E3_第一章

第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集.（8）交集、并集、补集【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A∈且}x B∈（1）A A A=（2）A∅=∅（3）A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈（1）A A A=（2）A A∅=（3）A B A⊇A B B⊇BA补集U A{|,}x x U x A∈∉且1()UA A=∅2()UA A U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<<||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0)ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a>>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O 一元二次方程20(0)ax bx c a++=>的根21,242b b acxa-±-=（其中12)x x<122bx xa==-无实根20(0)ax bx c a++>>的解集1{|x x x<或2}x x>{|x}2bxa≠-R()()()U U UA B A B=()()()U U UA B A B=〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．yxo〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减） （4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()ug x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a 、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。

1、交感神经副交感2、内分泌生殖3、骶前髂4、髂内动脉宫颈 2 上下宫体宫颈-阴道5、腹主左肾6、8～14 间质部峡部壶腹部伞端7、阴道子宫卵巢输卵管8、大阴唇后部黄豆前庭后方小阴唇与处女膜之间的沟内性兴奋时分泌黄白色黏液起润滑作用9、阴阜大阴唇小阴唇阴蒂阴道前庭10、内生殖器外生殖器相1第一章女性生殖系统解剖关组织和邻近器官11、腹股沟一、填空题1、支配内生殖器的神经主要为__________、__________神经。

2、卵巢主要功能为__________及__________两部分。

3、女性内生殖器淋巴分为__________、__________、__________3个淋巴组。

4、子宫动脉源于__________，其距__________内口水平__________cm处横跨输尿管而达子宫，分为_________、__________两支，分别称为__________支及__________支。

5、卵巢动脉源于__________动脉，左侧亦可源于__________动脉。

6、输卵管长约__________cm，分为__________、__________、__________和__________。

7、女性内生殖器包括__________、__________、__________及__________。

8、前庭大腺位于__________，如__________大小，开口于__________，生理功能为__________。

9、女性外生殖器包括__________、__________、__________、__________及__________。

10、女性生殖系统包括__________、__________及__________。

11、女性外阴及阴道下段淋巴液回流至__________淋巴结组。

二、名词解释1、子宫下段2、子宫峡部三、判断题1、会阴体呈楔形，厚约1 cm。

第一章函数与极限教学目：1、理解函数概念，驾驭函数表示方法，并会建立简洁应用问题中函数关系式。

2、理解函数奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3、理解复合函数及分段函数概念，理解反函数及隐函数概念。

4、驾驭根本初等函数性质及其图形。

5、理解极限概念，理解函数左极限与右极限概念，以及极限存在与左、右极限之间关系。

6、驾驭极限性质及四那么运算法那么。

7、理解极限存在两个准那么，并会利用它们求极限，驾驭利用两个重要极限求极限方法。

8、理解无穷小、无穷也许念，驾驭无穷小比较方法，会用等价无穷小求极限。

9、理解函数连续性概念〔含左连续与右连续〕，会判别函数连续点类型。

10、理解连续函数性质和初等函数连续性，理解闭区间上连续函数性质〔有界性、最大值和最小值定理、介值定理〕，并会应用这些性质。

教学重点：1、复合函数及分段函数概念；2、根本初等函数性质及其图形；3、极限概念极限性质及四那么运算法那么；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小比较；6、函数连续性及初等函数连续性；7、区间上连续函数性质。

教学难点：1、分段函数建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在两个准那么应用；4、连续点及其分类；5、闭区间上连续函数性质应用。

