最新人教版高中数学必修5第二章《等差数列的前n项和》教材习题点拨

2.2.2 等差数列的前n 项和1．在等差数列{a n }中，公差d ＝2，S 20＝60，则S 21等于( ) A ．62 B ．64 C ．84 D ．100 2．在等差数列{a n }中，若前5项和S 5＝20，则a 3等于( ) A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－23．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________.4．等差数列200,19923，…，－100的后200项的和等于__________．答案：1．C ∵S 20＝20a 1＋20×192×2＝60，∴a 1＝－16.∴a 21＝a 1＋20d ＝24. ∴S 21＝S 20＋a 21＝84.2．A S 5＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5a 3＝20， ∴a 3＝4.3．－72 设首项为a 1，公差为d . a 12＝－8⇔a 1＋11d ＝－8，①S 9＝－9⇔9(a 1＋a 9)2＝－9⇔a 1＋a 9＝－2⇔a 1＋4d ＝－1.②由①②，解得a 1＝3，d ＝－1.故S 16＝(a 1＋a 16)×162＝8(2a 1＋15d )＝－72.4．－40 1003 数列倒过来组成公差为13，首项为－100的等差数列，从而计算S 200即可．课堂巩固1．(2009湖南高考，文3)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．35C ．49D ．632．(2009海南、宁夏高考，文8理16)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( )A ．38B ．20C ．10D ．93．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －7(n ∈N ＋)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.4．(2009辽宁高考，理14)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝__________.5．为了参加运动会的5 000 m 长跑比赛，李强给自己制定了10天的训练计划：第1天跑5 000 m ，以后每天比前一天多跑400 m ．李强10天将要跑多少距离？6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝－5，S 10＝15，求数列{S nn}的前n 项和T n .答案：1．C S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝7(3＋11)2＝49.2．C 由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0且a m －1＋a m ＋1＝2a m ，知a 2m ＝2a m ，∴a m ＝0或a m ＝2.又S 2m －1＝a 1＋a 2m －12×(2m －1)＝(2m －1)·a m ＝38，知a m ≠0，∴a m ＝2.∴S 2m －1＝(2m －1)×2＝38.∴m ＝10.3．153 ∵a n ＝2n －7，∴a 1＝－5，a 2＝－3，a 3＝－1，a 4＝1，a 5＝3，…，a 15＝23.∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＋…＋23＝9＋12×(1＋23)2＝153.4.13设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则由6S 5－5S 3＝5得6(5a 1＋10d )－5(3a 1＋3d )＝5，∴3a 1＋9d ＝1.∴a 4＝a 1＋3d ＝13.5．解：由题意可知，李强每天跑的距离数构成一个等差数列，把李强第1天跑的距离记为a 1＝5 000，则公差d ＝400，李强10天跑的距离为该等差数列的前10项和．因S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×5 000＋10×92×400＝68 000，故李强10天将跑68 000 m.6．解：设数列{a n }的公差为d ，首项为a 1， 由已知得5a 1＋10d ＝－5,10a 1＋45d ＝15， 解得a 1＝－3，d ＝1.∴S n ＝(－3)n ＋n (n －1)2＝12n 2－72n .∴S n n ＝12n －72. ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝[12(n ＋1)－72]－(12n －72)＝12， ∴{S n n }是等差数列且首项为S 11＝－3，公差为12.∴T n ＝n ×(－3)＋n (n －1)2·12＝14n 2－134n .1．若数列{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 003＋a 2 004>0，a 2 003·a 2 004<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( )A ．4 005B ．4 006C ．4 007D ．4 008 1．答案：B ∵a 1>0，a 2 003＋a 2 004>0，a 2 003·a 2 004<0， ∴a 2 003＞0，a 2 004＜0，a 1＞0，从而d ＜0. 又∵a 1＋a 4 006＝a 2 003＋a 2 004＞0，故S 4 006＞0. 又a 1＋a 4 007＝a 2 004＋a 2 004＝2a 2 004＜0， ∴S 4 007＜0. 2．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．22．答案：C 方法一：⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋20d ＝15，5a 1＋25d ＝30，解得d ＝3.方法二：由性质得S 偶－S 奇＝n2d ，即5d ＝15，∴d ＝3.3．(2009山东潍坊高考模拟训练(五)，理5)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 5＝10，S 9＝54，则直线a 1x ＋a 4y ＋a 2＝0的斜率为( )A ．－2 B.25 C ．－15 D ．－253．答案：D ∵a 3＋a 5＝2a 4＝10，∴a 4＝5.∵S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝54，∴a 5＝6.∴d ＝a 5－a 4＝1，a 4＝a 1＋3d ＝a 1＋3＝5.∴a 1＝2.∴k ＝－a 1a 4＝－25.4．(2009天津高考，理5)阅读下面的程序框图，则输出的S 等于( )A.26 B ．35 C ．40 D ．574．答案：C 实质是求数列a n ＝3n －1的前五项和，其公差为3，a 1＝2，∴S 5＝5a 1＋5×42d ＝5×2＋10×3＝40.5．(2009全国高考卷Ⅱ，理14)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝5a 3.则S 9S 5＝__________.5．答案：9 由a 5＝5a 3，得a 5a 3＝5，S 9S 5＝9(a 1＋a 9)5(a 1＋a 5)＝9·2a 55·2a 3＝95·a 5a 3＝95×5＝9.6．在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝15，a n ＋a n －1＋a n －2＝78，S n ＝155，则n ＝__________. 6．答案：10 倒序相加得3(a 1＋a n )＝93， ∴a 1＋a n ＝31.∵S n ＝(a 1＋a n )n 2＝155，故n ＝10.7．等差数列{a n }中，a 11a 10<－1，且其前n 项和S n 有最小值．以下命题：①公差d ＞0；②{a n }为递减数列；③S 1，S 2，…，S 19都小于零，S 20，S 21，…都大于零；④n ＝19时，S n 最小；⑤n ＝10时，S n 最小．正确命题的序号为________．7．答案：①③⑤ 由a 11a 10<－1，且其前n 项和S n 有最小值，可知a 10＜0，a 11＞0且a 11＞|a 10|，从而易知①③⑤正确．8．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝5n ＋32n ＋7，求这两个数列第九项之比a 9b 9的值．8．答案：错解：由题意，设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，则S 9＝48k ，S 8＝43k ，T 9＝25k ，T 8＝23k .∴a 9b 9＝S 9－S 8T 9－T 8＝48k －43k 25k －23k ＝52. 正解一：此题可设为S n ＝n (5n ＋3)k ，T n ＝n (2n ＋7)k ，∴a 9b 9＝S 9－S 8T 9－T 8＝8841.正解二：∵a 9是a 1与a 17的等差中项，b 9是b 1与b 17的等差中项，∴a 9b 9＝a 1＋a 172b 1＋b 172＝a 1＋a 172·17b 1＋b 172·17＝S 17T 17＝5×17＋32×17＋7＝8841. 点评：由题意知S n 5n ＋3＝T n2n ＋7随着项数n 的变化而变化，不能设为常数k .这里忽视了项数n 的可变性而致错．从等差数列前n 项和公式角度来看，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，即S n ＝An 2＋Bn ，它不一定是n的一次函数，当A ≠0，即d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数形式．错解中，设S n ＝(5n ＋3)k ，这里将S n 看成关于n 的一次函数，显然是错误的．因为已知两个等差数列前n 项和的比是关于n 的一次因式，说明它们在相比过程中约去了一个共同因式kn ，所以，只要还原即符合题意．正解二利用了等差中项性质及前n 项和公式，也是很好的解法，要掌握此规律，避免此类题的错解．9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 3＝12，S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大？并说明理由． 9．答案：解：(1)根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋12×112d >0，13a 1＋13×122d <0，a 1＋2d ＝12，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，a 1＋2d ＝12.解之，得－247<d <－3.(2)解法一：由d <0可知，{a n }为一个递减数列．因此，在1≤n ≤12中，必存在一个自然数n ，使得a n ≥0，a n ＋1<0，此时对应的S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值．由于⎩⎪⎨⎪⎧S 12＝6(a 6＋a 7)>0，S 13＝13a 7<0，于是a 7<0，从而a 6>0.因此S 6最大．解法二：由{a n }是递减数列，解关于n 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 3＋(n －3)d >0，a n ＋1＝a 3＋(n －2)d <0，得⎩⎪⎨⎪⎧n <3－12d ，n >2－12d .由－247<d <－3，可得⎩⎨⎧n <3－12d <3＋123＝7，n >2－12d >2＋12247＝5.5.∴5.5<n <7，故n ＝6，即S 6最大．解法三：利用前n 项和公式，得S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (12－2d )＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(12－52d )n＝d 2[n －12(5－24d )]2－d 2[12(5－24d )]2. ∵d <0，∴[n －12(5－24d )]2最小时，S n 最大．由于－247<d <－3，则6<12(5－24d)<6.5，∴n ＝6时，[n －12(5－24d)]2最小．因此，S 6最大．10．(2009江苏高考，17)设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7.(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项．10．答案：解：(1)由题意，设等差数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ≠0，由a 22＋a 23＝a 24＋a 25知2a 1＋5d ＝0，① 又因为S 7＝7，所以a 1＋3d ＝1.② 由①②可得a 1＝－5，d ＝2. 所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －7，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－6n .(2)因为a m a m ＋1am ＋2＝(a m ＋2－4)(a m ＋2－2)a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，故8a m ＋2为整数，又由(1)知，a m ＋2为奇数，所以a m ＋2＝2m －3＝±1，即m ＝1,2.经检验，符合题意的正整数只有m ＝2.。

