年重庆中考数学几何证明题--(专题练习+答案详解)

2021年重庆中考数学第26题几何证明专题训练1.如图1，在Rt△ACB中，AC=BC，过B点作BD⊥CD于D点，AB交CD于E．(1)如图1，若AC=6，tan∠ACD=2，求DE的长；(2)如图2，若CE=2BD，连接AD，在AD上找一点F，使CF=DF，在FD上取一点G，使∠EGF=∠CFG，求证：AF=EG；(3)如图3，D为线段BC上方一点，且∠BDC=90°，AC=6，连接AD，将AD绕A点逆时针旋转90°，D点对应点为E点，H为DE中点，求当AH有最小值时，直接写出△ACH 的面积．2.在△ABC中，∠BAC=90°，点E为AC上一点，AB=AE，AG⊥BE，交BE于点H，交BC于点G，点M是BC边上的点．(1)如图1，若点M与点G重合，AH=2，BC=√26，求CE的长；(2)如图2，若AB=BM，连接MH，∠HMG=∠MAH，求证：AM=2√2HM；(3)如图3，若点M为BC的中点，作点B关于AM的对称点N，连接AN、MN、EN，请直接写出∠AMH、∠NAE、∠MNE之间的角度关系．3.如图，在△ABC和△DEF中，AB=AC，DE=DF，∠BAC=∠EDF=120°，线段BC与EF相交于点O．(1)若点O恰好是线段BC与线段EF的中点．①如图1，当点D在线段BC上，A、F、O、E四点在同一条直线上时，已知BC=4√3，DE=√3，求AD的长；②如图2，连接AD，CF相交于点G，连接OG，BG，当BG⊥OG时，求证：BG=√3CG．2(2)若点D与点A重合，CF//AB，H、K分别为OC、AF的中点，连接HK，直接写出HKAE−OF 的值．AC，连接4.在△ABC和△AEF中，∠AFE=∠ABC=90°，∠AEF=∠ACB=30°，AE=12 EC，点G是EC中点，将△AEF绕点A顺时针旋转．(1)如图1，若E恰好在线段AC上，AB=2，连接FG，求FG的长度；(2)如图2，若点F恰好落在射线CE上，连接BG，证明：GB=√3AB+GC；2GC最大时，直接写出直线AB，(3)如图3，若AB=3，在△AEF旋转过程中，当GB−12AC，BG所围成三角形的面积．5.如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF=90°，连接FC，G为FC的中点，连接GD，ED．(1)如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．(2)将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，(1)中的结论是否成立？说明理由．(3)若AB=5，AE=1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．6.如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．(1)若点E为BD的中点，AD=4，CD=5，求△BCE的面积；(2)如图2，若BC=CD，点F为CD的中点，求证：AB=2AF；(3)如图3，若AB//CD，∠BAD=90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD=90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ.当AB=6√2，AD=4√2，tan∠ABC=2时，求CQ+√10BQ的最小值．107.已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC．(1)如图①，若AB=BD，AB⊥BD，求证：CD=√2AB；(2)如图②，若AB=AD，AB⊥AD，BC=1，求CD的长；(3)如图③，若AD=BD，AD⊥BD，AB=2√5，求CD的长．8.在△ABC中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．(1)如图1，若AB=3√2，BC=5，求AC的长；(2)如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．9.在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥CD交AE于点F，连接OF.以OF为直角边作Rt△OFG，其中∠OFG=90°，连接AG．(1)如图1，若∠EAB=30°，OA=2√3，AB=6，则求CE的长度；(2)如图2，若CF=CD，∠FGO=45°，求证：EC=√2AG+2EF；(3)如图3，动点P从点A运动到点D(不与点A、点D重合)，连接FP，过点P作FP的垂线，又过点D作AD的垂线交FP的垂线于点Q，点A′是点A关于FP的对称点，连接A′Q.若AE=2EC，FG=2OF，EF=1，AG=√5，则在动点P的运动过程中，直接写出A′Q的最小值．10.在正方形ABCD中，E为边CD上一点(不与点C、D重合)，垂直于BE的一条直线MN分别交BC、BE、AD于点M、P、N，正方形ABCD的边长为6．(1)如图1，当点M和点C重合时，若AN=4，求线段PM的长度；(2)如图2，当点M在边BC上时，判断线段AN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线AC上运动时，连接NB，将△BPN沿着BN翻折，点P落在点P′处，AB的中点为Q，直接写出P′Q的最小值．11.如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．(1)求∠CPE的度数；(2)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．12. 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，分别过点B 作BC 的垂线，过点D 作CD 的垂线，两垂线相交于点E ．(1)如图1，若AD =4，连接AE ，BD ，求三角形ADE 的面积；(2)如图2，点F 是DE 延长线上的一点，点G 为EB 延长线上的一点，且EF =BG ，连接BF ，DG ，DG 交FB 的延长线于点H ，连接AH ，试猜想线段AH ，BH ，HD 的数量关系并证明你的结论；(3)如图3，在(2)的条件下，在AH 上取得一点P ，使得HP =3AP ，已知Q 为直线ED 上一点，连接BQ ，连接QP ，当BQ +QP 最小时，直接写出S △QDC S 菱形ABCD 的值．13. 如图，已知△ABC 中，∠ABC =45°，CD 是边AB 上的高线，E 是AC 上一点，连接BE ，交CD 于点F ．(1)如图1，若∠ABE =15°，BC =√3+1，求DF 的长；(2)如图2，若BF =AC ，过点D 作DG ⊥BE 于点G ，求证：BE =CE +2DG ；(3)如图3，若R 为射线BA 上的一个动点，以BR 为斜边向外作等腰直角△BRH ，M 为RH 的中点.在(2)的条件下，将△CEF 绕点C 旋转，得到△CE′F′，E ，F 的对应点分别为E′，F′，直线MF′与直线AB 交于点P ，tan∠ACD =13，直接写出当MF′取最小值时RMPF′的值．14. 如图△ABC 为等腰直角三角形，∠A =90°，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，连接DE ，以DE 为直角边向上作等腰直角三角形DEF ，连接BE 、BF ．(1)如图1，当CE =AD 时，求证：BF ⊥BD ；(2)如图2，H 为BE 的中点，过点D 作DG ⊥BC 于点G ，连接GH.求证：BF =2HG ；(3)如图3，BE 与DF 交于点R ，延长BF 交AC 于点P ，∠APB 的角平分线交BE 于点Q.若点E 为AC 上靠近点A 的三等分点，且tan∠AED =67，请直接写出BR QR 的值．15. 如图，△ABC 是等边三角形，△BDE 是顶角为120°的等腰三角形，BD =DE ，连接CD ，AE ．(1)如图1，连接AD ，若∠ABE =60°，AB =BE =√3，求CD 的长；(2)如图2，若点F 是AE 的中点，连接CF ，DF.求证：CD =2DF ；(3)如图3，在(2)的条件下，若AB =2√3，BD =2，将△BDE 绕点B 旋转，点H 是△AFC 内部的一点，当DF 最大时，请直接写出2HA +HF +√5HC 的最小值的平方．16.如图，点B，C，D在同一条直线上，△BCF和△ACD都是等腰直角三角形.连接AB，DF，延长DF交AB于点E．(1)如图1，若AD=BD，DE是△ABD的平分线，BC=1，求CD的长度；(2)如图2，连接CE，求证：DE=√2CE+AE；(3)如图3，改变△BCF的大小，始终保持点F在线段AC上(点F与点A，C不重合).将ED绕点E顺时针旋转90°得到EP.取AD的中点O，连接OP.当AC=2时，直接写出OP 长度的最大值．17.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AB=AC且∠CAB=90°，E为BC上一点，且BE=AC，过E作EF⊥BC且EF=EC，连接CF．(1)如图1，已知AB=2，连接AE、AF，求△AEF的面积；(2)如图2所示，D为AB上一点，连接DB，作∠DBH=45°交EF于H点，求证：CD=HF+√2CE；(3)已知△ABC面积为8+4√2，D为射线AC上一点，作∠DBH=45°，交射线EF于H，连接DH，点M为DH的中点，当CM有最小值时，请直接写出△CMD的面积．18.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点E是边BC上的一个动点，点D是射线AC上的一个动点；连接DE，以DE为斜边，在DE右侧作等腰Rt△DFE，再过点D 作DH⊥BC，交射线BC于点H．(1)如图1，若点F恰好落在线段AE上，且∠DEH=60°，CD=3√2，求出DF的长；(2)如图2，若点D在AC延长线上，此时，过F作FG⊥BC于点G，FG与AC边的交点记为M，当AE=DE时，求证：FM+√2MD=AB；(3)如图3，若AB=4√10，点D在AC延长线上运动，点E也随之运动，且始终满足AE=DE，作点E关于DF的对称点E′，连接CF、FE′、DE′，当CF取得最小值时，请直接写出此时四边形CFE′D的面积．19.如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A顺时针旋转90°，得到AE，连接DE．(1)如图1所示，若BC=4，在D点运动过程中，当tan∠BDE=8时，求线段CD的长；11(2)如图2所示，点F是线段DE的中点，连接BF并延长交CA延长线于点M，连接DM，交AB于点N，连接CF，AF，当点N在线段CF上时，求证：AD+BF=CF；(3)如图3，若AB=2√3，将△ABC绕点A顺时针旋转得△AB′C′，连接CC′，P为线段CC′上一点，且CC′=√3PC′，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BQ，连接PQ，K 为PQ的中点，连接CK，请直接写出线段CK的最大值．20.在△ABC中，AC=BC，D为△ABC外一点，连接CD．(1)如图1，若∠ACB=60°，CD//AB，连接BD交AC于点E，且CD=2AB=2，求S△BCE．EC，(2)如图2，CE=CD，∠ECB=∠DCA，ED交AB于点F，FG垂直平分EC，且FG=12BF．M，N分别为AF，CD中点，连接MN，求证：MN=12(3)如图3，若∠ACB=90°，CD//AB，将AD绕着A点顺时针旋转60°得到AD′，连接DD′，BD′，且AC=√6，求BD′的最小值．21.已知，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AB边上的一点，连接CD，以CD为斜边向右侧作直角△CDE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．(1)如图1，当∠CDE=30°，AD=1，BD=3时，求线段DE的长；(2)如图2，当CE=DE时，求证：点E为线段AF的中点；(3)如图3，当点D与点A重合，AB=4时，过E作EG⊥BA交直线BA于点G，EH⊥BC交直线BC于点H，连接GH，求GH长度的最大值．22.如图，在锐角△ABC中，∠ACB=45°，点D是边BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE交AC于点F．(1)如图1，若∠ADC=60°，求证：DF=AF+EF；(2)如图2，在点D运动的过程中，当∠ADC是锐角时，点M在线段DC上，且AM=AD，连接ME，猜想线段ME，MD，AC之间存在的数量关系，并证明你猜想的结论；(3)在点D运动的过程中，当∠ADC是钝角时，点N是线段DE上一动点，连接CN，若AF=m，请直接用含m的代数式表示2CN+√2NE的最小值．CF=3523.如图1，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，∠BAC=60°，CE⊥AB交AB于点E，AE=AD，点F在线段BD上，连接AF．(1)若AC=4，求线段BD的长；(2)如图2，若∠DAF=60°，点M为线段BF的中点，连接CM，证明：2CM=BF+√3AC；(3)如图3，在(2)的条件下，将△ADF绕点A旋转得△AD′F′，连接BF′，点M为线段BF′的中点，连接D′M，当D′M长度取最小时，在线段AB上有一动点N，连接MN，将线段MN绕点M逆时针旋转60°至MN′，连接D′N′，若AC=4，请直接写出(2MN′−√2D′N′)的最小值．。

重庆中考24题几何证明专题训练1、如图，△ABC 中，∠ABC=45°，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，过点B 作BM ⊥AC 于点M ，BM 交CD 于点E ，且点E 为CD 的中点，连接MD ，过点D 作ND ⊥MD 于点D ，DN 交BM 于点N ． 1）若BC= ，求△BDE 的周长； 2）求证：NE －ME=CM ．2、如图,正方形ABCD 的边长为6, 点E 在边AB 上，连接ED ,过点D 作FD ⊥DE 与BC 的延长线相交于点F , 连接EF 与边CD 相交于点G 、与对角线BD 相交于点H ． (1)若BD ＝BF ，求BE 的长；(2)若∠2＝2∠1,求证：HF ＝HE ＋HD ．3、如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AD ⊥BC ，垂足是D ，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E.在△ABC 外有一点F ，使FA ⊥AE ，FC ⊥BC.（1）求证：BE=CF ；（2）在AB 上取一点M ，使BM=2DE ，连接MC ，交AD 于点N ，连接ME.求证：①ME ⊥BC ；②DE=DN.4、在正方形ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE ，过点C 作CF⊥AE 的延长线于点F ，连接DF ，过点D 作DG⊥DF 交AE 于点G ． （1）求证：△AGD≌△CFD ；（2）若E 为CD 的中点，求证：CF+EF=GE ．5、如图，在正方形ABCD 中，点E 是AB 中点，点F 是AD 上一点，且DE ＝CF ，ED 、FC 交于点G ，连接BG ，BH 平分∠GBC 交FC 于H ，连接DH 。