§1. 1 映射与函数一、集合1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质事物总体. 用A, B, C….等表示.元素: 组成集合事物称为集合元素. a是集合M元素表示为a∈M.集合表示:列举法: 把集合全体元素一一列举出来.例如A={a, b, c, d, e, f, g}.描绘法: 假设集合M是由元素具有某种性质P元素x全体所组成, 那么M可表示为A={a1, a2, ⋅⋅⋅, a n},M={x | x具有性质P }.例如M={(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1}.几个数集:N表示全部自然数构成集合, 称为自然数集.N={0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n, ⋅ ⋅ ⋅}. N+={1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n, ⋅ ⋅ ⋅}.R表示全部实数构成集合, 称为实数集.Z表示全部整数构成集合, 称为整数集.Z={⋅ ⋅ ⋅, -n, ⋅ ⋅ ⋅, -2, -1, 0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n, ⋅ ⋅ ⋅}.Q表示全部有理数构成集合, 称为有理数集.子集: 假设x∈A, 那么必有x∈B, 那么称A是B子集, 记为A⊂B(读作A包含于B)或B⊃A .假如集合A与集合B互为子集, A⊂B且B⊂A, 那么称集合A与集合B相等, 记作A=B.假设A⊂B且A≠B, 那么称A是B真子集, 记作A B . 例如, N Z Q R.不含任何元素集合称为空集, 记作∅. 规定空集是任何集合子集.2. 集合运算设A、B是两个集合, 由全部属于A或者属于B元素组成集合称为A与B并集(简称并), 记作A⋃B, 即A⋃B={x|x∈A或x∈B}.设A、B是两个集合, 由全部既属于A又属于B元素组成集合称为A与B交集(简称交), 记作A⋂B, 即A⋂B={x|x∈A且x∈B}.设A、B是两个集合, 由全部属于A而不属于B元素组成集合称为A与B差集(简称差), 记作A\B, 即A\B={x|x∈A且x∉B}.假如我们探讨某个问题限定在一个大集合I中进展, 所探讨其他集合A都是I子集. 此时, 我们称集合I为全集或根本集. 称I\A为A余集或补集, 记作A C.集合运算法那么:设A、B、C为随意三个集合, 那么(1)交换律A⋃B=B⋃A, A⋂B=B⋂A;(2)结合律(A⋃B)⋃C=A⋃(B⋃C), (A⋂B)⋂C=A⋂(B⋂C);(3)安排律(A⋃B)⋂C=(A⋂C)⋃(B⋂C), (A⋂B)⋃C=(A⋃C)⋂(B⋃C);(4)对偶律(A⋃B)C=A C⋂B C, (A⋂B)C=A C⋃B C.(A⋃B)C=A C⋂B C证明:x∈(A⋃B)C⇔x∉A⋃B⇔x∉A且x∉B⇔x∈A C且x∈B C⇔x∈A C⋂B C, 所以(A⋃B)C=A C⋂B C.直积(笛卡儿乘积):设A、B是随意两个集合, 在集合A中随意取一个元素x, 在集合B中随意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样有序对作为新元素, 它们全体组成集合称为集合A与集合B直积, 记为A⨯B, 即A⨯B={(x, y)|x∈A且y∈B}.例如, R⨯R={(x, y)| x∈R且y∈R }即为xOy面上全体点集合, R⨯R常记作R2.3. 区间和邻域有限区间:设a<b, 称数集{x|a<x<b}为开区间, 记为(a, b), 即(a, b)={x|a<x<b}.类似地有[a, b] = {x | a ≤x≤b }称为闭区间,[a, b) = {x | a≤x<b }、(a, b] = {x | a<x≤b }称为半开区间.其中a和b称为区间(a, b)、[a, b]、[a, b)、(a, b]端点, b-a称为区间长度.无限区间:[a, +∞) = {x | a≤x }, (-∞, b] = {x | x < b } , (-∞, +∞)={x | | x | < +∞}.区间在数轴上表示:邻域: 以点a为中心任何开区间称为点a邻域, 记作U(a).设δ是一正数, 那么称开区间(a-δ, a+δ)为点aδ邻域, 记作U(a, δ), 即U(a, δ)={x | a-δ< x < a+δ}={x | | x-a|<δ}.其中点a称为邻域中心, δ称为邻域半径.去心邻域(a, δ):(a, δ)={x |0<| x-a |<δ}二、映射1. 映射概念定义设X、Y是两个非空集合, 假如存在一个法那么f, 使得对X中每个元素x, 按法那么f, 在Y中有唯一确定元素y与之对应, 那么称f为从X到Y映射, 记作f : X→Y ,其中y称为元素x(在映射f下)像, 并记作f(x), 即y=f(x),而元素x称为元素y(在映射f下)一个原像; 集合X称为映射f定义域, 记作D f, 即D f=X ;X中全部元素像所组成集合称为映射f值域, 记为R f, 或f(X), 即R f=f(X)={f(x)|x∈X}.须要留意问题:(1)构成一个映射必需具备以下三个要素: 集合X, 即定义域D f=X; 集合Y, 即值域范围: R f⊂Y; 对应法那么f, 使对每个x∈X, 有唯一确定y=f(x)与之对应.(2)对每个x∈X, 元素x像y是唯一; 而对每个y∈R f, 元素y原像不肯定是唯一; 映射f值域R f是Y一个子集, 即R f⊂Y, 不肯定R f=Y .例1设f : R→R, 对每个x∈R, f(x)=x2.明显, f是一个映射, f定义域D f=R, 值域R f={y|y≥0}, 它是R一个真子集. 对于R f中元素y, 除y=0外, 它原像不是唯一. 如y=4原像就有x=2和x=-2两个.例2设X={(x, y)|x2+y2=1}, Y={(x, 0)||x|≤1}, f : X→Y, 对每个(x, y)∈X, 有唯一确定(x, 0)∈Y与之对应.明显f是一个映射, f定义域D f=X, 值域R f=Y. 在几何上, 这个映射表示将平面上一个圆心在原点单位圆周上点投影到x轴区间[-1, 1]上.例3．f :→[-1, 1], 对每个x∈, f(x)=sin x .f是一个映射, 定义域D f =, 值域R f=[-1, 1].满射、单射和双射:设f是从集合X到集合Y映射, 假设R f=Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素像, 那么称f为X到Y上映射或满射; 假设对X中随意两个不同元素x 1≠x 2, 它们像f(x 1)≠f(x 2), 那么称f为X到Y单射; 假设映射f既是单射, 又是满射, 那么称f为一一映射(或双射).上述三例各是什么映射？2. 逆映射与复合映射设f是X到Y单射, 那么由定义, 对每个y∈R f , 有唯一x∈X, 合适f(x)=y, 于是, 我们可定义一个从R f到X新映射g, 即g : R f→X,对每个y∈R f , 规定g(y)=x, 这x满意f(x)=y. 这个映射g称为f逆映射, 记作f-1, 其定义域=R f , 值域=X .按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 上述三例中哪个映射存在逆映射？设有两个映射g : X→Y 1, f : Y 2→Z,其中Y 1⊂Y 2. 那么由映射g和f可以定出一个从X到Z对应法那么, 它将每个x∈X映射成f[g(x)]∈Z . 明显, 这个对应法那么确定了一个从X到Z映射, 这个映射称为映射g和f构成复合映射, 记作f o g, 即f o g: X→Z, (f o g)(x)=f[g(x)], x∈X .应留意问题:映射g和f构成复合映射条件是: g值域R g必需包含在f定义域内, R g⊂D f . 否那么, 不能构成复合映射. 由此可以知道, 映射g和f复合是有依次, f o g有意义并不表示g o f也有意义. 即使f o g与g o f都有意义, 复映射f o g 与g o f也未必一样.例4设有映射g : R→[-1, 1], 对每个x∈R, g(x)=sin x,映射f : [-1, 1]→[0, 1], 对每个u∈[-1, 1], .那么映射g和f构成复映射f o g: R→[0, 1], 对每个x∈R, 有.三、函数1. 函数概念定义设数集D⊂R, 那么称映射f : D→R为定义在D上函数, 通常简记为y=f(x), x∈D,其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作D f, 即D f=D.应留意问题:记号f和f(x)含义是有区分, 前者表示自变量x和因变量y之间对应法那么, 而后者表示与自变量x对应函数值. 但为了表达便利, 习惯上常用记号“f(x), x∈D〞或“y=f(x), x∈D〞来表示定义在D上函数, 这时应理解为由它所确定函数f .函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系记号f也可改用其它字母, 例如“F〞, “ϕ〞等. 此时函数就记作y=ϕ (x), y=F(x).函数两要素:函数是从实数集到实数集映射, 其值域总在R内, 因此构成函数要素是定义域D f及对应法那么f . 假如两个函数定义域一样, 对应法那么也一样, 那么这两个函数就是一样, 否那么就是不同.函数定义域:函数定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景函数, 依据实际背景中变量实际意义确定.求定义域举例:求函数定义域.要使函数有意义, 必需x≠0, 且x2 - 4≥0.解不等式得| x |≥2.所以函数定义域为D={x | | x |≥2}, 或D=(-∞, 2]⋃[2, +∞]).单值函数与多值函数:在函数定义中，对每个x∈D, 对应函数值y总是唯一, 这样定义函数称为单值函数. 假如给定一个对应法那么, 按这个法那么, 对每个x∈D, 总有确定y值与之对应, 但这个y不总是唯一, 我们称这种法那么确定了一个多值函数. 例如, 设变量x和y之间对应法那么由方程x2+y2=r2给出. 