数学人教B 必修5第二章2.2.2 等差数列的前n 项和1．理解等差数列前n 项和公式的推导过程． 2．掌握等差数列前n 项和公式，并能利用前n 项和公式解决有关等差数列的实际问题． 3．熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中的三个量求另外的两个量．1．(1)倒序相加法是解决等差数列求和问题的基本方法，利用倒序相加法可以推出等差数列的前n 项和公式．(2)等差数列的前n 项和公式有两个，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量，解答方法就是解方程组．(3)当已知首项a 1和末项a n 及项数n 时，用公式S n ＝n (a 1＋a n )2来求和，用此公式时常结合等差数列的性质．(4)当已知首项a 1和公差d 及项数n 时，用公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 来求和．【做一做1－1】已知数列{a n }为等差数列，a 1＝35，d ＝－2，S n ＝0，则n 等于( )． A ．33 B ．34 C ．35 D ．36【做一做1－2】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17＝10，则S 19的值为( )． A ．55 B ．95C ．100D ．不能确定2．等差数列前n 项和公式与函数的关系 由于S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ，当d ≠0时，此公式可看做二次项系数为d 2，一次项系数为(a 1－d2)，常数项为0的________，其图象为抛物线y ＝d 2x 2＋(a 1－d2)x 上的点集，坐标为(n ，S n )(n ∈N ＋)．因此，由二次函数的性质立即可以得出结论：当d ＞0时，S n 有最____值；当d ＜0时，S n 有最____值．数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解，这也是利用函数解决数列问题的一个重要应用．【做一做2－1】已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则{a n }的前________项和最大．【做一做2－2】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－12n ，则当n 等于________时，S n 最小．一、关于等差数列中奇数项和、偶数项和的问题剖析：(1)当等差数列{a n }有偶数项时，设项数为2n ， 设S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ，① S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1，② ①－②，得S 偶－S 奇＝nd . ①＋②，得S 偶＋S 奇＝S 2n .①②，得S 偶S 奇＝n2(a 2＋a 2n )n2(a 1＋a 2n －1)＝2a n ＋12a n ＝a n ＋1a n .(2)当等差数列{a n }有奇数项时，设项数为2n ＋1， 设S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1，③ S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ，④③－④，得S 奇－S 偶＝a 1＋nd ＝a n ＋1.③＋④，得S 偶＋S 奇＝S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1. ③④，得S 奇S 偶＝n ＋12(a 1＋a 2n ＋1)n 2(a 2＋a 2n )＝(n ＋1)a n ＋1na n ＋1＝n ＋1n .综上，等差数列奇数项和、偶数项和有如下性质： (1)项数为2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶＋S 奇＝S 2n ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n.(2)项数为2n ＋1时，S 奇－S 偶＝a 1＋nd ＝a n ＋1，S 偶＋S 奇＝S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1，S 奇S 偶＝(n ＋1)a n ＋1na n ＋1＝n ＋1n .熟练运用这些性质，可以提高解题速度．除了上述性质外，与前n 项和有关的性质还有：①等差数列的依次连续每k 项之和S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…组成公差为k 2d 的等差数列． ②若S n 为数列{a n }的前n 项和，则{a n }为等差数列等价于{S nn }是等差数列．③若{a n }，{b n }都为等差数列，S n ，S n ′为它们的前n 项和，则a m b m ＝S 2m －1S 2m －1′.二、教材中的“？”如果仅利用通项公式，能求出使得S n 最小的序号n 的值吗？剖析：如果仅利用通项公式，也可求出最小序号n 的值．因为该数列的通项公式为a n＝4n －32，其各项为－28，－24，…，－4,0,4，…，可以看出，所有负数或非正数的项相加其和最小时，n 的值为7或8.三、教材中的“思考与讨论”1．如果已知数列{a n }的前n 项和S n 的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？剖析：确定了，由公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2来求解，求解时注意要分类讨论，然后对n ＝1的情况进行验证，能写成统一的形式就将a 1合进来，否则保留分段函数形式．2．如果一个数列的前n 项和的公式是S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？剖析：等差数列前n 项和公式可以变形为S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n .当d ≠0时，是关于n 的二次函数，如果一个数列的前n 项和公式是S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，那么这个数列的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ，n ＝1，2an －a ＋b ，n ≥2.只有当c ＝0时，a 1＝a ＋b ＋c 才满足a n ＝2an －a ＋b .因此，当数列的前n 项和公式为S n ＝an 2＋bn 时，所确定的数列才是等差数列，这时，等差数列的公差d ＝2a .题型一 等差数列的前n 项和公式的直接应用 【例1】在等差数列{a n }中，(1)已知a 10＝30，a 20＝50，S n ＝242，求n ； (2)已知S 8＝24，S 12＝84，求a 1和d ； (3)已知a 6＝20，S 5＝10，求a 8和S 8； (4)已知a 16＝3，求S 31.分析：在等差数列的前n 项和公式中有五个基本量a 1，a n ，d ，n ，S n ，只要已知任意三个量，就可以求出其他两个量．反思：在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，均可化成有关a 1，d 的方程或方程组求解．解题过程中，要注意：(1)选择适当的公式；(2)合理利用等差数列的有关性质．题型二 S n 与a n 的关系问题【例2】已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n ＞1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N ＋，求{a n }的通项公式．分析：由a 1＝S 1，求a 1.由a n ＋1＝S n ＋1－S n 确定a n ＋1与a n 的关系，再求通项a n .反思：利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求a n 时，切记验证n ＝1时的情形是否符合n ≥2时a n 的表达式．题型三 等差数列前n 项和性质的应用【例3】项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．分析：已知等差数列的奇、偶数项的和，求特殊项与项数，可从整体上直接考虑奇、偶数项的和与特殊项及项数的关系．反思：在等差数列{a n }中，(1)若项数为2n ＋1(n ∈N ＋)，则S 奇S 偶＝n ＋1n ，其中S 奇＝(n ＋1)a n＋1，S 偶＝n ·a n ＋1；(2)若数列项数为2n (n ∈N ＋)，则S 偶－S 奇＝nd .题型四 等差数列前n 项和的最值问题【例4】在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求S n 的最大值．分析：本题可用二次函数求最值或由通项公式求n ，使a n ≥0，a n ＋1＜0或利用等差数列的性质求出大于或等于零的项．反思：本例四种解法从四个侧面求解前n 项和最值问题，方法迥异，殊途同归． 解等差数列的前n 项和最大(最小)问题的常用方法有：(1)二次函数法：由于S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是关于n 的二次式，因此可用二次函数的最值来确定S n 的最值，但要注意这里的n ∈N ＋.(2)图象法：可利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 达到最大(或最小)． (3)通项法：由于S n ＝S n －1＋a n ，所以当a n ≥0时，S n ≥S n －1；当a n ≤0时，S n ≤S n －1，因此当a 1＞0且d ＜0时，使a n ≥0的最大的n 的值，使S n 最大；当a 1＜0，d ＞0时，满足a n ≤0的最大的n 的值，使S n 最小．题型 五易错辨析【例5】若数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n 2－2n ＋1，求数列{a n }的通项公式，并判断它是否为等差数列．错解：∵a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n ＋1)－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5， ∴a n ＋1－a n ＝[6(n ＋1)－5]－(6n －5)＝6(常数)． ∴数列{a n }是等差数列．错因分析：本题忽略了a n ＝S n －S n －1成立的条件“n ≥2”．【例6】已知两个等差数列{a n }与{b n }，它们的前n 项和的比S n S n ＝n ＋3n ＋1，求a 10b 10.错解：设S n ＝k (n ＋3)，S n ′＝k (n ＋1)， 则a 10b 10＝S 10－S 9S 10′－S 9′＝k (10＋3)－k (9＋3)k (10＋1)－k (9＋1)＝1. 错因分析：本题由于错误地设出了S n ＝k (n ＋3)，S n ′＝k (n ＋1)，从而导致结论错误．1已知在等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项的和S 10等于( )． A ．100 B ．210 C ．380 D ．400 2已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n ＋1n ＋2，则a 3等于( )．A ．120B ．124C ．128D ．1323等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( )． A ．130 B ．170 C ．210 D ．2604设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )． A ．S 4＜S 5 B ．S 4＝S 5 C ．S 6＜S 5 D ．S 6＝S 5 5设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2－2·3n ，则通项公式a n ＝________. 6设公差不为零的等差数列{a n }，S n 是数列{a n }的前n 项和，且S 23＝9S 2，S 4＝4S 2，则数列{a n }的通项公式为____________．答案： 基础知识·梳理 1．n (a 1＋a n )2 na 1＋n (n －1)2d【做一做1－1】D 由公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得到35n ＋n (n －1)2(－2)＝0，即n 2－36n＝0，解得n ＝36或n ＝0(舍去)．【做一做1－2】B 2．二次函数 小 大 【做一做2－1】9 【做一做2－2】6 典型例题·领悟【例1】解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.∵S n ＝242，∴12n ＋n (n －1)2×2＝242.解得n ＝11或n ＝－22(舍去)． ∴n ＝11.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ S 8＝8a 1＋28d ＝24，S 12＝12a 1＋66d ＝84，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝2.∴a 1＝－4，d ＝2.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 6＝a 1＋5d ＝20，S 5＝5a 1＋10d ＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝6.∴a 8＝a 6＋2d ＝32，S 8＝8(a 1＋a 8)2＝88.(4)S 31＝a 1＋a 312×31＝a 16×31＝93.【例2】解：由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或a 1＝2，由已知a 1＝S 1＞1，知a 1＝2. 又由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16(a n ＋1)(a n ＋2)， 得a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n ，因a n ＞0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去．因此a n ＋1－a n ＝3，从而{a n }是公差为3，首项为2的等差数列，故{a n }的通项为a n ＝3n －1.【例3】解：设等差数列{a n }共有(2n ＋1)项，则奇数项有(n ＋1)项，偶数项有n 项，中间项是第(n ＋1)项，即a n ＋1.∴S 奇S 偶＝12(a 1＋a 2n ＋1)×(n ＋1)12(a 2＋a 2n )×n ＝(n ＋1)a n ＋1na n ＋1＝n ＋1n ＝4433＝43，得n ＝3.∴2n ＋1＝7.又∵S 奇＝(n ＋1)·a n ＋1＝44，∴a n ＋1＝11. 故这个数列的中间项为11，共有7项． 【例4】解：解法一：由S 17＝S 9，得25×17＋172(17－1)d ＝25×9＋92(9－1)d ，解得d ＝－2，∴S n ＝25n ＋n2(n －1)(－2)＝－(n －13)2＋169，由二次函数的性质得当n ＝13时，S n 有最大值169. 解法二：先求出d ＝－2(解法一)．∵a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ＜0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ＞1212.∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 解法三：先求出d ＝－2(同解法一)． 由S 17＝S 9，得a 10＋a 11＋…＋a 17＝0，而a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝a 12＋a 15＝a 13＋a 14， 故a 13＋a 14＝0.∵d ＝－2＜0，a 1＞0， ∴a 13＞0，a 14＜0.故n ＝13时，S n 有最大值169.解法四：先求出d ＝－2(同解法一)得S n 的图象如图所示，由S 17＝S 9知图象的对称轴n ＝9＋172＝13，∴当n ＝13时，S n 取得最大值169.【例5】正解：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n ＋1)－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.∴数列{a n }不是等差数列．【例6】正解1：利用等差数列的性质，得a 10b 10＝192(a 1＋a 19)192(b 1＋b 19)＝S 19S 19′＝19＋319＋1＝1110. 正解2：设S n ＝kn (n ＋3)，S n ′＝kn (n ＋1)，所以a 10b 10＝S 10－S 9S 10′－S 9′＝k ·10(10＋3)－k ·9(9＋3)k ·10(10＋1)－k ·9(9＋1)＝1110.随堂练习·巩固1．B d ＝a 4－a 24－2＝15－72＝4，a 1＝3，所以S 10＝210.2．A3．C 令m ＝1，则S m ＝S 1＝a 1＝30，S 2m ＝S 2＝a 1＋a 2＝100，则有a 1＝30，a 2＝70，d ＝40，则a 3＝110，故S 3m ＝S 3＝S 2＋a 3＝100＋110＝210.4．B 方法一：设该等差数列的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－6，a 1＋7d ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝2. 从而有S 4＝－20，S 5＝－20，S 6＝－18.从而有S 4＝S 5.方法二：由等差数列的性质知a 5＋a 5＝a 2＋a 8＝－6＋6＝0，所以a 5＝0，从而有S 4＝S 5.5．－4·3n －1 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－2·31＝－4.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2－2·3n )－(2－2·3n －1)＝－4·3n －1.此时对n ＝1，有a 1＝－4·31－1＝－4，也适合．综上，对n ∈N ＋，a n ＝－4·3n －1.6．a n ＝49(2n －1) 设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，首项为a 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧(3a 1＋3d )2＝9(2a 1＋d )，4a 1＋6d ＝4(2a 1＋d ).解得a 1＝49，d ＝89或a 1＝d ＝0(舍去)．∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝49＋(n －1)×89＝49(2n －1)．。