（1）若DE ＝10，求线段AB 的长；（2）求证：DE －HG ＝EG 。

6．如图，矩形ABCD 中，点E 是∠ABC 的平分线上一点，且AE ⊥CE 于点E ，连接ED ，BE 与边AD 边相交于点F 。

（1）求证：EF=ED ；（2）若AB=3，BC=5，求四边形BCDE 的面积。

重庆中考几何题分类汇编含答案类型1线段的倍分：要证线段倍与半;延长缩短去实验例1如图Z3－1;在△ABC中;AB＝AC;CM平分∠ACB交AB于M;在AC的延长线上截取CN ＝BM;连接MN交BC于P;在CB的延长线截取BQ＝CP;连接MQ.1求证：MQ＝NP；2求证：CN＝2CP.针对训练：1．如图Z3－2;在ABCD中;AC⊥BC;点E、点FAC＝AE＝CF;连接CE、AF、EF.1若∠ABC＝35°;求∠EAF的度数；2若CE⊥EF;求证：CE＝2EF.2．已知;在△ABC中;AB＝AC;∠BAC＝90°;E为边AC点;连接BE.1如图①;若∠ABE＝15°;O为BE中点;连接AO;且AO的长；2如图②;F也为AC上一点;且满足AE＝CF;过A作AD⊥连接DF交BE于点G;连接AG.若AG平分∠CAD;求证：AH＝AC.3．在△ACB中;AB＝AC;∠BAC＝90°;点D是AC上一点;连接BD;过点A作AE⊥BD于E;交BC于F.1如图①;若AB＝4;CD＝1;求AE的长；2如图②;点G是AE上一点;连接CG;若BE＝AE＋AG;求证：CG＝AE.4．在等腰直角三角形ABC中;∠BAC＝90°;AB＝AC;D是斜边BC的中点;连接AD.1如图①;E是AC的中点;连接DE;将△CDE沿CD翻折到△CDE′;连接AE′;当AD＝时;求AE′的值．2如图②;在AC上取一点E;使得CE＝AC;连接DE;将△CDE沿CD翻折到△CDE′;连接AE′交BC于点F;求证：DF＝CF.类型2线段的和差：要证线段和与差;截长补短去实验例2如图;在△ABC中;∠BAC＝90°;BA;连接AD;在AD左侧作∠EAD＝451若AC＝3;则CE＝________2如图①;M、N分别为AB和AC且AM＝AN;连接EM、DN;若∠AME＋∠AND＝180°;求证：DE＝DN＋ME；3如图②;过E作EF⊥AE;交ADEC上选取一点H;使得EH＝BE;连接FH;在AC上选取一点G;使得AG＝AB;连接BG、FG;求证：FH＝FG.针对训练：1．如图Z3－7;在ABCD中;AE⊥BC于E;AE＝G;延长GE、DC交于点F;连接AF.1若BE＝2EC;AB＝;求AD的长；2求证：EG＝BG＋FC.2．如图;在正方形ABCD中;点P为AD延长线上一点;连接AC、CP;过点C作CF⊥CP 于点C;交AB于点F;过点B作BM⊥CF于点N;交AC于点M.1若AP＝AC;BC＝4;求S△ACP；2若CP－BM＝2FN;求证：BC＝MC.3．如图;在△ABC中;AB＝BC;以AB为一边向形ABDE;连接DC;EB并延长EB交AC于F;且AE 于G.1若∠EBG＝20°;求∠AFE；2试问线段AE;AF;CF之间的数量关系并证明．类型3倍长中线：三角形中有中线;延长中线等中线例3如图Z3－10①;在Rt△ABC中;∠ABC＝90°;D为斜边AC上两点;且AD＝AB;CE＝CB;连接BD、1求∠EBD的度数；2如图Z3－10②;过点D作FD⊥BD于点D;交BEF;在AB上选取一点H;使得BH＝BC;连接CH;在一点G;使得GD＝CD;连接FH、FG;求证：FH＝FG.针对训练：1．如图;已知在ABCD中;G为BC的中点;点E在AD边上;且∠1＝∠2.1求证：E是AD中点；2若F为CD延长线上一点;连接BF;且满足∠3＝∠2;求证：CD＝BF＋DF.2．如图Z3－12;在菱形ABCD中;点E、F分别是BC、CD上的点;连接AE;AF;DE、EF;∠DAE＝∠BAF.1求证：CE＝CF；2若∠ABC＝120°;点G是线段AF的中点;连接DG;EG.求证：DG⊥GE.3．在Rt△ABC中;∠ACB＝90°;点D与点B在;∠ADC＞∠BAC;且DA＝DC;过点B作BE∥DA交于点E;M为AB的中点;连接MD;ME.1如图①;当∠ADC＝90°时;线段MD与ME________；2如图②;当∠ADC＝60°时;试探究线段MD数量关系;并证明你的结论；3如图③;当∠ADC＝α时;求的值．4．如图①;等边三角形ABC中;CE平分∠ACB;D为BC边上一点;且DE＝CD;连接BE.1若CE＝4;BC＝6;求线段BE的长；2如图②;取BE中点P;连接AP;PD;AD;求证：AP⊥PD且AP＝PD；3如图③;把图Z3－14②中的△CDE绕点C顺时针旋转任意角度;然后连接BE;点P为BE中点;连接AP;PD;AD;问第2问中的结论还成立吗若成立;请证明；若不成立;请说明理由．5．在△ABC中;以AB为斜边;作直角三角形ABD;使点D落在△ABC内;∠ADB＝90°.1如图①;若AB＝AC;∠BAD＝30°;AD＝6;点P、M分别为BC、AB边的中点;连接PM;求线段PM的长；2如图②;若AB＝AC;把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度;得到△ACE;连接ED并延长交BC于点P;求证：BP＝CP；3如图③;若AD＝BD;过点D的直线交AC于点E;交BC于点F;EF⊥AC;且AE＝EC;请直接写出线段BF、FC、AD之间的关系不需要证明．类型4中位线：三角形中两中点;连接则成中位线例42017·河南如图①;在Rt△ABC中;∠A＝90°;AB＝AC;点D;E分别在边AB;AC上;AD＝AE;连接DC;点M;P;N分别为DE;DC;BC的中点．1观察猜想：图①中;线段PM与PN的数量关系是__________;位置关系是__________；2探究证明：把△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图②的位置;连接MN;BD;CE;判断△PMN 的形状;并说明理由；3拓展延伸：把△ADE绕点A＝10;请直接写出△PMN面积的最大值．针对训练：1．如图①;在任意的三角形ABC以AB和AC为一边作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD;AB＝AE;AC＝AD;且∠BAE＋∠CAD＝180°;连接DE;延长CA交DE于F.1求证：∠CAB＝∠AED＋∠ADE；2若∠ACB＝∠BAE＝∠CAD＝90°;如图②;求证：BC＝2AF；3若在△ABC中;如图③所示;作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD;AB与DE交于点F;F为DE的中点;请问2中的结论还成立吗若成立;请给出证明;若不成立;请说明理由．2．如图;在△ABC和△ADE中;AB＝AC;AD＝AE;∠BAC＋∠EAD＝180°;△ABC不动;△ADE绕点A旋转;连接BE、CD;F为BE的中点;连接AF.1如图①;当∠BAE＝90°时;求证：CD＝2AF；2当∠BAE≠90°时;1的结论是否成立请结合图②说明理由．3．如图①;在等腰三角形ABC中;AB＝AC;在底边BC上取一点D;在边AC上取一点E;使AE＝AD;连接DE;在∠ABD的内部作∠ABF＝2∠EDC;交AD于点F.1求证：△ABF是等腰三角形；2如图②;BF的延长交AC于点G.若∠DAC＝∠CBG;延长AC至点M;使GM＝AB;连接BM;点N是BG的中点;连接AN;试判断线段AN、BM之间的数量关系;并证明你的结论．类型5角的和差倍分图中有角平分线;关系现．角平分线平行线;;三线合一试试看．例5．如图;把△EFP放置在菱形ABCD中;顶点E;F;P分别在线段AB;AD;AC上;EP＝FP＝6;EF＝6;∠BAD＝60°;且＞6.1求∠EPF的大小；2若AP＝10;求AE＋AF的值．针对训练：1．已知：如图①;AD平分∠BAC;∠B＋∠C＝180°°;易知：DB＝DC.探究：如图②;AD平分∠BAC;∠ABD＋∠ACD;∠ABD＜90°;求证：DB＝DC.2．在△ACB中;AB＝AC;∠BAC＝90°;点D;连接BD;过点A作AE⊥BD于E;交BC于F.1如图①;若AB＝4;CD＝1;求AE的长；2如图②;点P是AC上一点;连接FP;若AP＝CD;求证：∠ADB＝∠CPF.3．已知;在ABCD中;∠BAD＝45°;AB＝BD;E为BC上一点;连接AE交BD于F;过点D 作DG⊥AE于G;延长DG交BC于H.1如图①;若点E与点C重合;且AF＝;求AD的长；2如图②;连接FH;求证：∠AFB＝∠HFB.4．如图;将正方形纸片ABCD沿EF折叠点E、F分别在边AB、CD上;使点B落在AD边上的点M处;点C落在点N处;MN与CD交于点P;连接EP.当点M在边AD上移动时;连接BM、BP.1求证：BM是∠AMP的平分线；2△PDM的周长是否发生变化证明你的结论．类型6旋转型全等问题：图中若有边相等;可用旋转做例6．△ABC中;∠BAC＝90°;AB＝AC;点D为直线点点D不与B;C重合;以AD为边在AD右侧作正方形ADEF;连接CF.1观察猜想：如图①;当点D在线段BC上时;①BC与CF关系为：________．②BC;CD;CF之间的数量关系为：___________；将结写在横线上2数学思考：如图Z3－25②;当点D在线段CB的延长线上时;结论①;②是否仍然成立若成立;请给予证明；若不成立;请你写出正确结论再给予证明．3拓展延伸：如图Z3－25③;当点D在线段BC的延长线上时;延长BA交CF于点G;连接GE.若已知AB＝2;CD＝BC;请求出GE的长．针对训练：1．在四边形ABCD中;∠B＋∠180°;对角线AC平分∠BAD.1如图①;若∠DAB＝120°;且∠B＝90°;试探究边AD、AB与对角线AC2如图②;若将1中的条件“∠B＝去掉;1中的结论是否成立请说明理由．3如图③;若∠DAB＝90°;探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．2．如图①;在正方形ABCD中;点E为边BC上一点;将△ABE沿AE翻折得△AHE;延长EH交边CD于F;连接AF.1求证：∠EAF＝45°；2延长AB;AD;如图②;射线AE、AF分别交正方形两个外角的平分线于M、N;连接MN;若以BM、DN、MN为三边围成三角形;试猜想三角形的形状;并证明你的结论．3．如图①;在正方形ABCD内有一点P;PA＝;PB＝;PC＝1;求∠BPC的度数．分析问题根据已知条件比较分散的特点;我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起;于是将△BPC绕点B逆时针旋转90°;得到了△BP′A如图Z3－28②;然后连接PP′.1请你通过计算求出图Z3－28②中∠BPC的度数；2如图③;若在正六边形ABCDEF内有一点P;且PA＝2;PB＝4;PC＝2.请求出∠BPC的度数．重庆中考几何题分类汇编答案例1.证明：1∵AB＝AC;∴∠ABC＝∠ACB.∵∠MBQ＋∠ABC＝180°;∠ACB＋∠PCN＝180°;∴∠MBQ＝∠PCN.在△QBM和△PCN中;∴△QBM≌△PCNSAS．∴MQ＝NP.2过M作MG∥AC交BC于G;∵MG∥AC;∴∠MGB＝∠ACB;∠MGC＝∠PCN;∵由1知;∠ABC＝∠ACB;∴∠ABC＝∠MGB;∴MB＝MG;∵MB＝CN;∴MG＝CN.在△MGP和△NCP中;∴△MGP≌△NCPAAS．∴PG＝CP;∴CG＝CP＋PG;即CG＝2CP.∵CM平分∠ACB;∴∠BCM＝∠MCA;∵MG∥AC;∴∠MCA＝∠GMC;∴∠BCM＝∠GMC;∴MG＝CG;∵MG＝CN;∴CN＝CG;∴CN＝2CP.针对训练1.解：1∵AC⊥BC;∴∠ACB＝90°;又∵AC＝CF;∴∠45°;∵∠ABC＝35°;∴∠EAF＝10°；2证明：方法1：取CF的中点M;连接EM、AM;∵CE⊥EF;∴EM＝CM＝FM＝CF;又∵AC＝AE;∴AM为EC的中垂线;∴∠CAM＋°; 又∵∠ECF＋∠ACE＝90°;∴∠CAM＝∠FCE;又∵∠CEF＝∠ACM＝90°;∴△ACM∽△CEF;∴＝;又∵CF＝AC＝2CM;∴＝＝;即CE＝2EF；方法2：延长FE至M;使EF＝EM;连接CM;∵CE⊥EF;∴△CMF为等腰三角形;又∵AC＝AE＝CF;且∠ACE＝∠CFE易证;∴△CMF≌△CEA;∴FM＝CE＝2EF.2.解：1如图①;在AB上取一点M;使得BM＝ME;连在Rt△ABE中;∵OB＝OE;∴BE＝2OA＝2;∵MB＝ME;∴∠MBE＝∠MEB＝15°;∴∠AME＝∠MBE＋∠MEB＝30°;设AE＝x;则ME＝BM＝2x;AM＝x;∵AB2＋AE2＝BE2;∴2x＋x2＋x2＝22;∴x＝负根舍弃;∴AB＝AC＝2＋·;∴BC＝AB＝＋1.2证明：如图②;作CP⊥AC;交AD的延长线于P;GM⊥AC 于M.∵BE⊥AP;∴∠AHB＝90°;∴∠ABH＋∠BAH＝90°;∵∠BAH＋∠PAC＝90°;∴∠ABE＝∠PAC;又∵AB＝AC;∠BAE＝∠ACP＝90°;∴△ABE≌△CAP;∴AE＝CP＝CF;∠AEB＝∠P;在△DCF和△DCP中;∴△DCF≌△DCP;∴∠DFC＝∠P;∴∠GFE＝∠GEF;∴GE＝GF;∵GM⊥EF;∴FM＝ME;∵AE＝CF;∴AF＝CE;∴AM＝CM;在△GAH和△GAM中;∴△AGH≌△AGM;∴AH＝AM＝CM＝AC.3.解：1∵AB＝4;∴AC＝AB＝4.∵CD＝1;∴AD＝AC－CD＝3.∵在Rt△ABD中;∠BAC＝90°;∴BD＝＝5;∵S＝AB·AD＝AE·BD;∴AE＝2.4.△ABD2证明：如图;在线段EB上截取EH＝AE;并连接∵AE⊥BD;EH＝AE;∴AH＝AE.∵BE＝AE＋AG;∴BH＝BE－HE＝AG.∵∠BAD＝∠BEA＝90°;∴∠ABE＋∠BAE＝∠CAG＋∠BAE＝90°;∴∠ABE＝∠CAG.∵BA＝AC;∴△ABH≌△CAG;∴CG＝AH＝AE.4.解：1∵∠BAC＝90°;AB＝AC;D是斜边BC的中点;∴∠ADC＝90°;∠ACD＝45°.在Rt△ADC中;AC＝AD÷sin45°＝2.∵E是AC的中点;∴CE＝AC＝.∵将△CDE沿CD翻折到△CDE′;∴CE′＝CE＝;∠ACE由勾股定理;得AE′＝＝.2证明：如图;过B作AE′的垂线交AD于点G;交AC于点∵∠ABH＋∠BAF＝90°;∠CAF＋∠BAF＝90°;∴∠ABH＝∠CAF.又∵AB＝AC;∠BAH＝∠ACE′＝90°;∴△ABH≌△CAE′.∴AH＝CE′＝CE;∵CE＝AC;∴AH＝HE＝CE.∵D是BC中点;∴DE∥BH;∴G是AD中点．在△ABG和△CAF中：AB＝AC;∠BAD＝∠ACD＝45°;∠ABH＝∠CAF; ∴△ABG≌△CAF.∴AG＝CF.∵AG＝AD;∴CF＝AD＝CD.∴DF＝CF.类型2线段的和差：要证线段和与差;截长补短去实验例2：解：132证明：延长DN到K;使得NK＝ME;连接AK;如图①;因为∠1＋∠3＝180°;∠1＋∠2＝180°;∴∠2＝∠3.在△AME和△ANK中;∴△AME≌△ANK SAS．∴AE＝AK;∠4＝∠5;∴∠4＋∠EAC＝90°;∴∠5＋∠EAC＝90°;即∠EAK＝∵∠EAD＝45°;∴∠KAD＝∠EAK－∠EAD＝90°－45∴∠EAD＝∠KAD.在△EAD和△KAD中;∴△EAD≌△KAD SAS;∴ED＝KD.∵DK＝DN＋KN;∴ED＝DN＋KN;又NK＝ME;∴ED＝DN＋ME.3证明：延长AE到J;使得EJ＝AE;连接JH;JF.如图②;在△ABE和△JHE中;∴△ABE≌△JHESAS;∴JH＝AB;∠1＝∠2;∵AB＝AG;∴JH＝AG;∵AE＝EJ;EF⊥AJ;∴AF＝JF;∴∠JAF＝∠AJF＝45°;即∠2＋∠3＝45°;∵∠BAC＝90°;∴∠1＋∠EAD＋∠4＝90°;∴∠1＋∠4＝90°－∠EAD;＝90°－45°＝45°;∵∠1＝∠2;∴∠3＝∠4;在△JHF和△AGF中;∴△JHF≌△AGFSAS;∴FH＝FG.针对训练：1.解：1∵四边形ABCD是平行四边形;∴AD＝BC.∵BE＝2EC;设CE＝x;BE＝2x;∴BC＝AD＝AE＝3x.又∵EG⊥AB;∴∠AEB＝90°;∴AB2＝AE2＋BE2;即13＝9x2＋4x2;∴x＝1;∴AD＝3x＝3.2证明：如图;过C作CH⊥AB于H;则四边形CHGF为矩形．∴CF＝HG;∠CHB＝90°;GF＝CH.∵AE⊥BC;EG⊥AB;∴∠AEB＝∠CHB＝90°;∠BCH＋∠B＝90°;∠BAE＋∠B＝90°;∴∠BCH＝∠BAE.又∵AE＝BC;∴△AGE≌△CHB;∴GE＝BH;AG＝GF;∴GE＝BH＝BG＋GH＝BG＋CF.2.解：1∵四边形ABCD是正方形;BC＝4;∴AB＝AD＝CD＝BC＝4;∠ADC＝∠ABC＝90°.∵在Rt△ABC中;AC＝＝4;∴AP＝AC＝;∴S＝AP·CD＝7.△ACP2证明：方法一：如图①;在NC上截取NK＝NF;连接BK.∵四边形ABCD是正方形;∴AB＝BC＝DC;∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°.∵∠BCD＝90°;CF⊥CP;∴∠1＋∠DCF＝∠2＋∠DCF＝90°;∴∠1＝∠2;∵在△FBC和△PDC中;∴△FBC≌△PDCASA;∴CF＝CP;∵CP－2FN＝BM;∴CF－FK＝BM;即CK＝BM;∵∠FBC＝90°;BM⊥CF;∴∠1＋∠NBC＝∠4＋∠NBC; ∴∠1＝∠4;∵在△ABM和△BCK中;∴△ABM≌△BCKSAS;∴∠7＝∠6.∵BM⊥CF;NK＝NF;∴BF＝BK;∵BF＝BK;BM⊥CF;∴∠4＝∠∴∠4＋∠7＝∠5＋∠6;∵∠8＝∠4＋∠7;∴∠8＝∠MBC;∴BC＝MC.解：方法二：如图②;延长BM交AD于点G;过A作AE⊥BGE先证△AEB≌△BNCAAS;∴AE＝BN;又证△AEG≌△BNFAAS;∴EG＝NF;再证四边形BCPG为平行四边形;∴BG＝CP;∵CP－BM＝2FN;∴BG－BM＝2EG;∴MG＝2EG;∴点E为MG中点;∵AE⊥MG;EM＝EG;∴AM＝AG;∴∠3＝∠4;∵∠2＝∠3;∠1＝∠4;∴∠1＝∠2;∴BC＝MC.3.解：1∵∠EBG＝20°;CB⊥AE;∴∠BEG＝70o;∠CBF＝∠EBG＝20°;∵四边形ABDE是菱形;∴∠ABE＝∠BEG＝70°;∴∠ABG＝50°;∵AB＝BC;∴∠FCB＝25°;∴∠AFE＝∠CBF＋∠FCB＝45°；2AE;AF;CF之间的数量关系是AF2＋CF2＝2AE2;证明如下：连接DF;∵四边形ABDE是菱形;∴AB＝DB;∠DBE＝∠ABE;∴∠DBF＝∠ABF;∵BF＝BF;∴△DBF≌△ABFSAS;∴DF＝AF;∠BDF＝∠BAF;∵∠BCF＝∠BAF;∴∠BCF＝∠BDF; ∵CB⊥AE;AE∥DB;∴DB⊥CB;∵CB＝AB＝BD;∴△DBC是等腰直角三角形;∴DC＝BD＝AE;∵∠DPB＝∠CPF;∴∠CFP＝∠DBP＝90°;∴DF2＋CF2＝DC2; 即有：AF2＋CF2＝2AE2.类型3倍长中线：三角形中有中线;延长中线等中线例3解：1设∠BEC＝α;∠BDA＝β;则∠C＝180°－2α;∠A＝180°－2β.∵在Rt△ABC中;∠ABC＝90°;∴∠A＋∠C＝90°;即180°－2α＋180°－2β＝90°;∴α＋β＝135°;∴∠EBD＝45°.2证明：法一：如图①;延长BD至点B′;使得DB′＝在△GDB′和△CDB中;∴△GDB′≌△CDB.∴GB′＝BC＝BH;∠GB′D∵FD⊥BD;BD＝DB′;∴FB＝FB′.∵∠FB′G＝45°－∠GB′D;∠HBF＝90°－45°－∠CBD＝45°－∠CBD;∴∠FB′G＝∠HBF.在△FHB和△FGB′中;∴△FHB≌△FGB′;∴HF＝GF.法二：如图②;延长FD至点F′;使得DF′＝DF;先证△DGF≌△DCF′;再证△BHF≌△BCF′;∴HF＝GF.针对训练1.证明：1∵四边形ABCD是平行四边形;∴AB＝CD;AD＝BC;∠A＝∠C.又∵∠1＝∠2;∴△ABE≌△CDG ASA;∴AE＝CG.∵G为BC中点;∴CG＝BC;∴AE＝CG＝BC＝AD;∴E是AD中点．2如图;延长BE;CD交于点H.∵四边形ABCD是平行四边形;∴AB綊CD;∴∠A＝∠ADH;∠1＝∠4;又∵∠1＝∠2;∠3＝∠2;∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4;∴FH＝FB.由1;E是AD中点;∴AE＝DE;∴△ABE≌△DHEAAS;∴AB＝DH;∴CD＝AB＝DH＝DF＋FH＝DF＋BF;即CD＝BF＋DF.2.证明：1在菱形ABCD中;AB＝BC＝CD＝AD;∠ADF＝∠ABE; ∵∠DAE＝∠BAF;∴∠DAE－∠EAF＝∠BAF－∠EAF;即∠DAF＝∠BAE.∴△DAF≌△BAE;∴BE＝DF.又∵BC＝CD;∴CE＝CF2如图;延长DG交AB于H;连接EH;∵在菱形ABCD中;AB∥CD;∴∠DFA＝∠GAH.∵G为AF中点;∴AG＝GF.又∵∠DGF＝∠AGH;∴△DGF≌△HGA.∴DG＝又∵AB＝CD;∴BH＝CF.又∵AB∥CD;∠ABC＝120°;∴∠C＝60°.又∵CE＝CF;∴△CEF为等边三角形;∴CF＝EF;∠CFE＝60°;∴EF＝BH;∠DFE＝∠ABC＝120°.又∵BE＝DF;∴△EFD≌△HBE;∴HE＝ED;又∵HG＝DG;∴DG⊥GE.3.解：1MD=ME2MD＝ME.理由如下：如图①;延长EM交DA于点F.∵BE∥DA;∴∠FAM＝∠EBM.又∵AM＝BM;∠AMF＝∠BME;∴△AMF≌△BME;∴AF＝BE;MF＝ME.∵DA＝DC;∠ADC＝60°;∴∠BED＝∠ADC＝60°;∠ACD＝60°.∵∠ACB＝90°;∴∠ECB＝30°;∴∠EBC＝30°;∴CE＝BE;∴AF＝EC;∴DF＝DE;∴DM⊥EF;DM平分∠ADC;∴∠MDE＝30°.在Rt△MDE中;tan∠MDE＝＝.∴MD＝ME.3如图②;延长EM交DA于点F;∵BE∥DA;∴∠FAM＝∠EBM;又∵AM＝BM;∠AMF＝∠BME;∴△AMF≌△BME;∴AF＝BE;MF＝ME.延长BE交AC于点N;∴∠BNC＝∠DAC.∵DA＝DC;∴∠DCA＝∠DAC;∴∠BNC＝∠DCA;∵∠ACB＝90°;∴∠ECB＝∠EBC;∴CE＝BE;∴AF＝CE.∴DF＝DE;∴DM⊥EF;DM平分∠ADC;∵∠ADC＝α;∴∠MDE＝.∴在Rt△MDE中;＝tan∠MDE＝tan.4.解：1如图①;作EH⊥BC于点H.∵△ABC是等边三角形;∴∠ACB＝60°.∵CE平分∠ACB;∴∠ECH＝∠ACB＝30°;∵EC＝4;∠ECH＝30°;∴EH＝2;HC＝2.∵BC＝6;∴BH＝6－2＝4.在Rt△BHE中;BE2＝42＋22＝52;∴BE＝2.2如图②;延长DP至M;使DP＝PM;连接BM、AM.在△PDE和△PMB中;∴△PDE≌△PMB SAS．∴BM＝DE;∠1＝∠2.∴BM∥DE.∴∠MBD＋∠BDE＝180°.∵CE平分∠ACB;DE＝CD;∴∠BDE＝30°＋30°＝60∴∠MBD＝120°.∵△ABC是等边三角形;∴∠ABC＝60°;∴∠3＝60°.∵BM＝DE;DE＝CD;∴BM＝CD.在△ABM和△ACD中;∴△ABM≌△ACD SAS．∴AD＝AM;∠4＝∠5.∵PD＝PM;∴AP⊥PD.∵∠4＝∠5;∠BAD＋∠5＝60°;∴∠4＋∠BAD＝60°;即∠MAD＝60°.∴∠PAD＝∠MAD＝30°.∵在Rt△APD中;tan30°＝;∴AP＝PD.3第2问中的结论成立;理由如下：如图③;延长DP至使DP＝PN;连接BN、AN;取BE、AC交于点O.在△PDE∴△PDE≌△PNBSAS．∴BN＝DE;∠1＝∠2.∵DE＝CD;∴BN＝CD.∵∠AOB＝∠EOC;∴∠1＋∠3＋∠BAO＝∠2＋∠4＋∠DEC＋∠DCE.∵∠BAO＝60°;∠DEC＝∠DCE＝30°;∴∠1＋∠3∴∠3＝∠4.在△ABN和△ACD中;∴△ABN≌△ACDSAS．∴∠5＝∠6;AN＝AD.∵PD＝PN;∴AP⊥PD.∵∠NAC＋∠5＝60°;∴∠NAC＋∠6＝60°;即∠NAD＝60°.∴∠PAD＝∠NAD＝30°; ∵在Rt△APD中;tan∠PAD＝;∴AP＝PD.5.解：1∵∠ADB＝90°;∠BAD＝30°;AD＝6;∴cos∠BAD＝;∴＝;∴AB＝12.又∵AB＝AC;∴AC＝12;∴PM为△ABC的中位线;∴PM＝AC＝6.2证明：方法一：如图①;在截取ED上截取EQ＝PD;∵∠ADB＝90°;∴∠1＋∠2＝90°;又∵AD＝AE;∴∠2＝∠3;又∵∠3＋∠4＝90°;∴∠1＝∠4.在△BDP和△CEQ中;PD＝QE;∠1＝∠4;BD＝CE;∴△BDP≌△CEQ.∴BP＝CQ;∠DBP＝∠QCE;又∵∠5＝∠1＋∠DBP;∠6＝∠4＋∠QCE;∴∠5＝∠6;∴PC＝CQ;∴BP＝CP.方法二：如图②;过点B作EP的垂线交EP的延长线于点M;过C EP的垂线交EP于点N.∵∠ADB＝90°;∴∠1＋∠2＝90°;又∵AD＝AE;∴∠2＝∠3;又∵∠3＋∠4＝90°;∴∠1＝∠4;在△BMD和△CNE中;∠1＝∠4;∠BMD＝∠CNE＝90°;BD＝CE;∴△BMD≌△CNE.∴BM＝CN.在△BMP和△CNP中;∠5＝∠6;∠BMP＝∠CNP;BM＝CN;∴△BMP≌△CNP;∴BP＝CP.方法三：如图③;过点B作BM∥CE交EP略证△BMP≌△CEP;∴BP＝CP.3BF2＋FC2＝2AD2.类型4中位线：三角形中两中点;连接则成中位线例4:解：1PM=PN;PM⊥PN2△PMN为等腰直角三角形;理由如下：由题意知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形;∴AB＝AC;AD＝AE;∠BAC＝∠DAE＝90°;∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC;∴∠BAD＝∠CAE;∴△BAD≌△CAE;∴∠ABD＝∠ACE;BD＝CE.又∵M、P、N分别是DE、CD、BC的中点;∴PM是△CDE的中位线;∴PM∥CE且PM＝CE;∠MPD＝∠ECD＝∠ACD＋∠ACE.同理;PN∥BD且PN＝BD;∠DBC＝∠PNC;又∵BD＝CE;∠ABD＝∠ACE;∴PM＝PN;∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠ECD＋∠DCN＋∠CNP＝∠ACD＋∠ACE＋∠DCN＋∠CBD＝∠ACD＋∠DCN＋∠ABD＋∠CBD＝∠ACB＋∠ABC＝90°;∴PM⊥PN;∴△PMN为等腰直角三角形；3△PMN面积的最大值为.提示：在旋转的过程中;由2中的结论知△PMN为等腰直角三角形;S＝PN2＝BD2;当S△PMN有最大值时;则BD的值最大;由三角形三边关系可推断出当B、A、D三△PMN点共线时;BD的值最大;其最大值为14;此时S△PMN＝PN2＝BD2＝×14×14＝.针对训练：1.解：1证明：延长DA交BE于G点．∵∠BAE＋∠CAD＝180°;即∠EAG＋∠GAB＋∠CAD＝180°;∵∠GAB＋∠BAC＋∠CAD＝180°;∴∠EAG＝∠CAB.∵∠EAG＝∠AED＋∠ADE;∴∠CAB＝∠AED＋∠ADE.2证明：如图①;过E点作DA延长线的垂线;垂足为H.∴∠AHE＝∠ACB＝90°;由1可知;∠EAH＝∠BAC;又∵AE＝AB;∴△AHE≌△ACB;∴EH＝BC;AH＝AC.∵AC＝AD;∴AH＝AD.∵∠EHA＝∠FAD＝90°;∴AF∥EH.∵A为DH中点;∴AF为△DHE中位线;∴EH＝2AF;∴BC＝2AF.3成立．证明如下：如图②;延长DA至M点;使AM＝DA;连接EM;∵∠BAE＋∠CAD＝180°;∠CAD＋∠CAM＝180°;∴∠BAE＝∠CAM;∴∠BAE＋∠CAC＝∠CAM＋∠EAC;即∠BAC＝∠CAM.∵AM＝AD;AD＝AC;∴AM＝AC.又∵AB＝AE;∠BAC＝∠EAM;∴△BAC≌△EAM;∴BC＝EM.∵F、A分别为DE、DM中点;∴AF为△DEM中位线;∴EM＝2AF;∴BC＝2AF.2.解：1证明：∵∠BAC＋∠EAD＝180°;∠BAE＝90°;∴∠DAC＝90°;在△ABE与△ACD中;AE＝AD;∠BAE＝∠CAD＝90°;AB＝AC;∴△ABE≌△ACDSAS;∴CD＝BE;∵在Rt△ABE中;F为BE的中点;∴BE＝2AF;∴CD＝2AF.2成立;证明：如图;延长EA交BC于G;在AG上截取AH＝∵∠BAC＋∠EAD＝180°;∴∠EAB＋∠DAC＝180°;∵∠EAB＋∠BAH＝180°;∴∠DAC＝∠BAH;在△ABH与△ACD中;AH＝AD;∠BAH＝∠CAD;AB＝AC;∴△ABH≌△ACDSAS;∴BH＝DC;∵AD＝AE;AH＝AD;∴AE＝AH;∵EF＝FB;∴BH＝2AF;∴CD＝2AF.3.解：1证明：∵AB＝AC;∴∠ABD＝∠ACD;∵AE＝AD;∴∠ADE＝∠AED;∵∠BAD＋∠ABD＝∠ADE＋∠EDC;∠EDC＋∠ACD∴∠BAD＝2∠EDC;∵∠ABF＝2∠EDC;∴∠BAD＝∠ABF;∴△ABF是等腰三角形；2方法一：如图①;延长CA至点H;使AG＝AH;连接BH;∵点N是BG的中点;∴AN＝BH;∵∠BAD＝∠ABF;∠DAC＝∠CBG;∴∠CAB＝∠CBA;∴△ABC是等边三角形．∴AB＝BC＝AC;∠BAC＝∠BCA＝∵GM＝AB;AB＝AC;∴CM＝AG;∴AH＝CM;在△BAH和△BCM中;∴△BAH≌△BCMSAS;∴BH＝BM;∴AN＝BM;方法二：如图②;延长AN至K;使NK＝AN;连接KB;同方法一;先证△ABC是等边三角形;再证△ANG≌△KNB SAS;所以BK＝AG＝CM;然后可以证得∠ABK＝∠BCN＝120°;最后证△ABK≌△BCN SAS;所以BM＝AK＝2AN.类型5角的和差倍分例5：解：1如图;过点P作PG⊥EF于G.∵PE＝PF＝6;EF＝6;∴FG＝EG＝3;∠FPG＝∠EPG＝∠EPF.在Rt△FPG中;sin∠FPG＝＝＝.∴∠FPG＝60°;∴∠EPF＝2∠FPG＝120°.2如图;作PM⊥AB于M;PN⊥AD于N.∵AC为菱形ABCD的对角线;∴∠DAC＝∠BAC;AM＝AN;PM＝PN.在Rt△PME和Rt△PNF中;PM＝PN;PE＝∴Rt△PME≌Rt△PNF;∴NF＝ME.又∵AP＝10;∠PAM＝∠DAB＝30°;∴AM＝AN＝AP cos30°＝10×＝5.∴AE＋AF＝AM＋ME＋AN－NF＝AM＋AN针对训练：1.证明：如图;过D作DE⊥AB于E;过D作DF⊥AC于F;∵DA平分∠BAC;DE⊥AB;DF⊥AC;∴DE＝DF;∵∠B＋∠ACD＝180°;∠ACD＋∠FCD＝180°∴∠B＝∠FCD;在△DFC和△DEB中;∴△DFC≌△DEB;∴DC＝DB.2.解：1∵AC＝AB＝4;且CD＝1;∴AD＝AC－CD＝3.在Rt△ABD中;∠BAD＝90°;∴BD＝＝5;＝AB·AD＝AE·BD;∵S△ABD∴AE＝2.4.2证明：如图;取BC的中点M;连接AM交BD于点N.∵∠BAC＝90°;AB＝AC;点M为BC的中点;∴AM＝BM＝CM;AM⊥BC;∠NAD＝∠FCP＝45°;∴∠AMF＝∠BMN＝90°.∵AE⊥BD;∴∠MAF＋∠ANE＝∠MBN＋∠BNM＝90°;又∠ANE＝∠BNM;∴∠MAF＝∠MBN;∴△AMF≌△BMN;∴MF＝MN;∴AM－MN＝CM－MF;即AN＝CF.∵AP＝CD;∴AC－CD＝AC－AP;即AD＝CP.∴△ADN≌△CPF;∴∠ADB＝∠CPF.3.解：1∵AB＝BD;∠BAD＝45°;∴∠BDA＝45°;即∠ABD＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形;∴当E、C重合时;BF＝BD＝AB.∵在Rt△ABF中;AB2＋BF2＝AF2;∴2BF2＋BF2＝2;∴BF＝1;AB＝2.在Rt△ABD中;AD＝＝＝2.2证明：如图;在AF上截取AK＝HD;连接BK.∵∠AFD＝∠ABF＋∠2＝∠FGD＋∠3且∠ABF＝∠FGD＝90°; ∴∠2＝∠3.在△ABK与△DBH中;∴△ABK≌△DBH;∴BK＝BH;∠6＝∠5.∵四边形ABCD是平行四边形;∴AD∥BC;∴∠5＝∠4＝45°;∴∠6＝∠5＝45°;∴∠7＝∠ABD－∠6＝45°＝∠5.在△BFK与△BFH中;∴△BFK≌△BFH.∴∠BFK＝∠BFH;即∠AFB＝∠HFB.4.解：1证明：由折叠知∠EMN＝∠ABC＝90°∴∠EMB＝∠EBM;∴∠EMN－∠EMB＝∠ABC－∠EBM;即∠BMP＝∠MBC.∵在正方形ABCD中;AD∥BC;∴∠AMB＝∠MBC;∴∠AMB＝∠BMP;∴BM是∠AMP的平分线．2△PDM的周长没有发生变化．证明如下：如图;过B作BQ∵∠A＝90°;且由1知BM是∠AMP的平分线;∴BA＝BQ;∵∠A＝∠MQB＝90°;∠AMB＝∠BMP;MB＝MB;∴△AMB≌△QMB AAS．∴MA＝MQ.∵BA＝BC;∴BQ＝BC;又∵∠BQP＝90°＝∠C;BP＝BP;∴Rt△BPC≌Rt△BPQ HL．∴PC＝PQ;∴△PDM的周长＝MD＋MP＋DP＝MD＋MQ＋QP＋PD＝MD＋MA＋PC＋PD＝AD＋DC＝2AD.∴△PDM的周长没有发生变化．类型6旋转型全等问题：图中若有边相等;可用旋转做实验例6：解：1①∵四边形ADEF是正方形;∴AD＝AF;AB＝AC;∵∠BAC＝∠DAF＝90°;∴∠BAD＝∠CAF;∴△DAB≌△FAC;∴∠B＝∠ACF;∴∠ACB＋∠ACF＝90°;即CF⊥BC；②∵△DAB≌△FAC;∴CF＝BD;∵BC＝BD＋CD;∴BC＝CF＋CD.2结论①成立;结论②不成立．∵四边形ADEF是正方形;∴AD＝AF;AB＝AC.∵∠BAC＝∠DAF＝90°;∴∠BAD＝∠CAF;∴△DAB≌△FAC;∴∠ABD＝∠ACF;CF＝BD;∴∠BCF＝∠ACF－∠ACB＝∠ABD－∠ACB＝90°;即CF⊥BC；∵BC＝CD－BD;∴BC＝CD－CF.3如图;过A作AH⊥BC于H;过E作EM⊥BD于M;EN∵∠BAC＝90°;AB＝AC;∴BC＝AB＝4;AH＝CH＝BC∴CD＝BC＝1;∴DH＝3;同2证得△BAD≌△CAF;∴∠ABD＝∠ACF＝45°;∴∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝∴BC⊥CF;CF＝BD＝5.∵四边形ADEF是正方形;∴AD＝DE;∠ADE＝90°;∵BC⊥CF;EM⊥BD;EN⊥CF;∴四边形CMEN是矩形;∴NE＝CM;EM＝CN;∵∠AHD＝∠ADE＝∠EMD＝90°;∴∠ADH＋∠EDM＝∠EDM＋∠DEM＝90°;∴∠ADH＝∠DEM;∴△ADH≌△DEM;∴EM＝DH＝3;DM＝AH＝2;∴CN＝EM＝3;EN＝CM＝3;∵∠ABC＝45°;∴∠BGC＝45°;∴△BCG是等腰直角三角形;∴CG＝BC＝4;∴GN＝1;∴EG＝＝.针对训练：1.解：1AC＝AD＋AB.证明如下：∵∠B＋∠D＝180°;∠B＝90°;∴∠D＝90°.∵∠DAB＝120°;AC平分∠DAB;∴∠DAC＝∠BAC＝60°;∵∠B＝90°;∴AB＝AC;同理AD＝AC.∴AC＝AD＋AB.21中的结论成立;理由如下：如图①;以C为顶点;AC为一边作∠ACE＝60°;∠ACE的另一边交AB的延长线于点E;∵∠BAC＝60°;∴△AEC为等边三角形;∴AC＝AE＝CE;∠E＝60°;∵∠ABC＋∠D＝180°;∠DAB＝120°;∴∠DCB＝60°;∴∠DCA＝∠ECB.在△DAC和△BEC中;∴△DAC≌△BEC;∴AD＝BE;∴AC＝AE＝AD＋AB.3AD＋AB＝AC.理由如下：如图②;过点C作CE⊥AC交AB的延长于点E;∵∠ABC＋∠D＝180°;∠DAB＝90°;∴∠DCB＝90°;∵∠ACE＝90°;∴∠DCA＝∠BCE;又∵AC平分∠DAB;∴∠CAB＝45°;∴∠E＝45°;∴AC＝CE.∴△CDA≌△CBE;∴AD＝BE;∴AD＋AB＝AE.∵在Rt△ACE中;∠CAB＝45°;∴AE＝＝AC;∴AD＋AB＝AC.2.解：1证明：∵四边形ABCD是正方形;∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°;AB＝AD;∵△ABE沿AE翻折得到△AHE;∴△ABE≌△AHE;∴AH＝AB＝AD;BE＝EH;∠AHE＝∠AHF＝∠B＝∠D＝90°.在Rt△AHF和Rt△ADF中;∴Rt△AHF≌Rt△ADFHL;∴∠HAF＝∠DAF;∴∠EAF＝∠EAH＋∠FAH＝∠BAH＋∠HAD＝∠BAD＝45°;2以BM;DN;MN为三边围成的三角形为直角三角形．证明如下：如图;过点A作AH⊥AN并截取AH＝AN;连接BH、HM;∵∠1＋∠BAN＝90°;∠3＋∠BAN＝90°;∴∠1＝∠3;在△ABH和△ADN中;∴△ABH≌△ADN SAS;∴BH＝DN;∠HBA＝∠NDA＝135°;∵∠HAN＝90°;∠MAN＝45°;∴∠1＋∠2＝∠HAM＝∠MAN＝45°;在△AHM和△ANM中;∴△AHM≌△ANM SAS;∴HM＝NM;∴∠HBP＝180°－∠HBA＝180°－135°＝45°;∴∠HBP＋∠PBM＝45°＋45°＝90°;∴△HBM是直角三角形;∵HB＝DN;HM＝MN;∴以BM;DN;MN为三边围成的三角形为直角三角形．3.解：1如图①;将△PBC绕点B逆时针旋转90°得△P△AP′B≌△CPB;∴P′B＝PB＝;P′A＝PC＝1;∠1＝∠2;∠AP′B＝∠BPC.∵四边形ABCD是正方形;∴AB＝BC;∠ABC＝90°;∴∠2＋∠3＝90°;∴∠1＋∠3＝90°;即∠P′BP＝90°;∴∠BP′P＝45°.在Rt△P′BP中;由勾股定理;得PP′2＝ 4. ∵P′A＝1;AP＝∴P′A2＝1;AP2＝5;∴P′A2＋PP′2＝AP2;∴△P′AP是直角三角形;∴∠AP′P＝90°;∴∠AP′B＝45°＋90°＝135°;∴∠BPC＝135°.2仿照分析中的思路;将△BPC绕点B逆时针旋转120°;得到了△BP′A;连接PP′;如图②.则△PBC≌△P′BA;∴P′B＝PB＝4;P′A＝PC＝2;∠BPC＝∠BP′A;∴△BPP′为等腰三角形;∵∠ABC＝120°;∴∠PBP′＝120°;∴∠BP′P＝30°;过点B作BG⊥PP′于G;则∠P′GB＝90°;∴PP′＝2P′G.∵P′B＝PB＝4;∠BP′P＝30°;∴BG＝2;∴P′G＝2.∴PP′＝4;在△APP′中;∵PA＝2;P′A＝2;PP′＝4;∴P′A2＋P′P2＝PA2;∴△PP′A是直角三角形;∴∠AP′P＝90°;∴∠BPC＝∠BP′A＝∠PP′B＋∠AP′P＝30°＋90°＝120°.。