明显, 对每个x∈[-r, r]，由方程x2+y2=r2,可确定出对应y 值, 当x=r或x=-r时, 对应y=0一个值; 当x取(-r, r)内任一个值时, 对应y有两个值. 所以这方程确定了一个多值函数.对于多值函数, 往往只要附加一些条件, 就可以将它化为单值函数, 这样得到单值函数称为多值函数单值分支. 例如, 在由方程x2+y2=r2给出对应法那么中, 附加“y≥0〞条件, 即以“x2+y2=r2且y≥0〞作为对应法那么, 就可得到一个单值分支; 附加“y≤0〞条件, 即以“x2+y2=r2且y≤0〞作为对应法那么, 就可得到另一个单值分支.表示函数主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法), 这在中学里大家已经熟识. 其中, 用图形法表示函数是基于函数图形概念, 即坐标平面上点集{P(x, y)|y=f(x), x∈D}称为函数y=f(x), x∈D图形. 图中R f表示函数y=f(x)值域.函数例子:例.函数.称为肯定值函数. 其定义域为D=(-∞, +∞), 值域为R f=[0, +∞).例.函数.称为符号函数. 其定义域为D=(-∞, +∞), 值域为R f={-1, 0, 1}.例.设x为任上实数. 不超过x最大整数称为x整数部分, 记作[ x ].函数y= [ x ]称为取整函数. 其定义域为D=(-∞, +∞), 值域为R f=Z .例如：, , [π]=3, [-1]=-1, [-3. 5]=-4.分段函数:在自变量不同改变范围中, 对应法那么用不同式子来表示函数称为分段函数.例.函数.这是一个分段函数, 其定义域为D=[0, 1]⋃(0, +∞)= [0, +∞).当0≤x≤1时, ; 当x>1时, y=1+x.例如; ; f(3)=1+3=4.2. 函数几种特性(1)函数有界性设函数f(x)定义域为D, 数集X⊂D. 假如存在数K1, 使对任一x∈X, 有f(x)≤K1, 那么称函数f(x)在X上有上界, 而称K1为函数f(x)在X上一个上界. 图形特点是y=f(x)图形在直线y=K1下方.假如存在数K2, 使对任一x∈X, 有f(x)≥ K2, 那么称函数f(x)在X上有下界, 而称K2为函数f(x)在X上一个下界. 图形特点是, 函数y=f(x)图形在直线y=K2上方.假如存在正数M, 使对任一x∈X, 有| f(x) |≤M, 那么称函数f(x)在X上有界; 假如这样M不存在, 那么称函数f(x)在X上无界. 图形特点是, 函数y=f(x)图形在直线y=- M和y =M之间.函数f(x)无界, 就是说对任何M, 总存在x1∈X, 使| f(x) | > M.例如(1)f(x)=sin x在(-∞, +∞)上是有界: |sin x|≤1.(2)函数在开区间(0, 1)内是无上界. 或者说它在(0, 1)内有下界, 无上界.这是因为, 对于任一M>1, 总有x1: , 使,所以函数无上界. 函数在(1, 2)内是有界.(2)函数单调性设函数y=f(x)定义域为D, 区间I⊂D. 假如对于区间I上随意两点x1及x2, 当x1<x2时, 恒有f(x1)< f(x2),那么称函数f(x)在区间I上是单调增加.假如对于区间I上随意两点x1及x2, 当x1<x2时, 恒有f(x1)> f(x2),那么称函数f(x)在区间I上是单调削减.单调增加和单调削减函数统称为单调函数.函数单调性举例:函数y=x2在区间(-∞, 0]上是单调增加, 在区间[0, +∞)上是单调削减, 在〔-∞, +∞〕上不是单调.(3)函数奇偶性设函数f(x)定义域D关于原点对称(即假设x∈D, 那么-x∈D). 假如对于任一x∈D, 有f(-x) =f(x),那么称f(x)为偶函数.假如对于任一x∈D, 有f(-x) =-f(x),那么称f(x)为奇函数.偶函数图形关于y轴对称, 奇函数图形关于原点对称,奇偶函数举例:y=x2, y=cos x都是偶函数. y=x3, y=sin x都是奇函数, y=sin x+cos x是非奇非偶函数.(4)函数周期性设函数f(x)定义域为D. 假如存在一个正数l , 使得对于任一x∈D有(x±l)∈D, 且f(x+l) =f(x)那么称f(x)为周期函数, l称为f(x)周期.周期函数图形特点: 在函数定义域内, 每个长度为l区间上, 函数图形有一样形态.3．反函数与复合函数反函数:设函数f : D→f(D)是单射, 那么它存在逆映射f-1: f(D)→D, 称此映射f-1为函数f反函数.按此定义, 对每个y∈f(D), 有唯一x∈D, 使得f(x)=y, 于是有f-1(y)=x.这就是说, 反函数f-1对应法那么是完全由函数f对应法那么所确定.一般地, y=f(x), x∈D反函数记成y=f-1(x), x∈f(D).假设f是定义在D上单调函数, 那么f : D→f(D)是单射, 于是f反函数f-1必定存在, 而且简洁证明f-1也是f(D)上单调函数.相对于反函数y=f-1(x)来说, 原来函数y=f(x)称为干脆函数. 把函数y=f(x)和它反函数y=f-1(x)图形画在同一坐标平面上, 这两个图形关于直线y=x是对称. 这是因为假如P(a, b)是y=f(x)图形上点, 那么有b=f(a). 按反函数定义, 有a=f-1(b), 故Q(b, a)是y=f-1(x)图形上点; 反之, 假设Q(b, a)是y=f-1(x)图形上点, 那么P(a, b)是y=f(x)图形上点. 而P(a, b)与Q(b, a)是关于直线y=x对称.复合函数:复合函数是复合映射一种特例, 依据通常函数记号, 复合函数概念可如下表述.设函数y=f(u)定义域为D 1, 函数u=g(x)在D上有定义且g(D)⊂ D 1, 那么由下式确定函数y=f[g(x)], x∈D称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成复合函数, 它定义域为D, 变量u称为中间变量.函数g与函数f构成复合函数通常记为, 即()=f[g(x)].与复合映射一样, g与f构成复合函数条件是: 是函数g在D上值域g(D)必需含在f定义域D f内, 即g(D)⊂D . 否那么, 不能构成复合函数.f例如, y=f(u)=arcsin u, 定义域为[-1, 1], 在上有定义, 且g(D)⊂[-1, 1], 那么g与f可构成复合函数, x∈D;但函数y=arcsin u和函数u=2+x2不能构成复合函数, 这是因为对任x∈R, u=2+x2均不在y=arcsin u定义域[-1, 1]内.多个函数复合:4. 函数运算设函数f(x), g(x)定义域依次为D 1, D 2, D=D 1⋂D 2≠∅, 那么我们可以定义这两个函数以下运算:和(差)f±g : (f±g)(x)=f(x)±g(x), x∈D;积f⋅g : (f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x), x∈D;商: , x∈D\{x|g(x)=0}.例设函数f(x)定义域为(-l, l), 证明必存在(-l, l)上偶函数g(x)及奇函数h(x), 使得f(x)=g(x)+h(x).分析假如f(x)=g(x)+h(x), 那么f(-x)=g(x)-h(x), 于是, .证作, , 那么f(x)=g(x)+h(x),且,.5. 初等函数根本初等函数:幂函数: y=xμ (μ∈R是常数);指数函数: y=a x(a>0且a≠1);对数函数: y=log a x (a>0且a≠1, 特殊当a=e时, 记为y=ln x);三角函数: y=sin x, y=cos x, y=tan x, y=cot x, y=sec x, y=csc x;反三角函数: y=arcsin x, y=arccos x, y=arctan x, y=arccot x .初等函数:由常数和根本初等函数经过有限次四那么运算和有限次函数复合步骤所构成并可用一个式子表示函数, 称为初等函数. 例如, y=sin2x,等都是初等函数.作业：P21：4〔1〕〔3〕〔5〕〔7〕〔8〕；5〔1〕〔2〕〔4〕；12〔2〕〔4〕〔6〕§1. 2 数列极限数列概念:假如依据某一法那么,使得对任何一个正整数n有一个确定数x n,那么得到一列有次序数x1,x2,x3,⋅⋅⋅,x n,⋅⋅⋅这一列有次序数就叫做数列,记为{x n},其中第n项x n叫做数列一般项.数列例子:{}:,,,⋅⋅⋅,⋅ ⋅ ⋅;{2n}: 2, 4, 8,⋅⋅⋅, 2n,⋅⋅⋅;{}:,,,⋅⋅⋅,,⋅⋅⋅;{(-1)n+1}: 1,-1, 1,⋅⋅⋅, (-1)n+1,⋅⋅⋅;{}: 2,,,⋅⋅⋅,,⋅⋅⋅.它们一般项依次为, 2n,, (-1)n+1,.数列几何意义:数列{x n}可以看作数轴上一个动点,它依次取数轴上点x1,x2,x3,⋅⋅⋅,x n,⋅⋅⋅.数列与函数:数列{x n}可以看作自变量为正整数n函数:x n=f (n),它定义域是全体正整数.数列极限:数列极限通俗定义：对于数列{x n},假如当n无限增大时,数列一般项x n无限地接近于某一确定数值a,那么称常数a是数列{x n}极限,或称数列{x n}收敛a.记为.假如数列没有极限,就说数列是发散.例如,,;而{2n},{ (-1)n+1},是发散.对无限接近刻划:x n无限接近于a等价于|x n-a |无限接近于0,极限精确定义:定义假如数列{x n}与常a有以下关系:对于随意给定正数ε(不管它多么小),总存在正整数N,使得对于n >N 时一切x n,不等式|x n-a |<ε都成立,那么称常数a是数列{x n}极限,或者称数列{x n}收敛于a,记为或x n→a (n→∞).假如数列没有极限,就说数列是发散.⇔∀ε>0, ∃N∈N+,当n>N时,有|x n-a|<ε .数列极限几何说明:例题:例1.证明.分析:|x n-1|=.对于∀ε >0,要使|x n-1|<ε,只要,即.例2.证明.分析:|x n-0|.对于∀ε>0,要使|x n-0|<ε,只要,即.例3.设|q |<1,证明等比数列1,q,q2,⋅⋅⋅,q n-1,⋅⋅⋅极限是0.分析:对于随意给定ε >0,要使|x n-0|=| q n-1-0|=|q| n-1<ε,只要n>log|q|ε+1就可以了,故可取N=[log|q|ε+1]。

