln 4f x ax x a =--∈R .（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当2a =时，若存在区间[]1,,2m n ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使()f x 在[],m n 上的值域是,11k k m n ⎡⎤⎢⎥++⎣⎦， 求k 的取值范围.【答案】（Ⅰ）当a ≤0时，()f x 在()0+∞，上为减函数；当a >0时，()f x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为减函数，在1+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上为增函数. （Ⅱ）3ln 294,.2-⎛⎤- ⎥⎝⎦试题解析：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是()0+∞，，()1ax f x x-'=， 当a ≤0时，()0f x '≤，所以()f x 在()0+∞，上为减函数， 当a >0时，令()0f x '=，则1x a =，当10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '<，()f x 为减函数， 当1+x a ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，()f x 为增函数， ∴当a ≤0时，()f x 在()0+∞，上为减函数；当a >0时，()f x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为减函数，在1+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上为增函数.（Ⅱ）当2a =时，()2ln 4f x x x =--，由（Ⅰ）知：()f x 在1+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上为增函数，而[]1,,2m n ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，∴()f x 在[],m n 上为增函数，结合()f x 在[],m n 上的值域是,11k k m n ⎡⎤⎢⎥++⎣⎦知：()(),11k k f m f n m n ==++，其中12m n <≤， 则()1k f x x =+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上至少有两个不同的实数根， 由()1k f x x =+得()2=221ln 4k x x x x --+-， 记()()2=221ln 4x x x x x ϕ--+-，1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则()1=4ln 3x x x x ϕ'---， 记()()1=4ln 3F x x x x xϕ'=---，则()()2222213410x x x x F x x x -+-+'==>， ∴()F x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，即()x ϕ'在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数， 而()1=0ϕ'，∴当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'>， ∴()x ϕ在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在()1,+∞上为增函数， 而13ln 2922ϕ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1=4ϕ-，当x →+∞时，()x ϕ→+∞，故结合图像得： ()13ln 291422k k ϕϕ-⎛⎫<⇒-< ⎪⎝⎭≤≤，∴k 的取值范围是3ln 294,.2-⎛⎤- ⎥⎝⎦考点：导数与单调性，函数的综合应用．【名师点睛】本题是函数的综合应用，通过定义域与值域提出问题，考查转化与思想，通过数学概念的转化，通过数学方法的转化，是我们解决问题的基础．本题中由定义域和值域提出问题是方程则()1k f x x =+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上至少有两个不同的实数根，方程()1k f x x =+采用分离参数法转化为()2=221ln 4k x x x x --+-，这样问题又转化为直线y k =与函数记()()2=221ln 4x x x x x ϕ--+-， 1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，有两个不同的交点，最终问题转化为研究函数()()2=221ln 4x x x x x ϕ--+-的的单调性与极值．通过这种不断转化，可使问题逐步明朗，易于求解．这也是在解决综合问题时常用的方法．请考生在第22、23两题中任选一题．．．．做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为5,212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）设曲线C 与直线l 相交于,P Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积．【答案】(1) C :224x y x +=,:50l x --=【解析】考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线与圆相交弦长．23.设函数()f x =．（1）当5a =时，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的定义域为R ，试求a 的取值范围．【答案】(1) {}14x x x ≥≤-或;(2) (],1-∞.【解析】试题分析：（1）求函数定义域实质就是解不等式|1||2|50x x +++-≥，可按照绝对值的定义分类去掉绝对值符号化绝对值不等式为一元一次不等式组解得；（2）|1||2|0x x a +++-≥恒成立，只要求得12x x +++的最小值即可，这由绝对值的性质可得．试题解析：（1）当5a =时，()f x =|1||2|50x x +++-≥得： 2820x x <-⎧⎨--≥⎩或2120x -≤<-⎧⎨-≥⎩或1220x x ≥-⎧⎨-≥⎩，解得：41x x ≤-≥或，考点：解绝对值不等式．。