2015年重庆中考数学24题专题练习1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE．4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E EF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．5、如图，梯形ABCD中，A D∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA 的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求7、已知：如图，ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF 的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（1）证明：EF=EA；（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD 外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．（1）求证：AE=GF；（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（2）若AD=DC=2，求AG的长．14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．（1）求证：AD=BE；（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．15、（2011•潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．（1）求证：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．（1）求证：BF=EF﹣ED；（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求证：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．E，使DE=DC，连接AE，BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）求∠BPF的度数．25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度数；（2）如果BC=8，求△DBF的面积？26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB 的中点．（1）求证：△AGD为正三角形；（2）求EF的长度．27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC 于F．（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．（2）求证：ED=BE+FC．（1）求证：△BCE≌△AFE；（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE；（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．参考答案1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．证明：（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE；（2）延长CD和BE的延长线交于H，∵BF⊥CD，∠HEC=90°，∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°∴∠EBF=∠ECH，又∠BEC=∠CEH=90°，BE=CE（已证），∴△BEG≌△CEH，∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，∵△BAE≌△CDE（已证），∴∠AEB=∠GED，∠HED=∠AEB，∴∠GED=∠HED，又EG=EH（已证），ED=ED，∴△GED≌△HED，∴DG=DH，2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．（1）证明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中点，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．∴△EBH≌△GFC；（2）解：∵ED平分∠AEF，∠A=∠DFE=90°，∴AD=DF，∵DF=DC﹣FC，∵△EBH≌△GFC，∴FC=BH=1，∴AD=4﹣1=3．3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE．（2）过E点作EM⊥DB于点M，四边形FDME是矩形，FE=DM，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，继而可证明BD=DM+BM=EF+CE．（1）解：∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴，∵DC∥AB，AD=BC，∴∠DAB=∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°，∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°，在Rt△BCE中，BE=2CE=2，，∴…（5分）（2）证明：过E点作EM⊥DB于点M，∴四边形FDME是矩形，∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，∴△BME≌△ECB，∴BM=CE，∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分）4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E 作EF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．解答：（1）证明：延长EF交AD于G（如图），在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∵EF∥CA，EG∥CA，∴四边形ACEG是平行四边形，∴AG=CE，又∵，AD=BC，∴，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠ECF，在△CEF和△DGF中，∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，∴△CEF≌△DGF（AAS），∴CF=DF，∵四边形ABCD是平行四边形，（2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形．证明：∵OF∥CE，EF∥CO，∴四边形OCEF是平行四边形，∴EF=OC，又∵梯形OBEF是等腰梯形，∴BO=EF，∴OB=OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO．∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．（1）解：连接BD，由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°，又∵BF⊥CD，∴∠DFE=90°又∵DG=DE，∠GDA=∠EDF，∴DA=DF，又∵BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL），∴BF=BA=，∠ADB=∠BDF又∵CF=6，∴BC=，又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠BDF=∠CBD，∴CD=CB=8．（2）证明：∵AD∥BC，∴∠E=∠CBF，∵∠HDF=∠E，∴∠HDF=∠CBF，由（1）得，∠ADB=∠CBD，∴∠HDB=∠HBD，∴HD=HB，由（1）得CD=CB，∴△CDH≌△CBH，∴∠DCH=∠BCH，∴∠BCH=∠BCD==．6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．解：（1）连AC，过C作CM⊥AD于M，如图，在Rt△ABC中，AB=6，sin∠ACB==，∴AC=10，∴BC=8，在Rt△CDM中，∠D=45°，∴DM=CM=AB=6，∴AD=6+8=14，∴梯形ABCD的面积=•（8+14）•6=66（cm2）；（2）证明：过G作GN⊥AD，如图，∵∠D=45°，∴△DNG为等腰直角三角形，∴DN=GN，又∵AD∥BC，∴∠BFH=∠FHN，而∠EFH=∠FHG，∴∠BFE=∠GHN，∵EF=G H，∴Rt△BEF≌Rt△NGH，∴BE=GN，BF=HN，∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE．7、已知：如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．（1）证明：如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∵DF=CD，∴AB∥DF．∵DF=CD，∴AB=DF．∴四边形ABDF是平行四边形，∴AE=DE．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD．∴∠COD=90°．∵四边形ABDF是平行四边形，∴AF∥BD．∴∠CAF=∠COD=90°．8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．（1）证明：在△DAE和△DCE中，∠ADE=∠CDE（正方形的对角线平分对角），ED=DE（公共边），AE=CE（正方形的四条边长相等），∴△DAE≌△DCE （SAS），∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的对应角相等）；（2）解：如图，由（1）知，△DAE≌△DCE，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ECA（等边对等角）；又∵CG=CE（已知），∴∠G=∠CEG（等边对等角）；而∠CEG=2∠EAC（外角定理），∠ECB=2∠CEG（外角定理），∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°，∴∠G=∠CEG=30°；过点C作CH⊥AG于点H，∴∠FCH=30°，∴在直角△ECH中，EH=CH，EG=2CH，在直角△FCH中，CH=CF，∴EG=2×CF=3CF．9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF 的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．（1）证明：连接PC．∵ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF．（SAS）∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．∴∠EAF=∠BAD=90°．∵P是EF的中点，∴PA=EF，PC=EF，∴PA=PC．又AD=CD，PD公共，∴△PAD≌△PCD，（SSS）∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；（2）作PH⊥CF于H点．∵P是EF的中点，∴PH=EC．设EC=x．由（1）知△EAF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°，∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°，∴EF=2x，FC=x，BE=2﹣x．在Rt△ABE中，22+（2﹣x）2=（x）2解得x1=﹣2﹣2（舍去），x2=﹣2+2．∴PH=﹣1+，FD=（﹣2+2）﹣2=﹣2+4．∴S △DPF=（﹣2+4）×=3﹣5．10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（1）证明：EF=EA；（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．∵E为CD的中点，∴ED=EC．∴△ADE≌△FCE．∴EF=EA．（5分）（2）解：连接GA，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠DAB=90°．∵DG⊥BC，∴四边形ABGD是矩形．∴BG=AD，GA=BD．∵BD=BC，∴GA=BC．由（1）得△ADE≌△FCE，∴AD=FC．∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA．∵由（1）得EF=EA，∴EG⊥AF．（5分）11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．（1）证明：∵△ADF为等边三角形，∴AF=AD，∠FAD=60°（1分）∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB（2分）∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，（3分）∵AE为公共边∴△FAE≌△BAE（4分）∴EF=EB（5分）（2）解：如图，连接EC．（6分）∵在等边三角形△ADF中，∴FD=FA，∵∠EAD=∠EDA=15°，∴ED=EA，∴EF是AD的垂直平分线，则∠EFA=∠EFD=30°．（7分）由（1）△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°．∵∠FAE=∠BAE=75°，∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°，∴BE=BA=6．∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°，∴∠GEB=30°，∵∠ABC=60°，∴∠GBE=30°∴GE=GB．（8分）∵点G是BC的中点，∴EG=CG∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°，∴△CEG为等边三角形，∴∠CEG=60°，∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°（9分）∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC2=CE2+BE2∴CE=，∴BC=（10分）；解法二：过C作CQ⊥AB于Q，∵CQ=AB=AD=6，∵∠ABC=60°，∴BC=6÷=4．12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．（1）求证：AE=GF；（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．（1）证明：∵AB=DC，∴梯形ABCD为等腰梯形．∵∠C=60°，∴∠BAD=∠ADC=120°，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=30°．∴∠DBC=∠ADB=30°．∴∠BDC=90°．（1分）由已知AE⊥BD，∴AE∥DC．（2分）又∵AE为等腰三角形ABD的高，∴E是BD的中点，∵F是DC的中点，∴EF∥BC．∴EF∥AD．∴四边形AEFD是平行四边形．（3分）∴AE=DF（4分）∵F是DC的中点，DG是梯形ABCD的高，∴GF=DF，（5分）∴AE=GF．（6分）（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，∵AE=1，∴AD=2．在Rt△DGC中∠C=60°，并且DC=AD=2，∴DG=．（8分）由（1）知：在平行四边形AEFD中EF=AD=2，又∵DG⊥BC，∴DG⊥EF，∴四边形DEGF的面积=EF•DG=．（10分）13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（1）求证：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的长．解答：（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，∴∠ABC=∠AFE．∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，∴△ABC≌△AFE，∴AB=AF．∴AE﹣AB=AC﹣AF，即FC=BE；（2）解：∵AD=DC=2，DF⊥AC，∴AF=AC=AE．∴AG=CG，∴∠E=30°．∵∠EAD=90°，∴∠ADE=60°，∴∠FAD=∠E=30°，∴FC=，∵AD∥BC，∴∠ACG=∠FAD=30°，∴CG=2，∴AG=2．14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．（1）求证：AD=BE；（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ABC=90°，∴∠AED+∠BEC=90°∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠BEC=∠ADE，∵∠DAE=∠EBC，AE=BC，∴△EAD≌△EBC，∴AD=BE．（2）答：△ABF是等腰直角三角形．理由是：延长AF交BC的延长线于M，∵AD∥BM，∴∠DAF=∠M，∵∠AFD=∠CFM，DF=FC，∴△ADF≌△MFC，∴AD=CM，∵AD=BE，∴BE=CM，∵AE=BC，∴AB=BM，∴△ABM是等腰直角三角形，∵△ADF≌△MFC，∴∠ABC=90°，∴BF⊥AM，BF=AM=AF，∴△AFB是等腰直角三角形．15、（2011•潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．解答：（1）证明：连接AC，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC，∴∠ACD=∠ACB，∵AD⊥DC，AE⊥BC，∴∠D=∠AEC=90°，∵AC=AC，∴，∴△ADC≌△AEC，（AAS）∴AD=AE；（2）解：由（1）知：AD=AE，DC=EC，设AB=x，则BE=x﹣4，AE=8，在Rt△ABE中∠AEB=90°，由勾股定理得：82+（x﹣4）2=x2，∴AB=10．说明：依据此评分标准，其它方法如：过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分．16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．（1）求证：A E⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．（1）证明：∵AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，又BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，已知E是BD的中点，∴AE⊥BD．（2）解：延长AE交BC于G，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠GBE，又∵AE⊥BD（已证），∴∠AEB=∠GEB，BE=BE，∴△ABE≌△GBE，∴AE=GE，BG=AB=AD，又F是AC的中点（已知），所以由三角形中位线定理得：EF=CG=（BC﹣BG）=（BC﹣AD）=×（14﹣4）=5．答：EF的长为5．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．（1）求证：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCE，而BE⊥AC，∴∠D=∠BEC=90°，AC=BC，∴△BCE≌△CAD．∴CD=BE．（2）解：在Rt△ADC中，根据勾股定理得AC==5，∵△BCE≌△CAD，∴CE=AD=3．∴AE=AC﹣CE=2．18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．解：如图，过点D作DF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．（1分）∵AB⊥AC，∴∠AED=∠BAC=90度．∵AD∥BC，∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，∴AC=BC•sin45°=4×=2（2分）在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=1，∴DE=AE=．∴CE=AC﹣AE=．（4分）在Rt△DEC中，∠CED=90°，∴DC==．（5分）19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．（1）求证：BF=EF﹣ED；（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．证明：∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF﹣ED；（2）解：∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°．20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．解：（1）作EM⊥AB，交AB于点M．∵AE=BE，EM⊥AB，∴AM=BM=×6=3；∵∠AME=∠MAF=∠AFE=90°，∴四边形AMEF是矩形，∴EF=AM=3；在Rt△AFE中，AE==5；（2）延长AF、BC交于点N．∵AD∥EN，∴∠DAF=∠N；∵∠AFD=∠NFC，DF=FC，∴△ADF≌△NCF（AAS），∴AD=CN；∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，又AE=BE，∠B=∠BAE，∴∠N=∠EAN，AE=EN，∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，∴CE=BE﹣AD．．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求证：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．解：（1）证明：过D作DE∥AC交BC延长线于E，（1分）∵AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形．（2分）∴CE=AD，DE=AC．∵四边形ABCD为等腰梯形，∴BD=AC=DE．∵AC⊥BD，∴DE⊥BD．∴△DBE为等腰直角三角形．（4分）∵DH⊥BC，∴DH=BE=（CE+BC）=（AD+BC）．（5分）（2）∵AD=CE，∴．（7分）∵△DBE为等腰直角三角形BD=DE=6，∴．∴梯形ABCD的面积为18．（8分）注：此题解题方法并不唯一．22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°，∴△AGD是等边三角形，AG=GD=AD，∠AGD=60°．∵D E=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，∵∠AGD=∠BAD，AG=AD，∴△AGE≌△DAB；（2）解：由（1）知AE=BD，∠ABD=∠AEG．∵EF∥DB，DG∥BC，∴四边形BFED是平行四边形．∴EF=BD，∴EF=AE．∵∠DBC=∠DEF，∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60°．∴△AFE是等边三角形，∠AFE=60°．23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；（2）△DCF是等腰直角三角形，证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=（BC﹣AD）=1，∵DC=，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；（3）共四种情况：∵DF⊥BC，∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1；当P与F重合时，△PCD是等腰三角形，∴PB=2；当PC=CD=（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3﹣；当PC=CD=（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3+．故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）求∠BPF的度数．解答：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，∵AD=DC，∴BA=AD，∠BAE=∠ADF=120°，∵DE=CF，∴AE=DF，在△BAE和△ADF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS）．（2）解：∵由（1）△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF．∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，∴∠BPF=120°．25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度数；（2）如果BC=8，求△DBF的面积？解答：解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，∴∠DBC=∠ABD，∵在梯形ABCD中AB=DC，∴∠ABC=∠DCB=2∠DBC，∴∠DBC+2∠DBC=90°∴∠DBC=30°∴∠ABC=60°（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，∵∠DBC=30°，BC=8，∴DC=4，∵CF=CD∴CF=4，∴BF=12，∵∠F+∠FDC=∠DCB=60°，∠F=∠FDC∴∠F=30°，∵∠DBC=30°，∴∠F=∠DBC，∴DB=DF，∴，在直角三角形DBH中，∴，∴，∴，即△DBF的面积为．26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB 的中点．（1）求证：△AGD为正三角形；（1）证明：连接BE，∵梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB，∴∠GCB=∠GBC，又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD为等边三角形，（2）解：∵BE为△BCG的中线，∴BE⊥AC，在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线，∴EF=AB=5cm．27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC 于F．（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．（2）求证：ED=BE+FC．解：（1）∵∠BEC=75°，∠ABC=90°，∴∠ECB=15°，∵∠ECD=45°，∴∠DCF=60°，在Rt△DFC中：∠DCF=60°，FC=3，∴DF=3，DC=6，由题得，四边形ABFD是矩形，∴AB=DF=3，∵AB=BC，∴BF=BC﹣FC=3﹣3，∴AD=DF=3﹣3，∴C 梯形ABCD=3×2+6+3﹣3=9+3，答：梯形ABCD的周长是9+3．（2）过点C作CM垂直AD的延长线于M，再延长DM到N，使MN=BE，∴CN=CE，可证∠NCD=∠DCE，∵CD=CD，∴△DEC≌△DNC，∴ED=EN，∴ED=BE+FC．28、（2005•镇江）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△AFE；（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．（1）证明：∵AD∥BC，E是AB的中点，∴AE=BE，∠B=∠EAF，∠BCE=∠F．∴△BCE≌△AFE（AAS）．（2）解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠ABC=90°．∵AE=BE，∠AEF=∠BEC，∴△BCE≌△AFE．∵EF2=AF2+AE2=9+16=25，∴EF=5．29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE；（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．（1）∵DC=BC，∠1=∠2，CF=CF，∴△DCF≌△BCF．（2）延长DF交BC于G，∵AD∥BG，AB∥DG，∴四边形ABGD为平行四边形．∴AD=BG．∵△DFC≌△BFC，∴∠EDF=∠GBF，DF=BF．又∵∠3=∠4，∴△DFE≌△BFG．∴AD=DE．（3）∵EF=GF，DF=BF，∴EF+BF=GF+DF，即：BE=DG．∵DG=AB，∴BE=AB．∵C△DFE=DF+FE+DE=6，∴BF+FE+DE=6，即：EB+DE=6．∴AB+AD=6．又∵AD=2，∴AB=4．∴DG=AB=4．∵BG=AD=2，∴GC=BC﹣BG=5﹣2=3．又∵DC=BC=5，在△DGC中∵42+32=52∴DG2+GC2=DC2∴∠DGC=90°．∴S梯形ABCD=（AD+BC）•DG=（2+5）×4=14．30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．∴∠OAD=∠OEB，∴DE=5又∵AB=AD，AO⊥BD，∴AD=BE=5，∴OB=OD，∴S梯形ABCD=．又∵∠AOD=∠EOB，∴△ADO≌△EBO（AAS），∴AD=EB，又∵AD∥BE，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD∴四边形ABCD是菱形．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DE=BE，。