第一章物权法律制度本章有些规定法理性较强，法律专业术语较多，理解上有一定的难度。

在综合阶段考试复习中，建议重点关注：物权变动的公示；善意取得；抵押权；质权；留置权等。

一、物权法律制度概况1.物权法是调整因物的归属和利用而产生的民事关系的法律。

2.需要注意的是，如果《物权法》与《担保法》及其司法解释存在冲突，以《物权法》为准。

二、物的概念与种类物是物权的客体。

《物权法》第二条第二款规定：“本法所称物，包括不动产和动产。

法律规定权利作为物权客体的，依照其规定。

”（一）物的概念物权法上的物指的是有体物，是除人的身体之外，能为人力所支配，独立满足人社会生活需要之物。

（二）物的种类三、物权法的基本原则（一）物权法定原则《物权法》规定：“物权的种类和内容，由法律规定。

”此称物权法定原则。

物权法定原则包括两方面的含义：一是种类法定，即不得创设民法或其他法律所不承认的物权；二是内容法定，即不得创设与物权法定内容相异的内容。

（二）物权客体特定原则物权客体特定原则亦称一物一权原则，基本含义是：物权只存在于确定的一物之上，相应地，每一行为亦只能处分一物。

一物一权原则与以下情形并不矛盾：（1）多人共同对一物享有一项物权。

（2）在一物之上成立数个互不冲突的物权。

【举例】甲和乙是夫妻，婚后共同购买一套商品房，以丈夫甲的名义办理了产权登记。

后因夫妻不和，妻子乙要求登记机关以自己的名义再出具一份产权证明。

因为，所有权实行一物一权，不能在同一物上有两个“所有权”，乙的要求不符合法律规定。

但是一物之上的“所有人”可以为多人。

乙可以要求以甲和乙共同的名义变更产权登记。

（三）物权公示原则1.公示的含义《物权法》规定：“不动产物权的设立、变更、转让和消灭，应当依照法律规定登记。

动产物权的设立和转让，应当依照法律规定交付。

”【举例】甲公司将自己的一间门面房作价20万元转让给乙公司，乙公司略加修缮，使用一年后以40万元的价格转让给丙公司，丙公司使用一年后以50万元的价格转让给丁公司。

1. 电工学第一章习题一、填空题1． 电压的实际方向规定为( 正 )指向( 负 )，电动势的实际方向规定为由( 负 )指向( 正 )。

2． 测量直流电流的直流电流表应( 串 )联在电路当中，表的“( 正 )”端接电流的流入端，表的“( 负 )”端接电流的流出端。

3．应用叠加原理可以将一个多电源电路简化成若干个单电源电路。

某电源单独作用时，应将其它理想电压源 短路 ，将其它理想电流源 开路 。

4. 任何一个完整的电路都必须有 电源 、 负载 和 中间环节 3个基本部分组成。

5. 反映实际电路器件耗能电磁特性的理想电路元件是 电阻 元件；反映实际电路器件储存磁场能量特性的理想电路元件是 电感 元件；反映实际电路器件储存电场能量特性的理想电路元件是 电容 元件，它们都是无源 二端 元件。

6. 电路有 通路 、 开路 和 短路 三种工作状态。

当电路中电流0R U I S=、端电压U ＝0时，此种状态称作 短路 ，这种情况下电源产生的功率全部消耗在 内阻 上。

7. 电路图上标示的电流、电压方向称为 参考方向 ，假定某元件是负载时，该元件两端的电压和通过元件的电流方向应为 关联参考 方向。

二、选择题1．一段导体的电阻为Ω4，将其对折后的等效电阻为（ B ） A ．Ω2 B ．Ω1 C ．Ω8 D ．Ω42．通常电路中的耗能元件是指（ A ） A. 电阻元件 B. 电感元件 C. 电容元件 D. 电源元件1．电阻元件的性能有 （ B ） A. 储能性 B. 耗能性 C. 惯性 D. 记忆性3．将W 25、V 220的白炽灯和W 60、V 220的白炽灯串联后接到V 220的电源上，比较两灯的亮度是 （ A ） A. W 25的白炽灯较亮 B. W 60的白炽灯较亮 C. 二灯同样亮 D. 无法确定哪个灯亮4．一个电热器从V 220的电源吸取W 1000的功率，若将此电热器接到V 110的电源上，则吸收的功率为 （ D ） A. W 2000 B. W 1000 C. W 500 D. W 2505. 当元件两端电压与通过元件的电流取关联参考方向时，即为假设该元件（A ）功率；当元件两端电压与通过电流取非关联参考方向时，即为假设该元件（B ）功率。