人教版数学高中必修5数列习题及知识点第二章 数列1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )．A ．667B ．668C ．669D ．6702．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )．A ．33B ．72C ．84D ．1893．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )．A ．a 1a 8＞a 4a 5B ．a 1a 8＜a 4a 5C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 54．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为41的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )．A ．1B ．43C ．21D ． 83 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ).A ．81B ．120C ．168D ．1926．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )．A ．4 005B ．4 006C ．4 007D ．4 0087．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )．A ．－4B ．－6C ．－8D ． －108．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则212b a a 的值是( )． A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．41 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )．A ．38B ．20C ．10D ．9二、填空题11．设f (x )＝221+x ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为 .12．已知等比数列{a n }中，(1)若a 3·a 4·a 5＝8，则a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝ ．(2)若a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝ ．(3)若S 4＝2，S 8＝6，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝ .13．在38和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 ． 14．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则此数列前13项之和为 .15．在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ .16．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝ ；当n ＞4时，f (n )＝ ．三、解答题17．(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ，求证数列{a n }成等差数列.(2)已知a 1，b 1，c 1成等差数列，求证a c b +，b a c +，cb a +也成等差数列. 18．设{a n }是公比为 q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列．(1)求q 的值；(2)设{b n }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n 与b n 的大小，并说明理由．19．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n n 2+S n (n ＝1，2，3…)． 求证：数列{nS n }是等比数列． 20．已知数列{a n }是首项为a 且公比不等于1的等比数列，S n 为其前n 项和，a 1，2a 7，3a 4成等差数列，求证：12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列.第二章 数列参考答案一、选择题1．C解析：由题设，代入通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，即2 005＝1＋3(n －1)，∴n ＝699．2．C解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由题意得a 1＋a 2＋a 3＝21，即a 1(1＋q ＋q 2)＝21，又a 1＝3，∴1＋q ＋q 2＝7．解得q ＝2或q ＝－3(不合题意，舍去)，∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝3×22×7＝84．3．B ．解析：由a 1＋a 8＝a 4＋a 5，∴排除C ．又a 1·a 8＝a 1(a 1＋7d )＝a 12＋7a 1d ，∴a 4·a 5＝(a 1＋3d )(a 1＋4d )＝a 12＋7a 1d ＋12d 2＞a 1·a 8．4．C解析：解法1：设a 1＝41，a 2＝41＋d ，a 3＝41＋2d ，a 4＝41＋3d ，而方程x 2－2x ＋m ＝0中两根之和为2，x 2－2x ＋n ＝0中两根之和也为2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋6d ＝4，∴d ＝21，a 1＝41，a 4＝47是一个方程的两个根，a 1＝43，a 3＝45是另一个方程的两个根． ∴167，1615分别为m 或n ， ∴｜m －n ｜＝21，故选C ． 解法2：设方程的四个根为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝2，x 1·x 2＝m ，x 3·x 4＝n ．由等差数列的性质：若γ＋s ＝p ＋q ，则a γ＋a s ＝a p ＋a q ，若设x 1为第一项，x 2必为第四项，则x 2＝47，于是可得等差数列为41，43，45，47， ∴m ＝167，n ＝1615， ∴｜m －n ｜＝21．5．B解析：∵a 2＝9，a 5＝243，25a a ＝q 3＝9243＝27， ∴q ＝3，a 1q ＝9，a 1＝3，∴S 4＝3－13－35＝2240＝120． 6．B解析：解法1：由a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，知a 2 003和a 2 004两项中有一正数一负数，又a 1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a 2 003＞a 2 004，即a 2 003＞0，a 2 004＜0.∴S 4 006＝2＋006400641)(a a ＝2＋006400420032)(a a ＞0， ∴S 4 007＝20074·(a 1＋a 4 007)＝20074·2a 2 004＜0， 故4 006为S n ＞0的最大自然数. 选B ．解法2：由a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，同解法1的分析得a 2 003＞0，a 2 004＜0，∴S 2 003为S n 中的最大值．∵S n 是关于n 的二次函数，如草图所示，∴2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小，∴20074在对称轴的右侧． 根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧零点B 的左侧，4 007，4 008都在其右侧，S n ＞0的最大自然数是4 006．7．B解析：∵{a n }是等差数列，∴a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6，又由a 1，a 3，a 4成等比数列，∴(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝－8，∴a 2＝－8＋2＝－6．8．A(第6题)解析：∵59S S ＝2)(52)(95191a a a a ++＝3559a a ⋅⋅＝59·95＝1，∴选A ． 9．A解析：设d 和q 分别为公差和公比，则－4＝－1＋3d 且－4＝(－1)q 4，∴d ＝－1，q 2＝2， ∴212b a a -＝2q d -＝21． 10．C解析：∵{a n }为等差数列，∴2n a ＝a n －1＋a n ＋1，∴2n a ＝2a n ，又a n ≠0，∴a n ＝2，{a n }为常数数列，而a n ＝1212--n S n ，即2n －1＝238＝19，∴n ＝10．二、填空题11．23．解析：∵f (x )＝221+x ， ∴f (1－x )＝2211+-x ＝x x 2222⋅+＝xx 22221+， ∴f (x )＋f (1－x )＝x 221+＋x x 22221+⋅＝x x 222211+⋅+＝x x 22)22(21++＝22． 设S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)，则S ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (0)＋…＋f (－4)＋f (－5)，∴2S ＝[f (6)＋f (－5)]＋[f (5)＋f (－4)]＋…＋[f (－5)＋f (6)]＝62，∴S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝32．12．（1）32；（2）4；（3）32．解析：（1）由a 3·a 5＝24a ，得a 4＝2，∴a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝54a ＝32．（2）9136)(324222121=⇒⎩⎨⎧=+=+q q a a a a ， ∴a 5＋a 6＝(a 1＋a 2)q 4＝4．（3）2＝＋＝＋＋＋＝2＝＋＋＋＝4444821843214q qS S a a a S a a a a S ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅， ∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 4q 16＝32．13．216． 解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与38，227同号，由等比中项的中间数为22738⋅＝6，∴插入的三个数之积为38×227×6＝216． 14．26．解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 13＝2a 10，∴6(a 4＋a 10)＝24，a 4＋a 10＝4，∴S 13＝2＋13131)(a a ＝2＋13104)(a a ＝2413⨯＝26． 15．－49．解析：∵d ＝a 6－a 5＝－5，∴a 4＋a 5＋…＋a 10 ＝2＋7104)(a a ＝25＋＋－755)(d a d a ＝7(a 5＋2d )＝－49．16．5，21(n ＋1)(n －2)． 解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，∴f (k )＝f (k －1)＋(k －1)．由f (3)＝2，f (4)＝f (3)＋3＝2＋3＝5，f (5)＝f (4)＋4＝2＋3＋4＝9，……f (n )＝f (n －1)＋(n －1)，相加得f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n －1)＝21(n ＋1)(n －2)． 三、解答题17．分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数． 证明：（1）n ＝1时，a 1＝S 1＝3－2＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5，n ＝1时，亦满足，∴a n ＝6n －5(n ∈N*)．首项a 1＝1，a n －a n －1＝6n －5－[6(n －1)－5]＝6(常数)(n ∈N*)，∴数列{a n }成等差数列且a 1＝1，公差为6．（2）∵a 1，b 1，c 1成等差数列， ∴b 2＝a 1＋c1化简得2ac ＝b (a ＋c )． a c b ＋＋c b a ＋＝ac ab a c bc ＋＋＋22＝ac c a c a b 22＋＋＋)(＝ac c a 2＋)(＝2＋＋2)()(c a b c a ＝2·bc a ＋， ∴a c b ＋，b a c ＋，cb a ＋也成等差数列． 18．解：（1）由题设2a 3＝a 1＋a 2，即2a 1q 2＝a 1＋a 1q ，∵a 1≠0，∴2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或－21． （2）若q ＝1，则S n ＝2n ＋21－)(n n ＝23＋2n n ． 当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝22＋1－))((n n ＞0，故S n ＞b n ． 若q ＝－21，则S n ＝2n ＋21－)(n n (－21)＝49＋－2n n ． 当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝4－11－)0)((n n ， 故对于n ∈N +，当2≤n ≤9时，S n ＞b n ；当n ＝10时，S n ＝b n ；当n ≥11时，S n ＜b n ．19．证明：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝nn 2＋S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，整理得nS n ＋1＝2(n ＋1) S n ， 所以1＋1＋n S n ＝n S n 2． 故{nS n }是以2为公比的等比数列． 20．证明：由a 1，2a 7，3a 4成等差数列，得4a 7＝a 1＋3a 4，即4 a 1q 6＝a 1＋3a 1q 3， 变形得(4q 3＋1)(q 3－1)＝0，∴q 3＝－41或q 3＝1(舍)． 由3612S S ＝qq a q q a ----1)1(121)1(3161＝1213q +＝161； 6612S S S -＝612S S －1＝qq a q q a ----1)1(1)1(61121－1＝1＋q 6－1＝161； 得3612S S ＝6612S S S -． ∴12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．数列基础知识点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+-等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+前n 项和()()11122n n a a n n n S na d +-==+ 性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有 nd S S =-奇偶，1+=n n a a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有 )()12(12为中间项n n n a a n S -=-，n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇. 2. 等比数列的定义与性质 定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=. 等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！） 性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则mn p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q .注意：由n S 求n a 时应注意什么？1n =时，11a S =；2n ≥时，1n n n a S S -=-.。

学习目标 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式.2.会解等差数列前n 项和的最值问题.3.理解a n 与S n 的关系，能根据S n 求a n .知识点一 数列中a n 与S n 的关系思考 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，怎样求a 1，a n?答案 a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又n ＝1时也适合上式，所以a n ＝2n －1，n ∈N *.梳理 对任意数列{a n }，S n 与a n 的关系可以表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2，n ∈N *).知识点二 等差数列前n 项和的最值思考 我们已经知道当公差d ≠0时，等差数列前n 项和是关于n 的二次函数S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，类比二次函数的最值情况，等差数列的S n 何时有最大值？何时有最小值？ 答案 由二次函数的性质可以得出：当a 1＜0，d >0时，S n 先减后增，有最小值；当a 1＞0，d <0时，S n 先增后减，有最大值；且n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值． 梳理 等差数列前n 项和的最值与{S n }的单调性有关．(1)若a 1>0，d <0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最大值．(2)若a 1<0，d >0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最小值．(3)若a 1>0，d >0，则{S n }是递增数列，S 1是{S n }的最小值；若a 1<0，d <0，则{S n }是递减数列，S 1是{S n }的最大值．类型一 已知数列{a n }的前n 项和S n 求a n例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解 根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 可知S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n >1，n ∈N *)，当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n －＝2n －12， ① 当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12. 故数列{a n }是以32为首项，2为公差的等差数列． 引申探究例1中前n 项和改为S n ＝n 2＋12n ＋1，求通项公式． 解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋12n ＋1)－ ＝2n －12. ①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12＋1＝52不符合①式． ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52，n ＝1，2n －12，n ≥2，n ∈N *. 反思与感悟 已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求得a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示． 跟踪训练1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ，求a n . 解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2·3n －1.当n ＝1时，代入a n ＝2·3n －1得a 1＝2≠3.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3， n ＝1，2·3n －1，n ≥2，n ∈N *.类型二 等差数列前n 项和的最值例2 已知等差数列5,427，347，…的前n 项和为S n ，求使得S n 最大的序号n 的值． 解 方法一 由题意知，等差数列5,427，347，…的公差为－57， 所以S n ＝5n ＋n (n －1)2(－57)＝－514(n －152)2＋112556. 于是，当n 取与152最接近的整数即7或8时，S n 取最大值． 方法二 a n ＝a 1＋(n －1)d＝5＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－57 ＝－57n ＋407. 令a n ＝－57n ＋407≤0，解得n ≥8，且a 8＝0，a 9<0. 故前n 项和是从第9项开始减小又S 7＝S 8，所以前7项或前8项和最大．反思与感悟 在等差数列中，求S n 的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于S n 为关于n 的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解． 跟踪训练2 在等差数列{a n }中，a n ＝2n －14，试用两种方法求该数列前n 项和S n 的最小值． 解 方法一 ∵a n ＝2n －14，∴a 1＝－12，d ＝2.∴a 1<a 2<…<a 6<a 7＝0<a 8<a 9<….∴当n ＝6或n ＝7时，S n 取到最小值．易求S 6＝S 7＝－42，∴(S n )min ＝－42.方法二 ∵a n ＝2n －14，∴a 1＝－12.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－13n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n －1322－1694.∴当n ＝6或n ＝7时，S n 最小，且(S n )min ＝－42.类型三 求等差数列前n 项的绝对值之和例3 若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n . 解 ∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n .当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n＝na 1＋n (n －1)2d ＝13n ＋n (n －1)2×(－4) ＝15n －2n 2；当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n )＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n＝2×(13＋1)×42－(15n －2n 2) ＝56＋2n 2－15n .∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧15n －2n 2，n ≤4，n ∈N *，2n 2－15n ＋56，n ≥5，n ∈N *. 反思与感悟 求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，根据绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n 项的绝对值之和． 跟踪训练3 已知数列{a n }中，S n ＝－n 2＋10n ，数列{b n }的每一项都有b n ＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和T n 的表达式．解 由S n ＝－n 2＋10n 得a n ＝S n －S n －1＝11－2n (n ≥2，n ∈N *)． 验证a 1＝9也符合上式．∴a n ＝11－2n ，n ∈N *.∴当n ≤5时，a n >0，此时T n ＝S n ＝－n 2＋10n ；当n >5时，a n <0，此时T n ＝2S 5－S n ＝n 2－10n ＋50.即T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －n 2＋10n ，n ≤5，n ∈N *，n 2－10n ＋50，n >5，n ∈N *.。