重庆中考几何题分类汇编(含答案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN重庆中考几何题分类汇编（含答案）类型1线段的倍分：要证线段倍与半，延长缩短去实验例1 如图Z3－1，在△ABC中，AB＝AC，CM平分∠ACB交AB于M，在AC的延长线上截取CN＝BM，连接MN交BC于P，在CB的延长线截取BQ＝CP，连接MQ.(1)求证：MQ＝NP；(2)求证：CN＝2CP.针对训练：1．如图Z3－2，在▱ABCD中，AC⊥BC，点E、点F分别在AB、BC上，且满足AC＝AE＝CF，连接CE、AF、EF.(1)若∠ABC＝35°，求∠EAF的度数；(2)若CE⊥EF，求证：CE＝2EF.2．已知，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，E 为边AC 任意一点，连接BE.(1)如图①，若∠ABE＝15°，O 为BE 中点，连接AO ，且AO ＝1，求BC 的长；(2)如图②，F 也为AC 上一点，且满足AE ＝CF ，过A 作AD⊥BE 交BE 于点H ，交BC 于点D ，连接DF 交BE于点G ，连接AG.若AG 平分∠CAD，求证：AH ＝12AC.3．在△ACB 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 是AC 上一点，连接BD ，过点A 作AE⊥BD 于E ，交BC 于F.(1)如图①，若AB ＝4，CD ＝1，求AE 的长；(2)如图②，点G 是AE 上一点，连接CG ，若BE ＝AE ＋AG ，求证：CG ＝2AE.4．在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 是斜边BC 的中点，连接AD.(1)如图①，E 是AC 的中点，连接DE ，将△CDE 沿CD 翻折到△CDE′，连接AE′，当AD ＝6时，求AE′的值．(2)如图②，在AC 上取一点E ，使得CE ＝13AC ，连接DE ，将△CDE 沿CD 翻折到△CDE′，连接AE′交BC 于点F ，求证：DF ＝CF.类型2 线段的和差：要证线段和与差，截长补短去实验例2 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，在BC上截取BD＝BA，连接AD，在AD左侧作∠EAD＝45°交BD 于E.(1)若AC＝3，则CE＝________(直接写答案)；(2)如图①，M、N分别为AB和AC上的点，且AM＝AN，连接EM、DN，若∠AME＋∠AND＝180°，求证：DE ＝DN＋ME；(3)如图②，过E作EF⊥AE，交AD的延长线于F，在EC上选取一点H，使得EH＝BE，连接FH，在AC上选取一点G，使得AG＝AB，连接BG、FG，求证：FH＝FG.针对训练：1．如图Z3－7，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝AD，EG⊥AB于G，延长GE、DC交于点F，连接AF.(1)若BE＝2EC，AB＝13，求AD的长；(2)求证：EG＝BG＋FC.2．如图，在正方形ABCD 中，点P 为AD 延长线上一点，连接AC 、CP ，过点C 作CF⊥CP 于点C ，交AB 于点F ，过点B 作BM⊥CF 于点N ，交AC 于点M.(1)若AP ＝78AC ，BC ＝4，求S △ACP ；(2)若CP －BM ＝2FN ，求证：BC ＝MC.3．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，以AB 为一边向外作菱形ABDE ，连接DC ，EB 并延长EB 交AC 于F ，且CB⊥AE 于G.(1)若∠EBG＝20°，求∠AFE；(2)试问线段AE ，AF ，CF 之间的数量关系并证明．类型3 倍长中线：三角形中有中线，延长中线等中线例3 如图Z3－10①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E分别为斜边AC上两点，且AD＝AB，CE＝CB，连接BD、BE.(1)求∠EBD的度数；(2)如图Z3－10②，过点D作FD⊥BD于点D，交BE的延长线于点F，在AB上选取一点H，使得BH＝BC，连接CH，在AC上选取一点G，使得GD＝CD，连接FH、FG，求证：FH＝FG.针对训练：1．如图，已知在▱ABCD中，G为BC的中点，点E在AD边上，且∠1＝∠2.(1)求证：E是AD中点；(2)若F为CD延长线上一点，连接BF，且满足∠3＝∠2，求证：CD＝BF＋DF.2．如图Z 3－12，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上的点，连接AE ，AF ，DE 、EF ，∠DAE ＝∠BAF.(1)求证：CE ＝CF ；(2)若∠ABC＝120°，点G 是线段AF 的中点，连接DG ，EG.求证：DG⊥GE.3．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 与点B 在AC 同侧，∠ADC ＞∠BAC，且DA ＝DC ，过点B 作BE∥DA 交DC 于点E ，M 为AB 的中点，连接MD ，ME.(1)如图①，当∠ADC＝90°时，线段MD 与ME 的数量关系是________；(2)如图②，当∠ADC＝60°时，试探究线段MD 与ME 的数量关系，并证明你的结论；(3)如图③，当∠ADC＝α时，求ME MD的值．4．如图①，等边三角形ABC中，CE平分∠ACB，D为BC边上一点，且DE＝CD，连接BE.(1)若CE＝4，BC＝6 3，求线段BE的长；(2)如图②，取BE中点P，连接AP，PD，AD，求证：AP⊥PD且AP＝3PD；(3)如图③，把图Z3－14②中的△CDE绕点C顺时针旋转任意角度，然后连接BE，点P为BE中点，连接AP，PD，AD，问第(2)问中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．5．在△ABC中，以AB为斜边，作直角三角形ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB＝90°.(1)如图①，若AB＝AC，∠BAD＝30°，AD＝6 3，点P、M分别为BC、AB边的中点，连接PM，求线段PM的长；(2)如图②，若AB＝AC，把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，连接ED并延长交BC于点P，求证：BP＝CP；(3)如图③，若AD＝BD，过点D的直线交AC于点E，交BC于点F，EF⊥AC，且AE＝EC，请直接写出线段BF、FC、AD之间的关系(不需要证明)．类型4 中位线：三角形中两中点，连接则成中位线例4 2017·河南如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．(1)观察猜想：图①中，线段PM与PN的数量关系是__________，位置关系是__________；(2)探究证明：把△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．针对训练：1．如图①，在任意的三角形ABC中，分别以AB和AC为一边作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD，AB＝AE，AC＝AD，且∠BAE＋∠CAD＝180°，连接DE，延长CA交DE于F.(1)求证：∠CAB＝∠AED＋∠ADE；(2)若∠ACB＝∠BAE＝∠CAD＝90°，如图②，求证：BC＝2AF；(3)若在△ABC中，如图③所示，作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD，AB与DE交于点F，F为DE的中点，请问(2)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．2．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＋∠EAD＝180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF.(1)如图①，当∠BAE＝90°时，求证：CD＝2AF；(2)当∠BAE≠90°时，(1)的结论是否成立？请结合图②说明理由．3．如图①，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，在底边BC上取一点D，在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE，在∠ABD的内部作∠ABF＝2∠EDC，交AD于点F.(1)求证：△ABF是等腰三角形；(2)如图②，BF的延长交AC于点G.若∠DAC＝∠CBG，延长AC至点M，使GM＝AB，连接BM，点N是BG的中点，连接AN，试判断线段AN、BM之间的数量关系，并证明你的结论．类型5 角的和差倍分图中有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系现．角平分线平行线，等腰三角形来添．角平分线加垂线，三线合一试试看．例5．如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF＝6 3，∠BAD＝60°，且AB＞6 3.(1)求∠EPF的大小；(2)若AP＝10，求AE＋AF的值．针对训练：1．已知：如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC.2．在△ACB中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AC上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于E，交BC 于F.(1)如图①，若AB＝4，CD＝1，求AE的长；(2)如图②，点P是AC上一点，连接FP，若AP＝CD，求证：∠ADB＝∠CPF.3．已知，在▱ABCD中，∠BAD＝45°，AB＝BD，E为BC上一点，连接AE交BD于F，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H.(1)如图①，若点E与点C重合，且AF＝5，求AD的长；(2)如图②，连接FH，求证：∠AFB＝∠HFB.4．如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP.当点M在边AD上移动时，连接BM、BP.(1)求证：BM是∠AMP的平分线；(2)△PDM的周长是否发生变化？证明你的结论．类型6 旋转型全等问题：图中若有边相等，可用旋转做实验例6．△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ，C 重合)，以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF.(1)观察猜想：如图①，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为：________．②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：___________；(将结论直接写在横线上)(2)数学思考：如图Z 3－25②，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．(3)拓展延伸：如图Z 3－25③，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE.若已知AB ＝2 2，CD ＝14BC ，请求出GE 的长．针对训练：1．在四边形ABCD 中，∠B ＋∠D＝180°，对角线AC 平分∠BAD.(1)如图①，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由．(2)如图②，若将(1)中的条件“∠B＝90°”去掉，(1)中的结论是否成立？请说明理由．(3)如图③，若∠DAB＝90°，探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由．2．如图①，在正方形ABCD中，点E为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折得△AHE，延长EH交边CD 于F，连接AF.(1)求证：∠EAF＝45°；(2)延长AB，AD，如图②，射线AE、AF分别交正方形两个外角的平分线于M、N，连接MN，若以BM、DN、MN为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论．3．如图①，在正方形ABCD内有一点P，PA＝5，PB＝2，PC＝1，求∠BPC的度数．【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A(如图Z3－28②)，然后连接PP′.(1)请你通过计算求出图Z3－28②中∠BPC的度数；(2)如图③，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA＝2 13，PB＝4，PC＝2.请求出∠BPC的度数．重庆中考几何题分类汇编答案例1. 证明：(1)∵AB＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∵∠MBQ ＋∠ABC＝180°，∠ACB ＋∠PCN＝180°，∴∠MBQ ＝∠PCN.在△QBM 和△PCN 中，⎩⎪⎨⎪⎧QB ＝PC ，∠MBQ ＝∠PCN，BM ＝CN ，∴△QBM ≌△PCN(SAS)．∴MQ＝NP.(2)过M 作MG∥AC 交BC 于G ，∵MG ∥AC ，∴∠MGB ＝∠ACB，∠MGC ＝∠PCN，∵由(1)知，∠ABC ＝∠ACB，∴∠ABC ＝∠MGB，∴MB ＝MG ，∵MB ＝CN ，∴MG ＝CN.在△MGP 和△NCP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MPG＝∠CPN，∠MGC ＝∠PCN，MG ＝NC ，∴△MGP ≌△NCP(AAS)．∴PG ＝CP ，∴CG ＝CP ＋PG ，即CG ＝2CP.∵CM 平分∠ACB，∴∠BCM ＝∠MCA，∵MG ∥AC ，∴∠MCA ＝∠GMC，∴∠BCM ＝∠GMC，∴MG ＝CG ，∵MG ＝CN ，∴CN ＝CG ，∴CN ＝2CP.针对训练1. 解：(1)∵AC⊥BC，∴∠ACB ＝90°，又∵AC＝CF ，∴∠∵∠ABC ＝35°，∴∠EAF ＝10°；(2)证明：方法1：取CF 的中点M ，连接EM 、AM ，∵CE ⊥EF ，∴EM ＝CM ＝FM ＝12CF ， 又∵AC＝AE ，∴AM 为EC 的中垂线，∴∠CAM ＋∠ACE＝90°，又∵∠ECF＋∠ACE＝90°，∴∠CAM ＝∠FCE，又∵∠CEF＝∠ACM＝90°，∴△ACM ∽△CEF ，∴AC CM ＝CE EF， 又∵CF＝AC ＝2CM ，∴AC CM ＝CE EF ＝21，即CE ＝2EF ； 方法2：延长FE 至M ，使EF ＝EM ，连接CM ，∵CE ⊥EF ，∴△CMF 为等腰三角形，又∵AC＝AE ＝CF ，且∠ACE＝∠CFE(易证)， ∴△CMF ≌△CEA ，∴FM ＝CE ＝2EF.2. 解：(1)如图①，在AB 上取一点M ，使得BM ＝ME ，连接ME.在Rt △ABE 中，∵OB ＝OE ，∴BE ＝2OA ＝2，∵MB ＝ME ，∴∠MBE ＝∠MEB＝15°，∴∠AME ＝∠MBE＋∠MEB＝30°，设AE ＝x ，则ME ＝BM ＝2x ，AM ＝3x ，∵AB 2＋AE 2＝BE 2，∴(2x ＋3x)2＋x 2＝22，∴x ＝6－2(负根舍弃)，∴AB ＝AC ＝(2＋ 3)·6－22， ∴BC ＝2AB ＝3＋1.(2)证明：如图②，作CP⊥AC，交AD 的延长线于P ，GM ⊥AC 于M. ∵BE ⊥AP ，∴∠AHB ＝90°，∴∠ABH ＋∠BAH＝90°，∵∠BAH ＋∠PAC＝90°，∴∠ABE ＝∠PAC，又∵AB＝AC ，∠BAE ＝∠ACP＝90°，∴△ABE ≌△CAP ，∴AE ＝CP ＝CF ，∠AEB ＝∠P，在△DCF 和△DCP 中，⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝CD ，∠DCF ＝∠DCP，CF ＝CP ，∴△DCF ≌△DCP ，∴∠DFC ＝∠P，∴∠GFE ＝∠GEF，∴GE ＝GF ， ∵GM ⊥EF ，∴FM ＝ME ，∵AE ＝CF ，∴AF ＝CE ，∴AM ＝CM ，在△GAH 和△GAM 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAH＝∠GAM，∠AHG ＝∠AMG，AG ＝AG ，∴△AGH ≌△AGM ，∴AH ＝AM ＝CM ＝12AC.3. 解：(1)∵AB＝4，∴AC ＝AB ＝4.∵CD ＝1，∴AD ＝AC －CD ＝3.∵在Rt △ABD 中，∠BAC ＝90°，∴BD ＝AB 2＋AD 2＝5， ∵S △ABD ＝12AB·AD＝12AE·BD，∴AE ＝2.4. (2)证明：如图，在线段EB 上截取EH ＝AE ，并连接AH.∵AE ⊥BD ，EH ＝AE ，∴AH ＝2AE.∵BE ＝AE ＋AG ，∴BH ＝BE －HE ＝AG.∵∠BAD ＝∠BEA＝90°，∴∠ABE ＋∠B AE ＝∠CAG＋∠BAE＝90°，∴∠ABE ＝∠CAG.∵BA ＝AC ，∴△ABH ≌△CAG ，∴CG ＝AH ＝2AE.4. 解：(1)∵∠BAC＝90°，AB ＝AC ，D 是斜边BC 的中点，∴∠ADC ＝90°，∠ACD ＝45°.在Rt △ADC 中，AC ＝AD÷sin45°＝2 3.∵E 是AC 的中点，∴CE ＝12AC ＝ 3.∵将△CDE 沿CD 翻折到△CDE′，∴CE ′＝CE ＝3，∠ACE ′＝90°.由勾股定理，得AE′＝CE′2＋AC 2＝15.(2)证明：如图，过B 作AE′的垂线交AD 于点G ，交AC 于点H. ∵∠ABH ＋∠BAF＝90°，∠CAF ＋∠BAF＝90°，∴∠ABH ＝∠CAF.又∵AB＝AC ，∠BAH ＝∠ACE′＝90°，∴△ABH ≌△CAE ′.∴AH ＝CE′＝CE ，∵CE ＝13AC ，∴AH ＝HE ＝CE. ∵D 是BC 中点，∴DE ∥BH ，∴G 是AD 中点．在△ABG 和△CAF 中：AB ＝AC ，∠BAD ＝∠ACD＝45°，∠ABH ＝∠CAF，∴△ABG ≌△CAF.∴AG ＝CF.∵AG ＝12AD ，∴CF ＝12AD ＝12CD.∴DF＝CF.类型2 线段的和差：要证线段和与差，截长补短去实验 例2：解：（1）3（2）证明：延长DN 到K ，使得NK ＝ME ，连接AK ，如图①， 因为∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝∠3.在△AME 和△ANK 中，⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝AN ，∠2＝∠3，ME ＝NK ，∴△AME ≌△ANK (SAS)．∴AE ＝AK ，∠4＝∠5， ∴∠4＋∠EAC ＝90°，∴∠5＋∠EAC ＝90°，即∠EAK ＝90°，∵∠EAD ＝45°，∴∠KAD ＝∠EAK －∠EAD ＝90°－45°＝45°∴∠EAD ＝∠KAD .在△EAD 和△KAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧EA ＝KA ，∠EAD ＝∠KAD ，AD ＝AD ，∴△EAD ≌△KAD (SAS)，∴ED ＝KD .∵DK ＝DN ＋KN ，∴ED ＝DN ＋KN ， 又NK ＝ME ，∴ED ＝DN ＋ME .(3)证明：延长AE 到J ，使得EJ ＝AE ，连接JH ，JF.如图②，在△ABE 和△JHE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝JE ，∠AEB ＝∠JEH，BE ＝HE ，∴△ABE ≌△JHE(SAS)，∴JH ＝AB ，∠1＝∠2，∵AB ＝AG ，∴JH ＝AG ，∵AE ＝EJ ，EF ⊥AJ ，∴AF ＝JF ，∴∠JAF ＝∠AJF＝45°，即∠2＋∠3＝45°，∵∠BAC ＝90°，∴∠1＋∠EAD＋∠4＝90°， ∴∠1＋∠4＝90°－∠EAD，＝90°－45°＝45°，∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，在△JHF 和△AGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧JH ＝AG ，∠3＝∠4，JF ＝AF ，∴△JHF ≌△AGF(SAS)，∴FH ＝FG.针对训练：1. 解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC.∵BE ＝2EC ，设CE ＝x ，BE ＝2x ，∴BC ＝AD ＝AE ＝3x.又∵EG⊥AB，∴∠AEB ＝90°，∴AB 2＝AE 2＋BE 2，即13＝9x 2＋4x 2，∴x ＝1，∴AD ＝3x ＝3.(2)证明：如图，过C 作CH⊥AB 于H ，则四边形CHGF 为矩形．∴CF ＝HG ，∠CHB ＝90°，GF ＝CH.∵AE ⊥BC ，EG ⊥AB ，∴∠AEB ＝∠CHB＝90°，∠BCH ＋∠B＝90°，∠BAE ＋∠B＝90°，∴∠BCH ＝∠BAE.又∵AE＝BC ，∴△AGE ≌△CHB ，∴GE ＝BH ，AG ＝GF ，∴GE ＝BH ＝BG ＋GH ＝BG ＋CF.2. 解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，BC ＝4，∴AB ＝AD ＝CD ＝BC ＝4，∠ADC ＝∠ABC＝90°.∵在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝4 2，∴AP ＝78AC ＝72 2， ∴S △ACP ＝12AP·CD＝7 2.(2)证明：方法一：如图①，在NC 上截取NK ＝NF ，连接BK. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝DC ，∠ABC ＝∠BCD＝∠ADC＝90°.∵∠BCD ＝90°，CF ⊥CP ，∴∠1＋∠DCF＝∠2＋∠DCF＝90°，∴∠1＝∠2，∵在△FBC 和△PDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FBC＝∠3，BC ＝DC ，∠1＝∠2，∴△FBC ≌△PDC(ASA)，∴CF ＝CP ，∵CP －2FN ＝BM ，∴CF －FK ＝BM ，即CK ＝BM ，∵∠FBC ＝90°，BM ⊥CF ，∴∠1＋∠NBC＝∠4＋∠NBC＝90°，∴∠1＝∠4，∵在△ABM 和△BCK 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠4＝∠1，BM ＝CK ，∴△ABM ≌△BCK(SAS)，∴∠7＝∠6.∵BM ⊥CF ，NK ＝NF ，∴BF ＝BK ，∵BF ＝BK ，BM ⊥CF ，∴∠4＝∠5， ∴∠4＋∠7＝∠5＋∠6，∵∠8＝∠4＋∠7，∴∠8＝∠MBC，∴BC ＝MC.解：方法二：如图②，延长BM 交AD 于点G ，过A 作AE⊥BG 于E先证△AEB≌△BNC(AAS)，∴AE ＝BN ，又证△AEG≌△BNF(AAS)，∴EG ＝NF ，再证四边形BCPG 为平行四边形，∴BG ＝CP ，∵CP －BM ＝2FN ，∴BG －BM ＝2EG ，∴MG ＝2EG ，∴点E 为MG 中点， ∵AE ⊥MG ，EM ＝EG ，∴AM ＝AG ，∴∠3＝∠4，∵∠2＝∠3，∠1＝∠4，∴∠1＝∠2，∴BC ＝MC.3. 解：(1)∵∠EBG＝20°，CB ⊥AE ，∴∠BEG ＝70o ，∠CBF ＝∠EBG＝20°，∵四边形ABDE 是菱形，∴∠ABE ＝∠BEG＝70°，∴∠ABG ＝50°，∵AB ＝BC ，∴∠FCB ＝25°，∴∠AFE ＝∠CBF＋∠FCB＝45°；(2)AE ，AF ，CF 之间的数量关系是AF 2＋CF 2＝2AE 2，证明如下：连接DF ，∵四边形ABDE 是菱形，∴AB ＝DB ，∠DBE ＝∠ABE，∴∠DBF ＝∠ABF，∵BF ＝BF ，∴△DBF ≌△ABF(SAS)，∴DF ＝AF ，∠BDF ＝∠BAF，∵∠BCF ＝∠BAF，∴∠BCF ＝∠BDF， ∵CB ⊥AE ，AE ∥DB ，∴DB ⊥CB ，∵CB ＝AB ＝BD ，∴△DBC 是等腰直角三角形，∴DC ＝2BD ＝2AE ，∵∠DPB ＝∠CPF，∴∠CFP ＝∠DBP＝90°，∴DF 2＋CF 2＝DC 2，即有：AF 2＋CF 2＝2AE 2.类型3 倍长中线：三角形中有中线，延长中线等中线例3解：(1)设∠BEC ＝α，∠BDA ＝β，则∠C ＝180°－2α，∠A ＝180°－2β.∵在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∴∠A ＋∠C ＝90°，即180°－2α＋180°－2β＝90°，∴α＋β＝135°，∴∠EBD ＝45°.(2)证明：法一：如图①，延长BD 至点B′，使得DB′＝DB ，连接在△GDB′和△CDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧GD ＝CD ，∠GDB ′＝∠CDB，B ′D ＝BD ，∴△GDB ′≌△CDB.∴GB ′＝BC ＝BH ，∠GB ′D ＝∠CBD.∵FD ⊥BD ，BD ＝DB′，∴FB ＝FB′.