第一章——计算机网络概述一、填空题1.计算机网络的网络资源包括________、________和________。

2.1969年12月，Internet的前身________的投入运行，标志着计算机网络的兴起。

3.国际标准化组织（英文简称____）在1984年正式颁布了________________使计算机网络体系结构实现了标准化。

4.________________是计算机网络最基本的功能之一。

5.计算机网络是________技术与________技术结合的产物。

6.Internet的应用有________、信息发布、电子商务、远程音频、视频应用。

7.计算机网络是由________系统和________系统构成的；从逻辑功能上看，则是由________和________组成的；从拓扑结构看是由一些________和________构成的。

8.________________又称网络单元，一般可分为三类：________、________和________。

9.________是指两个网络节点之间承载信息和数据的线路，可分为______________和____________。

10.__________提供访问网络和处理数据的能力，由主机系统、终端控制器和终端组成；__________是计算机网络中负责数据通信的部分，主要完成数据的传输、交换以及通信控制，由________、________组成。

11.网络硬件系统是指构成计算机网络的硬件设备，包括各种____________、_______及________；网络软件主要包括____________、____________和____________。

12.__________是计算机网络的主体，按其在网络中的用途和功能的不同，可分为________和________两大类。

13.____________是网络中用户使用的计算机设备，又称______；____________是通过网络操作系统为网上工作站提供服务及共享资源的计算机设备。

选修3物理第1章分子动理论单元测试卷学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分，）1. 植物学家布朗用显微镜观察悬浮在水中的花粉做无规则的运动，人们把这种无规则运动叫做布朗运动。

关于布朗运动，下列说法正确的是（）A.布朗运动是花粉颗粒中分子运动引起的B.布朗运动反映了水分子的无规则运动C.花粉颗粒越大，布朗运动越激烈D.布朗运动的激烈程度与温度无关2. 下列关于布朗运动的说法中，正确的是（）A.布朗运动是液体分子的无规则运动B.布朗运动是组成悬浮颗粒的固体分子无规则运动的表现C.布朗运动是由于液体各个部分的温度不同而引起的D.布朗运动是由于液体分子从各个方向对悬浮颗粒撞击作用的不平衡引起的3. 根据下列数据，可以算出阿伏加德罗常数的是（）A.水的密度和水的摩尔质量B.水的摩尔质量和水分子的体积C.水的摩尔质量和水分子的质量D.水分子的体积和水分子的质量4. 下列关于扩散和布朗运动的说法，正确的是（）A.扩散现象和布朗运动都是分子的无规则运动B.布朗运动反映了悬浮在液体中的固体分子的无规则运动C.布朗运动说明了液体分子之间存在着相互作用的引力和斥力D.温度越高，布朗运动越剧烈，扩散现象发生越快5. 在做“用油膜法估测分子的大小”的实验中，备有下列器材：油酸酒精溶液、滴管、痱子粉、浅盘及水、玻璃板、彩笔．还缺少的器材是（）A.只有量筒B.只有坐标纸C.量筒和坐标纸D.不再缺少仪器6. 某种油剂的密度为8×102kg/m3，取这种油剂0.8g滴在水面上，最后形成的油膜最大表面积为（）A.10−10m2B.104m2C.1010cm2D.104cm27. 关于布朗运动及其原因，以下说法不正确的是（）A.布朗运动是悬浮在液体中的固体微粒的无规则运动，间接证实了液体分子的无规则运动B.布朗运动是液体分子的运动，它说明分子永不停息地做无规则运动C.布朗运动是由液体分子对悬浮颗粒碰撞作用不平衡引起的D.液体的温度越高，布朗运动越剧烈8. 关于分子动理论，下列说法正确的是（）A.气体扩散的快慢与温度无关B.布朗运动是液体分子的无规则运动C.分子间同时存在着引力和斥力D.分子间的引力总是随分子间距增大而增大9. 下列说法中正确的是（）A.物体温度改变时，物体分子的平均动能一定改变B.物体吸收热量后，温度一定升高C.布朗运动就是液体分子的热运动D.当分子间的距离变小时，分子间作用力一定减小二、多选题（本题共计 4 小题，每题 4 分，共计16分，）10. 在空间存在甲、乙两分子，甲分子在O点，以O点为原点建立如图的坐标系，在x轴上取a、b、c、d四点，现将乙分子从a点静止释放，在靠近甲分子的过程中描绘出分子力与分子间距离的关系图线，则关于乙分子的运动，下列叙述正确的是A.a到b加速度增大、速度增大，b到c加速度减小，速度减小B.a到c做加速运动，到达c时速度最大C.a到c的过程中，两分子间的分子势能一直减小D.c到d的过程中，分子引力减小11. “缥缈的雾，晶莹的露，凝重的霜，轻柔的雪，同样的水分子，装扮着我们生活的时空”．这是一首描述物理现象的抒情诗．对这首诗中所描述的物理现象理解正确的是（）A.“缥缈的雾”是汽化现象B.“晶莹的露”是液化现象C.“凝重的霜”是凝华现象D.“轻柔的雪”是熔化现象12. 分子力F、分子势能E p与分子间距离r的关系图线如甲、乙两条曲线所示（取无穷远处分子势能E p=0），下列说法正确的是（）A.乙图线为分子势能与分子间距离的关系图线B.当r=r0时，分子势能为零C.随着分子间距离的增大，分子力先减小后一直增大D.在r<r0阶段，分子力减小时，分子势能也一定减小13. 如图是氧气分子在不同温度(0∘C和100∘C)下的速率分布规律图，横坐标表示速率，纵坐标表示某一速率内的分子数占总分子数的百分比，由图可知（）A.同一温度下，氧气分子呈现出“中间多，两头少”的分布规律B.随着温度的升高，每一个氧气分子的速率都增大C.随着温度的升高，氧气分子中速率小的分子所占的比例增大D.温度越高，氧气分子热运动的平均速率越大三、解答题（本题共计 1 小题，共计12分，）14. （12分）一滴露水的体积大约是6.0×10−7cm3，如果一只极小的虫子来喝水，每分钟喝6.0×107个水分子，它需要多少年才能喝完这滴露水？（一年按365天计算）四、实验探究题（本题共计 5 小题，每题 9 分，共计45分，）15. 油膜法估测分子的大小实验中，某实验小组用1ml的油酸配置了500ml的油酸酒精溶液，用滴管、量筒测得n滴油酸酒精溶液体积为V，一滴溶液在水槽中最终形成油膜面积为S，则：（1）油酸分子直径为________；实验中水槽所撒痱子粉太厚会导致测量结果________（选填“偏大”或“偏小”）。