数学·必修5(人教A版)2．3.2等差数列的前n项和(习题课)►基础达标1．一个等差数列共有2n＋1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项为()A．30B．31C．32D．33解析：中间项为a n＋1.S奇＝(a1＋a2n＋1)2·(n＋1)＝(n＋1)a n＋1＝512.S偶＝a2＋a2n2·n＝n·a n＋1＝480.∴a n＋1＝S奇－S偶＝512－480＝32.故选C. 答案：C2．等差数列{a n}的公差d＝12且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为()A．52.5 B．72.5 C．60 D．85解析：设a1＋a3＋a5＋…＋a99＝x，a2＋a4＋…＋a100＝y，则x＋y ＝S 100＝145，y －x ＝50d ＝25.解得x ＝60，y ＝85.故选C.答案：C3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12为( ) A.310 B.13 C.18 D.19解析：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9，构成一个新的等差数列，∵S 3＝1，S 6－S 3＝3－1＝2，∴S 9－S 6＝3，S 12－S 9＝4.∴S 12＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋(S 12－S 9)＝1＋2＋3＋4＝10.∴S 6S 12＝310. 答案：A4．等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1≠d ，若前20项的和S 20＝10M ，则M 的值为( )A ．a 3＋a 5B ．a 2＋2a 10C ．a 20＋dD ．a 12＋a 9解析：∵S 20＝a 1＋a 202×20＝10(a 1＋a 20)，∴M ＝a 1＋a 20＝a 12＋a 9.故选D.答案：D5．在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝15，a n ＋a n －1＋a n －2＝78，S n ＝155，则n ＝________.解析：(a 1＋a 2＋a 3)＋(a n ＋a n －1＋a n －2)＝3(a 1＋a n )＝15＋78，∴a 1＋a n ＝31.又S n ＝n (a 1＋a n )2＝155，∴31n 2＝155⇒n ＝10. 答案：10►巩固提高6．给定数列1,2＋3＋4,5＋6＋7＋8＋9,10＋11＋12＋13＋14＋15＋16，…，则这个数列的一个通项公式是( )A ．a n ＝2n 2＋3n －1B ．a n ＝n 2＋5n －5C ．a n ＝2n 3－3n 2＋3n －1D ．a n ＝2n 3－n 2＋n －2解析：当n ＝1时，a 1＝1，排除A 、D.当n ＝3时，a 3＝5＋6＋7＋8＋9＝35.而B 中，a 3＝32＋5×3－5＝19.故选C.答案：C7. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________.解析：⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 成等差数列，又S 1010＝10，S 100100＝110， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差为－11100 ∴S 110110＝S 100100＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－11100＝－1， ∴S 110＝－110.答案：－1108．把正整数以下列方法分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，…，其中每组都比它的前一组多一个数，设S n 表示第n 组中所有各数的和，那么S 21等于( )A ．1 113B ．4 641C ．5 082D ．53 361分析：第21组共有21个数，构成一个等差数列，公差为1，首项比第20组的最后一个数大1，所以先求前20组一共有多少个数．解析：因为第n 组有n 个数，所以前20组一共有1＋2＋3＋…＋20＝210个数，于是第21组的第一个数为211，这组一共有21个数，S 21＝21×211＋21×202×1＝4641，故选B. 答案：B9．在等差数列{a n }中， 已知S 8＝48，S 12＝168，求a 1和d .解析：⎩⎨⎧ 8a 1＋28d ＝48，12a 1＋66d ＝168⇒a 1＝－8，d ＝4.10．(1)已知{a n }的首项a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n (n ∈N *)，求{a n }的通项公式．(2)已知{a n }中，a n ＋1＝n n ＋2a n ，且a 1＝2，求数列{a n }的通项公式．解析：(1)a n －a n －1＝2(n －1)，a n －1－a n －2＝2(n －2)，a n －2－a n －3＝2(n －3)，…a 3－a 2＝2×2，a 2－a 1＝2×1.将上述式子相加，可得 a n －a 1＝2[1＋2＋…＋(n －1)]＝n 2－n ，所以a n ＝n 2－n ＋1，当n ＝1时也成立．(2)∵a n ＋1＝n n ＋2a n ， ∴a n ＋1a n ＝n n ＋2，∴a n a n －1＝n －1n ＋1，… ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·n －4n －2·…·35·24·13·2 ＝4n (n ＋1)(n ∈N *)．1．等差数列的前n 项和的性质：(1)等差数列的依次k 项之和，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，组成公差为k 2d 的等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)．(3)若等差数列的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)且S 偶－S 奇＝nd .S 偶S 奇＝a n ＋1a n . 若等差数列的项数为2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n 且S 奇－S 偶＝a n ，S 偶S 奇＝n －1n . (4)若S n 为数列{a n }的前n 项和，则{a n }为等差数列等价于⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列．2．求等差数列的前n 项和S n 的最值有两种方法：(1)由二次函数的最值特征得解．S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝d 2212d a n d ⎡⎤-⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦－2⎛⎫- ⎪⎝⎭12d d a 2 ＝d 22⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11a n 2d －d 2(12－a 1d )2 . 由二次函数的最大值、最小值知识及n ∈N *知，当n 取最接近 12－a 1d的正整数时，S n 取到最大值(或最小值)．值得注意的是最接近 12－a 1d 的正整数有时是1个，有时是2个． (2)根据项的正负来定．若a 1＞0，d ＜0，则数列的所有正数项之和最大； 若a 1＜0，d ＞0，则数列的所有负数项之和最小．。

第2课时等差数列前n项和的性质与应用1.已知某等差数列共有20项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为( )A.1B.C.2D.解析:∵S奇=a1+a3+…+a19=15,S偶=a2+a4+…+a20=30,∴S偶-S奇=10d=15.∴d=.答案:B2.等差数列{a n}的前n项和记为S n,若a2+a4+a15的值为确定的常数,则下列各数中也是常数的是( )A.S7B.S8C.S13D.S15解析:a2+a4+a15=a1+d+a1+3d+a1+14d=3(a1+6d)=3a7=3×S13.于是可知S13是常数.答案:C3.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( )A.63B.45C.36D.27解析:a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6构成等差数列.所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45.答案:B4.已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和之比为(n∈N*),则等于( )A. B. C. D.解析:设数列{a n}的前n项和为S n,数列{b n}的前n项和为T n,则=.答案:C5.已知等差数列的前n项和为S n,若S13<0,S12>0,则此数列中最大的S n是( )A.S5B.S6C.S7D.S8解析:∵S13<0,且S13=13a7,∴a7<0.∵S12>0,且S12=6(a6+a7),∴a6+a7>0.∴a6>-a7.∵a7<0,∴a6>0,d<0.∴前6项的和最大.答案:B6.已知等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,a k+a4=0,则k=.解析:∵S9=S4,∴a5+a6+a7+a8+a9=0,∴a7=0,从而a4+a10=2a7=0,∴k=10.答案:107.一个有11项的等差数列,奇数项之和为30,则它的中间项为.解析:由条件知a1+a3+a5+a7+a9+a11=30,又∵a1+a11=a3+a9=a5+a7,∴a5+a7=2a6=10.∴a6=5,即中间项a6=5.答案:58.设S n是等差数列{a n}的前n项和,若,则=.解析:∵,∴设S3=k,则S6=3k.∴S3=k,S6-S3=2k,S9-S6=3k,S12-S9=4k.∴S12=k+2k+3k+4k=10k,∴.答案:9.在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图),最高层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈,请问:(1)第9圈共有多少块石板?(2)前9圈一共有多少块石板?解:(1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{a n},由题意可知{a n}是等差数列,其中a1=9,d=9,n=9.由等差数列的通项公式,得第9圈有石板a9=a1+(9-1)·d=9+(9-1)×9=81(块).(2)由等差数列前n项和公式,得前9圈一共有石板S9=9a1+d=9×9+×9=405(块).故第9圈有81块石板,前9圈一共有405块石板.10.等差数列{a n}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|a n|}的前n项和.解:等差数列{a n}的公差d==3,∴a n=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由a n<0,得3n-63<0,即n<21.∴数列{a n}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.设S n,S n'分别表示数列{a n},{|a n|}的前n项和,当n≤20时,S n'=-S n=-=-n2+n;当n>20时,S n'=-S20+(S n-S20)=S n-2S20=-60n+×3-2×=n2-n+1260.∴数列{|a n|}的前n项和为S n'=。