∵∠FB ′G ＝45°－∠GB′D，∠HBF ＝90°－45°－∠CBD＝45°－∠CBD，∴∠FB ′G ＝∠HBF.在△FHB 和△FGB′中，⎩⎪⎨⎪⎧HB ＝GB′，∠HBF ＝∠GB′F，BF ＝B′F，∴△FHB ≌△FGB ′，∴HF ＝GF.法二：如图②，延长FD 至点F ′，使得DF ′＝DF ，连接CF ′、BF ′.先证△DGF ≌△DCF ′，再证△BHF ≌△BCF ′，∴HF ＝GF .针对训练1. 证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，∠A ＝∠C .又∵∠1＝∠2，∴△ABE ≌△CDG (ASA)，∴AE ＝CG .∵G 为BC 中点，∴CG ＝12BC ， ∴AE ＝CG ＝12BC ＝12AD ，∴E 是AD 中点．(2)如图，延长BE ，CD 交于点H.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB 綊CD ，∴∠A ＝∠ADH，∠1＝∠4，又∵∠1＝∠2，∠3＝∠2，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴FH ＝FB.由(1)，E 是AD 中点，∴AE ＝DE ，∴△ABE ≌△DHE(AAS)，∴AB ＝DH ，∴CD ＝AB ＝DH ＝DF ＋FH ＝DF ＋BF ，即CD ＝BF ＋DF.2. 证明：(1)在菱形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠ADF ＝∠ABE，∵∠DAE ＝∠BAF，∴∠DAE －∠EAF＝∠BAF－∠EAF，即∠DAF＝∠BAE.∴△DAF ≌△BAE ，∴BE ＝DF.又∵BC＝CD ，∴CE ＝CF(2)如图，延长DG 交AB 于H ，连接EH ，∵在菱形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠DFA ＝∠GAH.∵G 为AF 中点，∴AG ＝GF.又∵∠DGF＝∠AGH，∴△DGF ≌△HGA.∴DG ＝GH ，AH ＝DF.又∵AB＝CD ，∴BH ＝CF.又∵AB∥CD，∠ABC ＝120°，∴∠C ＝60°.又∵CE ＝CF ，∴△CEF 为等边三角形，∴CF ＝EF ，∠CFE ＝60°，∴EF ＝BH ，∠DFE ＝∠ABC＝120°.又∵BE＝DF ，∴△EFD ≌△HBE ，∴HE ＝ED ，又∵HG＝DG ，∴DG ⊥GE.3. 解：（1）MD=ME2)MD ＝3ME.理由如下：如图①，延长EM 交DA 于点F.∵BE ∥DA ，∴∠FAM ＝∠EBM.又∵AM＝BM ，∠AMF ＝∠BME，∴△AMF ≌△BME ，∴AF ＝BE ，MF ＝ME.∵DA ＝DC ，∠ADC ＝60°，∴∠BED ＝∠ADC＝60°，∠ACD ＝60°.∵∠ACB ＝90°，∴∠ECB ＝30°，∴∠EBC ＝30°，∴CE ＝BE ，∴AF ＝EC ，∴DF ＝DE ，∴DM ⊥EF ，DM 平分∠ADC，∴∠MDE ＝30°.在Rt △MDE 中，tan ∠MDE ＝ME MD ＝33. ∴MD ＝3ME.(3)如图②，延长EM 交DA 于点F ，∵BE ∥DA ，∴∠FAM ＝∠EBM，又∵AM＝BM ，∠AMF ＝∠BME，∴△AMF ≌△BME ，∴AF ＝BE ，MF ＝ME.延长BE 交AC 于点N ，∴∠BNC ＝∠DAC.∵DA ＝DC ，∴∠DCA ＝∠DAC，∴∠BNC ＝∠DCA，∵∠ACB ＝90°，∴∠ECB ＝∠EBC，∴CE ＝BE ，∴AF ＝CE.∴DF ＝DE ，∴DM ⊥EF ，DM 平分∠ADC，∵∠ADC ＝α，∴∠MDE ＝α2. ∴在Rt △MDE 中，ME MD ＝tan ∠MDE ＝tan α2.4.解：(1)如图①，作EH ⊥BC 于点H .∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60°.∵CE 平分∠ACB ，∴∠ECH ＝12∠ACB ＝30°， ∵EC ＝4，∠ECH ＝30°，∴EH ＝2，HC ＝2 3.∵BC ＝6 3，∴BH ＝6 3－2 3＝4 3.在Rt △BHE 中，BE 2＝(4 3)2＋22＝52，∴BE ＝2 13.(2)如图②，延长DP 至M ，使DP ＝PM ，连接BM 、AM .在△PDE 和△PMB 中，⎩⎪⎨⎪⎧PD ＝PM ，∠EPD ＝∠BPM ，PE ＝PB ，∴△PDE ≌△PMB (SAS)．∴BM ＝DE ，∠1＝∠2.∴BM ∥DE .∴∠MBD ＋∠BDE ＝180°.∵CE 平分∠ACB ，DE ＝CD ，∴∠BDE ＝30°＋30°＝60°.∴∠MBD ＝120°.∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝60°，∴∠3＝60°.∵BM ＝DE ，DE ＝CD ，∴BM ＝CD .在△ABM 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠3＝∠ACD ，BM ＝CD ，∴△ABM ≌△ACD (SAS)．∴AD ＝AM ，∠4＝∠5.∵PD ＝PM ，∴AP ⊥PD .∵∠4＝∠5，∠BAD ＋∠5＝60°，∴∠4＋∠BAD ＝60°，即∠MAD ＝60°.∴∠PAD ＝12∠MAD ＝30°.∵在Rt △APD 中，tan30°＝PD AP，∴AP ＝3PD .(3)第(2)问中的结论成立，理由如下：如图③，延长DP 至N ，使DP ＝PN ，连接BN 、AN ，取BE 、AC 交于点O.在△PDE 和△PNB 中，⎩⎪⎨⎪⎧PD ＝PN ，∠EPD ＝∠BPN，PE ＝PB ，∴△PDE ≌△PNB(SAS)．∴BN ＝DE ，∠1＝∠2.∵DE ＝CD ，∴BN ＝CD.∵∠AOB ＝∠EOC，∴∠1＋∠3＋∠BAO＝∠2＋∠4＋∠DEC＋∠DCE.∵∠BAO ＝60°，∠DEC ＝∠DCE＝30°，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，∴∠3＝∠4.在△ABN 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠3＝∠4，BN ＝CD ，∴△ABN ≌△ACD(SAS)．∴∠5＝∠6，AN ＝AD.∵PD ＝PN ，∴AP ⊥PD.∵∠NAC ＋∠5＝60°，∴∠NAC ＋∠6＝60°，即∠NAD＝60°.∴∠PAD ＝12∠NAD＝30°， ∵在Rt △APD 中，tan ∠PAD ＝PD AP，∴AP ＝3PD.5. 解：(1)∵∠ADB ＝90°，∠BAD ＝30°，AD ＝6 3，∴cos ∠BAD ＝AD AB ，∴32＝6 3AB，∴AB ＝12. 又∵AB ＝AC ，∴AC ＝12，∴PM 为△ABC 的中位线，∴PM ＝12AC ＝6.(2)证明：方法一：如图①，在截取ED 上截取EQ ＝PD ，∵∠ADB ＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，又∵AD＝AE ，∴∠2＝∠3，又∵∠3＋∠4＝90°，∴∠1＝∠4.在△BDP 和△CEQ 中，PD ＝QE ，∠1＝∠4，BD ＝CE ，∴△BDP ≌△CEQ.∴BP ＝CQ ，∠DBP ＝∠QCE，又∵∠5＝∠1＋∠DBP，∠6＝∠4＋∠QCE，∴∠5＝∠6，∴PC ＝CQ ，∴BP ＝CP.方法二：如图②，过点B 作EP 的垂线交EP 的延长线于点M ，过C 点作EP EP 于点N.∵∠ADB ＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，又∵AD＝AE ，∴∠2＝∠3，又∵∠3＋∠4＝90°，∴∠1＝∠4，在△BMD 和△CNE 中，∠1＝∠4，∠BMD ＝∠CNE＝90°，BD ＝CE ，∴△BMD ≌△CNE.∴BM ＝CN.在△BMP 和△CNP 中，∠5＝∠6，∠BMP ＝∠CNP，BM ＝CN ，∴△BMP≌△CNP，∴BP ＝CP.方法三：如图③，过点B 作BM ∥CE 交EP 的延长线于点M .略证△BMP ≌△CEP ，∴BP ＝CP .(3)BF 2＋FC 2＝2AD 2.类型4 中位线：三角形中两中点，连接则成中位线例4: 解：（1）PM=PN;PM ⊥PN(2)△PMN 为等腰直角三角形，理由如下：由题意知△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE＝90°，∴∠BAD ＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，∴∠BAD ＝∠CAE，∴△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD ＝∠ACE，BD ＝CE.又∵M、P 、N 分别是DE 、CD 、BC 的中点，∴PM 是△CDE 的中位线，∴PM ∥CE 且PM ＝12CE ，∠MPD ＝∠ECD＝∠ACD＋∠ACE. 同理，PN ∥BD 且PN ＝12BD ，∠DBC ＝∠PNC， 又∵BD＝CE ，∠ABD ＝∠ACE，∴PM ＝PN ，∴∠MPN ＝∠MPD＋∠DPN＝∠ECD ＋∠DCN＋∠CNP＝∠ACD＋∠ACE＋∠DCN＋∠CBD＝∠ACD＋∠DCN＋∠ABD＋∠CBD＝∠ACB＋∠ABC＝90°，∴PM ⊥PN ，∴△PMN 为等腰直角三角形；(3)△PMN 面积的最大值为492.提示：在旋转的过程中，由(2)中的结论知△PMN 为等腰直角三角形，S △PMN ＝12PN 2＝18BD 2，当S △PMN 有最大值时，则BD 的值最大，由三角形三边关系可推断出当B 、A 、D 三点共线时，BD 的值最大，其最大值为14，此时S △PMN ＝12PN 2＝18BD 2＝18×14×14＝492.针对训练：1. 解：(1)证明：延长DA 交BE 于G 点．∵∠BAE ＋∠CAD ＝180°，即∠EAG ＋∠GAB ＋∠CAD ＝180°，∵∠GAB ＋∠BAC ＋∠CAD ＝180°，∴∠EAG ＝∠CAB .∵∠EAG ＝∠AED ＋∠ADE ，∴∠CAB ＝∠AED ＋∠ADE .(2)证明：如图①，过E 点作DA 延长线的垂线，垂足为H .∴∠AHE ＝∠ACB ＝90°，由(1)可知，∠EAH ＝∠BAC ，又∵AE ＝AB ，∴△AHE ≌△ACB ，∴EH ＝BC ，AH ＝AC .∵AC ＝AD ，∴AH ＝AD .∵∠EHA ＝∠FAD ＝90°，∴AF ∥EH .∵A 为DH 中点，∴AF 为△DHE 中位线，∴EH ＝2AF ，∴BC ＝2AF .(3)成立．证明如下：如图②，延长DA 至M 点，使AM ＝DA ，连接EM ，∵∠BAE ＋∠CAD ＝180°，∠CAD ＋∠CAM ＝180°，∴∠BAE ＝∠CAM ，∴∠BAE ＋∠CAC ＝∠CAM ＋∠EAC ，即∠BAC ＝∠CAM .∵AM ＝AD ，AD ＝AC ，∴AM ＝AC .又∵AB ＝AE ，∠BAC ＝∠EAM ，∴△BAC ≌△EAM ，∴BC ＝EM .∵F 、A 分别为DE 、DM 中点，∴AF 为△DEM 中位线，∴EM ＝2AF ，∴BC ＝2AF .2. 解：(1)证明：∵∠BAC＋∠EAD＝180°，∠BAE ＝90°，∴∠DAC ＝90°，在△ABE 与△ACD 中，AE ＝AD ，∠BAE ＝∠CAD＝90°，AB ＝AC ，∴△ABE ≌△ACD(SAS)，∴CD ＝BE ， ∵在Rt △ABE 中，F 为BE 的中点，∴BE ＝2AF ，∴CD ＝2AF.(2)成立，证明：如图，延长EA 交BC 于G ，在AG 上截取AH ＝AD ，∵∠BAC ＋∠EAD＝180°，∴∠EAB ＋∠DAC＝180°，∵∠EAB ＋∠BAH＝180°，∴∠DAC ＝∠BAH，在△ABH 与△ACD 中，AH ＝AD ，∠BAH ＝∠CAD，AB ＝AC ，∴△ABH ≌△ACD(SAS)，∴BH ＝DC ，∵AD ＝AE ，AH ＝AD ，∴AE ＝AH ，∵EF ＝FB ，∴BH ＝2AF ，∴CD ＝2AF.3. 解：(1)证明：∵AB＝AC ，∴∠ABD ＝∠ACD，∵AE ＝AD ，∴∠ADE ＝∠AED，∵∠BAD ＋∠ABD＝∠ADE＋∠EDC，∠EDC ＋∠ACD＝∠AED ，∴∠BAD ＝2∠EDC，∵∠ABF ＝2∠EDC，∴∠BAD ＝∠ABF，∴△ABF 是等腰三角形；(2)方法一：如图①，延长CA 至点H ，使AG ＝AH ，连接BH ，∵点N 是BG 的中点，∴AN ＝12BH ，∵∠BAD ＝∠AB F ，∠DAC ＝∠CBG，∴∠CAB ＝∠CBA，∴△ABC 是等边三角形．∴AB ＝BC ＝AC ，∠BAC ＝∠BCA＝60°，∵GM ＝AB ，AB ＝AC ，∴CM ＝AG ，∴AH ＝CM ，在△BAH 和△BCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠BAH ＝∠BCM＝120°，AH ＝CM ，∴△BAH ≌△BCM(SAS)，∴BH ＝BM ，∴AN ＝12BM ，方法二：如图②，延长AN 至K ，使NK ＝AN ，连接KB ，同方法一，先证△ABC 是等边三角形，再证△ANG ≌△KNB (SAS)，所以BK ＝AG ＝CM ，然后可以证得∠ABK ＝∠BCN ＝120°，最后证△ABK ≌△BCN (SAS)，所以BM ＝AK ＝2AN .类型5 角的和差倍分例5：解：(1)如图，过点P 作PG⊥EF 于G.∵PE ＝PF ＝6，EF ＝6 3，∴FG ＝EG ＝3 3，∠FPG ＝∠EPG＝12∠EPF. 在Rt △FPG 中，sin ∠FPG ＝FG PF ＝3 36＝32. ∴∠FPG ＝60°，∴∠EPF ＝2∠FPG＝120°.(2)如图，作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥AD 于N .∵AC 为菱形ABCD 的对角线，∴∠DAC ＝∠BAC ，AM ＝AN ，PM ＝PN .在Rt △PME 和Rt △PNF 中，PM ＝PN ，PE ＝PF ，∴Rt △PME ≌Rt △PNF ，∴NF ＝ME .又∵AP ＝10，∠PAM ＝12∠DAB ＝30°， ∴AM ＝AN ＝AP cos30°＝10×32＝5 3. ∴AE ＋AF ＝(AM ＋ME )＋(AN －NF )＝AM ＋AN ＝10 3.针对训练：1. 证明：如图，过D 作DE ⊥AB 于E ，过D 作DF ⊥AC 于F ，∵DA 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∵∠B ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°，∴∠B ＝∠FCD ，在△DFC 和△DEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠DEB ，∠FCD ＝∠B ，DF ＝DB ，∴△DFC ≌△DEB ，∴DC ＝DB .2. 解：(1)∵AC＝AB ＝4，且CD ＝1，∴AD ＝AC －CD ＝3.在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，∴BD ＝AB 2＋AD 2＝5，∵S △ABD ＝12AB·AD＝12AE·BD， ∴AE ＝2.4.(2)证明：如图，取BC 的中点M ，连接AM 交BD 于点N .∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点M 为BC 的中点，∴AM ＝BM ＝CM ，AM ⊥BC ，∠NAD ＝∠FCP ＝45°，∴∠AMF ＝∠BMN ＝90°.∵AE ⊥BD ，∴∠MAF ＋∠ANE ＝∠MBN ＋∠BNM ＝90又∠ANE ＝∠BNM ，∴∠MAF ＝∠MBN ，∴△AMF ≌△BMN ，∴MF ＝MN ，∴AM －MN ＝CM －MF ，即AN ＝CF .∵AP ＝CD ，∴AC －CD ＝AC －AP ，即AD ＝CP .∴△ADN ≌△CPF ，∴∠ADB ＝∠CPF .3. 解：(1)∵AB ＝BD ，∠BAD ＝45°，∴∠BDA ＝45°，即∠ABD ＝90°.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴当E 、C 重合时，BF ＝12BD ＝12AB . ∵在Rt △ABF 中，AB 2＋BF 2＝AF 2，∴(2BF )2＋BF 2＝(5)2，∴BF ＝1，AB ＝2.在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2＝2AB 2＝2 2.(2)证明：如图，在AF 上截取AK ＝HD ，连接BK.∵∠AFD ＝∠ABF＋∠2＝∠FGD＋∠3且∠ABF＝∠FGD＝90°，∴∠2＝∠3.在△ABK 与△DBH 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BD ，∠2＝∠3，AK ＝HD ，∴△ABK ≌△DBH ，∴BK ＝BH ，∠6＝∠5.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠5＝∠4＝45°，∴∠6＝∠5＝45°，∴∠7＝∠ABD－∠6＝45°＝∠5.在△BFK 与△BFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧BK ＝BH ，∠7＝∠5，BF ＝BF ，∴△BFK ≌△BFH.∴∠BFK ＝∠BFH，即∠AFB＝∠HFB.4. 解：(1)证明：由折叠知∠EMN＝∠ABC＝90°，BE ＝EM ，∴∠EMB ＝∠EBM，∴∠EMN －∠EMB＝∠ABC－∠EBM，即∠BMP＝∠MBC.∵在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠AMB ＝∠MBC，∴∠AMB ＝∠BMP，∴BM 是∠AMP 的平分线．(2)△PDM 的周长没有发生变化．证明如下：如图，过B 作BQ ⊥MP∵∠A ＝90°，且由(1)知BM 是∠AMP 的平分线，∴BA ＝BQ ，∵∠A ＝∠MQB ＝90°，∠AMB ＝∠BMP ，MB ＝MB ，∴△AMB ≌△QMB (AAS)．∴MA ＝MQ .∵BA ＝BC ，∴BQ ＝BC ，又∵∠BQP ＝90°＝∠C ，BP ＝BP ，∴Rt △BPC ≌Rt △BPQ (HL)．∴PC ＝PQ ，∴△PDM 的周长＝MD ＋MP ＋DP ＝MD ＋MQ ＋QP ＋PD＝MD ＋MA ＋PC ＋PD ＝AD ＋DC ＝2AD .∴△PDM 的周长没有发生变化．类型6 旋转型全等问题：图中若有边相等，可用旋转做实验例6：解：(1)①∵四边形ADEF 是正方形，∴AD ＝AF ，AB ＝AC ，∵∠BAC ＝∠DAF＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF，∴△DAB ≌△FAC ，∴∠B ＝∠ACF，∴∠ACB ＋∠ACF＝90°，即CF⊥BC；②∵△DAB ≌△FAC ，∴CF ＝BD ，∵BC ＝BD ＋CD ，∴BC ＝CF ＋CD.(2)结论①成立，结论②不成立．∵四边形ADEF 是正方形，∴AD ＝AF ，AB ＝AC.∵∠BAC ＝∠DAF＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF，∴△DAB ≌△FAC ，∴∠ABD ＝∠ACF，CF ＝BD ，∴∠BCF ＝∠ACF－∠ACB＝∠ABD－∠ACB＝90°，即CF⊥BC；∵BC＝CD －BD ，∴BC ＝CD －CF.(3)如图，过A 作AH ⊥BC 于H ，过E 作EM ⊥BD 于M ，EN ⊥CF 于N ，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴BC ＝2AB ＝4，AH ＝CH ＝12BC ＝2，∴CD ＝14BC ＝1，∴DH ＝3，同(2)证得△BAD ≌△CAF ， ∴∠ABD ＝∠ACF ＝45°，∴∠BCF ＝∠ACB ＋∠ACF ＝90°，∴BC ⊥CF ，CF ＝BD ＝5.∵四边形ADEF 是正方形，∴AD ＝DE ，∠ADE ＝90°，∵BC ⊥CF ，EM ⊥BD ，EN ⊥CF ，∴四边形CMEN 是矩形，∴NE ＝CM ，EM ＝CN ，∵∠AHD ＝∠ADE ＝∠EMD ＝90°，∴∠ADH ＋∠EDM ＝∠EDM ＋∠DEM ＝90°，∴∠ADH ＝∠DEM ，∴△ADH ≌△DEM ，∴EM ＝DH ＝3，DM ＝AH ＝2，∴CN ＝EM ＝3，EN ＝CM ＝3，∵∠ABC ＝45°，∴∠BGC ＝45°，∴△BCG 是等腰直角三角形，∴CG ＝BC ＝4，∴GN ＝1，∴EG ＝GN 2＋EN 2＝10.针对训练：1. 解：(1)AC ＝AD ＋AB .证明如下：∵∠B ＋∠D ＝180°，∠B ＝90°，∴∠D ＝90°.∵∠DAB ＝120°，AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC ＝60°，∵∠B ＝90°，∴AB ＝12AC ， 同理AD ＝12AC . ∴AC ＝AD ＋AB .(2)(1)中的结论成立，理由如下：如图①，以C 为顶点，AC 为一边作∠ACE＝60°，∠ACE 的另一边交AB 的延长线于点E ，∵∠BAC ＝60°，∴△AEC 为等边三角形，∴AC ＝AE ＝CE ，∠E ＝60°，∵∠ABC ＋∠D＝180°，∠DAB ＝120°，∴∠DCB ＝60°，∴∠DCA ＝∠ECB.在△DAC 和△BEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAC＝∠E，AC ＝CE ，∠DCA ＝∠BCE，∴△DAC ≌△BEC ，∴AD ＝BE ，∴AC ＝AE ＝AD ＋AB.(3)AD ＋AB ＝2AC.理由如下：如图②，过点C 作CE⊥AC 交AB 的延长线于点∵∠ABC ＋∠D＝180°，∠DAB ＝90°，∴∠DCB ＝90°，∵∠ACE ＝90°，∴∠DCA ＝∠BCE，又∵AC 平分∠DAB，∴∠CAB ＝45°，∴∠E ＝45°，∴AC ＝CE.∴△CDA ≌△CBE ，∴AD ＝BE ，∴AD ＋AB ＝AE.∵在Rt △ACE 中，∠CAB ＝45°，∴AE ＝ACcos45°＝2AC ，∴AD ＋AB ＝2AC.2. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠D＝∠BAD＝90°，AB ＝AD ，∵△ABE 沿AE 翻折得到△AHE，∴△ABE ≌△AHE ，∴AH ＝AB ＝AD ，BE ＝EH ，∠AHE ＝∠AHF＝∠B＝∠D＝90°.在Rt △AHF 和Rt △ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝AF ，AH ＝AD ，∴Rt △AHF ≌Rt △ADF(HL)，∴∠HAF ＝∠DAF，∴∠EAF ＝∠EAH＋∠FAH＝12∠BAH＋12∠HAD＝12∠BAD＝45°，(2)以BM ，DN ，MN 为三边围成的三角形为直角三角形．证明如下：如图，过点A 作AH ⊥AN 并截取AH ＝AN ，连接BH 、HM ，∵∠1＋∠BAN ＝90°，∠3＋∠BAN ＝90°，∴∠1＝∠3，在△ABH 和△ADN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠1＝∠3，AH ＝AN ，∴△ABH ≌△ADN (SAS)，∴BH ＝DN ，∠HBA ＝∠NDA ＝135°，∵∠HAN ＝90°，∠MAN ＝45°，∴∠1＋∠2＝∠HAM ＝∠MAN ＝45°，在△AHM 和△ANM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AH ＝AN ，∠HAM ＝∠MAN ，AM ＝AM ，∴△AHM ≌△ANM (SAS)，∴HM ＝NM ，∴∠HBP ＝180°－∠HBA ＝180°－135°＝45°，31 ∴∠HBP ＋∠PBM ＝45°＋45°＝90°，∴△HBM 是直角三角形，∵HB ＝DN ，HM ＝MN ，∴以BM ，DN ，MN 为三边围成的三角形为直角三角形．3. 解：(1)如图①，将△PBC 绕点B 逆时针旋转90°得△P ′BA ，连接PP ′，则△AP ′B ≌△CPB ， ∴P ′B ＝PB ＝2，P ′A ＝PC ＝1，∠1＝∠2，∠AP ′B ＝∠BPC .∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，即∠P ′BP ＝90°，∴∠BP ′P ＝45°.在Rt △P ′BP 中，由勾股定理，得PP ′2＝4.∵P ′A ＝1，AP ＝5∴P ′A 2＝1，AP 2＝5，∴P ′A 2＋PP ′2＝AP 2，∴△P ′AP 是直角三角形，∴∠AP ′P ＝90°，∴∠AP ′B ＝45°＋90°＝135°，∴∠BPC ＝135°.(2)仿照【分析】中的思路，将△BPC 绕点B 逆时针旋转120°，得到了△BP′A，连接PP′，如图②. 则△PBC≌△P′BA，∴P ′B ＝PB ＝4，P ′A ＝PC ＝2，∠BPC ＝∠BP′A，∴△BPP ′为等腰三角形，∵∠ABC ＝120°，∴∠PBP ′＝120°，∴∠BP ′P ＝30°，过点B 作BG⊥PP′于G ，则∠P′GB＝90°，∴PP ′＝2P ′G.∵P ′B ＝PB ＝4，∠BP ′P ＝30°，∴BG ＝2，∴P ′G ＝2 3.∴PP ′＝4 3，在△APP′中，∵PA ＝2 13，P ′A ＝2，PP ′＝4 3，∴P ′A 2＋P′P 2＝PA 2，∴△PP ′A 是直角三角形，∴∠AP ′P ＝90°，∴∠BPC ＝∠BP′A＝∠PP′B＋∠AP′P＝30°＋90°＝120°.。