第2课时 共线向量与共面向量学习目标 1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握共线向量定理和共面向量定理,会证明空间三点共线、四点共面．知识点一 共线向量1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使a ＝λb . 2．直线的方向向量在直线l 上取非零向量a ,我们把与向量a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 思考1 对于空间向量a ,b ,c ,若a ∥b 且b ∥c ,是否可以得到a ∥c ? 答案 不能．若b ＝0,则对任意向量a ,c 都有a ∥b 且b ∥c . 思考2 怎样利用向量共线证明A ,B ,C 三点共线？ 答案 只需证明向量AB →,BC →(不唯一)共线即可． 知识点二 共面向量 1．共面向量如图,如果表示向量a 的有向线段OA →所在的直线OA 与直线l 平行或重合,那么称向量a 平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内,那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量,叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ,y ),使p ＝x a ＋y b .思考 已知空间任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,存在有序实数对(x ,y ),满足关系OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →,则点P 与点A ,B ,C 是否共面？答案 共面. 由OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →,可得AP →＝xAB →＋yAC →,所以向量AP →与向量AB →,AC →共面,故点P 与点A ,B ,C 共面．1．向量AB →与向量CD →是共线向量,则点A ,B ,C ,D 必在同一条直线上．( × ) 2．若向量a ,b ,c 共面,则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．( × ) 3．空间中任意三个向量一定是共面向量．( × )4．若P ,M ,A ,B 共面,则存在唯一的有序实数对(x ,y ),使MP →＝xMA →＋yMB →.( × )一、向量共线的判定及应用例1 如图所示,已知四边形ABCD 是空间四边形,E ,H 分别是边AB ,AD 的中点,F ,G 分别是边CB ,CD 上的点,且CF →＝23CB →,CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形．证明 ∵E ,H 分别是AB ,AD 的中点, ∴AE →＝12AB →,AH →＝12AD →,则EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →＝12(CD →－CB →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32CG →－32CF →＝34(CG →－CF →)＝34FG →,∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|.又F 不在直线EH 上, ∴四边形EFGH 是梯形．反思感悟 向量共线的判定及应用(1)本题利用向量的共线证明了线线平行,解题时应注意向量共线与两直线平行的区别． (2)判断或证明两向量a ,b (b ≠0)共线,就是寻找实数λ,使a ＝λb 成立,为此常结合题目图形,运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．(3)判断或证明空间中的三点(如P ,A ,B )共线的方法：是否存在实数λ,使PA →＝λPB →； 跟踪训练1 (1)已知A ,B ,C 三点共线,O 为直线外空间任意一点,若OC →＝mOA →＋nOB →,则m ＋n ＝________. 答案 1解析 由于A ,B ,C 三点共线,所以存在实数λ,使得AC →＝λAB →,即OC →－OA →＝λ(OB →－OA →), 所以OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →,所以m ＝1－λ,n ＝λ, 所以m ＋n ＝1.(2)如图所示,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E 在A 1D 1上,且A 1E —→＝2ED 1—→,F 在对角线A 1C 上,且A 1F —→＝23FC →. 求证：E ,F ,B 三点共线．证明 设AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1—→＝c , 因为A 1E —→＝2ED 1—→,A 1F —→＝23FC →,所以A 1E —→＝23A 1D 1—→,A 1F —→＝25A 1C —→,所以A 1E —→＝23AD →＝23b ,A 1F —→＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1—→)＝25a ＋25b －25c ,所以EF →＝A 1F —→－A 1E —→＝25a －415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c .又EB →＝EA 1—→＋A 1A —→＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ,所以EF →＝25EB →,所以E ,F ,B 三点共线．二、向量共面的判定例2 已知A ,B ,C 三点不共线,平面ABC 外一点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →,MB →,MC →三个向量是否共面； (2)判断M 是否在平面ABC 内． 解 (1)∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →, ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →),∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →, ∴向量MA →,MB →,MC →共面．(2)由(1)知,向量MA →,MB →,MC →共面,而它们有共同的起点M ,且A ,B ,C 三点不共线, ∴M ,A ,B ,C 共面,即M 在平面ABC 内． 反思感悟 解决向量共面的策略(1)若已知点P 在平面ABC 内,则有AP →＝xAB →＋yAC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1),然后利用指定向量表示出已知向量,用待定系数法求出参数．(2)证明三个向量共面(或四点共面),需利用共面向量定理,证明过程中要灵活进行向量的分解与合成,将其中一个向量用另外两个向量来表示．跟踪训练2 (1)如图所示,已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直,点M ,N 分别在对角线BD ,AE 上,且BM ＝13BD ,AN ＝13AE .求证：向量MN →,CD →,DE →共面．证明 因为M 在BD 上,且BM ＝13BD ,所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →.同理AN →＝13AD →＋13DE →.所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13DA →＋13AB →＋BA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13AD →＋13DE →＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →. 又CD →与DE →不共线,根据向量共面的充要条件可知MN →,CD →,DE →共面．(2)已知E ,F ,G ,H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 的中点,求证： ①E ,F ,G ,H 四点共面． ②BD ∥平面EFGH . 证明 如图,连接EG ,BG .①因为EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →,由向量共面的充要条件知向量EG →,EF →,EH →共面,即E ,F ,G ,H 四点共面．②因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →,所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ,BD ⊄平面EFGH ,所以BD ∥平面EFGH .空间共线向量定理的应用典例 如图所示,已知四边形ABCD ,ABEF 都是平行四边形,且它们所在的平面不共面,M ,N 分别是AC ,BF 的中点,求证：CE ∥MN .证明 ∵M ,N 分别是AC ,BF 的中点, 又四边形ABCD ,ABEF 都是平行四边形, ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →,又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →,∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →, ∴CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →), ∴CE →＝2MN →,∴CE →∥MN →. ∵点C 不在MN 上,∴CE ∥MN .[素养提升] 证明空间图形中的两直线平行,可以转化为证明两直线的方向向量共线问题．这里关键是利用向量的线性运算,从而确定CE →＝λMN →中的λ的值．1．满足下列条件,能说明空间不重合的A ,B ,C 三点共线的是( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →－BC →＝AC →C.AB →＝BC → D ．|AB →|＝|BC →|答案 C2．若空间中任意四点O ,A ,B ,P 满足OP →＝mOA →＋nOB →,其中m ＋n ＝1,则( ) A ．P ∈直线AB B ．P ∉直线ABC ．点P 可能在直线AB 上,也可能不在直线AB 上D ．以上都不对 答案 A解析 因为m ＋n ＝1,所以m ＝1－n ,所以OP →＝(1－n )·OA →＋nOB →,即OP →－OA →＝n (OB →－OA →),即AP →＝nAB →,所以AP →与AB →共线．又AP →,AB →有公共起点A ,所以P ,A ,B 三点在同一直线上,即P ∈直线AB . 3．下列条件中,使M 与A ,B ,C 一定共面的是( ) A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0 答案 C解析 C 选项中,MA →＝－MB →－MC →, ∴点M ,A ,B ,C 共面．4．已知点M 在平面ABC 内,并且对空间任意一点O ,有OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →,则x 的值为( )A ．1B ．0C ．