2.2 等差数列2．2.1 等差数列1．等差数列的前4项依次是a －1，a ＋1,2a ＋3，2b －3，则a ，b 的值为( ) A ．1,2 B ．－1,4 C ．0,4 D ．2，－22．在等差数列{a n }中，a 3＋a 12＝60，a 6＋a 7＋a 8＝75，则其通项公式为( ) A ．a n ＝10n ＋45 B ．a n ＝6n －24 C ．a n ＝10n －45 D ．a n ＝6n ＋243．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，则tan(A ＋C)＝________.4．若a ，x 1，x 2，x 3，b 与a ，y 1，y 2，y 3，y 4，y 5，b 均为等差数列，则x 3－x 1y 3－y 1＝__________.答案：1．C 方法一：依题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋2a ＋3＝2(a ＋1)，a ＋1＋2b －3＝2(2a ＋3)，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝4.方法二：由(a ＋1)－(a －1)＝2可得d ＝2，再利用通项公式可得a ，b 的值．方法三：采用特殊值代入法求解．2．C ∵a 6＋a 7＋a 8＝3a 7＝75，∴a 7＝25. 又∵a 3＋a 12＝a 7＋a 8＝60， ∴a 8＝35，d ＝a 8－a 7＝10.∴a n ＝a 8＋(n －8)d ＝35＋10×(n －8)＝10n －45. 3．－ 3 ∵∠A 、∠B 、∠C 成等差数列， ∴2∠B ＝∠A ＋∠C .∴∠A ＋∠B ＋∠C ＝3∠B ＝180°. ∴∠B ＝60°.∴∠A ＋∠C ＝120°. ∴tan(A ＋C )＝tan120°＝－ 3. 4.32∵a ，x 1，x 2，x 3，b 成等差数列， ∴其公差d 1＝b －a4.又∵a ，y 1，y 2，y 3，y 4，y 5，b 成等差数列，∴其公差d 2＝b －a6.∴x 3－x 1y 3－y 1＝2d 12d 2＝d 1d 2＝b －a 4×6b －a ＝32.课堂巩固 1．已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．92．(2009辽宁高考，文3){a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d 等于( )A ．－2B ．－12 C.12D ．23．等差数列的首项为125，第10项为开始比1大的项，则公差d 的取值范围为( )A ．d ＞875 B.875＜d ≤325 C ．d ＜325 D.875＜d ＜3254．(2009山东高考，文13)在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝__________. 5．若lg2，lg(2x －1)，lg(2x ＋3)成等差数列，则x 的值为__________．6．已知1a ，1b ，1c成等差数列，并且a ＋c ，a －c ，a ＋c －2b 均为正数，求证：lg(a ＋c)，lg(a－c)，lg(a ＋c －2b)也成等差数列．7．等差数列{a n }中，已知a 59＝70，a 80＝112，求a 101.答案：1．B 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝8，2m ＋n ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝2. ∴m 和n 的等差中项是3.2．B 方法一：a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1，∴a 1＝1.∴a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0.∴d ＝－12.方法二：∵a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d )＝－a 3＋2d ＝2d ＝－1，∴d ＝－12.3．B 依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1a 9≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 125＋9d >1125＋8d ≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧d >875d ≤325⇒875<d ≤325. 4．13 等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5－a 2＝6， ∴3d ＝6.∴a 6＝a 3＋3d ＝7＋6＝13.5．log 25 2lg(2x －1)＝lg2＋lg(2x＋3)，所以可得(2x －1)2＝2(2x＋3)，即(2x )2－4·2x－5＝0.解之，得2x ＝5或2x＝－1(舍)． 所以x ＝log 25.6．证明：由已知1a ，1b ，1c成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c .∴2b ＝a ＋c ac. ∴2ac ＝ab ＋bc .∴－2ac ＝2ac －2b (a ＋c )．∴－2ac ＋a 2＋c 2＝2ac －2b (a ＋c )＋a 2＋c 2.∴(a －c )2＝(a ＋c )(a ＋c －2b )．又∵a －c ，a ＋c ，a ＋c －2b 都是正数， ∴2lg(a －c )＝lg(a ＋c )＋lg(a ＋c －2b )．∴lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )成等差数列． 7.解法一：设首项为a 1，公差为d ，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋58d ＝70，a 1＋79d ＝112. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－46，d ＝2.∴a 101＝a 1＋100d ＝－46＋100×2＝154.解法二：设公差为d ，则a 80＝a 59＋(80－59)d ＝a 59＋21d ， 即112＝70＋21d ， ∴d ＝2.∴a 101＝a 80＋(101－80)d ＝112＋21×2＝154.解法三：∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，其图象是直线上的点， ∴点(59，a 59)，(80，a 80)，(101，a 101)共线． ∴a 80－a 5980－59＝a 101－a 80101－80，即112－7021＝a 101－11221. ∴a 101＝154.1．在数列{a n }中，a 1＝－2,2a n ＋1＝2a n ＋3，则a 11等于( ) A.272B ．10C ．13D ．19 1．答案：C 由2a n ＋1＝2a n ＋3得a n ＋1－a n ＝32，∴{a n }是等差数列．a 1＝－2，d ＝32，a 11＝13.2.(2009安徽高考，文5)已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( )A ．－1B ．1C ．3D ．7 2．答案：B 设其公差为d ，∵a 1＋a 3＋a 5＝105， ∴3a 3＝105.∴a 3＝35.同理，由a 2＋a 4＋a 6＝99，得a 4＝33. ∴d ＝a 4－a 3＝－2.∴a 20＝a 4＋16d ＝33＋16×(－2)＝1.3．已知等差数列{a n }的公差为d ，若c ≠0，且c 为常数，则数列{ca n }是( ) A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为cd 的等差数列 C ．不是等差数列 D ．不能判断 3．答案：B 因为a n ＋1－a n ＝d ，所以ca n ＋1－ca n ＝cd . 所以数列{ca n }是公差为cd 的等差数列．4．设{a n }是递增的等差数列，其前三项的和为12，前三项的积为48，则数列{a n }的首项为( )A ．1B ．2C ．4D ．6 4．答案：B 方法一：设首项为a ，公差为d ，则由题意知：d >0，且⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝12，a (a ＋d )(a ＋2d )＝48，解得a ＝2.方法二：设三数为：a －d ，a ，a ＋d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧d >0，a －d ＋a ＋a ＋d ＝12，(a －d )·a ·(a ＋d )＝48，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，d ＝2.∴a －d ＝2.5．等差数列{a n }单调递增且a 3＋a 6＋a 9＝12，a 3·a 6·a 9＝28，则此数列的通项公式a n ＝__________.5．答案：n －2 ∵a 3＋a 9＝2a 6，a 6＝4， ∴a 3＋a 9＝8，a 3·a 9＝7.∴a 3、a 9是一元二次方程x 2－8x ＋7＝0的两个根． 又∵{a n }单调递增， ∴a 3＝1，a 9＝7，d ＝1.从而a n ＝a 3＋(n －3)d ＝1＋(n －3)＝n －2.6．已知方程(x 2－2x ＋m)(x 2－2x ＋n)＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n|等于________．6. 答案：12 设a 1＝14，a 2＝14＋d ，a 3＝14＋2d ，a 4＝14＋3d ，而方程x 2－2x ＋m ＝0中的两根之和为2，方程x 2－2x ＋n ＝0中的两根之和也为2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋6d ＝4.∴d ＝12.因此a 1＝14，a 4＝74是一个方程的两根，a 2＝34，a 3＝54是另一个方程的两个根．∴m ，n 分别为716，1516.∴|m －n |＝12.7．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式； (2)2012年伦敦奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？7．答案：解：(1)由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1 896为首项，4为公差的等差数列．这个数列的通项公式为a n ＝1 896＋4(n －1)＝1 892＋4n (n ∈N ＋)．(2)假设a n ＝2 012，由2 012＝1 892＋4n ，得n ＝30. 假设a n ＝2 050,2 050＝1 892＋4n 无正整数解，即所求通项公式为a n ＝1 892＋4n (n ∈N ＋),2012年伦敦奥运会是第30届奥运会，2050年不举行奥运会．8．已知f(x)＝x a(x ＋2)，且方程x ＝f(x)有唯一解，且f(x 0)＝11 005，f(x n －1)＝x n ，n ＝1,2,3，….(1)问数列{1x n}是否是等差数列？(2)求x 2 009的值．8．答案：解：(1)由f (x )＝x 得x a (x ＋2)＝x ，即x [1－1a (x ＋2)]＝0.解得x ＝0或x ＝1a－2.∵方程x ＝f (x )有唯一解， ∴1a －2＝0.∴a ＝12.∴f (x )＝2x x ＋2. 又x n ＝f (x n －1)＝2x n －1x n －1＋2，∴1x n ＝1x n －1＋12.∵x 1＝f (x 0)＝11 005，∴{1x n }是首项为1 005，公差为12的等差数列． (2)由(1)知1x n ＝1x 1＋(n －1)12＝1 005＋(n －1)12＝2 009＋n2，∴x n ＝22 009＋n.∴x 2 009＝22 009＋2 009＝12 009.9．如下图，三个正方形的边AB 、BC 、CD 的长组成等差数列，且AD ＝21 cm ，这三个正方形的面积之和是179 cm 2.(1)求AB 、BC 、CD 的长； (2)以AB 、BC 、CD 的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？ 9．答案：解：(1)设公差为d (d >0)，BC ＝x ， 则AB ＝x －d ，CD ＝x ＋d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(x －d )＋x ＋(x ＋d )＝21，(x －d )2＋x 2＋(x ＋d )2＝179，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，d ＝－4(舍去)．所以AB＝3(cm)，BC＝7(cm)，CD＝11(cm)．(2)正方形的边长组成首项是3，公差是4的等差数列{a n}，所以a10＝3＋(10－1)×4＝39.a210＝392＝1 521(cm2)．所求正方形的面积为1 521 cm2.。

习题详解(课本第69页习题2.5)A 组1.（1）由64164143-=-==a a q ,解得q=-4. 所以514146411414=+⨯+-=--=q a a S . （2）因为S 3=a 1+a 2+a 3=a 3(q -2+q -1+1),所以q -2+q -1+1=3,即2q 2-q 1-1=0.解这个方程，得q=1或-21-=q ， 当q=1时，231=a ；当21-=q 时，a 1=6. 2.这5年的产值是一个以a 1=138×1.1=151.8为首项，q=1.1为公比的等比数列， 所以1.11)1.11(8.1511)1(5515--⨯=--=q q a S ≈926.754(万元). 3.（1）第1个正方形的面积为4 cm 2，第2个正方形的面积为2 cm 2，…，这是一个以a 1=4为首项，21=q 为公比的等比数列，所以第10个正方形的面积为 a 10=a 1q 9=4×(21)9=2-7(cm 2). （2）这10个正方形的面积的和为S 10=7181012821241----=--=--q q a a (cm 2). 4.（1）当a ＝1时，(a -1)+(a 2-2)+…+(a n -n )=-1-2-…-(n -1)=-2)1(n n -. 当a ≠1时，(a -1)+(a 2-2)+…+(a n -n )=(a +a 2+…+a n)-(1+2+…+n )=2)1(1)1(+---n n a a a n . （2）(2-3×5-1)+(4-3×5 -2)+…+(2n -3×5-n )=2(1+2+…+n )-3(5-1+5 -2+…+5-n )=22)1(+n n -3×1151)51(5-----n =n (n +1)-43(1-5-n ). （3）设S n =1+2x+3x 2+…+n x n -1,①则xS n =x+2x 2+3x 3+…+(n -1)x n -1+n x n ,②①-②,得(1-x)S n =1+x+x 2+x 3+…+x n -1-n x n ,③当x=1时，S n =1+2+3+…+n =2)1(+n n ； 当x≠1时，由③得xnx x x S nn n ----=1)1(12.5.（1）第10次着地时，经过的路程为100+2(50+25+…+100×2-9)=100+2×100(2-1+2-2+…+2-9) =100+200×19121)21(2-----≈299.61(m). （2）设第n 次着地时，经过的路程为293.75 m ，则有100+2×100(2-1+2 -2+ (2)(n -1))=100+200×1)1(121)21(2------n =293.75. 所以300-200×21-n =293.75，解得2 1-n =0.031 25，所以1-n ＝-5，则n ＝6.6.证明：因为S 3,S 9,S 6成等差数列，所以公比q≠1，且2S 9=S 3+S 6，即 2×qq a q q a q q a --+--=--1)1(1)1(1)1(613191, 于是2q 9=q 3+q 6,2q 6=1+q 3.上式两边同乘以a 1q ，得2a 1q 7=a 1q+a 1q 4,即2a 8=a 2+a 5.所以a 2,a 8,a 5成等差数列.B 组 1.证明：a n +a n -1b +…+b n =a n ［1+a b +…+(a b )n ］=a n b a b a ab a b n n n --=--+++1111)(1. 2.证明：因为S 14-S 7=a 8+a 9+…+a 14=q 7(a 1+a 2+…+a 7)=q 7S 7,S 21-S 14=a 15+a 14+…+a 21=q 14(a 1+a 2+…+a 7)=q 14S 7,所以S 7,S 14-S 7,S 21-S 14成等比数列.3.（1）环保部门每年对废旧物资的回收量构成一个等比数列，首项为a 1=100，公比为q=1.2.所以，2010年能回收的废旧物资为a 8=100×1.28≈430(t).（2）从2002年到2010年底，能回收废旧物资为S 8=2.11)2.11(1001)1(881--=--q q a ≈1 650(t), 可节约土地为1 650×4=6 600(m 2).4.（1）依教育储蓄的方式，应按照整存整取定期储蓄存款利率计息，免征利息税，且若每月固定存入a 元，连续存n 个月，计算利息的公式为2)(n na a +×月利率. 因为整存整取定期储蓄存款年利率为2.52%,月利率为0.21% ,故到期3年时一次可支取本息共236)365050(⨯⨯+×0.21%+1 800=1 869.93(元). 若连续存6年,应按五年期整存整取定期储蓄存款利率计息,具体计算略.(2)略.(3)每月存50元,连续存3年,按照“零存整取”的方式，年利率为1.89%,且需支付20%的利息税,所以到期3年时一次可支取本息共1 841.96元,比教育储蓄的方式少收益27.97元.(4)设每月应存入x 元,由教育储蓄的计算公式得2)36(36x x +×0.21%+36x=10 000, 解得x≈267.39(元),即每月应存入267.39元.(5)～(8)略.点评:教育储蓄为零存整取定期储蓄存款，存期分为一年、三年和六年.最低起存金额为50元,本金合计最高限额为2万元.开户时储户应与金融机构约定每月固定存入的金额,分月存入,中途如有漏存,应在次月补齐,未补存者按零存整取定期储蓄存款的有关规定办理.教育储蓄实行利率优惠,一年期、三年期教育储蓄按开户日同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计息,六年期按开户日五年期整存整取定期储蓄存款利率计息,免征利息税.第(8)题可以选择多种储蓄方式,学生可能提供多个结果,只要他们的计算方式符合银行规定的储蓄方式即可.教师可以组织学生讨论,然后选择一个最佳答案.5.设每年存入x 万元，那么2004～2010年底本利和依次为a 1=1.02x ，a 2=(1.02+1.022)x ，a 3=(1.02+1.022+1.023)x ，……a 7=(1.02+1.022+…+1.027)x,将以上各式相加，得S 7=(7×1.02+6×1.022+5×1.023+…+1.027)x,①由①×1.02，得1.02S 7=(7×1.022+6×1.023+5×1.024+…+1.028)x,②②-①，得(1.02-1)S 7=(-7×1.02+1.022+1.023+1.024+…+1.027+1.028)x=(-8×1.02+102.102.102.19--)x. 故S 7=(-2 958+1.029×2 500)x.由S 7=40，解得x≈1.35(万元).答：每年大约应存入1.35万元.。