重庆中考数学几何专题训练（一）及答案1. （2019年重庆南开初三（下）半期考试题）在平行四边形ABCD 中，E 为AD 上一点,连接BE 、CE ，满足BC=BE=CE 。

（1）如图1，已知∠ABC=90°，BC=4，求AC 的长；（2）如图2，过点A 作AF ⊥BE 于点F,交CE 于点G ，连接BG ，在BG 上取点M ，使得∠AMG=60°，延长AM 交BC 于点N,求证：CN=2AE.图1 图2(1)解:ΘBC=BE=CE,∴o EBC 60=∠Θ ∠ABC=90° ∴ o ABE 30=∠Θ平行四边形ABCD,∴AD//BC ,∴ ∠EAB=90°∴AB=BE 23=3223=BC ∴AC=72281216==+（2）过点E 作EK//AN ，交BC 于点KΘBC=BE=CE,∴o BEC EBC 60=∠=∠Θ平行四边形ABCD ，∴AD//BC ，∴ 四边形 ANKE 是平行四边形∴o EBC BEA 60=∠=∠，o AEC 120=∠Θ∠AMG=60°，∴o o o o MGE MAE 180********=--=∠+∠∴ANB EAM CGB ∠=∠=∠，ΘEK//AN ，∴CEK EKB ANB CGB o ∠+=∠=∠=∠60又ΘEBG EBG BEC CGB o ∠+=∠+∠=∠60，∴CEK EBG =∠ΘBC=BE=CE,∴o BEG BCE 60=∠=∠，∴EKC BGE ∆≅∆（ASA ）∴CK=EG 又Θo BEC BEA 60=∠=∠，AF ⊥BE ，∴AE=EG=CKΘ四边形 ANKE 是平行四边形，∴AE=NK=CK ，∴CN=2AE2. （2019年西南大学附属中学校初三下月考试题）在菱形ABCD 中,∠ABC=60°,BD 为菱形的一条对角线.(1) 如图1,过A 作AE ⊥BC 于点E,交BD 于点F,若EF=2,求菱形ABCD 的面积；(2)如图2,M 为菱形ABCD 外一点,过A 作AN ⊥BM 交BM 的延长线于点M,连接AM ，DM ，AG ⊥DM 于点G,且∠AMN=∠AMD,求证:(图1)F E D C A (图2)GN M D C B A（2）解答：因为∠AMN=∠AMD ，AN ⊥BM ，AG ⊥DM ∴AN=AG ，∠ANB=∠AGD=90︒，MN ＝MG 因为菱形ABCD∴AB=AD∴ABN ≅ADG （HL ） ∴D Ｇ＝ＢＮ，∠ABM ＝∠ADM ∴∠BMD=∠BAD=180︒-∠ABC=120︒∴∠AMN=∠AMG=12∠DMN=30︒ ∴MN=MG=123AM ∴DM=DG+MG=BN+MG=BM+MN+MG=BM+3AM 即：DM=BM+3AM （1）解答:因为在菱形ABCD 中,∠ABC=60°,BD 为菱形的一条对角线 所以AB=BC ，∠ABD=∠CBD=30︒, 又因为AE ⊥BC ，所以∠AEB=90︒，∠BAE=30︒ 所以AF=BF=2EF=4，AE=6，所以BC=AB=43， 所以菱形ABCD 的面积是24 3.3.如图，在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，连接BO，以AB为斜边向三角形内部作Rt△ABE,且∠AEB=90°，连接EO.求证：（1）∠OAE=∠OBE; （2）AE=BE+2OE.（1）证明：因为O为等腰Rt∆ABC斜边AC的中点, 所以∠ABO=∠BAO=45︒所以∠OAE=45︒-∠BAE因为AB为斜边作Rt∆ABE，所以∠ABE=90︒所以∠OBE=90︒-∠OBA-∠BAE=45︒-∠BAE即∠OAE=∠OBE（2）证明：在AE上取AF=BE，连接OF因为O为等腰Rt∆ABC斜边AC的中点, ∴∠ABO=∠BAO=45︒，∠AOB=90︒，∴AO=BO 因为∠OAE=∠OBE，∴∆AFO≅∆BEO（SAS）∴∠AOF=∠BOE，OF=OE∴∠EOF=∠AOB=90︒，∴EF=2OE因为AE=AF+EF∴AE=BE+2OEC A。