3 D.13答案 D解析 ∵OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →,且M ,A ,B ,C 四点共面, ∴x ＋13＋13＝1,∴x ＝13,故选D.5．已知非零向量e 1,e 2不共线,则使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线的k 的值是________． 答案 ±1解析 若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线, 则k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2),所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，λk ＝1.所以k ＝±1.1．知识清单：(1)空间向量共线的充要条件,直线的方向向量． (2)空间向量共面的充要条件． 2．方法归纳 ：转化化归． 3．常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线．1．已知向量a ,b ,且AB →＝a ＋2b ,BC →＝－5a ＋6b ,CD →＝7a －2b ,则一定共线的三点是( ) A ．A ,B ,D B ．A ,B ,C C ．B ,C ,D D ．A ,C ,D答案 A解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →,故AD →∥AB →,又AD →与AB →有公共点A , 所以A ,B ,D 三点共线．2．对于空间的任意三个向量a ,b ,2a －b ,它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面的向量 答案 A3．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,向量D 1A —→,D 1C —→,A 1C 1—→是( ) A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 答案 C解析 因为D 1C —→－D 1A —→＝AC →,且AC →＝A 1C 1—→, 所以D 1C —→－D 1A —→＝A 1C 1—→, 即D 1C —→＝D 1A —→＋A 1C 1—→. 又D 1A —→与A 1C 1—→不共线,所以D 1C —→,D 1A —→,A 1C 1—→三个向量共面．4．已知P 为空间中任意一点,A ,B ,C ,D 四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且PA →＝43PB →－xPC →＋16DB →,则实数x 的值为( )A.13 B ．－13 C.12 D ．－12 答案 A解析 PA →＝43PB →－xPC →＋16DB →＝43PB →－xPC →＋16(PB →－PD →)＝32PB →－xPC →－16PD →.又∵P 是空间任意一点,A ,B ,C ,D 四点满足任意三点均不共线,但四点共面, ∴32－x －16＝1,解得x ＝13. 5．(多选)下列命题中错误的是( )A ．若A ,B ,C ,D 是空间任意四点,则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0 B ．|a |－|b |＝|a ＋b |是a ,b 共线的充要条件 C ．若AB →,CD →共线,则AB ∥CDD ．对空间任意一点O 与不共线的三点A ,B ,C ,若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ,y ,z ∈R ),则P ,A ,B ,C 四点共面答案 BCD 解析 显然A 正确；若a ,b 共线,则|a |＋|b |＝|a ＋b |或|a ＋b |＝||a | －|b ||,故B 错误； 若AB →,CD →共线,则直线AB ,CD 可能重合,故C 错误； 只有当x ＋y ＋z ＝1时,P ,A ,B ,C 四点才共面,故D 错误．6．在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD →＝2DB →,CD →＝13CA →＋λCB →,则λ＝________.答案 23解析 CD →＝CB →－DB →＝CB →－13AB →＝CB →－13(CB →－CA →)＝23CB →＋13CA →,又CD →＝13CA →＋λCB →,所以λ＝23.7．设e 1,e 2是空间两个不共线的向量,已知AB →＝e 1＋k e 2,BC →＝5e 1＋4e 2,DC →＝－e 1－2e 2,且A ,B ,D 三点共线,则实数k ＝________. 答案 1解析 ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝7e 1＋(k ＋6)e 2, 且AB →与AD →共线,故AD →＝xAB →, 即7e 1＋(k ＋6)e 2＝x e 1＋xk e 2, 故(7－x )e 1＋(k ＋6－xk )e 2＝0, 又∵e 1,e 2不共线,∴⎩⎪⎨⎪⎧7－x ＝0，k ＋6－kx ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，k ＝1，故k 的值为1.8．已知O 为空间任一点,A ,B ,C ,D 四点满足任意三点不共线,但四点共面,且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →,则2x ＋3y ＋4z ＝________. 答案 －1解析 由题意知A ,B ,C ,D 共面的充要条件是：对空间任意一点O ,存在实数x 1,y 1,z 1,使得OA →＝x 1OB →＋y 1OC →＋z 1OD →,且x 1＋y 1＋z 1＝1,因此,2x ＋3y ＋4z ＝－1.9.如图,在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是C 1D 1,AB 的中点,E 在AA 1上且AE ＝2EA 1,F 在CC 1上且CF ＝12FC 1,判断ME →与NF →是否共线．解 由题意,得ME →＝MD 1—→＋D 1A 1—→＋A 1E —→＝12BA →＋CB →＋13A 1A —→＝BN →＋CB →＋13C 1C —→ ＝CN →＋FC →＝FN →＝－NF →. 即ME →＝－NF →,∴ME →与NF →共线．10．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M 为DD 1的中点,点N 在AC 上,且AN ∶NC ＝2∶1,求证：A 1N —→与A 1B —→,A 1M —→共面．证明 ∵A 1B —→＝AB →－AA 1—→,A 1M —→＝A 1D 1—→＋D 1M —→＝AD →－12AA 1—→,AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →),∴A 1N —→＝AN →－AA 1—→＝23(AB →＋AD →)－AA 1—→＝23(AB →－AA 1—→)＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AA 1—→＝23A 1B —→＋23A 1M —→, ∴A 1N —→与A 1B —→,A 1M —→共面．11．若P ,A ,B ,C 为空间四点,且有PA →＝αPB →＋βPC →,则α＋β＝1是A ,B ,C 三点共线的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案 C解析 若α＋β＝1,则PA →－PB →＝β(PC →－PB →),即BA →＝βBC →,显然,A ,B ,C 三点共线；若A ,B ,C 三点共线,则有AB →＝λBC →,故PB →－PA →＝λ(PC →－PB →),整理得PA →＝(1＋λ)PB →－λPC →,令α＝1＋λ,β＝－λ,则α＋β＝1,故选C.12．平面α内有五点A ,B ,C ,D ,E ,其中无三点共线,O 为空间一点,满足OA →＝12OB →＋xOC →＋yOD →,OB→＝2xOC →＋13OD →＋yOE →,则x ＋3y 等于( )A.56B.76C.53D.73 答案 B解析 由点A ,B ,C ,D 共面得x ＋y ＝12,又由点B ,C ,D ,E 共面得2x ＋y ＝23,联立方程组解得x ＝16,y ＝13,所以x ＋3y ＝76.13．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,P ,M 为空间任意两点,如果有PM →＝PB 1—→＋7BA →＋6AA 1—→－4A 1D 1—→,那么M 必( ) A ．在平面BAD 1内 B ．在平面BA 1D 内 C ．在平面BA 1D 1内 D ．在平面AB 1C 1内答案 C解析 PM →＝PB 1—→＋7BA →＋6AA 1—→－4A 1D 1—→＝PB 1—→＋BA →＋6BA 1—→－4A 1D 1—→＝PB 1—→＋B 1A 1—→＋6BA 1—→－4A 1D 1—→＝PA 1—→＋6(PA 1—→－PB →)－4(PD 1—→－PA 1—→)＝11PA 1—→－6PB →－4PD 1—→,于是M ,B ,A 1,D 1四点共面．14．有下列命题：①若AB →∥CD →,则A ,B ,C ,D 四点共线；②若AB →∥AC →,则A ,B ,C 三点共线；③若e 1,e 2为不共线的非零向量,a ＝4e 1－25e 2,b ＝－e 1＋110e 2,则a ∥b ； ④若向量e 1,e 2,e 3是三个不共面的向量,且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0,则k 1＝k 2＝k 3＝0. 其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．答案 ②③④解析 根据共线向量的定义,若AB →∥CD →,则AB ∥CD 或A ,B ,C ,D 四点共线,故①错；因为AB →∥AC →且AB →,AC →有公共点A ,所以②正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4b ,所以a ∥b .故③正确；易知④也正确．15．已知A ,B ,C 三点不共线,O 是平面ABC 外任意一点,若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的一点P 与A ,B ,C 三点共面,则λ＝________.答案 215解析 根据P ,A ,B ,C 四点共面的条件,知存在实数x ,y ,z ,使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →成立,其中x＋y ＋z ＝1,于是15＋23＋λ＝1,所以λ＝215. 16.如图,已知M ,N 分别为四面体A －BCD 的面BCD 与面ACD 的重心,G 为AM 上一点,且GM ∶GA ＝1∶3.求证：B ,G ,N 三点共线．证明 设AB →＝a ,AC →＝b ,AD →＝c , 则AM →＝AB →＋23×12(BC →＋BD →)＝AB →＋13(BC →＋BD →)＝AB →＋13(AC →－AB →＋AD →－AB →)＝13(AB →＋AC →＋AD →)＝13(a ＋b ＋c ),BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋34AM →＝－a ＋14(a ＋b ＋c )＝－34a ＋14b ＋14c ,BN →＝BA →＋AN →＝BA →＋13(AC →＋AD →)＝－a ＋13b ＋13c ＝43BG →,∴BN →∥BG →.又BN ∩BG ＝B ,∴B ,G ,N 三点共线．。