等差数列及其前n项和说课稿《等差数列及其前 n 项和说课稿》尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是“等差数列及其前 n 项和”。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析“等差数列及其前 n 项和”是高中数学必修 5 第二章数列中的重要内容。

数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。

等差数列在现实生活中有着广泛的应用，如在经济领域中的储蓄计算、生产中的产量增长等问题。

本节课的内容既是对数列基本知识的深化和拓展，又为后续学习等比数列奠定了基础。

通过对等差数列的研究，可以让学生进一步体会从特殊到一般、从有限到无限的数学思想方法，提高学生的观察、分析和推理能力。

二、学情分析在学习本节课之前，学生已经掌握了数列的基本概念和简单的通项公式，具备了一定的函数思想和数学运算能力。

但对于等差数列的定义、性质以及前 n 项和公式的推导和应用，还需要进一步的引导和启发。

此外，学生在抽象思维和逻辑推理方面还有待提高，对于一些复杂的数学问题可能会感到困难。

因此，在教学过程中，要注重引导学生从具体实例出发，逐步抽象出数学概念和规律，帮助学生克服学习中的困难。

三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式。

（2）能够运用等差数列的通项公式和前 n 项和公式解决相关的数学问题。

2、过程与方法目标（1）通过对等差数列定义的探究，培养学生观察、分析和归纳的能力。

（2）通过等差数列通项公式和前 n 项和公式的推导，让学生体会从特殊到一般、类比、转化等数学思想方法。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生在自主探究和合作交流的过程中，体验数学学习的乐趣，增强学习数学的信心。

（2）通过等差数列在实际生活中的应用，让学生感受数学与生活的密切联系，培养学生的应用意识和创新精神。

四、教学重难点1、教学重点（1）等差数列的定义、通项公式和前 n 项和公式。

第二章 习题课1 常见的数列求和及应用自主学习知识梳理1．等差数列的前n 项和公式：S n ＝____________＝____________.2．等比数列前n 项和公式：①当q ＝1时，S n ＝________；②当q ≠1时，S n ＝____________＝____________.3．常见求和公式有：①1＋2＋…＋n ＝____________.②1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝________.③2＋4＋6＋…＋2n ＝________.*④12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)． *⑤13＋23＋33＋…＋n 3＝14n 2(n ＋1)2.自主探究拆项成差求和经常用到下列拆项公式，请补充完整．①1n (n ＋1)＝________________. ②1(2n －1)(2n ＋1)＝________________. ③1n (n ＋1)(n ＋2)＝____________________. ④1n ＋n ＋1＝________________. ⑤1a ＋b＝________________. 对点讲练知识点一 分组求和例1 求和：S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2.总结 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．变式训练1 求数列1,1＋a,1＋a ＋a 2，…，1＋a ＋a 2＋…＋a n －1，…的前n 项和S n (其中a ≠0)．知识点二 拆项相消例2 求和：122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1，(n ≥2)．总结 如果数列的通项公式可转化为f (n ＋1)－f (n )的形式，常采用拆项求和法．变式训练2 求和：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n.知识点三 奇偶并项例3 求和：S n ＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n (2n －1)．变式训练3 已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n ·(3n －2)，…，求其前n 项和S n .求数列前n 项和，一般有下列几种方法．1．错位相减(前面已复习)适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．2．分组求和把一个数列分成几个可以直接求和的数列．3．拆项相消有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．4．奇偶并项当数列通项中出现(－1)n 或(－1)n ＋1时，常常需要对n 取值的奇偶性进行分类讨论．5．倒序相加例如，等差数列前n 项和公式的推导方法.课时作业一、选择题1．已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n所确定的数列{b n }的前n 项之和是( )A ．n (n ＋2) B.12n (n ＋4) C.12n (n ＋5) D.12n (n ＋7) 2．已知数列{a n }为等比数列，前三项为a ，12a ＋12，13a ＋13，则T n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．9⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23nB ．81⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n C ．81⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫49n D.815⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫49n 3．设数列1，(1＋2)，(1＋2＋4)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)的前m 项和为2 036，则m的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．114．在50和350之间末位数是1的所有整数之和是( )A ．5 880B ．5 539C ．5 280D ．4 8725．已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1n ，则S 17＋S 33＋S 50等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2题 号1 2 3 4 5 答 案二、填空题6．(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝________. 7．在100内所有能被3整除但不能被7整除的正整数之和是________．8．若1＋3＋5＋…＋(2x －1)11·2＋12·3＋13·4＋…＋1x (x ＋1)＝132 (x ∈N *)，则x ＝________. 三、解答题9．求和S n ＝1＋(1＋12)＋(1＋12＋14)＋…＋(1＋12＋14＋…＋12n －1)．10．设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0. (1)求{a n }的通项；(2)求{nS n }的前n 项和T n .习题课1 常见的数列求和及应用知识梳理1.n (a 1＋a n )2 na 1＋n (n －1)2d 2．na 1 a 1(1－q n )1－q a 1－a n q 1－q 3.n (n ＋1)2n 2 n 2＋n 自主探究①1n －1n ＋1 ②12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1 ③12⎣⎡⎦⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2) ④n ＋1－n ⑤1a －b(a －b) 对点讲练例1 解 当x ≠±1时，S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2 ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋2＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 4＋2＋1x 4＋…＋⎝⎛⎭⎫x 2n ＋2＋1x 2n ＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n )＋2n ＋⎝⎛⎭⎫1x 2＋1x 4＋…＋1x 2n ＝x 2(x 2n －1)x 2－1＋x －2(1－x －2n )1－x －2＋2n ＝(x 2n －1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n 当x ＝±1时，S n ＝4n.综上知，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4n ， x ＝±1(x 2n －1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n ， x ≠±1. 变式训练1 解 当a ＝1时，则a n ＝n ，于是S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 当a ≠1时，a n ＝1－a n 1－a ＝11－a(1－a n )． ∴S n ＝11－a[n －(a ＋a 2＋…＋a n )] ＝11－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －a (1－a n )1－a ＝n 1－a －a (1－a n )(1－a )2. ∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (a ＝1)，n 1－a －a (1－a n)(1－a )2 (a ≠1). 例2 解 ∵1n 2－1＝1(n －1)(n ＋1) ＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1， ∴原式＝12⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫13－15⎦⎤＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n －1n ＋1＝34－2n ＋12n (n ＋1).变式训练2 解 ∵a n ＝11＋2＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2n n ＋1.例3 解 当n 为奇数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n ＋5)＋(2n －3)]＋(－2n ＋1)＝2·n －12＋(－2n ＋1)＝－n. 当n 为偶数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n ＋3)＋(2n －1)]＝2·n 2＝n. ∴S n ＝(－1)n n (n ∈N *)．变式训练3 解 n 为偶数时，令n ＝2k (k ∈N *)， S n ＝S 2k ＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)n (3n －2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k ＋5)＋(6k －2)]＝3k ＝32n ； 当n 为奇数时，令n ＝2k ＋1 (k ∈N *)．S n ＝S 2k ＋1＝S 2k ＋a 2k ＋1＝3k －(6k ＋1)＝－3n ＋12. ∴S n ＝⎩⎨⎧ －3n ＋12 (n 为奇数)，3n 2 (n 为偶数).课时作业1．C [∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2(2n ＋4)＝n 2＋2n . ∴b n ＝n ＋2，∴b n 的前n 项和S n ＝n (n ＋5)2.] 2．D [由⎝⎛⎭⎫12a ＋122＝a ⎝⎛⎭⎫13a ＋13， 解得a ＝3(a ＝－1舍去)．∴a 1＝3，a 2＝2，a 3＝43，∴{a 2n }是以a 21＝9为首项，以49为公比的等比数列， ∴T n ＝9⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫49n 1－49＝815⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫49n .] 3．C [a n ＝2n －1，S n ＝2n ＋1－n －2，代入选项检验，即得m ＝10.]4．A [S ＝51＋61＋…＋341＝30×(341＋51)2＝5 880.]5．B [S 17＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(15－16)＋17＝9， S 33＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(31－32)＋33＝17， S 50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25，所以S 17＋S 33＋S 50＝1.]6．5 050解析 (1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝100＋99＋…＋2＋1＝100×(100＋1)2＝5 050. 7．1 473解析 100内所有能被3整除的数的和为S 1＝3＋6＋…＋99＝33×(3＋99)2＝1 683. 100内所有能被21整除的数的和为S 2＝21＋42＋63＋84＝210. ∴100内能被3整除不能被7整除的所有正整数之和为S 1－S 2＝1 683－210＝1 473.8．11解析 1＋3＋5＋…＋(2x －1)11·2＋12·3＋…＋1x (x ＋1)＝x 21－1x ＋1＝x 2xx ＋1＝x (x ＋1)＝132，∴x ＝11. 9．解 考察通项a n ＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－(12)n 1－12＝2－12n －1 ∴S n ＝(2－120)＋(2－121)＋(2－122)＋…＋(2－12n －1) ＝2n －(1＋121＋122＋…＋12n －1) ＝2n －1－12n 1－12＝2n －2＋12n －1 ∴S n ＝2n －2＋12n －1. 10．解 (1)由210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0， 得S 30－S 20S 20－S 10＝1210，设公比为q ， 则a 1(1－q 30)1－q －a 1(1－q 20)1－q a 1(1－q 20)1－q －a 1(1－q 10)1－q＝1210，即q 10＝1210， 所以q ＝12，所以a n ＝12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝12n ， 即a n ＝12n ，n ＝1,2，…. (2)因为{a n }是首项a 1＝12，公比q ＝12的等比数列． 所以S n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝1－12n ，nS n ＝n －n 2n . 则数列{nS n }的前n 项和T n ＝(1＋2＋…＋n )－⎝⎛⎭⎫12＋222＋…＋n 2n ① T n 2＝12(1＋2＋…＋n ) －⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1② ①－②，得T n 2＝12(1＋2＋…＋n )－⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＋n 2n ＋1＝n (n ＋1)4－12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＋n 2n ＋1， 即T n ＝n (n ＋1)2＋12n －1＋n 2n －2.。