专题复习：几何证明综合型问题——针对题型：24题（10分）☆核心：考虑构造辅助线，考虑证明全等专项突破1：特殊四边形（矩菱正）特殊性质与判定1.菱形A.性质①四边相等②对角线互相垂直，每一条对角线平分每一组对角S对角线乘积的一半③B.判定①一组邻边相等的平行四边形②两对角线垂直的平行四边形③四边相等的四边形2.矩形A.性质①四个角为直角②对角线相等B.判定①有一个角是直角的平行四边形②对角线相等的平行四边形③有三个角是直角的四边形注意：“三个角相等的四边形是矩形”是假命题3.正方形满足所有平矩菱的性质与判定专项突破2：角的转化（必考）✧ 1.和差角，用外角✧ 2.内角和（对角互补模型）✧ 3.平行线转角（倍长中线有平行）※注意：倍长中线无法证角时，考虑延长平行线和截线，构造三线八角✧ 4.同角（或等角）的余角（或补角）相等✧ 5.等量±等量✧ 6.以算代证，字母表示角✧7.八字模型（倒角重点图形）✧8.给角度算角度（67.5°，22.5°，45°，30°，60°，75°，120°······）✧9.利用四边形本身的平行（内错或同位或同旁内角）、对角特点（相等）倒角✧10.双垂图形，必有角等（相似）△11.四点共圆12.······专项突破3：四边形中常见辅助线☆可结合考查等边三角形、等腰（Rt ）三角形、平矩菱正等特殊平行四边形的性质和判定✧ 1.截长补短：截谁相等，证谁全等（第一对全等容易出现）✧ 2.“几个等式”：①矩形+中点==斜边中线②平分+平行（或垂直）==等腰③中点+平行（四边形）==延长相交④Rt+等腰==斜边中点✧ 3.一边一角构全等✧ 4.手拉手模型✧ 5.依靠60°构造等边三角形✧ 6.特殊角度的转化60°（120°）、22.5°（45°、135°、67.5°）、15°（75°、150°、105°）、90°······✧7.半角模型【条件】如图，四边形ABCD 中，AB =AD ，180BAD BCD ABC ADC ︒∠+∠=∠+∠=，12EAF BAD E BC F CD ∠=∠，点在直线上,点在直线上【结论】BE DF EF 、、满足截长补短关系✧8.正方形中：①CFDE CF DE ⊥⇔=②对角线上有一点，构造对称型全等③旋转型全等④半角模型⑤旋转型全等✧9.以等腰Rt ∆斜边为斜边构造Rt ∆10.······考点突破（24题第1问）考点一：几何计算⎪⎩⎪⎨⎧③勾股定理②三角函数①相似“三板斧”（24题第2问）☆考点二：中点问题（一）已知中点（2倍/倍半关系）1.倍长中线法※注意：平行条件为后续证明提供条件2.中位线①有多个中点时，用中位线②有1个中点，再延长另一边使之成为中点，构造中位线※注意：必出平行条件，进而进行角的转化3.Rt ∆斜边中线等于斜边一半※注意：逆定理：如果一个三角形一边上的中线等于这边一半，那么这个三角形是直角三角形4.等腰（或等边）∆的三线合一5.中垂线※注意：常向两端把线连6.······（二）证明中点1.作平行，证平行2.有等腰，证两线（平分或垂直）3.······【例1】如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上一点，连接DE 、EF ，且AE =AF ，BAF DAE ∠=∠．（1）求证：CE =CF ；（2）若︒=∠120ABC ，点G 是线段AF 的中点，连接DG ，EG ．求证：DG ⊥GE ．☆考点三：角平分线问题（一）有角平分线1.“两等腰”：角平分+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧平行（内错）垂直（延长）⇒等腰2.“两全等”：角平分+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧等）截相等（构造对称型全引垂线⇒全等3.等腰三角形“三线合一”AB CDE F G4.······（三）证角平分线作垂直考点四：截长补短☆核心：截谁相等，证谁全等，第一对全等容易出现，易出等腰三角形等特殊图形切记不要死脑筋！！！！【例2】正方形ABCD 中，M 在CD 上，N 在DA 延长线上，AN CM =，点E 在BD 上，NE 平分DNM ∠.过E 作MN EF ⊥于F ，求证：EF AD MN 22-=.考点五：综合型试题【例3】正方形ABCD 中，连接其对角线AC ，∠BCA 的平分线CF 交AB 于点F ，过点B 作BM ⊥CF 于点N ，交AC 于点M ，过点C 作CP ⊥CF ，交AD 延长线于点P ．（1）若正方形ABCD 的边长为4，求△ACP 的面积；（2）求证：CP=BM+2FN ．【练习1】如图，正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，︒=∠15ADE ，过D 作ED DG ⊥DG 于D ，且AD AG =，过G 作AC GF //交ED 的延长线于F ．（1）若64=ED ，求AG ；（2）求证：BD ED DF =+2．【练习2】如图，正方形ABCD 中，E 为AB 边上一点，过点D 作DF ⊥DE ，与BC 延长线交于点F ．连接EF ，与CD 边交于点G ，与对角线BD 交于点H ．（1）若BF=BD =2，求BE 的长；（2）若∠ADE=2∠BFE ，求证：FH=HE+HD ．【练习3】如图，AC 为正方形ABCD 的一条对角线，点E 为DA 边延长线上的一点，连接BE ，在BE 上取一点F ，使BC BF =，过点B 作BE BK ⊥于B ，交AC 于点K ，连接CF ，交AB 于点H ，交BK 于点G ．（1）求证：BG BH =；（2）求证：AE BG BE +=．备注：。

152021年中考数学26题专题——几何证明（2 ）11、（西附初2020九上周考）如图，在平行四边形ABCD 中，AE 丄BD 于E 。

AE r(1)若 BC=BD,瓦 'DE= 16 ,求平行四边形ABCD 的周长；（2）乙DBC = 4S ，对强AC 、BD 交于点O ,F 为AE 上一点，且"=2FO ,求正：込00。

若12、(一中初2020九上定时作业一)已知：豹ABCD的对角线AC、BD交于点O,以AD为斜边构造等腰Rt^AED .连接BE。

(1)如图1,若上040= 60；力0=4的面积；(2)女口图2,延长DE交AB于点F ,囲O作OG丄CD于点G ,囲C作C H丄DF于点H ,CH与OG交于点M ,且O/V/= 3尸#求证：AO = ^f 2BE°用2类型三：和差分倍综合1.(育才喊中勿2020九上测逓)AABC中，上力=4S ,过点C彳乍CD丄AB于点D , E为AC的中点，连接EB ,交CD于点F。

(1)如图「若ZEBAW , EB=2，求AD的长；(2 )如图2 ,若F恰好为EB的中点,求证:CF= DF+\ AD22、( 2019年巴蜀初三入学)如图，在平行四边形ABCD中,过A点作AE丄BC于点E，过BC上一点F彳乍FH丄AB于点H ,交AE于点K ,酿AC ,过F作FG丄AC于点G , m$EG。

>/w(1 )若力C= BC= AB=r求AE的长；15, 3(2 )若KE= BF ,求证：AG+ GF=忑EG°E F173、( 一外初2020九上9月走时作业二)如图「在平行四边形ABCD中r BE平分ZABC交CD 于点E , CFXAD于点F，交BE于点G ,且CE ,连接EF O(1)若CD=5t DF=3 ,求BC 的长度；(2 )如图2 r若CM平分ZDCF交BE于点M f CN丄BE于点N f求证:CM+ EF=忑NE。

专题训练十三-------几何证明之矩形（一）1. 1. 如图，在矩形ABCD 中，E 为CB 延长线上一点，CE=AC,F 是AE 的中点. （1）求证：BF ⊥DF ；（2）若AB=8，AD=6,求DF 的长.（1）证明：连接CF∵CE=AC ，F 是AE 的中点 ∴CF ⊥AE∴∠AFD+∠CFD=︒90∵在矩形ABCD 中，AD=BC ，∠BAD=∠ABC=︒90，又∵E 为CB 延长线上一点，∴∠ABC+∠ABE=︒180，即∠ABE=︒90 又∵F 是AE 的中点，∴FA=FB ∴∠FAB=∠FBA∴∠BAD+∠FAB =∠ABC+∠FBA ，即∠FAD=∠FBC ∴ΔFAD ≌ΔFBC （SAS ）∴∠AFD=∠BFC∴∠BFC+∠CFD=∠AFD+∠CFD =︒90 ∴BF ⊥DF（2）解：连接BD∵AB =8，BC= AD =6∴在RtΔABC 中，由勾股定理，得AC=10∴BD=CE==10 ∴BE=CE-BC=10-6=4∴RtΔABE 中，由勾股定理，得548422=+=AE∴5221==AE BF ……………………………………………………………9分 又∵由（1），得BF ⊥DF∴在RtΔBDF 中，由勾股定理，得54)52(1022=-=DF …………10分2.矩形ABCD 的对角线相交于点O ，∠COE ＝45°，过点C 作CE ⊥BD 于点E ， （1）如图1，若CB ＝1，求△CED 的面积；（2）如图2，过点O 作OF ⊥DB 于点O ，OF ＝OD ，连接FC ，点G是FC 中点，连接GE ，求证：DC ＝2GE ．（1）解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ， ∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ， ∵∠COE ＝45°，CE ⊥BD ， ∴△OCE 是等腰直角三角形， ∴OE ＝CE ，OC ＝OE ，设OE ＝CE ＝x ，则OB ＝OD ＝OC ＝x ，∴DE ＝（+1）x ，BE ＝（﹣1）x ，在Rt △BCE 中，由勾股定理得：BC 2＝BE 2+CE 2＝（﹣1）2x 2+x 2＝（4﹣2）x 2＝1，∴x 2＝＝，∴△CED 的面积＝DE×CE ＝（+1）x2＝（+1）×＝；（2）证明：延长OF、EG交于点H，如图所示：∵OF⊥BD，CE⊥BD，∴OF∥CE，∠EOH＝∠CED＝90°，∴∠H＝∠CEG，∵点G是FC中点，∴GF＝GC，在△GHF和△GEC 中，，∴△GHF≌△GEC（AAS），∴GH＝GE，FH＝CE，∴FH＝OE，∵OF＝OD，∴ED＝OH，在△CDE和△EHO 中，，∴△CDE≌△EHO（SAS），∴CD＝EH，∵EH＝2GE，∴CD＝2GE．3.已知，如图所示，在矩形ABCD中，点E在BC边上，∠AEF＝90°．（1）如图1，点F在CD边上，AD＝AE，AD＝5，AB＝4，求DF的长；（2）如图2，已知AE＝EF，点G为AF的中点，求证：AB+BE ＝BG．（1）解：∵AD＝AE，AD＝5，∴AE＝5，由勾股定理得，BE ＝＝3，∴EC＝2，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∵∠B＝90°，∴∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，又∠B＝∠C，∴△ABE∽△ECF，∴＝，即＝，解得，CF＝1.5，∴DF＝CD﹣CF＝2.5；（2）证法二：作FM⊥BC交BC的延长线于M，作GN⊥BC于N，连接GM，在△ABE和△EMF中，，∴△ABE≌△EMF（AAS）∴AB＝EM，BE＝FM，∵AB⊥BC，FM⊥BC，GN⊥BC，∴AB∥GN∥FM，又点G为AF的中点，∴点N为BM的中点，GN ＝×（AB+FM），∴GN ＝BM，∴GB＝GN，∠BGM＝90°，∴BM ＝BG，∴AB+BE ＝BG．4.如图，四边形ABCD为矩形，F为对角线BD上一点，点E在BA延长线上．（1）如图①，若F为矩形对角线AC、BD的交点，点E在BA延长线上且BE＝AC，连接DE，M是DE的中点，连接BM，FM若AD＝6，FM ＝，求线段AE的长；（2）如图②，过点F作FE⊥BD交AD于点H，交BA延长线于点E，连接AF，当FD＝FE时，求证：HA+AB ＝AF．解：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AC＝BD，BF＝DF，∵M是DE的中点，BF＝DF，∴BE＝2MF ＝＝，∵BE＝AC，AC＝BD∴BD＝，∴AB＝＝＝∴AE＝BE﹣AB＝3，（2）如图②，过点F作FN⊥AF交AB的延长线于点N，∵EF⊥DF，EA⊥AD，∴∠E+∠AHE＝90°，∠ADF+∠DHF＝90°，∴∠E＝∠ADF，∵∠AFN＝∠EFD＝90°，∴∠AFD＝∠EFN，且∠E＝∠ADF，且EF＝DF，∴△EFN≌△DF A（ASA）∴∠DAF＝∠N，AF＝FN，且∠AFN＝90°，∴AN＝AF，∵∠AFN＝∠EFB＝90°，∴∠AFH＝∠BFN，且∠DAF＝∠N，AF＝FN，∴△AHF≌△NBF（ASA）∴AH＝BN，∵AN＝AF，∴AB+BN＝AB+AH＝AF。