绝密★启用前湖北省名师联盟2020届高三年级上学期入学调研考试卷数学（文）试题(一)注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{|15}A x x =-<,则R A =ð（ ） A ．{|4}x x >- B ．{|4}x x ≤ C ．{|4}x x <-D ．{|4}x x ≤-2．2(3)i -=（ ） A ．86i --B ．86i +C ．86i -D ．86i -+3．已知平面向量(1,2)a =-,(2,)b y =,且//a b ,则32a b +=（ ） A ．(1,7)-B ．(1,2)-C ．(1,2)D ．(1,2)-4．已知数列{}n a 为等差数列,若26102a a a π++=,则39tan()a a +的值为（ ） A ．0B．3C ．1D5．设a ,b 是非零向量,“||||a b a b ⋅=”是“//a b ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．设()f x 是定义在R 上的周期为3的周期函数,如图表示该函数在区间(2,1]-上的图象,则(2018)(2019)f f +=（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．27．若函数32()236f x x mx x =-+在区间(1,)+∞上为增函数,则实数m 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．(,2]-∞D ．(,2)-∞8．已知某运动员每次投篮命中的概率都是40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有一次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数作为一组,代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907,966,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,393,027,556,488,730,113,537,989．据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A ．0.25B ．0.2C ．0.35D ．0.49．ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知(c o s s i n )3b a C =+,2a =,3c =,则角C =（ ） A ．3π B ．6π C ．34π D ．4π 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号10．已知点O 为双曲线C 的对称中心,直线21,l l 交于点O 且相互垂直,1l 与C 交于点11,B A ,2l 与C 交于点22,B A ,若使得||||2211B A B A =成立的直线21,l l 有且只有一对,则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ） A ．]2,1( B ．]2,1(C ．]2,2[D ．),2(+∞11．下列命题：①“在三角形ABC 中,若sin sin A B >,则A B >”的逆命题是真命题； ②命题p ：2x ≠或3y ≠,命题q ：5x y +≠,则p 是q 的必要不充分条件； ③“x R ∀∈,3210x x -+≤”的否定是“x R ∀∈,3210x x -+>”； ④“若a b >,则221a b >-”的否命题为“若a b ≤,则221a b ≤-”； 其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4123sin x =的根的个数是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6二、填空题：本大题共4小题,每小题5分．13．点(2,1)M 到抛物线2y ax =准线的距离为2,则a 的值为 ． 14．若02πα<<,02πβ-<<,1cos()43πα+=,sin()243βπ+=, 则cos(2)αβ+= ．15．菱形ABCD 边长为6,60BAD ∠=︒,将BCD ∆沿对角线BD 翻折使得二面角C BD A --的大小为120︒,已知A 、B 、C 、D 四点在同一球面上,则球的表面积等于 ．16．已知函数()212ln f x x x e e ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭,()1g x mx =+,若()f x 与()g x 的图像上存在关于直线1y =对称的点,则实数m 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．（12分）设数列{}n a 满足：11a =,2131a a -=,且11112n n n n n a a a a a -+-++=(2)n ≥． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列112b =,14n n n b a a -=,设{}n b 的前n 项和n T ．证明：1n T <．18．（12分）已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品,且每生产1件正品可获利20元,生产1件次品损失30元,甲,乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示．。