课后训练千里之行 始于足下1.在等差数列{a n }中，公差d ≠0，首项a 1≠d .如果这个数列的前20项的和S 20＝10M ，则M 应是( ).A ．a 5＋a 15B ．a 2＋2a 10C ．2a 1＋19dD ．a 20＋d2.等差数列{a n }与{b n }，它们的前n 项之和分别为S n 与S ′n ，如27417++='n n S S n n (n ∈N *)，则1111b a的值是( ). A ．47 B ．23 C ．34 D ．71783.已知等差数列的前n 项和为S n ，若S 13＜0，S 12＞0，则此数列中绝对值最小的项为( ). A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．第8项4.等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 4＋a 15的值为确定的常数，则下列各数中也是常数的是( ).A ．S 7B ．S 8C ．S 13D ．S 155.等差数列{a n }中，其前n 项和为100，其后的2n 项和为500，则紧随其后的3n 项和为___________________.6.若一个等差数列前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有__________项.7.在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8.(2)已知a 2＋a 4＝548，求S 5. 8.等差数列{a n }中，a 1＞0，S 4＝S 9，则当n 取何值时，S n 能取得最大值? 百竿尺头 更进一步已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为等差数列，a 1＝12，d ＝－2.(1)求S n ，并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象.(2)分别求{S n }单调递增，单调递减的n 的取值范围，并求{S n }的最大(或最小)的项. (3){S n }有多少项大于零?参考答案1.答案：C解析：∵S 20＝20a 1＋d 21920⨯＝10(2a 1＋19d )＝10M ，∴M ＝2a 1＋19d . 2.答案：C解析：.34111148272141217)(221)(22122212121121121121111111111==⨯⨯+⨯='=++=++==S S b b a a b b a a b a b a3.答案：C解析：由⎪⎩⎪⎨⎧-⎪⎩⎪⎨⎧+>+⎩⎨⎧+=+=,20,06,0211,07813,066128711113112d ＞a ＜a d ＞a d a d ＜a S d ＞a S ，所以得故|a 6|＞|a 7|.4.答案：C解析：a 2＋a 4＋a 15＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋14d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7＝3×1332131=+a a ×131311332)(13S a a =+.于是可知S 13是常数. 5.答案：1 500解析：由题意有S n ＝100，S 3n －S n ＝500.又S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，其公差为100， ∴S 6n －S 3n ＝400＋500＋600＝1 500. 6.答案：13 解析：∵⎩⎨⎧=++=++--,146,3421321n n n a a a a a a ∴3(a 1＋a n )＝180，a 1＋a n ＝60，S n ＝3902)(1=+n a a n .∴n ＝13.7.解：(1)(方法1)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=+=+.3,5,5105,105111d a d a d a 解得∴a 8＝a 6＋2d ＝16.(方法2)∵S 6＝S 5＋a 6＝15， ∴15＝2)(661a a +，即3(a 1＋10)＝15.∴a 1＝－5，d ＝516aa -＝3.∴a 8＝a 6＋2d ＝16. (2)a 2＋a 4＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＝548，∴a 1＋2d ＝524.∴S 5＝5a 1＋21×5×(5－1)d ＝5a 1＋2×5d ＝5(a 1＋2d )＝5×524＝24. 8. 解：∵S n 有最大值，∴S n 是开口向下的抛物线.由于S 4＝S 9，故对称轴为n ＝294+＝6.5.从而n ＝6或7时，S n 最大.如图所示.百竿尺头 更进一步解：(1)S n ＝na 1＋2)1(122)1(-+=-n n n d n n ×(－2)＝－n 2＋13n .图象如图. (2)S n ＝－n 2＋13n ＝－(n －213)2＋4169，n ∈N *， ∴当n ＝6或7时，S n 最大；当1≤n ≤6时，{S n }单调递增；当n ≥7时，{S n }单调递减.{S n}有最大值，最大项是S6，S7，S6＝S7＝42.(3)由图象得{S n}中有12项大于零.。

2.3 等差数列的前n 项和公式一、选择题：1．等差数列{a n }中，a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝14.记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则S 13＝ ( D )A ．168B ．156C ．152D ．286 【答案】D【解析】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 7－a 10＝8a 11－a 4＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1－d ＝87d ＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2a 1＝10，∴S 13＝13a 1＋13×122d ＝286.2．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝15，a 100＋b 100＝139，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为 ( C )A ．0B ．4475C ．8950D ．10 000 【答案】C【解析】设c n ＝a n ＋b n ，则c 1＝a 1＋b 1＝40，c 100＝a 100＋b 100＝139，{c n }是等差数列，∴前100项和S 100＝100c 1＋c 1002＝100×40＋1392＝8950.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17＝170，则a 7＋a 9＋a 11的值为 ( D )A ．10B ．20C ．25D ．30 【答案】D【解析】∵S 17＝17a 9＝170，∴a 9＝10，∴a 7＋a 9＋a 11＝3a 9＝30.4．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是 ( C )A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】C【解析】设等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝15a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝30，∴5d ＝15，∴d ＝3.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 7a 5＝913，则S 13S 9＝ ( A ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．12【答案】A 【解析】S 13S 9＝13a 79a 5＝139×913＝1. 6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于 ( C )A ．12B ．18C ．24D ．42 【答案】C【解析】∵S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，∴2(S 4－S 2)＝S 2＋S 6－S 4，∴2(10－2)＝2＋S 6－10，∴S 6＝24.7．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 4＋a 15的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是 ( C )A ．S 7B ．S 8C ．S 1D ．S 15 【答案】C【解析】 ∵a 2＋a 4＋a 15＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7为常数，∴S 13＝13a 1＋a 132＝13a 7为常数．8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于 ( A )A ．310B ．13C ．18D ．19 【答案】A【解析】据等差数列前n 项和性质可知：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9仍成等差数列．设S 3＝k ，则S 6＝3k ，S 6－S 3＝2k ，∴S 9－S 6＝3k ，S 12－S 9＝4k ， ∴S 9＝S 6＋3k ＝6k ，S 12＝S 9＋4k ＝10k ，∴S 6S 12＝3k 10k ＝310. 9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝ ( C )A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C【解析】本题考查数列的前n 项和S n 与通项a n 的关系及等差数列的定义．S m －S m －1＝a m ＝2，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝3，∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.S m ＝a 1m ＋m m －12·1＝0，① a m ＝a 1＋(m －1)·1＝2，∴a 1＝3－m .②②代入①得3m －m 2＋m 22－m2＝0，∴m ＝0(舍去)，m ＝5，二、填空题：10．已知数列{a n }的通项公式a n ＝－5n ＋2，则其前n 项和S n ＝－5n 2＋n2.【答案】－5n 2＋n2.【解析】 ∵a n ＝－5n ＋2，∴a n －1＝－5n ＋7(n ≥2)，∴a n －a n －1＝－5n ＋2－(－5n ＋7)＝－5(n ≥2)．∴数列{a n }是首项为－3，公差为－5的等差数列．∴S n ＝n a 1＋a n2＝n －5n －12＝－5n 2＋n 2.11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝24. 【答案】24 【解析】∵S 9＝9·a 1＋a 92＝72，∴a 1＋a 9＝16，即a 1＋a 1＋8d ＝16，∴a 1＋4d ＝8，又a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋8d ＝3(a 1＋4d )＝3×8＝24.12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过原点O )，则S 200＝100.【答案】100【解析】∵OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A 、B 、C 三点共线，∴a 1＋a 200＝1，∴S 200＝200×a 1＋a 2002＝100.13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2，则S 3等于14. 【答案】14【解析】 对于S n ＝2a n －2，当n ＝1时，有a 1＝2a 1－2，解得a 1＝2；当n ＝2时，有S 2＝2a 2－2，即a 1＋a 2＝2a 2－2，所以a 2＝a 1＋2＝4；当n ＝3时，有S 3＝2a 3－2，即a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－2，所以a 3＝a 2＋a 1＋2，又a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝8，所以S 3＝2a 3－2＝14.三、解答题14．若等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8.求：(1)数列{a n }的首项a 1和公差d ； (2)数列{a n }的前10项和S 10的值． 【答案】见解析【解析】 (1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 4＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＝8，a 2·a 4＝a 1＋d ·a 1＋3d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2.(2)S 10＝10a 1＋10×10－12d ＝10×8＋10×92×(－2)＝－10.15．设{a n }是等差数列，前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n 的值． 【答案】见解析【解析】 (1)设公差为d ，则a 20－a 10＝10d ＝20，∴d ＝2.∴a 10＝a 1＋9d ＝a 1＋18＝30，∴a 1＝12.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋2(n －1)＝2n ＋10. (2)S n ＝n a 1＋a n2＝n 2n ＋222＝n 2＋11n ＝242，∴n 2＋11n －242＝0，∴n ＝11.16．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和. 【答案】见解析【解析】 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n n －12d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100，①100a 1＋100×992d ＝10.②①×10－②整理得d ＝－1150，代入①得，a 1＝1 099100，∴S 110＝110a 1＋110×1092d ＝110×1 099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1150＝110⎝ ⎛⎭⎪⎫1 099－109×11100 ＝－110.17．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列{S nn}的前n 项和， 求数列{S n n}的前n 项和T n . 【答案】见解析【解析】 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d .∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝715a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝1a 1＋7d ＝5，解得a 1＝－2，d ＝1.∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)，∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列{S n n }是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝14n 2－94n .。

2.2.2 等差数列的前n 项和5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.已知等差数列{a n }中，a 2=7,a 4=15，则前10项的和S 10等于( )A.100B.210C.380D.400 解析：d=27152424-=--a a =4，a 1=3，所以S 10=210. 答案：B2.计算：1+2+3+…+300=____________.解析：这是一个300项的等差数列的求和，a 1=1,a n =300,n=300，可利用公式：S n =2)3001(3002)(1+=+n a a n =45 150. 答案：45 1503.计算：3+5+8+11+…+299=____________.解析：数列5，8，11, …，299是个等差数列，且首项是5，末项是299，公差是3.根据公式：11--n a a n =d ，将a n =299,a 1=5,d=3代入上式，可得：n=99. 所以，5+8+ (299)2)2995(99+=15 048. 所以3+5+8+11+…+299=15 048+3=15 051.答案：15 0514.一同学在电脑中打出如下若干个圆（图中●表示实圆，○表示空心圆）：●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○……若将此若干个圆依此规律继续下去得到一系列圆，那么在前2 005个圆中有____________个空心圆.解析：这是因为把空心圆取出来的位置构成数列2，5，9，14，…，于是数列满足a n =a n-1+n+1, a n =a 1+2+3+…+n+n+1=2)1(+n n +n=232n n +.故在2 005前计算数值n=61时，小于2 005；当n=62时，大于2 005.故应为61个空心圆.答案：6110分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=-24,a 18+a 19+a 20=78，则此数列前20项和等于( )A.160B.180C.200D.220解析：(a 1+a 2+a 3)+(a 18+a 19+a 20)=(-24)+78=54，又a 1+a 20=a 2+a 19=a 3+a 18,则3(a 1+a 20)=54,∴a 1+a 20=18，则S 20=2)(20201a a +=10×18=180. 答案：B2.(2006高考全国卷Ⅱ，理11)设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若63S S 等于31，则126S S 等于( ) A.103 B.31 C.81 D.91 解析：由等差数列的求和公式可得31156331163=++=d a d a S S ,可得a 1=2d 且d≠0,所以1039027661215611126==++=d d d a d a S S ,故选A. 答案：A3.设公差不为零的等差数列{a n }，S n 是数列{a n }的前n 项和，且S 23=9S 2,S 4=4S 2，则数列{a n }的通项公式为____________.解析：设数列{a n }的公差为d(d≠0),首项为a 1，由已知得：⎩⎨⎧+=++=+).2(464),2(9)33(11121d a d a d a d a 解之得：a 1=94，d=98或a 1=d=0（舍）. ∴a n =a 1+(n-1)d=94+(n-1)×98=94 (2n-1). 答案：a n =94 (2n-1) 4.设数列{a n }的前n 项和为S n =2-2·3n ，则通项公式a n =____________.解析：当n=1时,a 1=S 1=2-2·31=-4.当n≥2时，a n =S n -S n-1=(2-2·3n )-(2-2·3n-1)=-4·3n-1.此时对n=1时有：a 1=-4·31-1=-4，也适合。