类型五构造直角三角形1. (2017重庆南开一模)如图，四边形ABCD为矩形，连接AC，AD＝2CD，点E在AD边上．(1)如图①，若∠ECD＝30°，CE＝4，求△AEC的面积；(2)如图②，延长BA至点F使得AF＝2CD，连接FE并延长交CD于点G，过点D作DH⊥EG 于点H，连接AH，求证：FH＝2AH＋DH.第1题图2. 已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点B，D，E在同一条直线上．(1)如图①，当AC⊥DE，且AD＝2时，求线段BC的长度；(2)如图②，当CD⊥BE时，取线段BC的中点F，线段DC的中点G，连接DF，EG，求证：DF＝EG.第2题图3. 如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为CB上一点，且满足CD＝CA，连接AD.过点C作CE⊥AB于点E.(1)若AB＝10，BD＝2，求CE的长；(2)如图②，若点F是线段CE延长线上一点，连接FD，若∠F＝30°，求证：CF＝AE＋3 2DF；第3题图4. (2017重庆八中模拟)如图，△ABD是等腰直角三角形，点C是BD延长线上一点，F在AC上，AD＝AF，E为△ADC内一点，连接AE、BE，AE平分∠CAD，AE⊥BE.(1)若∠EBD＝15°，求∠ADF；(2)求证：BE－AE＝DF.5. (2017重庆巴蜀一模)如图，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AC 上一点，连接BD，过C点作BD的垂线交BD的延长线于点E，连接AE，过点A作AF⊥AE交BD 于点F ，连接CF .(1)若CE ＝2，AE ＝322，求BC 的长；(2)若点D 为AC 的中点，求证：CF ＝2CD .第5题图6. 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 在BC 的延长线上，连接AD ，过点B 作BE ⊥AD ，垂足为E ，交AC 于点F ，连接CE .(1)求证：△BCF≌△ACD；(2)猜想∠BEC的度数，并说明理由；(3)探究线段AE，BE，CE之间满足的等量关系，并说明理由．第6题图答案1. (1)解：在Rt△EDC中，∵∠ECD ＝30°， ∴ED ＝12EC ＝12×4＝2，∴DC ＝EC ·cos 30°＝4×32＝23， ∴AE ＝2DC －ED ＝43－2，∴S △AEC ＝12×AE ×DC ＝12(43－2)×23＝12－23；(2)证明：如解图，过A 作AM ⊥AH ，交FG 于点M ， ∴∠MAH ＝∠MAD ＋∠DAH ＝90°，又∵∠FAD ＝∠MAD ＋∠FAM ＝90°，∴∠FAM ＝∠DAH ， ∵AF ∥CD ， ∴∠F ＝∠EGD ， ∵DH ⊥EG ，∴∠DHE ＝∠HDG ＋∠EGD ＝90°，∠EDG ＝∠EDH ＋∠HDG ＝90°， ∴∠EGD ＝∠EDH ， ∴∠F ＝∠EDH ， 又∵AF ＝2CD ，AD ＝2CD ， ∴AF ＝AD ，∴△AFM ≌△ADH (ASA )， ∴AM ＝AH ，FM ＝DH ， ∴△MAH 是等腰直角三角形， ∴MH ＝2AH ， ∵FH ＝MH ＋FM ， ∴FH ＝2AH ＋DH .第1题解图2. (1)解：设AC 与DE 交于点F ，如解图①所示： ∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，AC ⊥DE ，AD ＝2， ∴BC ＝AC ，DE ＝AD ＝2，DF ＝12DE ＝1，AF ＝CF ，∴AF ＝AD 2－DF 2＝3， ∴AC ＝2AF ＝23， ∴BC ＝23；(2)证明：连接CE 、GF ，如解图②所示：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，点B ，D ，E 在同一条直线上． ∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝∠AED ＝60°， ∴∠ADB ＝120°，∠BAD ＝∠CAE ， 在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAD＝∠CAE AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE (SAS )，∴BD ＝CE ，∠AEC ＝∠ADB ＝120°， ∴∠CED ＝∠AEC －∠AED ＝60°， ∵CD ⊥BE ， ∴∠DCE ＝30°， ∴DE ＝12CE ，∵点F 为线段BC 的中点，点G 为线段DC 的中点， ∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴FG ∥DE ，FG ＝DE ，∴四边形DFGE 是平行四边形， ∴DF ＝EG .第2题解图3. (1)解：设AC ＝CD ＝x .在Rt △ACB 中，AB ＝10，AC ＝x ，BC ＝CD ＋BD ＝x ＋2， ∵AB 2＝AC 2＋BC 2， ∴102＝x 2＋(x ＋2)2， 解得x ＝6或－8(舍)， ∴AC ＝6，BC ＝8.∵12·AC ·BC ＝12·AB ·CE ， ∴CE ＝6×810＝245.(2)证明：如解图，过点D 作DH ⊥CF 于点H .第3题解图∵∠ACD ＝∠AEC ＝∠DHC ＝90°，∴∠ACE ＋∠CAE ＝90°，∵∠ACE ＋∠BCE ＝90°， ∴∠CAE ＝∠DCH ，在△ACE 和△CDH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CAE ＝∠DCH ∠AEC＝∠DHC，AC ＝CD∴△ACE ≌△CDH (AAS )， ∴AE ＝CH ， 在Rt △DHF 中，∵∠DHF ＝90°，∠F ＝30°，∴HF ＝DF ·cos 30°＝32DF ， ∴CF ＝CH ＋HF ＝AE ＋32DF . 4. (1)解：在△BGD 和△AGE 中， ∵∠BDG ＝∠AEG ＝90°， ∠BGD ＝∠AGE ， ∴∠DBG ＝∠EAG ，∵∠DBG ＝15°，AE 平分∠CAD ， ∴∠DAC ＝30°， ∵AD ＝AF ∴∠ADF ＝75°，(2)证明：如解图，过D 作DH ⊥DE ，交BE 于点H ，第4题解图∵∠BDA ＝∠EDH ＝90°， ∴∠BDH ＝∠ADE ，在△AED 和△BHD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BDH ＝∠ADE AD ＝BD ∠DBE＝∠DAE ，∴△AED ≌△BHD (ASA )， ∴DE ＝DH ，∴△DHE 为等腰直角三角形， ∴∠DEH ＝45°， ∴∠DEA ＝135°，在△DAE 和△FAE 中⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AE ∠DAE＝∠FAE AD ＝AF ，∴△DAE ≌△FAE (SAS )，∴∠AED ＝∠AEF ＝135°，DE ＝EF ， ∴DH ＝EF ，∴△DEF 为等腰直角三角形， ∴四边形HDFE 为平行四边形， ∴HE ＝DF ，∵BE －BH ＝HE ，BH ＝AE ， ∴BE －AE ＝DF .5. (1)解：∵AB ＝AC ，AB ⊥AC ，BE ⊥CE ， ∴∠BEC ＝∠BAC ＝90°， ∵∠ADB ＝∠CDE ， ∴∠ABF ＝∠ACE ， ∵∠BAC ＝∠FAE ＝90°，∴∠BAF ＝∠CAE ，∴△AFB ≌△AEC (ASA )，∴BF ＝CE ，AE ＝AF ，又∵在Rt △FAE 中，AE ＝322， ∴EF ＝3，在Rt △BEC 中，BE ＝BF ＋EF ＝2＋3＝5，CE ＝2，∴BC ＝52＋22＝29，(2)证明：如解图，过点A 作AM ⊥BE 于点M ，连接CM .∴在Rt △ADM 和Rt △CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AMD＝∠CED＝90°AD ＝CD ∠ADM＝∠CDE，∴△ADM ≌△CDE (AAS )，∴CE ＝AM ，在Rt △AMF 中，∠AFD ＝45°，∠FAM ＝45°，∴CE ＝AM ＝FM ＝ME ，∴∠EMC ＝45°，∴∠FMC ＝∠AMC ＝135°，CM ＝CM ，∴△FMC ≌△AMC (SAS )，∴CF ＝AC ＝2CD .第5题解图6. (1)证明：∵BE ⊥AD ，∠ACB ＝90°，∴∠CBE ＝∠CAD ＝90°－∠D ，在△BCF 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CBE ＝∠CAD BC ＝AC ∠BCF＝∠ACD＝90°，∴△BCF ≌△ACD (ASA )；(2)解：∠BEC ＝45°，理由：如解图，取AB 的中点M ，连接CM ，EM ，∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，BE ⊥AD ，∴CM ＝EM ＝AM ＝BM ＝12AB ， ∴点A ，B ，C ，E 在同一个圆(⊙M )上，∴∠BEC ＝∠BAC ＝45°；(3)解：BE ＝AE ＋2CE ，理由：作CG ⊥CE 交BE 于点G ，∵∠BEC ＝45°，则∠CGE ＝45°＝∠BEC ，CG ＝CE ，∴∠BGC ＝135°＝∠AEC ，EG ＝2CE ，在△BCG 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BGC ＝∠AEC ∠CBE＝∠CAD，BC ＝AC∴△BCG ≌△ACE (AAS )，∴BG ＝AE ，∴BE ＝BG ＋EG ＝AE ＋2CE .第6题解图。

重庆中考几何一、有关几何的基本量：线段、角度、全等、面积、四边形性质1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC 交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．（1）证明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中点，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．∴△EBH≌△GFC；（2）解：过点H作HI⊥EG于I，∵G为CH的中点，∴HG=GC，∵EF⊥DC，HI⊥EF，∴∠HIG=∠GFC=90°，∠FGC=∠HGI，∴△GIH≌△GFC，∵△EBH≌△EIH（AAS），∴FC=HI=BH=1，∴AD=4-1=3．2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD 和等边△ACE．（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴DC=BE；（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，∴∠DGF=∠FAE=90°，又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，∴∠DBG=∠ABC=60°，在△DGB和△ACB中，∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB ，∴△DGB≌△ACB（AAS），∴DG=AC，又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，∴DG=AE，在△DGF和△EAF中，∠DGF=∠EAF ∠DFG=∠EFA DG=EA ，∴△DGF≌△EAF（AAS），∴DF=EF，即F为DE中点．3、如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD与BC延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AG⊥BC于E．（1）求证：CF=CG；（2）连接DE，若BE=4CE，CD=2，求DE的长．解答：（1）证明：连接AC，∵DC ∥AB ，AB=BC ，∴∠1=∠CAB ，∠CAB=∠2， ∴∠1=∠2；∵∠ADC=∠AEC=90°，AC=AC ， ∴△ADC ≌△AEC ， ∴CD=CE ；∵∠FDC=∠GEC=90°，∠3=∠4， ∴△FDC ≌△GEC ，∴CF=CG ．（2）解：由（1）知，CE=CD=2， ∴BE=4CE=8，∴AB=BC=CE+BE=10，∴在Rt △ABE 中，AE= AB 2-BE 2 =6， ∴在Rt △ACE 中，AC= AE 2+CE 2 =102 由（1）知，△ADC ≌△AEC ， ∴CD=CE ，AD=AE ，∴C 、A 分别是DE 垂直平分线上的点， ∴DE ⊥AC ，DE=2EH ；（8分） 在Rt △AEC 中，S △AEC =21 AE •CE=21AC •EH ， ∴EH=AC CEAE ⋅ =10226⨯ =5103∴DE=2EH=2×5103=5106 4、如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，点O 是AC 的中点，点Q 是AB 上一点，连接CQ ，DP ⊥CQ 于点E ，交BC 于点P ，连接OP ，OQ ；求证：（1）△BCQ ≌△CDP ； （2）OP=OQ ．证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD ， ∴∠2+∠3=90°，又∵DP ⊥CQ ， ∴∠2+∠1=90°， ∴∠1=∠3，在△BCQ 和△CDP 中，∠B=∠PCD BC=CD ∠1=∠3 ． ∴△BCQ ≌△CDP ． （2）连接OB ． 由（1）：△BCQ ≌△CDP 可知：BQ=PC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC=90°，AB=BC ， 而点O 是AC 中点， ∴BO=21AC=CO ，∠4=21∠ABC=45°=∠PCO ， 在△BCQ 和△CDP 中， BQ=CP ∠4=∠PCO BO=CO∴△BOQ ≌△COP ， ∴OQ=OP ．5、在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD 到E,使DE=AD,延长DC 到F ，使DC=CF,连接BE 、BF 和EF.⑴求证：△ABE ≌△CFB; ⑵如果AD=6,tan ∠EBC 的值. 解：（1）证明：连结CE ， 在△BAE 与△FCB 中，∵ BA=FC ，∠A=∠BCF ，， AE=BC ， ∴△BAE ≌△FCB ；（2）延长BC 交EF 于点G ，作AH ⊥BG 于H ，作AM ⊥BG ，∵△BAE ≌△FCB ，∴∠AEB=∠FBG ，BE=BF ，∴△BEF 为等腰三角形，又∵AE ∥BC ， ∴∠AEB=∠EBG ，∴∠EBG=∠FBG ，∴BG ⊥EF ，∵∠AMG=∠EGM=∠AEG=90°， ∴四边形AMGE 为矩形，∴AM=EG ， 在Rt △ABM 中，AM=AB •sin60°=6×23=33 ，∴EG=AM=33， BG=BM+MG=6×2+6×cos60°=15，∴tan ∠EBC=531533==BG EG 6、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，E 为CD 的中点，EF ∥AB 交BC 于点F（1）求证：BF=AD+CF ；ABDECF（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长．（1）证明：如图（1），延长AD交FE的延长线于N∵∠NDE=∠FCE=90°∠DEN=∠FEC DE=EC∴△NDE≌△FCE ∴DN=CF ∵AB∥FN，AN∥BF∴四边形ABFN是平行四边形∴BF=AD+DN=AD+FC（2）解：∵AB∥EF，∴∠ABN=∠EFC，即∠1+∠2=∠3，又∵∠2+∠BEF=∠3，∴∠1=∠BEF，∴BF=EF，∵∠1=∠2，∴∠BEF=∠2，∴EF=BF，又∵BC+AD=7+1∴BF+CF+AD=8而由（1）知CF+AD=BF∴BF+BF=8∴2BF=8，∴BF=4，∴BF=EF=47、已知：AC是矩形ABCD的对角线，延长CB至E，使CE=CA，F是AE的中点，连接DF、CF分别交AB于G、H点（1）求证：FG=FH；（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD 的面积．（1）证明：连接BF∵ABCD为矩形∴AB⊥BC AB⊥AD AD=BC∴△ABE为直角三角形∵F是AE的中点∴AF=BF=BE∴∠FAB=∠FBA∴∠DAF=∠CBF∵AD=BC, ∠DAF=∠CBF ,AF=BF ,∴△DAF≌△CBF∴∠ADF=∠BCF∴∠FDC=∠FCD∴∠FGH=∠FHG ∴FG=FH ；（2）解：∵AC=CE ∠E=60° ∴△ACE 为等边三角形 ∴CE=AE=8 ∵AB ⊥BC ∴BC=BE=CE 21=4 ∴根据勾股定理AB=34 ∴梯形AECD 的面积=21×(AD+CE)×CD=21×(4+8)×34=3248、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=90°，且CD=2AD ，tan ∠ABC=2，过点D作DE ∥AB ，交∠BCD 的平分线于点E ，连接BE ． （1）求证：BC=CD ；（2）将△BCE 绕点C ，顺时针旋转90°得到△DCG ，连接EG ．求证：CD 垂直平分EG ； （3）延长BE 交CD 于点P ．求证：P 是CD 的中点． 证明：（1）延长DE 交BC 于F ，∵AD ∥BC ，AB ∥DF ，∴AD=BF ，∠ABC=∠DFC ． 在Rt △DCF 中，∵tan ∠DFC=tan ∠ABC=2， ∴CFCD=2， 即CD=2CF ，∵CD=2AD=2BF ， ∴BF=CF ， ∴BC=BF+CF=21CD+21CD=CD ． 即BC=CD ．（2）∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCE=∠DCE ， 由（1）知BC=CD ， ∵CE=CE ，∴△BCE ≌△DCE ， ∴BE=DE ，由图形旋转的性质知CE=CG ，BE=DG ， ∴DE=DG ，∴C ，D 都在EG 的垂直平分线上， ∴CD 垂直平分EG ． （3）连接BD ， 由（2）知BE=DE ， ∴∠1=∠2． ∵AB ∥DE ，∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．∵AD ∥BC ，∴∠4=∠DBC ．由（1）知BC=CD ，∴∠DBC=∠BDC ，∴∠4=∠BDP ． 又∵BD=BD ，∴△BAD ≌△BPD(ASA)∴DP=AD ． ∵AD=21CD ，∴DP=21CD ．∴P 是CD 的中点． 9．(2011南岸二诊)如图，已知点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ⊥DP ，交AB 于点E ，交CD 于点G ，交BC 的延长线于点F ，连接DF ．（1）若23=DF ，求DP 的长； （2）求证：CF AE =.10．如图，正方形CGEF 的对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），M 是线段AE 的中点，DM 的延长线交CE 于N ． （1）线段AD 与NE 相等吗？请说明理由； （2）探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明．11、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=10cm ，AC 交BD 于G ，且∠AGD=60°，E 、F 分别为CG 、AB 的中点．（1）求证：△AGD 为正三角形； （2）求EF 的长度．G 24题图PFEDCBA解答：（1）证明：连接BE，∵梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB，∴∠GCB=∠GBC，又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD为等边三角形，（2）解：∵BE为△BCG的中线，∴BE⊥AC，在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线，∴EF=AB=5cm．12、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；（2）△DCF是等腰直角三角形，证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=（BC﹣AD）=1，∵DC=，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；（3）共四种情况：∵DF⊥BC，∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1；当P与F重合时，△PCD是等腰三角形，∴PB=2；当PC=CD=（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3﹣；当PC=CD=（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3+．故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）13．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，且DE⊥AD于D，∠EBC=∠CDE,∠ECB=45°．⑴求证：AB=BE ；⑵延长BE ，交CD 于F ．若CE =2，tan ∠CD E =31，求BF 的长． 13．⑴证明：延长DE ，交BC 于G ．∵DE ⊥AD 于D ，∴∠ADE =90°又AD ∥BC ， ∴∠DGC =∠BGE =∠ADE =90°， 而∠ECB =45°, ∴△EGC 是等腰直角三角形， ∴EG=CG在△BEG 和△DCG 中，EBG CDG EGB CGD EG CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BEG ≌△DCG (AAS ) ∴BE=CD=AB ⑵连结BD ．∵∠EBC=∠CDE ∴∠EBC +∠BCD =∠CDE +∠BCD =90°，即∠BFC =90° ∵CE=2，∴EG=CG=1又tan ∠CDE =31，∴13CG DG =，∴DG =3 ∵△BEG ≌△DCG ，∴BG=DG=3∴2210BE BG EG =+=∴CD=BE=10法一：∵1122BCDSBC DG CD BF ==，11431022BF ⨯⨯=⨯∴6105BF = 法二：经探索得，△BEG ∽△BFC ，∴BE BCBG BF=，∴1043BF = ∴6105BF = 14．如图，直角梯形ABCD 中，,90,45,AD BC ADC ABC AB ∠=∠=∥的垂直平分线EG 交BC 于F ，交DC 的延长线于.G求证：(1)CG CF =；(2).BC DG =AB CDEF证明：(1) ,AB EF ⊥ 45B ∠=904545EFB ∴∠=-=45CFG ∴∠=//,90AD BC ADC ∠=90FCG ∴∠=45,FCG ∴∠= CG CF =∴(2)连接AF ， EF 是AB 的中垂线,AF BF FE AB ∴=⊥45=∠=∠∴BFE AFE90=∠∴AFB DCB AFB ∠=∠∴BC AD CD AF //,// ∴,AF DC BF DC ∴=∴=由(1)知CG CF = ,CG DC CF BF +=+∴即：DG BC =二、有关“截长补短”题型1、在ABCD 中，对角线,BD BC G BD ⊥为延长线上一点且ABG ∆为等边三角形，BAD ∠、CBD ∠的平分线相交于点E ，连接AE BD F 交于，连接GE 。

20XX年重庆市中考数学试卷、答案及考点详解一.选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卷中对应的表格）A、-6B、0C、3D、8考点：有理数大小比较。

专题：计算题。

分析：根据正数大于0,0大于负数，正数大于负数，两负数绝对值大的反而小，解答即可.解答：解：V8>3>0>-6,最小的数是-6.故选A.点评：本题考查了有理数大小的比较，熟记：正数大于0,0大于负数，正数大于负数，两负数绝对值大的反而小.2、（2011*重庆）计算（a）的结果是（）A、aB、a532C、a6D、a9考点：幕的乘方与积的乘方。

专题：计算题。

分析：根据幕的乘方法则：底数不变，指数相乘.（a）=a（m,n是正整数）计算即可.解答：解：（a）=a故选C.点评：本题考查了幕的乘方，注意：①幕的乘方的底数指的是幕的底数；②性质中“指数相乘”指的是幕的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幕的乘法中“指数相加”的区别.3、（2011・重庆）下列图形中，是中心对称图形的是（）323x2mnmn=a.6考点：中心对称图形。

专题：数形结合。

分析：根据中心对称图形的定义来判断：把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.解答：解：A、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形；B、将此图形绕某一点旋转180度正好与原来的图形重合，所以这个图形是中心对称图形；C、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形；D、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形.故选B.点评：本题主要考查中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.4、（2011*重庆）如图，AB〃CD,ZC=80°,ZCAD=60°,则ZBAD的度数等于（）A、60°B、50°C、45°D、40°考点：平行线的性质。