高三年级联合考试 数 学（文科） 试 题本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.第I 卷选择题（共60分） 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i 为虚数单位，若复数2)1(1i z -+=,则=||z （ ）A. 1B. 2C. 2D. 52. 已知集合{}{}12,1A x x B x x =-<<=>，则A B =U （ ） A ．()1,1- B ．()1,2 C ．()1,-+∞ D ．()1,+∞3．若()224ln f x x x x =--，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．()2,+∞B ． ()()1,02,-+∞C ．()1,+∞D ． ()0,24．设,m n R ∈，则“m n <”是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞内单调递减，则（ ） A ．23(log 3)(log 2)(0)f f f -<< B ．32(log 2)(0)(log 3)f f f <<- C ．32(0)(log 2)(log 3)f f f <<- D ．32(log 2)(log 3)(0)f f f <-<6．已知(0,),2sin 2cos 212πααα∈=+，则sin α=( )A ．15BCD7. 若函数()sin ln(f x x ax =⋅的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．2± C ．4 D ．4±8.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数21)(xexx f -=的图象大致是（ ）9. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010，则下列各数中与MN最接近的是（ ） （参考数据：lg30.48≈） A ．3310 B ．5310 C ．7310D ．931010.如图，点A 为单位圆上—点，3π=∠xOA ，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点B )22,22(-，则sin α=（ ） A.462+- B.462- C.462+ D. 462+-11.若存在两个正实数,x y 使得等式(1ln )ln x x x y ay +=-成立（其中ln ,ln x y 是以e 为底的对数），则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦C ． 210,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12.高斯函数[]()f x x =（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），若函数()2x xg x e e -=--的零点为0x ，则[]0()g f x =（ ） A ．12e e-- B ．-2C ．12e e-- D ．2212e e--第II 卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分） 13.已知函数，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是 ．14.函数|1|)(-+=x e x f x的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为 ．15.1sin10︒________． 16．定义函数(),y f x x I =∈，若存在常数M ，对于任意1x I ∈，存在唯一的2x I ∈，使得12()()2f x f x M +=，则称函数()f x 在I 上的“均值”为M ，则函数20202()log ,1,2f x x x ⎡⎤=∈⎣⎦的“均值”为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21为必考题，每个考生都必须作答．第22、23题选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分 17．(本小题满分12分） 已知命题:0,,1tan 3p x x m π⎡⎤∀∈+≤⎢⎥⎣⎦，命题:q 关于x 的不等式2(1)40x m x +-+>在R 上恒成立．（1）若p q ∧为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若p q ∨为假命题，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分）已知函数1(=cos cos )+2f x x x x -）. （1）求π()3f 的值；（2）将函数()y f x =的图像向左平移6π后得到函数()y g x =，若π[0,]2x ∈时，不等式()2c g x c <<+恒成立，求实数c 的取值范围．19. (本小题满分12分） 已知幂函数223()()mm f x x m Z -++=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上是单调递增函数．(1)求函数()f x 的解析式； (2)设函数3219()()()42g x f x ax x b x R =++-∈，其中,a b R ∈.若函数()g x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围 ．20. (本小题满分12分）已知抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ,过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点,A B ,且直线PA 交y 轴于M ,直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为坐标原点,,QM QO QN QO λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r ,求证: 11λμ+为定值.21.(本小题满分12分）已知函数x x x x x x g x x x x f sin cos 3sin 3)(,sin cos 2)(2++-=+=. (1)证明: )(x f 在区间)0,(π-上存在唯一零点；(2)令)0>)(()()(a x g x af x h -=，若),(ππ-∈x 时)(x h 有最大值，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程： 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，其中α为l 的倾斜角，且其中0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程)(2R ∈=ρπθ，曲线2C 的极坐标方程82cos 2=θρ.