（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（60分）1. 等差数列 ,4,1,2-的前n 项和为 （ B ） A.()4321-n n B. ()7321-n n C. ()4321+n n D. ()7321+n n 2. 已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ C ） A.5 B.4 C. 3 D.23. 在等差数列{}n a 中，若1264=+a a ,S n 是数列{}n a 的前n 项和，则9S 的值为 ( B ) A. 48 B. 54 C. 60 D. 664. 设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3163=S S ,则=126S S( A )A.103 B. 31 C. 8 D. 915. 在等差数列{}n a 中，已知1254=+a a ，那么它的前8项之和8S 等于 （ D ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 486. 设{}n a 是公差为2的等差数列，若5097741=++++a a a a ，则99963a a a a ++++ 的值为（ D ） A. 78 B. 82 C. 148 D. 1827. 在等差数列{}n a 中，35,2,11===n n S d a ，则1a 等于 （ D ） A. 5或7 B. 3或5 C. 7或1- D. 3或1-8. 设数列{}n a 是递增的等差数列，前三项之和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ B ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 89. 等差数列{}n a 中，162,16,1041===n S a a ，则n 等于（ B ） A. 11 B. 9 C. 9或18 D. 1810. 数列{}n a 是等差数列，它的前n 项和可以表示为（ B ） A. C Bn An S n ++=2 B. Bn An S n +=2 C. C Bn An S n ++=2()0≠a D. Bn An S n +=2()0≠a11. 已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ C ）A ．55B ．70C ．85D ．10012. 设{}n a 是公差为正数的等差数列，若80,15321321==++a a a a a a ，则111213a a a ++=（ B ）A ． 120B ． 105C ． 90D ．75 二、填空题（16分）13. 等差数列{}n a 中，4,184==S S ，则=+++20191817a a a a 9 。

§2.3 等差数列的前n 项和(二)课时目标1．熟练掌握等差数列前n 项和的性质，并能灵活运用． 2．掌握等差数列前n 项和的最值问题． 3．理解an 与Sn 的关系，能根据Sn 求an.1．前n 项和Sn 与an 之间的关系对任意数列{an}，Sn 是前n 项和，Sn 与an 的关系可以表示为an ＝⎩⎨⎧S1＝，Sn －Sn －2．等差数列前n 项和公式 Sn ＝＋2＝na1＋－2d.3．等差数列前n 项和的最值 (1)在等差数列{an}中当a1>0，d<0时，Sn 有最大值，使Sn 取到最值的n 可由不等式组⎩⎨⎧an≥0an ＋1≤0确定；当a1<0，d>0时，Sn 有最小值，使Sn 取到最值的n 可由不等式组⎩⎨⎧an≤0an ＋1≥0确定．(2)因为Sn ＝d 2n2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a1－d 2n ，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn 有最小值；当d<0时，Sn 有最大值；且n 取最接近对称轴的自然数时，Sn 取到最值． 一个有用的结论：若Sn ＝an2＋bn ，则数列{an}是等差数列．反之亦然．一、选择题1．已知数列{an}的前n 项和Sn ＝n2，则an 等于( ) A ．n B ．n2 C ．2n ＋1 D ．2n －1 答案 D2．数列{an}为等差数列，它的前n 项和为Sn ，若Sn ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1 答案 B解析 等差数列前n 项和Sn 的形式为：Sn ＝an2＋bn ， ∴λ＝－1.3．已知数列{an}的前n 项和Sn ＝n2－9n ，第k 项满足5<ak<8，则k 为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 答案 B解析 由an ＝⎩⎨⎧S1， n ＝1Sn －Sn －1， n≥2，∴an ＝2n －10.由5<2k －10<8，得7.5<k<9，∴k ＝8.4．设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若S3S6＝13，则S6S12等于( ) A.310 B.13 C.18 D.19 答案 A解析 方法一 S3S6＝3a1＋3d 6a1＋15d ＝13⇒a1＝2d ，S6S12＝6a1＋15d 12a1＋66d ＝12d ＋15d 24d ＋66d ＝310.方法二 由S3S6＝13，得S6＝3S3.S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍然是等差数列，公差为(S6－S3)－S3＝S3，从而S9－S6＝S3＋2S3＝3S3⇒S9＝6S3， S12－S9＝S3＋3S3＝4S3⇒S12＝10S3，所以S6S12＝310.5．设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若a5a3＝59，则S9S5等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D.12 答案 A解析 由等差数列的性质，a5a3＝2a52a3＝a1＋a9a1＋a5＝59，∴S9S5＝92＋52＋＝95×59＝1.6．设{an}是等差数列，Sn 是其前n 项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论错误的是( ) A ．d<0 B ．a7＝0C ．S9>S5D ．S6与S7均为Sn 的最大值 答案 C解析 由S5<S6，得a6＝S6－S5>0.又S6＝S7⇒a7＝0，所以d<0. 由S7>S8⇒a8<0，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9 ＝2(a7＋a8)<0即S9<S5. 二、填空题7．数列{an}的前n 项和为Sn ，且Sn ＝n2－n ，(n ∈N*)，则通项an ＝________. 答案 2n －28．在等差数列{an}中，a1＝25，S9＝S17，则前n 项和Sn 的最大值是________． 答案 169解析 方法一 利用前n 项和公式和二次函数性质．由S17＝S9，得25×17＋172×(17－1)d ＝25×9＋92×(9－1)d ，解得d ＝－2， 所以Sn ＝25n ＋n2(n －1)×(－2) ＝－(n －13)2＋169，由二次函数性质可知，当n ＝13时，Sn 有最大值169. 方法二 先求出d ＝－2，因为a1＝25>0，由⎩⎨⎧an ＝25－－，an ＋1＝25－2n≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n≤1312，n≥1212.所以当n ＝13时，Sn 有最大值． S13＝25×13＋－2×(－2)＝169.因此Sn 的最大值为169.方法三 由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0， 而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14， 故a13＋a14＝0.由方法一知d ＝－2<0， 又因为a1>0，所以a13>0，a14<0，故当n ＝13时，Sn 有最大值． S13＝25×13＋－2×(－2)＝169.因此Sn 的最大值为169.9．在等差数列{an}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n ＝________. 答案 10解析 由已知，a1＋a2＋a3＝15，an ＋an －1＋an －2＝78，两式相加，得 (a1＋an)＋(a2＋an －1)＋(a3＋an －2)＝93，即a1＋an ＝31. 由Sn ＝＋2＝31n2＝155，得n ＝10.10．等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列在n ＝k 时，前n 项和Sn 取到最小值，则k 的值是________． 答案 10或11解析 方法一 由S9＝S12，得d ＝－110a1，由⎩⎨⎧an ＝a1＋－an ＋1＝a1＋nd≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧1－110－1－110n≤0，解得10≤n≤11.∴当n 为10或11时，Sn 取最小值， ∴该数列前10项或前11项的和最小． 方法二 由S9＝S12，得d ＝－110a1，由Sn ＝na1＋－2d ＝d 2n2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a1－d 2n ， 得Sn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－120a1·n2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2120a1·n ＝－a120⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋44180a1 (a1<0)，由二次函数性质可知n ＝212＝10.5时，Sn 最小． 但n ∈N*，故n ＝10或11时Sn 取得最小值． 三、解答题11．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9. (1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n 项和Sn 及使得Sn 最大的序号n 的值． 解 (1)由an ＝a1＋(n －1)d 及a3＝5，a10＝－9得 ⎩⎨⎧ a1＋2d ＝5，a1＋9d ＝－9，可解得⎩⎨⎧a1＝9，d ＝－2， 所以数列{an}的通项公式为an ＝11－2n. (2)由(1)知，Sn ＝na1＋－2d ＝10n －n2.因为Sn ＝－(n －5)2＋25， 所以当n ＝5时，Sn 取得最大值．12．已知等差数列{an}中，记Sn 是它的前n 项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n 项和Tn.解由S2＝16，S4＝24，得⎩⎪⎨⎪⎧2a1＋2×12d ＝16，4a1＋4×32d ＝24.即⎩⎨⎧ 2a1＋d ＝16，2a1＋3d ＝12. 解得⎩⎨⎧a1＝9，d ＝－2.所以等差数列{an}的通项公式为an ＝11－2n (n ∈N*)．(1)当n≤5时，Tn ＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an ＝Sn ＝－n2＋10n.(2)当n≥6时，Tn ＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an ＝2S5－Sn ＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n ＋50， 故Tn ＝⎩⎨⎧－n2＋10n ，n2－10n ＋能力提升13．数列{an}的前n 项和Sn ＝3n －2n2 (n ∈N*)，则当n≥2时，下列不等式成立的是( ) A ．Sn>na1>nan B ．Sn>nan>na1 C ．na1>Sn>nan D ．nan>Sn>na1 答案 C解析 方法一 由an ＝⎩⎨⎧S1＝Sn －Sn －，解得an ＝5－4n.∴a1＝5－4×1＝1，∴na1＝n ， ∴nan ＝5n －4n2，∵na1－Sn ＝n －(3n －2n2)＝2n2－2n ＝2n(n －1)>0. Sn －nan ＝3n －2n2－(5n －4n2)＝2n2－2n>0. ∴na1>Sn>nan.方法二 ∵an ＝5－4n ， ∴当n ＝2时，Sn ＝－2， na1＝2，nan ＝－6， ∴na1>Sn>nan.14．设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，已知a3＝12，且S12>0，S13<0. (1)求公差d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解 (1)根据题意，有：⎩⎪⎨⎪⎧12a1＋12×112d>0，13a1＋13×122d<0，a1＋2d ＝12，整理得：⎩⎨⎧2a1＋11d>0，a1＋6d<0，a1＋2d ＝12.解之得：－247<d<－3. (2)∵d<0， 而S13＝＋2＝13a7<0，∴a7<0.又S12＝＋2＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，∴a6>0.∴数列{an}的前6项和S6最大．1．公式an ＝Sn －Sn －1并非对所有的n ∈N*都成立，而只对n≥2的正整数才成立．由Sn 求通项公式an ＝f(n)时，要分n ＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．2．求等差数列前n 项和的最值(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观．(2)通项法：当a1>0，d<0，⎩⎨⎧ an≥0，an ＋1≤0时，Sn 取得最大值；当a1<0，d>0，⎩⎨⎧an≤0，an ＋1≥0时，Sn取得最小值．3．求等差数列{an}前n 项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点．。