第四节 不等式的性质及区间【知识梳理】1、不等式的基本性质（1）传递性：若a ＞b ，且b ＞c ，则a ＞c . （2）加法性质：若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c. （3）乘法性质：若a ＞b ，且c ＞0，则a c ＞b c ； 若a ＞b ，且c ＜0，则a c ＜b c.推论：（1）同向不等式可加性：若a >b,c >d,则a +c >b +d. （2）异向不等式可减性:若a >b,c <d,则a −c >b −d. （3）若a >b >0,c >d >0,则ac >bd. （4）可开方性：若a >b >0，则√a n>√b n（5）可乘方性：若a >b >0，则a n =b n .【例题精讲】题型一：比较实数的大小例1. 比较x 2+3x 与5x −2的大小. 练习1、（1）比较a 2+b 2与2ab 的大小；（2）比较(x 2+1)2与x 4+x 2−2x 的大小； （3）比较a 2+b 2与2(a −b −1);（4）已知a ≠b ,比较ab −a 2与b 2−ab 的大小； （5）已知x >3,比较x 3+3与3x 2+x 的大小. 题型二：不等式的基本性质例2. 若a >b,c ∈R ，则下列说法正确的是（ ）A．ac2>bc2 B.ac>bc C.c-a<c-b D.a2>b2练习2、若ac>bc,则（）A．a>b B.a<b c.a≥b D.无法确定a与b的大小关系3、下列命题中正确的是（）A．若a>|b|,则a2>b2 B.若a>b,c>d,则a−c>b−dC.若a>b,c>d，则ac>bdD.若a>b>0,则ca >cb4、填空：若a<b<0,c<0，则（1）ac bc （2）a+2c b+2c （3）c-a c-b（4）(a−1)2c2 (b−1)2c2（5）ca cb（6）a2b2【知识梳理】2、区间（1）定义：数轴上两点之间的一切实数组成的集合.（2）区间的分类：注意：（1）实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，其中符号“∞”不是一个具体的数，读作“无穷大”.（2）区间是数集的另一种表示形式，其左端必须小于或等于右端，且区间只能表示连续的数集.例3.集合{x|1<x≤3}用区间表示为（）A．(1,3] B.[1,3) C.(1,3) D. [1,3]例4.设集合A=（-3,2），B=（a,+∞），若A⊆B，求a的取值范围.练习：已知集合A=(−∞，1],B=(−1,5),全集U=R，用区间表示下列集合：（1）A∪B （2）（c u A）∩B （3）（c u A）∩(c u B）【知识梳理】3、解一元一次不等式组的步骤（1）求不等式组中各不等式的解集.（2）求各不等式解集的公共部分.例5.解下列不等式（组），并将解集用区间表示.(1)x−x−12>2x−33+x+16(2){5−9x>12−5x5x+6>3x第五节一元二次不等式的解法【知识梳理】1、概念：只含有一个未知数，未知数的最高次项的次数是2，且系数不为0的整式不等式叫做一元二次不等式．2、一般形式：ax＋bx＋c＞0或ax＋bx＋c＜0(a≠0)．3、解法：（1）因式分解： (x＋x1)(x＋x2)＞0或(x＋x1)(x＋x2)<0的形式．（2）图像法：4、解题步骤①化标：将二次项系数化为“+”，即a>0：ax2+bx+c<0(>0)②求根：计算判别式Δ，解方程ax2+bx+c=0③定解：Δ>0时大于取两边，小于取中间【例题精讲】题型一：解不等式例1.解下列不等式（1）x2−2x−3<0 (2)−6x2≤13x+2（3）−x2+10x−25≥0（4）2x2+x+3>0练习1、（1）x2+x+6>0 （2）x2−3x−4>0（3）x2−2x−3<0 （4）x2+6x+9≥0题型二：解含参数的不等式例2 若a<0,解关于x的不等式(x+a)(x−3a)<0练习2、解关于x的不等式(x+a)(x−3a)<0例3 已知解关于x的不等式x2−ax−b<0的解集为{x|2<x<3},求a,b的值.练习3、已知ax2+bx+c>0的解集为（13，12），求bx2+cx+a>0的解集.题型三：恒成立问题①一元二次不等式ax2+bx+c>0对一切实数恒成立的条件：a>0且Δ<0②一元二次不等式ax2+bx+c≥0对一切实数恒成立的条件：a>0且Δ≤0③一元二次不等式ax2+bx+c<0对一切实数恒成立的条件:a<0且Δ<0④一元二次不等式ax2+bx+c≤0对一切实数恒成立的条件:a<0且Δ≤0例4 已知关于x的不等式x2+2(k−1)x+1≥0对任意实数x恒成立，求实数k的取值范围。