(1)求1C 、2C 的直角坐标方程； (2)已知点(2,0)P -，l 与1C 交于点Q ，与2C 交于,A B 两点，且2||||||PQ PB PA =⋅，求l 的普通方程.23. (本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 ： 已知c b a ,,为正数,且2=++c b a ,证明: (1) 43≤++ac bc ab ； (2) 8222≥-⋅-⋅-acc b b a .数 学 试 题答案20y -= 15. 4 16. 1010 12．解：因为，所以在R 上恒成立，即函数在R 上单调递增；又，所以()g x在(0,1)上必然存在零点，即0(0,1)x ∈，因此，所以.故选B17.解：若P 真，不等式1tanx m +≤对0,3x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦恒成立，又1tan y x =+在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以 ()max 1tan 1x += 即：1m ≥+若q 真，()21160m ∆=--<，解得35m -<< (4)分 （1）由 p q ∧为真，则,p q 均为真命题，…………………5分即135m m ⎧≥⎪⎨-<<⎪⎩，所以)1,5m ∈…………………8分 （2） 由p q ∨为真，则,p q 均为假命题，…………………9分即135m m m ⎧<⎪⎨≤-≥⎪⎩或，所以3m ≤-…………………………12分.18.解：（1）21(cos cos +2f x x x x -1=2cos 222x x-π=sin(2)6x -，4分 所以π()13f =. ………………………………………5分（2）()()sin 2()sin(2)6666g x f x x x ππππ⎡⎤=+=+-=+⎢⎥⎣⎦，……………………6分 710,,2,,sin(2),1266662x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈∴+∈∴+∈-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，……………….8分由()2c g x c <<+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，211,1122c c c +>⎧⎪∴∴-<<-⎨<-⎪⎩，所以实数c 的取值范围为1(1,)2--………………………………….12分19.解：(1)∵()f x 在()0,+∞上是单调增函数，2230m m ∴-++>，即2230m m --<13m ∴-<<，………………….3分又m Z ∈，0,1,2m =，而0,2m =时，3()f x x =不是偶函数．1m =时，4()f x x =是偶函数，4()f x x ∴=……………………………………6分(2) 43219()42g x x ax x b =++-， 2()(39)g x x x ax '=++，………………7分 显然0x =不是方程2390x ax ++=的根．为使()g x 仅在0x =处有极值，则2390x ax ++≥恒成立，………………….9分 即有29360a ∆=-≤，解得[]2,2a ∈-．此时(0)g b =-是唯一极值．所以[]2,2a ∈-．………………………….12分20.解:（1）由抛物线22y px =经过点(1,2)P , 解得2p =，故抛物线C 的方程为24y x =………………………………………………………2分 由题意知,直线l 的斜率存在且不为0,设直线l 的方程为1(0)y kx k =+≠,由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=.依题意22(24)40k k =-->解得0k <或01k <<………………………………4分 又,PA PB 与y 轴相交,故直线l 不过点(1,2)-，从而3k ≠-. 所以直线l 的斜率的取值范围是()()(,3)3,00,1-∞--………………5分(2)证明:设1122(,),(,)A x y B x y , 由(1)知121222241,k x x x x k k-+=-= 直线PA 的方程为1122(1)1y y x x --=--. 令0x =,得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--， 同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-………………………8分由,QM QO QN QO λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r，得1M y λ=-,1N y μ=-………………9分所以11λμ+=11My -+11Ny -=121211(1)(1)x x k x k x --+=--1212122()11x x x x k x x -+⋅-=2222241211k k k k k -+⋅=-.所以11λμ+为定值2……………………………12分.21.解：（1）()sin cos ,()sin ,f x x x x f x x x '''=-+=-易知()0f x ''<在(),0π-上恒成立，则()f x '在(),0π-单调递减，………2分. 所以()(0)0f x f ''>=，则()f x 在(),0π-单调递增，又()20,(0=20,f f π-=-<>）则()f x 在(),0π-必存在唯一零点……………5分. （2）2()()()(2cos sin )3sin 3cos sin h x af x g x a x x x x x x x x =-=++--，()()(sin cos )h x x a x x x '∴=--，…………………………………………7分.()sin cos x x x x ϕ=-，则()sin cos ()x x x x f x ϕ'=-=-，由（1）知，则()x ϕ在(),ππ-单调递增，又(0)0ϕ=，即()x ϕ在(),ππ-上有唯一零点0x =……………………………………8分1 当απ≥时，由()0h x '=得0x =，所以()h x 在(),0π-单调递增，在()0,π单调递减，此时()h x 存在最大值(0)2h a =，满足题意；2 当0απ<<时，由()0h x '=有两个不同零点0x =及(0)x a a =>，所以()h x 在()0,a 单调递减，在()(),0,,a ππ-单调递增，此时()h x 有极大值(0)2h a =， 由()h x 有最大值，可得(0)2()3h a h a ππ=≥=-，解得34a π≥，即34a ππ≤<；…………………………………………………11分 综上所述，当34a π≥时，()h x 在(),ππ-有最大值。